Fluidi II

Applicazioni della legge di Bernoulli Viscosità

Legge di Poiseuille Fluidi in regime stazionario

Tensione superficiale Capillarità

Dilatazione (aneurisma) e restringimento (stenosi) di un

vaso sanguigno sono le patologie vascolari più comuni.

Applicazioni della legge di Bernoulli

Teorema di Bernoulli per un condotto orizzontale: p1+½ ρ v1

2=p2+½ ρ v22

p1 - p2 = ½ ρ (v22 – v1

2) S1v1=v2S2 da cui v1 = v2 S2 / S1 p1 - p2 = ½ ρ v2

2(1 - S22/S1

2) Nel caso di dilatazione S2>S1 da cui p1 - p2 < 0 (p2>p1)

à Vi è una tendenza a incrementare la dilatazione!!!

Aneurisma

Aneurisma

Video  su  possibile  terapia:  h1ps://www.youtube.com/watch?v=FfuHNG3mHJY  

Teorema di Bernoulli per un condotto orizzontale: p1+½ ρ v1

2=p2+½ ρ v22

p1 - p2 = ½ ρ (v22 – v1

2) S1v1=v2S2 da cui v1 = v2 S2 / S1 p1 - p2 = ½ ρ v2

2(1 - S22/S1

2) Nel caso di restringimento S2<S1, p1 - p2 > 0 (p2>p1)

à Vi è una tendenza ad un’ulteriore restringimento!!!

Stenosi

Stenosi

Per un fluido ideale la pressione è la stessa in entrata e in uscita. Questo perché non c’è attrito interno fra le molecole del fluido, né attrito fra il fluido e le pareti del condotto in cui il fluido scorre. Dunque, in caso di un

condotto a sezione costante e orizzontale, avremo:

e dato che la velocità di ogni strato di fluido é la stessa:

ovvero la pressione è costante.

Fluidi reali: moto viscoso

p + ρ g h+ ½ ρ v2 = k p + ½ ρ v2 = k’

p = k’’

Per i fluidi reali la pressione diminuisce nel verso del moto a causa dell’attrito interno, o viscosità. Questa in genere è debole nei gas ma

rilevante nei liquidi.

Fluidi reali: moto viscoso

Il condotto esercita una forza resistente sul fluido a contatto (forze di contatto o adesione solido-liquido), a loro volta gli strati di fluido esercitano delle forze di attrito che si oppongono allo scorrimento (forze intermolecolari

di coesione). La velocità è massima al centro e nulla sul bordo.

v = v(r)∝ R2 − r2( ) parabola  

Fluidi reali: moto viscoso

In un fluido reale il Teorema di Bernoulli deve tener conto dell’energia persa per attrito:

p1+½ ρ v12 + ρ g h1 = p2+½ ρ v2

2 + ρ g h2 + Eattrito

 

Nel  caso  h1=h2,  v1=v2  si  ha  quindi:    

ΔP=Ea&rito  à  occorre  una  differenza  di  pressione  per  far  muovere  un  fluido  a  velocità  costante  in  un  condo&o  re:lineo  ove  vi  siano  

degli  a&ri<  

Fluidi reali: moto viscoso

Consideriamo un fluido suddiviso in strati infinitesimi paralleli tra loro, di area A e a distanza Δx l’uno

dall’altro che scorrono l'uno sull'altro, ciascuno con velocità caratteristiche (moto laminare).

La forza di attrito viscoso fra uno strato e l’altro è

data dalla relazione:

Coefficiente di viscosità

F = η A Δv/Δx

•  Δv/Δx gradiente di velocità

•  η coefficiente di viscosità; nel SI si misura

in Pa·s; nel CGS in barie·s = Poise (P).

•  1 Pa·s = 10 P

Il coefficiente di viscosità η dipende dalla natura del liquido. Per uno stesso liquido dipende in maniera molto

marcata dalla temperatura: al crescere di questa diminuisce molto rapidamente (esempio dell’olio in una padella).

Liquido Temperatura (°C) η (Pa·s)

Acqua

0 20 37 100

1.8·10-3

1.0·10-3

6.9·10-4

2.8·10-4

Mercurio 20 1.5·10-3

Sangue intero 37 4.0·10-3

Plasma sanguigno 37 1.5·10-3

Dipendenza dalla temperatura

Per mantenere un liquido in moto in un condotto è necessaria quindi una differenza di pressione Δp fra

l’ingresso e l’uscita. La portata Q attraverso il condotto dipende da Δp oltre che dalla lunghezza, dalla sezione del

condotto e dalla viscosità η.

