1

2. TORZIONO, MATEMATIKO I FIZIKO NJIHALO

2.1. TORZIONO NJIHALO

Sastoji se od tijela objeenog na icu tako da je objesite na vertikali koja prolazi kroz teite tijela T.

SLIKA: TORZIONO NJIHALO HEN-BARTOLI, KULII SL. 1.20. STR.33

Tijelo iz ravnotenog poloaja zakrenemo za kut , ica se tordira i djeluje na tijelo momentom sile koji je proporcionalan , ali je suprotnog smjera: DM =

M - zbog utjecaja tog momenta sile tijelo titra oko ravnotenog poloaja D - torziona konstanta ovisi o materijalu i dimenzijama ice

Jednadba gibanja: D

dtdIIM === 2

2

022

=+ ID

dtd

I moment tromosti s obzirom na os OT

Jednadba istog oblika kao: 022

=+ sm

kdt

sd pa zakljuujemo da torziono njihalo

harmoniki titra.

Rjeenje je: )sin()( 00 += tt

ID

= kruna frekvencija

DIT pi2= period (ovisi o momentu tromosti tijela I, o elastinim svojstvima

ice (torziona konstanta D), ne ovisi o amplitudi)

Tiranje torzionog njihala je harmoniko i za velike amplitude to nije sluaj kod matematikog i fizikog njihala.

2

Pictures of Torsional Pendulum Clock (German Make)

3

2.2. MATEMATIKO NJIHALO

To je sitno tijelo ili materijalna toka, koja njie objeena o nerastezljivu, laganu nit duljine l, iju masu zanemarimo.

SLIKA: MATEMATIKO NJIHALO HEN-BARTOLI, KULII SL. 1.15. STR.26

a) njihalo u mirovanju napetost niti uravnoteuje silu teu: mgGN == b) njihalo izvueno za neki kut iz poloaja ravnotee: - normalnu komponentu sile tee uravnoteuje napetost niti: cosmgN = - tangencijalna komponenta sile usmjerena prema ravnotenom poloaju:

sinmgFt = (zbog djelovanja te sile materijalna toka njie oko poloaja ravnotee; predznak '' jer sila djeluje u smjeru suprotnom od smjera poveanja kuta )

Sila nije proporcionalna pomaku , ve sin pa sila nije harmonika i gibanje njihala nije harmoniko.

No za male vrijedi sin pa je mgF = i sila je harmonika i gibanje njihala je analogno gibanju harmonikog oscilatora (za male amplitude).

Za velike amplitude njihanje matematikog njihala nije harmoniko.

Jednadba gibanja matematikog njihala:

sinmgFma tt ==

Za male amplitude: mgmat = , odn. gat = .

Uz lat = , gdje je: ta tangencijalna akceleracija

2

2

dtd

= kutna akceleracija l polumjer putanje

gdtdlat == 2

2

022

=+ lg

dtd

4

Rjeenje: )sin()( 00 += tt

0 amplituda

lg

= kruna frekvencija

0 poetna faza

glT pi2= period (ne ovisi o amplitudi i masi ve samo o duljini njihala l i

akceleraciji sile tee g)

Za vee amplitude period njihala ovisi o amplitudi 0 i raste s njom:

+

+

++= K2

sin642531

2sin

4231

2sin

2112 06222

22204

22

2202

2

piglT

lanovi reda se brzo smanjuju pa je dovoljno uzeti prva 2-3 lana:

+++= K

2sin

649

2sin

4112 0402 pi

glT

Ovisnost perioda matematikog njihala o amplitudi se moe pogledati u tablici u knjizi, ali time se neemo baviti ve emo razmatranja najee svesti na matematiko njihalo koje njie malim amplitudama.

5

6

7

2.3. FIZIKO NJIHALO

To je kruto tijelo koje zbog utjecaja sile tee njie oko horizontalne osi koja ne prolazi kroz teite tijela.

SLIKA: FIZIKO NJIHALO HEN-BARTOLI, KULII SL. 1.16. STR.29

Moment sile koji uzorkuje titranje:

sinmgLM =

L udaljenost osi rotacije O od teita tijela T kut koji spojnica OT zatvara s vertikalom Predznak '-' jer moment sile nastoji smanjiti kut .

