Foster Cauer

X

-σ

K1 XY22(s) -3 -1-2

-2X

0 X -Y21(s) -4

Cero de Transmisión

-4K

-σ

∞ K

X XY1(s) -2,8 -2-4

K -σ

X XZ1(s) -2,8 -2-4K2

-σ

XZ2(s) -2,8 -3,1K4

-σ K3

-0,5

XY2(s) -2,8 -3,1K6

-σ K5

XY2(s) -2,8 K8 K7

XY3(s) K10 K9 -0,5

XZ3(s) K12 K11 -0,5

-3,1

-3,1

-3,1

0,219

12,34Ω

0,031

64,2Ω 1,923Ω 2,67Ω

FUNDAMENTOS DE LA TEORÍA DE LOS

CIRCUITOS ELÉCTRICOS III

Segunda Edición

Autor

Prof. EMILIANO F. ALBA BLANCO MsC.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

1

2

3

4

5 |H(jωX)|dB

ωX

Primera Parte

1. Capítulo I Serie y Transformada de Fourier 1.1 Señales periódicas y aperiódicas ……………………………………………..1

1.1.1 Definición de señales periódicas y aperiódicas …………………………1

1.2 Serie de Fourier para señales periódicas …………………………………...2

1.2.1 Desarrollo en serie de Fourier en senos y cosenos …………………….3

1.2.2 Desarrollo en cosenos solamente ………………………………………...3

1.2.3 Desarrollo en serie de Fourier de forma exponencial…………………...4

1.3 Función densidad espectral …………………………………………………...6

1.4 Valor eficaz y potencia activa en señales no sinusoidal …………………..7

1.5 Teorema de Parseval ………………………………………………………......9

1.6 Transformada de Fourier ……………………………………………………..13

1.6.1 Propiedades de uso más frecuente de la transformada de Fourier….14

1.7 Espectro de señales aperiódicas …………………………………………….16

1.7.1 Características del espectro de las señales aperiódicas…………...….16

1.8 Ancho de banda de una señal ……………………………………………….21

1.9 Espectro de la señal de salida …………………………………………….....22

2. Capítulo II. Variables de estado 2.1 Definiciones generales …………………....................................................23

2.2 Variables de estado…………………………………………………………...25

3. Capítulo III. Método Operacional 3.1 Transformada de Laplace …………………………………………………….38

3.2 Método operacional……………………………………………………………40

3.3 Relación entre la transformada de Fourier y la transformada de

Laplace…………………………………………………………………………..56

4. Función de red o función de Sistema 4.1 Definición de función de sistema ……………………………………………57

4.1.1 Clasificación de la función de sistema ………………………………….57

4.1.2 Características de la función de sistema ………………………………. 59

4.2 Diagrama de polos y ceros (DPC) ………………………………………… 60

4.3 Respuesta al impulso ……………………………………………………….. 61

4.4 Respuesta a cualquier estímulo …………………………………………… 62

4.5 Calculo de la función de sistema ……………………………………………62

4.5.1 Relación de transferencia de voltaje …………………………………….64

4.5.2 Impedancia de transferencia ……………………………………………..65

4.5.3 Relación de transferencia de corriente ………………………………….65

4.6 Condición de transmisión sin distorsión …………………………...............65

4.6.1 Circuitos diferenciadores e integradores ……………………………….68

4.7 Estabilidad ……………………………………………………………………..70

4.8 Respuesta aproximada en el tiempo ……………………………………….71

4.9 Respuesta de frecuencia den forma aproximada ………………………...74

4.9.1 Función de sistema en régimen sinusoidal …………………………...74

4.9.2 Respuesta de frecuencia ………………………………………………...76

4.9.3 Respuesta de frecuencia en forma aproximada ………………………76

4.10 Diagrama de flujo …………………………………………………………...87

4.10.1 Definiciones fundamentales …………………………………………….87

4.10.2 Grafo orientado de un circuito eléctrico ………………………………...89

4.10.3 Fuente de voltaje dependiente de voltaje. Representación ................92

4.10.4 Relación de transferencia de voltaje ……………………………………92

4.10.5 Admitancia de entrada ……………………………………………………97

4.10.6 Relación de transferencia de corriente …………………………………97

4.10.7 Formula de Mason para circuitos con amplificadores

operacionales………………………………………………………………98

5. Elementos de Síntesis de Dipolos 5.1 Introducción …………………………………………………………………..103

5.2 Función positiva real …………………………………………………………104

5.2.1 Propiedades de las funciones racionales que son positiva real …….104

5.3 Función energía ………………………………………………………………107

5.4 Propiedades de la inmitancia de dipolos LC ………………………………111

5.5 Realización de dipolos LC …………………………………………………..115

5.5.1 Forma canónica de Foster 1 …………………………………………….116


5.5.3 Forma canónica de Cauer 1 …………………………………………….122


5.6 Propiedades de la inmitancia de dipolos RC………………………………128

5.7 Realización de dipolos RC ………………………………………………….130





6. Capítulo VI. Introducción a la Síntesis de Cuadripolos 6.1 Propiedades de los parámetros de cuadripolos pasivos ………………...140

6.1.1 Propiedades de los parámetros Z y Y de un cuadripolo pasivo .........140

6.1.2 Condición de los residuos …………………………………………........141

6.1.3 Propiedades de los cuadripolos con terminal común ……………….143

6.1.4 Propiedades de las estructuras en escalera ………………………….145

6.1.5 Propiedades de los parámetros de los cuadripolos LC ………….......148

6.1.6 Propiedades de los parámetros de los cuadripolos RC ……………..149

6.2 Normalización en circuitos eléctricos ……………………………………..150

6.3 Función de transferencia de cuadripolos LC con impedancia de carga

normalizada …………………………………………………………………..153

6.4 Realización de cuadripolos LC con estructura en escalera …………….156

6.5 Realización de cuadripolos RC …………………………………………….168

6.5.1 Función de transferencia de cuadripolos RC con impedancia de carga

normalizada ……………………………………………………………….168

6.5.2 Realización de cuadripolos RC con estructura en escalera …………169

6.6 Realización de cuadripolos activos ………………………………………...176

6.6.1 Descomposición suma …………………………………………………..182

6.6.2 Descomposición diferencia ……………………………………………..183

7. Capítulo VII. Problema de la Aproximación 7.1 Proximidad en el sentido de Taylor ………………………………………..193

7.2 Criterio de los mínimos cuadrados …………………………………………194

7.3 Criterio de proximidad de Chebyshev ……………………………………..194

7.4 Generalidades de la aproximación …………………………………………195

7.5 Aproximación de Butterworth o de respuesta máximamente plana ……197

7.5.1 Generalidades …………………………………………………………….197

7.5.2 Análisis de la función de la aproximación …………………………….198

7.5.3 Calculo de la función de sistema …………………………………….....202

7.6 Aproximación de Chebyshev o de igual ondulación …………………….206

7.6.1 Análisis de la función de aproximación ………………………………...206

7.6.2 Función para la aproximación de Chebyshev ………………………..210

7.7 Transformación de frecuencia ……………………………………………..214

7.7.1 Transformación pasa bajo – pasa bajo ………………………………..214

7.7.2 Transformación pasa alto – pasa bajo …………………………………215

7.7.3 Transformación pasa banda – pasa bajo ……………………………...218

8. Síntesis de Filtros Activos con Amplificadores Operacionales 8.1 Introducción …………………………………………………………………..222

8.2 Sensibilidad …………………………………………………………………..222

8.3 Sensibilidad relativa………………………………………………………….223

8.3.1 Algunas propiedades de la sensibilidad …………………………........224

8.4 Análisis de la respuesta de frecuencia de una función de segundo orden

………………………………………………………………………………….227

8.5 Realización de filtros pasa bajo ……………………………………………230

8.6 Estructura número 1 (Sallen & Kay) …………………………………........232

8.6.1 Componentes Homogéneas …………………………………………...233

8.6.2 Realización con ganancia ……………………………………………...234

8.7 Estructura número 2 ………………………………………………………...237



8.8 Realización de filtros pasa alto ……………………………………….........241



8.9 Realización pasa banda ……………………………………………………245

8.9.1 Combinación en cascada pasa alto pasa bajo ………………………245

8.9.2 Pasa banda por transformación de frecuencias …………………….246

9. Redes Útiles para Comunicaciones 9.1 Parámetros Imágenes ………………………………………………………252

9.1.1 Parámetros Imágenes. Definición ……………………………………..252

9.1.2 Impedancias Imágenes …………………………………………………252

9.1.3 Cuadripolo en condición imagen ……………………………………...253

9.1.4 Constante Transferencial Imagen …………………………………….253

9.1.5 Parámetros imágenes en función de las impedancias de corto circuito y

circuito abierto……………………………………………………………..254

9.1.6 Cadena Imagen …………………………………………………………..255

9.2 Perdidas de Transmisión …………………………………………………....257

9.2.1 Definición de pérdida de transmisión …………………………………..257

9.2.2 Perdida de transmisión de un cuadripolo resistivo en función de los

parámetros imágenes ……………………………………………………257

9.2.3 Impedancia de entrada en función del coeficiente de reflexión ……258

9.3 Perdidas de Inserción …………………………………………………….....258

9.3.1 Definición …………………………………………………………………258

9.3.2 Perdida de inserción en función de los parámetros imágenes …….259

9.4 Atenuadores resistivos ………………………………………………………261

9.4.1 Atenuadores tipo T ……………………………………………………….262

9.4.2 Atenuadores tipo PI ………………………………………………………263

9.4.3 Atenuadores tipo L ……………………………………………………….264

9.4.4 Configuración T Puenteada …………………………………………….264

9.4.5 Atenuadores variables …………………………………………………...265

9.4.6 Atenuadores tipo T variables ……………………………………………265

9.4.7 Atenuadores variables tipo T Puenteada ………………………………266

9.5 Redes adaptadoras de impedancia ……………………………………......267

9.5.1 Redes adaptadoras de impedancia tipo T ………………………….....269

9.5.2 Redes tipo PI ……………………………………………………………..272

9.5.3 Redes tipo L ………………………………………………………………272

9.5.4 Rechazo de frecuencias ………………………………………………..272

9.6 Filtros de Zobell ………………………………………………………………278

9.6.1 Sección L básica …………………………………………………………278

9.6.2 Sección prototipo T y PI …………………………………………………283

9.6.3 Sección M-derivada ……………………………………………………..284

9.6.4 Hemi sección M-derivada o sección de terminación ………………..287

9.6.5 Filtro compuesto …………………………………………………………290

Capítulo I. Serie y transformada de Fourier

1

1. SERIE Y TRANSFORMADA DE FOURIER 1.1 SEÑALES PERIÓDICAS Y APERIÓDICAS. En la práctica no solo existen señales sinusoidales y señales de corriente

directa, existen señales periódicas que no tienen forma sinusoidal y señales

aperiódicas, incluso pueden que no sean señales determinística o sea que no

se puedan expresar por una ecuación matemática señales o procesos

aleatorios, ¿cómo se puede aplicar el análisis en los circuitos eléctricos?, para

ello se utiliza una transformación matemática en el dominio de la frecuencia ω.

El proceso será, obtener una representación de la señal a través de una suma

discreta o continua de funciones sinusoidales, dependiendo si la señal es

periódica o aperiódica. A partir de aquí, si el sistema es lineal e invariante en el

tiempo o sea LTI, se puede aplicar el principio de superposición y el método

fasorial para obtener la respuesta del circuito a cualquier estímulo, calculando

para cada una de las funciones sinusoidales. 1.1.1 Definición de señal periódica y aperiódica.

Es importante diferenciar formalmente los diferentes tipos de señales. Sea una

función f(t), se dice que esta función es una señal periódica de periodo T si se

cumple que:

±

O sea existe un intervalo de tiempo mínimo T y un valor entero n, para el cual

los valores de la onda son iguales y T se denomina período de repetición.

.

Cuando la condición no se cumple se dice que la señal es aperiódica,

matemáticamente se puede considera que una señal aperiódica parte de una

señal periódica cuando el periodo tiende a infinito (T→∞)

Ejemplos de señales aperiódicas.

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80-1

T

f(t)

t

T

f(t)

t

Fig. 1.1 Ejemplo de señales periódicas


2

La señal de audio, de video y todas las señales que trasmiten cualquier tipo de

información sean analógicas o digitales en la figura 1.2 aparecen las señales

de la figura 1.1 con el periodo tendiendo a infinito, de esta forma se convierten

en aperiódicas, una señal de voz y una de electrocardiografía.

En la práctica cuando se analiza un circuito, en su estado transitorio la señal

(para t>0) es aperiódica, pero cuando desaparece el transitorio, se considera el

estado estable, entonces puede ser periódica si cumple con la definición.

1.2 SERIE DE FOURIER PARA SEÑALES PERIÓDICA. Para que exista el desarrollo en serie de una función f(t), esta debe cumplir las

condiciones de Dirichlet

• Ser una función seccionalmente continua o sea tener un número finito de

discontinuidades finitas.

• El número de máximos y mínimos en un intervalo sea finito.

• El valor medio tiene que ser finito.

• Debe ser univaluada.

Estas condiciones, en las funciones más comunes, siempre se cumplen.

El desarrollo en serie de Fourier se puede obtener de las siguientes formas.

• En senos y cosenos.

• En cosenos solamente.

T→∞

f(t)

tT→∞

f(t)

t

Fig. 1.2 Ejemplo de señales aperiódicas

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4


3

• En forma exponencial. 1.2.1 Desarrollo en serie de Fourier en senos y cosenos.

Del análisis matemático se conoce que el desarrollo en serie de Fourier de una

señal periódica es:

2 cos sen

. ó

Los coeficientes se obtienen por las expresiones.

2cos

2sen

21

1.2.2 Desarrollo en cosenos solamente

La expresión matemática para desarrollar un función periódica en cosenos

solamente es la siguiente

2 Ĉ cos

O también

Ĉ cos

Los coeficientes se obtienen a través de las expresiones

Ĉ

Desarrollando la sumatoria se le puede dar una interpretación a cada uno de

los sumandos.

2 Ĉ cos Ĉ cos Ĉ cos …

2 Ĉ cos Ĉ cos 2 Ĉ cos 3 …

Cada término de la sumatoria recibe el nombre de:

El término constante


4

2

Cada uno de los términos que contienen cosenos se denominan armonicos

ó ψ

ó 2 ψ

ó 3 ψ

Y así para el término n

ó ψ

Si se grafican la amplitud de cada uno de los sumandos Ĉn con respecto a las

frecuencias, para cada uno de los valores de n desde cero hasta infinito, se

obtiene un gráfico de amplitud contra frecuencia que se conoce como espectro

de amplitud unilateral, haciendo lo mismo para la fase Ψn se obtiene un gráfico

de fase contra frecuencia que se conoce como el espectro de fase unilateral,

ambos gráficos se conocen como el espectro unilateral de la señal, en la figura

1.4 se muestra el espectro unilateral de una señal.

1.2.3 Desarrollo en serie de Fourier de forma exponencial.

Si se aplica Euler y se desarrolla el coseno a través de la suma de dos

exponenciales complejas, partiendo del desarrollo en cosenos solamente,

2 Ĉ cos

Se obtiene

2Ĉ2

De aquí se puede obtener que

Ĉn

ω

Ψn

ω

Fig. 1.4 Espectro unilateral de amplitud y fase


5

B

B

Donde

BĈ2 0

Y

B Ĉ 0

Se demuestra que para una señal periódica se pueden obtener los coeficientes

a través de la integral

B1

Desarrollando la sumatoria

B B B B B

Si se grafican la amplitud de cada uno de los fasores Bn con respecto a las

frecuencias, dándole valores a n desde menos infinito hasta infinito, se obtiene

un gráfico de amplitud contra frecuencia que se conoce como espectro de

amplitud bilateral, haciendo lo mismo para la fase Ψn se obtiene un gráfico de

fase contra frecuencia que se conoce como el espectro de fase bilateral, ambos

gráficos se conocen como el espectro bilateral de la señal, en la figura 1.5 se

muestra un ejemplo.

Si la señal f(t) que se ha desarrollado en serie de Fourier es una función real, el

espectro de amplitud bilateral es un espectro de simetría par, simetría con el

eje vertical y el de fase es un espectro de simetría impar, simetría con el origen,

como se observa en la figura.

|Bn|

ω

ω

Ψn

Fig. 1.5 Espectro bilateral de amplitud y fase


6

Note que en el origen, para n=0 los valores de la amplitud, la componente de

directa, son iguales tanto para el espectro bilateral como para el unilateral,

B Ĉ pero para el resto de los valores de n se obtiene que las amplitudes del

espectro bilateral son la mitad de las amplitudes del espectro unilateral B Ĉ ,

la fase es la misma, hacia la derecha, para valores positivos de frecuencia,

pero con simetría impar hacia la izquierda. El gráfico de amplitud del espectro

bilateral tiene simetría par.

1.3 FUNCIÓN DENSIDAD ESPECTRAL. Si se analizan las funciones obtenidas para el desarrollo en serie de una señal

periódica cuando el período aumenta, las componentes en las frecuencias, los

armónicos, están más unidas, el espectro se hace más denso pero el valor de

la amplitud, la amplitud es inversamente proporcional al periodo, en el caso

límite cuando el período tiende a infinito el espectro es continuo pero las

amplitudes tienden a ser infinitesimales.

Es importante definir una función que su amplitud no dependa de las

variaciones del período y refleje las cercanías entre los armónicos, la densidad,

esa función se conoce como función densidad espectral.

Sea la función densidad espectral la siguiente función definida como:

BĈ2

Entonces la función densidad espectral formalmente sería

.Esa es la expresión de la llamada función densidad espectral que es una

función donde su amplitud no depende del periodo en contraposición con las

amplitudes de los armónicos en los desarrollos en serie exponencial y

sinusoidal de Fourier.

Es fácil obtener el desarrollo en serie en función de la función densidad

espectral

1

En la figura 1.6 se muestra el gráfico del módulo de la función densidad

espectral.


7

1.4 VALOR EFICAZ Y POTENCIA ACTIVA EN SEÑALES NO SINUSOIDAL. Antes de aplicar todos los conceptos conocidos para calcular la solución en

circuitos eléctricos estimulados con fuentes no sinusoidales, es conveniente ver

cómo se comportan el valor eficaz y la potencia cuando el estímulo es una

función o señal no sinusoidal.

En una onda sinusoidal se define el valor eficaz como la raíz media cuadrática

en un periodo.

1

La interpretación del valor eficaz de una corriente o voltaje sinusoidal: es el

valor de corriente o voltaje de directa que hay que aplicarle a un resistor para

que se disipe la misma cantidad de potencia en el intervalo de un período de la

señal sinusoidal.

Si se tiene una función periódica no sinusoidal desarrollada en serie de Fourier,

el valor eficaz de la señal no sinusoidal se define de la misma forma y se debe

calcular en función de las componentes de los armónicos del desarrollo en

serie de Fourier en cósenos, entonces sustituyendo f(t) por su desarrollo en

serie se llega a la expresión

1Ĉ cos

Al elevar al cuadrado quedarían los cosenos de cada una de las frecuencias al

cuadrado más el producto de los cosenos cruzados, o sea el de la frecuencia

con el de la frecuencia 2 , 3 , y así sucesivamente como se

observa en la expresión

|F(ω)|

ω

Fig. 1.6 Espectro de amplitud de la función densidad


8

1Ĉ Ĉ cos Ĉ Ĉ cos cos 2

La integral del coseno de frecuencia Lω por el coseno de Kω, donde L y K son

números enteros, en un periodo se demuestra que es cero, 1

ĈLĈK cos cos 0

De ahí se llega a la expresión.

1Ĉ Ĉ cos Ĉ cos 2

Por último,

1Ĉ

1Ĉ cos

1Ĉ cos 2

La integral del coseno cuadrado en un periodo es 1,

ĈLĈK1

cos cos ĈLĈK Ĉ

Por lo que queda

Ĉ2

Si el valor eficaz de una señal sinusoidal es (Cn) el valor máximo (Ĉn) entre la

raíz cuadrada de 2, entonces

Ĉ√2

De donde

Ĉ2

Entonces el valor eficaz de una señal no sinusoidal es la suma de los

cuadrados del valor eficaz de cada uno de los armónicos

El valor eficaz de la componente de directa es el mismo valor eficaz, entonces

se puede plantear


9

Por último es fácil demostrar que la potencia de una onda no sinusoidal que se

disipa en un resistor es la suma de la potencia de cada armónico, incluyendo la

componente de directa, que se disipa en el resistor

1.5 TEOREMA DE PARSEVAL El teorema de Parseval es una expresión de la potencia que se disipa en un

resistor de 1 Ω, en función de las amplitudes de los armónicos de una señal

descompuesta por Fourier.

La potencia activa de una señal sinusoidal que se disipa en un resistor de valor

R, está dada por el valor eficaz de la corriente que circula por el resistor al

cuadrado multiplicada por la resistencia

O el valor eficaz del voltaje en el resistor al cuadrado entre la resistencia

Si el resistor es de 1Ω, entonces

Para cada uno de los armónicos del desarrollo en serie de Fourier se cumplirá

que

Ĉ2 0

0

Entonces el teorema de Parseval para el desarrollo en cósenos, o sea para el

espectro unilateral está dado por

Ĉ2

Para el desarrollo en forma exponencial o sea para el espectro bilateral


10

2 0

0

Para obtener el valor de la potencia en un resistor de cualquier valor,

teniendo el espectro de la señal lo que se hace es multiplicar por R si

la amplitud es de corriente o dividir por R si la amplitud es de voltaje

Cálculo de un circuito estimulado con una función no sinusoidal Ejemplo: Para la función de la figura calcule, los coeficientes de la serie en forma

exponencial y en cósenos y construya los espectros de amplitud y fase para los

siguientes casos.

1. tp=1μs y T=2μs

2. tp=1μs y tp=4μs

3. tp=1μs y tp=8μs

Solución: 2

Para calcular el coeficiente an se aplica la integral

2cos

Se obtiene 2

De ahí procesando se llega a

2 2

2

22

Para los coeficientes bn

f(t)

tp

T

1

t

Fig. 1.7 Estímulo periódico


11

2sen 0

Por último el coeficiente a0

2 2

Calculando los coeficientes Cn y Ψn para el desarrollo en forma de cósenos

Ĉ

Se obtiene que

Ĉ2

2

Para el desarrollo en forma exponencial se obtiene que

Ĉ2 2 0

Ĉ2

0

Para obtener a que frecuencia ocurren los ceros se iguala el argumento a kπ

Propuesto: construir los gráficos para los diferentes casos y compararlos. Prob#1 La figura muestra la parte correspondiente de las frecuencias positivas del espectro

para el desarrollo en serie exponencial de Fourier de una fuente de señal periódica no

sinusoidal. Escriba la función en forma exponencial y en forma trigonométrica

Propuesto: Si ese estímulo se aplica como el valor de la fuente al siguiente circuito,

calcule la corriente por todas las ramas y la potencia en las resistencias.

Fig. 1.9 Problema # 1

+ e(t) 3Ω

2F1H

6Ω

Fig. 1.8 Espectro del estímulo

Ĉn 6 Ψn

4

2 ω(rad/s)

0 200 300100 0 200 300

100

60

-30

30ω(rad/s)


12

Prob#2 La forma de onda de la figura 1.10 se aplica al filtro cuya característica amplitud

frecuencia se muestra en la figura

1. Qué armónicos aparecen a la salida

2. Calcule el valor eficaz del voltaje de estímulo

3. Calcule el valor eficaz de la corriente

Prob#3 En el circuito de la figura 1.11 el voltaje del paralelo tiene la expresión que aparece y la

lectura del amperímetro es la que se muestra en la figura 1.11. Obtenga la expresión

de la corriente total en el tiempo.

12√2 cos 30√2 cos 3 2

Respuestas Prob#2 I=31mA

Prob#3

10 10√2 cos 25√2 cos 3

+e(t)

1/(4π)μF

80Ω

1 0,7

20 35 f(kHz)

H(jf)

e(t)

20120

6t(μS)

Fig. 1.10 Datos problema # 2

Fig. 1.11 Problema # 3

Lectura Amperímetro 15 A XL1=1Ω XC1=6Ω

+e(t)

10Ω

XC1XL1 v(t)+

A


13

1.6 TRANSFORMADA DE FOURIER Sea una función g(t) periódica como la de la figura 1.12, que se puede

desarrollar en serie de Fourier utilizando la función densidad espectral y el

desarrollo en serie exponencial en función de la densidad espectral.

1

La frecuencia será 2

2

Entonces se puede sustituir el periodo T en la serie y se obtiene la expresión

de la serie de la siguiente forma

12

Sea una función f(t) aperiódica mostrada la figura 1.13, obtenida al tender T al

infinito en la función g(t) de la figura 1.12.

Ahora si el periodo aumenta T↑ entonces la frecuencia disminuye ω1↓

Si en el límite tiende el periodo a infinito, entonces ω1 tiende a ser infinitesimal

de forma que se puede plantear

T→ ∞, ω1→0 => ω1→dω, nω1→ω y g(t) →f(t)

g(t)

tT

Fig. 1.12 Función periódica

Fig. 1.13 Función aperiódica

f(t)

t T→∞


14

Es lógico entonces, que la sumatoria tienda a ser una integral ∑→ ∫ entonces

partiendo de la función g(t) desarrollada en serie

12

Se llega a la función f(t)

Y partiendo de la expresión de la función densidad G(jnω1) para la función

periódica e integrando desde hasta o sea en un periodo se llega a la

expresión de la función F(jω) para una función aperiódica si se hace tender T a

infinito.

Se ha llegado a través de este análisis a lo que se conoce como transformada

de Fourier directa de una función aperiódica o integral de Fourier de una

función aperiódica f(t)

Y la transformada de Fourier inversa

12

Esta integral de Fourier tiene el mismo carácter que la serie de Fourier, ambas

están formadas por sumas infinitas de exponenciales o coseno, para la serie

los armónicos existen para valores discretos y para la integral para valores

continuos de la frecuencia y de amplitud infinitesimal dada por 12

1.6.1 Propiedades de uso más frecuente de la transformada de Fourier

La transformada de Fourier de una función aperiódica f(t) es una función

compleja, que tiene módulo y ángulo, parte real y parte imaginaria.

| |

1. Simetría con respecto a ω para una función f(t) real.


15

− El módulo de la transformada de Fourier es una función de simetría par − El argumento es una función de simetría impar − La parte real es una función de simetría par − La parte imaginaria es una función de simetría impar − El conjugado es

| |

− Se puede demostrar también que

1| |cos

2. Linealidad La transformada de Fourier de una suma es la suma de las funciones

transformadas

3. Desplazamiento en el tiempo

La transformada de Fourier de una función desplazada en el tiempo o sea

retardada o adelantada se obtiene como la transformada de Fourier de la

función sin desplazar, multiplicada por

4. Desplazamiento en las frecuencias La transformada de Fourier de una función multiplicada por una exponencial

es la transformada de Fourier de la función desplazada en las frecuencias.

5. Variación de escala 1

Note que si aumenta el tiempo se disminuye en la frecuencia y si se disminuye

en el tiempo se expande en la frecuencia

6. Simetría entre frecuencia y tiempo Esta es una de las propiedades más importante de la transformada de Fourier,

si se transforma una función , se obtiene la función transformada en las

frecuencias , pero si se aplica la transformada de Fourier a una función

que tiene la forma de la función , entonces la función que se obtiene

en la frecuencia tendrá la forma de la función que se tenía en el tiempo

inicialmente , gráficamente sería como se muestra en las figuras 1.14 y

1.15


16

Si ahora se tiene en el tiempo la función que se tenía en la frecuencia, en la

frecuencia se tendrá lo que se tenía en el tiempo

Existen otras propiedades, se han mencionado solo las más importantes

1.7 ESPECTRO DE SEÑALES APERIÓDICAS. Se ha obtenido que la transformada directa de Fourier de una señal aperiódica

es una función compleja de la frecuencia que tiene módulo y ángulo, haciendo

los gráficos de esta función se obtiene el espectro de frecuencia de una señal

aperiódica 1.7.1 Características del espectro de las señales aperiódicas.

Ya se sabe que la transformada de Fourier es una función compleja de la

frecuencia

| |

El gráfico del módulo tiene simetría par y es el espectro de amplitud y el gráfico

del argumento tiene simetría impar y es el espectro de fase.

Existe una relación entre el espectro de la señal periódica y el espectro de la

señal aperiódica que se deriva de ella, el espectro de la señal aperiódica es la

envolvente del espectro bilateral de la señal periódica que le dio origen.

f(t)

t 1

F(jω)

ω

Fig. 1.14 Si la función en el tiempo es un pulso, en la frecuencia es un sinc

Fig. 1.15 Si la señal en el tiempo es un Sinc, en la frecuencia es un pulso

2π

G(jω)

ω

g(t)

t


17

Ejemplos

1. Espectro de una señal exponencial

00 0

Por la definición se obtiene

2. Espectro del impulso unitario o Delta de Dirack

1

ω

ω

Ψn

Fig. 1.16 Relación entre los espectros

| |

ω

|Bn|

ω

a) Espectro Bilateral Señal Periódica b) Espectro Bilateral Señal Aperiódica

ω

Amplitud

0

0.5

-π/2

0ω

Fase

Fig. 1.17 Espectro de amplitud y fase, representando solo la parte positiva


18

3. Espectro de una constante

Se puede demostrar

2

4. Espectro de un coseno

Aplicando Euler se obtiene

2

Quedando

2

Aplicando el teorema del desplazamiento y la transformada de una constante

se obtiene

2

ω

Amplitud

0

1 0

ω

Fase

Fig. 1.18 Espectro de la función impulso unitario, es una constante real

ω

F(jω)

0

δ(ω)

Fig. 1.19 Es una función impulso unitario en las frecuencias

ω

F(jω)

0

πδ(ω-ω0)πδ(ω+ω0)

-ω0 ω0

Fig. 1.20 El espectro son dos deltas desplazadas


19

5. Espectro de señales moduladas La modulación de señales se lleva a cabo hace más de 100 años, el objetivo

fundamental, cuando surgió, fue para desplazar el espectro de las señales en

frecuencias de forma que se pudieran transmitir varias señales por un mismo

par de cables. Existen diferentes tipos de modulación, amplitud, ángulo, pulso,

etc. Se verá el caso particular de la modulación de amplitud.

Sea s(t) una señal como se muestra en la figura 1.21 (a), esta función se

conoce como moduladora, con un espectro de amplitud como el que aparece

en la figura 1.21 (b).

La señal modulada m(t) se obtiene como el producto de la señal s(t) por un

coseno de frecuencia , esta señal cosinusoidal se conoce como portadora y

debe tener una frecuencia mucho mayor que la frecuencia de la señal

moduladora.

cos

Aplicando Euler a esta expresión se obtiene

2

De donde 12

12

Aplicando transformada de Fourier y el teorema del desplazamiento 12

12

El espectro de la señal modulada es el espectro de la señal moduladora

desplazado hacia la frecuencia y dividido por 2, en la figura 1.22 aparece la

señal modulada en el tiempo (a) y el espectro de la señal modulada (b)

t

0

s(t)0.2

0

ω

S(jω)

Fig. 1.21 Señal en el tiempo (a), Espectro de la señal (b)

(a) (b)


20

La forma general de la modulación de amplitud es

1 cos

Donde k es el índice de modulación. En este caso, efectuando, se puede

plantear que

1cos cos

Aplicando transformada de Fourier y la propiedad de linealidad se obtiene que

el espectro es el mismo que se tenía en la figura 1.22 (b), con dos deltas de

Dirack desplazadas debido a la transformada del coseno, como se indica en la

figura 1.23, en este caso se dice que aparece el espectro de la portadora,

representado por las deltas.

En este caso se tiene como desventaja que la portadora lleva un porciento de

energía.

Si se modulara la misma señal con dos portadoras distintas y , donde

en este caso el espectro quedaría como se indica en la figura 1.24,

note que en frecuencias las dos señales estarían perfectamente separadas.

0

M(jω)

ωω+ω0ω-ω0

Fig. 1.23 Señal modulada

-0.2

0

0.2

t

m(t)

0

M(jω)

ωω+ω0 ω-ω0

Fig. 1.22 Señal modulada en el tiempo (a), espectro de la señal modulada (a) (b)

Fig. 1.24 Una señal modulada con dos portadoras diferentes 0

M(jω)

ω ω+ω0ω-ω0 ω-ω1 ω+ω1


21

En el tiempo se verían de la forma que aparece en la figura 1.25

Note que en el tiempo no se pueden identificar cada una de las señales, pero

en las frecuencias si.

1.8 ANCHO DE BANDA DE UNA SEÑAL. Se había visto el ancho de banda de los sistemas, ahora se verá el ancho de

banda de las señales. Existen diferentes criterios para definir el ancho de

banda de una señal, es el intervalo de frecuencia donde se concentra la mayor

cantidad de energía de la señal o el intervalo de frecuencia donde se encuentra

una cantidad suficiente de armónicos para reconstruirla.

Se define como frecuencia de corte de una señal los valores limites del ancho

de banda.

Existen diversas formas de definir el ancho de banda de la señal.

Un criterio para el ancho de banda es el intervalo de frecuencia donde la

amplitud es mayor que el 10% de la amplitud en el origen del espectro

0,1 0

Otro criterio, el intervalo de frecuencia donde se concentra el 90% de la energía

de la señal. Para este segundo criterio se tiene que obtener el espectro de

potencia de la señal y calcular el intervalo de frecuencia.

Se utilizará el primer criterio fundamentalmente.

1.9 ESPECTRO DE LA SEÑAL DE SALIDA Si se tiene un sistema de función de sistema en régimen sinusoidal H(jω), al

que se le aplica como estímulo la señal f(t), que tiene como transformada de

Fourier F(jω), o sea se tiene su espectro entonces, la transformada de Fourier

o sea el espectro de la señal de salida g(t) es G(jω)

H(jω) F(jω) G(jω)

Fig. 1.26 Sistema lineal

0t

m(t)

Fig. 1.25 Señal modulada en el tiempo


22

Este espectro de la señal de salida se obtiene

Como son funciones complejas se puede plantear que el espectro de amplitud

de la señal de salida es

| | | || |

Y el espectro de fase de la señal de salida es

Ejemplo Sea un sistema ideal pasa bajo de CAFr dada por el gráfico de la figura 1.27 a),

al que se le aplica una señal de entrada con un espectro de amplitud como el

de la figura 1.27 b). Si ωs>ωc . Obtenga el espectro de la señal de salida.

Solución:

El producto de se puede interpretar gráficamente como la

superposición del espectro y la CAFr, en el intervalo donde la característica es

1, se mantiene el valor del espectro y en el intervalo donde la CAFr es cero no

aparece espectro de la señal a la salida, en la figura 128 a) y b se muestra

como queda.

Fig. 1.27 a) CAFr del sistema, b) espectro de amplitud de la señal de entrada

b)

|F(jω)|

ω

2

ωs -ωs a) ωc -ωc

|H(jω)|

ω 1

Fig. 1.28 a) CAFr del sistema y espectro de amplitud superpuestos, b) espectro de amplitud de la señal de salida

1

ωc -ωc

|F(jω)| y |H(jω)|

ω

2

ωs -ωs b)

|G(jω)|

ω

2

ωs -ωs -ωc ωc a)

Capítulo II Elementos de topología en los circuitos eléctricos

23

2. ELEMENTOS DE TOPOLOGÍA EN LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS. Se han estudiado los métodos y teoremas fundamentales para el análisis de

circuitos eléctricos, se hicieron las definiciones fundamentales, ahora se

construirá el diagrama topológico del circuito y se utilizará ese diagrama

topológico para el cálculo de circuitos ramificados en estado transitorio.

Todos los métodos de análisis de circuitos lineales están basados en las leyes

de Kirchhoff, la topología estudia aquellas propiedades de circuitos que sólo

dependen de la cantidad de ramas y nodos y su interconexión.

La topología es una disciplina matemática que se aplica a muchas ramas de las

ciencias, en este caso se aplicará para obtener la solución de circuitos

eléctricos en estado transitorio.

El diagrama topológico de un circuito no es más que el esqueleto del circuito, la

representación de todas sus ramas y nodos y su interconexión, se denomina

también grafo del circuito.

Para el circuito de la figura 2.1 se pueden obtener diferentes diagramas

topológicos, diferentes grafos.

Algunos de los grafos de este circuito son los de la figura 2.2:

2.1 DEFINICIONES GENERALES Un grafo de un circuito se dice que es aplanable si se puede hacer su

representación en el plano sin superposición de las ramas o sea que ninguna

de las ramas se corten.

Fig. 2.1 Ejemplo de circuito

6V +

1F

2F1/3Ω

1/3Ω 1/3Ω

Fig. 2.2 Distintos grafos para el circuito


24

Un grafo es no aplanable cuando no se puede realizar la representación en un

plano sin que haya superposición de las ramas.

Para la representación de los grafos de los circuitos eléctricos se deben hacer

algunas definiciones básicas necesarias.

Subgrafo: es una parte de un grafo compuesto por ramas y nodos.

Rama: parte de un circuito que contiene un sólo elemento.

Nodo: cada extremo de una rama.

Lazo: conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada que pasa una y

sólo una vez por cada nodo

Árbol: conjunto de ramas que unen todos los nodos y no forman un lazo, para

cada circuito se pueden dibujar varios árboles.

Algunos ejemplos de árboles de grafos aparecen en la figura 2.3, para el grafo

del circuito de la figura 2.1.

Rama de árbol: cada rama de un árbol, NRA es el número de ramas de árbol.

Rama de eslabón: todas las ramas que no son ramas de árbol.

Número de ramas de árbol: Si en el circuito hay N nodos, el número de ramas

de árboles, como se observa, es el número de nodos menos 1.

NRA=N-1

Número de ramas de eslabón: El número total de ramas de un circuito es m,

entonces el número de ramas de eslabón es el número de ramas menos el

número de ramas de árbol.

NRE=m-NRA

Grafo orientado: un grafo es orientado si cada rama tiene un sentido propio de

voltaje y de corriente, los dos sentidos el de voltaje y el de la corriente en cada

rama se hacen coincidir de forma tal que, en cada rama se tenga sólo un

Fig. 2.3 Diferentes arboles para el mismo grafo en negrita


25

sentido para su orientación de forma tal que en el elemento la corriente siempre

sea de voltaje positivo a voltaje negativo, la orientación para cada tipo de

elemento que forma una rama debe ser, por convenio, la de la figura 2.4

2.2 VARIABLES DE ESTADO. Se definen como las variables de estado, a aquellas variables en los elementos

almacenadores de energía que aunque se produzca un cambio energético en

el sistema mantienen su valor o sea aquellas variables que mantienen la

condición de continuidad en los elementos almacenadores de energía.

Serían variables de estado en el capacitor la carga y el voltaje y en el

inductor las concatenaciones de flujo y la corriente.

Las ramas de fuentes siempre tienen el sentido definido y coincide con el

sentido de la fuente, en los elementos pasivos el sentido es arbitrario.

A cada rama se le debe asignar una numeración, para hacer el planteamiento

sistemático de las ecuaciones, esa numeración está previamente establecida,

se sistematiza también la pertenencia de cada elemento a rama de eslabón o

rama de árbol. En las ramas de eslabón se deben poner las fuentes de

corrientes, algunos resistores y todos los inductores, en la rama de árbol se

deben poner todos los capacitores, algunos resistores, y las fuentes de voltaje.

Los resistores pueden formar parte de los dos tipos de ramas, rama de árbol o

rama de eslabón, los otros elementos sí están en un tipo de rama determinado,

si existen fuentes dependientes de voltaje o corriente se tratan de forma

semejante a las fuentes independientes de voltajes y corrientes.

La numeración de la rama se hacen por el siguiente orden: los primeros

números se le asigna a las fuentes de corriente, luego a los resistores de rama

de eslabón, los inductores, los capacitores, los resistores en rama de árbol y

por último las fuentes de voltaje. En la figura 2.5 se observa gráficamente como

se distribuye la numeración de las ramas

Fig. 2.4 Orientación para la fuente de voltaje, fuente de corriente, inductor, capacitor y resistencia

+

IV

+

I

V+

I

V+

I

V +

IV


26

Ejemplo: Para el circuito de la figura 2.6, considerando las condiciones iníciales cero

a) Construya el grafo

b) Plantee el sistema de ecuaciones de estado

c) Obtenga la solución para cada variable de estado.

El número de nodos del circuito es de N=7

El número de ramas es de m=9.

Se debe notar que cada rama es un elemento de circuitos.

Se puede calcular el número de ramas de árbol a través de la expresión.

NRA=N-1=7-1=6

Número de ramas de eslabón: El número de ramas de un circuito se plantea

que es m, entonces el número de ramas de eslabón es

NRE=m-NRA=9-6=3

Para el circuito, el grafo quedaría con 6 ramas de árbol y 3 ramas de eslabón

como se muestra en la figura 2.7, en negrita las ramas de árbol, en línea

discontinua las ramas de eslabón, dentro de un circulo el número de la rama

.

Fig. 2.5 Orden de numeración de los elementos en cada rama, las fuentes de corrientes los números

menores y las de voltaje los más altos

Rama de Árbol Capacitor C Resistores R Fuente de Voltaje E

Rama de Eslabón Fuente de Corriente I Resistores R Inductor L

Fig. 2.6 Circuito

E9=20V +

C4=1/8F

L3=1/2H

R6=4Ω

R8=2Ω

L2=1/2H

I1=10A

R7=4Ω

R5=2Ω


27

Si se le orienta cada una de sus ramas el grafo quedaría como aparece en la

figura 2.8.

La rama de eslabón 1 y la rama de árbol 9 tienen sentido de referencia

determinado por la magnitud de la fuentes de corriente y voltaje, el resto de las

ramas el sentido es arbitrario.

Grupo de corte: un grupo de corte es una superficie cerrada que encierra

varias ramas, se plantea que la suma de las corrientes que entran a la

superficie es igual a la suma de las corrientes que salen de la superficie, no es

más que la ley de conservación de la carga.

Grupo de corte principal: es aquel grupo de corte que contiene sólo una

rama de árbol por lo tanto el número de grupo de corte principal es igual al

número de nodos menos uno.

Gcp=N-1

Al grupo de corte principal se le asigna un sentido positivo que es el sentido de

la rama de árbol que tiene ese grupo de corte principal, en la figura 2.9 se

representan todos los grupos de cortes posibles.

Fig. 2.8 Grafo orientado según el convenio establecido

5

6 7

8

2

4

3

1

9

Fig. 2.7 Grafo del circuito con el árbol y las ramas de eslabón

4

9

5

1

2

3

6 7

8


28

Lazo: es un conjunto de ramas que forman una trayectoria cerrada

Malla: Es un lazo que tiene sólo una rama de eslabón, el número de mallas

sería igual al número de rama de eslabón, la malla tiene una orientación para

su recorrido y es la orientación de la rama de eslabón en la figura 2.10 aparece

un ejemplo:

Para resolver un circuito, para calcular todas las corrientes de ramas, es

necesario resolver un sistema de ecuaciones con tantas ecuaciones e

incógnitas como la cantidad de ramas que tenga el circuito, para que el sistema

tenga solución única el sistema tiene que estar formado por ecuaciones

linealmente independientes. Utilizando el grafo y las leyes de Kirchhoff se

puede plantear de forma sistemática un sistema de ecuaciones linealmente

independientes.

