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Geometria Espacial 1. (Uerj 2015) Um funil, com a forma de cone circular reto, utilizado na passagem de leo para um recipiente com a forma de cilindro circular reto. O funil e o recipiente possuem a mesma capacidade. De acordo com o esquema, os eixos dos recipientes esto contidos no segmento TQ, perpendicular ao plano horizontal .

Admita que o funil esteja completamente cheio do leo a ser escoado para o recipiente cilndrico vazio. Durante o escoamento, quando o nvel do leo estiver

exatamente na metade da altura do funil H

, ,2

o nvel

do leo no recipiente cilndrico corresponder ao ponto K na geratriz AB. A posio de K, nessa geratriz, melhor representada por:

a)

b)

c)

d) 2. (Espcex (Aman) 2015) Um cone de revoluo tem altura 4 cm e est circunscrito a uma esfera de raio

1 cm. O volume desse cone (em 3cm ) igual a

a) 1

.3

b) 2

.3

c) 4

.3

d) 8

.3

e) 3 . 3. (Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe gua na razo

constante de 31 cm s. A altura do cone mede 24 cm,

e o raio de sua base mede 3 cm.

Conforme ilustra a imagem, a altura h do nvel da gua no recipiente varia em funo do tempo t em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde distncia entre o vrtice do cone e a superfcie livre do lquido.

Admitindo 3, a equao que relaciona a altura h,

em centmetros, e o tempo t , em segundos,

representada por: a) 3h 4 t= b) 3h 2 t= c) h 2 t= d) h 4 t= 4. (Uepg 2014) As dimenses de um paraleleppedo retngulo so proporcionais aos nmeros 1, 2 e 3 e

sua rea total igual a 2198cm . Sobre esse paraleleppedo, assinale o que for correto.

01) Seu volume vale 3162cm . 02) As suas dimenses formam uma progresso

aritmtica. 04) A soma das medidas de todas as suas arestas

72cm. 08) Sua diagonal maior que 11cm. 5. (Ita 2014) Uma pirmide de altura h 1 cm= e

volume 3V 50 cm= tem como base um polgono

convexo de n lados. A partir de um dos vrtices do

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polgono traam-se n 3 diagonais que o decompem em n 2 tringulos cujas reas iS , i 1, 2, ..., n 2,=

constituem uma progresso aritmtica na qual

23

3S cm

2= e 26S 3 cm .= Ento n igual a

a) 22. b) 24. c) 26. d) 28. e) 32. 6. (Cefet MG 2014) No contexto da Geometria Espacial, afirma-se: I. Se uma reta paralela a um plano, ento ela est contida nesse plano. II. Duas retas sem ponto comum so paralelas ou reversas. III. Se dois planos so paralelos, ento toda reta de um deles paralela ao outro. IV. Duas retas distintas paralelas a um plano so paralelas entre si. So corretas apenas as afirmativas a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) II e IV. e) III e IV. 7. (G1 - cftmg 2014) A figura a seguir representa uma cadeira onde o assento um paralelogramo perpendicular ao encosto.

A partir dos pontos dados, correto afirmar que os segmentos de retas a) CD e EF so paralelos. b) BD e FJ so concorrentes. c) AC e CD so coincidentes. d) AB e EI so perpendiculares. 8. (Uece 2014) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexgonos e 12 pentgonos. O nmero de vrtices deste polgono a) 90. b) 72. c) 60.

d) 56. 9. (Uepg 2014) Em um poliedro convexo s h faces triangulares e quadrangulares e apenas ngulos tetradricos e pentadricos. Se esse poliedro tem 15 faces e 12 vrtices, assinale o que for correto. 01) O nmero de arestas 50. 02) O nmero de faces quadrangulares a metade do

nmero de faces triangulares. 04) O nmero de ngulos tetradricos o dobro do

nmero de ngulos pentadricos. 08) A soma dos ngulos das faces igual a 40 retos. 16) O nmero de ngulos tetradricos 5. 10. (Uepb 2014) Uma cisterna de formato cbico cuja rea lateral mede 200m2 tem por volume, aproximadamente: a) 3250 2 m

b) 325 2 m

c) 32500 2 m

d) 3352 2 m

e) 3125 2 m 11. (Ufsc 2014) Assinale a(s) proposio(es) CORRETA(S). 01) No ltimo inverno, nevou em vrios municpios de

Santa Catarina, sendo possvel at montar bonecos de neve. A figura abaixo representa um boneco de neve cuja soma dos raios das esferas que o constituem igual a 70cm. O raio da esfera

menor obtido descontando 60% da medida do raio da esfera maior. Ento, o volume do boneco

de neve considerado igual a 3288 dm .

