GALILAIONIA PEDIA · 2015-06-12 · Perieqìmena Parousi‹zoume mia mikr€ eisagwg€ gia thn...

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

ΓΑΛΙΛΑΙΟΝΙΑ ΠΕΔΙΑ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΤΟΜΑΣ ΓΙΑΝ ΜΙΧΑΗΛ

ΜΑΪΟΣ 2015

Τμήμα Φυσικής

Γαλιλαιόνια Πεδία

Διπλωματική Εργασία

Τόμας Γιαν Μιχαήλ

Υπεύθυνος ΚαθηγητήςΚωνσταντίνος Σκορδής

Μάιος 2015

Περιεχόμενα

Παρουσιάζουμε μια μικρή εισαγωγή για την Γενική Σχετικότητα και τα κίνητρα γιαΕναλλακτικές Θεωρίες Βαρύτητας. Αναφέρουυμε γνωστές παθολογίες Εναλλακτι-κών Θεωριών Βαρύτυτας, το Θεώρημα του Ostrogradski και τους Μηχανισμούς Θω-ράκισης. Παρουσιάζουμε σε συντομία το Μοντέλο DGP και τα Γαλιλαιόνια. Υ-πολογίζουμε τις εξισώσεις κίνησης για το Τετράγωνο Γαλιλαιόνιο για την μετρικήFriedmann-Robertson-Walker και χρονοεξαρτημένο Γαλιλαιόνιο. Λύνουμε τις εξι-σώσεις αριθμητικά με την μέθοδο Runge-Kutta δεύτερης τάξης χρησιμοποιώντας τηνγλώσσα προγραμματιμού C++. Παρουσιάζουμε τις λύσεις για διάφορες κατανομέςύλης. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία για το Κυβικό Γαλιλαιόνιο για το οποίο χρη-σιμοποιούμε την μέθοδο Runge-Kutta τέταρτης τάξης. Παρουσιάζουμε τις λύσειςγια διάφορες τιμές των ελεύθερων παραμέτρων για βαρυονική ύλη και ακτινοβολία.

i


1 Εισαγωγή 11.1 Μοναδικότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Θεώρημα Lovelock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Γενική Σχετικότητα ως Βαρυτόνιο . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Ανάγκη για Καινούρια Θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Εναλλακτικές Θεωρίες Βαρύτητας 102.1 Παθολογίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 Θεώρημα του Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Μηχανισμοί Θωράκισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Μοντέλο DGP 193.1 Λαγκρανζιανή και Εξισώσεις Κίνησης . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Φαινομενολογία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Γενικές Ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Γαλιλαιόνια 244.1 Λαγκρανζιανή και Εξισώσεις Κίνησης . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Euler Hierarchies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Γαλιλαιονική Συμμετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Κυβικό Γαλιλαιόνιο 305.1 Brans-Dicke στο Jordan Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.1 Εξισώσεις Κίνησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.1.2 Εξισώσεις Κίνησης για FRW Μετρική και

Χρονοεξαρτημένο Βαθμωτό Πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . 325.2 Brans-Dicke στο Einstein Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


Χρονοεξαρτημένο Βαθμωτό Πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . 35

ii


5.3 Λύσεις της Θεωρίας Brans-Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3.1 Λύσεις του Brans-Dicke στο Jordan Frame . . . . . . . . . . 375.3.2 Λύσεις του Brans-Dicke στο Einstein Frame . . . . . . . . . 385.3.3 Γραφικές Παραστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 Κυβικό Γαλιλαιόνια στο Einstein Frame . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4.1 Εξισώσεις Κίνησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.4.2 Εξισώσεις Κίνησης για FRW Μετρική και

Χρονοεξαρτημένο Βαθμωτό Πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . 525.5 Κυβικό Γαλιλαιόνιο στο Jordan Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


Χρονοεξαρτημένο Βαθμωτό Πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . 545.6 Λύσεις του Κυβικού Γαλιλαιόνιου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.6.1 Λύσεις του Κυβικού Γαλιλαιόνιου στο Einstein Frame . . . . 555.6.2 Λύσεις του Κυβικού Γαλιλαιόνιου στο Jordan Frame . . . . . 565.6.3 Γραφικές Παραστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Αʹ Σύμμορφοι Μετασχηματισμοί 65Αʹ.1 Χρήσημες σχέσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Βʹ Ποσότητες Καμπυλότητας για FRW Μετρική 69Βʹ.1 Jordan Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Βʹ.2 Einstein Frame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

iii

Κεφάλαιο 1

Εισαγωγή

Από τις αρχές του 20oυ αιώνα η πλέον αποδεκτή θεωρία βαρύτητας είναι η ΓενικήΣχετικότητα (ΓΣ). Η γνωστή νευτωνική εικόνα της βαρύτητας που περιγράφεται απότην δύναμη

F = Gm1m2r2

(1.1)

αντικαταστήθηκε από την γεωμετρική εικόνα της βαρύτητας που περιγράφεται απότην καμπύλωση του χωρόχρονου μέσω των εξισώσεων Einstein

Gµν + Λgµν =8πG

c4Tµν . (1.2)

Βέβαια, στο όριο ασθενών πεδίων, μικρών ταχυτήτων και σε χρονοανεξάρτητα συ-στήματα, η ΓΣ επιστρέφει στην Νευτωνική Βαρύτητα.

Η ΓΣ περιγράφει με μεγάλη ακρίβεια την κίνηση των πλανητών στο ηλιακό μας σύστη-μα και προβλέπει πόλλα καινούρια φαινόμενα, όπως η καμπύλωση των τροχιών τουφωτός εξαιτίας της βαρύτητας, που έχουν επιβεβαιωθεί πειραματικά.

Θα χρησιμοποιήσουμε τις ακόλουθες συμβάσεις. Ως προς την μετρική θα χρησιμοποι-ήσουμε την σύμβαση (−,+,+,+). Ελληνικοί μικροί δείκτες θα συμβολίζουν τον 4Dχωρόχρονο, λατινικοί μικροί δείκτες τις 3D χωρικές διαστάσεις και λατινικοί δείκτεςμε κεφαλαίο θα περιγράφουν χωρόχρονους με περισσότερες από 4 διαστάσεις.

1

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή

1.1 Μοναδικότητα

1.1.1 Θεώρημα Lovelock

Το θεώρημα του Lovelock αποδυκνύει πως οι μοναδικές εξισώσεις δευτέρης τάξηςπου μπορούν να αποκτηθούν σε τετραδιάστατο χωρόχρονο από μια λαγκρανζιανήL(gµν) που εμπεριέχει μέχρι δευτέρης τάξης παραγώγους της μετρικής είναι

Eµν ≡ µ(Rµν −

1

2gµνR

)+ λgµν . (1.3)

Εδώ µ, λ είναι αυθαίρετες σταθερές και Rµν , R η καμπυλότητα Ricci και βαθμωτήκαμπυλότητα αντίστοιχα [1].

Συμπεραίνουμε ότι για να κατασκευαστεί μια καινούρια θεωρία βαρύτητας πρέπει είτενα

1. Προστεθούν περισσότεροι βαθμοί ελευθερίας πέρα τις μετρικής gµν

2. Αυξηθεί η τάξη παραγώγων στην λαγκρανζιανή

3. Αυξηθεί ο αριθμός των διαστάσεων του χωρόχρονου

4. Εγκαταλειφθούν οι τανυστικές εξισώσεις (2, 0), είτε η συμμετρία ως προς τηνεναλλαγή των δεικτών σ΄ αυτές, είτε εξισώσεις με μηδενική απόκλιση

5. Εγκαταλειφθεί η τοπικότητα.

Από τα πιο πάνω, όμως, δεν συνεπάγεται πως η δράση Einstein-Hilbert είναι η μο-ναδική δράση που δίνει τις εξισώσεις (1.3). Η πιο γενική λαγκρανζιανή που δίνει τιςεξισώσεις αυτές δίνεται από την σχέση

L = µR − 2λ + α�µνκλRαβµνRαβκλ + β(R2 − 4RµνRµν + RµνκλRµνκλ

)(1.4)

όπου α,β επίσης σταθερές. ΄Ωστοσο, οι δύο τελευταίοι όροι δεν συνεισφέρουν στιςεξισώσεις κίνησης αφού μηδενίζονται ταυτοτικά. ΄Εχουμε δηλαδή

∂

∂gµν

(�µνκλRαβµνRαβκλ

), (1.5)

∂

∂gµν(R2 − 4RµνRµν + RµνκλRµνκλ

). (1.6)

2


Η πρώτη σχέση ισχύει για οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. Η δεύτερη ισχύει μόνοστον 4D χωρόχρονο. Σε κάθε διάσταση υπάρχει ένας τέτοιος όρος, δηλαδή πουδεν συνεισφέρει στις εξισώσεις κίνησης, και ονομάζονται αναλοίωτοι όροι Lovelock[2]. Σε άρτιο αριθμό διαστάσεων έχουν τοπολογικό χαρακτήρα αφού ισούνται με τηνχαρακτηριστική Euler. 1

1.1.2 Γενική Σχετικότητα ως Βαρυτόνιο

Από τη άλλη έχουν βρεθεί επίσης αποδείξεις ότι η Γενική Σχετικότητα είναι η μο-ναδική θεωρία που περιγράφει ένα άμαζο σωματίδιο με ελικότητα 2 που αλληλεπιδράμε τον εαυτό του. Μια απόδειξη μπορεί να βρεθεί στο [3] την οποία παραθέτουμε σεσύντομια πιο κάτω.