Se il condotto è un cilindro orizzontale di raggio R e lunghezza L, la portata Q è espressa da:

Q = (π Δp R4)/(8ηL) legge di Poiseuille

(usata nei viscosimetri)

Legge di Poiseuille

Abbiamo visto che per fluidi reali l’esperienza mostra che la

pressione diminuisce nel verso del moto a causa della viscosità.

Regime laminare e turbolento Finora abbiamo considerato un fluido suddiviso in strati paralleli tra loro che scorrono l'uno sull'altro, ciascuno con una certa velocità (moto laminare). Se invece ci sono dei vortici che portano a un rimescolamento del

fluido con distribuzioni irregolari e continuamente variabili di velocità, il moto è turbolento.

Per stabilire se il moto di un fluido viscoso è laminare o turbolento si definisce una grandezza adimensionale

chiamata numero di Reynolds: NR= ρ v l / η.

Questo parametro dipende dalla velocità media v del fluido (rispetto al solido con cui viene a contatto),

dalla densità ρ, dalla viscosità η, e da una grandezza lineare l caratteristica del condotto (per una forma

cilindrica, ad esempio, l coincide col diametro).

Si dimostra sperimentalmente che, per tubature rettilinee di sezione circolare, il flusso della corrente fluida è laminare per valori di NR inferiori a 1000, e

turbolento per valori superiori a 3000.

Numero di Reynolds

Regime laminare e turbolento

Regime laminare e turbolento

Una delle funzioni del sistema circolatorio è quella di trasportare ossigeno dai polmoni ai tessuti e di trasportare

in senso inverso l’anidride carbonica prodotta dalla respirazione cellulare. Ciò si realizza mediante un circuito chiuso che costringe il sangue a passare successivamente

attraverso i polmoni e tutti gli altri tessuti.

Il sistema circolatorio

Per spingere il sangue attraverso i capillari polmonari e quelli tissutali è necessaria una pompa, il cuore, da

cui si dipartono piccola e grande circolazione. Parti attive sono ventricoli, che contraendosi

spingono il sangue.

Il cuore

Il circolo polmonare (o piccolo circolo) origina

dal ventricolo destro con l’arteria polmonare e

termina nell’atrio sinistro con la vena polmonare.

Il grande circolo (o

circolo sistemico) parte dal ventricolo sinistro con l’aorta ed entra

nell’atrio destro mediante la vena cava.

Piccolo e grande circolo

Il cuore si può considerare come

l’insieme di due pompe che lavorano in serie su tratti diversi del circuito, sebbene siano unite a

formare un unico organo.

Le contrazioni e successive dilatazioni dei

ventricoli sono dette sistole e diastole rispettivamente.

Piccolo e grande circolo

Poiché il circuito sistemico è molto più esteso di quello polmonare (e quindi offre maggiore resistenza), il ventricolo sinistro deve produrre una differenza

maggiore rispetto al destro.

Non a caso la muscolatura del VS è maggiore di quella del VD, che lavora di meno.

Piccolo e grande circolo

Piccolo  circolo  

Ciascuna delle due circolazioni inizia con vasi di grosso calibro (arterie) che si suddividono in rami più piccoli (arteriole)

Le arteriole a loro volta si sfioccano in numerosi

capillari, attraverso le cui pareti avvengono i processi di

scambio con i tessuti circostanti.

Successivamente il processo di

ramificazione si inverte: i capillari confluiscono in vasi di maggiori dimensioni (venule) e si raccolgono in vasi sempre

più grandi (vene) che riportano il sangue al cuore.

Diramazione dei condotti

Il sangue è un liquido viscoso che, in generale, scorre nel sistema circolatorio con moto laminare. Il moto turbolento, essendo rumoroso, può essere rilevato mediante auscultazione con un fonendoscopio. Il passaggio da moto laminare a moto turbolento nel sangue sta alla base del principio di funzionamento dello strumento usato per misurare la pressione arteriosa (sfigmomanometro).

Il sangue come fluido

Immettendo l’aria nel manicotto si comprime l’arteria brachiale. Ad una riduzione di sezione corrisponde un aumento

della velocità del sangue: si passa da moto laminare a turbolento, rivelabile con il fonendoscopio.

Misura della pressione arteriosa

Misura della pressione arteriosa Aumentando la pressione il rumore scompare. Questo perché la arteria si è chiusa, e tale chiusura avviene ad una pressione del

manicotto che deve essere poco superiore a quella massima nell’arteria.

Si lascia allora diminuire la pressione facendo sfiatare l’aria. La P a cui riprende la circolazione

e ricompare il rumore, è la pressione massima arteriosa

(sistolica).

