GAZETA MATEMATICA˘ - SSMRssmr.ro/gazeta/gma/2009/gma4-2009-continut.pdf · for B 6= 0 and δ = ......

GAZETA MATEMATICA

SERIA A

ANUL XXVII(CVI) Nr. 4 / 2009

ARTICOLE STIINTIFICE SI DE INFORMARE STIINTIFICA

What can Sine Function do for us?

Constantin Corduneanu1)

Abstract. This article contains, in a concise form, an introduction in theTheory of Almost Periodic Functions, as well as some illustrative exam-ples. This class of functions appears in the applications (describing oscil-latory systems) much more frequently than the class of periodic functions.The author is convinced that the class of Almost Periodic Functions, eventhough more complex than the class of periodic ones, must get itsplace inthe Mathematical and the Science-Engineering Literature. The authors’books under nos. 4 and 5 in the references, constitute a contribution inthis direction.

Keywords: Almost periodic functions

MSC : 42A75

1. Introduction

The trigonometric Sine function, denoted by sinx, x being an arbitraryangle measured usually in radians, has penetrated in the common everydaylanguage by the word sinuous. According to the Reader’s Digest Great En-cyclopedic Dictionary (ed. 1977), sinuous stands for some path or objectwhich has ,,bends, curves or folds; something winding or ondulating“. InMathematics we call sinusoid the graph of the function y = sinx, in the xOy

plane.By means of the Sine function we can express many relationships en-

countered in everyday life, and in the elementary branches of Mathematics(Trigonometry, first of all).

In Physics, in the Classical Mechanics as well as in Quantum Mechanics,a very useful model is the so-called harmonic oscillator. This system consistsof a material point moving on a straight line, the unique acting force being theattraction exerted on it by a fixed point of the line with a force propositional

1)Department of Mathematics, University of Texas, Arlington, U. S. A., membru cores-pondent al Academiei Romane.

270 Articole

to the distance (to the fixed point). Taking the fixed point as origin onthe line, and denoting by x(t) the coordinate of the moving point at themoment t, the Newton’s law of dynamics leads to the equation of motion

mx = −kx(t), with k > 0, x(t) =

(

d2

dt2

)

x(t), m = the mass of the moving

point.

If we denote ω2 =k

m, then the equation of the harmonic oscillator is

x(t) + ω2x(t) = 0, t > 0. (1)

Equation (1) is a second order linear differential equation, while ω2 > 0is a constant. Since sinωt and cosωt are linearly independent solutions of(1), there results that any solution of (1) is given by the formula

x(t) = A sinωt+B cosωt, (2)

where A and B are arbitrary constants. An equivalent form to (2) is

x(t) = C sin(ωt+ δ), (3)

with C = (A2+B2)1/2, δ = arctang

(

A

B

)

for B 6= 0 and δ =π

2, when B = 0,

A > 0, or δ = −π

2, when B = 0, A < 0. The case A = B = 0 leads to the

zero solution x(t) ≡ 0, which also means C = 0 in (3).As we can read from (3), by means of the sine function we can describe

any motion of the harmonic oscillator. In this scheme we encounter the mo-tion of the simple (mathematical) pendulum, the oscillations of a suspendedspring to which a weight is attached at the free end, the acting force beingthe gravitation. For details and other physical realizations of the harmonicoscillator, including Quantum Mechanics and connection with Schroedinger

equation, see the book [9] by P.M. Fishbone et al.If we consider the resistance force, which often appears during the mo-

tion of a material point, and assume it is proportional to the velocity ofmotion, then Newton’s law is conducing to an equation a bit more com-plex than the one of the harmonic oscillator. Namely, we obtain mx(t) == −kx(t)−Rx(t), with R > 0, the resistance being opposed to the velocity.If we admit one external force, say f(t), then the second order linear equation

mx(t) +Rx(t) + kx(t) = f(t), t > 0, (4)

which is describing the damped harmonic motion when f(t) ≡ 0, and theforced motion of the oscillator when f(t) 6≡ 0.

It is interesting to point out that equation (4) appears also in the theoryof electrical circuits in the equivalent form

Lq(t) +Rq(t) + C−1q(t) = V (t), (5)

C. Corduneanu, What can Sine Function do for us? 271

where q(t) represents the charge at the moment t, L is the self-inductance,R is the resistance of the circuit, opposed to the flow of current i(t) = q(t),C is the capacitance and V (t) is the applied voltage.

The analogy of these two models, one mechanical and another electri-cal, is known as the electrical-mechanical analogy. This analogy plays animportant role in the applications (acoustics, mechanical vibrations).

For more details related to the concept of analogy of models, see thebook [6] by C. L. Dym and E. S. Ivey.

Let us conclude this introduction by pointing out that the oscillatorymotion of a harmonic oscillator, under the influence of a forcing term ofsinusoidal type, can be also described by means of the Sine function.

Indeed, the equation

x(t) + ω2x(t) = C cosω0t, (6)

with ω 6= ω0, which is of the above mentioned type because cosα =

= − sin(

α− π

2

)

, has as solutions the functions of the form:

x(t) = C1 sin(ωt+ δ) + C2 cosω0t, (7)

with:

C2 =C

m(ω2 − ω20)

· (8)

In other words, the general solution of (6) is representable as a sum of twoSine functions. In (7), C1 and δ are arbitrary constants. The same thing canbe said about C2, because C is arbitrary.

For a more detailed discussion of the harmonic oscillator and its mo-tions, see the Introduction to our book [5], where more general cases arediscussed.

2. Trigonometric polynomials

A trigonometric polynomial is a function which can be represented inthe form

T (t) = a0 +n∑

k=1

(ak cosλkt+ bk sinλkt), (9)

for t ∈ R, with ak ∈ R, for k ≥ 0, and bk ∈ R for k ≥ 1, both ak and bkbeing arbitrary real or complex numbers. Also, λk ∈ R, for k ≥ 1, arbitrarilychosen.

Formula (5) represents a partial sum of the trigonometric series

a0 +∞∑

k=1

(ak cosλkt+ bk sinλkt), (10)

with the same assumptions as above for ak, bk and λk.The classical case corresponds to the particular choice λk = k, k ∈ L+,

and leads to classical trigonometric and Fourier series.

272 Articole

In the complex field C, we call a trigonometric polynomial a functionof the form

T1(t) =n∑

k=0

Ak exp(iλkt), t ∈ R, (11)

with Ak = ak + ibk ∈ C, and λk ∈ R, k ≥ 0. If we take into account the wellknown formula

exp(iλkt) = cosλkt+ i sinλkt, (12)

one obtains easily that ReT1(t) and ImT1(t) are real trigonometric polyno-mials of the form (9). This fact may explain why the terminology has beenextended from the real field, to the complex one.

It is also a simple matter the fact that any real trigonometric polynomial(9) can be written in the form

T (t) =n∑

k=0

ck sin(λkt+ δk), (13)

where c0 = 0 = λ0, ck = (a2k + b2k)1/2, δk = arctan

(

ak

bk

)

, bk 6= 0. δk =π

2,

when bk = 0 and ak > 0, or δk = −π

2for bk = 0, ak < 0.

The equivalence of (9) and (13) is a consequence of formulas (2) and(3).

The set of Trigonometric polynomials is denoted by T , and we agreeto specify each time whether we deal with the real ones, like (9) or (13), orwith the complex ones like (11). We shall prefer the complex form, due tothe convenience resulting from simpler formulas.

Let us make precise the fact that, when using the complex form (11),we assume all λk’s to be distinct λk 6= λj , k 6= j.

It is a very useful feature the property of the set T , of complex tri-gonometric polynomials of the form (11), to form a linear or vector spaceover the complex field C. The two basic operations, addition and scalarmultiplication are defined in the usual manner: for T1, T2 ∈ T , we let(T1 + T2)(t) = T1(t) + T2(t), and it is obvious that the sum of two trigo-nometric polynomials of the form (11) is also in T ; moreover, if λ ∈ C andT1(t) has the form (11), then (λT1)(t) = λT1(t) is of the same form.

It is useful to notice the fact that T has infinite algebraic dimension.For instance, in the classical theory of Fourier series, the infinite system1, sinmt, cosmt; m ≥ 1 consists of linearly independent functions. Thisproperty is the same as saying that the complex system eimt; m ∈ Z con-sists of linearly independent functions. The problem of linear independenceis related to the uniqueness of Fourier series, and a short proof of this factis given in the Introduction to our book [4].


It is also possible to define on T several norms, to transform it into alinear normed space. Examples of norms on T are the following:

If T ∈ T has the form (11), then we can define for each p ∈ [1, 2]

‖T‖p =(

n∑

k=1

|Ak|p)1.p

, (14)

or

‖T‖ = sup|T (t)|; t ∈ R. (15)

For the map ‖ · ‖ defined by (15) it is a very simple exercise to checkthe validity of the conditions:

(a) ‖T‖ ≥ 0 for each T ∈ T , with the equal sign valid only for T = 0(i.e., all Ak = 0);

(b) ‖T1 + T2‖ ≤ ‖T1‖+ ‖T2‖, for any T1, T2 ∈ T ;(c) ‖λT‖ = |λ| ‖T‖, for each λ ∈ C and T ∈ T .

In case of the norms defined by (14), we notice that the usual conditionsare obvious for p = 1 and p = 2; for p = 2 obtaining the usual Euclideannorm, while for p ∈ (1, 2) the validity of the triangle inequality is a classicalinequality which appears in many sources.

Besides the norms (14) and (15), we can also introduce integral norms.As a first example, we can consider

|T |M = sup

t+1∫

t

|T (s) | ds; t ∈ R

. (16)

The supremum in (16) is finite for each trigonometric polynomial of theform (11), namely

|T |M ≤n∑

k=1

|Ak|.

We mention another integral norm on T , which is defined by the formula

|T |M =

lim supℓ→∞

(2ℓ)−1

ℓ∫

−ℓ

|T (t)|2dt

1/2

. (17)

The limsup in the right hand side is finite because [T (t)]2 is also atrigonometric polynomial, while for real λ

limℓ→∞

(2ℓ)−1

ℓ∫

−ℓ

exp(iλt)dt =

1, λ = 0,0, λ 6= 0.

274 Articole

If one takes into account this relationship and the fact that |T (t)|2 = T (t)T (t),then we easily obtain

|T |2M = |T |22 =n∑

k=1

|Ak|2. (18)

In other words, the M-norm on the set T is the same as the Euclideannorm. This remark will play a role in better understanding the constructionof larger classes of oscillatory motions.

In regard to the notations (16) and (17) for the integral norms on T ,we mention the fact that | · |M is defined and used systematically in the bookby J. L. Massera and J. J. Schafer [15]. It will help us to introduce the classof almost periodic functions known under Stepanov ’s name (see our book[5]). The norm denoted by | · |M, with M coming from the name of thePolish mathematician J. Marcinkiewicz and the function space containingthe almost periodic functions of Besicovitch [2] is based on this norm. Thedefinition of this space can be found in our book [5].

To summarize, we defined on T four types of norms, (14)-(17), eachone leading to a specific kind of convergence on T . By adding new functionsto T , as limits of sequences from T , using various kinds of convergence, weshall obtain spaces of almost periodic functions. These functions describeoscillatory motions.

3. Almost periodic functions

The method of introducing and investigating various classes of almostperiodic functions is based on the procedure of completing metric spaces. Weshall start from the set T of trigonometric polynomials, and attach a metricstructure (besides the algebraic one, of a vector space), given by one of thenorms (14)–(17). The metric is defined by the formula d(x, y) = |x − y|,where | · | denotes any of the norms (14)–(17).

For the details concerning metric spaces, convergence and completionsee our book [5] for a concise presentation or any other book dealing withthe concept of metric space.

Historically, the concept of almost periodicity we shall introduce, as wellas related terminology, appeared with Harald Bohr in the early 1920’s. Butspecial classes of almost periodic functions made the object of investigation,with conspicuous results, by P. Bohl and E. Esclangon. They studied aclass of almost periodic functions known as quasiperiodic functions. Also,H. Poincare [16] has dealt with the functions that can be represented in theform

f(t) =∞∑

k=1

Ak expiλkt, t ∈ R, (19)


with the coefficients Ak such that∞∑

k=1

|Ak| < ∞. He has indicated the formula

Ak = limℓ→∞

(2ℓ)−1

ℓ∫

−ℓ

f(t) exp−iλktdt

(20)

for calculating the coefficients, which means that the basic concept of mean

value for almost periodic functions has been used.

Remark. Actually, Poincare dealt with the sine series similar to (19),

namely∞∑

k=1

Ak sinλkt.

For detailed references concerning the evolution of the concept of almostperiodicity, regarded always as a generalization of the periodicity (insufficientfor describing the most oscillatory motions encountered in applied fields), wesend the reader to the book of Harald Bohr [3], our books [4], [5], and thebook [2] of A.S. Besicovitch.

We shall start with the almost periodic functions as defined by H. Bohr.This type of almost periodicity is easily defined by an approximation pro-perty. Namely, we shall call a map t → f(t), from R into C, almost periodic

(Bohr), if for every ε > 0, there exists a complex trigonometric polynomialof the form (11), say Tε(t), such that

|f(t)− Tε(t)| < ε, t ∈ R. (21)

It is obvious that the definition above can be reformulated as follows:The map f : R → C is called almost periodic in the sense of Bohr, if

for each ε > 0 one can find a trigonometric polynomial of the form (11), sayTε(t) ∈ T , such that

f(t) = Tε(t) + rε(t), t ∈ R, (22)

with the remainder rε(t) satisfying:

|rε(t)| < ε, t ∈ R. (23)

H. Bohr [3] has constructed his theory of almost periodicity, restric-ting the considerations to the case of continuous functions. We shall discussbelow two generalizations, for functions within the class of locally integrablefunctions on R.

From the representation (22), taking into account the boundedness anduniform continuity of Tε(t) on R, one obtains the fact that any almost perio-dic function (Bohr) is also bounded and uniformly continuous on R.

Hence, the space of almost periodic functions (Bohr) is a subspace ofthe space BC(R,C), consisting from all maps f : R → C, such that f is

276 Articole

bounded and continuous on R. It is well known (and easy to check!) thatBC(R,C) is a Banach space on C, with the norm

|f |BC = sup|f(t)|; t ∈ R. (24)

The set of almost periodic functions (Bohr) is itself a Banach space withthe supremum norm given by (24), and it is denoted by AP (R,C). Actually,taking into account the uniform continuity of functions from AP (R,C), wecan infer that AP (R,C) ⊂ BUC(R,C), where BUC(R,C) denotes the Ba-

nach space of bounded and uniformly continuous functions, which is a closedsubspace of BC(R,C).

From the definition of almost periodic functions, there results imme-diately that AP (R,C) is a closed subspace of BUC(R,C), as well as ofBC(R,C).

For more properties of functions in AP (R,C), we send the reader to thereferences [1], [2], [3], [4], [5], [8], [13], each containing the basic properties ofalmost periodic functions (Bohr).

The discussions carried above about the space AP (R,C), including thedefinition of almost periodicity, leads to the following new definition of thespace AP (R,C). Namely, AP (R,C) is the closure in BC(R,C) of the linearmanifold T -complex, with respect to the norm (24).

This last definition (or characteristic property) of almost periodicity(Bohr), is conducing us to various generalizations of the space AP (R,C).

The space of almost periodic functions in the sense of Stepanov is theclosure in the space M(R,C) of locally integrable functions from R into C,such that

sup

t+1∫

t

|f(s) | ds; t ∈ R

≤ Mf < ∞, (25)

with respect to the norm (16) that, so far, has been used only on T .The properties of the norm (16) are easily established on M(R,C). It

turns out that this closure is identical to the complete metric space obtainedby completing the normed space T -complex, with respect to the norm (16).

The space of Stepanov almost periodic functions, as defined above, isdenoted by S(R,C), and its norm by | · |S . It is understood that |f |S = |f |M ,

for each f ∈ S(R,C).Another space of almost periodic functions, known as Besicovitch’ space,

can be obtained by taking the closure in M(R,C) of the linear manifold T -complex. Equivalently, we can say that we take the completion of the normedspace T -complex, with respect to the Euclidean norm ‖ · ‖2, given by (14).But our T -complex ‖ · ‖2 is the same as | · |M, and | · |M makes sense onthe whole Marcinkiewicz space, which consists of classes of equivalent locallyintegrable functions, such that f ∼= g iff |f − g|M = 0.


The details in regard to the Marcinkiewicz space can be found in ourbook [5]. The elements of the space M2(R,C), obtained from M(R,C) as thefactor space with respect to the manifold L given by |x|M = 0 are actuallythe elements of the the Besicovitch space, also denoted by AP2(R,C) orB2(R,C).

The norm on B2(R,C) is given by extending (17), i.e.:

|f |M =

limℓ→∞

(2ℓ)−1

ℓ∫

−ℓ

|f(t)|2dt

12

. (26)

There are other generalizations of almost periodicity. For instance, onecan use instead of the number 2 in (26), any number p, 1 ≤ p, obtaining thespaces Bp(R,C).

Also, in case of Stepanov almost periodicity, as defined above, one canuse the norm:

|f |Sp = sup

t+1∫

t

|f(s)|pds; t ∈ R

1/p

,

obtaining the Stepanov space Sp(R,C). It is easily checked that Sp ⊂ S,p > 1, which allows us to concentrate the investigation on the space S, therichest among the Stepanov ’s spaces of almost periodic functions.

We will return now to the norms defined by formula (14). We haveexamined above the case p = 2, which leads to the Besicovitch type of almostperiodicity, i.e., the space B2(R,C) = AP2(R,C), corresponding to p = 2.

The case p = 1, leads to the space AP1(R,C) which, I think, it shouldbear the name of Henri Poincare, due to the fact that in his treatise [16] onefinds the series

f(t) =∞∑

k=1

Ak sinλkt, t ∈ R, (27)

similar to the complex one (19), for which the coefficients fk, h ≥ 1, onedetermined by (see (20)) the formula

fk = limℓ→∞

ℓ−1

ℓ∫

0

f(t) sinλkt dt

. (28)

Of course, a convergence requirement must be made for the series in(27), and the most common case encountered in applications is

∞∑

k=1

|fk| < ∞, (29)

similar to (20), assuring the uniform convergence for (27) on the whole R.

278 Articole

The space AP1(R,C) of almost periodic functions, corresponding top = 1 in the norms (14), being representable by the series (19), with absoluteconvergence and Ak; k ≥ 1 ⊂ ℓ1(C), is endowed with the norm

|f(t)|1 =∞∑

k=1

|Ak| < ∞. (30)

What about the spaces obtained by choosing p ∈ (1, 2) in formula (14)?The space APr(R,C), 0 < r < 1, will be the closure of T -complex, with

respect to the norm (14), for p = r.

These spaces are contained in AP2(R,C), and everything true for AP2

will be also true for APr, 1 ≤ r < 2. But such spaces have not been in-vestigated so far, and their investigation is an open field. For instance, bythe completion of T -complex with respect to the norm |f |r, do we obtainfunctions (which is obviously true for r = 1), or classes of functions like inthe case r = 2 (the Besicovitch space B2(R,C)). Further considerations willbe subsequently made when sketching the Fourier Analysis of the almostperiodic functions.

4. Fourier series of an almost periodic function

An important aspect of the theory of almost periodic functions is thefact that to each almost periodic function, belonging to the classes/spaces wehave defined, one can associate a Fourier series which allows the constructionof the generating function.

The key ingredient in defining the Fourier series corresponding to analmost periodic function is the existence of the mean value attached to suchfunctions. The mean value is introduced by means of the formula

Mf = limℓ→∞

(2ℓ)−1

ℓ∫

−ℓ

f(t)dt

, (31)

and the proof of the existence of the limit relies on the representation formula(repetition)

f(t) = Tε(t) + rε(t), t ∈ R, (32)

in which Tε(t) is a trigonometric polynomial of the form (11) – in complexnotation. When we deal with real valued almost periodic functions, Tε(t) willbe of the form (13), involving only the sine function.

As seen in Section 3 above, we obtain various classes of almost periodicfunctions, depending on the manner we request the property rε → 0 (i.e.,what norm/seminorm we are using to ,,measure“ rε). In formula (23) weassumed sup|rε(t)|; r ∈ R → 0 as ε → 0+, obtaining the Bohr almostperiodic functions. In case of Stepanov almost periodic functions the required


condition for rε(t) is written in the form (25)

|rε|M = sup

t+1∫

t

|rε(s)|ds; t ∈ R

→ 0 as ε → 0 + .

For Besicovitch almost periodic functions the condition will look

|rε|M → 0 as ε → 0+,

which means that we are using the norm in Marcinkiewicz space (see (26)).Actually, the discussion can be simplified if we consider the Besicovitch

space B corresponding to p = 1, in which

|f |B = lim supℓ→∞

(2ℓ)−1

ℓ∫

−ℓ

|f(t)|dt

. (33)

This space is richer than B2, and contains the Stepanov space S.Therefore, if one proofs that the existence of the limit in (31) follows

from (33), one obtains the existence of the mean value for all classes of almostperiodic functions introduced in this paper. The proof is rather elementaryand can be found in the references [2] and [5].

Remark. The inclusion B2 ⊂ B follows from the integral inequality

(2ℓ)−1

ℓ∫

−ℓ

|f(s)|ds ≤ (2ℓ)−1

(2ℓ)

ℓ∫

−ℓ

|f(s)|2ds

12

=

=

(2ℓ)−1

ℓ∫

−ℓ

|f(s)|2ds

12

.

The inclusion S ⊂ B can be easily established and we invite the readerto prove its validity.

Hence, for each f ∈ B, there exists the mean value Mf, defined by(31). Mf is a linear functionl defined on B, and a basic property is thefollowing:

For each f ∈ B, Mf(t) exp(−iλt) 6= 0 only for a set of values of λ ∈ R

which is at most countable.The real numbers λk, k ≥ 1, such that

ak = Mf(t) exp(−iλkt) 6= 0, (34)

are called Fourier exponents of the function f , and ak, k ≥ 1, are calledFourier coefficients of the function f .

280 Articole

One writes

f(t) ≃∞∑

k=1

ak expiλkt, (35)

with λk, ak, k ≥ 1, as defined above, the series in the right hand side of (35)being called the Fourier series associated to f(t).

When the series in (35) is uniformly convergent on R, then the sign≃ can be replaced by the = sign. This situation occurs for sure whenf ∈ AP1(R,C).

The Fourier series of an almost periodic function has numerous prop-erties, among them being the following ones:

1. The Fourier series is uniquely determined by the generating function.

2. The Fourier series of an almost periodic function f(t) allows to,,construct“ the function (or the class of equivalent functions in case likeB or B2).

Actually, one proves the existence of a sequence of trigonometric poly-nomials, formed by using the Fourier coefficients and exponents of the seriesin (35), which converges (uniformly or in another norm) to the generatingfunction f(t). See references [4], [5], [8], [13] for details.

As a historical note, we point out that the prototype of this kind ofresult is the well-known Fejer theorem, stating that the sequence of arith-metic means (Cesaro) of the Fourier series, attached to a continuous periodicfunction, converges uniformly to the generating function.

3. The Fourier series can be associated to many generalized types of al-most periodic functions, being always sufficient to characterize the generatingfunction.

We shall mention the functions with values in a Banach space, the ge-neralized functions (distributions) and the functions defined on groups (otherthan R). The references [1], [2], [4], [8], [13] contain a wealth of results onthe Fourier series and their role in the theory of almost periodic functions(in various senses).

The centuries old problem of convergence of trigonometric series is cer-tainly strongly related to the general theory of almost periodicity. Progressis still to be expected in this direction.

5. Almost periodic oscillations and waves

In this last section of the paper we want to answer the question formu-lated in the title of this paper: what can Sine function do for us?

Besides the elementary examples, presented in the Introduction, inwhich the motion of the harmonic oscillator has been shown to be fullydescribed by means of Sine function, there are examples of more complexdynamical systems possessing almost periodic motions. We shall illustrate


this feature by considering systems described by quasi-linear ordinary diffe-rential equations, of the form

x(t) = Ax(t) + f(t, x(t)), t ∈ R, (36)

where x : R → Rn, A ∈ L(Rn,Rn), f : R × R

n → Rn, the term f in (36)

being ,,small“ in a precise sense.The following result can be found, with full proof, in many sources.

See, for instance, [4], [5], [7], [10], [13], [14]. In [5], a more general case isconsidered, when A = A(t) ∈ AP and f is an operator acting on AP (R,Rn).

Consider the differential equation (36), under the following assumptions

on A and f :1) A ∈ L(Rn,Rn) satisfies the condition

det(A− λI) = 0 =⇒ λ 6= iω, ω ∈ R; (37)

2) f(t, x) is Lipschitz continuous in x,

|f(t, x)− f(t, y)| ≤ L|x− y|, (38)

for any x, y ∈ Rn, with L > 0 sufficiently small ;

3) f(t, x) ∈ AP (R,Rn) for each x ∈ Rn, the dependency on x being

uniform in any bounded set of Rn.

Then equation (36) has a unique solution x ∈ AP (R,Rn).

Remark. The proof of the result above can be carried out by theclassical method of iteration (successive approximations), the process beingdefined by the relation

xk+1(t) = Axk+1(t) + f(t, xk(t)), k ≥ 1.

Each approximant xk(t) satisfies a linear equation of the form

y(t) = Ay(t) + fk(t),

with fk ∈ AP (R,Rn) (one can start with x1(t) = θ).Equation (36) describes a kind of motion in which we have n degrees

of freedom in the system. The above result illustrates the fact that oscil-lations are present in the motions of such systems. Obviously, they can berepresented by Fourier series of the form (see formula (13))

x(t) =∞∑

k=1

ak sin(λkt+ δk),

i.e., the Sine function helps us again to describe the oscillators motion.A valuable reference in regard to the almost periodic oscillations is the

book [12] by C. Hayashi, in which a whole chapter is dedicated to electricalcircuits. Such a reference is seldom encountered in technical literature wherealmost periodic oscillations are avoided. Experimental data are dealt with.

282 Articole

We shall illustrate now the occurrence of almost periodic waves, consi-dering the classical wave equation

utt = a2uxx, t, x ∈ R, (39)

with a single spatial dimension (x ∈ R).In (39), u = u(t, x) can be interpreted in many ways. If we consider the

transversal vibrations of an elastic string, which at rest occupies the segment0 ≤ x ≤ ℓ on the x-axis, then u(t, x) represents the elongation of the pointwith abscissa x, at the moment t. The domain in which we consider theequation (39) is then given by

D = (t, x); t ∈ R, x ∈ [0, ℓ]. (40)

Physically, we should look only at t ≥ 0, but it does not make anyanalytical difference if we let t ∈ R.

It is generally known that a solution of (39) will be determined by theinitial conditions

u(0, x) = f(x), ut(0, x) = g(x), x ∈ [0, ℓ], (41)

as well as by some boundary conditions at the end points x = 0 and x = ℓ.

We shall associate to (39) the boundary value conditions

u(t, 0) = 0, ux(t, ℓ) + hu(t, ℓ) = 0, t ∈ R, (42)

where h > 0 is a constant.The usual method of separation of variables leads to the solution (for-

mally)

u(t, x) =∑

k=1

(

Ak cos a√

λk t+Bk sin a√

λk t)

sin√

λk x, (43)

where λk, Ak, Bk, k ≥ 1, have the following meaning:– λk are the eigenvalues of the Sturm-Liouville problem y′′ + λy = 0,

y(0) = 0, y′(0) + hy(0) = 0;– Ak, Bk,

√λk are the coefficients of f and g, with respect to the

(orthogonal) system of eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem, i.e.,sin

√λk x; k ≥ 1.Let us point out that the series (43) can be rewritten in the form

u(t, x) =∞∑

k=1

Ck sin(

a√

λk t+ δk

)

sin√

λk x.

Under adequate conditions which we do not mention here, the series(43) has convergence properties that allow us to claim that u(t, x) from (43)is a solution (or a generalized solution!) of our problem. For details andvalidity of the above statement, see our book [5].

It remains to examine the almost periodicity of the function u(t, x),given by (43), regarded as a function of t. More precisely, we need to deal


with the map t → u(·, x), from R into the function space consisting (forinstance) of all L2-functions on [0, ℓ], with real values. This is known as

Lebesgue’s space L2([0, ℓ],R), with the norm x →

ℓ∫

0

|x(s)|2 ds

12

.

Since any partial sum of the series (43) is a trigonometric polynomialwith coefficients in L2([0, ℓ],R), and

ℓ∫

0

n∑

k=m

(

Ak cos√

λk at+Bk sin a√

λk t)

sin√

λk x

2

dx ≤n∑

k=m

(A2k +B2

k),

there results, on behalf of the Bessel inequality for the coefficients Ak respec-tivelyBk, that the series in (43) is convergent in the space L2([0, ℓ],R). There-fore, the sum of the series is an almost periodic function (Bohr-Bochner) int, with values in L2([0, ℓ],R).

Remark. A somewhat stronger result is given in our books [4], [5],where equation (39) is substituted by a more general one, namely

utt =∂

∂x

[

p(x)∂u

∂x

]

− q(x)u.

The above considerations, on equation (39), can be summarized as fol-lows:

Assume that equation (39), under initial conditions (41) and boundary

conditions (42), is such that f, g ∈ L2([0, ℓ],R).Then the solution u(t, x), given by the series (43), is an almost periodic

map from R into L2([0, ℓ],R).

Finally, in concluding this paper, we can infer the fact that the Sine

functions is the primary ingredient in describing mathematically almost pe-

riodic oscillations and waves.This last sentence is the answer to the question we formulated in the

title of this paper.

References

[1] L. Amerio and G. Prouie, Almost Periodic Functions and Functional Equations, VanNostrand Reinhold, New York, 1970.