Fig. 2.9 Grafo orientado con todos los grupos de corte

5

6 7

8

2

4

3

1

9

Fig. 2.10 Grafo orientado con todas las mallas representadas

5

6 7

8

2

4

3

1

9


29

Planteando las leyes de Kirchhoff de corriente en los grupos de cortes

principales y las leyes de Kirchhoff de voltaje en las mallas.

Aplicando la ley de Kirchhoff de voltaje en cada una de las mallas,

considerando los voltajes positivos aquellos que sus sentidos coincidan con el

sentido de recorrido de la malla, para el ejemplo del grafo de la figura 2.10, las

ecuaciones quedan, planteando las leyes de Kirchhoff de voltaje LKV, en cada

una de las mallas que se plantean para cada uno de los eslabones.

1. 0

2. 0

3. 0

Planteando las leyes de Kirchhoff de corriente LKC, en cada uno de los grupos

de corte principales, considerando la corriente positiva aquella que atraviese la

superficie virtual del grupo de corte principal con el mismo sentido que se le

asignó al grupo de corte principal, para el ejemplo las ecuaciones quedan.

Fig. 2.12 Para la malla 3 se obtiene la LKV

5

6 7

8

2

4

3

1

9

Fig. 2.11 Para la malla 1 y 2 se plantean las LKV respectivas

5

6 7

8

2

4

3

1

9

5

6 7

8

2

4

3

1

9


30

4. 0

5. 0

6. 0

7. 0

8. 0

9. 0

Fig. 2.14 Para los grupos de corte 6 y 7 se plantean la LKC

5

6 7

8

2

4

3

1

9

5

6 7

8

2

4

3

1

9

5

6 7

8

2

4

3

1

9


5

6 7

8

2

4

3

1

9


5

6 7

8

2

4

3

1

9

5

6 7

8

2

4

3

1

9


31

El conjunto de ecuaciones que se obtiene planteando las leyes de Kirchhoff

queda de la forma

1. 0

2. 0

3. 0

4. 0

5. 0

6. 0

7. 0

8. 0

9. 0

La esencia del método consiste en: basándose en las leyes de Kirchhoff

formular la ecuación en forma matricial dada por la derivada de la matriz

columna de las variables de estado X igual a la matriz de los coeficientes de las

variables de estado A por la matriz de las variables de estado X, más la matriz

de los coeficientes de los estímulos B por la matriz de los estímulos.

Formalmente es la siguiente ecuación en forma matricial.

Donde

X=[x1, x2 x3, …]T un vector columna formado por las variables de estado X

A es la matriz de los elementos de circuitos, la matriz que va a caracterizar al

circuito

B la matriz de los coeficientes de las fuentes de estímulo, de voltaje o de

corriente

e matriz de los estímulos

Para formar esta matriz se puede hacer de forma sistemática

En el circuito las variables de estado son las corrientes por los inductores i2 e i3

y el voltaje en el capacitor v4 y las derivadas de las variables de estado son los

voltajes en los inductores v2 y v3 y la corriente en el capacitor i4. Según las

expresiones, aplicando la relación voltaje corriente en cada elemento

almacenador se obtienen las siguientes igualdades:


32

Si se observa en el sistema de ecuaciones, en las ecuaciones 2, 3 y 4

aparecen sólo una vez las derivadas de las variables de estado, esto se debe a

la forma sistemática usada para plantear las leyes de Kirchhoff. Seleccionando

esas tres ecuaciones y utilizando el resto de las ecuaciones y la ley de Ohm en

los resistores se puede lograr que en cada una de esas ecuaciones queden,

sólo una de las derivadas de las variables de estado (v2, v3, i4), las variables de

estado (i2, i3,v4) y los estímulos (i1,v9). O sea cada una de las ecuaciones debe

quedar en función de i2, i3, v4, i1 y v9, entonces para la ecuación 2, despejando

la derivada de variable de estado v2

En la ecuación se tienen que sustituir los voltajes v5, v6, v8, de la ecuación 8 se

tiene que i8=i2 y aplicando ley de Ohm

2

De la ecuación 5

Y aplicando ley de Ohm

2

Por último de la ecuación 6 se obtiene

Aplicando de nuevo ley de Ohm

4

Sustituyendo en

2 4 2

Agrupando y reduciendo términos semejantes se llega :

8 4 6

Por último se llega a que la primera ecuación de estado es

ó

Seleccionando ahora la tercera ecuación y despejando v3

En esta ecuación v6 y v7 no son variables de estado no estímulos por lo que se

tienen que sustituir, de la ecuación 6 y la ley de Ohm

Se obtiene


33

4

y de la ecuación 7

y aplicando la ley de Ohm

4

Sustituyendo

4 4

De donde

4 4 4 4 4

Quedando que la segunda ecuación de estado es

ó

Ahora de la ecuación 4

Despejando i4

Fácilmente se llega a que la tercera ecuación de estado es

ó

El sistema de ecuaciones de estado es

Planteando el sistema

En forma matricial 8 4 1

4 8 0

1 0 0

6 1

8 0

0 0

La matriz A caracteriza al circuito y viene dada por


34

8 4 1

4 8 0

1 0 0

16 8 28 16 08 0 0

Sustituyendo los valores

16 8 28 16 08 0 0

12 216 00 0

Para calcular la respuesta del circuito se debe obtener la ecuación

característica que se expresa como el determinante de la matriz A menos el

determinante unitario multiplicado por la constante λ igualado a cero,

resolviendo este determinante se obtienen las raíces que caracterizan el

circuito

| 1 | 0 16 8 28 16 08 0 0

0

Resolviendo el determinante se obtiene:

8 2 16 16 16 8 8 0

De donde

8 2 16 16 16 8 8 0

Quedando la ecuación de tercer grado

32 208 256 0

Las raíces de esta ecuación de tercer orden se obtienen por la instrucción de

Matlab

roots([1 32 208 256]),

Obteniéndose:

23,6691

6,7218

1,6091

Note que hay las raíces son reales y diferentes, el circuito será sobre

amortiguado y la solución del sistema para cualquiera de las variables de

estado x(t) es la respuesta transitoria xT(t) más la respuesta forzada xF(t)


35

La respuesta transitoria para cada variable de estado tendrá como forma

general

Y la forzada será una constante para cada caso

Por lo que para cada variable la solución total sería

Cálculo de la componente forzada en el circuito en estado estable a corriente

directa como aparece en la figura 2.16

Para la primera derivada de cada una de las variables y como el estímulo es de

directa

Para la segunda derivada

E9=20V +

E4=20-20=0

I3=10A

R6=4Ω

R8=2Ω

I2=0

I1=10A

R7=4Ω

R5=2Ω

Fig. 2.16 Circuito para t>0 en estado estable, t→∞


36

Para evaluar las constantes se necesitan las condiciones iníciales y la primera

y segunda derivada evaluada en t=0, son muy fácil sistematizar y se obtienen

16 8 28 16 08 0 0

12 216 00 0

Para calcular las primeras derivadas evaluadas en t=0

16 8 28 16 08 0 0

000

12 216 00 0

1020

Entonces quedaría para cada variable

120 40 160

160

0

Ahora para las segundas derivada evaluadas en t=0 se obtienen derivando la

ecuación anterior y evaluando

16 8 28 16 08 0 0

12 216 00 0

Se obtiene evaluando que todas las segundas derivadas son cero.

0

0

0

Evaluando para t=0

0 0

0 0

0 0

Obteniendo la primera derivada de las ecuaciones y evaluando las derivada

para t=0

160


37

160

0

Para las segundas derivadas se tiene en forma general que las ecuaciones

quedan:

0

0

0

Quedaría resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para cada

una de las soluciones. Para la primera variable de estado i2(t) 01600

Para la segunda i3(t) 101600

Para la tercera variable de estado v4 (t) 0

00

Resolviendo cada uno de los sistemas de ecuaciones se obtiene la solución

para cada una de las variables de estado y son

5,025 , 6,206 , 1,141 ,

10 5,28 , 5,344 , 0,64 ,

14,8671 , 5,2144 , 0,2295 ,

Capítulo III Método operacional

38

3. MÉTODO OPERACIONAL

Se analizaron los circuitos eléctricos cuando los estímulos, las fuentes, eran no

sinusoidales, utilizando la transformada de Fourier, este método se utiliza para

el cálculo del circuito en estado estable, por lo que se necesita de otra

herramienta para el análisis, para los casos en que el estímulo es cualquiera y

se quiere obtener la respuesta para todo t>0, incluyendo el transitorio, para ello

se utiliza la transformación de Laplace. Aplicar la transformada de Laplace a los

circuitos eléctricos, brinda una herramienta extremadamente poderosa para el

análisis y la síntesis de redes, permitirá el análisis a cualquier estímulo con la

sola restricción que admita transformada de Laplace y permitirá además, definir

el importante concepto de función de sistema o función de la red.

3.1 TRANSFORMADA DE LAPLACE. Sea f(t) una función definida para todo t>0, seccionalmente continua (en

cualquier intervalo finito puede presentar, sólo un número finito de

discontinuidades finitas) y de orden exponencial. Entonces se puede garantizar

que existe la transformada de Laplace unilateral y se puede obtener a través

de:

Donde S es una variable compleja de parte real σ y parte imaginaria ω

S = σ + jω

Propiedades importantes de la transformada de Laplace.

• Linealidad

La transformada de Laplace de la suma funciones es la suma de cada una

de las funciones transformada, o sea cumple el principio de superposición.

• Transformada de la derivada

La transformada de la derivada de una función es la transformada de la

función sin derivar multiplicada por S menos la función en el tiempo evaluada

para t=0

0

• Transformada de la integral


39

La transformada de la integral de una función entre menos infinito y t se obtiene

dividiendo la integral en dos partes, una integral entre menos infinito y cero

menos y la otra entre cero menos y t. La integral entre menos infinito y cero

menos es un valor constante, su transformada es la de una constante y la otra

integral tiene como transformada la transformada de la función en el tiempo

dividida por S.

1

1

• Desplazamiento en S

La transformada de una función multiplicada por una exponencial es la

transformada de la función desplazada en S.

• Desplazamiento en el tiempo

La transformada de Laplace de una función desplazada en el tiempo es la

transformada de la función sin desplazar multiplicada por una exponencial.

Desplazar en el tiempo es multiplicar por una exponencial en el plano S y

desplazar en el plano S es multiplicar por una exponencial en el tiempo.

• Transformada del producto de convolución entre dos funciones.

La transformada del producto de convolución entre dos funciones causales o

sea la transformada de la integral de convolución es el producto de las dos

funciones transformadas.

• Transformada de la función impulso unitario o Delta de Dirack

Se define la función impulso unitario o delta de Dirack como una función

matemática que tiene un valor distinto de cero en un solo punto y la integral

entre menos infinito e infinito, el área "bajo la curva" es la unidad.

∞ 00 0 1

Esta función tiene como propiedad muy importante, la propiedad de muestreo

que plantea que el producto de una función cualquiera multiplicada por una


40

función impulso unitario es el valor de la función en ese punto por la función

impulso unitario.

0

De ahí la transformada se obtiene que es

1

En cualquier libro de matemática se puede obtener una tabla de la

transformada de Laplace de las funciones más comunes.

Se define también la transformada inversa de Laplace

Y se obtiene por diferentes métodos, uno muy utilizado es separando en

fracciones simple la función F(s) y el otro es el método de Heaverside.

Una de las aplicaciones importantes de la transformada de Laplace es en la

solución de ecuaciones o sistemas de ecuaciones lineales integro diferenciales,

esta característica se utilizará para la solución de circuitos eléctricos lineales en

estado transitorio y dará origen al método operacional.

3.2 MÉTODO OPERACIONAL Sea el circuito de la figura 3.1 que estaba en estado estable antes de accionar

el interruptor y en t=0 se abre el interruptor

Se puede plantear el circuito para t<0 considerando que está en estado

estable, o sea para t=0-, si es: a corriente directa el capacitor se sustituye por

un circuito abierto y el inductor por un corto circuito y calcular el voltaje en el

capacitor y la corriente por el inductor en este instante, o sea las condiciones

iníciales en t=0-, el circuito equivalente para ese instante es el mostrado en la

figura 3.2.

Fig. 3.1 Circuito en estado estable para t<0

C

R

L

+ e(t)

i(t)

uR(t)

uC(t)

uL(t)

++

+t=0

Fig. 3.2 Circuito en t=0- a corriente directa

C

R

L

+ e(0-)

i(0-)

uR(0-)

uC(0-)

uL(0-)

++

+


41

Planteando ahora el circuito para todo t>0 o sea cuando el interruptor está

abierto, se tiene

Aplicando la ley de Kirchhoff de voltaje en la trayectoria cerrada se obtiene

Sustituyendo por la relación voltaje corriente en cada uno de los elementos del

circuito se obtiene una ecuación integro diferencial, a la que se le puede aplicar

la transformada de Laplace

1 1

Aplicando transformada de Laplace a la ecuación anterior, conociendo que:

La integral entre menos infinito y cero es una constante

10

La transformada de una constante es la constante sobre S; 1

0

La transformada de la integral de i(t) entre 0 y t es la transformada de Laplace

de i(t) dividida por S;

1

La transformada de la derivada de i(t) es la transformada de i(t) multiplicada por

S menos la corriente evaluada en cero i(0)

0

Por último la transformada de la fuente e(t) es E(s). Entonces sustituyendo

queda 1

01

0

Fig. 3.3 Circuito para t>0, el interruptor abierto

C

R

L

+ e(t)

i(t)

uR(t)

uC(t)

uL(t)

++

+t>0


42

La ecuación integro-diferencial se ha convertido en una ecuación algebraica,

dejando del lado izquierdo los sumando que tienen la corriente I(s) y sacándola

factor común queda 1

1

0 0

Analizando la expresión: el término de la izquierda es corriente por un término

que se puede asociar con impedancia; a la derecha está la suma algebraica de

tres términos, la fuente de voltaje transformada, se puede seguir considerando

como fuente de voltaje y otros dos términos que representan las condiciones

iníciales en el capacitor y en el inductor que se pueden considerar también,

fuentes de voltaje transformada por similitud con la E(s). Por lo tanto se

puede resumir esta ecuación como

Donde Z(s) es la impedancia operacional de los elementos conectados en

serie y es la suma de las impedancias en forma operacional del capacitor, el

inductor, y el resistor 1

La impedancia operacional de cada elemento pasivo sería:

Para el capacitor 1

Para el inductor

Y para el resistor

Comparándola con la impedancia compleja se nota que se llega de una a la

otra simplemente evaluando S=jω. 1

Se define también la admitancia en forma operacional como el inverso de la

impedancia operacional. 1


43

Y ΣE(s) es la suma de fuentes de voltajes, una es la fuente de voltaje e(t)

transformada con signo positivo, otra una fuente de voltaje que depende del

voltaje de condición inicial en el capacitor -u(0) con signo negativo, contrario a

la fuente E(s) y por último una fuente de voltaje que depende de la corriente

de condición inicial en el inductor Li(0), con el mismo signo positivo que E(s). 1

0 0

Se puede obtener un circuito operacional equivalente directamente del circuito

para t>0 en el tiempo formado por las impedancias de los elementos pasivos, el

resistor, el inductor y el capacitor y las fuentes de voltaje por donde circule la

corriente I(s) como se muestra en la figura 3.4.

Se obtiene el circuito operacional equivalente (COE) partiendo del circuito para

t>0 en el tiempo, sustituyendo cada inductor por un inductor de valor LS en

serie con una fuente de voltaje de valor: la inductancia por la corriente de

condición inicial en el inductor Li(0) y de sentido tal que impulse una corriente

del mismo sentido que tenía la corriente de condición inicial y sustituyendo

cada capacitor por un capacitor de valor en serie con una fuente de voltaje

de valor el voltaje de condición inicial en el capacitor sobre S y de sentido igual

al que tenía el voltaje de condición inicial, en la figura 3.5 se muestran los

equivalentes.

Las fuentes de voltajes o corrientes en el tiempo, por fuentes de voltajes o

corrientes transformadas y los resistores por resistores del mismo valor.

SL+

i(0)L+

U LL

i(0)

+ +

Uc

+C

u(0)

u(0) S SC

1

Fig. 3.5 Equivalente para el capacitor y para el inductor con condiciones iníciales

Fig. 3.4 Circuito Operacional Equivalente, COE, circuito para t>0

R

E(s)

UR

SL+

I(s)

+1/(SC)

++

i(0)L

u(0)/S+

+

UC

UL


44

Una vez que se tiene el circuito operacional se pueden aplicar todos los

métodos de análisis de circuitos anteriores, mallas, nodos, Thevenin, divisores

de voltaje y corriente, etc. Este método operacional permite hallar de una vez el

transitorio y la forzada para cualquier magnitud del circuito y a cualquier

estímulo, con solo la limitante de que el estímulo admita transformada de

Laplace, resolviendo un sistema de ecuaciones algebraicas, la respuesta se

obtiene como una función de la variable S, por lo que la respuesta en el tiempo

será la transformada de Laplace inversa de la función en S obtenida.

Ejemplo # 1 Dado el circuito de la figura 3.6, considerando que estaba en estado estable y

en t=0 se cierra el interruptor.

1. Obtenga las corrientes y voltajes en todas las ramas

2. Construya los gráficos

3. Analice la respuesta

Se deben calcular las condiciones iníciales, para ello se considera el circuito

para t<0 en estado estable a corriente directa, o sea el circuito en t=0- figura

3.7, el capacitor se sustituye por un circuito abierto y el inductor por un corto

circuito, se calculan la corriente por el inductor en t=0- y el voltaje en el

capacitor también en t=0-.

t=0

10V

+

1/2F

2H

2Ω 6Ω

2Ω

5A

Fig. 3.6 Circuito para el ejemplo #1

10V

+

+ u(0-)

i(0-)

2Ω 6Ω

2Ω

5A

Fig. 3.7 Circuito para t<0 en estado estable


45

Aplicando superposición se obtiene que para la fuente de corriente el circuito

sea el de la figura 3.8, la fuente de voltaje se anula (voltaje cero), se sustituye

por un corto circuito.

La corriente se obtiene por un divisor de corriente y por ley de Ohm el voltaje.

0 5610 3 0 3 2 6

Para la fuente de voltaje, se anula la fuente de corriente (corriente cero), se

sustituye por un circuito abierto, figura 3.9

01010 1 0 1 2 2

La corriente y el voltaje total en 0- será

0 3 1 2 0 6 2 4

El circuito transformado, el circuito operacional equivalente (COE) para todo

t>0 es el mostrado en la figura 3.10.

+ u(0-)

i(0-)

2Ω 6Ω

2Ω

5A

Fig. 3.8 Anulando la fuente de voltaje y dejando la fuente de corriente

10V

++ u(0-)

i(0-)

2Ω 6Ω

2Ω

Fig. 3.9 Anulando la fuente de corriente y dejando la fuente de voltaje

10/S

+

2/S

2S

2 6 5/S

+ 4/S

+ 4

Fig. 3.10 Circuito equivalente para todo t>0


46

El resistor en paralelo con el corto circuito se elimina, por lo que quedaría el

circuito de la figura 3.11

Aplicando el método de las corrientes de mallas

Las ecuaciones de malla serán

#1 5

#2 02

2 24

#3 6 2 8 210

4

De donde resolviendo por determinantes se obtiene 2 2 4

2 10 4 65

2 2 22 2 8

De donde 2 2 4

2 10 4 65

4 4 42 5 5

2

10/S

+

2/S

2S

2 6 5/S

+ 4/S

+ 4

Fig. 3.11 Circuito Operacional Equivalente COE para todo t>0

10/S

+

2/S

2S

2 6 5/S

+ 4/S

+ 4

I1

I2

I3

Fig. 3.12 Aplicando corrientes de malla


47

2 5 52 2

Calculando las constantes

2,5; 0,5; 0

Quedando 2.5 0.5

2

Aplicando Transformada inversa se llega a qué:

2,5 0,5

Cálculo de la corriente en t=0+

0 0 2,5 0,5 0 0

0 2,5 0,5 2 0

Como era de esperar hasta este momento se cumple la condición de

continuidad en la corriente del inductor

0 0 2

Cálculo de la corriente de la malla 2; de la ecuación 2 se obtiene

2

24

2

22

4 4 5 52

2 2 4 4 5 52

Cancelando las S

2 1 44 5 5

24 1

2

22

2

Cálculo de la corriente en la rama del resistor de 2Ω, aplicando LKC.

2 2,5 0,5

2 2,5 0,5 2,5 0,5

2,5 0,5

Cálculo del voltaje en el capacitor, se ve en el circuito que es el voltaje en la

resistencia de 2Ω, por lo que aplicando ley de Ohm

2 2 2,5 0,5


48

5 1 2

Calculando el voltaje en el capacitor para t=0+

0 5 1 2 0 0

0 5 1 4 0

Como también era de esperar hasta este momento se cumple la condición de

continuidad en el voltaje del capacitor.

Los gráficos de cada una de las variables se muestran en la figura 3.13, es

importante destacar que las dos variables, el voltaje en el capacitor y la

corriente por el inductor son subamortiguada, el circuito es un circuito

subamortiguado.

Ejemplo #2 El circuito de la figura 3.14 estaba en estado estable cuando en t=0 se cierra el

interruptor.

1. Calcule el voltaje v(t) y la corriente i(t) para todo t>0, en el capacitor C1

2. Grafique las expresiones.

3. Analice la respuesta

4. Obtenga el voltaje y la corriente en el otro capacitor C2

5. Aplique la LKV en la malla exterior en el tiempo

0 5 100

1

2

3

0 5 10 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 100

1

2

3

0 5 10 0

2

4

6

Corriente en el Capacitor

Corriente en el Resistor

Corriente en el Inductor

Voltaje en el Capacitor

Fig. 3.13 Corrientes y voltaje para t>0


49

Circuito para t<0 en estado estable a corriente directa, los capacitores se

sustituyen por circuito abierto

El voltaje en el capacitor de C1 es evidente que es cero pues no está conectado

a ninguna fuente inicialmente, no está cargado el capacitor

0 0

Para el voltaje en el capacitor de C2, se puede plantear un divisor de voltaje

013

13

136 3

Calculo del voltaje v(t) y la corriente i(t) para todo t>0, en el capacitor C1 Circuito para todo t>0 o sea circuito en forma operacional COE, figura 3.16

v(t)i(t)

6V +

C2= 1F

C1= 2F

t=0

1/3Ω

1/3Ω 1/3Ω


V(s)I(s)

6/s +

1/s

1/(2s)

t>0

1/3

1/3 1/3

+3/s

1 2 3

0

Fig. 3.16 Circuito Operacional Equivalente COE, para todo t>0

V1 (0-)i(t)

6V +

+

+

t<0

1/3Ω

1/3Ω 1/3Ω

V2 (0-)

Fig. 3.15 Circuito para t<0 en estado estable


50

Aplicando el metodo de los voltajes de nodos se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones. 6

1 3 3 3 3 3 02 3 3 2 3

Resolviendo se llega a que el voltaje del nodo 3 es: 3 23 2

223

Como el voltaje en el capaciotor C1 tiene como fuente de condicion inicial un

voltaje cero, el voltaje en el capacitor es el voltaje en el nodo 3 y la corriente

por esa rama es:

12

2 223

23823

Calculando la transformada inversa de Laplace se optiene la expresion del

voltaje y la corriente en el tiempo, para el voltaje en el capacitor, que es el

voltaje en el nodo 3.

223

3 223

Calculando la transformada inversa de Laplace se obtiene el voltaje en el

capacitor en el tiempo

3 2

Si se evalua para t=0+ se obtiene que

0 3 2 0 1

Se llega a que el voltaje en el caspacitor en cero menos es diferente al voltaje

en el capaciotor en cero mas.

0 0 0 1

No se cumple la condición de continuidad en el voltaje en el capacitor capacitor. Cálculo de la corriente en el tiempo, note que el grado del numerador es igual

al grado del denominador, es una función propia, se debe llevar a impropia,

quedando


51

12

2 223

23823

Note que es una constante mas una fraccion, calculando la transformada

inversa de la constante se obtiene una funcion impulso unitario

283

Aparece una función impulso unitario o delta de Dirack, este efecto aparece por

primera vez de forma matemática, ¿a qué se debe y cual es su interpretación

física?

Ahora si se tiene el voltaje en el tiempo se puesde obtener la corriente

derivando por la expresion.

3 2

Es de notar que se debe derivar como un producto

3 2 23 2

3 2

De donde

2232

3 2

Y por último se tiene que

2232

3 2 283

Grafico de la corriente y el voltaje: Cálculo del voltaje y la corriente en el otro capacitor C2

6 3 23 2

6 3 2 3 23 2

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Voltaje en el CapacitorCorriente en el Capacitor



52

18 12 3 63 2

15 63 2

5 223

3 223

Calculando la transformada inversa de Laplace se obtiene

3 2

Calculando el volataje en cero mas se obtiene:

0 3 2 0

Quedando

0 3 2 5

Si se compara ahora el voltaje en cero mas con el voltaje en cero menos se

obtiene que

0 3 0 5

Tampoco se cumple la condición de continuidad, qué sucede en la corriente?.

Para dar respuesta a esta interrogante se calculará la corriente aplicando la

LKV en el circuito para t>0, figura 3.18

1 3

0

1 3

1 6 3 223

Despejando la corriente se llega a que:

6 3223

V(s)I(s)

6/s +

1/s

1/(2s)

t>0

1/3

1/3 1/3

+3/s

1 2 3

0

I1(s)

Fig. 3.18 Circuito para el cálculo de la corriente por LKV


53

Sacando denominador comun

3 23 2

23

3 2 223

223

24323

Calculando la transformada inversa de Laplace se obtiene

243

Ahora se calculará la corriente en la rama entre el nodo 2 y el nodo 3, i23(t).

Aplicando la LKC en el nodo 3, figura 3.18, se obtiene

0

Despejando y sustituyendo

283

243

Se cancelan los dos impulso unitario o delta de Dirack, quedando 83

43

4

Esto explica el efecto físico que se produce en el circuito, el impulso sólo

aparece en esta malla donde se aplica la LKV, es una malla sólo formada por

una fuente ideal de voltaje, un capacitor el C1, un interruptor (se cierra en t=0) y

otro capacitor C2 que antes de accionar el interruptor está desconectado, o sea

con carga cero, en t=0 se cierra el interruptor, esto hace que se forme una

trayectoria cerrada formada sólo por fuente ideal de voltaje, y dos capacitores;

antes de accionar el interruptor, en t=0- el voltaje en el capacitor C2 es 3 volt, la

fuente es de 6 volt y el voltaje en el capacitor C1 es cero, se cierra el interruptor

y si se mantienen estos voltajes en t=0+, obviamente que no se cumpliría la

LKV en 0+, ¿qué sucede?, tiene que haber una distribución instantanea de

carga entre los dos capacitores de forma tal que se cumpla la LKV, esto sólo se

produce si circula una corriente entre ellos de muy alto valor en un instante, un

impulso unitario, para que haya una transferencia instantanea de carga.


54

Como conclusión siempre que se llegue, al accionar un interruptor, a un circuito

que tenga una trayectoria cerrada formada sólo por capacitores y fuentes

ideales de voltaje, ocurriria una función impulso unitario o delta Dirack en la

corriente.

Este circuito tiene su dual, en un nodo formado sólo por inductores y fuentes

ideales de corriente, lo que en este caso no se cumple es la condición de

continuidad en la corriente de los inductores y aparece una delta de Dirack en

el voltaje, esto explica, en una aplicación, como con una fuente de alrededor de

12 volt de CD, puede saltar un arco de alto voltaje en una bujia de una moto y

dar una chispa que inicie la explosión de la mezcla combustible.

Ejemplo #3 Aplique el método operacional para calcular las corriente por los inductores del

ejemplo de la figura 2.6, considerando tambien las condiciones iniciales cero,

planteando el COE como aparece en la figura 3.19

Aplicando el método de las corrientes de malla

4 2 2 28

4 2 28 20

4 8 2 4 0

10

Despejando el sistema y sustituyendo

8 28

420 10

2 28

4 8 210

4

El sistema de ecuaciones en forma matricial quedaría será

Fig. 3.19 Circuito Operacional Equivalente

20/S +

8/S

S/2

4

2

S/2

10/S

4

2


55

8 28

4

4 8 2

20 102 2

8

104

Resolviendo por determinante se llega a que para la corriente 20 10 2 2

8 410 4 8 2

8 28 4

4 8 2

Para la corriente

8 28 20 10 2 2

8

4 10 4

8 28 4

4 8 2

Si se obtiene el determinante del sistema

∆8 2

84

4 8 2

32 208 2564

El determinante del numerador para la corriente

∆

20 102 2

84

104 8 2

10

24 208 2564

Y el determinante del numerador para la corriente

∆8 2

8 20 102 2

8

410

4

40

12 16

Entonces las corrientes de malla quedarían.

10 24 208 25632 208 256

160 14 12 1632 208 256


56

Noten que el polinomio del denominador es el mismo que la ecuación

característica, como era de esperar, el polo en el origen representa el estimulo

de directa.

Las corrientes por los inductores son:

160 14 12 1632 208 256

10 24 208 25632 208 256

10

Por último se aplica transformada inversa de Laplace y se obtiene el mismo

resultado que por variable de estado.

3.3 RELACIÓN ENTRE LA TRANSFORMADA DE FOURIER Y LA TRANSFORMADA DE

LAPLACE. La transformada de Fourier es un caso particular de la transformada de Laplace

para funciones que están definidas a partir de cero.

La transformada de Fourier es la evaluación de la transformada de Laplace

para puntos sobre el eje imaginario jω, figura 3.20

|

Fig. 3.20 Plano S

jω

σ

Plano S

Capítulo IV Función de red o de sistema

57

4. FUNCIÓN DE RED O FUNCIÓN DE SISTEMA.

Aplicar la transformada de Laplace a los circuitos eléctricos permite definir el

concepto de función de sistema o función de red, este concepto es importante

para estudiar los circuitos de diferentes puntos de vista, permite obtener la

estabilidad, la respuesta de frecuencia, la respuesta a cualquier estímulo y

posibilita obtener circuitos que cumplan determinadas características impuesta

por las necesidades del diseño, es una importante herramienta en la síntesis de redes.

4.1 Definición de función de sistema. Sea un circuito, un sistema o en definitiva una red cualquiera lineal e invariante

en el tiempo LTI, al que se le aplica un estímulo cualquiera f(t) que admite

transformada de Laplace, si el sistema es LTI, se obtiene como respuesta g(t)

que también tendrá transformada de Laplace figura 4.1 A.

Si se aplica transformada de Laplace al estímulo y a la respuesta se obtiene el

estímulo transformado F(s) y la respuesta transformada G(s), figura 4.1 B. Se

define como función de red o de sistema y se denota por H(s) a la razón entre

la respuesta y el estímulo transformado.

4.1.1 Clasificación de la función de sistema. Las funciones de sistemas o de red se clasifican de diferentes formas: en

dependencia de donde se aplique el estímulo y donde se obtenga la

respuesta, se clasifican en locales o de transferencia. En dependencia de

quien sea el estímulo, voltaje o corriente y quien sea la respuesta, voltaje o

corriente se clasifican en admitancia, impedancia, ganancia de voltaje o

ganancia de corriente.

Fig. 4.1 Sistema LTI en el tiempo A) y transformado B)A B

F(s) G(s)H(s)h(t)

f(t) g(t)

++ I1

U1 U2

I2

Fig. 4.2 Sistema Lineal


58

• Función local. Si el estímulo y la respuesta se toman en el mismo par de terminales figura

4.2 la función de sistema se dice que es local o de entrada, en

dependencia de quien sea la respuesta y el estímulo la función del sistema

será impedancia o admitancia, si la respuesta es voltaje y el estímulo es

corriente, es una impedancia local o de entrada. Si la respuesta es

corriente y el estímulo es voltaje es admitancia local o de entrada.

• Función transferencial o función de transferencia. Si el estímulo y la respuesta están en distintos pares de terminales, la

función se dice que es una función de transferencia, el estímulo puede ser

voltaje o corriente y la respuesta puede ser también voltaje o corriente, por

lo que habrá cuatro combinaciones para las funciones de transferencia

figura 4.2.

o Relación de transferencia de voltaje, ganancia de voltaje. El estímulo y la respuesta son voltajes, es una función adimensional es

la relación de transferencia de voltaje o ganancia de voltaje dada por.

o Relación de transferencia de corriente, ganancia de corriente. El estímulo y la respuesta son corrientes, es una función adimensional

es la relación de transferencia de corriente o ganancia de corriente y

se obtiene como.

o Impedancia transferencial. El estímulo es corriente y la respuesta es voltaje, la dimensión es de

impedancia por eso se conoce como relación de impedancia de

transferencia o impedancia transferencial.

o Admitancia transferencial.


59

El estímulo es voltaje y la respuesta es corriente, la dimensión es de

admitancia, se conoce como relación de admitancia de transferencia o

admitancia transferencial y está dada por.

4.1.2 Características de la función de sistema. Sea el circuito de la figura 4.3

En el cual se quiere obtener la función del sistema considerando la fuente de

voltaje e(t) como estímulo y el voltaje en el inductor uL como respuesta. Para

obtener la función del sistema se considerará que las condiciones iníciales son nulas, el circuito operacional equivalente COE es el de la figura 4.4

Aplicando divisor de voltaje se obtiene

Dividiendo entre E(s)

Sustituyendo las impedancias de cada uno de los elementos y trabajando

algebraicamente se llega a que

1

Fig. 4.3 Circuito RLC serie

R

e(t)

u R

L+

i(t)

+C

++

u L

u C

R

E(s)

UR

SL+

I(s)

+1/(SC)

++ UC

UL

Fig. 4.4 Circuito operacional equivalente COE


60

Note, que es la razón entre dos polinomios de coeficientes reales, esta será

una de las características de la función de sistema, siempre será una función

racional a coeficientes reales, una razón de polinomios de raíces reales o

complejas conjugadas.

La forma general de la función del sistema es

Los coeficientes y son reales y positivos

4.2 DIAGRAMA DE POLOS Y CEROS (DPC). Si la función del sistema es una función racional a coeficientes reales o sea es

un polinomio en el numerador entre un polinomio en el denominador, se

pueden obtener las raíces de ambos polinomios, las raíces del numerador

serán los valores que hacen cero a la función por lo tanto son los ceros de la

función del sistema, se conocen también como ceros de transmision, las raíces

del denominador hacen que la función sea infinita, por lo que las raíces del

denominador son los polos de la función del sistema

……

k es el factor de escala y está dado por el coeficiente del término de mayor

grado del numerador entre el coeficiente del término de mayor grado del

denominador.

Si se grafican estas raíces en el plano complejo S, donde el eje horizontal es la

parte real de S (σ), y el eje vertical la parte imaginaria de S (jω), se obtiene la

distribución de polos y ceros de la función del sistema en ese plano complejo,

figura 4.5

Las raíces pueden ser reales o complejas pero si son complejas siempre serán

complejas conjugadas, el factor de escala se pone en la parte superior

derecha o izquierda del diagrama de polos y ceros DPC.


61

El DPC será una cualidad muy importante de los circuitos, conociéndolo se

podrá caracterizar perfectamente al circuito, al sistema. El DPC permitirá

analizar si un sistema es o no estable, obtener la respuesta de frecuencia,

obtener otro sistema equivalente, obtener la forma exacta o aproximada de la

respuesta en el tiempo a cualquier estímulo, etc.

4.3 RESPUESTA AL IMPULSO Sea un sistema de función de sistema conocida H(s), por definición:

Despejando se obtiene que la respuesta del sistema a un estimulo cualquiera

transformado es

Si el estímulo es la función impulso unitario o delta de Dirack

Transformando el estimulo se obtiene

1

Sustituyendo se puede obtener la respuesta como

1

Aplicando transformada de Laplace inversa la respuesta en el tiempo es

Que es la respuesta al impulso del circuito, del sistema, por lo tanto la

respuesta al impulso es la transformada de Laplace inversa de la función del

sistema, si la función del sistema caracteriza al sistema en el plano S. En el

tiempo el sistema estará caracterizado por la respuesta al impulso. La

respuesta al impulso tiene como importancia que se le puede medir a un

X

X

XO

OO

σ

jωk

Fig. 4.5 Diagrama de Polos y Ceros DPC


62

circuito, además que se le puede obtener la respuesta a cualquier estímulo si

se conoce la respuesta al impulso.

4.4 RESPUESTA A CUALQUIER ESTÍMULO. Sea un estímulo cualquiera f(t) y se quiere obtener la respuesta a ese estimulo

en el tiempo, conociendo la respuesta al impulso . La respuesta se obtiene

según:

Aplicando la propiedad de la transformada inversa de un producto se obtiene

el producto de convolución de las transformadas inversas de cada una de las

funciones.

Por lo tanto la respuesta al impulso caracteriza al sistema al igual que la

función de sistema y el diagrama de polos y ceros como ya se había

planteado. De aquí se tiene que la respuesta a cualquier estímulo se puede

obtener como el producto de convolución entre las dos funciones o sea

Si las funciones son causales, la expresión se convierte en

La función de sistema es la transformada de Laplace de la función respuesta al

impulso, ya se vio que si se tenía la respuesta al impulso se podía obtener la

respuesta a cualquier estímulo aplicando la integral de convolución, así se

llega a la conclusión que la respuesta al impulso caracteriza al sistema en el

tiempo como se había planteado.

4.5 CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE SISTEMA. Para calcular la función de un sistema se puede aplicar cualquier método de

análisis de circuitos, mallas, nodos, divisores de voltaje y corriente, etc.

Teniendo un estímulo cualquiera de voltaje o corriente sería plantear el método

de análisis adecuado para obtener la respuesta deseada, esta quedaría en

f(t) g(t)h(t)

Fig. 4.6 Sistema LTI


63

función del estímulo, si la ecuación se divide entre el estímulo, se llega a la

relación respuesta estímulo.

Una forma generar es plantear el método de los voltajes de nodo, este método

da una forma generar de obtener las diferentes funciones de sistema,

conociendo la matriz de las admitancias de nodos.

Sea un circuito cualquiera de N+1 nodos que está estimulado por una fuente

de corriente I1(s) aplicada al nodo 1 y en el nodo N tiene conectada la

admitancia YN, como se indica en la figura 4.7.

Para resolver el circuito se tiene que plantear un sistema de N ecuaciones de

nodo que quedaría de la siguiente forma

00

0

0

El sistema de ecuaciones se puede poner en forma matricial como … … … … … … … … … …

000000

O sea que

Para obtener el voltaje en el nodo N se puede resolver el sistema por

determinantes, planteando que la solución es el determinante de la incógnita

entre el determinante del sistema, quedando

Circuito Operacional YN I1(s)

N 1

N+1

V1(s)

IN(s)

VN(s)

Fig. 4.7 Circuito operacional equivalente de N+1 nodos alimentado con una fuente de corriente


64

… … … … 0 … … 0

… … 0

… … 0

… … … … … … … … … …

Resolviendo el sistema por menores se obtiene que el voltaje es: ∆∆

Donde se puede plantear en forma generar que Δik es el menor que se obtiene

después de eliminar la fila i y la columna k, multiplicado por (-1)i+k . En este

caso particular es ΔiN

Si se quiere obtener un voltaje cualquiera en el nodo i sería ∆∆

Si el estímulo se encuentra en un nodo k cualquiera entonces la forma general

para obtener el voltaje del nodo i, en función de una fuente de corriente de

estímulo en el nodo k, sería ∆∆

4.5.1 Relación de transferencia de voltaje Para obtener la relación de transferencia de voltaje entre el nodo N y el nodo i

se plantea el cociente entre los dos voltajes y se sustituye su expresión,

quedando ∆∆∆∆

Cancelando la corriente y el determinante del sistema se obtiene la relación de

transferencia. ∆∆


65

4.5.2 Impedancia de transferencia Para obtener la impedancia de transferencia entre el nodo 1 y el N, partiendo

de la ecuación ∆∆

Despejando se llega a la impedancia de transferencia:

∆∆

4.5.3 Relación de transferencia de corriente Para obtener la relación de transferencia de corriente entre los nodos 1 y N, se

tiene que la corriente por la rama entre los nodos N y N+1 es

Sustituyendo VN(s) ∆∆

De donde se llega a ∆∆

Se han llegado a formas generales para calcular las relaciones de

transferencias de cualquier tipo, utilizando la matriz admitancia de nodos, de

ahí la importancia de este método en el cálculo de la función de sistema.

4.6 CONDICIÓN DE TRANSMISIÓN SIN DISTORSIÓN. Como se ha visto, cuando una señal pasa a través de un circuito dinámico sus

parámetros son modificados por este, si es una señal (un estímulo) de

corriente alterna, la amplitud y la fase de la señal de salida (respuesta) son

diferentes. Si es una señal cualquiera, se sabe que tiene un espectro que la

caracteriza, ademas un sistema cualquiera tiene siempre una respuesta de

frecuencia. Resulta de interés analizar bajo qué condiciones una señal

cualquiera puede pasar (ser transmitida) sin distorsión a través de un sistema,

o sea que la señal de la salida sea igual que la de entrada en forma, variando

sólo en la amplitud y retardada un tiempo, el que necesita para pasar por el

sistema.

Las distorsiones más frecuentes que puede introducir un sistema son:

• Distorsión de fase


66

• Distorsión de amplitud

• Distorsión no lineal

Interesará solo en este caso el comportamiento de la distorsión de amplitud

Sea el sistema LTI de la figura 4.8

Si se quiere que la señal pase a través del sistema sin distorsión se debe

cumplir que la señal de la salida sea igual a la de entrada, sólo con diferente

amplitud y retardo, la señal de salida sin distorsión sería

Si se aplica transformada de Laplace se obtiene que:

De donde

Y si se tiene la función del sistema se puede obtener la respuesta a cualquier

estímulo

Comparando ambas expresiones se llega a que la función del sistema para

que haya transmisión sin distorsión tiene que ser:

Evaluando para S=jω

Se obtiene la función de sistema en régimen sinusoidal y es la función

compleja:

De donde el módulo es

| |

y el argumento o sea la fase es

Gráficamente en la figura 4.9 se observa como quedaría la respuesta de

frecuencia que tiene que tener un sistema LTI, para que haya transmisión sin

distorsión.

Red f1(t) f2(t)



67

Supóngase que se tiene un sistema ideal que tiene como respuesta de

frecuencia la de la figura 4.10 y una señal con el espectro de amplitud de

entrada de la figura 4.11, donde ωc<ωs

El espectro de amplitud de la señal de salida sería el que se muestra en la

figura 4.12, pues la amplitud de la entrada entre 0 y ωc se multiplica por 1 y

entre ωc y ωS, se multiplica por 0.

