[G Gumnasiou]Fusiki - Theoria -Askiseis Kefalaio 1-2

Τι είναι η ταχύτητα;

Ταχύτητα είναι το φυσικό διανυσµατικό µέγεθος που

µας εκφράζει πόσο γρήγορα κινείται ένα κινητό καθώς επί-

σης και προς τα πού κινείται.

ΟΡΙΣΜΟΣ:

Η ταχύτητα ( υ

) για ένα κινούµενο σώµα, ορίζεται από το

πηλίκο της µετατόπισης ( ∆x

) του σώµατος προς το αντί-

στοιχο χρονικό διάστηµα (∆t) µέσα στο οποίο πραγµατο-

ποίησε την µετατόπιση αυτή.

µετατόπιση ∆xταχύτητα ή υ

χρονική διάρκεια ∆t= =

Η µετατόπιση είναι διανυσµατικό µέγεθος, οπότε και το

πηλίκο της µετατόπισης προς το χρόνο δηλ. η ταχύτητα,

είναι επίσης διανυσµατικό µέγεθος.

• Η κατεύθυνση της ταχύτητας (διεύθυνση και φορά) είναι

ίδια µε την κατεύθυνση της µετατόπισης του κινητού.

• Το µέτρο της θα µας δίνεται από το πηλίκο του µέτρου της

µετατόπισης προς το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα (∆t)

µέσα στο οποίο πραγµατοποίησε την µετατόπιση αυτή.

• Μονάδες µέτρησης στο S.I. θα είναι το 1m/s, επειδή τη

µετατόπιση τη µετράµε σε µέτρα(m) και το χρόνο σε (s).

Άλλες µονάδες µέτρησης θα είναι: km/h, cm/s,km/s κ.τ.λ.

ÂéâëéïìÜèçìá

2Ôá÷ýôçôá

Η ταχύτητα είναι

διανυσµατικό µέγεθος

Για να συγκρίνουµε τις ταχύτητες δύο κινούµενων σωµάτων θα πρέπει να έχουν

ίδιες µονάδες µέτρησης αλλιώς θα πρέπει να τις µετατρέψουµε εµείς για να τις συγ-

κρίνουµε.

24. Ταχύτητα

Έννοια µέσης αριθµη-

τικής ταχύτητας

Τι ονοµάζουµε µέση ταχύτητα;

Μέση (αριθµητική) ταχύτητα ενός κινητού ( µυ ),

ονοµάζεται το πηλίκο του διαστήµατος που διέτρεξε το

κινητό σε ορισµένη χρονική διάρκεια προς αυτή τη χρο-

νική διάρκεια.

( ) διάστηµα που διανύθηκεµέση αριθµητική ταχύτητα

χρονική διάρκεια=

ολ

µ

ολ

Sή υ

t=

• Η Μέση (αριθµητική) ταχύτητα χρησιµοποιείται επί το

πλείστον στην καθηµερινή µας ζωή , και µας δείχνει πόσο

γρήγορα διαγράφει ένα κινητό µια τροχιά ανεξάρτητα από

το είδος της (ευθύγραµµη, κυκλική κ.τ.λ.)

παράδειγµα:

Ένα αυτοκίνητο καλύπτει την διαδροµή Κόρινθο-Αθήνα

σε t 1,5h= . Η διαδροµή είναι s 120km= και δεν είναι ευ-

θύγραµµη οπότε η µέση αριθµητική ταχύτητα θα είναι :

ολ

µ

ολ

S 120kmυ 80km / h

t 1,5h= = =

Τι ονοµάζεται µέση διανυσµατική ταχύτητα;

Μέση διανυσµατική ταχύτητα ενός κινητού (µ

υ

), ο-

νοµάζεται το πηλίκο της µετατόπισης ( ολ∆x

) του κινητού

σε ορισµένη χρονική διάρκεια ( ολ∆t ), προς αυτή την χρονι-

κή διάρκεια ( ολ∆t ).

Προσοχή!

Η Μέση (αριθµητική)

ταχύτητα είναι µονόµε-

τρο µέγεθος και έχει

τιµή πάντα θετική και

µονάδες µέτρησης στο

S.I. το m/s.

• Η Μέση (αριθµητική) ταχύτητα σε ένα χρονικό διάστηµα µας εκφράζει την

κατά µέσο όρο ταχύτητα µε την οποία κινείται ένα κινητό σε ορισµένη χρονική διάρκεια.

• Η Μέση (αριθµητική) ταχύτητα για ένα κινούµενο σώµα σε ορισµένο χρονικό

διάστηµα ∆t είναι ίση µε τη σταθερή ταχύτητα που θα έπρεπε να είχε το κινητό για να

διέτρεχε την ίδια απόσταση στο ίδιο χρονικό διάστηµα ∆t.

25.Ταχύτητα

Έννοια στιγµιαίας

ταχύτητας

( ) ολική µετατόπισηµέση διανυσµατική ταχύτητα

ολική χρονική διάρκεια=

2 1ολµµ

ολ 2 1

∆x ∆x x xυ ή υ

∆t ∆t t t

−= = =−

Στην φυσική όταν λέµε µέση ταχύτητα (συνήθως) θα εν-

νοούµε την µέση διανυσµατική ταχύτητα ενώ στην καθη-

µερινή µας ζωή εννοούµε την µέση αριθµητική ταχύτητα.

Τι ονοµάζουµε στιγµιαία ταχύτητα;

Στιγµιαία ταχύτητα ονοµάζουµε την ταχύτητα που

έχει ένα κινητό σε µια συγκεκριµένη χρονική στιγµή. Π.χ

είναι η ταχύτητα που δείχνει το ταχύµετρο ενός αυτοκινήτου.

Είναι διανυσµατικό µέγεθος και έχει ίδια κατεύθυνση µε

την µετατόπιση ∆x

ενώ το µέτρο της υπολογίζεται από το

πηλίκο ∆x

∆t

.

Είναι δυνατόν το µέτρο της ταχύτητας να είναι στα-

θερό αλλά η κατεύθυνση , δηλ. η διανυσµατική ταχύτητα

να µεταβάλλεται;

Αυτό είναι δυνατόν να συµβαίνει για ένα σώµα που

εκτελεί µια γενικά καµπυλόγραµµη κίνηση π.χ. κυκλική

όπου όµως το µέτρο της ταχύτητας ∆x

∆t

παραµένει σταθε-

ρό ενώ αλλάζει διαρκώς η κατεύθυνση της.

Ένα είδος τέτοιας κίνησης είναι και η οµαλή κυκλική κίνη-

ση όπου το κινητό κινείται πάνω σε µια κυκλική τροχιά και

σε ίσους χρόνους διανύει τόξα ίσου µήκους.

Παράδειγµατα τέτοιας κίνησης είναι, η κίνηση ενός αθλη-

τή των 10km σε ένα στάδιο, η κίνηση του άκρου ενός δείκτη

κάποιου ρολογιού κ.τ.λ.

Κίνηση αντικειµένου

µε σταθερή (κατά

µέτρο) ταχύτητα

Προσοχή!

• H µέση διανυσµατική

ταχύτητα έχει µέτρο που

µας δίνεται από το πη-

λίκο του µέτρου της µε-

τατόπισης προς την

χρονική διάρκεια κίνη-

σης (∆t) και

• Κατεύθυνση ίδια µε

την κατεύθυνση της µε-

τατόπισης ∆x.


Πώς σχεδιάζουµε ένα διάγραµµα π.χ. x · t

α. Καθορίζουµε τις τιµές σε πίνακα. Για παράδειγµα

β. Επιλέγουµε τους άξονες. Στη φυσική, συνήθως ο

χρόνος είναι στον άξονα xx΄, οπότε το άλλο µέγε-

θος θα είναι στον yy΄.

γ. Επιλέγουµε κλίµακα και αντιστοιχού-

µε διαδοχικά ανά ένα cm (1, 2, 3, 4) ή

ανά πέντε (0, 5, 10, 15) κάθε ένα cm

σε κάθε άξονα.

δ. Σχεδιάζουµε τα ζεύγη των σηµείων

(x, t) που έχουµε από τον πίνακα.

ε. Ενώνουµε τα σηµεία κάνοντας το διάγραµµα x – t.

x(m)

t(s)

20

0 1 2 3 4 5

20 20 20 20 20

0 2 31 4 5 t(s)

t(s)0 10 155 20 25

0

2

3

1

4

x(cm)

0

20

30

10

40

x(cm)

0 2 31 4 5

2030

10

40

t(s)

x(m)

x

t

1. Η ταχύτητα έχει µέτρο ∆x

υ∆t

= και κατεύθυνση ίδια µε της µετα-

τόπισης.

2. Οι ταχύτητες συγκρίνονται µόνο αν έχουν ίδιες µονάδες µέτρησης

3. Εφαρµογή στις ασκήσεις έχει η µέση διανυσµατική ταχύτητα.

4. Σταθερή ταχύτητα έχουµε αν το µέτρο της είναι σταθερό και η κατεύθυνσή της δεν αλλάζει.

5. Η µέση αριθµητική µονόµετρη ταχύτητα είναι πάντα θετική ολ

ολ

Sυ

t= .

27.Ταχύτητα

Ποιά είναι η σχέση µεταξύ των µέτρων των ταχυτήτων του 1m/s και 1Km/h;

Λύση

1km 3600 km10001m / s 3,6 km / h

1 1000 hh3600

= = = , 1000m 10

1Κm / h 1 m / s3600s 36

= =

∆ηλ. το 1m/s είναι µεγαλύτερη µονάδα µέτρησης από το 1km/h.

Τρία κινούµενα σώµατα έχουν ταχύτητες = =1 2υ 20m / s , υ 50km / h και

=3υ 5000cm / min . Ποιό από τα τρία κινούµενα σώµατα έχει τη µεγαλύτερη σε

τιµή ταχύτητα;

Λύση

Για να απαντήσουµε θα πρέπει να µετατρέψουµε και τις τρεις ταχύτητες σε ίδιες µονά-

δες µέτρησης, π.χ. σε km/h.

Το πρώτο κινητό έχει: 1

20km 72000km1000υ 20m / s 72km / h

1 1000 hh3600

= = = =

Το δεύτερο κινητό έχει: 2υ 50 km / h=

Το τρίτο κινητό έχει: 3

50km 3000km1000υ 5000cm / min 50m / min 3km / h

1 1000hh60

= = = = =

Άρα το πρώτο κινητό κινείται µε µεγαλύτερη ταχύτητα.


Ένα σηµειακό αντικείµενο κινείται στον άξονα τον x΄ox και τη χρονική στιγµή 1t = 3s

βρίσκεται στο σηµείο Α µε συντεταγµένη −Α

x = 13m ενώ την χρονική στιγµή

2t = 7s βρίσκεται στο σηµείο Β µε συντεταγµένη = +Bx 19m . Να βρείτε τη µέση

διανυσµατική και τη µέση µονόµετρη ταχύτητα του σηµειακού αντικειµένου.

Λύση

Γνωρίζουµε ότι η µέση διανυσµατική η ταχύτητα ορίζεται από την σχέση: ( )∆xυ 1

∆t=

Η µετατόπιση είναι: ( ) ( ) ( )τελ αρχ B A∆x x x x x 19m 13m 32m 2= − = − = + − − = +

Η χρονική διάρκεια της µετατόπισης είναι: ( )τελ αρχ 2 1∆t t t t t 7s 3s 4s 3= − = − = − =

Έτσι η ( ) ( ) ( )2 , 3 32m1 υ υ 8m / s

4s

+ → = ⇒ = + όπου το πρόσηµο (+) σηµαίνει ότι το αντι-

κείµενο κινήθηκε προς την θετική φορά του άξονα.

Η µέση αριθµητική µονόµετρη ταχύτητα ορίζεται από την σχέση: ( )ολ

µ

oλ

sυ 4

t=

Όµως η απόσταση µας δίνεται από την σχέση:

( )B AS ∆x x x 32m 5= = − =

Έτσι η ( ) ( ) ( )5 , 3µ µ

32m4 υ υ 8m / s

4s → = ⇒ =

Ένα σηµειακό αντικείµενο ξεκινάει από την αρχή του άξονα Ο, φθάνει στο Α µε

συντεταγµένη = +Α

x 10m και επιστρέφει στο Β µε συντεταγµένη = +Β

x 4m σε-

χρονικό διάστηµα =∆t 4s . Να βρείτε την µέση διανυσµατική και τη µέση αριθµη-

τική µονόµετρη ταχύτητα του σηµειακού αντικειµένου

Λύση

Γνωρίζουµε ότι η µέση διανυσµατική ταχύτητα ορίζεται

από την σχέση: ( )∆xυ 1

∆t=

Η µετατόπιση του σηµειακού αντικειµένου είναι:

( ) ( ) ( )τελ αρχ B O∆x x x x x 4m 0m 4m 2= − = − = + − = +

Η χρονική διάρκεια της µετατόπισης είναι: ( )∆t 4s 3=

x´ xO

ÄxÂÁ

-13 0 +19

S

0 2 4 6 8 10-2-4

Äx

OA

B

29.Ταχύτητα

Έτσι η ( ) ( ) ( )2 , 3 4m1 υ υ 1m / s

4s

+ → = ⇒ = + όπου το πρόσηµο (+) σηµαίνει ότι το αντι-

κείµενο κινήθηκε προς την θετική φορά του άξονα.

Η µέση µονόµετρη ταχύτητα ορίζεται από την σχέση: ( )ολ

µ

oλ

sυ 4

t=

Το διάστηµα που κάλυψε το σηµειακό αντικείµενο είναι ίσο µε την απόσταση ΟΑ και

ΑΒ άρα:

( ) ( ) ( )( )

OA AB A O B AS d d x x x x 10m 0m 4m 10m

10m 6m 16m 5

= + = − + − = + − + + − + =

= + =

Έτσι η ( ) ( ) ( )5 , 3µ µ

16m4 υ υ 4m / s

4s

+ → = ⇒ = + .

Ένα υλικό σηµείο ξεκινάει από την αρχή του άξονα Ο τη χρονική στιγµή =1t 3s ,

φθάνει στο Α µε συντεταγµένη = +Α

x 10m και επιστρέφει στο Ο τη χρονική στιγµή

=2t 8s . Να βρείτε την µέση διανυσµατική και τη µέση µονόµετρη ταχύτητα του

υλικού σηµείου.

Λύση

Γνωρίζουµε ότι η µέση διανυσµατική ταχύτητα ορίζεται

από την σχέση: ( )∆xυ 1

∆t=

Η µετατόπιση του υλικού σηµείου είναι:

( ) ( ) ( )τελ αρχ Ο O∆x x x x x 0m 0m 0m 2= − = − = − =

Η χρονική διάρκεια της µετατόπισης είναι: ( )τελ αρχ 2 1∆t t t t t 5s 3= − = − =

Έτσι η ( ) ( ) ( )2 , 3 0m1 υ υ 0m / s

4s → = ⇒ = , επειδή ξεκίνησε και κατέληξε στο ίδιο σηµείο.

Η µέση µονόµετρη ταχύτητα ορίζεται από την σχέση: ( )ολ

µ

oλ

sυ 4

t=

Το διάστηµα που κάλυψε το υλικό σηµείο είναι ίσο µε την απόσταση ΟΑ και ΑΟ άρα:

( ) ( ) ( )( )

OA AΟ A O Ο AS d d x x x x 10m 0m 0m 10m

10m 10m 20m 5

= + = − + − = + − + − + =

= + =

Έτσι η ( ) ( ) ( )5 , 3µ µ

20m4 υ υ 4m / s

5s → = ⇒ = .

0 2 4 6 8 10-2-4

OA

B


ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

1. Τι ονοµάζεται µέση ταχύτητα; Να γραφεί η µαθηµατική της έκφραση. Τι εκφράζει το

µέτρο και τι η κατεύθυνση της ταχύτητας;

Επιλέξτε την σωστή απάντηση:

2. Η έκφραση 2 m/s σηµαίνει ότι:

α. η ταχύτητα του κινητού µεταβάλλεται κατά δύο µέτρα κάθε δευτερόλεπτο

β. η θέση του κινητού αλλάζει κατά ένα µέτρο κάθε δύο δευτερόλεπτα

γ. η θέση του κινητού αλλάζει κατά δύο µέτρα κάθε ένα δευτερόλεπτο

δ. τίποτα από τα παραπάνω

3. Η ταχύτητα ενός κινητού είναι –4 m/s. Το µέτρο της µετατόπισης του σώµατος είναι:

α. θετικό

β. αρνητικό

γ. θετικό ή αρνητικό

δ. εξαρτάται από την αρχική θέση του αντικειµένου

4. Η ταχύτητα ενός κινητού είναι 4 m / s− , αυτό σηµαίνει ότι το κινητό κινείται στον :

α. θετικό ηµιάξονα

β. αρνητικό ηµιάξονα

γ. θετικό ή αρνητικό εξαρτάται από την αρχική θέση του αντικειµένου

δ. δεν µπορώ να απαντήσω

Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ).

5. Η ταχύτητα µέτρου 36km/h είναι ίση µε τη ταχύτητα µέτρου 5m/s

6. Το ταχύµετρο ενός αυτοκινήτου δείχνει πάντα τη στιγµιαία ταχύτητα.

7. Το µέτρο της ταχύτητας µας δείχνει την κατεύθυνση της κίνησης

Να συµπληρωθούν τα κενά στην παρακάτω πρόταση:

8. Η.………ταχύτητα δείχνει πόσο γρήγορα µετατοπίζεται το σώµα µια ορισµένη χρονι-

κή διάρκεια και προς ποια ………. κινείται.

31.Ταχύτητα

1. ∆ύο κινούµενα σώµατα έχουν ταχύτητες 1υ 30m / s= και 2υ 40Km / h= . Ποιο από

τα δύο κινούµενα σώµατα έχει ταχύτητα µε µεγαλύτερο µέτρο;

2. Ένα σηµειακό αντικείµενο κινείται στον άξονα x΄ox και τη χρονική στιγµή 1t 5s=

βρίσκεται στο σηµείο Α µε συντεταγµένη Ax 3m= − , ενώ τη χρονική στιγµή 2t 9s=

βρίσκεται στο σηµείο Β µε συντεταγµένη Bx 19m= − . Να βρείτε την µέση διανυσµα-

τική και τη µέση µονόµετρη ταχύτητα του σηµειακού αντικειµένου.

3. Ένα υλικό σηµείο ξεκινάει από την αρχή του άξονα Ο, φθάνει στο Α µε συντεταγµέ-

νη Αx 10m= + και επιστρέφει στο Β µε συντεταγµένη Βx 6m= − σε χρονικό διάστη-

µα ∆t 2s= . Να βρείτε την µέση διανυσµατική και τη µέση µονόµετρη ταχύτητα του


4. Ένα σηµειακό αντικείµενο ξεκινάει από την αρχή του άξονα Ο, φθάνει στο Α µε

συντεταγµένη Αx 8m= + και επιστρέφει στο Β µε συντεταγµένη Βx 1m= + σε χρο-

νικό διάστηµα ∆t 7s= . Να βρείτε την µέση διανυσµατική και τη µέση µονόµετρη

ταχύτητα του σηµειακού αντικειµένου.

5. Ένα υλικό σηµείο ξεκινάει από την αρχή του άξονα Ο τη χρονική στιγµή 1t 0s= ,

φθάνει στο Α µε συντεταγµένη Αx 20m= + και επιστρέφει στο Ο τη χρονική στιγµή

2t 10s= . Να βρείτε την µέση διανυσµατική και τη µέση µονόµετρη ταχύτητα του



Ερώτηση 1Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις µε (Σ) αν είναι σωστές και (Λ) αν είναι

λανθασµένες:

α. Η µέση αριθµητική ταχύτητα έχει πάντα θετικό µέτρο.

β. Η ταχύτητα είναι µονόµετρο µέγεθος.

γ. Η µέση διανυσµατική ταχύτητα είναι πάντα ίση µε την µέση αριθµητική ταχύτητα.

Ερώτηση 2Τι καλείται ταχύτητα και ποια η µαθηµατική της έκφραση; Ποιές οι µονάδες

µετρησής της στο S.I;

Ερώτηση 3

Tι εκφράζει η µέση αριθµητική ταχύτητα ( )µu και ποιά η µαθηµατική της έκφραση;

Άσκηση 1

Ένα σωµατίδιο που κινείται κατά µήκος του άξονα x΄Ox τη χρονική στιγµή

1t 0sec= βρίσκεται στην αρχή Ο του άξονα ( )1x 0= . Τη χρονική στιγµή 2t 5s= το

σωµατίδιο βρίσκεται στο σηµείο Α του άξονα µε συντεταγµένη 2x 1,8m= + και τη

χρονική στιγµή 3t 10s= βρίσκεται στο σηµείο Β µε συντεταγµένη 3x 1m= + . Να

υπολογίσετε τις µέσες ταχύτητες του σωµατιδίου κατά τις µετακινήσεις:

α. Από το Ο µέχρι το Α β. Από το Α µέχρι το Β γ. Από το Ο µέχρι το Β

Άσκηση 2

Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την αρχή του άξονα Ο την χρονική στιγµή 1t 0s= και

την χρονική στιγµή 2t 4s= φτάνει στην θέση x 12m= + . Στην συνέχεια επιστρέφει

στο σηµείο Ο την χρονική στιγµή 3t 8s= .

α. Να βρείτε την µέση διανυσµατική ταχύτητα και την µέση αριθµητική ταχύτητα για

τα πρώτα 4s της κίνησής του.

β. Να υπολογιστεί η µέση διανυσµατική και η µέση αριθµητική ταχύτητα για το

χρονικό διάστηµα ∆t 8s= .

Ποια ονοµάζεται ευθύγραµµη κίνηση;

Ευθύγραµµη κίνηση ονοµάζεται η κίνηση που γίνε-

ται πάνω σε µια ευθεία γραµµή.

Ποια ονοµάζεται ευθύγραµµη οµαλή κίνηση;

Ευθύγραµµη οµαλή

κίνηση ονοµάζουµε την κίνη-

ση που εκτελεί ένα σώµα

όπου η ταχύτητα του είναι

σταθερή υ σταθ.=

κατά µέ-

τρο, διεύθυνση και φορά, δηλ. θα ονοµάζουµε την κίνηση

που εκτελεί ένα κινητό πάνω σε µια ευθεία γραµµή και σε

ίσους χρόνους διανύει ίσες µετατοπίσεις.

Ποια σχέση συνδέει την µέση διανυσµατική ταχύ-

τητα και την στιγµιαία στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση;

Η µέση διανυσµατική ταχύτητα ορίζεται:

( )2 1oλµµ µ

ολ 2 1

∆x ∆x x xυ ή υ ή υ σταθ. 1

∆t ∆t t t

−= = = =−

Η στιγµιαία ταχύτητα ορίζεται:

2 1

στιγµ

2 1

∆x ∆x x xυ σταθ.

∆t ∆t t t

−= = = =−

(2), αν ∆t γίνει πολύ µικρό.

Όµως είπαµε ότι στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η ταχύτη-

τα του κινητού είναι υ σταθ.= σε κάθε χρονική στιγµή άρα


3Åõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóçÅõèýãñáììç ïìáëÞ êßíçóç

BA Ã

Äx = 50m Äx = 50m

x = υ · t

x

Εάν είναι άγνωστη η

ταχύτητα υ:

x

xυ =

t

Εάν είναι άγνωστος ο

χρόνος t:

x

xt =

υ

34. Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

από τις σχέσεις (1) και (2) η στιγµιαία και η µέση διανυ-

σµατική ταχύτητα συµπίπτουν.

Αν για το υλικό σηµείο που εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

θεωρήσουµε τη χρονική στιγµή 1t 0= ότι βρίσκεται στη θέση

1x 0= (αρχή του άξονα των συντεταγµένων), τότε η χρονική στιγ-

µή 2t t= θα είναι µια τυχαία χρονική στιγµή µετά από την έναρξη

και η θέση 2x x= θα είναι µια τυχαία θέση τη χρονική στιγµή t.

Έτσι από την (1) θέτοντας 2 2x x , t t= = και 1 1x 0 , t 0= =

θα έχουµε: x

υ σταθ.t

= = (3) ή και x υ t= ⋅ (4).

Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η µέση διανυσµατική ταχύτητα, η µέση αριθ-

µητική ταχύτητα και η στιγµιαία ταχύτητα συµπίπτουν (κατά µέτρο).

Ποιοι είναι οι νόµοι της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης.

Α. Νόµος της ταχύτητας ( )υ = σταθ.

Η ταχύτητα για ένα κινητό που εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή

κίνηση είναι µια σταθερή ποσότητα σε σχέση µε το χρόνο

(δηλ. υ σταθ.=

), άρα το διάγραµµα της ταχύτητα σε σχέ-

ση µε το χρόνο θα είναι µια ευθεία γραµµή παράλληλη προς

τον άξονα του χρόνου.

B. Νόµος της µετατόπισης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνη-

ση: ⋅ ⋅∆x = υ ∆t ή x = υ t

Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η µετατόπιση είναι ανάλο-

γη µε τη χρονική διάρκεια κίνησης του κινητού (δηλ.

∆x υ ∆t ή x υ t= ⋅ = ⋅ ) άρα το διάγραµµα της µετατόπι-

σης σε σχέση µε το χρόνο θα είναι µια ευθεία γραµµή που

θα περνάει από την αρχή των αξόνων.

Να αναφέρετε τι πληροφορίες µπορούµε να πάρου-

µε από το διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου.

Από τη µελέτη ενός διαγράµµατος ταχύτητας χρό-

Γραφική παράσταση θέσης

- χρόνου στην ευθύγραµµη

οµαλή κίνηση.

Ä Þx x(m)

t(s)

Το διάστηµα S είναι ίσο

µε την µετατόπιση ∆x

στην ευθύγραµµη οµα-

λή κίνηση. Εαν ∆x = x

και ∆t = t τότε S = x.

Παρατήρηση!

Γραφική παράσταση ταχύ-

τητας – χρόνου στην ευθύ-

γραµµη οµαλή κίνηση.

õ ( )m

t(s)

35.Ευθύγραµµη οµαλή κίνηση

Υπολογισµός µετατόπι-

σης ∆x από διάγραµµα

υ - t

νου το πρώτο πράγµα που πληροφορούµαστε είναι για το τι

είδος κίνηση κάνει το κινητό.

Το ποιο σηµαντικό είναι ότι από ένα διάγραµµα ταχύτη-

τας- χρόνου µπορούµε να υπολογίσουµε τη µετατόπιση του

κινητού σε ορισµένο χρονικό διάστηµα. Αν έχουµε ένα σώµα

που εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση τότε το διάγραµµα

ταχύτητας - χρόνου θα είναι αυτό που βλέπουµε δίπλα. Πα-

ρατηρούµε ότι το εµβαδόν της σκιασµένης επιφάνειας θα

είναι: ( ) ( )OABΓE ΟΑ ΟΓ υ ∆t ∆x= ⋅ = ⋅ = (αριθµητικά).


µε από το διάγραµµα θέσης-χρόνου.

Από τη µελέτη ενός διαγράµµατος θέσης - χρόνου

το πρώτο πράγµα που πληροφορούµαστε είναι για το τι εί-

δος κίνηση κάνει το κινητό. Το ποιο σηµαντικό είναι ότι

από ένα διάγραµµα θέσης- χρόνου µπορούµε να υπολογί-

σουµε την ταχύτητα του κινητού. Αν έχουµε ένα σώµα που

εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση τότε το διάγραµµα θέ-

σης- χρόνου θα είναι αυτό που βλέπουµε δίπλα. Στο διπλα-

νό διάγραµµα θέσης – χρόνου η µετατόπιση υπολογίζεται

από την κατακόρυφη απόσταση µεταξύ δύο σηµείων. Το

χρονικό διάστηµα θα είναι ίσο µε την οριζόντια απόσταση.

Ο λόγος της κατακόρυφης απόστασης προς την οριζόντια

απόσταση δύο σηµείων ονοµάζεται κλίση της γραµµής. Έτσι

θα έχουµε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ότι:

κατακόρυφη απόσταση ∆xεφφ κλίση ευθείας υ

οριζόντια απόσταση ∆t= = = =

Επιβεβαιώνουµε λοιπόν ότι η κλίση της ευθείας στο διάγραµ-

µα θέσης - χρόνου ισούται µε την ταχύτητα του κινητού.

Γενικά όταν έχουµε ένα διάγραµµα ταχύτητας- χρόνου, το εµβαδόν της επιφά-

νειας µεταξύ της γραµµής που παριστάνει τη ταχύτητα και του άξονα του χρόνου,

δίνει τη µετατόπιση στο αντίστοιχο χρονικό διάστηµα, ανεξάρτητα αν η κίνηση είναι

ευθύγραµµη οµαλή ή όχι.

Υπολογισµός ταχύτητας

υ από διάγραµµα x - t

õ (m/s)

t (s)

E = xÄ

A B

ÃÄt0

õ

H κλίση της ευθείας στο

διάγραµµα θέσης - χρό-

νου ισούται µε την ταχύ-

τητα του κινητού.

εφφ = υ

x m)(

t (s)

x1

A

Ã

t10

x2

ö

t2

Ät

ö

Äx

2 1 2 1∆x x x , ∆t t t= − = −


1. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση:

α. η ταχύτητα παραµένει σταθερή κατά µέτρο, διεύθυνση και φορά

β. το διάστηµα S που διανύει το κινητό ταυτίζεται µε την απόλυτη τιµή

της µετατόπισης ( )∆x

γ. το κινητό σε ίσους χρόνους διανύει ίσα διαστήµατα

δ. η µέση αριθµητική, η µέση διανυσµατική και η στιγµιαία ταχύτητα (κατά µέτρο)

συµπίπτουν

ε. το διάστηµα S που διανύει το κινητό είναι ανάλογο του χρόνου κίνησης

2. Το εµβαδό που περικλείεται από την γραφική παράσταση της ταχύτητας και του

άξονα του χρόνου (στο διάγραµµα υ - t) µας δίνει αριθµητικά την τιµή της µετατόπι-

σης ∆x για το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα ∆t.

3. Η κλίση της ευθείας, στο διάγραµµα θέσης - χρόνου µας δίνει την ταχύτητα του

κινητού, δηλαδή εφφ υ κλίση ευθείας= =

Αν σε διάγραµµα x - t παρουσιάζονται οι ευθείες δύο

κινητών που εκτελούν ευθύγραµµη οµαλή κίνηση τότε µε-

γαλύτερη ταχύτητα έχει το κινητό του οποίου η ευθεία σχη-

µατίζει µεγαλύτερη γωνία µε τον άξονα των χρόνων t.

Στο διπλανό σχήµα µεγαλύτερη ταχύτητα έχει το σώµα Α

διότι θ > φ.

x(m)

t(sec)

A

B

xA

xB

0 t1

è ö


Ένα υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε ταχύτητα υ = 50m/s . Τη

χρονική στιγµή 0t = 0 που αρχίζουµε να το µελετάµε το υλικό σηµείο βρίσκεται

στην αρχή του άξονα των συντεταγµένων x΄ox.

α. Να βρείτε την θέση 1x του υλικού σηµείου την χρονική στιγµή 1t = 4s

β. Να βρείτε ποια χρονική στιγµή 2t θα βρεθεί στη θέση 2x = 600m

γ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις ταχύτητας – χρόνου και θέσης – χρόνου για το

υλικό σηµείο.

Λύση

α. Εφόσον το υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση θα ισχύει η σχέση

( )⋅x = υ t 1

Από την (1) για 1t t= το 1x x= άρα 1 1 1 1

mx υ t x 50 4s x 200m

s= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ = .

β. Από την (1) όταν 2x x= τότε 2t t= άρα 22 2 2 2 2

x 600x υ t t t s t 12s

υ 50= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =

γ. Η γραφική παράσταση της ταχύτητας – χρόνου είναι µια ευθεία παράλληλη στον

άξονα του χρόνου, ενώ η γραφική παράσταση θέσης – χρόνου θα είναι µια ευθεία

που περνάει από την αρχή των αξόνων.

0 4 8 12

25

50

õ (m/s)

t s)(0 4 8 12

200

600

x m)(

t s)(

Παρατήρηση:

Για να σχεδιάσουµε την γραφική παράσταση θέσης - χρόνου (x - t) στην ευθύγραµµη οµαλή

κίνηση αρκεί να βρούµε σε δύο χρονικές στιγµές τις αντίστοιχες θέσεις του σώµατος.


Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση σε άξονα x΄ox µε ταχύτητα −υ = 10m/s

και τη χρονική στιγµή που αρχίζουµε να το µελετάµε ( )1t = 0s περνάει από την

θέση 1x = +20m .