[2] A. S. Besicovitch, Almost Periodic Functions, Cambridge University Press, 1932.[3] H. Bohr: Almost Periodic Functions, Chelsea, N.Y., 1947.[4] C. Corduneanu, Almost Periodic Functions (2nd English ed.), Chelsea Publ. Co., 1989

(currently distributed by AMS and Oxford Univ. Press).[5] C. Corduneanu, Almost Periodic Oscillations and Waves, Springer Verlag, 2009.[6] C. L. Dym and E. S. Ivey, Principles of Mathematical Modelling, Academic Press,

1980.[7] J. Favard, Lecons sur les Fonctions Presque Periodiques, Paris, Gauthier-Villars, 1935.

284 Articole

[8] A. M. Fink: Almost Periodic Differential Equations, Springer Verlag, New York, 1974.[9] P. M. Fishbone, S. G. Gasiorowicz and S. T. Thornton, Physics for Scientists and

Engineers, Pearson/Prentice Hall, 2005.[10] A. Halanay, Differential Equations: Stability, Oscillations, Time-Lags, Academic

Press, New York, 1966.[11] J. K. Hale, Oscillations in Nonlinear Systems, McGraw-Hill Book Co., New York,

1963.[12] C. Hayashi, Nonlinear Oscillations in Physical Systems, Princeton University Press,

1985.[13] B. M. Levitan, Almost Periodic Functions (Russian), Moscow, 1953.[14] I. G. Malkin, Problems in the Theory of Nonlinear Oscillations (Russian), Tekhno-

Theoretical Literature Press, Moscow, 1956.[15] J. L. Massera and J. J. Schaffer, Linear Differential Equations and Function Spaces,

Academic Press, Boston, 1966.[16] H. Poincare, Les Nouvelles Methodes de la Mecanique Celeste, Paris, 1893.

Proprietati ale punctului intermediar

din teorema de medie a lui Lagrange

Dorel I. Duca1)

Abstract. If the function f : I → R is differentiable on the interval I ⊆ R,and a ∈ I, then for each x ∈ I\a, according to the mean value theorem,there exists a point c(x) belonging to the open interval determined by x

and a, and there exists a real number θ(x) ∈ (0, 1) such that

f(x)− f(a) = (x− a)f (1) (c(x))

andf (x)− f (a) = (x− a) f (1) (a+ (x− a)θ (x)) .

In this paper we shall study the behaviour of the numbers c and θ, whenx approaches a.

Keywords: intermediate point, mean-value theorem.

MSC : 26A24.

1. Teorema de medie a lui Lagrange

Teorema de medie a calculului diferential sau teorema cresterilor finitesau teorema de medie a lui Lagrange este una din teoremele de baza ale calcu-lului diferential; ea este frecvent atribuita lui Joseph Louis Lagrange (1736-1813) ın special ın cartile din Europa. Oricum prima afirmatie – ın formamoderna – a teoremei de medie apare ın lucrarea [4] a renumitului fizician

Andre-Marie Ampere (1775-1836). In acea lucrare, Ampere foloseste ideilelui Lagrange relative la reprezentarea functiilor prin serii Taylor. Trebuie, deasemenea, facuta observatia ca Ampere foloseste ın demonstratia teoremei demedie afirmatia, care astazi se cunoaste a fi falsa, si anume ca orice functie

1)Profesor univ. dr., Facultatea de Matematica si Informatica, Universitatea Babes-Bolyai, Cluj-Napoca, [email protected]

D. I. Duca, Proprietati ale punctului intermediar 285

continua este derivabila, cu exceptia, eventual, a unui numar finit de puncte.Dupa 15 ani, Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) demonstreaza teorema demedie aproximativ ın aceleasi conditii (vezi [15], pag. 113). Astazi teoremade medie a lui Lagrange se enunta, de obicei, ın urmatoarea formulare:

Teorema 1 (teorema de medie, teorema cresterilor finite, teorema luiLagrange, teorema de medie a lui Lagrange). Fie a si b doua numere reale

astfel ıncat a < b si f : [a, b] → R. Daca:(i) functia f este continua pe [a, b];(ii) functia f este derivabila pe (a, b),

atunci exista cel putin un punct c ∈ (a, b) astfel ıncat

f(b)− f(a) = (b− a)f (1)(c). 2 (1)

Egalitatea (1) se numeste formula cresterilor finite.Punctul c se numeste punct intermediar.Exemplul 2. Fie a, b ∈ R cu a < b. Pentru functia f : [a, b] → R

definita prin

f(x) = x2, oricare ar fi x ∈ [a, b],

exista un singur punct c ∈ (a, b), si anume c =a+ b

2astfel ıncat (1) sa fie

adevarata. 2

Exemplul 3. Fie a, b ∈ R cu 0 < a < b. Pentru functia f : [a, b] → R

definita prin

f (x) =1

x, oricare ar fi x ∈ [a, b] ,

exista un singur punct c ∈ (a, b), si anume c =√ab, astfel ıncat (1) sa fie

adevarata. 2

Exemplul 4. Pentru functia f : [−1, 1] → R definita prin

f(x) = x3, oricare ar fi x ∈ [−1, 1],

exista exact doua puncte c ∈ (−1, 1), si anume c1 =−1√3

si c2 =1√3, astfel

ıncat (1) sa fie adevarata. 2

Exemplul 5. Daca n ≥ 1 este un numar ıntreg, atunci pentru functia

f : [−nπ, nπ] → R definita prin

f(x) = cosx, oricare ar fi x ∈ [−nπ, nπ],

exista exact 2n− 1 puncte c ∈ (−nπ, nπ), si anume

ck = kπ, k ∈ [−n+ 1, n− 1],

astfel ıncat (1) sa fie adevarata. 2

286 Articole

Exemplul 6. Pentru functia f :

[

0,2

π

]

→ R definita prin

f(x) =

0, daca x = 0

x sin1

x, daca x ∈

(

0,2

π

]

,

exista o infinitate de puncte c ∈(

0,2

π

]

, printre care

ck =2

(4k + 1)π, k ∈ N,


Relativ la unicitatea punctului intermediar, are loc urmatoarea afir-matie.

Teorema 7 (teorema de unicitate a punctului intermediar). Fie a si b

numere reale astfel ıncat a < b si f : [a, b] → R o functie continua pe [a, b]

si derivabila pe (a, b). Daca functia f (1) este injectiva pe (a, b), atunci existaun singur punct c ∈ (a, b) astfel ıncat

f(b)− f(a) = (b− a)f (1)(c).

Demonstratie. Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem caexista doua puncte diferite c1 si c2, apartinand intervalului (a, b), astfel ıncat

f(b)− f(a) = (b− a)f (1)(c1)

si

f(b)− f(a) = (b− a)f (1)(c2).

De aici urmeaza ca f (1)(c1) = f (1)(c2). Deoarece f (1) este injectiva deducemca c1 = c2, care contrazice c1 6= c2. 2

Sa observam ca daca notam cu

θ =c− a

b− a,

atunciθ ∈ (0, 1), c = a+ (b− a)θ

si obtinem

f(b)− f(a) = (b− a)f (1)(a+ (b− a)θ).

Urmeaza ca teorema de medie a lui Lagrange poate fi formulata si ınmodul urmator:

Teorema 8 (teorema de medie, teorema cresterilor finite, teorema luiLagrange, teorema de medie a lui Lagrange). Fie a si b numere reale cu a < b

si f : [a, b] → R o functie care satisface urmatoarele conditii :(i) functia f este continua pe [a, b];


(ii) functia f este derivabila pe (a, b).Atunci exista cel putin un numar real θ ∈ (0, 1), astfel ıncat

f(b)− f(a) = (b− a)f (1)(a+ (b− a)θ). 2 (2)

Exemplul 9. Fie a, b ∈ R cu a < b. Pentru functia f : [a, b] → R

definita prin


exista un singur numar real θ ∈ (0, 1), si anume θ =1

2, astfel ıncat (2) sa fie

adevarata. 2

Exemplul 10. Pentru functia f : [−1, 1] → R definita prin

f(x) = x3, oricare ar fi x ∈ [−1, 1]

exista exact doua numere reale θ ∈ (0, 1), si anume θ1 =3−

√3

6si

θ2 =3 +

√3

6, astfel ıncat (2) sa fie adevarata. 2

Exemplul 11. Daca n este un numar natural, atunci pentru functia

f : [−nπ, nπ] → R definita prin

f(x) = cosx, oricare ar fi x ∈ [−nπ, nπ],

exista exact 2n− 1 numere reale θ ∈ (0, 1), si anume

θk =k + n

2n, k ∈ [−n+ 1, n− 1],


Exemplul 12. Pentru functia f :

[

0,2

π

]

→ R definita prin

f(x) =

0, daca x = 0

x sin1

x, daca x ∈

(

0,2

π

]

,

exista o infinitate de numere reale θ ∈ (0, 1), printre care

θk =1

4k + 1, k ∈ N,


Urmatoarea teorema da o conditie suficienta pentru ca numarul realθ ∈ (0, 1) din teorema 8 sa fie unic.

Teorema 13. Fie a si b numere reale astfel ıncat a < b si f : [a, b] → R

o functie continua pe [a, b] si derivabila pe (a, b). Daca functia f (1)este in-

jectiva pe (a, b), atunci exista un singur numar real θ ∈ (0, 1) astfel ıncat

f(b)− f(a) = (b− a)f (1)(a+ (b− a)θ).

288 Articole

Demonstratie. Folosim metoda reducerii la absurd. Presupunem caexista doua numere reale θ1, θ2 ∈ (0, 1), θ1 6= θ2 astfel ıncat

f(b)− f(a) = (b− a)f (1)(a+ (b− a)θ1)

si

f(b)− f(a) = (b− a)f (1)(a+ (b− a)θ2).

De aici urmeaza ca f (1)(a + (b − a)θ1) = f (1)(a + (b − a)θ2). Intrucat f (1)

este injectiva deducem ca a+ (b− a)θ1 = a+ (b− a)θ2, de unde obtinem caθ1 = θ2 care contrazice θ1 6= θ2.

2. Precizari ale pozitiei punctului intermediar

Pentru anumite clase de functii f : [a, b] → R, continue pe [a, b] si deri-vabile pe (a, b), pozitia punctului intermediar c ∈ (a, b) din teorema de mediea lui Lagrange se poate preciza. Astfel

Lema 14. Daca a si b sunt numere reale astfel ıncat a < b, atunci

pentru functia f : [a, b] → R, definita prin


avem

a < c =a+ b

2< b.

Demonstratie. Afirmatia se verifica imediat (vezi exemplul 2).

Prin urmare, pentru functia din lema 14, punctul intermediar din teo-rema de medie a lui Lagrange este media aritmetica a capetelor intervaluluipe care consideram functia.

Lema 15. Daca a si b sunt numere reale astfel ıncat 0 < a < b, atunci


f(x) =1

x, oricare ar fi x ∈ [a, b],

avem

a < c =√ab <

a+ b

2.

Demonstratie. Afirmatia se verifica imediat (vezi exemplul 3).

Merita sa retinem ca pentru functia din lema 15, punctul intermediardin teorema de medie a lui Lagrange este media geometrica a capetelor in-tervalului pe care consideram functia.

Lema 16. Daca a si b sunt numere reale astfel ıncat 0 < a < b, atunci


f(x) = lnx, oricare ar fi x ∈ [a, b],

avema

3√b+ b 3

√a

3√b+ 3

√a

< c <a+ b

2. (3)


Demonstratie. In baza teoremei de medie a lui Lagrange, exista unpunct c ∈ (a, b) astfel ıncat (1) sa aiba loc, adica sa avem

ln b− ln a = (b− a)1

c,

de unde deducem ca

c =b− a

ln b− ln a.

Urmeaza ca inegalitatile (3) sunt echivalente cu relatiile

a3√b+ b 3

√a

3√b+ 3

√a

<b− a

ln b− ln a<

a+ b

2,

adica cu relatiile

3

√

b

a+

b

a

3

√

b

a+ 1

<

b

a− 1

lnb

a

<1

2

(

1 +b

a

)

.

Intrucatb

a> 1, deducem ca este suficient sa aratam ca

3√t+ t

3√t+ 1

<t− 1

ln t<

1

2(1 + t) , oricare ar fi t ∈ (1,+∞).

Vom demonstra ca, pentru orice t ∈ (1,+∞) avem

2t− 1

t+ 1< ln t si 3 ln t <

(

t3 − 1)

(t+ 1)

t3 + t.

Pentru aceasta consideram functiile g, h : [1,+∞) → R definite prin

g (t) = ln t− 2t− 1

t+ 1,

h (t) =

(

t3 − 1)

(t+ 1)

t3 + t− 3 ln t,

oricare ar fi t ∈ [1,+∞). Deoarece

g′(t) =(t− 1)2

2t(t+ 1)2> 0, oricare ar fi t > 1,

h′ (t) =t6 + 6t4 + t3 + 3t2 + 1

(t3 + t)2> 0, oricare ar fi t > 1,

deducem ca functiile g si h sunt strict crescatoare pe [1,+∞). Asadar, pentruorice t ∈ (1,+∞), avem

g(t) > g (1) = 0 si h(t) > h(1) = 0.

Lema este demonstrata.

290 Articole

Merita sa retinem ca pentru functia logaritm natural punctul interme-diar din teorema de medie a lui Lagrange este ın prima jumatate a intervalului[a, b] ⊆ (0,+∞) pe care consideram functia.

Lema 17. Daca a si b sunt numere reale astfel ıncat 0 < a < b ≤ π

2,

atunci pentru functia f : [a, b] → R definita prin

f(x) = sinx, oricare ar fi x ∈ [a, b],

avema+ b

2< c <

a+ b

2+

b− a√12

. (4)

Demonstratie. In baza teoremei de medie a lui Lagrange, exista unpunct c ∈ (a, b) astfel ıncat (1) sa aiba loc, adica sa avem

sin b− sin a = (b− a) cos c,

de unde deducem ca

cos c =sin b− sin a

b− a=

sin d

dcos

a+ b

2, unde d :=

b− a

2∈(

0,π

4

]

.

Intrucat

cosu√3<

sinu

u< 1, oricare ar fi u ∈

(

0,π

2

)

,

obtinem

cosb− a

2√3cos

a+ b

2< cos c < cos

a+ b

2.

Deoarece

cosb− a

2√3cos

a+ b

2= cos

(

a+ b

2+

b− a

2√3

)

,

tinand seama de faptul ca functia cosinus este strict descrescatoare pe[

0,π

2

]

,

rezulta (4) .Merita sa retinem ca pentru functia sinus punctul intermediar din teo-

rema de medie a lui Lagrange este ın a doua jumatate a intervalului

[a, b] ⊆(

0,π

2

)

pe care consideram functia.

Urmatoarea afirmatie, datorata lui Al. Lupas, [17], precizeaza pozitiapunctului intermediar ıntr-un cadru mai general:

Teorema 18. Fie a, b numere reale cu a < b si f : [a, b] → R o functie

care satisface urmatoarele proprietati :(i) functia f este derivabila de trei ori pe [a, b] ;

(ii) functia f (3) este continua pe [a, b] ;

(iii) f (2)(x) 6= 0 6= f (3)(x), oricare ar fi x ∈ (a, b).Daca c ∈ (a, b) este un punct intermediar din teorema de medie a lui

Lagrange, atunci urmatoarele afirmatii sunt adevarate:


10 Daca

f (2) (x) f (3) (x) > 0, oricare ar fi x ∈ (a, b), (5)

atunci

a+ b

2< c <

(

f (1))−1

(

f (1) (a) + f (1) (b)

2

)

.

20 Daca

f (2) (x) f (3) (x) < 0, oricare ar fi x ∈ (a, b),

atunci(

f (1))−1

(

f (1) (a) + f (1) (b)

2

)

< c <a+ b

2.

Demonstratie. 10 Fie c ∈ (a, b) un punct pentru care avem

f (b)− f (a)

b− a= f (1) (c) .

i) Sa presupunem ca pentru orice x ∈ [a, b] avem f (2) (x) > 0. Atunci

functia f (1) este strict crescatoare pe [a, b] si deci injectiva pe [a, b] .

Pe de alta parte, din (5), deducem ca f (3)(x) > 0, oricare ar fi x ∈ [a, b]

si deci functia f (1) este strict convexa. Urmeaza ca functia f (1) satisfaceinegalitatile lui Jensen-Hadamard pentru functiile convexe

f (1)

(

a+ b

2

)

<1

b− a

b∫

a

f (1) (x) dx <f (1) (a) + f (1) (b)

2.

Intrucat

1

b− a

b∫

a

f (1)(x)dx =f (b)− f (a)

b− a= f (1)(c),

deducem ca

f (1)

(

a+ b

2

)

< f (1) (c) <f (1) (a) + f (1) (b)

2.

De aici urmeaza ca

a+ b

2< c <

(

f (1))−1

(

f (1) (a) + f (1) (b)

2

)

.

ii) Daca pentru orice x ∈ [a, b] avem f (2) (x) < 0, atunci f (1) este strict

concava si f (3) (x) < 0, oricare ar fi x ∈ [a, b] etc.20 Aceasta afirmatie se demonstreaza similar.

Merita retinut ca, ın ipotezele teoremei 18, punctul intermediar c dinteorema de medie a lui Lagrange este ın a doua jumatate a intervalului [a, b]

292 Articole

daca are loc ipoteza de la afirmatia 10, respectiv ın prima jumatate a inter-valului [a, b] daca are loc ipoteza de la afirmatia 20.

Lema 19. Daca a si b sunt numere reale astfel ıncat 0 < a < b ≤√3

3,

atunci pentru functia f : [a, b] → R definita prin

f(x) = arctanx, oricare ar fi x ∈ [a, b],

punctul intermediar c ∈ (a, b) din teorema de medie a lui Lagrange are pro-

prietatea ca

a+ b

2< c <

√a2 + b2

2.

Demonstratie. Se aplica teorema 18.

Lema 20. Fie n ≥ 2 un numar natural, a, b ∈ R cu 0 < a < b si

f : [a, b] → R definita prin

f (x) = xn+2, oricare ar fi x ∈ [a, b].

Punctul intermediar c ∈ (a, b) din teorema de medie a lui Lagrange are

proprietatea ca

a+ b

2< c <

n

√

an + bn

2.

Demonstratie. Se aplica teorema 18.

Lema 21 (D. Pompeiu). Fie a, b ∈ R cu a < b si a3, a2, a1, a0 ∈ R.

Pentru functia f : R → R definita prin

f(x) = a3x3 + a2x

2 + a1x+ a0, oricare ar fi x ∈ R,

exista un subinterval [a∗, b∗] ⊆ (a, b) astfel ıncat a∗ ≤ c ≤ b∗. Mai mult,

subintervalul care are cea mai mica lungime are extremitatile

a∗ =a+ b

2− b− a

2w, b∗ =

a+ b

2+

b− a

2w, unde w =

√3

3. 2 (6)

Intervalul [a∗, b∗] , unde a∗ si b∗ sunt dati de (6) , se numeste intervalul

de contractie pentru polinoame de gradul al treilea.Semnificatia geometrica este urmatoarea: intervalul ın care se gaseste

punctul intermediar c se contracta de la b− a la w(b− a). Numarul w =

√3

3se numeste coeficientul de contractie al polinoamelor de gradul al treilea.

Observatia 22. Intervalul de contractie pentru polinoamele de gradul

al treilea nu poate fi ımbunatatit. Intr-adevar pentru functia polinomiala

f : R → R definita prin

f (x) =

(

x− a+ b

2

)3

, oricare ar fi x ∈ R,


exista exact doua puncte intermediare c care verifica formula cresterilor fi-

nite; acestea sunt c1 = a∗ si c2 = b∗, unde a∗ si b∗ sunt date de (6).Problema determinarii intervalului de contractie, a fost abordata de mai

multi matematicieni: P. Sergescu [26], L. Teodoriu [31], L. Tchakaloff [28],[29], Gh. Mihoc [19], [18], N. Cioranescu [7], E. Abason [1], [2], [3] etc.

Lema 23 (I. Tchakaloff ). Fie a, b ∈ R cu a < b si an, an−1, ..., a1,

a0 ∈ R. Pentru functia f : R → R definita prin

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0, oricare ar fi x ∈ R,

exista un subinterval [a∗, b∗] ⊆ (a, b) astfel ıncat punctul c din teorema de

medie a lui Lagrange este ın intervalul [a∗, b∗] . Mai mult, subintervalul care

are cea mai mica lungime are extremitatile

a∗ =a+ b

2− b− a

2w, b∗ =

a+ b

2+

b− a

2w,

unde w este cea mai mare radacina a polinomului Pm a lui Legendre, de

gradul m =

[

n+ 1

2

]

. 2

Bibliografie

[1] E. Abason, Sur le theoreme des accroissements finis, Bulletin de Mathematiques et dePhysique Pures et Appliquees de l’Ecole Polytechnique de Bucharest, 1(1929), no. 1,4-10.

[2] E. Abason Sur le theoreme des accroissements finis, Bulletin de Mathematiques et dePhysique Pures et Appliquees de l’Ecole Polytechnique de Bucharest, 1(1930), no. 2,81-86.

[3] E. Abason, Sur le theoreme des accroissements finis, Bulletin de Mathematiques et dePhysique Pures et Appliquees de l’Ecole Polytechnique de Bucharest, 1(1930), no. 3,149-152.

[4] A.M. Ampere, Recherche sur quelques points de la theorie des functions, J. EcolePolyt., Cah. 13, 6(1806), 148-181.

[5] D. Andrica, D. I. Duca, I. Purdea si I. Pop, Matematica de baza, Editura Studium,Cluj-Napoca, 2004.

[6] Th. Angheluta, Sur une equation algebrique: application a la formule de Taylor, Ma-thematica (Cluj), 6(1932), 140-145.

[7] N. Cioranescu, L’intervalle de contraction pour les equations algebriques aux differen-

ces finites, Bulletin de Mathematiques et de Physique Pures et Appliquees de l’EcolePolytechnique de Bucharest, 4(1933-1934), no. 2-3, 97-99.

[8] D. I. Duca, A Note on the Mean Value Theorem, Didactica Matematicii, 19(2003),91-102.

[9] D. I. Duca si E. Duca, Exercitii si probleme de analiza matematica, vol. 1, Casa Cartiide Stiinta, Cluj-Napoca, 2007.

[10] D. I. Duca si E. Duca, Exercitii si probleme de analiza matematica, vol. 2, Casa Cartiide Stiinta, Cluj-Napoca, 2009.

[11] D. I. Duca si O. Pop: On the Intermediate Point in Cauchy’s Mean-Value Theorem,Mathematical Inequalities & Applications, 9(2006), no. 3, 375-389.

[12] D. I. Duca and O.T. Pop, Concerning the Intermediate Point in the Mean Value

Theorem, Mathematical Inequalities & Applications, 12 (2009) , no. 3, 499-512.

294 Articole

[13] T. M. Flett, A Mean Value Theorem, Math. Gazette, 42(1958), 38-39.[14] A. Froda, Existenta intervalului de contractie ın clasa polinoamelor de grad n, Buletin

Stiintific Acad. R.P.R., Ser. Mat. Fiz. Chim., Bucuresti, 2(1950), no. 5, 461-465.[15] I. Grattan-Guiness, From the Calculus to Set Theory, 1630-1910, Duckworth, London,

1980.[16] J.J. Koliha, Mean, Meaner, and the Meanest Mean Value Theorem, The American

Mathematical Monthly, 116(2009), no. 4, 356-361.[17] Al. Lupas, Asupra teoremei cresterilor finite, Revista de matematica a elevilor din

Timisoara, XIV (1983), no. 2, 6-13.[18] Gh. Mihoc, Sur la formule de la moyenne, Bull. Math. Phys Pures Appl. Ecole Poly-

techn. Bucarest, 3(1931-1932), no. 2, 102-104.[19] Gh. Mihoc, Sur la determination de l’intervalle de contraction de la formule de la

moyenne, C.R. Acad Sci. Paris, 200 (1935), 1654-1655.[20] Gh. Mihoc, Formula mediei pentru polinoame, Gazeta Matematica, 43 (1937/1938),

573-577.[21] Gh. Mihoc, Formula mediei pentru polinoame, Gazeta Matematica, 43 (1937/1938),

626-633.[22] E.C. Popa, Continuity Properties Relative to the Intermediate Point in a Mean Value

Theorem, Gen. Math., 12 (2004), no. 3, 53-59.[23] D. Pompeiu, Sur la theoreme des accroissements finis, Ann. Scient. Univ. Jassy,

15(1928), no. 3-4, 335-337.[24] D. Pompeiu, Opera matematica, Editura Academiei, Bucuresti, 1959, pp. 273-275, pp.

293-298.[25] T. Popoviciu, Asupra unor formule de medie, Revista de analiza numerica si teoria

aproximatiei, 1(1972), 97-107.[26] P. Sergescu, Remarques sur les zeros de l’equation cubique, Bulletin Scientifique de

L’Ecole Polytechnique de Timisoara, 2(1929), no. 3-4, 181-182.[27] P. Sergescu, Sur les modules des racines des equations algebriques, Mathematica (Cluj),

2(1929), 140-153.[28] L. Tchakaloff, Sur la structure des ensemble lineaires definis par un certaine propriete

minimale, Acta Mathematica, 63(1934), 77-97.

[29] L. Tchakaloff, Uber den Rolleschen Satz angewandt auf lineare Kombinationen, endlich

viller Funktionen, C.R. du Premier Congres des mathematiciens hongrois Budapest,27.08-2.09.1950, Budapest,1952, pp. 591-594.

[30] L. Teodoriu: Sur une equation aux derivees partielle qui s’introduit dans un probleme

de moyenne, C.R. Acad. Sci. Paris, 191 (1930), 431-433.[31] L. Teodoriu, Cercetari asupra teoremei cresterilor finite, Facultatea de Stiinte din

Bucuresti, Teza de doctorat, nr. 71, Bucuresti, 1931.[32] A. Vernescu, Numarul e si matematica exponentialei, Editura Universitatii din Bu-

curesti, Bucuresti, 2004.

J. L. D-Barrero& J. G-Baguena, Inequalities Derived 295

Inequalities Derived Using Telescopic Sums

J. L. Diaz-Barrero and J. Gibergans-Baguena1)

Abstract. Telescopic sums and classical inequalities are used to derivesome discrete inequalities. Finally, a rational sum is considered and anumerical inequality is also obtained.

Keywords: Classical inequalities, telescopic sums, discrete inequalities.

MSC : 26D15

1. IntroductionMany occasions in everyday life as well as in mathematics require to

compute the sum of the first n terms of a given sequence ann≥1. What

is wanted is a close expression forn∑

k=1

ak, but there is no formula for the

preceding sum unless the terms of the sequence are formed according to somepattern. A sum in which subsequent terms cancel each other, leaving onlyinitial and final terms is called a telescopic sum [1]. Telescopic sums havemany applications in Analysis, Topology, Probability and Statistics ([2], [3],[4]). Our goal in this paper is to use them jointly with classical inequalitiesto derive some elementary discrete inequalities.

2. The Inequalities

In what follows, telescopic sums are used as a technique to obtain newinequalities. We begin with

Theorem 1. Let n be a positive integer and let a1, a2, . . . , an be positive

numbers. Then

1 +

(

n∑

k=1

akC(n, k)12

1 + a21 + . . .+ a2k

)2

< 2n,

where C(n, k) =

(

n

k

)

, 1 ≤ k ≤ n.

Proof. Let −→u =

(

a1

1 + a21,

a2

1 + a21 + a22, . . . ,

an

1 + a21 + a22 + . . .+ a2n

)

and −→v =(

C(n, 1)12 , C(n, 2)

12 , . . . , C(n, n)

12

)

. Applying the inequality of

Cauchy-Buniakovski-Schwarz we obtain(

n∑

k=1

akC(n, k)12

1 + a21 + . . .+ a2k

)2

≤(

n∑

k=1

a2k(

1 + a21 + . . .+ a2k)2

)(

n∑

k=1

C(n, k)

)

. (1)

1)Applied Mathematics III, Universidad Politecnica de Catalunia, Barcelona, Spain,[email protected], [email protected]

296 Articole

We claim that(

a1

1 + a21

)2

+

(

a2

1 + a21 + a22

)2

+ . . .+

(

an

1 + a21 + a22 + . . .+ a2n

)2

< 1.

In fact,a21

(

1 + a21)2 = 1− 1

1 + a21, and for 2 ≤ k ≤ n,

a2k(

1 + a21 + . . .+ a2k)2 ≤ a2k

(

1 + a21 + . . .+ a2k−1

) (

1 + a21 + . . .+ a2k) =

=1

1 + a21 + . . .+ a2k−1

− 1

1 + a21 + . . .+ a2k.

Adding the preceding expressions, we getn∑

k=1

a2k(

1 + a21 + . . .+ a2k)2 ≤ 1− 1

1 + a21 + a22 + . . .+ a2n≤ 1

as claimed. From (1) and taking into account the well-known identity

n∑

k=1

C(n, k) = 2n − 1,

we get(

n∑

k=1

akC(n, k)12

1 + a21 + . . .+ a2k

)2

≤(

n∑

k=1

a2k(

1 + a21 + . . .+ a2k)2

)(

n∑

k=1

C(n, k)

)

< 2n− 1

from which the statement follows and the proof is complete.

An inequality involving the terms of a recurrent sequence is given inthe following:

Theorem 2. Let (an)n≥1 be a sequence of real numbers defined by

a1 = 3, a2 = 5 and for all n ≥ 3, an+1 =1

2

(

a2n + 1)

. Then

(

n∑

k=1

ak√ak + 1

)2

<1

2

n∑

k=1

a2k.

Proof. We claim thatn∑

k=1

1

ak + 1<

1

2for 1 ≤ k ≤ n. Indeed, from

ak+1 − 1 =1

2

(

a2k − 1)

=1

2(ak + 1) (ak − 1)

valid for all k ≥ 1, we have

1

ak+1 − 1=

2

(ak + 1) (ak − 1)=

1

ak − 1− 1

ak + 1


and1

ak + 1=

1

ak − 1− 1

ak+1 − 1.

