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FORMATION TIC (Phymed, STIC)COMPLEMENTS EN TOMOGRAPHIE MEDICALE

INTRODUCTION MODELISATION ALGORITHMES REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D

Denis Mariano-Goulart

Faculté de médecine & CHRU de Montpellier

http:\\scinti.etud.univ-montp1.fr

I0

XX

p

p

p

γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

µi

ai

ai

2D 2D 3D

Tomographie: problème inverse linéaire

jj

ji,i a r p ∑=CT SPECT PET


φ

s

p(s,φ,z,θ) : plansp(s,φ) : lignes

Codage en tomographie 2D et 3D

p

p

x1

x2


Modélisation analytique

( ) ( ) φωωφ

d x., p x p) (Rπ

0∫=

⊥∗ = rrrr

s1

⊥ωrxr

s3

s2

( ) ( )

Rf

p

=

+== ∫⊥

p

dt )tf(s sps,t

ωωω ωrr

r

x1

x2

s

t

f

cos

sin - ω

φφ r

=

φ

x.2

rr⊥= ωs

Natterer F. The mathematics of computerized tomography. New York: Wiley; 1986.

transformée de Radon

rétroprojection = épandage

xr


Modélisation algébrique

f1

f4f3

f2 p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2

p2 = r2,3 f3 + r2,4 f4

p3 = r3,1 f1 + r3,3 f3

p4 = r4,2 f2 + r4,4 f4

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4,4 4,3 4,2 4,1

3,43,3 3,2 3,1

2,4 2,3 2,2 2,1

1,4 1,3 1,2 1,1

pppp

ffff

.

rrrrrrrrrrrrrrrr

p fR.rr

=ri,j = % du pixel j intersecté par la projection i

b1 = r1.1 p1 + r3,1 p3 p1

p2

p4

b2 = r1.2 p1 + r4,2 p4

b3 = r2.3 p2 + r3,3 p3 b4 = r2,4 p2 + r4,4 p4

p3

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4,4 3,4 2,4 1,4

4,33,3 2,3 1,3

4,2 3,2 2,2 1,2

4,1 3,1 2,1 1,1

bbbb

pppp

.

rrrrrrrrrrrrrrrr

b pR.trr

=


Algorithmes analytiques

f1s p abs] . p[TF ωω rr =−

s1

s2

s3

( ) ( )x )p (R xf f rr ∗=

( ) ( )⊥= ωωr

r σ.f σp

TF1 TFI2

X ABS

TFI1

ωrp

fωrp

R*


∆1 : p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2

∆2 : p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2

f1 f2

r1,2r1,1 r2,1

r2,2

1

1n1n

ω

ω d f f r

rrr+=+

12

1

n11n1n ω

ω

pp f fr

r

rr −+=+

)pp( f f n11*n1n −+=+ R

rr

f1

f2 ∆1

∆2

1,2

1,11 r

rωr

1nf +r

n2

n1n

ff f

rdr

1

1n

1

ω

ω . f p d r

rr−

=

n1p

Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.

S. Kaczmarz1895-1940

Algorithmes algébriques


)f( ).f/p()p()/f( ).f/p()p/f(rrrrrrrrr

ΡΡ=ΡΡΡ=ΡBayes :

[ ])f( log )f/p(logminargf~

f

rrrrr Ρ−Ρ−=

Adéquation aux données

!p

p~ elog

i

pi

p~

i

ii−

∏

∑∑∑ =

==

=+ P

lN

s

nssl

lilP

lil fr

pr

r 1

1,

,

1','

1.n

if1n

if

Dempster A et al. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. J R Stat Soc 1977;39:1-38. Hudson H et al. .Accelerated image reconstruction using ordered subsets of projection data. IEEE Trans Med Imaging 1994;13:601-9.