α. Να βρείτε σε ποια θέση 2x θα βρίσκεται την χρονική στιγµή 2t = 4sβ. Ποια χρονική στιγµή 3t θα περάσει από την θέση 3x = 0γ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις ταχύτητας - χρόνου και θέσης - χρόνου.

Λύση

α. Εφόσον το κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση θα ισχύει:

( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 2 1

2 1

x xυ x x υ t t x x υ t t

t t

−= ⇒ − = ⋅ − ⇒ = + ⋅ − ⇒

−

( )2 2x 20m 10m / s 4 0 s x 20m 40m 2x = –20m⇒ = − − ⇒ = − ⇒

β. Επίσης 3 1 3 1 3 13 1 3 1

3 1

x x x x x xυ t t t t

t t υ υ

− − −= ⇒ − = ⇒ = + ⇒

−

( )

3

0 20mt 0

10m / s 3t = 2s− +

⇒ = + ⇒−

γ. Η γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου θα είναι

µια ευθεία παράλληλη στον άξονα του χρόνου. Θα

είναι κάτω από τον άξονα του χρόνου επειδή η ταχύ-

τητα είναι αρνητική.

Για να κάνουµε τη γραφική παράσταση της θέσης –

χρόνου αρκούν δύο σηµεία π.χ. ( )1 1x , t και ( )2 2x , t .

Αν τα ενώσουµε η ευθεία αυτή θα είναι η γραφική

παράσταση της θέσης σε σχέση µε το χρόνο.

∆ύο πεζοπόροι κινούνται στον ίδιο ευθύ δρόµο, µε ταχύτητες που έχουν µέτρα

1υ = 5m/s και 2υ = 3m/s , ενώ βρίσκονται στα σηµεία Α και Β αντίστοιχα που απέ-

χουν µεταξύ τους απόσταση ABd = 12m .

Να βρείτε πότε και που από το σηµείο Α θα συναντηθούν οι δύο πεζοπόροι

α. Αν κινούνται µε την ίδια φορά.

β. Αν κινούνται µε αντίθετη φορά δηλ. ο 1Π πηγαίνει προς τον 2Π .

01 4

10

õ (m/s)

t s)(

-10

02 4

20

x m)(

t s)(

-20


Λύση

α. Παίρνουµε την ευθεία πάνω στην οποία θα κινηθούν οι πεζοπόροι και τοποθετούµε

τα σηµεία Α και Β που βρίσκονται αρχικά.

Υποθέτουµε ότι θα συναντηθούν στο σηµείο Γ κάποια χρονική στιγµή Σt t= δηλ. ο πεζοπόρος

1Π

θα έχει φθάσει τον πεζοπόρο 2Π . Τότε ο 1Π θα έχει διανύσει µια µετατόπιση 1∆x ενώ ο

2Π µια µετατόπιση 2∆x . Η σχέση που συνδέει τις µετατοπίσεις είναι ( )1 2∆x = d +∆x 1 .

Ο 1Π εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, άρα ( )1 1 Σ∆x υ t 2= ⋅

Ο 2Π εκτελεί οµοίως ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, άρα ( )2 2 Σ∆x υ t 3= ⋅

Άρα η ( ) ( ) ( ) ( )2 , 31 Σ 2 Σ 1 2 Σ

1 υ t d υ t υ υ t d → ⋅ = + ⋅ ⇒ − ⋅ = ⇒

( )Σ Σ

1 2

d 12t t s

υ υ 5 3Σ

t = 6s⇒ = ⇒ = ⇒− −

Και η απόσταση από το σηµείο Α θα είναι όσο είναι το 1∆x δηλ. από την (2) θα έχουµε:

1 1 Σ∆x υ t 5m / s 6s 30m= ⋅ = ⋅ = . Άρα θα συναντηθούν σε 6s σε απόσταση 30m από το σηµείο Α.

β. Αν κινούνται αντίθετα τότε έστω ότι θα συναντηθούν στο ∆ τη χρονική στιγµή Σt

(A) (B) (Ã)Äx2

Äx1

Ð1 Ð2 Ð1 Ð2

õ1 õ2

(d)

(A) (Ä) (Â)(Äx )2

d

Ð1 Ð2Ð1 Ð2

õ1 õ2

(Äx )1


Η σχέση που συνδέει τις µετατοπίσεις θα είναι: ( )1 2d = ∆x + ∆x 1

Όµως αφού οι 1Π και 2Π εκτελούν ευθύγραµµη οµαλή κίνηση θα ισχύει ότι:

( )1 1 Σ∆x υ t 2= ⋅ και ( )2 2 Σ∆x υ t 3= ⋅ .

Άρα η ( ) ( ) ( )

( )2 , 3

1 Σ 2 Σ Σ Σ

1 2

d 121 d υ t υ t t t s

υ υ 5 3Σ

t = 1,5s → = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒+ +

και θα συναντηθούν σε απόσταση από το Α ίση µε το 1∆x .

Άρα από την (2): 1∆x 5m / s 1,5s 7,5m= ⋅ =

Ένα κινητό κινείται ευθύγραµµα και διανύει ορισµένη απόσταση σε ορισµένο

χρόνο. Κατά τη διάρκεια του µισού χρόνου κίνησης το κινητό κινείται µε ταχύ-

τητα 1υ = 60m/s και κατά τη διάρκεια του υπολοίπου µισού χρόνου κίνησης το

κινητό κινείται µε ταχύτητα 2υ = 100m/s . Αν η συνολική διάρκεια κίνησης εί-

ναι t = 4s να υπολογισθούν:

α. Οι αποστάσεις που διάνυσε το κινητό στο πρώτο και στο δεύτερο µισό της συνο-

λικής διάρκειας

β. η συνολική απόσταση

γ.η µέση ταχύτητα σε όλη τη διαδροµή.

Λύση

α. Ας θεωρήσουµε σαν S το συνολικό διάστηµα που

κάλυψε το κινητό στη χρονική διάρκεια t και 1S και

2S οι αποστάσεις που κάλυψε στο πρώτο µισό και

στο δεύτερο µισό αντίστοιχα της συνολικής χρονι-

κής διάρκειας τότε θα ισχύει:

( )1 2t t t / 2 2s 1= = = και ( )1 2S S S 2= + . Εφόσον το κινητό κινείται µε σταθερή

ταχύτητα 1υ και 2υ στα αντίστοιχα χρονικά διαστήµατα 1t και 2t τότε τα 1S και 2S

υπολογίζονται από τις εξισώσεις:

( )1 1 1S υ t 60m / s 2s 120m 3= ⋅ = ⋅ = ( )2 2 2S υ t 100m / s 2s 200m 4= ⋅ = ⋅ =

β. Το συνολικό διάστηµα θα είναι: 1 2S S S 320 m= + =

γ. Η µέση ταχύτητα της συνολικής διαδροµής: µ

S 320mυ 80m / s

t 4s= = =


Πολλές φορές συµβολίζουµε την χρονική διάρκεια µε t αντί για ∆t. Αυτό θα γίνεται

αντιληπτό κάθε φορά από την εκφώνηση της άσκησης.

BA ÃS1 S2

S

t1 t2

tõ1 õ2


Ένα αυτοκίνητο κινείται σε ευθύ δρόµο και διανύει ορισµένο διάστηµα. Το αυτοκίνη-

το διανύει το µισό διάστηµα µε σταθερή ταχύτητα 1υ = 30m/s και το υπόλοιπο

διάστηµα µε σταθερή ταχύτητα 2υ = 70m/s . Αν το συνολικό διάστηµα είναι

S = 210m να υπολογισθούν:

α. η διάρκεια κίνησης που απαιτείται για να διανύσει το αυτοκίνητο το πρώτο µισό

του διαστήµατος, το δεύτερο µισό του διαστήµατος και το συνολικό διάστηµα,

β. η µέση ταχύτητα σ’ ολόκληρη τη διαδροµή.

Λύση

α. Θεωρούµε ότι S είναι το συνολικό διάστηµα,

1S S / 2= είναι το πρώτο µισό του διαστήµατος και

2S S / 2= είναι το δεύτερο µισό. Επίσης, θεωρούµε

ότι t είναι η συνολική διάρκεια κίνησης και 1t , 2t

είναι η διάρκεια κίνησης που απαιτείται για να διανύ-

σει τα διαστήµατα 1S και 2S αντίστοιχα.

Καθένα από τα διαστήµατα 1S και 2S είναι: ( )1 2S S S/ 2 105m 1= = =

Από τον ορισµό της µέσης ταχύτητας θα έχουµε:

( )1 11 1

1 1

S S 105υ t s 3,5s 2

t υ 30= ⇒ = = = ( )2 2

2 22 2

S S 105υ t s 1,5s 3

t υ 70= ⇒ = = =

η συνολική διάρκεια κίνησης: ( )1 2t t t 5s 4= + =

β. Η µέση ταχύτητα: µ

S 210mυ 42m / s

t 5s= = =

BA ÃS/2

S

t1t2

tõ1 õ2

S/2



1. Τι ονοµάζεται ευθύγραµµη οµαλή κίνηση;

2. Πώς από την εξίσωση ορισµού της µέσης ταχύτητας προκύπτει η εξίσωση της

θέσης στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση;

3. ∆ιατυπώστε το νόµο της ταχύτητας και να σχεδιάσετε το διάγραµµα (υ, t) στην

ευθύγραµµη οµαλή κίνηση.

4. ∆ιατυπώστε το νόµο της µετατόπισης και να σχεδιάσετε το διάγραµµα (x, t) στην

ευθύγραµµη οµαλή κίνηση.


5. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση:

α. η µετατόπιση του κινητού είναι µηδέν

β. η ταχύτητα του κινητού µεταβάλλεται ανάλογα µε το χρόνο

γ. το κινητό σε ίσους χρόνους διανύει ίσες µετατοπίσεις

δ. η θέση του κινητού παραµένει σταθερή

6. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η µετατόπιση ενός κινητού είναι:

α. ανάλογη µε το µέτρο της ταχύτητάς του και µε το χρόνο που κινήθηκε

β. ανάλογη µε τη τετραγωνική ρίζα του χρόνου που κινήθηκε

γ. αντιστρόφως ανάλογη µε το χρόνο που κινήθηκε

δ. ανάλογη µε το τετράγωνο του χρόνου που κινήθηκε


8. Όταν ένα κινητό παραµένει ακίνητο, η γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου

είναι µια ευθεία γραµµή παράλληλη στον άξονα των χρόνων.

9. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάστηµα και η µετατόπιση ταυτίζονται.

10. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η µέση και η στιγµιαία ταχύτητα ταυτίζονται.

11. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η γραφική παράσταση θέσης -χρόνου είναι µια

ευθεία γραµµή παράλληλη στον άξονα των χρόνων.

12. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το µέτρο της ταχύτητας του κινητού αυξάνεται.


13. Η κίνηση στην οποία η ταχύτητα παραµένει σταθερή και η µέση ταχύτητα του

σώµατος συµπίπτει µε τη στιγµιαία ταχύτητά του ονοµάζεται ………. ………….


1. Κινητό κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή ταχύτητα 72 km / h. Τη χρονική στιγµή

0t 0= βρίσκεται στην αρχή του άξονα x΄ox.

α. Να µετατρέψετε την ταχύτητα του κινητού σε m/s

β. Να γράψετε την εξίσωση που µας δίνει τη θέση του κινητού κάθε χρονική στιγµή.

γ. Πόσο θα µετατοπιστεί το κινητό σε t 60s= ;

δ. Σε πόσο χρόνο θα µετατοπιστεί 1∆x 1000m= ;

ε. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα θέσης - χρόνου και ταχύτητας - χρόνου.

2. Η εξίσωση που µας δίνει τη θέση ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα σε συνάρτη-

ση µε το χρόνο δίνεται από τη σχέση ( )x 5t S.I.= + .

α. Τι κίνηση κάνει το κινητό;

β. Ποια είναι η αρχική του θέση;

γ. Ποια είναι η ταχύτητά του;

δ. Πόσο µετατοπίζεται το κινητό από τη χρονική στιγµή 1t 10s= έως 2t 15s= ;

ε. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα θέσης – χρόνου και ταχύτητας- χρόνου.

3. Το διάγραµµα θέσης ενός σώµατος που κινείται πάνω στον άξονα x είναι στο διπλα-

νό διάγραµµα

α. Τι κίνηση κάνει το κινητό στα χρονικά διαστή-

µατα (0s έως 2s),(2s έως 4s),(4s έως 8s)

β. Να βρείτε την ταχύτητα του κινητού τις χρονι-

κές στιγµές 1t 1s= , 2t 3s= και 3t 5s=γ. Να γίνει το διάγραµµα της ταχύτητας σε σχέση

µε το χρόνο για το κινητό αυτό

δ. Να υπολογιστεί η µέση διανυσµατική και η µέση

µονόµετρη ταχύτητα του κινητού0 2 4 6 8

20

x(m)

t(s)


4. Το διάγραµµα ταχύτητας-χρόνου ενός σώµατος

που κινείται πάνω στον άξονα x είναι στο διπλανό

διάγραµµα

α. Τι κίνηση κάνει το κινητό

β. Ποια είναι µετατόπιση του κινητού από 0 έως 10s

γ. Ποια θα είναι η θέση του κινητού αν ξεκινάει

από την αρχή του άξονα και ποια αν ξεκινάει

από την θέση 0x 20m= + .

5. Ένα αυτοκίνητο θέλει να διανύσει την απόσταση Αθήνας – Κατερίνης σε χρόνο

t 5h= , ενώ η απόσταση είναι d 400km= . Aν τα πρώτα 100km τα καλύπτει µε ταχύ-

τητα 1υ 50km / h= , µε τι ταχύτητα θα πρέπει να διατρέξει την υπόλοιπη διαδροµή.

6. Ένα σώµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση, όπως

δηλώνουν τα στοιχεία του διπλανού πίνακα.

α. Να συµπληρωθεί ο πίνακας.

β. Να γίνουν τα διαγράµµατα ταχύτητας - χρόνου και

επιτάχυνσης - χρόνου.

0 4 8 12

8

õ(m/s)

t(s)

4

t (s)

0

2

5

15

õ (m/s) x (m)

0

8

40


Ερώτηση 1Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις µε (Σ) αν είναι σωστές και µε (Λ) αν

είναι λανθασµένες:

α. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση το διάστηµα είναι ίσο µε την απόλυτη τιµή της

µετατόπισης.

β. Η γραφική παράσταση της µετατόπισης ως προς τον χρόνο είναι µια ευθεία

γραµµή παράλληλη στον άξονα των χρόνων.

γ. Το εµβαδόν στο διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου δίνει την µετατόπιση του κινητού.

Ερώτηση 2Ποιά κίνηση λέγεται ευθύγραµµη οµαλή; Ποιά είναι η εξίσωση κίνησής της;

Ερώτηση 3Ποιοί είναι οι νόµοι της ευθύγραµµης οµαλής κίνησης; (να γίνουν τα αντίστοιχα

διαγράµµατα).

Άσκηση 1

Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση µε υ 30m / s= και την χρονική στιγ-

µή 0t 0s= βρίσκεται στην αρχή του αξονα των συντεταγµένων x΄Ox .

α. Να βρείτε την θέση του την χρονική στιγµή 1t 5s= .

β. Να βρείτε ποια χρονική στιγµή 2t θα είναι στην θέση 2x 600m= .

γ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις υ t− , x t− .

Άσκηση 2Στο διπλανό διάγραµµα παριστάνονται τα διαγράµµατα

θέσης - χρόνου για δύο σώµατα Α και Β.

α. Ποιό σώµα κινείται µε µεγαλύτερη ταχύτητα.

β. Πόσο απέχουν µεταξύ τους τα σώµατα Α και Β την

χρονική στιγµή t 4s= .

x(m)

t(sec)

A

B

20

12

0 4


Eρωτήσεις:1. Συµπληρώστε το παρακάτω κείµενο. Οι λέξεις που λείπουν είναι:

α. σηµείο αναφοράς β. µέτρο γ. κατεύθυνση

δ. µετατόπιση ε. χρονικό διάστηµα στ. ευθύγραµµη οµαλή

2. ∆ιανυσµατικά µεγέθη είναι: θέση, µετατόπιση, ταχύτητα

Μονόµετρα µεγέθη είναι: απόσταση, χρονικό διάστηµα.

3. α. Μονάδα µέτρησης της ταχύτητας είναι το m/s άρα σωστή είναι η (α)

β. Oρισµός ταχύτητας:∆x

υ∆t

= ή ∆x υ·∆t= . Άρα σωστές είναι η (γ) και η (δ).

γ. Σωστή είναι η (β).

4. Οι κινήσεις των δύο µαθητών είναι ευθύγραµµες

οµάλες, γιατί οι ταχύτητες τους είναι σταθερές κατά

µέτρο και κατεύθυνση. Το διάγραµµα θέσης και για

τους δύο µαθητές θα είναι ευθείες που θα περνούν

από την αρχή των αξόνων όπως φαίνεται δίπλα.

5. H µέση ταχύτητα (διανυσµατική) ενός σώµατος µπορεί να είναι µηδέν όταν η αρχική

και η τελική θέση του κινητού συµπίτουν. Όµως η ολική απόσταση που θα έχει

διανύσει το κινητό θα είναι διάφορη του µηδενός και φυσικά διάφορη του µηδενός

θα είναι και η µέση µονόµετρη ταχύτητα.

6. Είναι αδύνατο η διανυσµατική ταχύτητα να διατηρείται σταθερή, επειδή µεταβάλλε-

ται η κατεύθυνση της ταχύτητας. Σε µια στροφή αυτό που µπορεί να διατηρηθεί είναι

µόνο το µέτρο της ταχύτητας (π.χ. οµαλή κυκλική κίνηση).

7. Όχι, γιατί αυτό που µας δείχνει το ταχύµετρο είναι η στιγµιαία ταχύτητα η οποία

µπορεί να αλλάζει µετά από λίγο χρονικό διάστηµα.

t2t1

ÌáèçôÞòðïõ ôñÝ÷åé

ÌáèçôÞòðïõ âáäßæåé

x (m)

t(s)

ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ Ó×ÏËÉÊÏÕ

ÂÉÂËÉÏÕ

(óåë. 23 - 25)


8. Σαλιγάρι → 0,001km/h Άνθρωπος → 5km/h

Αυτοκίνητο → 100km/h Αεροπλάνο → 1000km/h

∆ιαστηµόπλοιο → 30.000km/h Φως (κενό) → 300.000km/s

Ασκήσεις:1. Συµπλήρωση των στηλών που λείπουν.

∆x 200mυ υ υ 40m / s

∆t 5s= ⇒ = ⇒ = άρα υ σταθ. υ 40m / s= ⇒ = .

∆xυ ∆x υ·∆t ∆x 40m / s ·10s 400m

∆t= ⇒ = ⇒ = = .

∆x ∆x 800mυ ∆t ∆t 20s

∆t υ 40m / s= ⇒ = = ⇒ = , οπότε ο πίνακας γίνεται:

2. α. Η µέση ταχύτητα του αθλητή είναι: ∆x 200m

υ υ υ 10,52m / s∆t 19s

= ⇒ = ⇒ =

β. Από την σχέση: ∆x ∆x 10.000m

υ ∆t ∆t 950,57s∆t υ 10,52m / s

= ⇒ = = ⇒ = ή ∆t 15,85min .

3. α. Εφόσον εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η ταχύ-

τητα θα είναι σταθερή. Άρα:

β. 1ος τρόπος

Από τον ορισµό της µέσης ταχύτητας:

∆xυ ∆x υ·∆t 20m / s ·(5 2)s ∆x 60m

∆t= ⇒ = = − ⇒ =

2ος τρόπος

Από θεωρία γνωρίζουµε ότι το εµβαδόν που περικλείεται

από την γραφική παράσταση u - t και του άξονα του χρό-

νου µας δίνει την µετατόπιση αριθµητικά.

∆ηλαδή:

άρα ( ) ( ) ( ) ( )E ∆x ∆Γ · Α∆ 5 2 s· 20 m / s 60m= = = − =

×ñüíïò (t)(s)

Ìåôáôüðéóç ( )(

xm)

Ôá÷ýôçôá (õ(

)m/s)

40

40

40800

400

2005

10

20

1 3 5

20

10

u(m/s)

t(s)

2 5

20

10

u(m/s)

t(s)

E = xÄE = xÄ

Ä Ã

BA


100

2 5

40

x(m)

t(s)0

10

7,5

õ(m/s)

t(s)0

γ. Εφόσον εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση η γραφική παράσταση θα είναι µια ευθεί-

α που περνά από την αρχή των αξόνων.

∆ηλαδή x υ· t x 20· t= ⇒ = (1)

Για να την χαράξουµε αρκεί να γνωρίζουµε τα σηµεία:

Για t 0s x 0m= → =Για t 2s x 20m / s·2s 40m= → = =

Για t 5s x 20m / s·5s 100m= → = =

4. α. Ευθύγραµµη οµαλή επειδή η µετατόπιση είναι ανάλογη του χρόνου.

β. 1ος τρόπος

Από την σχέση ∆x

υ ∆x υ·∆t∆t

= ⇒ = (1)

Η ταχύτητα µπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Για 1 1t 0s x 0m= → = , για 2 2t 10s x 75m= → =

άρα ∆x 75m 0m

υ υ 7,5m / s∆t 10s 0s

−= = ⇒ =−

(2)

άρα η ( )(2)

(1) ∆x 7,5m / s· 6 2 s 30m⇒ = − =2ος τρόπος

Από το διάγραµµα: 2 1∆x x x 45m 15m 30m= − = − =γ. Την χρονική στιγµή t = 8s βρίσκεται στην θέση x = 60m.

δ. Από τον ορισµό ∆x 30m

υ 7,5m / s∆t 4s

= = =

ε. Το διάγραµµα υ – t θα είναι µια ευθεία γραµµή παράλληλη

στον άξονα του χρόνου.

5. Αρκεί να υπολογίσουµε την ταχύτητα του καθενός.

Για το αυτοκίνητο Α έχουµε:

Για 1 1t 0s x 0m= → = , για 2 2t 2s x 30m= → =

άρα 2 1A

2 1

x x∆x (30 0)mυ 15m / s

∆t t t (2 0)s

− −= = = =− −

Για το αυτοκίνητο Β έχουµε:

Για 1 1t 0s x 0m= → = , για 2 2t 2s x 60m= → =

άρα 2 1B

2 1

x x∆x (60 0)mυ 30m / s

∆t t t (2 0)s

− −= = = =− −

. ∆ηλαδή A Bυ υ<


6. α. 1 2∆x ∆x ∆x= + (1)

11 1 1 1

1

∆xυ ∆x υ ·∆t 20m / s·50s 1000m

∆t= ⇒ = = = , άρα 1∆x 1000m= (2)

22 2 2

∆xυ ∆x υ ·∆t 30m / s ·100s 3000m

∆t= ⇒ = = = , άρα 2∆x 3000m= (3)

άρα η (2)

(3)(1) ∆x 1000m 3000m 4000m⇒ = + = ή ∆x 4Km= (4)

β. 150 15

∆t 50s 100s ∆t 150s ∆t h ∆t h3600 360

= + ⇒ = ⇒ = ⇒ = (6)

άρα 4Km 4·360Km

υ υ 96km / h15 15hh360

= = ⇒ =

7. Από τον ορισµό της µέσης ταχύτητας θα έχουµε:

∆x ∆x 4500m 1800υ ∆t ∆t 1800s h ∆t 0,5h

∆t υ 2,5m / s 3600= ⇒ = ⇒ = = = ⇒ =

8. α. Από τον ορισµό της µέσης ταχύτητας θα έχουµε ∆x

υ ∆x υ·∆t∆t

= ⇒ = (1)

αν 1000m 500

υ 50Km / h 50 m / s3600s 36

= = = , τότε από την (1): 1

500m 125∆x ·1s m

36s 9= =

β. αν 1000

υ 100Km / h m / s36

= = , τότε από την (1): 2

250∆x m

9=

9. Επειδή ο Β κινείται µε µεγαλύτερη ταχύτητα από τον Α, ο Β είναι αυτός που θα

φθάσει πρώτος και θα περιµένει τον Α. Το χρονικό διάστηµα που θα περιµένει ο Β

τον Α θα είναι ίσο µε την διαφορά A B∆t t t= − (1) όπου tΑ

και tB είναι τα χρονικά

διαστήµατα που χρειάζονται για να καλύψουν τη διαδροµή των 50Km.

Έτσι για τον Α: A A AA A

∆x ∆x 50Kmυ t t 1h

t u 50Km / h= ⇒ = = ⇒ = (2)

Για τον Β: B B BB B

∆x ∆x 50Km 5υ t t h

t υ 80Km / h 8= ⇒ = = ⇒ = (3)

άρα η (2)

(3)

5 3(1) ∆t 1h h h 0,375h

8 8⇒ = − = =

Πότε µία κίνηση ονοµάζεται µεταβαλλόµενη;

Μία κίνηση ονοµάζεται µεταβαλλόµενη όταν µετα-

βάλλεται η ταχύτητα του κινητού. Όταν λέµε µεταβολή της

ταχύτητας του κινητού εννοούµε είτε µεταβολή στο µέτρο

της ταχύτητας, είτε µεταβολή στην κατεύθυνση της ταχύ-

τητας, είτε µεταβολή και στο µέτρο και στην κατεύθυνση.

Τι είναι η επιτάχυνση;

Επιτάχυνση είναι το φυσικό διανυσµατικό µέγεθος

που µας εκφράζει το πόσο γρήγορα και πως µεταβάλλεται

η ταχύτητα του κινητού.

Η επιτάχυνση ορίζεται ως το πηλίκο της µεταβολής της

ταχύτητας ∆υ

προς τον χρόνο που γίνεται η µεταβολή αυτή,

δηλ. ∆υ

α∆t

=

• Είναι διανυσµατικό µέγεθος και έχει κατεύθυνση την κα-

τεύθυνση της µεταβολής της ταχύτητας ∆υ

Η επιτάχυνση α

είναι



4Ç ôá÷ýôçôá ìåôáâÜëëåôáé.

ÅðéôÜ÷õíóç

Ç ôá÷ýôçôá ìåôáâÜëëåôáé.

ÅðéôÜ÷õíóç

Είδη µεταβαλλόµενης

κίνησης

• Όταν έχουµε µεταβολή µόνο στο µέτρο της ταχύτητας τότε µιλάµε για ευθύ-

γραµµη µεταβαλλόµενη κίνηση.

• Όταν έχουµε µεταβολή µόνο στην κατεύθυνση κίνησης τότε µιλάµε για κυκλική

κίνηση.

• Όταν έχουµε µεταβολή και στο µέτρο και στην κατεύθυνση της ταχύτητας τότε µιλάµε

για καµπυλόγραµµη κίνηση.

52. Η ταχύτητα µεταβάλλεται - Επιτάχυνση

• Μέτρο το πηλίκο ∆υ

∆t

• Μονάδες στο S.I. είναι το 21m / s

Τι ονοµάζεται µέση επιτάχυνση στην ευθύγραµµη

κίνηση;

Μέση επιτάχυνση ονοµάζεται το πηλίκο της µεταβο-

λής της ταχύτητας προς την αντίστοιχη χρονική διάρκεια

στην οποία γίνεται αυτή η µεταβολή. Επίσης, η µέση επιτά-

χυνση ορίζεται και ως ο µέσος ρυθµός µεταβολής της ταχύ-

τητας σε ορισµένη χρονική διάρκεια.

2 1µ

2 1

υ υ∆υα αλγεβρική τιµή µέσης επιτάχυνσης

∆t t t

−= = →

−

Από τον ορισµό προκύπτει ότι η µέση επιτάχυνση είναι

διανυσµατικό µέγεθος που έχει:

• µέτρο: µ

∆υα

∆t=

• κατεύθυνση: την κατεύθυνση της µεταβολής της ταχύτητας.

H µέση επιτάχυνση στην

ευθύγραµµη κίνηση εκ-

φράζει το πόσο γρήγο-

ρα, κατά µέσο όρο, µε-

ταβάλλεται το µέτρο

της ταχύτητας

Μέση επιτάχυνση

Ποια κίνηση ονοµάζεται ευθύγραµµη οµαλά µετα-

βαλλόµενη κίνηση;

Ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση ονοµά-

ζεται η κίνηση στην οποία η ταχύτητα του κινητού µετα-

βάλλεται µε σταθερό ρυθµό.

Η ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση µπορεί να

διακριθεί σε:

• Ευθύγραµµη οµαλά επιτα-

χυνόµενη κίνηση αν η τα-

χύτητα του κινητού αυξάνε-

ται µε σταθερό ρυθµό (κατά

µέτρο). Αυτό συµβαίνει

όταν η ταχύτητα και η επι-

τάχυνση έχουν την ίδια φορά. To διάνυσµα της επιτάχυν-

σης α

µένει σταθερό.

õá

α = ∆υ/∆t

õ

t

Εάν είναι άγνωστος το α

:

Äõ

Ät

∆υα =

∆t

Εάν είναι άγνωστος το ∆t:

Äõ∆υ

∆t =

α

Εάν είναι άγνωστος το ∆υ:

Ät

∆υ = α ·∆t

53.Η ταχύτητα µεταβάλλεται - Επιτάχυνση

α 0= α 0> α 0<

∆υ 0= ∆υ 0> ∆υ 0<

αµετάβλητη τα-

χύτητα

αύξηση µέτρου

ταχύτητας

µείωση µέτρου

ταχύτητας

κίνηση µε σταθε-

ρή ταχύτητα

επιταχυνόµενη

κίνηση

επιβραδυνόµενη

κίνηση

Πότε η κίνηση ενός κινητού χαρακτηρίζεται ως ευ-

θύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα;

Όταν ένα κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιτα-

χυνόµενη κίνηση ξεκινώντας από την ηρεµία τότε η κίνηση

αυτή χαρακτηρίζεται ως ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

χωρίς αρχική ταχύτητα ( )0υ 0= .

Ποιες είναι οι εξισώσεις της ταχύτητα και της θέσης

σε συνάρτηση µε το χρόνο για την ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα;

Από τον ορισµό της επιτάχυνσης έχουµε ότι:

( )2 1 2 1

2 1 2 1

υ υ υ υ∆υα α 1

∆t t t t t

− −= = ⇒ =

− −. Επειδή θεωρούµε ότι

το σώµα ξεκινάει από την ηρεµία ( )1υ 0= τη χρονική στιγ-

µή που ξεκινάµε την µελέτη του σώµατος ( )1t 0= , τότε η

χρονική στιγµή ( )2t t= θα αντιστοιχεί σε µια τυχαία χρονι-

κή στιγµή όπου η ταχύτητα θα είναι ( )2υ υ= οπότε η (1)

õá• Ευθύγραµµη οµαλά επι-

βραδυνόµενη κίνηση αν η

ταχύτητα του κινητού µει-

ώνεται µε σταθερό ρυθµό

(κατά µέτρο). Αυτό συµβαί-

νει όταν η ταχύτητα και η

επιτάχυνση έχουν αντίθετη φορά και α

= σταθερό.

υ = α · t

Εάν είναι άγνωστος α:

υ

α =

t

Εάν είναι άγνωστος ο

χρόνος t:

υ

t =α

α σταθερό=

Στην ευθύγραµµη οµαλά

µεταβαλλόµενη κίνηση

το κινητό σε ίσους χρό-

νους έχει ίσες µεταβολές

ταχύτητας


Ποιοι είναι οι νόµοι της ευθύγραµµης οµαλά επιτα-

χυνόµενης κίνησης χωρίς αρχική ταχύτητα

( )0 1υ = 0 ή υ = 0 ;

α. Νόµος επιτάχυνσης α = σταθ.

Η επιτάχυνση στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κί-

νηση χωρίς αρχική ταχύτητα είναι µια σταθερή ποσότητα

σε σχέση µε το χρόνο και η γραφική παράσταση της επιτά-

χυνσης σε σχέση µε το χρόνο θα είναι µια ευθεία γραµµή

παράλληλη στον άξονα του χρόνου.

Ορισµός επιτάχυνσης 2 1µ µ

2 1

υ υ∆υα α σταθ.

∆t t t

−= ⇔ = =

−

β. Νόµος ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνό-

µενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα: υ = α ·t

Η ταχύτητα στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα είναι µια ποσότητα α-

νάλογη µε το χρόνο κίνησης. Η γραφική παράσταση

θα είναι µια ευθεία γραµµή που θα περνάει από την

αρχή των αξόνων.