Adding up the preceding identities for 1 ≤ k ≤ n yieldsn∑

k=1

1

ak + 1=

(

1

a1 − 1− 1

a2 − 1

)

+

(

1

a2 − 1− 1

a3 − 1

)

+ . . .+

+

(

1

an − 1− 1

an+1 − 1

)

=1

2− 1

an+1 − 1<

1

2.

Applying Cauchy-Buniakovski-Schwarz inequality to the vector

−→u = (a1, a2, . . . , an) and−→v =

(

1√a1 + 1

,1√

a2 + 1, . . . ,

1√an + 1

)

we get

(

n∑

k=1

ak√ak + 1

)2

≤(

n∑

k=1

a2k

)(

n∑

k=1

1

ak + 1

)

<1

2

n∑

k=1

a2k

and the proof is complete.

Now, an inequality with constraints is presented.

Theorem 3. Let a1, a2, . . . , an+1 be positive numbers such that

n∑

k=1

1

a2k+1

= 1.

Then

n∑

k=1

k∏

j=1

a2j

12

≥ 4a1 (1− a2a3 · . . . · an+1) .

Proof. Applying Cauchy-Buniakovski-Schwarz inequality to the vector

−→u = (a1, a1a2, . . . , a1a2 . . . an) and−→v =

(

1

a2,1

a3, . . . ,

1

an+1

)

yields

n∑

k=1

a1a2 · . . . · akak+1

≤(

n∑

k=1

(a1 · . . . · ak)2) 1

2(

n∑

k=1

1

a2k+1

) 12

. (2)

On the other hand, from (2ak+1 − 1)2 ≥ 0, we have1

ak+1≥ 4 (1− ak+1).

Multiplying both sides of the last inequality by a1a2 . . . ak yieldsa1a2 . . . ak

ak+1≥ 4 (a1a2 . . . ak − a1a2 . . . ak+1)

valid for 1 ≤ k ≤ n. Adding up the preceding inequalities, we getn∑

k=1

a1a2 . . . ak

ak+1≥ 4

n∑

k=1

(a1a2 . . . ak − a1a2 . . . ak+1) = 4 (a1 − a1a2 . . . an+1) .

298 Articole

Taking into account the last inequality and the constraint condition,from (2), the statement follows and tge proof is complete.

In the sequel, two numerical inequalities are derived. We begin withTheorem 4. Let n be a positive integer. Then

n∑

k=0

(

n

k

)2

(

2n− 1

k

)2 ≥ 4

n+ 1.

Proof. Let −→u = (a0, a1, . . . , an) and −→v = (1, 1, . . . , 1), where for

0 ≤ k ≤ n is ak =

(

n

k

)

(

2n− 1

k

) . Taking into account Cauchy-Buniakovski-

Schwarz inequality we get

(a0 + a1 + . . .+ an)2 ≤ (n+ 1)

(

a20 + a21 + . . .+ a2n)

from which immediately follows that:

n∑

k=0

(

n

k

)2

(

2n− 1

k

)2 ≥ 1

n+ 1

n∑

k=0

(

n

k

)

(

2n− 1

k

)

2

. (3)

On the other hand, we have(

n

k

)

(

2n

k

) −

(

n

k + 1

)

(

2n

k + 1

) =n!(2n− k)!

(n− k)!(2n)!− n!(2n− k − 1)!

(n− k − 1)!(2n)!=

=n!(2n− k − 1)!

(n− k)!(2n− 1)!

[

2n− k

2n− n− k

2n

]

=1

2

(

n

k

)

(

2n− 1

k

) .

Therefore

n∑

k=0

(

n

k

)

(

2n− 1

k

) = 2n∑

k=0

(

n

k

)

(

2n

k

) −

(

n

k + 1

)

(

2n

k + 1

)

= 2

(

n

0

)

(

2n

0

) −

(

n

n+ 1

)

(

2n

n+ 1

)

= 2

because

(

n

n+ 1

)

= 0. Thus (3) becomes


n∑

k=0

(

n

k

)2

(

2n− 1

k

)2 ≥ 4

n+ 1.

Equality holds when n = 1 and the proof is complete.

Theorem 5. Let n be a positive integer and let a > 1. Then

2n+1

a2n+1 − 1

+1

n+ 1

[

n∑

k=0

(

2k

a2k + 1

)

12

]2

≤ 1

a− 1.

Proof. Let −→u = (a0, a1, . . . , an) and −→v = (1, 1, . . . , 1), where for

0 ≤ k ≤ n is ak =

(

2k

a2k + 1

)

12

. Again applying Cauchy-Buniakovski-

Schwarz, inequality we get

(a0 + a1 + . . .+ an)2

n+ 1≤ a20 + a21 + . . .+ a2n.

Since, for all k, 0 ≤ k ≤ n, is

2k

a2k + 1

=2k(

a2k − 1

)

a2k+1 − 1

=2k(

a2k+ 1)

− 2k+1

a2k+1 − 1

=2k

a2k − 1

=2k+1

a2k+1 − 1

,

then the sum a20 + a21 + . . .+ a2n telescopes. That is

n∑

k=0

2k

a2k + 1

=1

a− 1− 2n+1

a2n+1 − 1

from which the statement immediately follows.

Finallly, using identities similar to the ones appeared in [5] we give anumerical inequality involving rational sums.

Theorem 6. Let n be a positive integer. Then

1

2

∑

1≤i1≤n+1

1

i1

12

+

∑

1≤i1<i2≤n+1

1

i1i2

12

+ . . .

. . .+

∑

1≤i1<...<in≤n+1

1

i1i2 · . . . · in

12

2

≤(

n+ 1

2

)

.

Proof. To prove the preceding statement we need the following Lemma:

300 Articole

Lemma 1. Let n be a positive integer. Then

∑

1≤i1≤n+1

1

i1+

∑

1≤i1<i2≤n+1

1

i1i2+ . . .+

∑

1≤i1<...<in≤n+1

1

i1i2 · . . . · in=

= (n+ 1)− 1

(n+ 1)!.

Proof. Let us denote by S the following sum:

S = 1 +∑

1≤i1≤n+1

1

i1+

∑

1≤i1<i2≤n+1

1

i1 · i2+ . . .+

1

1 · 2 · . . . · n+ 1=

=n+1∏

k=1

(

1 +1

k

)

=n+1∏

k=1

k + 1

k=

(n+ 2)!

(n+ 1)!= n+ 2.

Then∑

1≤i1≤n+1

1

i1+

∑

1≤i1<i2≤n+1

1

i1i2+ . . .+

∑

1≤i1<...<in≤n+1

1

i1i2 · . . . · in=

= S −(

1 +1

1 · 2 · . . . · n+ 1

)

= n+ 1− 1

(n+ 1)!.

Putting

−→u =

∑

1≤i1≤n+1

1

i1

12

,

∑

1≤i1<i2≤n+1

1

i1i2

12

, . . .

. . . ,

∑

1≤i1<...<in≤n+1

1

i1i2 · . . . · in

12

and −→v = (1, 1, . . . , 1) into Cauchy-Buniakovski-Schwarz inequality andtaking into account the Lemma yields

∑

1≤i1≤n+1

1

i1

12

+

∑

1≤i1<i2≤n+1

1

i1i2

12

+ . . .+

+

∑

1≤i1<...<in≤n+1

1

i1i2 · . . . · in

12

2

≤

≤ n

∑

1≤i1≤n+1

1

i1+

∑

1≤i1<i2≤n+1

1

i1i2+ . . .+

∑

1≤i1<...<in≤n+1

1

i1i2 · . . . · in

≤

A. Sıntamarian, Approximations for Euler’s constant 301

≤ n(n+ 1)− n

(n+ 1)!< 2

(

n+ 1

2

)

from which the statement follows.

Acknowledgements. The authors thank to Ministry of Education ofSpain that has supported this research by grant MTM2006-03040.

References

[1] T. M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2nd. ed. Blaisdell Publishing Company, 1967.[2] K. Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Dover, New York, 1990.[3] B. Mazur, On the structure of certain semi-groups of spherical knot classes, Publica-

tions Mathematiques de l’I. H.E. S., 3 (1959), 19-27.[4] H. A. David and H. N. Nagaraja, Order Statistics, 3rd. ed. Wiley, New Jersey, 1973.[5] J. L. Diaz-Barrero and J. Gibergans-Baguena, Some Identities Involving Rational

Sums. Applicable Analysis and Discrete Mathematics, Vol. I, (2007) 397-402.

Approximations for a generalization of Euler’s constant

Alina Sıntamarian1)

Abstract. The purpose of this paper is to give some sequences that con-verge to a generalization of Euler ’s constant and to evaluate the speed ofconvergence.

Keywords: sequence, convergence, Euler ’s constant, approximation.

MSC : 11Y60, 40A05.

1. Introduction

It is known that the sequence (Dn)n∈N defined by Dn = 1 +1

2+ · · · +

+1

n− lnn, for each n ∈ N, is convergent and γ = lim

n→∞Dn is called Euler ’s

constant (γ = 0.5772 . . .).From the many results given in the literature regarding Euler ’s constant

γ, we recall one presented by A. Vernescu [10] in Gazeta Matematica, Seria

B. He proved that1

2n+ 1< Dn − γ <

1

2n, for each n ∈ N.

I. Nedelcu, [3], proposed in Gazeta Matematica, Seria B, the followingproblem:

Show that the sequence

(

1

a1+

1

a2+ · · ·+ 1

an− 1

rln an

)

n∈N

is conver-

gent, where (an)n∈N is a sequence defined by an = a + (n − 1)r, for each

n ∈ N, with a, r ∈ (0,+∞).

1)Department of Mathematics, Technical University of Cluj-Napoca, Romania,[email protected]

302 Articole

In Section 2 we consider the sequence

(

1

a1+

1

a2+. . .+

1

an− 1

rln

an

a

)

n∈Nand we denote its limit by γ(a, r). This sequence, for a = 1 and r = 1,becomes the sequence (Dn)n∈N. In this section we establish the existence ofγ(a, r).

In Section 3 we give sequences that converge to γ(a, r) quicker thanthose presented in Section 2.

2. The number γ(a, r)

Theorem 2.1. Let (an)n∈N be a sequence defined by an = a+(n− 1)r,for each n ∈ N, where a, r ∈ (0,+∞). We consider the sequences (un)n∈N,(vn)n∈N, (xn)n∈N, (yn)n∈N and (zn)n∈N defined by

un =

(

1 +r

an

)anr

, vn =

(

1 +r

an

)

an+1r

,

xn =1

a1+

1

a2+ · · ·+ 1

an− 1

rln

an+1

a,

yn =1

a1+

1

a2+ · · ·+ 1

an− 1

rln

an

a,

zn =xn + yn

2=

1

a1+

1

a2+ · · ·+ 1

an− 1

rln

√anan+1

a,

for each n ∈ N. Then

(i) un < un+1 < e < vn+1 < vn, for any n ∈ N;

(ii)1

an+1<

1

r(ln an+1 − ln an) <

1

an, for any n ∈ N;

(iii) the sequences (xn)n∈N and (yn)n∈N are convergent to the same num-

ber, which we denote by γ(a, r), and satisfy the inequalities

xn < xn+1 < γ(a, r) < yn+1 < yn, for each n ∈ N;

(iv) 0 <1

a− 1

rln(

1 +r

a

)

< γ(a, r) <1

a;

(v) limn→∞

n(γ(a, r)− xn) =1

2r, limn→∞

n(yn − γ(a, r)) =1

2rand

limn→∞

n2(zn − γ(a, r)) =1

6r.

Proof. (i) It is well-known the Bernoulli ’s inequality (1+ t)α > 1+αt,for each t ∈ (−1,+∞) \ 0 and for any α ∈ (1,+∞).

We have

un+1

un=

(

1 +r

an+1

)

an+1r

(

1 +r

an

)anr

=

(

an + 2r

an + r

)an+r

r(

an

an + r

)an+r

r an + r

an=


=

[

an(an + 2r)

(an + r)2

]an+r

r an + r

an=

[

1−(

r

an + r

)2]

an+rr

an + r

an>

>

[

1− an + r

r

(

r

an + r

)2]

an + r

an= 1,

for each n ∈ N, taking into account the Bernoulli ’s inequality.Using also the Bernoulli ’s inequality, we are able to write that

vn

vn+1=

(

1 +r

an

)

an+1r

(

1 +r

an+1

)

an+2r

=

(

an + r

an

)an+r

r(

an + r

an + 2r

)an+r

r an + r

an + 2r=

=

[

(an + r)2

an(an + 2r)

]

an+rr an + r

an + 2r=

[

1 +r2

an(an + 2r)

]

an+rr an + r

an + 2r>

>

[

1 +an + r

r· r2

an(an + 2r)

]

an + r

an + 2r=

an(an + 2r)2 + r3

an(an + 2r)2> 1,

for each n ∈ N.Of course we have that lim

n→∞un = e and lim

n→∞vn = e.

Now we are able to write that un < un+1 < e < vn+1 < vn, for anyn ∈ N.

(ii) According to part (i) we have the inequalities

(

1 +r

an

)anr

< e <

(

1 +r

an

)

an+1r

,

for each n ∈ N. Taking logarithms we obtain

an

rln

(

1 +r

an

)

< 1 <an+1

rln

(

1 +r

an

)

,

for each n ∈ N. It follows that

1

an+1<

1


1

an,

for any n ∈ N.(To these inequalities we can get in the following way as well. We considerthe function f : [α, β] → R defined by f(x) = lnx, for each x ∈ [α, β],where 0 < α < β. It follows, according to Lagrange’s formula of finiteincrements, that there exists c ∈ (α, β) such that f(β)−f(α) = f ′(c)(β−α),

304 Articole

i.e. lnβ − lnα =1

c(β − α). Therefore

1

β<

1

β − α(lnβ − lnα) <

1

α. From

here, choosing α = an and β = an+1, we obtain that

1

an+1<

1


1

an,

for each n ∈ N.)(iii) According to part (ii) we have the inequalities

1

r(ln an+2 − ln an+1) <

1

an+1

and1

an+1<

1

r(ln an+1 − ln an),

for each n ∈ N.Using these inequalities we get that

xn+1 − xn =1

an+1− 1

rln

an+2

an+1> 0,

for any n ∈ N, and

yn+1 − yn =1

an+1− 1

rln

an+1

an< 0,

for any n ∈ N.At the same time

yn − xn =1

rln

an+1

an> 0,

for each n ∈ N.So, the sequence (xn)n∈N is strictly increasing and upper bounded,

hence convergent, and the sequence (yn)n∈N is strictly decreasing and lowerbounded, hence convergent.

Because limn→∞

(yn − xn) = 0, it follows that the sequences (xn)n∈N and

(yn)n∈N have the same limit. Denoting by γ(a, r) this limit, we can writethat xn < xn+1 < γ(a, r) < yn+1 < yn, for any n ∈ N.

(iv) From part (iii) we have that

1

a− 1

rln(

1 +r

a

)

= x1 < γ(a, r) < y1 =1

a.

Clearly1

a− 1

rln(

1 +r

a

)

> 0, because ln(1 + t) < t, for any t > 0.

(v) We have

limn→∞

γ(a, r)− xn+1 − (γ(a, r)− xn)1

n+ 1− 1

n

= limn→∞

xn+1 − xn1

n(n+ 1)

=


= limn→∞

1

an+1− 1

rln

an+2

an+1

1

n(n+ 1)

= limn→∞

1

a+ nr− 1

rln

(

1 +r

a+ nr

)

1

n(n+ 1)

=1

2r,

taking into account that

limx→∞

1

a+ rx− 1

rln

(

1 +r

a+ rx

)

1

x(x+ 1)

= limx→∞

− r

(a+ rx)2− 1

r·− r2

(a+ rx)2

1 +r

a+ rx

− 2x+ 1

(x2 + x)2

=

= r2 limx→∞

(x2 + x)2

(2x+ 1)(a+ rx)2(a+ r + rx)=

1

2r.

Now, according to the Stolz-Cesaro theorem ([1, pp. 72–74], [5, p. 81],[7]), we can write that

limn→∞

n(γ(a, r)− xn) = limn→∞

γ(a, r)− xn1

n

=

= limn→∞

γ(a, r)− xn+1 − (γ(a, r)− xn)1

n+ 1− 1

n

=1

2r.

The others two limits can be obtained in a similar way. 2

Remark 2.1. If we choose a = 1 and r = 1 in Theorem 2.1, then we

obtain results contained in [8] and [2].

3. Approximations for the number γ(a, r)

Approximations for the number γ(a, r) can be obtained using the ine-qualities from part (iii) of Theorem 2.1. Further on we shall prove finerinequalities which will allow us to give better approximations for γ(a, r).

Theorem 3.1. Let (an)n∈N be a sequence defined by an = a+(n− 1)r,for each n ∈ N, where a, r ∈ (0,+∞).

We consider the sequences (αn)n∈N and (βn)n∈N defined by

αn =1

a1+

1

a2+ · · ·+ 1

an− 1

rln

(

an

a+

r

2a+

r2

24aan

)

,

βn =1

a1+

1

a2+ · · ·+ 1

an− 1

rln

(

an

a+

r

2a+

r2

24aan+1

)

,

for each n ∈ N.

306 Articole

Also, we consider the sequence (θn)n∈N defined so that1

a1+

1

a2+ · · ·+

+1

an− 1

rln(an

a+ θn

)

= γ(a, r), for each n ∈ N, where γ(a, r) is the limit of

the sequence

(

1

a1+

1

a2+ · · ·+ 1

an− 1

rln

an

a

)

n∈N

.

Then

(i) αn < αn+1 < γ(a, r) < βn+1 < βn, for each n ∈ N;

(ii) limn→∞

n3(γ(a, r)− αn) =1

48rand lim

n→∞n3(βn − γ(a, r)) =

1

48r;

(iii) limn→∞

n4

(

γ(a, r)− αn + βn

2

)

=97

5760r;

(iv) the sequence (θn)n∈N is strictly decreasing, bounded and

limn→∞

θn =r

2a.

Proof. (i) We have

αn+2 − αn+1 =1

an+2− 1

rln

(

an+2

a+

r

2a+

r2

24aan+2

)

+

+1

rln

(

an+1

a+

r

2a+

r2

24aan+1

)

=

=1

a+ (n+ 1)r− 1

rln

(

a+ (n+ 1)r

a+

r

2a+

r2

24a(a+ (n+ 1)r)

)

+

+1

rln

(

a+ nr

a+

r

2a+

r2

24a(a+ nr)

)

,

for any n ∈ N ∪ 0.We consider the function f : [0,+∞) → R, defined by

f(x) =1

a+ r + rx− 1

rln

(

a+ r + rx

a+

r

2a+

r2

24a(a+ r + rx)

)

+

+1

rln

(

a+ rx

a+

r

2a+

r2

24a(a+ rx)

)

,

for each x ∈ [0,+∞). We have f ′(x) = − r

(a+ r + rx)2−

− 24(a+ r + rx)2 − r2

(a+ r + rx)[24(a+ r + rx)2 + 12r(a+ r + rx) + r2]+

+24(a+ rx)2 − r2

(a+ rx)[24(a+ rx)2 + 12r(a+ rx) + r2]=

= −144r6x2 + (288ar5 + 194r6)x+ 144a2r4 + 194ar5 + 37r6

(a+ rx)(a+ r + rx)2[24(a+ rx)2 + 12r(a+ rx) + r2]·


· 1

24(a+ r + rx)2 + 12r(a+ r + rx) + r2< 0,

for any x ∈ [0,+∞). It follows that the function f is strictly decreasing on[0,+∞). Also, we have that lim

x→∞f(x) = 0. Therefore f(x) > 0, for any

x ∈ [0,+∞), which means that αn+2 − αn+1 > 0, for each n ∈ N ∪ 0, i.e.the sequence (αn)n∈N is strictly increasing.

We have

βn+1 − βn =1

an+1− 1

rln

(

an+1

a+

r

2a+

r2

24aan+2

)

+

+1

rln

(

an

a+

r

2a+

r2

24aan+1

)

=

=1

a+ nr− 1

rln

(

a+ nr

a+

r

2a+

r2

24a(a+ (n+ 1)r)

)

+

+1

rln

(

a+ (n− 1)r

a+

r

2a+

r2

24a(a+ nr)

)

,

for any n ∈ N.We consider the function g : [1,+∞) → R, defined by

g(x) =1

a+ rx− 1

rln

(

a+ rx

a+

r

2a+

r2

24a(a+ r + rx)

)

+

+1

rln

(

a− r + rx

a+

r

2a+

r2

24a(a+ rx)

)

,

for each x ∈ [1,+∞). We have

g′(x) = − r

(a+ rx)2−

− 24(a+ r + rx)2 − r2

(a+ r + rx)[24(a+ rx)(a+ r + rx) + 12r(a+ r + rx) + r2]+

+24(a+ rx)2 − r2

(a+ rx)[24(a− r + rx)(a+ rx) + 12r(a+ rx) + r2]=

=144r6x2 + (288ar5 + 94r6)x+ 144a2r4 + 94ar5 − 13r6

(a+ rx)2(a+ r + rx)[24(a− r + rx)(a+ rx) + 12r(a+ rx) + r2]·

· 1

24(a+ rx)(a+ r + rx) + 12r(a+ r + rx) + r2> 0,

for any x ∈ [1,+∞). It follows that the function g is strictly increasing on[1,+∞). Also, we have that lim

x→∞g(x) = 0. Therefore g(x) < 0, for any

x ∈ [1,+∞), which means that βn+1 − βn < 0, for each n ∈ N, i.e. thesequence (βn)n∈N is strictly decreasing.

We have limn→∞

αn = γ(a, r) and limn→∞

βn = γ(a, r).

308 Articole

Now we can write that αn < αn+1 < γ(a, r) < βn+1 < βn, for anyn ∈ N.

(ii) We have

limn→∞

γ(a, r)− αn+2 − (γ(a, r)− αn+1)1

(n+ 2)3− 1

(n+ 1)3

= limn→∞

−(αn+2 − αn+1)1

(n+ 2)3− 1

(n+ 1)3

=1

48r,

taking into account that

limx→∞

−f(x)1

(x+ 2)3− 1

(x+ 1)3

= limx→∞

−f ′(x)

− 3

(x+ 2)4+

3

(x+ 1)4

=

= limx→∞

−(x+ 1)4(x+ 2)4f ′(x)

3[(x+ 2)4 − (x+ 1)4]=

1

48r.

Now, according to the Stolz-Cesaro theorem ([1, pp. 72–74], [5, p. 81],[7]), we can write that

limn→∞

n3(γ(a, r)−αn) = limn→∞

(n+1)3(γ(a, r)−αn+1) = limn→∞

γ(a, r)− αn+1

1

(n+ 1)3

=

= limn→∞

γ(a, r)− αn+2 − (γ(a, r)− αn+1)1

(n+ 2)3− 1

(n+ 1)3

=1

48r.

The other limit can be obtained in a similar way.

(iii) We have

αn+1 + βn+1

2− αn + βn

2=

1

an+1−

− 1

2rln

(

an+1

a+

r

2a+

r2

24aan+1

)

− 1

2rln

(

an+1

a+

r

2a+

r2

24aan+2

)

+

+1

2rln

(

an

a+

r

2a+

r2

24aan

)

+1

2rln

(

an

a+

r

2a+

r2

24aan+1

)

=

=1

a+ nr− 1

2rln

(

a+ nr

a+

r

2a+

r2

24a(a+ nr)

)

−

− 1

2rln

(

a+ nr

a+

r

2a+

r2

24a(a+ (n+ 1)r)

)

+

+1

2rln

(

a+ (n− 1)r

a+

r

2a+

r2

24a(a+ (n− 1)r)

)

+

+1

2rln

(

a+ (n− 1)r

a+

r

2a+

r2

24a(a+ nr)

)

,

for any n ∈ N.


We consider the function h : [1,+∞) → R, defined by

h(x) =1

a+ rx− 1

2rln

(

a+ rx

a+

r

2a+

r2

24a(a+ rx)

)

−

− 1

2rln

(

a+ rx

a+

r

2a+

r2

24a(a+ r + rx)

)

+

+1

2rln

(

a− r + rx

a+

r

2a+

r2

24a(a− r + rx)

)

+

+1

2rln

(

a− r + rx

a+

r

2a+

r2

24a(a+ rx)

)

,


h′(x) = − r

(a+ rx)2− 24(a+ rx)2 − r2

2(a+ rx)[24(a+ rx)2 + 12r(a+ rx) + r2]−

− 24(a+ r + rx)2 − r2

2(a+ r + rx)[24(a+ rx)(a+ r + rx) + 12r(a+ r + rx) + r2]+

+24(a− r + rx)2 − r2

2(a− r + rx)[24(a− r + rx)2 + 12r(a− r + rx) + r2]+

+24(a+ rx)2 − r2

2(a+ rx)[24(a− r + rx)(a+ rx) + 12r(a+ rx) + r2]=

= [−223488r11x6 − 1340928ar10x5 + (−3352320a2r9 + 182400r11)x4+

+(−4469760a3r8 + 729600ar10)x3+

+(−3352320a4r7 + 1094400a2r9 − 29476r11)x2+

+(−1340928a5r6 + 729600a3r8 − 58952ar10)x−−223488a6r5 + 182400a4r7 − 29476a2r9 + 338r11]·

·2(a+ rx)2(a− r + rx)(a+ r + rx)[24(a+ rx)2 + 12r(a+ rx) + r2]··[24(a+rx)(a+r+rx)+12r(a+r+rx)+r2][24(a−r+rx)2+12r(a−r+rx)+r2]·

·[24(a− r + rx)(a+ rx) + 12r(a+ rx) + r2]−1,

for any x ∈ [1,+∞).The limit can be obtained in a similar way as in the proof of part (ii).

(iv) We have θn = er(

1a1

+ 1a2

+···+ 1an

−γ(a,r))

− an

a, for each n ∈ N.

According to the inequalities from part (i) we can write that

r

2a+

r2

24aan+1< θn <

r

2a+

r2

24aan,

for each n ∈ N.From here it follows that the sequence (θn)n∈N is strictly decreasing and

lower bounded, and that limn→∞

θn =r

2a. 2

310 Articole

Remark 3.1. If we choose a = 1 and r = 1, then in part (iv) of

Theorem 3.1 we obtain a problem proposed by B. Ramazan and L. Lazarovici

[6], problem which was solved by L. Toth [9], proving that

1 +1

2+ · · ·+ 1

n− ln

(

n+1

2+

1

24n

)

< γ <

< 1 +1

2+ · · ·+ 1

n− ln

(

n+1

2+

1

24(n+ 1)

)

,

for each n ∈ N.

Remark 3.2. The approximations which are obtained for γ(a, r), withthe help of the inequalities from part (i) of Theorem 3.1, are quite good.

From the inequalities given in part (i) of Theorem 3.1 we obtain, from

α1 < γ(a, r) < β1, for example:

1.1342 . . . < γ

(

1

2,1

2

)

< 1.1614 . . . ; 1.2268 . . . < γ

(

1

2, 1

)

< 1.2794 . . . ;

1.3503 . . . < γ

(

1

2, 2

)

< 1.4289 . . . ; 0.5371 . . . < γ

(

1,1

2

)

< 0.5426 . . . ;

0.5671 . . . < γ(1, 1) < 0.5807 . . . ; 0.6134 . . . < γ(1, 2) < 0.6397 . . . ;

0.2598 . . . < γ

(

2,1

2

)

< 0.2607 . . . ; 0.2685 . . . < γ(2, 1) < 0.2713 . . . ;

0.2835 . . . < γ(2, 2) < 0.2903 . . .

and, from α2 < γ(a, r) < β2 we get, for example:

1.1508 . . . < γ

(

1

2,1

2

)

< 1.1563 . . . ; 1.2665 . . . < γ

(

1

2, 1

)

< 1.2720 . . . ;

1.4176 . . . < γ

(

1

2, 2

)

< 1.4217 . . . ; 0.5395 . . . < γ

(

1,1

2

)

< 0.5414 . . . ;

0.5754 . . . < γ(1, 1) < 0.5781 . . . 0.6332 . . . < γ(1, 2) < 0.6360 . . . ;

0.2600 . . . < γ

(

2,1

2

)

< 0.2605 . . . ; 0.2697 . . . < γ(2, 1) < 0.2707 . . . ;

0.2877 . . . < γ(2, 2) < 0.2890 . . ..

Theorem 3.2. Let (an)n∈N be a sequence defined by an = a+(n− 1)r,for each n ∈ N, where a, r ∈ (0,+∞).

We consider the sequences (An)n∈N and (Bn)n∈N defined by

An = αn +r2

48a3n+1

and Bn = βn − r2

48a3n+1

,

for each n ∈ N, where (αn)n∈N and (βn)n∈N are the sequences from the enun-

ciation of Theorem 3.1.Also, we specify that γ(a, r) is the limit of the sequence

(

1

a1+

1

a2+ · · ·+ 1

an− 1

rln

an

a

)

n∈N

.

Then

(i) An < An+1 < γ(a, r) < Bn+1 < Bn, for each n ∈ N;


(ii) limn→∞

n4(γ(a, r)−An) =277

5760rand lim

n→∞n4(Bn − γ(a, r)) =

83

5760r.

Proof. (i) We shall use the functions f : [0,+∞) → R andg : [1,+∞) → R defined as in the proof of Theorem 3.1.