La P a cui scompare successivamente il rumore, perché

il sangue è tornato al moto laminare, si assume come pressione minima arteriosa

(diastolica).

Lo sfigmomanometro

Nella materia allo stato liquido ogni molecola è circondata da altre molecole: le forze attrattive tra molecole, poiché ognuna di esse è completamente circondata da altre, si bilanciano permettendo che ognuna si sposti liberamente (non vi è prevalenza di forze in una

qualche direzione).

Tensione superficiale

Consideriamo, appena sotto la superficie, uno strato spesso

quanto il diametro delle molecole; questo strato (detto

strato limite) è quello in cui avviene il passaggio dallo stato

liquido a quello di gas.

Una molecola che si trovi in questa zona non ne ha altre dello stesso tipo al di sopra.

Se una molecola che si trova nello strato limite viene sollevata, i legami tra essa e le molecole adiacenti vengono tesi, generando

una forza che tende a richiamarla verso la superficie, proprio come una membrana tesa.

Allo stesso modo, un corpo minuscolo (pond skaters, insetti pattinatori) che si

appoggi sulla superficie di un liquido in modo da non perforarla, fa si che le

molecole superficiali del liquido vengono spinte verso il basso generando una forza

di richiamo diretta verso l'alto.

Oltre agli insetti c’è il caso curioso di un rettile, il

basilisco.  

Tensione superficiale

La tensione superficiale di un liquido rappresenta il lavoro richiesto per aumentarne la superficie libera. Si dimostra che tale lavoro può essere espresso in termini della forza di contrazione

esercitata su una linea ipotetica di lunghezza L posta sulla superficie (forza per unità di superficie):

τ = F/2L

(dove il fattore 2 deriva dal fatto che i lati della linea sono due)

Il lavoro fatto per “aprire” una

superficie di area S sara’ dunque:

L = τ S

Nel SI τ si misura in N/m o J/m2

Coefficiente di tensione superficiale

Liquido Temperatura (°C) Tensione superficiale (N/m)

Acqua

0 20 50 100

0.076 0.073 0.068 0.059

Olio d’oliva 18 0.032 Mercurio 20 0.436

Sangue intero 37 0.058 Plasma sanguigno 37 0.073

In generale τ diminuisce al crescere della temperatura: nei liquidi più caldi, infatti, è indebolita dal moto di agitazione

termica delle molecole. L'acqua calda ha quindi migliori proprietà detergenti giacché la sua minor tensione superficiale permette di raggiungere

più facilmente porosità e fessure. Per ridurla ulteriormente si fa uso di tensioattivi (come i

detersivi) che si frammentano più facilmente e si disperdono con maggiore facilità sul materiale che si vuole pulire.

Capillarità

Tubi di sezione molto piccola (diametro di qualche decimo di mm) sono detti tubi capillari, in cui la superficie si dispone secondo una sezione concava o convessa.

Il fenomeno, detto capillarità, si spiega col fatto che in un liquido esistono delle forze di coesione, di natura elettrica e attrattive, fra molecole simili. Invece, la forza tra la molecola di un liquido e un'altra sostanza (es. vetro della parete di un recipiente che contenga il liquido) è detta forza di adesione.

Si dice che un liquido bagna la superficie di un'altra sostanza quando le forze di adesione prevalgono su quelle di coesione (acqua): in questo caso, si ha risalita del fluido lungo un tubo capillare e la sua superficie è concava verso l'alto. Viceversa, quando dominano le forze di coesione (mercurio) il livello del fluido tende a decrescere e la sua superficie è convessa.

Si dimostra che una bolla di sapone (o altro materiale/interfaccia) sferica di raggio R e coefficiente di tensione superficiale τ è in

equilibrio se la tensione superficiale è tale da contrastare la Δp tra interno ed esterno, per cui vale la relazione:

Δp=2τ/R

Bolle di sapone e embolia

Bolle di sapone e embolia

R1   R2  

Flusso  sanguigno  

Quando si crea un embolo in un vaso sanguigno, il menisco che viene spinto dal flusso ha un raggio di curvatura maggiore di

quello che si trova a valle, e quindi Δp2>Δp1 Δp2-Δp1 > 0

Il verso di questa pressione è rivolto in senso opposto

al flusso sanguigno.

Se abbastanza grande, la differenza può equilibrare la pressione del sangue e provocare arresto circolatorio.

Per questo motivo bisogna sempre fare uscire l’aria dalle siringhe prima di iniettare un qualunque fluido all’interno

del corpo!!!