MLEM et OSEM

∗ p

p R

nl

l

f1

f2

∆1 ∆2

∆’2

OSEM


p .R r d *00 rrr==

j*j

2j

j

d.R.Rd

rω rr

r

=

jjj1j d.ωffrrr

+=+

j*jj1j d.R..Rωrrrrr

−=+

j2j

21j

1j1j d.r

rrd

r

r

rrr +

++ +=

2

Cf

p - fR min arg frr

∈=

Initialisation :

Gradient Conjugué

Gilbert P Iterative methods for the three-dimensional reconstruction of an object from projections. J. Theor. Biol. 1972; 36:105-17


Exemples

MLEM Gradient Conjugué

6 200 6 16


Approche intuitive (I)

f1 f2

: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2

: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2

f1

f2

∆1

∆1

∆2

∆2


64² = 4 096128² = 16 384256² = 65 536512² = 262 144

f1

f2

∆1

∆2

f1 f2

: p1 = r1,1 f1 + r1,2 f2

: p2 = r2,1 f1 + r2,2 f2

∆1

∆2

Approche intuitive (II)


Exemple

=

=

31

33

23

32

1

1

1

1

10 9 5 7

9 10 6 8

5 6 5 7

7 8 7 10

1

1

1

1

R.

=

−

30,933,122,932,1

1,15,4

12,6-9,2

10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10

=

−

31,132,923,131,9

1,35,2

14,67,2-

10 9 5 79 10 6 85 6 5 77 8 7 10

( ) 302901.0

29,30 R 30,29 3,86; 0,84; 0,01; Sp(R) ≈≈⇒≈ κ

Matrice de Wilson1Det =

( )

RR de propres valeurs où

R.R R κ

t

min

max1

=

== −

µ

µµ

La matrice de Wilson est très mal conditionnée (κ>>1)


f p

En continu : , R bijectif d’inverse continue (conditions d’Hadamard).

En discret, les choses sont moins simples :

R surjectif ?

R injectif ? : choix parmi les solutions possibles

R-1 continue mais ||R-1|| grande :

2

Cf

tt fRpmin arg fqpR.fA fR.Rrrrrrr

−=⇐===∈

( ) 1 R R Rκmin

max1- >>==µµ

( )( )

+

−≤

RδR

ppδ

RδR

R κ 1

Rκ f

fδr

r

r

r

Problème d’Hadamard bien posé ?

( ) ( )⊥= ωωr

r σ.f σp


Gradient conjugué

Approximation de Lanczos-Galerkin

dont le spectre CV vers celui de R: estimation de κ(R)

Estimation de κ(R)

+−

−

+−

−

−

−

−

−

−

−

1j

1j

j1j

1j

1j

1j

0

0

10

0

0

0

0

ω

β

ω

1

ω

β00

ω

β0

0ω

β

ω

1

ω

β

00ω

β

ω

1

OO

O

j*j

2j

j

d.R.Rd

rω rr

r

= 2j

21j

j

r

r β r

r +

=

www.inma.ucl.ac.be/~vdooren/Krylov.pdfAnalyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. P. Lascaux & R. Théodor (II), p. 516, 1987. MASSON

D. Mariano-Goulart, P. Maréchal, S. Gratton, et al. Comput. Med. Imaging & Graphics 2007; 31 : 502-509


Exploitation du spectre

Estimation du conditionnement Ajustement d’un paramètre (ex: fréquence de coupure) en fonction du conditionnement

Majoration des erreurs Permet de fixer un critère d’arrêt des itérations

Sur les coupes

Sur le spectre

min

max

λλ N =

f

r

λ ε

j

j

jr

r

max

1=

v λ

vω

β

λ λλiλi

iλ

der

i

i

,

max

,

1

1

~~

~

)~

(~

r+

+

=≤− η

D. Mariano-Goulart, P. Maréchal, S. Gratton, et al. Comput. Med. Imaging & Graphics 2007; 31 : 502-509


2

CffRpmin arg frr

−=∈

Remplacer : par

Adéquation aux donnéesSurjectivité du problème inverse

Régularisationinjectivité

Régularisation

( ) ∑∈i

ii

2

... ; fln f ; fQf ; f )fρ(rrrr

Exemples :


)fα.ρ(fRp fCf

rrr +−=∈

2

minarg

(cf. pseudo-inverse de Moore-Penrose)

+−=

∈

22

Cf

fα.fRp min arg frrr

Adéquation aux donnéesSurjectivité du problème inverse

Régularisationinjectivité

Régularisation de Tikhonov

( ) pRf αIRRfα.fRp min arg f tt22

f

=+⇔

+−=

rrrr

r

( ) pRαIRR f t-1t +=r





f

rrrrr Ρ−Ρ−=

Adéquation aux données ?