γ. Νόµος της µετατόπισης στην ευθύγραµµη οµαλά επιτα-

χυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα:

∆ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου

á(m/s )2

t(s)

(á = óôáè)

∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρό-

νου ( )0υ 0=

õ(m/s)

t(s)

( tõ áíÜëïãï ôïõ )

γίνεται: ( )υ

α = 2

t ή ( )⋅υ = α t 3

Ενώ η εξίσωση της µετατόπισης ή της θέσης, αν θεωρή-

σουµε ότι το σώµα ξεκινάει από την αρχή του άξονα των

συντεταγµένων, γίνεται: 21

∆x α t2

= ⋅ ή ( )⋅ 21x = α t 4

2

x = 1/2α · t2

x

Εάν είναι άγνωστος το α:

x

2

xα =

1t

2

Εάν είναι άγνωστος το t:

x2 x

t =1α

2

Παρατήρηση (Ανεξάρτητη του χρόνου)

Αν λύσουµε την σχέση υ α t= ⋅ ως προς τον χρόνο έχουµε

υt

α= . Με αντικατάσταση στην σχέση

21x α t

2= ⋅ ⋅ προκύπτει

2υ 2α x= ⋅ . Η σχέση αυτή συνδέει την ταχύτητα του κινητού

µε την θέση του 2 2

2

1 υ υx α x

2 2αα

= ⇒ =

.


∆ιάγραµµα θέσης- χρόνου (υ0

= 0)

x(m)

t(s)

∆ιάγραµµα θέσης - τετραγώ-

νου χρόνου ( )0υ 0=

x(m)

t (s )2 2

(x táíÜëïãï ôïõ )2

2 21 1

∆x α ·t x α ·t2 2

= ⇒ =

Η µετατόπιση του κινητού στην ευθύγραµµη οµαλά επιτα-

χυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα είναι µια ποσότη-

τα ανάλογη µε το τετράγωνο του χρόνου κίνησης.Το διά-

γραµµα της µετατόπισης σε σχέση µε το χρόνο θα είναι µια

καµπύλη που λέγεται παραβολή, ενώ το διάγραµµα της

µετατόπισης σε σχέση µε το τετράγωνο του χρόνου θα είναι

ευθεία γραµµή που περνάει από την αρχή των αξόνων.


µε από το διάγραµµα επιτάχυνσης-χρόνου.

Από τη µελέτη ενός διαγράµµατος επιτάχυνσης -

χρόνου πληροφορούµαστε αν η επιτάχυνση είναι σταθερή

σε σχέση µε το χρόνο ή όχι. Από ένα διάγραµµα επιτάχυν-

σης - χρόνου µπορούµε να υπολογίσουµε την µεταβολή

της ταχύτητας του κινητού. Αν έχουµε ένα σώµα που εκτε-

λεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση τότε το διά-

γραµµα επιτάχυνσης- χρόνου θα είναι αυτό που βλέπουµε

δίπλα. Παρατηρούµε ότι το εµβαδόν της σκιασµένης επι-

φάνειας θα είναι: ( ) ( )OABΓE ΟΑ ΟΓ α ∆t ∆υ= ⋅ = ⋅ =

Γενικά όταν έχουµε ένα διάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου, το εµβαδόν της επιφάνει-

ας µεταξύ της γραµµής που παριστάνει την γραφική παράσταση της επιτάχυνσης και του

άξονα του χρόνου, δίνει τη µεταβολή της ταχύτητας (αριθµητικά) στο αντίστοιχο χρονικό

διάστηµα, ανεξάρτητα αν η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη ή όχι.

á (m/s )2

t (s)

E = Äõ

A B

ÃÄt0

á


µε από το διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου στην ευθύγραµ-

µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση.

Από τη µελέτη ενός διαγράµµατος ταχύτητας- χρό-

νου µπορούµε να βρούµε τι είδος κίνηση κάνει το κινητό

και επίσης είδαµε παραπάνω ότι µπορούµε να υπολογίσου-

µε τη µετατόπιση του κινητού από το εµβαδόν (αριθµητι-

κά. Σηµαντικό είναι ότι από ένα διάγραµµα ταχύτητας -

χρόνου µπορούµε να υπολογίσουµε την επιτάχυνση του κι-

Υπολογισµός επιτάχυν-

σης α από διάγραµµα

υ - t που περικλείεται

στο διάγραµµα

ταχύτητας - χρόνου.


õ (m/s)

t (s)

õ1

A

Ã

t10

õ2

ö

t2

Ät

ö

Äõ

Αν σε διάγραµµα υ - t παρουσιάζονται οι ευθείες 2 κινητών τότε µεγαλύτερη

επιτάχυνση έχει το κινητό του οποίου η ευθεία σχηµατίζει µεγαλύτερη γωνία µε τον

άξονα των χρόνων

νητού. Αν έχουµε ένα σώµα που εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη κίνηση τότε το διάγραµµα ταχύτητας - χρό-

νου θα είναι αυτό που βλέπουµε δίπλα. Η µεταβολή της

ταχύτητας 2 1∆υ υ υ= − υπολογίζεται από την κατακόρυφη

απόσταση µεταξύ δύο σηµείων. Το χρονικό διάστηµα ∆t θα

είναι ίσο µε την οριζόντια απόσταση ( 2 1∆t t t= − ). Ο λόγος

της κατακόρυφης απόστασης προς την οριζόντια απόστα-

ση δύο σηµείων ονοµάζεται κλίση της γραµµής. Έτσι θα

έχουµε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ότι:

κατακόρυφη απόσταση ∆υεφφ κλίση α

οριζόντια απόσταση ∆t= = = =

εφφ = α

Η κλίση της ευθείας στο

διάγραµµα ταχύτητας -

χρόνου ισούται µε την

επιτάχυνση του κινητού

1. Η επιτάχυνση µας δείχνει πόσο γρήγορα µεταβάλλεται η ταχύτητα.

2. α. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση το διάνυσµα της

επιτάχυνσης είναι σταθερό µε θετικό µέτρο και µας δείχνει πόσο

αυξάνεται η ταχύτητα σε κάποιο συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα ∆t.

β. Η επιτάχυνση έχει ίδια κατεύθυνση µε την µεταβολή της ταχύτητας ( )∆υ

.

3. α. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση το διάνυσµα της επιτάχυνσης

είναι σταθερό µε αρνητικό µέτρο και µας δείχνει πόσο µειώνεται η ταχύτητα σε

κάποιο συγκεκριµένο χρονικό διάστηµα ∆t.

β. Η επιτάχυνση έχει ίδια κατεύθυνση µε την µεταβολή της ταχύτητας ( )∆υ

.

4. Στην ευθύγραµµη οµαλά µεταβαλλόµενη κίνηση:

α. η ταχύτητα είναι ανάλογη του χρόνου κίνησης

β. η µετατόπιση ∆x του κινητού είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου κίνησης.

5. Το εµβαδόν που περικλείεται από την γραφική παράσταση της επιτάχυνσης και του

άξονα του χρόνου (στο διάγραµµα α - t) µας δίνει την µεταβολή της ταχύτητας για

το αντίστοιχο χρονικό διάστηµα ∆t.

6. Η κλίση της ευθείας στο διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου ισούται µε την επιτάχυνση του κινητού.

7. Το εµβαδόν στο διάγραµµα υ – t µας δίνει την µετατόπιση.


Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση µε ταχύτητα που µεταβάλλεται µε τον

χρόνο. Αν τις χρονικές στιγµές 1 2 3t = 2s, t = 6s, t = 10s και 4t = 12s έχει ταχύτητες

1 2 3υ = 4m/s, υ = 8m/s, υ = 8m/s και 4υ = 0m/s , να βρείτε τις µέσες επιταχύνσεις

στα χρονικά διαστήµατα: A 2 1 B 3 2 Γ 4 3∆t = t - t , ∆t = t - t , ∆t = t - t .

Λύση

Από τον ορισµό της επιτάχυνσης έχουµε: 2 1

2 1

υ υ∆υα (1)

∆t t t

−= =

−

• Στο χρονικό διάστηµα 2A 2 1 Α

8m / s 4m / s∆t t t 6s 2s 4s, α 1m / s

4s

−= − = − = = = .

• Στο χρονικό διάστηµα 2B 3 2 B

8m / s 8m / s∆t t t 4s, α 0m / s

4s

−= − = = = .

• Στο χρονικό διάστηµα 2Γ 4 3 Γ

0m / s 8m / s∆t t t 2s, α 4m / s

2s

−= − = = = − .

Άρα µπορούµε να πούµε ότι στο χρονικό διάστηµα Α∆t το κινητό επιταχύνεται, στο

Β∆t κινείται µε σταθερή ταχύτητα και στο Γ∆t επιβραδύνεται.

Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση

2α = 4m/s . Αν τη χρονική στιγµή 1t = 2s έχει ταχύτητα 1υ = 2m/s

α. Να βρείτε την ταχύτητά του την στιγµή 2t = 6s .

β. Να βρείτε ποια χρονική στιγµή 3t η ταχύτητά του γίνεται 3υ = 22m/s .

Λύση

α. Από τον ορισµό της επιτάχυνσης έχουµε ότι:

( ) ( )

( )

2 12 1 2 1 2 1 2 1

2 1

22

υ υα α· t t υ υ υ υ α· t t

t t

υ 2m / s 4m / s 6s 2s

−= ⇒ − = − ⇒ = + − ⇒

−

⇒ = + − ⇒ 2υ = 18m/s


β. Επίσης από τον ορισµό θα έχουµε :

3 1 3 1 3 13 1 3 1 3 2

3 1

υ υ υ υ υ υ 22m / s 2m / sα t t t t t 2s

t t α α 4m / s

− − − −= ⇒ − = ⇒ = + ⇒ = + ⇒− 3t = 7s

Το διπλανό διάγραµµα ταχύτητας-χρόνου αναφέρεται σε

ευθύγραµµη κίνηση ενός σώµατος. Να περιγράψετε α-

ναλυτικά την κίνηση του σώµατος και να παραστήσετε

γραφικά και σε βαθµολογηµένους άξονες την επιτάχυν-

σή του σε συνάρτηση µε το χρόνο.

Λύση

Για t : 0s έως 2s . Στα 2 πρώτα δευτερόλεπτα η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλά επιτα-

χυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα (η ταχύτητα είναι ανάλογη του χρόνου). Η επιτάχυν-

ση στην κίνηση αυτή είναι: 2 11

2 1

υ υ∆υ 12m / s 0m / sα

∆t t t 2s 0s

− −= = = ⇒− −

21α = 6m/s .

Για t : 2s έως 4s . Στα δύο επόµενα δευτερόλεπτα η κίνηση είναι οµαλή µε ταχύτητα

2υ 12m / s= ( )∆υ 0= . Στην περίπτωση αυτή η επιτάχυνση είναι: 2

∆υ 0m / sα

∆t ∆t= = ⇒ 2α = 0

Για t : 4s έως7s . Στα 3 επόµενα δευτερόλεπτα η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλά επι-

βραδυνόµενη (η ταχύτητα µειώνεται µε το χρόνο και η γραφική της παράσταση είναι

ευθεία γραµµή) µε επιβράδυνση (αρνητική επιτάχυνση, έστω 3α ) που είναι:

3

∆υ 0m / s 12m / sα

∆t 7s 4s

−= = ⇒−

23α = -4m/s

Με βάση τις προηγούµενες τιµές επιτάχυνσης σχεδιάζου-

µε το διάγραµµα επιτάχυνσης – χρόνου.


Μπορούµε από ένα διάγραµµα υ t− να κάνουµε τα αντί-

στοιχα διαγράµµατα x t, α t− − αφού πρώτα βρούµε το είδος της κίνησης σε κάθε

χρονικό διάστηµα.

Κινητό κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση ξεκινώντας από την ηρεµία τη

στιγµή 0t = 0 έως ότου αποκτήσει ταχύτητα 1υ = 20m/s και διανύσει απόσταση

1x = 100m τη χρονική στιγµή 1t .

α. Να βρείτε την επιτάχυνση και το χρόνο κίνησης 1t του κινητού.

õ(m/s)

t(sec)0 2 4 7

12

4

-4

á(m/s )2

t(sec)0

2 4 7

6


β. Να βρείτε την ταχύτητα τη χρονική στιγµή 2t = 15s και τη µετατόπιση του κινη-

τού στο χρονικό διάστηµα 2 1∆t = t - t .

γ. Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις ταχύτητας – χρόνου, επιτάχυνσης - χρόνου

και θέσης - χρόνου.

Λύση

α. Οι εξισώσεις της ευθύγραµµης οµαλής επιταχυνόµενης κίνησης είναι:

υ α· t (1)= και 21

x ·α· t (2)2

=

Όταν 1t t= , 1υ υ= και 1x x= . Λύνουµε την (1) ως προς το χρόνο και έχουµε ότι:

11

υt (3)

α=

η 2 2 2

(3) 1 1 11 12

1

υ υ υ1(2) x α x α (4)

2 2α 2xα → = ⇒ = ⇒ = ⇒ 2

α = 2m/s

όποτε η (4)(3) → 1t = 10s

β.Όταν 2t t 15s= = , 2υ υ= και 2x x= . Από την ( ) 221 υ 2m / s ·15s 30m / s⇒ = = ,

ενώ από την ( ) ( )222 2

12 x 2m / s · 15s x 225m

2⇒ = ⇒ =

Άρα η µετατόπιση θα είναι: 2 1∆x x x 225m 100m 125m= − = − =

Κινητό ξεκινά από την ηρεµία κινούµενο ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση. Κατά

τη διάρκεια του 5oυ δευτερολέπτου της κίνησής του µετατοπίζεται 18 m.

α. Πόση είναι η επιτάχυνσή του;

β. Να κατασκευάσετε τα διαγράµµατα α – t, υ – t και x – t.

õ(m/s)

t(s)

20

30

10 15

á(m/s )2

t(s)

2

10 150

x(m)

t(s)

225

100

0 10 15

Το διάγραµµα της επιτά-

χυνσης σε σχέση µε το χρό-

νο θα είναι:

Το διάγραµµα της ταχύτη-

τας-χρόνου είναι:

Το διάγραµµα θέσης - χρό-

νου είναι:


Λύση

α. Η θέση του κινητού κάθε χρονική στιγµή δίνεται από τη σχέση 21

x ·α· t2

= .

Για το χρονικό διάστηµα από 4 -5 s η µετατόπιση είναι 5 4∆x x x= − όπου:

25 5

1∆x 18m, x α· t

2= = και

24 4

1x α· t

2=

Αντικαθιστώντας προκύπτει:

( ) ( ) ( )2 2 2 2 25 4 5 4 2 2 2 2 2

5 4

1 1 1 2∆x 2·18m∆x αt αt ∆x α t t α 4m / s

2 2 2 t t 5 4 s= − ⇔ = − ⇔ = = =

− −

β. Τα διαγράµµατα της κίνησης είναι:

∆ιάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου: Η επιτάχυνση παρα-

µένει σταθερή και ίση µε 2α 4m / s= . Το διάγραµµα είναι

µια ευθεία γραµµή παράλληλη στον άξονα του χρόνου,

όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα.

∆ιάγραµµα ταχύτητας - χρόνου : είναι ευθεία γραµµή

και για να κατασκευαστεί, χρειαζόµαστε 2 σηµεία.

Τα βρίσκουµε χρησιµοποιώντας τη σχέση υ α· t 4t= =

Είναι:

2

21 1

t 0 υ 4m / s ·0s 0

t 1s υ 4m / s ·1s 4m / s

= = == = =

Εποµένως το διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου είναι:

õ1õ0 = 0 õ2á

t = 0 t = 4s t = 5s18mx4

x5

0

4

á(m/s )2

t(s)1 2

0

8

4

õ(m/s)

t(s)1 2


∆ιάγραµµα θέσης – χρόνου: είναι µια καµπύλη γραµµή που ξεκινάει από την αρχή

των αξόνων και ονοµάζεται παραβολή.Για να την κατασκευάσουµε, χρειαζόµαστε

µερικά σηµεία.

Τα βρίσκουµε χρησιµοποιώντας τη σχέση: 2 2 21 1x αt 4t 2t (m)

2 2= = =

Φτιάχνουµε τον πίνακα τιµών (x, t).

2 2 2

2 2 21 1

2 2 22 2

2 2 23 3

2 2 24 4

t 0 x 2m / s ·0 s 0m

t 1s x 2m / s ·1 s 2m

t 2s x 2m / s ·2 s 8m

t 2s x 2m / s ·3 s 18m

t 4s x 2m / s ·4 s 32m

= = == = =

= = =

= = =

= = =

Εποµένως το διάγραµµα θέσης -χρόνου είναι:


Όταν ζητείται να υπολογιστεί ένα µέγεθος κατά την διάρ-

κεια του 5ου δευτερολέπτου σηµαίνει από την χρονική στιγ-

µή 1t 4s= ως 2t 5s= , όπου ∆t 1s= .

∆ύο δροµείς βρίσκονται αρχικά ακίνητοι σε µια απόσταση 25m . Ξεκινούν και οι

δύο ταυτόχρονα κινούµενοι ευθύγραµµα και κατά την ίδια φορά. Αν ο δροµέας Α

που βρίσκεται πίσω κινείται µε σταθερή επιτάχυνση 2

1α = 1m/s ενώ ο προπορευό-

µενος µε επιτάχυνση 22α = 0,5m/s , να βρείτε:

α. Ποια χρονική στιγµή θα φτάσει ο δροµέας Α τον προπορευόµενο;

β. Πόσο θα κινηθεί ο δροµέας Β µέχρι το σηµείο συνάντησης;

γ. Τι ταχύτητες θα έχουν οι δύο δροµείς όταν συναντηθούν;

Λύση

α. Οι κινήσεις που εκτελεί κάθε δροµέας είναι:

∆ροµέας Α: Ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση

χωρίς αρχική ταχύτητα.

Ισχύουν οι σχέσεις: 2

1 1

1x α t

2= , και 1 1υ α · t= .

∆ροµέας Β: Ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Ισχύ-

ουν οι σχέσεις: 22 2

1x α t

2= , και 2 2υ α · t= .

0

24

30

12

18

x(m)

t(s)1 2

6

3 4

25m x2

x1

á = 11 m/s2

á = 0,52 m/s2

A KB


Για ένα κινητό που εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική

ταχύτητα να αποδείξετε τον τύπο που µας δίνει την µετατόπιση του κινητού σε

σχέση µε το χρόνο ( 21∆x = α ·t

2)

Λύση

Αξιοποιώντας το διάγραµµα της ταχύτητας -χρόνου µπο-

ρούµε να προσδιορίσουµε τη µετατόπιση σε µια ευθύγραµ-

µη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα.

Έστω ένα σώµα ότι εκτελεί µια ευθύγραµµη οµαλά επιτα-

χυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Τότε το

διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου του κινούµενου σώµατος

θα είναι όπως φαίνεται στο διπλανό διάγραµµα. Γνωρί-

ζουµε ότι η µετατόπιση του κινούµενου σώµατος σε χρόνο t είναι αριθµητικά ίση µε το

εµβαδόν της γραµµής της γραφικής παράστασης της ταχύτητας και του άξονα του

χρόνου δηλ. θα είναι ίσο µε το εµβαδόν του τριγώνου ΟΑΓ.

( )( ) υ=α· t 2AΓO

1 1 1 1∆x = E = OΓ AΓ = υ· t ∆x = α· t · t ∆x = αt

2 2 2 2 → ⇒

(Από τον νόµο της ταχύτητας γνωρίζουµε: υ α· t= )

Αν τώρα θεωρήσουµε ότι τη χρονική στιγµή t 0= το σώµα βρίσκεται κιόλας στην αρχή

των αξόνων ( )x 0= τότε έχουµε ότι 21x ∆x α· t

2= =

Αν Κ είναι το σηµείο συνάντησης, θα πρέπει να ισχύει σύµφωνα µε το σχήµα:

( )

2 2 2 22 1 2 1 1 2

2 2 2 21 2

1 2

1 1 1 125m x x 25m α · t α t 25m α t α · t

2 2 2 21 2·25m

t α α 25m t t 100s t 10s2 α α

+ = ⇒ + = ⇒ = − ⇒

⇒ − = ⇒ = ⇒ = ⇒ =−

Εποµένως οι δύο δροµείς θα συναντηθούν µετά από 10s.

β. Ο δροµέας Β µέχρι το σηµείο συνάντησης θα µετατοπιστεί κατά 2x .∆ηλαδή:

2 22 2

1 1x α · t ·0,5·10 m 25m

2 2= = =

γ. Η ταχύτητα κάθε δροµέα τη στιγµή της συνάντησης είναι:

∆ροµέας Α: 1 1υ α t 10m / s= = .

∆ροµέας Β: 2 2υ α t 5m / s= = .

õ(m/s)

t(s)t

õ

O

A

Ã


1. Πώς ορίζεται:

α. η µέση επιτάχυνση;

β. η ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση;

2. Πώς από την εξίσωση ορισµού της µέσης επιτάχυνσης προκύπτει η εξίσωση ταχύτη-

τας - χρόνου στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση;

3. Να γράψετε τις εξισώσεις ταχύτητας -χρόνου και θέσης -χρόνου στην ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη κίνηση. Να εξηγήσετε µε λόγια τα σύµβολα των φυσικών µεγεθών.

4. Να αναφέρετε του νόµους και να σχεδιαστούν τα διαγράµµατα ( ) ( )α t , υ t− − και

( )x t− στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα

( )0 0 0t 0, x 0, υ 0= = =


5. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση η επιτάχυνση ενός κινητού είναι:

α. ανάλογη µε την ταχύτητα µε την οποία κινείται

β. σταθερή µε κατεύθυνση αντίθετη της µεταβολής της ταχύτητάς του

γ. σταθερή µε κατεύθυνση ίδια µε την κατεύθυνση της µεταβολής της ταχύτητάς του

δ. αντιστρόφως ανάλογη µε την ταχύτητα µε την οποία κινήθηκε

6. Το µέτρο της επιτάχυνσης ενός κινητού στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση:

α. συνεχώς µεγαλώνει β. συνεχώς µικραίνει

γ. είναι µηδέν δ. παραµένει σταθερό

7. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση η επιβράδυνση ενός κινητού είναι:

α. ανάλογη µε την ταχύτητα µε την οποία κινείται

β. σταθερή µε κατεύθυνση αντίθετη της µεταβολής της ταχύτητάς του

γ. σταθερή µε κατεύθυνση ίδια µε την κατεύθυνση της µεταβολής της ταχύτητάς του

δ. αντιστρόφως ανάλογη µε την ταχύτητα µε την οποία κινήθηκε

8. Το µέτρο της ταχύτητας ενός κινητού στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη κίνηση:



9. Το µέτρο της µετατόπισης ενός κινητού στην ευθύγραµµη οµαλά επιβραδυνόµενη

κίνηση µέχρι να σταµατήσει:






10. Στην ευθύγραµµη οµαλή κίνηση δεν υπάρχει επιτάχυνση.

11. Το µέτρο της επιτάχυνσης καθορίζει την κατεύθυνση προς την οποία κινείται το

σώµα.

12. Αν η ταχύτητα ενός κινητού είναι -4 m/s και ύστερα από λίγο γίνεται -2 m/s, τότε το

κινητό επιβραδύνεται

13. Αν το µέτρο της µέσης επιτάχυνσης ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα είναι

θετικό, τότε η ταχύτητα του κινητού αυξάνεται.

14. Όταν το διάγραµµα ταχύτητας -χρόνου είναι ευθεία γραµµή που ξεκινάει από την

αρχή των αξόνων η κίνηση του σώµατος είναι ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη.

15. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση η ταχύτητα είναι ανάλογη του χρό-

νου και η µετατόπιση αντιστρόφως ανάλογη του χρόνου.

16.Η εξίσωση ταχύτητας ενός κινητού που κινείται ευθύγραµµα οµαλά επιταχυνόµενα

είναι ( )υ 10· t S.I= . Άρα η επιτάχυνσή του θα είναι 2α 10m / s= .

Να συµπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

17. Η ταχύτητα ενός κινητού που κινείται µε σταθερή επιτάχυνση 4m/s2 µεταβάλλεται

κατά ………. σε δύο δευτερόλεπτα.

18. Η εξίσωση της ταχύτητας για ένα σώµα που κινείται ευθύγραµµα οµαλά επιταχυνό-

µενα στον άξονα x΄ox είναι ( )υ 4t S.I= . Άρα η επιτάχυνση του κινητού είναι …….,

ενώ η εξίσωση της θέσης του είναι ………. ( )S.I

19. Η ευθύγραµµη κίνηση που κάνει ένα κινητό και το µέτρο της ταχύτητας του µειώνε-

ται µε σταθερό ρυθµό ονοµάζεται ………… …………. ……………


1. Τέσσερα αυτοκίνητα α, β, γ, και δ κινούνται πάνω στον άξονα x΄οx. Τις χρονικές

στιγµές 1t 2s= και 2t 4s= οι ταχύτητες των αυτοκινήτων είναι:

α. 1 2υ 2m / s, υ 4m / s= = β. 1 2υ 4m / s, υ 2m / s= =

γ. 1 2υ 1m / s, υ 5m / s= − = − δ. 1 2υ 5m / s, υ 1m / s= − = −Να βρεθεί η µέση επιτάχυνση κάθε αυτοκινήτου.

2. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την ηρεµία και εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνό-

µενη κίνηση . Τη χρονική στιγµή 0t 0s= βρίσκεται σε θέση 0x 0m= . Τη χρονική

στιγµή t 10s= έχει ταχύτητα υ 20m / s=α. Να υπολογισθεί η επιτάχυνση και η θέση του αυτοκινήτου τη χρονική στιγµή

t 10s=β. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις θέσης – χρόνου ,ταχύτητας- χρόνου, επιτά-

χυνσης – χρόνου.

3. Ένα αεροπλάνο διανύει x 800m= στο διάδροµο πριν απογειωθεί. Αν ξεκινήσει από

την ηρεµία και κινηθεί µε σταθερή επιτάχυνση απογειώνεται µέσα σε t 20s= . Να

υπολογισθούν:

α. η επιτάχυνση,

β. η ταχύτητα τη στιγµή που απογειώνεται.

4. Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή επιτάχυνση. Τη χρονική στιγµή 0t 0s= βρί-

σκεται στη θέση 0x 0m= και έχει ταχύτητα 0υ 0s= . Τη στιγµή που βρίσκεται στη

θέση x 32m= έχει ταχύτητα υ 8m / s= . Να υπολογισθούν:

α. Η επιτάχυνση του αυτοκινήτου.

β. Πότε βρίσκεται στη θέση x = 32 m;

γ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις θέσης –χρόνου ,ταχύτητας – χρόνου, επιτά-

χυνσης – χρόνου.


5. Το διάγραµµα της ταχύτητας σε σχέση µε το χρόνο για

ένα κινητό που κινείται ευθύγραµµα είναι δίπλα.

α. Να αναγνωριστούν τα είδη των κινήσεων

β. Να βρεθούν οι επιταχύνσεις τις χρονικές στιγµές

1 2 3t 1s, t 5s, t 9s= = = .

γ. Να γίνει το διάγραµµα της επιτάχυνσης µε το χρόνο

για το παραπάνω κινητό.

6.Το διάγραµµα της ταχύτητας σε σχέση µε το χρόνο για

ένα κινητό που κινείται ευθύγραµµα φαίνεται στο διπλα-

νό σχήµα.

α. Να αναγνωριστούν τα είδη των κινήσεων

β. Να βρεθούν οι επιταχύνσεις τις χρονικές στιγµές

1 2 3t 1s, t 5s, t 9s= = =γ. Να γίνει το διάγραµµα της επιτάχυνσης µε το χρόνο

για το παραπάνω κινητό

7.Ένα κινητό ξεκινάει από την αρχή των αξόνων και από την ηρεµία µε σταθερή

επιτάχυνση 2α 3m / s= για χρόνο

1t 4s=

και στη συνέχεια κινείται για άλλα 6s ακόµα

µε σταθερή ταχύτητα αυτή που έχει αποκτήσει.

α. Να αναγνωριστούν τα είδη των κινήσεων στο χρονικό διάστηµα από 0 έως 6s

β. Να κατασκευάσετε το διάγραµµα ταχύτητας – χρόνου, επιτάχυνσης – χρόνου,

θέσης – χρόνου ως την χρονική στιγµή 2t 10s=

8. Ένα κινητό ξεκινά από την ηρεµία ( )0υ 0m / s= τη χρονική στιγµή 0t 0s= και κινεί-

ται µε σταθερή επιτάχυνση 2α 4m / s= .

α. Να βρείτε την ταχύτητα και την απόσταση που θα έχει καλύψει το κινητό τη χρονική

στιγµή 1t 4s= .

β. Να βρείτε τη χρονική στιγµή που θα βρίσκεται στη θέση 2x 72m=γ. Να βρείτε τη µετατόπιση του κινητού στη διάρκεια του 10ου δευτερολέπτου της

κίνησης.

9. ∆ύο αυτοκίνητα τη στιγµή 0t 0s= ξεκινούν να κάνουν ευθύγραµµες κινήσεις το

καθένα και µε την ίδια φορά κίνησης, έτσι ώστε το αυτοκίνητο Α να κάνει ευθύγραµ-

µη οµαλή κίνηση µε ταχύτητα Aυ 20m / s= και το αυτοκίνητο Β ευθύγραµµη οµαλά

0

24

16

õ(m/s)

t(s)2

8

6 10

0

20

õ(m/s)

t(s)4

10

8 10


επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση 2Bα 2m / s= .

α. Να βρείτε πόσος χρόνος Σt χρειάζεται για να φθάσει το αυτοκίνητο Β το αυτοκί-

νητο Α, σε ποια θέση Σx και τι ταχύτητα Βυ θα έχει το αυτοκίνητο Β;

β. Να κάνετε τα διαγράµµατα θέσης και ταχύτητας χρόνου για τα δύο αυτοκίνητα σε

σχέση µε το χρόνο.

10. Ένα κινητό κινείται ευθύγραµµα και η αλγεβρική τιµή

της ταχύτητας µεταβάλλεται µε το χρόνο όπως φαί-

νεται στο διπλανό διάγραµµα.

α. Να περιγράψετε την κίνηση του κινητού

β. Να βρείτε την συνολική µετατόπιση του κινητού και

γ. να κάνετε το διάγραµµα επιτάχυνσης – χρόνου.

11. Σώµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση, σύµφωνα µε τα στοιχεία του διπλανού πί-

νακα.


β. Να κατασκευαστούν τα διαγράµµατα επιτάχυν-

σης - χρόνου, ταχύτητας χρόνου και µετατόπι-

σης - χρόνου.

12. Σώµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση, σύµφωνα µε τα στοιχεία του διπλανού πί-

νακα.


β. Να κατασκευαστούν τα διαγράµµατα επιτάχυν-

σης - χρόνου, ταχύτητας - χρόνου και µετατόπι-

σης - χρόνου.

õ(m/s)

t(sec)0 2 5 6

10A B

Ã

á (m/s )2

0

50

õ (m/s) t (s) x (m)

0

14

0


Ερώτηση 1Να χαρακτηριστούν οι παρακάτω προτάσεις µε (Σ) αν είναι σωστές και µε (Λ) αν

είναι λανθασµένες:

α. Ένα αυτοκίνητο έχει σταθερή επιβράδυνση 24m / s . Αυτό σηµαίνει ότι η ταχύτητά

του µειώνεται κατά 4m / s κάθε δευτερόλεπτο.

β. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση η επιτάχυνση είναι ανάλογη του

χρόνου κίνησης.

Ερώτηση 2Τι ονοµάζεται επιτάχυνση; Ποιά η µαθηµατικής της έκφραση; Ποιές οι µονάδες

µέτρησής της στο S.I.;

Ερώτηση 3Να συµπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις:

α. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση η .................... είναι σταθερή.

β. Από την κλίση στο διάγραµµα .................... - χρόνου υπολογίζουµε την επιτάχυνση,

ενώ από το εµβαδό στο διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου υπολογίζεται η ....................

Άσκηση 1Ένα κινητό ξεκινάει από την ηρεµία κινούµενο µε σταθερή επιτάχυνση

2α 5m / s= .

Να υπολογιστεί.

α. Η ταχύτητα και η µετατόπισή του που θα έχει τη χρονική στιγµή t 8s=β. Ποιά χρονική στιγµή η ταχύτητά του θα είναι 50m / s ;

Άσκηση 2Στο διπλανό διάγραµµα παριστάνεται η ταχύτητα ενός

κινητού σε σχέση µε το χρόνο.

α. Να βρεθούν τα είδη των κινήσεων από

1t 0s εως t 10s= = και 1 2t 10s εως t 20s= = .

β. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση από 1 2t 10s εως t 20s= = .

γ. Να γίνει το αντίστοιχο διάγραµµα α - t.

õ(m/s)

t(sec)0 10 20

20


Eρωτήσεις:1. Συµπλήρωση

α. Ταχύτητα β. χρονικό διάστηµα

γ. οµαλά µεταβαλλόµενη δ. µειώνεται

2. Α. Το γ είναι το σωστό. Β. Το α είναι το σωστό.