Ξεκινούμε με την κατασκευή της πιό γενικής λαγρανζιανής ενός μη-αλληλεπιδρόντανυστικού πεδίου (2, 0) hµν . Αφού το βαρυτόνιο είναι άμαζο, το πεδίο έχει δύοελέυθερους δείκτες και επιτρέπονται μόνο μέχρι δεύτερης τάξης παράγωγοι, οι μόνοιεπιτρεπτοί όροι είναι της μορφής ∂h∂h. Η απαίτηση η θεωρία να σέβεται τον μετα-σχηματισμό βαθμίδας (diffeomorphism) hµν → h′µν = hµν − ∂µξν − ∂νξµ καθορίζειπλήρως τους σχετικούς συντελεστές των όρων στην λαγκρανζιανή πέρα από τηνολική κανονικοποίση έτσι ώστε να δίνεται από τύπο

LFP =1

2

(− ∂λhµν∂λhµν + 2∂λhµν∂µhνλ − 2∂µhµν∂νh + ∂µh∂µh

)(1.10)

που ονομάζεται δράση Fierz-Pauli και δεν είναι τίποτα άλλο παρά οι ευθυγραμμισμένεςεξισώσεις της Γενικής Σχετικότητας. Εδώ h είναι το ίχνος της μετρικής hµν και

1Για άρτιο n, n < D όπου D οι διάστασεις, οι αναλλοίωτοι όροι Lovelock δίνονται από την σχέση

Ln =1

2n2δµ1µ2...µn−1µnν1ν2...νn−1νn R

ν1ν2µ1µ2 ... R

νn−1νnµn−1µn (1.7)

όπου δµ1µ2...µn−1µnν1ν2...νn−1νn ≡ n!δ[µ1ν1 ... δ

µn]νn είναι η γενικευμένη συνάρτηση δέλτα του Kronecker. Για

άρτιο D έχουμε

χ(M) =(4π)

D2(

D2

)!

∫dDx√−gLD (1.8)

όπου χ(M) η χαρακτηριστική Euler για την πολλαπλότητα M . Τέλος οι πρώτοι τρεις όροιLovelock δίνονται από την σχέσεις

L0 = 1, L2 = R, L4 = R2 − 4RµνRµν + RµνκλRµνκλ (1.9)

3


διαλέξαμε την αυθαίρετη ολική κανονικοποίηση να είναι 1/2. Προσθέτοντας τονLorentz gauge fixing όρο Lgf = − ∂µh̄µλ∂ν h̄νλ όπου h̄µν = hµν − 12hηµν και τονόρο αλληλεπίδρασης του βαρυτονίου με εξωτερικές πηγές Lint = κ2hµνT

µν , η δράσηδίνεται από τον τύπο

S =

∫d4x (LFP + Lgf + Lint)

=

∫d4x

(− 1

2∂λhµν∂

λhµν +1

4∂µh∂

µh +κ

2hµνT

µν

). (1.11)

Μεταβολή την δράση ως προς την μετρική έχουμε παίρουμε τις εξισώσεις κίνησης

�h̄µν = −κ

2Tµν (1.12)

των οποίων οι λύσεις είναι τα βαρυτική κύμματα. Μέχρι εδώ η εξίσωσεις αυτές ι-σχύουν όσο Tµν είναι εξωτερικές πηγές που ικανοποιούν την εξίσωση συνέχειας∂µT

µν = 0. Στην πραγματικότητα όμως κουβαλάνε και τα βαρυτόνια ενέργεια καιορμή την οποία πρέπει να συμπεριλάβουμε αν θέλουμε οι εξωτερικές πηγές να περι-γράφουν δυναμικά πεδία. Από το θεώρημα της Noether μπορούμε να υπολογίσουμετον τανυστή ενέργειας-ορμής ενός κυματοπακέτου βαρυτονίων με μέση τιμή μήκουςκύματος λ

t(2)µν = 〈 −∂L

∂(∂µhαβ)∂νhαβ + ηµνL 〉 (1.13)

όπου οι αγκύλες 〈..〉 αντιπροσωπέυουν μέση χωρική τιμή πάνω σε μια περιοχή L >λ/2π. Ο αριθμός 2 τονίζει το γεγονός ότι ο τανυστής αυτός εμπεριέχει όρους δεύτε-ρης τάξης ως προς την μετρική hµν . Η διατηρούμενη ποσότητα τώρα είναι το άθροισματου τανυστή ενέργειας-ορμής των εξωτερικών πηγών και αυτού των βαρυτονίων ώστεη εξίσωση συνέχειας τώρα να δίνεται από τον τύπο ∂µ(Tµν + t

(2)µν ) = 0 και η εξίσωση

κίνησης

�h̄µν = −κ

2

(Tµν + t

(2)µν

). (1.14)

Παρατηρούμε όμως πως η θεωρία αυτή δεν είναι συνεπής τώρα. Ο τανυστής ενέργειας-ορμής των βαρυτονίων που έχει την μορφή ∂h∂h, που είναι δεύτερης τάξης ως προςτην μετρική hµν και πρώτης τάξης ως προς την σταθερά κ θα μπορούσε να προέρ-χεται μόνο από μια δράση κυβική ως προς την μετρική και γραμμική ως προς το κ.

4


Επομένως, πρέπει να προσθέσουμε ακόμη ένα όρο στην δράση των βαρυτονίων τηςμορφής L3 ∼ h∂h∂h. Η δράση λοιπόν που προσθέτουμε είναι

S3 =κ

2

∫d4xhµνSµν(∂h) (1.15)

και η ολική δράση είναι

S =

∫d4x (LFP + Lgf + Lint)

=

∫d4x

(− 1

2∂λhµν∂

λhµν +1

4∂µh∂

µh +κ

2hµνT

µν +κ

2hµνSµν(∂h)

).

(1.16)

όπου Sµν(∂h) = Aµαβνγδ∂µhαβ∂νhγδ και Aµαβνγδ γινόμενα της μετρικής Minkowski.Είναι σημαντικό να επισημάνουμε εδώ πως ο τανυστής Sµν δεν είναι ο τανυστής tµνκαι αυτό γιατί η συναρτησιακή παράγωγος του όρου hµνt(2)µν δίνει ένα επιπρόσθετοανεπιθύμητο όρο

δ

δhαβ

(hµνt(2)µν

)= t

(2)αβ + h

µν δ

δhαβt(2)µν (1.17)

δηλαδή, την παράγωγο του τανυστή ενέργειας-ορμής. Επίσης παρατηρούμε ότι μετην προσθήκη του κυβικού όρου αυτού χάνεται η αβελιανότητα της θεωρίας αφούοι εξισώσεις κίνησης δεν είναι γραμμικές πλέον. Η μη-αβελιανότητα φαίνεται καιαπό το γεγονός ότι η δράση αυτή δεν σέβεται πλέον τον γραμμικό μετασχηματισμόβαθμίδας. Αυτό μπορεί να διορθωθεί προσθέτοντας κι εκεί ένα όρο της επόμενηςτάξης της μορφής

hµν → h′µν = hµν − (∂µξν + ∂νξµ) + κO(h∂ξ). (1.18)

Η διαδικασία όμως δεν τελειώνει εδώ αφού εκμεταλλευόμενοι ακόμη μια φορά τοθεώρημα της Noether μπορούμε να υπολογίσουμε ένα καινούριο τανυστή ενέργειαςορμής του όρου S3 ο οποίος θα είναι τρίτης τάξης ως προς το h και πρώτης τάξης ωςπρος την σταθερά κ, και θα πρέπει να συμπεριληφθεί για μια ολοκληρωμένη θεωρία.΄Οπως και πριν θα πρέπει να προστεθεί ο κατάλληλος όρος στην δράση που θα είναιτετάρτης τάξης ως προς το h και δεύτερης τάξης ως προς το κ, όπως και ο επόμενοςόρος στον μετασχηματισμό βαθμίδας. Η εξίσωση κίνησης τώρα δίνεται από τον τύπο

5


�h̄µν = −κ

2

(Tµν + t

(2)µν + κt

(3)µν

). (1.19)

Στο σημείο αυτό είναι προφανές πως η διαδικασία αυτή συνεχίζεται επ΄ άπειρον. Ανα-γνωρίζουμε πως ολοκληρωμένη θεωρία, που συμπεριλαμβάνει όλους τους όρους είναιη ΓΣ με μετασχηματισμό diffeomorphism.

΄Ωστοσο η απόδειξη αυτή έχει αδυναμίες. ΄Οπως αναφέρεται στο [4], κάνοντας τηναντίστροφη διαδικασία, δήλαδη αναπτύσσοντας την Γενική Σχετικότητα κάτα Taylorμε gµν = ηµν + κhµν , μπορούμε να διαβάσουμε απ΄ εκεί ποιός πρέπει να είναι οτανυστής Sαβ, ο οποίος βγαίνει να είναι μη-συναλλοίωτη. Πέρα απ΄ αυτό, γνωρίζουμεότι η λαγκρανζιανή της ΓΣ έχει την μορφή

LGR ∼1

κ2(∂Γ + ΓΓ) (1.20)

Αναπτύσσοντας τον δέυτερο όρο και κρατώντας μόνο τον πρώτο όρο έχουμε ΓΓ/κ2 ∼(∂h)2 = O(κ0). Από την άλλη ο όρος ∂Γ δίνει ένα επιφανειακό του οποίου ο πρώτοςόρος είναι ∂Γ/κ2 ∼ ∂2h/κ = O(κ−1). Παρατηρούμε λοιπόν, πως ο όρος αυτός εμπε-ριέχει ένα πόλο. Είναι φανερό πως με την προηγούμενη διαδικασία της επανάκτησηςτης ΓΣ από το ελέυθερο βαρυτόνιο (που δεν αλληλεπιδρά με τον εαυτό του) δεν μπο-ρούμε να αποκτήσουμε αυτόν τον όρο με τον πόλο αφού ξεκινήσαμε από την δράσηFierz-Pauli που είναι της τάξης O(κ0) και σε κάθε βήμα προσθέταμε τον όρο τηςεπόμενης δηλαδή ψηλότερης τάξης.

Στην κλασική θεωρία αυτό δεν μας απασχολεί αφού οι επιφανειακοί όροι δεν επη-ρεάζουν της εξισώσεις κίνησης. Επομένως μπορούμε με το χέρι να προσθέσουμεαυτό τον όρο γιατί χωρίς αυτόν η δράση δεν θα ήταν συναλλοίωτο ως προς μετασχη-ματισμούς diffeomorphism και Lorentz. Στην μελέτη όμως της θερμοδυναμικής σεορίζοντες, χρησιμοποιώντας ημικλασσική βαρύτητα, ο επιφανειακός όρος έχει σημα-σία. Αφού η διαδικασία που αναφέραμε πιο πάνω δεν είναι σε θέση να αναπαράγειαυτόν τον όρο - αφού σε κάθε βήμα υπάρχει αυθαιρεσία ως προς το επιφανειακό όρο- συμπεραίνουμε ότι η ΓΣ δεν περιγράφεται πλήρως από βαρυτόνια.

