Fisiki g Lykeiou Voithima

Ο μαθητής που έχει μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει ναγνωρίζει:

� από τη θεωρία στη Γ.Α.Τ.:Τις εξισώσεις x(t), υ(t), α(t) και τα αντίστοιχα διαγράμματα.Την απόδειξη της συνθήκης F = f(x) για να κάνει ένα σύστημα γ.α.τ. και τοαντίστοιχο διάγραμμα.Την απόδειξη της σχέσης που δίνει την περίοδο στη γ.α.τ.

Την απόδειξη της σχέσης 2xD21U ⋅= και τη δικαιολόγηση (ΑΔΕΤ) ότι

Κ+U= σταθ.Τις σχέσεις που δίνουν τις ενέργειες U και Κ και τα διαγράμματα αυτών μεx και t.

� από τη θεωρία στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις:Tις εξισώσεις φορτίου πυκνωτή q(t), έντασης ρεύματος i(t) και τα αντίστοιχαδιαγράμματα.Τη σχέση που δίνει την περίοδο του φαινομένου.Τις σχέσεις που δίνουν τις ενέργειες UΕ(t) και UΒ(t), Εολ(t) και τα διαγράμματααυτών, καθώς και την ΑΔΕΤ Κ+U= σταθ.Την αντιστοιχία μεταξύ μεγεθών ηλεκτρικής και μηχανικής ταλάντωσης.

� από τη θεωρία στις φθίνουσες & εξαναγκασμένες ταλαντώσεις:Σε φθίνουσα μηχανική ταλάντωση τη μορφή της δύναμης απόσβεσης, απότι εξαρτάται η σταθερά απόσβεσης b και τη σχέση που δίνει το πλάτος με τοχρόνο.Ποιοτικά να ξέρει να κάνει το διάγραμμα Α= f(t) για b=0, b μικρό και b μεγάλο.Τους παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται η περίοδος της κίνησης.

Να δικαιολογεί ότι ο λόγος των πλατών n

n+1

A

A σε δύο διαδοχικές περιόδους

είναι σταθερός.Να ξέρει αντίστοιχα στη φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση για το ποιοτικόδιάγραμμα q= f (t) για R=0, R μικρό και R μεγάλο, τους παράγοντες από τουςοποίους εξαρτάται η περίοδος του φαινομένου.Ότι η εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι αμείωτη ταλάντωση.Πως μεταβάλλεται το πλάτος με τη συχνότητα fΔ και τη σταθερά b και τοαντίστοιχο διάγραμμα. Πότε το σύστημα βρίσκεται σε συντονισμό.Πως δημιουργείται εξαναγκασμένη ηλεκτρική ταλάντωση, το διάγραμμαπλάτους ρεύματος Ι σε συνάρτηση με τη συχνότητα της πηγής, για διάφορεςτιμές της αντίστασης R. Πότε το κύκλωμα είναι σε συντονισμό.

� από τη θεωρία στη σύνθεση ταλαντώσεων:Στη σύνθεση δύο γ.α.τ., ίδιας συχνότητας, τις σχέσεις που βρίσκουμε το πλάτοςκαι τη φάση της σύνθετης ταλάντωσης. Τις ειδικές περιπτώσεις όταν φ = 0ο

και φ = 180ο.Στη περίπτωση του διακροτήματος την απόδειξη εξίσωσης (1.33) της θεωρίας

του σχολικού βιβλίου και της σχέσης δ 1 2f f f= − που δίνει τη συχνότητα τουδιακροτήματος.

1 1 . Τύποι - Βασικές έννοιες Ταλαντώσεις

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ: Τύποι - Βασικές έννοιες

1. Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση

Απομάκρυνση: x=A·ημ(ωt+φ0)Ταχύτητα: υ=υmax·συν(ωt+φ0) όπου υmax=ω·AΕπιτάχυνση: α=-ω2·A·ημ(ωt+φ0)=-ω2·xΔύναμη: F=-D·x

Περίοδος: mT=2ð

D

Δυναμική ενέργεια: ⋅ 21U = D x

2 Κινητική ενέργεια: ⋅ 21

K = m υ2

2. Κύκλωμα L - C

Φορτίο πυκνωτή: q=Q·συνωtΈνταση ρεύματος: i=- I·ημ ωt I=Q·ωΠερίοδος: T=2ð LC

Ηλεκτρική ενέργεια πυκνωτή:2

Eq

U =2C

Μαγνητική ενέργεια πηνίου: 2⋅B1

U = L2

i

3. Φθίνουσα ταλάντωση - Εξαναγκασμένη ταλάντωση

Δύναμη απόσβεσης: F=-b·υΠλάτος στη φθίνουσα μηχανική ταλάντωση: Αn=Α0·e-Λt, t=N·T

4. Σύνθεση ταλαντώσεων

Ι. x1=A1·ημωt, x2=A2·ημ(ωt+φ)Η σύνθετη γ.α.τ. έχει: x=A΄· ημ(ωt+θ) όπου:

+ += ⋅2 21 2 1 2A΄ A A 2A A συνφ και = 2

1 2

A ημφεφθA + A συνφ

ΙΙ. x1=A·ημω1t, x2=A·ημω1t, 1 2ω ωΗ σύνθετη ταλάντωση έχει:

+= ⋅ 1 2ω ω

x A΄ ημ t2

όπου −= ⋅ 1 2ω ωΑ΄ 2A συν t2

Συχνότητα διακροτήματος: δ 1 2f f f= −

1 2 . Ταλαντώσεις Βήμα 1ο

1. Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση

ΘΕΩΡΙΑ 1 Όταν ένα σύστημα κάνει γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση:⋅F = D x−

ΑπόδειξηΑντικαθιστώντας τη σχέση της επιτάχυνσης α=-ω2.xστο Θεμελιώδη Νόμο της Μηχανικής F=m.απαίρνουμε: F=-m.ω2.xΗ ποσότητα m . ω2 είναι σταθερή, χαρακτηριστική για κάθε ταλαντωτή συμβολίζε-ται δε D και λέγεται σταθερά της ταλάντωσης ή σταθερά επαναφοράς.Άρα η παραπάνω εξίσωση γράφεται: F=-D.xΤο πρόσημο (–) δείχνει ότι η φορά της συνισταμένης δύναμης είναι αντίθετη απότη φορά της απομάκρυνσης, δηλαδή έχει φορά προς τη θέση ισορροπίας γι΄ αυτόλέγεται και δύναμη επαναφοράς.

ΘΕΩΡΙΑ 2 Σε σύστημα που κάνει γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση που δίνειτην περίοδο ταλάντωσής του.

Απόδειξη

Από τις σχέσεις D=m.ω2 και ω=2π / Τ παίρνουμε 2πD = m

T

2

η οποία λύνεται ως

προς Τ που είναι η περίοδος του απλού ταλαντωτή. mT = 2π

D

ΘΕΩΡΙΑ 3 Σε σύστημα που κάνει γ.α.τ. να αποδείξετε τη σχέση 21

U = Dx2

που δίνει την δυναμική ενέργεια της ταλάντωσής του.

1 3 .Βήμα 1ο Ταλαντώσεις

ΑπόδειξηΓια να εκτρέψουμε ένα ταλαντωτή από τη Θ.Ι. του πρέ-πει να ασκήσουμε δύναμη Fεξωτ αντίθετη της δύναμηςεπαναφοράς, δηλαδή της μορφής: Fεξωτ=D.x

Η δύναμη αυτή είναι μεταβλητού μέτρου άρα το έργοτης υπολογίζεται γραφικά από το εμβαδό του γραμμο-σκιασμένου τμήματος του διαγράμματος Fεξωτ=f(x), όπωςφαίνεται στο σχήμα.

21 1

W = (OAB) = Dx x Dx2 2

⋅ =

Μέσω του έργου W της δύναμης Fεξωτ μεταφέρεται ενέργεια από τον εξωτερικόπαράγοντα στο σύστημα η οποία αποθηκεύεται ως δυναμική ενέργεια.

ΘΕΩΡΙΑ 4 Σε σύστημα που κάνει γ.α.τ. να δικαιολογήσετε ότι:=K + U σταθ .

ΑπόδειξηAν λάβουμε υπόψη μας ότι:

x=A·ημ(ωt+φ0) και υ=ω·Α·συν(ωt+φ0)

οι σχέσεις Κ= 21m υ

2⋅ και U=

1

2D·x2 γράφονται:

Κ= 2 21m ω Α

2⋅ ⋅ ·συν2(ωt+φ0) και U=

1

2D·A2·ημ2(ωt+φ0)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις και λαμβάνοντας υπ’ όψη ότι:D=m·ω2 και συν2(ωt+φ0)+ημ2(ωt+φ0) =1 προκύπτει ότι:

Κ+U = 1

2D·x2 = Εολ

ΘΕΩΡΙΑ 5 Να αποδείξετε ότι η ταχύτητα του ταλαντωτή σε συνάρτησημε την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του, έχειαλγεβρική τιμή που δίνεται από την εξίσωση:

2 2= ± ⋅ −υ ω Α xΑπόδειξηi. Η σχέση αυτή αποδεικνύεται με Α.Δ.Ε.Τ. U+K=Εολ ⇔

1

2D·x2 +

1

2m·υ2=

1

2D·A2 ⇔ m·ω2·x2+m·υ2=m·ω2·A2 ή


ω2·x2+υ2=ω2·A2 ⇔ υ2=ω2·(A2-x2)ii. Επίσης η σχέση αποδεικνύεται με τις εξισώσεις:

x=A·ημ(ωt+φ0) και υ=ω·A·συν(ωt+φ0)Υψώνουμε τις σχέσεις στο τετράγωνο και προσθέτουμε κατά μέλη.

