1

1

Forelæsning 11a: Resumé

Resumé over de indledende forelæsningerOverblik og sammenhæng

2

Energi og impuls

Einstein: E0=m0c2

Total energi, E = E0+Ek, hvor Ek er kinetisk energi

cv

=β

Epc

m0c2

211β

γ−

=

E=γE0 , Ek=E0*(γ-1), m=γm0, p=γm0v

E2=E02+(pc)2

p angives ofte i energi/c, f.eks. i GeV/c

Ovenstående gælder altid, men glem ikke at for v<<c gælder stadig de klassiske udtryk, p=m0v, Ek=½m0v2 = ½(moc2)*v2/c2 etc.

2

3

Acceleration af elektrisk ladede partikler

En elektrisk ladet partikel påvirkes af elektriske og magnetiske felter:

Lorentzkraften:

Dvs. at vi KUN kan øge partiklens energi med et E-felt , mens vi kanændre partiklens retning med både et E- og B-felt.

Men et B-felt på 1T er lige så effektivt til styring af en enkeltladet,relativistisk partikel som et E-felt på 3*108 V/m!

Derfor anvendes E-felter kun til styring af partikler med v<<c, dvs lavenergetiske ioner.

)BvE(*eFdtpd rrrrr

×+==

4

Styring: Dipolmagneter

I en dipolmagnet som vist ovenfor bestemmer feltet B og energien E partiklens afbøjningsradius r.

Generelt gælder

BR = p/q

En dipolmagnet

R

B

p,q

3

5

qERBcv

v~c , mE

q[amu]mERBcv

c v, mE

qMeVmEERB

qamumEERB

qERB

qcmEEc

RB

qpBRqvBRpv

/1033.3

/1442.0

/][21033.3

/][18631033.3

/21:

/

30

0

0

023

023

20

2

⋅⋅=⋅≈

>>

⋅⋅=⋅<<

<<<<

⋅⋅+⋅⋅=⋅

⋅⋅+⋅⋅=⋅

⋅⋅+=⋅

=⇒==

−

−

−

:)( r)(elektrone partikler lette for typisk , dvs For

:)(

(ioner) partikler tunge for typisk , dvs For

eller

Dvs

e : MeV, : meter, : tesla, : :nedenfor benyttet Enheder

)enheder!(SI Generelt

tLorenzkraflkraftCentrifuga

Afbøjning i magnetfelt

Elektroner: m0=0.511MeV, q=-e Protoner: m0= 1.008amu = 938MeV, q=e1 MeV=1.602*10-13 J e=1.602*10-19 C 1 amu = 931MeV

I nedenstående betegner E den kinetiske energi

6

Koordinatsystem

Vi vil benytte et koordinatsystem der følger en ideel partikel, altså en partikel der bevæger sig på idealbanen.

Vi antager, at partiklen hovedsagelig bevæger sig i s-retningen, så dens hastighed kan skrives v=(0,0,vs), og at B-feltet kun har komponenter vinkelret på s, dvs B=(Bx,Bz,0).

4

7

Maskinfunktioner•Når en accelerator planlægges lægger man sig fast på et orbit, der er den bane en ideel partikel vil følge.

•Beamet styres rundt på orbit af dipolmagneter.

•En ikke-ideel partikel får afvigelser fra orbit. For at holde den på plads må man have fokuserende elementer (kvadrupolmagneter) i strukturen. Disse får partiklen til at oscillere om orbit. Disse oscillationer kaldes betatronoscillationer. Oscillationernes forløb i de to planer er beskrevet ved betafunktionerne, βx(s) og βz(s).

•En partikel med impulsafvigelse vil få en bane der afviger fra orbit, da afbøjningen i dipolerne er afvigende. Denne effekt kaldes dispersion og beskrives ved dispersionsfunktionerne Dx(s) og Dz(s).Desuden bliver banelængden ændret. Den relative ændring i forhold til impulsafvigelsens størrelse kaldes strukturens momentum compaction factor, α.