02) O MMA uma modalidade de luta que mistura

vrias artes marciais. O ringue onde ocorre a luta tem a forma de um prisma octogonal regular. Suas faces laterais so constitudas de uma tela para proteo dos atletas. Se considerarmos a aresta da base com medida igual a 12 m e a altura do

prisma igual a 1,9 m, para cercar esse ringue

seriam necessrios 2182,4 m de tela. 04) Para a festa de aniversrio de sua filha, Dona

Maricota resolveu confeccionar chapus para as crianas. Para tanto, cortou um molde com a

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forma de semicrculo cujo raio mede 20 cm. Ao

montar o molde, com o auxlio de um adesivo, gerou um cone cuja rea lateral igual rea do molde. Dessa forma, a altura desse cone igual a

10 3 cm.

08) Fatos histricos relatam que o cone da

Renascena, Leonardo da Vinci, no sculo XV, idealizou uma espcie de paraquedas. O prottipo teria o formato de uma pirmide regular de base quadrangular, como mostra a figura. Recentemente, recriaram o modelo, construindo uma pirmide com o mesmo formato, cujas arestas medem 6 m. Portanto, para fechar as

laterais, usaram 236 3 m de material.

16) A caamba de um caminho basculante tem a

forma de um paraleleppedo e as dimenses internas da caamba esto descritas na figura.

Uma construtora precisa deslocar 3252 m de terra

de uma obra para outra. Dessa forma, com esse caminho sero necessrias exatamente 24 viagens para realizar esse deslocamento.

12. (Uepa 2014) A natureza uma fonte inesgotvel de comunicao de saberes necessrios sobrevivncia da espcie humana, por exemplo,

estudos de apicultores americanos comprovam que as abelhas constituem uma sociedade organizada e que elas sabem qual o formato do alvolo que comporta a maior quantidade de mel. Texto Adaptado: Contador, Paulo Roberto Martins. A

Matemtica na arte e na vida 2 Ed. rev. So Paulo: Editora Livraria da Fsica, 2011.

Um professor de matemtica, durante uma aula de geometria, apresentou aos alunos 3 pedaos de cartolina, cada um medindo 6 cm de largura e 12 cm de comprimento, divididos em partes iguais, conforme figuras abaixo:

Dobrando os pedaos de cartolina nas posies indicadas, obtemos representaes de prismas retos com as mesmas reas laterais e base triangular, quadrangular e hexagonal. Sendo 3V o volume do

prisma de base triangular, 4V o volume do prisma de

base quadrangular e 6V o volume do prisma de base

hexagonal, correto afirmar que:

Adote: 3 1,7.=

a) 3 6 4V V V .< < b) 3 4 6V V V .< < c) 4 3 6V V V .< < d) 6 3 4V V V .< < e) 6 4 3V V V .< < 13. (Ufrgs 2014) Os vrtices do hexgono sombreado, na figura abaixo, so pontos mdios das arestas de um cubo.

Se o volume do cubo 216, o permetro do hexgono a) 3 2.

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b) 6 2.

c) 9 2.

d) 12 2.

e) 18 2. 14. (Ufpr 2014) As figuras abaixo apresentam um bloco retangular de base quadrada, uma pirmide cuja base um tringulo equiltero, e algumas de suas medidas.

a) Calcule o volume do bloco retangular e a rea da

base da pirmide. b) Qual deve ser a altura da pirmide, para que seu

volume seja igual ao do bloco retangular? 15. (Ufrgs 2014) Na figura abaixo, encontra-se representada a planificao de um slido de base quadrada cujas medidas esto indicadas.

