Funzioni Lineari tra Spazi VettorialiFunzioni Lineari tra Spazi VettorialiDef.Siano V1 e V2 due spazi vettoriali e sia f: V1 � V2. f è detta FUNZIONE LINEARE se:

:ha si , , 1 RkV ∈∀∈∀ 21 vv

)()()( 2vvvv 121 fff +=+ additività

)()( 11 vv kfkf = omogeneità

1

Oppure con l’unica proprietà:

)()()( 2vvvv 121 fff βαβα +=+

NotaCome sinonimo di funzione lineare spesso si usano i termini “operatore lineare” o “applicazione lineare” o “trasformazione lineare”

NotaUna funzione lineare è nota quando è noto come agisce sui vettori di una base di V1.

Esempi (1)Esempi (1)Es. 1 Sia f:R3�R3

++−

+=

zx

zy

yx

z

y

x

f

Si stabilisca se f è lineare:

=

+++

=

+

33

22

11

3

2

1

3

2

1

yx

yx

yx

f

y

y

y

x

x

x

f

βαβαβα

βα

+++++−−

+++

3311

3322

2211

yxyx

yxyx

yxyx

βαβαβαβα

βαβα

2

3333 +++ 3311 yxyx βαβα

=

++−

++

++−

+=

+

31

32

21

31

32

21

3

2

1

3

2

1

yy

yy

yy

xx

xx

xx

y

y

y

f

x

x

x

f βαβα

( )( )( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

++++−++−

+++

=

++−

++

++−

+

=

3131

3232

2121

31

32

21

31

32

21

yyxx

yyxx

yyxx

yy

yy

yy

xx

xx

xx

βαβα

βα

βββ

ααα

Esempi (2)Esempi (2)Es. 2 Sia f:R3�R3

funzione lineare tale che:

=0

1

2

)( 1ef

−=

1

0

1

)( 2ef

=1

1

0

)( 3ef

Si calcoli:

3

2

1

f

− 0022=++=++= )(3)(2)(1)321( 3232 eeeeee 11 ffff

3

3

=

+

−+

=5

4

0

3

3

0

2

0

2

0

1

2

z

y

x

f =++=++= )()()()( 3232 eeeeee 11 zfyfxfzyxf

++

−=

+

−+

=zy

zx

yx

z

z

y

y

x

x 20

0

0

2 NOTA Una Funzione Lineare è nota una volta che è noto il modo in cui agisce sui vettori di una base!

KernelKernel o Nucleo (1)o Nucleo (1)Def. KernelData f: V1 � V2 funzione lineare abbiamo: 1

1 )(:)(2

VffKer V ⊂= − 0

TeoremaData f: V1 � V2 funzione lineare, Ker(f) è un sottospazio vettoriale di V1.

Oss. Se f è un’applicazione lineare tra V1 e V2 allora f(0)=0. Infatti:f(0)=f(v-v)=f(v)-f(v)=0 . Dunque Ker(f) è almeno costituito dal vettore nullo dello spazio V1.

Vale il seguente teorema:

4

Ker(f) è un sottospazio vettoriale di V1.

Dim.Siano R, )(, ∈∈ βαfKer21 kk Dimostriamo che :

)( fKer∈+ 21 kk βα Infatti:

000kkkk 2121 =+=+=+ βαβαβα )()()( fff

Ciò mostra che Ker(f) è un sottospazio vettoriale di V1

KernelKernel o Nucleo o Nucleo (2)(2)TeoremaData f: V1 � V2 funzione lineare, La funzione f è iniettiva se e solo se Ker(f)={0} .

Dim.Sia f iniettiva , dimostriamo che Ker(f)={0}:

0xx =⇒∈ )()( ffKer Ma f(0)=0 dunque se f è iniettiva x=0.

Viceversa: sia Ker(f)={0} allora f é iniettiva :

Siano x, x’ tali che f(x)=f(x’ ). Allora : 0=f(x)-f(x’ )=f(x-x’ ) ne segue che

5

iniettiva )(' ffKer ⇒=⇒=−⇒∈− x'x0x'xxx

NotaInoltre se { } xkx0k0k 111 ≠+⇒≠⇒≠∈ )( fKer

Tuttavia: )()()()()( x0xkxkx 11 fffff =+=+=+

E dunque f non può essere iniettiva

KernelKernel o o Nucleo: esempi Nucleo: esempi (1)(1)

Es. Si determini il Kernel delle funzioni degli esercizi precedenti:

