Flujo laminar

1

DINÁMICA DE FLUIDOS

2

CONCEPTO GENERAL DE FLUJO

Una magnitud física...A Una superficie...

Carácter vectorial...

S

Flujo de A a través de la superficieS

Aθ

SArr

⋅=Φ θcos⋅⋅=Φ SA CANTIDADESCALAR

3

CONCEPTO GENERAL DE FLUJO (2)

Transporte de partículas: El flujo está asociado con el número de partículas transportadas por unidad de tiempo

volumenunidadpartículasnumero

=n

v

x

t N Número de partículas queatraviesan la superficie enel intervalo t

S

x = v⋅t

N = n⋅S⋅x

N = n⋅S⋅v⋅t

vSntN

⋅⋅==Φ3mpartículasnumero

sm2m s

partículasnumero =

4

FLUJO DE FLUIDOS

Flujo estacionarioLa velocidad de las partículas de fluido que pasan por un punto dado es la misma en todo instante del tiempo

Flujo no estacionario

Las velocidades de las partículas de fluido son una función del tiempo en cualquier punto dado

Atendiendo a la velocidad de las

partículas de fluido en cada

punto del espacio

CLA

SIFI

CA

CIÓ

N D

EL F

LUJO

DE

UN

FLU

IDO

Flujo irrotacional

Si el elemento de fluido en un punto dado no tiene velocidad angular neta alrededor del puntoAtendiendo a la

velocidad angular neta del fluido Flujo

rotacionalCuando la velocidad angular neta del elemento de fluido no es nula

Flujo compresible

La densidad del fluido varía de punto a punto, en general es una función de las coordenadas.Atendiendo a las

variaciones de densidad Cuando no hay variaciones de densidad en

función de la posición. Generalmente el flujo de los líquidos es incompresible

Flujo incompresible

Fuerzas tangenciales entre distintas capas del fluido: se disipa energía

Flujo viscosoAtendiendo a los rozamientos

internos Flujo no viscoso Ausencia rozamientos internos

5

LÍNEAS DE CORRIENTE

Supongamos flujo estacionario Un patrón de líneas de flujo en un fluido se dibuja de manera que la dirección de la velocidad instantánea de una partícula en un punto cualquiera sea tangente a la línea de flujo que pasa por dicho punto.

A

B

C

Av

Bv

Cvlínea de corriente

Las líneas de corriente están fijas y coinciden con la trayectoria de las partículas de fluido solo si el flujo es estacionario.

En flujo no estacionario el patrón de líneas de corriente cambia a medida que transcurre el tiempo: la trayectoria de las partículas individuales no coincide con una línea de corriente en un instante dado, sino que la línea de corriente y la trayectoria de una partícula se tocan en ese punto, pero luego se separan.

La velocidad en cada punto es constante en el tiempo

Trazando una curva tangente al campo de velocidades del fluido, se obtiene la

trayectoria seguida por cada partícula que pasa sucesivamente por los puntos A, B,

C... Línea de corriente

6

VISCOSIDAD

Viscosidad: propiedad molecular que representa la resistencia del fluido a la deformación

Dentro de un flujo, la viscosidad es la responsable de las fuerzas de fricción entre capas adyacentes de fluido. Estas fuerzas se denominan de esfuerzo cortante (“shearing stress”, cizalla) y dependen del gradiente de velocidades del fluido.

Viscosidad dinámica

Gradiente develocidadz

cAF

∂∂

== ητ

ρην =

Viscosidad cinemática (m2s-1)ρ es la densidad

z

cc+dc

FA

(Pa · s=N·s/m2)

(1 Pa · s = 10 Poise)

Fluidos viscosos → fricción entre capas, disipación energía cinética como calor →→ aportación de energía para mantener el flujo

7

RÉGIMEN IDEAL, LAMINAR Y TURBULENTO

Viscosidad nula, se conserva la energía ya que se supone ausencia total de rozamiento.Régimen ideal (Bernoulli)•Se admite que el fluido va deslizando sin rozamiento sobre la pared del conducto cuando pasa junto a la misma, de modo que el perfil de velocidades es uniforme en una sección perpendicular.

