FÍSICA 2.0Cuest iones y prob lemaspara Bach i l le ratoFrancisco José Moreno HuesoFÍ

SICA

2.0

Cues

tione

s y

prob

lem

aspa

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achi

llera

to

31

�d = 2 m; cos φ = cos 180o = −1; sen α = sen 30o = 0, 5; m = 10 kg; g = 10 m/s2�

Un bloque de 0, 2 kg, inicialmente en reposo, se deja deslizar por un planoinclinado que forma un ángulo de 30o con la horizontal. Tras recorrer 2 m,queda unido al extremo libre de un resorte, de constante elástica 200 N/m,paralelo al plano y fijo por el otro extremo. El coeficiente de rozamiento delbloque con el plano es 0,2.a) Dibuje en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque cuandocomienza el descenso e indique el valor de cada una de ellas. ¿Con quéaceleración desciende el bloque?b) Explique los cambios de energía del bloque desde que inicia el descensohasta que comprime el resorte y calcule la máxima compresión de este.g = 10 m s−2.

Problema 1.17

a) En la figura de la derecha representamosel bloque cuando comienza el descenso. Lasfuerzas reales que actúan sobre el bloque son:el peso

−→P , la normal

−→N y la fuerza de roza-

miento−→F roz entre el plano y el bloque. Hemos

descompuesto el peso en sus dos componentes−→P x y

−→P y según los ejes X e Y , respectiva-

mente.Los valores de los módulos de cada una de

las fuerzas reales que actúan sobre el bloqueson:

Y

X

−→N

−→P x −→

P y

−→P

−→F roz

α

α

• El pesoP = mg = 0, 2 kg · 10 m/s2 = 2 N

• La normal

N = Py = mg cos α = 0, 2 kg · 10 m/s2 · cos 30o = 1, 73 N

• La fuerza de rozamiento

Froz = μN = μmg cos α = 0, 2 · 0, 2 kg · 10 m/s2 · cos 30o = 0, 35 N

Obtenemos la aceleración aplicando la segunda ley de Newton:

Σ−→F = m −→a

32 CAPÍTULO 1. TRABAJO Y ENERGÍA

Px − Froz = ma

�−→P y y

−→N se anulan por ser fuerzas opuestas.�

Despejamos a y calculamos su valor:

a =Px − Froz

m=

1 N − 0, 35 N0, 2 kg

= 3, 25 m/s2

�Px = mg sen α = 0, 2 kg · 10 m/s2 · sen 30o = 1 N; Froz = 0, 35 N; m = 0, 2 kg�b) En su movimiento de descenso hasta que

su velocidad es cero, sobre el bloque actúanfuerzas conservativas que realizan trabajo (elpeso y la fuerza que el resorte ejerce sobreel bloque cuando interaccionan) y una fuerzano conservativa (la fuerza de rozamiento en-tre el bloque y el plano). Al ser negativo eltrabajo de la fuerza de rozamiento, pues estase opone al desplazamiento, la energía mecá-nica Em disminuye. Lo hace en el mismo valorque el del trabajo realizado por la fuerza derozamiento:

WFroz = ΔEm

X

X

Como asociado al trabajo de las fuerzas de rozamiento existe un aumento de laenergía interna del bloque y del plano Ubloque−plano (aumentan su temperatura),podemos establecer que:

WFroz = −ΔUbloque−plano

Y, por tanto, que:−ΔUbloque−plano = ΔEm

O lo que es lo mismo:ΔEm + ΔUbloque−plano = 0

Esta expresión significa que la energía mecánica del sistema bloque-resorte dis-minuye en el mismo valor que aumentan la energía interna del bloque y del plano.En cuanto a la energía mecánica, en la parte superior del plano, el bloque tiene

una determinada energía potencial gravitatoria (está a una cierta altura) y notiene energía cinética (está en reposo); y el resorte no tiene energía potencialelástica (no está estirado ni comprimido), mientras que en la parte más baja elbloque tiene menos energía potencial gravitatoria (está a una altura inferior) y no

33

tiene energía cinética (su velocidad es cero), y el resorte tiene energía potencialelástica (está comprimido).En resumen, podemos decir que parte de la energía potencial que tiene el bloque

se ha transformado en energía potencial elástica del resorte y en energía internadel bloque y del plano.Consideramos ahora dos situaciones intermedias: la primera, antes de que el

cuerpo choque contra el resorte, y la segunda, cuando lo está comprimiendo. Enla primera situación, el cuerpo va aumentando su velocidad y disminuyendo sualtura: podemos decir que parte de la energía potencial gravitatoria del cuerpose transforma en energía cinética del cuerpo y en energía interna del bloque ydel plano. En la segunda situación, el cuerpo va disminuyendo su velocidad ytambién su altura: podemos decir que parte de la energía cinética y potencial setransforma en energía elástica del muelle y en energía interna del bloque y delplano.

Para calcular la compresión máxima del re-sorte, consideramos dos situaciones, la inicial,con el cuerpo en lo alto del plano inclinadoy en reposo, y la final, con el bloque a unamenor altura sobre el plano inclinado y convelocidad cero, y el muelle comprimido.

Xh

−→F roz

α

Δ−→x +−→l

φ

l

O

Podemos establecer que el trabajo realizado por la fuerzas de rozamiento en todoel trayecto de descenso es igual a la variación de la energía potencial elástica delmuelle ΔEp elas más la variación de la energía potencial gravitatoria ΔEp g, ya queΔEc = 0:

WFroz = ΔEp elas + ΔEp g

Si expresamos el trabajo como el producto escalar de la fuerza por el desplaza-miento, de módulo Δx + l, desarrollamos el producto escalar y las variaciones delas energías potenciales, tenemos que:

μmg cos α(Δx + l)cos φ = 12

k l2 − mg(Δx + l)sen α

Quitamos paréntesis:

μmg Δx cos α cos φ + μmgl cos α cos φ = 12

kl2 − mg Δx sen α − mgl sen α

Sustituimos por el valor numérico correspondiente:0, 2 ·0, 2 ·10 ·2

√3/2 (−1)+0, 2 ·0, 2 ·10 · l

√3/2 (−1) = 0, 5 ·200 · l2 −0, 2 ·10 ·2 ·0, 5−0, 2 ·10 · l ·0, 5

� Δx = 2 m; sen α = sen 30o = 0, 5; cos α = cos 60o =√

3/2; cos φ = cos 180o = −1�

34 CAPÍTULO 1. TRABAJO Y ENERGÍA

Operamos:

−0, 693 − 0, 346l = 100l2 − 2 − l

Reorganizamos términos y obtenemos la ecuación de segundo grado:

100l2 − 0, 654l − 1, 31 = 0

Una de cuyas soluciones, la positiva, es l = 0, 118 m = 11, 8 cm.