Τελικά παίρνουμε:2 2

2 2 2

x υA ω Α

+ =⋅

ημ2(ωt+φ0)+συν2(ωt+φ0) ⇔

2 2

2 2 2

x υ1

A ω Α+ =

⋅ ⇔ υ2=ω2 . (A2 - x2)

ΘΕΩΡΙΑ 6 Η περίοδος μιας φθίνουσας ταλάντωσης είναι Τ και το πλά-τος της ακολουθεί τον νόμο: Αn=Α0e-Λt , t=NT.α. Να δείξετε ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών του πλάτους

της ταλάντωσης είναι σταθερός: ΛTn

n+1

A=e = σταθ.

A

β. Να δείξετε ότι ο λόγος δύο διαδοχικών τιμών της ενέργειας

της ταλάντωσης είναι σταθερός: 2ΛTn

n+1

E=e = σταθ.

E

Απόδειξη

α. ( )( )

ΛnΤΛnΤ Λ n+1 Τ ΛΤ0n n n

Λ n+1 Τn+1 n+1 n+10

A eA A A= =e = e

A A AA e

−− +

−⇔ ⇔

β. ( )2 2n 2ΛΤ 2ΛΤn n n n

2n+1 n+1 n+1 n+1n+1

1DAE E A E2 e e

1E E A EDA2

= ⇔ = ⇔ = =

ΘΕΩΡΙΑ 7 Να βρείτε την εξίσωση της σύνθετης κίνησης που κάνει ένασώμα, το οποίο εκτελεί ταυτόχρονα δύο γ.α.τ. με εξισώσεις:

x1=A·ημω1t και x2=A·ημω1tΠοια είναι η συχνότητα της σύνθετης κίνησης;

ΑπόδειξηΗ απομάκρυνση x της συνισταμένης κίνησης είναι:

x = x1+ x2 ⇔ x = Α · ( ημω1t+ημω2t) (1)

Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι: α β α +βημα ημβ 2συν ημ

2 2

−+ = ⋅


Άρα: 1 2 1 21 2

ω ω ω + ωημω t + ημω t = 2συν t ημ t2 2

− ⋅ (2)

Επομένως η σχέση (1) λόγω της (2) γράφεται:

1 2 1 2ω ω ω + ωx = 2A συν t ημ t

2 2

− ⋅ ⋅ (3)

Τον παράγοντα 1 2ω ω2A συν t

2

− ⋅ μπορούμε να τον επιλέξουμε ως πλάτος της

συνισταμένης ταλάντωσης και η εξίσωση (3) να γραφεί:

1 2ω + ωx = A΄ ημ t

2 ⋅

(4)

Η εξίσωση (4) περιγράφει περιοδική κίνηση, όχι γραμμική αρμονική, που έχεισυχνότητα που είναι σχεδόν ίση με τις συχνότητες των συνιστωσών ταλα-ντώσεων.Συγκεκριμένα είναι ο μέσος όρος των συνιστωσών ταλαντώσεων.

Δηλαδή: 1 2ω + ωω =2

ω1 ω2

ΘΕΩΡΙΑ 8 Τι ονομάζουμε περίοδο διακροτήματος; Να αποδείξετε τη σχέσηπου δίνει την περίοδο του διακροτήματος.

ΑπόδειξηΟ χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ δυο διαδοχικών μηδενισμών (ή μεγίστων τιμών)του πλάτους, λέγεται περίοδος του διακροτήματος και συμβολίζουμε με Τδ.Από τη σχέση (4) γίνεται τo πλάτος Α΄=0 όταν:

1 2ω ωσυν t = 02

− ⇔ 1 2ω ω t π= (2k +1)

2 2

−

Οι δύο πρώτες λύσεις για κ 0 και κ 1= = είναι:

1 2 1 21 2

ω ω ω ωπ 3πt και t

2 2 2 2

− −= =

Η περίοδος Τδ του διακροτήματος είναι:

Τδ= Δt = t2 – t1 = δ1 2 1 2

2π 1T

ω ω f f⇔ =

− −


Α. Από το σχολικό βιβλίοΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

1. Γραμμική Αρμονική ΤαλάντωσηΕρωτήσεις: 1.1, 1.4, 1.5, 1.7Ασκήσεις - Προβλήματα: 1.28, 1.32, 1.37, 1.41, 1.46, 1.47, 1.48

2. Κύκλωμα L - CΕρωτήσεις: 1.12, 1.13, 1,16,Ασκήσεις - Προβλήματα: 1.43, 1.49, 1.50

3. Φθίνουσες - εξαναγκασμένες ταλαντώσειςΕρωτήσεις - Ασκήσεις: 1.18, 1.19, 1.21, 1.26

Β. Από τα Βιβλιομαθήματα:ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣεκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

Βιβλιομάθημα 1ο:Λυμένα παραδείγματα: 1.1, 1.3, 1.4,1.5, 1.8Ερωτήσεις: 1, 3, 6, 9Προτεινόμενα θέματα: 1.2, 1.4, 1.7, 1.8,Ξεχωριστό 1: σελ. 27

Βιβλιομάθημα 2ο:Λυμένα παραδείγματα: 1.9, 1.11, 1.13,1.14, 1.15Ερωτήσεις: 2, 3, 6, 9, 10Προτεινόμενα θέματα: 1.12, 1.13, 1.17, 1.18Ξεχωριστό 1, 2: σελ. 42-44


Βιβλιομάθημα 3ο:Λυμένα παράδειγματα: 1.16, 1.19, 1.20Ερωτήσεις: 1, 2, 5, 6, 8Προτεινόμενα θέματα: 1.20, 1.22, 1.23, 1.24Ξεχωριστό 1: σελ. 53

Βιβλιομάθημα 4ο:Λυμένα παράδειγματα: 1.21, 1.22, 1.23Ερωτήσεις: 1, 2, 3, 6, 7, 8Προτεινόμενα θέματα: 1.25, 1.31, 1.32

Γ. Από το βιβλίο: ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΘετικής & Τεχν/κης κατεύθυνσης 1ος τόμος

(ταλαντώσεις - κύματα)εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

1. Γραμμική Αρμονική ΤαλάντωσηΕρωτήσεις: 1.5, 1.10, 1.13, 1.15, 1.18

Λυμένα παράδειγματα: 5, 7, 14, 15Ασκήσεις για λύση: 1.49, 1.55, 1.56, 1.57

2. Κύκλωμα L - CΕρωτήσεις: 2.4, 2.6, 2.10, 2.11, 2.14, 2.28


3. Φθίνουσες - εξαναγκασμένες ταλαντώσειςΕρωτήσεις: 3.6, 3.9, 3.10, 3.12, 3.15

Λυμένα παράδειγματα: 1, 3, 4, 5, 8Ασκήσεις για λύση: 3.40, 3.43, 3.44, 3.48

4. Σύνθεση ταλαντώσεωνΕρωτήσεις: 4.8, 4.9, 4.10, 4.11

Λυμένα παράδειγματα: 1, 3, 4, 5, 8Ασκήσεις για λύση: 4.15, 4.16, 4.20


1. Ένα σώμα m=1 kg εκτελεί γ.α.τ. και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σεσυνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο σχήμα.

α. Να βρείτε τη σταθερά D και την ολική ενέργεια του ταλαντωτή.β. Να γράψετε τις εξισώσεις x=f(t) και υ=f(t)γ. Ποιες χρονικές στιγμές το σώμα έχει στιγμιαία υ = 0 ;

δ. Ποιες χρονικές στιγμές είναι υ και F ομόρροπα; ( )2π = 10

Λύση:

α. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι: η περίοδος είναι Τ=1 s άρα: 2πω 2π rad / sΤ

= =

Επόμένως: D= m.ω2 ⇔ D=40 Ν/m

Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή βρίσκεται από τη σχέση: 21Ε = DA2

Όμως από το διάγραμμα φαίνεται ότι:αmax=8 rad/s2 δηλ. ω2·Α=8 rad/s2 ⇔ (40 Ν/m)·Α=8 rad/s2 ⇔ A=0,2m

Άρα: 21Ε = 40 0,2 J Ε = 0,80J2

⋅ ⇔

β. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι: α=8·ημ π2 t

2 π +

S.I.


H επιτάχυνση προηγείται της ταχύτητας κατά π/2 rad και της απομάκρυνσηςκατά π rad. Άρα:

υ=0,4π·ημ ( )2 tπ και x=0,2·ημ π2 t

2 π −

(S.I.)