3. α γ→ επειδή α = σταθ. β α→ , επειδή υ α· t=

γ β→ , επειδή 21x α·t

2=

4. α. Η επιτάχυνση µας εκφράζει τον ρυθµό µεταβολής της ταχύτητας.

Αν για παράδειγµα έχουµε ένα αυτοκίνητο που εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση µε

σταθερή ταχύτητα τότε η µεταβολή της ταχύτητας είναι ίση µε µηδέν άρα και η

επιτάχυνση είναι µηδέν. ∆ηλαδή από αυτό το παράδειγµα καταλαβαίνουµε ότι αν

η επιτάχυνση είναι µηδέν για ένα κινητό δεν σηµαίνει ότι θα είναι µηδενική και η

ταχύτητα του κινητού, γιατί µπορεί να εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση.

β. Μηδενική στιγµιαία ταχύτητα σε µια κίνηση δεν σηµαίνει κατ’ανάγκη και µηδενι-

κή επιτάχυνση. Αν για παράδειγµα βρισκόµαστε µέσα σ’ένα αυτοκίνητο που ανε-

βαίνει ένα ανηφορικό δρόµο και ο οδηγός βγάλει την ταχύτητα, τότε το αυτοκίνη-

το θα αρχίσει να επιβραδύνεται µέχρι που κάποια στιγµή θα µηδενισθεί η ταχύτη-

τα ακαριαία και αµέσως µετά θα αρχίσει να κινείται το αυτοκίνητο προς τα πίσω.

Αυτό συµβαίνει επειδή η επιτάχυνση µε την οποία κινείται το αυτοκίνητο αρχικά

έχει αντίθετη κατεύθυνση από την φορά κίνησης. Φυσικά παρατηρούµε ότι ενώ

κάποια στιγµή µηδενίζεται η ταχύτητα του κινητού η επιτάχυνση είναι διάφορη

του µηδενός.

5. Έχουµε ότι: ∆υ

α ∆υ α·∆t∆t

= ⇒ = (1)

α. Για 2∆t 1s ∆υ 4m / s ·1s 4m / s= → = = β. Για 2

∆t 2s ∆υ 4m / s ·2s 8m / s= → = =

6. Παρατηρούµε ότι σε ίσα χρονικά διαστήµατα οι µετατοπίσεις της µπάλας είναι


ÂÉÂËÉÏÕ

(óåë. 36 - 39)


άνισες δηλαδή 1 2∆x ∆x≠ και µάλιστα 2 1∆x ∆x> , οπότε η κίνηση είναι ευθύγραµµη

οµαλά επιταχυνόµενη.

Για να υπολογίσουµε την επιτάχυνση της µπάλας τα όργανα που θα χρειαστούµε

είναι µετροταινία και χρονόµετρο ή όργανο µέτρησης της στιγµιαίας ταχύτητας.

Περίπτωση 1. Όταν 2 1 3 2∆t t t t t= − = −Αν καταφέρουµε να µάθουµε τις τιµές των στιγµιαίων ταχυτήτων τότε από την

σχέση ∆υ

α∆t

= θα έχουµε ότι τα µέτρα: 2 1 2 1

2 1

υ υ υ υα α

t t ∆t

− −= ⇒ =

− (1) ή

3 2 3 2

3 2

υ υ υ υα α

t t ∆t

− −= ⇒ =

− (2) 3 1 3 1

3 1

υ υ υ υα α

t t 2∆t

− −= ⇒ =

− (3)

Περίπτωση 2η

Αν τώρα θεωρήσουµε ότι τη χρονική στιγµή t1 η σφαίρα ξεκινάει από την ηρεµία τότε

µετρώντας µε την βοήθεια µετροταινίας τις µετατοπίσεις ∆x1 ή ∆x

2 και γνωρίζοντας

το χρονικό διάστη µα 1 2 1∆t t t ∆t= − = ή 3 3 1∆t t t 2∆t= − = θα έχουµε:

2 11 1 2

2∆x1∆x α·∆t α

2 ∆t= ⇒ = (1)

ή ( )

2 2 22 3 2 2

2∆x 2∆x1∆x α·∆t α α

2 4·∆t2·∆t= ⇒ = ⇒ = (2)

7. Για το αυτοκίνητο: AΑ

∆υα

∆t= (1) Για τη µοτοσυκλέτα: M

M

∆υα

∆t= (2)

∆ιαιρώντας κατά µέλη τις (1) και (2) θα έχουµε:

A

Α A

Μ Α

MΜ M

∆υ

α ∆υ 70m / s 60m / s 1∆t α 2α∆υα ∆υ 20m / s 0m / s 2

∆t

−= = = = ⇒ =−

άρα Μ Αα α> .

t2 t3t1

õ1 õ2 õ3

Äx1

Äx2


Περισσότερο πλησιάζει το 2ο

διάγραµµα.

Ôá

÷ýôç

ôá

÷ñüíïò

õ (m/s)

t(s)

ÅõèýãñáììçïìáëÜ

åðéôá÷õíüìåíç

Ôá

÷ýôç

ôá

÷ñüíïò

õ (m/s)

t(s)


åðéâñáäõíüìåíç

Ôá

÷Þôç

á

÷ñüíïò

õ (m/s)

t(s)

ÅõèýãñáììçïìáëÞêßíçóç Å

ðéô

Ü÷õ

íóç

÷ñüíïò

á ( )m/s2

t(s)


åðéôá÷õíüìåíç

Ôá

÷ýôç

ôá

÷ñüíïò

õ (m/s)

t(s)

ÅõèýãñáììçïìáëÞ

9.

8.

10.

ÈÝó

ç

÷ñüíïò

(m)

t(s)

Áêéíçóßá

(åðåéäÞ óôáè)x =

ÈÝó

ç

÷ñüíïò

(m)

t(s)


åðéôá÷õíüìåíç.ÅðåéäÞ ôï

åßíáé áíÜëïãïôïõ ôåôñáãþíïõ

ôïõ ÷ñüíïõ

x

ÈÝó

ç

÷ñüíïò

(m)

t(s)

ÅõèýãñáììçïìáëÞ

êßíçóç.ÅðåéäÞ ôï

åßíáé áíÜëïãïôïõ ÷ñüíïõ

x


Ασκήσεις:1. Από τον ορισµό της µέσης επιτάχυνσης το µέτρο είναι:

22 1υ υ∆υ 16m / s 10m / sα 2m / s

∆t ∆t 3s

− −= = = =

Η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι ίδια µε την κατεύθυνση της αρχικής ταχύ-

τητας 0υ

.

2. Το µέτρο της µέση επιτάχυνση µας δίνεται από την σχέση: 2 1υ υ∆υα

∆t ∆t

−= = (1)

Από 1υ 0m / s= , ο δροµέας αποκτά ταχύτητα 2υ 10m / s= .

Άρα η 210m / s 0m / s(1) α α 12,5m / s

0,8s

−⇒ = ⇒ =

3. Οι εξισώσεις της ευθύγραµµης οµαλής επιταχυνόµενης κίνησης χωρίς αρχική

ταχύτητα είναι: 21υ α· t (1) ∆x α· t (2)

2= =

α. Από την (1) για 2t 5s υ 1m / s ·5s υ 5m / s= ⇒ = ⇒ =

β. Από την (2) για 2 21t 5s ∆x 1m / s ·25s 12,5m

2= ⇒ = =

4. Η εξίσωση της ταχύτητας στην ευθύγραµµη οµαλή επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς

αρχική ταχύτητα είναι 2

υ 18m / sυ α· t t t t 6s

α 3m / s= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

5. Από την εξίσωση της µετατόπισης στην ευθύγραµµη οµαλή επιταχυνόµενη κίνηση

θα έχουµε ότι: 2 22 2

1 2∆x 2·3m∆x α· t α α 6m / s

2 t 1s= ⇒ = = ⇒ =

6. Από τον ορισµό της µέσης επιτάχυνσης έχουµε ότι:

2∆υα ∆υ α·∆t 4m / s ·2,5s ∆υ 10m / s

∆t= ⇒ = = ⇒ = (µεταβολή ταχύτητας)

Τώρα έχουµε ότι: 2 1 2 1 2∆υ υ υ υ ∆υ υ υ (10 2)m / s 12m / s= − ⇒ = + ⇒ = + =

7. Από τον ορισµό της µέσης επιτάχυνσης θα έχουµε:

α. 22 1υ υ∆υ 0m / s 24m / s

α α α 8m / s∆t ∆t 3s

− −= = ⇒ = ⇒ = −


2010

B

A4

2

O

E = xABO Ä

t(s)

õ(m/s)

β. αν 2α

α΄ 4m/s2

= = − , τότε: 2 12

υ υ∆υ 0m / s 24m / sα΄ ∆t΄ ∆t΄ 6s

∆t α΄ 4m / s

− −= ⇒ = = ⇒ =−

8. Από τον ορισµό της µέσης επιτάχυνσης θα έχουµε ότι το µέτρο:

2 1 2 12

υ υ υ υ∆υ 3m / s 22m / sα α ∆t ∆t ∆t 9s

∆t ∆t α 2m / s

− − −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =−

9. Από τις εξισώσεις για την ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική

ταχύτητα θα έχουµε: 2υ 24m / sυ α· t α α α 2m / s

t 12s= ⇒ = ⇒ = ⇒ = (1)

Άρα 2 2 21 1∆x α· t 2m / s ·(12s) ∆x 144m

2 2= = ⇒ =

10. α. Επειδή η ταχύτητα είναι ανάλογη του χρόνου θα έχουµε ότι η κίνηση θα είναι ευθύ-

γραµµη οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα άρα: 2 1

2 1

υ υ∆υα

∆t t t

−= =

− (1)

2 1

1 2

Για t 0s υ 0m / s(2)

Για t 20s υ 4m / s

= → = = → =

Άρα η (2)

2(1) α 0,2m / s⇒ =

β. Η µετατόπιση του κινητού µπορεί να υπολογισθεί µε δύο τρόπους:

1ος τρόπος: Από την εξίσωση της µετατόπισης

2 2 21 1∆x α· t 0,2m / s ·(20s) ∆x 40m

2 2= = ⇒ =

2ος τρόπος (γραφικά)

Το εµβαδόν του σχήµατος που προκύπτει από την

γραµµή της γραφικής παράστασης ταχύτητας -

χρόνου µε τον άξονα του χρόνου είναι αριθµητι-

κά ίσο µε την µετατόπιση

( ) ( )ABO

1 1∆x E AB · OB 4m / s·20s 40m

2 2= = = =

11. Η γραφική παράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση µε το χρόνο.

α. Στο χρονικό διάστηµα από (0 έως 10) sec το κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση µέτρου

21 1

∆υ 4m / s 0m / sα α 0, 4m / s

∆t 10s 0s

−= = ⇒ =−

.

β. Στο χρονικό διάστηµα από (10 έως 25)s το κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή

κίνηση µε ταχύτητα υ 4m / s= .

γ. Στο χρονικό διάστηµα από (25 έως 35)s το κινητό εκτελεί ευθύγραµµη οµαλά επιβρα-

δυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση µέτρου 23 3

∆υ 2m / s 4m / sα α 0,4m / s

∆t 30s 25s

−= = ⇒ = −−

Ποιά κίνηση ονοµάζουµε ελεύθερη πτώση;

Ελεύθερη πτώση ονοµάζουµε την κίνηση που πραγ-

µατοποιεί ένα σώµα όταν σε αυτό η µόνη δύναµη που επι-

δρά είναι το βάρος του. Είναι κίνηση ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη µε σταθερή επιτάχυνση α g=

που ονοµάζε-

ται επιτάχυνση της βαρύτητας και έχει τιµή που εξαρτάται:

α. Από το ύψος από την επιφάνεια της θάλασσας που βρί-

σκεται το σώµα και εκτελεί την κίνηση αυτή.

Όσο µεγαλώνει το ύψος η επιτάχυνση της βαρύτητας µειώ-

νεται

β. Από το γεωγραφικό πλάτος δηλ. από την απόσταση σε

σχέση µε τον ισηµερινό ή τους πόλους της γης.

Όσο πλησιάζουµε τους πόλους η επιτάχυνση της βαρύτη-

τας αυξάνεται ενώ όσο πλησιάζουµε τον ισηµερινό η επι-

τάχυνση της βαρύτητας µειώνεται.

Η τιµή της επιτάχυνσης της βαρύτητας στο γεωγραφικό πλά-

τος της Ελλάδος είναι περίπου g= 9,81m/s2 ,εµείς όµως θα

το θεωρούµε στις ασκήσεις περίπου g=10m/s2.

Ποιοί είναι οι νόµοι της ελεύθερης πτώσης;

Η ελεύθερη πτώση είναι µια κίνηση ευθύγραµµη

οµαλά επιταχυνόµενη µε σταθερή επιτάχυνση α g=

. Επο-

µένως ισχύουν οι νόµοι της ευθύγραµµης οµαλά επιταχυ-

νόµενης κίνησης χωρίς αρχική ταχύτητα.

Ελεύθερη πτώση είναι

η κίνηση του σώµατος

που γίνεται µε την

επίδραση του βάρους

του µόνο


5 Åëåýèåñç ðôþóçÅëåýèåñç ðôþóç

Η ελεύθερη πτώση

είναι ευθύγραµµη

οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση

76. Ελεύθερη πτώση

α. Νόµος επιτάχυνσης στην ελεύθερη πτώση είναι: η επι-

τάχυνση παραµένει σταθερή α = g

= σταθ.

Γραφική παράσταση επιτάχυνσης βαρύτητας - χρόνου

κοντά στην επιφάνεια της γης:

β. Νόµος ταχύτητας στην ελεύθερη πτώση είναι: Η ταχύ-

τητα στην ελεύθερη πτώση είναι µια ποσότητα ανάλο-

γη µε το χρόνο που αποκτήθηκε: υ = g · t

Γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου στην ελεύθερη

πτώση:

γ. Νόµος της µετατόπισης ύψους στην ελεύθερη πτώση:

Η µετατόπιση είναι µια ποσότητα ανάλογη του τετρα-

γώνου του χρόνου κίνησης: 21y = g ·t

2

Γραφική παράσταση ύψους –

χρόνου στην ελεύθερη πτώση:

á(m/s )2

t(s)

õ(m/s)

t(s)

y(m)

t(s)

y(m)

t (s )2 2

1. Η ελεύθερη πτώση είναι µια ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση.

2. Οι εξισώσεις κίνησης στην ελεύθερη πτώση είναι ίδιες µε αυτές στην

ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση (µε επιτάχυνση g)

υ g t= ⋅ , 21

y g t2

= ⋅

3. Η επιτάχυνση της βαρύτητας g εξαρτάται:

α. από το γεωγραφικό πλάτος του τόπου που γίνεται η ελεύθερη πτώση

β. από το ύψος του σηµείου που βρίσκεται το σώµα σε σχέση µε την επιφάνεια

της θάλασσας.

Γραφική παράσταση ύψους

– τετραγώνου χρόνου στην

ελεύθερη πτώση:

77.Ελεύθερη πτώση

Ένα σώµα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h. Το σώµα φτάνει στο έδαφος

µετά από 5s. Να βρείτε:

α. Από ποιό ύψος αφήσαµε, το σώµα;

β. Με τί ταχύτητα φτάνει στο έδαφος;

γ. Πόσο απέχει από το έδαφος 1s πριν φτάσει σε αυτό; Τι ταχύτητα έχει τότε;

∆ίνεται 2g = 10m/s .

Λύση

To σώµα θα εκτελεί ελεύθερη πτώση οπότε θα ισχύουν

οι εξισώσεις: 21y gt (1)

2= και υ gt (2)=

α. Το ύψος από το οποίο αφήνεται το σώµα θα βρεθεί

εφαρµόζοντας τη σχέση (1) αντικαθιστώντας t 5s= .

Eίναι: 2 2 21 1h gt 10m / s ·(5s) 125m

2 2= = =

β. Η ταχύτητα που θα έχει το σώµα όταν φτάνει στο έδαφος θα βρεθεί από τη σχέση (2)

αντικαθιστώντας t 5s= . Είναι: 2υ gt 10m / s ·5s 50m / s= = =

γ. Αφού ο συνολικός χρόνος κίνησης του σώµατος είναι

t 5s= , το σώµα 1s πριν φτάσει στο έδαφος θα έχει

κινηθεί για 4s. Η απόσταση που έχει καλύψει στο χρόνο

αυτό θα βρεθεί από τη σχέση (1) αντικαθιστώντας

1t t 4s= = .

Είναι: 2 2 2

1 1

1 1y gt ·10m / s ·(4s) 80m

2 2= = = .

Άρα θα απέχει από το έδαφος απόσταση:

2 1y h y (125 80)m 45m= − = − =

Η ταχύτητα που θα έχει τότε προκύπτει από τη σχέση (2) αντικαθιστώντας 1t t 4s= = .

Είναι: 21υ gt 10m / s ·4s 40m / s= = =

t = 0s

h = ;

t = 5sõ

t =0

y1

y2

t = 5s

t = s1 4

õ1h=125m


Ένα σώµα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από ύψος h = 45m Να βρείτε:

α. Μετά από πόσο χρόνο θα φτάσει το σώµα στο έδαφος;

β. Με τι ταχύτητα θα φτάσει στο έδαφος;

γ. Να κατασκευάσετε τα διαγράµµατα, ταχύτητας - χρόνου ,θέσης – χρόνου και

επιτάχυνσης - χρόνου. ∆ίνεται 2g = 10m/s .

Λύση

α. Ο υπολογισµός του χρόνου που κάνει το σώµα για να

φτάσει στο έδαφος προσδιορίζεται από τη σχέση

21y gt

2= αντικαθιστώντας y h 45m= = .

Είναι: 22

1 2h 2·45mh gt t 3s

2 g 10m / s= ⇒ = = = .

β. Η ταχύτητα που θα έχει το σώµα όταν φτάνει στο έδαφος θα βρεθεί από τη σχέση

υ gt= αντικαθιστώντας t 3s= . Είναι: υ gt 30m / s= = .

γ. Το διάγραµµα ταχύτητας - χρόνου είναι ευθεία γραµµή που ξεκινάει από την αρχή

των αξόνων µέχρι την τιµή της ταχύτητας που προκύπτει για ( )t 3s υ 30m / s= = .

Το διάγραµµα θέσης - χρόνου είναι καµπύλη γραµµή που ονοµάζεται παραβολή.

Για να την κατασκευάσουµε, βρίσκουµε µερικά σηµεία.

Για t 1s= είναι: 21

1y gt 5m

2= = .


2

1y gt 20m

2= = .


3

1y gt 45m

2= = .

Τα διαγράµµατα ταχύτητας - χρόνου και Το διάγραµµα επιτάχυνσης - χρόνου

θέσης – χρόνου φαίνονται στα παρακάτω θα είναι µια ευθεία παράλληλη στον

σχήµατα. Άξονα του χρόνου αφού εκτελεί ελεύ-

θερη πτώση µε 2α g 10m / s= = .

t = 0

h = 45m

tõ

0

10

á(m/s )2

t(s)30

30

õ(m/s)

t(s)3 0

30

40

10

20

y(m)

t(s)1 2 3


Παρατήρηση

Ο χρόνος για να φτάσει στο έδαφος ένα αντικείµενο που εκτελεί ελεύθερη πτώση

εξαρτάται µόνο από το ύψος που βρίσκεται και όχι από την µάζα του.

Ο χρόνος είναι πάντα 2h

t =g

.

Η ταχύτητα µε την οποία φτάνει στο έδαφος το σώµα είναι υ = 2gh .


1. Ποιά κίνηση ονοµάζεται ελεύθερη πτώση;

2. Γιατί µέσα στον αέρα ένα βότσαλο πέφτει γρηγορότερα από ένα φύλλο δένδρου, ενώ

στο κενό τα δυο σώµατα πέφτουν ταυτόχρονα όταν αφεθούν από το ίδιο ύψος;

3. Τι ονοµάζεται βαρυτική επιτάχυνση; Από ποιούς παράγοντες εξαρτάται;

4. Να διατυπωθεί ο νόµος της ελεύθερης πτώσης. Να γραφούν οι αντίστοιχες εξισώσεις

και να γίνουν τα διαγράµµατα ταχύτητας -χρόνου και µετατόπισης – χρόνου.

Επιλέξτε τη σωστή απάντηση

5. Η ελεύθερη πτώση των σωµάτων είναι κίνηση:

α. ευθύγραµµη οµαλή

β. ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη µε αρχική ταχύτητα

γ. ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα

δ. µεταβαλλόµενη µε επιτάχυνση που αυξάνεται

6. Η επιτάχυνση της βαρύτητας:

α. αυξάνεται όσο αυξάνεται το γεωγραφικό πλάτος και όσο µειώνεται το ύψος από

την επιφάνεια τη θάλασσας.

β. αυξάνεται όσο µειώνεται το γεωγραφικό πλάτος και το ύψος από την επιφάνεια τη

θάλασσας.

γ. αυξάνεται όσο αυξάνεται το γεωγραφικό πλάτος και το ύψος από την επιφάνεια τη

θάλασσας.

δ. αυξάνεται όσο µειώνεται το γεωγραφικό πλάτος και όσο αυξάνεται το ύψος από

την επιφάνεια τη θάλασσας.


7. ∆ύο σφαίρες µε µάζες m και 2m που βρίσκονται στον ίδιο τόπο αφήνονται την ίδια

χρονική στιγµή και από το ίδιο ύψος. Τότε:

α. Η δεύτερη σφαίρα φθάνει γρηγορότερα στο έδαφος.

β. Οι δύο σφαίρες κινούνται µε διαφορετική επιτάχυνση.

γ. Και οι δύο σφαίρες φθάνoυν συγχρόνως στο έδαφος, αλλά η δεύτερη σφαίρα φθάνει

µε µεγαλύτερη ταχύτητα.

δ. Και οι δύο σφαίρες φθάνoυν συγχρόνως στο έδαφος έχοντας την ίδια ταχύτητα

8. Η επιτάχυνση και η ταχύτητα ενός σώµατος που εκτελεί ελεύθερη πτώση έχουν

α. ίδια κατεύθυνση και ίδιο µέτρο β. ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετη φορά

γ. ίδια κατεύθυνση δ. ίδιο µέτρο αλλά αντίθετη φορά

9. Στην ελεύθερη πτώση η µετατόπιση του σώµατος είναι:

α. ανάλογη µε το χρόνο

β. ανάλογη µε το τετράγωνο του χρόνου

γ. ανάλογη µε τη τετραγωνική ρίζα του χρόνου

δ. αντιστρόφως ανάλογη µε το χρόνο


10. Η επιτάχυνση και η ταχύτητα ενός σώµατος που εκτελεί ελεύθερη πτώση έχουν την

ίδια κατεύθυνση.

11. Κατά την ελεύθερη πτώση η ταχύτητα αυξάνεται ανάλογα µε το χρόνο.

12. Στην ελεύθερη πτώση το σώµα που πέφτει διανύει σε ίσους χρόνους ίσες µετατοπίσεις.

Να συµπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω πρότασεις:

13. Η ελεύθερη πτώση των σωµάτων είναι κίνηση ευθύγραµµη ………. ………… µε

επιτάχυνση σταθερή και ίση µε την επιτάχυνση της …………..

14.Η επιτάχυνση της βαρύτητας εξαρτάται από: (α) το ……… από την επιφάνεια της

θάλασσας και (β) το ………… πλάτος που βρισκόµαστε.

15.Η επιτάχυνση της βαρύτητας στους πόλους της Γης είναι ……….. από ότι στον

ισηµερινό.


1. Μια µικρή µπάλα αφήνεται ελεύθερη από την κορυφή κτιρίου ύψους H 80m= .

α. Ποιά είναι η ταχύτητα και η θέση της µπάλας t 2s= µετά το ξεκίνηµα της µπάλας;

β. Πόση απόσταση έχει διανύσει η µπάλα τη στιγµή που έχει αποκτήσει ταχύτητα

υ΄ 30m / s= ;

γ. Ποια στιγµή φθάνει στο έδαφος και µε ποιά ταχύτητα; ∆ίνεται 2g 10m / s=

δ. Να κάνετε τα διαγράµµατα ταχύτητας – χρόνου και θέσης – χρόνου της µπάλας.

2. Μια µικρή µπάλα αφήνεται ελεύθερη από την κορυφή κτιρίου ύψους H. Η διάρκεια

πτώσης της είναι t 9s= . ∆ίνεται 2g 10m / s=

α. Να βρείτε το ύψος H

β. Ποιά είναι η ταχύτητα της µπάλας όταν βρίσκεται σε ύψος h 85m= από το έδαφος;

3. Μία µικρή σιδερένια µπαλίτσα αφήνεται από την ταράτσα µιας πολυκατοικίας και

εκτελεί ελεύθερη πτώση µε επιτάχυνση βαρύτητας 2g 10m / s= . Όταν το σώµα προ-

σπερνά τον 4ο όροφο έχει ταχύτητα 1υ 30m / s= και όταν χτυπά στο έδαφος έχει

ταχύτητα 2υ 60m / s= .

α. Να βρείτε το ύψος της πολυκατοικίας

β. Να βρείτε πόσο απέχει ο 4ο όροφος από το έδαφος

γ. Να κάνετε τα διαγράµµατα ταχύτητα - χρόνου και θέσης - χρόνου της µπαλίτσας

από το σηµείο που αφέθηκε.

4. Μία µικρή σιδερένια µπαλίτσα αφήνεται από ύψος Η ελεύθερα (αµελητέα η αντίστα-

ση του αέρα) και χωρίς αρχική ταχύτητα.

α. Πότε η µπαλίτσα θα φθάσει γρηγορότερα στο έδαφος ,όταν πέφτει στο βόρειο

πόλο ή όταν πέφτει στο ισηµερινό;

β. Η ταχύτητα µε την οποία φθάνει στο έδαφος είναι µεγαλύτερη, όταν πέφτει στο

βόρειο πόλο ή όταν πέφτει στο ισηµερινό. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας.


Ερώτηση 1Να αντιστοιχίσετε το είδος της κίνησης της αριστερής στήλης µε τις εξισώσεις της δεξιάς στήλης.

Είδος κίνησης Εξίσωση

1.ευθύγραµη οµαλά α. υ g· t= επιταχυνόµενη β. x υ· t=

2.ευθύγραµµη οµαλή γ. 21

x α· t2

=

3.ηρεµία δ. υ σταθ.=ε. α σταθ.=

4.ελεύθερη πτώση στ. x σταθ.=

Ερώτηση 2Ποιά κίνηση λέγεται ελεύθερη πτώση; Τί είδους κίνηση είναι;

Ερώτηση 3Από ποιούς παράγοντες και πώς εξαρτάται η επιτάχυνση της βαρύτητας;

Άσκηση 1Μια µικρή µπάλα αφήνεται να πέσει ελεύθερη από την ταράτσα µιας πολυκατοικίας

ύψους h 35m= . Να υπολογίσετε:

α. Την ταχύτητα µε την οποία φθάνει στο έδαφος η µπάλα.

β. Τον χρόνο που χρειάζεται για να φθάσει στο έδαφος. (∆ίνεται 2g 10m / s= )

Άσκηση 2Μικρή σφαιρική σιδερένια µπάλα πέφτει από την κορυφή ενός κτιρίου. Μετά από

10s η µπάλα φθάνει στο έδαφος. Να βρεθεί:

α. Το ύψος του κτιρίου.

β. Η ταχύτητα που έχει η µπάλα την χρονική στιγµή t 5s= . (∆ίνεται 2g 10m / s= ).

Πόσο απέχει από το έδαφος τότε;


Eρωτήσεις:1. Οι δύο σφαίρες θα εκτελέσουν ελεύθερη πτώση δηλαδή ευθύγραµµη οµαλή επιταχυνό-

µενη κίνηση µε την ίδια επιτάχυνση, ίση µε την επιτάχυνση της βαρύτητας. Τις αφήνουµε

από το ίδιο ύψος από την επιφάνεια του εδάφους οπότε από τις εξισώσεις της ελεύθερης

πτώσης θα χρειαστούν ίση χρονικά διαστήµατα για να φθάσουν στο έδαφος

21y g· t

2 =

και αφού τις αφήνουµε ταυτόχρονα θα φθάσουν στο έδαφος ταυτόχρονα.

2. Η αντίσταση του αέρα θα µπορεί να αγνοηθεί όταν µιλάµε για σώµατα πολύ µικρών

διαστάσεων που κινούνται βέβαια και µε µικρές ταχύτητες. Π.χ. η πτώση µιας µπί-

λιας από τον όροφο µιας µονοκατοικίας, ή η πτώση µιας µπίλιας του µπιλιάρδου

από ύψος ίσο µε το ύψος του τραπεζιού.

∆εν µπορούµε να αγνοήσουµε την αντίσταση του αέρα όπως στην πτώση ενός αλεξιπτω-

τιστή, όπως επίσης και στην πτώση µιας µπάλας από τον 1ο όροφο µιας πολυκατοικίας.

3. Η ατσάλινη σφαίρα θα εκτελεί ελεύθερη πτώση στον ισηµερινό αλλά και στο βόρειο

πόλο οπότε η εξίσωση της µετατόπισης θα δίνεται από την σχέση: 21y g · t

2= . Όταν

λύσουµε αυτήν την εξίσωση ως προς το χρόνο θα έχουµε:

2 21 2y 2yy g· t t t

2 g g= ⇒ = ⇒ =

Για τον ισηµερινό: ισ

ισ

2yt

g= (1), για τον βόρειο πόλο:

Β.Π.

B.Π.

2yt

g= (2)

Το ύψος y είναι το ίδιο όµως Β.Π. ισg g> , άρα από τη (1) και (2) θα έχουµε: ισ Β.Π.t t> .

∆ηλαδή γρηγορότερα θα φθάσει στο έδαφος στο Βόρειο Πόλο.

4. Στην Σελήνη ισχύει ότι: Σ Γ

1g g

6= (1)


ÂÉÂËÉÏÕ

(óåë. 43 - 44)


Έστω y το ύψος από το οποίο αφήνεται η µπάλα στη Σελήνη και στη Γη, ενώ tΣ και

tΓ είναι οι αντίστοιχοι χρόνοι κίνησης.

Ισχύει ότι:

2Σ

Σ ΣΣ

2Γ Γ

Γ

Γ

2y1 t (2)y g · t g21 2yy g · t t (3)2 g

= = ⇒ ⇒ = =

∆ιαιρώ κατά µέλη τις (2) και (3):

(1)ΣΣ Σ Σ Γ

Σ Γ

Γ ΓΓ

ΓΓ

2y 2ygt t g g

6 1 t t2y 1t t2y ·gg 6g

= ⇒ = = = > ⇒ >

Εποµένως ο χρόνος πτώσης της µπάλας είναι µεγαλύτερος στην Σελήνη.

β. Αν τώρα υΣ και υ

Γ είναι οι ταχύτητες µε τις οποίες φτάνει η µπάλα στο έδαφος

αντίστοιχα θα έχουµε ότι: Σ Σ Συ g · t= (5) και Γ Γ Γυ g · t= (6)

Από (5) και (6): (1) Γ Γ

Σ Σ Σ Σ

Σ Γ(4)Γ Γ Γ Γ Γ Γ

1g · 6 · t

υ g · t υ 66 1 υ υυ g · t g · t υ 6

= = ⇒ = < ⇒ <

οπότε η µπάλα θα φτάσει µε µεγαλύτερη ταχύτητα στην επιφάνεια της Γης.

5. Η µέγιστη δυνατή επιτάχυνση θα είναι ίση µε την επιτάχυνση της βαρύτητας

( )maxα g= όταν το κεκλιµένο επίπεδο είναι κατακόρυφο.

Αν το επίπεδο γίνει οριζόντιο τότε α = 0 ενώ αν σχηµατίσει µια γωνία µε τον

ορίζοντα τότε:

min maxα 0 α α g= < < =

Aσκήσεις:1. Εφόσον η πέτρα πέφτει ελεύθερα εκτελεί ελεύθερη πτώση δηλαδή ευθύγραµµη

οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση και ίση µε την επιτάχυνση της

βαρύτητας δηλαδή 2α g 10m / s= = . Οπότε η ένδειξη του ταχυµέτρου θα αυξάνεται

κατά ∆υ 10m / s= σε κάθε ένα δευτερόλεπτο. Οι µετατοπίσεις της πέτρας σε κάθε

δευτερόλεπτο της κίνησης θα είναι άνισες επειδή η κίνηση είναι ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη (και όχι ευθύγραµµη οµαλή που σε ίσα χρονικά διαστήµατα διανύει

ίσες µετατοπίσεις). Μπορούµε να υπολογίσουµε την αύξηση της µετατόπισης σε

σχέση µε το χρόνο ως εξής:

Αν την χρονική στιγµή t1 = t η θέση του κινητού από την θέση που το αφήσαµε


είναι 2

1 1

1y g · t

2= (1), την χρονική στιγµή 2t t 1= + η θέση του κινητού θα είναι

22 2

1y g · t

2= (2). Άρα η µετατόπιση θα είναι:

( ) ( )( )(1)

2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 1 2 1

(2)

1 1 1 1∆y y y ∆y g· t g · t g t t g · t t t t

2 2 2 2= − ⇒ = − = − = − +

( )( ) ( )1 1∆y g t 1 t t 1 t g 2t 1

2 2= + − + + = + ⇒ ( )1

∆y g 2t 12

= + → Βλέπουµε ότι µε την

πάροδο του χρόνου αυξάνεται η µετατόπιση ενός κινητού ανά δευτερόλεπτο κίνησης.

