Generalitat de Catalunya El nombre Departament d’Educació ...ccubas/2n ESO/Nombre pi/08-09 nombre...

Generalitat de Catalunya El nombre ππππ Departament d’Educació Departament de Matemàtiques. Curs 2008-2009 SES Pla Marcell


Full de treball A: Què és el nombre ππππ

A.1 Escriu una definició, amb les teves paraules de circumferència , radi , diàmetre i cercle .

A.2 Llegiu algunes definicions dels diferents companys de la classe i trieu la que més us agradi de cada una de les paraules anteriors. Escriu al dossier aquestes noves definicions fetes entre tots.

A.3 Busqueu a la xarxa les paraules anteriors i copia la definició al teu dossier només si t’agrada més que la que ja tens.

A.4 Suposa que vols enjardinar diverses zones del pati del SES de forma circular. Feu grups de 4 persones i que cada grup faci un cercle al pati utilitzant un parell de claus grans i un cordill. Una vegada fet això:

a) Mesureu el diàmetre del cercle. b) Mesureu la longitud de la circumferència. Heu d’intentar posar un

cordill al llarg de la circumferència i mesurar-lo. c) Feu la divisió longitud/diàmetre. d) Consulta el resultat al teus companys i anota el valor de cada cercle

que heu dibuixat al teu dossier a una taula semblant a aquesta:

Grup Perímetre (L) Diàmetre (d) L/d

A.5 Mesura el perímetre dels cercles que apareixen en objectes diferents del teu voltant (monedes, capses rodones, llaunes .....) utilitzant un cordill o fent-lo rodar. Mesura també el diàmetre i disposa les dades en una taula semblant a l’anterior:

Objecte Perímetre (L) Diàmetre (d) L/d

a) Compara els resultats que has trobat a l’ultima columna L/d amb el

que vau trobar a l’exercici que vam fer al pati. Què observes? b) Creus que sempre que dividim la longitud de la circumferència entre

el seu diàmetre obtenim el mateix resultat?

diàmetre


A.6 El valor que has trobat s’anomena Pi i s’acostuma a escriure utilitzant la lletra grega π. (A l’ordinador es pot escriure amb el tipus de lletra Symbol, teclejant la lletra p)

a) Cada un dels valors que has obtingut és una mica diferent. Per millorar la valor de π, calcula la mitjana de tots els quocients L/d que has obtingut. Anota el resultat

b) Busca a la teva calculadora aquesta tecla, prem-la i anota a continuació el valor que apareix a la pantalla.

c) Quina és la diferència entre els dos valors anteriors? Per què creus que es produeix aquesta diferència?

A.7 En Bart havia de fer per deures l’exercici A.5, ha mesurat tots els diàmetres i s’ha cansat de mesurar els perímetres així que s’ha inventat alguna de les dades. Imagina que ets el professor i el vols enxampar. Quines son les dades inventades i per què?

Objecte Perímetre (L) Diàmetre (d) L/d

Plat 74,6 cm 19 cm 3,14

Tapa olla 109,3 cm 27 cm 4.05

Roda bicicleta 171,7 cm 54 cm 3.18

Tapa pot 37,9 cm 12,2 cm 2,24

A.8 La Lissa sempre fa els deures però ahir es trobava malament i va decidir inventar-se l’exercici A.5 però volia fer-ho e manera que no es notés, va mesurar els diàmetres (que és molt fàcil de fer) i es volia “inventar-se” els perímetres calculant el que hauria de donar. Explica com ho podria fer la Lissa i omple la taula següent:

Perímetre (L) Objecte operació resultat

Diàmetre (d) L/d

Plat gran = 26 cm

Got = 8 cm

CD = 12 cm

Plat postres = 20 cm


A.9 Rod Flanders és una mica distret i no ha entès bé què s’havia de fer, la qüestió és que ha mesurat sols la longitud de la circumferència (L) i no ha mesurat el diàmetre. En arribar a l’institut la Lissa li ha dit que ompli corrents el que li falta calculant-ho. Explica com pot calcular el diàmetre i completa la taula següent:

Diàmetre (d) Objecte Perímetre (L) operació resultat

L/d

Paella 113 cm =

Got 25,1 cm =

Rodet de fil 18,8 cm =

Tapa nesquik 44 cm =

A.10 Recorda que utilitzem les lletres següents:

• L = longitud o perímetre del cercle

• d = diàmetre

• r = radi Hem vist que si dividim la Longitud entre el diàmetre de qualsevol circumferència ens dona sempre el mateix valor π = 3,141592654.... , es a dir:

O el que és el mateix r

L

2=π ja que dos radis fan un

diàmetre

a) Tenint en comte que ja sabem que π = 3,141592654.... explica com podem calcular el perímetre si mesurem només el diàmetre.

b) Escriu la fórmula de l’apartat anterior (amb la que es calculi el perímetre a partir del diàmetre)

c) Escriu la fórmula si el que hem mesurat és el radi. d) Imagina ara que només hem mesurat el perímetre. Com pots

calcular el diàmetre. Escriu la fórmula e) Escriu la fórmula si els que volem calcular és el radi

d

L=π


Full de treball B: ππππ també serveix per calcular l’àrea del cercle El nombre π és la relació entre la longitud (perímetre) i diàme tre d’una cercle però també ens interessa calcular la superfície interior és a dir l’àrea de la circumferència. Anem a veure que el nombre π també ens ajudarà a calcular-la.

B.1 Dibuixa amb el compàs una circumferència al següent paper quadriculat. Vigila que el teu company de taula faci una circumferència de diferent grandària

a) Quin és el radi de la circumferència que has dibuixat? b) Conta quants quadradets han quedat tancats dins del teu cercle c) Omple una taula semblant a aquesta al teu dossier amb el teu

resultat i el de 4 dels teus companys que hagin fet una circumferència diferent.

Radi (r) en mm Superfície (A) en mm 2 2r

A

B.2 Quin valor surt a la última columna?


B.3 Fermat tenia 9 anys al 1.610 quan el seu professor tenia ganes de llegir el diari una estona i va demanar als alumnes que sumessin tots els nombres des de l’1 fins al 100 pensant que estarien molta estona i, així, podria llegir el diari tranquil·lament. El petit Fermat va trigar 3 segons en donar-li la resposta amb un “truquet” que el teu professor/a et pot explicar si li preguntes. Ara el teu professor/a també te ganes de llegir el diari i et demana la feina següent: dibuixa cercles de 8, 10, 13, 17 i 23 cm de radi sobre de papers mil·limetrat i conta quants quadradets d’un centímetre hi ha dins. Juga a ser Fermat i calcula la quantitat de quadradets amb pocs segons sense dibuixar els cercles i, així, no deixaràs llegir el diari al teu professor/a. Explica com ho fas. Anota el resultat en forma de taula al teu dossier:

Radi (r) en cm Operació que cal fer Superfície (A) en cm2 8

10

13

17

23

B.4 Escriu la fórmula que permet calcular l’àrea (A) a partir del radi (r) B.5 En Milhouse Van Houten (ja saps, el millor amic de Bart) vol comprar un mirall rodo de 50 cm de radi per a la seva habitació. Sap que el marc del mirall costa a 15 €/m i que el vidre de mirall costa a 47 € el m2 (independentment de la seva forma)

a) Quina serà la longitud total del marc del mirall? b) Quin serà el preu del marc? c) Quina serà la superfície del mirall? d) Quin serà el preu del vidre del mirall? e) Quin serà el preu total del mirall amb el marc?

B.6 1r TREBALL PER LLIURAR AL PROFESOR/A: Elabora un document writter amb tots els conceptes que has treballat als fulls de treball A i B. Aquest document ha de tenir les definicions amb dibuixos i fórmules. Cal enviar-ho per mail al teu professor/a. Acorda amb ell quin és el últim dia de lliurament.


Full de treball C: Història del nombre π “Deu va fer un Mar en un dipòsit cilíndric metàl·lic que tenia 10 colzes de vora a vora; era totalment rodó i de 5 colzes d’altura; l’envoltava totalment un cordó de trenta colzes” (Reis 7, 23) Aquest passatge bíblic és una de les primeres vegades a la història que l’home ha donat un valor de ππππ. Cal recordar que ππππ no és cap invent estrany, no és més que la proporció (raó) entre el perímetre i el diàmetre d’un cercle. La versió bíblica de ππππ és, per tant,