γ. Η ταχύτητα είναι μηδέν στις ακραίες θέσεις στις οποίες είναι αmax. Aυτό συμβαί-νει τις στιγμές:

0, 0,5s, 1s, 1,5sδ. Η δύναμη επαναφοράς είναι ομόρροπη με την επιτάχυνση και η φορά τους είναι

προς τη Θ.Ι.T. . Άρα όποτε ο ταλαντωτής κινείται προς τη Θ.Ι.T. είναι υ και Fομόρροπα. Aυτό συμβαίνει στα χρονικά διαστήματα:

0 - 0,25s, 0,5s - 0,75s, 1s - 1,25s, 1,5s - 1,75s

2. To σώμα του σχήματος έχει μάζα m=2 kgκαι ισορροπεί στερεωμένο στο άκρο ιδα-νικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράςk=200 N/m, το άλλο άκρο του οποίου εί-ναι ακλόνητο στερεωμένο. Το σώμα εκτρέ-πεται από τη Θ.Ι του φέρνοντάς το στηθέση φ.μ. του ελατηρίου. Δίνουμε στο

σώμα αρχική ταχύτητα 0υ = 3 m/s , προςτα κάτω θεωρώντας τη χρονική στιγμήαυτή t=0 και y>0.α. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης y=f(t).β. Να υπολογήσετε την μέγιστη ενέργεια του ελατηρίου;γ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα αποκτά τη μέγιστη ταχύτητά του για

δεύτερη φορά μετά τη στιγμή t=0;δ. Να βρείτε τότε την συνισταμένη δύναμη που ενεργεί στον ταλαντωτή.Δίνεται:g=10 m/s2

Λύση:

α. Θ.I.: ελ 1 1B = F mg = k y y = 0,1m⇔ ⋅ ⇔

Από τη θεωρία η σχέση απομάκρυνσης - χρόνου, είναι: y=Aημ(ωt+φ0)Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε.T. για την γ.α.τ. από αρχική θέση μέχρι τη θέση μέγιστηςαπομάκρυνσης:

αρχ αρχ ολU K Ε+ = ⇔ D K2 2 21 0

1 1 1Dy + mυ = DA A=0,2m

2 2 2=→ .


Η γωνιακή συχνότητα είναι: D Kω = = 10rad/sm m

=

( ) t 00 0 0 0y 0,1m

1 πy = Aημ ωt + φ 0,1 = 0,2ημφ ημφ = ημφ = ημ

2 6=

=→ ⇔ ⇔

Άρα: 0 0π 5πφ = rad ή φ = rad6 6

Επειδή για t=0 είναι y>0 η αρχική ταχύτητα είναι υ= 0υ0 < .

Επομένως: 05πφ = rad6

Τελικά: 5πy = 0,2ημ 10t + S.I.

6

β. ( )22ΕΛ,max max 1

1 1U = K x = K y + A = 9J

2 2⋅

γ. Η ταχύτητα αποκτά τη μέγιστη τιμή της στη Θ.Ι, άρα:

5π 5π 5π0 = 0,2 ημ 10t + 0 = ημ 10t + 10t +

6 6 6k

⋅ ⇔ ⇒ = π

• κ=0 Απορρ., • ( )η5π π πκ 1: 10t π 10t t s 16 6 60

= + = ⇒ = ⇒ =

• ( )η5π 7πκ = 2 : 10t + = 2π t = s 26 60

⇔

δ. ολF D y 0= − ⋅ =

3. Σύστημα ελατήριο k=200 N/m - σώμα μάζας m=2 kg κάνει γ.α.τ. και ηmax κινητική του ενέργεια είναι: maxK = 4 Jα. Να υπολογιστούν το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης.β. Φέρουμε το σύστημα σ’ένα μέσο που ασκεί δύναμη τριβής της μορφής

(S.I.)= − 4F υ

π. Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης μετά από χρόνο

5Τln2 και την ενέργεια που έχει χάσει το σύστημα μέχρι τότε.

Δίνεται ότι bΛ =2m

, η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου

ίση με την ιδιοπερίοδο και 4e = 0,045− .


Λύση:α. Από τη θεωρία είναι γνωστό ότι: Umax=Kmax

Άρα: 2 21 1 ND A 4 J 200 A 4 J

2 2 m⋅ = ⇔ ⋅ = ⇔ A = 0, 2 m

Η γωνιακή συχνότητα είναι:D Kω = = 10 rad/sm m

=

Η περίοδος είναι: 2πT = =

ωπ/5 s

β. Είναι: Λ Τ n25 0A = A e 5− ⋅ ⋅⋅ όπου 1b 4 1Λ = = = s

2m π 2 2 π−

⋅ ⋅

Άρα:1 π

n2π 5

5A = 0,2 e− ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⇔5

n25

0,2A = 0,2 e m = m = 0,1m

2−⋅

( )

( )

2 2 2 2απωλ 0 5 0 5 απωλ 0 5

2 2απωλ

1 1 1Ε = Ε E = DA DA Ε = D A A2 2 2

1Ε = 200 0,2 0,1 J 3J2

− − ⇔ − ⇔

− =

4. Οριζόντιος δίσκος εκτελεί γ.α.τ. σε κατακόρυφη διεύθυνση, με πλάτοςA = 0,25 m και περίοδος T=2 s. Όταν ο δίσκος βρίσκεται στην κατώτατηθέση της τροχιάς, τοποθετούμε πάνω του μικρό σώμα μάζας 2kg.α. Αν θεωρήσουμε ότι το σύστημα διατηρεί σταθερό πλάτος και περίοδο,

να βρεθεί η σχέση της δύναμης που δέχεται το σώμα από το δίσκο σεσχέση με την απομάκρυνση y και να γίνει η αντίστοιχη γραφική παρά-σταση.

β. Αν η περίοδος παραμείνει σταθερή, για ποια μέγιστη τιμή του πλάτουςτο σώμα οριακά τείνει να εγκαταλείψει το δίσκο;

γ. Αν μεταβάλλουμε τη συχνότητα της ταλάντωσης, για ποια μέγιστη συ-χνότητα μόλις που χάνεται η επαφή σώματος - δίσκου, αν το πλάτοςείναι Α=0,25 m;

Δίνεται: π2 = 10 και g = 10 m/s2

Λύση:α. Στο σώμα στην τυχαία θέση δέχεται τις

δυνάμεις F από το δίσκο και το βάρος του

Β .


Για το σώμα σε τυχαία θέση ισχύει:

F D yΣ = − ⋅ ⇔ F mg D y− = − ⋅ ⇔ 2F mg mω y= − ⇔

2

2

4F mg m y

π= − ⇔

ΤF = 2 - 2 y 0,25 m y 0,25 m⋅ − ≤ ≤

β. Όσο βρίσκεται σε επαφή το σώμα με το δί-σκο, είναι: F > 0Όμως όταν τείνει να εγκαταλείψει το σώματον δίσκο, οριακά γίνεται: F = 0Επομένως: 2 2y 0 y 1 m− ≥ ⇔ ≤

Άρα: maxy = 1 m

γ. 2 2 2F 0 mg mω y 0 g 4π f y 0≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ⋅ ≥

2 2 22

gg 4π f y f

4π y≥ ⋅ ⇔ ≥

⋅Το χάσιμο επαφής γίνεται στη θέση y = A , άρα:

2max max2

gf f = 1Hz

4π A= ⇒

⋅

5. Το σώμα του σχήματος ισορροπεί με τη βοήθεια τηςδύναμης F=20 N. Tη χρονική στιγμή t=0 η δύναμη Fκαταργείται. Δίνονται:Κ=200 N/m, m=2 kg g=10 m/s2.α. Να γράψετε την χρονική εξίσωση της δυναμικής ε-

νέργειας της ταλάντωσης; Θεωρείστε ότι για t=0 εί-ναι x>0.

β. Ποιο είναι το έργο της δύναμης επαναφοράς από τηστιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή που το σώμα αποκτά μέ-γιστη ταχύτητα;

γ. Ποια είναι η σχέση της δύναμης του ελατηρίου σε συνάρτηση με τονχρόνο Fελ=f(t);

δ. Σε ποιες θέσεις το σώμα αποκτά ταχύτητα μέτρου υmax/2; Ποιες στιγμέςκατά τη κάθοδο γίνεται αυτό;

ε. Ποιος ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος;


Λύση:

α. Αρχικά για την ισορροπία, με την επίδραση της δύναμης F, στη θέση (1) ισχύει:ΣF=0 ⇔ mg - Fελ - F = 0 ⇔ Fελ = 0 ⇔ Δl=0

άρα το ελατήριο είναι στη θέση φυσικού μήκους (Θ.Φ.Μ.)Αφήνεται το σώμα να εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση γύρω από τηθέση ισορροπίας της ταλάντωσης (Θ.Ι. θέση 2) όπου:

ΣF=0 ⇔ mg - Kx1=0 ⇔ mg=Kx1 ⇔ x1=0,1 mΆρα και το πλάτος θα είναι Α=x1=0,1 m και

D=K ⇔ mω2=K ⇔ ω=10 r/sΕπειδή τη χρονική στιγμή t = 0 βρίσκεται στη θέση x= A (x>0) η αρχική φάση

είναι: 0πφ = rad2

Δηλαδή: x=0,1ημπ

10t +2

S.I.

Άρα: D=K2 21 πU = D x U =1 ημ 10t +

2 2 ⋅ → ⋅

S.I.