We have

An+2 −An+1 = αn+2 − αn+1 +r2

48a3n+3

− r2

48a3n+2

=

= αn+2 − αn+1 +r2

48(a+ (n+ 2)r)3− r2

48(a+ (n+ 1)r)3,

for any n ∈ N ∪ 0.We consider the function F : [0,+∞) → R, defined by

F (x) = f(x) +r2

48(a+ 2r + rx)3− r2

48(a+ r + rx)3,


F ′(x) = f ′(x)− r3

16(a+ 2r + rx)4+

r3

16(a+ r + rx)4=

= −[

8864r12x7 +(

62048ar11 + 72336r12)

x6 +(

186144a2r10 + 434016ar11+

+247520r12)

x5+(

310240a3r9 + 1085040a2r10 + 1237600ar11 + 456204r12)

x4+

+(

310240a4r8 + 1446720a3r9 + 2475200a2r10 + 1824816ar11 + 483110r12)

x3+

+(

186144a5r7 + 1085040a4r8 + 2475200a3r9+

+2737224a2r10 + 1449330ar11 + 288492r12)

x2+

+(

62048a6r6 + 434016a5r7 + 1237600a4r8 + 1824816a3r9+

+1449330a2r10 + 576984ar11 + 86997r12)

x+

+8864a7r5 + 72336a6r6 + 247520a5r7 + 456204a4r8 + 483110a3r9+

+288492a2r10 + 86997ar11 + 9472r12]

··

16(a+ rx)(a+ r + rx)4(a+ 2r + rx)4[

24(a+ rx)2 + 12r(a+ rx) + r2]

··[

24(a+ r + rx)2 + 12r(a+ r + rx) + r2]−1

< 0,

for any x ∈ [0,+∞). It follows that the function F is strictly decreasing on[0,+∞). Also, we have that lim

x→∞F (x) = 0. Therefore F (x) > 0, for any

x ∈ [0,+∞), which means that An+2 − An+1 > 0, for each n ∈ N ∪ 0, i.e.the sequence (An)n∈N is strictly increasing.

We have

Bn+1 −Bn = βn+1 − βn − r2

48a3n+2

+r2

48a3n+1

=

= βn+1 − βn − r2

48(a+ (n+ 1)r)3+

r2

48(a+ nr)3,

312 Articole

for any n ∈ N.We consider the function G : [1,+∞) → R, defined by

G(x) = g(x)− r2

48(a+ r + rx)3+

r2

48(a+ rx)3,


G′(x) = g′(x) +r3

16(a+ r + rx)4− r3

16(a+ rx)4=

=[

2656r11x6 +(

15936ar10 + 5840r11)

x5 +(

39840a2r9 + 29200ar10+

+4368r11)

x4 +(

53120a3r8 + 58400a2r9 + 17472ar10 + 1356r11)

x3+

+(

39840a4r7 + 58400a3r8 + 26208a2r9 + 4068ar10 + 290r11)

x2+

+(

15936a5r6 + 29200a4r7 + 17472a3r8 + 4068a2r9 + 580ar10 + 68r11)

x+

+2656a6r5 + 5840a5r6 + 4368a4r7 + 1356a3r8 + 290a2r9 + 68ar10 − 13r11]

·

·

16 (a+ rx)4 (a+ r + rx)4[

24 (a− r + rx) (a+ rx) + 12r (a+ rx) + r2]

·

·[

24 (a+ rx) (a+ r + rx) + 12r (a+ r + rx) + r2]−1

> 0,

for any x ∈ [1,+∞). It follows that the function G is strictly increasing on[1,+∞). Also, we have that lim

x→∞G(x) = 0. Therefore G(x) < 0, for any

x ∈ [1,+∞), which means that Bn+1 − Bn < 0, for each n ∈ N, i.e. thesequence (Bn)n∈N is strictly decreasing.

We have limn→∞

An = γ(a, r) and limn→∞

Bn = γ(a, r).

Now we can write that An < An+1 < γ(a, r) < Bn+1 < Bn, for anyn ∈ N.

(ii) The limits can be obtained in a similar way as in the proof of part(ii) of Theorem 3.1. 2

Remark 3.3. The inequality An < γ(a, r), for each n ∈ N, when a = 1and r = 1, was given by T. Negoi in [4], where (An)n∈N is the sequence from

the enunciation of Theorem 3.2.Remark 3.4. From the inequalities given in part (i) of Theorem 3.2

we obtain, from A1 < γ(a, r) < B1, for example :

1.1394 . . . < γ

(

1

2,1

2

)

< 1.1562 . . . ; 1.2329 . . . < γ

(

1

2, 1

)

< 1.2732 . . . ;

1.3556 . . . < γ

(

1

2, 2

)

< 1.4236 . . . ; 0.5386 . . . < γ

(

1,1

2

)

< 0.5410 . . . ;

0.5697 . . . < γ(1, 1) < 0.5781 . . . ; 0.6164 . . . < γ(1, 2) < 0.6366 . . . ;

0.2601 . . . < γ

(

2,1

2

)

< 0.2604 . . . ; 0.2693 . . . < γ(2, 1) < 0.2705 . . .

0.2848 . . . < γ(2, 2) < 0.2890 . . .

and, from A2 < γ(a, r) < B2 we get, for example:

M. Cucoanes, Inegalitatile lui Blundon 313

1.1523 . . . < γ

(

1

2,1

2

)

< 1.1547 . . . ; 1.2679 . . . < γ

(

1

2, 1

)

< 1.2707 . . . ;

1.4185 . . . < γ

(

1

2, 2

)

< 1.4208 . . . ; 0.5401 . . . < γ

(

1,1

2

)

< 0.5408 . . . ;

0.5761 . . . < γ(1, 1) < 0.5773 . . . ; 0.6339 . . . < γ(1, 2) < 0.6353 . . . ;

0.2602 . . . < γ

(

2,1

2

)

< 0.2603 . . . 0.2700 . . . < γ(2, 1) < 0.2704 . . . ;

0.2880 . . . < γ(2, 2) < 0.2886 . . ..

References

[1] D. M. Ivan, Calculus, Editura Mediamira, Cluj-Napoca, 2002.[2] M. Ivan, Solved Problems in Calculus, Editura U. T. PRES, Cluj-Napoca, 2004.[3] I. Nedelcu, Problema 21753, Gazeta Matematica, Seria B, 94 (4), 1989, 136.[4] T. Negoi, O convergenta mai rapida catre constanta lui Euler, Gazeta Matematica,

Seria A, 15 (94) (2), 1997, 111–113.[5] A. Ney, Curs de analiza matematica – Partea I (Course of Mathematical Analysis –

Part I), Babes-Bolyai University of Cluj-Napoca, Cluj-Napoca, 1972.[6] B. Ramazan, L. Lazarovici, Problem C: 608, Gazeta Matematica, Seria B, 91 (6),

1986, covers III and IV.[7] I. Rizzoli, O teorema Stolz-Cesaro, Gazeta Matematica, Seria B, 95 (10–11–12), 1990,

281–284.[8] Gh. Siretchi, Calcul diferential si integral, Vol. I, Notiuni fundamentale, Editura

Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1985.[9] L. Toth, Asupra problemei C: 608, Gazeta Matematica, Seria B, 94 (8), 1989, 277–279.

[10] A. Vernescu, Ordinul de convergenta al sirului de definitie al constantei lui Euler (Theconvergence order of the definition sequence of Euler’s constant), Gazeta Matematica,Seria B, 88 (10—11), 1983, 380—381.

O demonstratie simpla pentru inegalitatile lui Blundon

Marian Cucoanes1)

Abstract. In this note we prove Blundon’s inequalities in a simple andelegant way. Our proof relies on a well-known trigonometric inequality.

Keywords: geometric inequality, Blundon’s inequality, Gerretsten’s in-equality.

MSC : 26D15.

Forma cunoscuta a inegalitatii lui Blundon este urmatoarea:

f(R, r) ≤ p2 ≤ F (R, r),

undef(R, r) = 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R− 2r)

√

R(R− 2r),

F (R, r) = 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R− 2r)√

R(R− 2r).

In continuare vom demonstra aceste inegalitati.

1)Profesor, Gr. Sc. Marasesti, jud. Vrancea.

314 Articole

Pentru ınceput demonstram urmatoarea lema:Lema. Daca α, β, γ, x, y, z ∈ R cu proprietatea x + y + z = π, atunci

are loc ineglitatea 2βγ cosx+ 2αγ cos y + 2αβ cos z ≤ α2 + β2 + γ2.Demonstratie. Cm x + y + z = π rezulta cos z = − cos(x + y) si are

loc egalitatea

(α sin y − β sinx)2 + (γ − α cos y − β cosx)2 =

= α2 + β2 + γ2 − 2βγ cosx− 2αγ cos y − 2αβ cos z,

de unde rezulta imediat concluzia.

Demonstram acum urmatoarea teorema:Teorema. Pentru orice triunghi ABC si pentru orice numar real m

are loc inegalitatea

m · p2 + 2(

m2 − 5m+ 2)

·R · r + (m− 4)r2 ≤ (m+ 1)2 ·R2.

Demonstratie. Fie ABC un triunghi oarecare si t ∈ R. In inegalitateadin lema precedenta luam

x = A; y = B; z = C;

α = cosA+ t; β = cosB + t; γ = cosC + t.

Astfel obtinem

2 cosA(cosB + t) · (cosC + t) + 2 cosB(cosA+ t) · (cosC + t)+

+2 cosC(cosA+ t) · (cosB + t) ≤ (cosA+ t)2 + (cosB + t)2+

+(cosC + t)2 ⇔ 2 cosA[

cosB · cosC + t(cosB + cosC) + t2]

+

+2 cosB[

cosA · cosC + t(cosA+ cosC) + t2]

+

+2 cosC[

cosA · cosB + t(cosA+ cosB) + t2]

≤≤∑

cos2A+ 2t∑

cosA+ 3t2 ⇔

⇔ 6∏

cosA+ 4t∑

cosA · cosB + 2t2∑

cosA ≤

≤∑

cos2A+ 2t∑

cosA+ 3t2 ⇔

⇔ 8∏

cosA+ 4t∑

cosA · cosB +(

2t2 − 2t)

∑

cosA ≤ 3t2 + 1,

ultima echivalenta avand loc ın virtutea faptului ca∑

cos2A=1−2∏

cosA.

Folosim, ın continuare, urmatoarele egalitati:∑

cosA = 1 +r

R

∑

cosA cosB =p2 + 4Rr + r2

4R2− r

R− 1

2∏

cosA =2p2 − 8Rr − 2r2

4R2− 2.

M. Cucoanes, Inegalitatile lui Blundon 315

Obtinem

4

(

2p2 − 8Rr − 2r2

4R2− 2

)

+ 4t

(

p2 + 4Rr + r2

4R2− r

R− 1

)

+

+(

2t2 − 2t)

(

1 +r

R

)

≤ 3t2 + 1 ⇔

⇔ (t+ 2) · p2 + 2(

t2 − t− 4)

Rr + (t− 2)r2 ≤ (t+ 3)2R2. (1)

Inegalitatea (1) este adevarata pentru orice triunghi ABC si pentruorice t ∈ R.

In inegalitatea (1) punem t = m − 2 si obtinem exact inegalitatea dinconcluzia teoremei.

Consecinta 1. Pentru orice triunghi ABC si pentru orice m > 0 are

loc inegalitatea

p2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 +m ·R(R− 2r) +1

m· (R− 2r)2.

Demonstratie. Din teorema precedenta avem

mp2 + 2(

m2 − 5m+ 2)

·Rr + (m− 4)r2 ≤ (m+ 1)2R2

si cum m > 0 rezulta

p2 +2

m

(

m2 − 5m+ 2)

Rr +1

m(m− 4)r2 ≤ 1

m(m+ 1)2R2 ⇔

⇔ p2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 +mR(R− 2r) +1

m(R− 2r)2.

Consecinta 2. In orice triunghi ABC si pentru orice m < 0 are loc

inegalitatea

p2 ≥ 2R2 + 10Rr − r2 +m ·R(R− 2r) +1

m· (R− 2r)2.

Demonstratie. Din teorema precedenta avem

mp2 + 2(

m2 − 5m+ 2)

·Rr + (m− 4)r2 ≤ (m+ 1)2R2

si cum m < 0 rezulta:

p2 +2

m

(

m2 − 5m+ 2)

Rr +1

m(m− 4)r2 ≥ 1

m(m+ 1)2R2 ⇔

⇔ p2 ≥ 2R2 + 10Rr − r2 +mR(R− 2r) +1

m(R− 2r)2.

Suntem ın masura acum sa demonstram inegalitatile lui Blundon.Daca triunghiul ABC este echilateral atunci inegalitatile lui Blundon

sunt evidente. De fapt, ın acest caz avem egalitati.Presupunem deci ca triunghiul ABC nu este echilateral. In acest caz,

inegalitatea lui Euler R ≥ 2r este stricta. Deci avem R− 2r > 0.

316 Articole

In inegalitatea din consecinta 1 luam m =

√

R− 2r

R> 0 si cum pentru

m =

√

R− 2r

Ravem

m ·R(R− 2r) +1

m(R− 2r)2 = 2(R− 2r)

√

R(R− 2r),

obtinemp2 ≤ 2R2 + 10Rr − r2 + 2(R− 2r)

√

R(R− 2r).

Am obtinut astfel inegalitatea din drepta a lui Blundon.

In inegalitatea din consecinta 2 luam m = −√

R− 2r

R< 0 si cum

pentru m = −√

R− 2r

Ravem

m ·R(R− 2r) +1

m(R− 2r)2 = −2(R− 2r)

√

R(R− 2r),

obtinemp2 ≥ 2R2 + 10Rr − r2 − 2(R− 2r)

√

R(R− 2r).

Am obtinut astfel inegalitatea din stanga a lui Blundon.

Observatii. 1) Daca ın inegalitatea din teorema precedenta luamm = 1, atunci obtinem inegalitatea p2 ≤ 4R2 + 4Rr + 3r2 (inegalitatealui Gerretsen).

2) Daca ın inegalitatea din teorema precedenta luam m = −1, atunciobtinem inegalitatea p2 ≥ 16Rr − 5r2.

Bibliografie

[1] P. G. Popescu, I. V. Maftei, J. L. Diaz-Barrero, M. Dinca, Inegalitati matematice,Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 2007.

[2] ∗ ∗ ∗, Gazeta Matematica, colectia 2000-2008.[3] ∗ ∗ ∗, Revista de Matematica din Timisoara, colectia 2000-2008.

G. Dinca, Noi reflectii asupra domeniului meu de entuziasm 317

DIDACTICA MATEMATICII

Noi reflectii asupra domeniului meu de entuziasm1)

George Dinca2)

Stimate Domnule Rector,Doamnelor si Domnilor,

In cele ce urmeaza va fi vorba de cateva ganduri razlete, simtind nevoiade ordine, iesite dintr-o calatorie lezardata facuta pe acest munte impunatoral spiritualitatii umane care este Matematica. Muntele ıncepe de jur ımprejur,iar potecile sunt rare. Unde nu m-am putut urca, m-am uitat, multumin-du-ma cu cateva imagini vaporoase.

,,Ma gasesc printre dumneavoastra ca reprezentantul unei stiinte pecare, cei mai multi, o socotesc mohorata, pentru care lumea are o deosebitagroaza, fata de care chiar respectul unora nu e lipsit de un fior care tine pe omla departare; ın scurt, reprezint o stiinta putin simpatica: matematica.“ Asaıncepe discursul de receptie al lui Gheorghe Titeica la Academia Romana, la29 mai 1914. Fata de singuratatea ın care se afla Titeica ın urma cu aproapeo suta de ani, s-a schimbat ceva esential ın starea de singuratate a matema-ticianului? Este ıntrebarea pe care si-o pune Solomon Marcus ın propriuldiscurs de receptie, intitulat ,,Singuratatea matematicianului“. Raspunsulsau este ın egala masura dezarmant si provocator. S-a schimbat, da, ın sensulagravarii situatiei, ca urmare a faptului ca limbajul matematic a devenit totmai complicat si, vorba filozofului francezMichel Henry, constituie o barbarie(vezi, La Barbarie, Grasset, Paris, 1987).

Se ralia astfel lui George Steiner care ın ,,Language and Silence“ (Athe-neum, New York, 1967) pleda pentru un punct de vedere similar. NiciSchopenhauer n-avea o parere prea favorabila despre matematica si desprematematicieni, iar Goethe, pe care-l citam din ,,Convorbirile cu Eckermann“zicea:

,,Matematicienii sunt ca francezii; le pui o problema, ei o trec pe limbalor si mai departe nu mai ıntelegi nimic.“ De aici s-a dedus uneori ca Goethe

nu-i agrea pe matematicieni. Este ınsa mai potrivit sa credem ca autorul lui,,Faust“, cel care ın ultimele clipe ale vietii simtea nevoia de lumina, de maimulta lumina, avea o profunda ıntelegere a naturii activitatii matematice, ıncare se manifesta un mod specific de a distinge un enunt cu sens de unul farasens si o perceptie speciala a demarcatiei dintre claritate si obscur.

Sa-l ascultam acum pe Antoine de Rivarol cel ce a jucat un rol atatde important ın dezvoltarea limbii franceze. In 1784 el a devenit (alaturi de

1)Lectie tinuta ın Aula Mare a Universitatii din Bucuresti, la 7 octombrie 2009, cuprilejul deschiderii anului academic 2009-2010.

2) Prof. univ. dr., Universitatea din Bucuresti

318 Didactica Matematicii

Johann Christoph Schwab) laureat al Academiei din Berlin cu al lui ,,Discurs

asupra universalitatii limbii franceze“. In acest ,,discurs“, la un moment datzice: ,,Des philosophes ont demande si la pense peut exister sans la parole ou

sans quelques autres signes. Non, sans doute... C’est dans la parole que se

fait la veritable generation de la pensee. Le langage est sans doute la plus

fidele image de la pensee.“ Dar, daca limbajul este cea mai fidela imaginea gandirii, atunci trebuie sa acceptam ca gandirii matematice trebuie sa-icorespunda un limbaj specific (,,limba lor“, a matematicienilor, la care faceareferire Gothe). Se poate face ınsa ceva pentru ca, fara a renunta la rigoare,

acest limbaj sa poata fi ,,umanizat“? Intrebarea e veche. Si-o punea, deexemplu, matematicianul Dan Barbilian dar ıi raspundea poetul Ion Barbu.Amintiti-va poezia lui intitulata ,,Umanizare“:

Castelul tau de ghiata l-am cunoscut Gandire;Sub tristele-i arcade mult timp am ratacit,De noi desprinderi dornic, dar nici o oglindireIn stinsele-i cristale ce-ascunzi nu mi-a vorbit.

Dupa Henri Poincare, unul din instrumentele principale ın realizareaacestui proces de umanizare sta ın cultivarea intuitiei, ın conjunctie cu ri-goarea: ,,Sans elle, les jeunes esprits ne sauraient s’initier a l’intelligencedes Mathematiques; ils n’apprendraient pas les aimer et n’y verraient qu’unevaine logomachie; sans elle surtout ils ne deviendraient jamais capable deles appliquer.“ ,,Fara ea (n.a. adica, fara intuitie) spiritele tinere n-ar stisa se initieze ın inteligenta matematicilor; n-ar ınvata sa le iubeasca si n-arvedea ın ele decat o logomahie inutila; fara ea, mai ales, n-ar deveni niciodatacapabile sa aplice matematicile.“

Doamnelor si domnilor,Cu aceasta introducere, un pic excesiva, ıncalc, de o maniera flagranta

una din regulile de baza despre structura discursului: cartile de retorica neınvata ca introducerea trebuie sa fie scurta, ca trebuie mers direct la obiect.Ne mai ınvata, aceste carti, ca trebuie sa ıncepi cu ıncredere ca si cand ai ficonvins ca oamenii carora te adresezi au venit special pentru tine. Am vazutsi am ascultat pe cineva care satisfacea ın mod natural aceasta conditie.Tinea, ın anul universitar 1963-1964, ın amfiteatrul Odobescu al Facultatiide Limba si Literatura Romana, un curs despre Mihai Eminescu. Si zice,ıntr-una din lectiile sale de deschidere:

,,Intru la clasa cu convingerea, poate naiva, ca cine a venit sa ma ascultenu se poate multumi cu cursul scris si nici cu un suplinitor. Si ma consider, ınpermanenta, propriul meu student veritabil.“ Ati ghicit. Este vorba despreG. Calinescu.

Mai spun aceste carti ca, doamne fereste sa ıncepi un discurs prin a tescuza (de exemplu, ımi cer scuze, nu sunt un foarte bun orator, dar...).


Fara a-mi cere scuze, marturisesc ca ma aflu ıntr-o situatie deloc con-fortabila. Mai ıntai, pentru ca ma adresez unui public care se situeaza, faraındoiala, la standarde de cultura foarte ınalte dar, ın acelasi timp, este foarteeterogen.

In al doilea rand pentru ca nu fac matematica, nici macar nu expunmatematica ci vorbesc despre matematica.

Nu mi se ıntampla des dar, ori de cate ori mi se ıntampla, trebuie sadepasesc bariera psihologica generata de spusele unui matematician impor-tant pe nume Godfrey Harold Hardy (1877-1947). El a publicat, ın 1940, laCambridge University Press, un eseu intitulat: ,,A Mathematician’s Apolo-gy“. Exista ın acest eseu un pasaj care m-a socat:

,,Nu exista dispret mai profund si, ın fond, mai legitim, decat acela aloamenilor care fac pentru cei care explica. A expune, a critica si a apreciareprezinta o munca pentru minti de categoria a doua.“

In urma cu cativa ani am avut o lunga discutie cu profesorul Solomon

Marcus ın legatura cu aceste zise ale lui Hardy si am ajuns la concluzia caafirmatia lui este falsa. Spre justificare vom face un rationament pe care ılmostenim de la vechii greci, care era foarte drag lui Euclid si care se numestereducere la absurd.

Structura unui astfel de rationament este urmatoarea: presupunem cateza ın chestiune ar fi adevarata. O asociem cu o alta teza despre care stimca este adevarata. Daca din aceasta asociere se ajunge la o contradictieınseamna ca teza ın chestiune este falsa. Aplicat la cazul nostru, acest tip derationament da urmatoarele.

Sa presupunem ca teza lui Hardy ar fi adevarata.Odata, rugat sa explice fundamentele teoriei relativitatii, Einstein a

spus: cunosc pe cineva care poate sa le explice mai bine decat mine: profe-sorul Minkowski. Daca teza lui Hardy ar fi adevarata ar rezulta ca Minkowski

era o minte de categoria a doua. Or, aceasta contrazice un fapt unanim re-cunoscut: profesorul de geometrie al lui Einstein era un matematician deprima categorie.

Sa mergem, asadar, ımpreuna mai departe. Va promit ca voi ıncercasa umanizez aspectele mai tehnice, inevitabile ıntr-o astfel de expunere. Lu-crurile trebuie facute cat mai simplu cu putinta ınsa nu mai simplu de atat.In paranteza fie spus, desi spusese ca ,,nu ıntelegi un lucru pe deplin decatdaca poti sa-l explici bunicii“, atunci cand admitea sa explice unui public maiputin avizat ce ınseamna teoria relativitatii, autorul ei o facea de manieraurmatoare:

,,Pune mana pe o soba fierbinte un minut si ti se va parea o ora. Stai cuo persoana frumoasa o ora si ti se va parea un minut. Asta e relativitatea.“

In rationamentul de mai sus intervin doua cuvinte a caror semnificatietrebuie lamurita: cuvantul geometrie si cuvantul matematician. Cu totii amınvatat un pic de geometrie si, la acest stadiu al expunerii, putem ramane


cu ceea ce ne-a ramas din ceea ce am ınvatat cand am ınvatat. Lucrurilese complica ınsa cand vorbim despre matematician. Cu spiritul sau ludic cel-a facut atat de celebru, Moisil a spus si a scris: ,,Numesc matematicianpe cel care face matematica.“ (In particular, mi-a spus: dupa cum vezi, nustiu sa spun, prin definitie, ce ınseamna sa fii matematician, dar eu stiu cineeste si cine nu este matematician. Un coleg si prieten filozof s-a aratat foarteinteresat atunci cand i-am povestit toate acestea, dar motivatia interesuluisau este o alta poveste).

Revenind la ,,definitia“ data de Moisil matematicianului ea conduce, ınmod natural, la urmatoarea reactie: spuneti-ne, atunci, ce ınseamna ,,mate-matica“ si ce ınseamna ,,sa faci matematica“.

Sa vorbim, ıntai, despre matematica.Lumea matematica este o lume inefabila, ın primul rand pentru ca nu se

poate defini. Cand li se cere definitia, matematicienii fac un ocol si raspundprin a indica unele atribute ale domeniului lor; o definitie directa, cat de catscurta a matematicii este evitata. Din acest punct de vedere, matematicase afla ın situatia artei, la fel de imposibil de definit, ba chiar a unor genuriliterare.

Iata ce spune, ın acest sens, Nicolae Manolescu ın ıncheierea cartii sale,,Arca lui Noe“ (subintitulata, ,,Eseu despre romanul romanesc“):

,,Imi ramane sa ma ıntreb, la sfarsitul acestei carti, daca putem da odefinitie a romanului. Cercetatorii genului n-au propus prea multe, desi l-audescris minutios. Poate pentru ca, asa cum afirma M. Bahtin, ,,el este singu-rul gen ın devenire printre genurile finite si partial moarte“. Devenirea nu sedefineste. Sa asteptam ca genul literar cel mai popular al vremii noastre sa-siınceteze cresterea si, odata dobandita forma finita, sa ınceapa sa moara? Sausa ne ıntoarcem la prima lui copilarie, cand nimeni nu stia ce se va alege deacest fiu bastard al eposului clasic, si sa acceptam definitia glumeata a luiThibaudet, bazata pe un joc de cuvinte (ın franceza le roman ınseamna de-opotriva romanul si limba romanica)? ,,Romanul, dupa cum ıi arata numele,ınseamna o scriere ın limba vulgara, spre deosebire de scrierea normala, descrierea propriu-zisa, care, pe vremea clericilor-carturari se redacta ın limbalatina. Mod de a recunoaste ın ıncheiere ca, daca stiu, ın oarecare masuraastazi, cum este romanul, nu stiu catusi de putin ce este el.“

Un alt argument ın sustinerea caracterului inefabil al matematicii: estecontrastul dintre modul ın care se prezinta publicului si cel ın care arata viataei ascunsa. La suprafata, matematica este dominata de deductii, de formulesi de algoritmi; ea procedeaza de la definitii, leme si teoreme la demonstratii,corolare si exemple. In cautarile si framantarile ei ınsa, ea este strabatuta deıntrebari, ıncercari, ezitari, greseli, esecuri, tatonari, analogii, asocieri de totfelul, amintiri din ce-am trait sau ce-am visat candva, reprezentari vizuale,testari pe exemple particulare, mirari, intuitii si emotii.


Simptomatica pentru discrepanta dintre aparenta si substanta mate-maticii este distanta, care poate fi foarte mare, dintre momentul gasirii unuirezultat si cel al confirmarii sale prin demonstratie. Totul se ıntampla ca ıncelebra reflectie a lui Blaise Pascal : pentru a porni ın cautarea unui lucru,trebuie mai ıntai sa-l gasim. Nu este nici o contradictie aici. Gasirea esteabductiva, iar cautarea urmareste o confirmare deductiva.

In viziunea ,,Ideilor primite“ ın sensul lui Flaubert, cea mai raspanditaeste ,,matematica-stiinta exacta“.

Daca ne uitam, de exemplu, ın Wikipedia vom vedea ca acest cliseu sebazeaza pe alte doua clisee: ,,matematica, stiinta a cantitatii“ si ,,matematica,stiinta a naturii sau/si societatii“, acestea fiind atributele esentiale ale stiin-telor exacte. Primul cliseu domina si acum perceptia comuna a matematicii,dupa cum rezulta din definitia ei ın DEX: ,,stiinta care se ocupa cu studiulmarimilor, al relatiilor cantitative si al formelor spatiale (cu ajutorul ratio-namentului deductiv)“.

Al doilea cliseu rezulta din asimilarea matematicii cu domeniile ın careea se valorifica. Constienti de toate aceste falsificari ale naturii reale a dome-niului lor, matematicienii din a doua jumatate a secolului trecut au propusversiuni alternative:

– studiu al formelor si evolutiei lor (R. Thom)– stiinta a modelelor (L. Steen)– corp de cunostinte centrat pe conceptele de cantitate, structura, spatiu

si miscare– stiinta care dezvolta concluzii necesare.Fiecare dintre ele prinde cate un aspect, dar niciuna nu separa mate-

matica de toate celelalte domenii.Matematica are un potential stiintific, are si unul artistic, are si unul

filosofic; dar ea ramane, ın concertul culturii, o voce separata, inconfundabila.Sa patrundem acum ın viata matematicianului (adica, amintiti-va, a

celui care face matematica), ın masura ın care, circumstantele ın care neaflam si cunostintele noastre ne-o permit.

Avem ın vedere pe matematician ın ipostaza sa majora.A te pretinde matematician este o cutezanta pe care putine persoane

ın cunostinta de cauza si-o pot permite. In cartea sa ,,La valeur de la sci-ence“ H. Poincare zice: ,,On naıt mathematicien. On ne le devient pas.“(Matematicienii se nasc, nu se fac).

Inca din secolul al 17-lea, Boileau, ,,legislatorul Parnasului“, ne spuneacelasi lucru despre poet:

,,Zadarnic vrea, prin versuri, semetul autorS-ajunga, sus, pe culmea Parnasului, usor:Al muzei suflu tainic din cer cand n-a simtit,Iar steaua-i din nascare poet nu l-a menit,.....................................................................


In stramta lui gandire ramane pururi sclav;E surd pentru el Febus, iar Pegas cu narav.“

(Boileau, ,,Arta Poetica“, ESPLA, 1957; traducerea: Ionel Marinescu)

Norbert Wiener si-a permis sa-si intituleze autobiografia ,,Sunt mate-matician“. Si Moisil credea ca s-a nascut matematician. A spus-o ıntr-oemisiune a televiziunii romane, prin ianuarie 1970. Intrebat ,,cum ati de-venit matematician“ a raspuns: ,,matematician m-am nascut. Dumneata vreipoate sa stii cum am ajuns sa ma ocup cu matematica“. Paul R. Halmos

ınsa, cu o foarte buna reputatie matematica, ınsa cu o clasa sub cea a luiWiener a fost mai prudent si si-a intitulat volumul sau de memorii ,,I wantto be a mathematician”.