Viscosidad no nula. Los fluidos reales se adhieren a las paredes de conductos y tuberías debido a las interacciones moleculares. En un fluido real se satisface la condición de

Régimen laminar (Poiseuille)•

velocidad relativa cero (en la interfase) con respecto de la superficie del sólido.

En régimen laminar puede considerarse que existen láminas fluidas en movimiento regular siguiendo líneas de corriente: se deslizan unas sobre otras, siendo mayor la velocidad a medida que crece la distancia a la interfase. Se mantiene el paralelismo entre las diferentes láminas fluidas, y no hay mezcla de fluido ya que dos líneas de corriente no pueden cortarse.Ausencia de componentes

transversales de velocidad, las capas no se mezclan.

8

RÉGIMEN IDEAL, LAMINAR Y TURBULENTO (2)

Régimen turbulento (Venturi)• * El movimiento de las partículas fluidas es caótico.

* No pueden identificarse las líneas de corriente.

* Es muy disipativo (pérdidas de energía).

* Se favorece la mezcla de magnitudes y constituyentes.

Fuertemente rotacional. Remolinos superpuestos a circulación general.

*

El régimen turbulento tiene su origen en la inestabilización del régimen laminar. Cuando la cizalla interna alcanza un valor suficientemente alto, se produce inicialmente una fase de transición laminar/turbulento, y finalmente se desarrolla completamente el régimen turbulento.

9

NÚMERO DE REYNOLDS

Transición entre flujo laminar y flujo turbulento

νηρ lclc ⋅

=⋅⋅

=ReNúmero de Reynolds

Viscosidad dinámicaViscosidad cinemática

densidadvelocidad Longitud

característica

Si Re < Re CRÍTICO → Régimen laminar

Si Re > Re CRÍTICO → Régimen turbulento

Valores típicosSuperficie plana: Re CRÍTICO ∼ 5⋅10-5

Conducto cilíndrico: Re CRÍTICO ∼ 2200

10

VOLUMEN DE CONTROL. FLUJO MÁSICO Y FLUJO VOLUMÉTRICO

Sistema abierto: puede intercambiar masa y energía con sus alrededoresTambién recibe el nombre de volumen de control

Flujo másicoMasa de fluido entrante o saliente que atraviesa una sección dada por unidad de tiempo

cSdtdmm ⋅⋅== ρ&

densidadsección

velocidad

3mkg 2m

sm

Flujo volumétrico (también caudal o gasto)

Volumen de fluido entrante o saliente que atraviesa una sección dada por unidad de tiempo

cSdtdVV ⋅==&

ρm&

=

11

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD. CONSERVACIÓN DE LA MASA.

La variación con el tiempo de la masa contenida en el sistema abierto debe coincidir con la suma algebraica de los flujos que atraviesan la frontera del volumen de control.

1

2

3

4...4321 +−−+= mmmmdtdm

&&&&∑−∑= outin mm

dtdm

&&

Aplicación a una conducción (régimen estacionario)

21 mmdtdm

&& −= 222111 cScSdtdm

⋅⋅−⋅⋅= ρρ

1 2

Régimen estacionario0222111 =⋅⋅−⋅⋅ cScS ρρ

Fluido incompresible

2211 cScS ⋅=⋅

12

ECUACIÓN DE BERNOULLI

11 SP ⋅

22 SP ⋅

1c

2c

1x

2x

1y

2y

1111 x

Consideremos un tubo de corriente

Trabajo efectuado sobre el sistema por la fuerza de presión a la entrada:

SPW ⋅⋅=

Trabajo efectuado por el sistema contra la fuerza de presión a la salida:

2222 xSPW ⋅⋅−=

Fluido entrante

Balance de energía

Criterio de signos: trabajo de las fuerzas a favor de la entrada de fluido (1) 01 >Wtrabajo de las fuerzas en contra de la salida de fluido (2) 02 <W

