1

Flujo a través de medios porosos

Aplicaciones industriales:

- Producción de gas y petróleo - Hidrología - Filtración de corrientes liquidas para separar solidos suspendidos - Reactores químicos - Columnas empacadas para fomentar el contacto entre fases (L-G, L-L,S-L, G-S) - Lechos fluidizados

Definiciones: Esfericidad (φ): se define como el factor de semejanza a la geometría de una esfera. Muchas deducciones se hacen para geometría esférica, por tanto, para otro tipo de formas deberá hacerse la corrección respectiva.

volumenigual de

particula una de superficie

esfera de superficie

(Ec. 1)

Algunos valores de esfericidad, se presentan en la Tabla:

Tabla 1. Esfericidad

Figura Esfericidad Esfera 1

Cubo 0.81 (demostrar)

Cilindro (h=d) 0.84

Arena de playa 0.86

Anillos Raschig 0.26-0.53

En la figura se presenta un anillo Raschig.

Figura 1. Anillos Raschig (cerámico y metálico)

Tamaño de partícula: Para esferas su tamaño está dado directamente por su diámetro. Para otras geometrías irregulares el tamaño de diámetro promedio se determina:

2

a) Para partículas grandes > 1mm: - Se pesa un número de partículas dado y mediante su densidad se determina el diámetro equivalente de las

mismas - Se determina el volumen desplazado de fluido en un cilindro al introducir un número conocido de partículas no

porosas - Se mide directamente con un vernier o micrómetro

Para todos los casos se determina un diámetro equivalente a una esfera para un mismo volumen de esfera y de partícula. El volumen de una esfera es:

63

4 23 DRVesfera

(Ec. 2)

Despejando: )3/1(

6

VDesf

Dp=Desf. Φ (Ec. 3)

b) Para tamaños intermedios se hace una distribución de partículas mediante el empleo de tamizado. Los más comunes son los tamices estándar Tyler, Figura 2. El tamaño de partículas retenido por una bandeja del tamiz, poseerá un diámetro medio entre la apertura del tamiz que lo deja pasar y aquel que lo retiene.

Figura 2. Tamiz y bandejas

En la siguiente tabla se presentan mallas típicas y la apertura de las mismas:

Número de malla (alambres/plg)

Apertura (µm)

3 6680

4 4699

6 3327

. .

150 104

200 74

Posteriormente se hace un histograma donde se representa la distribución de las partículas según su tamaño en función de su peso, Figura 3.

3

Figura 3. Histograma peso vs diámetro

4

Partículas sólidas que caen a través de fluidos

Cuando un fluido pasa a través de un cuerpo existe una fuerza de arrastre (FD, drag force) que es proporcional a la cantidad de movimiento y como los términos de pérdidas por fricción se escribe como:

2

2 AvCF D

D

(Ec. 4)

Donde: ρ: es la densidad el fluido

A: es el área frontal o de fricción del sólido. Para esfera, 4

2DA

CD: es el coeficiente de arrastre o rozamiento

El coeficiente de rozamiento para una esfera se puede obtener del gráfico:

Figura 4. Coeficiente de rozamiento

Para cualquier valor de Re: 45.3

06.0

31.0Re358.0

Re

25.2

CD

(Ec. 5)

en donde

Dv Re

(µ y ρ): son del fluido y (v y D) son de la partícula.

Para Re > 1

2

Re

8.4632.0

CD

(Ec. 6)

Para Re < 1 CD = 24/Re (Ec. 7)

5

(Flujo tipo Stokes) , similar al factor de fricción en régimen laminar.

Caso: esfera que cae en un fluido a velocidad constante (sin aceleración) “velocidad terminal”.

Figura 5. Balance de fuerzas

∑Fuerzas: Peso – Flotación - Fricción

Peso = ms . g = ρs . Vs . g gDs

6

3 (Ec. 8)

Flotación = mf . g = ρf . Vf . g gDf

6

3

(Ec. 9)

Fricción = 422

222 Df

vCAf

vC DD

(Ec. 10)

Igualando en el balance de fuerzas:

42)(

6

223 Df

vCfsg

DD

(Ec. 11)

fC

fsgDv

D

)(

3

42

(Ec. 12)

Para Re <1 , CD=24/Re al sustituir en la ecuación queda:

18

)(2 fsgDv

(Ec. 13)

Conocida como la Ley de Stokes

La ley de Stokes es ampliamente usada en cálculos de sedimentadores.