Matematicianul, ca si pictorul sau poetul, este un creator de modele.El n-are alt material cu care sa lucreze decat ideile. De aceea, modelele luiau sansa sa dureze mai mult decat cele ale pictorului sau poetului, caci ideilese uzeaza, cu timpul, mai putin decat vorbele sau culorile. ,,Sa vedem cumse plimba ideea peste veacuri“ zice Noica, iar Moisil : ,,Imi place sa urmarescdrumul fascinant cand o idee devine prejudecata, cand se ınraieste ca omulajuns la batranete, cand tot farmecul tineretii lui s-a iaurtit ın autoritate“.Solomon Marcus crede ca si Arghezi l-ar fi invidiat pentru o creatie lexicalaprecum verbul ,,a (se) iaurti“ ıntr-un context ce-i confera o conotatie atat destranie.

Realizarile matematice, oricare ar fi valoarea lor intrinseca, sunt celemai durabile decat toate. Putem constata acest lucru chiar la civilizatiilesemiistorice.

Civilizatia babiloniana si cea asiriana s-au stins.Si totusi, matematica babiloniana continua sa fie interesanta. Dar cazul

crucial este, fara ındoiala, acela al grecilor.De Arhimede ne vom aminti si atunci cand Eschil va fi uitat, fiindca ın

timp ce limbile mor, ideile matematice traiesc.Nicio stiinta nu are standarde de calitate atat de precise si unanim

acceptate iar oamenii amintiti de istorie sunt aproape ıntotdeauna cei ce omerita. Renumele matematic, daca ai ,,capitalul“ necesar pentru a-l dobandi,reprezinta una din cele mai solide si mai ferme investitii. Si totusi, cat dedureros este sa simti ca ai putea sa esuezi.

Bertrand Russell ıi povesteste lui Hardy un vis groaznic.Se afla cam prin anul 2100 e.n la etajul de sus al bibliotecii universitare.

Un functionar al bibliotecii se ınvartea pe langa rafturi cu un cos enorm ınmana. Scotea carte dupa carte, se uita la ea, apoi o punea la loc ın raftsau o arunca la cos. Ajunse la trei volume mari, pe care Russell putea sa leidentifice drept ultimele exemplare ramase din ,,Principia mathematica”. Luaunul din volume, rasfoi cateva pagini, paru intrigat timp de cateva clipe deacel curios sistem de simboluri, ınchise cartea, o cumpani ın mana si ezita...


Desigur, gasim idei si ın poezie. Probabil ca Nichita Stanescu asta vroiasa spuna cand spunea: ,,Matematica s-o fi scriind cu cifre, dar poezia nu sescrie cu cuvinte“ (dar ca sa ıntelegem mai bine ar trebui sa ne ıntoarcem la,,Necuvintele“ sale din 1969 si la ,,Respirari“ din 1982).

Cred ınsa ca se exagereaza importanta ideilor ın poezie. Poezia nu estedoar lucrul pe care-l spui ci si modul ın care-l spui (dar asupra acestui aspectsper sa am timp sa revin).

Modelele matematicianului ca si ale pictorului sau poetului trebuie safie frumoase. In lume nu exista loc durabil pentru matematica urata.

Se pare ca nici pentru literatura plicticoasa un asemenea loc nu exista:

,, Nu prea citim poetii nascuti sa plictiseasca,Daca pe-aceleasi tonuri ıncearca sa graiasca“

(Boileau, ,,Arta poetica“, Cantul I)

,,Urasc, din plin, sublimul greoi, plictisitor;Prefer pe Ariosto si pe eroii-i comici,Decat poetii searbezi si reci si melancolici.“

(Boileau, ,,Arta poetica“, Cantul III)Desigur ca este extrem de dificil sa definim frumosul ın matematica, dar

lucrul acesta este tot atat de adevarat pentru orice fel de frumos.S-ar putea sa nu ne dam seama ce ıntelegem printr-un poem frumos cu

toate ca aceasta nu ne ımpiedica sa recunoastem un asemenea poem atuncicand ıl citim.

Realitatea este ca exista cateva subiecte ,,mai populare“ decat mate-matica. Cea mai mare parte dintre oameni pretuiesc ıntr-o oarecare masuramatematica, tot asa cum cei mai multi dintre ei pot gusta o melodie agreabila.Probabil, ınsa, ca oamenii pe care-i intereseaza cu adevarat matematica suntmai numerosi decat cei pe care ıi intereseaza muzica. Aparentele sugereaza,poate contrariul, dar explicatiile sunt usor de gasit. Muzica poate servi lastimularea emotiei ın masa, pe cand matematica nu.

Lipsa de simt muzical este considerata drept un lucru oarecum jenant.In schimb, cei mai multi dintre oameni sunt atat de intimidati de faimamatematicii ıncat sunt gata, ıntr-un mod cat se poate de sincer, sa exagerezelipsa lor de pricepere ıntr-ale matematicii.

Matematica cea mai buna este, ın egala masura, frumoasa si serioasa.O problema de sah poate fi frumoasa. Ea ıti da un fior intelectual cand

o ıntelegi si o rezolvi. O problema de sah este un imn adus matematiciiiar jocul de sah este un joc (pentru ca implica o componenta psihologica)dar este si matematica. Dar este o matematica banala. Oricat ar fi deingenioasa si de complicata, oricat de originale si de surprinzatoare ar fimiscarile, problemei de sah ıi lipseste ceva: importanta (seriozitatea exprimamai bine ceea ce vrem sa spunem). Noi am gandi la fel si daca jocul desah nu ar fi fost inventat, pe cand ideile lui Newton si Einstein si modelele


matematice construite cu ele au influentat si au modificat modul de a gandial oamenilor.

Seriozitatea unei teoreme matematice consta ın semnificatia ideilor ma-tematice pe care le leaga ıntre ele.

O idee matematica este semnificativa daca poate fi legata ıntr-un modsimplu si luminos cu un vast complex de idei matematice diferite.

Seriozitatea unei teoreme nu consta ın consecintele ei care sunt doardovada acestor seriozitati, ci ın continutul ei.

Eminescu a avut o influenta imensa asupra dezvoltarii limbii romaneiar Traian Demetrescu niciuna. Dar nu din cauza aceasta a fost Eminescu

un poet mai bun, ci pentru ca a scris poezie mult mai buna.Frumusetea unei teoreme matematice depinde ın foarte mare masura

de seriozitatea ei, dupa cum ın poezie, frumusetea unui vers depinde, ıntr-ooarecare masura de semnificatia ideilor pe care le contine. Imi permit douaexemple, cer scuze ın fata specialistilor pentru modul impresionist si un picnaiv ın care le interpretez.

Amintiti-va cum ıncepe ,,Sara pe deal“:

,,Sara pe deal buciumul suna cu jale,Turmele-l urc - stele le scapara-n cale,Apele plang clar izvorand ın fantane,Sub un salcam, draga, m-astepti tu pe mine.“

si comparati cu ınceputul poeziei ,,La steaua“:

,, La steaua care-a rasaritE-o cale-atat de lunga,Ca mii de ani i-au trebuitLuminii sa ne-ajungaPoate de mult s-a stins ın drumIn departari albastre,Iar raza ei abia acumLuci vederii noastre.“

In ambele, modelul verbal este la fel de frumos. In cazul versurilor din,,La steaua“, ınsa, ideile au o semnificatie, teza e logica astfel ıncat emotiilenoastre sunt mult mai profunde.

In ıncercarea de a oferi exemple de teoreme serioase, sunt dezavantajatde restrictiile pe care sunt obligat sa mi le impun. Aceste exemple trebuie safie simple si usor de ınteles de catre cititorii care nu au cunostinte speciale ınmatematica.

Voi enunta doua dintre faimoasele teoreme ale matematicienilor greci.Sunt teoreme ,,simple“, atat ca idee cat si ca forma dar, ın acelasi timp,fara nici o ındoiala, teoreme de cea mai ınalta clasa. Fiecare din ele estesi astazi tot atat de proaspata si de semnificativa ca ın vremea cand a fostdescoperita. Cei doua mii de ani care au trecut de atunci n-au gravat nici un


rid pe fata vreunuia dintre ele. In sfarsit, atat enunturile cat si demonstratiilepot fi ınsusite fara greutate de un cititor inteligent, oricıt de saracacios ar fiechipamentul lui matematic.

Prima: demonstratia existentei unei infinitati de numere prime (facutade Euclid).

Sunt prime numerele:

(A) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .

adica acelea care nu pot fi descompuse ın factori.De exemplu, 37 si 317 sunt prime.Numerele prime reprezinta materialul din care sunt construite prin mul-

tiplicare toate numerele. De exemplu: 12 = 2× 2× 3.Orice numar care nu este el ınsusi prim este divizibil prin cel putin un

numar prim.Demonstratia existentiei unei infinitati de numere prime se face prin

reducere la absurd.Presupunem ca sirul numerelor prime ar fi finit:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, . . . , P

P find cel mai mare numar prim.Fie Q = (2× 3× ...× P ) + 1.Pentru ca Q > P si P este cel mai mare numar prim, Q nu este prim.

Rezulta ca el trebuie sa se divida cu unul din numerele prime 2, 3, ..., P .Pe de alta parte e clar ca asa ceva nu se poate: ımpartirea lui Q la

oricare din numerele 2, 3, ..., P da restul 1. Contradictie.Observatie. Demonstratia a fost facuta prin reducere la absurd, iar

reducerea la absurd, pe care Euclid o iubea atat de mult, este unul dintrecele mai subtile instrumente ale matematicianului.

Cel de-al doilea exemplu este demonstrarea ,,irationalitatii lui√2 “ atri-

buita lui Pitagora. Prin ,,numar rational“ ıntelegem o fractiea

bın care a si b

sunt numere ıntregi care nu au nici un factor comun. A spune, deci, ca ,,√2

este irational“ ınseamna a spune ca√2 nu poate fi exprimat sub forma

√2 =

a

b

cu a si b numere ıntregi care nu au nici un factor comun.Un model echivalent de a spune acest lucru este ca ecuatia:

a2 = 2b2 (∗)nu poate fi satisfacuta prin valori ıntregi ale lui a si b care sa nu aiba nici unfactor comun.

Demonstram ca aceasta ultima afirmatie este adevarata, din nou, prinreducere la absurd.


Presupunem ca (∗) ar fi adevarata, a si b fiind numere ıntregi fara factorcomun.

Din (∗) rezulta ca a2 se divide cu 2, deci a este par (caci daca a are fiimpar, patratul lui ar fi, de asemenea, impar). Pentru ca a este par, existaun numar ıntreg c astfel ıncat a = 2c. De aici

2b2 = a2 = (2c)2 = 4c2,

sau

b2 = 2c2.

De aici deducem ca b2 este par, deci b este par.In concluzie, atat a cat si b sunt pare; au deci pe 2 ca factor comun,

ceea ce contrazice ipoteza noastra de lucru care zicea ca (∗) e adevarata cu

a si b ıntregi, fara factor comun. Inseamna ca aceasta ipoteza este falsa.Sa consideram acum un patrat si sa notam cu l masura laturii si cu d

masura diagonalei lui. Din teorema (atribuita, de asemenea, lui Pitagora)deducem

d2 = 2l2

adica, o egalitate de acelasi tip cu (∗). Putem repeta tot ceea ce am spus mai

sus, schimband a cu d si b cu l. Asadar, raportuld

lnu este un numar rational

(diagonala unui patrat este incomensurabila prin latura lui si nu exista unnumar ıntreg astfel ıncat d si l sa se exprime ca multiplii ıntregi ai acestuinumar).

Exista multe teoreme frumoase de teoria numerelor a caror semnificatiepoate s-o ınteleaga oricine.

Exista, de exemplu ,,teorema fundamentala a aritmeticii“ conform careiaun numar ıntreg poate fi descompus numai ıntr-un singur fel ıntr-un produsde numere prime. De exemplu 12 = 2 × 2 × 3 si alta descompunere nu esteposibila.

Teoreme frumoase exista si ın teoria multimilor. Una dintre ele esteteorema lui Cantor asupra nenumarabilitatii continutului. In cazul lor, ınsa,dificultatea este inversa.

Dupa ce ai ajuns sa stapanesti limbajul, demostratia este destul deusoara, ın schimb pentru ca semnificatia teoremei sa devina clara, sunt nece-sare o serie de explicatii.

De ce o teorema de felul teoremei lui Euclid e superioara unei problemede sah?

Pentru ca noi am gandi la fel cum gandim chiar daca sahul n-ar fifost inventat pe cand teoremele lui Euclid si Pitagora au influentat profundgandirea noastra, chiar ın afara matematicii.

Teorema lui Euclid, de exemplu, e fundamentala pentru ıntreaga struc-tura a aritmeticii. Numerele prime sunt materialul brut din care construimaritmetica, iar teorema lui Euclid ne asigura ca posedam suficient material


pentru aceasta opera. Spiritul ei se regaseste ın foarte multe constructii fun-damentale.

Iata un exemplu.In spatiul euclidian n dimensional Rn, numim multiindice, orice vec-

tor α = (α1, . . . , αn) cu αi ıntregi ne-negativi, ∀ i = 1, . . . , n. Pentru orice

multiindice α, notam |α| =n∑

i=1

αi.

Fie Ω ⊂ Rn un deschis si f : Ω → R.

Notam

Dαf =∂|α|f

∂xα11 ∂xα2

2 . . . ∂xαnn

=∂(α1+...+αn)f

∂xα11 ∂xα2

2 . . . ∂xαnn

,

cu conditia ca operatia de derivare sa aiba sens.Prin conventie, daca |α| = 0, atunci Dαf = f .Introducem notatiile

i) pentru orice k = 1, 2, ...

Ck (Ω,R) = f : Ω → R | Dαf exista si sunt continue pe Ω pentru orice

multiindice α cu |α| ≤ kii) C∞ (Ω,R) =

⋂

k≥0

Ck (Ω,R)

iii) daca f ∈ C0 (Ω,R), adica f : Ω → R este continua, multimea

suppf = x ∈ Ω | f(x) 6= 0 se numeste suportul functiei f .Cu alte cuvinte, suportul lui f este cea mai mica multime ınchisa ce

contine toate punctele lui Ω ın care f este nenula.

iv) C∞0 (Ω,R) = f ∈ C∞ (Ω,R) | suppf este compact si inclus ın Ω.

Spatiul de functii C∞0 (Ω,R) constituie materialul cu care construim

teoria distributiilor, dupa cum multimea numerelor prime constituie materi-alul brut cu care se construieste aritmetica. Faptul ca multimea de functiiC∞0 (Ω,R) este densa ın L2 (Ω,R), de exemplu, ne spune ca avem ,,suficient“

material pentru aceasta constructie. Ca spirit, lucrurile stau la fel ca atuncicand, faptul ca exista o infinitate de numere prime ne asigura ca avem,,suficient“ material pentru construirea aritmeticii.

Teorema lui Pitagora ne arata ınsa ca, dupa ce am construit aceastaaritmetica, ea se va dovedi insuficienta nevoilor noastre pentru ca vom ıntalnimulte marimi pe care nu vom fi ın stare sa le masuram. Diagonala patratuluieste exemplul cel mai elocvent.

Deoarece o teorema ,,serioasa“ este acea teorema care contine idei sem-nificative, sa analizam care sunt calitatile ce fac ca o idee matematica sa fiesemnificativa.

O idee ,,semnificativa“ o recunoastem atunci cand ,,o vedem“ asa cumle-am recunoscut pe cele ale lui Euclid si Pitagora.


Aceasta putere de recunoastere implica ınsa un grad destul de ridicatde rafinament matematic si de familiarizare cu ideile matematice la care seajunge dupa multi ani petrecuti ın tovarasia lor. In orice caz, doua lucruripar a fi esentiale: o anumita generalitate si o anumita profunzime.

Ceea ce caracterizeaza generalitatea unei idei este, ın esenta, faptul ca eaintra ın mai multe constructii matematice si poate fi folosita la demonstratiaunor teoreme de genuri foarte diferite. Teorema ce contine o idee semnifica-tiva, datorita generalitatii acestei idei, chiar daca enuntata la ınceput ıntr-oforma speciala (precum teorema lui Pitagora), trebuie sa fie susceptibila deo mare extindere si tipica pentru o clasa ıntreaga din categoria ei. De exem-plu, ın teorema lui Pitagora, rezida ideea de perpendicularitate. Aceastaidee, pe care o receptam pentru ınceput ın plan se regaseste apoi ın spatiuleuclidian cu trei dimensiuni, apoi se extinde la orice spatiu euclidian finit di-mensional, de aici la orice spatiu hilbertian cu baza numerabila apoi la oricespatiu hilbertian, apoi la o anumita categorie de spatii Banach care nu sunthilbertiene dar au o geometrie speciala, etc.

(In paranteza, ce-o fi vrut sa spuna Ion Barbu atunci cand, Sasa Pana

a scos, prin anii 1930, o revista intitulata Unu: ,,Si domnului Sasa Pana nu-idau voie sa scoata o revista cu acel nume pana nu-mi explica de ce 1 este unsimbol de perpendiculariate.“)

Toate teoremele de matematica sunt abstracte si, din acest punct devedere, la fel de generale. Dar nu despre acest tip de generalitate vorbim.Noi vorbim despre diferentele de generalitate dintre o teorema de matematicasi alta. E o generalitate mai subtil si mai greu de sesizat. In cartea sa ,,Lavaluer de la science“ pe care am mai citat-o, H. Poincare zice (p.30): ,,on nepeut faire de conquete scientifique que par la generalisation“. E adevarat, sidrumul partial pe care l-am descris mai ınainte, luand ca origine teorema luiPitagora este un exemplu. Se impune ınsa o remarca: realizarile exceptionaleale matematicii moderne nu constau din ıngramadirea de subtilitati de gene-ralizare peste alte subtilitati de generalizare. Un anumit grad de generalitatetrebuie sa fie prezent ın orice teorema de prim rang, ınsa prea multa genera-litate o transforma, inevitabil, ın ceva insipid.

,,Totul este ceea ce este si nu altceva“ iar deosebirile dintre lucruri sunttot atat de interesante ca si asemanarile lor.

Acelasi lucru se ıntampla si ın matematica. O proprietate comuna unuinumar prea mare de obiecte nu mai este chiar asa de captivanta, iar ideilematematice ıncep sa devina obscure daca nu au suficienta individualitate.

,,O conceptie fructuoasa ınseamna generalizare larga, limitata de o par-ticularitate fericita“.

Ajuns ıntr-un punct delicat al unei cercetari proprii, am discutat, nu demult, aceste lucruri cu un bun prieten de la facultatea de filosofie. El mi-aindicat un articol [2] publicat ın American Mathematical Monthly, ın 1940.L-am citit si acum, dincolo de multumirile pe care le datorez prietenului


meu, sunt ın pozitia sa recunosc cata dreptate avea Moisil cand spunea:,,Matematica fara filosofie e seaca, filosofia fara matematica e stearpa“.

A doua calitate pentru o idee semnificativa este profunzimea. Ea areceva de-a face cu dificultatea. Cu cat ideile sunt mai ,,profunde“ cu atat sunt,de obicei, mai greu de ınteles. Dar profunzimea si dificultatea nu ınseamnadeloc acelasi lucru. Ideile care stau la baza teoremei lui Pitagora, precumsi generalizarile acesteia, sunt cat se poate de profunde, dar niciun matema-tician nu le-ar putea considera dificile. S-ar putea, pe de alta parte, ca oteorema sa fie, prin esenta, superficiala dar foarte greu de demonstrat (cumsunt multe din teoremele diofantice, adica teoremele privind solutiile rationaleale ecuatiilor nedeterminate cu coeficienti rationali.)

S-ar parea ca ideile matematice sunt dispuse oarecum ın straturi, ideiledin fiecare strat fiind legate printr-un complex de relatii atat ıntre ele catsi cu cele de deasupra si de dedesubtul lor. Cu cat stratul e situat mai joscu atat mai profunde si, ın general, mai dificile sunt ideile. Astfel, ideea de,,irational“ este mai profunda decat cea de numar ,,ıntreg“ si de aici, Teoremalui Pitagora e mai profunda decat cea a lui Euclid.

Alt exemplu: teorema lui Euclid este importanta dar nu si foarte pro-funda: o putem demonstra fara a folosi o notiune mai profunda decat cea dedivizibilitate.

Insa, imediat ce cunoastem ca exista o infinitate de numere prime, ınmintea noastra se prezinta o ıntrebare: exista, ıntr-adevar o infinitate denumere prime; dar cum se distribuie aceasta infinitate? Fiind dat un numarmare N , sa zicem (1010)10, cam cate numere prime sunt ıntre 1 si N?

Punand aceasta ıntrebare, pozitia noastra se schimba cu totul. Putemraspunde, ba chiar cu o precizie surprinzatoare, vezi, de exemplu, C. Popovici[14], ınsa forand mai adanc, lasand pentru moment numerele ıntregi deasupra

noastra si folosind instrumente de teoria functiilor. In acest fel, teorema careraspunde la ıntrebare e mai profunda decat cea a lui Euclid si chiar decatcea a lui Pitagora.

Sau, iata o alta ıntrebare: exista, ıntr-adevar, o infinitate de numereprime; contine aceasta multime alte multimi infinite interesante? De exem-plu: exista o progresie aritmetica infinita formata din numere prime?

Raspunsul este negativ: nu exista o astfel de progresie.In 1963, Solomon Marcus a demonstrat acest rezultat cu o tehnica

ce vine din teoria automatelor finite (vezi comentariul la Propozitia 5 dinS. Marcus, ,,Automates finis, progressions arithmetiques et grammaires a unnombre fini d’etats“, ın C.R. Acad. Sci. Paris, t.256 (1963), 3571-3574).

In schimb, pentru orice numar natural k, exista o progresie aritmeticaformata din k termeni, toti numere prime. Acest rezultat de existenta a fostobtinut ın 2004 si publicat ın 2008 (vezi Green, Ben si Tao Terence [7]).El figureaza printre rezultatele citate ın raportul ce recomanda acordarea


medaliei Fields lui Terence Tao. Este un rezultat de existenta ce nu bene-ficiaza de o demonstratie constructiva, adica: dat orice numar natural k, searata ca exista o progresie aritmetica avand k termeni (se mai spune ,,delungime k“) fiecare termen fiind numar prim dar nu se indica un procedeuprin care o astfel de progresie sa fie construita efectiv.

,,Cea mai lunga“ astfel de progresie construita efectiv corespunde luik = 25 si a fost obtinuta ın 2008 de Jaroslav Wroblewski si Raanan Chermoni.

Cum putem caracteriza frumusetea unei teoreme (ın ea includem, evi-dent, si demonstratia)? Iata cateva atribute:

Enuntul ei se prezinta ,,ca un text august, ca o inscriptie al carei laco-nism e ınsasi garantia durabilitatii ei“ dand acea impresie de ,,maximum degand ın minimum de cuprindere“.

Demonstratia ei se aseamana cu o constelatie simpla si bine conturatasi nu cu un roi ımprastiat din Calea Lactee.

Gasim ın ea elemente ca neasteptatul, unit cu inevitabilitatea si cueconomia de mijloace. Premisele iau o forma ciudata si surprinzatoare, in-strumentele folosite par copilaresc de simple ın comparatie cu rezultatele demare anvergura obtinute, iar concluziile sunt inevitabile.

Doamnelor si Domnilor,

Ajunsi la acest punct al expunerii, logic este sa ne punem urmatoareleıntrebari:

– de ce fac matematica cei ce fac matematicasi

– care este valoarea matematicii?

In celebrele sale Scrisori catre un tanar poet, Rainer Maria Rilke ılsfatuia pe interlocutorul sau, atras de magia versurilor, sa scrie poezie doardaca simte ca nu ar putea trai altfel.

Fericit cel ce poate da acelasi raspuns ın cazul matematicii. El aresansa sa intre ın categoria matematicienilor de prima categorie despre caream vorbit la un moment dat.

Exista si alte posibile raspunsuri: fac matematica pentru ca este singu-rul lucru pe care-l pot face cat de cat bine.

Sau, pentru ca, dintre toate stiintele si artele, matematica este ceamai austera si mai singuratica si, dintre toti oamenii, matematicianul estesingurul care se poate refugia cu usurinta acolo unde ,,macar unul dintre celemai nobile impulsuri ale noastre poate evada cel mai bine din sumbrul exilal lumii actuale“.

Toti cei care fac matematica, indiferent de nivelul la care se situeaza,vor avea ınsa si un raspuns comun: fac matematica pentru ca asta ımi place,pentru ca asta ımi produce bucurie. De ce ne place matematica? (Nu amintitulat ,,de ce iubim matematica“ pentru ca m-am temut sa nu va distragatentia trimitandu-va cu gandul la o ıntrebare cu mult mai dificila ce a dat


titlul unei carti a domnului Cartarescu: ,,De ce iubim femeile“; nici ,,de ceni-i draga matematica“ pentru ca m-am temut sa nu va trimit cu gandul launul din cele mai mari poeme ale lumii, ,,Balada ınchisorii din Reading“ deOscar Wilde:

Cu toti ucidem ce ni-i dragSi-ntindem mortii prada;

Omoara unii magulindOri cu dojeni, cu sfada;

Cei lasi ucid cu un sarutIar cei viteji cu spada.

Revenind la ıntrebare, ne place matematica pentru ca e frumoasa si ecerta. Matematicianul traieste ın contact cu doua realitati. Una este ceafizica ın care stim ca e zi, e noapte, ploua sau se produce, doamne fereste, uncutremur. Cealalta este realitatea matematica.

Simplificand foarte mult, nici matematicienii nici filozofii nu se ıntelegcand este vorba sa defineasca realitatea matematica. Pentru unii, aceastarealitate este de natura ,,spirituala“ noi fiind cei ce o construim.

Pentru altii, ce descind din Platon, realitatea matematica exista ın afaranoastra, sarcina noastra fiind doar aceea de a o descoperi si de a o observa.Teoremele pe care le demonstram si pe care le descriem cu atata emfaza cape niste creatii proprii nu sunt decat notele pe care le-am luat ın timpulobservatiilor noastre. Cred ca marele nostru Simion Stoilow se ınscria, faras-o declare, ın acest curent caci la un anumit moment a scris:

,,Matematica nu-si dezvaluie cu usurinta tainele ei fundamentale.“Asadar, aceste taine exista, dar matematica nu si le dezvaluie cu usu-

rinta, nu putem lua usor ,,notite“ adica.Realitatea matematica este mult mai certa decat cea fizica; 13 este un

numar prim nu pentru ca asa credem noi sau pentru ca mintile noastre suntconformate ıntr-un anumit fel mai degraba decat ın altul, ci fiindca asa este,fiindca realitatea matematica este astfel cladita.

In schimb, un scaun sau o stea nu sunt catusi de putin ceea ce par afi. Cu cat ne gandim mai mult la ele cu atat trasaturile lor exterioare seestompeaza ın scurgerea senzatiilor care le ınsotesc.

Cat despre bucurie, se poate scrie un tratat de psihologie a bucurieimatematice. Pe scurt:

Exista o bucurie ce ne-o dau marile sisteme. Teoremele pot fi stranse ınmari teorii dominate de o arhitectura, care starneste o bucurie arhitectonica.Felul cum teoremele stau la locul lor, cum se ınlantuiesc, cum se sprijinaunele pe altele, cum se pun ın valoare, da acea impresie de frumos pe care ostarnesc matematicile.

Mai e bucuria competitiei: sa reusesti sa demonstrezi ceea ce n-au reusitaltii.


Mai e si o bucurie asisderea pescuitului: de a vedea si ıntelege cum prinfata ta se perinda definitii si teoreme, axiome si demonstratii, mereu aceleasi,mereu altele, ,,abia-ntelese, pline de ıntelesuri“.

Ma opresc la un alt tip de bucurie pe care o vom numi ,,bucurie interdis-ciplinara“ (ıntr-o terminologie mai veche – bucuria matematicilor aplicate).

Adica, sa vezi cum o teorema de cea mai pura esenta precum cea carepoarta numele celui ce a introdus intuitionismul ın matematica (teorema depunct fix a lui Brouwer) este principalul instrument cu care John Nash ademonstrat celebra sa teorema de existenta a echilibrului. Dupa cum uniidintre dumneavoastra stiti, aceasta teorema i-a adus lui Nash premiul Nobelpentru economie, iar viata sa (evident romantata) a inspirat un film de succes,,A beautiful mind“.

Cu ce trebuie sa vina pe lume un om pentru a avea acces la astfel debucurii? E drept, ursitoarele trebuie sa fie darnice cu el. Sigur este ca nutrebuie sa-i lipseasca o minte ın egala masura intuitiva si rationala (logica).Mintea intuitiva este un dar divin iar mintea rationala este servitorul acesteia.Intuitia este instrumentul descoperirii iar logica – al justificarii.

Cand vorbeste despre valoarea matematicii, a stiintei, ın general, omulobisnuit o reduce la aplicatii, la caracterul ei utilitar. Este adevarat, caJanus cel cu doua fete, matematica ne arata uneori functia ei cognitiva, alteori pe cea utilitara. Relatia dintre ele este pe cat de simpla, pe atat de para-doxala: cea mai bogata sursa de sustinere a functiei utilitare a matematiciise afla ın avansul functiei sale de cunoastere. Dar pentru ca acest lucru sa seıntample, matematicianul trebuie sa-si dezvolte cercetarile sale nestingherit,ghidat exclusiv de curiozitatea sa, de bucuria sa de a vagabonda ın lumeaideilor matematice.