Un cuerpo de 0, 5 kg se lanza hacia arriba por un plano inclinado, que forma30o con la horizontal, con una velocidad inicial de 5 m/s. El coeficiente derozamiento es 0,2.a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, cuando subey cuando baja por el plano, y calcule la altura máxima alcanzada por elcuerpo.b) Determine la velocidad con la que el cuerpo vuelve al punto de partida.g = 10 m s−2.

Problema 1.18

a) En las figuras siguientes representamos el cuerpo en las dos situaciones, cuandosube y cuando baja por el plano inclinado. Las fuerzas reales que actúan sobreél en ambos casos son las mismas: el peso

−→P , la normal

−→N y la fuerza de roza-

miento−→F roz entre el plano y el cuerpo. Hemos descompuesto el peso en sus dos

componentes−→P x y

−→P y según los ejes X e Y , respectivamente:

−→P y

−→P

−→F roz

−→N−→

P x

YX

α

α

−→P y

−→P

−→F roz

−→N

−→P x

YX

α

α

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento WFroz mientras que el cuerpoasciende es igual a la variación de la energía mecánica ΔEm:

WFroz = ΔEm

86 CAPÍTULO 2. CAMPO GRAVITATORIO

En dos vértices opuestos de un cuadrado, de 6 cm de lado, se colocan lasmasas m1 = 100 g y m2 = 300 g.a) Dibuje en un esquema el campo gravitatorio producido por cada masa enel centro del cuadrado y calcule la fuerza que actúa sobre una masa m = 10 gsituada en dicho punto.b) Calcule el trabajo realizado al desplazar la masa de 10 g desde el centrodel cuadrado hasta uno de los vértices no ocupados por las otras dos masas.G = 6, 67 · 10−11 N m2 kg−2.

Problema 2.24

a) Según el principio de superposición decampos, si varias masas puntuales son lasresponsables de la existencia de un campogravitatorio, la intensidad de campo gra-vitatorio que crean en un punto es la sumavectorial de las intensidades de campo queen ese punto crearía cada una de las masaspor separado:

−→g = Σ−→g i = Σ(

−Gmi

r2i

ri

)

siendo ri el vector unitario en la direcciónde la recta que une cada una de las masascon el punto considerado y de sentido ha-cia ese punto, y ri, la distancia que losune.

P1 P2m1 m2

X (cm)

Y (cm)

O

2

42 6

6

4

−→g 2−→g 1

−2

−4

−6

��−2−4−6

−→g

xx

r1 r2

En la figura representamos el campo gravitatorio en el punto O (0, 0) creado porlas masas m1 y m2. Representamos el cuadrado de tal manera que las intensidadesde campo tengan una sola componente. Para representarlo, debemos calculardónde están situados sus vértices. Para ello elegimos uno de los triángulos decatetos x e hipotenusa 6 cm y obtenemos mediante el teorema de Pitágoras que:

x = r1 = r2 =√

1, 8 · 10−3 m = 4, 24 cm

Calculamos el campo gravitatorio en el punto O:

−→g = −→g 1 + −→g 2 = −Gm1

r21

r1 +(

−Gm2

r22

r2

)= −G

m1

r21

�ı +(

−Gm2

r22

(−�ı))

= −6, 67 · 10−11 N m2

kg2 · 0, 1 kg(√

1, 8 · 10−3 m)2�ı + 6, 67 · 10−11 N m2

kg2 · 0, 3 kg(√

1, 8 · 10−3 m)2�ı

=(

−3, 70 · 10−9�ı + 1, 11 · 10−8�ı)

N/kg = 7, 40 · 10−9�ı N/kg

87

cuyo módulo es: 7, 40 · 10−9 N/kg.Y la fuerza que actúa sobre una de 0, 01 kg (10 g) es:

−→Fg = m−→g = 0, 01 kg · 7, 40 · 10−9�ı N/kg = 7, 40 · 10−11�ı N

cuyo módulo es: 7, 40 · 10−11 N.b) Aplicamos primero el principio de su-

perposición de potenciales, según el cual,si varias masas puntuales son las respon-sables de la existencia de un campo gravi-tatorio, el potencial gravitatorio que creanen un punto es la suma de los potencialesque en ese punto crearía cada una de lasmasas por separado. En el caso de dosmasas:

V = −Gm1r1

+(

−Gm2r2

)

siendo r1 y r2 las distancias a las masasm1 y m2, respectivamente.

P1 P2m1 m2

X (cm)

Y (cm)

�O

2

42 6

6

P4

−2

−4

−6

��−2−4−6

xx

m

En el punto O (0, 0) m, el potencial es:

VO = −6, 67 · 10−11 N m2

kg2 · 0, 1 kg√1, 8 · 10−3 m

+

(−6, 67 · 10−11 N m2

kg2 · 0, 3 kg√1, 8 · 10−3 m

)

= −1, 57 · 10−10 J/kg − 4, 72 · 10−10 J/kg = −6, 29 · 10−10 J/kg

En el punto P (0, 4, 24) m, el potencial es:

VP = −6, 67 · 10−11 N m2

kg2 · 0, 1 kg0, 06 m +

(−6, 67 · 10−11 N m2

kg2 · 0, 3 kg0, 06 m

)= −1, 11 · 10−10 J/kg − 3, 34 · 10−10 J/kg = −4, 45 · 10−10 J/kg

El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando se traslada una masa 0, 01 kgdesde el punto O al punto P es:

W PO Fg = −m(VP − VO) = −0, 01 kg [−4, 45 · 10−10 J/kg − (−6, 29 · 10−10 J/kg)]

= −1, 84 · 10−12 J

Las fuerzas del campo realizan un trabajo negativo, que es coherente con elhecho de que la partícula se traslada en el sentido de los potenciales crecientes(desde el punto de potencial −6, 29·10−10 J/kg hasta el punto de potencial −4, 45·10−10 J/kg).Se trata de un cambio no espontáneo, por lo que aumenta la energía potencial

de la distribución de masas.

130 CAPÍTULO 3. VIBRACIONES

a) Represente gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de unapartícula que vibra con movimiento armónico simple.b) ¿Se duplicaría la energía mecánica de la partícula si se duplicase la fre-cuencia del movimiento armónico simple? Razone la respuesta.

Cuestion 3.7

a) Observando la gráfica (ener-gías frente a la posición, x), ve-mos que cuando la partícula se en-cuentra en el punto de equilibrioO, solo tiene energía cinética ycuando se encuentra en cualquierade los extremos x = ±A, solotiene energía potencial elástica.Conforme la partícula se alejadel punto O, disminuye la ener-gía cinética y aumenta la energíapotencial elástica. Y viceversa,conforme la partícula se acercaal punto O, aumenta la energíacinética y disminuye la energía po-tencial elástica.