310

30 ===colzes

colzes

diàmetre

perímetreπ

Històricament, molta gent han estat cremats a la foguera pels cristians per atrevir-se a contradir la Bíblia. Avui dia, encara hi ha gent que deixa morir els seus fills interpretant al peu de la lletra passatges bíblics. Pot ser ells volen creure que ππππ val 3 però nosaltres sabem que no és així. Un antiquari anomenat Rhind va trobar un papir egipci fet 3000 anys abans de Crist. En aquest papir ja es millora la versió bíblica de ππππ donant el valor:

Un dels genis més gran pel que fa a la recerca del veritable valor de ππππ va ser Arquímedes (287-212 a. de C.). Ell va pensar que en comptes de calcular la raó entre el perímetre d’un cercle i el seu diàmetre, podia calcular una aproximació que consistia en mesurar la raó entre el perímetre d’un polígon regular inscrit i la seva diagonal.

La genialitat d’Arquímedes va consistir en desenvolupar una tècnica que li permetia utilitzar polígons de 96 costats! Així va poder afirmar que ππππ havia de ser una mica més gran que 3,1409...

Arquimedes, de fet, va encetar la carrera a la història de la recerca de més i més decimals de ππππ.

El següent que ho va intentar va ser Tolomeu, matemàtic i astrònom de l’any 150. Tolomeu va utilitzar la mateixa tècnica que Arquímedes però ara utilitzava polígons de 360 costat. Amb això ππππ s’havia d’apropar a 3,1416.

En els segles següents els avanços en el càlcul del nombre ππππ es van fer fora d’Europa, així a l’any 480 el xinès Tsu Ch’ung-chih va trobar que ππππ= 355/113 = 3,14159292 i l’any 1150 el matemàtic hindú Bhâskara recomana el valor ππππ = 3927/1250 = 3,1416.

...1604938,381

256

3

44

==

=π

Generalitat de Catalunya El nombre ππππ Departament d’Educació Departament de Matemàtiques. Curs 2008-2009 SES Pla Marcell Quan Europa va ser capaç de sortir dels anys d’estancament, es van accelerar els descobriments. Al 1580, un matemàtic francès va utilitzar el mètode d’Arquìmedes amb 393.216 costats i així obtenia el valor de ππππ amb 9 xifres decimals correctes, però sobre el 1650 Ludolph van Ceulen va estar uns quants anys fent els càlculs amb polígons de 4.610.000.000.000.000.000 costats i va arribar a aconseguir 35 xifres decimals de ππππ.

Era pràcticament impossible augmentar a més polígons la tècnica d’Arquímedes i tot feia pensar que el problema ja era tancat quan l’any 1660 Isaac Newton i Wilheim Leibnitz van desenvolupar una tècnica totalment nova basat el nou càlcul diferencial.

Amb aquesta nova tècnica aconseguien series infinites de nombres que en sumar-los podien aproximar-se tant com volien a ππππ. El primer intent d’utilitzar aquesta tècnica va ser un fracàs ja que sabien:

−+−+−+−+−+−= .....21

1

19

1

17

1

15

1

13

1

11

1

9

1

7

1

5

1

3

114π

però desprès de sumar 150 d’aquestes fraccions sols van arribar al nombre 3,1349 i ho van deixar quan es van adonar que per arribar a 100 xifres correctes haurien de sumar 1049 termes, o sigui 100.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000 termes i això era del tot impossible tenint en compte que feien les sumes amb llapis i paper. Per sort, Abraham Sharp va trobar una sèrie que s’apropava molt més ràpidament al nombre ππππ i va aconseguir 71 xifres decimals l’any 1699 i, amb una sèrie similar, John Machin va arribar a les 100 xifres l’any 1706. Arribat aquest punt els matemàtics començaven a dubtar que mai arribarien a tenir totes les xifres de ππππ quan Johan Heinrich Lambert va descobrir al 1767 que ππππ era irracional , és a dir, té infinites xifres decimals sense repetir-se periòdicament. Per més xifres que puguem trobar sols serien una quantitat insignificant i mai podríem trobar-les totes.

Amb aquest darrer descobriment i les 100 xifres de ππππ els matemàtics s’havien conformat i semblava que ara si que el problema s’havia acabat. Però desprès de 20 anys de càlculs, William Shanks va arribar a les 707 xifres l’any 1873. L’any 1912 a l’Índia hi havia un jove aficionat a les matemàtiques anomenat Ramanujan. Tant era la seva obsessió per les matemàtiques que no estudiava altres assignatures i va suspendre els exàmens dels cursos que feia i va d’haver de deixar els estudis.