1.2 Ανάγκη για Καινούρια Θεωρία

Παρά όμως την τεράστια επιτυχία της ΓΣ σε κλίμακες του ηλιακού συστήματος,υπάρχουν ενδείξεις ότι δεν είναι η τελευταία λέξη. Από την πειραματική μελέτη τουσύμπαντος σε μεγαλύτερες κλίμακες, φαίνεται πως για να συνεχίσει να περιγράφει ηΓΣ σωστά το σύμπαν, χρειάζεται να εισαχθούν δυο καινούριες μορφές ύλης.

6


Η πειραματική μελέτη γαλαξίων, γύρω στο 1970, οδήγησε στην εισαγωγή της Σκοτει-νής ΄Υλης για να εξηγήσεις την ταχύτητα των περιστρεφόμενων αστεριών γύρω απότους γαλαξίες. Πέρα απ΄ αυτό, για να περιγράψει η ΓΣ την επιταχυνόμενη διαστολήτου σύμπαντος, που ανακαλύφθηκε πειραματικά τέλη του 1990, πρέπει να υποθέσου-με την ύπαρξη της Σκοτεινής Ενέργειας, μια περίεργη μορφή ύλης με καταστατικήεξίσωση ρ = −P . Η ύλη αυτή, σύμφωνα με τα σημερινά πειραματικά δεδομένα απο-τελεί το 68.3% της ύλης του σύμπαντος ενώ η Σκοτεινή ΄Υλη το 26.8% αφήνονταςμόνο ένα μικρό ποσοστό, 4.9%, για όλη την υπόλοιπη ύλη που είδη γνωρίζουμε.

Το γεγονός ότι η Σκοτεινή ΄Υλη και η Σκοτεινή Ενέργεια καταλαμβάνουν ένα τόσομεγάλο ποσοστό της ύλης του σύμπαντος ενώ ταυτόχρονα δεν έχουν παρατηρηθείάμεσα πειραματικά, ίσως να είναι ένδειξη ότι χρειαζόμαστε μια καινούρια θεωρία.

΄Ενα από τα μεγαλύτερα ανοιχτά ζητήματα στην σύγχρονη φυσική είναι το λεγόμενοπρόβλημα της Κοσμολογικής Σταθεράς (ΚΣ). Η κβάντωση του βαθμωτού πεδίουKlein Gordon με λαγκρανζιανή LKG = −12∂µφ∂

µφ − 12m2φ2 αποτελεί ένα απλό

παράδειγμα όπου φαίνεται αυτό το πρόβλημα [5].

Κατά την κανονική κβάντωση, ορίζουμε πρώτα την συζυγή ορμή του πεδίου φ(x) όπωςκαι στην κλασική μηχανική π(x) = ∂L/∂(∂0φ). Στην συνέχει προωθούμε τις δυναμι-κές μεταβλητές σε τελεστές, και απαιτούμε τις μεταθετικές ιδιότητες [φ(x), π(y)] =iδ(3)(x− y) και [φ(x), φ(y)] = 0, [π(x), π(y)] = 0. Στον χώρο Fourier το πεδίο φ(x)γράφεται ως

φ(x) =

∫d3p

(2π)31√2ωp

(αpe

ix·p + α†pe−ix·p) (1.21)

όπου ω2 = p2 + m2. Αντιστρέφοντας τις σχέσεις των φ(x) και π(x) ως προς τουςτελεστές αναβίβασης α†p και καταβίβασης αp βρίσκουμε από τις πιο πάνω μεταθετικέςιδιότητες [αp, α

†p′ ] = (2π)

3δ(3)(p− p′).

Στο σημείο αυτό, η χαμιλτονιανή στον χώρο Fourier δίνεται από

H =∫

d3p

(2π)3ωp

(α†pαp +

1

2[αp, α

†p]

). (1.22)

Η ομοιότητα με την εξίσωση που δίνει τις ιδιοενέργειες του κβαντικού αρμονικούταλαντωτή E = ω(N + 1

2) είναι εμφανή. Με τον τελεστή αριθμού να δίνεται από N =

α†pαp οι πρώτοι όροι είναι πλήρως ανάλογοι. Οι δεύτεροι, επίσης ανάλογοι, δίνουντην ενέργεια μηδενικού σημείου. Ερμηνεύοντας την ενέργεια μηδενικού σημείου ωςτην ενέργεια του κενού, ο υπολογισμός της ενέργειας μηδενικού σημείου δίνει μιαπρόχειρη πρόβλεψη της τιμής της ΚΣ. Παρατηρούμε όμως πως η ενέργεια μηδενικού

7


είναι ανάλογη του δ(3)(0) και επομένως απειρίζεται. Το πρόβλημα αυτό μπορεί ναλυθεί υποθέτοντας ότι ο χώρος είναι πεπερασμένος αφού

δ(3)(0) =1√2π

∫d3x. (1.23)

Υπάρχει ακόμη ένας απειρισμός που προέρχεται από το γεγονός ότι ολοκληρώνουμεπάνω σε όλες τις ορμές p ∈ (0,∞). Για να το αποφύγουμε υποθέτουμε ότι η θεωρίακαταρρέει σε ένα υπεριώδης cut off ΛUV οπότε έχουμε

ΛTheory ∼∫ Λ4UV

0

d3p p2√p2 +m2 ∼

∫ Λ4UV0

d3p p3 ∼ Λ4UV . (1.24)

Το Πρότυπο Μοντέλο έχει επαληθευτεί με ακρίβεια μέχρι και ενέργειες της τάξηςτου 1TeV . Με αυτό το cut off έχουμε

ΛTheory = 10−60M4P (1.25)

όπου MP η μάζα Planck.

Η πειραματικά μετρούμενη τιμή της ΚΣ από την άλλη είναι

Λobs. = 10−120M4P (1.26)

Αυτή η μεγάλη διαφορά μεταξύ πειράματος και θεωρίας αποτελεί ένα από τους μεγα-λύτερους γρίφους στην σύγχρονη φυσική.

Τέλος, το γεγονός ότι δεν έχει βρεθεί ακόμη μια ενοποιημένη θεωρία των πάντων,ούτε μια κβαντική θεωρία βαρύτητας ίσως να είναι μια ένδειξη ότι η ΓΣ δεν είναι ησωστή περιγραφή της βαρυτηκής δύναμης.

Μέχρι στιγμής υπάρχουν δύο διαδεδομένες υποψήφιες θεωρίες. Από την μια είναι ηΘεωρία Χορδών η οποία υποθέτει ότι όλα τα θεμελιώδη σωματίδια προκύπτουν απότις διάφορες διεγέρσης χωρδών που έχουν μήκος της τάξης του Planck. Πέρα του γε-γονότος ότι αποτελεί κβαντική θεωρία βαρύτητας, η Θεωρία Χορδών έχει πετύχει καιτην ενοποίηση όλων των δυνάμεων. Ουσιαστικά, υπάρχει μια διεγερμένη κατάστασητης χορδής που έχει τις ιδιότητες του βαρυτονίου έτσι ώστε η βαρύτητα να προκύπτειμε ένα φυσιολόγικο τρόπο μέσα από την ίδια την θεωρία.

Από την άλλη έχουμε την Κβαντική Βαρύτητα Βρόχων η οποία αποσκοπεί μόνοτην έβρεση μιας κβαντικής θεωρίας της βαρύτητας. Η θεωρία αυτή είναι βασισμένη

8


στην ιδέα ότι μια βαρυτική θεωρία πρέπει να είναι διατυπωμένη ως μια background-independent θεωρία. Μια από τις κύριες τις προβλέψεις είναι η κβάντωση του χώρουκαι του χρόνου.

9

Κεφάλαιο 2

Εναλλακτικές ΘεωρίεςΒαρύτητας

Σύντομα μετά την δημοσίευση της ΓΣ είχε ήδη ξεκινήσεις η μελέτη εναλλακτικών θε-ωριών βαρύτητας. Μια από τις πρώτες είναι η θεωρία Kaluza-Klein που αποτελεί τηνγενίκευση της ΓΣ από 4D χωρόχρονο σε 5D. Η προσθήκη αυτής της επιπρόσθετηςχωρικής διάσταση έχει εκπληκτικά αποτελέσματα.

Πρώτα χωρίζουμε την 5D μετρική σε 4D μετρική, ένα διάνυσμα και ένα βαθμωτό μετον ακόλουθο τρόπο

GMN =

(gµν φ

2Aµφ2Aν φ

2

)(2.1)

όπου φ2 ≡ G44, Aµ ≡ Gµ4/φ2 και gµν ≡ Gµν − φ2AµAν . Για απλοποίηση τωνεξισώσεων υποθέτουμε ότι το φ είναι σταθερά και ότι η μετρική δεν εξαρτάται απότην 5η διάσταση, δηλαδή ∂4GMN = 0. Αναπτύσσοντας την μετρική ως προς τιςκαινούριες αυτές ποσότητες παρατηρούμε ότι προκύπτει η τετραδιάστατη ΓΣ απότην μετρική gµν και ο ηλεκτρομαγνητισμός με διανυσματικό πεδίο βαθμίδας Aµ. Ηθεωρία αυτή δηλαδή ενοποιεί τις δύο από τις τέσσερις δυνάμεις. Συγκεκριμένα οιπενταδιάστατες εξισώσεις Einstein δίνουν

R4µ = 0 ⇒ ∇νF µν = 0

Rµν −1

2RGµν = 0 ⇒ Rµν −

1

2Rgµν =

1

2φ2(F λµFνλ −

1

4gµνFλκF

λκ

)(2.2)

10

Κεφάλαιο 2. Εναλλακτικές Θεωρίες Βαρύτητας

όπου RMN ο τανυστής Ricci στις πέντε διαστάστεις ενώ Rµν ο αντίστοιχος στιςτέσσερις διαστάσεις. Παρατηρούμε η πρώτη εξίσωση δίνει τις εξισώσεις Maxwellστις τέσσερις διαστάσεις. Επίσης στην αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης έχειεμφανιστεί ο τανυστής ενέργειας-ορμής του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου δίνοντας τηνσωστή αλληλεπίδραση μεταξύ βαρύτητας και ηλεκτρομαγνητισμού.

Υπάρχουν πολλές άλλες εναλλάκτικες θεωρίες όμως. Κάποιες εισαγάγουν περισσότε-ρες διαστάσεις όπως η Kaluza-Klein άλλες εμπνευσμένες από την Θεωρία Χορδώνεισαγάγοντας τις λεγόμενες βράνες εντοπίζοντας την βαρυόνική ύλη πάνω σ΄ αυτές,όπως το μεντέλο DGP.

