1

2. TORZIONO, MATEMATIČKO I FIZIČKO NJIHALO

2.1. TORZIONO NJIHALO

Sastoji se od tijela obješenog na žicu tako da je objesište na vertikali koja prolazi kroz težište tijela T. SLIKA: TORZIONO NJIHALO – HENČ-BARTOLIĆ, KULIŠIĆ – SL. 1.20. STR.33 Tijelo iz ravnotežnog položaja zakrenemo za kut θ , žica se tordira i djeluje na tijelo momentom sile koji je proporcionalan θ , ali je suprotnog smjera: θDM −= M - zbog utjecaja tog momenta sile tijelo titra oko ravnotežnog položaja D - torziona konstanta – ovisi o materijalu i dimenzijama žice Jednadžba gibanja:

θθ

α Ddt

dIIM −===

2

2

02

2

=+ θθ

I

D

dt

d

I – moment tromosti s obzirom na os OT

Jednadžba istog oblika kao: 02

2

=+ sm

k

dt

sd pa zaključujemo da torziono njihalo

harmonički titra. Rješenje je: )sin()( 00 ϕωθθ += tt

I

D=ω kružna frekvencija

D

IT π2= period (ovisi o momentu tromosti tijela I, o elastičnim svojstvima

žice (torziona konstanta D), ne ovisi o amplitudi) Tiranje torzionog njihala je harmoničko i za velike amplitude što nije slučaj kod matematičkog i fizičkog njihala.

2

Pictures of Torsional Pendulum Clock (German Make)

3

2.2. MATEMATIČKO NJIHALO

To je sitno tijelo ili materijalna točka, koja njiše obješena o nerastezljivu, laganu nit duljine l, čiju masu zanemarimo. SLIKA: MATEMATIČKO NJIHALO – HENČ-BARTOLIĆ, KULIŠIĆ – SL. 1.15. STR.26

a) njihalo u mirovanju – napetost niti uravnotežuje silu težu: mgGN == b) njihalo izvučeno za neki kut θ iz položaja ravnoteže: - normalnu komponentu sile teže uravnotežuje napetost niti: θcosmgN = - tangencijalna komponenta sile usmjerena prema ravnotežnom položaju:

θsinmgFt −= (zbog djelovanja te sile materijalna točka njiše oko položaja

ravnoteže; predznak '–' jer sila djeluje u smjeru suprotnom od smjera povećanja kuta θ )

Sila nije proporcionalna pomaku θ , već sinθ pa sila nije harmonička i gibanje njihala nije harmoničko. No za male θ vrijedi sinθ ≈ θ pa je θmgF −= i sila je harmonička i gibanje njihala je analogno gibanju harmoničkog oscilatora (za male amplitude). Za velike amplitude njihanje matematičkog njihala nije harmoničko. Jednadžba gibanja matematičkog njihala:

θsinmgFma tt −==

Za male amplitude: θmgmat −= , odn. θgat −= .

Uz αlat = , gdje je:

ta tangencijalna akceleracija

2

2

dt

d θα = kutna akceleracija

l polumjer putanje

θθ

gdt

dlat −==

2

2

02

2

=+ θθ

l

g

dt

d

4

Rješenje: )sin()( 00 ϕωθθ += tt

0θ amplituda

l

g=ω kružna frekvencija

0ϕ početna faza

g

lT π2= period (ne ovisi o amplitudi i masi već samo o duljini njihala l i

akceleraciji sile teže g) Za veće amplitude period njihala ovisi o amplitudi 0θ i raste s njom:

+

⋅⋅

⋅⋅+

⋅

⋅++= K

2sin

642

531

2sin

42

31

2sin

2

112 06

222

22204

22

2202

2

θθθπ

g

lT

Članovi reda se brzo smanjuju pa je dovoljno uzeti prva 2-3 člana:

+++= K

2sin

64

9

2sin

4

112 0402 θθ

πg

lT

Ovisnost perioda matematičkog njihala o amplitudi se može pogledati u tablici u knjizi, ali time se nećemo baviti već ćemo razmatranja najčešće svesti na matematičko njihalo koje njiše malim amplitudama.

5

6

7

2.3. FIZIČKO NJIHALO

To je kruto tijelo koje zbog utjecaja sile teže njiše oko horizontalne osi koja ne prolazi kroz težište tijela. SLIKA: FIZIČKO NJIHALO – HENČ-BARTOLIĆ, KULIŠIĆ – SL. 1.16. STR.29 Moment sile koji uzorkuje titranje:

θsinmgLM −= L udaljenost osi rotacije O od težišta tijela T

θ kut koji spojnica OT zatvara s vertikalom Predznak '-' jer moment sile nastoji smanjiti kut θ . Za male amplitude: θsin ≈ θ

θmgLM −= Jednadžba gibanja fizičkog njihala (jednadžba rotacije krutog tijela oko nepomične osi za male amplitude):