Pobre i sense llibres, va continuar inventant-se coses de matemàtiques tot sol. Desprès d’un temps va enviar els seus descobriments a Hardy, un matemàtic angles.

Generalitat de Catalunya El nombre ππππ Departament d’Educació Departament de Matemàtiques. Curs 2008-2009 SES Pla Marcell Hardy va mirar els fulls per sobre i els va llençar a la paperera pensant que eren bajanades. Aquella nit, tot dormint, li van venir al cap les fórmules que havia fullejat i es va adonar que les fórmules havien de ser correctes. Es va aixecar d’un bot i va anar corrents al despatx de la universitat trobant encara els fulls a la paperera. En aquests fulls va trobar unes fórmules que permetien trobar moltes xifres de ππππ amb poques operacions.

Amb aquestes fórmules, Ferguson, un matemàtic anglès, es va entretenir a comprovar els càlculs de Shanks i l’any 1946 va trobar un error a la xifra 527, els va corregir i va arribar a la xifra 710. L’any següent l’americà Wrench va arribar a la xifra 808 però l’incansable Ferguson les va repassar i va trobar un error a la xifra 723, corregint l’error i arribant correctament a la 808.

L’any 1949 a la ciutat de Los Àngeles van construir l’ordinador ENIAC. Ocupava un edifici sencer i en engegar-la s’apagaven les llums de la ciutat. Amb aquesta computadora van arribar a la xifra 2037. A partir d’aquest moment la carrera del desenvolupament i millora dels ordinadors ha anat donant més i més xifres de ππππ, al 1959 eren 16.000 i al 1966 ja eren 250.000 xifres.

És difícil dir quantes xifres hi ha a l’actualitat, per què en el temps que passa entre que jo estic escrivint aquest full i tu l’estàs llegint segur que les dades ja són antiquades. Només donaré un parell de referències relativament recents. L’any 1996 Yasumasa Kanada de la universitat de Tokio havia trobat 6.000.000 xifres i l’any següent els germans Chudnowsky de la universitat de Nova York ja en tenien 8.000.000.000.

Així i tot recorda que encara que omplim tot l’univers de fulls de paper plens de xifres de ππππ amb la lletra més petita possible sols tindríem una part insignificant de les xifres que te ππππ.

A continuació en tens unes quantes: ππππ =

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609


631859502445945534690830264252230825334468503526193118817101000313783875288658753320838142061717766914730359825349042875546873115956286388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590921642019893809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151557485724245415069595082953311686172785588907509838175463746493931925506040092770167113900984882401285836160356370766010471018194295559619894676783744944825537977472684710404753464620804668425906949129331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279678235478163600934172164121992458631503028618297455570674983850549458858692699569092721079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775356636980742654252786255181841757467289097777279380008164706001614524919217321721477235014144197356854816136115735255213347574184946843852332390739414333454776241686251898356948556209921922218427255025425688767179049460165346680498862723279178608578438382796797668145410095388378636095068006422512520511739298489608412848862694560424196528502221066118630674427862203919494504712371378696095636437191728746776465757396241389086583264599581339047802759009946576407895126946839835259570982582262052248940772671947826848260147699090264013639443745530506820349625245174939965143142980919065925093722169646151570985838741059788595977297549893016175392846813826868386894277415599185592524595395943104997252468084598727364469584865383673622262609912460805124388439045124413654976278079771569143599770012961608944169486855584840635342207222582848864815845602850601684273945226746767889525213852254995466672782398645659611635488623057745649803559363456817432411251507606947945109659609402522887971089314566913686722874894056010150330861792868092087476091782493858900971490967598526136554978189312978482168299894872265880485756401427047755513237964145152374623436454285844479526586782105114135473573952311342716610213596953623144295248493718711014576540359027993440374200731057853906219838744780847848968332144571386875194350643021845319104848100537061468067491927819119793995206141966342875444064374512371819217999839101591956181467514269123974894090718649423196156794520809514655022523160388193014209376213785595663893778708303906979207734672218256259966150142150306803844773454920260541466592520149744285073251866600213243408819071048633173464965145390579626856100550810665879699816357473638405257145910289706414011097120628043903975951567715770042033786993600723055876317635942187312514712053292819182618612586732157919841484882916447060957527069572209175671167229109816909152801735067127485832228718352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412671113699086585163983150197016515116851714376576183515565088490998985998238734552833163550764791853589322618548963213293308985706420467525907091548141654985946163718027098199430992448895757128289059232332609729971208443357326548938239119325974636673058360414281388303203824903758985243744170291327656180937734440307074692112019130203303801976211011004492932151608424448596376698389522868478312355265821314495768572624334418930396864262434107732269780280731891544110104468232527162010526522721116603966655730925471105578537634668206531098965269186205647693125705863566201855810072936065987648611791045334885034611365768675324944166803962657978771855608455296541266540853061434443185867697514566140680070023787765913440171274947042056223053899456131407112700040785473326993908145466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679545716377525420211495576158140025012622859413021647..............................................

