Formulas Cola

5/6/2018 Formulas Cola - slidepdf.com

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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II UNIDAD II: MODELOS DE COLAS

PRIMER MODELO:Fuente: InfinitaCola: InfinitaCanal: Monoservidor

λ n= λ (ctte)0 si n = 0

μ n=μ (ctte) si n > 0

λ < μ

Probabilidad de que se encuentren “n” clientes en el

sistemaP P

n

n 0*

= µ

λ

Probabilidad de hallar el Sistema vacío µ

λ

µ

λ µ −=

−= 1

0 P

Fracción esperada de tiempo en que los Servidores estánocupados µ

λ ρ =

Número esperado de clientes en la Cola( )λ µ µ λ

−=

2

Lq

INGENIERÍA DE SISTEMAS ING(A). ANALUI MARTÍNEZ

λ Tasa media de llegada de clientes para ser atendidos(número esperado de llegadas por unidad de tiempo)

1 / λ Tiempo entre llegadas esperado

μTasa a la cual las unidades de servicio pueden atender al cliente(número esperado de clientes que completan su servicio por unidad de tiempo)

1 / μ Tiempo entre servicio esperadoLq Número esperado de clientes que esperan ser atendidos o tamaño de la cola

L Número estimado de clientes en el sistema ∑∞

=

=0n

n P n L

Wq Tiempo esperado que emplea un cliente en la cola o tiempo esperado en la colaW Tiempo del sistema, es el que emplea en la cola mas el que emplea siendo atendidoPn Probabilidad de que se encuentren “n” clientes exactamente en el sistemaS Numero de Servidores en el sisteman Número de clientes

1




Número esperado de Clientes en el Sistema( )λ µ

λ −

= L

Tiempo esperado en la Cola( )λ µ µ

λ −

=Wq

Tiempo esperado en el Sistema ( )λ µ −= 1W

Probabilidad de que el tiempo “T” exceda a un valor particular “t”:a. Incluyendo el tiempo de servicio.b. Excluyendo el tiempo de servicio

a. ( )( )

0, ≥= −−> t e P

t

t T

λ µ

b. ( )( )

0, ≥= −−> t e P t

t T

λ µ

µ

λ

SEGUNDO MODELO:Fuente: Infinita

Cola: InfinitaCanal: Multiservidor

λ n= λ (ctte), λ < S μ

nμ si n ≤ Sμ n=Sμ (ctte) si n ≥ S

Probabilidad de que se encuentren “n” clientesen el sistema

P P n

n n 0*

!

1

=

µ

λ , si 0 ≤ n≤ S

P P n

S nn S S 0*

!

1

= − µ

λ , si n≥S

Probabilidad de hallar el Sistema vacío

−

+

=

∑−

= λ µ

µ

µ

λ

µ

λ

S

S

S n

S S

n

n P

!

1

!

1

1

1

0

0

Fracción esperada de tempo en que losServidores están ocupados µ

λ ρ

S =

Número esperado de clientes en la Cola P

S S

S Lq

S

02*

1!

−

=

µ

λ

µ

λ

µ

λ

Número esperado de Clientes en el Sistema µ

λ += Lq L

Tiempo esperado en la Cola

( ) ( ) λ λ µ

µ

λ µ

Lq

S S Wq P

S

=−−

=02

*!1

Tiempo esperado en el Sistema =+= µ

1WqW

INGENIERÍA DE SISTEMAS ING(A). ANALUI MARTÍNEZ 2




( ) ( ) µ λ µ

µ

λ µ

1*

!102+

−−

P S S

S

Probabilidad de que el tiempo “T” exceda a unvalor particular “t”:a. Incluyendo el tiempo de servicio.b. Excluyendo el tiempo de servicio

Nota: cuando B=0 debe reemplazarse (“A/B”)por la expresión: µ t

A

a.