Alle ovenstående begreber er maskinfunktioner, dvs de er givet af maskinens optik, altså position, styrke og type af de magnetiske elementer.

8

Feltet som sum af multipoler

Da

har vi altså (efter at der er multipliceret med e/p)

Bevægelsen kan altså opdeles i bidrag fra multipoler. Betragter vi kun de to første led taler vi om lineær beamoptik.

5

9

Multipoler

Enheder: 1/R: m-1, k: m-2, m: m-3, o: m-4 .....‘Rigtige’ felter, gradienter etc. fås ved at gange med stivheden, BR

10

Bevægelsesligningen (4)

Efter lidt regnerier med ovenstående tilnærmelser finder man

Så skal vi se på impulsen: Vi antager, at partiklens impuls kun afviger lidt fra den ideelle partikels impuls, dvs p = p0 + Δp.

Vi har da, at ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−⋅≈

Δ+⋅=

Δ+=

000

00

11

1

1111pp

pp

ppppp

Fra rækkeudviklingen af feltet har vi at og

Da både x, z, og Δp/p er små, ser vi bort fra alle produkter af dem. Så ender vi med:

Endelig har vi den søgte bevægelsesligning.

Den kaldes også Hill’s ligning, og er den centrale ligning i lineær beamoptik

6

11

Løsninger til Hill’s ligning: Kvadrupoler 3

Ganske tilsvarende finder vi for en fokuserende kvadrupol (k<0):

Her er bevægelsen oscillerende om den ideelle bane, svarende til bevægelsen af en kugle der triller i en tagrende:

med

12

Løsninger til Hill’s ligning: Dipol

Hill’s ligning:

Hvis vi erstatter –k med 1/R2 ses, at løsningen ligner den for k<0, altså

En dipol fokuserer altså i det horisontale plan.

Det er dog en svag fokusering. I en typisk kvadrupol er k~5 m-2, mens R i en dipol sjældent er under et par meter, svarende til k<0.25m-2.

De første synkrotroner der blev bygget havde kun svag fokusering, og dermed et meget stort beam.

7

13

Én transfermatrix for hele acceleratoren.

Nu da vi kan beskrive beamet ved ind- og udgang af et element kan vi finde én matrix der beskriver hele systemet ved at gange matricerne for de enkelte elementer sammen. Et eksempel:

14

Impulsafvigelse: Dispersion (3)

Konstanterne A og B bestemmes af startbetingelserne D(0)=D0 og D’(0)=D’0.De bliver

Så har vi udtrykket for dispersionsfunktionen:

Eller på matrixform i H-planen (3x3 matrix p.g. af konstantleddet) :

En partikel med impulsafvigelse har altså positionen

Hvor x(s) er banen uden impulsafvigelse

og

8

15

Momentum Compaction Factor (2)

Vi kan nu finde banelængden ved at integrere langs hele strukturen:

Da det første integral jo er den ikke-dispersive banelængde, har vi altså at forøgelsen på grund af dispersion bliver:

Da momentum compaction factor er defineret som har vi:

16

• Løsningen til Hill’s ligning bliver da

• Med

• β(s): Betafunktionen (enhed af meter)– Beskriver hvordan den maksimale amplitude i bevægelsen

afhænger af s, afhænger af det magnetiske layout• Ψ(s): Fasetilvækst funktionen, afhænger af det magnetiske layout• ε er en konstant, som bestemmer den maksimale amplitude (pt. for

den enkelte partikel)– ε kaldes emittansen, afhænger af partiklen

Ψ er den enkelte partikels (individuelle) faseoffset

• Indhylningskurven er givet ved:

Betafunktion 3

9

17

Betafunktion 4

18

• Lad os igen betragte betatron bevægelsen

• Analogt til en harmonisk bølge

kan man også tale om en (lokal) betatron bølgelængde λb

• Når beta er lille er bølgelængde kort og omvendt– som det også ses på foregående figur

Betatron ”Bølgelængde”

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xy

λπ2sin

)(1)(2s

sb βλπ

=Ψ′=

πβλ2

)(sb =

⇓ vejlængdeperstenfasetilvæker2

bλπ

10

19

Beamfunktioner

• Et beam (stråle) af består af mange partikler, der for en given position s i strukturen hver især kan karakteriseres ved koordinaterne ( x(s), x’(s), z(s), z’(s), Δpx, Δpz ).