Za male amplitude: sin

mgLM =

Jednadba gibanja fizikog njihala (jednadba rotacije krutog tijela oko nepomine osi za male amplitude):

mgLdtdIIM === 2

2

022

=+ I

mgLdtd

jednadba harmonikog titranja

I moment tromosti tijela s obzirom na os rotacije

Rjeenje: )sin()( 00 += tt ImgL

=

Period fizikog njihala za male amplitude: mgL

IT pi2=

8

Raunamo koliku duljinu mora imati matematiko njihalo da bi imalo isti period kao fiziko njihalo:

glTm pi2=

mgLIT f pi2= fm TT =

mgLI

gl

pipi 22 =

mLIlr = REDUCIRANA DULJINA FIZIKOG NJIHALA

Promatrajmo fiziko njihalo u obliku tapa koje njie oko osi koja prolazi jednim krajem tapa:

SLIKA: REDUCIRANA DULJINA FIZIKOG NJIHALA U OBLIKU TAPA HEN-BARTOLI, KULII SL. 1.17. STR.30

d duljina tapa 3/2mdI = moment tromosti tapa

Reducirana duljina takvog njihala: mLIlr = , 3/

2mdI = , 2/dL =

Slijedi: dmd

mdlr 32

2

13

2

==

9

Matematiko njihalo duljine dlr 32

= imat e isti period kao tap duljine d.

Toka C na tapu, koja je od osi udaljena za reduciranu duljinu rl , zove se SREDITE TITRANJA.

Moe se dokazati da fiziko njihalo objeeno u sreditu titranja (toka C) ima isto vrijeme titranja kao i kad njie oko toke O.

Isti primjer tapa:

SLIKA: FIZIKO NJIHALO OBJEENO U SREDITU NJIHANJA HEN-BARTOLI, KULII SL. 1.18. STR.31

a) mgL

IT 02pi= 20 mLII CM += prema Steinerovom pouku

b) 1

12'mgL

IT pi= 211 mLII CM +=

CMI moment tromosti s obzirom na os kroz teite T

mLIlLL r 01 ==+ reducirana duljina

mLI

mLmLIL

mLILlL CMr =

===

200

1

TmgLI

mgLmLI

Lg

mLImL

LgmLI

mLI

mg

LmmI

I

mgLmLI

mgLI

T

CM

CM

CM

CM

CMCM

CM

==

+=

+

=

=

+=

+=

+==

022

2

222

2

1

21

1

1

222

12222'

pipipi

pipipipi

Njihalo koje se moe objesiti tako da se njie oko toke O i oko toke C (sredita titranja) zove se REVERZIONO NJIHALO.

Za reverziono njihalo je lako odrediti reduciranu duljinu pa se mjerenjem perioda T reverzionog njihala moe izraunati akceleracija sile tee g.

10

CENTAR UDARA

Promatrat emo gibanje krutog tijela kad na njega djeluje impulsna sila u kratkom vremenskom intervalu.

Promatrat emo fiziko njihalo u obliku tapa objeenog na jednom njegovom kraju.

Ako tap udarimo na udaljenosti a od osi, u toku P, onda e impuls momenta sile biti:

tFatM =

Fa - sila F djeluje na kraju sile a

Impuls momenta sile e proizvesti promjenu kutne koliine gibanja:

tFaIItML === 0

Odatle je kutna brzina: ItFa /0 +=

Zbog impulsa sile CM e se poeti gibati translatorno brzinom 2/lvCM = , gdje je 2/l udaljenost CM od objesita.

)(2 0 I

tFalvCM

+=

Pri djelovanju sile na tap doi e do gibanja tapa u smjeru sile, pa e objesite djelovati silom R (reakcijom prema 3. Newtonovom zakonu) na tijelo: -skalarno pisano: 0)( CMCMCM mvmvvmtRF ==

2/00 lvCM =

ItFaml

ItFal

mtRtF =+=2

)(2 00

)2

1(Ial

mFR =

Ako elimo da os ne osjeti da je tijelo udareno, moramo staviti da je sila reakcije 0=R :

)2

1(0Ial

mF = ml

Ia

2=

11

Za tap je 3/2mlI = pa je: 32

322 2 l

mlml

mlI

a ===

Od prije znamo da je reducirana duljina fizikog njihala za tap jednaka llr 32

= , to

znai da je rla = .

Toku P zovemo CENTAR UDARA.

12

Zadatak: Fiziko njihalo

Od tanke ice nainjeno je tijelo mase 120 g u obliku jednakostraninog trokuta sa stranicom 60 cm. Taj trokut je oslonjen na otar brid jednim uglom. Izraunajte:

a) moment tromosti i frekvenciju njihanja f za male otklone oko vodoravne osi koja ide osloncem i okomita je na ravninu trokuta,

b) moment tromosti i frekvenciju f njihanja za male otklone oko vodoravne osi koja ide osloncem i lei u ravnini trokuta.