Η θεωρία Massive Gravity είναι μια βαρυτική θεωρία όπου το βαρυτόνιο αποκτάμάζα με τον κατάλληλο επιπρόσθετο όρο [6]. Η δράση αποτελείται από την γραμμικήεξίσωση Einstein, δηλαδή η Fierz-Pauli μαζί με ένα τετράγωνο όρο της μετρικής.

Υπάρχει επίσης μια ολόκληρη οικογένεια θεωριών Scalar-Tensor που εισαγάγουνεπιπρόσθετους βαθμούς ελευθερίας σε μέσω βαθμωτών πεδίων. Η πιο γενική λα-γκρανζιανή μιας τέτοιας θεωρίας δίνεται από την ακόλουθη σχέση

LST =1

16π[f(φ)R − g(φ)∇µφ∇µφ− 2Λ(φ)] + Lm(Ψ, h(φ)gµν) (2.3)

όπου f, g, h και Λ αυθαίρετες συναρτήσεις και Lm η λαγκρανζιανή που περιγράφει ταπεδία ύλης Ψ.

Η πιο απλή θεωρία Scalar-Tensor είναι η Brans-Dicke με f(φ) = φ, g(φ) = ωφ−1,λ(φ) = 0. Οι θεωρίες αυτές παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον γιατί προκύπτουν μεφυσιολογικό τρόπο από θεωρίες με περισσότερες διαστάσεις ή άλλες προεκτάσεις τηςΓΣ όπως η θεωρία f(R). Στο Einstein frame η θεωρία Brans-Dicke συμπίπτει με τονόρο δεύτερης τάξης της Γαλιλαιονικής Θεωρίας. Στα επόμενα κεφάλαια μελετήσουμεκαι τις δύο περισσότερο.

2.1 Παθολογίες

Οποιαδήποτε θεωρία, πέρα του ότι πρέπει να συμφωνεί με τις παρατηρήσεις, πρέπεινα ελεγχθεί ως προς κάποιες παθολογίες [7], τις οποιές παραθέτουμε πιο κάτω.

1. Φαντάσματα

Στην θεωρία πεδίων λέμε πως έχουμε φάντασμα όταν εμφανίζεται ο όρος κινη-τικής ενέργειας ενός πεδίου με το λάθος πρόσημο

11


L = 12

(∂χ)2 − mχ2χ2. (2.4)

Επειδή κατά την κατασκευή κάθε λαγκανζιανής ενός πεδίου υπάρχει αυθαιρεσίαως προς μια πολλαπλασιαστική σταθερά, η παθολογία αυτή εφμανίζεται όταν οκινητικός όρος έχει το λάθος πρόσημο και ενώ το πεδίο αυτό είναι συζευγμένομε ένα δεύτερο πεδίο που έχει το σωστό πρόσημο, δηλαδή,

L = −12

(∂φ)2 − mφ2φ2 +

1

2(∂χ)2 − mχ

2χ2 + λφ2χ2. (2.5)

Σε μια τέτοια θεωρία απαιτείται μηδέν ενέργεια για την παραγωγή 0 → χχ +φφ. Αυτή η αστάθεια έχει σαν αποτέλεσμα την συνεχή παραγωγή σωματιδίων,επομένως, μια θεωρία με τέτοια αστάθεια δεν είναι καλά ορισμένη.

Ωστόσο η παρουσία φαντάσματος δεν σημαίνει απαραίτητα ότι μια θεωρία χάνειεντελώς την ικανότητα να περιγράφει τον φυσικό κόσμο. Αν η μάζα του φα-ντάσματος είναι μεγαλύτερη από το εύρος όπου θεωρούμε ότι ισχύει η θεωρίατότε μπορούμε να ερμηνεύσουμε την ύπαρξη του σαν αποτέλεσμα της αποκοπήςτης ολοκληρωμένης θεωρίας σε πεπερασμένο σημείο του ανατπύγματος. Δη-λαδή, αν η μάζα είναι μεγαλύτερη από το cut off της Effective Field Theory(EFT) τότε πιθανό να μπορούμε να ανγοήσουμε την ύπαρξη του φαντάσμα-τος και να υποθέσουμε ότι η αστάθεια αυτή αναιρείται στο UV completion.Μόνο αν η μάζα του φαντάσματος ισοδυναμει με μια ενέργεια εντός του εύρουςεγκυρότητας της EFT, τότε μπορούμε να απορρίψουμε την θεωρία.

2. Αστάθειες της Κλίσης

΄Οπως και στα φαντάσματα, η αστάθεια αυτή προκύπτει από λάθος πρόσημο.Κατ΄ ακρίβεια προκύπτει όταν η κλίση έχει λάθος σχετικό πρόσημο με τηνχρονική παράγωγο

L = 12φ̇2 +

1

2(~∇φ)2. (2.6)

Είναι φανερό πως μια τέτοια θεωρία δεν είναι καν Lorentz αναλλοίωτη. Οιλύσεις μιας τέτοιας θεωρίας στον χώρο Fourier είναι ανάλογες του φ ∼ e±kt

όπου k =√~k2. Παρατηρούμε πως η λύση φ ∼ ekt δεν είναι φραγμένη και

επομένως οδηγεί σε αστάθειες. Η αστάθεια αυτή εμφανίζεται σε χρόνους τ ∼k−1. Αν η θεωρία αποτελεί μια ΕΦΤ τότε ο ελάχιστος χρόνος εμφάνισεις τηςαστάθειας είναι τ ∼ Λ−1UV . Για να έχει ελπίδα λοιπόν η θεωρία αυτή πρέπειο χρόνος αυτός να είναι τουλάχιστο της τάξης της ηλικίας του σύμπαντος.

12


Τότε ΛUV ∼ 10−60MP το οποίο είναι αδύνατο αφού τυπικές τιμές του ΛUVκυμαίνονται μεταξύ 10−40MP και 10−30MP . Επομένως θεωρίες με αστάθειεςκλίσεις δεν μπορούν να ιδωθούν ούτε σαν EFT.

3. Ταχυόνια

Αν τώρα με την σειρά της η μάζα έχει το λάθος πρόσημο αποκτούμε ταχυόνιο.Για το βαθμωτό πεδίο η λαγκρανζιανή έχει την μορφή

L = − 12

(∂χ)2 +mχ2χ2 (2.7)

Στον χώρο Fourier έχουμε φ(k) ∼ eiωt όπου ω2 = ~k2 − m2. Στο όριο k →0 εμφανίζονται πάλι εκθετικές λύσεις φ ∼ emt που οδηγούν σε αστάθειες.Ωστόσο, αν το εύρος εγκυρότητας της EFT είναι m � k � ΛUV , τότε ηθεωρία αυτή είναι καλά ορισμένη και μπορούμε να αγνοήσουμε την αστάθειααυτή αφού εμφανίζεται σε περιοχή ενεργειών όπου η θεωρία αυτή δεν είναιέγκυρη.

4. Τοπικότητα, Υπερφωτεινές Ταχύτητες

Για πληρότητα καταγράφουμε και την πιθανή παθολογία της υπερφωτεινότηταςκαι της μη-τοπικότητας χωρίς όμως να τις αναλύσουμε περισσότερο.

2.2 Θεώρημα του Ostrogradsky

Αφού πιο κάτω θα μελετήσουμε τα Γαλιλαιόνια πεδία, ένα σχετικό θεώρημα είναιαυτό του Ostrogradsky [7, 8]. Σύμφωνα με το θεώρημα αυτό, η χαμιλτονιανή πουδίνεται από μια μη-εκφυλισμένη λαγκρανζιανή που περιέχει παραγώγους μεγαλύτερηςτάξης του δύο δεν είναι φραγμένη.

Για να αποδείξουμε το θεώρημα αυτό ξεκινούμε με μια λαγκρανζιανή που περιγράφειένα σωματίδιο στην κλασική μηχανική

L = L(q, q̇, ..., q(N)). (2.8)

Το θεώρημα μπορεί στην συνέχεια να γενικευθεί για την θεωρία πεδίων. Η εξίσωσηκίνησης δίνεται από τον τύπο

N∑i=0

(− ddt

)i∂L

∂q(i)= 0 (2.9)

13


Μη-εκφυλισμένη λαγκρανζιανή συνεπάγεται ότι ∂L∂q(N)

είναι συνάρτηση του q(N). Μπο-ρούμε επομένως να γράψουμε την εξίσωση κίνησης (2.9) στην μορφή

q(2N) = f(q, q̇, ..., q(2N−1)). (2.10)

Η διαφορική εξίσωση αυτή είναι βαθμού 2Ν και επομένως απαιτούνται 2Ν αρχικέςσυνθήκες για την επίλυσή της. Από αυτό συμπεραίνουμε πως υπάρχουν 2Ν κανονικέςσυντεταγμένες τις οποίες ορίζουμε, σύμφωνα με τον Ostrogradsky, ως εξής

Qi = qi−1 Pi =

N∑j=i

(− ddt

)j−i∂L

∂q(j). (2.11)

Αναλυτικκά έχουμε για την τελευταία κανονική ορμή PN = ∂L∂q(N) . Αφού όμως ηλαγκρανζιανή είναι μη-εκφυλισμένη μπορούμε να αντιστρέψουμε την σχέση αυτή πα-ίρνοντας

q(N) = F (Q1, ..., QN , PN). (2.12)

Η χαμιλτονιανή τώρα δίνεται από την σχέση

H =N∑i=1

PiQi+1 − L = P1Q2 + P2Q3 + ... + PN−1QN + PNF − L(Q1, ..., QN , F )

(2.13)

Για να επαληθεύσουμε την χαμιλτονιανή αυτή με εκμεταλλευόμαστε τις εξισώσειςχάμιλτον

Q̇i =∂H

∂PiṖi = −

∂H

∂Qi. (2.14)

Η πρώτη για i 6= N είναι συνεπείς με τον ορισμό τωνQi στην εξίσωση (2.11). ΄Εχουμεδηλαδή Q̇i = Qi+1 ⇒ Qi = q(i−1). Για i = N έχουμε

Q̇N = F + PN∂F

∂PN− ∂L

∂F

∂F

∂PN= F ⇒ PN =

∂L

∂qN(2.15)

η οποία είναι συνεπείς με τον ορισμό των Pi στην (2.11). Οι υπόλοιπες κανονικέςορμές λαμβάνονται από το δεύτερο σύνολο εξισώσεων στην (2.14)

14


Ṗi = − Pi−1 +∂L

∂qi−1(2.16)

ξεκινώντας με i = N και αντικαθιστώντας σε κάθε βήμα την Pi από το προηγούμενοβήμα. Τέλος για i = 1 καταλήγουμε στην εξίσωση κίνησης (2.9).