β. υmax=ω .Α=1 m/sΕφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για να υπολογίσουμε το έργο της ολικής δύναμης Fεπαν.

WFεπαν=ΔΚ⇔ 2 2F(επαν) max F(επαν) F(επαν)

1 1W mυ 0 W = 2 1 J W =1J

2 2= − ⇔ ⋅ ⇔


γ. ΣF = -Dx⇔ Fελ -mg = - Kx⇔ Fελ= mg -Kx ⇔ Fελ=20-20ημπ

10t +2

S.I.

δ. Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε. Τ.

ολU+Κ Ε= ⇔

2 2D K2 2 2 2max max

1 1 1υ υ1 1 1 3

D x + m = DA K x + m = KA x = ± m2 2 2 2 4 20

= → ⇔

Ισχύει: υ=υmaxσυνπ

10t +2

Αλλά: υ=-υmax/2 (προς τα κάτω η φορά είναι αρνητική)

Άρα:

π10t + (1)π 1 2συν 10t +

π2 210t + (2)

2

π = κπ+ = − ⇒ π = κπ−

22

32

23

κ=0 κ=1(1) t = s (2) t = sπ 5π60 60

→ →

Σημείωση

Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και αν λύναμε την εξίσωση: x=0,1ημπ

10t +2

για3 3

x= m, x= m20 20

−

ε. Δp Δp= D xFΔt Δt

⇔ = − ⋅∑ . Άρα:max

ΔpK A 20 N

Δt = ⋅ =

6. Κύκλωμα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις.Ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναιL=10-2H. Η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτήείναι: q=10-2 συνωt S.I.και ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής του φορτίουείναι 1C/s. Να βρεθούν:α. η περίοδος του φαινομένου η χωρητικότητα του

πυκνωτή και ο ρυθμός μεταβολής της ενέργει-ας του πηνίου τη χρονική στιγμή t=5π.10-3s.


β. Να επαληθεύσετε ποιοτικά το αποτέλεσμα του ερωτήματος (α) με τηβοήθεια του διαγράμματος της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου τουπηνίου σε σχέση με το χρόνο.

γ. Ποιος είναι ο μέγιστος ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού

πεδίου του πηνίου;Λύση:

α. max

Δq Δq= i = I

Δt Δt⇒

όμως: Ι=Q·ω 2

Ι 1ω = ω = rad/s = 100 rad/sQ 10−⇔ ⇔

Άρα: 2π 2π πω T sΤ ω 50

= ⇔ = =

2

1 1ω = C = C = 10 FLωLC

2−⇒ ⇔

L C CL L V =V V =q/CP =VB B BL L C

ΔU ΔU ΔU= P = V V

Δt Δt Δt→ ⋅ → = ⋅ →i i i

BΔU q

Δt C= ⋅i , αλλά είναι: q=10-2 συν(100.5π.10-3) = 0,άρα: BΔU

0Δt

=

β. 2 2 2 2 3 2B

1 1U L 10 1 100t = 5 10 100t S.I.

2 2− −= ⋅ = ⋅ ⋅ηµ ⋅ ⋅ηµi

Η στιγμιαία ισχύς ισούται αριθμητικά με τηνκλίση της καμπύλης στο διάγραμμα ενέργει-ας – χρόνου UB=f(t).Επειδή τη χρονική στιγμή t = 5π. 10–3 s πουαντιστοιχεί στη στιγμή Τ/4, η κλίση της κα-μπύλης είναι μηδέν συμπεραίνουμε ότι και ηισχύς είναι μηδέν.

γ. PL=VL· i =Vc·i= ( )Q Q Ι Q Ισυνω Ιημω συνω ημω ημ2ωC C 2C

t t t t t⋅ ⋅− = − −⋅ ⋅ =

Άρα: L,maxQ Ι

P2C

⋅= =

2

2

10 1J = 0,5J

2 10

−

−⋅

⋅


7.α. Να βρείτε την ενέργεια του ιδανικού πηνίουκαι του πυκνωτή στο διπλανό κύκλωμα,όταν ο διακόπτης Δ είναι κλειστός.

β. Ο διακόπτης ανοίγει τη στιγμή t=0. Ποιοςοπλισμός θα φορτιστεί πρώτα θετικά; Πόσοείναι το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή;

γ. Να γράψετε τις εξισώσεις q, i με το χρόνο t.δ. Πόσο είναι το φορτίο του πυκνωτή όταν

UE=UB; Πότε θα γίνει αυτό για 2η φορά;

Δίνονται: R=20Ω, Ε=40V, L=10-2 H, C=4 μFΛύση:α. Σχεδιάζουμε το ρεύμα στο κύκλωμα όπως φαίνεται στο σχήμα. Από το νόμο του

Ohm έχουμε: 40VEI = = = 2Α

r + R 20Ω

H ενέργεια του πηνίου είναι:

UΒ=1

2L·Ι2⇒ UΒ=

1

210-2·22 J⇒ UΒ=0,02 J

Η τάση του πυκνωτή είναι: VC=VΚΛ=VπηνΑλλά Vπην=0 γιατί το πηνίο είναι ιδανικό.

Άρα: VC=0

Επομένως ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και UE=0.

β. Όταν ανοίξει ο διακόπτης το κύκλωμα L-Cκάνει ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη στιγμή t=0o πυκνωτής δεν έχει ενέργεια, ενώ το πηνίοδιαρρέεται από ρεύμα I=2AΤα ηλεκτρόνια στο κύκλωμα τη στιγμή t=0κινούνται, όπως φαίνεται στο σχήμα. Άρα θαφορτιστεί πρώτα θετικά ο δεξιός οπλισμός τουπυκνωτή.Το μέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή είναι:

ω 1

LCII Q ω Q Q I LC

ω

== ⋅ ⇒ = → = ⇒ 8 -4Q = 2 4 10 C 4 10 C−⋅ = ⋅


γ. Επειδή τη στιγμή t=0 είναι q=0 και i=Ι, ισχύουν oι γενικές εξισώσεις:

q=Q · (συνωt+φ) και i= – Ι·ημ(ωt+φ)

και όχι αυτές με τη μορφή που ξέρουμε από τη θεωρία.Για t=0 είναι i=Ι και παίρνουμε:

Ι= – Ι·ημφ ή ημφ= – 1 ή φ= – π/2

Άρα: i= – Ι·ημ(ωt - π/2) ⇒ ι = 2 · συν(5000t) S.I.

q=Q·συν(ωt - π/2) ⇒ q=4·10-4 ημ(5000t) S.I.

δ. Από Α.Δ.Ε. έχουμε: UE+UB=Εολ

Άρα: UΕ=1

2Εολ ⇔

2q

2C=

1

2

2Q

2C ⇔ q= -4Q

= ±2 2 10 C2

± ⋅

Στην εξίσωση του φορτίου αντικαθιστούμε -4q = 2 2 10 C⋅ και παίρνουμε τη 2ηλύση.

-4 -4 22 2 10 4 10 ημ(5000t) ημ(5000t) =

2⋅ = ⋅ ⋅ ⇔ ⇒

π5000t = 2kπ +

4π

5000t = 2kπ + π -4

Για k=0 έχουμε: 1 2t s, t sπ 3π

20000 20000= =

8. Σώμα κάνει φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και η απομάκρυνση με το

χρόνο είναι: ⋅⋅ ⋅-ln8 tx = 0,4 e συν(ωt)Αν σε χρόνο t=2Τ το πλάτος ελαττώνεται κατά 50%, να βρείτε:α. την σταθερά Λ και την περίοδο Τ της φθίνουσας ταλάντωσης,β. τον χρόνο υποδιπλασιασμού του πλάτους,γ. τον χρόνο υποδιπλασιασμού της ενέργειας.

Λύση:α. Από τη θεωρία τo πλάτος σε συνάρτηση με το χρόνο, δίνεται από την εξίσωση:

Α = A0e-Λt (1)Συγκρίνοντας τη σχέση αυτή με αυτή που δίνει η άσκηση είναι:A0=0,4 m και Λ= ln8 s-1 Λ= 3. ln2 s-1

Αντικαθιστώντας t=2T έχουμε:


3

- n8 2T - n8 2T 10,2 = 0,4 e e - n8 2T = - n2

21

n2 2T = n2 n2 2T = n2 T = s6

3

⋅ ⋅⋅ ⇔ = ⇒ ⋅ ⇒

⋅ ⇒ ⋅ ⇒

l l l l

l l l l

β. Ο χρόνος υποδιπλασιασμού του πλάτους βάσει της εκφώνησης είναι:Τ1/2=2Τ=1/3 s

γ. Η ολική ενέργεια του ταλαντωτή δίνεται από την εξίσωση:2Λt

n 0E = E e (1)−⋅

όπου: 20 0

1E = D A

2⋅ και t=n.T

Για n 0= / 2Ε Ε από τη σχέση (1) προκύπτει:

1 1-2Λt -2Λt00

1= E e = e

2 2

Ε⇒ ⇒ 1 1

n2n2 2Λt t =

2Λ=− − ⇒ l

l =1/6 s

9. Δίνεται για το κύκλωμα C=20 mF, = 1L H

9,

R1=25 Ω, R2=100 Ω. Αρχικά ο πυκνωτήςβρίσκεται σε τάση 20V. Κλείνουμε το δια-κόπτη και αρχίζει φθίνουσα ηλεκτρική τα-λάντωση. Κάποια στιγμή που το φορτίο τουπυκνωτή γίνεται μηδέν για 1η φορά, η έντα-ση του ηλεκτρικού ρεύματος γίνεται 6Α. Ναβρεθεί η θερμότητα που εκλύθηκε σε κάθεαντίσταση μέχρι τότε.