• For at beam kan hver af disse koordinater kan beskrives med en normalfordeling. Fordelingernes standardafvigelser defineres beamets emittans i hvert af de to planer.Således er εx=σx(s)*σx’(s) og tilsvarende for z.

• Så længe beamet KUN er udsat for konservative kræfter (Dvs. ingen udveksling af energi med omgivelserne, altså ingen acceleration, ingen ‘friktion’ m.m.) er emittansen bevaret og uafhængig af s. Emittansen er altså en ren beamfunktion, uafhængig af systemets optik.

• Impulsafvigelserne er under de samme omstændigheder uafhængige af sog er ligeledes bevarede. De er også rene beamfunktioner.

20

• Position og vinkel af en partikel

• hvor

• Sammenskriver man de to ligninger og eliminererog fås

• Hvilket beskriver en ellipse i (x, x’)-rum

Betafunktion 5: emittansellipsen

11

21

Betafunktion 6: emittansellipsen

(α, β og γ kaldes ogsåTwiss eller Courant-Snyder parametre)

22

Betafunktion 7: emittansellipsen

Betafunktion

emittansellipse

12

23

• For konservative kræfter gælder at arealet af faserumsellipsen er bevaret

• Vi kan ændre formen, men aldrig arealet• Gælder (strengt) for en enkelt partikel og (mestendels) for et

ensemble af partikler

Emittansellipsen: Louville’s sætning

24

• Dimensionen for emittans er [længde]*[vinkel]• med enheden m·rad

– Ofte bruges mmmrad (millimeter milli-radian)• samme som µmrad (10-6 mrad)

– eller nmrad (10-9 mrad)

• Bemærk, at mange (specielt for proton maskiner) ofte bruger begrebet emittans for arealet af faserumsellipsen– Man vil da ofte skrive ε=5πµmrad

• Bemærk også at rad er ”dimensionsløs”, så ved udregning af f.eks. en strålestørrelse ”forsvinder” rad

Emittans

mmmmrad 111 =⋅== μεβσ

13

25

ASTRID lattice

26

Beam envelope og β

Beam envelope = βε

Ti omgange i ASTRID. I løbet af mange omgange udfyldeshele arealet indenfor beam envelope. Bemærk sammenhængen mellem β og λ.Rækkefølge: Rød, pink, sort, grøn, sort, …

ε er konstant, men β=β(s)

14

27

ASTRID 2 Twiss parametre, emittans 12.5nm

28

Periodisk løsning til Hill’s ligning

•Vi har så Hill’s ligning:•hvor er en periodisk funktion med ringens længde som periode, altså: , L er ringens længde. Antag, at Δp/p = 0.

•Løsningen blev fundet sidste gang:

•Men i en ring er betafunktionen β(s) jo periodisk, og med samme periode som K(s). •Betatronfasen •er central for resonant opførsel.

15

29

Q: Ringens tune

•Vi gentager lige og (3.125)

•og definerer Q som antallet af betatronoscillationer pr omløb i ringen, altså

•Q kaldes maskinens tune. Det er en maskinparameter, altså en konstant, og uafhængig af både position i ringen og beamparametre som emittans etc.•De to planer, x og z, har hver deres tune, Qx og Qz.

•Ringens tune er bestemt af dens optik, altså f.eks. styrke og position af de fokuserende elementer.

30

Integer stopband

• Løsningen er:

Af nævneren i første led ses, at hvis Q går mod et helt tal, går løsningen mod uendelig, dvs der er ikke noget stabilt beam.

Området tæt på en heltallig værdi af Q kaldes et Integer stopband, og er altid fatalt for beamet.

Figuren til højre illustrerer hvorfor det går galt.

