Formelsammlung Technische 2.pdf2000 by Michael Gller ()) ) = â‹… =...

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  • 2000 by Michael Gller 1

    Formelsammlung Technische Mechanik

    2000 by Michael Gller 1. Allgemeines

    (1) 1 Newton = 1 N = 1 kg s

    m

    (2) 1 kg Masse wiegt auf der Erdoberflche 9,81 N (3) F = mF lF Kennzeichnung der Kraft (4) F = q l Streckenlast (q: Kraft / Lnge)

    (5) F = A = p A Flchenlast (, p: Kraft / Flche)

    y

    y

    xxF1 Rx

    R

    F11

    y

    F2

    F1

    x

    R

    F2

    F2

    y

    2

    (6.1) F2X = 12

    1xy

    tantan

    tanRR

    (6.3) F1X =

    12

    2xy

    tantan

    tanRR

    +

    (6.2) F2Y = 212

    1xy tan tantan

    tanRR

    (6.4) F1X = 1

    12

    2xy tan tantan

    tanRR

    +

    (7) Fr

    = FX i + FY j + FZ k Addition rumlicher Krfte

    (7.1) ZYX FFFFrrrr

    ++=

    (8) 21ZYX FFRRRRrrrrrr

    +=++= Resultierende Kraft

    = (F1X + F2X) i + (F1Y + F2Y) j + (F1Z + F2Z) k

    (8.1) RX = F1X + F2X = FX Betrge

    RY = F1Y + F2Y = FY

    RZ = F1Z + F2Z = FZ

    (9) F = FFF ZYX ++ Betrag des Kraftvektors

    (9.1) F = FF YX + Betrag im Ebenen System

    Rechnerische Zerlegung einer Kraft in 2 Komponenten mit gegebenen Wirkungslinien. RX und RY (Resultierende) mssen mit dem zu-gehrigen Vorzeichen eingesetzt werden.

  • 2000 by Michael Gller 2

    2. Statik 2.1 Krfte am starren Krper

    (10) RFnrr

    = Addition nichtparalleler Krfte

    (10.1) FX = RX Betrge

    FY = RY

    FZ = RZ

    (11) 0Fnrr

    = Krftegleichgewicht

    (11.1) FX = 0 Betrge

    FY = 0

    FZ = 0 2.2 Momente am starren Krper

    (12) Mp = F s Moment am starren Krper

    (13) 1FaMrrr

    = vektoriell allgemein

    (14) M = s F = a F = sin Betrag

    (14.1)

    zyx

    zyx

    FFFaaakji

    Fa =rr

    (14.2)

    yx

    yx

    zyx

    zyx

    FFaaji

    FFFaaakji

    Fa =rr

    nach Sarrus berechnen

    (14.3) = + ayFZi + aZFxj + axFyk aZFy i axFZj ayFxk (14.4) = + (ay Fz az Fy ) i + (az Fx ax Fz) j + (ax Fy ay Fx) k (15) Bei der Parallelverschiebung einer Kraft F um s, mu ein Moment eingefhrt werden, das dem Moment M = s F der unverschobenen Kraft bezglich der neuen Wirkungslinie entspricht.

    (16) FrMPrrr

    = Das statische Moment einer Kraft

    (16.1) MP = r F sin Betrag

    (17) M = (x1 xP) F cos - (y1 yP) F sin = Fy (x1 xP) Fx (y1 yP) (17.1) Umgekehrt gilt daher: Die Summe der statischen Momente mehrerer Krfte ist gleich dem

    statischen Moment ihrer Resultierenden. ii FrRrMrrrrr

    ==

    (17.2) Die Summe der statischen Momente mehrere Krfte bzgl. eines Punktes der Wirkungslinie

    ihrer Resultierenden ist = 0. 0FrM ii ==rrr

  • 2000 by Michael Gller 3

    Addition parallel gerichteter Krfte

    (18.1) 1

    2 ll

    FR = (Bezugspunkt B)

    (18.2) 21

    21 FF

    Fll

    +=

    (18.3) 2

    1 ll

    FR = (Bezugspunkt C)