−A A

Em

X

Em = 12 kA2

Ep = 12 kx2

Ec = 12 k(A2 − x2)

O

x = −0, 71A x = 0, 71A

En todo momento la energía mecánica es constante:8

Em =12

kA2

8Hemos trazado las parábolas que corresponden a las energías potencial y cinética a partir delas ecuaciones de dichas energías en función de la posición. La línea recta corresponde a la energíamecánica, que es constante en cualquier posición. Para representar las parábolas correspondientesa ambas energías, debemos saber los valores de x en las que se cortan. Como para esos valoresde x la energía cinética es igual a la energía potencial elástica, la energía potencial será la mitadde la energía mecánica:

Ep = 12 Em

Sustituimos ambas energías por sus expresiones correspondientes:

12kx2 = 1

2 · 12 kA2

Simplificamos, despejamos x y obtenemos sus valores:

kx2 = 12 kA2 ⇒ x = ± A√

2= ±

√2

2 A = ±0, 71A

131

b) La energía mecánica de la partícula, en función de la frecuencia, es:

Em =12

kA2 =12

· 4π2mν2A2 = 2π2mA2ν2

�k = mω2 = m(2πν)2 = 4π2mν2���ω = 2πν��

Observamos que la energía mecánica depende del cuadrado de la frecuencia. Portanto, para una misma amplitud, si se duplica la frecuencia, la energía mecánicaes cuatro veces mayor que la que tenía anteriormente. Veámoslo:Supongamos la partícula en dos situaciones distintas con movimientos armónicos

A y B, siendo la frecuencia de B el doble que la de A, respectivamente. Si laamplitud del movimiento permanece constante:

Em B = cte ν2B = cte(2νA)2 = 4 · cte ν2

A = 4Em A

�νB = 2νA; Em A = cte ν2A�

a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus característicascinemáticas y dinámicas.b) Una masa oscila verticalmente suspendida de un muelle. Describa los tiposde energía que intervienen y sus respectivas transformaciones.

Cuestion 3.8

a) Un movimiento armónico simple es un movimiento libre (no intervienen fuerzasde rozamiento), periódico (cada cierto tiempo —periodo T — se repiten la posi-ción y la velocidad), oscilatorio (su trayectoria es un segmento de recta con unpunto central, el centro de oscilación O), producido por la acción de una fuerzarecuperadora que es directamente proporcional a la elongación, pero de sentidocontrario a esta, y en el que la elongación depende del tiempo mediante unafunción sinusosidal.� Características cinemáticasLa ecuación de movimiento nos da la posición x (m) de la partícula en cada

instante y puede describirse tanto mediante una ecuación con la función senocomo con la función coseno. Mediante la función seno sería del tipo:

x(t) = A sen(ωt + φ0)

siendo A, la amplitud; ω, la frecuencia angular; y φ0, la fase inicial.

174 CAPÍTULO 4. ONDAS

a) Demuestre que la distancia entre un nodo y cualquiera de los vientresadyacentes en una onda estacionaria armónica es igual a un cuarto de longitudde onda.b) ¿Cómo cambia la frecuencia fundamental de una cuerda tensa cuando seduplica: i) su tensión, ii) su densidad lineal y iii) su longitud?

Cuestion 4.12

a) Puede comprobarse que, sea cual sea la ecuación de una onda estacionariaarmónica, la distancia entre un nodo y cualquiera de los vientres adyacentes esigual a un cuarto de longitud de onda.Para demostrarlo, consideramos el caso de una onda estacionaria de ecuación

y = 2A sen kx cos ωt, que tiene la particularidad de poseer un nodo para x = 0,ya que la amplitud, 2A sen kx, que depende de x, es cero:

2A sen kx = 2A sen(k · 0) = 0

Las posiciones de los nodos, xN, serán aquellas en las que se verifica que sen kxN =0, lo que resulta cierto cuando kxN = nπ rad.

Como el número de onda es k =2π

λ:

2π

λxN = nπ ⇒ xN = n

λ

2, para n = 0, 1, 2, 3, ...

Las posiciones de los vientres, xV, serán aquellas en las que se verifica quesen kxV = ±1, lo que resulta cierto cuando kxV = (2n + 1)π/2 rad. Por tanto:

2π

λxV = (2n + 1)π

2⇒ xV = (2n + 1)λ

4, para n = 0, 1, 2, 3, ...

Calculamos la posición entre un nodo y un vientre adyacente restando xN a xV:

xV − xN = (2n + 1)λ

4− n

λ

2= 2n

λ

4+ λ

4− 2n

λ

4= λ

4⌊n

λ

2= 2n

λ

4

⌋

b) La frecuencia fundamental de la onda estacionaria que se forma en una cuerdade longitud L unida por los dos extremos, en función de la velocidad v (y esta, enfunción de la tensión T y de la densidad lineal μ) y la longitud de la cuerda, es lasiguiente:

ν = v

2L=

√T

μ

2L

⌊v =

√T

μ

⌋

175

i) Supongamos una cuerda en las situaciones A y B, y que la tensión T de lacuerda en la situación B es el doble que la de la cuerda en la situación A.Como la densidad lineal y la longitud es la misma (se trata de la mismacuerda):

νB = cte√

TB = cte√

2TA =√

2 · cte√

TA =√

2νA⌊νA = cte

√TA; TB = 2TA

⌋Al duplicar la tensión de la cuerda, la frecuencia es

√2 veces la que tenía

anteriormente. Por tanto, la frecuencia aumenta y el sonido es más agudo.

ii) Supongamos dos cuerdas A y B, y que la densidad lineal μ de la cuerda Bes el doble que la de la cuerda A. Si la tensión y la longitud de ellas son lasmismas:

νB =cte′√

μB=

cte′√

2μA=

cte′√

2√μA

=√

22

νA

⌊νA = cte′

√μA

; μB = 2μA

⌋

Al sustituir una cuerda por otra de densidad lineal doble, la frecuencia es√2

2veces la que tenía la anterior. Por tanto, la frecuencia ha disminuido y

el sonido es más grave.

iii) Supongamos dos cuerdas A y B, y que la longitud L de la cuerda B es eldoble que la de la cuerda A. Si densidad lineal y la tensión de ellas son lasmismas:

νB =cte′′

LB=

cte′′

2LA=

νA

2⌊νA = cte′′

LA; LB = 2LA

⌋

Al sustituir una cuerda por otra de longitud doble, la frecuencia es la mitadde la que tenía la anterior. Por tanto, la frecuencia disminuye y el sonido esmás grave.

a) Razone qué características deben tener dos ondas que se propagan por unacuerda tensa con sus dos extremos fijos, para que su superposición origineuna onda estacionaria.b) Explique qué valores de la longitud de onda pueden darse si la longitudde la cuerda es L.