Παρατηρούμε πως όλες, εκτός πιθανά η τελευταία, κανονικές ορμές εμφανίζονταιγραμμικά στην χαμιλτονιανή με αποτέλεσμα η χαμιλτονιανή να μην είναι φραγμένη.

Τώρα, το γεγονός αυτό δεν συνεπάγεται πως η χαμιλτονιανή θα τείνει να αποκτήσειάπειρη αρνητική ενέργεια γιατί το σύστημα ελαχιστοποιεί την ενέργεια του. Γενικά,η ολική ενέργεια μιας θεωρίας παραμένει σταθερή. Κβαντικά συστήματα ”κινούνται”μέσα στον χώρο των κλασικών λύσεων. Η αστάθεια λοιπόν οφείλεται στην εντροπίαη οποία θα οδηγήσει το σύστημα να δημιουργήσει απεριόριστο αριθμό σωματιδίων.Η παρουσία της αστάθειας αυτής επιτρέπει την διέγερση ακόμη και καταστάσεωνμε μεγάλη ενέργεια λόγω του ότι μπορούν παράλληλα να διεγερθούν καταστάσειςαρνητικής ενέργειας, ”ελευθερώνοντας” έτσι ενέργεια για άλλες καταστάσεις.

2.3 Μηχανισμοί Θωράκισης

΄Ολες η εναλλακτικές θεωρίες της ΓΣ εισάγουν καινούρια φαινομενολογία. Γνωρίζου-με όμως πως η ΓΣ περιγράφει με μεγάλη ακρίβεια το ηλιακό μας σύστημα. Πρέπειεπομένως να επιτρέψουμε τις τροποποιήσεις της ΓΣ να εμφανιστούν μόνο σε κλίμακεςμεγαλύτερες από αυτές του ηλιακού συστήματος. Με άλλα λόγια, χρειάζεται έναςμηχανισμός θωράκισης [7, 9] ο οποίος θα αποσυζεύξει τους επιπρόσθετους βαθμούςελευθερίας στα κατάλληλα όρια.

Για να μελετήσουμε τους μηχανισμούς αυτούς ξεκινούμε με μια γενική θεωρία βαθ-μωτού πεδίου, σύμμορφα συζευγμένο με την ύλη

L = − 12Zµν(φ, ∂φ, ...)∂µφ∂νφ − V (φ) + g(φ)T (2.17)

όπου Zµν εμπεριέχει τις αλληλεπιδράσεις του βαθμωτού πεδίου με τον εαυτό του, V, gαυθαίρετες συναρτήσεις και T = T µµ το ίχνος του τανυστή ενέργειας-ορμής.

1. Μεγάλη Μάζα

Στην πρώτη κατηγορία μηχανισμών θωράκισης αφήνει την μάζα της διακύμαν-σης του πεδίου να έχει εξάρτηση από το περιβάλλον. Ο επιπρόσθετος βαθμόςελευθερίας θωρακίζεται σε περιοχές με μεγάλη πυκνότητα ύλης αυξάνοντας την

15


μάζα του σωματιδίου εκεί. Χαρακτηριστικό παράδειγμα μιας τέτοιας θεωρίας ε-ίναι το Chameleon.

Για να το δούμε αυτό ξεκινάμε με την λαγκρανζιανή (2.17) και υποθέτουμεπρώτα ότι βρισκόμαστε στην παρουσία μη-σχετικιστικής ύλης, δηλαδή T = −ρ.Αναπτύσσουμε στην συνέχεια το πεδίο φ = φ0 + ϕ και προσθέτουμε μια μικρήδιαταραχή δT στο τανυστή ενέργειας-ορμής. Κρατώντας όρους μέχρι δέυτερηςτάξης έχουμε

L = − 12∂µϕ∂

µϕ − V (φ0) − V ′(φ0)ϕ −1

2V ′′ϕ2

−(g(φ0) + g

′(φ0)ϕ +1

2g′′(φ0)ϕ

2

)ρ

+

(g(φ0) + g

′(φ0)ϕ

)δT (2.18)

όπου διαλέξαμε Zµν = gµν και ′ υποδηλώνει παραγώγηση ως προς φ. Αγνο-ώντας τους σταθερούς όρους ξαναγράφουμε την σχέση αυτή ως

LChameleon = −1

2∂µϕ∂

µϕ − 12m2eff (φ0)ϕ

2 + g′(φ0)ϕδT (2.19)

όπου Veff (φ0) = V (φ0) + ρg(φ0) και m2eff = V′′eff το οποίο ερμηνεύουμε ως

την ενεργό μάζα. Στην πιο πάνω σχέση επιλέξαμε το φ0(ρ) να ελαχιστοποιείτο ενεργό δυναμικό Veff και υποθέτουμε ότι εξαρτάται από το περιβάλλον.

Παρατηρούμε πώς η ενεργός μάζα των διακυμάνσεων ϕ είναι συνάρτηση τηςπυκνότητας ύλης ρ. Με την κατάλληλη επιλογή των συναρτήσεων V και g μπο-ρούμε να κατασκευάσουμε μια θεωρία όπου σε περιοχές με μεγάλη πυκνότηταύλης η μάζα είναι μικρή με αποτέλεσμα η πέμπτη δύναμη που μεταδίδεται από τοσωματίδιο αυτό να έχει μικρή εμβέλεια. ΄Ετσι το Chameleon αφήνει ανέπαφητην ΓΣ σε περιοχές όπως το ηλιακό μας σύστημα. Από την άλλη αφήνουμετην μάζα να αποκτά μικρή τιμή σε περιοχές όπου η πυκνότητα ύλης είναι μικρή.΄Ετσι η πέμπτη δύναμη μπορεί να μεταδοθεί ελεύθερα στις περιοχές αυτές ώστενα εμφανίζεται καινούρια φαινομενολογία.

2. Ασθενής Σύζευξη

Στην δεύτερη κατηγορία μηχανισμών αφήνουμε την σύζευξη του βαθμωτούπεδίου με την ύλη να εξαρτάται από το περιβάλλον. Συγκεκριμένα, η σύζευξηείναι ασθενείς σε περιοχές όπου η πυκνότητα ύλης είναι μικρή (εξού και το

16


όνομα). ΄Οπως και στο Chameleon, στις περιοχές αυτές η πέμπτη δύναμη, πουπροκύπτει από το πεδίο αυτό, είναι αρκετά ασθενείς ώστε να αφήνει την ΓΣανέπαφη. Από την άλλη, επιτρέπουμε η σύζευξη να αποκτήσει μεγάλες τιμέςσε περιοχές όπου η πυκνότητα ύλης είναι μικρή ώστε να εμφανίζεται καινούριαφαινομενολογία. ΄Ετσι ο επιπρόσθετος βαθμός ελευθερίας θωρακίζεται στιςπεριοχές όπου η ΓΣ ισχύει με μεγάλη ακρίβεια. Παραδείγματα θεωριών πουαξιοποιούν τον μηχανισμό αυτό είναι το Symmetron και το Varying-Dilaton.

Το Symmetron βασίζεται πάνω σε ένα μηχανισμό αυθόρμητου σπάσιμου συμ-μετρίας, παρόμοιο με αυτό του σωματιδίου Higgs. Ξενικώντας με την (2.18)διαλέγουμε

V (φ) = − 12µ2φ2 +

1

4λφ4 g(φ) = 1 +

1

2M2φ2 + O(φ4). (2.20)

τα οποία δίνουν

Veff =1

2

( ρM2− µ2

)φ2 +

1

4λφ4. (2.21)

Αν τώρα ρ > (µM)2 τότε το ενεργό δυναμικό έχει ελάχιστο στο φ0 = 0. Αφούη σύζευξη του Symmetron με την ύλη είναι της μορφής g′(φ0)ϕT ο όρος αυτόμηδενίζεται. Επομένως δεν υπάρχει αλληλεπίδραση μεταξύ του Symmetron καιύλης. Αν τώρα όμως ρ < (µM)2 το ολικό ελάχιστο του ενεργούς δυναμικο-ύ είναι φ20 =

1λ

(µ2 − ρ

M2

). Στις περιοχές αυτές υπάρχει αλληλεπίδραση του

Symmetron με την ύλη και εμφανίζοναι οι τροποποιήσεις στην ΓΣ.

3. Μεγάλη Αδράνεια

Τέλος, στην κατηγορία αυτή, επιτυγχάνουμε την θωράκιση εισάγοντας όρουςαλληλεπίδρασης κινητικού τύπου, του πεδίου με τον εαυτό του. ΄Ενα παράδειγμαμοντέλου όπου όροι με παράγωγους πρώτης τάξης στην εξίσωση κίνησης απο-κτούν σημασία είναι το K-mouflage. Ο μηχανισμος θωράκισης όπου όροι μεπαραγώγους δεύτερης τάξης αποκτούν σημασία ονομάζονται μηχασμός Βάιν-σταϊν. Η επινόηση ενός μηχανισμού που εκμεταλλέυεται παράγωγους τρίτηςτάξης δεν είναι εφικτό αφού για απαιτεί την κατασκευή λαγκρανζιανής με πα-ράγωγους πέρα της δεύτερης τάξης. ΄Οπως δείξαμε προηγουμένως με το θε-ώρημα του Ostrogradsky αυτό οδηγεί σε αστάθειες με αποτέλεσμα η θεωρίααυτή να καθιστάται ανίκανη για οποιαδήποτε πρόβλεψη.

Στον μηχανισμό Βάινσταϊν μπορούμε να ορίσουμε μια ακτίνα rV . Αν η θεωρίααποτελεί EFT έχουμε κι ένα cut off ΛUV . ΄Εχοντας αυτά μπορούμε να ορίσουμε

17


τρεις περιοχές, Για πολύ μικρές αποστάσεις r � Λ−1UV οι κβαντικές διορθώσειςείναι μεγάλες και η θεωρία πάυει να ισχύει. Σε μεγάλες αποστάσεις r � rV ηκβαντικές διορθώσεις είναι πολύ μικρές όπως και οι συνεισφορά των κλασικώνμη-γραμμικών όρων του καινούριου πεδίου έτσι ώστε το πεδίο να μεταδίδει μιαπέμπτη δύναμη μεγάλης εμβέλειας, τροποποιώντας την ΓΣ σε μεγάλες κλίμα-κες. Στην ενδιάμεση περιοχή Λ−1UV � r � rV οι κβαντικές διορθώσεις πάλιείναι μικρές ενώ οι κλασικοί μη-γραμμικοί όροι συνεισφέρουν και δεν μπορούννα αγνοηθούν. Η σύζευξη αυτή, του πεδίου με τον εαυτό του δηλαδή, έχειως αποτέλεσμα να περιορίσει την εμβέλεια της πέμπτης δύναμης σε μικρές απο-στάσεις με αποτέλεσμα να μην εμφανίζοναι τροποποιήσεις στην ΓΣ.