Note que a partir de la frecuencia ωc el espectro de salida tiene amplitud 0

Se define como % de Transmisión (% ) sin distorsión a la relación que se

obtiene dividiendo el intervalo de frecuencia común que tiene el ancho de

β(ω)

ω

-Tωω

|H(jω)|

K

Fig. 4.9 Característica ideal de un sistema para que haya condición de transmisión sin distorsión

β(ω)

ω

-Tωω

|H(jω)|

1

ωc

ωc

Fig. 4.10 Respuesta de frecuencia de un sistema ideal (filtro pasa bajo)

ω

|H(jω)|

A

ωc ωS

Fig. 4.11 Espectro de amplitud de una señal de entrada

ω

|H(jω)|

A

ωc ωS

Fig. 4.12 Espectro de amplitud de la salida


68

banda del espectro de la señal de entrada y el ancho de banda del sistema,

entre el ancho de banda de la señal de entrada, multiplicado por 100,

formalmente es:

En el ejemplo sería

% 100%

4.6.1 Circuitos diferenciadores e integradores. Circuito diferenciador.

Si se aplica transformada de Laplace

La función del sistema sería

De donde

Gráficamente la respuesta de frecuencia del sistema diferenciador, sería

Ejemplo Obtenga la relación de transferencia del circuito de la figura 4.14 y analice su

comportamiento

Aplicando divisor de voltaje y considerando τ=RC

%Tx = 100 Ancho de Banda de la señal

Ancho de Banda Común

β(ω)

ω

π/2

ω

|H(jω)|

K

Fig. 4.13 Respuesta de frecuencia de diferenciador

RC

Fig. 4.14 Circuito RC


69

1 1

1

La respuesta de frecuencia es

Si , entonces y se comporta como un diferenciador

Si , entonces 1 se comporta como un circuito que transmite sin

distorsión

Circuito integrador La expresión analítica de un integrador es

Si se aplica transformada de Laplace y si las condiciones iníciales son nulas.

La función del sistema sería

De donde

Gráficamente se muestra el espectro de amplitud y fase en la figura 4.16

Propuesto Del circuito de la figura 4.17

β(ω)

ω

π/2

ω

|H(jω)|

1 0,7 π/4

1/τ1/τ

Fig. 4.15 de frecuencia del circuito

β(ω)

ω -π/2ω

|H(jω)|

Fig. 4.16 Integrador


70

a) Obtenga la función del sistema

b) Obtenga la característica de frecuencia

c) Analice en que intervalo de frecuencia transmite sin distorsión y en cual

es un integrador.

4.7 ESTABILIDAD Existen diferentes formas de definir la estabilidad de un sistema y diferentes

criterios para determinarla.

Definición.

• Un sistema es estable si a todo estímulo acotado la respuesta es también

acotada

• Otra definición es la de Lyapunov que plantea que un sistema es estable si

estando en su estado de equilibrio se le aplica una perturbación que

desaparece, si después de desaparecer la perturbación, la red con el

tiempo tiende de nuevo a su estado de equilibrio, el sistema es estable.

Criterios para definir si un sistema es estable:

Criterio basado en la respuesta al impulso:

Un sistema es estable si

| | ∞

O sea es una integral convergente.

Demostración:

Se puede obtener la respuesta del sistema teniendo la respuesta al impulso

Si el estímulo es acotado se cumple que existe un cierto valor M donde su

módulo se encuentra siempre menor que ese valor

| |

Para que el sistema sea estable tiene que cumplirse también

Fig. 4.17 del circuito propuesto

R C


71

| |

Entonces

| | | |

Se puede plantear que

| | | || |

Y el estimulo desplazado sigue siendo,

| | | | | |

Por lo tanto para que la respuesta sea acotada, basta con que la integral del

modulo de la respuesta al impulso sea acotada, convergente.

| | ∞

Otro criterio muy utilizado es que un sistema es estable si todos los polos

están en el semiplano izquierdo sin incluir el eje imaginario.

4.8 RESPUESTA APROXIMADA EN EL TIEMPO A continuación se verá una tabla donde aparecen las funciones en el tiempo,

su transformada de Laplace y el DPC, se puede observar que conociendo el

DPC se puede obtener una forma aproximada de la función en el tiempo, sin

evaluar las constantes


72

Tabla para algunas transformada de Laplace y su diagrama de polos y ceros

f(t) F(S) Diagrama de Polos y Ceros

Función en el tiempo Función Transformada

μ(t) 1

A μ(t)

δ(t) 1

e-atμ(t) 1

Sen(ω0t) μ(t) ω

e-atSen(ω0t) μ(t) ω

Cos(ω0t) μ(t)

e-atCos(ωt) μ(t)

Senh(at) μ(t)

Cosh(at) μ(t)

σ

jω

X

X o

-jω0

jω0

X -a σ

jω

X a

jω

σ X

σ jω A

X

σ

jω

X -a

σ

jω X

X -jω0

jω0

σ

jω X

X -a

-jω0

jω0

σ

jω X

X o

-a -jω0

jω0

X -a

σ

jω

X a

0


73

Es de notar que si la función es decreciente, su transformada tiene los polos

en el semiplano izquierdo y que existe una relación entre el diagrama de polos

y ceros y la función en el tiempo, por ejemplo si se tiene un polo real en el SPI

se puede decir que la función en el tiempo es una exponencial decreciente y

así, analizando los polos se puede predecir cuál es la forma de la función en el

tiempo.

Ejemplo, si se tiene el siguiente diagrama de polos y ceros que pertenece a

una función de sistema se puede obtener la forma aproximada de la respuesta

al impulso en el tiempo por:

Obviamente la función tendría como forma general

O lo que equivalente

2

Para calcular la transformada inversa de Laplace lo que se haría sería

descomponer en fracciones simples, quedando

2

La transformada inversa estaría compuesta por dos términos, uno relativo al

polo real y otro relativo al par de polos complejos conjugados, por lo que se

concluye, observando la tabla de los diagramas de polos y ceros, que la

función debe estar compuesta por una exponencial producto del polo real más

un seno o un coseno, solo se necesitaría encontrar los valores de las

constantes, se puede asegurar que la respuesta sería aproximadamente

σ

jω

X

X

-a

-jω0

jω0

-bX

Fig. 4.18 Diagrama de polos y ceros DPC de un sistema


74

Quedaría solo evaluar las constantes, por lo que con el diagrama de polos y

ceros se puede tener la forma aproximada de la función en el tiempo que le da

origen, se tiene una forma aproximada de la función h(t) en el tiempo para este

caso.

Ahora si se tiene de un sistema su función de sistema H(s), se puede obtener

su DPC y se sabe que la respuesta de un sistema transformado es el estimulo

transformado por su función del sistema, por lo que la respuesta tendrá los

polos y ceros de la función de sistema y los polos y ceros del estímulo.

Si el diagrama de polos y ceros del ejemplo anterior pertenece a un sistema al

que se le aplica un estimulo constante de valor K, entonces el diagrama de

polos y ceros de la respuesta será la superposición del DPC del estímulo con

el DPC de la función del sistema

Es obvio que se pueda obtener la expresión aproximada de la respuesta del

sistema a ese estímulo dado que

2

Por cada sumando habrá un término y la respuesta será

Un término relativo a la constante en el origen, más un término relativo al polo

real y otro término relativo al par complejo conjugado.

4.9 RESPUESTA DE FRECUENCIA EN FORMA APROXIMADA. 4.9.1 Función de sistema en régimen sinusoidal. Se definió el concepto de función de sistema para un sistema lineal al que se

le aplica un estímulo cualquiera f(t) para obtener una respuesta g(t).

Fig. 4.19 del sistema y la respuesta un sistema

σ

jω

X

K

σ

jω

X

X

-a

-jω0

jω0

-bX

B

σ

jω

X

X

-a

-jω0

jω0

-bX X

FE=kB


75

Si se aplica transformada

Ahora si el estímulo es una función sinusoidal figura 3.40

Se puede aplicar el método fasorial y se tendrá

La razón respuesta estímulo en forma fasorial, para la sinusoide de una

frecuencia sería

Donde la razón entre las amplitudes de la respuesta entre el estímulo es el

módulo M

|

y la diferencia entre la fase de la respuesta y la del estímulo es la fase ψ

Si al mismo sistema se le obtiene la función del sistema y luego se evalúa para

S= jω

Se obtiene lo que se conoce como función del sistema en régimen sinusoidal

|

Esta función representa el comportamiento del sistema a una frecuencia, si se

compara con la relación fasorial respuesta estímulo para un estímulo

sinusoidal

h(t)f(t) g(t)

Fig. 4.20 lineal en el tiempo

F(s) G(s)H(s)

Fig. 4.21 lineal transformado

f(t)= Fmcos(ωt+ψf) g(t)=Gmcos(ωt+ψg)

Fig. 4.22 El sistema debe estar en las frecuencia H(jω)

Fig. 4.23 Sistema a corriente alterna

F G


76

| |

La función de sistema en régimen sinusoidal es una función compleja que

tendrá un módulo y un ángulo

| |

Es la misma expresión a que se llegó anteriormente, de forma que el módulo

de la función del sistema es el cociente entre las amplitudes de la respuesta y

la del estímulo y la fase es la diferencia de fase entre la respuesta y el

estímulo

| |

Despejando se puede obtener la respuesta a cualquier estímulo sinusoidal si

se tiene la función del sistema, de ahí se nota la importancia de la función de

sistema en régimen sinusoidal

4.9.2 Respuesta de frecuencia.

Si se hace variar ω y se obtienen los gráficos de la variación del módulo de

|H(jω)| y de la fase Ψ al variar la frecuencia se obtiene lo que se conoce como

la respuesta de frecuencia del sistema o característica de frecuencia CFr,

siendo :

La característica de amplitud o la característica amplitud frecuencia CAFr del

sistema el gráfico de

| |

y la característica de fase o la característica fase frecuencia CFFr del sistema

al gráfico de

ψ ω

Estos gráficos se pueden obtener de diferentes formas, una es dándole

valores a la frecuencia y obteniendo el valor de la amplitud y de la fase, existen

múltiples programas de computación que se encargan de esto. Pero existe una

forma aproximada muy rápida de obtener la respuesta de frecuencia basada

en el diagrama de polos y ceros.

4.9.3 Respuesta de frecuencia en forma aproximada. Si se tiene la función del sistema en función de sus raíces y su diagrama de

polos y ceros


77

……

Representando uno cualquiera de los ceros de la función figura 4.24

Obteniendo la función del sistema en régimen sinusoidal

……

En el cero representado se puede sustituir también S por jω y seleccionando

un valor de frecuencia, un punto jωo en el eje de las frecuencias, se pueden

representar el cero y el punto por sus vectores de posición figura 4.25

Sumando los vectores se obtiene

Pero

Entonces

Sustituyendo V1 y V2 por sus iguales se llega a la expresión del cero

haciendo ω=ωo

Si se obtiene el módulo de la función de sistema en régimen sinusoidal sería

σ

jωko(S-S01)

Fig. 4.24 de polos y ceros DPC de un cero simple

σ

jωko

(jω -S0i)

jωοV3

V1V2

Fig. 4.25 Diagrama de polos y ceros DPC, representando por sus vectores el cero y el punto jω0


78

| || || | … | || || | … | |

Y la fase, el ángulo o el argumento (Arg.) sería

arg arg arg

arg … arg

Para cada cero Soi, considerando que es complejo

El módulo sería

| |

y el ángulo

tan

Por lo que se puede resumir para el módulo de la función de sistema que

| | | | ó ó

Y para la fase se hace a través del argumento de cada uno de los factores

(Arg) o sea el ángulo de cada término

K es una constante que puede ser positiva ángulo cero o negativa ángulo π

El vector V3 tiene módulo y ángulo

Si se halla el módulo y el ángulo del vector V3, el módulo es la distancia del

cero al punto jωo e igual a la expresión

| |

Y el ángulo del vector es el ángulo que forma el vector con la horizontal (eje

real), es el argumento de cada cero.

Se puede concluir que para todos los ceros y los polos es lo mismo salvo que

el ángulo de cada polo esta multiplicado por -1 por estar en el denominador

Se pude formular una expresión general para el módulo y el argumento de la

función del sistema en términos de las distancias y los ángulos de los vectores.


79

| | | |

Y la fase o el argumento de la función del sistema

á

á

Si la frecuencia en vez de ser ωo se hace variar desde cero hasta infinito, se

puede obtener el comportamiento con la frecuencia del sistema, la respuesta

de frecuencia de una forma aproximada pero muy útil.

Ejemplo 1 Sea el circuito de la figura 3.44, obtenga considerando U2 como respuesta y U1

como estímulo

y donde L=2H, R1=4Ω y R=2Ω

a) La función del sistema.

b) la respuesta de frecuencia en forma aproximada.

Aplicando divisor de voltaje

Resolviendo algebraicamente.

Entonces 23

El diagrama de polos y ceros es el mostrado en la figura 4.27, note que si se

hace tender s al infinito por un proceso de límite, el valor que se obtiene es

constante, se puede decir que en el infinito hay una constante.

R

+

U2

+

LS

U1

R1

Fig. 4.26 Ejemplo


80

Para obtener los valores del módulo y la fase se evalúa para algunos puntos

importantes como son el cero y el infinito.

Para ω=0, el origen de coordenadas, se tiene que los vectores para el polo y

el cero están dirigidos del polo y el cero hacia el origen, como se indica en la

figura.

La distancia del cero al origen es 2 y la del polo al origen es 3 por lo tanto el

Módulo es

0

23

Los ángulos de cada uno de los vectores son cero por lo que

0 Suma de arg arg 0 0 0

La fase parte de cero cuando la frecuencia ω=0, pero no se sabe si aumenta o

disminuye.

Fig. 4.27 Diagrama de polos y ceros DPC

σ

jω k=1

-2

-3

σ

jωk=1

Fig. 4.28 hacia el origen

-2

-3

H(jω)

ω2/3

Fig. 4.29 Módulo para ω=0


81

Analizando el comportamiento cuando la frecuencia tiende a infinito ω→∞, se

tiene el siguiente diagrama de polos y ceros

La distancia del cero al infinito es infinito y la del polo al infinito también es

infinito por lo que son iguales y muy grande, por lo tanto, el cociente es uno

∞ 1

Los ángulos son para el cero π/2 y para el polo π/2 también, entonces:

∞ Suma de arg arg 0

El valor de la fase parte de cero y tiende a cero, no se sabe si por valores

positivos o negativos, entonces se analiza un punto a una frecuencia

intermedia ωo. Evaluando la fase para ese punto

ω

ArgH(jω)

Fig. 4.30 Argumento para ω=0

σ

jωk=1

Fig. 4.31 Diagrama para ω →∞

H(j ω)

ω

1

2/3 ω

ArgH(jω)

Fig. 4.32 de amplitud y fase para ω=0 y ω→∞


82

Suma de arg arg 0

Porque el ángulo del cero es mayor que el del polo como se observa en la

figura 4.33

La amplitud va desde el valor inicial al valor final en forma monótona y la fase

desde el valor inicial al valor final, pero como son iguales hubo que definir si

iba por arriba o por debajo, se hizo analizando un punto intermedio, quedando

el grafico como se indica en la figura 4.34

Ejemplo 2 Sea el circuito de la figura 4.35 obtenga considerando U2 como respuesta y U1

como estímulo. Siendo R=4Ω y C= (1/8) F

a) La función del sistema.

b) La respuesta de frecuencia.

Aplicando divisor de voltaje se llega a:

R

+

U2

+

1/(SC)U1

Fig. 4.35 Circuito del ejemplo 2

σ

jωk=1

jωο

Fig. 4.33 Analizando un punto intermedio ω=ω0

H(jω)

ω2/3

1

ω

ArgH(jω)

Fig. 4.34 Grafico de amplitud y fase contra frecuencia


83

1

1

Resolviendo 1

1

Sustituyendo los valores 22

El diagrama de polos y ceros (DPC) es con un polo en -2, si se hace tender s

al infinito se obtiene que en el limite el valor que se obtiene es 1, en el infinito

hay una constante.

Evaluando para ω=0, la distancia del polo al origen es 2 y el factor de escala

también por lo que el módulo es 1, en la figura 4.36 aparece el vector de

posición.

Evaluando para ω tendiendo a infinito, la distancia tiende a infinito y el módulo

tiende a cero y la fase tiende a , en la figura 4.37 se observa el

vector de posición, tiene un ángulo de pero por ser relativo a un

polo debe tener signo negativo.

El gráfico de amplitud y el de fase contra frecuencia aparece en la figura 3.56.

k=2

σ

jω

Fig. 4.37 Evaluación para ω→∞

Fig. 4.36 Evaluación para ω=0

σ

jω

k=2

-2


84

Es de notar que cuando la señal tiene una frecuencia cercana a cero, la

función del sistema vale casi 1 por lo que pasa casi sin que su amplitud se

afecte, pero a medida que aumenta la frecuencia, la amplitud de la señal de

entrada se afecta por un valor más pequeño, incluso cuando la frecuencia es

muy alta el valor es prácticamente cero. Las señales de baja frecuencia pasan

con la amplitud menos afectadas que las de frecuencias altas, este tipo de

circuito se conoce como filtro pasa bajo.

Ejemplo 3. Obtenga la forma aproximada de la respuesta de frecuencia de un circuito con

la función de sistema impedancia local siguiente

4

Esta función tiene ceros complejos conjugados en ±j2 y un polo en el origen, si

se le aplica limite y se hace tender s al infinito, se tiene que H(s) tiende

también al infinito, por lo que se puede decir que también tiene un polo en el

infinito pues el grado del numerador es mayor que el grado del denominador,

aunque no se representa, en la figura 4.39 se tiene el DPC.

Para ω=0 se tiene

H(jω)

ω

1 ω ArgH(jω)

−π/2

Fig. 4.38 Respuesta de frecuencia

Fig. 4.39 DPC para la función del sistema

σ

jωk=1

X

O

O-j2

j2


85

El módulo será el producto de las distancias de los ceros entre el producto de

las distancias de los polos al origen, hay un solo polo y está en el origen, la

distancia del al origen es cero, entonces

02 20 ∞

La amplitud, el módulo parte de infinito, para la fase, no se puede analizar el

origen porque un vector (el del polo) que no tiene módulo, no tiene un ángulo

definido, entonces lo que se hace es analizar el punto ω+Δω, ampliando el eje

de imaginario se obtiene el gráfico de la figura 4.41, en este grafico se puede

representar los vectores de las singularidades (los polos y ceros) al punto

ω+Δω

El módulo no debe variar sin embargo se observa el vector del polo al punto

ω+Δω que tiene un ángulo de , quedando la fase

ψ 2 2 2 2

Si se observa el comportamiento de los vectores de los polos y ceros para

valores de frecuencia 0<ω< 2, su módulo varia pero su ángulo se mantienen

constante en todo ese intervalo igual a

Fig. 4.40 DPC para ω=0

σ

jωk=1

X

O

O-j2

j2

Fig. 4.41 DPC con el eje jω ampliado

σ

jω

k=1

X

O

O-j2

j2

ω+Δω


86

Analizando para el infinito se tiene que los tres vectores tienen amplitud

infinita, para los ceros d1 y d2 y para el polo d3 quedando el gráfico de la figura

4.42 y la amplitud y la fase de la siguiente forma

∞ ∞ ψ2 2 2 2

Los vectores de los polos y ceros para el intervalo de frecuencia 2<ω<∞

cambian en módulo pero mantienen el mismo ángulo por lo que la fase se

mantiene constante e igual a en todo el intervalo.

Si se analice el comportamiento de la amplitud para el punto de frecuencia

ω=2, se tiene que en ese punto hay un cero, la distancia del cero al punto es 2,

el módulo de la función es 0, o sea.

20

0

La fase en ese punto no está definida, pero un poco antes de 2 es y un

poco después es entonces se puede concluir que se produce un salto

brusco en la fase de π radianes. Los gráficos de amplitud y fase contra

frecuencia serán los que se indican en la figura 4.43

La función del sistema es impedancia, se puede hacer un análisis físico del

comportamiento de la respuesta de frecuencia, los polos y ceros están en el

Fig. 4.42 DPC para ω→∞

σ

jωk=1

X

O

O-j2

j2

ω

|H(jω)|

0 2 o X X

Fig. 4.43 Característica de frecuencia

2

ω

ψ(ω)

0 2 o X X

2


87

eje imaginario, el circuito en este caso es LC, hay un polo en el origen o sea

un valor infinito de la impedancia, un circuito abierto y el origen es frecuencia

cero o sea corriente directa, por lo tanto se comporta como un capacitor y se

mantiene siendo capacitivo, fase constante y de hasta la frecuencia ω=2,

que ocurre un cero de la impedancia, un corto circuito, producto a una

resonancia serie LC, la fase cambia después de la resonancia a o sea el

circuito se convierte en inductivo, la frecuencia aumenta y se sigue

manteniendo inductivo y en el infinito, muy alta frecuencia, el inductor se

comporta como un circuito abierto, hay un polo.

Se puede generalizar el concepto y decir que cuando hay un cero en el eje

imaginario el módulo vale cero y se produce un salto brusco en la fase de π

radianes, si existiera un polo en el eje imaginario, existiría un valor infinito para

el módulo y un salto brusco en la fase de –π radianes.

4.10 DIAGRAMA DE FLUJO. 4.10.1 Definiciones fundamentales. Considere un sistema lineal representado en la figura 4.44, donde el estimulo

es X, la respuesta es Z y el sistema está caracterizado por A

Este sistema se puede representar por la función lineal.

Z = AX

Donde la respuesta es la variable dependiente Z, el estímulo la variable

independiente X y A la función del sistema o constante de proporcionalidad

entre la entrada y la salida como se mencionó anteriormente. Este sistema se

puede representar a través del esquema de la figura 4.45.

Donde el sentido de la flecha indica cual es la entrada y cuál es la salida del

sistema, el extremo izquierdo es el nodo de partida, el extremo derecho el

Azx

Fig. 4.45 Representación esquemática de un sistema LTI


A X Z


88

nodo de llegada, la línea entre x y z se nombrará rama y la constante de

proporcionalidad el peso de la rama.

Así si se tiene un sistema lineal más complejo como se representa en la figura

4.46:

Se puede representar por el diagrama topológico de la figura 4.47, indicando

el sentido del flujo de la señal en cada una de las partes del sistema. Este

gráfico con estas características se conoce como grafo orientado, orgrafo o

diagrama de flujo del sistema. Se debe notar que es semejante al diagrama

topológico del circuito:

Basado en este grafo orientado se darán un grupo de definiciones importantes

LAZO - Cuando el inicio y el fin de una rama es el mismo nodo. Ej.

En el nodo 4

CAMINO - Es un conjunto de ramas consecutivas orientadas en el mismo

sentido, cada camino tiene un nodo inicial y un nodo final.

Ejemplos

1, 2, 3,4;

1, 2,3;

2, 3,4;

3, 4,2

PESO DEL CAMINO - Es el producto de los pesos de todas las ramas que

componen el camino.

Ejemplos

1, 2, 3,4; peso del camino=P1*P4*P6

Fig. 4.46 Sistema lineal complejo

1 2 3 4

P2

P1

P3

P4

P5

P6

P7

1 2 34

Fig. 4.47 Grafo orientado del sistema LTI

P7 P6

P5

P4

P3

P2

P1


89

1, 2,3; peso del camino=P1*P4

2, 3,4; peso del camino=P4*P6

3, 4,2 peso del camino=P6*P5

CONTORNO - Es un camino donde el nodo inicial y el nodo final coinciden.

Ejemplos

1, 2,1;

1, 3, 4, 2,1;

2, 3, 4,2.

PESO DEL CONTORNO - Es el producto de los pesos de todas las ramas que

componen el contorno multiplicada por menos uno (-1).

1, 2,1; peso del contorno= -P1*P2

1, 3, 4, 2,1; peso del contorno= -P1*P4*P6*P5* P2

2, 3, 4,2. peso del contorno= -P4*P6* P5

4.10.2 Grafo orientado de un circuito eléctrico. Sea un circuito de n+1 nodos donde, entre cada par de nodos hay conectada

una admitancia, siendo 1 el nodo de entrada, n el último nodo y cero (0) el

nodo de referencia. De este circuito se representa una sección en la figura

4.48, suponga que existen admitancias conectadas entre cada par de nodos.

Si se aplica el método de los voltajes de nodo con respecto al nodo común

cero y suponiendo que el estímulo es una fuente ideal de voltaje aplicada al

nodo de entrada 1, se obtendría el sistema de ecuaciones de nodos expresado

de la siguiente forma.

Fig. 4.48 Sección de un circuito donde se representan las conexiones entre el nodo 1 y el resto de los nodos

2

3

i

n

Y2

1 Y3

Yi

Yn


90

00

0

0

Despejando en la ecuación 1 el voltaje de nodo U1, en la ecuación 2 el voltaje

U2 y así sucesivamente se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente

Cualquiera de las ecuaciones de este sistema tiene la forma general

Las ecuaciones que forman el sistema son combinaciones lineales donde cada

término de cada ecuación se puede representar gráficamente como

Donde la rama parte del nodo k y llega al nodo i y el peso de la rama es , si

dos nodos no están conectados la admitancia que los une es cero porque la

rama no existe o sea tiene admitancia cero. Analizando la ecuación i se

observa que todos los términos que la componen llegan al nodo i y están

divididos por la admitancia propia del nodo i, gráficamente se puede

representar la ecuación i por una suma de ramas que parten de cada nodo y

llegan al nodo i, con peso la admitancia de la rama entre la admitancia propia

del nodo i, Yii, como aparece en la figura 4.49

ikYik /Yii

Fig. 3.67 Un sumando de cualquier ecuación


91

Note que se ha llegado a una representación gráfica de cada una de las

ecuaciones del método de los voltajes de nodos. Pudiera representarse la

ecuación también como un gráfico donde se le asocie al nodo i un peso

equivalente a la admitancia propia del nodo y la rama sólo con peso dado por

la admitancia común entre la rama k y la i o sea la admitancia propia de la

rama, usando como representación esquemática para un nodo que tenga

como peso su admitancia propia, un circulo con el número del nodo dentro, si

el nodo tuviera peso 1 se utiliza un punto, después se analizará este caso. En

la figura 4.50 se hace esta nueva representación.

Es de notar que en el sistema de ecuaciones no aparece el nodo cero, tomado

como referencia como es lógico, y la ecuación del nodo 1 es U1= E(s), por lo

tanto no hay ramas que entren a ese nodo y la admitancia propia de este nodo

de fuente es 1. Se puede generalizar como conclusión importante:

• Existen nodos de fuente de voltaje y nodos que no son de fuentes.

• De los nodos de fuente de voltaje sólo salen ramas y su peso siempre es 1,

se representaran como un punto.

1 Yi1 /Yii

2

k

n

i

Yi2 /Yii

Yik /Yii

Yin /Yii

Fig. 4.49 Esquema de las ramas que llegan al nodo i

1Yi1

2

k

n

i

Yi2

Yik

Yin

Fig. 4.50 Nodo, asociándole un peso al nodo i


92

• De los nodos que no son de fuente, entran y salen ramas, y el peso del

nodo es el de la admitancia propia del nodo, se representaran como un

círculo con el número del nodo dentro.

• El peso de cada rama es el de la admitancia propia de la rama.

Estas conclusiones permitirán expresar el sistema de ecuaciones de nodo de

una forma gráfica, fácil, rápida y eficiente, utilizando lo que se conoce como

diagrama de flujo del circuito

4.10.3 Fuente de voltaje dependiente de voltaje. Representación Si se tiene una fuente de voltaje dependiente de voltaje de ecuación

Donde UK y UL son los voltajes de los nodos Ly K con respecto al nodo común

de los cuales depende la fuente figura 4.51.

Se puede obtener un diagrama equivalente de esta fuente dependiente, puesto

que es una combinación lineal, el esquema será el de la figura 4.52, donde L y

K son los nodos de la magnitud que controla la fuente dependiente, se debe

notar que la fuente tiene uno de los nodos a tierra, y el otro, el i es un nodo de

peso uno y en este caso las ramas que representan a la magnitud que controla

a la fuente va dirigida de los nodos de control hacia el nodo de fuente, este tipo

de rama es la única que entra a un nodo de fuente.

4.10.4 Relación de transferencia de voltaje. Formula de Mason Si se tiene un circuito con 5 nodos como el de la figura 4.53 numerados los

nodos desde el 0 al 4, siendo el nodo 0 el de referencia, el nodo 1 del estímulo

(fuente de voltaje) y el nodo 4 el de la respuesta.

Fig. 4.52 Esquema equivalente de una fuente de voltaje dependiente de voltaje.

A

I-Ak

L

Fig. 4.51 Esquema para representar una fuente de voltaje dependiente de voltaje

K

L

A(UL –UK )+I


93

Fig. 4.53 Circuito de ejemplo

+ E(s)

0

1 3 4

2

El sistema de ecuaciones será:

000

Si se resuelve el sistema de ecuaciones para obtener la relación de

transferencia de voltaje, se obtiene

Aplicando las conclusiones que se plantearon anteriormente, se hará un grafo

orientado que represente al sistema de ecuaciones de nodo, para ello se hará

el esquema de los nodos diferenciando los de fuentes de voltajes de los que

no lo son y sin representar el nodo común figura 4.54.

Ahora se deben unir los nodos con las ramas, si los nodos son de fuentes solo

salen ramas y si no lo son, entonces entran y salen ramas. El nodo 1 es de

fuente, por lo que salen ramas del nodo hacia los nodos 2, 3 y 4, por último

habrán ramas entre los nodos 2, 3 y 4, en ambos sentidos, si los nodos no

tienen rama común, el peso de la rama sería cero, pero se puede poner la

conexión figura 4.55.

Fig. 4.54 Esquema de los nodos del circuito sin el nodo común

2

3

41


94

Si se tiene este grafo, este diagrama de flujo, se puede obtener directamente

el sistema de ecuaciones de nodo, ahora si se utiliza la formula de Mason se

puede obtener directamente la relación de transferencia de voltaje.

Formula de Mason Se define como fórmula de Mason y se aplica a cualquier sistema lineal a la

siguiente expresión.

í∑ ∆

∆

Donde el denominador Δ es el determinante del sistema que se obtiene del

diagrama de flujo o sea del grafo orientado a través de la expresión:

∆ ,

,

Donde cada uno de los sumandos se define como

… …

Es la sumatoria desde j=1 hasta K1 de todos los contornos simples

multiplicado cada contorno por el producto de las admitancias de todos los

nodos (peso del nodo), que no pertenece al contorno y

,

,

… …

Es la sumatoria desde j=1 y r=1 hasta k2 de las parejas de todos los contornos

que no tienen ningún elemento en común, no se interceptan, se multiplica cada

pareja de contornos por el producto de las admitancias de todos los nodos

(peso del nodo), que no pertenecen a ninguno de los dos contornos de la

2

1

3

4

Fig. 4.55 Esquema equivalente del circuito, grafo orientado.


95

pareja, así se realiza para los tríos, cuartetos, etc. y el numerador de la

expresión de .

∆

Se obtiene como la suma de todos los pesos de los n1 caminos principales o

sea caminos que existen para ir desde el nodo de entrada hasta el nodo de

salida, multiplicado cada peso de cada camino por el determinante del

subgrafo que se obtienen después de eliminar todos los elementos del camino.

∆ ∆ ∆ ∆

Aplicado este criterio para el ejemplo de la figura, para obtener la relación de

transferencia de voltaje, en la figura 4.56 se han representado todos los

contornos posibles.

Se obtiene para el denominador: el producto de las admitancias de todos los

nodos

Y22Y33Y44

Sumatoria de todos los pesos de los contornos simples por el producto de

todas las admitancias de los nodos que no pertenecen al contorno.

Para el contorno 242 (-1)Y24Y42Y33





2

1

3

4

Fig. 4.56 Contornos del grafo orientado.


96

En la figura 4.57 aparecen representados todos los caminos principales

posibles

Para el numerador se obtiene:

Para el camino 124, se tendrá un subgrafo formado sólo por el nodo 3 por lo

tanto el término será

Y21Y42Y33

Para el camino 134 se tendrá como subgrafo el nodo 2

Y31Y43Y22

Para el camino 14, se tendrá el subgrafo de la figura 4.58 y el término

La ecuación será

Y41(Y22Y33 - Y23Y32)

Para el camino 1234

Y21Y32Y43

y por último para el camino 1324

Y31Y23Y42

La relación de transferencia quedará

2

1

3

4

Fig. 4.57 Caminos principales del grafo orientado.

2

3Fig. 4.58 Sub grafo orientado después

de eliminar el camino 14.


97

Que es exactamente la misma expresión que se obtiene resolviendo el

determinante del sistema por lo que la forma de Mason sirve para obtener

relaciones de transferencia de voltaje en circuitos eléctricos, para obtener

cualquier otra relación también es aplicable solo haciéndole algunas

adecuaciones.

4.10.5 Admitancia de entrada. La admitancia de entrada se obtendría como la corriente que suministra la

fuente de voltaje entre el voltaje de la fuente

y la corriente I1 es la suma de todas las corrientes de las ramas que salen del

nodo de la fuente, aplicando ley de Kirchhoff de corriente, para el cálculo de la

corriente de cada una de las ramas se puede aplicar la ley de Ohm, por lo que

quedaría:

Sacando factor común U1 y pasándolo dividiendo para el lado izquierdo se

obtiene la admitancia de la entrada Y1 según

1

Donde M es el número de ramas conectadas al nodo 1.

4.10.6 Relación de transferencia de corriente. Para la relación de transferencia de corriente entre la corriente de la salida en

el nodo n y la corriente que suministra la fuente.

La corriente In es la corriente por la admitancia de carga Yn que se puede

obtener como

La corriente de la entrada se puede obtener como


98

Entonces se tendrá que:

∑

Sacando factor común en el denominador U1(s)

∑ 1

Se llega a:

∑ 1

Donde Yn es la admitancia por donde circula la corriente In.

4.10.7 Formula de Mason para circuitos con amplificadores operacionales Si el sistema es un sistema activo con amplificadores operacionales como el

de la figura 4.59.

El circuito equivalente del amplificador operacional es una fuente de voltaje

dependiente de voltaje semejante a la que ya se vio en la figura 4.52 y que

tiene como diagrama de flujo equivalente el de la figura 4.60:

Pero el amplificador operacional es un amplificador de ganancia muy grande,

idealmente infinita por lo que A sería muy grande o se puede considerar que

tiende a infinito (A→∞), en el siguiente ejemplo se verá la forma de aplicar la

formula de Mason en circuitos activos con amplificadores operacionales.

Ejemplo 1 Obtenga la relación de transferencia de voltaje del circuito que se muestra en

la figura 4.61

+

-

j

i

kFig. 4.59 Amplificador operacional.

A

i -A k

j

Fig. 4.60 Diagrama de flujo del amplificador operacional.


99

El grafo del sistema será el mostrado en la figura 4.62

La admitancia de cada nodo será:

Y11 = 1

Y22 = Y1 + Y2 + Y3

Y33 = Y3 + Y4

Y44 = G1 + G2

Y55 = 1

Los contornos simples son: 232, 454 y 2352

Los pares de contornos que no se interceptan son (232)(454)

Se tiene un solo camino principal, el 1235 y que da como subgrafo después de

eliminar todos los elementos del camino, el nodo 4.

La relación de transferencia de voltaje se puede plantear directamente

aplicando la formula de Mason como

1 1 1 1 1

Como la ganancia A tiende a ser infinito, si se aplica un proceso de límite sólo

permanecen los términos que tienen A en el denominador, ya que los infinitos

+-

Y 1

Y 4

Y 3

Y 2

G 1

G 2

+ U 1

1 2 5

4

Fig. 4.61 Circuito activo con una fuente de voltaje controlada por voltaje ideal, con un amplificador operacional.

21 3

4

5A

Y2

G1

-A

Y3

Y3

Y1

Fig. 4.62 Grafo orientado del circuito


100

de menor orden y las constantes se desprecian de forma que la expresión

quedaría.

1 1 1 1

Sacando A factor común en el denominador se obtiene:

Solo quedaría sustituir las admitancias de los nodos por su expresión y

procesar.

Se puede sacar como conclusión que cuando el circuito tiene amplificadores

operacionales, en la relación de transferencia de voltaje, la ganancia sólo se

consideran los términos que tienen tantas A como amplificadores

operacionales tenga el circuito. Esto hace que el planteamiento de la función

sea muy fácil y rápido.

Ejemplo 2. En el circuito de la figura 4.63 obtenga la impedancia de entrada:

Es de notar que tanto el nodo 1 como el nodo 3 son nodos de fuentes, el 3 es

de una fuente de voltaje dependiente de voltaje y el 1 de una fuente de

estímulo, es la que predomina por eso la rama se orienta de 1 a 3 como se

muestra en la figura 4.64, es el segundo caso donde hay ramas que entran a

fuentes. Se puede obtener la solución considerando la expresión para la

admitancia de entrada ya definida anteriormente.

+

-G1

G2

YL

3

2

+U

1

Fig. 4.63 Circuito de un convertidor de impedancia negativa


101

1

Y la relación de transferencia de voltaje entre el terminal 1 y el terminal 3

estará dada por la expresión

1

De donde se obtiene que la impedancia de entrada es

De donde se obtiene que

Note que el circuito es un convertidor de impedancia negativo de expresión

para la impedancia:

Ejemplo 3. Obtenga la relación de transferencia de voltaje del siguiente circuito de la

figura 4.65.

el grafo del circuito será el de la figura 4.66

1

2

3

A

G1

G2

-A


+

- 5+

-+

-

673 4

21

Y2 Y4Y6Y1

Y3Y5

U

U7

+

Y7

+

Fig. 4.65 Circuito


102

El camino del numerador está formado por

y el numerador sólo por los términos que tienen A3

El contorno 2345672

1

y el producto del trío de contornos 232 con 454 con 676

1 1

la relación de transferencia de voltaje será

Es obvio destacar que aunque el método del diagrama de flujo (grafo

orientado) y la formula de Mason son temas antiguos, esta forma de aplicarlo

en circuitos eléctricos con amplificadores operacionales reduce notablemente

el engorroso trabajo de utilizar algún método general. Además las soluciones

se obtienen de forma sencilla y rápida. La condición de considerar el

amplificador operacional como un dispositivo ideal, lineal y de muy alta

ganancia no le quita generalidad al método porque esta condición se utiliza en

un sin número de aplicaciones de este dispositivo.

2 Y1 -A Y3 -A Y5 -A 4 6

1 3 5 7

Y2 Y4 Y6

Y7


Capitulo V. Elementos de síntesis de dipolos

103

5.- ELEMENTOS DE SÍNTESIS DE DIPOLOS

5.1 INTRODUCCIÓN El problema de la síntesis de redes presenta características específicas que

lo diferencia del problema del análisis.

La tarea del análisis de redes es determinar los valores de corriente y voltaje

en un circuito cuyos elementos son conocidos; la tarea de la síntesis consiste

en obtener las componentes de un circuito que tiene un comportamiento

especificado.

Dentro de la síntesis de redes pueden, a su vez, diferenciarse dos tipos de

problemas, el de la aproximación y el de la realización.

El primero consiste en obtener, a partir de las especificaciones o requisitos

que debe cumplir la red, una función cuyo comportamiento se aproxime al

deseado. Usualmente estas especificaciones determinan el comportamiento

de la característica de frecuencia, en magnitud, fase o ambas.

A partir de la función de la red el problema de la realización enfoca los

diferentes métodos para obtener el circuito (valores de los elementos e

interconexión). Es característico el hecho de que no existe una sola

respuesta, pudiéndose cumplir las tareas de aproximación y realización y

obtener en general infinitas soluciones. Entran en juego entonces criterios

tecnológicos y constructivos que permiten definir las ventajas de algunas

configuraciones con respecto a otras, seleccionar circuitos con el número

menor de elementos posibles, etcétera.

El problema de la aproximación será estudiado en un epígrafe posterior,

dedicando primero la atención a las propiedades y métodos de realización

para dipolos y cuadripolos. También queda para más adelante la síntesis de

redes con elementos activos. Es decir, que primero se estudiará la síntesis de

dipolos y cuadripolos pasivos partiendo de que ya se conoce la función real

que se desea realizar; los circuitos principalmente estarán formados solo por

inductores y capacitadores (L-C) o por resistores y capacitores (R-C). Los

circuitos sin perdidas (L-C) tienen gran importancia en los sistemas de

comunicaciones, en tanto que los (R-C), en combinación con los elementos


104

activos, sustituyen los R-L-C, desventajosos por la complejidad de su diseño y

por las dificultades que presentan la realización física de los inductores.

5.2 FUNCIÓN POSITIVA REAL. La experiencia de los conocimientos anteriores indica que las funciones

inmitancia (impedancia o admitancia) de dipolos lineales, pasivos y a

parámetros concentrados son siempre racionales a coeficientes reales.

No es este, sin embargo, el único requisito que ellas poseen las inmitancias de

dipolos son también funciones positivas reales (P-R). Definición de función positiva real (P-R) Una función compleja F(s) donde S es la variable compleja dada por

Es positiva real (P-R) si y sólo si cumple las siguientes dos condiciones:

0 00 0

En forma gráfica se puede interpretar esta definición diciendo que el eje real

en el plano complejo S tiene por imagen el eje real en el plano complejo F(s) y

el semiplano derecho en el plano complejo S tiene por imagen el semiplano

derecho del plano complejo F(s) como se muestra en la figura 5.1

Para demostrar que la inmitancia de dipolos son funciones P-R se requiere

introducir un nuevo concepto, las funciones energía.

5.2.1 Propiedades de las funciones racionales que son positiva real Sean las funciones F1(s) y F2(s) dos funciones racionales a coeficientes reales

y positiva real, las funciones P-R cumplen las siguientes propiedades.

1) La suma de las funciones F1(s) y F2(s) es también una función racional a

coeficientes reales y positiva real

jω ImF(s)

σ ReF(s)

Fig. 5.1 Definición gráfica de función P-R


105

Obviamente si las partes reales de cada función es mayor que cero para σ>0

entonces la suma será también mayor que cero

0 0

Y si la parte imaginaria de cada una de las funciones es igual a cero para ω=0,

entonces la suma de las partes imaginaria también será cero

ω 0 0

Se llega a la conclusión que la suma de dos funciones positiva real es también

una función positiva real, esta conclusión se puede generalizar y decir que la

suma de funciones positiva real da como resultado una función positiva real.

2) El inverso de una función positiva real es también una función positiva real 1 1

Multiplicando y dividiendo por la conjugada para racionalizar

1 1

Se obtiene

1

Separando en parte real y parte imaginaria

1

Ahora se puede observar que el denominador es positivo y 0

entonces

0 1

0

Y por último 0 0 entonces

ω 0 1

0

Por lo que se llega a la conclusión que el inverso de una función positiva real

es también una función positiva real.


106

3) Producto partido suma de dos funciones racionales a coeficientes reales

que son también positiva real

Se puede deducir que:

1 1

Es obvio que la suma de los inversos de dos funciones P-R es también una

función P-R, entonces el producto partido la suma de dos funciones P-R es

también una función positiva real, P-R.

Ejemplos Pruebe que las siguientes funciones son positiva real

1.

Sustituyendo S=σ+jω

0 0

ω 0 0

Note que es la impedancia de un inductor y es una función positiva real

2.

Sustituyendo 1

Racionalizando 1

Entonces

Aplicando la condición para demostrar que es PR

0 0

Y

ω 0 0


107

Se llega también a la conclusión que es una función positiva real y además es

la impedancia del capacitor.

Si se aplica la propiedad del inverso de una función positiva real, se llega a la

conclusión de que la inmitancia de un capacitor o un inductor es una función

positiva real. Si se hace una combinación serie es la suma de las impedancias

y si se hace una combinación paralelo es la suma de las admitancias, se

puede decir que cualquier combinación serie o paralelo de inductores,

capacitores y resistores(es real), daría como resultado una función positiva

real.

Otras propiedades que cumplen las funciones racionales a coeficientes reales

que son también positiva real.