2. Οι εξισώσεις που έχουµε για την ελεύθερη πτώση είναι:

υ g· t= (1) 21y g · t

2= (2) 2

α g 10m / s= = (3)

α. Η τιµή της επιτάχυνσης του κινητού θα είναι η ίδια 2α 10m / s= .

β. Η ταχύτητα από την (1) 2υ 10m / s ·5s υ 50m / s⇒ = ⇒ =

γ. Η µετατόπιση από την (2) 2 21

y 10m / s ·(5s) 125m2

⇒ = =

3. Η ατσάλινη σφαίρα θα εκτελεί ελεύθερη πτώση άρα οι εξισώσεις που περιγράφουν

την κίνηση θα είναι: υ g· t= (1) 21

y g · t2

= (2) 2α g 10m / s= = (3)

α. Για t = 1s από την (1) υ 10m / s⇒ = .

β. Όταν t 2s= τότε y h= όπου h είναι το ύψος του σηµείου Α από το έδαφος. Άρα

από την (2) θα έχουµε: 2 21h 10m / s ·(2s) 20m

2= =

4. α. Η κίνηση που κάνει ένας αθλητής είναι ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

µε επιτάχυνση 2α g 10m / s= = . Οι εξισώσεις κίνησης είναι:

21y g · t

2= (1) και υ g· t= (2) . Από την (1):

2yt

g= (3)

∆ιαδοχικά για 1 2y 1m, y 3m= = και 3y 10m= θα έχουµε:

1 2t 0, 447s, t 0,775s= = και 3t 1, 414s=β. Οι ταχύτητες που θα έχει ο αθλητής όταν έρχεται σε επαφή µε το νερό θα µας

δίνονται από την (2) για τις διάφορες χρονικές στιγµές αντίστοιχα.

1 2 3υ 4, 47m / s, υ 7,75m / s, υ 14,14m / s= = =

F1

F3

F2

F12

F

F = 10N

F = 10N

x

x

F = 6N1

F =2

W

x

y´

F

x´

y

45ï N

Fêéí

W

T

Fm

F

2m

F=

10N

T=

8N

á

w

w´

F = 10N

F = 10N

x

x

F = 6N1

W

Fm

F

2m

F=

10N

N

á

6 âéâëéïìÜèçìá:






ï

ï

ï

ï

ï

ï

ÄõíÜìåéò - Ç äýíáìç ùò äéÜíõóìá

Ðñþôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí êßíçóç

Äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí êßíçóç

ÂÜñïò êáé âáñõôéêÞ äýíáìç

ÔñéâÞ

Ôñßôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá







ï

ï

ï

ï

ï

ï

ÄõíÜìåéò - Ç äýíáìç ùò äéÜíõóìá

Ðñþôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí êßíçóç

Äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá ãéá ôçí êßíçóç

ÂÜñïò êáé âáñõôéêÞ äýíáìç

ÔñéâÞ

Ôñßôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá

F2w

w´ÊåöÜëáéï 2

ï

Τυπολόγιο - Ορισµοί B΄ Κεφαλαίου

∆ύναµη: Η αιτία που προκαλεί µεταβολή

στην ταχύτητα ή παραµορφώνει ένα σώµα.

Η δύναµη είναι διανυσµατικό µέγεθος.

Έχει µέτρο, διεύθυνση και φορά.

Συνισταµένη δύναµη Fολ.: Είναι η δύ-

ναµη που έχει το ίδιο αποτέλεσµα µε

αυτές τις δυνάµεις που αντικαθιστά.

Αντίθετες δυνάµεις: Έχουν ίδιο µέ-

τρο, διεύθυνση και αντίθετη φορά.Το

άθροισµά τους είναι µηδέν.

Ίδια διεύθυνση, ίδια φορά:

Ίδια διεύθυνση, αντίθετη φορά:

Κάθετες:

2 2ολ. 1 2F F F= +

Τυχαίες:

Μέθοδος παραλ-

ληλογράµµου.

Αδράνεια: Η τάση των σωµάτων να

αντιστέκονται σε οποιαδήποτε µετα-

βολή της ταχύτητάς τους.

Μάζα: Το µέτρο της αδράνειας της ύλης.

Νόµος Hooke: Η δύναµη είναι ανάλο-

γη της παραµόρφωσης (F = k · x)

Ισορροπία υλικού σηµείου: Η συνι-

σταµένη δύναµη (Fολ) είναι µηδέν.

1ος Νόµος: Ένα σώµα συνεχίζει να πα-

ραµένει ακίνητο ή να κινείται ευθύγραµ-

µα και οµαλά, εφόσον η συνισταµένη δύ-

ναµη που ασκείται σε αυτό είναι µηδέν.

Αν Fολ. = 0, τότε: υ

= σταθερή ή υ

= 0

2ος Νόµος: Η επιτάχυνση που αποκτά

ένα σώµα είναι ανάλογη της συνιστα-

µένης δύναµης που ασκείται σε αυτό

και αντιστρόφως ανάλογη της µάζας.

⋅ ⇒ ολολ

FF = m α α =

m

3ος Νόµος: Οι δυνάµεις εµφανίζονται

πάντα σε ζεύγη. Όταν ένα σώµα ασκεί

δύναµη σε ένα άλλο, τότε το δεύτερο

σώµα ασκεί στο πρώτο δύναµη ίσου µέ-

τρου και αντίθετης φοράς.

F

δράσης = – F

αντίδρασης

Μονάδα δύναµης 1 Ν: Η δύναµη όταν

δρα σε ένα σώµα µάζας 1 Κg του δίνει

επιτάχυνση 1 m/s2.

1 N = 1 Kg · 1 m/s2

Νόµος παγκόσµιας έλξης: Μεταξύ δύο

σηµειακών µαζών ασκείται πάντα ελκτική

βαρυτική δύναµη που είναι ανάλογη των

µαζών και αντιστρόφως ανάλογη του τε-

τραγώνου της µεταξύ τους απόστασης.

µάζα

σταθερή

η µεταξύ τους απόσταση

⋅1 21 22

m mF = G m ,m :

dG :

d :

Βάρος: Η βαρυτική δύναµη που ασκεί

σε ένα σώµα η Γη.

w

= m · g

Τριβή: Η δύναµη που αντιστέκεται στη

σχετική κίνηση δύο επιφανειών που

βρίσκονται σε επαφή.

Τι είναι η δύναµη;

Όταν πιέσουµε το σπόγγο παραµορφώνεται. Τότε

λέµε ότι ασκούµε δύναµη στο σώµα αυτό.

Για να κινήσουµε ένα καροτσάκι πρέπει να το σπρώξουµε,

όπως και για να το σταµατήσουµε πρέπει να το τραβήξουµε

προς τα πίσω. Λέµε πάλι ότι ασκούµε δύναµη στο καρότσι.

Η δύναµη του αέρα λυγίζει τα δέντρα.

∆ύναµη είναι η αιτία που µπορεί σ’ ένα σώµα, να του αλλά-

ξει την κινητική του κατάσταση ή να το παραµορφώσει.

Πότε δύο σώµατα αλληλεπιδρούν;

Ένα σώµα που είναι κρεµασµένο σ’ένα ελατήριο το

έχει παραµορφώσει. Λέµε τότε ότι το σώµα επιδρά στο ελα-

τήριο όµως και το ελατήριο επιδρά στο σώµα. ∆ηλαδή µε-

ταξύ δύο σωµάτων οι δυνάµεις εµφανίζονται πάντα ανά

δύο. Σε καµία περίπτωση δεν θα µπορούσε να εκδηλωθεί

µια µόνο δύναµη στη φύση. Η επίδραση του ενός σώµατος

στο άλλο και αντίστροφα λέγεται αλληλεπίδραση.

Πώς κατατάσσονται οι δυνάµεις ανάλογα µε τον τρό-

πο δράσης τους;


6 ÄõíÜìåéò - Ç äýíáìç ùò äéÜíõóìáÄõíÜìåéò - Ç äýíáìç ùò äéÜíõóìá

Αλλαγή στην κινητική κατάσταση ενός σώµατος σηµαίνει ότι αν κινείται θα

µεταβληθεί η ταχύτητά του ή αν είναι ακίνητο θα αρχίσει να κινείται.

Έννοια δύναµης

Αλληλεπίδραση

σωµάτων

Προσοχή!

Βασικό γνώρισµα της

αλληλεπίδρασης είναι

η δύναµη.

90. ∆υνάµεις - H δύναµη ως διάνυσµα

Πώς µετράµε τη δύναµη; (Νόµος του Hooke).

Κρεµάµε σε δύο ίδια ελατήρια σώµατα µε διαφορετι-

κό βάρος και παρατηρούµε ότι επιµηκύνονται διαφορετικά.

Όταν αφαιρούµε τα σώµατα από τα ελατήρια επιστρέ-

φουν στην αρχική τους κατάσταση. Από τα προηγούµε-

να συµπεράσµατα γίνεται αντιληπτό ότι εκµεταλλευό-

µενοι αυτές τις παρατηρήσεις µπορούµε να φτιάξουµε

όργανα τα οποία να µετρούν δυνάµεις. Τα όργανα αυτά

λέγονται δυναµόµετρα.

Νόµος Hooke: Στο ιδα-

νικό ελατήριο η επιµή-

κυνση του είναι ανάλογη

µε την δύναµη που το

προκάλεσε.

F k ·= (m)

: επιµήκυνση

k: σταθερά ελατηρίου(Ν/m).

Η µονάδα µέτρησης της δύναµης είναι 1Ν (Νιούτον).

Ó1

Ó2

Ελαστική λέγεται η παραµόρφωση ενός σώµατος που επανέρχεται στην αρχι-

κή του κατάσταση, όταν παύουν να ενεργούν σ’αυτό δυνάµεις.

Μέτρηση δύναµης

• ∆υνάµεις επαφής εµφανίζονται όταν τα σώµατα

βρίσκονται σε επαφή και αλληλεπιδρούν. Ένα παράδειγµα

µε δυνάµεις επαφής έχουµε όταν κρεµάσουµε στο άκρο κα-

τακόρυφου ελατηρίου ένα σώµα ή η δύναµη τριβής ανάµε-

σα σε δύο επιφάνειες ή η δύναµη που ασκείται από τα υγρά

που βρίσκονται σε δοχεία στα τοιχώµατα του δοχείου.

• ∆υνάµεις από απόσταση έχουµε όταν τα σώµατα αλληλε-

πιδρούν αλλά δεν ακουµπάνε µεταξύ τους. Παραδείγµατα

τέτοιων δυνάµεων έχουµε ανάµεσα σε δύο φορτία ή σε

µαγνήτες όπως επίσης και η βαρυτική δύναµη από τη Γη

σε όλα τα σώµατα που δεν αγγίζουν στην επιφάνεια της

όπως π.χ. αεροπλάνα, αλεξίπτωτα, δορυφόροι, δυνάµεις

µεταξύ πλανητών είναι δυνάµεις από απόσταση.


Η σύγχρονη αντίληψη

είναι ότι στη φύση υ-

πάρχει αλληλεπίδρα-

ση µε τέσσερα είδη δυ-

νάµεων: ισχυρή, ηλεκ-

τροµαγνητική, ασθε-

νής και βαρυτική.

∆υνάµεις επαφής -

∆υνάµεις από απόσταση

91.∆υνάµεις - H δύναµη ως διάνυσµα

Τι µέγεθος είναι η δύναµη και πώς την απεικονίζουµε;

Από το αποτέλεσµα που µπορεί να έχει µια δύναµη

πάνω σ’ενα σώµα καταλαβαίνουµε ότι η δύναµη είναι δα-

νυσµατικό µέγεθος. Σαν παράδειγµα µπορούµε να αναφέ-

ρουµε το εξής: ∆ύναµη 10Ν εφαρµόζεται στην άκρη του

ελατηρίου στο διπλανό σχήµα.

Στην πρώτη περίπτωση το ελατήριο επιµηκύνεται ενώ στην

δεύτερη συσπειρώνεται. ∆ηλαδή διαφορετικά αποτελέσµα-

τα έχουµε αν αλλάξει η κατεύθυνση της δύναµης.

Την δύναµη την παριστάνουµε µ’ένα βέλος όπου η αρχή του

βέλους δείχνει το σηµείο στο οποίο ασκείται, το µήκος του

την τιµή της δύναµης και η αιχµή του την κατεύθυνση της.

Ποια δύναµη ονοµάζεται συνισταµένη;

Συνισταµένη δυνάµεων λέγεται η δύναµη που µπο-

ρεί να αντικαταστήσει δύο ή περισσότερες δυνάµεις που

δρουν σ’ενα σώµα προκαλώντας το ίδιο αποτέλεσµα µ’αυ-

τές, έχοντας και το ίδιο σηµείο εφαρµογής.

Πώς προσθέτουµε δύο δυνάµεις µε την ίδια κα-

τεύθυνση;

Αν έχουµε δύο δυνάµεις (συνιστώσες) µε την ίδια

κατεύθυνση που ενεργούν στο ίδιο σώµα µε το ίδιο σηµείο

εφαρµογής τότε η συνισταµένη δύναµη έχει την ίδια κα-

F = 10N

F = 10N

x

x

FïëF1

F2

áá

Η δύναµη ως


Συνισταµένη δυνάµεων

Πρόσθεση δυνάµεων µε

την ίδια κατεύθυνση

To αποτέλεσµα της δύναµης που δρα σε ένα σώµα εξαρτάται από το µέτρο της

αλλά και απο την κατεύθυνσή της.

Προσοχή!

Oι δυνάµεις που αντικα-

θιστά η συνισταµένη F

λέγονται συνιστώσες της

δύναµης F.


F = 3N1

F = 4N2

F =F +F =7Nïë 1 2

Πώς προσθέτουµε δύο δυνάµεις µε αντίθετη κατεύθυνση;

Στην περίπτωση που έχω δύο δυνάµεις να ενεργούν

στο ίδιο σώµα έχοντας αντίθετες κατευθύνσεις τότε η συνι-

σταµένη έχει την ίδια κατεύθυνση µε τη µεγαλύτερη δύνα-

µη και µέτρο ίσο µε την διαφορά των µέτρων τους.

ολ 1 2F F F= −

Για παράδειγµα αν θέλουµε να βρούµε την συνισταµένη

δύναµη των 1F και 2F στα παρακάτω σχήµατα έχουµε:

ολ 1 2F F F 5N 2N 3N= − = − =

Πώς προσθέτουµε δύο δυνάµεις µε τυχαίες κα-

τευθύνσεις;

Αν δύο δυνάµεις σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία,

τότε τη συνισταµένη τους τη βρίσκω µε τον κανόνα του

παραλληλογράµµου. Οι δύο δυνάµεις είναι οι συνιστώσες

και η διαγώνιος του παραλληλογράµµου παριστάνει τη συ-

νισταµένη δύναµη.

τεύθυνση µε τις συνιστώσεις και µέτρο ίσο µε το άθροι-

σµα των µέτρων των συνιστωσών.

ολ 1 2F F F= +

Για παράδειγµα αν θέλουµε να βρούµε την συνισταµένη

δύναµη των 1F και 2F στα παρακάτω σχήµατα έχουµε:

oλ 1 2F F F 3N 4N 7N= + = + =


αντίθετη κατεύθυνση

F = 5N1

F = 2N2F = 2N2

F = 3Nïë


Όταν δύο δυνάµεις

λέµε ότι έχουν την ίδια

κατεύθυνση εννοούµε

ότι έχουν την ίδια διεύ-

θυνση και φορά.


Όταν οι δυνάµεις έχουν

ίσα µέτρα και αντίθε-

τες κατευθύνσεις τότε

οι δυνάµεις λέγονται

αντίθετες.


Αν οι δύο δυνάµεις είναι κάθετες µεταξύ τους, από το Πυ-

θαγόρειο θεώρηµα το µέτρο της δύναµης είναι:

2 2 2oλ 1 2

F F F= + ⇒ 2 2ολ 1 2F F F= +

π.χ. ( ) ( )2 2

ολF 3N 4N= + ⇒

ολF 5N= και κατεύθυνση

που δίνεται από την εφαπτο-

µένη της γωνίας φ:

1

2

F 3εφφ

F 4= =

Πότε ένα υλικό σηµείο λέµε ότι ισορροπεί;

Ένα υλικό σηµείο ισορροπεί όταν η συνισταµένη των

δυνάµεων που ασκούνται σε αυτό είναι ίση µε το µηδέν.

F1 F1

F2 F2

Fïë Fïë

F = 3N1

F = 4N2

Fïë

ö


τυχαίες κατευθύνσεις

F = 5N1F = 5N2

F = 0ïë

Ισορροπια σώµατος

Á

B

áã

â Ã

Σε κάθε ορθογώνιο

τρίγωνο ισχύει:

Το τετράγωνο της

υποτείνουσας ισούται

µε το άθροισµα των

τετραγώνων των δύο

κάθετων πλευρών.

2 2 2α = β + γ

Οποιαδήποτε δύναµη µπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώ-

σες. Αν η αρχή της δύναµης ταυτίζεται µε την αρχή των αξόνων σε

ορθογώνιο σύστηµα και από το τέλος του διανύσµατος της δύνα-

µης φέρουµε παράλληλες προς τους δύο άξονες, τα σηµεία τοµής

µε τους άξονες καθορίζουν το τέλος των συνιστωσών. F = 8N1

F = 6N2 F =10Nïë

x

y


Τι συµπεράσµατα βγαίνουν από την πρόσθεση

δυνάµεων;

Επειδή οι δυνάµεις παριστάνονται µε διανύσµατα η

πρόσθεση τους δεν γίνεται όπως µε τους αριθµούς.

Για παράδειγµα αν έχω δύο δυνάµεις 1F 3N= και 2F 4N=τότε η συνιστάµενη δύναµη µπο-

ρεί να έχει τιµή:

ολ 1 2F F F 3N 4N 7N= + = + =αν έχουν την ίδια κατεύθυνση

ολ 2 1F F F 4N 3N 1N= − = − =αν έχουν αντίθετη κατεύθυνση

( ) ( )2 22 2ολ 1 2

F F F 3N 4N 5N= + = + =

αν έχουν κάθετες συνιστώσες

Foë

F1 F2

F1 Fïë F2

F1

F2 F = 5Nïë

Η πρόσθεση δυνάµεων

γίνεται διανυσµατικά

• Η συνισταµένη δύναµη εξαρτάται απο τις κατευθύνσεις των συνιστωσών της

και όχι µόνο από τα µέτρα τους.

• Κατά την πρόσθεση δύο δυνάµεων η συνισταµένη δύναµη παίρνει τη µεγαλύτερη

τιµή αν τα διανύσµατα έχουν την ίδια κατεύθυνση. Αν έχουν αντίθετη κατεύθυνση

παίρνει την µικρότερη τιµή, ενώ αν σχηµατίζουν γωνία η συνισταµένη παίρνει τιµή

ανάµεσα στις δύο συνισταµένες, που είναι συνάρτηση της γωνίας που σχηµατίζουν

τα δύο διανύσµατα.

• Όταν ένα υλικό σηµείο ισορροπεί µε την επίδραση δύο δυνάµεων τότε οι

δυνάµεις αυτές είναι αντίθετες.

• Όταν το υλικό σηµείο ισορροπεί µε την επίδραση

τριών δυνάµεων τότε η συνισταµένη των δύο έχει ίδιο

µέτρο και αντίθετη φορά µε την τρίτη δύναµη.

3 1,2F F− =

F1

F3

F2

F12


Πώς µεταφέρουµε δυνάµεις µε κλίµακα σε µιλιµε-

τρέ χαρτί και υπολογίζουµε τη συνισταµένη τους;

Έστω δύο δυνάµεις F1 = 20 N και F2 = 50 N, που

έχουν την ίδια κατεύθυνση.

1ο Βήµα: Επιλέγουµε την κλίµακα, δηλαδή το 1 cm σε πόσα

N αντιστοιχεί. π.χ. 1cm 10N→2ο Βήµα:Στη συνέχεια βρίσκουµε το αντίστοιχο µήκος

των δυνάµεων:

α. 1

1

1cm 10Nάρα x 2cm

x 20N

→ =→

Εποµένως το µέτρο της F1 το παριστάνουµε µε ευθύγραµ-

µο τµήµα x1 = 2 cm.

β. 2

2

1cm 10Nάρα x 5cm

x 50N

→ =→

Εποµένως το µέτρο της F2 το παριστάνουµε µε ευθύγραµ-

µο τµήµα x2 = 5 cm.

Βήµα 3ο: Ορίζουµε σηµείο αναφοράς και σχεδιάζουµε

το πρώτο ευθύγραµµο τµήµα, ενώ στη συνέχεια σχεδιά-

ζουµε το δεύτερο, αρχίζοντας από το τέλος του πρώτου

(διπλανό σχήµα).

Επειδή Foλ = F1 + F2, άρα και xολ = x1 + x2 = 7 cm

Βήµα 4ο:Βρίσκουµε την τιµή της Foλ σε Ν. Από την κλίµα-

κα, επειδή το µέτρο της Fολ αντιστοιχεί σε 7 cm:

ολ

ολ

1cm 10Nάρα F 70Ν

7 cm F

→ =→

Το µέτρο της Fολ έχει την ίδια κατεύθυνση µε τις F1 και F2.

Πως αναλύουµε µία δύναµη σε µιλιµετρέ χαρτί;

Έστω µία δύναµη F = 300 N, που το µέτρο της σχη-

µατίζει µε τον οριζόντιο άξονα γωνία φ = 45ο.

1ο Βήµα: Καθορίζουµε την κλίµακα µεταφοράς, ανάλογα

µε το µέτρο της δύναµης:

1cm 60Nάρα x 5cm

x 300N

→ =→

2 cm

F1

5 cm

F2

Fïë

∆υνάµεις µε κλίµακα

σε µιλιµετρέ χαρτί

F1

F2


Fy

FxO

ö

F

õðïô

åßíï

õóá

áð

Ýíá

íôé

êÜ

èåô

ç

ðñïóêåßìåíçêÜèåôç

A

B

2ο Βήµα: Ορίζουµε σηµείο αναφοράς και καθορίζουµε τους

δύο κάθετους άξονες. Ως συνήθως, xx΄ είναι ο άξονας της

κίνησης (εκτός αν το σώµα πέφτει), και yy΄ ο κάθετος άξονας.

3ο Βήµα: Ορίζουµε την διεύθυνση µε τη βοήθεια µοιρο-

γνωµονίου (45o) και µεταφέρουµε το µέτρο στην ευθεία που

σχηµατίστηκε. Καθορίζουµε την φορά. Η αρχή της δύναµης

είναι το σηµείο αναφοράς και είναι στην αρχή των αξόνων.

4o Βήµα: Από το τέλος της δύναµης, φέρνουµε κάθετες

στους άξονες xx΄ και yy΄. Στον xx΄, από την αρχή των αξόνων

έως το ίχνος της κάθετης, ορίζουµε την συνιστώσα Fx.

Στον yy΄ από την αρχή των αξόνων έως το ίχνος της κάθε-

της, ορίζουµε την συνιστώσα Fy.

5o Βήµα: Υπολογίζουµε το µέτρο της κάθε συνιστώσας

Fx,Fy. Μετράµε το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που

ορίζει η Fx:

xx

1cm 60Nάρα F 210N

3,5cm F

→ =→

, (το µέτρο της)

yy

1cm 60Nάρα F 210N

3,5cm F

→ =→ , (το µέτρο της)

Πως µε τη βοήθεια της τριγωνοµετρίας αναλύουµε

µία δύναµη σε συνιστώσες;

Από την τριγωνοµετρία γνωρίζουµε ότι στο ορθογώ-

νιο τρίγωνο ΟΑΒ (διπλανό σχήµα) ισχύει:

απέναντι κάθετη µήκος ευθ. τµ.ΑΒηµφ

υποτείνουσα µήκος ευθ. τµ.ΟΑ= =

Επειδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ αντιστοι-

χεί στο µέτρο της Fy, έχουµε:

Fyηµφ ,

F= άρα το µέτρο της Fy είναι: Fy = F · ηµφ

προσκείµενη κάθετη µήκος ευθ. τµ.ΟΒσυνφ

υποτείνουσα µήκος ευθ. τµ.ΟΑ= =

Επειδή το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος OΒ αντιστοι-

xy´

F

x´

y

45ï

3ο Βήµα

xx´y

y´

xx´

y

y´O

2ο Βήµα

Ανάλυση δυνάµεων

µε τριγωνοµετρία

xy´

F

Fx

Fy

x´

y

45ï

4o Βήµα


χεί στο µέτρο της Fx, έχουµε:

Fxσυνφ ,

F= άρα το µέτρο της Fx είναι: Fx = F · συνφ

1.∆ύναµη είναι η αιτία που αλλάζει την κινητική κατάσταση ενός

σώµατος ή το παραµορφώνει.

2. Οι δυνάµεις πάντα εµφανίζονται κατά ζεύγη µεταξύ δύο σωµάτων.

3. Οι δυνάµεις εµφανίζονται όταν δύο σώµατα ακουµπούν µεταξύ

τους (δυνάµεις επαφής) ή ακόµα και χωρίς να ακουµπούν (δυνάµεις

από απόσταση).

4. Η δύναµη είναι διανυσµατικό µέγεθος και το αποτέλεσµά της εξαρτάται από το

µέτρο της, την διεύθυνσή της και την φορά της.

5. Η συνισταµένη δύναµη αντικαθιστά κάποιες άλλες (συνιστώσες) έτσι, ώστε να έχει

το ίδιο αποτέλεσµα µε αυτές.

6. Η πρόσθεση δυνάµεων που βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία γίνεται:

α. Με πρόσθεση των µέτρων τους αν έχουν την ίδια φορά.

β. Με αφαίρεση των µέτρων τους αν έχουν αντίθετη φορά.

7. Ένα σώµα ισορροπεί αν η συνισταµένη δύναµη έχει µέτρο µηδέν.


Σε υλικό σηµείο ασκούνται οι δυνάµεις F1 = 8N και F2 = 6Ν. Ποια η συνισταµένη

δύναµη αν:

α. Έχουν την ίδια κατεύθυνση. β. Έχουν αντίθετη κατευθύνση.

γ. Είναι κάθετες.

Λύση

α. Στην περίπτωση αυτή τη συνισταµένη δύναµη την

υπολογίζουµε:

ολ 1 2F F F 8N 6N 14N= + = + =

β. Όταν οι δυνάµεις έχουν αντίθετη κατευθύνση τότε

αφαιρούµε από το µέτρο της µεγαλύτερης

δύναµης το µέτρο της µικρότερης δύναµης:

ολ 1 2F F F 8N 6N 2N= − = − =

γ. Στην περίπτωση που οι δυνάµεις είναι κάθετες

και µε τη βοήθεια του κανόνα του παραλληλο-

γράµµου (από Πυθαγόρειο θεώρηµα) έχουµε:

( ) ( )2 22 2 2ολ 1 2

F F F 8N 6N 100N 10N= + = + = =

Να βρεθεί η συνισταµένη δύναµη στα παρακάτω σχήµατα.

α. F = 8N3

F = 2N2

F = 10N1

β.

F = 6N1

F = 1N2

F = 9N3

F2 FïëF1

F1F2

Fïë

F1

F2

Fïë


Λύση

α. Βρίσκουµε την συνισταµένη δύναµη των δυνάµεων F1 και F

2 αφού έχουν την ίδια

κατεύθυνση.

1,2 1 2F F F 10N 2N 12N= + = + =Άρα η F

1,2 και F

3 έχουν αντίθετη κατεύθυνση και η συνισταµένη τους είναι:

1,2 3F F F 12N 8N 4N= − = − =β. Βρίσκουµε την συνισταµένη των F

2 και F

3 σαν

δυνάµεις µε αντίθετη κατεύθυνση.

2,3 3 2F F F 9N 1N 8N= − = − =

Άρα η 2,3F και F1 είναι κάθετες µεταξύ τους.

( ) ( )

2,3

2 22 2ολ 1F F F 8N 6N 10N= + = + =

∆ίνονται οι δυνάµεις µε µέτρα F1 = 10N και F

2 = 4N. Να βρείτε την µέγιστη και την

ελάχιστη τιµή της συνισταµένης δύναµης.

Λύση

Μέγιστη συνισταµένη δύναµη έχουµε όταν οι δυνάµεις έχουν την ίδια κατεύθυνση.

max 1 2 maxF F F 10N 4Ν F 14N= + = + ⇒ =Η συνιστάµενη δύναµη έχει ελάχιστη τιµή όταν οι δυνάµεις έχουν αντίθετη κατευθύνση.

min 1 2F F F 6N= − =

Το σώµα του διπλανού σχήµατος ισορροπεί µε την επίδραση των δυνάµεων F1 =

20N, F2 = 10N και άγνωστης F

3 όπως στο σχήµα. Να βρεθεί το µέτρο και η κατεύ-

θυνση της άγνωστης F3.

Λύση

Από τη θεωρία γνωρίζουµε ότι για να ισορροπεί ένα σώµα θα

πρέπει να έχει συνισταµένη µηδέν. Για να συµβεί αυτό θα

πρέπει η F3 να έχει µέτρο ίσο µε το άθροισµα των F

1, F

2 και

αντίθετη κατεύθυνση. Άρα: 3 1 2F F F 30N= + =

Το βιβλίο του παρακάτω σχήµατος ισορροπεί. Να βρείτε το

βάρος του.

Λύση

Ισορροπία σηµαίνει η συνισταµένη δύναµη που ασκείται στο

σώµα είναι µηδέν.

F2,3

F1

Fïë

F2F3 F1

F = 6N1

F = 8N2

W


Βρίσκουµε πρώτα τη συνισταµένη των κάθετων δυνάµεων

F1 και F

2.

( ) ( )2 22 21,2 1 2F F F 6N 8N 10N= + = + =

Άρα το βάρος (w) έχει µέτρο ίσο µε τη συνισταµένη F1,2

και µε αντίθετη κατεύθυνση

1,2w F 10N= =

Να συµπληρώθεί ο παρακάτω πίνακας. Στη µια γραµµή έχουµε τις δυνάµεις που

ασκούµε στο δυναµόµετρο και στην δεύτερη τις αντίστοιχες επιµηκύνσεις του

ελατηρίου.

Λύση

Από τον πίνακα βλέπουµε ότι αν εφαρµόσουµε δύναµη 2Ν το ελατήριο επιµηκύνεται

κατά 4cm, άρα µε την µέθοδο των τριών έχουµε:

i. 2Ν επιµήκυνση 4cm ii. 2Ν επιµήκυνση 4cm

x 10cm 8Ν y

x 5N= y 16cm=

iii. 2Ν επιµήκυνση 4cm

z 100cm

z 50N=

Άρα ο πίνακας γίνεται:

Äýíáìç (Í)

ÅðéìÞêõíóç(cm)

2N

4cm 10cm

8N

100cm

5N 50N

16cm

F = 6N1

F = 10N1,2

F = 8N2

w

Äýíáìç (Í)

ÅðéìÞêõíóç( )cm

2

4 10

8

100



1. Ποιά είδη δυνάµεων γνωρίζετε ανάλογα µε τον τρόπο δράσης τους; (Να αναφέρετε

παραδείγµατα).

2. Στο διπλανό σχήµα να βρείτε µε ποια σώµατα αλληλεπιδρά

το σώµα που κρέµεται στο ελατήριο και να αναφέρεται και τα

είδη των δυνάµεων.

3. Σε ποιά περίπτωση είναι δυνατόν να ισορροπεί ένα σώµα αν ασκούνται πάνω του δύο

δυνάµεις;

4. ∆ώστε ένα παράδειγµα που να εξηγείται ο διανυσµατικός χαρακτήρας της δύναµης.

5. Πάνω σ’ένα σώµα ασκείται δύναµη 1F 5N= και αυτό αρχίζει να κινείται. Στο

ίδιο σώµα ασκείται δύναµη 2F 12N= και όµως δεν κινείται. Εξηγείστε το προ-

ηγούµενο “παράδοξο”.