18

Κεφάλαιο 3

Μοντέλο DGP

Το 2000 οι G. Dvali, G. Gabadadze καιM. Porrati κατασκεύασαν ένα πρωτοποριακόμοντέλο, το μοντέλο DGP [10]. Εντοπίζοντας την ύλη πάνω σε μια 4D βράνη εμβα-πτισμένη στον 5D χωρόχρονο επιτυγχάνεται η εισαγωγή επιπρόσθετων διαστάσεωναπείρου μεγέθους (σε αντίθεση με τα μοντέλλα Kaluza-Klein όπου οι επιπρόσθετεςδιαστάσεις είναι κλειστές). Το μοντέλο DGP αποτελεί το πρώτο πλαίσιο όπου τρο-ποποιήσεις της ΓΣ σε μεγάλες αποστάσεις συνδέονται με την κοσμική επιτάχυνση.

3.1 Λαγκρανζιανή και Εξισώσεις Κίνησης

Συμβολίζοντας τις αντίστοιχες 5D ποσότητες των 4D ποσοτήτων με ˜ και ορίζονταςτις ποσότητες κ2 = M−2P = 8πG

(4)N , κ̃

2 = M̃−3P = 8πG(5)N η δράση δίνεται από τον

τύπο

SDGP =

∫Md5X

√−g̃[

2

κ̃2R̃(g̃) + Lm

]+

∫∂M

d4x√−g[

2

κR(g) − 4

κ̃K(g)

](3.1)

όπουM είναι μια 5D πολλαπλότητα με συντεταγμένες XM και με 4D σύνορο ∂Mόπου βρίσκεται η βράνη με συντεταγμένες xµ. Η μετρική g̃ περιγράφει τον 5D χώροκαι gµν η επαγώμενη μετρική πάνω στο σύνορο που δίνεται από την σχέση

gµν =∂XM

∂xµ∂XN

∂xνg̃MN . (3.2)

19

Κεφάλαιο 3. Μοντέλο DGP

K είναι η εξωγενής καμπυλότητα και Lm περιέχει τα πεδία ύλης. Ο όρος με τηνεπαγώμενη καμπυλότητα ονομάζεται Gibbons-Hawking όρος συνόρου και είναι απα-ραίτητος για μια συνεπή περιγραφή πολλαπλότητας με σύνορο. Πιο συγκεκρινμένα, ημεταβολή του όρου αυτού εξουδετερώνει τον επιφανειακό όρο που αποκτούμε από τηνμεταβολή της δράσης Einstein-Hilbert και δίνει τις εξισώσεις Israel που αποτελούντις σωστές εξισώσεις κίνησης ενός συνόρου.

Η προέλευση του όρου της 4D δράσης Einstein-Hilbert έχει δύο εξηγήσεις [11].Από την μια, αν η βράνη είναι άκαμπτη τότε ο όρος αυτός εμφανίζεται μέσω loopδιαγραμμάτων των κβαντικών διακυμάνσεων της ύλης πάνω στην βράνη. Από τηνάλλη, αν επιτρέψουμε της βράνης να διακυμαίνεται, τότε υπάρχει μια mode με μάζαπου μπορεί, μέσω loop diagrams ξανά να δημιουγίσει τον όρο αυτό.

Γενικά, οι διακυμάνσεις αυτές θα επάγουν ολόκληρη σειρά όρων με δυνάμεις της 4Dκαμπυλότητας R πάνω στην βράνη

S ∼∫d4x√−g[Λ + R + O(R2) + ...

](3.3)

όπου ο μηδενικός όρος Λ ερμηνεύεται ως ΚΣ πάνω στην βράνη. Η εμφάνιση της ΚΣέχει σαν αποτέλεσμα την επανακανονικοποίηση της τάσης του βράνης. Αυτό φαίνεταιαπό την δράση Dirac-Nambu-Goto η οποία περιγράφει την βράνη

SDNG = − T∫d4x√−g (3.4)

όπου T η τάση της βράνης. Για απλότητα επιλέγουμε T ′ = T − 2κ−2Λ = 0 όπουT ′ η επανακανονικοποιημένη τάση. Οι όροι ψηλότερης τάξης δεν συνεισφέρουν αφούσυνοδεύονται από δυνάμεις της μάζα Planck, MP .

Σε μικρές αποστάσεις κυριαρχεί ο όρος της 4Δ βαρύτητας και επιστρέφουμε στην ΓΣ.Σε μεγάλες αποστάσεις όμως κυριαρχεί ο 5Δ όρος και εμφανίζονται οι τροποποιήσεις.Συγκεκριμένα η κλίμακα που ξεχωρίζει αυτές τις δύο περιοχές δίνεται από την σχέση

λ =κ̃2

2κ2. (3.5)

Η εισαγωγή της 4D βαρύτητας έχει ως αποτέλεσμα την λειτουργία του όρου αυτόσαν πηγή της 5D ώστε να αποκτούμε αυτο-επιταχυνόμενες λύσεις χωρίς την παρουσίαΚΣ [12, 13]. Για να το δούμε αυτό ξεκινούμε από τις 5D εξισώσεις Einstein

G̃MN = R̃MN −1

2g̃MN R̃ = κ̃

2S̃MN . (3.6)

20


Χωρίζουμε στην συνέχεια τον τανυστή S̃MN σε δύο συνεισφορές, μια από την βαθ-μωτή καμπυλότητα, ŨMN , και μια από την ύλη εντοπισμένη πάνω στην βράνη, T̃MN .Επιλέγοντας την ισοτροπική και ομοιογενή γεωμετρία πάνω στην βράνη ο τανυστήςενέργειας ορμής δίνεται από την σχέση

TAB =δ(y)

bdiag(−ρb, Pb, Pb, Pb, 0) (3.7)

Χρησιμοποιώντας μια είδους Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW) με-τρική

ds2 = − n2(y, t)dt2 + a2(y, t)γijdxidxj + b2(y, t)dy2 (3.8)

με y την επιπρόσθετη χωρική διάσταση, οι πρώτη εξίσωση Friedmann δίνει

κ2

3ρb = H

2 +k

a20− 2�κ

2

κ̃2

√H2 +

k

a20. (3.9)

Εδώ, ποσότητες με δείκτη κάτω 0 είναι υπολογισμένες στο y = 0 όπου έχουμε το-ποθετήσει την βράνη. Η παράμετρος Hubble έχει οριστεί ως H = ȧ0

a0n0, η μεταβλητή

� παίρνει τις τιμές � = ±1 και k = −1, 0, 1 παραμετρικοποιά την χωρική 3D καμπυ-λότητα.

3.2 Φαινομενολογία

1. Ανάκτηση 4D κοσμολογίας

Στο όριο

√H2 +

k

a20� λ−1 (3.10)

ή ισοδύναμα

H−1 � λ (3.11)

όπου αγνοήσαμε την χωρική καμπυλότητα, αποκτούμε από την εξίσωση (3.9)την γνώριμη πρώτη εξίσωση Friedmann της 4D ΓΣ (για FLRW μετρική)

21


1

3κ2ρb = H

2 +k

a20(3.12)

2. Late time κοσμολογία

Λύνοντας την δευτεροβάθμια εξίσωση (3.9) ως προς√H2 + k/a20 έχουμε

√H2 +

k

a20= �

κ2

κ̃2+

√κ2

3ρb +

κ4

κ̃4. (3.13)

η οποία έχει δύο λύσεις για � = ±1. Ολοκληρώνοντας την εξίσωση αυτήμε k = 0 με την ύλη πάνω στην βράνη να περιγράφεται από μια συνηθισμένηκαταστατική εξίσωση Pb = wρb, w > −1 μπορεί κανείς να δείξει πως η γιαμεγάλους χρόνους το a0 αποκλίνει. Αν το a0 τότε η πυκνότητα ενέργειας ρθα τείνει στο 0. Θα υπάρξει δηλαδή μια στιγμή όπου ρb

3� κ2

κ̃4. Το όριο αυτό

ισοδυναμεί με

(H2 +k

a20)12 � λ−1 (3.14)

ή, αγνοώντας πάλι την χωρική καμπυλότητα,

H−1 � λ. (3.15)

Για � = −1 η εξίσωση (3.13) δίνει

(H2 +k

a20)12 =

κ̃2

6ρb. (3.16)

Η εξίσωση αυτή περιγράφει την 5D βαρύτητα. Μπορούμε να αποκτήσουμε τηνίδια εξίσωση από την ολοκληρωμένη 5D εξίσωση Friedmann στο όριο κ→∞.Παρατηρούμε ότι υπάρχει μια ομαλή μετάβαση μεταξύ 4D βαρύτητα και 5D.

Για � = 1 η παράμετρος Hubble, H τείνει σε σταθερά Hself

Hself =2κ2

κ̃2. (3.17)

22


Στην περίπτωση αυτή παρατηρούμε πως η μετάβαση είναι μεταξύ 4D βαρύτηταςκαι λύσης πληθορισμού. ΄Εχει βρεθεί όμως, πως η λύση αυτή συνοδεύεται απόαστάθειες [14].

Ωστόσο, το μοντέλο DGP παρουσιάζει ενδιαφέρον. ΄Οπως και στο MassiveGravity παρουσιάζεται η van Dam - Veltman - Zakharov (vDVZ) ασυνέχειαστο όριο της αποσύζευξης ([3] για vDVZ στο Massive Gravity). Η ασυνέχειααυτή, όπως είχε παρατηρείσει πρώτος ο Vainshtein για το Massive Gravity,εξαλείφεται μέσω του μηχανισμού Vainshtein αν ληφθούν υπόψη οι μη-γραμμικήόροι.