Sea F(s) una función positiva real

1. La función F(s) no puede tener ceros en el semiplano derecho

Si σ>0 entonces F(s)>0 por ser P-R, ahora un cero de la función implica que

F(s)=0, si el punto es del semiplano derecho entonces σ>0 por lo que F(s)

tiene que ser mayor que cero por ser P-R, no puede ser cero.

2. La función F(s) no puede tener polos en el semiplano derecho

Si F(s) es P-R, entonces su inverso también es P-R, y los polos de F(s) serían

los ceros de su inverso y no pueden estar en el semiplano derecho.

Como conclusión se tiene que una función positiva real no puede tener ni

polos no ceros en el semiplano derecho.

5.3 FUNCIÓN ENERGÍA. En una red pasiva, los elementos pasivos siempre consumen o almacenan

energía, por lo que la energía nunca es negativa, esto impone restricciones a

la inmitancia (impedancia o admitancia) de dipolos. Esta inmitancia podrá ser

expresada en forma general en función de las denominadas funciones energéticas que como su nombre lo indica guardan relación con los procesos

energéticos que ocurren en el dipolo y son funciones de σ y ω que nunca

pueden tomar valores negativos.

Partiendo de las ecuaciones de malla en forma matricial se puede plantear 1


108

Donde

…

… ;

…

…

…

…

Estas ecuaciones son validas tanto en forma operacional como en forma

fasorial, cambiado la S por jω, y la ecuación quedaría como 1

Pre multiplicando ambos miembros por la matriz de las corrientes conjugadas

y transpuesta

…

Quedaría la ecuación 1

Se tiene que será la potencia compleja entregada por las fuentes al

circuito. Entonces el segundo miembro de la ecuación corresponderá con la

potencia compleja consumida o almacenada.

Por definición:

12

12

,

12

12

,

12

12

,

Queda entonces:

2 2 2

F: es la mitad de la potencia promedio disipada.

T: energía promedio almacenada en los inductores.

V: energía promedio almacenada en los capacitores.

Físicamente se sabe que estas funciones serán siempre magnitudes reales y

positivas. Asimismo, analizando las expresiones anteriores se pueden


109

comprobar que en todos los casos los diferentes términos de la sumatorias

producirán resultados reales y positivos.

Las ecuaciones se pueden expresar en forma operacional quedando 1

Donde

Ahora no se puede asociar físicamente los términos anteriores con potencia ni

con energía; no obstante, por analogía con la interpretación que sí es válida

en corriente alterna se les denomina funciones energía.

Analizando las expresiones anteriores se tiene que serán funciones de σ y ω,

y que los productos mantienen la condición de ser siempre reales y positivos,

incluyendo el valor cero como caso particular.

Si la red analizada es un dipolo, la matriz de los voltajes E, sólo contiene un

término diferente de cero, el voltaje en los terminales de entrada del dipolo.

En este caso

0

0

Dividiendo por

1

| |

Por dualidad, a partir de las ecuaciones de nodos pueden obtenerse:

1| |

Tanto la impedancia como la admitancia pueden expresarse en forma general

en funciones energía y de otro término que siempre será también real y

positivo.

Las propiedades más importantes no se alteran, pues si se normaliza

suponiendo:

| | 1 | | 1


110

Por lo tanto

y

Estos resultados se utilizarán continuamente para obtener las propiedades de

cada uno de los tipos de dipolos que se obtendrán.

5.3.1 Teorema relativo a la inmitancia de dipolos pasivos A partir de las expresiones generales obtenidas para la inmitancia en el

epígrafe anterior, así como las propiedades de las funciones energía, se puede

demostrar que la inmitancia es una función positiva real (P-R)

Si

, ,,

Racionalizando

, ,,

Separando en parte real y parte imaginaria se obtiene

, ,,

,,

Si se aplica la condición de positiva real se obtiene que:

ω 0 0 ω ,,

Y conociendo que F0, T0 y V0 son funciones positivas, entonces

0 , ,,

0

Se cumplen las dos condiciones para que una función sea P-R, por lo tanto se

puede decir que la impedancia de un dipolo pasivo, lineal, a parámetros

concentrados y con un número finito de elementos es una función P-R. Para la

admitancia se puede demostrar lo mismo.

El reciproco también se cumple: toda función racional a coeficientes reales y

positiva real puede hacerse corresponder con la inmitancia de un dipolo lineal,

pasivo y a parámetros concentrados.


111

Este resultado puede predecir si dada una función cualquiera, analizando sus

propiedades, se puede asociar con la inmitancia de algún tipo de dipolo y

entonces obtener de alguna forma la estructura de ese dipolo.

Las inmitancias de los dipolos formados solos por elementos L-C, o solo por

elementos R-C o solo por elementos R-L, tienen algunas propiedades propias

que se verán a continuación.

5.4 PROPIEDADES DE LA INMITANCIA DE DIPOLOS L-C La inmitancia de los dipolos formados sólo por inductores y capacitores,

dipolos L-C, son funciones racionales a coeficientes reales y positiva real

cumpliendo todas las propiedades que ya han sido mencionadas, además de

algunas características particulares fundamentalmente en la distribución de los

polos y ceros. Dado que no hay disipación de potencias:

y

De aquí se pueden sacar algunas conclusiones con respecto a la ubicación

de los polos y ceros en el plano complejo.

0

0

Recordando las propiedades de las funciones energía se ve que los ceros y

polos de la inmitancia estarán únicos y exclusivamente sobre el eje imaginario.

Dado que no se tiene las expresiones más detalladas para las funciones T0 y

V0 no se puede, de aquí, obtener más información. Se tomará entonces un

ejemplo para sacar algunas conclusiones adicionales; las propiedades son

generales para todos los dipolos L-C por lo que las conclusiones que se

puedan obtener serán aplicables a cualquiera otros dipolos L-C.

Sea el dipolo de la figura 5.2


112

Añadir más inductores o capacitores en serie no altera la expresión general

de la impedancia equivalente, en tanto que añadir más circuitos en paralelo,

aumenta la cantidad total de polos y ceros sin añadir nada nuevo a las

propiedades, la impedancia de este dipolo es fácil de obtener y es

5 42

1 42

Trazando el diagrama de polos y ceros se ve que, como era de esperar, estos

se encuentran sobre el eje imaginario, pero además hay algunos aspectos

importantes, se ha representado el polo en el infinito, que se obtiene de aplicar

el límite a la impedancia Z(s) cuando S→∞ y ese límite es infinito.

lim ∞

Todos los ceros y polos son simples y aparecen de forma alternada, es decir

no hay ceros consecutivos ni polos consecutivos .Esto no es casual, es una

propiedad general, note que en este caso hay polo en el origen y en el infinito.

Es de notar que en este caso para el dipolo L-C los polos y ceros en el plano

S, solo están sobre el eje imaginario jω, entonces sobra pintar el plano S

completo, es suficiente dibujar solo la parte positiva del eje imaginario, la

información de la distribución de los polos y ceros se encuentra en el semieje

imaginario positivo.

σ

jω

X

X

j

-j

-2j

2jj√2

j√2-

X

X∞

Fig. 5.3 Diagrama de polos y ceros

Fig. 5.2 Dipolo LC

1H 1/2H

1/2F1F

Z(s)


113

Es obvio que se vería más cómodo si se le hace un giro de 90º al eje

imaginario jω y se pone de forma horizontal, como se indica en la figura 5.5

En los gráficos se tiene la misma información de la distribución de los polos y

ceros y es mucho más cómodo para el trabajo.

Ahora si se elimina el capacitor del dipolo de la figura 5.2 se obtiene el dipolo

de la figura 5.6 y la impedancia calculada es:

32

Si se elimina, ahora el inductor en vez del capacitor en el dipolo de la figura 5.2

se obtiene la siguiente impedancia para el dipolo, note que en el infinito hay un

cero, figura 5.7

3 42

El comportamiento en el origen y en el infinito puede analizarse mediante

consideraciones relativas al posible comportamiento del dipolo cuando la S

tiende a cero o a infinito, sería equivalente a que la frecuencia ω tienda a cero

0 jωX j√2

XJ1,15

∞

Fig. 5.7 Dipolo después de eliminar el inductor, impedancia y diagrama de polos y ceros 1/2H

1/2F 1F

0

jω

Xj

2jj√2

X∞

X

Fig. 5.4 Diagrama de polos y ceros representando solo el eje jω

0

jω

X

X

j

-j

-2j

2jj√2

j√2-

X∞

X

∞X

j√3 0 jωX

j√2

Fig. 5.6 Dipolo después de eliminar el capacitor, impedancia y diagrama de polos y ceros

1H 1/2H

1F

Fig. 5.5 Diagrama de polos y ceros representando sólo el eje jω pero de forma horizontal

X X

XX

∞

∞

0 jωXX

j -j-2j 2jj√2j√2-

0 jωX

j 2jj√2


114

o a infinito, físicamente el análisis estaría dado por el comportamiento del

circuito cuando la frecuencia ω tiende a cero o a infinito, si la frecuencia tiende

a infinito la impedancia del capacitor tiende a cero (corto circuito) y la del

inductor a infinito (circuito abierto), si la frecuencia tiende a cero la impedancia

del capacitor tiende a infinito (circuito abierto) y la del inductor tiende a cero

(corto circuito).

Dado que los dipolos son L-C, a una frecuencia determinada su impedancia

equivalente solo podrá ser un inductor o capacitor en dependencia de la

configuración del circuito y los valores numéricos.

De ahí que cuando ω tiende a cero, la impedancia tenderá a cero o a infinito,

en dependencia de que el dipolo a bajas frecuencias sea inductivo o

capacitivo. Esto quiere decir que en el origen una impedancia L-C siempre

debe tener un cero o un polo, nunca un valor constante, ya que esto último

implicaría una impedancia equivalente resistiva, lo cual es imposible. Un

razonamiento análogo puede hacerse para la admitancia.

En cuanto al comportamiento para infinito el razonamiento es similar. Según el

dipolo sea predominante inductivo o capacitivo, la impedancia tendera a infinito

o a cero, por lo que debe presentar a esa frecuencia un polo o un cero, nunca

un valor constante. La misma característica presenta la admitancia.

Como conclusión se puede generalizar que la inmitancia de un dipolo L-C

presentará las siguientes propiedades:

1) Los polos y ceros serán alternos y estarán sobre el eje imaginario

únicamente.

2) Los polos y ceros serán simples.

3) No puede haber polos consecutivos ni ceros consecutivos.

4) En el origen debe haber polo o cero.

5) En el infinito debe haber polo o cero

Partiendo de estas conclusiones se puede plantear la forma general para la

inmitancia de un dipolo L-C.

……

Donde se tiene m es un número par


115

La inmitancia será el cociente de dos polinomios; uno formado solo por

potencias impares, pudiendo ser cualquiera de ellos el numerador o el

denominador, dependería de si la S esta en el numerador (elevada a la +1) o

en el denominador (elevada a la -1).

Resulta interesante ahora analizar el comportamiento de la función

impedancia, en dependencia de su comportamiento en origen e infinito.

Conviene señalar en este punto que tanto la impedancia como la admitancia

en función de la frecuencia serán magnitudes puramente imaginarias, es

decir, reactancia o suceptancia. En la figura 5.8 aparece la variación de la

reactancia con la frecuencia para diferentes diagramas de polos y ceros o sea

para diferentes dipolos.

Observando los gráficos se denota una característica importante. Como los

polos y ceros se presentan alternadamente, es decir, que no hay polos

consecutivos ni ceros consecutivos, esto trae como consecuencia que la

pendiente de la curva de reactancia siempre es positiva. Análoga conclusión

se obtiene para la admitancia: la pendiente de la curva de suceptancia

siempre será positiva.

5.5 REALIZACIÓN DE DIPOLOS L-C

Fig. 5.8 Característica impedancia frecuencia para diferente comportamiento en el origen y el infinito

XX ω

X X ω

X

X(ω) X(ω)

∞∞

∞Xω

X X ω

X

X(ω) X(ω)

∞


116

En la realización existen en general infinitas soluciones; es decir, que dada

una función de sistemas de cualquier tipo es posible obtener múltiples circuitos

que la poseen.

Esta afirmación se comprueba rápidamente, ya que se estudiaran cuatro

métodos de realización de dipolos L-C, los que, por supuesto, conducirán en

general a soluciones diferentes.

Sin embargo, existe algo en común: todas las soluciones que se obtengan

aplicando los métodos que se estudiaran, producirán circuitos con el menor

número de elementos posible. Los métodos que cumplen esta condición se

llaman formas canonícas.

5.5.1. Forma Canónica de Foster 1 Consisten descomponer en fracciones parciales la impedancia del dipolo y

asociar a cada término un elemento o combinación de elementos L-C como se

trata de una suma de término donde cada uno corresponde a una impedancia,

los elementos de circuito irán asociados en serie.

Partiendo de la expresión general para la impedancia se puede obtener la

descomposición en fracciones simple para el caso en que existen polos

complejos conjugados, en el infinito y en el origen:

Donde

H: es el factor de escala y es relativa al polo en el infinito, si en el infinito hay

cero, H=0 o sea se puede asociar a la existencia del polo en el infinito y se

correspondería con la impedancia de un inductor.

K0: es el residuo del polo en el origen, se corresponde con la impedancia de

un capacitor y se obtiene a través de la expresión

|

Ki: es la constante real asociada al término correspondiente al par de polos

complejos conjugados en la frecuencia ±jωXi, este término se corresponde con

un circuito paralelo L-C y se obtiene utilizando la expresión


117

Si se tiene el siguiente dipolo, compuesto por un inductor conectado en serie

con un capacitor y con un circuito paralelo L-C, como se indica en la figura 5.9

Si se calcula la impedancia de este dipolo se obtiene que sería:

11

1

Comparando cada uno de los sumandos de las dos ecuaciones se ve que se

pueden compara, son del mismo tipo

11

1

Si se igualan adecuadamente los sumandos se obtiene

, 1

1

1

De donde se llega

, 1

1

1

Por último se obtiene que

, 1

1

El polo en el infinito se asocia al inductor, el polo en el origen al capacitor y

cada par de polos complejos conjugados a un circuito paralelo L-C. Existirán

tantos circuitos paralelo como pares de polos complejos conjugados haya

sobre el eje imaginario. Si la función dada no tiene polo en cero o infinito, sino

cero, el elemento correspondiente no aparece en la realización puesto que el

término matemático no aparecerá en la descomposición en fracciones.

La cantidad de elementos que tiene el dipolo es igual al número de pares de

Fig. 5.9 Dipolo LC

L Li

CCi

Z(s)


118

polos y ceros complejos conjugados, que no están en orígenes ni infinitos, más

uno.

Ejemplo: Realizar por Foster no.1 el dipolo que tiene como impedancia la siguiente

4 1 32

Diagrama de polos y ceros

Los polos y ceros son alternos, en el origen hay polo y en el infinito hay polo

pues el grado del numerador es mayor que el grado del denominador. Hay dos

pares de ceros y un par de polos que no están en origen ni en infinito. El dipolo

resultante tendrá, pues, 4 elementos de circuito.

Para hacer la descomposición en fracciones se observa que la función tiene

polo en infinito, polo en origen y polos en √2 . Debe quedar entonces.

2

Los valores de las constantes se calculan

El factor de escala H=4 en este caso. Para el cálculo de los restantes

coeficientes.

El residuo del polo en el origen es.

|4 1 3

24 1 3

2 6

Por último el residuo del polos en √2 .

2 4 1 3 22

4 1 3 4 2 1 2 32 2

2

Es muy importante saber que ninguno de estos residuos dará negativo, lo cual

no es físicamente posible. Si la función que se tiene como dato cumple con

todos los requisitos de una impedancia L-C, se puede garantizar que el dipolo

XX∞

0 jωX

j j√2 j√3

Fig. 5.10 Diagrama de polos y ceros de Z(s)


119

será realizable, por lo que no puede dar ningún residuo negativo. El dipolo

queda como se muestra en la figura 5.11

5.5.2 Forma canónica de Foster 2 Consiste en descomponer en fracciones parciales la admitancia del dipolo

según la expresión

En este caso como la suma de términos corresponde a la admitancia, se

corresponde con una conexión en paralelo

Donde

H es el factor de escala y es relativa al polo en el infinito, si en el infinito hay

cero, H=0 o sea se puede asociar a la existencia del polo en el infinito y se

correspondería con la admitancia de un capacitor.

K0 es el residuo del polo en el origen, se corresponde con la admitancia de un

inductor y se obtiene a través de la expresión

|

K1 es la constante real asociada al término correspondiente al par de polos

complejos conjugados en la frecuencia ±jωXi, este término se corresponde con

un circuito serie L-C y se obtiene utilizando la expresión

Si se tiene el siguiente dipolo, compuesto por un inductor conectado en

paralelo con un capacitor y con un circuito serie L-C, como se indica en la

figura 5.12, este circuito es el dual de la figura 5.9

Fig. 5.12 dipolo realizado por Foster 2

LCi

CLi Y(s)

Fig. 5.11 Dipolo realizado

4H1/2H

1/6F1F

Polo ∞

Par Complejos conjugados

Polo Origen


120

Si se calcula la impedancia de este dipolo se obtiene:

11

1

Comparando cada uno de los sumandos de las dos ecuaciones se ve que se

pueden compara, son del mismo tipo

11

1

Si se igualan adecuadamente los sumandos

, 1

1

1

De donde se llega

, 1

1

1

Por último se obtiene que

, 1

1

El polo en el infinito se asocia al capacitor, el polo en el origen al inductor y

cada par de polos complejos conjugados a un circuito serie L-C. Existirán

tantos circuitos serie como pares de polos complejos conjugados haya sobre

el eje imaginario. Si la función dada no tiene polo en algunos de estos puntos,

sino cero, el elemento correspondiente no aparece en la realización puesto

que el término matemático no aparecerá en la descomposición en fracciones.

La cantidad de elementos que tiene el dipolo es igual al número de pares de

polos y ceros que no están en orígenes ni infinitos más uno. Es de notar que

esta realización de Foster 2 es completamente dual a la de Foster 1

Ejemplo: Realizar por Foster 2 el dipolo que tiene como impedancia la siguiente

4 1 32

Se debe obtener la admitancia del dipolo


121

24 1 3

Diagrama de polos y ceros figura 5.13

Descomponiendo en fracciones simples se obtiene la expresión siguiente

1 3

En el infinito hay un cero por lo que H=0, en el origen hay un cero por lo que el

valor de K0=0, quedando la expresión de la forma

1 3

Quedaría obtener los valores de K1 y K2

1 2 14 1 3

Quedando

24 3

18

Para la otra constante K2

3 2 34 1 3

Por último

24 1

18

Entonces 18

1

18

3

Obteniendo los valores se llega a figura 5.14

Fig. 5.14 Dipolo realizado por Foster 2

Y(s) 18

8H124

8H

X∞

0 jωXj j√2 j√3

Fig. 5.13 DPC de la admitancia, cero en ∞


122

La realización tiene 4 elementos como era de esperar.

5.5.3 Forma Canónica de Cauer 1 Las dos formas anteriores se basan en la descomposición en fracciones

simple de la admitancia o de la impedancia. Las formas de Cauer tienen otro

fundamento como se verá.

La forma canónica de Cauer 1 consiste en hacer extracciones sucesivas de

polos en el infinito a la impedancia o a la admitancia, o sea a quien lo tenga,

extraer significa asociar al polo un elemento de circuito.

Supóngase que se tiene una función impedancia de un dipolo L-C que tiene un

polo en el infinito, matemáticamente el grado del numerador es mayor en 1 al

grado del denominador. La admitancia tendría un cero en el infinito.

Un término asociado al polo en el infinito sería de la forma HS, entonces se

puede descomponer la impedancia en

Al sacar el termino HS fuera de la expresión, esto hace que la impedancia

tenga un cero en el infinito, el grado del numerador disminuyó, el dipolo

se puede representar como aparece en la figura 5.15

Si se invierte la impedancia Z1(s), que tienen un cero en el infinito, se obtiene

la admitancia Y1(s), que tendrá un polo en el infinito. 1

Ahora se puede hacer lo mismo a la admitancia, extraer el polo en el infinito,

quedando

La admitancia se descompone en una suma de términos, por lo que se asocia

a un dipolo en paralelo, el término H1S es de admitancia, es un capacitor y el

término Y2(s) es una admitancia de dipolo también, tiene un cero en el infinito,

entonces el circuito quedaría figura 5.16

Fig. 5.15 Extracción total del polo en el infinito

L=HZ(s) Z1(s)


123

Se puede invertir la admitancia Y2(s) y daría una impedancia Z2(s) que tendría

un polo en el infinito. 1

Se puede repetir el proceso y descomponer la nueva impedancia para extraer

el polo en el infinito a la impedancia y se puede repetir el proceso hasta

realizar todos los polos del infinito, quedando el dipolo como en la figura 5.17.

Aplicar este método da origen a una realización en escalera, esta estructura es

ventajosa desde el punto de vista práctico y será de interés en la realización

de cuadripolos.

Esta extracción sucesiva de polo en el infinito a la impedancia que la tenga,

lleva a que se pueda esquematizar esta mecánica, se extrae el polo y se

invierte lo que queda, en el siguiente ejemplo se verá.

Ejemplo. Realice por Cauer 1 la siguiente impedancia.

4 1 32

Se sabe que tiene polo en el infinito, la primera extracción se le hace a la

función que la tenga, si la impedancia tuviera cero en el infinito, la primera

extracción se le haría a la admitancia.

Efectuando se obtiene

4 16 122

Para hacer la extracción se divide el numerador entre el denominador y se

saca sólo el primer término, y se plantea el resto figura 5.18.

Fig. 5.16 Extracción total del polo en el infinito

L=HZ(s)

Y2(s)C1=H1

Z1(s)

Fig. 5.17 Circuito LC en escalera

L=HZ(s) C1=H1

L2=H2 C3=H3


124

48 12

2

Note que al realizar el polo en el infinito, al hacer la extracción total del polo en

el infinito los ceros se corren hacia el lugar donde se hizo la extracción del

polo, el resto de los polos no se mueve figura 5.19

Se tiene que invertir y volver a realizar lo mismo, hacer la extracción del polo

en el infinito, pero ahora a la admitancia Y2(s), se muestra en la figura 5.20

28 12

18

12

8 12

Se repetirá el proceso y se va obteniendo el dipolo paso a paso figura 5.21

16

Por último se tiene el dipolo realizado, figura 5.22

Fig. 5.19 DPC. A) de Z(s), B) deZ1(s)

A

B X∞

0 jωX

j√2

XX∞

0 jωX

j j√2 j√3

j√3/2

Fig. 5.22 Realización del dipolo

4H Z(s) 1

8

16H 124

Fig. 5.18 Extracción total del polo en el ∞, realización del polo en el ∞

L=4H Z(s)

Z1(s)

Fig. 5.20 Realización del polo en el infinito

L=4H Z(s) Y2(s)C1=

Fig. 5.21 Realización del otro polo

4H Z(s) Z3(s) 18

16H


125

Se puede hacer de forma esquemática este proceder a través de una tabla

que se comienza hacer de izquierda a derecha paso a paso Inmitancia Z(s) Y(s) Z(s) Y(s)

Cociente

4 16 12 2 8 1212

12

4 8 32

-8 12

Resto 8 1212

12 0

El circuito es el mismo que ya se había obtenido en la figura 5.22, pero se

puede implementar de forma sistemática.

5.5.4 Forma Canónica de Cauer 2 La forma canónica de Cauer 2 es semejante a la de Cauer 1, ahora consiste

en hacer extracciones sucesivas de polos en el origen a la impedancia o a la

admitancia, o sea a quien lo tenga.

Supóngase que se tiene una función impedancia de un dipolo L-C que tiene un

polo en el origen, matemáticamente tiene una S en el denominador, la

admitancia tendría un cero en el origen como es de esperar.

Un término asociado al polo en el origen sería de la forma , entonces se

puede descomponer la impedancia en

Al sacar el termino fuera de la expresión, esto hace que la impedancia

tenga un cero en el origen, el dipolo se puede representar como un

capacitor en serie con una impedancia, figura 5.23

Si se invierte la impedancia Z1(s), que tienen un cero en el origen, se obtiene la

admitancia Y1(s), que tendrá un polo en el origen. 1

Fig. 5.23 Extracción del primer polo en el origen

1Z(s)

Z1(s)


126

Ahora se puede hacer lo mismo a la admitancia, extraer el polo en el origen,

quedando

La admitancia se descompone en una suma de términos, por lo que se asocia

a un dipolo en paralelo, el término es de admitancia, es un inductor y el

término Y2(s) es una admitancia de dipolo también, tiene un cero en el origen,

entonces el circuito quedaría como en la figura 5.24

Se sigue realizando esta extracción de polos en el origen y se llega también a

una estructura en escalera, pero con una distribución diferente de

componentes, figura 5.25

Ejemplo. Realice por Cauer 2 la siguiente impedancia.

4 1 32

Se sabe que tiene polo en el origen, la primera extracción se le hace a la

función que lo tenga, si la impedancia tuviera cero en el origen, la primera

extracción se le haría a la admitancia.

Efectuando se obtiene

4 16 122

Para hacer la extracción se descompone de la siguiente forma.

6 4 102

Fig. 5.24 Extracción del segundo polo del origen

1Z(s) Y2(s)

Z1(s)

1


1Z(s) 1 11


127

Es de notar que queda una S en el numerado que se puede sacar factor

común, un cero en el origen, figura 5.26

Se tiene que invertir y volver hacer lo mismo

24 10

15

15

4 10

Quedando el dipolo de la forma mostrada en la figura 5.27

Ahora se repetiría el proceso para Y2(s), obteniendo Z2(s)

4 1015

50 415

El circuito queda como en la figura 5.28

Por último se tiene Y3(s) invirtiendo la impedancia, figura 5.29 154

120

Se puede hacer de forma esquemática este proceder a través de una tabla

que se comienza hacer de izquierda a derecha paso a paso, ordenando los

polinomios del numerador y el denominador en forma creciente


16

Z(s) 5

150 20

Fig. 5.26 Extracción del primer polo en el origen

16

Z(s) Z1(s)

Fig. 5.27 Extracción del segundo polo en el origen

16

Z(s) Y2(s) 5

Fig. 5.28 Extracción del tercer polo en el origen

16

Z(s) 5

150 Z3(s)


128

Inmitancia Z(s) Y(s) Z(s) Y(s)

Cociente

12 16 4 2 10 415

4

12 6 245

-10 15

Resto 10 415

12 0

El circuito es el mismo que ya se había obtenido, mostrado en la figura 5.29

5.6 PROPIEDADES DE LA INMITANCIA DE DIPOLOS R-C. Se estudiaran las propiedades y la realización de los dipolos R-C, no se

trataran los dipolos RL por dos razones, la primera es que son muy poco

usados y la segunda es que son duales las propiedades y los métodos

aplicados a los que se utilizan para los dipolos R-C.

Análogamente a los dipolos L-C, los dipolos R-C tienen restricciones en cuanto

a la ubicación de los polos y ceros. Comparando las funciones para la

inmitancia en función de las funciones energía. La función energía para un

dipolo L-C se obtuvo que es

Para un dipolo R-C es obvio que no aparece el segundo término, pues no hay

inductores

Para obtener los ceros de la impedancia

0

De donde despejando S se obtiene que el valor es real y negativo, por lo que

se llega a que los ceros están en el semieje real negativo.

Haciendo lo mismo para la admitancia se obtiene que la posición de los ceros

también esté sobre el semieje real negativo


129

Como conclusión se obtiene que los polos y los ceros de la inmitancia de los

dipolos R-C se encuentren en el semieje real negativo.

Supóngase que se tiene el dipolo R-C de la figura 5.30 y que se quiere obtener

su impedancia

510 2,5 5

2,5 55 5 4

2

Para obtener el diagrama de polos y ceros, se obtienen las raíces del

numerador y del denominador

5 5 42

5 1 42

El diagrama de polos y ceros para este caso es

Si se analiza el dipolo para ω→∞ o sea si S→∞, los capacitores se comportan

como corto circuito, como se muestra en la figura 5.32

La impedancia Z(s) es una constante, la otra posibilidad es que no existiera la

resistencia de 5Ω, entonces la impedancia seria cero, por lo tanto la

impedancia de un dipolo R-C en el infinito puede tener un valor constante o

cero. Si en el infinito hay una constante, la singularidad más próxima al infinito

tiene que ser un cero como en este caso, esa será otra característica de la

impedancia de los dipolos R-C.

Fig. 5.30 Dipolo RC

5Ω2,5Ω

0,1F

0,2FZ(s)

σ

jω

-1-2-4 X O O

K=5

X

Fig. 5.31 DPC del dipolo RC

Fig. 5.32 circuito para ω→∞ capacitores en corto circuito

5Ω2,5Ω

0,1F

0,2FZ(s)


130

Si se analiza ahora lo que ocurre para S=0 o sea para ω=0, corriente directa,

se tiene que los capacitores se comportan como circuitos abierto, figura 5.33

La impedancia Z(s) en este caso sería infinita, un circuito abierto, un polo, pero

si no existe el capacitor de 0,1 F, entonces la impedancia sería un valor

constante, se puede sacar como conclusión que la impedancia de un dipolo R-

C en el origen puede ser constante o polo. Si en el origen la impedancia tiene

un valor constante, la singularidad más próxima al origen tendrá que ser un

polo y es otra característica que tendrá la impedancia de los dipolos R-C.

Se pueden resumir las propiedades de la impedancia de los dipolos R-C de la

siguiente forma

1. Es una función racional a coeficientes reales y positiva real.

2. Los polos y ceros están sobre el semieje real negativo.

3. Los polos y ceros son simples y alternos.

4. En el origen puede haber un polo o una constante.

5. Si en el origen hay una constante, la singularidad más próxima es un polo.

6. En el infinito puede haber cero o constante.

7. Si en el infinito hay una constante, la singularidad más próxima es un cero.

Las propiedades de la admitancia son duales a la de la impedancia y se llega a

la forma general de la impedancia de los dipolos R-C. En el origen puede

haber polo S-1 o constante S0=1

……

Las características de la inmitancia de los dipolos RL son duales a las

características de la inmitancia de los dipolos R-C.

5.7 REALIZACIÓN DE DIPOLOS R-C La realización de los dipolos R-C y RL se hace de forma semejante a la de los

dipolos L-C, se aplican los mismos métodos pero con las particularidades

propias de las características que presentan cada uno de los tipos de dipolos,

Fig. 5.33 Circuito para ω→0 capacitores, circuito abierto

5Ω2,5Ω

0,1F

0,2FZ(s)


131

se verán los métodos de Foster y Cauer para dipolos R-C, les RL se realizan

de forma dual.

5.7.1 Forma canónica de Foster 1 Este método se basa en la descomposición en fracciones parciales de la

impedancia del dipolo R-C, siendo la descomposición:

El circuito quedaría como una combinación serie de la forma que se muestra

en la figura 5.34

Calculando la impedancia de este circuito serie se tiene la siguiente expresión,

11

1

Comparando

11

1

R=H, es el factor de escala y existe si la impedancia tienen una constante en el

infinito, si existe un cero, obvio que no hay resistencia en serie.

Existe si hay polo en el origen

Por cada polo real habrá un circuito paralelo R-C donde los valores se

obtienen comparando: 1

1

Quedando 1

Quedando el dipolo de la forma de la figura 5.35

Fig. 5.34 Dipolo RC

R Ri

C

Ci Z(s)


132

5.7.2 Forma canónica de Foster 2 Este método se basa en la descomposición en fracciones parciales de la

admitancia del dipolo R-C, siendo la descomposición clásica que se conoce la

siguiente, se llegaran a conclusiones importantes para esta descomposición.

Se corresponderse con un dipolo paralelo con la estructura, figura 5.36

Si se obtiene la admitancia de este dipolo se llega a la expresión 1

1

Noten que no son comparables, entonces la descomposición en fracciones

simples clásica que se había utilizado hasta ahora NO ES ADECUADA. Además el término de admitancia relativo a

Esa admitancia sería un inductor y el dipolo es R-C no es posible tampoco.

¿Qué se puede hacer? Matemáticamente se puede dividir la admitancia por S y obtener Y0(s)

Se puede descomponer en fracciones simples esta admitancia quedando

Calcular los valores de las constantes H, K0 y las KI que existan, luego como

Fig. 5.35 Dipolo RC

R=H 1Z(s)

1


R

Ci

CRi Y(s)


133

Se puede obtener

Al efectuar queda

Por último 1

1

Si es comparable con la admitancia del dipolo R-C de la figura 5.37

obteniéndose:

1

1

1 1

5.7.3 Forma canónica de Cauer 1 En el dipolo L-C, este método consistía en hacer extracciones sucesivas de

polos en el infinito a quien lo tenía, la impedancia o la admitancia, en el caso

de los dipolos R-C no puede ser exactamente así, pues se obtuvo que la

impedancia de un dipolo R-C podía tener en el infinito cero o constante y la

admitancia polo o constante. El método de Cauer 1 para los dipolos R-C

consiste en hacer extracciones en el infinito de polos a la admitancia y constante a la impedancia o sea en el infinito se le extrae el polo a quien lo

puede tener la admitancia y a la impedancia se le extraería siempre la

constante, es bueno destacar que a la admitancia nunca se le puede extraer

constante en el infinito, siempre se le extrae polo.

Supóngase que se tiene una impedancia de un dipolo R-C, con constante en el

infinito si se le va aplicar el método de Cauer 1, se le extrae esa constante a la

impedancia, quedando apareciendo luego en el infinito un cero, se invierte la


134

impedancia resultante para que el cero de la impedancia se convierta en polo

de la admitancia y luego se le extrae ese polo a la admitancia. Si se le extrae

el polo a la admitancia lo que aparece en el infinito es un valor constante. De

aquí se puede generalizar y afirmar que si se le extrae polo a la admitancia,

aparece en el infinito un cero y si se le extrae polo en el infinito a la admitancia,

aparece una constante en el infinito.

El dipolo realizado será también una combinación en escalera, el número de

elementos del dipolo estará dado por la cantidad de ceros y polos que no

están en el origen ni el infinito más 1.

5.7.4 Forma canónica de Cauer 2 En este caso el método consiste también en hacer extracciones sucesivas en

el origen de polo a la impedancia, es la que lo puede tener y constante en el

origen a la admitancia.

Ejemplo Realizar la impedancia del siguiente dipolo por los métodos de Foster y de

Cauer.

2 61 3

La primera consideración siempre será verificar que la impedancia pertenece a

un dipolo R-C, por lo que se tiene que hacer el diagrama de polos y ceros.

En el diagrama de polos y ceros de la figura 5.37 se tiene que los polos y

ceros son simples, reales, alternos, en el origen hay constante y la

singularidad más cerca es un polo, en el infinito hay constante y la singularidad

más cerca es un cero, por lo tanto esa impedancia pertenece a un dipolo R-C.

Número de elementos que debe tener el dipolo: el número de polos y ceros

mas 1, que no estén ni en el origen ni en el infinito, por lo tanto el dipolo tendrá

5 elementos de circuitos.


σ

jω

-1-2-6 X O O

K=5

X -3


135

Foster 1 Descomponer la impedancia en fracciones simples.

1 3

H es el comportamiento en el infinito, hay una constante, el valor es el del

factor de escala 1, entonces H=1.

K0 polo en el origen, en el origen no hay polo por lo tanto es cero.

K1 polo en -1, se calcula según la expresión:

1 | 2,5


3 | 1,5

Entonces la impedancia queda

12,5

11,5

3

El dipolo queda como aparece en la figura 5.38

Foster 2 Descomponer en fracciones simple la admitancia Y0(s).

La admitancia del dipolo es

2 61 3

Dividiéndola por S se obtiene

1 32 6

Diagrama de polos y ceros de Y0(s), figura 5.39.

Fig. 5.38 Dipolo RC

R=1ΩZ(s)

C1=0,4F

R1=2,5Ω

C2=0,66F

R2=0,5Ω


136

Descomponiendo

2 6

H es el comportamiento en el infinito, hay un cero, el valor es H=0, no existe.

K0 polo en el origen, en el origen hay polo se calcula según

| 0,25


2 | 0,125


6 | 0,625

Entonces se llega a que 0,25 0,125

20,625

6

Obteniendo Y(s)=S Y0(s)

0,250,125

20,625

6

El circuito quedaría de la forma que aparece en la figura 5.40

Cauer 1. Este método se puede hacer de forma esquemática como se planteó

en el método para los dipolos L-C, se tiene que analizar a quien se le hará la

primera extracción en el infinito, según el DPC de la impedancia, en el infinito

hay constante y por Cauer 1 se le debe extraer la constante a impedancia y el

polo a la admitancia, por lo que la primera extracción se le tienen que hacer a

la impedancia.


σ

jω

-1-2-6 X O O

K=1

X -3

X O


4Ω0,0625F

8ΩY(s)

0,104F

1,6Ω


137

2 61 3

8 124 3

Inmitancia Z(s) Y(s) Z(s) Y(s) Z(s)

Cociente 1

8 12 4 3 4 9 74

3157

4 394

4487

74

157

Resto 4 974

3157

3 0

El dipolo queda de la forma mostrada en la figura 5.41

Cauer 2 Se utiliza una mecánica semejante pero ahora en el origen, donde la

impedancia tiene un valor constante pero la constante se le extrae a la

admitancia, por lo tanto se tienen que invertir la impedancia para obtener la

admitancia.

1 32 6

4 38 12

Inmitancia Y(s) Z(s) Y(s) Z(s) Y(s)

Cociente 528

3 4 12 8 234

72

528

3 214

1292

247

72

528

Resto 234

72

528

0

El circuito para el dipolo es

Fig. 5.41 Realización del dipolo por Cauer 1

1Ω Z(s) 14

4860

167

Ω 57Ω

Fig. 5.42 Realización del dipolo por Cauer 2

4Ω Z(s)

16

598

74Ω

285

Ω

Capítulo VI. Introducción a la síntesis de cuadripolos pasivos y activos

138

6. INTRODUCCIÓN A LA SÍNTESIS DE CUADRIPOLOS PASIVOS Y ACTIVOS

Anteriormente se explicaron las propiedades de las inmitancias de diferentes

tipos de dipolos y se estudiaron métodos de síntesis. Se estudiaran ahora las

propiedades de los parámetros de cuadripolos pasivos y se explicaran

métodos de síntesis de cuadripolos pasivos.

Los tipos de cuadripolos a estudiar serán L-C y R-C, los primeros porque

representan los circuitos sin perdidas, de mucho uso en comunicaciones y los

segundos porque el desarrollo de los circuitos integrados facilita su

construcción. Cualquier función de transferencia no realizable mediante estos

dos tipos de cuadripolos, siempre podrá obtenerse con elementos activos y

circuitos R-C con mayor facilidad. La introducción de cuadripolos R-C

combinados con amplificadores operacionales permite sustituir casi totalmente

al inductor.

En el problema de la síntesis de redes se conoce que existen infinitas

soluciones, en los dipolos se vio que una misma impedancia se podía

implementar de cuatro formas diferentes. Algo análogo ocurre en la síntesis de

cuadripolos dónde existen múltiples métodos, se verá un método simple y de

mucha utilidad práctica. El método utilizado no necesita transformadores y se

obtiene con el cuadripolos con un número reducido de elementos de circuito.

Se estudiaran realizaciones con estructura en escalera que presenta ventajas

muy útiles tales como la posibilidad de un terminal común a tierra y baja

sensibilidad con respecto a otras estructuras.

Se partirá, para la síntesis, de la función de relación de transferencia de voltaje

o de corriente. Estas funciones se expresarán en función de los parámetros

impedancia de circuito abierto o admitancia de corto circuito de un cuadripolo.

Sea el cuadripolo de la figura 6.1

La ecuación del cuadripolo en función de los parámetros Z en forma matricial

es

++ I1

V1 V2

I2

Fig. 6.1 Cuadripolo pasivo


139

Desarrollando la matriz

En función de los parámetros Y

Y

Si el cuadripolo es pasivo es reciproco y se cumple que

Si al cuadripolo se le conecta un resistor de carga de 1Ω, figura 6.2 y se

obtiene la relación de transferencia de voltaje y la relación de transferencia de

corriente para esa condición

Relación de transferencia de voltaje. Planteando la ley de Ohm en la salida

La segunda ecuación del sistema de ecuaciones en función de los parámetros

admitancia Y

Sustituyendo la ley de Ohm

De donde despejando y sacando factor común se obtiene

1

De forma análoga pero utilizando la matriz Z se llega a la relación de

transferencia de corriente

1

Note que tanto la relación de transferencia de voltaje como la relación de

transferencia de corriente quedan en función de solo dos de los parámetros del

++ I1

V1 V2

I2

Fig. 6.2 Cuadripolo pasivo con resistor de carga de 1Ω


140

cuadripolo, el tercero no aparece, esto hace que solo se pueda influir sobre

dos de los tres parámetros independientes del cuadripolo pasivo, en este caso

no se puede influir sobre Z11 o sobre Y11

6.1 PROPIEDADES DE LOS PARÁMETROS DE CUADRIPOLOS PASIVOS.

En este epígrafe se estudiaran las propiedades de las funciones que describen

el comportamiento de los cuadripolos así como se establecerán las

condiciones necesarias a satisfacer por esas funciones. Los cuadripolos que

se analizaran serán pasivos, lineales y a parámetros concentrados.

6.1.1 Propiedades de los parámetros Z y Y de un cuadripolo pasivo.

Anteriormente se estableció que

Si en el cuadripolo de la figura 6.3 se tienen en cuenta las relaciones voltaje en

los terminales de acceso, o sea las inmitancias de los terminales de acceso

que en definitiva son inmitancia de dipolos serán obviamente funciones P-R.

Tanto a la entrada como a la salida se puede plantear que , de

donde sustituyendo se llega a que

Se puede expresar

2

Estas expresiones son funciones cuadráticas de las corrientes, se denominan

formas cuadráticas. Además en este caso estas funciones son siempre

funciones positivas reales P-R. Una forma cuadrática que siempre es positiva

se denomina definida positiva; si puede tomar valor cero se denominan

semidefinida positiva.

++ I1

E1 E2

I2

Fig. 6.3 Cuadripolo pasivo con Fuentes a la entrada y la salida


141

El carácter de definida positiva de una forma cuadrática no depende de los

valores numéricos, es una propiedad de los coeficientes; es una propiedad de

la matriz. Es de notar que el producto , por ejemplo, es siempre positivo, al

igual que los restantes factores que dependen de las corrientes.

Por lo tanto, la matriz Z es una matriz semidefinida positiva y positiva real, ya

que el carácter de P-R es una propiedad de los coeficientes.

Esta característica se puede extender a la matriz Y.

6.1.2 Condición de los residuos.

Como las propiedades de la matriz z solo dependen de los parámetros y no de

los valores específicos ahora si se hace

Donde los valores de X son reales, entonces

2 ó

Se pueden extraer las siguientes conclusiones de esta expresión

a. Un polo cualquiera de los parámetros Z es también un polo de F(s). Como

la función es P-R, ninguno de los parámetros puede tener polos en el

semiplano derecho.

b. Los polos en el eje imaginario de una función P-R son simples y de

residuos reales y positivos. Sean , , , los residuos de las

funciones , , en un polo del eje imaginario, ωx.

Como x1 y x2 son constantes reales

2

Como K es siempre mayo o igual que cero (cero solo si no existe polo), se

encuentra que para los residuos de los polos en el eje imaginario se obtiene

una forma cuadrática, que será semidefinida positiva.