6. Συµµαθητής σας ισχυρίζεται ότι η συνισταµένη των δυνάµεων 1F 6N= και

2F 8N= είναι F 14N= . Εξηγείστε του ότι µπορεί η συνισταµένη δύναµη να

πάρει και άλλες τιµές.

Επιλέξτε την σωστή απάντηση.

7. H συνισταµένη δύναµη είναι µια δύναµη:

α. Που έχει πάντα µέτρο µεγαλύτερο από τις συνιστώσες.

β. Που έχει πάντα µέτρο µικρότερο από τις συνιστώσες.

γ. Που το µέτρο της εξαρτάται από την κατεύθυνση των συνιστωσών.

8. Κάθε δύναµη:

α. Μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες δυνάµεις.

β. Μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνισταµένες δυνάµεις.

γ. Έχει µόνο µέτρο.

9. Αν σε ένα σώµα ασκείται µια µόνο δύναµη:

α. Αυτό µπορεί να ισορροπεί.

β. Η συνισταµένη δύναµη δεν µπορεί να είναι µηδέν.

γ. Η συνισταµένη δύναµη έχει αντίθετη φορά από αυτή.


1. ∆ύο δυνάµεις µε µέτρα F1 = 5Ν και F

2 = 12Ν ασκούνται σε σώµα:

α. Με την ίδια κατεύθυνση. β. Με αντίθετη κατεύθυνση

γ. Κάθετες µεταξύ τους.

Να βρεθεί σε κάθε περίπτωση το µέτρο της συνισταµένης δύναµης.

2. Το σώµα του διπλανού σχήµατος ισορροπεί.

Βρείτε το µέτρο και την κατεύθυνση της άγνω-

στης δύναµης F3.

3. Το σώµα του σχήµατος ισορροπεί µε τα νήµατα να

σχηµατίζουν γωνία 900. Να βρεθεί το βάρος του.

4. Όταν σ’ένα κατακόρυφο δυναµόµετρο κρεµάσουµε σώµα που ασκεί δύναµη F1 = 10Ν

το δυναµόµετρο επιµηκύνεται κατά x1 = 5cm. Αν µαζί µε την F

1 ασκήσουµε και δύνα-

µη F2 = 5N µε την ίδια κατεύθυνση, ποιά θα είναι η ένδειξη του δυναµόµετρου;

5. Να βρεθεί το µέτρο της συνισταµένης δύναµης σε κάθε µια από τις παρακάτω περιπτώσεις.

F = 10N1F = 2N2

w

F = 12N2

F = 5N1

F = 1N2F = 1N4

F = 4N3

F = 5N1

F = 12N2

F = 9N1F = 7N3 F = 3N1

F = 4N2


Ερώτηση 1

α. Πότε λέµε ότι ένα υλικό σηµείο ισορροπεί;

β. Πότε δύο δυνάµεις λέγονται αντίθετες;

Ερώτηση 2

α. Τί καλείται δύναµη;

β. Να διατυπώσεται το νόµο του Hooke. Γιατί δεν ισχύει για όλες τις παραµορφώσεις;

Ερώτηση 3


α. ∆ύο κάθετες δυνάµεις δεν µπορούν να έχουν συνισταµένη µηδέν.

β. ∆ύο δυνάµεις µε αντίθετη κατεύθυνση δεν µπορούν να έχουν συνισταµένη µηδέν.

γ. Η δύναµη είναι διανυσµατικό µέγεθος.

δ. Κατά την αλληλεπίδραση του ποδιού ενός ποδοσφαιριστή µε την µπάλα η δύνα-

µη είναι η αιτία που ακινητοποιεί την µπάλα, αν κινείται.

ε. ∆ύναµη είναι η αιτία που µπορεί να αλλάξει την κατεύθυνση κίνησης ενός

σώµατος.

στ. Οι µαγνητικές δυνάµεις µεταξύ δύο µαγνητών δρουν από απόσταση.

Άσκηση 1

∆ίνονται οι δυνάµεις F1 = 100N και F2 = 80N. Να βρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη

τιµή της συνισταµένης δύναµης.

Άσκηση 2

Οι δυνάµεις F1 = 9N και F2 = 12N έχουν συνισταµένη F = 15Ν. Να βρεθούν οι

κατευθύνσεις των δυνάµεων.


w

Fåë


ÂÉÂËÉÏÕ

(óåë. 54 - 56)

Eρωτήσεις:1. ταχύτητα, σχήµα, αλληλεπίδραση, διάνυσµα, δύναµη, δυναµόµετρο.

2. ∆υνάµεις που προκαλούν µεταβολή στην ταχύτητα: η ρακέτα στο µπαλάκι όταν

παίζουµε πίνκ - πονκ, το βάρος στην πτώση των σωµάτων κ.τ.λ.

∆υνάµεις που προκαλούν παραµόρφωση των σωµάτων: η δύναµη όταν πιέζουµε ένα

φουσκωµένο µπαλόνι, η δύναµη που επιµηκύνει ένα ελατήριο κ.τ.λ.

3. α. Το σφουγγάρι β. Το φουσκωµένο µπαλόνι γ. Η ατσάλινη βέργα.

4. Αφού δύναµη 1Ν προκαλεί επιµήκυνση του ελατηρίου κατά 1cm σηµαίνει ότι δύνα-

µη 5Ν προκαλεί επιµήκυνση 5cm και δύναµη 10Ν επιµήκυνση 10cm.

5. Οι δύναµεις F1 και F

2 είναι αντίθετες, οι δύναµεις F

3 και F

4 είναι αντίθετες, οι δύ-

ναµεις F5 και F

6 έχουν την ίδια κατεύθυνση αλλά η δύναµη F

6 έχει µεγαλύτερο

µέτρο από την F5, οι δύναµεις F

7 και F

8 είναι κάθετες µεταξύ τους µε την F

8 να έχει

µεγαλύτερο µέτρο.

6. Οι δυνάµεις που ασκούνται είναι το βάρος (w) και η δύνα-

µη ελατηρίου (Fελ

). Επειδή ο κύλινδρος ισορροπεί θα πρέ-

πει οι δυνάµεις να είναι αντίθετες.

7. Σωστή η β. 8. Οι σωστές προτάσεις είναι (α.) και (δ.)

9. Αν οι δυνάµεις είχαν την ίδια κατεύθυνση η συνισταµένη θα είχε τιµή F = 700Ν ενώ

αν είχαν αντίθετη θα είχε τιµή F = 100Ν. Επειδή η συνισταµένη έχει τιµή F = 600Ν

δηλαδή ανάµεσα στις τιµές των προηγούµενων σηµαίνει ότι οι δυνάµεις που ασκούν

τα παιδιά σχηµατίζουν γωνία.


10. max 1 2F F F 400N 300N 700N= + = + = όταν οι δυνάµεις έχουν την ίδια κατεύ-

θυνση. min 1 2F F F 400N 300N 100N= − = − = όταν οι δυνάµεις έχουν αντίθετη

κατεύθυνση.

11. ∆εν υπάρχει περίπτωση η συνισταµένη να είναι µηδέν

αν οι δυνάµεις έχουν διαφορετικά µέτρα, αφού η ελά-

χιστη τιµή που µπορεί να πάρει είναι min 1 2F F F= − .

Στην περίπτωση των τριών δυνάµεων το σώµα µπορεί

να ισορροπεί αν η συνισταµένη των F1,2

είναι αντίθετη

τις τρίτης δύναµης.

12. Ναι είναι δυνατόν αν προσθέσουµε δυνάµεις µε αντίθετες κατευθύνσεις.

F1

F3

F2

F1,2

Ασκήσεις:

1. α.

FoëF1

F2

β.

1 2F F F 20N= + =

γ. F2

F1

Fïë

60o

δ.

ε. F1F2

ολ 1 2F F F 0= − =

Η συνισταµένη έχει µέγιστη τιµή για γωνία 00 ενώ τη µικρότερη για γωνία (1800).

2. Στην κλίµακα µας κάνουµε αντιστοίχιση 2Ν για κάθε 1mm.

Άρα η δύναµη 50N αντιστοιχίζεται σε διάνυσµα µήκους 25mm.

Από το διάγραµµα βρίσκουµε ότι: 1 2

2NF F 18mm 36N

mm= = =

3. α. ολ 1 2F F F 4N 3N 7N= + = + = β. ολ 1 2F F F 4N 3N 1N= − = − =

γ. ( ) ( )2 22 2 2ολ 1 2

F F F 4N 3N 25N 5N= + = + = =

450

y

xF1

F2

F2

F1

Fïë

45o

F1

F2

Fïë


4. Βρίσκουµε την συνισταµένη δύναµη για τις δύο δυνάµεις που έχουν την ίδια

κατεύθυνση: 1,2 1 2F F F 175N= + = . Οµοίως για τις άλλες δύο 3,4 3 4F F F 155N= + = .

Άρα η συνισταµένη είναι 1,2 3,4F F F 20N= − = . Εποµένως το αµάξι θα κινηθεί αριστερά.

5. Eπειδή οι δυνάµεις ισορροπούν κάθε µια δύναµη θα ισορροπεί από την αντίθετή της.

F'2F2

F1

F'1

F3

F'3

Οι δυνάµεις F4 και F

5 έχουν συνισταµένη δύναµη την F

4,5 που τη βρίσκουµε µε τον

κανόνα του παραλληλογράµµου. Το ίδιο συµβαίνει και µε τις F6 και F

7. Άρα για να

ισορροπούν θα πρέπει να έχουµε δυνάµεις αντίθετες από τις F4,5

και F6,7

.

F5

F´4,5

F4

F4,5

F7

F´6,7

F6

F6,7

A B

6. α. Με την µέθοδο των τρίων: 1x 5cm= β. F' 40N=

7. Αναλύουµε την συνιστάµενη δύναµη σε δύο συνιστώσεις.

To τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο. Άρα:

ox

1F Fσυν60 75· 37,5N

2= = =

8. α. ( ) ( )2 22 2 2 2 2ολ 1 2

F F F 6N 8N 36N 64N 100N= + = + = + = ⇒ ολF 10N=

H κατεύθυνση της βρίσκεται µε την εφαπτοµένη 2

1

F 8N 4εφφ

F 6N 3= = =

β. Επειδή το αντικείµενο ισορροπεί η τρίτη δύναµη θα είναι αντίθετη της

συνισταµένης ολF . Η F3 έχει µέτρο 10Ν και κατεύθυνση αντίθετη της F

ολ.

600

300

B

FxO

Fy

A Fïë

Τι ονοµάζουµε αδράνεια; Αναφέρεται κάποιο παράδειγµα.

Αδράνεια είναι η ιδιότητα που εµφανίζουν τα σώ-

µατα να θέλουν να διατηρήσουν την κινητική τους κα-

τάσταση (ταχύτητα). ∆ηλαδή τα σώµατα που είναι ακί-

νητα θέλουν να παραµείνουν ακίνητα, ενώ αν κινούνται

µε σταθερή ταχύτητα τότε θέλουν να συνεχίσουν να κι-

νούνται µε την ίδια ταχύτητα. Με λίγα λόγια όλα τα

σώµατα “επιζητούν την ησυχία τους”.

Ένα παράδειγµα αδράνειας είναι το εξής:

Αν καθώς κινείστε µε το αυτοκίνητο του µπαµπά σας φρε-

νάρει απότοµα, τότε εσείς θα πάτε µπροστά. Αυτό γίνεται

επειδή η ταχύτητά σας ήταν σταθερή και το φρενάρισµα

πήγε να την αλλάξει.

Να διατυπώσετε τον 1ο νόµο του Νεύτωνα για την κίνηση.

Κάθε σώµα στο οποίο δεν του ασκούνται δυνάµεις ή

αν του ασκούνται έχουν συνισταµένη µηδέν αν αρχικά ήταν

ακίνητο θα παραµείνει ακίνητο, ενώ αν είχε σταθερή ταχύ-

τητα θα συνεχίσει να κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Με άλλα

λόγια όταν σε ένα σώµα η συνισταµένη δύναµη είναι µηδέν

το σώµα διατηρεί την κινητική του κατάσταση (η ταχύτητα

παραµένει σταθερή ή µηδέν).


7Ðñþôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá

ãéá ôçí êßíçóç

Ðñþôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá


Αρδάνεια: Ιδιότητα των

σωµάτων

Ο 1ος νόµος του Νεύτω-

να ισχύει και για τα ουρά-

νια σώµατα.


• Ο 1ος νόµος του Νεύτωνα σχετίζεται µε την αδράνεια των σωµάτων.

• Συνισταµένη µηδέν δεν σηµαίνει ότι το σώµα είναι αποκλειστικά ακίνητο αλλά

µπορεί να κινείται και µε σταθερή ταχύτητα.

1ος νόµος Νεύτωνα

108. Πρώτος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση

Να δώσετε παράδειγµα φαινοµένων που να εξηγεί-

ται τον πρώτο νόµο του Νεύτωνα.

Ένας όρθιος επιβάτης “πέφτει προς τα πίσω” τη

στιγµή που ξεκινάει απότοµα το λεωφορείο. Αυτό συµ-

βαίνει διότι αρχικά ο επιβάτης ήταν ακίνητος. Καθώς

το λεωφορείο ξεκινάει τείνει να του αλλάξει την κινητι-

κή του κατάσταση µε συνέπεια να “πέφτει πίσω” για να

διατηρήσει την ακινησία του.

Παράδειγµα 1ου νόµου

Νεύτωνα

1. Η αδράνεια είναι η ιδιότητα των σωµάτων να θέλουν να διατηρήσουν

την κινητική τους κατάσταση σταθερή.

2. Αν η συνισταµένη δύναµη που ασκείται σ’ένα σώµα είναι µηδέν ή

δεν ασκούνται καθόλου δυνάµεις τότε:

α. Αν ήταν ακίνητο θα παραµείνει ακίνητο ( )υ 0 µένει υ 0= =

.

β. Αν κινείται µε ταχύτητα υ θα συνεχίσει να κινείται µε την ίδια ταχύτητα

εκτελώντας ευθύγραµµη οµαλή κίνηση ( )υ σταθ.=

.

109.Πρώτος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση

Το σώµα του σχήµατος κινείται µε σταθερή ταχύτητα µε την επίδραση της δύνα-

µης 1F = 10N και µιας άγνωστης δύναµη 2F . Το

σώµα περνάει για t = 0 από την θέση x = 0 µε

ταχύτητα υ = 10m/s .

α. Ποιά η τιµή της άγνωστης δύναµης 2F ;

β. Σε ποιά θέση βρίσκεται το σώµα την χρονική

στιγµή 1t = 4s ;

Λύση

α. Επειδή το σώµα έχει σταθερή ταχύτητα σηµαίνει ότι η συνισταµένη δύναµη που

δέχεται είναι µηδέν. Άρα: ολ 1 2 2 2F 0 F F 0 10N F 0N F 10N= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = .

β. Επειδή η κίνηση του σώµατος είναι ευθύγραµµη οµαλή ισχύει:

1 11

1

x x x 0mυ 10m / s x 40m

t t 4s 0s

− −= ⇒ = ⇒ =

− − .


Αν κατα την εκφώνηση µιας άσκησης συµπεραίνουµε ότι το σώµα κινείται µε σταθερή

ταχύτητα τότε η συνισταµένη δύναµη ( ολF ) είναι µηδέν και θα εκτελεί ευθύγραµµη

οµαλή κίνηση. Τότε θα ισχύει x υ· t= .

Ένα σώµα αφήνεται να πέσει ελεύθερα από κάποιο ύψος. Μετά από µετρήσεις παρα-

τηρώ ότι η ταχύτητά του παραµένει σταθερή. Μπορείτε να εξηγήσετε εάν στο χώρο

που άφησα το σώµα υπάρχει και κάποια άλλη δύναµη εκτός από το βάρος του.

Λύση

Επειδή η ταχύτητα του σώµατος είναι σταθερή ση-

µαίνει ότι η συνισταµένη δύναµη στο σώµα είναι µη-

δέν. Αυτό σηµαίνει ότι εκτός από το βάρος του σώ-

µατος ενεργεί και άλλη άγνωστη δύναµη αντίθετης

κατεύθυνσης µε µέτρο ίσο µε το βάρος.

F

õ

w



1. Ποιά η έννοια της αδράνειας;

2. Εξηγήστε µε την βοήθεια του 1ου νόµου Νεύτωνα της λειτουργία της ζώνης ασφαλεί-

ας και του προστατευτικού µαξιλαριού που υπάρχει στο πάνω µέρος των καθισµά-

των του αυτοκινήτου.

3. Να εξηγήσετε µε την βοήθεια του 1ου νόµου του Νεύτωνα πως µπορούµε τινάζο-

ντας ένα χαλί να καθαριστεί από τα µικρά κοµµατάκια σκουπιδιών που βρίσκο-

νται πάνω του.

4. Να σχεδιάσετε τις δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα του

σχήµατος αν γνωρίζετε ότι είναι ακίνητο.

Επιλέξτε την σωστή απάντηση.

5. Η ταχύτητα ενός σώµατος, όταν η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται σε

αυτό είναι µηδέν:

α. παραµένει σταθερή β. αυξάνεται

γ. ελαττώνεται δ. γίνεται µηδέν.

6. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

Ένας αλεξιπτωτιστής πέφτει µε σταθερή ταχύτητα.

α. Η συνισταµένη δύναµη που δέχεται είναι µηδέν.

β. Ο αλεξιπτωτιστής δεν έχει βάρος.

γ. Ο αλεξιπτωτιστής δεν δέχεται καµία δύναµη.

7. Σε ποιά περίπτωση ένα σώµα στο οποίο ασκούνται δύο δυνάµεις στην διεύθυνση της

κίνησης, κινείται ευθύγραµµα και οµαλά;

8. Ποιά από τις παρακάτω προτάσεις που αναφέρονται σε ένα σηµειακό αντικείµενο που

ισορροπεί δεν ισχύει.

i. Η συνισταµένη όλων των δυνάµεων που ασκούνται στο σηµειακό αντικείµενο

είναι ίση µε µηδέν.

ii. Το σηµειακό αντικείµενο κινείται µε σταθερή ταχύτητα.

iii. Το σηµειακό αντικείµενο είναι ακίνητο.

F

111.Πρώτος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση

1. Το σώµα του διπλανού σχήµατος ισορροπεί. Αν το βάρος

του σώµατος είναι w = 10N:

α. Ασκείται άλλη δύναµη στο σώµα;

β. Αν ναι, να σχεδιαστεί και να υπολογιστεί η τιµή της.

2. Ένα αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτητα. Η δύναµη που ασκείται σε αυτό για

να κινηθεί (λόγω λειτουργίας του κινητήρα) είναι κατά την φορά της κίνησης και έχει

τιµή F = 500N. Ασκούνται άλλες δυνάµεις στο αυτοκίνητο; Ποιό το µέτρο της συνι-

σταµένης αυτών; (Να δικαιολογηθεί η απάντηση).

3. Ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα έτσι ώστε η µεταβολή της ταχύτητας του να είναι

µηδέν. Τί κίνηση κάνει το σώµα; Πόση είναι η συνισταµένη δύναµη;

w


Ερώτηση 1

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ).

α. Όταν σ’ένα σώµα δεν ασκείται δύναµη δεν µπορεί να κινείται µε σταθερή ταχύτητα.

β. Η αδράνεια είναι η δύναµη που σταµατάει ένα σώµα όταν κινείται.

γ. Ένα σώµα που ισορροπεί δέχεται συνισταµένη δύναµη µηδέν.

Ερώτηση 2

Να διατυπώσετε τον 1ο νόµο του Νεύτωνα.

Ερώτηση 3


Αδράνεια είναι η .................... των σωµάτων να θέλουν να διατηρήσουν την

.................... τους κατάσταση.

Άσκηση 1

Ένα σώµα κινείται µε σταθερή ταχύτητα υ 10m / s= . Πάνω του ασκούνται δύο δυνά-

µεις 1F 10N= και 2F . Να υπολογίσετε:

α. Το µέτρο της δύναµης 2F .

β. Την απόσταση που θα διανύσει σε χρόνο t 5s= .

Άσκηση 2

Σε σώµα ασκούνται δύο δυνάµεις ίσου µέτρου και αντίθετης φοράς. Αν την χρονική

στιγµή t 2s= έχει διανύσει απόσταση S 50m= να υπολογιστεί η ταχύτητα του την

χρονική στιγµή t 0s= .

Γιατί όλες οι δυνάµεις δεν προκαλούν την ίδια µετα-

βολή στην ταχύτητα των σωµάτων;

Πάνω στο δάπεδο υπάρχουν ένα ξύλινο κιβώτιο και

ένα σιδερένιο. Ασκούµε και στα δύο κιβώτια την ίδια δύνα-

µη και παρατηρούµε ότι στον ίδιο χρόνο αποκτούν διαφο-

ρετικές ταχύτητες. Μάλιστα το ξύλινο κιβώτιο αποκτά µε-

γαλύτερη ταχύτητα. Άρα µήπως η αιτία που συµβαίνει αυτό

είναι ότι τα σώµατα έχουν διαφορετικές µάζες; Αλλάζο-

ντας ξανά τα σώµατα καταλήγουµε στο ίδιο συµπέρασµα.

Εποµένως όσο µεγαλύτερη µάζα έχει ένα σώµα τόσο µεγα-

λύτερη αδράνεια παρουσιάζει.

Η µάζα ενός σώµατος είναι το µέτρο της αδράνειας του.

Να διατυπωθεί ο 2ος νόµος του Νεύτωνα.

Η επιτάχυνση α που αποκτά ένα σώµα είναι ανάλογη

της συνισταµένης δύναµης ( )ολF που ασκείται σ’αυτό και

αντιστρόφως ανάλογη της µάζας του m.


8Äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá


Äåýôåñïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá


(1)oëF

ám

oëF m·á

ïëFm

á

F = m · α

Εάν είναι άγνωστος το m:

Fm =

α

Εάν είναι άγνωστος το α:

Fα =

mΠροσοχή!

Όταν µιλάµε για την δύναµη F µιλάµε για τη συνισταµέ-

νη δύναµη που ενεργεί στο σώµα. Μπορεί να ασκείται

και µόνο µια δύναµη.

114. ∆εύτερος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση

1.Η επιτάχυνση ενός σώµατος είναι ανάλογη της συνολικής δύναµης

που ενεργεί σε αυτό και αντιστρόφως ανάλογη της µάζας του.

2. Αν η συνισταµένη δύναµη που ασκείται σε ένα σώµα είναι διαφορετική

του µηδενός τότε υπάρχει µεταβολή στην ταχύτητα του σώµατος

(άρα και επιτάχυνση).

3. Ο θεµελιώδης νόµος είναι ολF m·α= .

2. Η µεταβολή στην ταχύτητα µπορεί να εµφανιστεί είτε µε αλλαγή του µέτρου της

ταχύτητας (επιτάχυνση - επιβράδυνση) είτε µε αλλαγή της κατεύθυνσής της (οµα-

λή κυκλική κίνηση).

3. Μονάδα µέτρησης της δύναµης είναι το 1Ν (Νιούτον) ( )21Ν 1Κg·1m / s= 1Ν

είναι η δύναµη που αν δράσει σε σώµα µάζας 1Kg το σώµα θα αποκτήσει

επιτάχυνση 21m / s .

4. Η σχέση (1) γράφεται ολF m·α= και αποτελεί τη θεµελιώδη εξίσωση της µηχανικής.

1. Όταν σώµα δέχεται δύναµη αποκτά επιτάχυνση που έχει ως συνέπεια να

µεταβάλλει την ταχύτητά του.

115.∆εύτερος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση

Ένα κιβώτιο µάζας m = 2Kg µικρών διαστάσεων σύρε-

ται µε τη βοήθεια δύναµης F = 10N πάνω σε λείο οριζό-

ντιο επίπεδο όπως στο σχήµα. Να βρεθούν:

α. Η επιτάχυνση που θα αποκτήσει το κιβώτιο.

β. Την ταχύτητα του κιβωτίου µετά από χρόνο t = 4s αν

αρχικά ηρεµούσε.

γ. Την µετατόπιση του κιβωτίου στον προηγούµενο χρόνο.

δ. Τη δύναµη που πρέπει να ασκηθεί στο κιβώτιο ώστε µετά τον παραπάνω χρόνο η

κίνηση του να γίνει ευθύγραµµη οµαλή;

Λύση

α. Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα έχω:F

αm

= ή 210N

α 5m / s2Kg

= =

β. Το σώµα θα κάνει ευθύγραµµα οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. Από την εξίσωση της

ταχύτητας έχω: 2υ α· t 5m / s ·4s 20m / s= = =

γ. Η µετατόπιση του κιβωτίου δίνεται από τη σχέση: ( )222

1 1 mx α· t 5 · 4s

2 2 s= = ή x 40m=

δ. Για να κάνει το κιβώτιο µας ευθύγραµµη οµαλή κίνηση θα

πρέπει η συνισταµένη δύναµη που θα ασκηθεί πάνω του

να είναι µηδέν. Εποµένως πρέπει να του ασκηθεί δύναµη

F΄ ίδιου µέτρου µε την F αλλά αντίθετης κατεύθυνσης.

Σε κιβώτιο µάζας m αν ασκήσουµε δύναµη F αποκτά επιτά-

χυνση 2α = 6m/s , όπως στο σχήµα. Αν σε κιβώτιο µάζας 2m

ασκήσουµε ίδια δύναµη F, τι επιτάχυνση θα αποκτήσει;

Λύση

Εφαρµόζουµε το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για κάθε

κιβώτιο χωριστά.

F

FF´

F

mF

2m


Κιβώτιο µάζας m: F m·α= (1)

Κιβώτιο µάζας 2m: F 2m·α΄= (2)

∆ιαιρούµε κατά µέλη τις σχέσεις (1) και (2) και έχουµε:2F m·α α

1 α΄ 3m / sF 2m·α΄ 2α΄

= ⇒ = ⇒ =

Το κιβώτιο του σχήµατος έχει µάζα m = 2Kg και κινείται προς τα δεξιά µε επιτά-

χυνση 2α = 4m/s .

α. Να βρεθεί η συνολική δύναµη που ασκείται στο κι-

βώτιο. Επίσης να βρεθεί και να σχεδιαστεί η άλλη

οριζόντια δύναµη που ασκείται στο κιβώτιο.

β. Να γίνει το διάγραµµα ταχύτητας χρόνου αν το σώµα

ξεκινάει από την ηρεµία.

Λύση

α. Από το 2ο νόµο Νεύτωνα έχουµε:

ολF m·α= ⇒ 2ολ ολ

F 2Κg·4m / s F 8N= ⇒ = . Άρα

στο κιβώτιο ασκείται εκτός από τη δύναµη F και άλλη

άγνωστη δύναµη F΄ αντίθετης κατεύθυνσης έτσι ώστε:

ολ ολF F F΄ F΄ F F F΄ 4N= − ⇒ = − ⇒ =

β. Η κίνηση του κιβωτίου είναι ευθύγραµµη οµαλά

επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα και το

διάγραµµα είναι ευθεία που περνά από την αρχή των

αξόνων ( )υ α· t= .

Η ταχύτητα ενός σώµατος µάζας m = 2Kg το οποίο

κινείται ευθύγραµµα και µε σταθερή φορά φαίνεται

στο διάγραµµα.

α. Τι κίνηση κάνει το σώµα;

β. Την επιτάχυνση του σώµατος για κάθε κίνηση.

γ. Τη συνισταµένη δύναµη που ασκείται στο σώµα.

δ. Το διάστηµα που θα διανύσει το σώµα µέχρι το 5s.

Λύση

α. Από το διάγραµµα παρατηρούµε ότι από 0s έως 2s η κίνηση του σώµατος είναι

οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα. Μετά τα 2s η κίνηση είναι

ευθύγραµµη οµαλή.

β. Από την σχέση που δίνει την ταχύτητα στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση έχουµε: 2υ 4m / s

υ α· t α α α 2m / st 2s

= ⇒ = ⇒ = ⇒ = .

F = 12N

F = 12NF´ = 4Í

t(s)

õ(m/s)

t(s)

õ(m/s)

2 5

4


Η κίνηση από το 2s έως το 5s είναι ευθύγραµµη οµαλή άρα η επιτάχυνση είναι µηδέν.

γ. Από το 2ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε: 2F m·α F 2Kg·2m / s F 4N= ⇒ = ⇒ = .

δ. Βρίσκουµε πρώτα το διάστηµα για την ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση

21

1S αt

2= ή ( )2

1 2

1 mS ·2 · 2s 4m

2 s= = . Για την ευθύγραµµη οµαλή έχουµε 2S υ· t= ⇒

2S 12m= . Άρα το συνολικό διάστηµα ολ 1 2 ολS S S S 16m= + ⇒ = .

Στο σώµα µάζας m = 1Kg του διπλανού σχήµατος

ασκείται η δύναµη F = 10N υπό γωνία θ = 60ο σε σχέ-

ση µε το οριζόντιο επίπεδο. Το σώµα κινείται κατά τη

διεύθυνση του λείου δαπέδου. Να υπολογιστεί:

α. Η επιτάχυνση που θα έχει το σώµα.

β. Η ταχύτητα του σώµατος την χρονική στιγµή t = 3sαν το σώµα αρχικά ηρεµούσε.

Λύση

Αναλύουµε τις δυνάµεις σε δύο κάθετες συνιστώσες (Fx

και Fy). Για τον υπολογισµό του µέτρου της F

x η οποία

κινεί το σώµα έχουµε:

xx

F 1συνθ F F·συνθ 10N· 5Ν

F 2= ⇒ = = = (µέτρο σταθ.)

α. Το σώµα κινείται µε την επίδραση της Fx άρα η επιτάχυνσή του θα είναι:

x2

F 5Ν mα α 5

m 1Κg s= ⇒ = = (σταθερή)

β. Η κίνηση είναι ευθύγραµµα οµαλά επιταχυνόµενη επειδή α = σταθερή. Άρα η εξίσωση

ταχύτητας είναι: υ α·t=

Για t 3s= έχουµε: 2

m mυ 5 ·3s 15

ss= =

F = 10N

è

F = 10N

Fx

Fy

è



1. Ποιό είναι το µέτρο της αδράνειας;

2. Σώµα εκτελεί ευθύγραµµη οµαλή κίνηση. Πόση είναι η συνισταµένη δύναµη που

δέχεται το σώµα.

3. Να διατυπωθεί ο 2ος νόµος Νεύτωνα και να γραφεί η θεµελιώδης εξίσωση της

µηχανικής. Τι συµβολίζει το κάθε µέγεθος σε αυτή;

Να επιλέξετε την σωστή απάντηση.

4. Σε σώµα που κινείται µε σταθερή ταχύτητα ασκούνται δύο δυνάµεις 1F και 2F . Για τις

δυνάµεις ισχύει:

α. Τα µέτρα τους είναι ίσα και οι κατευθεύνσεις τους αντίθετες.

β. Οι κατευθύνσεις τους είναι ίδιες. γ. Η 1F είναι µεγαλύτερη της 2F .

δ. Η συνολική δύναµη είναι προς τα δεξιά.

5. Σε σώµα µάζας m 1Kg= ασκείται δύναµη F 2N= . Αν η δύναµη διπλασιαστεί η

επιτάχυνση του σώµατος:

α. Θα διπλασιαστεί β. Θα υποδιπλασιαστεί

γ. Θα τετραπλασιαστεί δ. Θα παραµείνει ίδια.

6. Κάποιος άνθρωπος ασκεί σ’ένα κιβώτιο µάζας m 5Kg= , δύναµη F 5N= . Αν ασκεί-

σει την ίδια δύναµη σε σώµα µε διπλάσια µάζα τότε η επιτάχυνση α θα είναι:

α. 21m / s β. 22m / s γ. 20,5m / s δ.

25m / s

7. Για τα σώµατα του παρακάτω σχήµατος ισχύει:

α. Η επιτάχυνση του σώµατος Α είναι µεγαλύτερη από την επιτάχυνση του σώµατος Β.

β. Η επιτάχυνση του σώµατος Β είναι µεγαλύτερη από την επιτάχυνση του σώµατος Α.

γ. Τα σώµατα αποκτούν την ίδια επιτάχυνση.

F = 10NB F = 5NA

B A

Am 2KgBm 4Kg


1. Κιβώτιο µάζας m 10Kg= είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο κιβώ-

τιο ασκούνται δύο οριζόντιες και κάθετες µεταξύ τους δυνάµεις µε µέτρα 1F 3N= και

2F 4N= . Να βρεθούν:

α. Το µέτρο της συνισταµένης δύναµης που ασκείται στο κιβώτιο.