C.1 Llegeix amb atenció el text anterior i omple al teu dossier una taula semblant com aquesta: Autor Any Tècnica utilitzada Xifres decimals obtingudes


Full de treball D: Fem d’Arquímedes amb l’ordinador La lectura anterior sorprèn, però, tot i així, no som del tot conscients del mèrit tant gran que va tenir trobar tantes xifres decimals de ππππ disposant sols de llapis i paper. A continuació aplicarem la tècnica d’aproximar ππππ amb polígons regulars, inventada per Arquímedes, però amb l’ordinador. Per a fer-ho hem d’aprendre a fer servir un programa informàtic anomenat GEOGEBRA que et permetrà fer construccions geomètriques a la pantalla de l’ordinador. El GeoGebra és un programa que es pot descarregar d’Internet de manera gratuïta. També es pot executar directament des d’Internet sense necessitat d’instal·lació. (http://www.geogebra.org/cms/)

Ja sabem que ππππ és la raó entre la longitud (o perímetre) d’una circumferència i el seu diàmetre. Al començament del tema, hem construït al pati del SES circumferències grans i hem comprovat la dificultat de mesurar amb total precisió el seu perímetre. Aquesta dificultat ve donada per ser una corba. En canvi, en un polígon és molt fàcil mesurar el seu perímetre, ja que els costats són segments.

Arquímedes va pensar que si inscrivia polígons regulars dins d’una circumferència el perímetre dels polígons s’aniria aproximant al perímetre de la circumferència en la mesura que més costats tingues els polígons.

Fixa`t a la figura del costat i pots intuir que el perímetre del quadrat és més semblant a la longitud de la circumferència que el perímetre del triangle. I el perímetre del hexàgon encara més, i el del octògon encara més, i així successivament...

Arquímedes va inscriure un polígon de 96 !!!!! costats només amb llapis i compàs. Així, va poder afirmar que ππππ havia de ser una mica més gran que 3,1409...

Nosaltres, per conèixer cada vegada amb més precisió la longitud d’una circumferència de radi 5 unitats, volem inscriure polígons regulars de diferent nombre de costats dins d’ella. Coneixent el perímetre dels polígons regulars, ens aproximarem al valor exacte de la longitud de la circumferència.


Primer dibuixarem un triangle equilàter inscrit a la circumferència de radi 5 unitats. Serà una aproximació força dolenta de la longitud de la circumferència.

Per fer-ho amb el programa GEOGEBRA has de seguir els següents quatre passos:

1) Dibuixar una circumferència de radi 5 .

Per això fes clic a la fletxa que hi ha al vèrtex inferior dreta de la icona “CIRCUMFERÈNCIA” i selecciona “CIRCUMFERÈNCIA DONATS EL CENTRE I EL RADI” , fes clic allà a on vols la circumferència i segueix les instruccions.

2) Dibuixar un radi de la circumferència.

Selecciona l’opció “NOU PUNT” i fes clic en qualsevol punt de la circumferència. Apareixerà marcat un punt. Selecciona, ara, l’opció “SEGMENT ENTRE DOS PUNTS” i uneix el centre de la circumferència amb el punt que acabes de dibuixar.