O volume desse slido a) 144. b) 180. c) 216. d) 288. e) 360. 16. (Uneb 2014) A pele o maior rgo de seu corpo, com uma superfcie de at 2 metros quadrados. Ela tem duas camadas principais: a epiderme, externa, e a derme, interna.

(BREWER. 2013, p. 72). De acordo com o texto, a superfcie mxima coberta pela pele humana equivalente a de um cubo cuja diagonal, em m, igual a

a) 1

3

b) 3

3

c) 3

2

d) 1 e) 3 17. (Espm 2014) No slido representado abaixo, sabe-se que as faces ABCD e BCFE so retngulos

de reas 26cm e 210cm , respectivamente.

O volume desse slido de: a) 8 cm3 b) 10 cm3 c) 12 cm3 d) 16 cm3 e) 24 cm3 18. (Udesc 2014) Um bloco slido de pedra com forma de paraleleppedo retngulo de 12 metros de altura, 10 de largura e 4 metros de profundidade demarcado de forma a ser dividido em 30 paraleleppedos iguais e numerados, conforme mostra a figura.

Se forem extrados os paraleleppedos de nmero 7, 9, 12 e 20, ento a nova rea superficial do bloco ser

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de: a) 480 m2 b) 104 m2 c) 376 m2 d) 488 m2 e) 416 m2 19. (Ufg 2014) O projeto Icedream uma iniciativa que tem como meta levar um iceberg das regies geladas para abastecer a sede de pases ridos. A ideia do projeto amarrar a um iceberg tabular uma cinta e reboc-lo com um navio. A figura a seguir representa a forma que o iceberg tem no momento em que amarrada cinta para reboc-lo.

Considerando que o iceberg formado somente por gua potvel e que, aps o deslocamento, 10% do volume do bloco foi perdido, determine qual a quantidade de gua obtida transportando-se um iceberg com as dimenses, em metros, indicadas na figura apresentada. 20. (Ufrgs 2014) No cubo de aresta 10, da figura abaixo, encontra-se representado um slido sombreado com as alturas indicadas no desenho.

O volume do slido sombreado a) 300. b) 350. c) 500. d) 600. e) 700. 21. (Fgv 2014) Uma piscina vazia, com formato de paraleleppedo reto retngulo, tem comprimento de 10m, largura igual a 5m e altura de 2m. Ela preenchida com gua a uma vazo de 5.000 litros por hora.

Aps trs horas e meia do incio do preenchimento, a altura da gua na piscina atingiu: a) 25cm b) 27,5cm c) 30 cm d) 32,5 cm e) 35 cm 22. (Upf 2014) As quatro faces do tetraedro ABCD so tringulos equilteros. M o ponto mdio da aresta AB:

O tringulo MCD : a) escaleno. b) retngulo em C. c) equiltero. d) obtusngulo. e) estritamente issceles. 23. (Uece 2014) Sejam X, Y e Z trs pontos fixos distintos e no colineares, e P um ponto do espao, vrtice de uma pirmide cuja base o tringulo XYZ e cuja medida do seu volume 3 m3. O conjunto de todos os pontos P que cumprem esta condio formado por a) duas retas paralelas. b) um plano. c) dois planos. d) exatamente dois pontos. 24. (Uepa 2014) As pirmides comunicam, ainda hoje, os valores culturais de uma das civilizaes mais intrigantes da humanidade. Foram construdas para a preservao do corpo do fara. De acordo com a lenda de Herdoto, as grandes pirmides foram construdas de tal modo que a rea da face era igual ao quadrado da altura da pirmide. Texto Adaptado: Contador, Paulo Roberto Martins. A

Matemtica na arte e na vida 2 Ed. rev. So Paulo: Editora Livraria da Fsica, 2011.

Considere a pirmide de base quadrada, cujo lado mede 2a, a altura H e altura da face h, construda

segundo a lenda de Herdoto. Se S expressa a rea da face da pirmide, ento correto afirmar que: a) ( )( )S a h a h .= + b) ( )( )S h a h a .= +

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c) ( )2S a h .= +

d) ( )2S h a .= e) 2 2S a h .= 25. (Ufpr 2014) Um cilindro de raio r est inscrito em uma esfera de raio 5, como indica a figura abaixo.