( )

( )

−−

−

−

+−

>

−−

=µ

λ ρ

µ

λ µ

λ µ

1

1

1!1

10

S

e

S

t T

S t

S

P

e P

B

b. ( ) ( )( ) t S

T t T e P P ρ µ −−

=>−=

1

01 ,

donde:

( ) ∑−

==

=1

00

S

nnT P P

TERCER MODELO:Fuente: InfinitaCola: FinitaCanal: Monoservidor

M= numero máximo de clientes en elsistema

λ ____

= efectivaλ = Proporción de clientes

que llegan y pueden entrar al sistema

λ (ctte) para 0≤n≤M-1λ n=

0 para n= M0 si n = 0

μ n=μ (ctte) si n > 0

λ > µ

Probabilidad de que se encuentren “n”clientes en el sistema

0 P

n

n P

= µ

λ


10 1

1+−

−=M P

ρ

ρ si λ > μ

M

P −

=

1

10

si λ = μ

Fracción esperada de tiempo en que losServidores están ocupados µ

λ ρ =

Número esperado de clientes en la Cola P L L q0

1−−=

Número esperado de Clientes en elSistema

( )1

1

1

1

1 +

+

−+

−−

=M

M M

L ρ

ρ

ρ

ρ si λ > μ





2

M L= si λ = μ


λ ____

LqWq=

, ( ) P M −= 1

____

λ λ = μ *(1-P0)

Tiempo esperado en el Sistema

λ ____ LW =

CUARTO MODELO:Fuente: InfinitaCola: FinitaCanal: Multiservidor

M= número máximo de clientes en elsistema

λ ____

= efectivaλ = Proporción de

clientes que llegan y pueden entrar alsistema

λ (ctte) para 0≤n<Mλ n=

0 para n= M

nµ si 0 ≤ n ≤Sμ n=

Sμ (ctte) si S≤ n ≤ MS ≤ M

Probabilidad de que se encuentren “n”clientes en el sistema

>

≤≤

≤≤

= −

M n si

M nS siS S

S n sin

P

P

P oS n

n

o

n

n

0

*!*

0*!

µ λ

µ λ






1

1 10 !!

1

−

= +=

−

+

+= ∑ ∑S

n

M

S n

S n

S n

S S n P µ

λ µ λ

µ λ

Fracción esperada de tempo en quelos Servidores están ocupados µ

λ ρ

S =

Número esperado de clientes en laCola

( )( ) ( )[ ] ρ ρ ρ

ρ

ρ µ

λ

−−−−−

= −− 1)1(1!

2

0S M S M

S

S M S

P

Lq

Número esperado de Clientes en elSistema ∑ ∑

−

=

−

=

−++=

1

0

1

0

1S

n

S

n

nn P S LqnP L


λ ____

LqWq =

, ( ) P M −= 1

____

λ λ = μ *(1-P0)


λ ____

L

W =

QUINTO MODELO:

Fuente: FinitaCola: FinitaCanal: Monoservidor

N=M= numero total de población a servir

λ ____

= efectivaλ

(M-n)*λ si 0≤n<Mλ n=

0 para n= M

0 si n=0μ n=

μ si n > 0

Probabilidad de que se encuentren “n”clientes en el sistema ( )

M n si P nM

M n

n P ,...,2,1;**!

!0

=

−

= µ

λ

Probabilidad de hallar el Sistema vacío ( )

1

0 !

!−

=

−= ∑

M

on

n

nM

M

P µ

λ

Fracción esperada de tempo en que losServidores están ocupados µ

λ ρ =

Número esperado de clientes en la Cola ( )01* P M Lq −+−=λ

µ λ

Número esperado de Clientes en elSistema

( )0

1* P M L −−=λ

µ






λ ____

LqWq =

, ( ) LM −= * ____

λ λ


λ

____

LW =

SEXTO MODELO:Fuente: FinitaCola: FinitaCanal: Multiservidor

λ ____

= efectivaλ

(M-n)*λ si 0≤n<Mλ n=

0 para n= M

nµ si 0 ≤ n ≤ Sμ n=

Sμ si n ≥ S

Probabilidad de que seencuentren “n” clientesen el sistema

( )

( )

>

≤<

−

≤<

−

= −

M n si

M nS siS S nM

M

S n sinnM

M

P

P

P o

n

S n

o

n

n

0

**!*!*

!