13

TRABAJO NETO: 21 WWWNETO +=

1. Sistema sin rozamientos

222111 xSPxSPWNETO ⋅⋅−⋅⋅= Volumen

VARIACIÓN DE ENERGÍA MECÁNICA:

ECUACIÓN DE BERNOULLI (2)

11 SP ⋅

22 SP ⋅

1c

2c

1x

2x

1y

2y

Trabajo fuerza de presión entrada: 1111 xSPW ⋅⋅=Trabajo fuerza de presión salida: 2222 xSPW ⋅⋅−=


m masa de fluido entrante/saliente

( ) ( )1221

222

1 yymgccmEE PC −+−=∆+∆

Es la misma! El fluido es incompresible

2. Fluido incompresible

HIPÓTESIS

3. Régimen estacionario

14


11 SP ⋅

22 SP ⋅

1c

2c

1x

2x

1y

2y


222111 xSPxSPWNETO ⋅⋅−⋅⋅=

( ) ( )1221

222

1 yymgccmEE PC −+−=∆+∆PCNETO EEW ∆+∆=

( ) ( )1221

22222111 2

1 yymgccmxSPxSP −+−=⋅⋅−⋅⋅

222221

2111 2

121 mgymcVPmgymcVP ++⋅=++⋅

constante21 2 =++⋅ mgymcVP

Observación:Ecuación válida para una línea de corriente de un fluido ideal en régimen estacionario

15


FORMAS DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI

Unidades de energíaconstante

21 2 =++⋅ mgymcVP1. Conservación de la energía

2. Conservación de la carga

Vgy

Vmc

VmP constante

21 2 =++ constante

21 2 =++ gycP ρρ

( es la densidad)Vm

=ρ

Unidades de presión

2

21 cρP es la carga estática es la carga cinética ρgy es la carga geométrica

3. Conservación de las alturas

constante21 2 =++ ycgg

Pρ

Unidades de longitudg

ycgg

Pρρ

constante21 2 =++

2

21 cg

y es la altura geométrica

es la altura cinéticaes la altura piezométricayc

g+2

21

16


EJEMPLO 1. Circulación fluido incompresible en un estrechamiento.

1211 2

1 gycP ρρ ++ 2222 2

1 gycP ρρ ++=

R1R21 2

c1 c2

( )21

2221 2

1 ccPP −=− ρy1 y2

La ecuación de continuidad implica que 12 cc > 2211 cScS ⋅=⋅ 21 PP >

* El fluido circula a mayor velocidad en los estrechamientos

* La presión es menor en los estrechamientos

17


EJEMPLO 2. Conducción fluido incompresible con tubos abiertos al exterior.Diferencia de alturas.

R1

y1

h

1 2

1211 2

1 gycP ρρ ++ 2222 2

1 gycP ρρ ++=

R2

y2

c1 c2

z2

z1

( )21

2221 2

1 ccPP −=− ρ

( )2121 zzgPP −=− ρ ghρ=11 gzPP atm ρ+= 22 gzPP atm ρ+=

El fluido asciende más sobre la parte ancha de la conducciónComo P1 > P2, z1-z2 = h > 0

Fundamento del Venturímetro. Véase ejemplo más adelante.

Pregunta: ¿qué diferencia de altura debe haber entre los dos tubos abiertos si R1 = R2?

18


APROXIMACIÓN A FLUIDOS REALESAparecen efectos de rozamiento interno debidos a la viscosidad del fluido. Esto se resume en el efecto de pérdidas de carga.

1.

Aplicable a una línea de corriente de un fluido ideal en régimen estacionario

Situación ideal. Sin pérdidas de carga Situación real. Con pérdidas de carga

h

121

1

21 ycgg

P++

ρ

1 2 1 2

222

2

21 ycgg

P++=

ρΦ−

Pérdida de altura por rozamientos internos. Así se cuantifica la

pérdida de carga

Presencia de bombas (aportan energía al fluido circulante) o turbinas (retiran energía del fluido circulante).