=

++−

+=

0

0

0

zx

zy

yx

z

y

x

f

=−=

⇒

==+

⇒

=+=+−

=+⇒

zy

zx

zy

zx

zx

zy

yx0

(*)

0

0

01]

6

+ 0zxz =+ zx 0

−=

−⇒

1

1

1

z

z

z

zDim(Ker(f))=1 f non è iniettiva 0

101

110

011

det(*) =

−

KernelKernel o o Nucleo: esempi Nucleo: esempi (2)(2)Es. Si determini il Kernel delle funzioni degli esercizi precedenti:

=

0

0

0

z

y

x

f

2]

=++=++= )()()()( 3232 eeeeee 11 zfyfxfzyxf

=

+−

=

+

−

+

= 0

020

0

2

zx

yx

z

y

x

x

=+=−

⇒ 0

02

(*) zx

yx

7

Dim(Ker(f))=0 f è iniettiva

=

++=

+

+

=0

00

0 zy

zx

z

z

y

x

===

⇒

=−−=

=⇒

0

0

0

02

2

z

y

x

xx

xz

xy

=+=+⇒

0

0 (*)

zy

zx

1

110

101

012

det (*) −=

−⇒

Codominio o Immagine (1)Codominio o Immagine (1)

Def. ImmagineData f: V1 � V2 funzione lineare abbiamo:

{ } 212 )(:::)Im( VfVVf ⊂=∈∃∈= wvvw

TeoremaData f: V1 � V2 funzione lineare, Im(f) è un sottospazio vettoriale di V2.

Teorema Una funzione f è suriettiva se e solo se Im(f)=V

8

TeoremaData f: V1 � V2 funzione lineare: )dim())(dim())dim(Im( 1VfKerf =+

Teorema Una funzione f è suriettiva se e solo se Im(f)=V2

Def. Se è iniettiva e suriettiva ( quindi biunivoca) e prende il nome di ISOMORFISMO(Automorfismo se V1 = V2)

Codominio o Immagine (1)Codominio o Immagine (1)Es. Si determini l’Immagine delle funzioni degli esercizi precedenti :

1]

+

−+

=

++−

+=

1

1

0

0

1

1

1

0

1

zyx

zx

zy

yx

z

y

x

f

Determiniamo quali vettori (x,y,z) dello spazio di partenza hanno come immagine un generico vettore (a,b,c) dello spazio di arrivo. Cioè si consideri:

011 L’immagine è generata dai tre vettori colonna della matrice. Osserviamo:

9

0

101

110

011

det =

−

L’immagine è generata dai tre vettori colonna della matrice. La matrice dei vettori ha rango due. Dunque due solo dei tre vettori generano l’immagine.

Allora Im(f) ha dimensione 2 ed una base di Im(f) è costituita da due qualsiasi dei tre vettori. Vale la somma: Dim(Im(f))+Dim(Ker(f))=3

Codominio o Immagine (2)Codominio o Immagine (2)

Es. Si determini l’Immagine delle funzioni degli esercizi precedenti :

2]

+

−+

=

++

−=

1

1

0

1

0

1

0

1

22

zyx

zy

zx

yx

z

y

x

f

Si consideri:012

−

10

Si consideri:1

110

101det −=

La matrice dei vettori ha rango tre. Dunque Im(f) ha dimensione 3. La base è costituita dai tre vettori colonna della matrice. La somma:Dim(Im(f))+Dim(Ker(f))=3

Teorema di rappresentazione (1)Teorema di rappresentazione (1)Sia f: V1 � V2 funzione lineare, con n=dim(V1) ed m=dim(V2). Fissate due basi in V1 e V2 , gli elementi di V1 possono essere identificati da vettori a n componenti e gli elementi di V2 possono essere identificati da vettori a m componenti . Siano {a1,.., an }i vettori della base di V1 e { b1,.., bm }i vettori della base di V2:

TeoremaNelle ipotesi sopra descritte alla funzione f è possibile far corrispondere una matrice di tipo m x n , costruita affiancando gli n vettori f(a1),…, f(an)

Es. Si consideri al matrice 3 x 4:

−

= 2101

4012

A

11

−=

1220

2101A

Consideriamo questa matrice per costruire una funzione da A:R4 � R3 tale che al vettore x generico di R4 associ il vettore Ax di R3