Cuestion 4.13

217

a) ¿Qué se entiende por interferencia de la luz?b) ¿Por qué no observamos la interferencia de la luz producida por los dosfaros de un automóvil?

Cuestion 5.4

a) La interferencia de la luz es la interacción que se produce cuando se superpo-nen simultáneamente dos o más ondas luminosas en la misma región del espacio.Las ondas luminosas interfieren entre sí del mismo modo que interfieren las on-das mecánicas; sin embargo, a pesar de que las interferencias de ondas (y muyespecialmente de ondas electromagnéticas) es constante a nuestro alrededor, esmuy difícil observarlas con claridad. La razón estriba en que una interferenciasolo se mantiene en el espacio y en el tiempo cuando las ondas que interfierenson coherentes, es decir, poseen la misma frecuencia y velocidad de propagación,con lo que se asegura que el desfase entre ellas sea constante en el espacio y en eltiempo.En la figura siguiente se muestra una fuente de ondas luminosas coherentes y una

fuente de onda no coherentes:

Luz coherente

Luz no coherente

Para observar interferencias de ondas luminosas, lo único que debemos hacer esconseguir que dos focos luminosos radien de modo coherente, es decir, emitanondas de la misma frecuencia y con desfase constante. En 1801 Thomas Youngdiseñó un experimento para conseguir dos focos coherentes: el experimento de ladoble rendija de Young. La idea es interponer en el camino de la luz, procedentede un único foco de luz monocromática, una pantalla con dos orificios (o rendijas)separados entre sí cierta distancia. Según el principio de Huygens, cada una delas rendijas actúa como un foco emisor de ondas; las ondas procedentes de lasrendijas sí son coherentes entre sí, puesto que su origen físico está en el mismofoco real.El resultado del experimento es la observación en una pantalla situada a una

distancia de las rendijas, muy grande en comparación con la separación entre

218 CAPÍTULO 5. LUZ Y ÓPTICA

ellas, de un patrón de interferencias consistente en un conjunto de franjas bri-llantes y oscuras alternantes. Las franjas brillantes corresponden a interferenciasconstructivas entre las ondas procedentes de las dos rendijas, mientras que lasoscuras corresponden a interferencias destructivas entre las ondas procedentes delas mismas.b) No se observa la interferencia producida por los dos faros de un automóvil

porque las radiaciones visibles emitidas no son coherentes (están constituidas porradiaciones de distintas frecuencias).Sin embargo, se pueden observar fenómenos de interferencia luminosa en la vida

real cuando se mira la luz reflejada por una lámina delgada (una capa fina deaceite extendida sobre el agua o la superficie de una pompa de jabón). En unsistema así, interfieren dos ondas luminosas coherentes: la que se refleja en lacara superior de la lámina y la que lo hace en la cara inferior de la misma. Elresultado de tales interferencias son unas franjas de colores variados fácilmenteobservables conocidos como irisdiscencias, que pueden también ser observadas enalas de mariposas o plumas de pájaros.

a) Enuncie las leyes de la reflexión y de la refracción de la luz. Explique ladiferencia entre ambos fenómenos.b) Compare lo que ocurre cuando un haz de luz incide sobre un espejo ysobre un vidrio de ventana.

Cuestion 5.5

a) Cuando la luz incide sobre la superficie deseparación de dos medios distintos transparentes,una parte se refleja y vuelve por el mismo medioen el que se propaga, siguiendo las leyes de la re-flexión, y otra parte pasa al segundo medio, endonde se refracta, siguiendo las leyes de la refrac-ción, y se absorbe parcialmente.Las leyes de la reflexión y de la refracción son

leyes empíricas:

Normal

medio 1medio 2

Rayo incidenteRayo reflejado

Rayo refractado

ı r′

r

• Leyes de la reflexión

1ª El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado están en un mismoplano.

2ª El ángulo de incidencia ı y el ángulo de reflexión r′ son iguales:

ı = r′

276 CAPÍTULO 6. CAMPO ELÉCTRICO

Dos cargas puntuales, q1 = 2 · 10−6 C y q2 = 8 · 10−6 C, están situadas en lospuntos (−1, 0) m y (2, 0) m, respectivamente.a) Determine en qué punto del segmento que une las dos cargas es nulo elcampo y/o el potencial electrostático. ¿Y si fuera q1 = −2 · 10−6 C?b) Explique, sin necesidad de hacer cálculos, si aumenta o disminuye la ener-gía potencial electrostática cuando se traslada otra carga, Q, desde el punto(0, 20) m hasta el (0, 10) m.K = 9 · 109 N m2 C−2.

Problema 6.24

a) De acuerdo con el principio de superposición de campos, la intensidad decampo eléctrico en cada uno de los puntos de un campo eléctrico creado por doso más cargas es la suma vectorial de las intensidades de campo que en ese puntocrearía cada una de las cargas por separado:

−→E = Σ

−→E i

En cualquier punto del segmento que une las dos cargas, el campo eléctrico creadopor cada una de ellas tienen la dirección del segmento y su sentido es hacia laotra carga (recuérdese que la dirección y sentido del campo eléctrico en un puntocreado por una carga tienen la dirección de la línea que une la carga y el puntoconsiderado y su sentido es el de la fuerza que actuaría sobre una carga de pruebapositiva colocada en ese punto).En la figura de la derecha representamos las

cargas q1 y q2 separadas por una distancia dy los campos eléctricos creados por ellas enel punto P,

−→E 1 y

−→E 2, respectivamente. Si se

anulan en este punto, E1 = E2, y, por tanto:

X (m)

q1 q2

d − x

P

−→E 1

−1 1 2

x

−→E 2

d

�� � ++

Kq1r2

1= K

q2r2

2

Si r1 = x y d = 3 m, r2 = d − x = 3 − x:

K2 · 10−6

x2 = K8 · 10−6

(3 − x)2

Simplificamos, operamos y obtenemos la ecuación de 2º grado:

x2 + 2x − 3 = 0

Una de cuyas soluciones, la que tiene significado físico, es 1 m. El punto Pcorresponde al origen de coordenadas.

277

De acuerdo con el principio de superposición de potenciales, el potencial en unpunto de un campo eléctrico creado por dos o más cargas es la suma de lospotenciales que en ese punto crearía cada una de las cargas por separado:

V = ΣVi

El potencial no se anulará en ningún punto del segmento, ya que el potencial esla suma de los potenciales creados por q1 y q2 y los dos potenciales V1 y V2 sonpositivos porque las dos cargas son positivas.Si fuera q1 = −2 · 10−6 C, el campo no se anularía. En cualquier punto del

segmento que une las cargas, el campo eléctrico creado por cada carga estaríadirigido hacia la izquierda. Sin embargo, el potencial sí podría anularse porquelas cargas tienen distinto signo.