Régularisation MAP-EM-OSL

!p

p~ elog

i

pi

p~

i

ii−

∏

Green PJ. Bayesian reconstructions from emission tomography data using a modified EM algorithm. IEEE Trans Med Imaging 1990;9:84-93





f

rrrrr Ρ−Ρ−=

Adéquation aux données


!p

p~ elog

i

pi

p~

i

ii−

∏


( )∑=

−ji,

jiji, f -f.Vwβ.

K1 e)fΡ(

r

Distribution de Gibbs


∑∑∑ ∂β+

=+=

==

P

1lN

1s

nss,l

li,lP

1'li,'l fr

pr.

U .r

1.n

if1nif

( )

+−= ∑

ji,jiji,f)f-V(fwβ f/pΡ logminargf

~ rrrr

∑ −∂∂=∂

∈ )f(Vfki.k,i

ik

)ff(r

VwU




Régularisation de Fourier FRECT

fc( ) f.B1 fB. f −+=

pB.TF p' pB. fB. ' f ' p -1s=⇒===

à régulariser

Adéquation à p’ = R.f ’

( ) ( ) ( ) 221s f.B1 Rf pB.TF fE −+−= −

D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 07 & Lect Notes Comput Sci. 04

N

fc


RPF

FRECT

20 % 50 %40 %30 %

Comparaison RPF-FRECT


GC 16GC 6MLEM 6 MLEM 200

FRECT 34 (CV)

Comparaison MLEM-GC-FRECT

( ) ( ) ( ) 221s f.B1 Rf pB.TF fE −+−= −

D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 07 & Lect Notes Comput Sci. 04


Tomographie en coïncidence 3D

ai

γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

189 F

188 O

Projections 3D Projections 3D Projections 3D Projections 3D redondantesredondantesredondantesredondantes et et et et incomplètesincomplètesincomplètesincomplètes

• Recherche de f(x,y,z) connaissant p(s,φ,z,θ)

• Certaines projections obliques ne sont pas enregistrées si θ ≠ 0

Exemple de la TEP



ai

γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

189 F

188 O


• Reconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2D• Utilisation d’un collimateur• statistique de comptage, S/B



ai

γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

189 F

188 O


• Reconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2D• Utilisation d’un collimateur• γ détectés N, S/B=N/√N= √N

• Réarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3D• Algorithmes de «rebinning » • S/B mais approximation



ai

γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

189 F

188 O


• Reconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2DReconstruction 2D de données 2D• Utilisation d’un collimateur• γ détectés N, S/B=N/√N= √N

• Réarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3DRéarrangement 2D de données 3D• Algorithmes de «rebinning » • S/B mais approximation

• Reconstruction 3D de données 3DReconstruction 3D de données 3DReconstruction 3D de données 3DReconstruction 3D de données 3D• Algorithmes algébriques 3D• RPF 3D si projections complètes• S/B mais temps de calcul


Un théorème de Radon 3D…

⊥ωr

ωr

( ) ( )ξ=ξ⊥∈ξ∀rrrr

r f p ,ω ω

( ) ( )ds syf yp ,ω y S, ω ∫ ω+=ω⊥∈∀∈∀ rrr

rrrr

TF2

TF3

f

f

( ) ( ) yd ds e syf p .y i2 rrrr rr

r

r ξπ−

ωω ∫∫ ∫

⊥

ω+=ξ

( ) ( ) ( )ξ==ξ ∫∫∫ ξπ−ω

rrrr rrr f xd exf p .x i2

yr

ξr


Condition nécessaire à l’affectation de toutes les fréquences spatiales de ℝ3:

Ω contient au moins un cercle équatorial de Si.eΩ intersecte tout cercle équatorial de S

ωr

⊥ωr

z

Ω

SS. Orlov. Sov.Phys. Crystallogr.,1976. Vol 20, 3:312-4 et 4:429-433

1- Condition d’Orlov :

…


ωr

… plutôt difficile à appliquer !