3.3 Γενικές Ιδιότητες

Τώρα, στο όριο αποσύζευξης, πολλές απο τις ιδιότητες του μοντέλου DGPπεριγράφονται από την δράση [14, 15]

S =

∫d4x

[−3 ∂µπ∂µπ −

1

Λ3∂µπ∂

µπ�π +κ

2πT

](3.18)

της οποίας οι εξισώσεις κίνησης δίνουν

�π − 13Λ3

[(�π)2 + ∂µ∂νπ∂

µ∂ν]

= − κ12T. (3.19)

Παρατηρούμε ότι, παρά το γεγονός ότι οι δράση περιέχει όρους ψηλότερηςτάξης, η εξίσωση κίνησης περιέχει μόνο παραγώγους δεύτερης τάξης. Για τονλόγο αυτό, η θεωρία αυτή αποφεύγει την αστάθεια που προβλέπει το θεώρηματου Ostrogradsky. Ακριβώς αυτή η παρατήρηση οδήγησε στην μελέτη τηςπιο γενικής θεωρίας ενός βαθμωτού πεδίου με εξισώσεις κίνησης είναι αυστηράδεύτερης τάξης, το Γαλιλαιόνιο.

23

Κεφάλαιο 4

Γαλιλαιόνια

ζ Η πιο γενική λαγκρανζιανή, η οποία δίνει αυστηρά εξισώσεις δεύτερης τάξης, δίνειτα Γαλιλαιόνια τα οποία μελετήθηκαν για πρώτη φορά το 2009 από τον A. Nicolis,R. Rattazzi και E. Trincherini [16]. Προκύπει πως υπάρχει μόνο συγκεκριμένοςαριθμός όρων ο οποίος ικανοποίει την απαίτηση αυτή. Συγκεκριμένα, υπάρχουν σε dδιαστάσεις, d+ 1 όροι, ένα σε κάθε τάξη.

4.1 Λαγκρανζιανή και Εξισώσεις Κίνησης

Στις 4D οι λαγκρανζιανές δίνονται από τις σχέσεις

L1 = φ,

L2 = −1

2(∂φ)2 ,

L3 = −1

2(∂φ)2 �φ,

L4 = −1

2(∂φ)2

((�φ)2 − (∂∂φ)3

),

L5 = −1

2

((�φ)3 + (∂∂φ)3 − (∂∂φ)2 �φ

). (4.1)

Μεταβάλλοντας ως προς φ έχουμε τις εξισώσεις κίνησης

24

Κεφάλαιο 4. Γαλιλαιόνια

E1 = 1E2 = �φE3 = (�φ)2 − (∂∂φ)2

E4 =(∂2φ)3 − 3∂2φ (∂∂φ)2 + 2 (∂∂φ)3

E5 = (�φφ)4 − 6 (�φ)2 (∂∂φ)2 + 8�φ (∂∂φ)3 + 3[(∂∂φ)2

]2 − 6 (∂∂φ)4(4.2)

Διαλέγοντας μια διαφορετική κανονικοποίηση μπορούμε να γράψουμε την n-οστήλαγκρανζιανή του Γαλιλαιονίου σε d διαστάσεις [7, 2]

Ln = (n − 1)ηµ1ν1µ2ν2...µn−1νn−1φ∂µ1∂ν1φ∂µ2∂ν2φ...∂µn−1∂νn−1φ (4.3)

όπου ηµ1ν1µ2ν2...µn−1νn−1 = 1n!

∑p(−1)pηµ1ν1ηµ2ν2 ...ηµn−1νn−1 με το άθροισμα να τρέχει

πάνω σε όλες τις κυκλικές μεταθέσεις με πρόσημο (−1)p. Ο τανυστής αυτός είναιαντισυμμετρικός ως προς την εναλλαγή οποιονδήποτε δεικτών µ ή ν και συμμετρικόςως προς την εναλλαγή οποιουδήποτε ζευγαριού δεικτών µiνi. 2

Στην μορφή αυτή φαίνεται πως οι όροι αυτοί δίνουν εξισώσεις δεύτερης τάξης. Ημεταβολή του πρώτου πεδίου είναι τετριμένος. Μεταβάλλοντας οποιδήποτε άλλο όροαποκτούμε (n− 1) όρους της μορφής ∂µ1∂ν1

(φ∂µ2∂ν2φ...∂µn−1∂νn−1φ

)όπου ολοκλη-

ρώσαμε κατά παράγοντες και αγνοήσαμε τον επιφανειακό όρο.

Λόγω της αντισυμμετρίας του τανυστή η και του γεγονότος ότι η μερική παράγωγοςμετατίθεται με τον εαυτό της, ο μόνος όρος που θα επιζήσει είναι αυτός όπου οιπαράγωγοι κτυπούν πάνω στο ελεύθερο πεδίο ώστε να καταλήξουμε με εξίσωσηκίνησης

En =∂Ln∂φ

= n(n − 1)ηµ1ν1µ2ν2...µn−1νn−1∂µ1∂ν1φ∂µ2∂ν2φ...∂µn−1∂νn−1φ (4.5)

όπου σε κάθε πεδίο δρουν δύο παράγωγοι.

Υπενθυμίζοντας τους εαυτούς μας πως τα Γαλιλαιόνια μπορούν να ερμηνευτούν ωςπροερχόμενα από μια 4D βράνη εμβαπτισμένη σε 5D χωρόχρονο στο όριο ασθενούς

2Εναλλακτηκά, μπορεί κάποιος να εκφράσει τον τανυστή η συναρτήσει του τανυστή Levi-Civita

Ln ∼ �µ1...µn−1αn...αd�ν1...νn−1αn...αdφ∂µ1∂ν1φ∂µ2∂ν2φ...∂µn−1∂νn−1φ (4.4)

25


πεδίου σημειώνουμε εδώ πως προέρχονται συγκεκριμένα από τους όρους Lovelock 1.Η προέλευση των όρων Lovelock είναι διπλή. Εμφανίζονται 4D όροι Lovelock απότην επαγώμενη μετρική και 5D όροι Lovelock μέσω της εξωγενούς καμπυλότητας.Το γεγονός αυτό επίσης εξηγεί γιατί τα Γαλιλαιόνια δίνουν εξισώσεις δεύτερης τάξης.

Επίσης καταλαβαίνουμε από την εξίσωση (4.3), γιατί σε d διαστάσεις τα Γαλιλαιόνιαέχουν πεπερασμένο αριθμό όρων d+1, ένα για κάθε τάξη μέχρι d+1. Ο τανυστής ηεπιτρέπεται να έχει μόνο μέχρι d δείκτες αλλιώς, λόγω αντισυμμετρίας, θα μηδενίζεταιη σχέση ταυτοτικά.

4.2 Euler Hierarchies

Παρατηρώντας ότι ο τανυστής η μπορεί να αναπτυχθεί ως

ηµ1ν1µ2ν2...µnνn = ηµ1ν1ηµ2ν2...µnνn − ηµ1ν2ηµ2ν1µ3ν3...µnνn ...+ (−1)n−1ηµ1νnηµ2ν1µ3ν2...µnνn−1 (4.6)

μπορούμε να ξαναγράψουμε την n+1 λαγκρανζιανή, Ln+1, συναρτήσει της n εξίσωσηςκίνησης, En,

Ln+1 = −n+ 1

2n(n− 1)(∂φ)2 En

+n− 1

2∂µ1[(∂φ)2 ηµ1ν1µ2ν2...µn−1νn−1∂ν1φ∂µ2∂ν2φ...∂µn−1∂νn−1φ

](4.7)

.

Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως Euler Hierarchies [17].

4.3 Γαλιλαιονική Συμμετρία

Το γεγονός ότι οι εξισώσεις είναι αυστηρά δέυτερης τάξης παρατηρούμε πως ταΓαλιλαιόνια σέβονται την συμμετρία

φ → φ′ = φ + bµxµ + c (4.8)

26


όπου bµ, c αυθαίρετες σταθερές. Η συμμετρία αυτή αποτελεί την γενίκευση της γαλι-λαιονικής ẋ→ ẋ′ = ẋ+u στον χωρόχρονο. Ειδωμένα τα Γαλιλαιόνια ως προερχόμενααπό το μοντέλο DGP, η συμμετρία αυτή προέρχεται από την σπασμένη 5D Poincaréσυμμετρία [2].

Για απειροστή μεταβολή ο 5D Poincaré μετασχηματισμός δίνεται από την σχέση

δPXM = ωMNX

N + �M (4.9)

όπου ο αντισυμμετρικός τανυστής ωMN και �M είναι απειροστές ποσότητες. Η δράση

πρέπει επίσης να είναι αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμό βαθμίδας πάνω στηνβράνη, diffeomorphism

δgXM = ξµ∂µX

M (4.10)

με ξµ την παράμετρο βαθμίδας. Ουσιαστικά, ο τελεστής δg είναι η παράγωγος Lieγια βαθμωτά. Εκμεταλλευόμενη την ελεύθερία βαθμίδας, επιλέγουμε

Xµ = xµ, X4 = φ(x). (4.11)

Υπο το πρίσμα αυτό, γράφουμε τον μετασχηματισμό Poincaré πάνω στην βράνη ως

δPXµ = ωµνx

ν + ωµ4φ + �µ. (4.12)

Παρατηρούμε πως ο μετασχηματισμός αυτός δεν διατηρεί την βαθμίδα. Μπορούμενα επαναφέρουμε την βαθμίδα επιλέγοντας κατάλληλα το διάνυσμα ξµ. ΄Εχοντας τονμετασχηματισμό δgXµ = ξµ∂µxµ = ξµ, επιλέγουμε

ξµ = − ωµνxν − ωµ4φ − �µ (4.13)

και ορίζουμε τον καινούριο μετασχηματισμό δP ′ = δP + δg. Ο μετασχηματισμός δP ′τώρα, διατηρεί την βαθμίδα. Η δράση του πάνω στο φ δίνει

δP ′φ = ω4µx

µ + �4 − ωµνxν∂µφ − ωµ4φ∂µφ − �µ∂µφ. (4.14)

Μετονομάζοντας τις ποσότητες ωµ ≡ ω4µ και � ≡ �4, η εσωτερική σχετικιστικήσυμμετρία δίνεται από την σχέση

27


δP ′φ = ω4µx

µ + �4 − ωµ4φ∂µφ. (4.15)

Στο μη-σχετικιστικό όριο, δηλαδή για μικρό φ, δίνει

δP ′φ = ωµxµ + � (4.16)

η οποία είναι ακριβώς η γαλιλαιονική συμμετρία που ορίσαμε προηγουμένως.