Supongamos que se anula en el punto R. Si se anula en ese punto, V1 + V2 = 0,y, por tanto:

Kq1r1

+ Kq2r2

= 0

Si r1 = x y r2 = 3 − x:

K−2 · 10−6

x+ K

8 · 10−6

3 − x= 0 X (m)

q1 q2

d − x

R−1 1 2

x

d

�� � ++0

Simplificamos, operamos y obtenemos la ecuación de 1er grado:

10x − 6 = 0

Cuya solución es 0, 6 m. El punto R está situado 0, 4 m a la izquierda del origende coordenadas.b) El trabajo que realiza la fuerza eléctrica cuandouna partícula cargada se traslada desde un punto aotro es la diferencia de la energía potencial con elsigno cambiado:

WF = −ΔEp

.Como las dos cargas q1 y q2 son positivas: X (m)q1 q2

20

�� ++

�+Y (m)

10

Q

• Si la carga Q es positiva, al acercarse a las dos cargas, la fuerza eléctrica queactúa sobre Q es repulsiva, el trabajo que realiza es negativo y, por tanto,aumenta la energía potencial de todo el sistema (proceso no espontáneo).

278 CAPÍTULO 6. CAMPO ELÉCTRICO

• Si Q es negativa, la fuerza es atractiva, el trabajo es positivo y, por tanto,disminuye la energía potencial de el sitema de cargas (proceso espontáneo).

Otra interpretación: la variación de energía potencial cuando una carga se trasladadesde un punto a otro de diferente potencial es:

ΔEp = qΔV

Tanto si Q es positiva como negativa, al acercarse Q a las dos cargas lo estáhaciendo en el sentido de los potenciales crecientes (es tanto mayor el potencialen un punto cuanto más cerca esté de las cargas, dado que las dos son positivas).Por tanto, si la carga Q es positiva, aumenta la energía potencial de todo elsistema, y si Q es negativa, disminuye la energía potencial del sistema.

Dos cargas puntuales iguales, de −1, 2 · 10−6 C cada una, están situadas enlos puntos A (0, 8) m y B (6, 0) m. Una tercera carga, de −1, 5 · 10−6 C, sesitúa en el punto P (3, 4) m.a) Represente en un esquema las fuerzas que se ejercen entre las cargas ycalcule la resultante sobre la tercera carga.b) Calcule la energía potencial de dicha carga.K = 9 · 109 N m2 C−2.

Problema 6.25

a) De acuerdo con el principio de superposición de fuerzas, la suma de las fuerzas,Σ

−→F , que actúa sobre una carga debido a la interacción con dos o más cargas es

la suma vectorial de las fuerzas que actúa sobre ella:

Σ−→F = Σ

−→F i

Calculamos la suma de las fuerzas que actúa so-bre la tercera carga, q3, debido a la interaccióncon las otras dos, q1 y q2. Para ello, tenemosen cuenta, como muestra la figura, que las trescargas están alineadas, que q3 es equidistante alas otras dos y que q1 y q2 son iguales. En con-secuencia, de acuerdo con la ley de Coulomb, lafuerza que ejerce q1 sobre q3,

−→F 1,3, y la fuerza

que ejerce q2 sobre q3,−→F 2,3, tienen el mismo mó-

dulo. Por otra parte,−→F 1,3 está dirigida hacia q2,

y−→F 2,3 está dirigida hacia q1 (ambas son repulsi-

vas), concluimos que la suma de las dos fuerzases cero.

X (m)

Y (m)A

q1

0

2

4

6

8

0 2 4 6q2

−→F 2,3

r2,32

q3

r13

−→F 1,3

B

P�

�

�

−

−

−

333

Para que el sentido de la fuerza magnética que actúa sobre el conductor sea elopuesto al de la fuerza gravitatoria, el sentido de la corriente debe ser el de

−→L ,

que tiene el sentido de los valores positivos del eje X.b) Si la fuerza magnética equilibra al peso del hilo, Fm = Fg, y, por tanto:

Fg = ILB

Despejamos I y calculamos su valor:

I =FgLB

=8 · 10−2 N

0, 2 m · 0, 5 T= 0, 8 A

�Fg = P = mg = 8 · 10−3 kg · 10 m/s2 = 8 · 10−2 N; L = 0, 2 m; B = 0, 5 T�

Un protón, un deuterón (21H+) y una partícula alfa, acelerados desde el re-

poso por una misma diferencia de potencial V , penetran posteriormente enuna región en la que hay un campo magnético uniforme

−→B , perpendicular a

la velocidad de las partículas.a) ¿Qué relación existe entre las energías cinéticas del deuterón y del pro-tón?¿Y entre las de las partículas alfa y del protón?b) Si el radio de la trayectoria del protón es de 0, 01 m, calcule los radios delas trayectorias del deuterón y de la partícula alfa.malfa = 2 mdeuteron = 4 mproton.

Problema 7.27

a) Puesto que solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica de laspartículas se mantiene constante durante el proceso en el que son aceleradas porel campo eléctrico aplicado. Se cumple que:

ΔEc + ΔEp = 0

Esto es, que la energía cinética que adquieren es a costa de la disminución de laenergía potencial que experimentan.Puesto que ΔEc = Ec − Ec 0 y ΔEp = qΔV , tenemos que:

Ec − Ec 0 + qΔV = 0

Como las partículas son aceleradas desde el reposo, Ec 0 = 0. Por otra parte,ΔV = −V , ya que se dirigen en el sentido de los potenciales decrecientes. Tenemosentonces que:

Ec + q(−V ) = 0

334 CAPÍTULO 7. CAMPO MAGNÉTICO

O también que:Ec = qV

La energía cinética de cada partícula es:

Ec p = qpV ; Ec d = qdV ; Ec α = qαV

Las relaciones pedidas son:

Ec dEc p

=qdV

qpV=

qdqp

= 1 ⇒ Ec d = Ec p

�qp = qd�Ec α

Ec p= qαV

qpV= qα

qp= 2 ⇒ Ec α = 2Ec p

�qα/qp = 2�b) Al penetrar las partículas en el campo magnético, actúa sobre ellas una fuerza

perpendicular a la velocidad que le produce una aceleración normal y, por ser lavelocidad perpendicular al campo, describen una trayectoria circular de radio:

R =mv

qB

Como el campo magnético es el mismo, el radio de la circunferencia depende dela relación mv/q.Veamos primero la relación entre las velocidades de las partículas a partir de la

relación entre sus energías cinéticas. Según veíamos en el apartado anterior:

2Ec p = 2Ec d = Ec α

Luego:2 · 1

2mpv2

p = 2 · 12

mdv2d = 1

2mαv2

α

Puesto que md = 2mp y mα = 4mp, tenemos que:

2 · 12

mpv2p = 2 · 1

2· 2mpv2

d = 12

· 4mpv2α

Simplificamos y nos queda:v2

p = 2v2d = 2v2

α

Y, por tanto: √2

2vp = vd = vα

335

Las expresiones para los radios de las trayectorias son las siguientes:

Rp = mpvpqpB

; Rd = mdvdqdB

; Rα = mαvα

qαB

De la relación Rd/Rp obtenemos el radio de la órbita del deuterón:

RdRp

=

mdvdqdB

mpvpqpB

=

2mp

√2

2vp

qpBmpvpqpB

=√

2

⌊md = 2mp; qd = qp; vd =

√2

2vp

⌋

Luego:Rd =

√2Rp =

√2 · 0, 01 m = 0, 014 m

De las relación Rα/Rp obtenemos el radio de la órbita de la partícula alfa:

Rα

Rp=

mαvα

qαBmpvpqpB

=

4mp

√2

2vp

2qpBmpvpqpB

=√

2

⌊mα = 4mp; qα = 2qp; vα =

√2

2vp

⌋

Luego:Rα =

√2Rp =

√2 · 0, 01 m = 0, 014 m

Por un alambre recto y largo circula una corriente eléctrica de 50 A. Unelectrón moviéndose a 106 m/s se encuentra a 5 cm del alambre. Determinela fuerza que actúa sobre el electrón si su velocidad está dirigida:a) Hacia el alambre.b) Paralela al alambre. ¿Y si la velocidad fuese perpendicular a las dosdirecciones anteriores?μ0 = 4π · 10−7 N A−2; e = 1, 6 · 10−19 C.

Problema 7.28

370 CAPÍTULO 8. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Los fenómenos de inducción electromagnética seproducen por una variación del flujo de un campomagnético a través de la superficie de un circuito.En este caso, la variación del flujo magnético esdebida a que varía el campo magnético.Expresamos el flujo en función del tiempo:

−→S

−→B

Φ = BS cos α = 2 t2 · 2, 5 · 10−3 · 1 = 5 · 10−3t2 Wb

�B = 2 t2 T; S = l2 = (0, 05 m)2 = 2, 5 · 10−3 m2; cos 0o = 1�b) Aplicamos la ley de Faraday para calcular la fuerza electromotriz inducida ε

en función del tiempo:

ε = −dΦ

dt= −d(5 · 10−3t2)

dt= −0, 01t V

Observamos que la f.e.m. inducida varía linealmente con el tiempo.Elaboramos una tabla dándole valores a t en la que incluimos t = 4 s, instante

en el que ε = −0, 04 V, y representamos gráficamente la f.e.m. inducida en losprimeros 6 s:

t (s) ε (V)0 02 −0, 024 −0, 046 −0, 06

ε (V)

t (s)2 4 6

−0, 02

−0, 04

−0, 06

��

��

��

��

0

Una espira cuadrada de 10 cm de lado, inicialmente horizontal, gira a 1200revoluciones por minuto, en torno a uno de sus lados, en un campo magnéticouniforme de 0, 2 T, de dirección vertical.a) Calcule el valor máximo de la fuerza electromotriz inducida en la espira yrepresente, en función del tiempo, el flujo magnético a través de la espira yla fuerza electromotriz inducida.b) ¿Cómo se modificaría la fuerza electromotriz inducida en la espira si seredujera la velocidad de rotación a la mitad? ¿Y si se invirtiera el sentidodel campo magnético?

Problema 8.16

371

a) El flujo magnético se define como el producto escalar del campo magnético−→B

y la superficie del circuito−→S :

Φ =−→B · −→

S = BS cos α

siendo α el ángulo que forman−→B y

−→S .

El flujo magnético a través de una superficierepresenta gráficamente el número de líneas decampo magnético que la atraviesa.Los fenómenos de inducción electromagnética se

producen por una variación del flujo de un campomagnético a través de la superficie de un circuito.En este caso, la variación del flujo es debida a quevaría la orientación de la superficie de la espiracon respecto al campo magnético.

−→S

−→B

Sea α0 el ángulo que forma−→B con

−→S en la situación inicial, en el instante t = 0,

y α, el ángulo que forma−→B con

−→S en otra situación, en el instante t. Si llamamos

ω (rad/s) a la velocidad angular con que gira la espira, el flujo en cada instantees:

Φ = BS cos α = BS cos(α0 + ωt) = BS cos ωt

�α = α0 + ωt; α0 = 0 rad�Sustituimos en la ecuación los datos del problema:

Φ = BS cos ωt = 0, 2 · 0, 01 cos 40πt = 2 · 10−3 cos 40πt Wb

�B = 0, 2 T; S = l2 = 0, 01 m2; ω = 2πν = 2π · 20 Hz = 40π rad/s�⌊⌊ν = 1200 rev

min· 1 min

60 s= 20rev

s= 20 Hz

⌋⌋

Calculamos la fuerza electromotriz inducida hallando la derivada del flujo conrespecto al tiempo, con el signo cambiado (ley de Faraday-Lenz):

ε = −dΦ

dt= −d(2 · 10−3 cos 40πt)

dt= 0, 25 sen 40πt V

Observamos que la f.e.m. inducida es una función armónica del tiempo. Su valormáximo absoluto se llama fuerza electromotriz inducida máxima ε0 y se alcanzaen los instantes en los que la función sen 40 πt sea máxima o mínima, es decir,cuando su valor sea ±1:

ε0 = 0, 25 V

En esos instantes el generador suministra una energía de 0, 25 J a cada culombiode carga que pasa por el circuito.

372 CAPÍTULO 8. INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA

Representamos las gráficas Φ-t y ε-t durante un periodo, de valor T = 1ν

=1

20 Hz= 0, 05 s:

t (s)

Φ (Wb)2 · 10−3

−2 · 10−3

0 0, 050, 025 t (s)0, 025 0, 05

ε (V)0, 25

−0, 25

Las funciones Φ y ε están desfasadas π/2 rad. Así, como se observa en las gráficas,cuando el flujo disminuye desde su valor máximo absoluto hasta cero, la f.e.m.inducida aumenta desde cero hasta su valor máximo absoluto, y viceversa.b) La fuerza electromotriz inducida en función del tiempo es:

ε = −dΦ

dt= −d(BS cos ωt)

dt= BS ω sen ωt = ε0 sen ωt

Su valor máximo absoluto ε0 = BS ω es directamente proporcional a la velocidadangular. Por tanto, si se reduce a la mitad la velocidad angular, se reducirátambién a la mitad la f.e.m. inducida.Si cambia el sentido del campo, α0 = π rad. Entonces:

Φ = 2 · 10−3 cos (40πt + π) = −2 · 10−3 cos 40πt Wb

Y la f.e.m. inducida vale:

ε = 0, 25 sen (ωt + π) = −0, 25 sen ωt V

Si en la anterior situación el flujo comienza disminuyendo al mismo tiempo que laf.e.m. inducida aumenta, ahora ocurre lo contrario, el flujo comienza aumentadoal mismo tiempo que la f.e.m. inducida disminuye.3

3Si consideramos valores máximo absolutos, las dos situaciones son idénticas: comienza elflujo disminuyendo desde su valor máximo absoluto hasta cero, al tiempo que la f.e.m. inducidaaumenta desde cero hasta su valor máximo absoluto.