β. Το µέτρο της επιτάχυνσης που θα αποκτήσει το κιβώτιο.

γ. Την µετατόπιση του κιβωτίου όταν έχει αποκτήσει ταχύτητα υ 4m / s= .

2. Ένα σώµα µάζας m 2Kg= ξεκινά από την ηρεµία και σε χρόνο t 4s= έχει µετατο-

πιστεί κατά 8m. Να βρεθεί:

α. Πόση επιτάχυνση θα αποκτήσει το σώµα;

β. Το µέτρο της συνολικής δύναµης που ασκείται στο σώµα.

γ. Την ταχύτητα του σώµατος στο 5s.

δ. Την µετατόπιση του στην διάρκεια του τέταρτου δευτερολέπτου.

3. Σώµα µάζας m 1Kg= είναι ακίνητο σε οριζόντιο επίπεδο. Στο σώµα ασκούνται δύο δυνάµεις

µε µέτρα 1F 12N= και 2F 5N= . Να βρεθεί η επιτάχυνση του σώµατος στις εξής περιπτώσεις:

α. Οι δυνάµεις να έχουν την ίδια κατεύθυνση.

β. Οι δυνάµεις να έχουν αντίθετες φορές.

γ. Οι δυνάµεις να είναι κάθετες µεταξύ τους.

4. Στο σώµα του σχήµατος που έχει µάζα m 2Kg= και αρχικά ηρεµεί πάνω στο λείο

οριζόντιο επίπεδο ασκούνται οι δυνάµεις F 12N= και F΄ 4N= . Να βρείτε:

F = 12NF´ = 4Í


α. Την επιτάχυνση του σώµατος.

β. Την ταχύτητα και την µετατόπιση του σώµατος στο 2s.

5. Σώµα βάρους w 100N= ανυψώνεται κατακόρυφα προς τα πάνω µε την βοήθεια

κατακόρυφης δύναµης F 120N= . Αν η επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώµα είναι2α 2m / s= , να βρείτε:

α. Την µάζα του σώµατος.

β. Την ταχύτητα στο 4s αν το σώµα ξεκινά από την ηρεµία.

6. Σώµα µάζας m 2Kg= ηρεµεί σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Στο σώµα ασκείται οριζό-

ντια δύναµη και σε χρόνο t 4s= έχει µετατοπιστεί κατά 16m. Να βρεθούν:

α. Η επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώµα.

β. Το µέτρο της συνολικής δύναµης που θα ασκηθεί στο σώµα.

γ. Η ταχύτητά του στο 4s.

7. Το σώµα του σχήµατος έχει µάζα m = 2Kg. Οι δυνάµεις

που ασκούνται σε αυτό έχουν µέτρα 1 2F 2N, F 8N= =

και 3F 4N= και οι κατευθύνσεις τους φαίνονται στο

σχήµα. Να βρεθούν:

α. Η συνισταµένη δύναµη (Fολ

).

β. Προς τα πού θα κινηθεί το σώµα.

γ. Η επιτάχυνση που θα αποκτήσει.

δ. Αν το σώµα αρχικά ηρεµεί (να υπολογιστεί) η ταχύτητά του και το διάστηµα που

θα διανύσει µετά από χρόνο t 5s= .

F2F1F3


Ερώτηση 1

α. Να διατυπώσετε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και δώστε ένα παράδειγµα ότι η

συνολική δύναµη που ασκείται στο σώµα είναι ανάλογη µε την επιτάχυνση.

β. Ποιά ιδιότητα των σωµάτων λέγεται αδράνεια και ποιό είναι το µέτρο της;

Ερώτηση 2

Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιές λανθασµένες;

1. Ένα σώµα που κινείται ευθύγραµµα οµαλά έχει επιτάχυνση σταθερή.

2. Στο σώµα που ασκούνται δύο δυνάµεις πάντα έχει επιτάχυνση διάφορη από το µηδέν.

3. Όταν ένα σώµα κινείται µε σταθερή επιτάχυνση τότε και η συνισταµένη δύναµη

που του ασκείται είναι σταθερή.

4. Όταν η επιτάχυνση ενός σώµατος είναι µηδέν δεν ασκούνται δυνάµεις στο σώµα.

Ερώτηση 3

Βρείτε ποιο από τα δύο σώµατα δέχεται µεγαλύτερη

δύναµη στο διπλανό σχήµα.

Άσκηση 1

Το σώµα του σχήµατος αρχικά ισορροπεί στο λείο ο-

ριζόντιο επίπεδο.

α. Ποιά η επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώµα;

β. Τι ταχύτητα έχει το σώµα τη χρονική στιγµή t = 2s.

γ. Πόσο έχει µετατοπιστεί το σώµα όταν t = 6s.

Άσκηση 2

Σώµα µάζας m 2Kg= είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο σώµα ασκού-

νται συγχρόνως δύο οριζόντιες αντίρροπες δυνάµεις µε µέτρα 1F 10N= και 2F 8N= .

α. Ποιά η συνολική δύναµη που ασκείται στο σώµα και τι επιτάχυνση θα αποκτήσει;

β. Τη µετατόπιση του σώµατος στο τέλος του 4s.

γ. Τι δύναµη πρέπει να ασκηθεί στο σώµα µετά το 4s ώστε αυτό να συνεχίζει να

κινείται µε σταθερή ταχύτητα.

2á

2m

á

m

2

1 2

F = 10N

122. ∆ευτέρος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση


ÂÉÂËÉÏÕ

(óåë. 63 - 66)

Eρωτήσεις:1. αδράνεια / ακίνητο / οµαλά / αδράνεια.

2. Σωστές: α. και δ. 3. Η µονάδα είναι το 1Ν.

4. α. Το αεροπλάνο λόγω των προωστικών δυνάµεων από τους κινητήρες επιταχύνε-

ται προς τα µπροστά. Όµως οι επιβάτες ήταν αρχικά ακίνητοι άρα λόγω αδράνει-

ας για να διατηρήσουν την αρχική τους ηρεµία “πέφτουν προς τα πίσω”.

β. Καθώς το λεωφορείο κινείται µαζί του κινούνται και οι επιβάτες. Το λεωφορείο

δέχεται τη δύναµη των φρένων αρχίζει να µειώνει την ταχύτητα του. Επειδή τα

σώµατα των επιβατών αρχικά δεν δέχονται δύναµη και θέλοντας να διατηρή-

σουν την αρχική τους κατάσταση “πέφτουν µπροστά”.

γ. Η κίνηση των χεριών είναι αρχικά επιταχυνόµενη κα µετά επιβραδυνόµενη. Όµως

επειδή οι σταγόνες θέλουν να διατηρήσουν την αρχική τους κινητική κατάσταση

φεύγουν από το χέρι.

5. Οι καταστάσεις ισορροπία και κίνηση µε σταθερή ταχύτητα είναι ισοδύναµες γιατί

και για τις δύο η συνισταµένη δύναµη είναι µηδέν.

6. α. Αρχικά η σφαίρα λόγω της δύναµης από το νήµα κινιόταν σε κυκλική τροχιά. Αν

το νήµα κοπεί η σφαίρα δεν δέχεται καµία δύναµη άρα συνεχίζει να κινείται ευθύ-

γραµµα οµαλά µε την ταχύτητα που είχε τη στιγµή που κόπηκε το νήµα.

β. Οι πλανήτες λόγω αδράνειας θα κινιόνταν ευθύγραµµα οµαλά µε την ταχύτητα

που είχαν την στιγµή που θα µηδενίζονταν οι δυνάµεις που ασκούνταν πάνω τους.

7. Επειδή κινείται µε σταθερή ταχύτητα από 1ο νόµο του Νεύτωνα Fολ

= 0.

8. Αρχικά το σώµα είναι ακίνητο. Επειδή η δύναµη είναι σταθερή θα αποκτήσει και

σταθερή επιτάχυνση, (από F m·α= ) άρα θα εκτελέσει ευθύγραµµη οµαλά επιταχυ-

νόµενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα.

9. Από τον 1ο νόµο του Νεύτωνα και επειδή το αυτοκίνητο κινείται µε σταθερή ταχύτη-


τα η συνισταµένη δύναµη θα είναι µηδέν. Άρα οι δυνάµεις 1F και 2F θα έχουν ίσα

µέτρα και αντίθετες φορές. 1 2F F 20N= =

10. Στη πρώτη περίπτωση έχουµε: F m·α= (1)

Στην δεύτερη περίπτωση η µάζα διπλασιάζεται αλλά η επιτάχυνση δεν αλλάζει

τιµή. Άρα από το 2ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε:

F΄ 2m·α= που µε την βοήθεια της (1) έχουµε: F΄ 2·F 2·10N 20N= = =

11. Στην περίπτωση που έχουµε δύο τούβλα και µε την βοήθεια του 2ου νόµου του

Νεύτωνα έχουµε ότι ένα τούβλο έχει µάζα: F 10 25

m Κg Kgα 1,2 3

= = = .

Άρα για το 2ο τούβλο η επιτάχυνση θα είναι 21 1

Fα α 0,6m / s

2m= ⇒ = .

Στην περίπτωση των τριών τούβλων έχουµε: 22

Fα 0,4m / s

3m= =

12. Γνωρίζουµε από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα ότι η επιτάχυν-

ση έχει την κατεύθυνση της συνισταµένης δύναµης. Άρα

οι δυνάµεις είναι κάθετες µε την βοήθεια του κανόνα του

παραλληλογράµµου που έχουµε το διπλανό σχήµα.

13. Όταν σώµα έχει επιτάχυνση µηδέν δεν σηµαίνει ότι δεν

του ασκούνται δυνάµεις. Αυτό που είναι µηδέν είναι η

συνισταµένη δύναµη.

Παράδειγµα: Ένα µηχανάκι κινείται µε σταθερή ταχύτη-

τα. Οι δυνάµεις που δέχεται είναι το βάρος η αντίδραση

η τριβή και η δύναµη από τον κινητήρα.

14. α. Αρχικά οι δυνάµεις που ασκούνται πάνω του είναι το βάρος και η κάθετη δύναµη

επαφής από το τραπέζι που έχουν συνισταµένη µηδέν. Άρα είναι ακίνητο.

β. Όταν του ασκήσουµε δύναµη τότε η συνισταµένη δύναµη είναι διάφορη από το

µηδέν και εκτελεί επιταχυνόµενη κίνηση αφού ολF 0≠ άρα α 0≠ .

γ. Όταν πάψει να ασκείται η δύναµη στο σώµα συνεχίζει να ασκείται η δύναµη

τριβής που έχει φορά αντίθετη της κίνησης που το κάνει τελικά να σταµατήσει.

δ. Το βιβλίο θα κινηθεί µε σταθερή ταχύτητα µόνο αν το τραπέζι ήταν λείο ή αν η

δύναµη F που του ασκούσα είχε ίδιο µέτρο µε την τριβή.

F1

F2

F

á

124. ∆ευτέρος νόµος του Νεύτωνα για την κίνηση

Ασκήσεις:

1. 2F 10NF m·α α 5m / s

m 2Kg= ⇒ = = = . Άρα σωστή είναι η πρόταση γ.

2. Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε: 2

F 2NF m·α m 0,1Kg

α 20m / s= ⇒ = = =

3. α. Η συνολική δύναµη είναι: ολF F F F F 4F 120.000N= + + + = =

β. Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα: 2F 120.000N

α 4m / sm 30.000Kg

= = =

γ. Η κίνηση του αεροπλάνου είναι οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα.

Συνεπώς 2υ α· t 4m / s ·10s 40m / s= = = .

4. Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα βρίσκουµε ολ

F m·α= ⇒ 2ολ

F 300Κg·20m / s 6000N= =Η ταχύτητα της µοτοσυκλέτας µειώνεται άρα κάνει επιβραδυνόµενη κίνηση. Όµως

η κατεύθυνση της δύναµης είναι ίδια µε της επιτάχυνσης. Εποµένως η συνισταµένη

δύναµη είναι αντίρροπη της ταχύτητας. Αν η µοτοσυκλέτα κινείται στην θετική

φορά θα είχαµε F 6000N= − και 2α 20m / s= − (αφού έχουµε αρνητική φορά).

5. α. υ α· t= ⇒ 2υ 25m / sα 5m / s

t 5s= = = β.

ολF m·α= ⇒ 2

ολF 900Kg·5m / s 4500N= =

γ. 2οδ οδ

F m ·α 70Κg·5m / s 350N= = = . Ο οδηγός έχει την ίδια επιτάχυνση µε το αυτοκίνητο.

6. Κίνηση: ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη και ισχύει: 21∆x α· t

2= ⇒ 2

2

2∆xα 8m / s

t= =

Άρα από 2ο νόµο του Νεύτωνα 2F m·α 700Kg·8m / s 5600N= = = .

7. 20

0

υ υ∆υ 30 10α 2m / s

∆t t t 10

− −= = = =−

, F m·α= ⇒ 2F 1500Kg·2m / s 3000N= = .

8. Από 2ο νόµο Νεύτωνα η επιτάχυνση έχει την ίδια

κατεύθυνση µε την συνολική δύναµη. ∆υνάµεις κάθετες:2 2 2

1 2F F F= + ⇒ ( ) ( )2 22F 6N 8N= + ⇒ 2 2F 100N= ⇒

F 10N= . Άρα 2F 10N

α 5m / sm 2Κg

= = = .

9. 2

χερ χερF m ·α 6500m / s ·0,7Kg 4550N= = =

Η κατεύθυνση της χερ

F είναι αντίθετη της κατεύθυνσης της ταχύτητας του χεριού.

F1

F2

F

á

Nα διατυπώσετε τον νόµο της παγκόσµιας έλξης.

Όταν δύο σώµατα µε

µάζες 1m και 2m βρίσκονται

σε απόσταση d, οπουδήποτε

στο Σύµπαν τότε κάθε σώµα

ασκεί στο άλλο µια ελκτική

δύναµη (παγκόσµια έλξη). Το

µέτρο της δύναµης αυτής δίνεται από την σχέση:

1 22

m ·mF G

d=

1m , 2m : µάζες των σωµάτων (Kg).

G: σταθερά παγκόσµιας έλξης ( )2 2N ·m / Kg .

d: απόσταση µεταξύ των σωµάτων (m).

Η διεύθυνση των ελκτικών δυνάµεων είναι η ευθεία που

ενώνει τα κέντρα των δύο µαζών.

Τα σώµατα αλληλεπιδρούν µε αντίθετες δυνάµεις.


9 ÂÜñïò êáé âáñõôéêÞ äýíáìçÂÜñïò êáé âáñõôéêÞ äýíáìç

d

F F

m1m2

Νόµος Παγκόσµιας έλξης

Προσοχή!

Το G δεν εξαρτάται

από τις µάζες των σω-

µάτων αλλά και ούτε

από το µέσο στο οπο-

ίο βρίσκονται.

1. Η δύναµη είναι ανάλογη του γινοµένου των µαζών και αντιστρόφως ανάλογη

του τετραγώνου της µεταξύ τους απόστασης.

2. Ο χώρος γύρω από οποιαδήποτε µάζα που έχει την ιδιότητα να ασκεί ελκτικές δυ-

νάµεις σε κάθε άλλη µάζα που θα βρεθεί στο χώρο της, ονοµάζεται βαρυτικό πεδίο.

3. Την µάζα που δηµιουργεί το πεδίο θα την ονοµάζουµε πηγή, του πεδίου.

4. Αν η πηγή του πεδίου είναι η Γη και το άλλο σώµα µάζας m βρίσκεται σε ύψος h

από την επιφάνεια της τότε είναι Γ

2r

Μ ·mF G

d= όπου r rd R h= + και Γd η απόστα-

ση από το κέντρο της Γης.

126. Βάρος και βαρυτική δύναµη

Τι ονοµάζουµε βάρος ενός σώµατος;

Η ελκτική δύναµη που

δέχεται ένα σώµα µάζας (m) από

τη Γη όταν βρίσκεται σε ύψος h

από την επιφάνεια της, ονοµά-

ζεται βάρος W του σώµατος.

r2r

M ·mw G·

d=

όπου r rd R h= +

rR : ακτίνα Γης

h: ύψος του σώµατος από την επιφάνεια της Γης

m: µάζα σώµατος.

Αν εφαρµόσουµε το 2ο νόµο του Νεύτωνα για ένα σώµα

που είναι ελεύθερο στο γήϊνο βαρυτικό πεδίο έχουµε:

w m·g= ή w

gm

=

Το βάρος ενός σώµατος εξαρτάται από την απόσταση

του από το κέντρο της Γης αλλά και από τον τόπο. Επει-

δή η Γη δεν είναι τέλεια σφαίρα, αφού η ακτίνα στον

ισηµερινό είναι µεγαλύτερη απ’ότι στους πόλους, η επι-

τάχυνση της βαρύτητας (g) θα έχει µεγαλύτερη τιµή

στους πόλους και κατά συνέπεια και το βάρος των σω-

µάτων 2

ισηµg 9,78m / s= και 2πόλοςg 9,83m / s=

h

dr

Rr

m


Το βάρος είναι δύναµη

άρα είναι διανυσµατικό

µέγεθος.


Στον ίδιο τόπο αν τα

σώµατα έχουν το ίδιο

βάρος θα έχουν και την

ίδια µάζα. Έτσι µπορού-

µε να συγκρίνουµε και τις

µάζες των σωµάτων.

1. Σε κάθε τόπο το βάρος έχει την διεύθυνση της ακτίνας της Γης και φορά

προς το κέντρο της.

2. Η διεύθυνση της ακτίνας ονοµάζεται κατακόρυφος του τόπου.

w = m · g

w

Εάν είναι άγνωστος το m:

w wm =

g

Εάν είναι άγνωστος το g:

w

wg =

m

127.Βάρος και βαρυτική δύναµη

Ποιές οι διαφορές µάζας - βάρους;

α. Η µάζα είναι µονόµετρο µέγεθος ενώ το βάρος

διανυσµατικό.

β. Η µάζα µετριέται µε ζυγούς ενώ το βάρος µε δυναµόµετρο.

γ. Η µάζα µετριέται σε Kg ενώ το βάρος σε Ν.

δ. Η µάζα του σώµατος δεν αλλάζει από τόπο σε τόπο ενώ

το βάρος αλλάζει αφού αλλάζει η τιµή του g. Σε κάθε

τόπο υπολογίζεται από την σχέση w m·g= .

ε. Η µάζα εκφράζει το µέτρο της αδράνειας του σώµατος

και όχι το βάρος.

∆ιαφορές

µάζας - βάρους

1. Η βαρυτική δύναµη που ασκεί ένα σώµα σε κάποιο άλλο είναι ανάλογη του

γινοµένου των µαζών και αντιστρόφως ανάλογη της µεταξύ τους απόσταση.

2. Το βάρος είναι η ελκτική δύναµη που ασκεί η Γη σε κάθε σώµα.

3. Το βάρος ενώς σώµατος είναι ίσο µε w m·g= όπου g η επιτάχυνση

της βαρύτητας.

4. Το βάρος του σώµατος εξαρτάται από την επιτάχυνση της βαρύτητας g. Συνεπώς το

βάρος εξαρτάται από τον τόπο που βρίσκεται το σώµα.


Να βρεθεί η επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της Σελήνης αν σε αυτή ένα

σώµα έχει βάρος w = 128N . ∆ίνεται η µάζα του m = 80Kg.

Λύση

Το βάρος ενός σώµατος στην επιφάνεια της Σελήνης δίνεται από την σχέση:

Σw m·g= ή 2

Σ

w 128Ng 1,6m / s

m 80Kg= = =

Να βρεθεί το βάρος ενός σώµατος το οποίο στην επιφάνεια της γης είναι w = 100Nσε ύψος:

α. rh = R από την επιφάνεια της Γης.

β. rh = 3R από την επιφάνεια της Γης.

Λύση

α. Το βάρος ενός σώµατος στην επιφάνεια της Γης δίνεται από την σχέση:

r

r

M ·mw G·

R=

Αν το σώµα βρίσκεται σε ύψος rh R= τότε η προηγούµενη σχέση γίνεται:

( ) ( )r r r

2 2 2rr r r

M ·m M ·m M ·m1 ww΄ G G G

4 4RR R 2R= = = =

+ ή

w 100Nw΄ 25N

4 4= = =

β. Οµοίως αν βρίσκεται σε ύψος rh 3R= .

( ) ( )r r r

2 2 2rr r r

M ·m M ·m M ·m1 w 100Nw΄ G G G 6,25N

16 16 16R3R R 4R= = = = = =

+

Ένα αρκουδάκι έχει βάρος w = 98, 3N και µάζα m = 10Kg . Ποιό είναι το χρώµα

του αν 2πόλοςg = 9,83m/s και 2

ισg = 9,78m/s .


Λύση

Βρίσκουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας για να δούµε που βρίσκεται το αρκουδάκι.

w m·g= 2w 98,3Ng 9,83m / s

m 10Kg⇒ = = = .

Άρα το αρκουδάκι βρίσκεται στους πόλους. Συνεπώς έχει άσπρο χρώµα.

∆ύο σώµατα 1m και 2m έλκονται µε δύναµη F = 16N .

α. Αν διπλασιαστεί η µάζα κάθε σώµατος χωρίς να αλλάζει η µεταξύ τους απόσταση

µε τη δύναµη θα έλκονται.

β. Αν διπλασιάσω την αρχική απόσταση των 1m και 2m µε τι δύναµη θα έλκονται;

Λύση

α. Αρχικά η δύναµη που έλκονται τα σώµατα είναι: 1 22

m ·mF G

d=

Μετά τον διπλασιασµό των µαζών έχουµε:

1 2 1 22 2

2m ·2m m ·mF΄ G 4G 4F 64N

d d= = = =

β. Αν διπλασιάσουµε την απόσταση έχουµε:

( )1 2 1 2 1 2

2 2 2

m ·m m ·m m ·m1 FF΄ G G G 4N

4 44d d2d= = = = = .

Σώµα είναι ακίνητο πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Το σώµα έχει βάρος w. Ασκούµε

κατακόρυφη δύναµη F = 2w µε φορά προς τα πάνω. (∆ίνεται 2g = 10m/s ).

α. Βρείτε την επιτάχυνση του σώµατος.

β. Βρείτε την ταχύτητα του σώµατος στο τέλος του 4s.

γ. Βρείτε την µετατόπιση του σώµατος στο τέλος του 2s.

Λύση

α. Εφαρµόζουµε τον 2ο νόµο του Νεύτωνα και έχουµε

ολF m·α= F w m·α⇒ − = 2w w m·α⇒ − = w m·α⇒ =

mg mα⇒ = 2α g 10m / s⇒ = =

β. Η κίνηση του σώµατος είναι οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς

αρχική ταχύτητα. Άρα:

2υ α· t 10m / s ·4s 40m / s= = =

γ. Για την µετατόπιση του σώµατος ισχύει: ( )222

1 1 m∆x α· t ·10 · 2s 20m

2 2 s= = =

w

F



1. Να διατυπωθεί ο νόµος της παγκόσµιας έλξης και να γραφεί η µαθηµατική του έκφραση.

2. Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η ελκτική βαρυτική δύναµη µεταξύ δύο σωµάτων;

3. Τι ονοµάζεται βάρος ενός σώµατος; Ποιες είναι οι µονάδες µέτρησής του;

4. Ποιος χώρος ονοµάζεται βαρυτικό πεδίο; Ποια είναι η πηγή αυτού του πεδίου; Να

δώσετε ένα σύντοµο παράδειγµα.

5. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ):

∆ύο σώµατα µε µάζες m1 και m

2 = 10 m

1 αντίστοιχα βρίσκονται σε απόσταση r. Τότε:

α. Το σώµα µε µάζα m1 ασκεί δεκαπλάσια δύναµη στο σώµα µε µάζα m

2.

β. Το ένα σώµα ασκεί δύναµη στο άλλο, ίσου µέτρου και αντίθετης φοράς.

γ. Αν αυξηθεί η µεταξύ τους απόσταση, τότε η δύναµη που ασκεί το ένα σώµα στο

άλλο θα µειωθεί.

6. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ):

α. Το βάρος είναι διανυσµατικό µέγεθος.

β. ∆ύο σώµατα µπορεί να έχουν ίδιο βάρος αν βρίσκονται στον ίδιο τόπο.

γ. Το βάρος ενός σώµατος δεν αλλάζει από τόπο σε τόπο, σε αντίθεση µε τη µάζα του

που εξαρτάται από τον τόπο που βρίσκεται το σώµα.

7. Ποια είναι η διεύθυνση του βάρους που ασκείται σε ένα σώµα που βρίσκεται στην Σελήνη;

8. Από ποιούς παράγοντες εξαρτάται η επιτάχυνση της βαρύτητας; Το βάρος του σώ-

µατος εξαρτάται από τους ίδιους παράγοντες;


1. Να βρεθεί το βάρος ενός ανθρώπου µάζας m 80Kg= στην επιφάνεια της Γης και σε

απόσταση Γh 3R= από την επιφάνεια της Γης. ∆ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας

στην επιφάνεια της Γης 2g 10m / s= .

2. Να συγκριθεί το βάρος µίας ράβδου χρυσού µάζας m = 1 Κg σε µία πόλη του

ισηµερινού και σε κάποιο σηµείο του Βόρειου Πόλου.

∆ίνεται gισ.

= 9,78 m/s2, gΒ.Π.

= 9,83 m/s2.

3. Αν ένας δορυφόρος έχει βάρος στη Γή 55·10 N , να υπολογιστεί το βάρος του όταν

βρίσκεται σε τροχιά γύρω από τη Γή. Η ακτίνα της κυκλικής τροχιάς του δορυφόρου

είναι r = 4 Rr, όπου Rr η ακτίνα της Γης.

4. Σε σώµα µάζας m = 2 Kg που αρχικά ισορροπεί,

ασκούµε δύναµη F και το σώµα αρχίζει να κινείται µε

σταθερή επιτάχυνση α = 2 m/s2. Να υπολογίσετε:

α. Τη δύναµη F

β. Το ύψος που θα βρεθεί το σώµα µετά από χρόνο t = 5 s. (∆ίνεται 2g 10m / s= ).

5. Ένας αετός έχει µάζα 4Kg. Να βρεθεί η ανυψωτική δύναµη που πρέπει να ασκούν οι

αέριες µάζες στα φτερά έτσι ώστε ο αετός:

α. Να αιωρείται σε σταθερό ύψος.

β. Να ανεβαίνει µε σταθερή επιτάχυνση 21m / s .

γ. Να κατεβαίνει µε σταθερή επιτάχυνση 22m / s . (∆ίνεται 2g 10m / s= ).


Ερώτηση 1

α. Στον ίδιο τόπο έχουµε µάζες για το σίδηρο και το βαµβάκι mΣ = 10 Κg και m

Β = 10

Κg. Ποιό είναι πιο βαρύ;

β. Είναι σωστή η έκφραση το βάρος ενός σώµατος είναι 5Kg;

γ. Ένα σώµα έχει µάζα 10Kg στην επιφάνεια της Γης. Πόσο είναι η µάζα του στην

επιφάνεια της Σελήνης; Τι συµβαίνει µε τα αντίστοιχα βάρη;

Ερώτηση 2

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ):

1. Τα βάρη ενός σώµατος σε κάθε τόπο έχουν διαφορετική τιµή.

2. Η µάζα είναι µονόµετρο µέγεθος και το βάρος διανυσµατικό.

3. Η ελκτική δύναµη που ασκεί η Γη σε ένα σώµα είναι µεγαλύτερη από την

ελκτική δύναµη που ασκεί το σώµα στη Γη.

Ερώτηση 3

Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η δύναµη που θα δεχθεί ένα σώµα όταν βρεθεί

στο βαρυτικό πεδίο της Σελήνης;

Άσκηση 1

∆ύο σώµατα Α και Β µε µάζες mΑ = 100 Kg και m

B = 1 Kg, βρίσκονται σε απόσταση r = 0,5 m.

α. Να υπολογιστεί ο λόγος των δυνάµεων FA

και FB.

β. Αν διπλασιάσουµε την απόστασή τους, πόσο θα µεταβληθεί η δύναµη;

γ. Αν στη θέση του σώµατος Β τοποθετήσουµε ένα σώµα Γ µε µάζα mΓ και η δύναµη

που ασκεί το σώµα Α στο Γ γίνει διπλάσια της αρχικής (F΄ = 2F), να υπολογιστεί

η µάζα mΓ.

Άσκηση 2

Ένα σώµα βάρους w ηρεµεί στο δάπεδο. Στο σώµα ασκείται δύναµη F, οπότε το

σώµα επιταχύνεται κατακόρυφα προς τα επάνω µε επιτάχυνση 2g. Βρείτε το µέτρο

της δύναµης F αν η µάζα του σώµατος είναι m = 2Kg και g = 10 m/s2.

Τι είναι τριβή και σε τι διακρίνεται;

Τριβή είναι η δύναµη επαφής µεταξύ δύο σωµάτων

όταν τρίβεται η επιφάνεια του ενός σώµατος µε την επιφά-

νεια του άλλου σώµατος.

Η τριβή διακρίνεται σε τριβή ολίσθησης και στατική τριβή.

Τριβή ολίσθησης έχουµε όταν το ένα σώµα κινείται σε σχέ-

ση µε το άλλο.

Στατική τριβή έχουµε όταν δεν υπάρχει κίνηση του ενός

σώµατος σε σχέση µε το άλλο και ασκείται δύναµη τέτοιας

κατέυθυνσης που τείνει να δηµιουργήσει κίνηση.

• Η τριβή άλλοτε είναι επιθυµητή και άλλοτε όχι.

• Όσο πιο λεία είναι η επιφάνεια µεταξύ των τριβοµένων

επιφανειών τόσο πιο µικρή είναι η δύναµη τριβής.

Από ποιούς παράγοντες εξαρτάται η τριβή ολίσθησης;

Το µέτρο της τριβής ολίσθησης εξαρτάται από τη

φύση των επιφανειών που τρίβονται (είναι λείες ή όχι) αλλά

και από το µέτρο της κάθετης δύναµης που δέχεται το σώµα

από την επιφάνεια στην οποία βρίσκεται.


10ÔñéâÞ

Τριβή

(στατική - ολίσθησης)

Προσοχή!

Όταν ένα σώµα ολι-

σθαίνει η τριβή έχει

φορά αντίθετη από την

ταχύτητα του σώµατος.

• Η τριβή ολίσθησης δεν εξαρτάται από την ταχύτητα του σώµατος αλλά ούτε

και από το εµβαδόν των τριβοµένων επιφανειών.

• Η στατική τριβή δεν έχει σταθερό µέτρο. Είναι πάντα αντίθετη µε την δύναµη F που

τείνει να κινήσει το σώµα.

Παράγοντες εξάρτησης

τριβής

134. Τριβή

1. Η τριβή είναι δύναµη που εµφανίζεται όταν δύο σώµατα που εφάπτονται

κινούνται ή τείνουν να κινηθούν το ένα σε σχέση µε το άλλο.

2. Η τριβή είναι πάντα αντίθετη της φοράς κίνησης του σώµατος.

3. Η τριβή εξαρτάται από την φύση των επιφανειών των σωµάτων που εφάπτονται και

από την κάθετη δύναµη που δέχεται το σώµα που κινείται από το άλλο.

4. Χωρίς την δύναµη της τριβής δεν θα µπορούσαµε να κινηθούµε.

w

N

T

õ0

á• Η διεύθυνση της τριβής, είναι παράλληλη µε την διαχωρι-

στική επιφάνεια των δύο σωµάτων.

135.Τριβή

Σώµα µάζας m = 2Kg ηρεµεί πάνω σε οριζόντιο επίπεδο.

Στο σώµα ασκείται οριζόντια δύναµη F = 10N όπως στο

σχήµα. Αν η δύναµη τριβής είναι T = 8N να βρείτε:

α. Την επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώµα.

β. Την ταχύτητα του σώµατος στο τέλος του 3s.

γ. Την µετατόπιση του σώµατος µετά 2s.

Λύση

α. Με την βοήθεια του 2ου νόµου του Νεύτωνα βρίσκουµε την επιτάχυνση του

σώµατος.ολF m·α= ⇒ F T m·α− = ⇒ 10Ν 8Ν 2Kg·α− = ⇒ 2α 1m / s= .

β. Η κίνηση του σώµατος είναι οµαλά επιταχυνόµενη χωρίς αρχική ταχύτητα.

Άρα: υ α· t= ⇒ 2υ 1m / s ·3s= ⇒ υ 3m / s= .

γ. Η µετατόπιση του σώµατος για την οµαλά επιταχυνόµενη δίνεται από την σχέση:

( )222

1 1 m∆x αt ∆x ·1 · 2s 2m

2 2 s= ⇒ = =

Σώµα µάζας m = 2Kg που ηρεµούσε σε οριζόντιο επίπεδο αποκτά ταχύτητα

υ = 10m/s µετά από χρόνο t = 5s . Αν η δύναµη τριβής είναι T = 4N να βρεθούν:

α. Η επιτάχυνση του σώµατος.