16

31

Resonanser og multipoler

• Optiske resonanser og de multipoler de skyldes:

Man skal huske, at selv om der ikke er f.eks. sextu- og octupoler i en ring kanfeltfejl i dipoler og kvadrupoler sagtens give anledning til højere ordensmultipoler.

Der er således altid resonans, når m*Q=p, hvor m og p er heltal.

32

Resonansbetingelsen

•Husk, at der er to tuneværdier, nemlig en i hvert plan: Qx og Qz

•I lineær beamoptik er de to tunes uafhængige, men da ikke-lineære multipoler(sextu-, octupoler etc) kobler x og z bevægelsen, dvs. z-bevægelsen afhængeraf x og omvendt.•Vi kan således få koblede resonanser, så vores generelle betingelse for resonans kommer til at være

Summen |m|+|n| kaldes resonansens orden.

Vi skal altså ved at vælge vores optik rigtigt finde et arbejdspunkt for maskinenhvor ovenstående ligning ikke er opfyldt.

Da resonansers virkning falder hurtigt med ordenen forsøger man normalt at undgå resonanser op til femte orden.

17

33

Tunediagrammet

•Resonansbetingelsenfor tunes i de to planer kan med fordel tegnes i et tunediagram som visttil højre. •Her vist resonanser op til tredie orden.

•De lodrette ogvandrette linier erresonanser i hhv x og z, mens alle de skrå linier er koblede resonanser.

•Arbejdspunktet børvælges i et ‘tomt’område af diagrammet.

34

ASTRID tunediagram op til 4. orden

18

35

Kromaticitet 2

•Vi har lige regnet ud, at en kvadrupolfejl giver anledning til et tuneskift afstørrelsen

Partiklen ændrer ikke nævneværdigt impuls under een omgang i ringen, dvs. at partiklen ‘ser’ samme Δk i alle ringens kvadrupoler. Vi må derfor integrere over dem alle:

De dimensionsløse størrelser ξx ξz kaldes ringens kromaticitet og giver forholdetmellem tuneskift i de to planer og impulsafvigelsen.At en partikel med impulsafvigelse får et tuneskift, og altså en anden fokusering, har givet parameteren dens navn. Croma (græsk) betyder jo farve, og kromaticitet antyder, at forskellige farver(impulser) fokuserer forskelligt, analogt med klassisk optik

36

Kromaticitet 3

•I lagerringe benyttes ofte stærk fokusering, sammenlagt fokuserende. Derforbliver kromaticiteten som regel negativ. (k<0)•En negativ kromaticitet fører til kollektive instabiliteter (head-tail), så vi måkorrigere kromaticiteten til en positiv værdi.•Da effekten skyldes ændret fokusering af partikler med afvigende impuls, erdet oplagt at sætte ind med en korrektion på et sted i ringen hvor partikler med forskellig impuls er rumligt adskilt. •Her er det godt at huske på dispersion: En partikel med impulsafvigelse Δp/phar en afvigende x-position i forhold til en partikel med Δp/p=0 netop hvor den horisontale dispersion er forskellig fra 0:

Et sådant sted ville være det rigtige til et element, hvis fokusering afhænger af x, altså at k er proportional med x, i modsætning til q-poler, hvor gradienten ogdermed k jo er uafhængig af x.

Her kommer sekstupoler ind i billedet.

19

37

Kromaticitet og sekstupoler 1

• Som vi så i starten af kapitel 3 er en sekstupol karakteriseret ved sin styrke:

Dvs vi kan skrive dens fokusering som funktion af x: ksext=mx eller, for en partikel på en dispersiv bane:

Effekten af en sekstupol erillustreret her til venstre.Sekstupolen er altså fokuserendefor x>0 og defokuserende for x<0.

På denne måde korrigeresfokuseringen af partikler med impulsafvigelse, som vist påtegningen

38

Kromaticitet og sekstupoler 2•På tegningen af sekstupolensgeometri ses, at den er en dipol hvisstyrke er nul på aksen, men somtiltager i samme retning uanset påhvilken side af x-aksen man er på.