Se conoce que la condición necesaria y suficiente para que una matriz no

singular sea semidefinida positiva es que el determinante y los cofactores

principales (los que se obtienen eliminando los términos de la diagonal

principal) no sean negativos.

, ; 0; 0 0


142

Las dos primeras condiciones ya son conocidas, la tercera es la denominada

condición de los residuos. El residuo en el polo correspondiente a Z12(s) no

tiene que ser positivo. Si es diferente de cero, entonces obligatoriamente

también deben serlo K11 y K22, es decir que si Z11 tiene un polo en el eje

imaginario también lo tendrán Z11(s) y Z22(s).

Sin embargo cada una de las funciones Z11(s) y Z22(s) pueden tener polos

aunque no los tenga la función transferencial Z12(s) ya que no se violan la

condición de los residuos y se denominan polos privados.

Si las impedancias Z11(s) y Z22(s) tienen polos privados se pueden

representar como las impedancias Z1 y Z2, quedando un cuadripolo resultante

en el cual todos los parámetros tienen los mismos polos en el eje imaginario.

Los parámetros de entrada pudieran compartir el mismo polo privado o

pudieran tener polos privados diferentes.

Una representación para los polos privados es la de la figura 6.4, Z1 es el polo

privado de Z11(s) y Z2 el polo privado de Z22(s)

En la figura 6.5 se representan los polos privados para los parámetros Y

c. Análogamente a la condición de los residuos se puede hallar otra para las

partes reales. Este análisis se fundamenta en que la pate real de una

función P-R evaluada en el eje imaginario nunca puede ser negativa. Esto

es evidente recordando que a toda función P-R puede hacérsele

corresponder las inmitancia de un dipolo para la que se cumple.

0 0

Z'11 Z'22 Z'12

Z11 Z22 Z12

++ I1 V1 V2

I2

Fig. 6.4 A) Z11 y Z22 tienen polos privados, B) Representación de los polos privados en serie

+ +I1

V1 V2

I2 Z2 Z1

A B

Y'11 Y'22 Y'12

Y11 Y22 Y12

++ I1 V1 V2

I2

Fig. 6.5 A) Y11 y Y22 tienen polos privados, B) Representación de los polos privados en paralelo

+ +I1

V1 V2

I2

Y2 Y1 A B


143

A partir de la forma cuadrática para la matriz de los parámetros impedancia,

tomando parte real y denominando , , a las partes reales de los

parámetros Z

2 ó

Se obtiene

2 0

Como se había visto para el caso de los residuos, se puede concluir que la

matriz de las partes reales de los parámetros Z en el eje imaginario es positiva

semidefinida, cumpliéndose que:

0; 0 0

Esta se conoce como la condición de las partes reales.

Resumiendo, se han encontrado algunas características de los parámetros Z y

Y de cuadripolos. Los parámetros Z11(s), Z22(s), Y11(s) y Y22(s) son funciones

de entrada por lo que poseen las propiedades de las funciones P-R. En cuanto

a Z12(s), Z21(s), Y12(s) y Y21(s) son funciones transferenciales y no son en

general P-R, aunque pueden serlo. No tienen polos en el semiplano derecho y

si tienen en el eje imaginario deben ser simples, cumpliéndose en ese caso la

condición de los residuos. En el eje imaginario debe cumplirse también la

condición de las partes reales.

Si Z12(s) (Y12(s)) tienen polos en el eje imaginario, también lo tienen Z11(s) y

Z22(s) (Y11(s), Y22(s)). Estas funciones pueden tener polos (Polos privados)

que no los tengan Z12(s) (Y12(s)).

Con respecto a los ceros de los parámetros de transferencia, no tienen para

este caso general ninguna limitación. Estos reciben el nombre de ceros de

transmisión.

6.1.3 Propiedades de cuadripolos con terminal común (no balanceado)

Se tratara la síntesis de cuadripolos en escalera por las ventajas que presenta

esta estructura que es un caso particular de cuadripolos no balanceado.

La propiedad que se presentara es la condición de Fialkow, supóngase que se

tiene un cuadripolo en escalera, como se indica en la figura 6.6, se plantean

las ecuaciones de mallas suponiendo que tiene n mallas


144

0

0

Resolviendo el sistema se pueden obtener las corrientes de la entrada I1 y la

salida I2 ∆∆

∆∆ y

∆∆

∆∆

Se sabe que cada uno de los coeficientes se puede asociar a uno de los

parámetros admitancia, teniendo entonces que cada uno de los parámetros Y

del cuadripolo es una razón de polinomios: ∆11

∆

∆∆

Y∆∆

a a S a SP s Y

P(s) es el determinante del sistema.

A partir de los parámetros Y se puede obtener muy fácilmente un cuadripolo

equivalente en π, figura 6.7

Siempre que no exista inductancia mutua, los componentes del cuadripolo

equivalente son todos positivos. Los polos de cada una de las admitancias no

pueden estar en el semiplano derecho pues es pasivo el cuadripolo por lo que

lo que los coeficientes del polinomio del denominador P(s) tienen que ser

positivos y para el numerador tiene que cumplirse también que:

++ I1

E1 E2

I2

Fig. 6.6 Cuadripolo pasivo con Fuentes a la entrada y la salida

Fig. 6.7 Cuadripolo equivalente tipo π


145

0; 0 0 0, 1, 2…

De aquí ya se puede enunciar la condición de Fialkow; los coeficientes de los

parámetros admitancias son todo positivos (considerando –Y12(s)) siendo para

el numerador, los de Y11(s) y Y22(s) siempre mayores que los de –Y12(s).

Es importante puntualizar las condiciones de validez para esta afirmación. Se

trata de redes no balanceadas (un terminal común) y donde no se cancelan

términos entre el numerador y el denominador.

Una condición análoga es válida para los parámetros Z.

6.1.4 Propiedades de las estructuras en escalera

La estructura en escalera presenta las propiedades ya mencionadas, ahora

también posee propiedades particulares que serán las que se verán a

continuación. En especial interesa la ubicación de los ceros de transmisión, es

decir, los ceros de Z12(s) y Y12(s).

Sea el cuadripolo de la figura 6.8 un cuadripolo pasivo en estructura en

escalera

Los ceros de transmisión no tenían ninguna restricción, pero al restringir los

cuadripolos a una estructura con terminal común y en forma de escalera, esto

hace que también existan restricciones para los ceros de transmisión.

Se puede considerar un cuadripolo cualquiera en escalera como la

combinación de una sección formada por las impedancias Z0 y Z1 con un

cuadripolo equivalente del resto en cascada, como se ve en la figura 6.9 y

calculando la impedancia de transferencia en el cuadripolo.

Fig. 6.8 Cuadripolo en escalera

+ +

+ +

Fig. 6.9 Cuadripolo en escalera


146

Por definición se sabe que

Planteando un divisor de corriente para calcular en la figura 6.51

Para el cuadripolo completo

Para el cuadripolo equivalente al resto de la red después de haber sacado Z0 y

Z1 se tiene

Entonces se sustituyendo se llega a la ecuación:

Analizando la impedancia Z12 es obvio que se hace cero cuando:

• 0, o sea cuando la impedancia paralelo es cero

• ∞, o sea en los polos de la impedancia serie

s Es cero, o sea, cuando el cuadripolo restante tiene un cero de

transmisión.

Si se llegara a tener un cuadripolo totalmente en escalera los resultados serian

análogo, los ceros de transmisión para una red en escalera ocurren cuando la

impedancia paralelo tiene un cero o para cuando la impedancia en serie tiene

un polo, por lo tanto existirá una relación entre las impedancias en serie y en

paralelo y los ceros de transmisión. De aquí se saca una importante

conclusión, como las impedancias de rama de la red en escalera son

funciones P-R, los ceros de transmisión no pueden estar en el semiplano

derecho. Esta restricción es propia de las redes en escalera.


147

Ahora bien, no en todos los ceros de las ramas paralelas ni en todos los polos

de las ramas series ocurren ceros de transmisión.

Supóngase que simultáneamente ocurre:

0 0

Entonces esto implicaría sería una indeterminación, no hay cero de

transmisión, físicamente se puede representar figura 6.10

Como en este circuito ocurre que 0

Tampoco habrá cero de transmisión cuando ∞ y ∞, en este caso

se tendría que s , que sería también una indeterminación en la figura

6.11 se muestra el circuito. Se ha analizado la impedancia Z12(s), pero este

análisis es válido para la admitancia Y12(s)

Como entonces ∞ 0, lo que hace que el voltaje V2 sea

distinto de cero.

Es evidente que siempre que se trabaje con los parámetros Z o sea siempre

que sea relación de transferencia de corriente, se comienza y se termina el

cuadripolo con una impedancia en paralelo, se tiene impedancia serie, esta se

correspondería a un polo privada de Z11(s) o de Z22(s) según sea en la

entrada o en la salida, figura 6.12.

+

Fig. 6.10 Cuadripolo en escalera dos corto circuitos en paralelo

0

∞

+


0

00 +

+


148

Por dualidad se llega a que para el cálculo de Y12(s) no influyen en los ceros

de transmisión las admitancias que aparecen conectadas en paralelo a la

entrada y la salida, la relación de transferencia de voltaje se puede poner muy

fácilmente en función de las admitancias de corto circuito.

6.1.5 propiedades de los parámetros de los cuadripolos L-C

Si se le ponen más restricciones a los cuadripolos, es lógico que aparezcan

propiedades mas especificas a los parámetros de estos cuadripolos, ahora se

verán específicamente las propiedades de los parámetros de los cuadripolos

pasivos, en estructura en escalera que son también L-C.

Como no hay resistores la ecuación se convierte en

Obviamente se llega a que los polos estarán en el eje imaginario solamente,

siendo simples.

Se sigue cumpliendo la condición de los residuos, en este caso tiene como

consecuencia que como todos los polos están, en el eje imaginario, Z11 y Z22

son reactancias de dipolos L-C, por lo que su parte real es cero a toda

frecuencia. Aunque Z12 no es P-R, el cumplimiento de la condición de las

partes reales obliga a que también cumpla lo anterior. Es decir, que Z12 deberá

ser, también, el cociente de dos polinomios. Los polos de Z12 están en el eje

imaginario, pero los ceros no tienen esa restricción si el cuadripolo no tiene

estructura en escalera.

+


+

+



149

En el caso de estructura en escalera, en que los ceros y polos están asociados

a impedancias de ramas en serie o en paralelo, entonces estos ceros de

transmisión tienen que estar siempre sobre el eje imaginario.

Resumiendo las propiedades de: La inmitancia local Z11(s) (Y11(s)) y Z22(s) (Y22(s)), son inmitancias de dipolos

L-C y cumplen con todas las propiedades que se le habían asociado a este

tipo de inmitancia de dipolo.

1) Los polos y ceros serán alternos y estarán sobre el eje imaginario

únicamente.

2) Los polos y ceros serán simples.

3) No puede haber polos consecutivos ni ceros consecutivos.



Partiendo de estas conclusiones se puede plantear la forma general para la

inmitancia.

……

Donde se tiene m: número par

La inmitancia será el cociente de dos polinomios; uno formado solo por

potencias impares, pudiendo ser cualquiera de ellos el numerador o el

denominador, dependería de si la S esta en el numerador (elevada a la +1) o

en el denominador (elevada a la -1).

La inmitancia de transferencia Z12(s) (Y12(s)) ó Z21(s) (Y21(s)), cumplen con las

propiedades.

1) Los polos y ceros estarán sobre el eje imaginario únicamente, pero no

tienen que ser alternos.

2) Los polos y ceros serán simples salvo en el origen y el infinito que pueden

ser múltiples.



6.1.6 PROPIEDADES DE LOS PARÁMETROS DE CUADRIPOLOS R-C.


150

Haciendo un análisis semejante al realizado para los cuadripolos L-C y que no

se hará, se pueden obtener las propiedades de los parámetros de los

cuadripolos R-C, se mencionaran las más importantes para la impedancia.

1. Las impedancias locales (Z11(s), Z22(s)) son impedancias de dipolos R-C,

por lo que cumplen todas sus propiedades

• Son funciones racionales a coeficientes reales y positiva real.

• Los polos y ceros están sobre el semieje real negativo.

• Los polos y ceros son simples y alternos.

• En el origen puede haber un polo o una constante.

• Si en el origen hay una constante, la singularidad más próxima es un

polo.

• En el infinito puede haber cero o constante.

• Si en el infinito hay una constante, la singularidad más próxima es un

cero.

2. La condición de los residuos se satisfacen para todos los polos.

3. El residuo de los polos para la impedancia de transferencia Z21(s) debe

ser real pero no necesariamente positivo.

4. Los polos de Z21(s) pertenecen a Z11(s) y Z22(s), pero Z11(s) y Z22(s)

pueden tener polos que no aparezcan en Z21(s), polos privados.

5. Para una estructura en escalera todos los ceros de transmisión están en el

semieje real negativo.

6. Los ceros de transmisión se pueden asociar a elementos en serie o en

paralelo.

6.2 NORMALIZACIÓN EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS.

Supóngase que se tienen el circuito RLC serie de la figura 6.14

Aplicando la ley de Kirchhoff de voltaje se obtiene

Fig. 6.15 Circuito RLC en el tiempo

CR

L+

e(t)

i(t)

uR(t) uC(t)

uL(t)

+++


151

Sustituyendo por la relación voltaje corriente en cada uno de los elementos del

circuito y considerando condiciones iníciales nulas

1

Se puede aplicar la siguiente condición al estímulo donde E0 es un valor

constante.

Y dando como resultado una corriente a la que se le puede aplicar una

condición análoga

Si se le aplican estas condiciones a la ecuación se obtiene, sustituyendo

1

Sacando la I0 fuera de la derivada y de la integral y dividiendo toda la ecuación

por E0 y queda

Se puede plantear que

Afectar a los elementos por la constante R0 se conoce como normalización en

amplitud. La ecuación queda de forma

1

Se puede plantear también para el tiempo, algo parecido donde T0 también es

una constante, quedando

Aplicándolo a la ecuación se obtiene


152

Aplicando transformada de Laplace y el teorema del cambio de escala que

plantea: 1

Entonces 1 1 1 1 1

Considerando ahora se puede llegar a que

ó

Esto se conoce como normalización en la frecuencia, consideración que luego

será ampliada. Entonces la ecuación se transforma en 1 1

Llegando al final 1

Y donde se puede decir que los valores de los elementos de circuito quedan

normalizados en amplitud y en frecuencia.

; ;

El circuito normalizado en amplitud y frecuencia queda, figura 6.16. El estimulo

también se puede normalizar, dividiéndolo por E0. Se obtendría entonces la

respuesta, la corriente, normalizada, afectada por I0 donde

Ejemplo Sea el circuito de la figura 6.17, con los valores que aparecen, obtenga un

circuito con los valores normalizados.

Fig. 6.16 Circuito RLC en el tiempo normalizado

CX RX

LX

+ e(t)

i(t)

uR(t) uC(t)

uL(t)

+++


153

Se puede considerar R0 =100 y ω0=105, Entonces quedan los elementos de la

forma

;

2. 10 100 10 ; 10 4. 10

100 10100

20 ; 4 100

Se observa que los valores ahora son mucho más cómodos de utilizar, el

circuito se puede transformar o aplicar cualquier método de análisis, los

resultados son los esperados

6.3 FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE CUADRIPOLOS L-C CON IMPEDANCIA DE

CARGA NORMALIZADA.

Para obtener un cuadripolo, normalmente se parte de una relación de

transferencia de voltaje o de corriente, se supone que el cuadripolo opera

entre una fuente de voltaje o corriente y que tiene una impedancia de carga,

que se supondrá normalizada y de valor 1Ω. Ya se habían obtenido estas

relaciones de transferencia en función de los parámetros Z y Y.

Para la relación de transferencia de corriente


2µF10kΩ

4mH

+ e(t)

i(t)

uR(t) uC(t)

uL(t)

+++


20F100Ω

4H+

e(t)

i(t)

uR(t) uC(t)

uL(t)

+++

++ I1

V1 V2

I2

Fig. 6.19 Cuadripolo pasivo con resistor de carga de 1Ω


154

1

Para la relación de transferencia de voltaje

1

Partiendo de estas relaciones y conociendo una relación de transferencia de

voltaje o corriente, se tienen que identificar cada uno de los parámetros del

cuadripolo, note que en la expresión solo aparecen dos de los tres parámetros,

el tercero, que puede ser Z11 o Y11, quedaría determinado indirectamente

cuando se realice el cuadripolo.

Supóngase que se tiene una función de relación de transferencia de voltaje

dada por una razón de polinomios.

Si el cuadripolo es L-C, los polinomios del numerador y el denominador deben

ser:

N(s): Polinomio formado sólo por potencia par o impar y seria el numerador

de, en este caso, Y21. De tener potencias pares e impares habría que

separarlo en dos partes.

D(s): debe ser un polinomio que contenga potencias pares e impares, sin faltar

ninguna potencia. El denominador se puede separar en dos polinomios, uno

sólo formado por las potencias pares m(s) y el otro por las potencias impares

n(s), entonces:

Se puede dividir el numerador y el denominador del lado derecho de la

ecuación entre la parte par o la parte impar del denominador, si el numerador

está formado por potencias pares se divide por la parte impar del denominador

y si el numerador está formado por potencias impares, se divide numerador y

denominador por la parte par del denominador, pudiéndose comparar con la

expresión general de la relación de transferencia de voltaje en función de los

parámetros Y, quedando:

Si el numerador está formado por potencias pares.


155

1 1

Comparando queda

Si el numerador está formado por potencias impares

1 1

Comparando queda

Para los parámetros Z se procede de forma análoga, la razón de transferencia

que se tiene, en ese caso, sería una razón de transferencia de corriente,

obteniéndose:

Si el numerador está formado por potencias pares.

1 1

Comparando queda

Si el numerador está formado por potencias impares

1 1

Comparando queda

Quedaría ahora, partiendo de los parámetros Z o Y del cuadripolo, obtener los

elementos del cuadripolo que cuando tienen como resistencia de carga 1Ω,

tiene la relación de transferencia de voltaje o corriente que se quería realizar.


156

6.4 REALIZACIÓN DE CUADRIPOLOS L-C CON ESTRUCTURA EN ESCALERA.

El procedimiento a utilizar se basa en la extracción de polos, ya estudiada en

la síntesis de dipolos, con sus particularidades. Se le pueden asociar

elementos de circuitos solo a la inmitancia de dipolos, por lo tanto la función a

implementar será la impedancia Z22(s) o la admitancia Y22(s), que son

inmitancias de dipolos L-C en este caso, pero se había visto anteriormente que

en la estructura en escalera los elementos del circuito estaban asociados a los

ceros de transmisión, los ceros de transmisión son los ceros se -Z21(s) ó -

Y21(s), entonces la esencia del método consiste en: Realizar (asociar

elementos de circuito) los ceros de transmisión de la función de transferencia o

sea de -Z21(s) ó -Y21(s), realizando polos de la inmitancia de dipolo Z22(s) ó

Y22(s), el mecanismo a utilizar es el siguiente. Se deben tener polo de la

inmitancia local (Z22(s) ó Y22(s)) o de alguna función inmitancia derivada de

ella en la misma posición de un cero de transmisión de la función de

transferencia de voltaje o corriente o sea de la inmitancia de transferencia

(-Z21(s) ó -Y21(s)), para ello se hará moviendo ceros y sólo moviendo ceros de

la inmitancia local, ya se vio que cuando se hacia una extracción, los ceros se

corrían hacia donde se hacia esa extracción, en aquel momento total, ahora si

se quiere correr un cero hacia una posición especifica se puede hacer

haciendo una extracción parcial del polo. Se verá a continuación el

mecanismo a seguir.

Sea una función inmitancia local cualquiera que presente un polo en el infinito.

En un dipolo L-C la extracción de ese polo consiste en separar la función en

dos sumandos, supóngase una función impedancia Z22(s) con polo en el

infinito, entonces

: Tendrá cero en el infinito

H: es el residuo del polo en el infinito

Se ha hecho una extracción total del polo en el infinito, es posible también

realizar una extracción parcial en el infinito, consiste en separar también en

dos términos pero multiplicando el residuo por una cantidad menor que 1.

1


157

De forma que al final se obtenga

En este caso como no se extrae totalmente el polo en el infinito , la

constante es menor que el residuo del polo, eso hace que tenga polo en

el infinito en vez de cero pero con un residuo menor, se ha realizado una

extracción parcial.

En cualquiera de los dos casos, sea una extracción total o parcial, los ceros

de sufrirán una modificación con respecto a los de Z(s), se moverán los

ceros de Z(s) hacia el infinito, hacia donde se realizó la extracción, mientras los

polos permanecerán inalterable. Los polos y los ceros de la impedancia Z(s),

se saben que están en el eje imaginario, se puede obtener la reactancia

simplemente evaluando para jω,

|

Entonces se puede hacer el gráfico de reactancia contra frecuencia y analizar

de el comportamiento de los polos y ceros al hacer una extracción total o

parcial. Evaluando para jω y despejando Z1(s) se obtiene para ambos casos, la

extracción total y la extracción parcial que a la impedancia Z(s) se le resta una

recta de pendiente en un caso H (residuo del polo) y en el otro

(residuo del polo por un valor menor que 1)menor pendiente

Y la reactancia para ambos casos

Haciendo la resta gráfica, se llega a que los ceros de Z1(s) ocurren cuando se

cruzan la curva y cada una de las rectas, como se muestra en la figura 6.20.


158

Para la extracción total el cero más cercano al infinito se traslada hacia el

infinito, los otros ceros también se mueven hacia donde se hizo la extracción,

en este caso hacia el infinito, los polos se mantienen en el mismo lugar, los

polos nunca se mueven figura 6.21.

Cuando se hace la extracción parcial los ceros también se corren, figura 6.22.

Fig. 6.22 Característica de frecuencia y corrimiento de los ceros hacia una extracción parcial

Xpolo en ∞

menor residuo

Corrimiento de ceros, extracción parcial

X ω

X

X(ω) H-HKω

Fig. 6.21 Característica de frecuencia y corrimiento de los ceros, extracción total

Corrimiento de ceros, extracción total

X ω

X

X(ω)

Fig. 6.20 Característica de frecuencia y corrimiento de los ceros hacia una extracción

Xpolo en ∞

Hω

KpHω=HKω

Corrimiento de ceros, extracción total

Corrimiento de ceros,extracción parcial

X ω

X

X(ω)


159

Se pueden sacar las siguientes conclusiones

• Los ceros se mueven en la dirección del polo que ha sufrido la

extracción.

• La magnitud del desplazamiento depende del valor de Kp, siendo

máxima cuando este valor es 1.

• El desplazamiento depende de la posición de los ceros en la función

original, siendo mayor en el cero más cercano al polo que ha sido

extraído, disminuye a medida que los ceros se alejan del polo extraído

• El cero más próximo al infinito, si la extracción se realiza en el infinito,

puede ser variado en cualquier magnitud y los otros una cantidad

limitada.

• Los ceros al correrse no pueden alcanzar ni sobrepasar al polo más

cercano.

• Se pueden hacer extracciones totales o parciales en polos en cualquier

posición.

Es bueno recordar que los ceros de transmisión coinciden con los polos de la

impedancia en serie y los ceros de las impedancias en paralelo. Si la función

inmitancia local no posee los en los lugares necesarios estos pueden moverse

mediante extracciones parciales de forma conveniente. Una vez que se tiene

un cero de la inmitancia de dipolo en la posición de un cero de transmisión,

solo queda invertir la inmitancia para llevar el cero a polo y hacer una

extracción TOTAL en ese polo que se ha situado en la posición del cero de

transmisión.

Ejemplo Se tiene la función relación de transferencia de corriente y se quiere obtener

un cuadripolo que la implemente

5 434 16 225

Para obtener las impedancias Z22 y -Z21 del L-C se separa el denominador en

dos polinomios, uno de potencias pares y el otro de potencias impares..

9 2516

1 4

16


160

Solución Lo primero que se debe hacer es el diagrama de polos y ceros de –Z21 y Z22,

figura 6.23, y verificar que pertenecen a inmitancias de local y transferencial de

cuadripolos L-C, Los ceros de –Z21(s) son los ceros de transmisión, los polos y

ceros son simples, están sobre el eje imaginario y los de Z22(s) son alternos.

Los ceros de transmisión son la esencia del método.

En principio puede comenzar la realización por cualquiera de los dos ceros de

transmisión, el que está en j1 o el que está en j2, se comenzará a realizar el

cero de transmisión en j2.

Realización del cero de transmisión en j2

Se debe mover el cero de Z22(s) que está en j3 a j2, para ello se debe hacer

una extracción parcial en el origen pues se quiere mover el cero hacia ese

punto. Se descompone Z22(s) en:

Despejando

: Residuo del polo en el origen 14,0625.

: Factor menor que 1

: Coeficiente menor que el residuo del polo en el origen .

Se quiere correr el cero de Z22 que está en j3 hacia el punto j2, figura 6.24, de

forma que quede en la posición del cero de transmisión, entonces la función

Z1(s) tiene que valer o en j2, esa condición es muy importante

Fig. 6.23 Diagrama de polos y ceros de las impedancias Z22 y Z21

X jω

X XZ22(s) j3 j5 j4

j4j1 X

jω X X-Z21(s)

j2



161

| 0

De aquí se obtiene el valor de KK según

0

Entonces despejando KK

|

De donde

9 2516

4 9 4 254 16

354 8,75

Noten que KK es menor que el residuo del polo en el origen

Obteniendo la expresión analítica de Z1(s) 354

1435

Quedando la expresión

4 21,9516

Note que Z1(s) tiene un cero en j2, como era de esperar producto del término

4 y el otro cero se corrió hacia j4.685 aproximadamente. La impedancia

se descompuso en 1435

Ya la función Z1 de dipolo L-C tiene un cero en la posición del cero de

transmisión.

Pero, ¿cómo sería el circuito?

Fig. 6.24 El cero en j3 de Z22(s) se quiere mover a j2 en Z1(s)

Xjω

X XZ22(s) j3 j5 j4

j4j1 X

jω X X-Z21(s)

j2


X jω

X XZ1(s) j2 j5 j4


162

Se está realizando la impedancia de circuito abierto Z22 de un cuadripolo por lo

tanto la entrada tiene que estar abierta y el termino es un capacitor que está

en serie con la impedancia de entrada del cuadripolo restante Z1(s) como se

indica en la figura 6.25

Ahora se realizara el cero de transmisión, para ello se invierte Z1(s)

1 164 21,95

Haciendo el diagrama de Y1(s), como aparece en la figura 6.26

Para realizar el cero de transmisión se tienen que hacer la extracción total del

polo de Y1(s) que está en j2, para hacerlo se descompone Y1(s) en dos

términos.

4

Ya se está pensando que como se descompone la admitancia, el término debe

ser en paralelo.

Se había visto en el epígrafe 4.5.2 que una combinación serie de un capacitor

y un inductor tiene como admitancia

Fig. 6.26 DPC de Y1(s)

X jω

X XZ22(s) j3 j5 j4

j4j1 X

jω X X-Z21(s)

j2


jω j2XX XZ1(s)

j5 j4

XX Y1(s) j5 j4j2

Fig. 6.25 Realización de la extracción parcial cuadripolo.

435


163

1

1

Si se compara con el polo que se realizaría en j2

4

1

1

Siendo por comparación 1

14 4

El cuadripolo quedaría como se muestra en la figura 6.27

Para calcular K1 se sabe que Y1(s) en j2 tiene un polo, entonces se obtiene el

residuo del polo, evaluando para S2=-4 que es equivalente a evaluar S=j2, se

llega a que

4

Sustituyendo

164 21,95

4

Evaluando

4 164 21,25 0,695

Entonces 0,695

4

Calculando Y2(s) como: 0,695

4

Fig. 6.27 Realización de la extracción total cuadripolo.

435


164

164 21,25

0,6954

De donde se llega a que 0,304

21,25

Teniendo K1 se pueden obtener los valores de los elementos de la rama serie

L-C que se conecta en paralelo figura 6.28

Después de realizar el primer cero de transmisión, queda el segundo, se hará

el diagrama de polos y ceros de la función que queda, Y2(S), figura 6.29.

Realización del cero de transmisión en j1 Se tiene que realizar el segundo cero de transmisión, para ello se tiene que

poner un polo en esa posición, Y2(s) tiene un polo en j4.685, ese polo debe

trasladarse a j1, pero los polos no se mueven. Se tiene que invertir Y2(s), llevar

el polo en j4.685 a cero de impedancia, moverlo a j1 y luego volver a invertir

para que se convierta en polo.

Se tendrá entonces que Z2(s) es

1 21,250,304

Diagrama de polos y cero de Z2(s), figura 6.30

0,114

0 174F

1,43H

Fig. 6.28 Realización de la extracción total cuadripolo.

Fig. 6.29 DPC de Y2

Xjω

X XZ22(s) j3 j5 j4

j4j1 X

jω X X-Z21(s)

j2


jω j2

XY2(s)

XX Y1(s) J4,685 j4j2

XX XZ1(s) J4,685 j4

J4,685


165

Se debe mover el cero hacia j1, para ello se debe hacer una extracción parcial

en el origen de forma que se obtenga Z3(s) con un cero en j1 como se ve en la

figura 4.67. Para hacer la extracción parcial en el origen se descompone Z2(s)

de la forma

Despejando

: Coeficiente menor que el residuo del polo en el origen, es de notar que

vamos a obtener directamente K2. Se muestra en la figura 6.31 como el cero

está en la posición del cero de transmisión.

Xjω

X XZ22(s) j3 j5 j4

j4j1 X

jω X X-Z21(s)

j2


jω j2

XY2(s)

XX Y1(s) J4,685 j4j2

XX XZ1(s) J4,685 j4

J4,685

Fig. 6.31 DPC de Z3(s)

X Z2(s) J4,685

X

X Z3(s) J4,685

X j1

Xjω

X XZ22(s) j3 j5 j4

j4j1 X

jω X X-Z21(s)

j2


jω j2

X Y2(s)

X X Y1(s) J4,685 j4j2

XX XZ1(s) J4,685 j4

J4,685

Fig. 6.30 DPC de Z2(s) X Z2(s)

J4,685 X


166

Se debe cumplir que

| 0

De aquí se obtiene el valor de K2 según la igualdad

0

Entonces despejando K2

|

De donde

21,250,304

1 21,250,304

20,250,304

Entonces la descomposición es 20,250,304 20,25

0,304

Obteniendo la expresión analítica de Z3(s)

21,250,304

20,250,304

Fácilmente se llega a que

10,304

Entonces se ha descompuesto Z2(s) de la forma

20,250,304

10,304

10,304

10,304

Se llega a que el cuadripolo después de hacer la extracción parcial es el de la

figura 6.32.

Se debe invertir Z3(s) para obtener la admitancia Y3(s) que tiene un polo en j1,

como se necesitaba para realizar el cero de transmisión en j1, se debe

0,174F

1,43H

Fig. 6.32 Realización de la extracción parcial.

0,1140,015


167

destacar que el diagrama de polos y ceros de Y3(s) y Y2(s) tienen la misma

distribución de polos y ceros, figura 6.33, pero con una diferencia significativa,

Y2(s) no realiza el cero de transmisión y Y3(s) si. Se pueden comparar también

las expresiones de estas dos admitancia, solo difieren en las constantes,

ambas representarían una rama serie LC, que se puede conectar en paralelo,

pero Y3(s) realiza cero de transmisión y Y2(s) no. 0,304

1

0,30421,25

Para realizar la expresión de Y3(s) se compara con la forma general de la

admitancia de un dipolo L-C en serie

0,3041

1

1

Quedando los valores de los elementos 1

0,304 3,29 ; 0,304

El cuadripolo queda como el de la figura 6.34, note que tiene un resistor de

carga de 1Ω.

Xjω

X XZ22(s) j3 j5 j4

j4j1 X

jω X X-Z21(s)

j2


jω j2

X Y2(s)

XX Y1(s) J4,685 j4j2

XX XZ1(s) J4,685 j4

J4,685

Fig. 6.33 DPC de Y3(s)

X Z2(s) J4,685

X

X Z3(s) J4,685

X j1

Y3(s) X j1


168

Se puede destacar que en dependencia de que cero de transmisión se realice

primero se obtendría un cuadripolo diferente aunque con los mismos

parámetros Z22(s) y Z21(s). La cantidad de elemento también puede depender

de la forma en que se realice, no se puede determinar a priori. Si la función

local tiene polos privados, se tienen que realizar primero.

Existen algunos casos particulares que se deben mencionar, si todos los ceros

de transmisión están en el infinito, se tienen que hacer extracciones sucesivas

de polos en el infinito a la inmitancia local, esto es exactamente Cauer 1, si

todos los ceros de transmisión están en el origen habría que hacer

extracciones sucesivas de polos en el origen a la inmitancia local, es aplicar

Cauer 2. Como conclusión se tiene que los métodos de Cauer utilizados para

los dipolos, se pueden utilizar para los cuadripolos si los ceros de transmisión

están todos en el infinito o todos en el origen.

6.5 REALIZACIÓN DE CUADRIPOLOS R-C

6.5.1 Función de transferencia de cuadripolos R-C con impedancia de

carga normalizada.

Se conocen las expresiones para la relación de transferencia de voltaje y

corriente de un cuadripolo pasivo con un resistor de carga de un ohm, en

función de los parámetros impedancias de circuito abierto y admitancia de

corto circuito del cuadripolo. Para la identificación de los parámetros en el

cuadripolo L-C fue muy fácil, no siendo así en los cuadripolo R-C, tanto en el

numerados como en el denominador existirán todas las potencias en los

polinomios.

Partiendo de la relación de transferencia, para poder identificar los parámetros

del cuadripolo se tiene que tener muy en cuenta las propiedades de los

parámetros de cuadripolos R-C.

0,174F

1,43H

Fig. 6.34 El cuadripolo.

0,1140,015

0 304F

3,29H 1Ω


169

Sea la función relación de transferencia de corriente de un cuadripolo, dada

como una razón de polinomios, para que los ceros de transmisión sean reales,

las raíces del numerador tienen que ser reales también.

Se sabe además que:

1

Es evidente que si Z22(s) es la impedancia de un dipolo R-C, si se le suma un

valor constante 1, sigue siendo impedancia de dipolo R-C.

Comparando las dos expresiones se obtiene

1

Se observa que se tienen los numeradores de , para tener los

parámetros del cuadripolos se necesita buscar un polinomio Q(s) para el

denominador, este debe ser tal que , sea la impedancia de un dipolo R-C,

de aquí se puede concluir que habrían infinitos cuadripolos que se pudieran

escoger, existiendo un número infinito de soluciones. Una vez escogido el

polinomio Q(s), se divide numerador y denominador por él

1

y se obtienen ,

1

Con se obtiene utilizando la expresión.

1

Que tiene que seguir siendo la impedancia de dipolo R-C.

6.5.2 Realización de cuadripolos R-C en estructura en escalera.

El procedimiento es análogo al utilizado para realizar cuadripolos R-C, debido

a la naturaleza de los elementos de circuito las operaciones factibles para el

corrimiento de los ceros son:


170

• Extracción de constante en el infinito para Z(s)

• Extracción de constante en el origen para Y(s)

• Extracción de polos reales en el semieje real negativo.

Para la relación de transferencia de voltaje es el dual

Ejemplo. Se tiene la siguiente función de sistema, realice un cuadripolo R-C.

12

2 10 11

Resolución Se tiene que

0,52 10 11 1

0.52 1,64 3,36

Se escoge un polinomio Q(s) que tenga la menor cantidad de polos y una

distribución tal que la admitancia local sea admitancia de un dipolo R-C.

2 4

Entonces

2 1,64 3,362 4

0,5

2 4

Para calcular Y22(s)

12 1,64 3,36

2 4 1

De aquí se obtiene

1 32 4

Siguiendo un procedimiento análogo al que se utilizó para cuadripolos L-C, se

obtiene el DPC y ambas admitancias.

Fig. 6.35 Diagrama de polos y ceros de las admitancias Y22 y -Y21

X

-σ

K XY22(s) -3 -1-2

-2X

0 X -Y21(s) -4


-4K -σ

∞ K

-0,5


171

Hay dos ceros de transmisión, en cero y en 0,5 que son los que se tienen que

realizar, el orden es cualquiera pero lo más fácil siempre es empezar por el

origen y el infinito, en este caso comenzamos por el origen que es donde hay

un cero de transmisión. Se comienza extrayendo la constante del origen para

correr el cero que tiene Y22(s) hacia ese lugar, la extracción tiene que ser total.

Es importante destacar que aunque se extrae la constante en el origen, las

constantes no realizan ceros de transmisión figura 6.36.

0 1 0 30 2 0 4

38

Se tiene que calcular Y(s)

1 32 4

38

Resolviendo se obtiene

0,625 2,82 4

Note el cero en el origen, el cuadripolo queda, figura 6.37

Se invierte la admitancia y queda un polo en el origen, se extrae totalmente

para realizar el cero de transmisión, figura 6.38.

1 2 40,625 2,8

Fig. 6.36 Diagrama de polos y ceros de las admitancias Y22 y -Y21

X

-σ

K1 XY22(s) -3 -1-2

-2X

0 X -Y21(s) -4


-4K

-σ

∞ K

XXY1(s) -2,8 -1-2-4

K -σ

-0,5

Fig. 6.37 Realización de la extracción parcial cuadripolo.

38Ω


172

Descomponiendo Z1(s) para hacer la extracción del polo en el origen

Para calcular K0

|0 2 0 40,625 0 2,8 4,57

El cuadripolo queda, figura 6.39

La impedancia Z2(s) se obtiene según 4,57 1,6 3,1

2,8

El diagrama de polos y ceros queda como se muestra en la figura 6.40, note

que en el infinito hay una constante y el cero se corre hacia esa dirección.

Fig. 6.38 Diagrama de polos y ceros de la impedancia Z1

X

-σ

K1 XY22(s) -3 -1 -2

-2X

0 X -Y21(s) -4


-4K

-σ

∞ K

X XY1(s) -2,8 -2-4

K -σ

X XZ1(s) -2,8 -2-4

K2 -σ

-0,5

0,219


38Ω


X

-σ

K1 XY22(s) -3 -1 -2

-2X

0 X -Y21(s) -4


-4K

-σ

∞K

XXY1(s) -2,8 -2-4

K -σ

X XZ1(s) -2,8 -2-4K2

-σ

XZ2(s) -2,8 -3,1K4

-σK3

-0,5


173

Debe realizarse el cero de transmisión en -0,5, para ello se invierte la función

Z2(s) y se obtiene la admitancia Y2(s)

2,81,6 3,1

Se hace la extracción de la constante en el origen para mover el cero en -2,8

hacia -0,5, figura 6.41

Descomponiendo la admitancia Y2(s) de la forma

Es de destacar que el término H0 representa una conductancia en paralelo. El

valor se obtiene despejando y evaluando para S= -0,5 donde la admitancia

Y3(s) tiene que tener un cero.

| , 0 ,

Entonces

,2,8

1,6 3,1 ,

Sustituyendo

0,5 2,81,6 0,5 3,1 0,553

Para obtener Y3(s)

0,5532,8

1,6 3,1 0,553

Se obtiene

Fig. 6.41 Diagrama de polos y ceros de la impedancia Y2

X

-σ

K1 XY22(s) -3 -1 -2

-2X

0 X -Y21(s) -4


-4K

-σ

∞ K

XXY1(s) -2,8 -2-4

K -σ

X XZ1(s) -2,8 -2-4K2

-σ

XZ2(s) -2,8 -3,1K4

-σK3

-0,5

XY2(s) -2,8 -3,1K6

-σK5 -0,5


174

0,081 0,53,1

Como se esperaba, el cero se corrió a -0,5, figura 6.43 y la descomposición es

0,5530,081 0,5

3,1

El cuadripolo queda como se muestra en la figura 6.42

El diagrama de polos y ceros queda

Invirtiendo se obtiene la impedancia Z3(s) con un polo en -0,5, la misma

posición que el cero de transmisión, figura 6.44, se puede extraer totalmente y

hacer la realización del cero de transmisión en -0,5

0,219


38Ω

10,553

Ω

X

-σ

K1XY22(s) -3 -1 -2

-2X

0 X -Y21(s) -4


-4K

-σ

∞K

X XY1(s) -2,8 -2-4

K -σ

X XZ1(s) -2,8 -2-4K2

-σ

XZ2(s) -2,8 -3,1K4

-σK3

-0,5

XY2(s) -2,8 -3,1K6

-σK5

XY2(s) -2,8 K8 K7

XY3(s) K10 K9 -0,5

-3,1

-3,1

Fig. 6.43 Diagrama de polos y ceros de la impedancia Y3


175

3,1

0,081 0,5

Descomponiendo Z3(s) se obtiene

0,5

Calculando k1 a través de la expresión.

0,5 | ,

Sustituyendo 3,1

0,081 0,50,5 | ,

0,5 3,10,081

32.1

Obteniendo ahora Z4(s), según 32,10,5

12,34 3,10,5

32,10,5

12,34 6,170,5

Sacando 12,34 factor común se obtiene 12,34 0,5

0,512,34

Entonces la descomposición de Z3(s) queda 32,10,5

12,34


X

-σ

K1XY22(s) -3 -1 -2

-2X

0 X -Y21(s) -4


-4K

-σ

∞K

XXY1(s) -2,8 -2-4

K -σ

X XZ1(s) -2,8 -2-4K2

-σ

XZ2(s) -2,8 -3,1K4

-σK3

-0,5

XY2(s) -2,8 -3,1K6

-σK5

XY2(s) -2,8 K8 K7

XY3(s) K10 K9 -0,5

XZ3(s) K12 K11

-0,5

-3,1

-3,1

-3,1


176

Esta descomposición se corresponde con un circuito paralelo R-C conectado

en serie con un resistor de 12,34Ω, para obtener los valores del circuito

paralelo se comparan

32,10,5

1

1

Obteniéndose que 1

32,1 0,031 10,5 64,2Ω

Quedando el cuadripolo figura 6.45

Si se cortocircuita la salida las inmitancia en cada punto son las que son las

mostradas en la figura 6.46

6.6 REALIZACIÓN DE CUADRIPOLOS ACTIVOS.

Las relaciones de transferencias que se obtienen, bajo determinadas

condiciones, pueden presentar polos complejos conjugados. Para realizar

funciones de este tipo, con elementos pasivos, siempre se requerirán redes

con elementos L-C, estas funciones no pueden ser realizadas por redes R-C

pasivas.

Una forma de realizar funciones de transferencias con polos complejos

conjugados, es utilizando redes R-C, uno o varios elementos activos y

0,219

Fig. 6.45 Realización total de cuadripolo

12,34Ω

0,031

64,2Ω1,923Ω 2,67Ω

0,219

Fig. 6.46 Realización total de cuadripolo

12,34Ω

0,031

64,2Ω1,923Ω 2,67Ω


177

realimentación, con estas redes activas se logra eliminar el elemento más

conflictivo y menos comercializad en la síntesis de redes, el inductor.

La síntesis con elementos activos es muy amplia, existen muchos métodos y

formas para su realización, el desarrollo de la electrónica ha hecho de este

campo un arte que se desarrollo mucho en la década de los años 70 y 80, del

siglo pasado, el desarrollo de la tecnología integrada, los microprocesadores,

los ordenadores y el procesamiento digital de señales no ha opacado este

campo, las señales son continuas en su gran mayoría y siempre habrá

necesidad de hacer un preprocesamiento.