0**!!*

!

µ

λ

µ

λ





Probabilidad de hallar elSistema vacío ( ) ( )

1

00 !*!*

!*

!!*

!−

= =−

−

+

−

= ∑ ∑ s

n

M

S n

n

S M

n

S S nM

M

nnM

M P µ

λ

µ

λ

Fracción esperada detempo en que losServidores están

ocupados

µ

λ ρ

S =

Número esperado declientes en la Cola

( ) n

M

S n

P S n Lq ∑=

−= *

Número esperado deClientes en el Sistema

( )

−++= ∑∑

−

=

−

=

1

0

1

0

1**S

n

n

S

n

n P S Lq P n L

Tiempo esperado en laCola

λ ____

LqWq =

, ( ) LM −= * ____

λ λ

Tiempo esperado en elSistema

λ ____ LW =

GUÍA DE PROBLEMAS

1. Considérese el caso de un Autobanco de una sola taquilla, los clientes llegan deacuerdo a una distribución de Poisson con una media de 15 por hora. El cajero atiende a losclientes de acuerdo a una distribución Exponencial con una media de 3 min/cliente. Se deseasaber:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente que llega tenga que esperar? b) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola?c) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un cliente para ser atendido?d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente necesite al menos 10 min. para ser atendido?e) La gerencia del banco instalará una segunda taquilla si el tiempo promedio queun cliente espera para ser atendido es superior a 15 min. ¿Qué aumento debe tener la ratade llegada para justificar la segunda taquilla?

2. Las llegadas al comedor universitario de la UNEFA se estiman que corresponden aPoisson con una rata promedio de 20 por cada ½ hora. Existen tres servidores cuyos tiemposde servicio son exponenciales e iguales a un promedio de 3 min. por estudiante. Se deseasaber:





a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que llega tenga que esperar? b) ¿Cuál es tiempo promedio que un unefista pasa para almorzar?

3. Los pacientes llegan a un consultorio llegan a un consultorio público según unadistribución Poisson con una tasa de 30/hora. El cupo de la sala de espera es de 5 pacientes.El tiempo de examen por persona es exponencial con tasa media de 20 / hora.

a) ¿Cual es el tiempo promedio de espera hasta que un paciente salga del

consultorio? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente que llega no espere?4. Un mecánico atiende 6 máquinas. Para cada máquina, el tiempo medio entrerequerimientos de servicios es de 10 horas y se supone que tiene una distribuciónexponencial. el tiempo de reparación tiende a seguir la misma distribución con un tiempo promedio de 2 horas. Cuando una máquina queda en reparación el tiempo perdido tiene unvalor de 8000Bs/Hr. El servicio del mecánico cuesta 20000 Bs/Día.

a) ¿Cuál es el número de máquinas en operación? b) Sería deseable tener 2 mecánicos para que cada uno atendiera 3 máquinas?

5. Dos mecánicos atienden 6 máquinas de producción. Las descomposturas y las tasas deservicio siguen una distribución de poisson y exponencial respectivamente. La tasa promedio

de descomposturas es de 1 hora y el tiempo promedio de reparaciones es de 2 horas.a) ¿Cuál es el tiempo promedio de espera de cada máquina? b) Determine el promedio de las maquinas que funcionan por hora.

6. Supongamos que todos los propietarios de los automóviles llenan sus tanques degasolina cuando están exactamente en la mitad. En la actualidad, llega un promedio de 7.5clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se necesita un promedio de 4minutos para atender un automóvil. Suponga que tanto los tiempos entre llegadas como lostiempos de servicios son exponenciales.a) Calcule la longitud promedio del sistema, y el tiempo promedio de una entidad en el

sistema b) Suponga que se presenta escasez de gasolina y que hay compras de pánico. Para modelar

este fenómeno, suponga que todos los propietarios de los automóviles compran gasolinacuando a sus tanques les falta ¾ para vaciarse. Como cada conductor pone menosgasolina al tanque durante cada visita a la gasolinera, suponga el tiempo promedio sereduce a 3 1/3 de minuto. ¿Cómo afecto la compra de pánico a la longitud promedio delsistema y al tiempo promedio de una entidad en el sistema?