3) Situar els tres vèrtex del triangle equilàter. Si volem dibuixar un triangle equilàter haurem de trobar el tres vèrtex del triangle. Ja tenim el primer, B. Per trobar el segon, C, pensa que tota una volta sencera son 360º per tant els tres radis que van als vèrtexs, formaran entre sí angles de 360/3 = 120º. Fes clic a sota a la dreta a la a la icona “ANGLE” i selecciona “ANGLE AMB AMPLITUD DONADA”. Fes clic sobre el punt B i desprès sobre l’A i segueix les instruccions. (vigila no esborris la el símbol “º” de graus) Una vegada trobat el vèrtex C del triangle, repetirem el mateix procés per trobar el vèrtex D.


4) Dibuixar el triangle equilàter inscrit.

Amb els tres vèrtexs construïm el triangle amb l’opció “POLÍGON” i clicant sobre els tres vèrtex.

El programa geogebra no només fa els dibuixos de manera precisa, si no que també ens dona les mides amb molta exactitud. Si vols conèixer les mides del triangle dibuixat, activa-les amb la opció “visualita” i “finestra algebraica” amb el resultat: Així, tenim que l’àrea del triangle equilàter inscrit a una circumferència de radi 5 unitats és de 32.48 unitats2, que el perímetre és de 3*8.66=25.98 unitats i que els tres angles centrals són de 120º. D’aquesta manera, hem trobat una primera aproximació a l’àrea del cercle i al perímetre de la circumferència de radi 5 unitats.

Àrea del polígon

Longitud dels costats

Amplitud dels angles

Generalitat de Catalunya El nombre ππππ Departament d’Educació Departament de Matemàtiques. Curs 2008-2009 SES Pla Marcell Si volem millorar aquesta aproximació hem de dibuixar un polígon de 4 costats, desprès un altre de 5 costats i així successivament. Fixa’t que l’únic pas diferent quan vols construir un quadrat inscrit, esta en el càlcul del angle central. Per un polígon de quatre costats hauras de calcular l’angle central 360/4 = 90 º, i trobar els 4 vèrtex abans de dibuixar el quadrat; i, en general, si hem de dibuixar un polígon regular de n costats haurem de fer 360/n i trobar els n vèrtex abans de dibuixar el polígon.

D.1 Completeu finalment entre tota la classe la taula pels diferents polígons (el professor/a us repartirà un parell de polígons per ordinador)

D.2 Contesta les preguntes següents: a) A mesura que augmenta el nº de costats, què li passa a l’amplitud

l’angle central del polígon? b) A mesura que augmenta el nº de costats, què li passa a la longitud

del costat del polígon? c) A mesura que augmenta el nº de costats, què li passa a l’amplitud

de l’ angle del polígon? d) A mesura que augmenta el nº de costats, què li passa al perímetre

del polígon? e) A mesura que augmenta el nº de costats, què li passa a l’àrea del

polígon? f) Creus que la longitud i l’àrea del polígon augmentaran tant com

vulguem? O dit d’una altra manera, creus que el perímetre d’un polígon de moltíssims costats i de radi 5 unitats, pot ser de 1.000.000 unitats? Y tenir un àrea de 1.000.000 unitats quadrades? Escriu els teus raonaments.

Nºcostats Angle central Costat polígon

Perímetre polígon

Àrea polígon

3

4

5

6

8

9

10

12


Ja hem vist a la història de ππππ que es va aconseguir agafar polígons de molts més costats. El profe ja ha fet alguns d’aquets càlculs i els resultats han estat els següents:

Nºcostats Angle central

Costat polígon

Perímetre polígon

Àrea polígon

7 51,42857143 4,3388 30,37186174 68,41025472

20 18 1,5643 31,28689301 77,25424859

50 7,2 0,6279 31,39525976 78,33327098

100 3,6 0,3141 31,41075908 78,48814941

1000 0,36 0,0314 31,41587486 78,53929957

10000 0,036 0,0031 31,41592602 78,53981117

Però recorda que tot això ho hem fet amb cercles de 5 cm de radi, si volem fer la aproximació de ππππ haurem de dividir el perímetre pel diàmetre o l’àrea pel quadrat del radi.

D.3 Omple la taula següent Nº de costats

Aproximació de π utilitzant

el perímetre: r

P

2≈π

Aproximació de π utilitzant

l’àrea: 2r

A≈π

3

4

5

6

7

8

9

10

12

20

50

100

1000

10000

D.4 Compara les aproximacions de ππππ amb el seu valor real. Quantes xifres decimals hem aconseguit amb aquest procés?