Λύση:

Η αρχική ενέργεια του πυκνωτή είναι: 2E,max

1U = CV

2

Με αντικατάσταση έχουμε: -3 2E,max E,max

1U = 20 10 20 J U = 4J

2⋅ ⋅ ⇒

Όταν είναι: q=0, τότε Ι=6Α

Άρα: 2 2B,max B,max B,max

1 1 1U = Li U = 6 J U = 2J

2 2 9⇒ ⇒


Η απώλεια ενέργειας είναι η θερμότητα που εκλύθηκε στις αντιστάσεις.

Άρα: UE,max - UB,max=QR,ολ ή QR,ολ = 2 J

Επειδή οι αντιστάσεις διαρρέονται από κοινό ρεύμα, ο λόγος των θερμοτήτων ισού-ται με το λόγο των αντιστάσεων.

21 1 1

22 22

Q ΣΙ R ΔΤ RQ RΣΙ R ΔΤ

⋅ ⋅= = ⇒

⋅ ⋅ Δηλαδή: 1 1 1 1

2 2 2 2

1 2

Q R Q Q25 1= = =

Q R Q 100 Q 4

Aλλα : Q + Q = 2J

⇔ ⇔

Οπότε παίρνουμε: Q1=0,4 J και Q2=1,6 J

10. Σώμα μάζας m=4 kg εκτελεί εξαναγκασμένηταλάντωση πλάτους Α=0,4 m, στερεωμένοστο άκρο ελατηρίου σταθεράς K = 400 N/m ,υπό την επίδραση εξωτερικής περιοδικής

δύναμης με συχνότητα Δ3

f = Hzπ . Το σώμα

για t = 0 βρισκόταν στην θέση ισορροπίαςτου, ξεκινώντας κατά τη θετική φορά.α. Να γραφεί η εξίσωση της ταλάντωσης

που πραγματοποιεί το σύστημα και ναυπολογιστεί η ολική της ενέργεια.

β. Αυξάνουμε τη συχνότητα του διεγέρτη

σε ΄ 4f = Hz

πΔ . Τι θα συμβεί με το πλάτος της ταλάντωσης και γιατί;

γ. Πόση θα έπρεπε να ήταν η μάζα m1 του σώματος στο αρχικό πείραμα,για να παρουσίαζε το σύστημα μέγιστη ικανότητα απορρόφησης ε-νέργειας από το διεγέρτη;

Θεωρείστε ότι η σταθερά απόσβεσης b του συστήματος είναι πολύ μικρή.Λύση:α. Το σύστημα έχει συχνότητα ταλάντωσης την fΔ, άρα:

2 f 6 rad / s∆ω = π ⋅ = , Α=0,4 m και φ0=0.

Άρα: x 0,2 (6t) S.I.= ⋅ηµ

και2 2 2DA m

E 11,52 J2 2ΟΛ

ω Α= = =


β. H ιδιοσυχνότητα είναι: 01 10

f Hz2 m

Κ= =

π π

Έτσι, επειδή η f ΄∆ είναι πιο κοντά στην 0f απ’

ότι η ( )΄0f f f f∆ ∆ ∆< < , το νέο πλάτος Α΄ θα εί-

ναι μεγαλύτερο του Α.

γ. Θα πρέπει να έχουμε συντονισμό, δηλαδή:

01

1f f f

2 m∆ ∆Κ= ⇒ = ⇒

π 1m 4Kg=

ΣημειώσειςΠροσέξτε ότι εδώ είναι 2D m= ω και όχι D = K, όπως θα συνέβαινε στην ελεύ-θερη ταλάντωση.Επειδή το b είναι πολύ μικρό, θεωρήσαμε ότι έχουμε συντινισμό ακριβώς όταν

0f f∆ = .

11. Υλικό σημείο εκτελεί δυο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότη-τας, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας με εξισώσεις:

x1= ⋅ −

π3 ημ 10t

3 και x2=1.ημ +

π10t

6 x1, x2 σε cm και t σε s.

α. Να βρείτε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης.β. Να βρείτε την ενέργεια του υλικού σημείου που εκτελεί τη συνισταμέ-

νη ταλάντωση αν m=1 kg.γ. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν x=1 cm.

Λύση:α. Η διαφορά φάσης μεταξύ των δύο ταλαντώσεων είναι: Δφ=φ2 − φ1=+π/2 rad

Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης είναι:

x=Α΄.ημπ

10t +θ3

− Το πλάτος Α΄ και η θ της συνισταμένης ταλάντωσης υπολογίζονται από τις σχέ-σεις:

( )2 2 πA΄ 3 +1 + 2 3 1 συν cm 2 cm

2 = ⋅ ⋅ ⋅ =


και

π1 ημ

1 π2εφθ = = θ = radπ 633 +1 συν2

⋅ ⇒ ⋅

Τελικά: x=2.ημπ π

10t - +3 6

(x σε cm, t σε s)

β. Η ενέργεια του υλικού σημείου είναι: 2 2 2ολ

1 1E = D Α΄ = mω Α΄

2 2⋅ ⋅

Με αντικατάσταση παίρνουμε:

( )22 2 -2ολ ολ

1E = 1 10 2 10 J E = 2 10 J

2−⋅ ⋅ ⋅ ⇔ ⋅

γ. Εφαρμόζουμε: Α.Δ.Ε. Τ.

ολU+Κ Ε= ⇔

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1D x + mυ = DA΄ D x + mυ = DA΄

2 2 2

ω x + υ = ω A υ = 3 m/s

⇔ ⇔

⇔

12. Η κίνηση ενός σωματιδίου περιγράφεται από την εξίσωση:

( ) ( )⋅ ⋅y = 8 συν 2t ημ 202t ( )σε cm, t σε sy

α. Αναγνωρείστε το είδος της κίνησης και αναφέρετε τις προϋποθέσειςπου πρέπει να ισχύουν για τις δύο συνιστώσες κινήσεις.

β. Γράψτε τις εξισώσεις των δύο κινήσεων που είναι οι συνιστώσες τηςκίνησης που δίνεται.

γ. Πόσες φορές σε χρόνο t =2πs μεγιστοποιείται το πλάτος της συνιστα-μένης κίνησης;

Λύση

α. Είναι διακρότημα. Θα πρέπει οι δύο ταλαντώσεις να έχουν:• ίδια διεύθυνση,• ίδιο πλάτος,• να εξελίσσονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και• οι συχνότητές τους να διαφέρουν πολύ λίγο.


β. Από τη θεωρία είναι: 1 2 1 2ω -ω ω + ωy = 2A συν t ημ t

2 2 ⋅ ⋅

Άρα: 2A = 8cm A = 4cm⇒

1 2

1

1 2 2

ω ω= 2rad/s ω = 204 rad/s2

ω + ω ω = 200 rad/s= 202rad/s

2

− ⇒

και ( )1y 4 ημ 204t= ⋅ , ( )2y = 4 ημ 200t⋅ ( )1 2y , y σε cm, t σε s

γ. Η συχνότητα του διακροτήματος είναι: δ 1 22

f = f f = Hzπ

−

Άρα σε t = 2πs το πλάτος μεγιστοποιείται:

δ

t 2πΝ Ν Ν 4Τ π / 2

= ⇒ = ⇒ = φορές.


1. To διάγραμμα υ=f(t) για ένα σώμα μάζας m=2 Kg που κάνει γ.α.τ. φαίνεταιστο σχήμα.

α. Να βρείτε: τη σταθερά D, να γράψετε τις εξισώσεις y=f(t) και α=f(t).β. Ποια στιγμή είναι U=K για 3η φορά;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


2. Μικρό σώμα μάζας 1m 1kg= εκτελεί γ.α.τ. σε λείο οριζόντιο επίπεδο, στε-ρεωμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=100 N/m, έχοντας μέ-γιστη ταχύτητα 2 m/s. Τη στιγμή ακριβώς που το σώμα 1m βρίσκεται σε

ακραία θέση, προσκολλάται πάνω του δεύτερο σώμα 2m 2kg= .α. Πόσο είναι το πλάτος της νέας ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα mολ;

β. Ποιος είναι ο λόγος 2

1

TT

των περιόδων των δύο ταλαντώσεων;

γ. Ποιά η επί τοις εκατό μείωση της ολικής ενέργειας της ταλάντωσης;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

3. Το σώμα μάζας m=1Kg ισορροπεί όπως φαίνεται στοσχήμα και τα κατακόρυφα ελατήρια με σταθερέςK1=120N/m, K2=80 N/m θεωρούνται ιδανικά. Όταν τοσώμα ισορροπεί το πρώτο ελατήριο είναι επιμηκυμένοκαι το δεύτερο συσπειρωμένο

α. Να δείξετε ότι αν η μάζα απομακρυνθεί κατά 0,2 mπάνω από τη Θ.I. της κατά τη διεύθυνση του κατακό-ρυφου άξονα και αφεθεί ελεύθερη, θα εκτελέσει γ.α.τ.και να υπολογίσετε την περίοδό της.

β. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια του κάθεελατηρίου.

γ. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής τουσώματος στις ακραίες θέσεις.


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

4. Ένας δίσκος μάζας m1=2Kg συνδέεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελα-τηρίου Κ= 400 Ν/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι στερεωμένο σε ορο-φή. Ένα σώμα μάζας m2=m1 τοποθετείται πάνω στο δίσκο και τη στιγμήt0=0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Τη στιγμή t0=0 θεωρούμετην απομάκρυνση θετική. Δίνεται g=10m/s2.α. Να βρεθούν το πλάτος και η περίοδος της κίνησης.β. Να γράψετε τη σχέση x=f(t).γ. Να βρείτε την μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


5. Ένα σώμα μάζας m=10 Kg συνδέεται στοάκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ.Το σύστημα κάνει γ.α.τ. πλάτους 0,2 m καιστο σχήμα φαίνεται το διάγραμμα φάσης- χρόνου.α. Να υπολογίσετε τη σταθερά Κ του ελα-

τηρίου.β. Να γράψετε τις εξισώσεις y= f(t) και

υ= f(t).γ. Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα του

σώματος.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. Σε ιδανικό κύκλωμα L - C, το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα δίνεται

από τη σχέση: 3i 2 10 ημ1000t−= ⋅ S.I.

ενώ το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L=0,25 H.Να βρείτε:α. την εξίσωση του φορτίου στους οπλισμούς του πυκνωτή σε σχέση με

το χρόνο.β. την τιμή της χωρητικότητας του πυκνωτή.

γ. το φορτίο στους οπλισμούς του πυκνωτή τη στιγμή που -3i 10 A= .δ. τη χρονική στιγμή που γίνεται UE=UB για 2η φορα.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

7. Στο κύκλωμα του σχήματοςδίνονται:Ε=50 V, r=5 Ω, R=10 Ω, C=20μF και L=2 mΗ.Αρχικά κλείνουμε τον διακόπ-τη Δ1 και αφήνουμε ανοικτότον Δ2. Στη συνέχεια, κλέινου-με ακαρι-αία τον Δ2 και ανοί-γουμε τον Δ1, τη χρονική στιγ-μή t=0.

α. Να εξηγήσετε γιατί το κύ-κλωμα LC θα εκτε-λέσει η-λεκτρική ταλάντωση.

β. Να γράψετε τις εξισώσεις σεσχέση με το χρόνο για τηνένταση του ρεύματος και το φορτίο του πυκνωτή.

γ. Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος όταν το φορτίο του πυκνωτήείναι το 1/2 της μέγιστης τιμής του.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Για το κύκλωμα του σχήματος δίνονται:R=4 Ω, L=1mH

α. Ο διακόπτης δ είναι στη θέση 1 και ορυθμός που ακτινοβολεί ενέργεια τοπηνίο είναι 32 J/s, όταν διαρρέεται απόρεύμα έντασης 4 Α. Να βρείτε την ενέρ-γεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου.

β. Ο διακόπτης πάει στη θέση 2, τη στιγ-μή t=0. Τι φαινόμενο θα λάβει χώρα;Τι θα γίνει η αρχική ενέργεια του πηνίου τελικά;

γ. Να βρείτε το λόγο των θερμοτήτων που ελευθερώνονται στις αντιστά-σεις στη διάρκεια του φαινομένου.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

9. Το σώμα του σχήματος κάνει φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και η απομά-

κρυνση με το χρόνο είναι: -ln8 ty 0,2 e συν(ωt)⋅= ⋅ ⋅


α. Αν σε χρόνο t=4Τ το πλάτος ελαττώνεταικατά 50%, να βρείτε, την σταθερά Λ καιτην περίοδο Τ της φθίνουσας ταλάντω-σης.

β. Αν στο σύστημα αρχίσει να επενεργεί ε-ξωτερική περιοδική δύναμη με συχνό-

τητα Δ5

f Hzπ

= , το πλάτος της ταλάντω-

σης είναι 0,4 m. Το σώμα για t = 0 βρι-σκόταν στην Θ.Ι. του, ξεκινώντας μευ>0. Δίνονται m=2 kg και K=200 N/m.ι. Να γραφεί η εξίσωση της ταλάντωσης

που πραγματοποιεί το σύστημα και να υπολογιστεί η ολική της ενέρ-γεια.

ιι. Μεταβάλλουμε τη συχνότητα του διεγέρτη. Τι θα συμβεί με το πλά-τος της ταλάντωσης και γιατί;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

10. Υλικό σημείο μάζας m=1 kg εκτελεί δύο απλές αρμονικές ταλαντώσειςίδιας συχνότητας, ίδιας διεύθυνσης, γύρω από την ίδια θέση ισορρο-πίας με εξισώσεις:

x1= ( )2 3 ημ 10t⋅ και x2=2·ημ π10t

2 +

x1, x2 σε cm και t σε s.

α. Να παρασταθούν γραφικά σε κοινό σύστημα αξόνων x - t οι δύο τα-λαντώσεις και να βρείτε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης.


β. Να βρείτε την ενέργεια του υλικού σημείου που εκτελεί τη συνιστα-μένη ταλάντωση.

γ. Να βρείτε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν x=2 cm.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

11. Υλικό σημείο κάνει μία κίνηση που προκύπτει από την την σύνθεση δύοαπλών αρμονικών ταλαντώσεων, που έχουν ίδια διεύθυνση, ίδιο πλά-τος Α=4 cm και συχνότητες f1=200 Hz και f2=202 Hz.α. Να βρείτε την περίοδο του διακροτήματος.β. Ποιο είναι το μέγιστο πλάτος και η συχνότητα της συνισταμένης τα-

λάντωσης;γ. Πόσα μέγιστα πραγματοποιούνται σε 4,1 s;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Θέμα 1ο

Α. To διάγραμμα α=f(t) για ένα σώμα πουκάνει γ.α.τ. φαίνεται στο σχήμα.Να βρείτε ποιες από τις επόμενες προτά-σεις είναι σωστές και ποιες λάθος.

1. Tις στιγμές 0, 2s, 4s το σώμα διέρχεταιαπό τις ακραίες θέσεις της κίνησής του.

2. Tις στιγμές 0, 2s, 4s το σώμα διέρχεταιαπό τη Θ.Ι. του.

3. Tις στιγμές 1s και 3s το μέτρο της ταχύτητας είναι μέγιστο.4. Tη στιγμή 2,5s το σώμα κινείται προς ακραία θέση.5. Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι: x=Α·ημωt (Μονάδες 10)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................Β. Ένα σώμα κάνει γ.α.τ. με περίοδο Τ και πλάτος Α. Με κατάλληλη διάταξη

προσφέρουμε ενέργεια στο σύστημα μέχρις ότου η ενέργεια του ταλαντωτή νατετραπλασιαστεί. Ποια από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστή;1. Το πλάτος τετραπλασιάζεται.2. Το πλάτος διπλασιάζεται.3. Η περίοδος της ταλάντωσης διπλασιάζεται.4. Η περίοδος της ταλάντωσης τετραπλασιάζεται. (Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................Γ. Ο πυκνωτής, στη διάρκεια ηλεκτρικής ταλάντωσης κυκλώματος L-C, εκφορτίζεται:

1. τέσσερεις φορές,2. τρεις φορές,3. δύο φορές,4. μία φορά. (Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Δ. Η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται:1. μόνο από τη φύση του μέσου,2. μόνο από τη γεωμετρία του συστήματος,3. από όλα τα παραπάνω,4. έχει την ίδια τιμή για όλα τα συστήματα. (ÌïíÜäåò 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Θέμα 2ο

Α. Σε γ.α.τ. να δείξετε ότι: ΣF= - D.x (Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................Β. Δύο κυκλώματα L - C και 2L - 2C κάνουν ηλεκτρική ταλάντωση και τα πηνία

διαρρέονται από ίδιο μέγιστο ρεύμα Ι. Να συγκρίνετε: Eολ, T, Q.(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................Γ. Για εξαναγκασμένη ταλάντωση να κάνετε τα διαγράμματα πλάτους Α σε συ-

νάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη fΔ, για διάφορες τιμές της σταθερήςαπόσβεσης b.

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Δ. Σε φθίνουσα ταλάντωση να δείξετε ότι: n ΛΤ

n+1

A= e

A (ÌïíÜäåò 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Θέμα 3ο

Ένα μικρό σώμα m=0,1 kg κάνει ευθύγραμμη κίνηση και η εξίσωση κίνησής τουείναι: x=0,05·ημ(10t + π) S.I.

α. Να γράψετε τις εξισώσεις α=f(t) και υ=f(t) και να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο γιανα γίνει μέγιστη η ταχύτητα του σώματος. (Μονάδες 7)

β. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του σώματος τη στιγμή 3πs

20. (Μονάδες 8)

γ. Κάποια στιγμή που το σώμα βρίσκεται σε ακραία θέση, επενεργεί σ’ αυτό δύνα-μη απόσβεσης F=-0,2 υ S.I. Να βρείτε τον χρόνο για να γίνει το πλάτος Α0/4.