Obtenha o maior valor de x, de modo que o volume desse cilindro seja igual a 72 . a) 13 2. b) 3. c) 3 2. d) 2 5. e) 4. 26. (Uemg 2014) Uma empresa de produtos de limpeza deseja fabricar uma embalagem com tampa para seu produto. Foram apresentados dois tipos de embalagens com volumes iguais. A primeira um cilindro de raio da base igual a 2 cm e altura igual a 10 cm; e a segunda, um paraleleppedo de dimenses iguais a 4 cm, 5 cm e 6 cm. O metro quadrado do material utilizado na fabricao das embalagens custa R$ 25,00. Considerando-se 3, = o valor da embalagem que ter o menor custo ser a) R$ 0,36. b) R$ 0,27. c) R$ 0,54. d) R$ 0,41. 27. (Upe 2014) Um torneiro mecnico construiu uma pea retirando, de um cilindro metlico macio, uma forma cnica, de acordo com a figura 01 a seguir: Considere 3

Qual o volume aproximado da pea em milmetros cbicos? a) 52,16 10

b) 47,2 10

c) 52,8 10

d) 48,32 10

e) 53,14 10 28. (Ufsm 2014) Uma alternativa encontrada para a melhoria da circulao em grandes cidades e em rodovias a construo de tneis. A realizao dessas obras envolve muita cincia e tecnologia. Um tnel em formato semicircular, destinado ao transporte rodovirio, tem as dimenses conforme a figura a seguir.

Qual o volume, em 3m , no interior desse tnel? a) 4.800 . b) 7.200 . c) 14.400 . d) 28.800 . e) 57.600 . 29. (Acafe 2014) Um tubo cilndrico reto de volume

3128 cm , contm oito bolinhas de tnis de mesa

congruentes entre si e tangentes externamente.

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Sabendo que o cilindro est circunscrito reunio dessas bolinhas, o percentual do volume ocupado pelas bolinhas dentro do tubo , aproximadamente, de: a) 75. b) 50. c) 33. d) 66. 30. (Uel 2014) No Paran, a situao do saneamento pblico preocupante, j que o ndice de tratamento de esgoto de apenas 53%, ou seja, quase metade das residncias no Estado ainda joga esgoto em fossas. Jos possui, em sua residncia, uma fossa sanitria de forma cilndrica, com raio de 1 metro e profundidade de 3 metros. Supondo que Jos queira aumentar em 40% o volume de sua fossa, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, de quanto o raio deve ser aumentado percentualmente.

Dado: 1,4 1,183= a) 11,8% b) 14,0% c) 18,3% d) 60,0% e) 71,2%

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Resoluo das Questes Resposta da questo 1: [A] Volume do cilindro: V Volume do leo no cone no momento considerado: Vi Da, temos:

3

ii

HV V2 VV H 8

= =

Portanto, o volume que estar no cilindro no instante

considerado ser: V 7V

V ,8 8

= ou seja, 87,5% do

volume do cilindro, portanto a alternativa [A] mais adequada. Resposta da questo 2: [D] Considerando O o centro da esfera, temos:

No tringulo AOD, temos:

2 2 2AD 1 3 AD 8cm+ = =

8 1 4ADO ABC r cm

4 r 8 = =

Portanto, o volume V do cone ser dado por:

22 31 1 4 8V R h 4 cm

3 3 38

= = =

Resposta da questo 3: [A] Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do cone semelhante ao cone de altura 24cm e altura 3cm. Logo, temos

r 3 h

r .h 24 8= =

O volume desse cone dado por

2 331 h hV h cm .

3 8 64

=

Por outro lado, como a vazo da torneira igual a

31cm s, segue-se que

3V 1 t t cm ,= =

com t em segundos. Em consequncia, encontramos

33h t h 4 t cm.

64= =

Resposta da questo 4: 01 + 02 + 04 + 08 = 15. Sejam a, b e c as dimenses do paraleleppedo

retngulo. Tem-se que

a ka b c

k b 2k ,1 2 3

c 3k

=

= = = =

=

com k sendo um nmero real positivo.