Full de treball E: Aplicacions pràctiques del cercle i la circumferència

E.1 Abans de continuar recorda les fórmules del perímetre i de l’àrea del cercle.

E.2 Un joier ha de fer un anell d’or de 6 mm de radi. Quina longitud de fil d’or ha d’utilitzar per a que l’anell tingui la grandària desitjada?

E.3 Calcula el perímetre i la superfície d’una plataforma circular de 26 m de diàmetre

E.4 El Felip i la Leti han anat a passejar amb bicicleta. El Felip se n’adona que la seva bicicleta té les rodes més petites que les de la Leti i per tant mentre que les la roda de la Leti fa dues voltes la del Felip en fa 3. Aleshores diu -Mira, Leti, la meva bici va molt més apressa que la teva per que les meves rodes donen moltes més voltes que les teves. Es cert el que diu en Felip? Explica molt bé el per què de la teva resposta.

E.5 Els ciclistes acostumen a portar al manillar un aparell que mesura la velocitat de la bicicleta. Aquest aparell funciona a partir d’un contador de voltes imantat que es col·loca en un radi de la roda. El problema és que existeixen bicicletes amb rodes de diferents grandàries i la roda d’una bicicleta petita dona més voltes que una roda d’una bicicleta gran, així un mateix aparell indicaria més velocitat contra més petita sigui la roda. Per evitar això cal programar el velocímetre introduint la longitud d’una volta de la roda. Per exemple, una bicicleta BTT gran té una roda d’un radi de 34 cm. Amb quina longitud de roda haurem de programar el velocímetre?

E.6 El dissabte passat va ser l’aniversari de la Irene i les seves amigues li ven regalar un velocímetre per la seva bicicleta. En obrir el regal van veure que necessitaven saber la longitud d’una volta de la roda per a poder-lo programar. Les seves amigues li van dir: No et preocupis que nosaltres t’ho programarem. Però les seves amigues no es van posar d’acord en la manera de fer-ho i cada una ho va calcular d’una manera diferent. La Flàvia va fer una marca de guix al terra i a la roda, va moure la bici fins que la roda va donar una volta justa i va fer un altra marca. Va mesurar la distància i va dir era de 234 cm La Mònica va mesurar el radi que era (segons ella) de 37 cm. I la Berta va fer una marca a la roda de la bici, va fer 1 km amb la bici i va contar les voltes que van ser de 435 voltes

a) Quin seria el radi i la longitud de la roda segons la Flàvia? b) Quin seria el radi i la longitud de la roda segons la Mònica? c) Quin seria el radi i la longitud de la roda segons la Berta.? d) Quin creus que és el millor mètode i per què?

Foto guanyadora del concurs de fotografia matemàtica de l’ABEAM any 2007Autora Elisenda Fornaguera, Nivell 1r cicle ESO títol Tangents ciclistes


E.7 Quant mesura la superfície de color gris?:

E.8 Un fabricant de DVD fa planxes de 120x 144 cm de plàstic desprès les talla en cercles de 12 cm de diàmetre (que és el que fa un DVD).

a) Quants DVD poden fabricar amb una planxa? b) Quina és la superfície total de plàstic que s’aprofita?. c) Quina és la superfície de plàstic que cal reciclar?

E.9 La millor manera de mesurar distàncies llargues amb precisió és amb un odòmetre. Aquest aparell consisteix amb una roda que fa una volta exactament en 1 metre., Per mesurar distàncies només cal contar voltes. Si volem construir un odòmetre

a) Quin radi haurà de tenir la roda?. b) Si fem un odòmetre amb una roda vella de bicicleta

infantil que fa 12,6 cm de radi. Explica com podríem mesurar distàncies amb aquest odòmetre

E.10 . Calcula el perímetre i l’àrea de la figura següent

30 cm

4 cm


Full de treball F: Per ampliar

F.1 Escriu el nom de tres objectes que tinguin forma de circumferència.

F.2 Quina és la corda més gran que té una circumferència? Raona la resposta.

F.3 Dibuixa una circumferència i traça-hi:

a) Un radi de color vermell.

b) Un diàmetre de color blau

c) Una corda de color verd.

d) Un arc de color groc.

F.4 Es poden dibuixar tres o més circumferències concèntriques? Intenta-ho.

F.5 El radi d’una circumferència fa 2,5 cm. Quina és la longitud de la circumferència? I el diàmetre?