Flotación Fricción

Peso

6

Centrifugación

Para partículas muy pequeñas y para sólidos con baja densidad la velocidad de sedimentación puede resultar

muy lenta, lo que implica un alto tiempo de residencia dentro del equipo y hace ineficiente la separación por

gravedad. En estos casos puede hacerse una separación más efectiva en una centrífuga que opera bajo el

mismo principio con la diferencia que la aceleración está dada por la w2.r (aceleración centrífuga), producido por

la rotación del fluido dentro del equipo y la cual resulta mayor que la aceleración gravitatoria.

La velocidad terminal no es contante, dependerá de r. Si el fluido rota a la misma velocidad de la centrífuga,

entonces, al combinar con la ley de Stokes queda:

18

)(22 LsrwD

t

rv

(Ec. 14)

Al integrar respecto a r:

(Ec. 15)

Resolviendo:

(Ec. 16)

En donde: θ es el tiempo requerido para que la partícula recorra la distancia r1-r2 y corresponde al tiempo de residencia de la partícula dentro del equipo.

(Ec. 17)

Donde:

V= volumen del fluido en el equipo, para cilindro

Q= caudal

7

Medio Poroso Se define el medio poroso como un sólido o grupo de sólidos con suficiente espacio abierto dentro o alrededor de las partículas para permitir que el fluido fluya a través de ellos. El medio puede ser consolidado como una membrana cerámica o no consolidado como un filtro de rocas o una torre de empaques. Una de las propiedades del medio poroso se refiere a la fracción volumétrica hueca o vacía, definida por la porosidad (ε):

totalvolumen

sólido volumen- totalvolumen

(Ec. 18)

Velocidad superficial (vs):

Donde Q= caudal A= área transversal total Velocidad intersticial (vi):

vsvi (Ec. 19)

Diámetro equivalente (De): Recordando la definición de diámetro equivalente para área transversal no circular:

(Ec. 20) Donde:

(Ec. 21)

N = número de partículas Vp = volumen de una partícula Superficie de partícula = N·as

as = área superficial de una partícula (conocido para geometrías uniformes o tabulado) Sustituyendo ambos términos:

(Ec. 22)

Simplicando y arreglando queda:

(Ec. 23)

8

Donde el cociente (as/Vp), se conoce como el área específica de superficie por unidad de volumen, este valor se encuentra tabulado para varios medios porosos, se denota sencillamente como (a). Si las partículas son esféricas de diámetro (D)

DD

Da

6

6

3

2

(Ec. 24)

Y al sustituir en el diámetro equivalente queda

)1(3

2

DDe (Ec. 25)

Factor de fricción (ff): Se define las pérdidas por fricción, tal cual se ha hecho para tuberías:

22 viDe

Lffef (Ec. 26)

Al sustituir la velocidad (vi) y (De) de las ecuaciones previas, se tiene:

2

3

2)1(

3

)1(3

22 vs

D

Lff

vs

D

Lffef

(Ec. 27)

Se puede denotar 3 ff como ff’. De tal manera que: 2

3

)1(' vs

D

Lffef

(Ec. 28)

Al sustituir la (vi) y el (De) en el Re quedará:

)1(3

2Re

DvsDevi (Ec. 29)

Se puede denotar Re’ = Re 3/2. De tal manera que:

)1(Re'

Dvs (Ec. 30)

Para cualquier tipo de Reynolds, según Ergun se tiene que:

Re'

15075.1' ff (Ec. 31)

Re > 1000

Efecto inercial (Burke-Plummer)

Re < 10

Efecto viscoso (Carman-Kozeny)

9

Figura 6. Ff’ vs Re’

Al sustituir las ecuaciones anteriores, quedará:

vsD

Lvs

D

Lef

23

22

3

)1(150

)1(75.1

(Ec. 32)

La ecuación es conocida como ecuación de Ergun y permite determinar el término de fricción debido al lecho empacado o poroso; y cuantificar, por ejemplo, la caída de presión, la energía necesaria de una bomba o la altura de relleno, según el balance de energía mecánico.

10

Columnas Empacadas Son equipos ampliamente usados en destilación, adsorción, absorción, extracción líquida, torres de enfriamiento, entre otros.

Figura 7. Columnas empacadas.

En la figura se observan los empaques que se colocan dentro de las torres o columnas con el fin de promover el contacto entre las dos fases (líquido y gas) y efectuar la separación. Esquemáticamente se puede representar como en la Figura.

Figura 8. Columna empacada y las líneas de flujo de gas y líquido

Para muchos procesos de separación se emplean este tipo de columnas, en las cuales existen dos flujos o fases (L+G) o (L1+ L2) en contracorriente; por lo tanto, la caída de presión dependerá del flujo de las fases, del tipo de empaque que se emplee, del tipo de fluido. Si se grafica la caída de presión respecto al flujo de gas en la columna se obtiene.