373

t (s)

Φ (Wb)2 · 10−3

−2 · 10−3

0 0, 050, 025 t (s)0, 025 0, 05

ε (V)0, 25

−0, 25

Una espira circular de 45 mm de radio está situada perpendicularmente a uncampo magnético uniforme. Durante un intervalo de tiempo de 120 · 10−3 sel valor del campo aumenta linealmente de 250 mT a 310 mT.a) Escriba la expresión del flujo magnético instantáneo que atraviesa la espiradurante dicho intervalo y calcule la fuerza electromotriz inducida en la espira.b) Dibuje en un esquema el campo magnético y el sentido de la corrienteinducida en la espira. Explique el razonamiento seguido.

Problema 8.17

a) El flujo magnético se define como el producto escalar del campo magnético−→B

y la superficie del circuito−→S :

Φ =−→B · −→

S = BS cos α

siendo α el ángulo que forman−→B y

−→S .

El flujo magnético a través de una superficie representa gráficamente el númerode líneas de campo magnético que la atraviesa.Los fenómenos de inducción electromagnética se producen por una variación del

flujo de un campo magnético a través de la superficie de un circuito. En este caso,la variación del flujo magnético es debida a que varía el campo magnético.El flujo magnético instantáneo durante el tiempo que dura la variación del campo

varía linealmente, puesto que la intensidad de campo varía de la misma manera.Como la espira está situada perpendicularmente al campo,

−→B y

−→S forman un

ángulo de 0o y en cada instante el flujo es el máximo para el valor que la intensidadde campo tiene en ese instante:

Φ = BS

Por tanto, los valores del flujo para t = 0 (Φ0) y t = 120 · 10−3 s (Φ) son:

Φ0 = B0 · S = 0, 25 T · 6, 4 · 10−3 m2 = 1, 6 · 10−3 Wb

387

La velocidad de los electrones emitidos no depende de la intensidad de la radiaciónluminosa incidente, que solo aumenta el número de fotones que inciden sobre elmetal por unidad de superficie y tiempo, pero no la energía de ellos, que dependesolo de su frecuencia. Por tanto, si iluminamos un metal con cada una de esas dosfuentes, como no influye la intensidad de la fuente luminosa, la velocidad máximade los electrones emitidos cuando iluminamos con la fuente 2 será mayor por sersu frecuencia mayor.b) La intensidad de la corriente fotoeléctrica depende de la intensidad de la ra-

diación luminosa incidente, ya que al aumentar el número de fotones que llegan almetal, aumenta el número de fotoelectrones emitidos. Por otra parte, la intensidadde la corriente fotoeléctrica no depende de la frecuencia de la radiación incidenteque, como hemos visto anteriormente, solo influye en la velocidad máxima y no enel número de los electrones emitidos, que es el que determina la intensidad de co-rriente. Por tanto, si iluminamos un metal con cada una de esas dos fuentes, comono influye la frecuencia de la fuente luminosa, la cantidad de electrones emitidoscuando iluminamos con la fuente 1 será mayor por ser su intensidad mayor.

Se llama "diferencia de potencial de corte" de una célula fotoeléctrica, V0, a laque hay que aplicar entre el ánodo y el fotocátodo para anular la intensidadde corriente.a) Dibuje y comente la gráfica que relaciona V0 con la frecuencia de la luzincidente y escriba la expresión de la ley física correspondiente.b) ¿Dependerá la gráfica anterior del material que constituye el fotocátodo?¿Puede determinarse la constante de Planck a partir de una gráfica experi-mental de V0, frente a la frecuencia de la radiación incidente? Indique cómo.

Cuestion 9.7

a) Si en un célula fotoeléctrica la diferencia depotencial entre el ánodo y el cátodo (fotocátodo)se invierte, es decir, si se conecta el polo positivoal cátodo y el negativo al ánodo, se dificulta la lle-gada de los electrones al ánodo. Aumentado con-venientemente esta d.d.p., es posible conseguir,como muestra la figura, que ninguno de los elec-trones emitidos por el cátodo consiga alcanzar elánodo, con lo que la corriente deja de circular porel circuito. A la d.d.p. inversa que consigue talsituación se denomina diferencia de potencial decorte o potencial de corte, V0.

AV

RadiaciónFotocátodo

+ −

La gráfica siguiente representa cómo varía el potencial de corte (o potencial de

388 CAPÍTULO 9. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA MODERNA

frenado) con la frecuencia de la radiación incidente. Para un determinado metal,el potencial de frenado varía linealmente con la frecuencia ν de la radiación desdeun determinado valor de esta, la frecuencia umbral ν0, a partir de la cual seobserva la emisión de electrones.La expresión de la ley física correspondiente es la siguiente:1

V0 = h

eν − W0

e

siendo h la constante de Planck; W0, el tra-bajo de extracción del metal del fotocátodo; ye, la carga del electrón en valor absoluto.

ν (Hz)

V0 (V)

(ν0, 0)−W0/e

⊗

⊗

⊗

(ν, V0)

α

1Una manera razonada de obtener la ley física es la siguiente:Al salir el electrón del cátodo en dirección al ánodo y aplicarle el potencial de frenado V0, se

detiene a una cierta distancia antes de alcanzar el ánodo. No todos los electrones que salen delcátodo son igual de rápidos. El potencial de frenado debe ser tal, que frene a los electrones másrápidos para que no lleguen al ánodo.