Desde que a rea total igual a 2198cm , vem

2

2(ab ac bc) 198 k 2k k 3k 2k 3k 99

k 9

k 3.

+ + = + + =

=

=

Por conseguinte, encontramos a 3cm, b 6cm= = e

c 9cm.= [01] Correto. O volume do paraleleppedo vale

3a b c 3 6 9 162cm . = = [02] Correto. As dimenses formam uma progresso

aritmtica com primeiro termo igual a 3 e razo igual a 3.

[04] Correto. A soma das medidas de todas as arestas igual a

4(a b c) 4(3 6 9)

72cm.

+ + = + +

=

[08] Correto. A diagonal do paraleleppedo mede

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2 2 2 2 2 2a b c 3 6 9

126 cm.

+ + = + +

=

Portanto, temos 126 cm 121cm 11cm.> = Resposta da questo 5: [C] Se a altura da pirmide mede 1cm e seu volume

350cm , ento a rea da base tal que

n 2 n 22

i ii 1 i 1

150 S 1 S 150cm .

3

= =

= = Alm disso, temos

6 3

2

3S S 3 r 3 3 r

21

r cm .2

= + = +

=

Logo,

3 1 1

21

3 1S S 2 r S 2

2 21

S cm .2

= + = +

=

Por conseguinte, o valor de n n 2

1i 1

2

n 2 1 1 n 2Si [2 S (n 3) r] 150 2 (n 3)

2 2 2 2

(n 1) (n 2) 600

n 3n 598 0

n 26.

=

= + = +

=

=

=

Resposta da questo 6: [C] [I] Incorreta. Uma reta paralela a um plano se, e

somente se, eles no tm ponto em comum. [II] Correta. Duas retas distintas sem ponto comum so paralelas ou reversas. [III] Correta. Considerando e dois planos distintos

paralelos e uma reta r , segue-se que r , = o que implica em r .

[IV] Incorreta. Duas retas distintas paralelas a um plano podem ser concorrentes. Resposta da questo 7: [A] Como CDEF paralelogramo, segue-se que CD EF.

Resposta da questo 8: [C] F: nmero de faces A: nmero de arestas V: nmero de vrtices

20 6 12 5A 90

2

+ = =

F = 32 V = 2 + A F V = 2 + 90 32 V = 60. Resposta da questo 9: 02 + 08 = 10. [01] Incorreto. Pela Relao de Euler, temos

V F A 2 12 15 A 2

A 25.

+ = + + = +

=

[02] Correto. Sejam 3F e 4F , respectivamente, o

nmero de faces triangulares e o nmero de faces quadrangulares. Logo, tem-se 3 43F 4F 2A+ = e

3 4F F 15.+ = Portanto, como A 25,= segue que

3F 10= e 4F 5,= o que implica em 3

4F

F .2

=

[04] Incorreto. Sabendo que em cada ngulo

tetradrico concorrem 4 arestas, e que em cada ngulo pentadrico concorrem 5 arestas, temos 4T 5P 2A+ = e T P 12,+ = sendo T e P, respectivamente, o nmero de ngulos tetradricos e o nmero de ngulos pentadricos. Desse modo, obtemos T 10= e P 2.= Agora, fcil ver que T 5P.=

[08] Correto. Lembrando que a soma dos ngulos

internos das faces igual a (V 2) 4r, com V

sendo o nmero de vrtices do poliedro e r 90 ,= temos (12 2) 4r 40r. =

[16] Incorreto. Do item [04], sabemos que o nmero de ngulos tetradricos igual a 10. Resposta da questo 10: [A] Considerando a a medida da aresta da cisterna:

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2 24 a 200 a 50 a 5 2m = = =

Calculando, agora, o volume V da cisterna, temos:

( )33 3V a 5 2 250 2 m= = = Resposta da questo 11: 02 + 04 + 08 = 14. [01] Incorreto. Sendo R o raio da esfera maior e r o

raio da esfera menor, temos R r 7dm+ = e r 0,4 R.= Da, segue que R 5dm= e r 2dm.= Portanto, o volume do boneco de neve igual a

3 3 34 532(5 2 ) dm .3 3

+ =

[02] Correto. Sero necessrios 28 12 1,9 182,4 m = de tela para cercar o ringue.