(Μονάδες 10)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Θέμα 4ο

Σε ιδανικό κύκλωμα L=4mH, C=10 μF ο πυκνωτής έχει τάση Vmax=10 V, μετά απόχρόνο Δt=π·10-4 s από τη στιγμή t=0 που κλείνει ο διακόπτης.


α. Να γράψετε τις εξισώσεις των μεγεθών q και ι, σε συνάρτηση με το χρόνο και νακάνετε τα αντίστοιχα διαγράμματα.

(Μονάδες 8)

β. Να βρείτε το φορτίο του πυκνωτή όταν UB=3UE.(Μονάδες 7)

γ. Ποια χρονική στιγμή γίνεται UB=3UE, για 1η φορά;(Μονάδες 5)

δ. To ρυθμό μεταβολής CΔV Δt τη στιγμή π.10-4 s.(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Ο μαθητής που έχει μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει να γνω-ρίζει:

� από τη θεωρία του αρμονικού κύματος:Την απόδειξη της εξίσωσης του αρμονικού κύματος.Τις πληροφορίες που δίνει η εξίσωση του αρμονικού κύματος, ορισμένη τιμήτου x (συγκεκριμένο σημείο του μέσου) και για ορισμένη τιμή του χρόνου t.Να απαντά σε ερωτήματα που αφορούν την γ.α.τ. ενός σημείου του μέσου καινα κάνει διαγράμματα απομάκρυνσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης με το χρόνο.Να σχεδιάζει στιγμιότυπο του κύματος για ορισμένη χρονική στιγμή.

� από τη θεωρία στη συμβολή κυμάτων:Την απόδειξη της σύνθετης κίνησης που κάνει σημείο του μέσου ότανσυμβάλλουν δύο αρμονικά κύματα.Τη συνθήκη ώστε σε ένα σημείο του μέσου να έχουμε απόσβεση και τη συνθήκηώστε σε ένα σημείο του μέσου να έχουμε ενίσχυση.

� από τη θεωρία των στασίμων κυμάτων:Πως δημιουργείται ένα στάσιμο κύμα, την απόδειξη της εξίσωσης του στάσιμουκύματος και τις πληροφορίες που αυτή δίνει.Τη συνθήκη που δίνει τις θέσεις των δεσμών και τη συνθήκη που δίνει τιςθέσεις των κοιλιών.Ότι η απόσταση δεσμού - κοιλίας (διαδοχικών) είναι λ/4.Για τη διαφορά φάσης των σημείων του μέσου.Να σχεδιάζει στιγμιότυπα του στάσιμου κύματος για ορισμένες χρονικέςστιγμές.

� από τη θεωρία των Η/Μ κυμάτων:Πως δημιουργείται ένα Η/Μ κύμα και τα χαρακτηριστικά ενός Η/Μ κύματοςπου παράγεται από παλλόμενο ηλεκτρικό δίπολο. Τις εξισώσεις πουπεριγράφουν τις εντάσεις του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου.Τις κατηγορίες των Η/Μ ακτινοβολιών ανάλογα με τα μήκη κύματος, στοφάσμα της Η/Μ ακτινοβολίας.Τι είναι κατοπτρική ανάκλαση, τι διάχυση και το νόμο της ανάκλασης.Τι είναι διάθλαση και τον ορισμό του δείκτη διάθλαση.Τον νόμο του Snell και να τον εφαρμόζει κατά την πορεία μιας ακτίνας κατάτη διάδοσή της σε διάφορα μέσα.Ποιο φαινόμενο λέγεται ολική ανάκλαση, υπό ποιες προϋποθέσεις δημιουργεί-ται και την απόδειξη της σχέσης που δίνει την θcrit.

4 7 . Τύποι - Βασικές έννοιες Κύματα

KYMATA: Τύποι - Βασικές έννοιες

1. Θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής: υ=λ . f

2. Εξίσωση αρμονικού κύματος: y=A.ημ + ± 0

t x2π φ

Τ λ3. Συμβολή κυμάτων από δύο σύγχρονες πηγές (y=A.ημωt):

y=2A.συν −

1 2r rπλ

.ημ2π + − 1 2rt

T 2λr

Πλάτος: Α΄= − ⋅ 1 2r r

2Α συν πλ

Ενίσχυση: r1-r2=N.λΑπόσβεση: r1-r2=(2.N+1).λ/2 όπου N=0, ± 1, ± 2,...

4. Στάσιμα κύματα

Εξίσωση στάσιμου κύματος: y= ⋅ x

2Α συν 2πλ

.ημ

t2π

T

Πλάτος: Α΄= ⋅ x

2Α συν 2πλ

Κοιλίες: x=N.λ/2Δεσμοί: x=(2N+1).λ/4 όπου N=0, ± 1, ± 2,...

5. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Ι. Eξισώσεις Η/Μ κύματος:

⋅ − maxt x

E = E ημ2πT λ

, ⋅ − maxt xΒ = Β ημ2πT λ

, Εc = Β

ΙΙ. Ανάκλαση: θπ=θα

ΙΙΙ. Δείκτης διάθλασης: cn =

υ0λ

n =λ

⇔

IV. Νόμος του Snell: ⋅ ⋅ ⇔ bα b b

b α

αα

nμθ nn nμθ = ημθ =

ημθ nn

V. Κρίσιμη γωνία: ( )<bb α

αcrit

nnμθ = n n

n

4 8 . Κύματα Βήμα 1ο

ΘΕΩΡΙΑ 1 Να αποδείξετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος.ΑπόδειξηΣε ελαστικό μέσο (π.χ. σε μία χορδή) διαδίδεται αρμονικό κύμα και θεωρούμε ένανάξονα x΄Οx στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Το σημείο Ο, αρχή του άξονα,κάνει γ.α.τ. με εξίσωση: y =A·ημ ωt (1)

Ένα τυχαίο σημείο Κ που βρίσκεται στη θέση x δεξιά του Ο θα αρχίσει να ταλαντώ-

νεται μετά από χρόνο t1= xυ από τη στιγμή t=0. Η εξίσωση της απομάκρυνσης

του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας του είναι:y =A·ημ ωt΄ (2)

Όπου: t΄ = t-t1=t- xυ (γιατί το Κ θα ξεκινήσει την κίνησή του μετά από χρόνο x

υ ).

Άρα η εξίσωση (2) για το σημείο Μ γράφεται:

y =A.ημ ( )xω t υ −

⇔ y =A.ημ ( )2π xt υΤ −

⇔

y =A.ημt x

2πΤ υ Τ

− ⋅ ⇔ y=A.ημ t x

2π -Τ λ

(3)

ΣημείωσηΑν το αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά την αρνητική φορά του άξονα x΄Οx. Τότε η

εξίσωση του αρμονικού κύματος γράφεται: y=A.ημ + t x

2πΤ λ

ΘΕΩΡΙΑ 2 Να αποδείξετε την εξίσωση της σύνθετης κίνησης που κάνεισημείο του μέσου, όταν συμβάλλουν δύο αρμονικά κύματα πουπαράγονται από σύγχρονες πηγές.

ΑπόδειξηΘεωρούμε τις δύο πηγές των αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2, όπως στο σχήμα, που

4 9 .Βήμα 1ο Κύματα

ταλαντώνονται βάσει της εξίσωσης:

y1=A.ημωt

Τα δύο κύματα που παράγονται έχουν την ίδιαταχύτητα διάδοσης υ και έχουν το ίδιο μήκοςκύματος λ. Ένα υλικό σημείο Κ της επιφάνειαςτου υγρού, στο οποίο συμβάλλουν (συναντώνται)τα δύο αρμονικά κύματα, εκτελεί συνισταμένηταλάντωση. Η απομάκρυνση y του σημείου Καπό τη Θ.Ι. του θα είναι κάθε στιγμή, η συνι-σταμένη των δύο επιμέρους απομακρύνσεων y1 και y2, λόγω της αρχής της επαλλη-λίας. Δηλαδή:

y=y1+y2 (1)

Όπου: y1=A.ημ 1rt2π

Τ λ −

και y2=A.ημ 2rt2π

Τ λ −

Τότε η σχέση (1) γράφεται:

y=A.ημ 1rt2π

Τ λ −

+A.ημ 2rt2π

Τ λ −

(*)

Από την τελευταία παίρνουμε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης:

y=2A.συν 1 2r - rπλ

.ημ2π 1 2r - rt-

T 2λ

(2)

όπου: Α΄=2A. 1 2r - rσυν πλ

είναι το πλάτος, το οποίο είναι σταθερό για ένα

συγκεκριμένο σημείο.Τα σημεία του μέσου κάνουν γ.α.τ. με ίδια συχνότητα, αλλά δεν έχουν το ίδιοπλάτος Α΄.

(*) Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι:α β α + βημα + ημβ = 2συν ημ

2 2

−⋅

ΘΕΩΡΙΑ 3 Να βρείτε τη συνθήκη ώστε σ’ ένα σημείο του μέσου να έχου-με απόσβεση και τη συνθήκη ώστε σ’ ένα σημείο του μέσου ναέχουμε ενίσχυση των κυμάτων.