Sea una red activa que puede ser separada en dos multipolos, uno activo y

otro donde se concentran los elementos pasivos figura 6.47

Los elementos activos que se utilizan en la síntesis de redes pueden ser de

diferentes tipos, convertidores de impedancia negativa, giradores, diferentes

tipos de fuentes controladas, amplificadores de ganancia positiva o negativa,

amplificadores de ganancia infinita, etc. De todos los tipos de elementos

activos las diferentes fuentes de voltaje o corriente, controladas o

dependientes por voltaje o corriente, (FVDV, FVDC, FCDC y FCDV) son muy

usadas, se estudiara en este epígrafe, la realización de cuadripolos activos

con fuentes de voltaje dependiente de voltaje FVDV ideal y redes R-C.

Multipolo

Activo

B

Multipolo

Pasivo

A

Fig. 6.47 Red activa

Multipolo Activo BMultipolo

Pasivo

A


FVCV


178

Se puede considera el multipolo A como una rede R-C y el multipolo B como

una fuente de voltaje dependiente de voltaje ideal figura 4.89, que además

presenta realimentación.

La síntesis con elementos activos se puede utilizar para cualquier relación de

transferencia, de voltaje o de corriente, se tratara solo el caso donde la

relación de transferencia es de voltaje. En dependencia del tipo de fuente,

como sea la realimentación y como se realice el multipolo pasivo, la red

obtenida será diferente.

Considere que el multipolo pasivo es un hexapolo pasivo R-C figura 6.49 se

puede considerar

El hexapolo es lineal, las ecuaciones que describen su comportamiento son

Esta FVDV ideal es el esquema equivalente de un amplificador operacional de

ganancia finita, que ya se ha analizado, se representa en la figura 6.50

Sustituyendo el multipolo activo por el esquema equivalente de la FVCV que

aparece en la figura 6.50 se obtiene el esquema de la figura 6.51.

Posteriormente se puede sustituir el esquema equivalente por el circuito con el

amplificador operacional.

1'

2'3' 1

2 3

Multipolo Activo B

Multipolo

Pasivo

A

R-C


FVCV

I1

I2 I3 V3

V1

V2 +

+

+

V3

I'3 +

V2

I'2 + +

AV2

+-

R'

R''

V2 V3

++

Fig. 6.50 FVDV y su implementación

1


179

Para obtener la relación de transferencia de voltaje

Partiendo del sistema de ecuaciones y conociendo que

0

Se llega a que

0

Entonces

0

Por último

Se obtuvo la expresión para la relación de transferencia de voltaje del

hexapolo, considerando como respuesta V3 y como estímulo V1, en función de

los parámetros del hexapolo y de los parámetros de la FVCV.

La esencia del método consiste en comparar esta ecuación obtenida para la

FVCV y el hexapolo , con la relación de transferencia de voltaje que se

quiere implementar.

Independiente del tipo de fuente escogida, de cuales sean los terminales de

entrada y salida y de cómo sea la realimentación, se llegará siempre al mismo

punto; la comparación entre dos funciones, la relación de transferencia de la

red y la relación de transferencia que se quiere implementar.

1' 2'

3'

1 2

3 Multipolo

Pasivo

A

R-C

Fig. 6.51 Red activa con FVCV

I1 I2

I3 V3

V1

+

+V3

I'3 +

V2

I'2 + +

AV2


180

El arte estriba en la habilidad para identificar cada término. Para ello se utilizan

diferentes descomposiciones matemática de polinomios.

Las admitancias son razones de polinomios, esto hace que haya que llevar a

a una razón entre dos cocientes de polinomios, ya esto se hizo, seria

obtener un polinomio Q(s) para dividir numerados y denominador, para que la

cantidad de elementos sea mínima, se debe escoger el polinomio de un grado

menor que D(s), además de raíces reales, la relación de transferencia queda:

Comparando

Se obtiene

Se tiene que separar la razón en dos partes para asociarle una parte a

Y22(s) y otra parte a AY23(s) o sea se debe llegar a:

Siempre se escoge de grado igual que D(s). Se puede descomponer

como una suma o una diferencia, esto se debe a que como Y23(s) esta

multiplicada por la ganancia de la FVCV, esta puede ser una fuente de

ganancia positiva o de ganancia negativa y es capaz de neutralizar el signo.

Haciendo la comparación se llega

1 ;

1

Y22(s) es una admitancia de entrada por lo tanto tiene que cumplir todas las

propiedades de la admitancia de un dipolo R-C.


181

La descomposición de DQ

puede hacerse de muchas formas, incluso por

tanteo, teniendo en cuenta que D s tiene que tener raíces reales y alternas a

la de Q(s).

Se verá una realización para la descomposición suma y otra para la

descomposición diferencia, utilizando una descomposición optima de

polinomios buscando la forma de obtener la menor cantidad de elementos.

Este tipo de síntesis activa se utiliza fundamentalmente para obtener

estructuras que luego se utilizan ajustando los valores de las componentes.

El procedimiento se ilustrará con un ejemplo muy utilizado, una relación de

transferencia de voltaje de segundo orden o sea formada por un par de polos

complejos conjugados y en este caso con todos los ceros de transmisión en el

infinito.

Se supone la función de sistema

Para obtener las raíces

,√ 42

Para que las raíces sean complejas debe cumplirse que 4 , si las raíces

son complejas y se quieren convertir en reales, se debe buscar la forma que

se cumpla 4 , esto se logra de dos formas posible, aumentando B

(coeficiente de S) o disminuyendo C (término independiente).

Se considerará que las raíces son:

De forma que

2

Dividiendo numerador y denominador por Q(s)

2

De donde


182

y

2

6.6.1 Descomposición suma

Para la descomposición suma se debe escoger un polinomio Q(s), según

Horowitz, que sea de un grado menor y dado por

Quedaría entonces

Para poder descomponer en dos fracciones, tiene que ser un polinomio

del mismo grado que D(s) pero de raíces reales, se lograría si se disminuye el

valor de C o sea descomponiendo C en dos sumandos de donde

se llega a

Entonces

Se ha llegado a la descomposición suma de polinomios.

Se tendrá que es un polinomio de raíces reales

Comparando con D(s)

2

Ahora se llega a que se tiene que cumplir las siguientes condiciones.

2


183

De estas ecuaciones se escogen unos valores y se obtienen los otros.

6.6.2 Descomposición diferencia

Para la descomposición diferencia se escoge como polinomio del denominador

√

√

Para poder descomponer en dos fracciones, tiene que ser un polinomio

del mismo grado que D(s) pero de raíces reales, se lograría si se aumenta el

valor de B o sea descomponiendo B en dos sumandos de donde

se llega a

Entonces

√ √

Se ha llegado a la descomposición suma de polinomios.

√

√

Se tendrá que es un polinomio de raíces reales

Comparando con D(s)

2

Ahora se llega a que se tiene que cumplir las siguientes condiciones.

2

√

Semejante al epígrafe anterior, se escogen unos valores y se obtienen los

otros.

Una vez identificado los términos del hexapolo queda realizarlo con los

conceptos que se han estudiado hasta el momento y con su particularidad, se

verá la forma a través de un ejemplo del cual se sacaran conclusiones.


184

Ejemplo. Dada la siguiente función obtenga una red que la realice.

10√2 1

Descomponiendo el denominador 10

√22

√22

√22

√22

100,707 0,707 0,707 0,707

Utilizando la descomposición diferencia Se tiene que

√22 1

Escogiendo Q(s)

√ 1

Entonces 101

√2 11

Por lo que

101

√2 11

Entonces

1 1

Aplicando las siguientes condiciones.

2 √2

1

√ 1

Escogiendo un valor cualquiera para , se puede notar que existen infinitos

valores para él, por lo tanto habrá infinitas soluciones para este problema.

√2 1,414


185

Se obtiene según

1 1√2

√22 0,707

Se cumple la condición

1 1,414 1 0,707

Despejando de

√2

Se obtiene

√2√22

3√22 2,121

Entonces la descomposición queda

2,121 11

0,7071

Ya se han identificado todos los parámetros del hexapolo.

101

10

1

2,121 11

0,7071

0,707

1

Es de notar que Y22(s) tiene todos los ceros de transmisión en el infinito, para

realizar un cuadripolo de parámetros Y22(s) y –Y21(s) se tienen que realizar los

ceros de transmisión, todos están en el infinito, por lo que se tienen que hacer

extracciones sucesivas de polos en el infinito a la admitancia y constantes a la

impedancia.

Realización del cuadripolo utilizando Cauer 1 de dipolo para hacer las

extracciones sucesivas en el infinito Inmitancia Y(s) Z(s) Y(s) Z(s)

Cociente S 0,892 10,37S 0,108

2,121 1 1 1,121 1 0,108 1

0,892 1,121 0,108

Resto 1,121 1 0,108 1 0


186

El cuadripolo queda, figura 6.52

Se tiene realizado un cuadripolo y lo que se quiere es obtener un hexapolo. Se

puede realizar de varias formas, una de ellas es separar el capacitor C en y

de forma que , pues dos capacitores en paralelo se suman,

figura 6.53.

Calculando ahora Y21(s) y Y23(s), según el sistema de ecuaciones

La admitancia de transferencia Y21(s) figura 6.54

1

La admitancia de transferencia Y32(s)

Fig. 6.52 Cuadripolo

0,10810,37

10,89Ω

1'

1 2

2'


1'

1 2

2'

3'

3

+


1'

1 2

2'

3'

3

+


1'

1 2

2'

3'

3


187

Comparando

0,707

1

Se llega a que

0,707

0,707 6,46

Se selecciona un valor de A y se calcula pero tiene que ser menor que C2,

si se le asigno el valor 2 para A. Se llega a que

2 , , 3,73

10,37 3,73 7,14

El circuito final queda en función de la FVDV se muestra en la figura 6.56

Realizando la FVCV con un amplificador operacional y sustituyéndola en el

circuito figura 6.57

Fig. 6.56 Hexapolo activo con la FVCV ideal

1'

1

3'

3

2'

2 I2

V3

I'3 +

V2

I'2

++

AV2

FVDV

Fig. 6.57 Hexapolo realizando la FVCV con un amplificador operacional

1'

1

3'

3

FVDV

+-

R'

R''

V2 V3

++


188

Reajustando la topología se llega al circuito de la figura 6.58

Si se considera 0 entonces se llega a que

10,37

Quedando el circuito de la figura 6.59

Aplicando la descomposición suma Para la descomposición suma se había planteado que Q(s) se debía escoger

según Horowitz

√22 0,707

Y se había llegado a

10

10

0,707

Haciendo la descomposición

Se tendrá que es un polinomio de raíces reales , se tiene que

cumplir las siguientes condiciones.

2 √2

Fig. 6.58 Circuito final

+-

R'

R''

V3 +V1

Fig. 6.59 Circuito final estructura de Sallen & kay

+-

R'

R''

V3 +V1


189

1

0,707

Entonces escogiendo el valor de

0,1 √2 1,314

Despejando

1 0,869

Sustituyendo se obtiene

1,414 0,1

0,707

0,8690,707

Y

10

0,707 ; 0,1 1,314

0,707 0,869

0,707

Importante destacar que Y23(s) tiene que realizarse con precisión pues es una

parte del polinomio del denominador de la función del sistema HV(s),

incluyendo el signo que tiene que ser negativo, por lo tanto la ganancia tiene

que ser negativa, es la que aporta el signo. Esto no ocurre para Y21(s), el signo

positivo o negativo implica que el numerador de la relación de transferencia de

voltaje HV(s) es positivo o negativo, un cambio de fase de 180° o sin cambio de

fase.

Para la realización del cuadripolo partiendo de Y22(s), realizando los ceros de

transmisión de Y23(s), están todos en el infinito, se aplica de nuevo Cauer 1. Inmitancia Y(s) Z(s) Y(s) Z(s)

Cociente S 1,43 1,35S 3,97

1,414 0,1 0,7 0,7 0,131 0,52 0,131

0,7 0,18 0,7 0,52

Resto 0,7 0,131 0,52 0,131 0

El cuadripolo queda

Para realizar el hexapolo se puede separar el resistor R2 en dos partes como

se muestra en la figura 6.61


3,97Ω1,35

11,43Ω

1'

1 2

2'


190

Calculando las admitancias de transferencia se obtiene para Y21(s) 1

Para Y23(s) 1

Comparando

00,869

0,707

1

Se llega a la siguiente igualdad

0,869 1

Despejando la ganancia 0,869

Como se observa la ganancia tiene que ser negativa, es una FVCV tiene que

ser de ganancia negativa además se tiene que cumplir 1

0,252

Entonces dándole un valor a la conductancia se obtiene la ganancia.

0,1 0,252 0,1 0,152

Y la ganancia 0,869 1.43 1,35

0,1 16.776


1,35 1

1,43Ω

1'

1 2

2'

3


191

Realizando la FVCV de ganancia negativa con una combinación cascada de

una FVCV y un amplificador de ganancia negativa figura 6.62

Fig. 6.62 Hexapolo realizando la FVCV de ganancia negativa con dos amplificadores operacionales

1'

1

3'

3

V2 +

-FVCV

+-

R'

R''

V3

++-

R R

Capítulo VII. Problema de la aproximación

192

7. PROBLEMA DE LA APROXIMACIÓN

Con el desarrollo de la transmisión de señales, surge la necesidad de separar

o seleccionar determinado intervalo de frecuencias, de ahí que se necesite

desarrollar dispositivos que cumplan esta función. Estos dispositivos son los

llamados filtros de señal, los que al comienzo eran diseñados por métodos que

consistían en analizar distintas configuraciones (comportamiento con la

frecuencia, impedancia de entrada, etc.) y posteriormente, según los

requerimientos de diseño, se seleccionaba, la configuración que más se

ajustaba a la aplicación a realizar y se le ajustaban los parámetros para una

aplicación determinada. Los filtros de Zobell y Cambell son un ejemplo de este

método.

Más modernamente se han utilizado métodos basados en la síntesis de redes

o sea obtener estructuras que respondan a determinada función de sistema,

así en la segunda mitad del siglo pasado se desarrollaron un gran número de

estructuras de circuitos con una gran diversidad de elementos que respondían

a una función determinada, surgieron sistemas con convertidores de

impedancia negativa, giradores, amplificadores de ganancia infinita,

amplificadores de ganancia finita, etc., luego se ideó la variante de, para una

estructura dada, variar los valores de determinada componente, ajustar los

parámetros, para obtener los coeficientes de la función de sistema a

implementar y así cumplir con determinados criterios de diseño.

En el diseño de filtros se puede seguir la línea de la síntesis de redes, siendo

necesario obtener la función del sistema en el plano S que cumpla con las

Especificaciones Técnico Económica (ETE) del filtro que se quiere diseñar.

Esta función debe representar la característica de frecuencia del filtro o sea la

respuesta de frecuencia del filtro que se implementará y a la vez debe dar

como resultado un circuito lo más económico posible, siendo precisamente los

diferentes métodos existentes los que conforman el denominado problema de

la aproximación.

En la ciencia y en la técnica es usual la necesidad de representar una función

a través de otra o de combinaciones lineales de otras o sea aproximar una


193

función a otra, por lo que es necesario tener una medida de cuán satisfactoria

es esa aproximación. Se han desarrollado diferentes criterios para indicar la

proximidad entre dos funciones y el error que se comete al representar una

función por otra; cada criterio tiene su particularidad y se aplica en diferentes

circunstancias según sea el caso. Uno de estos criterios es el de proximidad

en el sentido de Taylor.

7.1 PROXIMIDAD EN EL SENTIDO DE TAYLOR. Sea f1(x) una función definida en el intervalo (a, b) a la que se quiere aproximar

la función f(x) que está definida en el mismo intervalo (a, b); supóngase que

ambas funciones admiten desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto

x=x0 y que ambas series convergen en el intervalo (a, b).

Donde los coeficientes an y bn están dados por

!

!

Y son los coeficientes de Taylor.

Se dice que la función f(x) se aproxima a la función f1(x) en el sentido de

Taylor, si los K primeros coeficientes de las series son iguales

a0 = b0; a1 = b1;.... aK = bK.

Si se define el error e(x), como la diferencia entre las dos funciones, se puede

expresar por:

Que es el desarrollo en serie de Taylor de la función error e(x), en el que se

puede observar que los K primeros términos de esta función error son cero,

por lo que se plantea que las K primeras derivadas del desarrollo en serie de

Taylor alrededor del punto x=x0 de la función error son cero. Esta será la

característica de la aproximación de dos funciones en el sentido de Taylor.

Analizando el comportamiento del error se tiene que en el punto x=x0 es cero,

pero a medida que x se aleja de x0 va aumentando.


194

7.2 CRITERIO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS. Otro criterio para considerar el error que se comete al aproximar dos funciones

es el de los mínimos cuadrados que consiste en minimizar el error medio

cuadrático, según la integral siguiente:

El error en este caso es promedio en todo el intervalo, por lo que en un

conjunto finito de puntos, la diferencia entre las dos funciones, e(x), puede ser

grande. En realidad puede que interese que el comportamiento en el Intervalo

sea diferente en cada parte, y entonces se considera una función de

ponderación para multiplicar el error al cuadrado quedando:

Es evidente que en dependencia de la función de ponderación W(x) que se

tome, el criterio para la aproximación será diferente. En matemática este

criterio de los mínimos cuadrados es muy usado, en circuitos eléctricos su

utilidad es menor.

7.3 CRITERIO DE PROXIMIDAD DE CHEBYSHEV Otro criterio utilizado se basa en escoger una función de aproximación f(x) que

oscile alrededor de f1 (x), entonces la diferencia entre las dos funciones:

Tendrá una serie de ondulaciones que serán en general, de diferentes

tamaños.

Ahora bien, mientras más complejo sea f(x), o sea, mientras más parámetros a

ajustar tenga f(x), mejor será la aproximación. Supóngase que f(x) sólo tiene

un parámetro ajustable que son los coeficientes de un polinomio de grado n.

1

e(x)

f(x)

f1(x)

xx

ζ

Fig. 7.1 Ondulaciones del error


195

Una vía para definir la mejor aproximación de f(x) a f1(x) es hacer que el mayor

pico de error sea mínimo y es esa la condición que tiene la aproximación de

Chebyshev.

Se dice que la función f(x, a1, a2...an) que tienen n parámetros ajustables

(a1, a2...an) se aproxima a f1(x) en el sentido de Chebyshev, si se obtienen los

valores de dichos parámetros de forma tal que el mayor valor del error e(x)

sea mínimo en el intervalo (a, b).

Se puede justificar que cuando una función racional f(x) con n parámetros, se

aproxima a una función f1(x) en un intervalo (a, b) en el sentido de Chebyshev,

todas las ondulaciones del error e(x) serán de igual magnitud, por lo que esta

aproximación se conoce también, como de igual ondulación.

7.4 GENERALIDADES DE LA APROXIMACIÓN La función f1(x) a la que se le quiere encontrar una aproximación es la

característica de frecuencias de un filtro ideal pasa bajo.

Las características de amplitud y fase ideal, para un filtro pasa bajo se

muestran en la figura 7.2

Si se expresa la amplitud en decibeles (dB), aplicando la relación

| | 20 | |

El gráfico quedará

Fig. 7.2 Característica amplitud y fase de un filtro ideal pasa bajo

1|H1(jω)|

ω

ArgH1(jω)

ω ωc

ωC

Fig. 7.3 Característica amplitud frecuencia en dB

0 dB ω

ωC

| |

−∞ dB


196

Estas características ideales de amplitud y fase son físicamente irrealizables;

sin embargo, en el diseño de filtros todo el esfuerzo se dirige a aproximarse

tanto como se necesite a esta característica ideal, por lo que se obtendrán por

diferentes métodos, diferentes funciones analíticas que se aproximen a la

característica del filtro.

Una buena aproximación a la característica de amplitud no lo será tanto para

la fase y viceversa, según se necesite, se aproximará la función a la fase o a la

amplitud. En este caso se obtendrán funciones que se aproximen a la

característica de amplitud sin considerar la de la fase, es la que más se utiliza.

Se verán solo métodos de aproximación a la característica de amplitud de un

filtro. Si se quiere obtener una función que se aproxime a la característica ideal

de amplitud de un filtro, es imposible pues se necesitarían infinitos elementos

para la implementación, lo que se hace es poner condiciones para la amplitud

en la banda de paso y en la banda de atenuación, de forma que en la banda

de paso (0≤ω≤ωC) la amplitud debe estar entre a y 1 (a≤|H1(jω)|≤1) y en la

banda de atenuación entre ωa y el infinito (ωa ≤ω≤∞) la amplitud debe estar

entre 0 y el valor de a1 (0≤|H1(jω)|≤a1) con cualquier forma, en el intervalo de

frecuencias entre la banda de paso y la banda de atenuación o sea en la

banda de seguridad (ωc<ω<ωa) la amplitud debe ir de a hacia a1, en la figura

7.4 se observa:

Los requerimientos que se tienen que cumplir al hallar la aproximación a la

característica de un filtro, en la práctica, no son ideales y se expresan

comúnmente mediante gráficos de amplitud |H(jω)|, Amplitud en decibel

|H(jω)|dB o de atenuación en decibel AdB, contra frecuencia angular (ω) o contra

frecuencia (f) figura 7.5, la relación entre amplitud y amplitud en dB es la

siguiente:

Fig. 7.4 Característica real de un filtro pasa bajo

1

|H1(jω)|

ω

ωC ωa

aa1


197

| | 20 | |

Evaluando para cada caso se llega a que

20 log 20log

En la banda de paso (0<ω<ωc) se señala el mayor error que se admite, la

mayor atenuación (A). En la banda de atenuación (ω>ωa) se señala la menor

atenuación (A1) que se puede permitir a partir de la frecuencia ωa. La banda

de seguridad (ωc<ω<ωa) es el intervalo de frecuencia en que la atenuación

tiene que ir del máximo valor admitido en la banda de paso (A) al mínimo que

se admite en la banda de atenuación (A1).

Tomando como base estas especificaciones se explicarán ahora dos de las

aproximaciones más utilizadas, las aproximaciones de Butterworth y

Chebyshev tipo 1 o simplemente aproximación de Chebyshev.

7.5 APROXIMACIÓN DE BUTTERWORTH O DE RESPUESTA MÁXIMAMENTE PLANA. 7.5.1 Generalidades Considérese una función racional que presenta todos los ceros en el infinito

dada por:

| |1 1

Esta función tiene que ser tal que entre 0 y ωC valga aproximadamente 1, y

entre ωC e infinito aproximadamente cero, quedando la determinación de n y

de los coeficientes Bi. Para que en ω = 0 la función sea aproximadamente 1,

para ello B0 tiene que ser 1, por lo que quedaría:

| |1

11

-A ω ω c

AdB

ω a

-A 1

Banda de paso

Banda deatenuación

Banda de segur. A

ω c

A1

ω a ω

Fig. 7.5 Característica amplitud frecuencia (|H(jω)|dB) y atenuación (A) real contra frecuencia, ambas en dB

| |


198

El error entre las dos funciones vendrá dado por la diferencia entre ambas,

esto es

| | | |

En la que puede apreciarse que ajustando los coeficientes Bi y el valor de n, se

ajustará la magnitud del error. Es de notar que al utilizar la amplitud al

cuadrado, esto no altera la característica ideal del filtro porque 1 al cuadrado

es 1.

Sustituyendo cada función en la expresión del error, obteniendo las derivadas

y aplicando la aproximación entre dos funciones en el sentido de Taylor se

llega a que la función para la aproximación de Butterworth es:

| |1

1

Esta función se conoce como aproximación de Butterworth o de respuesta

máximamente plana.

Para simplificar el análisis posterior es convenientes usar el dominio de las

frecuencias normalizadas según el cual se dividen todas las frecuencias por la

frecuencia de corte según.

La característica de amplitud ideal normalizada del filtro pasa bajo será

Y la función de aproximación normalizada queda formalmente:

| |1

1

Donde Bn y n son los parámetros que hay que ajustar para que la curva se

aproxime a la característica del filtro.

7.5.2 Análisis de la función de la aproximación

Fig. 7.6 Característica amplitud frecuencia (|H1(jω)|) ideal del filtro pasa bajo

1

|H1(jωX)|

ωX

1


199

Se analizará ahora el comportamiento de la función de aproximación para

diferentes puntos.

Para ωx = 0

0 | | 1 | | 1

Para ωx = 1

1 | |1

1 | |

11

En la que se observa que el módulo tendrá ese valor independiente del valor n.

Si Bn = 1 se tendrá que el módulo será

1 | |1√2

La amplitud en la banda de paso (1 ≥ ωx ≥ 0) variará entre 0 y el inverso de la

raíz cuadrada de (1+Bn); por lo tanto, Bn será un índice del error en la banda

de paso. Este parámetro no puede ser cero ya que el módulo sería 1

independiente de la frecuencia, y no puede ser mayor que 1 pues el error sería

muy grande, por lo que 1 0

Evaluando para otro valor de frecuencia angular:

ωx tendiendo a ∞

∞ | | 0

En la que es evidente que mientras mayor sea n más rápido tenderá la

amplitud a cero y la atenuación será mayor en la banda de atenuación.

En la Figura se muestra la curva de la aproximación para diferentes valores

de n

Será conveniente hacer el análisis de la función, utilizando la amplitud en dB;

aplicando 20 logaritmo al módulo de la función:

| |1

1

Fig. 7.7 Característica amplitud frecuencia para diferentes valores de n

1

|H1(jωX)|

ωx1

1+Bn

1


200

Se obtiene

| | 20 | | 201

1

Llegando a que

| | 20 1

Analizando la curva a través de sus asíntotas se halla que la asíntota a las

bajas frecuencias será para ωx muy pequeña, lo que implica que ωx tiende a

cero o sea ωx<<1 entonces

0 | | 20 √1

Por lo tanto la ecuación de la asíntota a las bajas es:

0 | | 0

Se llega a la conclusión de que la asíntota a las bajas frecuencias es el eje de

cero dB o sea el eje de las frecuencias.

Calculando la asíntota a las altas frecuencias, para ωx tendiendo a infinito o

sea ωx >>1

Se tiene que es:

∞ ∞ | | 20

De aquí se obtiene

∞ | | 10 20 log

Y es la expresión de una recta de pendiente -20n dB por década y de

intercepto con el eje de 0 dB, ωx3 dado por:

| | 20 0

Para que esa expresión se cumpla, el argumento del logaritmo tiene que ser 1,

entonces

1

Despejando el valor de la frecuencia se obtiene: 1


201

Por lo tanto, es un valor mayor que la unidad y también mayor que la

frecuencias de corte excepto si Bn=1 que entonces sería ωx=1.

Ya se tienen las dos asíntotas, a las altas y a las bajas, junto con el intercepto,

ahora se puede trazar la curva pero haciéndole correcciones.

Para trazar la curva se deben obtener valores exactos en algunos puntos de la

función y hacer algunas correcciones.

En ωx = 1 el valor del módulo es:

1 | | 20 1

Independiente del valor de n.

En la frecuencia donde se interceptan las dos asíntotas

1 | | 20 1

1 | | 20 1

1

El módulo es:

1 | | 20 1

13

En la Figura se muestran los gráfico para amplitud -3dB en la banda de paso

para dos casos de n, para n = 1 y n = 2, y el valor de Bn =1; y otro para

amplitud A<3 lo que implica que Bn<1 y para n= 2, en este caso la atenuación

de -3dB ocurre en ωx3.

Pero si Bn = 1 el intercepto entre las asíntotas ocurre en la frecuencia angular

ωx = 1, donde el valor del módulo a esa frecuencia es de - 3dB. Una vez que

se ha analizado el comportamiento de la amplitud de la función aproximación y

se ha comparado con la característica ideal de amplitud del filtro, falta el paso

Fig. 7.8 Característica amplitud frecuencia normalizada (|H(jωX)|dB)

-3

ωX3

|H(jωX)|dB

1

-3

1

-20dB/dc

-40dB/dc -40dB/dc

-A

ωX ωX|H(jωX)|dB


202

más importantes, el de obtener una función de sistema cuyo módulo sea

exactamente el dado por la aproximación de Butterworth.

7.5.3 Cálculo de la función de sistema. Se sabe que el plano S es un plano complejo donde σ es la parte real y ω la

parte imaginaria

Se puede definir un plano complejo normalizado Sx

Normalizando con respecto a la frecuencia de corte (ωC) si se divide s por

dicha frecuencia se obtiene.

Entonces

Igualando las partes imaginarias

Se puede hablar del plano complejo normalizado Sx que tendrá como parte

real σx y como parte imaginaria ωx

Ya se tiene una función módulo que tiene una respuesta de amplitud

frecuencia equivalente a la de un filtro pasa bajo, el objetivo ahora será

obtener la función de sistema H(s) que puede dar origen a esa característica

amplitud frecuencia CAFr, para ello se trabaja en el plano normalizado Sx y se

procede de la siguiente forma:

La expresión de la función aproximación normalizada en frecuencia es:

| |1

1

Se considerará para el próximo análisis que Bn=1, cuestión esta muy

importante, quedando la función

| |1

1


203

El módulo al cuadrado se puede obtener de acuerdo con la regla del módulo

de los números complejos según:

| |

Ahora considerando que

El módulo cuadrado quedará de la siguiente forma si se sustituye ωx por su

igual Sx/ j:

| |1

1

De donde se puede plantear

| |1

1

1

1

Esta es una función que tiene 2n polos ubicados en el plano complejo

normalizado Sx y 2n ceros en el infinito, igualando a cero el denominador se

obtienen los 2n polos de la función:

1 1 0

Despejando se obtienen las 2n raíces de -1

√ 1 Si el valor de n es par, las raíces son:

Para n impar se obtendrá la expresión para las raíces

Donde k= 0, 1,2,… 2n-1

Se debe destacar que tanto para n par como para n impar el módulo de las

raíces es la unidad y sólo se diferencia en el argumento, por lo que el lugar

geométrico en el que están situados los polos en el plano complejo

normalizados Sx es una circunferencia de radio unitario. Si n es par la función

tiene solo pares de polos complejos conjugados y si n es impar la función tiene

dos polos reales y el resto son pares de polos complejos conjugados.


204

Para algunos valores de n la distribución de los polos será la que se muestra

en la figura 7.9

Siempre habrá la misma cantidad de polos en el semiplano derecho que en el

semiplano izquierdo; además los polos son simétricos con respecto al eje jωx,

por lo que se puede plantear que de los 2n polos de la función, los n que se

encuentran en el semiplano izquierdo pertenecen a H(Sx) de forma tal que esta

función sea estable y los n polos del semiplano derecho pertenecen a la

función H(-Sx) ; si se tienen los polos de una función de sistema se puede

hallar la función de sistema que en este caso será una función sin ceros o con

todos los ceros en el infinito.

Para cada valor de n existirá una distribución de polos fija, pudiéndose obtener

y tabular los polinomios que le corresponden a cada distribución de polos para

los distintos valores de n. Se muestran las tablas de los polinomios de

Butterworth B(Sx) para distintos valores de n. Se debe notar que la función

H(SX) es el inverso de B(Sx) y tiene n polos, si n es par tiene n/2 pares de

polos complejos conjugados y si n es impar tiene un polo real y la parte entera

de n/2 pares de polos complejos conjugados, el numero de ceros será n y

todos están en el infinito.

Fig. 7.9 Diagrama de polos y ceros para distintos valores de n y la aproximación de Butterworth

x

σx

jωx

x

1-1

j

-jx x

n=2n=1

x σx

jωx

x 1-1

j

-j

n=3

x σx

jωx

x 1-1

j

-j

xx

x x

x

σx

jωxx

1-1

j

-jx x

n=4x

x

x

x


205

La función de sistema será el inverso de los polinomios de Butterworth. 1

Se debe destacar que los polinomios de la tabla son válidos para Bn = 1 por lo

que la frecuencia de corte ωc tiene que ser exactamente la frecuencia donde el

módulo toma el valor de -3dB (ω3).

Si la frecuencia de corte ωc no es la frecuencia donde el módulo toma el valor

de -3dB, los polinomios tabulados se pueden utilizar también, solo se tiene que

obtener la frecuencia donde la amplitud, el módulo tiene el valor de -3dB, esa

frecuencia ya se demostró que es la intercepción entre las dos asíntotas, la de

las bajas y la de las altas frecuencias, dada por la expresión: 1

Una vez que se obtiene la función de sistema normalizada H(Sx) es fácil

obtener la función de sistema en el plano S simplemente evaluando la función

para Sx= S/ω3 si el filtro es pasa bajo.

|

La frecuencia ω3 para un filtro pasa bajo se obtiene utilizando

La forma general de la función en el plano SX sería 1

1 2 1 2 1 …

En forma compacta para la aproximación de Butterworth sería

1 11

1 1 2 1,414 1 3 1 1 4 0,765 1 1,848 1 5 1,41 1 1,41 1 1 6 0,518 1 1,414 1 1,932 1

Fig. 7.10 Polinomios de Butterworth para distintos valores de n


206

Donde W es la parte entera del número de polos entre 2. La cercanía de los

polos al eje imaginario jω depende del coeficiente de SX, dXi=2σXi, donde σXi es

la parte real del polo complejo, mientras mayor sea el orden de la

aproximación mayor será la cantidad de polos, entonces habrán polos muy

cerca del eje imaginario jω,

7.6 APROXIMACIÓN DE CHEBYSHEV O DE IGUAL ONDULACIÓN. 7.6.1 Análisis de la función de aproximación. Para la aproximación de Chebyshev se parte de una función que presenta

también, todos los ceros en el infinito y estará dada por la siguiente expresión

para la amplitud cuadrada en función de la frecuencia angular normalizada ωx

| |1

1

Esa será la función que se aproximará a la característica de amplitud ideal del

filtro; esta función se obtuvo de aplicar el criterio de Chebyshev; en ella ε es un

parámetro a determinar que estará entre los valores 1≥ε>0, Cn(ωx) son los

polinomios de Chebyshev de orden n; este valor de n, será el otro parámetro a

determinar.

Los polinomios de Chebyshev están definidos por las expresiones:

cos cos | | 1 cosh cosh | | 1

Si se sustituye para distintos valores de n, se obtiene la siguiente tabla para

los polinomios

Como se observa son polinomios de grado n y todos tienen como término de

mayor grado uno del tipo

2 | | 1

Haciendo los gráficos de los polinomios para algunos valores de n, figura 7.10,

Observe las ondulaciones que aumentan al aumentar el valor de n.

1 2 2 1 3 2 3 4 2 8 1 2

Fig. 7.11 Polinomios de Chebyshev para distintos valores de n


207

Los gráficos de los polinomios al cuadrado para algunos valores de n aparecen

en la figura 7.11, note de nuevo el comportamiento de las ondulaciones,

aumenta el número pero la amplitud siempre es 1.

De los gráficos de las funciones se pueden sacar algunas características

generales para estos polinomios que son de mucha utilidad.

a. Para todo valor de n par se cumple que 0 1

b. Para valores de n impares 0 0

c. Para todos los valores de n 1 1

Fig. 7.10 Gráfico de los polinomios de Chebyshev para distintos valores de n

-2 -1 0 1 2-2 -1 0

1

2

-2 -1 0 1 2-1

0

1

2

-2 -1 0 1 2-4 -2 0

2

4

-2 -1 0 1 2-5

0

5

10

n=1 n=2

n=3 n=4

n=1

-2 -1 0 1 20

0.5

1

1.5

-2 -1 0 1 20

1

2

3

4

-1 0 10

2

4

-1 0 1 2 0

2

4

6

Fig. 7.11 Gráfico de los polinomios de Chebyshev al cuadrado

n=2

n=3 n=4

n=1


208

Esta es una característica muy importante y que se utilizará con frecuencia.

d. Para 1≥ |ωx| se cumple siempre que 1≥ |Cn(ωx)| independiente del valor

de n

e. Por último para |ωx|>1 se cumple que Cn(ωx) crece rápidamente con la

frecuencia y mientras mayor sea el valor de n mayor será ese crecimiento.

Analizando los polinomios Cn(ωx) al cuadrado se llega a las siguientes

conclusiones.

a) Para valores de n par 0 1

b) Para valores de n impar 0 0

c) Para todo valor de n 1 1

Si 0 1

d) A mayor n habrá mayor número de ondulaciones. El análisis de los

polinomios y de los polinomios al cuadrado de Chebyshev facilita

comprender el comportamiento del módulo de la amplitud. Como se sabe

que

| |1

1

Se concluye que el valor de la amplitud en la banda de paso es

1 | |1

√1

El valor ε será el que controle la magnitud de las ondulaciones y da un índice

del error que se comete en la banda de paso. Algunos de los gráficos de la

amplitud de la aproximación para diferentes valores de n y para el valor

máximo que puede tener ε=1, esto hace que la amplitud máxima de las

ondulaciones sean de 0,707, como se ve en la figura 7.12.


209

Puede observarse que el error se distribuye a todo lo largo de la banda de

paso, hay un número de puntos donde es cero y otro donde es máximo;

siempre el valor del módulo en el punto

1 | |1

√1

Independiente del valor de n. Además, a mayor n mayor número de

ondulaciones, como ya se había planteado, y la función tiende más rápido a

cero con el aumento de la frecuencia. Si la frecuencia crece es evidente que

de los polinomios de Chebyshev el término que predomina es el de mayor

grado

A mayor n, el denominador será de mayor grado y tenderá el módulo más

rápido a cero, como se había planteado.

La asíntota a las altas frecuencias es una recta de pendiente -20n dB/dc; la

asíntota a las bajas frecuencias no tiene sentido porque en la banda de paso la

función es ondulatoria.

Para un mismo valor de especificaciones, la aproximación de Butterworth es

de menor orden que la de Chebyshev, aunque esto no siempre es así, ya que

depende de los valores relativos de ε y n.

Una vez que se ha analizado la aproximación de Chebyshev, sólo queda

encontrar la función de sistema cuyo módulo se corresponde con el de la

aproximación.

Fig. 7.12 Característica amplitud frecuencia para distintos valores de n

0 0.5 1 1.50

1

0 0.5 1 1.5 0

1

0 0.5 1 1.50

1

0 0.5 1 1.5 0

1

n=1 n=2

n=3 n=4

0.7070.707

0.707 0.707


210

7.6.2 Función para la aproximación de Chebyshev. Se sabe que:

| | | || |1

1

La función tendrá también 2n polos al igual que la aproximación de

Butterworth; pero la obtención de los polos es más compleja. Los polos de la

función son los ceros del denominador.

| | | || |1

1

Los polos se obtienen según

1 0

Despejando 1

1

Y como se conoce la expresión para los polinomios de Chebyshev

cos cos | | 1 Entonces considerando

cos

Se llega a qué:

cos cos cos

Aplicando coseno del ángulo suma

cos cos cos sin sin1

Y como

cos cosh sin jsinh De donde

cos cos cosh sin sinh1

Igualando parte real con parte real y parte imaginaria con parte imaginaria se

obtiene

cos cosh 0 sin sinh1

Se sabe que el coseno hiperbólico

cosh 0 cos 0 De donde se llega a que


211

cos 0 2 12 0, 1, … 2 1

Quedando

2 12 0, 1, …

Para la parte imaginaria

sin sinh1

Si se sustituye el valor de b en el argumento del seno queda

sin 2 1 2 1

Entonces tienen que cumplirse que

sinh1

Despejando se obtiene que 1sinh

1

De la expresión

cos cos cos

Igualando los argumentos del coseno se obtiene

cos

Entonces

cos Quedando

2 12

0, 1, … 2 1

Y aplicando el coseno del ángulo diferencia se llega a qué:

Para la parte real 2 12

Para la parte imaginaria

2 12

1 1

Los valores de k son

k= 1, 2… 2n-1


212

El lugar geométrico que describe la posición de los polos es el de una elipse

como se verá a continuación;

Dividiendo por seno hiperbólico de a se obtiene

2 12

Y ahora por el coseno hiperbólico de a

2 12

Elevando al cuadrado y sumando se obtiene que

2 12

2 12 1

Los polos están distribuidos alrededor de una elipse donde los semiejes

dependen de a y a su vez a de n y de ε.

1

Para algunos valores de n la distribución de los polos será la que aparece en

el gráfico de la figura

jω

σsenh(a)

cosh(a)

Fig. 7.13 Lugar geométrico de los polos

jω

σx x

n=1 jω

σ

x x

n=2x x

jω

σ

x x

n=4

x x x

x x

x jω

σx x

n=3xx

xx

Fig. 7.14 Lugar geométrico de los polos para diferentes valores de n


213

De los 2n polos n son del semiplano izquierdo y le corresponden a H (Sx) y los

n del semiplano derecho a H(-Sx). Los polos son complejos conjugados y

además presentan simetría son respecto al eje imaginario se puede

aprovechar esta característica y por ejemplo si n = 2 con la posición de uno de

los polos queda determinada la de los otros tres, el conjugado y los dos

simétricos. Si n es par la función H(sx) solo tiene pares de polos complejos

conjugados, si n es impar aparece un polo real.

La expresión para la función de sistema suponiendo que todos los polos son

complejos conjugados o sea para n par, será

…

Es más fácil obtener el producto de cada par complejo conjugado

2 2 …

El valor de Kc es distinto de 1 y se obtiene a través de 12

Si n es impar se obtiene que la funcion del sistema sería

2 2 …

De forma compacta

1 1

Para obtener la función de sistema en S sólo queda evaluar para Sx =S/ωc ,

esto es

|

Se llega a la conclusión a la conclusión que la forma general de la función de

sistema de un filtro pasa bajo obtenida por las aproximaciones de Butterworth

y Chebyshev I tiene la siguiente expresión:


214

1 1

W es la parte entera del número de polos n entre 2, si n es impar aparece un

polo real y si n es par no, K será 1 para la aproximación de Butterworth y KC

para la aproximación de Chebyshev.

2

Los coeficientes de la función d1i, d0i y se obtienen de la aproximación.

Ejemplo. Obtenga la función de sistema de un filtro de frecuencia de corte 20 kHz

frecuencia de atenuación 40 kHz, atenuación en la banda de paso 2 dB y en la

banda de atenuación 20 dB

Respuesta

n=3; ε=0,76; kc=0,33

7.7 TRANSFORMACIÓN DE FRECUENCIA Anteriormente se trató la aproximación a la característica de un filtro pasa

bajo. Pero no sólo existen los filtros pasa bajo, existen filtros pasa alto, pasa

banda y supresores de banda y para el diseño de estos tipos de filtros se

utilizará, el método de la transformación de frecuencia. Este método consiste

en convertir un filtro de cualquier tipo en un filtro pasa bajo, a través de una

transformación matemática, obtener la función de sistema del filtro pasa bajo y

luego aplicar la transformación inversa y obtener la función de sistema del

filtro que se quería diseñar.

7.7.1 Transformación pasa bajo - pasa bajo La transformación de frecuencia más simple que se conoce se trató

anteriormente y es la normalización en frecuencia ya utilizada, de expresión

En la figura se muestra la característica de amplitud de un filtro pasa bajo a

frecuencia de corte ωc representando, también, la parte que corresponde a

las frecuencias negativas. Los grafico son uno contra frecuencia ω y el otro

contra frecuencia normalizada.