Como solo existen fuerzas conservativas, se ha de conservar la energía mecánica (la energíapotencial que gana el electrón tiene el mismo valor que la energía cinética que pierde):

ΔEp + ΔEc = 0

eV0 + Ec − Ec 0 = 0

Ec 0 = eV0

�Ec = 0; V0 = potencial de frenado�Obsérvese que el producto eV0 es positivo porque la carga y el potencial de frenado son nega-

tivos.De acuerdo con la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía cinética de los

electrones más rápidos (Ec max) es igual a la diferencia entre la energía del fotón incidente y eltrabajo de extracción:

Ec max = hν − W0

Si, como hemos visto anteriormente, Ec max = eV0:

eV0 = hν − W0

Despejamos V0 y obtenemos la ecuación buscada:

V0 = h

eν − W0

e

389

b) La línea recta de la gráfica depende delmaterial que constituye el fotocátodo porquepara cada material existe un trabajo de ex-tracción diferente. Esto se traduce en que laordenada en el origen será diferente para cadamaterial. Cuanto menor sea el trabajo de ex-tracción del metal, menos negativa será la or-denada en el origen y menor será la frecuenciaumbral.

ν (Hz)

V0 (V)

ν02−W01/e ν01

Metal 2Metal 1

−W02/e

Podemos determinar la constante de Planck a partir de la pendiente de la rectam, que es la misma para todos los metales.De la expresión de la ley física de más arriba se deduce que:

m = h

e

de donde:h = me

La pendiente la hallamos a partir de dos puntos (ν0, 0) y (ν, V0) (ver la gráfica delapartado a)). ⌊

m = tg α = V0 − 0ν − ν0

⌋

a) Describa la explicación de Einstein del efecto fotoeléctrico y relaciónelacon el principio de conservación de la energía.b) Suponga un metal sobre el que incide radiación electromagnética pro-duciendo efecto fotoeléctrico. ¿Por qué al aumentar la intensidad de la ra-diación incidente no aumenta la energía cinética de los electrones emitidos?

Cuestion 9.8

a) El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de electrones desde la superficiede un metal cuando incide sobre ella una radiación de una frecuencia ν igualo mayor a una frecuencia umbral ν0. Según Einstein, en el efecto fotoeléctricotiene lugar una transferencia de energía de un fotón, de energía Efoton = hν, a unelectrón. Dicha energía se invierte en arrancar el electrón del metal y, si ν > ν0,suministrarle cierta energía cinética Ec. No todos los electrones del metal estánigualmente ligados a su átomo. La energía necesaria para arrancar al electrónmás débilmente ligado se llama trabajo de extracción, W0 = hν0. En este caso,si la energía del fotón es superior al trabajo de extracción del metal, arrancará elelectrón y su energía cinética tendrá el máximo valor, de modo que se verifique la

436 CAPÍTULO 10. FÍSICA NUCLEAR

Una de las reacciones de fisión posibles del 235092U es la formación de 94

38Sr y140054Xe, en la que se liberan dos neutrones.a) Formule la reacción y haga un análisis cualitativo del balance de masa.b) Calcule la energía liberada por 20 mg de uranio.mU−235 = 234, 9943 u; mSr−94 = 93, 9754 u; mXe−140 = 139, 9196 u;mn = 1, 0086 u; NA = 6, 02·1023 mol−1; 1 u = 1, 67·10−27 kg; c = 3·108 m s−1.

Problema 10.17

a) La ecuación nuclear del proceso de fisión es:

235092U +1

0n →9438Sr +140

054Xe + 2 10n

Observamos que se conservan el número de nucleones (235 + 1 = 94 + 140 + 2 · 1)y la carga eléctrica (92e = 38e + 54e).Al tratarse de una reacción de fisión nuclear, se libera energía. Según el principio

de equivalencia masa-energía, un proceso nuclear en el que se libera energía con-lleva una pérdida de masa. Por tanto, esta reacción transcurre con una pérdidade masa.b) Según el principio de equivalencia masa-energía, la energía liberada en este

proceso es:ΔE = Δmc2

siendo ΔE la energía liberada; Δm, la pérdida de masa que tiene lugar en elproceso; y c, la velocidad de la luz en el vacío.La energía liberada por cada átomo que se fisiona es:

ΔE = Δmc2 = 0, 0907 u · 1, 67 · 10−27 kg1 u

(3 · 108 m/s)2 = 1, 36 · 10−11 J

�Δm = minicial − mfinal = mU−235 + mn − (mSr−94 + mXe−140 + 2 mn)= 234, 9943 u + 1, 0086 u − (93, 9754 u + 139, 9196 u + 2 · 1, 0086 u)= 0, 0907 u; c = 3 · 108 m s−1; 1 u = 1, 67 · 10−27 kg�

Calculamos ahora los átomos que componen la muestra, teniendo en cuenta quela masa isotópica de un núclido, expresada en unidades de masa atómica (u),coincide con la masa, expresada en gramos, de un mol de átomos de ese núclido(NA átomos):

Si tuviésemos 234, 9943 g de 235Ucontendría 6, 02 · 1023 atomos

= Si tenemos 0, 02 g de muestra de 235Ucontendrá x atomos

437

x = 5, 12 · 1019 atomos

Si la energía liberada por átomo que se fisiona es 1, 36·10−11 J, la energía liberadapor 20 mg de uranio es:

5, 12 · 1019 atomos · 1, 36 · 10−11 Jatomo

= 6, 96 · 108 J

¡Muchísima energía!, casi 700 millones de julios.

El 9943Tc se desintegra emitiendo radiación gamma.

a) Explique el proceso de desintegración y defina “periodo de semidesinte-gración”.b) Calcule la actividad de un gramo de isótopo cuya vida media es de 6 horas.NA = 6, 02 · 1023 mol−1.

Problema 10.18

a) Los procesos de desintegración radiactiva en los que se emite una radiacióngamma no alteran el número másico A ni el número atómico Z del núclido.Podemos representar el proceso mediante la ecuación:

9943Tc∗ →99

43 Tc + γ

9943Tc∗ representa el núclido 99Tc en un estado excitado, es decir, con una energía

superior al 99Tc en su estado fundamental. Esa diferencia de energía se emite enforma de fotón de radiación γ, de muy alta energía. Este proceso de desintegraciónobedece a la ley de desintegración radiactiva.Periodo de semidesintegración T1/2 de un núclido radiactivo es el tiempo necesario

para que el número de núcleos de una muestra se reduzca a la mitad. Cada especiede núclido tiene un periodo de semidesintegración determinado.b) Calculamos primero el número de átomos de 99Tc que hay en 1 g. Tenemos en

cuenta que el número másico de un núclido coincide numéricamente, de maneraaproximada, con su masa isotópica relativa, y esta, a su vez, coincide numérica-mente con la masa, expresada en gramos, de un mol de átomos de ese núclido(NA átomos).8 Por tanto:

99 g de 99Tc6, 02 · 1023 atomos

= 1 g de 99Tcx atomos

; x = 6, 08 · 1021 atomos

8No hay que confundir masa isotópica relativa con masa atómica relativa. Esta última serefiere a la masa relativa de un átomo de un elemento expresada como la media ponderada de lasmasas relativas de sus núclidos isótopos teniendo en cuenta la abundancia relativa de los mismos.