1. Fungsi Gamma, Beta dan ErrorContent: Fundamental properties of Gamma functions, the value of (1/2) and graph of the Gamma function, Transformation of Gamma function, Different forms of Beta function, Reduction of definite integrals to Gamma functions, Error function or probability integral

Penggunaan Fungsi Gamma/(z)Normalisasi fungsi gelombang dari potensial Coulomb Perhitungan probabilitas pada problem di Mekanika Statistik Secara umum fungsi Gamma lebih jarang digunakan dibandingkan dengan fungsi khusus seperti Legendre atau Bessel.

Definisi fungsi GammaCukup banyak definisi fungsi Gamma, dua diantaranya: (1) (2)(1.1) (1.2)

Dapat dibuktikan bahwa definisi 1 = definisi 2 (Bukti lengkap ada pada Arfken page 592-593)

Dapat dibuktikan untuk kedua definisi. Bukti untuk definisi 1:

( z ) = e t dtt z 1 0 t z

Maka:

( z + 1) = e t dt = t dez 0

t

= t e

z t 0

+ e zt dt = z( z )z 1 0

0 t

Bukti untuk definisi 2:

(selanjutnya latihan )

Evaluasi beberapa nilai fungsi Gamma

(1) = t e dt = e dt = e11 t t 0 0

t 0

=1t 0

(2) = t 21e t dt = te t dt = tde t = te(3) = t 31e t dt =......... = 2(4) = t 41e t dt =......... = 3.2 = 6(5) = t 51e t dt =......... = 4.3.2 = 240

0

0

0

+ e t dt =10

0

0

Kalau n bilangan bulat positif, dapat dilihat: (n) = (n-1)! Oleh karena itu fungsi Gamma sering disebut sebagai fungsi faktorial.

Dapat dibuktikan hal yang sama pada definisi 2:

(1) = (2) = . (3) = .

Sudah tentu hasilnya sama dengan definisi 1

Bagaimana kalau pecahan? (1/2) =?(1/2) sering dijumpai dalam problem Mekanika statistik.

( 1 ) = t 1/ 21e t dt = t 1/ 2 e t dt 20 0

Integral ini dapat diselesaikan dengan contour integral (variabel kompleks) dan berharga

( 1 ) = 2

Latihan:Gunakan ( 1 ) = dan sifat (z+1) = z (z) untuk 2 evaluasi fungsi Gamma 3/2, 5/2, 7/2,-1/2,-3/2 dsb

Beberapa nilai fungsi gamma

Grafik fungsi gamma

z

Sifat-sifat fungsi gamma(z+1) = z (z)

( z )(1 z ) = sin z

Bentuk lain ekspresi fungsi Gamma (Buktikan!)( z ) = 2 e t0 t 2 2 z 1

dt

1 ( z ) = ln( ) t 0 1

z 1

dt

Soal-soal Latihan1. Hitung kecepatan rms partikel gas yang memenuhi distribusi Maxwell:

dN m = 4 N 2kT Catatan:

3/ 2

e

mv 2 / 2 kT

v 2 dv

v rms =

1 2 v dN Nvn 2kT = m n/2

2. Perluasan soal no. 1, buktikan: (faizal)

( n +3 ) 2 ( 3 ) 2

3. Dari relasi ( z )(1 z ) = sin zTunjukkan bahwa ( 1 ) = 2

4. Buktikan:

e0

x4

dx = ( 1 ) ! 4

5. Dengan transformasi ke fungsi gamma, buktikan:

1 x ln xdx = (k + 1) 2 0kLaw

1

k > 1

Fungsi BetaSifat-sifat fungsi Beta:

Fungsi Error x

Fungsi Gamma Tak Lengkapt a 1

( a, x ) = e tSering juga dibedakan:

dt

Fungsi Gamma Tak Lengkap Batas Atas:

( a, x ) = e tx x

t a 1

dt

Fungsi Gamma Tak Lengkap Batas Bawah:

(a, x) = e t dtt a 1 0

Sifat-sifatDengan integrasi per-bagian, didapat:

Dari definisi Fungsi Gamma biasa, didapat:

ke Bab 2