    (18.4) 21

    12 FF

    Fll

    +=

    2.3 Das Gleichgewicht am starren Krper

    Ebenes System (19) 0F...FFF:0F n321i

    rrrrrrr=++++= Vektoren

    (20.1) Fix = x = 0 : F1x + F2x + ... + Fnx = 0 Betrge

    (20.2) Fiy = y = 0 : F1y + F2y + ... + Fny = 0

    (21) k*M*M ii =r

    Freie Momente

    (22) k)FrFr(M ixiyiyixi =r

    (23) 0*MFrM iiirrrrr

    =+= Vektoren

    (23.1) M = (rix Fiy riy Fix) + Mi* = 0 Betrge Bemerkung: Definiton des Gleichgewichts: Entweder durch 2 Vektorgleichungen (19 und 23) oder durch 3 Betragsgleichungen (20.1; 20.2 und 23.1). Rumliches System

    (24) 0F...FFF:0F n321irrrrrrr

    =++++= Vektoren

    (24.1) Fix = x = 0 : F1x + F2x + ... + Fnx = 0 Betrge

    (24.2) Fiy = y = 0 : F1y + F2y + ... + Fny = 0

    (24.3) Fiz = z = 0 : F1z + F2z + ... + Fnz = 0 (Vorzeichen beachten !)

    (25)

    iyix

    iyix

    iziyix

    iziyixii

    FFrrji

    FFFrrrkji

    Fr =rr

    Momente der Krfte

    (25.1) k*Mj*Mi*M*M iziyixi ++=r

    Freie Momente

    (26) 0*MFr iiirrrr

    =+ Vektoren

    (26.1) Mx = 0 : (riy Fiz riz Fiy) + Mix* = 0 Betrge

    (26.2) My = 0 : (riz Fix rix Fiz) + Miy* = 0

    (26.3) Mz = 0 : (rix Fiy riy Fix) + Miz* = 0 Bemerkung: Das Gleichgewicht im rumlichen System ist definiert, entweder durch 2 Vektorgleichungen (24 und 26) oder durch sechs Betragsgleichungen (24.1-3; 25.1-3).

    CAB

    R F2F1

    l1 l2

    l

  • 2000 by Michael Gller 4

    2.4 Statik des Balkens

    Konstante Streckenlast ber die ganze Balkenlnge (siehe 230.4 / 230.5)

    (31.1)

    =

    =

    2

    2q

    2

    2o

    l

    xlx

    2

    lR

    l

    xlx

    2lq

    )x(M (Parabel) Biegemoment an der Stelle x

    (31.2)

    =

    21

    lx

    lq)x(Q o (Gerade) Querkraft an der Stelle x

    Kontinuierliche Streckenlast auf Teillnge des Balkens

    x

    A B

    l

    ca

    y

    qR

    b

    q 0

    (32.1) 2

    )bax(q

    2)ax(

    qA)x(M2

    0

    2

    0x

    +

    = Biegemoment

    (32.2) )bax(q)ax(qA)x(Q 00 += Querkraft

    Konstante, bertragende Streckenlast

    x

    B

    0q

    a b c

    l

    Rq

    y

    A

    (33.1) {44444444 344444444 214444 34444 21

    c_Bereich

    o

    b_Bereich

    oa_Bereich

    )bax(B2

    ax)ax(qxA

    2ax

    )ax(qxAxA)x(M +

    =

    ==

    (33.2) B)ax(qA)ax(qAA)x(Q 00 +=+== Querkraft

    A

    y

    x

    Rq

    l

    B

    q 0

  • 2000 by Michael Gller 5

    3. Schwerkraft und Schwerpunkt 3.1 Massenpunkt und Schwerpunkt

    (60) G = m g Gewicht = Masse Erdbeschleunigung

    (60.1) g = 9,81 2s

    m Fallbeschleunigung

    (60.2) 1 N = 1 kg 1 2s

    m Einheit

    3.2 Der Schwerpunkt

    (61) GrGrM 0iirrrrr

    ==

    (61.1) iio Gr0Grrrrr

    ==

    (62) == iiiio rmm

    mrm

    rr

    rr

    (63) = ii0 xmm

    x = ii0 ymm

    y = ii0 zmm

    z

    (64) 1

    2

    2

    1

    mm

    aa

    =

    3.3 Ermittlung von Schwerpunkten

    (65) 0ii rr

    VV rr

    = Schwerpunkte von Linien

    (66) ii

    0 xll

    x

    = ii0 yll

    y

    = ii0 zll

    z

    =

    (66.1) 1

    2

    2

    1

    ll

    aa

    = gebrochener Linienzug

    (66.2) lxl

    lxl

    llxl

    llxl

    x 221121

    21

    21

    110

    +

    =

    +

    ++

    =

    l

    ylylll

    ylllyl

    y 221121

    21

    21

    110

    +=

    +

    ++

    =

    (67.1) sbry0 = ; x0 = 0 (b = Bogenlnge, s = Sehnenlnge) Kreisbogen

    (67.2)