F.6 La longitud d’una circumferència és de 21,98 cm. Quant mesura el diàmetre? I el radi?

F.7 Calcula l’àrea d’un cercle de 24,4 cm de radi.

F.8 Dibuixa un cercle de 4 cm de radi. Troba’n l’àrea.

F.9 Amb un transportador d’angles, dibuixa un sector circular de 80º d’amplitud en un cercle de 5 cm de radi. Troba l’àrea d’aquest sector.

F.10 Dibuixa un sector circular de 60º d’amplitud i 5 cm de radi. Calcula’n l’àrea.

F.11 Una plaça fa 7 dam i 3m de diàmetre. Calcula’n l’àrea.

F.12 Calcula l’àrea d’un sector circular de 10 cm. de radi i 180º d’amplitud.

F.13 La roda de la bicicleta de la Gemma mesura 27 cm de radi. Quina distància recorre quan la roda fa 10 voltes?

F.14 Dues rodes iguals d’una màquina tenen 22 cm de radi, i la distància entre els eixos és de 62 cm. Una corretja uneix totes dues rodes. Quina és la longitud de la corretja?

F.15 El diàmetre d’una circumferència fa 43,56 m. Troba la longitud d’un arc de 80º d’aquesta circumferència.

F.16 Volem fer un jardí en forma de corona circular. El radi de la circumferència més gran ha de ser 9,4 m i el radi de la circumferència més petita ha de ser la meitat que el de l’altra. Quants metres quadrats tindrà aquest jardí?


F.17 Calcula la longitud d’un arc de 5m de radi i 225º d’amplitud.

F.18 L’angle que formen dos radis d’una motocicleta és de 45º, i la longitud d’un radi, 0,4 m. Quina distància hi haurà entre radi i radi de la llanda?

F.19 Amb un tauler quadrangular d’1 m. de costat volem fer el cercle més gran possible. Quina superfície tindrà aquest cercle? Quant ens sobrarà?

F.20 Amb un tauler rectangular de 50 cm de llarg per 10 cm d’ample volem fer 5 fitxes rodones iguals tan grans com sigui possible. Quants centímetres quadrats tindrà cada fitxa?

F.21 El radi d’una roda d’una bicicleta fa 30 cm. Quantes voltes farà aquesta roda en recórrer 5 km?

F.22 Tenim un ull de bou de 20 cm de radi al qual volem posar un marc de 5 cm. d’ample. Quina superfície tindrà aquest marc?

F.23 Inscrivim un quadrat en una circumferència de 7 cm. de radi. Calcula la superfície compresa entre un costat i l’arc corresponent de la circumferència.

F.24 Un mestre de taller ha d’introduir un eix de 25 mm de diàmetre i una femella, tot ben ajustat, en un forat circular de 30 mm de diàmetre.

a) Quina mida tindran els radis d’aquesta femella.

b) I quina àrea tindrà?

F.25 Si el radi de la Terra és de 6 378 km., quina és la longitud de l’equador?

F.26 Volem construir un electroimant de 0,5 cm de radi amb 18 espires de fil de coure. Si el metre de fil ens costa 0,55€, quant ens costarà el fil per a construir-lo?

F.27 Volem construir una taula rodona per a 12 convidats, de manera que cadascú disposi de 80 cm. Quin n’ha de ser el diàmetre.

F.28 En recollir un cable amb un torn de 40 cm de diàmetre, hem necessitat fer 37 voltes. Quina és la longitud del cable recollit?

F.29 Hem recorregut 100 m. em una bicicleta les rodes de la qual fan 85 cm de diàmetre. Cada cop que fèiem una volta de pedal, la roda de la bicicleta feia dues voltes i mitja:

a) Quantes voltes ha fet la roda ?

b) Quantes voltes de pedal hem fet?

F.30 Unes tovalles rodones pengen 10 cm tot al voltant d’una taula circular de 50 cm de radi. Hi volem cosir una punta, resseguint tota la vora. Quina longitud de punta necessitarem?

Generalitat de Catalunya El nombre Departament d’Educació ...ccubas/2n ESO/Nombre pi/08-09 nombre...

Documents

Transcript of Generalitat de Catalunya El nombre Departament d’Educació ...ccubas/2n ESO/Nombre pi/08-09 nombre...