θθ

α mgLdt

dIIM −===

2

2

02

2

=+ θθ

I

mgL

dt

d jednadžba harmoničkog titranja

I moment tromosti tijela s obzirom na os rotacije

Rješenje: )sin()( 00 ϕωθθ += tt I

mgL=ω

Period fizičkog njihala za male amplitude: mgL

IT π2=

8

Računamo koliku duljinu mora imati matematičko njihalo da bi imalo isti period kao fizičko njihalo:

g

lTm π2=

mgL

IT f π2= fm TT =

mgL

I

g

lππ 22 =

mL

Ilr = REDUCIRANA DULJINA FIZIČKOG NJIHALA

Promatrajmo fizičko njihalo u obliku štapa koje njiše oko osi koja prolazi jednim krajem štapa: SLIKA: REDUCIRANA DULJINA FIZIČKOG NJIHALA U OBLIKU ŠTAPA – HENČ-BARTOLIĆ, KULIŠIĆ – SL. 1.17. STR.30 d duljina štapa

3/2mdI = moment tromosti štapa

Reducirana duljina takvog njihala: mL

Ilr = , 3/2

mdI = , 2/dL =

Slijedi: dmd

mdlr 3

2

2

1

3

2

=⋅=

9

Matematičko njihalo duljine dlr 3

2= imat će isti period kao štap duljine d.

Točka C na štapu, koja je od osi udaljena za reduciranu duljinu rl , zove se SREDIŠTE TITRANJA. Može se dokazati da fizičko njihalo obješeno u središtu titranja (točka C) ima isto vrijeme titranja kao i kad njiše oko točke O. Isti primjer štapa: SLIKA: FIZIČKO NJIHALO OBJEŠENO U SREDIŠTU NJIHANJA – HENČ-BARTOLIĆ, KULIŠIĆ – SL. 1.18. STR.31

a) mgL

IT 02π= 2

0 mLII CM += prema Steinerovom poučku

b) 1

12'mgL

IT π= 2

11 mLII CM +=

CMI moment tromosti s obzirom na os kroz težište T

mL

IlLL r

01 ==+ reducirana duljina

mL

I

mL

mLIL

mL

ILlL CM

r =−

=−=−=2

001

TmgL

I

mgL

mLI

L

gmL

ImL

L

gmL

I

mL

Img

Lm

mII

mgL

mLI

mgL

IT

CM

CM

CM

CM

CM

CMCM

==+

=

+

=

=

+

=

+

=+

==

022

2

222

2

1

21

1

1

222

12222'

πππ

ππππ

Njihalo koje se može objesiti tako da se njiše oko točke O i oko točke C (središta titranja) zove se REVERZIONO NJIHALO. Za reverziono njihalo je lako odrediti reduciranu duljinu pa se mjerenjem perioda T reverzionog njihala može izračunati akceleracija sile teže g.

10

CENTAR UDARA

Promatrat ćemo gibanje krutog tijela kad na njega djeluje impulsna sila u kratkom vremenskom intervalu. Promatrat ćemo fizičko njihalo u obliku štapa obješenog na jednom njegovom kraju. Ako štap udarimo na udaljenosti a od osi, u točku P, onda će impuls momenta sile biti:

tFatM ∆=∆ Fa - sila F djeluje na kraju sile a Impuls momenta sile će proizvesti promjenu kutne količine gibanja:

tFaIItML ∆=−=∆=∆ 0ωω

Odatle je kutna brzina: ItFa /0 ∆+= ωω

Zbog impulsa sile CM će se početi gibati translatorno brzinom 2/ωlvCM = , gdje je 2/l

udaljenost CM od objesišta.

)(2 0

I

tFalvCM

∆+= ω

Pri djelovanju sile na štap doći će do gibanja štapa u smjeru sile, pa će objesište djelovati

silom R (reakcijom prema 3. Newtonovom zakonu) na tijelo: -skalarno pisano: 0)( CMCMCM mvmvvmtRF −=∆=∆−

2/00 ωlvCM =

I

tFaml

I

tFalmtRtF

∆=−

∆+=∆−∆

2)(

2 00 ωω

)2

1(I

almFR −=

Ako želimo da os „ne osjeti“ da je tijelo udareno, moramo staviti da je sila reakcije

0=R :

)2

1(0I

almF −=

ml

Ia

2=

11

Za štap je 3/2mlI = pa je:

3

2

3

22 2l

ml

ml

ml

Ia ===

Od prije znamo da je reducirana duljina fizičkog njihala za štap jednaka llr 3

2= , što

znači da je rla = . Točku P zovemo CENTAR UDARA.

12

Zadatak: Fizičko njihalo Od tanke žice načinjeno je tijelo mase 120 g u obliku jednakostraničnog trokuta sa stranicom 60 cm. Taj trokut je oslonjen na oštar brid jednim uglom. Izračunajte:

a) moment tromosti i frekvenciju njihanja f za male otklone oko vodoravne osi koja ide osloncem i okomita je na ravninu trokuta,

b) moment tromosti i frekvenciju f njihanja za male otklone oko vodoravne osi koja ide osloncem i leži u ravnini trokuta.