H(s)= 1

(S+0,369)(S2+0,369S+0,886)


215

La banda de paso se corresponde con los valores de ωc≥ω≥-ωc ó 1≥ωx≥-1, el

resto de los valores pertenecen a la banda de atenuación. Estos intervalos

de frecuencia pueden representarse en el plano complejo S o en el complejo

normalizado en frecuencia Sx como se muestra

Ahora, el plano complejo Sx no es más que la imagen del plano complejo S si

se utiliza como función de transformación

Y se obtiene

Por lo que la imagen del eje jω en el plano S es el eje jωx del plano Sx

En la obtención del filtro pasa bajo, la forma de proceder se resume en: dadas

las especificaciones del filtro en el plano S, se transforman al plano Sx, se

obtiene la función del sistema aplicando una aproximación; se anti transforma

la función del sistema y luego se realiza o sea se le asocia un circuito que

tenga como función de sistema la que se obtuvo matemáticamente. La

metodología para el diseño de otros tipos de filtro será la misma, sólo

cambiará la función de transformación.

7.7.2 Transformación pasa alto - pasa bajo.

ω

|H(jω)|

1

ωc−ω cωx

|H(jω x )| 1

1−1

Fig. 7.15 respuesta de frecuencia ideal para un filtro pasa bajo

Fig. 7.16 Transformación pasa bajo –pasa bajo

σ

Sx=S/ωC

σX

jωX

-j

j

jω

jωC

-jωC


216

La característica de amplitud ideal de un filtro pasa alto se muestra y se

pretende llevar a las características de un filtro pasa bajo en el plano de las

frecuencias normalizadas.

La banda de paso estará dada para valores de frecuencias entre -∞≥ω≥-ωc y

ωc≥ω≥∞ y se quiere llevar a 1≥ωx≥-1 y la banda de atenuación es ωc≥ω≥-

ωc, los gráfico en los planos S y Sx son

En dB las especificaciones reales para un filtro pasa alto son:

Para el filtro pasa alto, la banda de paso estará dada para valores de

frecuencias entre -∞≥ω≥-ωc y ωc≥ω≥∞ y se quiere llevar a 1≥ωx≥-1 y la banda

de atenuación es ωc≥ω≥-ωc, los gráfico en los planos S y Sx son los que se

muestran a continuación.

Si se le aplica la función de transformación

|H(jω)|dB ωωa ωc

Fig. 7.18 Especificaciones reales pasa alto en dB

Fig. 7.19 Transformación pasa alto - Pasa bajo

σ

j ω

-jωC

σx

-j

jjωC

SXωC/S -jωX

ω

|H(jω)| 1

ωc−ω cω x

|H(jωx)| 1

1−1

Fig. 7.17 CAFr pasa alto y pasa bajo


217

La banda de paso del filtro pasa alto se transformará en la banda de paso de

un filtro pasa bajo de frecuencia de corte j1. Sustituyendo en la función de

transformación se obtiene.

Si se racionaliza la parte derecha de la ecuación se obtiene

Comparando parte real y parte imaginaria se obtiene.

Los puntos del eje imaginario del plano S se transforman en puntos sobre el

eje imaginario del plano Sx de forma tal que el filtro pasa alto se transforma

en pasa bajo, si se hace la parte real σ= 0 para obtener la imagen del eje jω

en el plano Sx se llega a: 0

0 0

0 Como las especificaciones del filtro pasa alto tienen simetría par, entonces el

signo negativo no interesa y se puede omitir quedando

Cuando se analiza gráficamente este efecto se llega a que el ±∞ se convierte

en cero y el ±ωC → -(±1)

σ

jω

-jωc

jωc

σx

jωx

-j

j

Fig. 7.18 Transformación pasa alto pasa bajo


218

Para los efectos del cálculo, como las dos partes son simétricas, se puede

obviar el signo menos y llegar a la ecuación de transfromación para las

frecuencias dada por:

Gráficamente sería

Para utilizar la transformación de frecuencias se sigue la siguiente mecánica

de trabajo es la misma, transformar las especificaciones utilizando

Obtener una aproximación en el plano Sx y luego anti transformar con

|

7.7.3 Transformación pasa banda - pasa bajo En el caso del filtro pasa banda la característica amplitud frecuencia del filtro

pasa banda en el plano S se lleva a la característica amplitud frecuencia del

filtro pasa bajo en el plano Sx, como aparece en la figura, utilizando una

ecuación de transformación adecuada.

Para un filtro pasa banda se define el ancho de banda ωB del filtro como:

Fig. 7.19 Transformación pasa alto pasa bajo

σ

jω

σx

-j

jjωC

jωX

-jωC

-jωC1 ω

1 1

1−1jωC1 jωC2 -jωC2

|H(jω| |HjωX|

Fig. 7.20 Transformación pasa banda pasa bajo

ωX


219

Y la frecuencia central o como se conoce en la literatura (por analogía con los

sistema resonantes RLC), frecuencia de resonancia ω0

En dB las especificaciones reales serían

Es de notar que hay dos frecuencias de corte, a las bajas ωc1 y a las altas ωc2

y hay también dos frecuencias de atenuación, a las altas ωa1 y a las ωa2 bajas

La representación grafica en los planos complejos S y Sx será

Se utiliza ahora como relación de transformación la dada por la expresión

Sustituyendo se obtiene para ver cuál es la imagen del eje jω en el plano Sx

se hace =0, entonces S=jω

Entonces

1

Y manipulando se llega:

7.21 CAFr pasa banda en dB

ωωa1 ωc1 ωc2 ωa2

-A

-A1

-A2

|jωC1|dB

σX

7.22 Transformación pasa banda pasa bajo en el plano S y SX

jωX jω

σ

−jωc1

-j

j

−jωc2

−jω0

jωc1

jωc2

jω0


220

La transformación para el eje imaginario es

0

Analizando para algunos puntos de la banda de paso y la frecuencia de

atenuaciones fácil llegar a:

La banda de paso del filtro pasa banda ωc2≥ω≥ωc1 en el plano complejo S se

convertirá, al aplicar la transformación, en 1≥ωx≥-1, en el plano Sx y la banda

de paso de las frecuencias negativas -ωc1≥ω≥-ωc2 también en 1≥ωx≥-1. Eso

hace que las frecuencias de atenuación también se transforman apareciendo

dos filtros pasa bajo, uno con la frecuencia de atenuación ωxa1 y el otro con la

frecuencia de atenuación ωxa2 quedando las especificaciones en dB:

Una vez que se obtienen las especificaciones del filtro pasa bajo en el plano

Sx se aplica una de las aproximaciones para cada una de las especificaciones

y se escoge la de mayor valor de n, son las especificaciones más rigurosas a

σxσ

jω

−jωc1

jωx

-j

j

−jωc2

−jω0

jωc1

jωc2

jω0

jωa2

jωa1 -jωa1

-jωa2

jωxa1

-jωxa1

jωxa2

-jωxa2

7.23 Transformación pasa banda pasa bajo en el plano S y SX

7.24 CAFr en dB

-A

-A2

-A1

|H(jω)|dB ωxωxa1 1 ωxa2


221

cumplir y se obtiene la función de sistema de un filtro pasa bajo en el plano

Sx, para obtener la función del filtro en el plano S, hay que evaluar

|

La transformación supresor de banda pasa bajo es dual a la del pasa banda.

Capítulo VIII. Filtros activos

222

8. SÍNTESIS DE FILTROS ACTIVOS CON AMPLIFICADOR OPERACIONAL.

8.1 INTRODUCCIÓN Una de la forma que se impone en la actualidad es la realización de filtros

activos, por la sencillez, la facilidad de ajuste, su pequeña dimensión y sus

buenos resultados. Se han desarrollado formas matemática para obtener

funciones de sistema con determinada característica de Amplitud, los polos en

todos los casos son complejo en su mayoría, para realizar polos complejos

conjugados es indispensable que si los circuitos son pasivo, estén compuesto

por redes L-C, pero la inductancia es un elemento poco comercializado y de

gran tamaño, esto hace que se trate de eliminar, surge así la síntesis de filtros

activos con redes RC y amplificadores operacionales, los circuitos RC no

pueden realizar polos complejos conjugado por si solos, para que una red RC

con amplificador operacional realice polos complejos conjugados, tiene que

tener retroalimentación. Los circuitos activos realimentados, son

potencialmente inestable, de ahí la necesidad de tener una idea de esa

inestabilidad y como puede afectar el comportamiento de la estructura. Una

magnitud que ayuda a analizar este tipo de circuitos es la sensibilidad.

8.2 SENSIBILIDAD Las redes eléctricas se diseñan para determinada función, sin embargo en

determinado momento su comportamiento puede que no corresponda con el

diseño. Esta variación puede ser por diferentes causas: envejecimiento de las

componentes, la temperatura, la humedad, la tolerancia de las componentes,

etc.

En el diseño de filtros pasivos está presente este efecto pero el dispositivo,

aunque varían sus características con la variación de las componentes, no

varía su función, sigue siendo un filtro, si el diseño es activo, como las redes

activas son potencialmente inestables, si tienen realimentación, el efecto de

variación de las componentes puede hacer que en el circuito la variación sea

tal que los polos pasen al semiplano derecho y comience a oscilar, de ahí la

importancia que tiene la variación de cualquier magnitud con respecto a las

componentes, esta variación se refleja en una magnitud conocida como


223

sensibilidad. Se ha visto que las aproximaciones que se utilizan para obtener

la función del sistema tienen polos complejos conjugados, para realizar polos

complejos conjugados se necesitan redes pasivas L-C. Los filtros activos

surgen con el objetivo fundamental de eliminar las inductancias de los filtros

pasivos, los filtros activos pueden realizase de diferentes tipos, con

convertidores de impedancia negativa, con giradores y con amplificadores

operacionales y redes RC, estos últimos son los que se estudiarán.

Para que un circuito formado por una red RC y amplificadores operacionales

realice polos complejos, tiene que tener realimentación y si está presente la

realimentación, eso lo hace potencialmente inestable como se había

planteado. De ahí que se necesite algún parámetro que de la posibilidad de

considerar este posible efecto de variación, de posibilidad de inestabilidad.

Existen diferentes formas de definir la sensibilidad de un circuito, sensibilidad

del polo, de la raíz, relativa, etc., se dará una definición de sensibilidad, la

más usada.

8.3 SENSIBILIDAD RELATIVA Sea F(s,x) una función donde s es una variable compleja y x un parámetro

cualquiera de la red. Se define como sensibilidad relativa de la función F con

respecto al parámetro x a:

Para darle una interpretación a la sensibilidad se puede considerar los

diferenciales como incrementos y se llegaría a

∆

∆

Y despejando se obtiene ∆ ∆

De la expresión se puede deducir que el incremento que sufre la magnitud F

es proporcional al incremento del parámetro x, esa constante de

proporcionalidad es la sensibilidad, mientras mayor sea la sensibilidad mayor

se afecta la magnitud al variar el parámetro, esa variación puede ser por la


224

tolerancia, el envejecimiento o cualquier otra causa incontrolada, si la

sensibilidad es grande, puede ser muy significativa la variación de la

magnitud para variaciones pequeñas del parámetro y además incontrolada si

la causa de la variación es desconocida.

Si se considera la variación de todos los parámetros sobre una misma

magnitud se llegaría a la sumatoria siguiente.

∆ ∆

La variación que sufre una magnitud depende de la variación que sufren

todos los parámetros de los que ella depende, esto se utiliza en el diseño, por

ejemplo si una magnitud depende de una resistencia y un capacitor, para

contrarrestar el efecto de la posible variación con la temperatura se toma el

capacitor que aumente su capacidad al aumentar la temperatura y la

resistencia que disminuya su valor al aumentar la temperatura, de forma que

se contrarresten sus efectos.

8.3.1 Algunas propiedades de la sensibilidad. 1. Sensibilidad del cociente

,,,

2. sensibilidad de una función compuesta

ó , , ,

3. Sensibilidad de una función lineal

, 1

4. Sensibilidad de una potencia

,

5. Sensibilidad de una función producto

, , ,

6. Sensibilidad de una función inversa

7. Sensibilidad de una función por una constante


225

8. Sensibilidad del cociente de dos funciones

9. Sensibilidad de la potencia de una función.

10. Sensibilidad con respecto a la potencia de un parámetro. 1

Ejemplo Para el circuito de la figura y considerando su relación de transferencia de

voltaje

a) Obtenga la sensibilidad de d1 con respecto a Av y la del término

independiente d0 con respecto a cada uno de sus parámetros.

b) Considere R1= R2= R y C1= C2= C y repita el inciso a

1 1

Respuesta a) Se conoce para el sistema

Comparando ambas expresiones se obtiene 1

1

Fig. 8.1 Circuito Sallen & kay

+-

R'

R''

V3 +V1


226

1

La sensibilidad de d1 con respecto a la ganancia es según la definición

1

La sensibilidad depende de los valores de los parámetros por lo que hay que

tenerlo en cuenta en el diseño.

Si sacamos la sensibilidad del coeficiente d0 con respecto a cualquiera de sus

parámetros.

1

En este caso la sensibilidad es una constante, por lo que no depende de los

valores de los parámetros, eso implica que la variación no depende del valor,

el signo menos implica que decrece.

b) En este caso si las resistencias y los capacitores son iguales se llega a

que la función del sistema se convierte en

3 1

Y la expresión de la sensibilidad es

Gráficamente se obtiene

Note que la ganancia mínima es 1 y si el valor de ganancia es 3 entonces la

función del sistema ganancia de voltaje se convierte en

1

Fig. 8.2 Gráfico de sensibilidad de d1Vs AV

1 3 AV

-1/2


227

Los polos pasan al eje imaginario y el circuito se convierte en un oscilador de

frecuencia de oscilación 1/(RC), se hace inestable.

8.4 ANÁLISIS DE LA RESPUESTA DE FRECUENCIA DE UNA FUNCIÓN DE SEGUNDO ORDEN Supóngase que se tiene una función de sistema en el plano normalizado Sx de

diagrama de polos y ceros como aparece en la figura.

La función del sistema quedaría de la siguiente forma 1

21

Si se obtiene la función de sistema en régimen sinusoidal para obtener la

respuesta de frecuencia se llega a:

ω1

ω ω

De donde

ω1

ω ω

Si se calcula el módulo de la función se obtiene

| ω |1

ω ω

Si se quiere obtener la respuesta de frecuencia en forma aproximada se llega

a que para:

ω 0 | 0 |1√

1

Y ω ∞ | jω | 0

Como aparece un par de polos complejos conjugados puede haber un

máximo, esto hace que se pueda calcular la frecuencia donde ocurre el

Fig. 8.3 DPC función de segundo orden

-a σX

jωX b


228

máximo y el valor de ese máximo, derivando e igualando a cero esa derivada,

se obtiene:

Frecuencia donde ocurre el máximo y el valor del máximo son

2 | ω |

1

2

Note que el valor del máximo es inversamente proporcional al valor de d y

d=2a, proporcional a la distancia del par de polos complejos conjugados al eje

imaginario, mientras más cerca están los polos del eje, menor es el valor de d

y mayor es el valor del máximo.

Como ejemplo supóngase una función de sistema obtenida por la

aproximación de Butterworth de n=3 1

1.932 1 1.414 1 0.518 1

Haciendo el gráfico de la respuesta de frecuencia de cada una de las

funciones componentes (azul, magenta y verde, respectivamente) y para la

función total (negro) se obtiene

En el gráfico se puede observar como la curva del primer trinomio (d=1,932

azul) y la del segundo (d=1,414 magenta), no tienen máximo, porque los polos

están lejos del eje imaginario, sin embargo la curva del tercer trinomio

(d=0,518 verde) tiene un máximo, la combinación de las tres funciones hacen

Fig. 8.4 Grafico de cada una de las funciones de segundo orden y la total

ωX

|H(jωX)|dB

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

0.707


229

que la respuesta de frecuencia total (negra) sea una curva plana y tenga en

ωX=1 la amplitud valga 0,707 o sea la frecuencia de corte.

Si el valor del máximo comienza a disminuir, el valor de la curva total en ωX=1

va disminuyendo, el valor donde la amplitud es 0,707 se corre hacia la

izquierda, mientras más disminuye más se corre, figuras 8.5 y 8.6.

Para la aproximación de Chebyshev se obtiene la función: 0.03

0.285 0.089 0.209 0.522 0.076 0.955

Fig. 8.5 El máximo disminuyó y en la total el valor en 1 disminuye 0,675

ωX

|H(jωX)|dB

0.675

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

0.707

0.707

Fig. 8.6 El máximo disminuye más y en la total el valor en 1 disminuye 0,6

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

ωX

|H(jωX)|dB


230

El azul corresponde al primer trinomio, el magenta al segundo y el verde al

tercero, cada uno tiene un máximo de diferente magnitud, y cada uno de ellos

contribuye a la ondulación que presenta la respuesta de frecuencia total que

está en color negro.

8.5 REALIZACIÓN DE FILTROS PASA BAJO. El amplificador operacional (AO) es un elemento activo de circuito, así como

lo son los giradores, los convertidores de impedancia negativa y otros

dispositivos activos. Los filtros activos pueden ser diseñados por cualquiera

de estos dispositivos; en este caso se tratará el diseño de filtros activos con

Amplificadores operacionales AO, como elemento pasivo se utilizará una red

RC. Existen configuraciones donde la red pasiva está compuesta sólo por

resistores, se conocen como filtros R, o sólo por capacitores que se conocen

como filtros de capacitores conmutados.

El AO por sus características y bajo determinadas condiciones se puede

considerar como una Fuente de Voltaje Dependiente de Voltaje (FVDV) ideal,

eso hace que la impedancia de salida de muchos circuitos con amplificadores

operacionales sea muy baja y se puedan considerar como una fuente ideal de

voltaje. Por esta causa se pueden conectar en cascada circuitos

implementados con amplificadores operacionales sin que el siguiente cargue

al anterior de forma significativa, esto independiza un circuito del otro y

permite que se puedan ajustar por separado cada elemento de la cascada.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0

1

2

3

4

5 |H(jωX)|dB

ωX

Fig. 8.7 Para la aproximación de Chebyshev, note las ondulaciones coincidiendo con los máximos da cada curva con los máximos del total


231

Esta característica es ideal para el diseño de filtros activos, puesto que las

aproximaciones de Butterworth y Chebyshev tienen como expresión general

1 1

Se puede decir que las aproximaciones dan como resultado el siguiente

producto de funciones

Donde se tiene

HR(S) una función de un polo real, una función de primer grado, se dice que

es de primer orden

Hi(s) funciones dos polos complejos conjugados cada una, una función de

segundo grado, se dice que cada una de estas funciones es una función de

segundo orden.

1

ó

1

ó

Lo que se debe hacer para el diseño del sistema, es buscar circuitos que

tengan funciones de sistema con un polo real (para la estructura de primer

orden) o un par complejo conjugado (para la estructura de segundo orden). Si

se ajustan los valores de las componentes del circuito, los valores de los

resistores y capacitores o sea se varían los parámetros del circuito para que

se correspondan con cada una de las funciones de la aproximación, se puede

ir implementando cada una de las secciones componentes del filtro en

cascada con un circuito que puede incluso, tener una estructura diferente que

convenga para el diseño.

Se verá a continuación una metodología para el diseño y se le aplicara dicha

metodología a algunas estructuras como ejemplo.

H1(S) H2(S) H3(S) HW(S)

Fig. 8.8 Combinación pasa bajo en cascada de funciones de segundo orden y si n impar una de primer orden


232

8.6 ESTRUCTURA NÚMERO 1 (SALLEN Y KAY) Si se tiene un circuito como el de la figura 8.9 del que ya se obtuvo la función

de transferencia.

1 1

Esta función es de segundo grado en el denominador, es una función de

segundo orden, cambiando los valores de los resistores y los capacitores

cambian los coeficientes del denominador, cambia los valores de las raíces

del denominador, cambia la posición de los polos, este circuito sirve para

cada una de las secciones componentes de la cascada, variando los

parámetros.

Se puede comparar con cada una de las funciones de segundo orden de las

aproximaciones.

1 1

Por eso utilizando esta configuración se pueden diseñar filtros de Butterworth

o Chebyshev pasa bajo realizando cada trinomio (par de polos complejos

conjugados) con ella y luego, conectándolos en cascada para obtener el filtro

total.

Cada sección se puede ajustar por separado o se puede usar una estructura

de circuito diferente para cada sección, el más adecuado, esto ha dado como

resultado que este método se utilice con mucha fuerza.

Fig. 8.9 Estructura pasa bajo de Sallen & kay

+-

R'

R''

V2 +V1

H1(S) HR(S) H2(S) HW(S)

Fig. 8.10 Cuadripolos en cascada


233

La expresión para cada par de polos complejos conjugados es 1

Si se comparan los denominadores se llega a que 1

1

Quedan dos ecuaciones con cinco incógnitas, este sistema tiene infinitas

soluciones, por lo que un conjunto de ellas es dándole valores a tres de las

incógnitas y calculando las otras dos, o sea hay infinitos valores de resistores

y capacitores que resuelven el problema, esto hace que un mismo circuito

tenga diferentes métodos para el cálculo, teóricamente infinitos métodos.

Para este circuito se verán dos.

Se puede escoger o sintetizar otro circuito que tenga dos polos y se puede

aplicar un procedimiento semejante a este y cada una de las secciones se

puede diseñar con una estructura diferente, en muchas ocasiones es

recomendable, no todas las secciones realizan los polos muy cercanos al eje

imaginario con eficacia.

Esta sección que se analiza es recomendable sólo para cuando en la

expresión de segundo orden 1

21

El inverso del coeficiente de SX o sea se mantiene menor que 10, cuando

es mayor que 10 los pares de polos complejos conjugados están muy

pegados al eje imaginario, el máximo es grande y este circuito no lo realiza. 12

110

8.6.1 Componentes Homogéneas. Teniendo como datos los coeficientes del polinomio del denominador de la

función obtenida con las aproximaciones d1i y d0i e introduciendo nuevas

ecuaciones que en este caso son

Aplicándolo en la ecuación se obtiene 1

1


234

Evidentemente se han simplificado notablemente las ecuaciones. El valor de

la ganancia queda determinado por: 3

1

De donde se obtiene el valor de la ganancia, note que este valor queda

determinado por la aproximación y no por el diseñador.

3

Asignándole un valor a C se obtiene el valor de R 1

Con el valor de AV se obtienen R′ y R′′ a través

1 Para los diferentes valores de d1i y d0i aplicando el mismo método de síntesis,

se obtendrá la misma configuración pero diferentes valores para los

resistores, capacitores y para la ganancia AV.

Es frecuente que interese realizar un filtro con una ganancia determinada, en

este caso no se puede plantear la igualdad de los resistores y los capacitores,

el método de solución tiene que ser diferentes

8.6.2 Realización con ganancia Para diseñar un filtro con una ganancia especifica, en este caso interesa una

ganancia, los datos son:

;

Una variante muy utilizada propuesta por Sallen y Kay es establecer una

razón entre los capacitores γ, se puede establecer también una razón entre

los resistores.

Se puede plantear de esta ecuación 1

Que

1


235

Esta expresión se puede escribir de la forma siguiente

1 Haciendo ahora

1 De donde

1

Se han introducido un nuevo conjunto de ecuaciones, sustituyendo la

expresión de Gamma γ y T1 en la siguiente ecuación

1

1

Y despejando T1 se obtiene

21 1

4 1

Para que la solución sea real, tiene que cumplirse que la cantidad subradical

sea positiva

14 1

0

Si se despeja la razón entre los capacitores γ se llega a:

04 1

4 El algoritmo para obtener los valores de cada una de las secciones es:

Dándole un valor a C2, asignándole un valor a γ que cumpla con la condición

anterior se obtiene C1.

Se calcula el valor de T1 y T2 y con C1 se halla el valor de R1 por

1

Y la ganancia se obtiene dándole un valor a R′ y calculando R΄΄

En resumen como un esquema se puede plantear


236

Para asignarle un valor al capacitor, esto debe llevar a que las resistencias

deban estar entre el orden de decenas de Ω y hasta cientos de kΩ

Como se garantiza el orden del capacitor que se seleccionará. Los valores de

las componentes dependen de la magnitud de la frecuencia de corte del filtro

que se quiere diseñar, por lo que se le asigna en la expresión un valor a la

resistencia R y se calcula el capacitor. Se puede seleccionar un valor

comercial cerca de este valor calculado. 1

1

La aproximación si tiene un valor de n impar o sea presenta un polo simple;

para realizarlo se utiliza una configuración de primer orden, que puede ser

pasiva o activa

Se puede utilizar también en forma pasiva, aunque no es recomendable pues

la característica del filtro se ve afectada por la impedancia de carga si en la

Calcular γMax

Calcular R1 y R2, con T1 y T2

Asignarle un valor a C2 y calcula C1

CalcularT1 y T2

Asignarle un valor a γ< γMax

Con AV se calcula R′ y R′′

Fig. 8.11 Diagrama para realizar el diseño

1

Fig. 8.12 Estructura pasa bajo activa de primer orden

+-

R'

R''

V2 +

V1 +


237

cascada ocupa el último lugar y por la impedancia de la fuente si ocupa el

primero, de usarse debe ser como un cuadripolo intermedio.

La ganancia Av de la sección activa no tiene restricción puede tomar cualquier

valor, utilizando la sección activa es más eficaz, pero para utilizar un

operacional en una sección de primer orden, es más lógico utilizar en el

diseño un orden par.

El valor de los elementos se obtiene según 1

La realización en cascada tiene como ventaja que cada paso se pueda

realizar y ajustar en forma separada sin que haya efecto considerable de uno

sobre otro, ya que la impedancia de entrada de cada una de las

configuraciones es alta y la de salida es baja, por lo que casi es una conexión

ideal.

Cuando el valor de n es grande, se debe ser muy cuidadoso en la realización

ya que habrá pares de polos complejos conjugados que estarán muy

próximos al eje imaginario; eso hace que el coeficiente de Sx del trinomio

relativo a dichos polos sea muy pequeño.

Se utilizan para realizar los polos cercanos al eje imaginario, configuraciones

más elaboradas y que sean más estables, normalmente con más de un

amplificador operacional, buscando que la sensibilidad de la estructura se

mantenga constante para cada uno de los parámetros.

8.7 ESTRUCTURA NÚMERO 2 Suponga el siguiente circuito

1

1

Fig. 8.12 Estructura pasa bajo pasiva de primer orden

V2

+ V1

+


238

La función del sistema se obtiene de forma muy fácil con el diagrama de flujo. 1

1

Comparando la función de segundo orden pasa bajo.

La ganancia se obtiene a través del cociente entre el término independiente

del numerador y el del denominador 1

1

El signo negativo para la ganancia implica un cambio en la fase de 180 grados,

por lo que para el diseño se puede ignorar. Se pueden considerar diferentes

métodos de diseño, partiendo de las expresiones

1

Propuesto: obtenga la sensibilidad de d1 y d0, con respecto a cada uno de los

parámetros del circuito

8.7.1 Componentes Homogéneas? Haciendo

2

, 1

Se llega a: 1

Fig. 8.13 Estructura pasa bajo con amplificador de ganancia infinita

+-

V2 +V1


239

Se llega a qué R se pudiera obtener por la expresión

2

Pero es fácil llegar a qué:

2 0

Entonces la resistencia sería negativa no es posible este circuito con estas condiciones por lo que se debe aplicar otro criterio.

8.7.2 Con ganancia Se establece una relación (γ) entre los capacitores y a partir de ahí se aplica

un procedimiento semejante al usado para la estructura de Sallen y Kay

Como se tiene la expresión de d0 1

Se puede obtener

1

Entonces

, 1

Se puede multiplicar y dividir por C1

Sacando factor común R3

Sustituyendo

Despejando se llega a la ecuación

De donde se puede obtener la expresión de T1


240

11 1

4 1

La cantidad subradical debe ser positiva para que la raíz sea real, por lo que

se debe cumplir que: 4 1

1

Despejando

4 1

El algoritmo para el diseño debe ser:

Esta estructura tiene el mismo inconveniente que la de Sallen y Kay, se debe

utilizar cuando el inverso del coeficiente de SX o sea se mantiene menor

que 10. 12

110

Cuando el inverso del coeficiente de SX o sea es mayor que 10 y menor

que 40 se utilizan estructuras más complejas, con mayor número de

componentes para que la sensibilidad se distribuya, es muy recomendable

utilizar estructuras con dos o tres amplificadores operacionales, cuando el

valor del coeficiente es mayor de 40 es recomendable utilizar estructuras con

tres amplificadores operacionales, como la del problema propuesto de la

figura 8.15.

Calcular γMax

Calcular R1 y R2, con T1 y T2

Asignarle un valor a C2 y calcula C1

CalcularT1 y T2

Asignarle un valor a γ< γMax

Con AV se calcula R3

Fig. 8.14 Secuencia para el diseño


241

Propuesto #1 1. Obtenga la función del sistema del circuito de la figura

2. Obtenga las expresiones de d0 y d1 para este circuito.

3. Calcule la sensibilidad con respecto a las resistencias, los capacitores y la

ganancia.

4. Obtenga la característica de frecuencia en forma aproximada..

5. ¿Se puede utilizar como filtro pasa bajo, como serian las formulas de

diseño?

Propuesto #2 Calcule un filtro activo utilizando las aproximaciones de Butterworth y

Chebyshev y que cumpla con las especificaciones:

Frecuencia de corte 10 kHz, atenuación en la banda de paso 2.1dB,

frecuencia de atenuación 17 kHz y atenuación en la banda de atenuación 15

dB. Utilice la estructura #1

a) Sin importar la ganancia

b) Con ganancia de 40

c) Con ganancia 1

8.8 REALIZACIÓN DE FILTROS PASA ALTO. Se tiene un método para diseñar filtros pasa bajos utilizando las

aproximaciones de Butterworth o de Chebyshev y se conoce la transformación

de frecuencia, de forma semejante al diseño de filtros pasa bajo y

transformando en frecuencia se diseñan los filtros pasa alto.

Fig. 8.15 Estructura con tres amplificadores operacionales

+-

V2 +

V1

+- +

- +


242

Cuando se aplica la transformación de frecuencia y las aproximaciones para

un filtro pasa alto se obtiene como expresión general para la función del

sistema del filtro pasa alto en el plano S la siguiente función de sistema.

Esta función está compuesta por una función de primer orden si n es impar y el

producto de W funciones pasa alto de segundo orden, note que el numerador y

el denominador tienen el mismo orden 2.

Para la realización de filtros pasa alto se puede hacer utilizando la realización

en cascada y utilizando la estructura adecuada.

Si se obtiene la función de sistema de la siguiente estructura.

Esta tiene como relación de transferencia de voltaje

1 1

Note que la función del sistema es muy parecida a la del filtro pasa bajo, por lo

que los métodos de diseño serán muy parecidos.

Comparando con la con una de las funciones de segundo orden se obtiene: 1

1

8.8.1 Componentes Homogéneas Se puede utilizar componentes homogéneas como en el pasa bajo y se

obtienen las mismas fórmulas

H1(S) H2(S) H3(S) HW(S)

Fig. 8.16 Estructura pasa alto de Sallen & kay

+-

++V1

V2

Fig. 8.17 Estructura pasa alto de Sallen & kay

R'

R''


243

Se obtiene entonces: 3

1

El valor de la ganancia queda determinado por:

3

Asignándole un valor a C se obtiene el valor de R 1

La ganancia se obtiene según

1

Son las mismas formulas que se obtuvieron para el pasa bajo, es interesante

que la misma estructura con los mismos valores se puede utilizar para un filtro

pasa bajo y para un filtro pasa alto, solo se intercambian las R y las C.

8.8.2 Diseño con ganancia Si interesa una ganancia determinada, se pone como consideración

De forma análoga se obtiene que 1

Y

1

1

Sustituyendo y despejando se obtiene la siguiente expresión para T2

2 11 1

4 1 1

Para que la cantidad subradical sea mayor que cero se llega a


244

4 1

4 1

Esta expresión siempre que AV>1 se cumple pues la parte derecha es menor

que cero siempre, si AV=1, entonces analizando la cantidad subradical es fácil

obtener que también es 1.

El algoritmo para el diseño es el mismo que ya se ha analizado.

Para el polo simple se utiliza una estructura activa o una pasiva semejante a la

del pasa bajo, con el capacitor y el resistor cambiados de posición.

Circuito activo

El circuito pasivo

Siempre es recomendable utilizar la estructura activa y no la pasiva, para usar

la pasiva se debe tener cuidado y situarla a la entrada de la combinación

cascada o en un lugar intermedio, nunca a la salida.

Ejemplo Diseñe un filtro que tenga una frecuencia de corte de 12 kHz, una frecuencia de

atenuación de 7 kHz, una atenuación en la banda de paso de 2 dB y una

atenuación en la banda de atenuación de 15 dB. Utilice la aproximación de

Butterworth y que tenga ganancia 20.

Respuesta La respuesta tiene dos posibilidades, con la estructura de Sallen y Kay y una

estructura con dos operacionales, la segunda variante se ontiene a traves de un

programa de diseno de filtros activos y pasivos. Los valores de los capacitores

en Nano Farad y los valores de los resistores en kilo Ohm.

V1

V2

Fig. 8.18 Estructura pasa alto activa de primer orden

R'

R''

+-

++

Fig. 8.19 Estructura pasa alto pasiva de primer orden

V1 V2

+ +


245

Con una estructura de dos operacionales la respuesta es.

Esta estructura de dos operacionales de puede utilizar para el diseño de filtros

pasa bajo, intercambiando los resistores (que no intervienen en la ganancia) y

los capacitores, la metodología de diseño es la misma que se ha empleado,

queda propuesto obtener las formulas de diseño para esta estructura.

8.9 REALIZACIÓN PASA BANDA. La realización pasa banda tiene características especiales, la primera forma

de implementar un filtro pasa banda es la combinación en cascada de un filtro

pasa alto y un filtro pasa bajo y otra es utilizando la transformación de

frecuencia y la ecuación de transformación:

8.9.1 Combinación en cascada pasa alto- pasa bajo. Las especificaciones de un filtro pasa banda estarían dadas por por el

esquema de la figura 8.22, note que hay dos frecuencias de corte, a las bajas

y a las altas y dos frecuencias de atenuación, a las bajas y a las altas:


246

Se va hacer el diseño por la combinación cascada pasa alto pasa bajo

Donde las especificaciones para cada uno de los filtros serían:

Para el pasa bajo

Para el pasa alto

8.9.2 Pasa Banda por transformación de frecuencias La otra vía que es utilizando la transformación de frecuencia y es la que se

verá con más detalle, dada por la ecuación

P Alto P Bajo

Fig. 8.23 Combinación pasa alto pasa bajo


247

Y la función que se obtiene de la aproximación en el plano Sx tiene un polo

real si es impar y pares de polos complejos conjugados

1 1

En definitiva sería

Para obtener H(S) se debe evaluar para el valor de Sx, de forma que:

|1 1

Si se aplica la sustitución en el polo real es fácil demostrar que se obtiene

Si se evalúa el trinomio que representa la función de segundo orden, o sea un

par de polos complejos conjugados, el denominador daría de cuarto orden por

lo que la mecánica no es sustituir en cada uno de los trinomios, sino obtener

las raíces de cada trinomio y evaluar Sx en cada una de esas raíces.

Considerando uno cualquiera de los pares de polos complejos conjugados, el

de la función i, se puede plantear 1 1

Evaluando la función Hi(Sx) para el valor de Sx

|1

Y manipulando algebraicamente de forma conveniente se llega a que

Son dos trinomios de coeficientes complejos, por lo que cada trinomio dará

un par de raíces complejas pero no conjugadas, si se analizan los trinomios

se observa que los coeficientes de S son conjugados, eso hace que las raíces


248

de los trinomios sean conjugadas entre ellos como se observa en la siguiente

tabla

Trinomio y sus raíces Trinomio y sus raíces

Como las raíces de uno de los trinomios tienen su conjugada en el otro, si se

agrupan las conjugadas para formar dos nuevos polinomios de raíces

complejas conjugadas, quedarían polinomios de coeficientes reales.

2

2

Donde

cos 2 cos 2

sen 2 sen 2

Y

4 4

24

Una vez que se obtienen los nuevos trinomios de coeficientes reales se

selecciona una estructura que tenga una función semejante y luego se

igualan los coeficientes de S de forma semejante a los casos del pasa bajo y

el pasa alto. Es de notar que por cada polo en el plano Sx, aparecen un par

de polos en el plano S, si la aproximación tiene un orden de n, el pasa bandas

tendrá una combinación cascada de n secciones de segundo orden.

Se utiliza como estructura de segundo orden la de la figura 8.26


249

La función del sistema para esta estructura es la siguiente 1

1

Donde RP es la combinación paralelo de R1 y R2

Comparando con

Se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones, note que en este caso se

utiliza una ecuación que contempla el término del numerador, además en

importante tenerla en consideración.

1

1

De ahí se obtienen las fórmulas de cálculo para obtener los parámetros del

circuito para cada estructura de segundo orden del filtro pasa banda, note que

por cada par de polos complejos en el plano Sx , habrá dos pares de polos en

el plano S

Para el diseño se pueden seguir los mismos pasos que en casos anteriores.

1

De ahí se puede obtener

1

Fig. 8.26 Estructura pasa banda con amplificador de ganancia infinita

+-

V2 +V1


250

1

Sacando C1 factor común en el numerador y denominador de d1

Se obtiene que

1 1

Sustituyendo R3C2

1 1

Despejando T2

1 1

Note que γ no tiene ninguna restricción, por lo que puede tomar cualquier

valor, se debe tener la expresión de la ganancia AV que será 1

Quedando como expresión para la ganancia

Sacando factor común en el numerador y el denominador C2, se obtiene una

expresión de la ganancia en función de la razón entre los capacitores, que

puede ser usada

1

El algoritmo para el diseño es semejante al que se ha descrito en casos

anteriores.

Propuesto 1. Para estructura de la figura 8.27 obtenga la función del sistema

2. Analice la estabilidad

3. Obtenga formulas de diseño.


251

Como conclusión se puede plantear que para el diseño de los filtros activos es

muy utilizada la combinación cascada de funciones de segundo orden y en

dependencia del caso una de primer orden, tienen como ventaja que se

pueden ajustar cada una de las estructuras por separado, una estructura no

carga a la otra, las hace totalmente independientes, si el valor de n que se

obtiene por una de las aproximaciones, Butterworth o Chebyshev, es muy alto,

esto hace que en el diagrama de polos y ceros hallan pares de polos muy

cerca del eje imaginario, los polos más cercanos al eje imaginario se tienen

que diseñar con estructuras de mayor complejidad.

Fig. 8.27 Estructura con tres amplificadores operacionales

+-

V2 +V1

+- +

- +

X

XX

X

X

Oσ

jω

Fig. 8.28 Diagrama de Polos y Ceros DPC

-1 …

…

1

Capítulo IX. Redes útiles en comunicaciones

252

9. REDES ÚTILES EN COMUNICACIONES 9.1 PARÁMETROS IMÁGENES Los cuadripolos se caracterizan por diferentes parámetros, los parámetros Z,

los parámetros Y, los parámetros H y los de transmisión, pero existe un juego

de parámetros que fue el primero que surgió y está basado en la teoría de las

líneas de transmisión, son los parámetros imágenes. Estos parámetros se

usan para el diseño de distintos tipos de redes muy común en

telecomunicaciones, al igual que cualquiera de los otros parámetros que

caracterizan a los cuadripolo, los parámetros admitancias de corto circuito y

los parámetros impedancias de circuito abierto. Estos parámetros imágenes

también caracterizarán a los cuadripolo pasivos, a los cuadripolo recíprocos.

9.1.1 Parámetros Imágenes. Definición. Para caracterizar un cuadripolo reciproco, un cuadripolo pasivo, se necesitan

tres parámetros, dos impedancias, conocidas como impedancias imágenes y

un tercer parámetro, la constante transferencial imagen.

9.1.2 Impedancias imágenes. Las impedancias imágenes se definen como un par de impedancias complejas

Z1i y Z2i tal que cuando se conecta Z2i como impedancia de carga a la salida

del cuadripolo, la impedancia que se observa a la entrada del cuadripolo es Z1i

y cuando se conecta a la entrada del cuadripolo la impedancia Z1i, la

impedancia que se observa a la salida del cuadripolo es la impedancia Z2i

Impedancia Imagen de entrada Z1i es la impedancia de la entrada cuando se

conecta Z2i a la salida, figura 9.1

Impedancia Imagen de salida Z2i es la impedancia de la salida cuando se

conecta Z1i a la entrada, figura 9.2

Cuadripolo

Q Z2iZ1i

Fig. 9.1 Impedancia Imagen de entrada

Fig. 9.2 Impedancia Imagen de salida

Cuadripolo

Q Z2i

Z1i


253

9.1.3 Cuadripolo en condición Imagen. Un cuadripolo pasivo y reciproco, se dice que está en condición imagen

cuando las impedancias de carga y suministro son las impedancias imágenes,

como se muestra en la figura 9.3. Esto implica que la impedancia de la entrada

del cuadripolo es la impedancia imagen de la entrada y la impedancia de la

salida del cuadripolo es la impedancia imagen de salida

9.1.4 Constante Transferencial Imagen.

Se define como constante transferencial Imagen y se representa por θi a la

relación: ½ logaritmo neperiano del cociente formado por el producto voltaje

corriente fasorial a la entrada entre el producto voltaje corriente fasorial a la

salida de un cuadripolo en condición imagen, la expresión es

θ12 ln

V IV I

Los voltajes y corrientes a la entrada y la salida son complejos, por lo que es

de esperar que la constante tranferencial imagen tambien lo sea.

Donde αi es la constante de atenuación imagen y es

12ln

V IV I

Y βi es la constante de fase imagen y se obtiene como

β12Arg

V IV I

Si el cuadripolo es simétrico se dice que las impedancias imágenes se

convierten en la impedancia característica del cuadripolo y se denomina .

Y la constante transferencial imagen quedaría en este caso como

θ lnVV ln

II

Fig. 9.3 Cuadripolo en condición imagen

Cuadripolo

Q Z2i

Z1i V1i V2i

I2i I1i

+ + +


254

9.1.5 PARÁMETROS IMÁGENES EN FUNCIÓN DE LAS IMPEDANCIAS DE CORTO

CIRCUITO Y CIRCUITO ABIERTO.

Los parámetros imágenes caracterizan al cuadripolo recíproco, como los

parámetros Z, Y o cualquiera de los otros parámetros del cuadripolo, de ahí

que se pueda encontrar una relación entre cualquiera de los parámetros ya

conocidos y los parámetros Imágenes. Una relación muy importante es la que

existe entre los parámetros imágenes y las impedancias de corto circuito y

circuito abierto de un cuadripolo.

Se puede demostrar que la impedancia imagen de la entrada es

La impedancia imagen de la salida

Y la constante transferencial imagen

tanh ó tanh

Despejando y utilizando identidades se obtiene que la constante transferencial

imagen se puede expresar también como

tanh12

1

1

Note que los signos son más y menos, eso hace que existan diferentes

combinaciones de signos por lo que se tendrían diferentes juegos de

parámetros, se puede demostrar que de todas las combinaciones posible sólo

son validas aquellas que se obtienen de seleccionar los tres parámetros con

signos positivos.

tanh

O los tres parámetros con signos negativos


255

tanh

La combinación de signos positivos y negativo no son posibles

9.1.6 Cadena Imagen

Una cadena imagen es una asociación de cuadripolos conectados en cascada

donde todos y cada uno de los cuadripolos están en condición imagen, en la

figura 9.4 se muestra una cadena imagen.