    =90s

    y0 ; x0 = 0

    (67.3)

    = )sinry0 ; x0 = 0

    (67.4)

    =r2

    y0 ; x0 = 0 Halbkreisbogen

    (67.5) 00 yr2x =

    = Viertelkreisbogen

    Schwerpunkte von ebenen Flchen

    (68) ii

    0 xAA

    x = allgemein

    ii

    0 yAA

    y =

  • 2000 by Michael Gller 6

    1. Mglichkeit

    (68.1) iy ii

    0 xA

    lxx

    =

    iy ii

    0 yA

    lxy

    =

    2. Mglichkeit

    (68.2) ixii

    0 xAly

    x

    =

    ixii

    0 yAly

    y

    = (69) Schwerpunkt eines Dreiecks: Die 3 Seitenhalbierenden (Schwerlinien) eines Dreiecks, schneiden sich im Schwerpunkt der Dreiecksflche. Der Schwerpunkt teilt die Schwerlinien und die Hhen im Verhltnis 2:1.

    (69.2) 0x0 = ; brs

    32y0 = Kreisausschnitt, Kreissektor

    (69.3) 0x0 = ;

    =60s

    y0

    (69.4) 0x0 = ; = )3

    sinr2y0

    (69.5) 0x0 = ; =

    r34

    y0 Halbkreisflche

    (70) Kreisabschnitt: Ist von einer Gesamtflche ein Teil abgeschnitten, so ist das statische Moment der Restflche gleich dem statischen Moment der Gesamtflche, vermindert um das statische Moment der fehlenden Flche.

    (71.1)

    =cossin

    sinr32yo

    3

    ) ; x0 = 0

    (71.2)

    =

    sin2sinr

    34

    yo3

    ) ; x0 = 0

    Schwerpunkte rumlicher Flchen

    (73) = ii0 rAA

    rrr

    rr

    = Richtungsvektor

    (73.1) = ii0 xAA

    x = ii0 yAA

    y = ii0 zAA

    z

    (73.2) x0 = 0 ; y0 = 0 ; 2h

    hz 10 += Kugeloberflche

    (73.3) x0 = 0 ; y0 = 0 ; 2r

    z0 = Halbkugeloberflche

    (73.4) x0 = 0 ; y0 = 0 ; ( )+= cosy2r

    z0 Kugelkappe

    x

    y

    l

    iA

    ix iS

    y i

    i

    yi

    x

    x i

    y

    l

    ixA i iS

    y

    i

    yi

    x

  • 2000 by Michael Gller 7

    Schwerpunkte von Krpern

    (74) = ii0 rVV

    rrr

    rr

    = Richtungsvektor

    (74.1) = ii0 xVV

    x = ii0 yVV

    y = ii0 zVV

    z

    (74.2) Dreiseitige Pyramide S ist Schwerpunkt eines Dreiecks, das parallel ber dem Dreieck BCD (Grungflche) liegt, im Abstand h/4 von diesem, bzw. im Abstand h von A (Spitze) aus.

    (74.3) x0 = 0 ; y0 = 0 ; 4h

    z0 = Kreiskegel

    (74.4) x0 = 0 ; y0 = 0 ; )cos1(r83

    z0 += Kugelausschnitt

    (74.5) x0 = 0 ; y0 = 0 ; r83z0 = Halbkugel

    Schwerpunktsbestimmung durch Messung

    (75) lGB

    x0 =

    3.4 Bestimmung von Oberflchen und Volumen von Rotationskrpern

    (80) A = 2 y0 l Rotationsflche (80.1) A = 2 ii yl

    (81) A = 4r2 Kugeloberflche

    (82) 22 rhrA += Mantelflche des Kreiskegels

    (83) A = 4r2 r R Torus (D