7. El gerente de un Banco desea determinar el número mínimo de cajeros que necesita paraatender a los clientes que llegan a la hora de almuerzo, que le garantice que el sistema nocolapse. El tiempo promedio entre la llegada de dos clientes es de 2 minutos, pero el tiemporeal entre llegadas sigue una distribución exponencial. Cada cajero puede atender un promedio de 12 clientes por hora, pero el tiempo de atención a cada cliente varia de acuerdoa una distribución exponencial.8. Una empresa eléctrica tiene un representante en un centro de servicio para atender las preguntas de los clientes. El número de llamadas telefónicas que llegan al centro siguen unadistribución de Poisson con una tasa promedio de aproximadamente 10 por hora. El tiemponecesario para responder a cada llamada sigue una distribución exponencial con un promedio de 4 minutos.a) ¿Cuál es el tiempo promedio entre llamadas que llegan? b) ¿Cuál es el número promedio de llamadas que un representante puede atender durante una hora?





c) ¿Cuál es la probabilidad de que una segunda llamada entre dentro de los 3minutos posteriores a la llamada anterior?9. El gerente de un número grande de empleados debe decidir si necesita otra maquinafotocopiadora. El costo de una es de 40$ por día por de 8 horas de trabajo, se use o no. En promedio, 4 personas por hora necesitan usar la máquina, cada persona la usa un promediode 10 minutos. Los tiempos entre llegadas y los de copiado tienen distribución Exponencial.

A los empleados se les paga 8$ por hora y suponemos que de incurrir un costo de esperacuando un empleado esta en la cola esperando para usar la copiadora. ¿Cuántas copiadorasse deben rentar?10. En este momento se están desarrollando planes para una nueva fábrica. A undepartamento se les ha asignado un gran numero de máquinas automáticas de cierto tipo, yahora se desea determinar cuántas máquinas se les deben asignar a cada operador para queles de servicio (carga, descarga, ajuste, arranque, entre otros) para los fines de este análisisse ha proporcionado la siguiente información: El tiempo de operaciones(tiempo entre completar el servicio y el requerido nuevamente) de cada máquina tiene unadistribución exponencial, con una media de 100 minutos. El tiempo de servicio tiene unadistribución exponencial, con una media de 10 minutos. Un operador debe atender a sus

propias máquinas; no pude ayudar a los demás operadores, o recibir ayuda de ellos. Paraque el departamento logre la tasa de producción requerida, las máquinas deben estar enoperación, en promedio al menos 87.5% del tiempo. ¿Cuál es el numero máximo demaquinas que pueden asignarse a un operador en tanto todavía se logre la tasa de producción requerida?11. A una instalación portuaria llegan barcos a una tasa promedio de dos barcos cada tresdías. En promedio, una sola cuadrilla necesita un día para descargar un barco. Suponga quelos tiempos entre llegadas y los de servicios son exponenciales. La compañía naviera poseetanto los barcos como el muelle, se calcula que a la naviera le cuesta 1000$ cada día que pasa un barco en puerto. La cuadrilla que atiende a los barcos consiste en 100 trabajadores,y se paga un promedio de 30$ diarios a cada uno de ellos. Un consultor recomienda que lanaviera contrata 40 caleteros adicionales y divida a los trabajadores en dos cuadrillas de 70 personas cada una. Esto haría que el tiempo promedio de carga o descarga para cadacuadrilla fuera de 3/2 día ¿Qué organización de cuadrillas recomendaría usted a la naviera?

12. Se tiene una caseta telefónica con llegadas tipo Poisson espaciados en promedio cada 10minutos y tiempo exponencial de llamadas con promedio de 3 min.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente llegue y tenga que esperar más de10 minutos antes de que el teléfono este libre? b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleve en conjunto más de 10 minutos esperar aque el teléfono se desocupe y completar su llamada?