Effekten af impulsafvigelse består altså af to dele:Dels en impulsafhængig ændring af k i kvadrupoler,dels en impulsafhængig fokusering/defokusering i sekstupoler.

Med sekstupoler med passende placering (D>0) og styrke kan man altsåkompensere så negativ kromaticitet kan undgås.

I praksis justerer man til en lille positiv værdi, for at undgå at små ændringerskulle kunne give en negativ kromaticitet.

NB: fejl i bogen i Δk og ksext

Den totale kromaticitet bliver så:

ppmDkk

ppk sext

Δ=

Δ=Δ 0

20

39

2 kicker bump

12

12 κ

ββκ =

Fase

Kickerforhold

40

3 kicker bumpVi ser at for givet HK1 vinkel kan HK2 og HK3 bestemmesfor alle kicker positioner. Dog kan både position og vinkelikke bestemmes uafhængigt af hinanden.

21

41

4 kicker bumpHer kan både position og vinkel i punktet P bestemmes arbitrært 

42

Injektion og Akkumulering

Efter en ny injektion skal beam’et køles før en ny injektion.

22

43

ASTRID- ASTRID2

44

ASTRID- ASTRID2 transport line

23

45

ASTRID- ASTRID2 transport line

46

ASTRID2 injektion

Cirkulerende beamInjiceret beam

10 turns efter injektion3 bumpers (‐2.0,1.8, ‐2.2)mradBumpers½ sinus1.6 μsInj. 0.9 μs

24

47

ASTRID2 injektion

10 turns efter injektion

Cirkulerende beamInjiceret beam

septum

48

ASTRID2 injektion

490 turns efter injektion

Cirkulerende beamInjiceret beam

25

49

Longitudinal dynamik: Nogle definitioner

• Omløbsfrekvens: f=βc/L=βc/2πRm

• RF frekvensen skal være et helt multiplum af omløbsfrekvensen: fRF=q·f

• q er den harmoniske (ofte kaldet h)

• Spænding per omgang: UU er den samlede spænding en partikel ser

• Kunne godt hidrøre fra flere kaviteterU=U0·sin(Ψ)

• hvor Ψ er fasen af partiklen i forhold til RF’en• (under forudsætning af at RF’en svinger sinusformet)

• Synkron partikel: Modtager lige præcis den rigtige energitilvækst hver omgang– E0=U0·sin(Ψ0)-W0– hvor W0 er energitab til Synkrotron Stråling (SR)– og E0 (hvis <>0) leder til acceleration

Ψ har her ikkenoget med betatronfasetilvækstfunktionenat gøre

50

Bundter og ‘Buckets’ 1

• Den synkrone partikel ser altid den rigtige (passende) spænding

• Andre partikler vil ikke altid se den passende spænding, men vil i faserummet (ΔΨ, ΔE) oscillere i energi og tid (fase), omkring den synkrone partikel– En partikel der er langsommere

bliver “bagefter”, og kommer til kaviten senere. Den ser da en større spænding, og udsættes derfor for en større acceleration, hvilket vil øge partiklens hastighed

Ψ

Ψ0

26

51

Angular distribution I

• Similar to Hertz dipole in frame of electron– Relativistic transformation

52

Circular accelerators

• Perpendicular acceleration:– Energy constant...– dp = pdα → dp/dt = pω = pv/R– E ≈ pc, γ = E/m0c2

• In praxis: Only SR from electrons

vv⊥

dtd

27

53

Useful equations (Electrons ONLY)

• Bending radius

• Critical energy

• Total power radiated by ring

• Total power radiated by wiggler

• Undulator/wiggler parameter

• Undulator radiation

• Grating equation

• Focusing by curved mirror (targentical=meridian / saggital)

sRrr)cos(2

'11 θ⋅

=+)cos(

2'

11θ⋅

=+mRrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Θ++

⋅= 2

02

2

2, 21

2γ

λλλ K

nu

nw eVnm 1240 ⋅=⋅ Eλ

εc[keV]

54