[04] Correto. A rea lateral do cone igual a

2 220 200 cm .2

= Logo, se r o raio da base

do cone, segue que r 20 200 r 10cm. = =

Portanto, considerando o tringulo retngulo cujos lados so a geratriz, a altura h e o raio r da base do cone, pelo Teorema de Pitgoras, vem

2 2h 20 10 10 3 cm.= =

[08] Correto. A rea lateral da pirmide igual a 2

26 34 36 3 m .4

=

[16] Incorreto. Sero necessrias 252

251,2 3,5 2,4

=

viagens para realizar o deslocamento. Resposta da questo 12: [B] Tem-se que

23

34 3

V 6 40,8cm ,4

=

e

23

63 2 3

V 6 61,2cm .2

=

Portanto, conclui-se que 3 4 6V V V .< < Resposta da questo 13: [E]

Sendo x a medida da aresta do cubo, temos:

3x 216 x 6.= = Sendo a o lado do hexgono e P seu permetro, temos:

2 2 2a 3 3 2a 3= + = e P 6a 18 2.= = Resposta da questo 14: a) O volume do bloco retangular igual a 4 4 8 128 u.v. =

A rea da base da pirmide dada por 28 3

16 3 u.a.4

=

b) Para que o volume da pirmide seja igual ao do

bloco retangular, sua altura h deve ser tal que 1 24

16 3 h 128 h3 3

h 8 3 u.c.

= =

=

Resposta da questo 15: [A]

O slido formado ser um prisma de base triangular. Determinando o valor de x, temos:

2 2 2x 6 10 x 8.+ = = Portanto, o volume V do slido ser dado por:

b8 6

V A h 6 1442

= = =

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Resposta da questo 16: [D]

Considerando a a medida da aresta do cubo e d a medida de sua diagonal, temos:

2 2 1 16 a 2 a a3 3

1d a 3 3 1m.

3

= = =

= = =

Resposta da questo 17: [C] Temos

(ABCD) AB BC AB 2 6

AB 3cm

= =

=

e

(BCFE) BC BE 2 BE 10

BE 5cm.

= =

=

Logo, aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo

ABE, obtemos AE 4cm.= Por conseguinte, o resultado pedido

3AB AE 3 4BC 2 12cm .2 2

= =

Resposta da questo 18: [A] Sendo a 10 m,= b 4 m= e c 12 m= as dimenses do

bloco, tem-se que sua rea total

t

2

A 2 (a b a c b c)

2 (10 4 10 12 4 12)

416 m .

= + +

= + +

=

Cada um dos 30 paraleleppedos obtidos a partir do bloco tem dimenses

iguais a 10

2 m,5

= 4 m e 12

2 m,6

=

conforme a figura.

Chamando as reas das faces de x e de y, segue-se

que 2 2x 2 4 m= = e 2y 2 4 8 m .= =

Portanto, extraindo-se os paraleleppedos 7, 9, 12 e 20, tem-se que a nova rea superficial do bloco ser igual a

2

416 13y (8x y) 416 12y 8x

416 12 8 8 4

480 m .

+ + = +

= +

=

Resposta da questo 19: A quantidade de gua obtida dada por

356 160,9 12 18 56 (52 18) 12 24.105,6 m .2

+ + =

Resposta da questo 20: [C] O slido sombreado um prisma de base trapezoidal. Portanto, seu volume V ser dado por:

b(7 3) 10

V A h 10 5002

+ = = =

Resposta da questo 21: [E] O volume de gua despejado na piscina aps trs horas e meia igual a 3,5 5000 17.500 = litros. Portanto, a altura h atingida pela gua tal que 10 5 h 17,5 h 0,35 m 35cm. = = = Resposta da questo 22: [E] Seja l a medida da aresta do tetraedro ABCD.

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Desde que os tringulos ABC e ABD so equilteros, e M o ponto mdio de AB, tem-se que

3CM DM .

2= =

l Da, sendo CD ,= l conclumos que

2 2

2 2 2 2

22

3 3CD CM DM

2 2

3,

2

< + < +