11

Figura 9. Caída de presión en la torre empacada

Si se considera una torre que maneja líquido y gas, cuando aumenta el flujo de líquido se disminuye el espacio vacío y el área disponible para el flujo del gas disminuye, de tal manera que la caída de presión aumenta. En la figura se observa la caída de presión de la columna seca, la cual puede determinarse con la ecuación de Ergun para lecho empacado monofásico. Para el resto de las curvas, se aprecia el llamado punto “c” e “i”, denotados como punto de carga e inundación respectivamente, para un flujo de L determinado. El punto de carga es un punto deseado en las columnas de separación ya que existe un óptimo tránsito de las fases sin producir excesiva caída de presión. En el punto de inundación el líquido no puede fluir debido al exceso de gas que genera un colchón en el lecho, de tal forma que la torre se inunda de líquido que se desborda, a consecuencia de esto, la presión se eleva considerablemente. La caída de presión y el punto de inundación pueden ser estimados mediante la siguiente Figura generalizada u otras semejantes.

Figura 10. Caída de presión y punto de inundación en columnas empacadas L-G

Lo

g (Δ

P)

Log (G)

Columna seca (sin L)

Punto de carga (c)

Punto de inundación (i)

12

Fluidización

Cuando un fluido fluye hacia arriba por un lecho de sólidos a baja velocidad, las partículas permanecen estacionarias. La caída de presión que presentará el lecho será la indicada por la ecuación de Ergun. Si se aumenta progresivamente la velocidad de flujo que circula hacia arriba a través de un volumen de sólidos, la resistencia friccional aumenta y eventualmente se alcanza un punto en el que dicha resistencia iguala al peso de los sólidos. En este punto, los sólidos quedan suspendidos, es decir, fluidizan y la velocidad superficial del fluido se denota como velocidad mínima de fluidización (vmin). A medida que aumenta la velocidad el lecho se expansiona. Como se indicó, la caída de presión aumenta al elevarse la velocidad del fluido. Después, al aumentar aún más la velocidad, la caída de presión disminuye ligeramente, punto D (Figura) y luego permanece prácticamente constante mientras el lecho se expansiona.

Figura 11. Transición desde un lecho relleno hasta un lecho fluidizado.

Las propiedades del lecho relleno hasta la fluidización se representa en un gráfico –ΔP vs Re ó ln (–ΔP) vs ln (Re) según se presenta a continuación:

Figura 12. Caída de presión para las etapas que conllevan a la fluidización.

13

En donde: A-B: corresponde al lecho fijo B-C: corresponde al lecho inestable C: punto de fluidización D: ocurre un movimiento de partículas y re arreglo del lecho E: las partículas se arrastran por el fluido (transporte neumático) Aplicando un balance de fuerzas para la partícula en la situación donde empieza a ocurrir la fluidización, es decir, donde las partículas están suspendidas.

Fricción Flotación

Peso Peso = Flotación + fricción (Ec. 33)

En donde: Peso = vs . ρs. g [=] Kg . m / s2

(Ec. 34)

siendo vs = volumen del sólido ρs = densidad del sólido Flotación = vs . ρf . g

(Ec. 35)

ρf = densidad del fluido

Fricción = Δef . ρf . At [=] 232

22 .

.

..

s

mKg

ms

mKgm

(Ec. 36)

Sustituyendo en el balance: vs. g. (ρs – ρf) = Δef . ρf . At

(Ec. 37)

De la geometría y de la definición de porosidad se puede escribir: vs = Vt . (1-ε) = L . At . (1-ε)

(Ec. 38)

Sustituyendo:

14

L . At. (1-ε). g. (ρs – ρf) = Δef . ρf . At (Ec. 39)

Sustituyendo la Ecuación de Ergun en Δef:

L (1-ε). g. (ρs – ρf) = 32

2

3

2)1.(..150).1(..75.1

D

Lvs

D

Lvs f

(Ec. 40)

En conclusión: Arreglando:

g. (ρs – ρf) = 323

2)1.(..150..75.1

D

vs

D

vs f x (ρf . D3/μ2)

(Ec. 41)

332

222

2

3

f

.

.).1.(.150..75.1)(. g.