In 1830, Carl Gustav Jacobi, ıntr-o scrisoare care Adrien-Marie Le-

gendre, zice:,,Dl. Fourier crede ca scopul principal al matematicii este de a fi utila

si de a explica fenomenele naturale; dar un filozof ca el ar fi trebuit sa stieca scopul unic al stiintei este onoarea spiritului uman si ca sub acest titluo chestiune privind numerele nu valoreaza mai putin decat una relativa lasistemul lumii“.

Sloganul lui Jacobi a fost preluat ca titlu al cartii sale din 1987, de catreJean Dieudonne: Pour l’honneur de l’esprit humain (Hachette,Paris). Ca sipe Jacobi, pe Dieudonne ıl anima ıntelegerea (pe care am mostenit-o de lavechii greci) matematicii ca arta, mai degraba, decat ıntelegerea ei ca stiinta;matematicianul cauta frumusetea, nu utilitatea. Dar utilitatea vine si ea, lavremea ei.

Daca atunci cand Maxwell a scris ecuatiile celebre ce-i poarta numelecineva l-ar fi ıntrebat cat costa ecuatiile lui, nu cred c-ar fi stiut sa raspunda.Daca ar fi fost ıntrebat, ınsa, care este semnificatia acestor ecuatii, evident arfi dat cel mai competent raspuns. M-am gandit la aceste lucruri ieri, dupa ce,


la o adunare ın care un distins coleg era sarbatorit, am citit cateva randuripe care Gabriel Garcia Marquez le-a scris ıntr-un moment de cumpana alexistentei sale:

,,Daca Dumnezeu mi-ar darui o farama de viataAs aprecia lucrurile nu prin ceea ce valoreazaCi prin ceea ce semnifica“.

Este uluitor, cum poate poezia sa spuna, uneori, ceea ce nici stiintele,nici muzica ımpreuna cu toate artele la un loc nu pot sa spuna.

Probabil pentru ca poetul ,,are un mat de zeu ın el“ cum spunea Nichita

Stanescu. Poetul si matematicianul ısi cunosc bine mestesugul dar suntinspirati de un zeu de sus. ,,Poetii considera poezia o forma a geometrieispiritului, iar matematicienii trec usor de la algebra si geometrie la mareapoezie. Va dau doua exemple care m-au tulburat. Unul se refera la unfapt curios din biografia lui Paul Valery ; dupa ce publica ın 1896 ,,La soireeavec M. Teste“, eseistul tace timp de 20 de ani; pına la volumul de poeme,,La jeune Parque“ nu publica nimic; autorul a meditat ın acest rastimp lamatematici si, ın genere, la disciplinele abstracte. Cum am putea interpretaaceasta lunga absenta?

Ca o constrangere la asceza, desigur, ca o auto-condamnare la meditatie.Monsieur Teste voia sa descopere legile spiritului. Autorul lui, dupa ce l-acreat, se retrage ın pustiu. Isi alege, mai bine zis, pustiul ce se poate alege laParis (matematicile) si-l strabate timp de 20 de ani. In termenii lui Pascalasta ınseamna ca fuge din spatiul spiritului de finete ın spatiul spirituluigeometric. O fuga care-mi aminteste de ratacirea lui Moise prin pustiu. Astrabatut patruzeci de ani un desert care putea fi strabatut, s-a dovedit,ın cateva saptamani. De ce? Pentru ca proorocul nu voia sa intre ın tarafagaduita cu un popor de robi.

Orice intelectual autentic are pustiul sau. Uneori si-l creaza singur,(cazul lui Valery), alteori e silit de altii sa-l strabata. In acest spatiu gol (golde scriitura) se instaleaza spiritul care vrea sa se purifice, abandonandu-semeditatiei. O pregatire pentru o sfintenie a intelectului. Numai astfel poemulpoate deveni ,,o sarbatoare a spiritului“. Rezumand: Valery, a avut nevoie,pentru a reveni la poezie, sa faca acest lung exercitiu spiritual (20 de ani)pentru a purifica poemul si a se lepada de ceea ce un alt poet, un admiratoral sau, de altfel, nascut ın zona orientala a latinitatii, numea ,,poezia lenesa“.O numea si, evident, o respingea. Este vorba, ati banuit, de Ion Barbu (alias:Dan Barbilian).

El a publicat ın 1930 o carte de poeme, ,,Joc secund“, nu mai groasadecat o lama de barbierit, care a creat o veritabila scoala ın poezia romaneas-ca, dupa care s-a retras din poezie, dedicandu-se matematicii. M-am ıntrebatıntotdeauna si ma ıntreb si azi, de ce? Intre alte justificari aduse de acestmare poet si, deopotriva, mare matematician, retin una dintr-o scrisoare


adresata ın 1947 unei poete tinere de care, se pare, era ındragostit. Nu eraprima, nici ultima oara. Caci, asa cum spune el prietenului Tudor Vianu, ınafara de poezie si matematica, giurgiuveanul Ion Barbu mai are o profesiunenobila si fericitoare: aceea de ,,amant universal“. Revin la scrisoarea din1947, unde strecoara ideea ca matematicile ıl fericesc si-l ajuta sa ajunga la,,cunoasterea mantuitoare“, iar poezia ıl declaseaza. Ati retinut: pentru aajunge la ,,cunoasterea mantuitoare“ trebuie sa paraseasca poezia si sa seıntoarca, nu ın genunchi, ci mandru si teapan ca un pandur care spanzurascurt, la matematici . . . Splendid. Desi nu-l cred pe marele Dan Barbilian

pana la capat: poezia este, si ea, o cale spre ,,cunoasterea mantuitoare“. Saacceptam aceasta alianta ıntre doua stiinte inefabile, frumoase si misterioaseca un antrenament de ıngeri.“ (Eugen Simion)

Bibliografie

[1] C. Andreian-Cazacu, Solomon Marcus, Simion Stoilow, Editura Stiintifica si Enci-clopedica, Bucuresti (1983).

[2] H. Blumerg, On the technique of Generalization, American Mathematical Monthly,vol.47, no.7 (1940), 451-462.

[3] N. Boileau, Arta poetica, E.S.P.L.A., Bucuresti (1957) (traducere Ionel Marinescu).[4] A. de Rivarol, Discours sur l’universalite de la langue francaise, 1784.[5] G. Dinca, Cateva reflectii asupra domeniului meu de entuziasm, discurs rostit cu

ocazia decernarii titlului de Doctor Honoris Causa al Universitatii din Craiova (iunie,2003).

[6] A.Iorgulescu, S.Marcus, S.Rudeanu, D.Vaida, Eds., Profesorul Grigore C. Moisil, o

amintire mereu vie ın ,,Grigore C. Moisil and His Followers in the Field of Theoretical

Computer Science, Editura Academiei Romane, Bucuresti (2008).[7] B. Green, T. Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions, Annals

of Mathematics 167 (2008), 481-547.[8] G. H. Hardy, A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press (1967)[9] N. Manolescu, Arca lui Noe (Eseu despre romanul romanesc), vol.3, Editura Emi-

nescu, Bucuresti, (1991).[10] S. Marcus, Singuratatea matematicianului, Discurs de receptie la Academia Romana,

Editura Academiei Romane (2008).[11] ∗ ∗ ∗ Din gandirea matematica romaneasca, Editura Stiintifica si Enciclopedica,

Bucuresti (1975).[12] ∗ ∗ ∗ Automates finis, progressions arithmetiques et grammaires a un nombre fini

d’etats, C.R. Acad. Sci. Paris, t256 (1963), 3571-3574.[13] H. Poincare, La valeur de la science, Flammarion, Paris (1905).[14] C. Popovici, Aritmetica si teoria numerelor, Editura Didactica si Pedagogica, Bu-

curesti (1963).[15] E. Simion, Matematica, o stiinta inefabila, Academica, august-septembrie 2000.

Proposed problems 335

PROPOSED PROBLEMS

290. Study the convergence of the sequence defined by

x1 = a, 1 + xn = (1 + xn)xn+1 , n ≥ 1.

Radu Gologan

291. For n, k ∈ N, n ≥ 1, determine the dimension of the linear spaceof polynomials in n variables over some field K, of degree at most k, as asubspace of K [x1, x2, . . . , xn].

Dan Schwarz

292. Denote n ≥ 1 positive integer, I ⊆ R an interval and f : I → R afunction.

a) Assume that f is n−1 times differentiable on I and I(n−1) is increas-ing on I. Prove the following inequality:

f(b)−(

n

1

)

f

(

(n− 1)b+ a

n

)

+

(

n

2

)

f

(

(n− 2)b+ 2a

n

)

−. . .+(−1)nf(n) ≥ 0,

for all a ≤ b in I (if n is even, the inequality is valid for all a, b ∈ I).

b) Assume that f is n−times differentiable and f (n) is continuous on I.If the inequality

n∑

k=0

(−1)k(

n

k

)

f

(

(n− k)b+ ka

n

)

≥ 0

is valid for all a ≤ b in I, then f (n) is nonnegative.

Marian Tetiva

293. Prove that for any continuous function f : [−1, 1] the followinginequality is valid:

1∫

−1

f2(x)dx ≥ 5

2

1∫

−1

x2f(x)dx

2

+3

2

1∫

−1

xf(x)dx

2

.

Cezar Lupu and Tudorel Lupu

294. Let S(O,R) the circumscribed sphere of the tetrahedron [ABCD]and r is inscribed radius of the sphere. If x, y, z, t are the normal coordinatesof O, then

x+ y + z + t ≤ 4√

R2 − 8r2.

Marius Olteanu

336 Probleme

SOLUTIILE PROBLEMELOR PROPUSE

269. O pereche de numere naturale consecutive n, n+1, se numeste adaptata, daca[

(n+ 1)√3]

−[

n√3]

= 1.

Care este probabilitatea ca doua numere naturale consecutive, alese la ıntamplare, sa

fie adaptate.

Radu Gologan

Solutia autorului. Probabilitatea cautata poate fi interpretata ca

p = limn→∞

P (n)

n,

unde P (n) = card(k, k + 1) |[

(k + 1)√3]

−[

k√3]

= 1, k ≤ n.Fie k

√3 = Nk + αk, unde αk ∈ (0, 1). Atunci

(k + 1)√3 = Nk + 1 +

√3− 1 + αk.

Conditia[

(k + 1)√3]

−[

k√3]

= 1 este echivalenta cu 0 <√3 − 1 + αk < 1 sau

αk < 2−√3, deci

p = limn→∞

k ≤ n |√

3k

< 2−√3

n.

Teorema lui Weyl ne da

p = 2−√3.

270. Fie a, b, c numere pozitive al caror produs este egal cu 1; mai presupunem ca

c = mina, b, c.Sa se arate ca

a3 + b

3 + c3 + 6− 3(ab+ ac+ bc) ≥ c(a− b)2 + c(a− c)(b− c).

Marian Tetiva

Solutia autorului. Deoarece abc = 1 (deci 3√abc = 1) avem, conform inegalitatii

mediilor, a+ b+ c ≥ 3 si atunci membrul stang al inegalitatii de demonstrat este cel putin

a3 + b

3 + c3 + 6abc− (a+ b+ c)(ab+ ac+ bc),

adica inegalitatea va fi demonstrata daca aratam ca

a3 + b

3 + c3 + 6abc− (a+ b+ c)(ab+ ac+ bc) ≥ c(a− b)2 + c(a− c)(b− c).

Aceasta inegalitate se mai scrie, dupa desfacerea parantezelor∑

a3 + 3abc−

∑

(

a2b+ ab

2) ≥ a2c+ b

2c− ac

2 − bc2 + c

3 − abc,

sau, echivalent

a3 + b

3 − a2b− ab

2 + 4abc− 2a2c− 2b2c ≥ 0 ⇔ (a− b)2(a+ b− 2c) ≥ 0

si este demonstrata (stim ca a ≥ c si b ≥ c). Egalitatea are loc, dupa cum usor se poatevedea, daca si numai daca toate numerele a, b, c sunt egale.

Observatie. La inegalitatea

a3 + b

3 + c3 + 6 ≥ 3(ab+ ac+ bc),

care rezulta de aici (valabila pentru orice a, b, c > 0 cu abc = 1) am ajuns de la

a3 + b

3 + c3 + d

3 + 8 ≥ 3(abc+ abd+ acd+ bcd),

Solutiile problemelor propuse 337

particularizand pe d = 1. Faptul ca aceasta inegalitate are loc pentru orice a, b, c, d > 0 cuabcd = 1 l-as propune ca problema deschisa, desi stiu ca nu exista o asemenea rubrica.

Solutie data de Marius Olteanu, inginer la S. C. Hidroconstructia S.A. Bucuresti,sucursala ,,Olt-Superior“ din Ramnicu-Valcea. Din c = mina, b, c rezulta c ≤ b, c ≤ a;abc = 1 implica

c ≤ 1, ab ≥ 1. (1)

Inegalitatea devine

a3 + b

3 +1

a3b3+ 6− 3

(

ab+a+ b

ab

)

≥ 1

ab(a− b)2 +

1

a3b3

(

a2b− 1

) (

ab2 − 1

)

⇔

⇔ a5b2 + a

2b5 + 7a2

b2 − 3a3

b3 − 3a2

b− 3ab2 − a3b− ab

3 + a+ b ≥ 0. (2)

Se observa ca inegalitatea (2) este simetrica ın a si b. Presupunem ca a ≥ b; din (1)rezulta ca a ≥ 1, iar b poate fi ori supraunitar ori subunitar.

Cazul 1. a ≥ b ≥ 1.Fie f : [b,∞) → R,

f(x) = x5b2 − x

3 (3b3 + b)

+ x2 (

b5 + 7b2 − 3b

)

− x(

3b2 + b3 − 1

)

+ b,

cu b ≥ 1.Atunci

f′(x) = 5x4

b2 − 3x2 (3b3 + b

)

+ 2x(

b5 + 7b2 − 3b

)

−(

3b2 + b3 − 1

)

,

f′′(x) = 20x3

b2 − 6x

(

3b3 + b)

+ 2(

b5 + 7b2 − 3b

)

,

f′′′(x) = 60x2

b2 − 6

(

3b3 + b)

= 6b(

10x2b− 3b2 − 1

)

> 0

(deorece x ≥ b ≥ 1 implica 3x2b ≥ 3b3 si x2b ≥ b etc.).Din f ′′′(x) > 0 pentru orice x ≥ b, rezulta ca f ′′(x) este strict crescatoare pe [b,∞)

si deci f ′′(x) ≥ f ′′(b) (cu egalitate, deci, doar pentru x = b).

Insa

f′′(b) = 22b5 − 18b4 + 8b2 − 6b = 4b5 + 18b4(b− 1) + 2b2 + 6b(b− 1) > 0

implica implica f ′′(x) > 0 pentru orice x ≥ b; urmeaza ca f ′(x) este strict crescatoare pe[b,∞). Avem deci, f ′(x) ≥ f ′(b) (cu egalitate atunci si numai atunci cand x = b). Dar

f′(b) = 7b6 − 9b5 + 10b3 − 9b2 + 1 = (b− 1)

[

7b5 + 8b2 −(

b4 + b

3 + 2b+ 2)]

≥ 0, ∀ b ≥ 1,

implica f ′(b) ≥ 0, pentru orice b ≥ 1, rezulta ca f ′(x) ≥ 0 pentru orice x ≥ b, deci f(x)este crescatoare pe [b,∞) conchidem ca f(x) ≥ f(b).

Dar f(b) = b(b− 1)[

2b5 + 4b2 −(

b4 + b3 + 2b+ 2)]

≥ 0 pentru orice b ≥ 1; urmeazaca f(x) ≥ 0 pentru orice x ≥ b. Atunci, pentru x = a ≥ b, avem f(a) ≥ 0, adica inegalitatea(2).

Cazul 2. a ≥ 1, b ≤ 1.

Din (1) rezulta a ≥ 1

b≥ 1; notam

1

b= y ≥ 1; urmeaza ca a ≥ y ≥ 1.

Daca inegalitatea (2) (pe care trebuie sa o demonstram) o ımpartim prin b5, obtinemechivalenta

a5

b3+ a

2 + 7a2

b3− 3

a3

b2− 3

a2

b4− 3

a

b4− a

b2+

a

b5+

1

b4≥ 0 ⇔

⇔ a5y3 + a

2 + 7a2y3 − 3a3

y2 − 3a2

y4 − 3ay3 − a

3y4 − ay

2 + ay5 + y

4 ≥ 0. (3)

Fie g : [y,∞) → R, unde

g(a1) = a51y

3 − a31

(

3y2 + y4)+ a

21

(

1 + 7y3 − 3y4)− a1

(

y2 + 3y3 − y

5)+ y4; y ≥ 1.

338 Probleme

Avem

g′(a1) = 5a4

1y3 − 3a2

1

(

y4 + 3y2)+ 2a1

(

−3y4 + 7y3 + 1)

+(

y5 − 3y3 − y

2) ;

g′′(a1) = 20a3

1y3 − 6a1

(

y4 + 3y2)+ 2

(

−3y4 + 7y3 + 1)

;

g′′′(a1) = 60a2

1y3 − 6

(

y4 + 3y2) = 6y2 (10a2

1y − y2 − 3

)

> 0,

deoarece y ≥ 1 si a1 ≥ y ⇒ a21y ≥ y2 si 3a2

1y − 3 ≥ 0 etc.Asadar g′′(a1) este strict crescatoare pe [y,∞), rezulta g′′(a1) ≥ g′′(y) (cu egalitate

daca si numai daca a1 = y).Dar g′′(y) = 20y6−6y5−6y4−4y3+2 > 0, pentru orice y ≥ 1, implica g′′(a1) > 0 si

deci g′(a1) este strict crescatoare pe [y,∞); urmeaza ca g′(a1) ≥ g′(y) (cu egalitate numaidaca a1 = y).

Insa

g′(y) = (y − 1)

[

3y4 (y2 − 1

)

+ 2y(

y4 − 1

)

+ 2y3 − y2] ≥ 0, ∀ y ≥ 1.

Rezulta g′(a1) ≥ 0 si deci g(a1) este crescatoare pe [y,∞); urmeaza ca g(a1) ≥ g(y).Dar

g(y) = y2(y − 1)2 −

(

y4 + y

3 − y2 + y + 1

)

≥ 0, ∀ y ≥ 1,

implica g(a1) ≥ 0 pentru orice a1 ∈ [y,∞).Evident ca, ınlocuind a1 = a, deducem ca g(a) ≥ 0, adica (3).

271. Sa se arate ca pentru orice θ ∈ R are loc inegalitatea

∞∑

n=0

cosnθ

(n+ 1)4≥ 7π4

720.

Robert Szasz

Solutia autorului. Este suficient sa demonstram inegalitatea pentru θ ∈ [0, 2π].Observam ca

∞∑

n=0

cosnθ

(n+ 1)4= Re

∞∑

n=0

1∫

0

1∫

0

1∫

0

1∫

0

xnunvntneinθdxdudvdt =

= Re

1∫

0

1∫

0

1∫

0

1∫

0

(

∞∑

n=0

xnunvntneinθ

)

dxdudvdt = Re

1∫

0

1∫

0

1∫

0

1∫

0

1

1− xuvteiθdxdudvdt =

=

1∫

0

1∫

0

1∫

0

1∫

0

1− xuvt cos θ

1 + x2u2v2t2 − 2xuvt cos θdxdudvdt. (1)

Este simplu de aratat ca are loc inegalitatea

1− xuvt cos θ

1 + x2u2v2t2 − 2xuvt cos θ≥ 1

1 + xuvt, ∀ θ ∈ [0, 2π] si ∀x, u, v, t ∈ (0,∞), (2)

cu egalitate daca θ = π.Din (1) si (2) rezulta ca

∞∑

n=0

cosnθ

(n+ 1)4≥

1∫

0

1∫

0

1∫

0

1∫

0

1

1 + xuvtdxdudvdt =

∞∑

n=0

(−1)n

(n+ 1)4=

7π4

720.

272. Fie xi ∈ R+, i = 1, n, astfel ıncat

0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn si x1 + x2 + . . .+ xn = a.


Sa se determine multimea

maxxi | i = 1, n

si sa se precizeze valorile pentru care

aceste maxime sunt atinse.Dorin Marghidanu

Solutia autorului. Din conditiile din enunt, avem (n− 1) ·x1 ≤ x2 + . . .+xn, ceea

ce implica nx1 ≤ x1 +(x2 + . . .+ xn) = a si apoi x1 ≤ a

n. Deci maxx1 =

a

n, atins ın cazul

ın care x1 = x2 = . . . = xn =a

n.

Pentru variabila x2, avem (n − 2) · x2 ≤ x3 + . . . + xn, deci x1 + (n − 1) · x2 ≤ a si

cum x1 ≥ 0, rezulta ca valoarea maxima a lui x2 estea

n− 1si se realizeaza pentru x1 = 0,

x2 = . . . = xn =a

n− 1.

Se continua apoi rationamentul.

In general, pentru variabila xk avem (n− k) · xk ≤ xk+1 + . . .+ xn, deci

(x1 + x2 + . . .+ xk−1) + (n− k + 1) · xk ≤ x1 + x2 + . . .+ xn = a

si cum 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xk−1 ≤ xk, valoarea maxima a lui xk se obtine cand

x1 = x2 = . . . = xk−1 = 0 si xk =a

n− k + 1= xk+1 = . . . = xn, k = 1, n.

Solutie data de Marius Olteanu, inginer la S. C. Hidroconstructia S.A. Bucuresti,sucursala ,,Olt-Superior“ din Ramnicu-Valcea. Daca x1 = x2 = . . . = xn−1 = 0, atunciobtinem xnmax = a ≥ 0.

In continuare, avem x1 + x2 + . . .+ xn−2 + (xn−1 + xn) = a.Daca x1 = x2 = x3 = . . . = xn−2 = 0, atunci (xn−1 + xn)max = a, deci 2xn−1 ≤

≤ (xn−1 + xn)max = a, de unde xn−1max =a

2.

Analog avem x1 + x2 + . . .+ xn−3 + (xn−2 + xn−1 + xn) = a.Daca x1 = x2 = x3 = . . . = xn−3 = 0, atunci (xn−2 + xn−1 + xn)max = a implica

3xn−2 ≤ (xn−2 + xn−1 + xn)max = a (deoarece xn−2 ≤ xn−1 ≤ xn) si deci xn−2max =a

3.

Din aproape ın aproape obtinem, ın cele din urma, x2max =a

n− 1, x1max =

a

n.

Urmeaza

A =

maxxi | i = 1, n

=

a

n,

a

n− 1, . . . ,

a

2, a

.

273. Daca

e(x) =

(

1 +1

x

)x

, ∀x ∈ R∗+

si a ∈ R∗+, sa se calculeze

limn→∞

(

limx→∞

(

(x

n

)2(

n∑

k=1

e(x+ ka)− ne(x)

)))

.

Dumitru M. Batinetu-Giurgiu

Solutia autorului. Demonstram, mai ıntai, urmatoareaLema. Avem

limx→∞

(

x2(e(x+ a)− e(x+ b))

)

=(a− b) · e

2, ∀ a, b ∈ R+, a > b. (1)

Demonstratie. Aplicam teorema lui Lagrange functiei f : [x + b, x + a → R,f(x) = e(x). Prin urmare, exista c(x) ∈ (x+ b, x+ a) astfel ıncat

f(x+ a)− f(x+ b) = (a− b)e′(c(x)) = (a− b) · e(c(x))(

ln

(

1 +1

c(x)

)

− 1

c(x) + 1

)

, (2)

340 Probleme

aceasta deoarece e′(x) = e(x) ·(

ln

(

1 +1

x

)

− 1

x+ 1

)

.

Deoarece c(x) ∈ (x+ b, x+ a) rezulta ca

x+ b < c(x) < x+ a ⇔ 1 +b

x<

c(x)

x< 1 +

a

x;

atunci, din faptul ca x → ∞ rezulta ca limx→∞

c(x)

x= 1.

In conformitate cu (2) deducem ca

limx→∞

(

x2 · (e(x+ a)− e(x+ b))

)

= limx→∞

(

x2(a− b) · e(c(x)) ·

(

ln

(

1 +1

c(x)

)

− 1

c(x) + 1

))

=

= (a− b) limx→∞

(

x

c(x)

)2

· limx→∞

e(c(x)) · limc(x)→∞

(

(c(x))2 ·(

ln

(

1 +1

c(x)

)

− 1

c(x) + 1

))

=

= (a− b) · 1 · e · limt→0

ln(1 + t)− t

t+ 1t2

,

unde t =1

c(x). Prin urmare,

limx→∞

(

(e(x+ a)− e(x+ b)) · x2) = (a− b) · e · limt→0

1

t+ 1− 1

(t+ 1)2

2t=

=(a− b) · e

2· limt→0

t+ 1− 1

t · (t+ 1)2=

(a− b) · e2

· limt→0

t

t=

(a− b) · e2

. (3)

Cu aceasta lema este demonstrata.Daca b = 0, atunci avem

limx→∞

(

x2 · (e(x+ a)− e(x))

)

=a · e2

. (4)

Prin urmare,

limx→∞

((

n∑

k=1

e(x+ k · a)− n · e(x))

· x2

)

=n∑

k=1

limx→∞

(

x2 · (e(x+ k · a)− e(x))

)

=

=n∑

k=1

k · a · e2

=a · e2

n∑

k=1

k =n(n+ 1) · a · e

4. (5)

Rezulta ca

limn→∞

(

limx→∞

(

(x

n

)2

·(

n∑

k=1

e(x+ k · a)− n · e(x))))

=

= limn→∞

1

n2

n∑

k=1

(

limx→∞

(

x2 (e(x+ k · a)− e(x))

)

)

= limn→∞

n · (n+ 1) · a · e4n2

=a · e4

.

Solutie data de Marius Olteanu, inginer la S. C. Hidroconstructia S.A. Bucuresti,sucursala ,,Olt-Superior“ din Ramnicu-Valcea. Avem

(x

n

)2

·(

n∑

k=1

e(x+ ka)− ne(x)

)

=1

n2· x2 ·

(

n∑

k=1

(e(x+ ka)− e(x))

)

=

=1

n2·(

n∑

k=1

x2 (e(x+ ka)− e(x))

)

. (1)


Avand ın vedere modul de obtinere a relatiilor (4) si (5) de la pag. 152 si 153 din[1], se deduce imediat faptul ca pentru orice x ≥ 1, x ∈ R, avem sirul de inegalitati

e

2x+ 2<

e

2x+11

6

< e− e(x) <e

2x+4− e

e− 2

<e

2x+ 1, ∀x ≥ 1,

de unde rezulta cae

2x+ 2< e− e(x) <

e

2x+ 1, ∀x ≥ 1. (2)

In plus,

e(x+ ka)− e(x) = (e(x+ ka)− e) + (e− e(x)). (3)

Din (2) avem

e

2x+ 2< e− e(x) <

e

2x+ 1, ∀x ≥ 1,

− e

2(x+ ka) + 1< e(x+ ka)− e <

e

2(x+ ka) + 2, ∀x ≥ 1, k ∈ N

∗, a ∈ R∗+.

Dupa (3) urmeaza ca:

e

(

1

2x+ 2− 1

2(x+ ka) + 1

)

< e(x+ ka)− e(x) < e

(

1

2x+ 1− 1

2(x+ ka) + 2

)

,

∀x ≥ 1, k ∈ N∗, a ∈ R

∗+, ceea ce este echivalent cu

e · 2ka− 1

2(x+ 1)(2x+ 2ka+ 1)< e(x+ ka)− e(x) < e · 2ka+ 1

2(2x+ 1)(x+ ka+ 1),

∀x ≥ 1, k ∈ N∗, a ∈ R

∗+ si apoi

e · x2(2ka− 1)

2(x+ 1)(2x+ 2ka+ 1)< x

2(e(x+ ka)− e(x)) < e · x2(2ka+ 1)

2(2x+ 1)(x+ ka+ 1),

∀x ≥ 1, k ∈ N∗, a ∈ R

∗+.

Aplicand teorema ,,clestelui“ avem

e · limx→∞

x2(2ka− 1)

2(x+ 1)(2x+ 2ka+ 1)< lim

x→∞

[

x2(e(x+ ka)− e(x))

]

<

< e · limx→∞

x2(2ka+ 1)

2(2x+ 1)(x+ ka+ 1),

deci

limx→∞

[

x2(e(x+ ka)− e(x))

]

= e · ka2, ∀ k ∈ N

∗ si a ∈ R∗+. (4)

Tinand cont de relatiile (1) si (4) avem

limx→∞

(x

n

)2(

n∑

k=1

e(x+ ka)− ne(x)

)

=1

n2

n∑

k=1

limx→∞

[

x2 (e(x+ ka)− e(x))

]

=

=ea

2· 1

n2·

n∑

k=1

=ea

2· 1

n2· n(n+ 1)

2=

ea

4· n+ 1

n,

adica

limx→∞

(x

n

)2

·(

n∑

k=1

e(x+ ka)− ne(x)

)

=ea

4lim

n→∞

(

n+ 1

n

)

=ea

4.

342 Probleme

Bibliografie

[1] E. Paltanea, Asupra vitezei de convergenta a sirului

(

1 +1

n

)n

, G. M. - A nr. 3/2001.

274. Fie R si ρ doua numere strict pozitive, iar k un numar natural dat. Consideram

sirul de polinoame (Fn)n>kdefinit prin

Fn(X) = Xn −R

kX

n−k −∑

1≤j≤nj 6=k

ρjX

n−j.

1. Sa se arate ca fiecare polinom Fn are o unica radacina reala pozitiva ξn.2. Sa se arate ca sirul (ξn)n>k

este monoton si convergent.Doru Stefanescu

Solutia autorului. 1. Polinomul Fn are o singura schimbare de semn. Dintr-ocunoscuta teorema a lui Descartes (regula semnelor), reiese ca Fn are o singura radacinapozitiva.

2. Consideram d ∈ N, d > k. Atunci are loc relatia

Fd+1(X) = XFd(X)− ρd+1

.