2.

Φ−++ 121

1

21 ycgg

Pρ 2

22

2

21 ycgg

P++=

ρBH+ TH−

Altura equivalente añadida por la bomba que impulsa el fluido

Altura que reduce la pérdida de energía transferida en la turbina

19

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI: EC. DE TORRICELLI

Velocidad de salida de líquido de un depósito abierto

c

h

2

1 1211 2

1 gycP ρρ ++ 2222 2

1 gycP ρρ ++=

y1

y2

c2

atmPPP == 21

Gran volumen contenido en el depósito, bajada de nivel de la

superficie muy lenta, c1 ≈ 0

( ) ghyygc 22 212 =−=

Líquido densidad ρ

x0

Cálculo adicional: distancia horizontal x0 recorrida por el chorro de líquido

Tiempo de caída (inicialmente no hay componente vertical de velocidad):

gyt 22=

Espacio horizontal recorrido:

20 4 yhx ⋅=gyghtcx 220 22==

20

Modelo de Venturímetro

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. TUBO DE VENTURI

Determinación de velocidad de un fluido

S1 S21 2

hA A

B

y1

y2

z0

Aplicamos Bernoulli entre 1 y 2

1211 2

1 gycP ρρ ++ 2222 2

1 gycP ρρ ++=

c1 c2

( )01 zhgPPA ++= ρ 02 gzPPB ρ+=

Fluido, densidad ρ

Fluido manométrico, densidad ρm

Ecuación de continuidad

2211 cScS ⋅=⋅ 12

12 c

SSc ⋅=

( )21

2221 2

ccPP −=−ρ

ghPPPP BA ρ−−=− 21

ghPP mBA ρ+= ghPP mBA ρ=−

( )ghm ρρ −= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− 1

2

2

2

121

21 SScPP ρ

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=− 1

2

2

2

121

SScghm

ρρρ

( )( )[ ]1

22

211

−−

=SS

ghc m

ρρρ

12

12 c

SSc ⋅=

DISMINUCIÓN PRESIÓN, AUMENTO VELOCIDAD

21

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI. TUBO DE PRANDTL

Medidas de velocidad en flujo de gases

Aplicamos la ecuación de Bernoulli entre A y Bh

Presión de la corriente fluida pA

Punto de remanso pBLas aberturas son paralelas a la dirección del flujo

Punto de remanso: el gas se detiene

Líquido manométrico

pA

pB

cA

BAA pcp =+ 2

21 ρ ρ → densidad gas

BmA pghp =+ ρ

ρm → densidadliquidomanom.

pB

(despreciamos diferencias de altura entre A y B, pues la densidad de los gases es baja)

ρρm

A ghc 2=ghc mA ρρ =2

21

22

CIRCULACIÓN DE FLUIDOS VISCOSOS EN RÉGIMEN LAMINAR

Ecuación de PoisseuilleExpresa la caída de presión a lo largo de una longitud L de recorrido de un fluido viscoso por un tubo circular de radio r.

Ejemplo. Un líquido de densidad 1,060 g/cm3

circula a 30 cm/s por un conducto horizontal de 1,0 cm de radio. La viscosidad del líquido es 4 mPa·s. ¿Cuál es la pérdida de presión en un recorrido de 20 cm?

2r

LV

rLP &4

8πη

=∆

Cálculo del número de Reynolds para comprobar que se trata de flujo laminar. En el caso de una tubería circular, la longitud característica es el diámetro.

ηρ

ηρ rclc 2Re ⋅⋅

=⋅⋅

= 1590104

02.030.010603 =

⋅⋅⋅

= − < 2200

VrLP &4

8πη

=∆ ( )03.001.001.0

20.01048 24

3⋅⋅

⋅⋅⋅⋅

=−

ππ

Pa2.19=

Flujo laminar

Engineering

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