β. Η οριζόντια δύναµη που ασκείται στο σώµα.

γ. Η µετατόπιση του σώµατος στην διάρκεια του 4s.

Λύση

α. Στην ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση ισχύει:

2υ α· t 10m / s α ·5s α 2m / s= ⇒ = ⇒ = .

β. Εφαρµόζουµε τον 2ο νόµο του Νεύτωνα και έχουµε:

ολF m·α F T m·α F T m·α= ⇒ − = ⇒ = +2F 4Ν 2Κg·2m / s F 8N⇒ = + ⇒ =

γ. Η µετατόπιση στην διάρκεια του 4s βρίσκεται ως εξής:

136. Τριβή

( ) ( )2 22 24 3 4 3 2 2

1 1 1 m 1 m∆x x x α· t αt 2 4s 2 3s 16m 9m 7m

2 2 2 2s s= − = − = − = − =

Το κιβώτιο του σχήµατος έχει µάζα m = 2Kg και κινείται

µε την επίδραση της δύναµης F = 4N µε επιτάχυνση

2α = 1m/s . Να αποδειχθεί ότι µεταξύ σώµατος και επι-

πέδου υπάρχει τριβή και να υπολογίσετε το µέτρο της.

Λύση

Έστω ότι στο σώµα ασκείται µόνο η δύναµη F τότε το

κιβώτιο θα αποκτούσε επιτάχυνση

2F 4Nα΄ 2m / s

m 2Kg= = =

Άρα διαφορετική από την τιµή που µας δίνεται, εποµένως µε

εφαρµογή του 2ου νόµου του Νεύτωνα έχουµε:

ολ 2

mF m·α F T m·α T F m·α 4Ν 2Κg·1 T 2N

s= ⇒ − = ⇒ = − = − ⇒ =

Η ταχύτητα του σώµατος µεταβάλλεται όπως στο διά-

γραµµα:

Αν η µάζα του σώµατος είναι m = 2Kg και στο σώµα α-

σκείται οριζόντια δύναµη F = 6N να βρεθεί:

α. Το µέτρο της τριβής αν το σώµα κινείται σε οριζόντιο

επίπεδο.

β. την µετατόπιση του σώµατος µετά 4s.

Λύση

α. Από το διάγραµµα του σχήµατος βλέπουµε ότι στο 2s η ταχύτητα του σώµατος

είναι 4m / s . Εποµένως από τον νόµο της ταχύτητας υ α· t 4m / s α·2s= ⇒ = ⇒

2

mα 2

s⇒ = . Αν δεν υπήρχε δύναµη τριβής η επιτάχυνση του σώµατος θα ήταν

2F 6Nα΄ 3m / s α

m 2Kg= = = ≠ . Άρα υπάρχει δύναµη τριβής που µε τη βοήθεια του 2ου

νόµου του Νεύτωνα έχουµε:

2ολ

F m·α F T m·α T F m·α Τ 6Ν 2Κg·2m / s 2N= ⇒ − = ⇒ = − ⇒ = − =β. Για την µετατόπιση στην οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση έχουµε:

( )222

1 1 mx αt x 2 4s 16m

2 2 s= ⇒ = =

2 4 6

12

8

4

õ(m/s)

t(s)

137.Τριβή


1. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές, ποιές λανθασµένες και γιατί;

α. Μονάδα µέτρησης της τριβής είναι το 1Ν (Νιούτον).

β. Η τριβή εξαρτάται από το πόσο γρήγορα κινείται το σώµα.

γ. Αν δεν υπάρχει η τριβή δεν θα µπορούσαµε να βαδίσουµε.

δ. Όσο ποιο µεγάλο είναι το εµβαδόν των τριβωµένων επιφανειών τόσο µεγαλύτερη

είναι η δύναµη τριβής.

2. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές ή λάθος;

α. Για ένα σώµα µάζας m που κινείται µε σταθερή επιτάχυνση α σε οριζόντιο επίπεδο

µε την επίδραση σταθερής δύναµης F, ισχύει η σχέση: F T m·α+ = .

β. Σώµα που κινείται σε τροχιά επιφάνειας δεν µπορεί να κάνει ευθύγραµµη

οµαλή κίνηση.

γ. Όσο µεγαλύτερη µάζα έχει ένα σώµα που κινείται σε τροχιά επιφάνειας τόσο µεγα-

λύτερη δύναµη τριβής εµφανίζεται µεταξύ αυτού και του επιπέδου.

3. Τι ονοµάζουµε τριβή; Από τι εξαρτάται το µέτρο της τριβής ολίσθησης;

138. Τριβή

1. Σώµα µάζας m 2Kg= βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο µε το οποίο παρουσιά-

ζει τριβή ολίσθησης Τ = 1Ν. Στο σώµα ασκούνται δύο κάθετες µεταξύ τους δυνάµεις

που έχουν µέτρα 1F 3N= και 2F 4N= και η συνισταµένη τους είναι οριζόντια και

αντίθετη µε την τριβή. Βρείτε:

α. Την συνισταµένη δύναµη.

β. Την επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σώµα.

γ. Τη ταχύτητα και την µετατόπιση του στο 4s.

2. Ένας αλεξιπτωτιστής πέφτει µε σταθερή επιτάχυνση 2α 5m / s= . Η µάζα του αλεξιπ-

τωτιστή είναι m 70Kg= . Αν οι µόνες δυνάµεις που ασκούνται στον αλεξιπτωτιστή

είναι το βάρος του w 700N= και η αντίσταση του αέρα στο αλεξίπτωτο, να βρείτε:

α. την δύναµη αντίστασης από τον αέρα.

β. αν το αλεξίπτωτο ανοίξει µετά από 4s από την στιγµή που έπεσε από το ελικόπτε-

ρο, τι ταχύτητα θα έχει ο αλεξιπτωτιστής και πόσο θα έχει µετατοπιστεί τότε;

3. Σώµα µάζας m 1Kg= κινείται µε σταθερή ταχύτητα πάνω σε οριζόντιο επίπεδο µε

την επίδραση οριζόντιας δύναµης F 2N= .

α. Υπάρχει δύναµη τριβής, και αν ναι πόσο είναι το µέτρο της;

β. Αν η δύναµη F καταργηθεί, σε πόσο χρόνο το σώµα θα σταµατήσει, αν εκείνη την

στιγµή έχει ταχύτητα µέτρου υ 12m / s= ;

139.Τριβή

Ερώτηση 1

Ποιά δύναµη ονοµάζουµε δύναµη τριβής ολίσθησης, που εµφανίζεται και τι µονάδα

µέτρησης έχει;

Ερώτηση 2

Να αναφέρετε από τι εξαρτάται το µέτρο της τριβής ολίσθησης; Ποιά τριβή έχει

σταθερό µέτρο;

Ερώτηση 3

Το σώµα του σχήµατος ξεκινάει από την ηρεµία και κινεί-

ται µε σταθερή επιτάχυνση 2α 2m / s= .

α. Να βρείτε την µάζα του σώµατος.

β. Την ταχύτητα του σώµατος µετά 4s.

γ. Την µετατόπιση του σώµατος µετά 2s.

Άσκηση 1

Το παρακάτω σώµα κινείται µε επιτάχυνση α. Αν στο ίδιο

σώµα ασκήσουµε δύναµη 2F το σώµα αποκτά επιτάχυν-

ση 2α. Να εξηγήσετε αν υπάρχει τριβή ή όχι;

Άσκηση 2

Στο σώµα του σχήµατος ασκείται δύναµη F 15N= . Αν η

µάζα του σώµατος είναι 2,5Κg και η τριβή Τ = 10Ν να

βρείτε:

α. Την επιτάχυνση του σώµατος.

β. Την ταχύτητα του σώµατος στο 4s αν ξεκινά από την

ηρεµία.

γ. Την µετατόπισή του στον προηγούµενο χρόνο.

δ. Την γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου.

140. Τριβή


ÂÉÂËÉÏÕ

(óåë. 75 - 78)

Eρωτήσεις:1. ανάλογη, αντιστρόφως ανάλογη, δύναµη, κίνηση, κάθετη, φύση, επιφανειών.

2. Ο 2ος νόµος του Νεύτωνα είναι F m·α= αλλά στην περίπτωση µας w = F και

α = g άρα w m·g=

3. Σύµφωνα µε το προηγούµενο ερώτηµα w m·g= . Άρα το βάρος είναι ανάλογο της

µάζας του σώµατος και ανάλογο της επιτάχυνσης της βαρύτητας g, δηλαδή στον

τόπο που βρίσκεται το σώµα. Επειδή το g εξαρτάται και από το ύψος που βρίσκεται

το σώµα από το κέντρο της Γης θα εξαρτάται και το βάρος Γ

2Γ

M ·mw G

d= και µάλι-

στα αντιστρόφως ανάλογα του τετραγώνου της απόστασης.

4. α. Σωστό. β. Σωστό. γ. Λάθος. δ. Σωστό.

5. Αν στο κάθε κιβώτιο ο αστροναύτης ασκήσει την ίδια δύναµη F το κιβώτιο µε την

µικρότερη µάζα θα αποκτήσει µεγαλύτερη επιτάχυνση σύµφωνα µε την σχέση F

mα

= .

6. Ελεύθερη πτώση είναι η κίνηση ενός σώµατος όταν πάνω του ασκείται µόνο το βάρος

του. Από το 2ο νόµο του Νεύτωνα w

gm

= δηλαδή αποκτούν την ίδια επιτάχυνση

ανεξάρτητα από το βάρος τους, αφού g = σταθερό.

7. Επειδή η ταχύτητα του βιβλίου πρέπει να είναι σταθερή

ισχύει oλF 0 F T 0 F T 10N= ⇒ − = ⇒ = = .

Η δύναµη F πρέπει να είναι αντίθετη της τριβής και η

επιτάχυνση του σώµατος να είναι µηδέν.

141.Τριβή

8. Η επιτάχυνση πρέπει να έχει την κατεύθυνση της συνισταµένης δύναµης. Το σώµα

στον κατακόρυφο άξονα δεν κινείται άρα oλF 0 w N 0= ⇒ − = . Στον οριζόντιο ά-

ξονα κινείται επειδή F T> άρα η επιτάχυνση θα έχει την κατεύθυνση της F. Εποµέ-

νως το σωστό είναι το γ.

9. Θεωρούµε ότι η δύναµη αντίστασης που δέχεται κάθε αλεξιπτωτιστής είναι η ίδια.

Άρα η επιτάχυνση για κάθε αλεξιπτωτιστή σύµφωνα µε το 2ο νόµο του Νεύτωνα είναι:

1 11

1 1 1

w A m g A Aα g

m m m

− −= = = − (1) 2 2

22 2 2

w A m g A Aα g

m m m

− −= = = − (2)

Αν 1 2m m> από (1) και (2) προκύπτει ότι 1 2α α> . Άρα την ιδια χρονική στιγµή

1 1υ α · t= και 2 2υ α · t= θα είναι 1 2υ υ> .

10. Για την ανύψωση της πέτρας θα πρέπει να ασκήσουµε δύναµη ίση µε το βάρος

κάθε πέτρας. Άρα:

Για τη Γη: Γ Γw m·g 20N= = , για τη Σελήνη: Σ Σ

20w m·g N

6= = .

Εποµένως Γ Σw w> αφού η δύναµη στην Γη είναι ΓF 20Ν= ενώ στην Σελήνη

Σ

20F Ν

6= . Για οριζόντια: αφού οι πέτρες αποκτούν την ίδια ταχύτητα στον ίδιο

χρόνο από την σχέση υ

αt

= θα αποκτούν και την ίδια επιτάχυνση. Όµως από 2ο

νόµο Νεύτωνα F m·α= και επειδή η µάζα είναι η ίδια θα είναι και η δύναµη ίδια.

11. Επιθυµητό αποτέλεσµα τριβής.

α. Η κίνηση των αυτοκινήτων.

β. Το βάδισµα µας.

γ. Το ότι κρατάµε την ρακέτα όταν παίζουµε τένις.

12. Με το ζυγό ισορροπίας προσδιορίζουµε τη µάζα m του σώµατος ενώ µε το δυναµό-

µετρο το βάρος του w. Στην συνέχεια από την σχέση w

w m·g gm

= ⇒ = υπολογί-

ζουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας.

13. Γιατί η δύναµη του κινητήρα θα πρέπει να εξουδετερώνει την δύναµη της τριβής.

142. Τριβή

Ασκήσεις:

1. Το γήινο βάρος δίνεται από την σχέση W m·g= . Άρα:

α. 2w 0,1Kg ·10m / s 1N= = β. 2w 70Kg·10m / s 700N= =

γ. 2w 900Kg·10m / s 9000N= =

2. Η µάζα του αστροναύτη δεν αλλάζει καθώς αλλάζει τόπο, άρα:

α. Γ Γw m·g 750N= = β. A Aw m·g 285N= =

γ. 2BB Β B

W 690Nw m·g g 9,2m / s

m 75Kg= ⇒ = = =

3. Επειδή η µπάλα ισορροπεί η συνισταµένη δύναµη θα

είναι µηδέν.

Το βάρος της µπάλας είναι :

2w m·g 2Kg·10m / s 20N= = = .

Άρα oλF 0 w N 0 w N 20N= ⇒ − = ⇒ = = .

4. α. Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε:

2ολ

F m·α F T m·α 100Ν 20Ν 20Κg·α α 4m / s= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =

β. Η κίνηση είναι οµαλά επιταχυνόµενη, εποµένως: 2υ α· t 4m / s ·2s 8m / s= = =

5. α. Η κίνηση του αυτοκινήτου είναι ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση χωρίς

αρχική ταχύτητα. Εποµένως από τον νόµο της ταχύτητας έχουµε:

2υ α· t 27m / s α ·9s α 3m / s= ⇒ = ⇒ = .

β. Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε:

2ολ

F m·α 1200Kg·3m / s 3600N= = =γ. Η δύναµη του κινητήρα έχει την ίδια κατεύθυνση µε την επιτάχυνση. Εποµένως:

ολ κιν αντ. κιν ολ αντ. κινF F F F F F F 3900Ν= − ⇒ = + ⇒ =

6. Η µόνη δύναµη που ασκείται στο αυτοκίνητο κατά την διεύθυνση της κίνησης του

είναι η τριβή. Άρα 2ολ

F m·α Τ m·g 925Κg·12, 2m / s 11.285N= ⇒ = = = µε

κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας.

7. Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε για την διεύθυνση

της κίνησης.

2F T m·α T F m·α 40N 5Kg·6m / s 10N− = ⇒ = − = − =

Να διατυπώσετε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα (ή το

νόµο δράσης - αντίδρασης). Να δοθούν παραδείγµατα.

Όταν δύο σώµατα αλληλεπιδρούν και το πρώτο ασκεί

δύναµη στο δεύτερο τότε και το δεύτερο σώµα ασκεί δύνα-

µη στο πρώτο που έχει ίσο µέτρο αλλά αντίθετη κατεύθυν-

ση µε την δύναµη που του ασκεί το πρώτο. Η µία δύναµη

ονοµάζεται δράση και η άλλη αντίδραση.

Παράδειγµα.

Ένα ελικόπτερο που βρίσκεται σε ύψος h από το κέντρο της

Γης δέχεται δύναµη w από τη Γη (δράση) αλλά και το ελι-

κόπτερο ασκεί ίσου µέτρου δύναµη στη Γη µε αντίθετη κα-

τεύθυνση (αντίδραση / w).

Παράδειγµα.

Ακίνητο βιβλίο πάνω σε γραφείο.

Ν: δύναµη που δέχεται το βιβλίο

από το γραφείο.

Ν΄: δύναµη που δέχεται το γρα-

φείο από το βιβλίο.

Οι δυνάµεις Ν και Ν΄ έχουν σχέ-

ση δράσης - αντίδρασης.

w

w´

N´

N

3ος νόµος Νεύτωνα


11Ôñßôïò íüìïò ôïõ ÍåýôùíáÔñßôïò íüìïò ôïõ Íåýôùíá

Προσοχή!

Η δράση και η αντίδρα-

ση ασκούνται σε διαφο-

ρετικά σώµατα συνεπώς

δεν µπορώ να βρω την

συνισταµένη τους.

144. Τρίτος νόµος του Νεύτωνα


• ∆ράση και αντίδραση έχω και στην περίπτωση που τα δύο

σώµατα δεν βρίσκονται σε επαφή.

1. Όταν ένα σώµα Α ασκεί δύναµη, σε κάποιο άλλο σώµα Β τότε και το

σώµα Β ασκεί µια δύναµη στο σώµα Α ίσου µέτρου και αντίθετης

φοράς (δράση - αντίδραση).

2. Η δράση και η αντίδραση εµφανίζονται ακόµη και αν τα σώµατα δεν

εφάπτονται (δυνάµεις από απόσταση).

3. Η δράση και η αντίδραση ασκούνται σε 2 διαφορετικά σώµατα (το ένα σώµα

ασκεί στο άλλο).

4. ∆εν υπάρχει συνισταµένη δύναµη δράσης - αντίδρασης επειδή αυτές ασκούνται σε

διαφορετικά σώµατα.

• Η δράση και η αντίδραση συνυπάρχουν και ασκούνται για το ίδιο χρονικό

διάστηµα.

• Σε κάθε δράση αντιστοιχεί πάντα µια αντίδραση.

• Η ένδειξη µιας ακίνητης ζυγαριάς πάνω στην οποία βρίσκεται σώµα ταυτίζεται µε το

βάρος του σώµατος.

• Οι δυνάµεις στη φύση εµφανίζονται κατά ζεύγη.

145.Τρίτος νόµος του Νεύτωνα

Ένας πατινέρ τραβάει στο λείο οριζόντιο δάπεδο το κιβώτιο. Ο πατινέρ έχει µάζα

60Kg ενώ το κιβώτιο 120Κg. Ο πατινέρ τραβάει το σχοι-

νί µε δύναµη 1F = 180N . Να βρείτε:

α. Την δύναµη που ασκεί το κιβώτιο στον πατινέρ

β. Την επιτάχυνση του πατινέρ.

γ. Την επιτάχυνση του κιβωτίου.

Λύση

α. Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα το κιβώτιο

ασκεί στον πατινέρ δύναµη 2F 180N= όπως στο σχήµα.

β. Από τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα έχουµε για την

επιτάχυνση του πατινέρ: 22

π

π

F 180Να 3m / s

m 60Κg= = =

γ. Οµοίως για την επιτάχυνση του κιβωτίου: 21κ

κ

F 180Να 1,5m / s

m 120Κg= = =

Αν η µάζα σας είναι 50Kg και ζυγιστείτε στη ζυγαριά του σπιτιού σας τι ένδειξη θα

δείξει; Αν τώρα ζυγιστούµε µέσα σ’ένα ασανσέρ το οποίο κατεβαίνει µε επιτάχυν-

ση α = g , τι ένδειξη θα δείχνει; ∆ίνεται 2g = 10m/s .

Λύση

α. Επειδή η ζυγαριά είναι ακίνητη η ένδειξη της ταυτίζεται µε το βάρος της. Άρα:

2

mN w m·g 50Kg·10 500N

s= = = =

β. Αν τώρα η ζυγαριά κατεβαίνει µε επιτάχυνση g ισχύει σύµφωνα µε τον 2ο νόµο του

Νεύτωνα: ολF m·α w N m·g= ⇒ − = ⇒ Ν = 0. Άρα δείχνει ένδειξη µηδέν.

F1

F2


Σώµα µάζας m = 2Kg είναι δεµένο µε σχοινί και ισορρο-

πεί στο λείο κεκλιµένο επίπεδο του σχήµατος.

α. Να σχεδιαστούν οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα.

β. Να υπολογιστεί η τάση του νήµατος. (∆ίνεται

2g = 10m/s ).

Λύση

α. Το σώµα ασκεί δύναµη F στο κεκλιµένο επίπεδο (λόγω

επαφής) άρα και το κεκλιµένο επίπεδο θα ασκεί στο

σώµα δύναµη Ν (κάθετη αντίδραση) σύµφωνα µε τον 3ο

νόµο του Νεύτωνα. Το σώµα ασκεί µια δύναµη Τ στο

σχοινί άρα και το σχοινί ασκεί µια δύναµη Τ στο σώµα

(τάση σχοινιού). Ακόµα ασκείται και η δύναµη του

βάρους.

β. Αναλύουµε το βάρος Β σε δύο κάθετες συνιστώσες ( )x yB και Β .

γ. Το σώµα ισορροπεί άρα yB N= (1) και xT B= (2) ώστε

ολF 0= . Η συνιστώσα Βx του βάρους είναι από

τριγωνοµετρία:

x

x x

Βηµθ B Bηµθ Β m·g·ηµθ

B= ⇒ = ⇒ =

2 ο

xΒ 2Kg·10m / s ·ηµ30 10Ν= = . Άρα από την σχέση

(2) xΤ Β 10N= = .

è = 30ï

è = 30ï

TN

B

è = 30ï

TN

Bx

By

B



1. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιές λάθος.

α. Η συνισταµένη της δράσης αντίδρασης είναι µηδέν.

β. Η δράση και η αντίδραση έχουν την ίδια φορά.

γ. Η δράση και η αντίδραση ασκούνται σε διαφορετικά σώµατα.

δ. Η δράση και η αντίδραση συνυπάρχουν.

ε. Υπάρχει περίπτωση να έχω δράση και να µην έχω αντίδραση.

2. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

α. Η δράση είναι το αίτιο και η αντίδραση το αποτέλεσµα.

β. Η αντίδραση του βάρους ενός ανθρώπου ασκείται στο κέντρο της γης.

γ. Κατά την αλληλεπίδραση δύο σωµάτων, η δράση είναι η δύναµη που ασκείται στο

µικρότερο σώµα και η αντίδραση η δύναµη που ασκείται στο µεγαλύτερο σώµα.

δ. Η δράση και η αντίδραση ασκούνται για τον ίδιο χρόνο σε δύο διαφορετικά σώµατα.

3. Ένας άντρας και ένα παιδί που έχουν µάζες Μ και m αντίστοιχα, βρίσκονται µέσα σε

δύο πανοµοιότυπες βάρκες 1B και 2B . Τραβώντας ο καθένας την άκρη ενός τεντω-

µένου σχοινιού θέλουν να φέρουν κοντά τις δύο βάρκες. Ποιές από τις προτάσεις

που ακολουθούν είναι σωστές και ποιές λάθος;

α. Η βάρκα 2B θα κινηθεί προς την βάρκα 1B , γιατί ο άντρας µπορεί να ασκήσει

µεγαλύτερη δύναµη.

β. Και οι δύο βάρκες θα κινηθούν µε επιταχύνσεις ίσων µέτρων.

γ. Και οι δύο βάρκες θα κινηθούν προς την ίδια κατεύθυνση.

δ. Οι δύο βάρκες θα κινηθούν προς αντίθετες κατευθύνσεις µε την επίδραση της ίδιας

δύναµης.

4. Εξηγήστε γιατι όταν συµπιέζουµε µε τα χέρια ένα ελατήριο και τα δύο χέρια µας

ασκούν την ίδια δύναµη.


1. Έχουµε δύο µαγνήτες µε µάζες 1m 1Kg= και 2m 1,5Kg= οι οποίοι λόγω της

µεταξύ τους έλξης κινούνται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Αν ο µαγνήτης µε

µάζα 1m έχει κάποια στιγµή επιτάχυνση 21α 2m / s= , ποια επιτάχυνση θα έχει την

ίδια χρονική στιγµή ο µαγνήτης µε µάζα 2m .

2. Στο τραχύ κεκλιµένο επίπεδο του διπλανού σχήµατος το

σώµα ισορροπεί. Αν η µάζα του σώµατος είναι m 1Kg=

και η γωνία του επιπέδου είναι οθ 45= .

α. Να σχεδιαστούν οι δυνάµεις.

β. Να υπολογιστεί η δύναµη τριβής. (∆ίνεται 2g 10m / s= ).

3. Ένα σώµα µε µάζα m 0,5Kgr= ηρεµεί στο λείο δάπεδο

του σχήµατος. Κάποια στιγµή αρχίζει να ασκείται δύνα-

µη F 2N= µε γωνία οθ 60= (σε σχέση µε το δάπεδο)

και αρχίζει να κινείται κατά την διεύθυνση του δαπέδου:

α. Να σχεδιαστούν οι δυνάµεις που ασκούνται στο σώµα.

β. Να αναλυθεί η F σε δύο συνιστώσες (µια στην διεύ-

θυνση κίνησης και µια κάθετη σε αυτή).

γ. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σώµατος.

δ. Μετά από πόσο χρόνο θα έχει διανύσει απόσταση x 25m= .

F

è = 60ï

è = 45ï


Ερώτηση 1

Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λάθος (Λ).

α. Η δράση δεν αναιρεί την αντίδραση διότι είναι µεγαλύτερη από αυτή.

β. Η συνισταµένη δύναµη της δράσης και την αντίδρασης είναι µηδέν.

γ. Κατά το πέταγµα µιας πέτρας το χέρι δέχεται δύναµη από την πέτρα.

Ερώτηση 2

Να σχεδιάσετε τις αντιδράσεις των παρακάτω δυνάµεων:

α. Του βάρους που δέχεται ένα σώµα.

β. Της δύναµης F που ασκεί ένας άνθρωπος σε ένα σχοινί που είναι δεµένο στην

προκυµαία λιµανιού.

Ερώτηση 3

Το σώµα του σχήµατος ισορροπεί. Με την βοήθεια ποιού

νόµου του Νεύτωνα εξηγείται και γιατί;

Άσκηση 1

Να υπολογιστεί η δύναµη που ασκεί ένα σώµα m 0,5Kg= σε ένα τραπέζι. (Το σώµα

ισορροπεί). ∆ίνεται 2g 10m / s= .

Άσκηση 2

Σώµα δεµένο µε σχοινί (όπως σχήµα) ισορροπεί σε λείο

κεκλιµένο επίπεδο. Αν η τάση του σχοινιού είναι 5Ν και η

γωνία οθ 45= πόσο είναι η µάζα του σώµατος; (∆ίνεται

2g 10m / s= ). è = 45ï

N

w



ÂÉÂËÉÏÕ

(óåë. 86 - 88)

Eρωτήσεις:1. Σωστές είναι οι προτάσεις α. και γ.

2. α. Με την βοήθεια της προπέλας που σπρώχνει το νερό προς τα πίσω οπότε και το

νερό σπρώχνει το πλοίο µπροστά.

β. Τα φτερά του έλικα ωθούν τον αέρα προς τα κάτω, άρα ο αέρας ωθεί το ελικόπτε-

ρο προς τα πάνω.

γ. Η τουρµπίνα παίρνει τον αέρα από µπροστά και τον σπρώχνει προς τα πίσω µε

ταχύτητα. Άρα ο αέρας σύµφωνα µε τον νόµο δράση - αντίδραση ωθεί µπροστά

το αεροπλάνο.

3. Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα και η πέτρα ασκεί δύναµη στη Γη αλλά

εξαιτίας ότι η Γη έχει τεράστια µάζα δεν αποκτά επιτάχυνση (αµελητέα).

4. Η δράση και η αντίδραση ασκούνται σε διαφορετικά σώµατα άρα είναι λάθος η λογική

του αλόγου που βρίσκει συνισταµένη µηδέν. Η δύναµη του ασκούντος είναι η δύναµη

F από το άλογο και η τριβή Τ. Επειδή F > T το κάρο κινείται προς τα εµπρός.

5. Τα αέρια που δηµιουργούνται σπρώχνουν την σφαίρα εµπρός. Εποµένως και η σφαί-

ρα ασκεί δύναµη προς τα πίσω σύµφωνα µε το νόµο δράση - αντίδραση.

6. Από τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα όσο πιο δυνατά σπρώχνουν τον βατήρα τόσο πιο

µεγάλη δύναµη θα τους ασκήσει ο βατήρας. Άρα από την σχέση F

αm

= όσο µεγα-

λύτερη είναι η δύναµη τόσο µεγαλύτερη επιτάχυνση θα αποκτήσει.

7. Οι δυνάµεις που ασκούνται στο µαθητή είναι το βάρος του w και η δύναµη από το

δάπεδο. Επειδή και οι δύο δυνάµεις ασκούνται στο ίδιο σώµα δεν αποτελούν ζεύ-


Ασκήσεις:

1. α. Η δύναµη από τη γη στο µήλο έχει µέτρο 2w m·g 0,1Kg·9,8m / s 0,98N= = = µε

κατεύθυνση προς το κέντρο της γης.

β. Η δύναµη από το µήλο στη γη είναι αντίδραση του βάρους w άρα 1w w 0,98N= =αλλά αντίθετη κατεύθυνση του w.

γ. Από το 2ο νόµο του Νεύτωνα βρίσκουµε 24 2

24Γ

F 0,98Nα 0,16·10 m / s

m 6·10 Kg−= = =

2. Οι δυνάµεις µεταξύ αγοριού κοριτσιού έχουν σχέση δράση - αντίδραση. Εποµένως

αν 1F είναι η δύναµη που δέχεται το κορίτσι από το αγόρι ισχύει:

21 1 1F m ·α 40Kg·3m / s 120N= = =

Για το αγόρι 21

22

F 120Nα 2m / s

m 60Kg= = =

γος δράσης - αντίδρασης. Όµως έχουν ίσα µέτρα και αντίθετες κατευθύνσεις αφού

αυτός ισορροπεί.

8. Στο µήλο ασκείται το βάρος του w και η δύναµη Ν από

το τραπέζι. Η αντίδραση του βάρους ασκείται στο κέ-

ντρο της γης, ενώ η Ν΄ είναι η δύναµη που ασκείται

από το µήλο στο τραπέζι. Εποµένως τα ζευγάρια είναι

(w, w΄) και (Ν, Ν΄).

9. α. Σύµφωνα µε τον τρίτο νόµο Νεύτωνα και τα δύο σχήµατα δέχονται δυνάµεις

ίσων µέτρων.

β. Από τον 2ο νόµο του Νεύτωνα F

αm

= µεγαλύτερη επιτάχυνση (επιβράδυνση) θα

αποκτήσει το ελαφρύτερο όχηµα δηλαδή το Ι.Χ. αφού η επιτάχυνση και η µάζα

είναι µεγέθη αντιστρόφως ανάλογα.

10. Από τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα έχουµε ότι τα µέτρα των δύο δυνάµεων είναι ίσα.

11. Ο συλλογισµός είναι σωστός αφού το κάθε δυναµόµετρο δείχνει τη δύναµη που

του ασκεί το άλλο. Οι δυνάµεις αυτές είναι ζεύγος δράσης - αντίδρασης.

N

N´ w


3. α. Στο αντικείµενο ασκούνται το βάρος w και η δύναµη

από το νήµα Τ (τάση). Λόγω ισορροπίας των

αντικειµένων ισχύει: w T 1N= =

β. Στο νήµα ασκούνται οι δυνάµεις Τ και Τ΄που έχουν

σχέση δράσης αντίδρασης. Επίσης η δύναµη F από το

στήριγµα του νήµατος µε σχέση F T΄ T 1N= = = .

4. Στην µπάλα ασκούνται το βάρος της w και η αντίδραση

Ν από το τραπέζι. Επειδή η µπάλα ισορροπεί η

συνισταµένη δύναµη είναι µηδέν. Άρα:

2N w m·g 2Kg ·10m / s 20N= = = =

5. α. Από θεωρία γνωρίζουµε ότι η ένδειξη της ζυγαριάς είναι ίση µε το βάρος του

σώµατος. Άρα: 21N w m ·g 50Kg·10m / s 500N= = = = .

Η Ν έχει αντίθετη κατεύθυνση από το βάρος.

β. Λόγω της αλλαγής του βάρους η ζυγαριά θα έχει ένδειξη:

2 1N΄ w΄ w m ·g m ·g 510N= + = + =γ. Στην περίπτωση αυτή η ένδειξη της ζυγαριάς θα είναι:

N΄ w F 572N= + =

6. α. Σύµφωνα µε το 2ο νόµο του Νεύτωνα έχουµε ολ ανυψF m·α F w m·α= ⇒ − =

ανυψF w m·α⇒ = +

ανυψF m·g m·α 54.000Ν= + =

β. Η αντίδραση της ανυψF είναι η ζητούµενη δύναµη που έχει αντίθετη κατεύθυνση

της ανυψF και ίσο µέτρο. ανυψ

F΄ F 54.000N= =

T

w

w

N

[G Gumnasiou]Fusiki - Theoria -Askiseis Kefalaio 1-2

Documents

Transcript of [G Gumnasiou]Fusiki - Theoria -Askiseis Kefalaio 1-2