4.4 Duality

Μια άλλη ιδιότητα που παρουσιάζουν τα Γαλιλαιόνια είναι το γεγονός ότι είναι self-dual [7, 18]. Συγκεκριμένα, αν ξεκινήσουμε από μια την γενική θεωρία

L[φ] =5∑

n=1

cnLn[φ] (4.17)

και εφαρμόσουμε ταυτόχρονα τους μετασχηματισμούς 3

φ → φ′ = − ρ − 12Λ2

(∂φ)2 , xµ → x′µ = xµ + 1Λ∂µρ (4.19)

αποκτούμε την dual θεωρία

L[ρ] =5∑

n=1

pnLn[ρ] (4.20)

η οποία επίσης είναι Γαλιλαιονική θεωρία, εξού και ο χαρακτηρισμός self-dual. Οισυντελεστές cn γενικά δεν μετασχηματίζονται στον εαυτό τους όμως. Οι σχέσειςμεταξύ των συντελεστών cn και pn δίνονται από τον πίνακα

3Οι αντίστροφοι μετασχημασισμοί δίνονται από τις σχέσεις

ρ → ρ′ = − ρ − 12Λ2

(∂′ρ)2, x′µ → xµ = x′µ + 1

Λ∂′µρ (4.18)

όπου ∂′ εννοούμε παραγώγηση ως προς x′.

28


p2p3p4p5

=

1 0 0 02 −1 0 032−3

21 0

25−3

545−1

c2c3c4c5

(4.21)Είναι εμφανές πως μόνο η Γαλιλαιονική θεωρία με c2 6= 0 και c3 = c4 = c5 = 0επιστρέφει στον εαυτό της στην dual θεωρία. Μπορεί κανείς να υπολογίσει και τοναντίστροφο μετασχηματισμό, αφού η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα δίνεται από τογινόμενο των διαγώνιων στοιχείων το οποίο ισούτε με την μονάδα. Τέλος, η ιδιότητααυτή ισχύει για τα Γαλιλαιόνια σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων.

Μελετώντας την αρχική θεωρία με το πεδίο φ παρατηρεί κανείς ότι δέχεται υπερ-φωτεινές λύσεις. Η dual θεωρία, από την άλλη, είναι μια καλά ορισμένη αιτιώδηςθεωρία και UV-complete. Αφού οι δύο θεωρίες αυτές είναι ισοδύναμες, συμπεραί-νουμε πως, κάνοντας σωστούς υπολογισμούς στην αρχική θεωρία, θα εξαλήφονταιοι υπερφωτεινότητες.

29

Κεφάλαιο 5

Κυβικό Γαλιλαιόνιο

Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε τον Γαλιλαιονικό όρο τρίτης τάξης σε συνδυασμόμε τον όρο δεύτερης τάξης. Πριν εισάγουμε όμως το κυβικό Γαλιαιόνιο θα περιορι-στούμε στον τετράγωνο όρο. Σημειώνουμε εδώ πως οι Γαλιλαιονικοί όροι, όπωςέχουν οριστεί στο προηγούμενο κεφάλαιο (4.1), θα οριστούν στο Einstein frameστην πιο κάτω ανάλυση. Θα ξεκινήσουμε λοιπόν με την Θεωρία Brans-Dicke στοJordan Frame η οποία στο Einstein frame δεν είναι τίποτα άλλο από τετραγωνικόΓαλιλαιονικό όρο, όπως θα δούμε πιο κάτω.

5.1 Brans-Dicke στο Jordan Frame

Η δράση της Θεωρίας Brans-Dicke στο Jordan Frame δίνεται από την σχέση

SBD =1

16πG

∫d4x√−g(φR − ωgµν∇µφ∇νφ

φ

)+ Sm [g] (5.1)

όπου ω είναι μια ελεύθερη παράμετρος, G η σταθερά Newton στον 4D χωρόχρονοκαι φ = φ(x) βαθμωτό πεδίο. Για πειραματικά φράγματα στην τιμή της παραμέτρουω δείτε [19]. Η δράση Sm εδώ περιγράφει την ύλη.

5.1.1 Εξισώσεις Κίνησης

1. Παίρνοντας την μεταβολή ως προς το βαθμωτό πεδίο φ αποκτούμε την εξίσωσηκίνησης

30

Κεφάλαιο 5. Κυβικό Γαλιλαιόνιο

R + 2ω�φφ− ω∇λφ∇

λφ

φ2= 0. (5.2)

2. Για την δεύτερη εξίσωση κίνησης που παίρνουμε από την μεταβολή της μετρικήςgµν υπενθυμίζουμε τον αναγνώστη πως η μεταβολή της βαθμωτής καμπυλότηταςR δίνεται από την σχέση

δR = Rµνδgµν + δRµνg

µν

= Rµνδgµν +∇λ(gµνδΓλµν − gµλδΓννµ). (5.3)

Στην ΓΣ ο δεύτερος όρος μπορεί να αγνοηθεί αφού είναι επιφανειακός όροςκαι υποθέτουμε πως το σύστημα μας δεν έχει σύνορα και τα πεδία μηδενίζονταιστο άπειρο. 4 Στην περίπτωση αυτή όμως ο όρος αυτός δεν δίνει επιφανειακόόρο αφού πολλαπλασιάζεται με το βαθμωτό πεδίο. ΄Εχοντας τα προηγούμενακατά νου, η εξίσωση κίνησης δίνεται από την σχέση

Gµν + ω1

φ2

(1

2gµν∇λφ∇λφ − ∇µφ∇νφ

)+

1

φ(gµν�φ−∇µ∇νφ) = 8πG

Tµνφ.

(5.4)

όπου έχουμε ορίσει τον τανυστή ενέργειας-ορμής

δ(√−gLm(g)

)= −1

2

√−gTµν(g)δgµν . (5.5)

3. Το ίχνος της εξίσωσης αυτής είναι

− R + ω∇λφ∇λφ

φ2+ 3

�φφ

= 8πGT

φ(5.6)

το οποίο μπορούμε να προσθέσουμε στην (5.2) και να πάρουμε μια εξίσωση πουπεριέχει μόνο το βαθμωτό πεδίο και την ύλη

�φ =8πG

2ω + 3T. (5.7)

4Αν το σύμπαν είχε σύνορο τότε θα πρέπει να συμπεριληφθεί και ο όρος Gibbons-Hawking γιατην εξουδετέρωση του επιφανειακού όρου και την σωστή περιγραφή του συνόρου με τις κατάλληλεςεξισώσεις κίνησης

31


Παρατηρούμε πως το πεδίο φ περιγράφεται από την κυμματική εξίσωση με πηγήτο ίχνος του τανυστή ενέργειας-ορμής.

5.1.2 Εξισώσεις Κίνησης για FRW Μετρική καιΧρονοεξαρτημένο Βαθμωτό Πεδίο

Η μετρική FRW δίνεται από την σχέση

ds2 = − dt2 + a2(t)(

dr2

1− kr2+ r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

)(5.8)

όπου η σταθερά k δίνει την χωρική καμπυλότητα. Για k > 0, k = 0 και k < 0 έχουμεαντίστοιχα κλειστό, επίπεδο και ανοικτό σύμπαν. Εναλλάκτικα η μετρική γράφεταιds2 = −dt2 + a2(t)γijdxidxj όπου γij η 3× 3 χωρική μετρική.

Σημειώνοντας πως η ντ΄ Αλεμπεριανή δίνεται από την σχέση

�φ =1√−g

∂µ(√−ggµν∂νφ) (5.9)

η εξίσωση (5.7) για χρονοεξαρτημένο βαθμωτό πεδίο, φ = φ(t) δίνει

− φ̈ − 3φ̇ ȧa

=8πG

2ω + 3T. (5.10)

Η πρώτη εξίσωση Friedmann δίνεται από την 00 συνιστώσα της εξίσωσης Einstein(5.4)

3k + ȧ2

a2− ω

2

φ̇2

φ2+ 3

ȧ

a

φ̇

φ= 8πG

ρ

φ. (5.11)

ενώ το ίχνος της, (5.6), δίνει δέυτερη εξίσωση Friedmann

− 6

(ä

a+ȧ2

a2+k

a2

)= 8πG

T (g)

φ+ ω

φ̇2

φ2+ 9

ȧ

a

φ̇

φ+ 3

φ̈

φ. (5.12)

΄Εχουμε φτάσει σε ένα σύστημα εξισώσεων με 2 εξισώσεις για 4 αγνώστους φ(t),a(t), ρ(t) και P (t). (Οι δύο εξισώσεις Friedmann δεν είναι ανεξάρτητες). Οπότεγια να συμπληρωθεί το σύστημα εξισώσεων χρειαζόμαστε ακόμη δύο εξισώσεις. Η

32


πρώτη δίνεται από τον πρώτο νόμο της θερμοδυναμικής και εκφράζει την διατήρησηενέργειας

d

dt(ρa3) = −P da

3

dt. (5.13)

Η δεύτερη εξίσωση, η καταστατική εξίσωση, εκφράζει την σχέση μεταξύ της πυ-κνότητας ενέργειας και της ορμής. ΄Εχουμε,

P =

0 ύλη13ρ ακτινοβολία−ρ κοσμολογική σταθερά.

(5.14)

Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις αυτές στην (5.13) έχουμε

ρ(t) =

ρ(t0)

(a(t0)a(t)

)3ύλη

ρ(t0)(a(t0)a(t)

)4ακτινοβολία.

Λ8πG

κοσμολογική σταθερά

(5.15)

Εδώ, t0 είναι ο παρών χρόνος και Λ η κοσμολογική σταθερά. Για ευκολία θα θέσουμεa(t0) = 1.

5.2 Brans-Dicke στο Einstein Frame

Στο σημείο αυτό θα φανεί χρήσιμο να εκτελέσουμε τον σύμμορφο μετασχηματισμό

gµν = e2Ωg̃µν , (5.16)

όπου Ω = Ω(x) αυθαίρετη συνάρτηση, και να γράψουμε την δράση συναρτήσει τηςκαινούρια μετρικής g̃µν . Οι μετασχηματισμοί των γεωμτερικών αντικειμένων μπορούννα βρεθούν στο πα

GALILAIONIA PEDIA · 2015-06-12 · Perieqìmena Parousi‹zoume mia mikr€ eisagwg€ gia thn...

Documents

Transcript of GALILAIONIA PEDIA · 2015-06-12 · Perieqìmena Parousi‹zoume mia mikr€ eisagwg€ gia thn...