Ad es. se

4

2

2

1

0

R∈

−=x

3

8

6

9

2

2

1

0

1220

2101

4012

R∈

=

−

−

−=Ax

++−+++−

=

tzy

tzx

tyx

t

z

y

x

f

22

2

42

Teorema di rappresentazione (2)Teorema di rappresentazione (2)

−

−=

1220

2101

4012

AStudio del Kernel e dell’Immagine:

La matrice A ha rango 3 poiché:

6

220

101

012

det =

−

−L’Immagine di A ha dimensione 3. Base di Im(A) sono i vettori:

Il Kernel di A ha quindi dimensione 1:

+

−

−+

=2

1

0

2

0

1

0

1

2

γβαIm(A)

12

Il Kernel di A ha quindi dimensione 1:

=

−

−

0

0

0

1220

2101

4012

t

z

y

x

=++−=++

=+−

022

02

042

tzy

tzx

tyx

−==−+

=−+

zyt

zyx

zyx

22

034

0872

−=+−==−−

zyt

zyx

zy

22

34

02

−=+−=

−=

zyt

zyx

zy

22

34

2

−==

−=

zt

zx

zy

6

11

2

−

−=

6

1

2

11

)( αAKer

Teorema di rappresentazione (3)Teorema di rappresentazione (3)Es. Si determini la matrice delle funzioni degli esercizi precedenti rispetto alla base canonica di R3:

1]

++−

+=

zx

zy

yx

z

y

x

f

=

1

0

1

0

0

1

f

−=

0

1

1

0

1

0

f

=

1

1

0

1

0

0

f

−=101

110

011

M

++−

+=

−zx

zy

yx

z

y

x

101

110

011

13

101 + zxz101

Notiamo che il rango della matrice M (uguale a 2), eguaglia la dimensione del sottospazio Im(f), ciò non è casuale poiché il sottospazio Im(f) è generato dalle immagini dei vettori di base dello spazio di partenza. Possiamo quindi formulare il seguente teorema:Teorema Data la funzione f: V1 � V2 funzione lineare, detta M la matrice che rappresenta f abbiamo che Rango(M)=Dim(Im(f)).Se Dim(Im(f))=Dim(V2) allora f è suriettiva.Se Dim(Im(f))=Dim(V1) allora f è iniettiva.Se Dim(Im(f))= Dim(V2) = Dim(V1) allora f è biunivoca.

Teorema di rappresentazione (4)Teorema di rappresentazione (4)Es. Si determini la matrice delle funzioni degli esercizi precedenti rispetto alla base canonica di R3:

2]

=

0

1

2

0

0

1

f

−=

1

0

1

0

1

0

f

=

1

1

0

1

0

0

f

++

−=

zy

zx

yx

z

y

x

f

2

14

00

10

11

−=

110

101

012

M

=

−

5

4

0

3

2

1

110

101

012

++

−=

−

zy

zx

yx

z

y

x 2

110

101

012

Notiamo che il rango della matrice M (uguale a 3), eguaglia la dimensione del “sottospazio” Im(f). L’applicazione è dunque biunivoca (automorfismo di R3)

Teorema di Teorema di RouchéRouché –– Capelli (1)Capelli (1)Sistemi LineariSupponiamo di avere un sistema lineare nella sua forma più generale possibile, formato da m equazioni con n incognite , scritto in forma normale:

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

....

.......................

....

....

)1(

2211

22222121

11212111

15

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

..

........

..

..

21

22221

11211

Α

se indichiamo con A la matrice dei coefficienti (di tipo m x n) ed x il vettore delle incognite ( di tipo n x 1: n componenti x1,…, xn) e con b il vettore dei termini noti ( di tipo m x 1: m componenti b1,…,bm)

=

nx

x

x

..2

1

x

=

mb

b

b

..2

1

b

Teorema di Teorema di RouchéRouché –– Capelli (2)Capelli (2)

bAx =La scrittura può essere interpretata come l’azione della funzione lineare rappresentata dalla matrice A agente tra gli spazi Rn a valori in Rm.

Def. Matrice completa

Si definisce matrice completa del sistema la matrice bA |

E’ possibile scrivere il sistema nella seguente forma matriciale:

(1)

16

Si definisce matrice completa del sistema la matrice bA |Ottenuta affiancando alla matrice A una ulteriore colonna costituita dal vettore dei termini noti b.

E’ evidente che la condizione sufficiente affinché il sistema rappresentato dalla (1) ammetta soluzioni è che il vettore b appartenga all’insieme delle immagini della matrice A. Questa condizione è tradotta come segue nel teorema di Rouché - Capelli .