2 - Projections non tronquées

ωr

3 – moyennant une interpolation 3D dans le domaine des fréquences

1- Condition d’Orlov

( ) )cos,cossinsin ,sinsincos(ˆ ,ˆ 1212121 φξθξφθξθξφθξξξ −+−= fp

x1

x3

x2

θφ


Solutions possibles1– Condition d’Orlov

- Détecteur TEP cylindrique

2 – Projections tronquées- Estimées par reconstruction 2D puis projection ou rebining

3 –Interpolation 3D en fréquence - Optimisation de l’interpolation (fonctions de Kaiser-Bessel)- Utilisation d’une rétro-projection filtrée (filtre de Colsher)

Fourier-based reconstruction for fully 3-DPET. Matej S, Kazantsev IG. IEEE Trans Med Imaging 2006;25:845-54. Evaluation of a new gridding method for fully 3D direct Fourier PET reconstruction based on a two-plane geometry

F Ben Bouallègue, J F Crouzet, D Mariano-Goulart. Comput Med Imaging Graph. 2008;32:580-589.Colsher JG. Fully three-dimensional PET. Phys Med Biol 25(1), 103-115, 1980

En « routine » : Utilisation d’algorithmes algébriques (OSEM 3D)Reconstruction 2D après rebining des projections 3D


ai

Reconstruction 2D

Calcul des projections 3D manquantes

Reconstruction 3D

Reprojection après RPF 2D


Ré-arrangement (rebining) exact

,2

,, 33

=+= θδφ tg

xxzsp

BA

TF(s,φ) puis TF(z)si invariance en Tz

( ) ( )0 , ,k ,1 p e , ,k , p 2)arctan( ik ζα+ω=δζω α−

ωδζ=α

Defrise M, Kinahan PE, Townsend DW, Michel C, Sibomana M, Newport DF. Exact and approximate rebinning algorithms for3-D PET data. IEEE Trans Med Imaging 1997;16:145-58.


Ré-arrangement approximatif

ωδζ=α

Ben Bouallègue F, Crouzet JF, Comtat C, Fourcade M, Mohammadi B, Mariano-Goulart D. Exact & approximate Fourier rebinning algorithms for the solution of the data truncation problem in 3-DPET. IEEE Trans Med Imaging 2007;26:1001-9.

DL à l’ordre 1 sur

( ) ( )0 , ,k , p e , ,k , p ik ζω≈δζω α−

( ) ( )0 ,k-z ,k , p ,z ,k , p ωδω≈δω

( ) ( )δωδ+ω≈ω ,kz ,k , p 0 ,z ,k , p

( ) ( )

δω

δ−δ−ω≈δω ' ,'kz ,k , p ,z ,k , p

SYNTHESE DE DONNEES 2D à S/B ↑ :

SYNTHESE DE DONNEES MANQUANTES :

( ) ( )0 , ,k ,1 p e , ,k , p 2)arctan( ik ζα+ω=δζω α−


Merci de votre attention…

Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur.P. Lascaux et R. Théodor. 2 tomes.MASSON.

The Mathematics of Computerized Tomography.F. Natterer. 2001. SIAM.

Positron Emission Tomography. Basic Sciences and Clinical Practice.PE Valk, DL Bailey, DW Towsend, MN Maisey. 2003. Springer.

Reconstruction tomographique en imagerie médicale. D. Mariano-GoulartEncyclopédie Médico-chirurgicale, 35-105-A-10, 2009.

[email protected]


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