DfvsDvsfsD f

(Ec. 42)

Sustituyendo los grupos adimensionales:

2

3

Reμ

ρf)ρf.Dg.(ρ. N

μ

ρf.vs.DAr

(Número de Arquímedes)

La ecuación que permite determinar las condiciones en las que existe fluidización queda simplificada:

33

2 Re).1(150Re.75.1

ArN

(Ec. 43)

Si se desea saber el valor de vmin de fluidización, se despeja del valor de Re de la ecuación. NOTA: si no se cuenta con suficientes datos para la resolución de problemas, emplee la siguiente ecuación para determinar la velocidad mínima de fluidización:

(Ec. 44)

La velocidad máxima de flujo puede ser estimada justo en el punto donde ocurre arrastre de partículas, según la ecuación empírica:

21/2Ar ] 3.798 - ) N * 1.827 [(14.42 Re

(Ec. 45)

Del valor de Re se despeja la Vmax.

las fuerzas de rozamiento ejercida por el fluido sobre las partículas

peso neto de sólidos en el lecho =

15

Filtración La filtración es un proceso de separación física que se considera como un caso particular de flujo a través de medios porosos; la gran diferencia es que el tamaño de las partículas es mucho más pequeño y que la resistencia del medio es variable con el tiempo. Dichas partículas conformarán una torta filtrante que ofrecerá resistencia al flujo del fluido debido al crecimiento de la misma con el paso del tiempo.

1.1 Definición

La filtración es una de las técnicas de separación más antiguas. Es un método físico para la separación de mezclas de sustancias compuestas de diferentes fases. Las partículas suspendidas en un fluido (líquido o gas) se pueden separar físicamente mediante el uso de un medio poroso que retiene las partículas y que permite el paso del filtrado sin sólidos. El flujo de líquido o gas a través del filtro se produce debido a la alta presión que se emplea o a un vacío en el extremo opuesto. Las pequeñas aberturas del medio filtrante bloquean el paso de las partículas, las cuales se acumulan en forma de una torta de filtrado la cual actúa a su vez como filtro. La resistencia al flujo aumenta a medida que crece la torta, Figura 13.

Figura 13. Esquema de Filtración

Las partículas sólidas que se someten a la filtración pueden tener tamaños muy diversos, variando desde partículas micrométricas a partículas de varios milímetros. Los poros del medio filtrante pueden ser algo mayores que las partículas que deben separarse, sin que se dificulte la operación, ya que al comienzo algunas partículas penetran los poros del medio filtrante, quedando posteriormente retenidas sobre su superficie formando un lecho o torta de espesor progresivamente creciente. En la Figura 14 se observa el equipo de filtración de marcos y placas.

Figura 14. Filtro de Marcos y Placas

16

1.3 Deducción matemática Del balance de Energía mecánico:

efP

(Ec. 46)

En donde:

ΔP: caída de presión ρ: densidad Δef: pérdida de fricción La velocidad de flujo en procesos de filtración es baja, por tanto, puede escribirse el término de pérdidas de fricción de Ergun, pero considerando solamente el término de efecto viscoso (Blake - Kozeny).

32

2)1.(..150

d

LvsP

(Ec. 47)

Pero:

A

Q

A

tVvs

/ para partículas esféricas d = 6/a

En donde: V: volumen T: tiempo A: área Sustituyendo en la (Ec. 47).

KA

Q

A

aQ

L

P

.

.

.6.

).1.(..15032

2

Ley de Darcy

(Ec. 48)

En donde: K : resistencia específica del medio Aplicando la ley de Darcy para la torta y para el medio filtrante:

filtrante

.

mediotorta K

L

K

L

A

QP

sustituyendo L de torta = W . V/A W es una propiedad específica de la torta

filtrante filtrante

.

.

.

.

.

..medio

torta

medio

torta

amfAK

VW

At

Vamf

AK

VW

A

QP

(Ec. 49)

CASOS DE ESTUDIO:

a) filtración a Presión constante:

(Ec. 50)

se resuelve la integral de dV y dt

V t

dtdVAP

amf

PKA

VW

0 0

2 ).(

.

).(.

..

17

VCVCtVAP

amfV

KAP

W...

).(

.

.)..(22

2

1

2

2

(Ec. 51)

Con una serie de datos de V vs t se pueden determinar las constantes por medio de una represión lineal de los datos: C1 V + C2 = t/V

Figura 15. Obtención gráfica de los parámetros del proceso

b) Volumen de filtrado constante:

filtrante

.

..medio

torta

amfAK

VW

A

QP

(Ec. 52)

Sustituyendo V= Q.t

4.3..

.

..

.

...2

2

filtrante CtCA

amfQ

AK

QWamf

AK

tQW

A

QP medio

torta

(Ec. 53)

Con una serie de datos de (-ΔP) vs t se puede efectuar una regresión lineal y determinar las constantes del proceso, C3 y C4

Figura 16. Representación gráfica para determinación de los parámetros del proceso

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3

t/V

V

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3

-ΔP

t