De aici obtinem

Fd+1(ξd) = ξd · F (ξd)− ρd+1 = −ρ

d+1< 0.

Conform teoremei lui Cauchy reiese ca numarul ξd este o margine superioara a mod-ulelor radacinilor polinomului Fd+1. Prin urmare, avem

ξd ≤ ξd+1 pentru orice d > k,

ceea ce arata ca sirul (ξd)d>keste crescator.

Pe de alta parte, din teorema ,,R+ρ“ a lui Lagrange valorile absolute ale radacinilorpolinomului Fd sunt marginite superior de R + ρ daca ρ ≤ R, respectiv de ρ + R dacaR ≤ ρ, care este (ın acest caz) aceeasi margine. Deci ξd ≤ R+ ρ. Asadar

0 < ξd ≤ R+ ρ,

deci sirul (ξd)d>keste marginit.

Cum sirul (ξd)d>keste si monoton, rezulta convergenta sa.

Solutie data de Nicusor Minculete, Universitatea Dimitrie Cantemir din Brasov.

1. In ecuatia Fn(x) = 0 facem substitutia x → 1

xsi astfel obtinem ecuatia

∑

1≤j≤nj 6=k

ρjxj +R

kxk − 1 = 0.

Consideram acum functia f : [0,+∞) → R data de

f(x) =∑

1≤j≤nj 6=k

ρjxj +R

kxk − 1.

Cum f(0) = −1 si limx→∞

f(x) = +∞, iar f este o functie continua, deducem ca ecuatia

f(x) = 0 are cel putin o solutie. Dar

f′(x) =

∑

1≤j≤nj 6=k

jρjxj−1 + kR

kxk−1

> 0, ∀x > 0,

deci functia f este strict crescatoare pe (0,+∞), asadar f are o singura radacina pozitiva,ceea ce ınseamna ca polinomul Fn are o singura radacina reala pozitiva ξ.


2. Fie ξn radacina pozitiva a polinomului Fn(x) = 0 si ξn+1 radacina pozitiva a

polinomului Fn+1(x) = 0. Vom nota ξn =1

θsi ξn+1 =

1

δ, n > k, deci avem relatiile

ρnθn + ρ

n−1θn−1 + . . .+ ρ

k+1θk+1 + ρ

k−1θk−1 + . . .+R

kθk − 1 = 0

siρn+1

δn+1 + ρ

nδn + . . .+ ρ

k+1δk+1 + ρ

k−1δk−1 + . . .+R

kδk − 1 = 0.

Din aceste relatii obtinem

ρn+1

δn+1 = ρ

n (θn − δn) + ρ

n−1 (θn−1 − δ

n−1)+ . . .+ ρk+1

(

θk+1 − δ

k+1)

+

+ρk−1

(

θk−1 − δ

k−1)

+ . . .+ ρ(θ − δ) +Rk(

θk − δ

k)

. (∗)Se observa usor ca θ 6= δ, din relatia (∗) (deoarece pentru θ = δ, obtinem ρn+1δn+1 = 0,fals, iar

θs − δ

s = (θ − δ)E(θ, δ, s),

unde E(θ, δ, s) > 0, pentru orice s ≥ 1.Relatia (∗) se rescrie ın modul urmator:

ρn+1

δn+1 = (θ − δ)

[ρnE(θ, δ, s) + . . .+ ρ] +RkE(θ, δ, k)

,

ceea ce implica θ − δ > 0, deoarece pn+1δn+1 > 0 si expresia dintre acolade este strictpozitiva.

Prin urmare, θ > δ, adica ξn+1 > ξn, deci sirul (ξn)n>keste strict crescator.

Presupunem prin absurd ca sirul (ξn)n>keste nemarginit, iar cum el este strict

crescator, rezulta ca limn→∞

ξn = ∞, adica limn→∞

ξn

ρ= ∞.

Cum

ξnn −R

kξn−kn − ρξ

n−1n − ρ

2ξn−2n − . . .− pρn− 1ξn − ρ

n = 0,

prin ımpartirea cu ρn obtinem(

ξn

ρ

)n

− Rk

ρk

(

ξn

ρ

)n−k

−(

ξn

ρ

)n−1

−(

ξn

ρ

)n−2

− . . .− ξn

ρ− 1 = 0. (∗∗)

Prin trecere la limita ın relatia (∗∗) deducem ca ∞ = 0, ceea ce este o contradictie.Asadar, sirul (ξn)n>k

este marginit. Cum acest sir este monoton si marginit, rezulta caeste convergent, din criteriul lui Weierstrss.

Nota redactiei. O solutie corecta, similara cu cea de mai sus, a dat si domnul in-giner Marius Olteanu de la S. C. Hidroconstructia S.A. Bucuresti, sucursala ,,Olt-Superior“din Ramnicu-Valcea.

344 Istoria Matematicii

ISTORIA MATEMATICII

Matematica ın top ?Neculai Stanciu1)

Abstract. The international Company Creators Synetics composed inOctober of 2007, the top 100 living geniuses in science, politics, art andbusiness. On top are two mathematicians Grigory Perelman (Russia) andAndrew Wiles (UK).

Keywords: History of Mathematics.

MSC : 01A05.

Compania internationala Creators Synetics a alcatuit, ın octombrie 2007, topul celor100 de genii ın viata din domeniul stiintei, politicii, artei si din mediul de afaceri.

Primul loc a fost ımpartit de inventatorul Internetului, Sir Tim Berners-Lee si chimis-tul elvetian, Albert Hofmann – descoperitorul proprietatilor halucinogene ale LSD. Pe ul-

timul loc figureaza numele regizorului american Quentin Tarantino. In total, pe lista sunt24 de britanici si 43 de americani. Doar 15 dintre cele 100 de genii sunt femei. Cele 100 degenii au fost alese ın functie de 5 factori – rolul jucat ın schimbarea sistemului de viziuneasupra lumii, recunoasterea publica, forta intelectului, succesele si importanta culturala.

In acest top sunt si doi matematicieni, Grigory Perelman (Rusia) si Andrew Wiles

(Marea Britanie). Meritele celor doi sunt demonstrarea a doua conjecturi celebre. Ter-

menul de conjectura a fost introdus de David Hilbert2), ın formularea celor 23 de problemesupuse spre rezolvare comunitatii internationale a matematicienilor la al II-lea ,,Congres

international al matematicienilor“ din 1900 de la Paris. In mod obisnuit, prin conjecturase ıntelege orice explicatie presupusa a unui fenomen (eveniment) constituita fara certitu-

dine si ın afara oricarei dovezi (probe) plecand de la aparente sau presupuneri. In acordcu Hilbert (autorul termenului de conjectura) se ıntelege prin conjectura acea problemadeschisa care poate furniza arhitectura unei teorii ın matematica (sau o directie noua) sauavansarea unui nou domeniu.

Pierre Fermat (parintele teoriei numerelor) a produs 48 conjecturi (trei s-au dovedit

false) care au reprezentat probleme de cercetare pentru multi matematicieni (Gauss3),

1)Profesor, Sc. George Emil Palade si Sc. nr. 6, Buzau, [email protected])Nascut la 23 inuarie 1862 la Konigsberg, ın Prusia (acum Kaliningrad, Rusia) – de-

cedat la 14 februarie 1943, a fost un matematician german. Prin profunzimea ideilor sia modului de exprimare, ,,Bazele geometriei “ a lui Hilbert a devenit cartea de temelie amatematicilor moderne si metoda axiomatizarii ın sensul lui Hilbert ; ea a fost generalizatapentru toate ramurile noi ale matematicii. Totusi, pentru usurarea ıntelegerii geometrieiafine si euclidiene, astazi se adopta o constructie a geometriei cu ajutorul unei automatizaribazate pe algebra liniara. Acest fapt este ın concordanta cu schimbarile determinate denoul curriculum, de noul sistem de evaluare si de noile manuale. (N.A.)

3) Carl Friedrich Gauss, latinizat Carlo Friderico Gauss (n. 30 aprilie 1777, Braun-schweig – d. 23 februarie 1855 Gottingen) a fost un matematician, fizician si astronomgerman celebru. (N.A.)

N. Stanciu, Matematica ın top ? 345

Cauchy1), Riemann2) etc). Ultima conjectura a lui Fermat (cunoscuta ca Marea teoremaa lui Fermat) a fost ca ecuatia xn + yn = zn, pentru n ≥ 3, nu are solutii ın Z \ 0.

Pierre de Fermat3) vs. Sir Andrew John Wiles4)

(n.17 august 1601, Montauban,Franta - d.12 ianuarie 1665,

Castres, Franta)

(n. 11 aprilie 1953, Cambridge,England, Residence United Kingdom)

Marea teorema a lui Fermat a fost enuntata de Pierre de Fermat ın anul 1637,iar demonstratia completa a fost gasita de-abia 357 de ani mai tırziu, ın 1994, de catrematematicianul englez Andrew Wiles.

Pentru n = 2, enuntul nu este adevarat. Exista triplete de numere naturale (x, y, z)cu care se pot forma laturile unui triunghi dreptunghic; de aici, conform teoremei luiPitagora, avem x2 + y2 = z2. De exemplu (3, 4, 5) sau (5, 12, 13). Exista chiar o infinitatede astfel de triplete, forma lor generala fiind x = 2uv, y = u2 − v2, z = u2 + v2, unde u siv sunt numere naturale oarecare.

Pentru n > 2, doar cazul n = 4 admite o demonstratie elementara, schitata deFermat ınsusi. Chiar si pentru cazul n = 3 demonstratia depaseste nivelul manualelor de

1)Augustin Louis Cauchy (n. 21 august 1789 – d. 23 mai 1857) a fost unul dintrecei mai importanti matematicieni francezi. A demarat un proiect important de reformu-lare si demonstrare riguroasa a teoremelor de algebra, a fost unul dintre pionierii analizeimatematice si a adus o serie de contributii si ın domeniul fizicii. Datorita perspicacitatiisi rigurozitatii metodelor sale, Cauchy a avut o influenta extraordinara asupra contempo-ranilor si succesorilor sai. Catolic si roialist fervent, manifesta o prezenta sociala activa.(N.A.)

2) Georg Friedrich Bernhard Riemann (n.17 septembrie 1826 – d.20 iulie 1866) a fostun matematician german cu importante contributii ın analiza matematica si geometriadiferentiala, unele dintre ele deschizand drumul ulterior spre teoria relativitatii generalizate.(N.A.)

3)A fost un matematician francez, precursor al calculului diferential, geometriei analiticesi calculului probabilitatilor. Lui ıi este atribuit ıntr-o masura mai mica calculul modern,ın special, pentru munca sa referitoare la tangente si punct stationar. El este consideratcateodata ,,parinte“ al calculului diferential si al teoriei numerelor. A avut contributii si ıngeometria analitica si probabilitate. S-a nascut ın orasul Beaumont-de-Lomagne. Tatal luiera un bogat negustor de piei. Sub presiunea familiei, Fermat s-a ındreptat spre o cariera

ın administratia civila. In 1631 a fost numit consilier la Departamentul de Solicitari din

Toulouse. In 1652 a fost afectat de o forma a ciumei, care bantuia Europa acelor ani. Aıntretinut o vasta corespondenta cu Digby, Wallis, Mersenne. (N.A.)

4)Profesor de matematica la Princeton University (U.S.A.), a obtinut premii notabile:Fermat Prize (1995), Wolf Prize (1995/6), Royal Medal (1996), IMU Silver Plaque (1998),Shaw Prize (2005).


liceu; primul care s-a ocupat de cazul n = 3 a fost matematicianul Leonhard Euler1) ın1753.

In 1825, francezii Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet2) si Adrien-Marie Le-

gendre3) transeaza cazul n = 5, demonstratia avand ca punct de plecare o idee mai vechea lui Marie-Sophie Germain4).

Dupa cativa ani, este finalizata demonstratia pentru n = 7,de catre francezul Pierede Gabriel Leon Jean Baptiste Lame5). La mijlocul secolului XIX, Academia Francezainstituie un premiu de 3000 franci (o suma enorma atunci) pentru o demonstratie completaa teoremei.

Demonstratii pentru numere prime mai mici ca 100 au fost date aproximativ ınaceeasi perioada, de catre matematicianul german Ernst Eduard Kummer6).

In 1908, magnatul german Paul Wolfskehl aloca uriasa suma de 100.000 de marcicelui ce va demonstra teorema (,,oferta“ fiind valabila pana ın 2007). Dupa aparitia calcu-latoarelor electronice, au fost abordate cazuri particulare pentru valori tot mai mari ale luin; prin anii 1980, erau elucidate toate cazurile ın care n < 4.000.000.

In ultimii ani de dinaintea gasirii demonstratiei complete pentru orice n > 2, mate-maticienii erau convinsi ca prin metode elementare nu se mai poate aduce nimic nou.

In anul 1983, matematicianul german Gerd Faltings7). a demonstrat ca exista celmult o multime finita de contra-exemple la marea teorema a lui Fermat.

In septembrie 1994, matematicianul englez Andrew Wiles a dat demonstratia com-pleta a teoremei, dupa ce, ın 1993, propusese o alta demonstratie, care se dovedise a figresita.

In anul 2000, Institutul matematic Clay (U.S.A.) a lansat ın cadrul unei Conferinteaniversare a centenarului congresului international al matematicienilor din 1900, un numarde 7 probleme (numite problemele mileniului trei8)) spre rezolvare: fiecare problema este co-tata cu un premiu de 1000000 de dolari. Printre aceste sapte probleme se afla si ConjecturaPoincare.

1)(n. 15 aprilie 1707, Basel, Elvetia – d. 18 septembrie 1783, Sankt Petersburg, Rusia)a fost un matematician si fizician elvetian. Leonhard Euler este considerat a fi fost fortadominanta a matematicii secolului al 18-lea si unul dintre cei mai remarcabili matematicienisi savanti multilaterali ai omenirii. Alaturi de influenta considerabila pe care a exercitat-o asupra matematicii si matematizarii stiintelor stau atat calitatea si profunzimea, catsi prolificitatea extraordinara a scrierilor sale, opera sa exhausiva (daca ar fi publicatavreodata) putand cu usurinta umple 70 – 80 de volume de dimensiuni standard. (N.A.)

2)(n. 13 februarie 1805 – d. 5 mai 1859) a fost matematician german, celebru princontributiile valoroase ın analiza matematica si teoria numerelor. (N.A.)

3)(n. 18 septembrie 1752 - d. 10 ianuarie 1833) a fost matematician francez, cunoscutpentru contributiile sale ın domeniile: statistica, teoria numerelor, algebra abstracta sianaliza matematica. (N.A.)

4)(n. 1 aprilie 1776 – d. 27 iunie 1831) a fost o matematiciana franceza cu contributiiimportante ın geometria diferentiala si teoria numerelor. (N.A.)

5)(n. 22 iulie 1795 – d.1 mai 1870) a fost un matematician francez. (N.A.)6) (n.29 ianuarie 1810 – d.14 mai 1893) a fost un matematician german. (N.A.)7) Gerd Faltings – n. 28 iulie 1954 ın Gelsenkirchen-Buer, Germania – este un matema-

tician german (N.A.)8)Cele sapte probleme ale Mileniului stabilite de Clay Institute din Cambrige, Mas-

sachussetts sunt urmatoarele: P versus NP, Conjectura lui Hodge, Ipoteza Riemann,Existenta ,,golului de masa“ Yang-Mills, Problema de existenta Navier-Stokes, Conjecturalui Birch-Sinnerton-Dyer, Conjectura lui Poincare – singura rezolvata. (N.A.)

N. Stanciu, Matematica ın top ? 347

Jules Henri Poincare1) vs. Grigori Perelman 2)

(n.29 aprilie 1854 – d.17 iulie 1912) (n.13 iunie 1966, Sankt Petersburg, Rusia)

In 1904, Poincare enunta faimoasa sa conjectura. Enuntul ei, ın cazul cel mai general,este urmatorul:

O varietate simplu conexa din spatiul cu n + 1 dimensiuni este homeomorfa cu o

sfera n-dimensionala.Pentru cazul mai general, pentru n > 4, demonstratia a fost realizata de catre

Zeman(1962), Stallings 3) (1960) si Smale 4) (1960), iar pentru cazul n = 4 demonstratiaa fost reusita de catre Freedman ın 1982. Ramasese de demonstrat cazul ın care n = 3,adica varianta, aparent, cea mai simpla.

William Thurston 5), un matematician de la Princeton, a propus, pe la ınceputulanilor 1970, o clasificare a varietatilor 3-dimensionale. El considera ca atat timp cat va-rietatile 3-dimensionale pot avea diferite forme, ele nu vor ,,prefera“ o anumita geometrie,ıntocmai ca o tesatura din matase care va lua forma manechinului pe care este asezata.El a afirmat ca fiecare dintre varietatile 3-dimensionale poate fi descompusa ın unul panala opt componente, inclusiv una de tip sferic, ın sensul topologic al cuvantului. Avemacum de-a face cu o noua conjectura, ,,Conjectura geometrizarii“, care este o generalizarea Conjecturii lui Poincare.

1)A fost considerat un matematician universal cu contibutii ın toate domeniile mate-maticii. (N.A.)

2)Talentat la matematica, urmeaza cursurile unui prestigios liceu leningradean renumitpentru specializarea sa ın fizica si matematica. Rezultatele sale nu se lasa asteptate si, ın1982, devine membru al lotului sovietic pentru Olimpiada Internationala de Matematica siobtine medalia de aur cu scorul maxim posibil: 42 de puncte.

A refuzat Medalia Fields (2006) si premiul de 1.000.000 de dolari oferit de Clay Mathe-matics Institute. (N.A.)

3)John Stallings (n. 22 iulie 1935 – d. 24 noiembrie 2008 ın Berkeley) a fost un matem-atician american. A primit Medalia Fields ın 1966. (N.A.)

4) Stephen Smale (n. 15 iulie 1930) – este un matematician american. A primit MedaliaFields ın 1966.(N.A.)

5)William Paul Thurston (n. 30 octombrie 1946) este un matematician american. Aprimit Medalia Fields ın 1982. (N.A.)


In 1982, anul ın care Thurston primea Medalia Fields1), un alt matematician, RichardHamilton2), de la Universitatea Cornell, propunea un program de demonstrare a Conjecturiigeometrizarii. El pleaca de la asa-numita Curgere Ricci. Hamilton ısi propune sa arate cao suprafata simplu conexa poate fi deformata continuu astfel ıncat oricare punct al eisa ajunga pe suprafata unei sfere (sfera ın sensul larg, topologic). Problema era ca pemasura ce se aplica deformarea, ın timp, se ıntampla sa apara zone cu singularitati. Acestesingularitati ıl ımpiedicau pe Hamilton sa realizeze deformarea continua pe care o dorea.

Aici intervine articolul genial al lui Perelman din 2002, care are 39 de pagini. In ,,Theentropy formula for the Ricci flow and its geometric applications“ Perelman indica o caleprin care singularitatile pot fi facute sa dispara. El aplica un procedeu prin care marimilecare intervin ın deformare sunt ,,netezite“.

Lucrarea lui Perelman nu a reprezentat demonstrarea completa a conjecturii Poin-care, ci numai realizarea unui schelet de demonstratie. Dupa mai multe dezvoltari, demon-stratia completa a fost realizata de catre Huai-Dong Cao 3) si Xi-Ping Zhu 4). Demonstratiase ıntinde pe 328 de pagini. Terence Tao5), profesor de matematica la Universitatea dinCalifornia, spune ca realizarea lui Perelman este ,,cea mai frumoasa demonstratie pe carea vazut-o ın ultimii zece ani”.

Inainte de a muri, Hilbert a fost ıntrebat, daca ar ınvia dupa 500 de ani, ce ıntrebarear pune, si el a raspuns: daca a fost rezolvata ipoteza lui Riemann 6).

In ceea ce priveste topul universitatilor (2007), exista un clasament realizat de TimesHigher Education Supplement (THES) si firma Quacquarelli Symonds (QS) (Universitateadin Bucuresti este singura universitate din Romania care a intrat ın topul primelor 500 dinlume, pe locul 472) si un clasament realizat de Universitatea Jiao Tong din Shanghai (si ın

1)Medalia Fields este cea mai importanta distinctie din lumea matematicii, fiind cunos-cuta ca un fel de Premiu Nobel pentru matematica. Medalia este datorata matemati-cianului John Charles Fields (1863-1932), care a propus ın 1932, ın cadrul unui congresinternational al matematicienilor care a avut loc la Toronto, ınfiintarea unei distinctii caresa recompenseze realizarile majore din matematica. La moartea sa, ın 1932, a lasat dreptmostenire toate bunurile pentru a finanta medalia care avea sa ıi poarte numele. Spredeosebire de Premiul Nobel, care se acorda anual, Medalia Fields este atribuita la fiecare 4ani, ın cadrul unui congres international de matematica. De mentionat ca medaliatii Fieldstrebuie sa aiba o varsta mai mica de 40 de ani. (N.A.)

2)Richard Streit Hamilton (n.1943) – este un matematician american. A fost ales mem-bru ın National Academy of Sciences ın 1999 si ın American Academy of Arts and Sciencesın 2003. A primit premiul AMS Leroy P. Steele Prize ın 2009. (N.A.)

3)Matematician de origine chineza – activeaza la Departamentul de Matematica al Uni-versitatii, Lehigh, S.U.A. (N.A.)

4)Matematician de origine chineza – activeaza la Departamentul de Matematica al Uni-versitatii Zhongshan, Guangzhou, China (N.A.)

5)Terence Chi-Shen Tao (n. 17 iulie 1975, Adelaide, South Australia) este un matem-

atician australian (supranumit ,,Mozart“ ın matematica). In august 2006 a primit MedaliaFields, iar o luna mai tarziu a primit premiul MacArthur Fellowship. A fost ales la Fellowof the Royal Society pe 18 mai 2007 si ın 2009 devine member of American Academy ofArts and Sciences. Cel mai tanar profesor de matematica (24 de ani). (N.A.)

6)Ipoteza lui Riemann – Functia ζ(s) =

∞∑

n=1

1

n, unde s ∈ C, are zerourile ın C situate

pe drepte cu s =1

2+ bi, cu b ∈ R. Aceasta conjectura reprezinta cea mai importanta si

dificila problema a matematicii contemporane. (N.A.)

M. Trifu, Ion Ionescu (Bizet) (1870 – 1946) 349

anul acesta topul este ımpanzit de universitatile americane, ın primele 10 pozitii ale topului,8 sunt din Statele Unite, iar 2 din Marea Britanie). Cele mai multe universitati din topulShanghai sunt americane (159), urmate ca numar de cele britanice (42), germane (40),japoneze (31) si de cele canadiene (21). Cu ocazia congresului matematicienilor romani,Institutul de Matematica ,,Simion Stoilow“ al Academiei Romane a redactat un raportın care precizeaza: ,,Toate universitatile de top din America au cel putin un profesor dematematica roman si peste 300 de profesori romani de matematica predau la universitatiledin Statele Unite, Franta, Noua Zeelanda, Marea Britanie, Germania, Italia”.

Statistica elaborata de Institutul de Matematica, arata ın continuare: ,,In domeniulmatematicii sunt mai putin de 500 de absolventi de studii superioare anual, din care 10-20 intra ın cercetarea matematica. De ani buni se manifesta o migratie aproape totalaa ,,supercreierelor“ din domeniu spre universitatile din S.U.A. si Europa de Vest ınca dinprimii ani de dupa facultate sau chiar dupa liceu.“

Un astfel de matematician roman (dupa unii specialisti cel mai bine cotat tanar

matematician roman) este Daniel Tataru1). Matematicianul a fost un pretendent romanla ,,Nobelul matematicii“. Chiar daca l-a ratat, Tataru ramane un candidat serios la

recunoasterea mondiala. In 2002 a primit prestigiosul Premiu Bocher, distinctie acordatala fel de greu, o data la trei ani, ın acelasi timp cu Terence Tao, cel cu care a facut echipaın cercetare la Princeton ıntre 1995 si 1997.

Bibliografie

[1] M. Oprea, Ce este o conjectura si ce ınseamna o conjectura ?, Rev. Axioma,Nr.8/2001.

[2] ∗ ∗ ∗ Wikipedia, enciclopedia libera.

Ion Ionescu (Bizet) (1870 – 1946)

Mircea Trifu2)

,,A fost odata ca niciodata un inginer strasnic, Ion Ionescu,stanca de granit, inima de aur, om de treaba si om de isprava”

Gh. Titeica

Peste viata si activitatea lui Ion Ionescu, vestit inginer al Scolii Nationale de Poduri siSosele din Bucuresti si ,,stalp“ al Gazetei Matematice, s-a asternut, cu nedreptate, uitarea...

S-a nascut la 22 noiembrie 1870 ın catunul Stoienoaia, comuna Creata-Lesile (astazi,comuna Petrachioaia) din judetul Ilfov, unde tatal sau, Nicolae Ionescu, casatorit cu Maria-

Atina, nascuta Diamandescu, fiica unui podgorean din Valea Calugareasca, era administra-torul mosiei din localitate a fratilor Iosif si Constantin Darvaris. Scoala primara o ıncepeın comuna natala, ,,. . . cu mari greutati din cauza schimbarii ınvatatorilor. Pentru clasa a

II-a am fost adus la Bucuresti, la scoala de la Clementa, stand la o gazda de la care am

fugit la tara, caci pana si alimentele ce mi se aduceau de acasa le dadea la o ceata de catei,

din parul carora ısi facea ciorapi contra reumatismului. Cu modul acesta am pierdut anul

acela.“ Va ıncheia ciclul primar la Scoala nr. 1 de Rosu din Bucuresti.

Pasiunea pentru matematica se formeaza acum. In clasa a IV-a citeste o cartedespre logaritmi si este fascinat de uluitoarea facilitate pe care acestia o ofereau calculului

1)(n. 6 mai 1967, Piatra Neamt). La Princeton, unde Daniel Tataru a efectuat studiilepostdoctorale, lucreaza englezul Andrew Wiles si a lucrat ıncepand din 1993 si rusul Grigori

Perelman. (N.A.)2)Profesor, Secretar general al S.S.M.R.


cu numere mari. ,,. . .Am aruncat toti haiducii si toate povestile pe care le aveam si am

cautat sa fiu mai aproape de matematici“ va marturisi el mai tarziu.Urmeaza Scoala comerciala din Bulevardul Domnitei

(azi, Bd. Hristo Botev ), avand bursa ın toti anii de studiu.

In timpul verii facea practica de contabil, ca sa stranga banipentru anul scolar urmator.

Dupa absolvire, devine contabil al mosiei Stoienoaia.Iarna, fiind mai putin ocupat, se pregateste singur pentruadmiterea ın anul preparator si apoi, ca elev la Scoala dePoduri si Sosele din Bucuresti , ,,. . . la trigonometrie, dupa

cartea lui Gh. Constantinescu, fost profesor la Craiova“. Laexamenul de admitere din 1889 este primul ,,la clasificatie“ siva absolvi scoala ın 1894, ca sef de promotie, cu media 18,42(punctajul maxim fiind 20), cea mai mare medie obtinutapana atunci.

,,Ca elev era unul din cei mai disciplinati, din cei

mai inteligenti, de o staruinta fara seaman“ ısi va aminti,peste ani, fostul sau profesor, Anghel Saligny. A fost ser-gentul (seful) clasei, dar si cel care va redacta cursurile de,,Mecanica rationala“ a lui G. Kirilov si de ,,Rezistenta mate-rialelor“ a lui C. Manescu si va traduce ,,Tratatul de poduri“a lui Winker.

Este angajat ca inginer la Serviciul pentru constructia caii ferate (si a podului) dela Fetesti-Cernavoda. Podul este inaugurat de catre Regele Carol I, ın uralele multimii, la14 septembrie 1895. A doua zi, la 15 septembrie 1895, va aparea primul numar al Gazetei

Matematice.Podul de la Cernavoda a fost o mare realizare a inginerilor romani, fiind, la vremea

aceea, cea mai mare constructie de acest fel din Europa. Ion Ionescu a fost sef de santierla primul tronson al podului, cel dinspre Fetesti, peste bratul Borcea.

Ca inginer, Ion Ionescu este autorul unor constructii, studii si proiecte, unele de-osebite. A elaborat, de exemplu, proiectul pentru santierul naval din Turnu Severin, esteautorul unui studiu privind transformarea Prutului ıntr-un canal navigabil ıntre Galati siIasi, a executat cu mare profesionalism harta hidrografica a bazinului Dunarii. A construitpodul de la Bobolia, pe valea Prahovei, iar ın 1905 a construit primul pod ın unghi pe planorizontal din lume, care se numeste Podul Bizet si este ınca ın folosinta.

A obtinut cel mai ınalt grad ingineresc, inginer inspector general, a avut functiiimportante ın Comisia Centrala pentru despagubiri de razboi, ın Consiliul Permanent alInstructiunii Publice. A fost chemat si la Primaria Bucurestilor, ca specialist tehnic, darintransigenta sa proverbiala a produs neplaceri, asa ca a fost nevoit sa ısi dea demisia.

Ingineria n-a fost pentru Ion Ionescu o cale de a ajunge la o situatie materiala buna,a avut o situatie materiala modesta. Cu ocazia pensionarii va marturisi ca ,,. . . ın anul ın

care am iesit inginer am locuit ın doua odaite mici din strada Calusei, si astazi, dupa 42

de ani de practica inginereasca, locuiesc tot acolo, ın doua camere ceva mai mici.“ Estestramtorat financiar si spre batranete, pe volumul ,,Povestiri tehnice“ – face urmatoareadedicatie unui fost elev, care l-a ajutat la tiparirea cartii, multumindu-i pentru sprijin:,,Scumpului meu elev, Emil Prager, ın amintirea editarii a 200 de exemplare din aceasta

carte, al carei venit mi-a fost de ajutor pentru cautarea boalei mele din 1943- 1945“.A trait modest si sobru. ,,. . .Pe mama mea am avut-o ca exemplu de munca si de

constiinta la ındeplinirea datoriei, de la ea am luat spiritul de corectitudine, de economie,

de trai modest“. Nu si-a permis extravagante, doar scurte ,,iesiri“ cu prietenii, la via sa dela Valea Calugareasca sau la beraria ,,La Capitanul“ din apropierea Universitatii.