La impedancias imagen de la entrada es la del primer cuadripolo y la

impedancia imagen de la salida es la del último cuadripolo

; ; … ;

Así se puede demostrar también que la constante transferencial imagen de la

asociación de cuadripolos en cascada formando una cadena imagen, es la

suma de todas las constantes transferenciales de los cuadripolos de la

asociación. Se sabe que la definición de la constante transferencial imagen de

un cuadripolo equivalente a la asociación cascada es

θ12 ln

V IV I

Se sabe además que el voltaje y la corriente en cada uno de los cuadripolos

conectados son iguales, entonces se cumplirá que

VQ IQ

VQ IQ1 ;

VQ IQ

VQ IQ1; …

VQ IQ

VQ IQ1

Entonces se puede plantear en la definición de la constante transferencial

imagen que:

Fig. 9.5 Cuadripolo equivalente de una cadena imagen

Cuadripolo

QT ZS

V1i

I1i+ +

ZRV2i

I2i+

Fig. 9.4 Cadena Imagen

ZR ZS

+ E CuadripoloQ1

Cuadripolo

Q2

Cuadripolo

Q(n-1)

Cuadripolo

Qn V1i

I1i

+

V2i

I2i

+


256

θ12ln

V IV I

VQ IQ

VQ IQVQ IQ

VQ IQ…

VQ IQ

VQ IQ

Combinando adecuadamente los productos voltaje corriente se obtiene

θ12ln

V IVQ IQ

VQ IQ

VQ IQVQ IQ

VQ IQ…

VQ IQ

V I

Por la propiedad del logaritmo del producto se llega fácilmente a que

θ12 ln

V IVQ IQ

12 ln

VQ IQ

VQ IQ12 ln

VQ IQ

VQ IQ12 ln

VQ IQ

V I

De donde se obtiene que la constante transferencial imagen del cuadripolo

equivalente sea la suma de las constantes transferenciales imágenes de cada

uno de los cuadripolos componentes de la asociación

Ejemplo 1 Calcule los parámetros imágenes del cuadripolo de la figura 9.6

Respuesta 15.87Ω7.94Ω

1.384

Ejemplo 2 Calcule los parámetros imágenes del cuadripolo de la figura 9.7.

Si la frecuencia aumenta 3 veces su valor inicial, calcule los parámetros de

nuevo.

Respuesta 6.928Ω6.928Ω3⁄

Fig. 9.6 Cuadripolo resistivo

3Ω

6Ω

12Ω

Fig. 9.7 Cuadripolo reactivo

6J -12J -12J


257

9.2 PÉRDIDAS DE TRANSMISIÓN.

9.2.1 Definición de pérdida de transmisión La pérdida de transmisión es la pérdida de potencia activa que sufre una señal

al pasar a través de un cuadripolo o sea es un índice de la potencia activa que

consume o se disipa en un cuadripolo y se define como:

Sea P1 la potencia activa que una fuente le entrega a un cuadripolo Q y P2 la

potencia activa que se disipa en la carga ZR del cuadripolo, o sea la potencia

activa que el cuadripolo le entrega a la carga, figura 9.9.

Se define como perdida de transmision en dB a la relación.

10

Y como pérdida de transmisión en Neper a: 12

9.2.2 Pérdida de transmisión de un cuadripolo resistivo en función de

los parámetros imágenes.

Para un cuadripolo resistivo con carga resistiva, figura 9.10, se puede

demostrar que

20log 20 10 1

O sea

18J -4J -4J

Fig. 9.8 Para tres veces la frecuencia inicial

Z1i=-5.37J Ω Z2i=-5.37J Ω θ=1.578

Fig. 9.9 Cuadripolo pasivo

ZR

ZS

P1 P2

+

E

Fig. 9.10 Cuadripolo con carga y suministro resistivos

RRRS

P1 P2

+

E


258

8,686 20 10 1

Donde

kR2 es constante de reflexión en el recibo

2

Y ρR es el coeficiente de reflexión en el recibo.

Note que las pérdidas de transmisión no dependen de la condición que hay a

la entrada del cuadripolo y que si hay condición imagen a la salida kR2=0 y

0 entonces

8,686

Las pérdidas de transmisión serán mayores o iguales que cero, son cero si el

cuadripolo es reactivo puro.

9.2.3 Impedancia de entrada en función del coeficiente de reflexión.

Se puede demostrar que

11

Es de notar que si el coeficiente de reflexión 0 por lo que se

cumple

0

De forma análoga si la constante de atenuación imagen αi tiende a infinito,

entonces

∞ 0

Se independiza la impedancia de la entrada de la impedancia de la carga, si la

atenuación es grande, entonces el cuadripolo aísla la entrada de la salida si la

constante de atenuación es grande.

9.3 PÉRDIDAS DE INSERCIÓN.

9.3.1 DEFINICIÓN La perdida de inserción indica que efecto se produce en la potencia activa que

una fuente le suministra a una carga al insertar un cuadripolo entre la fuente y

la carga


259

Se tiene una fuente real de impedancia interna ZS y se le conecta una

impedancia de carga ZR, figura 9.11, sea P0 la potencia activa que se disipa en

la impedancia de carga.

Si se intercala un cuadripolo entre la fuente y la carga, figura 9.12.

Se define como pérdida de Inserción PI en decibeles o en neper a la relación

logarítmica entre la potencia activa que se disipa en la carga sin el cuadripolo

y la potencia activa que se disipa en la carga cuando está intercalado el

cuadripolo , formalmente es:

10 ó 12

Aplicando la expresión de la potencia activa que se disipa en un resistor

Se obtiene 12 ó

12

Note que en ambos casos son voltaje y corriente eficaz en la parte resistiva de

la carga.

9.3.2 Perdidas de inserción en función de los parámetros imágenes Se puede demostrar que la perdida de insercion se puede expresar en funcion

de las componentes

Donde

es la perdida de inserción en el suministro y es

E

Fig. 9.12 Potencia activa en la carga con un cuadripolo

Cuadripolo

Q ZR

ZS

P1 P2

+

Fig. 9.11 Potencia activa en la carga sin el cuadripolo

E ZR ZS

P0

+


260

2

es la perdida de inserción en el recibo y es

2

es la perdida de inserción entre el suministro y el recibo

2

es la perdida de inserción por interacción entre suministro y recibo.

| | 1

Las pérdidas de inserción pueden ser mayores, menores o iguales a cero.

PI<0 si el cuadripolo está en condición imagen a la entrada, a la salida, es

reactivo puro y no es simétrico, si la parte real de la impedancia de carga y

suministro son diferentes es obvio pensar que no existe máxima transferencia

de potencia de la fuente a la carga, si se logra insertar un cuadripolo reactivo

puro (no consume potencia) entre la fuente y la carga que la impedancia de

entrada del cuadripolo con la carga conectada sea la conjugada de la

impedancia de la fuente, esto hace que haya condición de máxima

transferencia de potencia a la entrada del cuadripolo, si el cuadripolo no la

consume y se logra que la impedancia de la salida del cuadripolo sea

conjugada a la impedancia de la carga, existirá condición de máxima

transferencia de potencia a la salida, llegará la máxima potencia a la carga,

será mayor la potencia que llega a la carga con el cuadripolo que sin el

cuadripolo, habrá una ganancia de inserción.

PI=0 si está en condición imagen a la entrada, a la salida, es reactivo puro y

es simétrico, llega la misma potencia a la carga con el cuadripolo que sin el

cuadripolo..

Ejemplos propuestos.

Calcule los parámetros imágenes del cuadripolo de la figura 9.13 a las

frecuencias 1 radian y 5 radian.


261

Respuesta 6.93 Ω 5.37 Ω6.93 Ω 5.37 Ω

1.047 4

9.4 ATENUADORES RESISTIVOS

Un atenuador es un cuadripolo resistivo puro que se destina para ser

intercalado en cualquier sistema e introducir una atenuación o pérdida de

Transmisión fija o variable pero conocida, entre dos niveles de impedancia

determinados, normalmente estas impedancias son sus impedancias

imágenes.

Se sabe que las pérdidas de transmisión de un cuadripolo resistivo pueden ser

expresadas como

20 20 10log 1

Esta será la atenuación que introduce un atenuador cuando no está trabajando

en condición imagen.

Si se considera que

Entonces

20 20 10log 1

Si el cuadripolo está trabajando en condición imagen, entonces las pérdidas de

transmisión son

20 En este caso se dice que el cuadripolo o sea el atenuador está trabajando en

condición nominal.

Un atenuador está en condición nominal cuando sus impedancias de carga y

suministros son sus impedancias imágenes de salida y entrada

respectivamente.

Fig. 9.13 Ejemplo propuesto

4H

1/8 F

4H


262

Y las pérdidas de transmisión que introduce se conocen como atenuación

nominal y se obtienen por la expresión.

20

Se había planteado que la impedancia de entrada era

11

Si la atenuación es grande, entonces

El atenuador se comporta como un cuadripolo que aísla la entrada de la salida.

Si la atenuación es mayor de 10dB, un corto circuito a la salida casi no se

refleja en la entrada, esa es una de las aplicaciones de los atenuadores

resistivos.

Diseño de atenuadores.

Los datos para el diseño de un atenuador son las impedancias de la fuente y la

carga, los niveles de impedancias entre los que va a trabajar el atenuador y la

atenuación que se quiere introducir. La estructura del atenuador es variada,

pero las más usadas son la T, pi y la L, con algunas otras variantes. El diseño

consiste en obtener los valores de las resistencias que forman el atenuador.

9.4.1 Atenuador tipo T. Un atenuador tipo T es un cuadripolo resistivo que tiene la estructura de la

figura 9.14, al que se le tienen que calcular los resistores para que suministren

la atenuación nominal.

Partiendo de que los datos para el diseño del atenuador son: las resistencias

imágenes R2i, R1i y la atenuación nominal N, se puede demostrar, calculando

los parámetros imágenes y resolviendo el sistema de ecuaciones que los

valores de los resistores del atenuador son: 2

1

Fig. 9.14 Atenuador resistivo tipo T

RC

RB

RA


263

11

11

Es obvio que para que el cuadripolo sea realizable, los valores de los

resistores tienen que ser mayores o iguales que cero, no pueden ser los

resistores negativos. Por lo que

0 ; 0 0

Como 1 es fácil demostrar que 0 siempre, entonces queda

garantizar los otros resistores. Aplicando esta condición para los otros dos

resistores, para

0

11 0

De donde, sustituyendo se llega a la desigualdad

1 2 0

Quedando

2 1 0

Despejando se llega a que el valor de N tiene que ser

1

De donde el valor menor que puede tener N o será la Nmin para que sea

realizable es considerando el signo igual

1

Ahora considerando la condición 0 se llega a obtener un valor para la

dado por

1

Es obvio que si la limitante es y si la limitante es y si

se tiene que la atenuación nominal mínima es 1 por lo que el

atenuador seria simétrico y siempre será realizable.

9.4.2 ATENUADOR TIPO PI


264

Un atenuador tipo Pi (π) es un cuadripolo resistivo que tiene la estructura de la


la atenuación nominal, es dual al atenuador tipo T.

Las formulas de cálculo son

12

11

11

La expresión para la Nmin es la misma que se tiene para el atenuador tipo T, es

obvio, pues cualquier cuadripolo resistivo tipo pi tendrá un cuadripolo resistivo

equivalente tipo T.

9.4.3 Atenuador tipo L Un atenuador tipo L es un cuadripolo resistivo que tiene la estructura de la


la atenuación nominal.

Las formulas de calculo son

Es de notar que las resistencias no dependen de N por lo que para un par de

impedancias imágenes la atenuación que se obtiene es única.

9.4.4 Configuración T Puenteada. Un atenuador tipo T puenteada es un cuadripolo resistivo que tiene la

estructura de la figura 9.17, al que se le tienen que calcular los resistores, esta

Fig. 9.16 Atenuador resistivo tipo L

RARB

GC

GB GA

Fig. 9.15 Atenuador resistivo tipo pi (π)


265

es una estructura simétrica, o sea trabaja entre niveles de resistencias

imágenes iguales .

Si se cumple que

Entonces las formulas de cálculo son

1 1

9.4.5 Atenuadores variables Uno de los atenuadores variables más simples que se utilizan son los

potenciometros variables figura 9.18, estos son atenuadores tipo L, por lo que

al variarlos se varia la atenuacion nominal N y las impedancias imágenes de

entrada y salida del atenuador.

Cuando se necesita que el atenuador trabaje en condición nominal, o sea en

condición imagen se debe ir a un diseño más elaborado.

9.4.5 Atenuador tipo T variable. El atenuador vareable tipo T es muy utilizado, en la figura 9.19 se muestra la

estructura del atenuador. Está compuesto por un conjunto de atenuadores tipo

T diseñados cada uno por separado, pero el atenuador se obtiene

complementando los resistores de forma tal que con un conmutador de tres

posiciones se seleccionen los resistores que corresponden a cada uno de los

atenuadores diseñados.

Fig. 9.18 Atenuador variable resistivo tipo L

RA RB

Fig. 9.17 Atenuador resistivo T puenteada

R0

RB

R0

RA


266

9.4.6 Atenuador variable tipo T Puenteada. En este caso se diseñan los atenuadores en T puenteada y el montaje se hace

también, complementando los valores de los resistores y utilizando un

conmutador doble, debe trabajar en lugares donde las resistencias de carga y

suministro sean iguales, es un atenuador simétrico como se había visto

anteriormente, en la figura 9.20 se muestra la estructura del atenuador variable

en T puenteada.

Ejemplo. Diseñe un atenuador variable para atenuaciones de 10 y 20 dB y que trabaje

entre impedancias de 100 y 200 Ohm

Respuesta. Tiene que ser un atenuador tipo T o pi (analice la estructura), pues no es

simétrico y se debe garantizar una atenuación diferente en cada caso.

2.41

Atenuación nominal para cada caso

Fig. 9.20 Atenuador variable tipo T puenteada

2

1

3

0

0 1 2 3

RB RA

Fig. 9.19 Atenuador variable tipo T

2

1 2 3 3 2 1 0

1

0

3

0


267

20

10 3.16 145 ; 100 ; 23

20 10 176 ; 28 ; 74

El atenuador queda de la forma que se muestra en la figura 9.21

9.5 REDES ADAPTADORAS DE IMPEDANCIA

En las comunicaciones donde los niveles de potencia con que se trabaja son

normalmente pequeños hace que se trate de obtener condición de máxima

transferencia de potencia en casi todas las aplicaciones.

Cualquier sistema que alimente una carga puede ser sustituido por su

equivalente de Thevenin figura 9.22, este equivalente que alimenta cualquier

carga esta compuesto por una impedancia equivalente , la impedancia de

Thevenin y una fuente de voltaje ideal de voltaje el voltaje equivalente de

Thevenin . La condición de máxima transferencia de potencia es:

Dado una fuente de suministro de energía conectada directamente a una

carga que recibe energía, figura 9.22.

La condición de máxima transferencia plantea

Y la potencia máxima que la fuente es capaz de entregar a la carga será

Fig. 9.22 condición de máxima transferencia de potencia

ZR ZS

+E

Fig. 9.21 Atenuador variable tipo T

2

1 2 2 1 0

1

0

0

28Ω

72Ω

51Ω 23Ω 31Ω145Ω


268

4

Ahora si

Entonces no existirá condición de máxima transferencia de potencia, la fuente

tiene su impedancia interna fija y la carga tiene también una impedancia fija,

para obtener la condición de máxima transferencia de ponencia se debe

insertar un cuadripolo entre la fuente (el suministro) y la carga (el recibo) que

cumpla con determinada característica como se muestra en la figura 9.23.

El cuadripolo a insertar debe cumplir con las siguientes caracteristicas.

1. Un cuadripolo que no consuma potencia activa, o sea no disipativo, por lo

tanto debe ser un cuadripolo reactivo puro compuesto por inductores y

capacitores.

2. La impedancia que se vea a la entrada Z1=ZS*, para que exista condición

de máxima transferencia de potencia a la entrada.

3. La impedancia que se verá a la salida Z2=ZR*, para que exista condición de

máxima transferencia de potencia a la salida.

Esto se puede lograr de la forma que se indica en la figura 9.24, separando el

cuadripolo, en una combinación cascada de cuadripolos.

Los cuadripolos Q1 y Q3 son los encargados de neutralizar las partes reactivas

de la carga y el suministro. El cuadripolo Q2 es la red que se encarga de

Fig. 9.23 Condición de máxima transferencia de potencia

en la entrada y en la salida

ZR

ZS+

E

Z1= ZS* Z2 =ZR

*

Fig. 9.24 Cascada de cuadripolos para máxima transferencia de potencia

ZS +E Q1

Q2

ZR

Q3


269

adaptar las partes resistivas de la carga y el suministro, es propiamente la red

adaptadora de impedancia. Los cuadripolos Q1 y Q3 son cuadripolos formados

por un solo elemento, para completar la impedancia de la entrada y de la

salida como ya se planteó, el elemento que lo forma es reactivo y es el

complemento de la impedancia del suministro y de la impedancia del recibo,

para anular su parte reactiva, en la figura 9.25 se muestra una variante de

como pueden ser los cuadripolo Q1 y Q3.

El cuadripolo Q2 es reactivo tiene que tener impedancias imágenes resistivas y

ser exactamente la parte real de la impedancia de suministro y la parte real de

la impedancia de recibo. Las impedancias imágenes en función de las

impedancias de corto circuito y circuito abierto son

Las impedancias imágenes tienen que ser resistivas como se planteó, esto se

puede lograr si las impedancias de corto circuito y de circuito abierto son

impedancias de diferentes signos de forma que

De donde se obseva que los signos y las j se compensan, quedando la raiz

real, por lo que la cantidad subradical es positiva y la raiz es positiva tambien,

siendo las impedancias imágenes resistencias imágenes.

9.5.1 Redes adaptadoras de impedancia tipo T.

Supóngase que se tiene el cuadripolo de la figura 9.26, compuesto por

reactancias de impedancia , se considerará que si es la impedancia es

la impedancia de un inductor la reactancia es positiva y si es la impedancia

de un capacitor la reactancia , es negativa o sea el signo se considerará

dentro de la reactancia.

Fig. 9.25 Cuadripolos Q1 y Q3

±jX


270

Se pueden obtener las impedancias imágenes de entrada y salida de este

cuadripolo reactivo quedando la expresión

Sustituyendo por las reactancias se obtienen las impedancias imágenes de

entrada y salida en función de las reactancias y se quieren que esas

impedancias imágenes sean resistivas por lo que las expresiones se

convierten en

Analizando la expresión se llega a la conclusión de que para que las

impedancias imágenes sean resistivas tiene que cumplirse que la cantidad

subradical sea positiva. Si todas las reactancias son positivas o todas las

reactancias son negativas, el signo menos se mantiene, para anular este signo

se logra si una de las reactancias tiene signo contrario a las otras dos, o sea si

una es capacitiva, las otras dos deben ser inductivas o viceversa.

El diseño de la red adaptadora consiste en obtener los valores de las

reactancias , y del cuadripolo, se tienen dos ecuaciones y tres

incógnitas, por lo que el sistema tendrá infinitas soluciones, es una

característica de la síntesis, que además es conveniente pues se pueden

asignar valores que sean razonables a algunas variables y obtener otras. Una

Fig. 9.26 Cuadripolos reactivo

Z2

Z3

Z1


271

variante puede ser introducir una nueva ecuación, considerando algún otro

criterio para el diseño del cuadripolo.

Despejando dos de las reactancias, en este caso y se obtienen las

ecuaciones

Se puede despejar cualesquiera dos variables, es de destacar que la cantidad

subradical tiene que ser mayor que cero para que las reactancias sean reales,

entonces se tiene que cumplir.

0

Despejando se obtiene que

De donde

Si se considera el signo igual queda

Se obtienen dos posibles redes como se indica en la figura 9.27 A y B, note

que las reactancias son diferentes en signo, en valor y signo y

igual en valor pero de signo contrario a las otras dos

Diseño con especificaciones de fase Se puede introducir en el diseño una nueva condición, la diferencia de fase

entre la corriente de entrada y la corriente de salida , o sea establecer

como parámetro de diseño además de las resistencias imágenes el desfasaje

A Fig. 9.27 Redes adaptadoras de impedancia

B

L1 C3

L2 C1

L3

C2


272

entre entrada y salida. Procesando se llega a que en este caso las ecuaciones

para el diseño son

Donde es la diferencia de fase entre la entrada y la salida

Esta tercera condición hace que el sistema tenga solución única, por lo tanto

existe una sola red adaptadora.

9.5.2 Redes tipo Pi

Aplicando el principio de dualidad para las expresiones de la red en T se

obtienen las ecuaciones para la red en PI

9.5.3 Redes tipo L La red adaptadora tipo L es una red adaptadora con el menor número de

elementos, se muestra en la figura 9.29.

Las ecuaciones en este caso quedarían

Es de notar que las redes adaptadoras de impedancia diseñadas por este

método adaptan la impedancia a una frecuencia, a la frecuencia de diseño,

pero una vez que se separan de ella la adaptación disminuye, por lo que se

puede hablar de un ancho de banda de la red adaptadora.

9.5.4 Rechazo de frecuencias

Fig. 9.29 Red adaptadora de impedancia tipo L

Z1 Z3

Fig. 9.28 Red adaptadora de impedancia tipo pi

B2

B3B1


273

En ocasiones interesa que la señal de una frecuencia no llegue a la carga, o

sea que el cuadripolo, la red adaptadora la rechace, eso se puede obtener

poniendo un corto circuito en una rama paralelo o poniendo un circuito abierto

en una rama serie a esa frecuencia de rechazo, se puede lograr este efecto

poniendo un circuito serie LC en una rama paralelo que resuene a la

frecuencia de rechazo (se comporta como corto circuito en resonancia) o un

circuito paralelo LC en una rama serie que resuene, también, a la frecuencia

de rechazo (se comporta como un circuito abierto en resonancia), las

característica de estos circuitos a la frecuencia de resonancia hacen que se

comporten como corto circuito o circuito abierto respectivamente, como se

planteó.

Sea una red adaptadora de impedancia tipo T, figura 9.30 con la que se quiere

rechazar una frecuencia

A la frecuencia de diseño fd la impedancia de la rama paralela tiene dos

posibilidades por el método de diseño

Si se quiere rechazar la frecuencia fR se debe sustituir la impedancia de diseño

de la rama paralelo Z3 por un circuito serie LC que resuene a la frecuencia que

se quiere rechazar, el circuito serie en la frecuencia de resonancia se

comporta como un corto circuito, por lo tanto la frecuencia de rechazo se

cortocircuita.

De forma que se cumpla a la frecuencia de diseño fd que

Fig. 9.30 Red adaptadora de impedancia tipo T

Z2

Z3

Z1

C

L

Fig. 9.31 Red para rechazar una frecuencia


274

Y a la frecuencia de rechazo fR que

0

Sustituyendo por las impedancia del inductor y del capacitor a la frecuencia de

diseño 1

A la frecuencia de rechazo queda

01

Quedaría un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas que

se deben resolver y calcular el inductor y capacitor de la red de rechazo. 1

01

Es de notar que X3 puede tener signo más o menos, el signo más significa que

la reactancia es inductiva y menos significa que es capacitiva, esto determina

si el rechazo se puede o no hacer pues el circuito serie a una frecuencia mayor

que la frecuencia de resonancia se comporta como un inductor, por lo tanto si

el signo es positivo, la X3 es una inductancia y la frecuencia de diseño tiene

que ser mayor que la frecuencia de rechazo, para que el circuito serie LC se

comporte como un inductor a la frecuencia de diseño, y el sistema tenga

solución, si la frecuencia de diseño es menor que la de rechazo, no se podría

hacer. Otra variante es poner un circuito paralelo en rama serie, el circuito

paralelo se comporta como un circuito abierto en la frecuencia de resonancia y

no deja pasar la frecuencia de rechazo, es dual al circuito serie LC.

Las ecuaciones quedan como 1

01

Fig. 9.32 Rechazo de frecuencia en rama serie

L

C


275

Ejemplo: Diseñe una red adaptadora de impedancia para acoplar una impedancia de

carga Zr=200+200j Ω, con una fuente de 800 Ω de impedancia interna a una

frecuencia de 5 Mrad/seg. La corriente de la carga debe adelantar 12º a la de

la entrada y debe rechazar una frecuencia de 3 Mrad/seg.

Solución: Datos

800 Ω 200 Ω

5. 10 ⁄ 3. 10 ⁄

arg 0 12

Aplicando las formulas de la red adaptadora

√200 80012 1,924 Ω

Calculando 800

12 1,924 1,836 Ω

Calculando 200

12 1,924 983 Ω

Es de notar que la reactancia es negativa, pertenece a un capacitor, las

otras dos son positivas, son inductores, por lo tanto

1,836 Ω 1,836 5. 10 367

983 Ω1

1 1

983 5. 10 204

1,924 Ω 1,924 5. 10

384

La red adaptadora queda como se indica en la figura 9.32, note que la

distribución de las componentes es diferente a la de la figura 9.27, el método

de diseño es diferente.


276

Al comparar la frecuencia de diseño con la frecuencia de rechazo

El circuito debe rechazar la frecuencia , lo hace con un circuito resonante,

que puede ser en rama serie con un circuito resonante paralelo, o en rama

paralelo con un circuito resonante serie, la frecuencia de diseño es mayor que

la de resonancia, el circuito serie se comporta antes de resonancia como un

capacitor y después de resonancia como un inductor, en la rama paralelo se

puede poner porque es un inductor a la frecuencia de diseño, que es mayor

que la frecuencia de resonancia como se dijo. Para ponerlo en rama paralelo

se debe poner en una rama capacitiva porque el circuito paralelo tiene un

comportamiento dual al circuito serie, debía entonces ponerse en la rama de

X2 que es la capacitiva. En la figura 9.34 aparecen las dos posibilidades.

Las formulas de diseño son 1

1,924 5. 101

5. 10

01

0 3. 101

3. 10

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se debe

resolver.

0,1848 0,5012

El cuadripolo queda como se muestra en la figura 9.35

Fig. 9.33 Red adaptadora de impedancia

L1

L3

C2

Fig. 9.34 Redes adaptadoras con rechazo de frecuencia

L1 L0

C2

C0

L1 L3

C0

L0


277

Ahora sólo queda anular la parte imaginaria de la impedancia del recibo por lo

que para ello el circuito debe ser el que se muestra en la figura 9.36:

A la frecuencia de diseño la inductancia de la reactancia del recibo es 200 5. 10

40

Y la capacidad de la reactancia que anula la reactancia del recibo 1 1

200 5. 101000

En la figura 9.37 se muestra la red adaptadora con el capacitor que anula la

inductancia del recibo

La red adaptadora quedaría de la forma como se muestra en la figura 9.38, los

capacitores de 1000 y de 204 están conectados en serie y se sustituyen

por un capacitor equivalente de 169 .

3670,5012

204

0,1848

Fig. 9.35 Red adaptadora con rechazo de frecuencia

367 0,5012 204

0,1848


800Ω

200Ω

200 Ω

200 Ω

Red adaptadora con rechazo Anula

reactancia

367 0,5012 204

0,1848


800Ω

200Ω

401000

Red adaptadora con rechazo Anula

reactancia


278

9.6 FILTROS DE ZOBELL Un método de diseño de filtros utilizado en comunicaciones, sobre todo para

altas frecuencias es el método propuesto por Zobell y Cambell, se puede

utilizar para diseñar cualquier tipo de filtro. Este método está basado en el

comportamiento de los parámetros imágenes de determinadas estructuras,

también se conoce como filtros K constante.

9.6.1 Sección L básica Supóngase que se tiene una estructura en L formada por dos impedancias,

como se indica en la figura 9.39

Los parámetros imágenes se obtienen en función de las impedancias de corto

circuito y circuito abierto.

Para la impedancia imagen de la entrada, calculando las impedancias de

entrada con la salida en corto circuito y circuito abierto

Sustituyendo y efectuando se obtiene

Para la impedancia imagen de la salida, calculando la impedancias de salida

con la entrada en corto circuito y circuito abierto

Sustituyendo y efectuando se obtiene

200Ω

403670,5012

169

0,1848


800Ω

Red adaptadora con rechazo

Fig. 9.39 L básica


279

Calculando el producto de las dos impedancias imágenes se obtiene

Si las impedancias y son duales, el producto sería, por ejemplo si una es

un capacitor y la otra un inductor 1

Si y fueran, una un circuito serie LC y la otra un circuito paralelo LC

1

De ahí el nombre de k constante.

La constante transferencial imagen será

tanh

Considerando el caso de un inductor y un capacitor de valores de impedancia

2 2 1

2

En la figura 9.40 (A) aparece las impedancias de la L básica en general, y en

la figura 9.40 (B) sustituidos los elementos en el circuito según las expresiones

de las impedancias.

Calculando los parámetros imágenes del cuadripolo.

La impedancia imagen de la entrada, calculando las impedancias de entrada

con la salida en corto circuito y circuito abierto

A

Fig. 9.40 (A) L básica, (B) L básica pasa bajo. B

22


280

Siendo 2

2

Sustituyendo y efectuando

14

Para la impedancia imagen de la salida, calculando la impedancias de salida

con la entrada en corto circuito y circuito abierto

Sustituyendo y efectuando

44

Si se analizan las impedancias imágenes para 0 se obtiene que:

0

se conoce como resistencia nominal o de diseño y está dada por

Para calcular la constante transferencial imagen

tanh tanh

De donde se obtiene que


281

tanh

Haciendo el gráfico de los parámetros imágenes contra la frecuencia ω,

considerando que 4 1 , entonces 4 y 2 se obtiene, para

la constante transferencial imagen que para frecuencias entre 0 1, la

constante de atenuación imagen es cero y la constante de fase aumenta con la

frecuencia, sin embargo para valores de frecuencia 1 la constante de

atenuación imagen aumenta con la frecuencia, y la de fase se mantiene

constante e igual a , el aumento de la constante de atenuación comienza muy

suave, pero aumenta al aumentar la frecuencia, figura 9.41

El comportamiento de las impedancias imágenes, figura 9.42 y figura 9.43, es

tal que para frecuencias entre 0 1, los valores de las impedancias

imágenes son reales, esa impedancia es equivalente a un resistor. Para

valores de 1 la impedancia es imaginaria pura

Grafico de la impedancia imagen de la salida figura 9.43

0 0.5 1 1.5 20

1

2 α

0 0.5 1 1.5 20

1

2 β

ω ω

Fig. 9.41 Gráfico de la constante de atenuación y fase contra frecuencia

0 0.5 1 1.5 20

1

2 PR Z1i 4

2

0

PI Z1i

0.5 1 1.5 2ω

ω

Fig. 9.42 Gráfico de parte real y parte imaginaria de Z1i

20

10

0

PI Z2i

0 0.5 1 1.5 20

10

20 PR Z2i

0.5 1 1.5 2ω ω

Fig. 9.43 Gráfico de parte real y parte imaginaria de Z2i


282

Si se le conecta una carga y una fuente al cuadripolo, figura 9.44, para el

intervalo de frecuencia,0 1, suponiendo que el cuadripolo está en

condición imagen

La fuente le entrega potencia activa al cuadripolo, pues lo que ve la fuente es

un resistor equivalente, el cuadripolo no la consume pues es reactivo puro,

entonces la dejará pasar a la carga, al recibo . Para frecuencias 1 las

impedancias imágenes son imaginarias, son reactivas, esto hace que la

impedancia que ve la fuente es una reactancia, por lo que la fuente no le

suministra potencia activa al cuadripolo, por lo tanto a la carga no llegaría

potencia activa; este es el principio de funcionamiento del filtro reactivo.

Se puede decir que el intervalo de frecuencias entre 0 1 es la banda de

paso y que para 1 es la banda de atenuación. Para que la impedancia

imagen de la entrada sea real debe cumplirse en su expresión que la cantidad

subradical sea mayor que cero

44

Esto implica que 4 0, entonces se llega a que

4 2

√

El valor con el signo igual es el límite, se conoce como frecuencia de corte y

en definitiva es 2

√

Entonces la banda de paso en forma general queda para frecuencias entre

cero y , o sea

0

Y la banda de atenuación para el intervalo de frecuencia dado por

9.44 cuadripolo reactivo

+


283

9.6.2 Sección prototipo T y pi La estructura L básica, figura 9.40 se puede combinar con otra estructura L

básica en cascada, dando como resultado la sección prototipo en

configuración T o en configuración PI (π), en dependencia de cómo se haga la

asociación, figura 9.45 y figura 9.48.

Las impedancias imágenes son iguales, es una red simétrica de expresión

44

El grafico de la impedancia es el de la figura 9.46, la impedancia es resistiva

en la banda de paso o sea en el intervalo de frecuencias

0

Y reactiva pura en la banda de atenuación, el intervalo de frecuencias

La constante transferencial imagen está dada por la suma de las constantes

transferencial imagen de cada uno de los cuadripolo, son iguales, por lo que

queda multiplicada por 2

2 2 2 tanh

2 2 2 2tanh 4

Fig. 9.45 Asociación cascada de dos L básicas se obtiene la T prototipo

2 2

Fig. 9.46 Gráfico de parte real y parte imaginaria de Z0T

00

PR Z0T

0

PI Z0T

ω ω

ωC ωC

R0


284

El gráfico queda como se muestra en la figura 9.47, note que en la banda de

paso la atenuación imagen es cero y en la banda de atenuación aumenta con

la frecuencia

Si la asociación se hace de la forma que se muestra en la figura 9.48 se

obtiene la sección prototipo en pi.

La impedancia imagen es la misma de la entrada que de la salida, es una red

simétrica y la constante transferencial imagen es la misma que la de la sección

prototipo en T.

Estas secciones prototipo, tanto la T como la pi tienen dos inconvenientes, el

primero es que la constante de atenuación comienza a aumentar de forma

muy suave y la resistencia en la banda de paso es real pero varía con la

frecuencia y los filtros trabajan entre resistencias constantes.

9.6.3 Sección M-derivada Lo primero que se hará es aumentar la atenuación en las zonas cercanas a la

frecuencia de corte para ello se introducirá un nuevo cuadripolo que se

conectaría en cascada con la prototipo, por lo tanto para que sea una cadena

imagen debe mantener la misma variación de la impedancia imagen de la

prototipo, se tratará el caso del filtro tipo T, por lo que se aumentará la

atenuación a la sección prototipo en T, utilizando la sección M-derivada tipo T,

la impedancia imagen elevada al cuadrado de la prototipo T es

Fig. 9.48 Asociación cascada de dos L básica se obtiene la prototipo

i

2

Fig. 9.47 Gráfico de atenuación y fase contra frecuencia

00

α

00

4 β

ω ω


285

Se va a plantear una estructura derivada de la sección prototipo, donde las

ramas del inductor se multiplican por una constante adimencional M, de ahí el

nombre de M-derivada, y la impedancia de la rama paralela se debe calcular

para que esta sección tenga la misma impedancia característica que la sección

prototipo, figura 9.49.

La impedancia característica al cuadrado de esta estructura es

2

Igualando las dos impedancias,

2

De donde

2

Despejando la impedancia desconocida

2

De aquí se llega a una expresión para dada por

12

12

12

Se obtiene que la impedancia está compuesta por la suma de dos

impedancias, o sea una combinación serie de dos elementos, un capacitor y

un inductor.

El circuito queda como se muestra en la figura 9.50

Fig. 9.49 Sección M-derivada tipo T


12

12


286

Sustituyendo la impedancia por los valores de los elementos queda el circuito

de la figura 9.51

Se tiene ahora que obtener el valor de la constante adimencional M, se tiene

que la rama LC, es un circuito serie que resuena a determinada frecuencia, se

pondrá esa condición de frecuencia de resonancia y se puede despejar el valor

de M.

012

12

Se llega a

12

12

12

12

Entonces

1

Despejando M y sustituyendo las reactancias, considerando la frecuencia

de resonancia, se obtiene

2 12

Despejando M

14

Pero se había visto que 2

√

Sustituyendo se obtiene

1 1


12 2

2 2


287

La constante M debe ser una cantidad positiva y distinta de cero, por lo que la

cantidad subradical debe ser mayor que cero, entonces

1 0

Entonces

1

La impedancia es la misma que la de la T prototipo, pero la constante

transferencial imagen cambia.

tanh tanh2

Sustituyendo se obtiene el gráfico de la figura 9.52

Como se observa existe una frecuencia de resonancia que se puede acercar a

la frecuencia de corte tanto como se necesite, esto hace que la atenuación en

las zonas cercanas a la frecuencia de corte sea grande pero disminuye al

aumentar la frecuencia tendiendo asintóticamente a 2 cosh , esto implica

que esta sección no sea conveniente utilizarla sola sino asociada en cascada

con la prototipo, como tienen la misma impedancia, siempre estarían en

condición imagen. Queda por resolver el inconveniente de la variación de la

impedancia con la frecuencia, tanto en la prototipo como en la M-derivada

9.6.4 Hemi sección M-derivada o sección de terminación Se tratará ahora de resolver la variación de la resistencia con la frecuencia en

la banda de paso. Si se separa la M-derivada de la figura 9.49 en sus dos L

básicas, como las dos L básicas son iguales la separación queda como se

muestra en la figura 9.53,

0 0.5 1 1.5 20

2

4 α

0 0.5 1 1.5 20

1

2 β

ωC ωC

ωR ω ω

ωR

Fig. 9.52 Sección M-derivada T

2 cosh√1


288

Entonces las L básicas que forman la asociación cascada se muestran en la

figura 9.54

calculando los parámetros imágenes de la sección L básica de la figura 9.55

La impedancia imagen , es la misma expresión que se tenía para la

, por lo tanto la variación de la impedancia es la misma, tiene el

gráfico de la figura 9.46

2

Calculando la impedancia imagen de la salida se obtiene

42

Haciendo el gráfico de la impedancia entre 0 para distintos

valores de M, se obtiene que la impedancia es real, varia con la frecuencia

pero para M=0.6 la impedancia se mantiene casi constante e igual a la R0 en el

90% del intervalo, se demuestra que la variacion máxima en el intervalo es del

4%, en la figura 9.56 se muestra el grafico para diferentes valores de M

Fig. 9.54 Secciones L básicas de M-derivada T

12

2 2 2

2

12

Fig. 9.53 Secciones L básicas de la M-derivada

2 2

Fig. 9.55 Sección L básica de la M-derivada tipo T

2


289

Se ha llegado a la conclusión que esta sección tiene como impedancia de la

entrada y de la salida

En el 90% de la banda de paso, por lo tanto se puede utilizar para acoplar una

sección prototipo o una sección M –derivada con una resistencia constante de

valor R0, conectada a la entrada o a la salida. Si la seccion terminal se utiliza a

la salida lo unico que se hace es intercambia entrada con salida de la Hemi

seccion M-derivada.

La constante transferencial imagen se obtiene a través de

tanh 0,5 tanh4

2

En la figura 9.57 aparece el gráfico de la constante de atenuación imágen y la

constante de fase imagen

Fig. 9.57 Gráfico de la constante de atenuación y fase

0 0.5 1 1.5 20

2

4 α

ωC

ωR MH=0.6

ω0 0.5 1 1.5 2

0

1

2 β

ωC ωωR

Fig. 9.56 Gráfico de Z2i para distintos valores de M 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 ωC

0

R0

Z2i

M=0,75

M=0,7

M=0,6

M=0,4

M=0,5


290

9.6.5 Filtro compuesto Si se hace la conexión en cascada de forma conveniente de todas y cada una

de las secciones del filtro analizadas anteriormente se obtiene la estructura del

filtro compuesto como se muestra en la figura 9.58.

Sustituyendo cada uno de los componentes el filtro compuesto quedaría de la

forma que se muestra en la figura 9.59

Se pueden reducir los inductores que están conectados en serie quedando el

filtro compuesto como se muestra en la figura 9.60

El filtro compuesto tendrá una atenuación contra frecuencia como se muestra

en la figura 9.61, donde aparecen los gráficos de la prototipo, la sección M-

derivada, las secciones de terminación y la suma de las atenuaciones

imágenes, note que ahora la atenuación cerca de las frecuencias de corte es

alta, pero las M derivada y las secciones de terminación hace que disminuya la

Fig. 9.58 Filtro compuesto

+ E Hemi-

sección M-derivada

Prototipo sección M-derivada

Hemi-sección M-derivada


12 2

2 2

12

2

2 12

2

2 2 2 2

Terminación Terminación Prototipo M-derivada


12 2

12

2

2 12

2

12


12


291

constante de atenuación con las frecuencias, la presencia de la prototipo

aumenta la atenuación al aumentar las frecuencias.

En la figura 9.62 se amplía el eje de las frecuencias y se ve como la

atenuación total aumenta con las frecuencias.

Ejemplo: Diseñe un filtro de Zobell pasa bajo de frecuencia de corte 6 kHz, para

trabajar entre niveles de impedancia de 200Ω y con una frecuencia de

resonancia de 6,5 kHz.

Las formulas de diseño para el filtro pasa bajo son:

Para la sección prototipo

2

√

Para la M-derivada

0 ωC0

5

10

15

α

ωM ωH ω Fig. 9.61 Gráfico de atenuación de cada una de las secciones y de la total

ω 00

5

10

15

Fig. 9.62 Ampliando el rango de frecuencias

α

ωC


292

1 1

Y para la sección de terminación MH=0,6

Solo queda obtener los valores de cada uno de los elementos de cada una de

las secciones.

Diseño de la sección prototipo, consiste sólo en resolver un sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas dado por las ecuaciones siguientes.

200 2 2 60002

√

De aquí se obtiene despejando L que

200 Sustituyendo

2 60002

√200

Entonces despejando C se puede obtener su valor.

1

6000 200 0,265

El valor del inductor será

200 200 0,265 10,6

El circuito de la T prototipo es el de la figura 9.63, es bueno recordar que los

inductores son de valor y el capacitor C

Teniendo L y C se calcula el valor de M y luego se calculan los valores de los

elementos de la M-derivada

1 166,5

166,5

0,3846

Los valores de cada uno de los elementos quedan

24,077mH 0,102

12 2

5,87

El circuito de la sección M-derivada es el mostrado en la figura 9.64

0,265

5,3 5,3

Fig. 9.63 Sección prototipo tipo T


293

Sección Hemi sección M-derivada o sección de terminación, con los valores de

L y C y el valor de MH=0,6 es suficiente para el cálculo de las dos secciones de

terminación.

23,18mH

20,0795

12

5,65

En la figura 9,65 aparece una de las secciones de terminación, en este caso la

de la salida, la otra, la de la entrada es igual lo que se invierten la entrada y la

salida para conectarlas. Es importante recordar que impedancias se ven en la

entrada y la salida de la red de cada una de las redes pero en el caso de la

Hemi sección M-derivada es de extrema importancia, esto define como se

conecta.

El filtro total con las componentes reducidas se muestra en la figura 9.66


5,87

7,257

0,102

5,65

0,0795 0,265

5,65

0,0795

8,48


9,377


5,87

4,077 4,0770,102

Fig. 9.65 Secciones de terminación T

5,65

3,18

0,0795


294

Se ha puntualizado en el filtro tipo T, se podía haber diseñado con estructura

tipo Pi. Para diseñar otro tipo de filtro, se puede diseñar el filtro pasa bajo

normalizado con frecuencia de corte de 1 rad/seg, resistencia de carga de 1Ω

y utilizar la transformación de frecuencia. Se pueden implementar los

elementos del circuito con microcintas y utilizarlo en alta frecuencias.

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