Teorema di Teorema di RouchéRouché –– Capelli (3)Capelli (3)

)|()( bAA RangoRango =

Teorema (di Rouché-Capelli)Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema di m equazioni lineari in n incognite rappresentato dalla (1) ammetta soluzione o, equivalentemente , che il sistema sia compatibile è che:

(2)

Es. m>n −13

17

−=

24

31

13

ΑRango(A)=2

−−

−=

224

231

113

)|( bΑ 10)|det( −=bΑ

Il sistema NON ammette soluzioni3)|( =bΑrango

Teorema di Teorema di RouchéRouché –– Capelli (4)Capelli (4)

Es. m>n

=107

21

42

Α Rango(A)=2

−−

=5107

121

242

)|( bΑ 0)|det( =bΑ

Il sistema ammette soluzioni (è compatibile)2)|( =bΑrango

18

soluzioni (è compatibile)2)|( =bΑrango

Ricerca soluzioni: si considerano due delle tre equazioni( quelle che generano il minore di ordine 2 diverso da zero) e poi si risolve “normalmente”:

=+−=+

5107

12

yx

yx

−==

⇒=−⇒=+−−−−=

3

5

124510)21(7

21

y

x

yyy

yx

Teorema di Teorema di RouchéRouché –– Capelli (5)Capelli (5)

Es. m<n

=

532

532Α Rango(A)=1

=

12532

10532)|( bΑ Il sistema NON ammette

soluzioni2)|( =bΑrango

=++=++

12532

10532

zyx

zyx

19

Teorema di Teorema di RouchéRouché –– Capelli (5)Capelli (5)

Es. m<n

Rango(A)=2

Il sistema ammette soluzioni (è compatibile)2)|( =bΑrango

−=−+=++

1142

1232

zyx

zyx

−=

421

132Α

−−=

11421

12132)|( bΑ

20

soluzioni (è compatibile)2)|( =bΑrango

Ricerca soluzioni: si considerano le equazioni( quelle che generano il minore di ordine 2 diverso da zero) e poi si risolve “normalmente”:

−+−==++−+−

⇒

−=−+=++

1142

123)1142(2

1142

1232

zyx

zyzy

zyx

zyx

−+−−=−=

⇒

−+−=−=

⇒

−+−==++−+−

114)129(2

129

1142

129

1142

1232284

zzx

zy

zyx

zy

zyx

zyzy

−=−=

⇒zx

zy

1413

129 Soluzioni infinite dipendenti da 1 parametro (1 grado di libertà)

AutovaloriAutovalori ed ed AutovettoriAutovettori (1)(1)Supponiamo di voler ricercare le “direzioni” che vengono lasciate invariate dall’azione di una funzione lineare (o della matrice corrispondente).Deve essere f:V�V. La matrice che rappresenta f è dunque una matrice quadrata (con ordine pari alla dimensione di V).Possiamo formulare questa richiesta, la cui validità è trasversale a molte discipline scientifiche, attraverso la seguente equazione:

vAv λ= (1)

21

Def.Nella (1) λ è detto autovalore relativo alla matrice A e v (v≠0)è detto autovettoredella matrice A relativo all’autovalore λ.

Equazione agli autovalori (autovettori)

Possono essere più di uno gli autovettori relativi ad un determinato autovalore, per essi vale il seguenteTeoremaTutti gli autovettori relativi ad una determinato autovalore formano un sottospazio vettoriale di V detto AUTOSPAZIO .

AutovaloriAutovalori ed ed AutovettoriAutovettori (2)(2)

u e v sono autovettori di A ?

=

25

61Α

−=

5

6u

−=

2

3vEs.

uΑu 420

24−=

−= u è autovettore per A relativo all’autovalore -4

−=

11

9Αv Il vettore ottenuto non è multiplo di u perciò u non è

autovettore

22

11

Polinomio Caratteristico (3)Polinomio Caratteristico (3)Per ricercare sistematicamente tutti gli autovalori e tutti gli autovettori di una matrice procediamo nel seguente modo. Dalla (1):

vAv λ= vIAv nλ= 0vIA n =− )( λCon In matrice identità n-dimensionale. La (2) rappresenta un sistema lineare omogeneo con incognita il vettore v. L’unico modo per non avere soluzioni banali (cioè v=0, vettore con tutte le componenti nulle) è quello di porre il determinante della matrice dei coefficienti nullo.