M. Trifu, Ion Ionescu (Bizet) (1870 – 1946) 351

A adunat carti, multe si bune. Colectia sa de carti de aritmetica era cea mai completasi unica ın Romania.

In anul 1897 ısı ıncepe cariera didactica, fiind profesor de matematici la Scoala de

Telegrafie din Bucuresti. In anul urmator este numit suplinitor la Catedra de mecanica

aplicata si rezistenta materialelor la Scoala de Poduri si Sosele. In perioada 1909 – 1914

a fost profesor (suplinitor) la Catedra de Lucrari Grafice si Rezistenta materialelor. Inanul 1914 Anghel Saligny solicita retragerea de la catedra si ıl recomanda ca succesor peIon Ionescu. Va ramane profesor la Catedra de Poduri pana la 1 octombrie 1938, cand sepensioneaza.

Pe langa functia didactica, Ion Ionescu a ındeplinit si alte functii: presedinte alSectiei de Matematica a Societatii Romane de Stiinte (ın anul 1910 a fost chiar presedinteal acestei Societati), membru la Mathematical Society din Anglia .

La Societatea Politehnica a fost timp de 13 ani secretar, timp de 9 ani vicepresedinte,iar ın perioada 1932 – 1934, a fost presedinte.

In anul 1938 a fost numit, prin decret regal, presedinte al Colegiului Inginerilor,functie ın care a stat pana ın 1941, cand s-a ımbolnavit.

In anul 1919 a fost ales membru corespondent al Academiei Romane.A avut chemare pentru ınvatamant, a avut vocatie de dascal. La tabla explica

simplu, fara emfaza, convingator, cu o logica impecabila, pasionat, antrenand elevii ınentuziasmele lui retinute, dar comunicative. Desena cu o uimitoare ındemanare. Stia saınlature, cu putine cuvinte, dificultatile de ıntelegere.

Din partea elevilor, cerea multa munca si o disciplina de fier. Nu accepta, sub nici oforma, chiulul si abaterea de la norme odata stabilite.

A dat 36 de serii de ingineri, dar nu se cunoaste cazul vreunui fost elev care sa nu firecunoscut mai tarziu, ın decursul carierei, cat de profitabila, cat de salutara a fost trecereaprin mainile lui.

Marea lui severitate, proverbiala lui exigenta, au fost socotite ca exagerate. El ınsanu a cedat, a ramas integru si drept, ıncrezator pe convingerile lui, vesnic ın minoritate,dar cerand sa i se consemneze parerea ın scris, ,,pentru vremea cand o opozitie dezinteresata

va fi mai folositoare decat un reptilism cu tendinte“.A fost, dupa aprecierea elevilor sai, cel mai autorizat profesor de morala si cinste

profesionala.La Gazeta Matematica contributia lui Ion Ionescu a fost covarsitoare. A facut parte

din cei cinci ingineri, ıntemeietorii, (Victor Balaban, Vasile Cristescu, Andrei Ioachimescu,Ion Ionescu si Ioan Zottu) care, la 4 octombrie 1894, ın casa din strada Manea Brutaru(astazi, strada General C. Budisteanu), au hotarat ınfiintarea unei reviste ,,. . . de care sa

profite elevii liceelor noastre“.A fost, vreme de 44 de ani, redactor activ. A scris 154 note matematice, 198 de

bibliografii, a propus 626 probleme, cele mai multe de aritmetica. ,,Problemele lui se re-

cunosc, dintr-o privire,“ – noteaza un fost elev – ,,contin ın enunt o parte de mister, nu se

rezolva numai aplicand succesiv teoreme, ci solicita mijloace proprii, de unde si emotia si

placerea descoperirii“. Problema 1364 ne cere sa regasim, numai cu compasul, diametrulunei bare cilindrice rupte neregulat; problema 597 ne cere sa aflam, fara logaritmi, prima

cifra a numarului 5100. In anul 1907, cand se voteaza legea carciumilor, Ion Ionescu pro-pune problema 1297, care cerea sa se afle ıntinderea maxima a unui sat pentru ca ın el sanu fie posibila deschiderea unei carciumi, atunci cand se limiteaza distantele dintre aceastasi scoala, primarie, biserica. Si exemplele pot continua . . . .

Lui i se datoresc rubricile Gazetei : Note matematice, Diverse, Cereri, Suplimentele

cu recreatiuni.


In anul 1901 publica ın Biblioteca Gazetei Matematice celebra culegere de exercitii siprobleme de aritmetica, algebra, geometrie si trigonometrie, scrisa ın colaborare cu Titeica,Ioachimescu si Cristescu (ITIC), care va avea 4 editii (ar fi folositor sa se reediteze siastazi !).

Ion Ionescu a fost, ani de zile, suplinitorul lui Anghel Saligny la Catedra de poduri,dar a refuzat sistematic sa primeasca bani pentru aceasta munca ,,. . . ıntrucat legea cumu-

lului nu permite ca cineva sa aiba o functiune si doua catedre si ceea ce nu este permis a se

face pe fata, nu este bine sa se faca oricat de bine deghizat“. Propune Societatii ınfiintarea,cu acesti bani (aproximativ 13750 lei), a Fondului Anghel Saligny si a Bibliotecii tehnicea Gazetei. Tot el va scrie prima carte din colectie, Beton armat, care va avea un frumossucces de librarie.

Este initiatorul Concursului Gazetei Matematice, ın anul 1902. Cand acesta seva desfasura pe centre, Ion Ionescu este trimis la Barlad, unde nu gaseste prea multabunavointa. El riposteaza cu calm, imperturbabil ,,Ministerul mi-a pus la dispozitie o sala

si am delegatie de la Gazeta Matematica sa stau patru ore ın aceasta sala si voi sta patru

ore ın aceasta sala“. Concursul s-a tinut, pana la urma . . .Rigiditatea caracterului sau si severitatea cu care judeca lucrarile elevilor nu ex-

cludeau bunatatea sufleteasca si o mare generozitate. Prin testamentul sau, redactat cuo luna ınainte de moarte, va lasa mostenire Societatii Gazeta Matematica biblioteca samatematica, de peste 900 de volume si casa sa din strada Rasuri nr. 25, pentru a se ınfiintao Casa de citire pentru elevii de liceu. Casa chiar a functionat, pana ın 1950, cand a fosttrecuta, ın mod abuziv, ın proprietatea statului. A fost recuperata de catre S.S.M.R. ınanul 1997, dar este si ın prezent plina de chiriasi.

Sarbatorirea iesirii la pensie a profesorului, ın anul 1938, s-a facut ın marele am-fiteatru al Politehnicii. Cu acest prilej, Gheorghe Titeica, din partea Academiei Romane,se adreseaza sarbatoritului cu cuvintele: ,,Ai fost si esti ceea ce se cheama, de obicei, un

om dintr-o bucata, om ıntreg, dar nu ca un numar ıntreg oarecare, ci ca un numar prim,care nu se imparte decat cu el ınsusi

si cu unitatea. Prin munca Dumi-

tale, prin caracterul Dumitale, prin

linia dreapta a vietii Dumitale, vei

ramane legendar“.Tot atunci, cele 36 serii

de ingineri, carora le-a fost pro-fesor de Poduri, hotarasc ca salaA.I.1. din vechea cladire a Po-litehnicii bucurestene sa poarte nu-mele Ion Ionescu. Pe un perete alsalii a fost prinsa o placa de bronz,cu figura ın basorelief a marelui

profesor, realizata de I. Jalea. Inprezent, placa se gaseste la muzeuldin aceeasi cladire.

Opera lui, risipita ın mai mult de 200 de lucrari – aproximativ 4000 de pagini –merita sa fie cunoscuta pentru valoarea sa stiintifica, educativa, moralizatoare. Ea asteaptasa fie clasificata si structurata dupa, eventual, natura subiectelor si publicata din nou, ınıntregime.

Cum este asteptata si realizarea bustului sau si amplasarea lui, ın septembrie 2010,la Valea Calugareasca, acolo unde s-a tinut sedinta de constituire a Societatii Gazeta Mate-

matica.

Recenzii 353

La moartea lui Ion Ionescu, ıntamplata la 17 septembrie 1946, nu s-au tinut discur-suri. Unul dintre colaboratori i-a pus ın sicriu ultimul numar al Gazetei, ca pentru a seamesteca ın eternitate tarana omului cu cea a revistei. . .

Pentru ca Ion Ionescu a fost nu numai un ,,stalp“ al Gazetei Matematice, a fost sisufletul ei.

,,S-a straduit“ – scria atunci Octav Onicescu – ,,sa ındrume tineretul prin disciplina

aspra a stiintei, folosind matematica drept instrument de lucru... Si-a ımplinit destinul...A ramas pentru noi o figura unica, de ziditor temeinic al unei lumi tehnice care ınfrunta

orice greutate.“

Bibliografie

[1] C. Mateescu,Ion Ionescu, Editura Stiintifica, Bucuresti, 1966.[2] Gazeta Matematica, 1895-1935, Istoric-Invataminte (Volum jubiliar).

RECENZII

EDUARD DANCILA, IOAN DANCILA, Invata geometrie cu . . .mainile tale, Editura ERC PRESS, Bucuresti, 2009

La finele anului 2009, ın prestigioasa colectie ,,Biblioteca Societatii de Stiinte Mate-

matice din Romania“, a aparut lucrarea cu incitantul titlu: Invata geometrie cu . . .mainile

tale, avand ca autori pe E. Dancila si I. Dancila, nume cunoscute si recunoscute ın lite-ratura matematica romaneasca de nivel preuniversitar. Traditional mainile sunt folositeın studiul matematicii pentru a manevra creionul (creta) si instrumentele geometrice. Dedata aceasta, cei doi autori ne arata posibilitatea de a utiliza mainile chiar la a construicorpuri geometrice pe baza a 22 de modele, ingenios concepute, cu ajutorul carora putemsa rezolvam probleme mai dificile din geometria ın spatiu.

Lucrarea este alcatuita din doua parti. Prima parte se refera la o introducere ınstudiul corpurilor geometrice unde sunt trecute ın revista principalele proprietati ale aces-tora pe parcursul a 9 capitole.

Fiecare capitol se ıncheie cu exercitii si probleme bine alese si a caror rezolvare demulte ori apeleaza la construirea unui model.

Sunt ın total 163 de probleme.Partea a doua o constituie colectia de 22 planse (desfasurari de corpuri geometrice)

care dau posibilitatea de a se construi diverse corpuri si sectiuni ın ele. Alcatuirea acestorplanse de catre cei doi autori, reprezinta ın esenta originalitatea si ineditul lucrarii, ınliteratura romaneasca de matematica.

Lucrarea se deschide cu o scrisoare-apel catre elev, ın care autorii ısi marturisescscopul si forma alcatuirii cartii.

Consider aceasta lucrare ca o premiera ın metodica ınvatarii geometriei ın spatiuatat la nivel individual cat si la nivel de clasa, autorii demonstrand ca se poate ınvatamatematica (geometrie) si cu mainile, construind corpuri, sectiuni ın corpuri, unghiuri,

distante etc.Lucrarea este binevenita si oportuna ın ınvatamantul matematic preuniversitar si

folosirea ei la clasa va aduce o revigorare a interesului pentru matematica a elevilor. Felicitcei doi autori pentru efortul si ingeniozitatea alcatuirii modelelor precum si pentru gamaatat de bogata si variata de lucrari pe care le-au elaborat ın ultimii 15 ani pentru a usurasi trezi interesul elevilor pentru studiul matematicii.

Miron Oprea

354 Recenzii

CORINA PIPOS, ION TODOR, Invatamantul matematic romanescın scolile Blajului de la ınfiintare pana la Marea UnireEditura Academiei Romane, 2009

La Editura Academiei Romane a aparut, de putina vreme volumul Invatamantul

matematic romanesc ın scolile Blajului de la ınfiintare pana la Marea Unire, autori CorinaPipos si Ion Todor, aceiasi care, ın urma cu cativa ani, au scris o excelenta lucrare despreAritmetica lui Sincai din 1785.

Cartea ısi propune sa fie – dorinta marturisita a autorilor ın prefata – un modestomagiu adus acelor, multi nestiuti, ınvatatori si profesori, care au sapat la confluentaTarnavelor acele ,,fantani ale darurilor“ cum sunt numite, cu recunotinta scolile Blajului.

Autorii au cercetat un imens material documentar de arhiva, de la manuscrise sitiparituri vechi si noi la scrisori oficiale si particulare, anuare scolare si sematisme cla-sice aflate ın Biblioteca Academiei Romane de la Bucuresti si Cluj-Napoca, ın Biblioteca,,Timotei Cipariu“ de la Blaj si Biblioteca ,,Astra“ de la Sibiu si ın multe alte locuri.

Cartea este structurata pe 13 capitole la care se adauga Glosar, Postfata si Anexe.Se ıncepe cu o ,,punere ın tema“, prezentandu-se situatia romanilor din Transilvania ınsecolul al XVIII-lea, conditiile ın care s-a facut ,,Unirea cu Roma“ de la 1700 a unei parti abisericii ortodoxe, lupta politica nationala dusa prin arta cuvantului si a scrisului de ınaltipreoti si oameni de cultura, ıncepand cu ,,epicurul martir“ Ioan Inochentie Micu Klein sicontinuata de reprezentantii Scolii Ardelene si, mai departe, de Timotei Cipariu, SimionBarnutiu si de multi altii.

Sunt prezentate structura si si organizarea scolilor Blajului ın perioada 1754-1918,ıncepand cu scoala dintai deschisa la 11 octombrie 1754 de Petru Pavel Aron, scoala care,,. . . va fi a tuturor, de toata varsta, . . . nicio plata de la ucenici asteptandu-se“, spre de-osebire de scoala de la ,,Sf. Sava“ din Bucuresti, deschisa ın anul 1776, ın al carui hrisovdomnesc care o legitimeaza se prevede ca cei care frecventau trebuie sa fie ,,nobili, adica fii

de boieri scapatati sau chiar saraci, nu ınsa si fiii de sateni si tarani.“

In capitolul 3 sunt prezentati 47 de profesori care au predat matematica la scolile dinBlaj ın perioada 1800-1918, ın marea lor majoritate absolventi de studii teologice. Amintimcativa dintre ei: Ion Fekete Negrutiu, Ioan Micu Moldovan (,,Moldovanut“, primul preotdin Blaj care a fost ,,uns“ prelat papal, membru al Academiei Romane), Emil Viciu (,,rarprofesor care sa fi avut atata autoritate ınaintea elevilor“), Valeriu Sucu, Traian Gherman.

Din capitolul ,,Programa de matematica“ aflam ca, potrivit Normei Regia, lege carereglementa numarul disciplinelor predate ın scolile din imperiu, din cele 25 (mai tarziu18), iar pe saptamana, la gimnaziu,matematicii doar 2 ore erau atribuite matematicii. Sicu toate acestea, ın anii premergatori revolutiei de la 1848, ın scolile blajene se preda, laaritmetica si algebra, despre cele patru operatii, ridicarea la putere si extragerea radaciniipatrate si cubice, ecuatii si sisteme de ecuatii, rapoarte si proportii, logaritmi, progresii ar-itmetice si geometrice, serii, iar la geometrie se preda longimetria, planimetria, solidometriasi trigonometria.

Deosebit de interesante sunt capitolele dedicate primelor manuale folosite ın scoliledin Ardeal, precum si celor folosite ıntre anii 1800-1918, un loc aparte ocupandu-l prezen-tarea Aritmeticii lui Sincai, tiparita la Blaj ın anul 1789.

Alte capitole cum sunt: ,,Carti de metodica“, ,,Tipografia blajeana“, ,,BibliotecileBlajului“, ,,Preocupari de matematica ın presa blajeana“, ıntregesc informatiile desprepreocuparile dascalilor blajeni pentru realizarea unei activitati scolare sustinute cu valenteeducative pe masura.

Ultimul capitol trateaza despre legislatia scolara, privind organizarea ınvatamantuluitransilvan, prezentandu-se legi importante ca Ratio educationis si Norma regiae (1781),obligatorii pe tot cuprinsul Imperiului Austro-Ungar.

Tabla de materii, Vol. XXVII (CVI) 2009 355

Intr-un Glosar sunt trecuti termenii matematici iesiti din uz, folositi ın manualelescolare din Ardeal pana ın 1918, iar ın altul, termenii care s-au pastrat pana astazi.

Cu respect pentru adevarul istoric, autorii s-au straduit su a evite patetismul scri-iturii, sa tempereze avantul condeiului, chiar daca uneori au fost uimiti de munca farapreget si spiritul de jertfa care i-a animat pe multi dintre acei deschizatori de drumuri ındidactica si pedagogia romaneasca.

Cartea profesorilor Corina Pipos si Ion Todor reprezinta o contributie importanta lacapitolul de istorie a matematicii romanesti legt de perioada cand se scriau primele manualescolare si se puneau bazele terminologiei stiintifice specifice.

Scrisa cu pricepere si cu dragoste, cartea se citeste cu placere, cu interes si, mai ales,cu folos.

Mircea Trifu

TABLA DE MATERII

Vol. XXVII (CVI) 2009

I. Articole stiintifice si de informare stiintifica

1. MagdalenaBanescu

Unele inegalitati privind functia π(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 135

2. Alexandru BobeWladimir Boskoff

Clifford chain for equal ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 32

3. DanielaChendrea,Cristina FlautMihai Polceanu

Teste de primalitate si de factorizare. Aplicatii . . . . . . . . 1 37

4. C. Corduneanu What can Sine Function do for us?, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 269

5. C. Constantinescu Cateva ganduri despre matematica si

matematicieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 103

6. Marian Cucoanes O demonstratie simpla pentru inegalitatile lui

Blundon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 313

7. J. L. Diaz-Barrero,J. Gibergans-Baguena

Inequalities Derived Using Telescopic Sums, . . . . . . . . . . . 4 295

8. Dorel Duca Proprietati ale punctului intermediar din teorema

de medie a lui Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 284

9. Alexandru Gica Arround Brocard’s Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 126

10. C. Manescu-Avram

On the formulae of stirling and Wallis . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 130

11. C. P. Niculescu Open problems in elementary geometry . . . . . . . . . . . . . . . 2 122

12. Liviu Nicolaescu O introducere ın teoria mecanismelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

13. Marius Olteanu Asupra rafinarii unor inegalitati ın tetraedru . . . . . . . . . . 3 195

14. Vasile Pop Metoda etichetarii binare ın probleme de

combinatorica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 173

15. Dumitru Popa Asupra procedeului de evaluare asimptotica a lui

De Bruijin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 20

16. Adrian Reisner Asupra teoremei lui Beatty, sirurilor lui Wythoff

si cuvantului lui Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 182

356 Tabla de materii, Vol. XXVII (CVI) 2009

17. Alina Sıntamarian Approximations for a generalization of Euler’s

constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 301

18. Claudia Zaharia Asupra teoremelor lui Aoki si Rassias de stabilitate

pentru ecuatii functionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 43

II. Note matematice, articole metodice

1. Aurelia Cipu In legatura cu problema 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 138

2. Catalin Ghinea A note on some limit connected with Euler

constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 53

3. L. Homentcovski, Dreapta lui Euler si cercul celor 9 puncte.

C. Homentcovski Generalizari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 48

4. P. Ivanescu,Florin Nichita

Inegalitati si elemente de teoria sirurilor . . . . . . . . . . . . . . . 3 213

5. Radu Gologan, An Olympiad problem: Zeroes of functions in the

Cezar Lupu image of Volterra operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 208

III. Examene si concursuri

1. Vasile Chiriac, Solutiile problemelor date la examenul de titularizare

Bogdan Chiriac din 16 iulie 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 60

2. Andrei Halanay Concursul Traian Lalescu, 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 148

3. Vasile Pop Concursul international de matematica al studentilor

din sud-estul Europei, Editia a III-a,

Agros-Cipru, 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 141

4. Sorin Radulescu, Concursul National de ocupare a posturilor didactice

I. V. Maftei din municipiul Bucuresti, 15 martie 2009 . . . . . . . . . . . . . . . 3 215

IV. Didactica matematicii

1. C. Costara, Scurta prezentare a programului masteral de

Viviana Ene Matematica Didactica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 67

2. George Dinca Noi reflectii asupra domeniului meu de entuziasm . . . . . . 4 317

3. Neculai Stanciu Metode active ın didactica matematicii . . . . . . . . . . . . . . . . 3 227

V. In sprijinul cursurilor optionale

1. Dan Giurgiu Propunere: Curs optional de matematica la clasa

a VIII-a. Relatii metrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 70

VI. Puncte de vedere

1. Laurentiu Modan Starea actuala a ınvatamantului superior romanesc . . . . . 2 119

VII. Istoria matematicii

1. MarioaraCostachescu

Centenar pentru matematicienii romani . . . . . . . . . . . . . . . 3 258

2. C. Constantinescu George Isac (1940-2009) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 164

3. Constantin Rusu,Neculai Stanciu

Aspecte din istoria O.I.M. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 256

4. Neculai Stanciu Matematica ın top ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 344

5. Mircea Trifu Dupa o suta de ani, La Valea Calugareasca

(Societatea ,,Gazeta Matematica“ la centenar) . . . . . . . . . 3 248

6. Mircea Trifu Ion Ionescu (Bizet) (1870 – 1946) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 349

7. Andrei Vernescu Acei mari dascali pe care nu trebuie sa-i uitam . . . . . . . . 2 166


VIII. Manifestari stiintifice

1. Romeo Zamfir,Vasile Berinde

Elevi din Romania la EUROMATH 2009 . . . . . . . . . . . . . . 2 169

IX. Din viata Societatii

1. Mircea Trifu A XII-a Conferinta Anuala a Societatii de Stiinte

Matematice din Romania, Bacau,

16-18 octombrie 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 171

2. Scoala de vara de la Busteni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 260

3. Lista cursantilor de la Busteni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 263

4. Prima sesiune de comunicari si referate metodico-

stiintifice organizata de S.S.M.R cu ocazia

Scolii de vara de la Busteni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 264

X. Recenzii

1. M. Ivan Vasile Pop, Geometrie pentru gimnaziu, liceu si

concursuri, Editura MEDIAMIRA, Cluj, 2007 . . . . . . . . . . . . . 1 98

2. R. Miculescu Liliana Niculescu, Metoda reducerii la absurd,

Editura GIL, Zalau, 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 87

3. R. Miculescu Bogdan Enescu, Arii, Editura GIL, Zalau, 2006 . . . . . . . . . . . . 1 88

4. R. Miculescu Nicusor Minculete, Teoreme si probleme specifice de

geometrie, Editura EUROCARPATICA,

Sf. Gheorghe, 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 90

5. R. Miculescu Dan Schwarz, Gabriel Popa, Probleme de numarare,

Editura GIL, Zalau, 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 160

6. R. Miculescu Virgil Nicula, Cosmin Pohoata, Diviziune armonica,


7. R. Miculescu Iurie Boreico, Marinel Teleuca, Invarianti si jocuri


8. M. Oprea Eduard Dancila, Ioan Dancila, Invata geometrie

cu . . .mainile tale, Editura ERC PRESS,

Bucuresti, 2009. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 353

9. D. Radu Ion Nedelcu, Anca Tutescu, Lucian Tutescu, Probleme

de matematica pentru concursuri, Editura

REPROGRAPH, Craiova, 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 75

10. D. Radu Bogdan Enescu, Polinoame, Editura GIL, Zalau, 2007 . . . . . 1 86

11. D. Radu Maria Elena Panaitopol, Laurentiu Panaitopol ,

Probleme de geometrie plana, solutii trigonometrice,


12. D. Radu Ion Cucurezeanu, Patrate si cuburi de numere ıntregi,


13. D. Radu Pantelimon George Popescu, Ioan V. Maftei, Jose Luis

Diaz Barrero, Marian Dinca, Inegalitati matematice,

Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 2007 . . . . . . . . . 2 161

14. D. Radu Gheorghe Craciun si colaboratorii, Duelul matematic,

Editura TIPARG, Pitesti, 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 162

15. D. Radu Eduard Dancila, Ioan Dancila, Ghidul ınvatatorului,

Editura IULIAN, Bucuresti, 2008. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 284

358 Tabla de materii, Vol. XXVII (CVI) 2009

16. D. Radu Eduard Dancila, Ioan Dancila, Matematica serveste!,

Editura ERCPRES, Bucuresti, 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 285

17. M. Trifu Corina Pipos, Ion Todor, Invatamantul matematic romanesc

ın scolile Blajului de la ınfiintare pana la Marea Unire,

Editura Academiei Romane, 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 354

18. A. Vernescu Dorel I. Duca, Eugenia Duca, Exercitii si probleme

de Analiza matematica, vol. I, Editura

CASA CARTII DE STIINTA, Cluj, 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 87

19. A. Vernescu Dumitru Popa, Exercitii de Analiza matematica,

Biblioteca Societatii de Stiinte Matematice din

Romania, Editura MIRA, Bucuresti, 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . 1 89

20. A. Vernescu Rolf Nevanlinna, Veikko Paatero, Introduction to

Complex Analysis, Second Edition, AMS CHELSEA

PUBLISHING, Providence, Rhode Island, 2007 . . . . . . . . . . . . 3 283

XI. Probleme propuse – rubrica permanenta redactata de Radu Gologan

1. Dumitru Batinetu-Giurgiu (283) 8. Tudorel Lupu (287, 293)

2. Marius Cavachi (278) 9. Marius Olteanu (284, 294)

3. Adrian Corduneanu (289) 10. Dumitru Popa (279)

4. Jose Luis Diaz-Barrero (275) 11. Dan Schwarz (291)

5. Mihai Dicu (282) 12. Robert Szasz (277, 281∗))

6. Radu Gologan (285, 290) 13. Marian Tetiva (276,280,286,292)

7. Cezar Lupu (287, 293) 14. Adrian Troie (288)

XII. Solutiile problemelor propuse – rubrica permanenta redactata deDan Radu

253 (Dan Radu, Marian Tetiva, Marius Olteanu), 254 (Marian Tetiva),

255 (Marius Olteanu, Ioan Ghita, Nicusor Minculete), 256 (Nicusor Min-culete),

257 (Mihaly Bencze, Ioan Ghita, Nicusor Minculete), 258 (Andrei

Vernescu, Nicusor Minculete, Ioan Ghita, Marian Tetiva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 74

259 (Dan Radu), 260 (Marius Olteanu), 261 (Dumitru Batinetu-

Giurgiu, Nicusor Minculete, Marius Olteanu), 262 (Marian Tetiva,

Marius Olteanu), 263 (Nicusor Minculete) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 152

264 (Dan Radu), 265 (George Stoica, Marian Tetiva), 266 (Marian

Tetiva, Ilie Bulacu, Marius Olteanu), 267 (Gheorghe Szollosy),

268 (Daniel Vacaretu, Marian Tetiva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 234

269 (Radu Gologan), 270 (Marian Tetiva, Marius Olteanu), 271 (Robert

Szasz, Marius Olteanu), 272 (Dorin Marghidanu, Marius Olteanu),

273 (Dumitru Batinetu-Giurgiu, Marius Olteanu), 274 (Doru

Stefanescu, Marius Olteanu, Nicusor Minculete) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 335

∗)A se vedea pct. 1 al eratei de la finele prezentului numar. (N.R.)


ERATA

1. Dintr-o regretabila eroare a redactiei, problema 277 din nr. 1/2009, a fostreluata si ın nr. 2/2009 sub numarul 281. Totodata, facem observatia ca sub primaintegrala din enunt se va citi ,,eu(x)“ ın loc de ,,eu(c)“ ın cadrul problemei 277 si ,,≥ 4“ın loc de ,,≥ 24“ ın cadrul problemei 281. Nu vom modifica totusi numerotareaproblemelor pentru a nu crea disfunctii ın evidenta autorilor si rezolvitorilor.

2. La pag. 99 aliniatul 5, randul 7 se va citi ,,profesorul“ ın loc de ,,profesoru“.3. La pag. 99 aliniatul 6, randul 2 se va citi ,,ın amintirea celor 2 ani cat a

fost dascal“ ın loc de ,,ın amintirea celui care i-a fost dascal“.4. La pag. 99 aliniatul 6, randul 8 se va citi ,,Formator Magister. In 13“ ın

loc de ,,Formator Magister ın 13“.5. La pag. 100, primul aliniat, randul 10 se va citi ,,Risoprint din Cluj, Gil din

Zalau, G. Cosbuc din Bistrta, Altip si Star Soft din Alba-Iulia“ ın loc de ,,RisoprintCluj, Gil Zalau,“.

6. La pag. 100 aliniatul 2, randul 1 se va citi ,,conferinte“ ın loc de ,,conferine“.7. La pag. 100 aliniatul 3, randul 3 se va citi ,,noului drum al Facultatii de

Matematica si informatica“ ın loc de ,,la definirea informatica“.8. La pag. 100 aliniatul 4, randul 3 se va citi ,,Universitatea Tehnica din Cluj“

ın loc de ,,Universitatea din Cluj“.9. La pag. 100 aliniatul 4, randul 4 se va citi ,,Facultatii“ ın loc de ,,Facultu

atii“.10. La pag. 106 randul 17 de sus se va citi ,,2002“ ın loc de ,,2006“.

Redactia

GAZETA MATEMATICA˘ - SSMRssmr.ro/gazeta/gma/2009/gma4-2009-continut.pdf · for B 6= 0 and δ = ......

Documents

Transcript of GAZETA MATEMATICA˘ - SSMRssmr.ro/gazeta/gma/2009/gma4-2009-continut.pdf · for B 6= 0 and δ = ......