Solución:Fuente: InfinitaCola: InfinitaCanal: monoservidor (serie)

λ

1= 10 min/persona λ =

10

1 personas/min





µ

1= 3 min/persona μ =

3

1 personas/min

a) Excluyendo tiempo de servicio: ( )( )

0, ≥= −−> t e P t

t T

λ µ

µ

λ

( ) ==

−−

>

10*

10

1

3

1

10

min/3

1

min/

10

1

e

pers

pers

P T 0.0291

P(T>10)=2.91%

b) Incluyendo tiempo de servicio: ( )( )

0, ≥= −−> t e P

t

t T

λ µ

( )10*min/

10

1min/

3

1

10

−−

> =pers pers

T e P =0.0969

P(T>10)=9.691%

13. Una empresa textil tiene un gran número de máquinas idénticas cuya frecuencia dedescomposición se estima en 60 por día, tiene tres estaciones de servicio para reparación,teniendo cada una de ellas una velocidad media de servicio de 25 por día.

a) ¿Cuántas horas es mantenida activa una estación de servicio, para un día de 8horas? b) ¿Cuál es el tiempo medio de espera en la cola?

Solución:Fuente: InfinitaCola: InfinitaCanal: Multiservidor (paralelo)S=3

λ = 60 máq/díaμ = 25 máq/díaλ < S μ 60 máq/día < 3 * 25 máq/día 60 máq/día < 75 máq/día

µ

λ ρ

S = =

75

60

/25*3

/60=

díamáq

díamáq

a) N° de horas activa= ρ * 8 horas/día = (60/75)* 8 horas/día = 6.4 horas/día

b)( ) ( ) P

S S Wq

S

02*

!1 λ µ

µ

λ µ

−−

=,

−

+

=

∑−

= λ µ

µ

µ

λ

µ

λ

S

S

S n

S S

n

n P

!

1

!

1

1

1

0

0





−

+

=

∑= 6025*3

25*3

25

60

!3

1

25

60

!

1

132

0

0

n

n

n

P

[ ]0562.0

8.17

1

52.1188.22041

1

0

==+++

=

P

( ) ( ) máquinasdíasWq 04616.00562.0*

60)25*3(!13

25

6025

2

3

=−−

=

14. Los clientes llegan a una ventanilla bancaria de autoservicio según una distribución de poisson con una media de 10 por hora. El tiempo de servicio es de 5 por hora. El espaciofrente a la ventanilla incluyendo el auto que se le está dando servicio puede acumular unmáximo de 3 estacionados.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega pueda manejar tranquilamente hasta el espacio frente a la ventanilla? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el cliente que llega tenga que irse o esperar fuera del espacio disponible?c) ¿Cuánto tendrá que esperar un cliente que llegue antes de que comience elservicio?d) ¿Cuál es el tiempo medio que un cliente pasa en el sistema?

Solución:Fuente: Infinita

Cola: Finita µ

λ ρ =

Canal: Monoservidor (serie)M = 3λ = 10 clientes/horaμ = 5 clientes/hora

a) 10 1

1+−

−=

M P ρ

ρ 1

1

1

+

−

−=

M

µ

λ

µ

λ

13

5

101

5

101

+

−

−= 066.0

161

1=

−−

=

b) 0 P

n

n P

=

µ

λ

P(n ≥ 3) = 1 – [ P (n=0) + P (n=1) + P (n=2)]

n= 1 P1= (10/5)1 *0.066 P1 = 0.132

n= 2 P2= (10/5)2 *0.066 P2 = 0.264

P(n ≥ 3) = 1 – [ 0.066 + 0.132 + 0.264]= 1-0.462 = 0.538





c) λ /10 P LW q −−= ,

( )1

1

1

1

1 +

+

−+

−−

=M

M M

L ρ

ρ

ρ

ρ ,

µ

λ ρ =

( )

266.215

64

1

2

5

101

5

1013

5

101

5

10

13

13

=−−−=

−

+

−−= +

+

L

( ) horasWq 133.010/066.01266.2 =−−=

d) horas P

LW 4857.0

)066.01(5

266.2

)1( 0

=−

=−

= µ


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