(2)

23

0)det( =− nIA λ (3)

La precedente equazione è detta equazione caratteristica . Essa è costituita da un polinomio (in generale di grado n ) nella variabile λ detto POLINOMIO CARATTERISTICO. Le soluzioni del polinomio caratteristico sono gli autovalori. Una volta noti gli autovalori di una matrice, gli autovettori vengono determinatidall’equazione (1).

La matrice λ In é un matrice diagonale, con tutti gli elementi della diagonale principale uguali a λ.

AutovaloriAutovalori –– AutovettoriAutovettori esercizi (1)esercizi (1)Es. Matrice di rotazione in R 2

−=

ϑϑϑϑ

ϑcossin

sincos)R(

−−−

=

−

−=−

λϑϑϑλϑ

λλ

ϑϑϑϑ

λϑcossin

sincos

0

0

cossin

sincos2I)R(

01cos2sin)(cos)det( 222 =+−=+−=− ϑλλϑλϑλϑ 2I)R(

1coscos 2 −±= ϑϑλ

24

1coscos −±= ϑϑλπϑϑϑ ,01cos01cos2 =⇒±=⇒≥−Esistono soluzioni reali se

=

10

010)R(

−−

=10

01)R(π

Gli autovalori sono λ=1 e λ=-1. Autovettori…..

AutovaloriAutovalori –– AutovettoriAutovettori esercizi (2)esercizi (2)Es. Matrice di simmetria

=

01

10xyS

−−

=−λ

λλ

1

12xy IS 01)det( 2 =−=− λλ 2xy IS 1±=λ

⇒

==

⇒

=

⇒=

1

1

01

101 kiautovettor

yx

xy

y

x

y

xse λ

⇒ −=

⇒

−=

⇒−=1

10

1 kiautovettorxyxx

se λ

25

−⇒

−=−=

⇒

−=

⇒−=

1

1

01

101 kiautovettor

yx

xy

y

x

y

xse λ

AutovaloriAutovalori –– AutovettoriAutovettori esercizi (3)esercizi (3)Es. Matrice

−−

=211

132

123

A

−−−−−

=−λ

λλ

λ211

132

123

3IA

=−−−+−−−+−−−−=− )]3(2[]1)2(2[2]1)2)(3)[(3()det( 3 λλλλλλIA

=−+−−=+−−+−+−−−= )3(6)2()3(324103)2()3( 22 λλλλλλλλ0)5)(3(]5)[3(]6)2)(3)[(3( 2 =−−=+−−=+−−−= λλλλλλλλλ

26

5,3,0 === λλλ 0 0Ax =⇒=λse

0)5)(3(]5)[3(]6)2)(3)[(3( 2 =−−=+−−=+−−−= λλλλλλλλλ

Poiché det (A)=0 ho soluzione ≠0. Considero:

02

032

=++=++

zyx

zyx-

1

1

1

k soluz.

−−

Autospazio relativo all’autovalore λ=0 ha dimensione=1 (Kernel)

AutovaloriAutovalori –– AutovettoriAutovettori esercizi (4)esercizi (4)⇒= 3 λse

=

−−

z

y

x

z

y

x

3

211

132

123

⇒

2

1

1

soluz. k Autospazio relativo all’autovalore λ=3 ha dimensione=1

27

⇒= 5 λse

=

−−

z

y

x

z

y

x

5

211

132

123

−⇒

0

1

1

soluz. k Autospazio relativo all’autovalore λ=5 ha dimensione=1

AutovaloriAutovalori –– AutovettoriAutovettori esercizi (5)esercizi (5)Es. Matrice

=401

010

001

A

−−

−=−

λλ

λλ

401

010

001

3IA

0)4()1()det( 23 =−−=− λλλIA

4), (1 == λλ voltedue

28

1 xAx =⇒=λse

−=

==

⇒

=+==

3

4 xz

yy

xx

zzx

yy

xx

+

−=

0

1

0

y

3/1

0

1

x

x/3-

y

x

soluz.

Autospazio relativo all’autovalore λ=1 (con molteplicità 2) ha dimensione=2

AutovaloriAutovalori –– AutovettoriAutovettori esercizi (6)esercizi (6)

44 xAx =⇒=λse

===

⇒

=+==

0

0

0

44

4

4

x

y

x

zzx

yy

xx

1

0

0

k soluz.

Autospazio relativo all’autovalore λ=4 ha dimensione=1

29