Απόδειξη

α. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν 1 2r rπλ−

=0


ηρεμούν (Α΄=0) και τότε λέμε ότι στα σημεία αυτά έχουμε απόσβεση.

Είναι: ( )1 2r ππ = 2k +1λ 2r− ⋅ ⇔ 1 2r - r = ( ) λ

2k +12

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

β. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν 1 2r rπλ−

= 1±

ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α΄=2Α και τότε λέμε ότι στα σημεία αυτάέχουμε ενίσχυση.

Είναι: 1 2rπ = k πλr− ⋅ ⇔ 1 2r - r =k.λ όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

ΘΕΩΡΙΑ 4 Να αποδείξετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.ΑπόδειξηΣε μία χορδή διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα. Τα δύο αυτά κύματα έχουν: ίδιο πλάτοςΑ, ίδια συχνότητα f, ίδια ταχύτητα διάδοσης υ και αντίθετες φορές διάδοσης.

Θεωρούμε άξονα x΄Οx . Έστω ένα σημείο Β, που είναι στη θέση με τετμημένη (x).Το κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, εξαναγκάζει σε ταλάντωση το σημείο Β με ηεξίσωση κίνησης, λόγω του κύματος αυτού, που είναι:

y1=A.ημ t x2π

Τ λ −

(1)

Λόγω του κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά,το σημείο Β αρχίζει ναταλαντώνεται με εξίσωση κίνηση, που είναι:

y2=A.ημ t x2π +

Τ λ

(2)

Η απομάκρυνση y του σημείου Β από τη Θ.Ι. του θα είναι κάθε στιγμή, η συνιστα-μένη των δύο απομακρύνσεων y1 και y2.

Δηλαδή: y=y1+y2 ⇔ y=A.ημ t x2π

Τ λ −

+A.ημ t x2π +

Τ λ

(3)

Η τελευταία με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας(*) γράφεται:


y=2A.συν x2π

λ

.ημ t2π

T

(4)

Το πλάτος της κίνησης είναι: Α΄=2A. xσυν 2πλ

(5)

που είναι σταθερό για ένα συγκεκριμένο σημείο.

Τα σημεία του μέσου κάνουν γ.α.τ. με ίδια συχνότητα, αλλά δεν έχουν το ίδιο πλάτοςΑ΄ το οποίο εξαρτάται από τη θέση του σημείου αυτού.

(*) Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι:α β α + βημα + ημβ = 2συν ημ

2 2

−⋅

ΘΕΩΡΙΑ 5 Να βρείτε τη σχέση που δίνει τις θέσεις των δεσμών και τησχέση που δίνει τις θέσεις των κοιλιών.

Απόδειξη

α. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν 2πxλ

=0

ηρεμούν (Α΄=0) και τα σημεία αυτά τα ονομάζουμε δεσμούς.

Είναι: ( )2πx π= 2k +1

λ 2⋅ ⇔ ( ) λ

x = 2k +14

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

β. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν 1 2r rπλ−

= 1±

ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α΄=2Α και τα σημεία αυτά τα ονομάζουμεκοιλίες.

Είναι: 2πx= k π

λ⋅ ⇔ λ

x = k2

όπου: k=0, ± 1, ± 2,...

Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν με την προϋπόθεση ότι στη θέση x=0 είναι κοιλία

ΘΕΩΡΙΑ 6 Να βρείτε τη σχέση που δίνει την κρίσιμη γωνία για να γίνει τοφαινόμενο της ολικής ανάκλασης.

ΑπόδειξηΈστω μια φωτεινή πηγή Π σε υλικό μέσο 1. Ακτίνες φωτός μεταβαίνουν από τομέσο 1 στο αραιότερο μέσο 2 (δες σχήμα). Ο νόμος του Snell είναι:


π2

1 π 2 δ δ1

nn ημθ = n ημθ ημθ = ημθ

n⇔

Τότε:

• Αν θπ=0ο δηλαδή η ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια τωνδύο μέσων, τότε αυτή δεν διαθλάται, γιατί από το νόμο του Snell έχουμε:

θδ=0ο

• Επειδή n2<n1 από το νόμο του Snell θα έχουμε:

θπ<θδ

• Αν θδ=90ο από το νόμο του Snell έχουμε:

π2

1

nημθ =n

• Αυτή η γωνία πρόσπτωσης (θπ) λέγεται κρίσιμη ή οριακή γωνία και συμβολίζεται

με θcrit ή θορ. Άρα: 2ορ

1

nημθ =n

• Αν θπ>θορ τότε η ακτίνα δεν διαθλάται και έχουμε μόνο φαινόμενο ανάκλασηςπου λέγεται ολική ανάκλαση.


Α. Από το σχολικό βιβλίοΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

Ερωτήσεις: 2.2, 2.4, 2.5, 2.8, 2.11, 2.22, 2.25, 2.28Ασκήσεις - Προβλήματα:

2.30, 2.32, 2.35, 2.39, 2.45, 2.48, 2.49, 2.50, 2.52

Β. Από τα Βιβλιομαθήματα:ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ


Βιβλιομάθημα 5 Αρμονικά κύματαΛυμένα παραδείγματα: 2.4, 2.6Ερωτήσεις: 1, 2, 5, 7Προτεινόμενα θέματα: 2.1, 2.4, 2.5Ξεχωριστό 1: σελ. 89

Βιβλιομάθημα 6 Συμβολή κυμάτων Στάσιμα

Λυμένα παραδείγματα: 2.8, 2.9, 2.12Ερωτήσεις: 4, 5, 7, 8Προτεινόμενα θέματα: 2.9, 2.13, 2.14Ξεχωριστό: σελ. 106

Βιβλιομάθημα 7Ηλεκτρομαγνητικά κύματα - Ανάκλαση -Διάθλαση

Λυμένα παράδειγματα: 2.16, 2.19, 2.20Ερωτήσεις: 2, 5, 6Προτεινόμενα θέματα: 2.15, 2.17, 2.19



(ταλαντώσεις - κύματα)εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

5. Αρμονικό κύμαΕρωτήσεις: 5.7, 5.8, 5.9, 5.30, 5.33

Λυμένα παράδειγματα: 1, 2, 4, 5, 9, 11Ασκήσεις για λύση: 5.37, 5.40, 5.41, 5.43, 5.47

6. Επαλληλία κυμάτων - ΣτασιμαΕρωτήσεις: 6.5, 6.11, 6.12, 6.13, 6.16, 6.27


7. Ηλεκτρομαγνητικά κύματαΑνάκλαση - Διάθλαση

Ερωτήσεις: 7.1, 7.2, 7.5, 7.12, 7.24



1. Η εικόνα παριστάνει τοστιγμιότυπο κύματος τη χρο-νική στιγμή t0. Το κύμα δη-μιουργείται από πηγή πουαρχίζει να ταλαντώνεται τηστιγμή t 0= χωρίς αρχικήφάση και διαδίδεται με ταχύ-τητα υ 2m / s= . Ζητούνται:α. Η χρονική στιγμή t0.β. Η εξίσωση του κύματος.γ. Το διάγραμμα φ-x για τη χρονική στιγμή t0.δ. Η χρονική στιγμή που ένα σημείο Κ, που βρίσκεται στη θέση x 3,3m=

θα απέχει για πρώτη φορά 0,1m από τη θέση ισορροπίας.ε. Να γίνουν τα διαγράμματα φ-t και y-t για το ένα σημείο Ρ στη θέση x 2,4m= .

στ. Να βρεθεί η εξίσωση ενός άλλου κύματος, διπλάσιου πλάτους και τε-τραπλάσιας συχνότητας που διαδίδεται αντίθετα στο ίδιο μέσο, με αρ-χική φάση π/2.

Λύση:

α. 0x 2,7

t 1,35sυ 2

= = =

β. 9 λ 2,7 λ 1,2m4

= ⇒ = άρα 9

T 1,35 T 0,6s4

= ⇒ =

Η εξίσωση του κύματος είναι: t xy = 0,2ημ2π -

0,6 1,2

S.I. (1)

γ. 1,35 x π xφ 2π φ = 4,5π -0,6 1,2 0,6

= − ⇒

, όπου 0 x 2,7m≤ ≤

Το ζητούμενο διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα της επόμενης σελίδας.


δ. Από την εξίσωση (1) έχουμε:

t 3,30,1 0,2 ημ2π

0,6 1,2

= ⋅ − ⇒

t 33 π2π t = 1,7s

0,6 12 6

− = ⇒

ε. t 2,4 t xφ 2π φ = 2π - 2 οπου t 1,2s0,6 1,2 0,6 υ

= − ⇒ ≥ =

Άρα: p

t 2,4y 0,2 ημ2π

0,6 1,2

= ⋅ − ⇔

p

ty = 0,2ημ2π - 2

0,6

στ. Θα είναι με βάση την (1):

t x πy 0,4 ημ 2π S.I.

0,15 0,3 2

= ⋅ + +

υ λf λλ΄ 0,3mυ λ΄f΄ 4

= ⇒ = ==

1 1 T 0,6sT΄ T΄ T΄ T΄ T΄ = 0,15sec

f΄ 4f 4 4= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

2. Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου τοοποίο έχει την διεύθυνση του άξονα xx΄. Πηγή του κύματος είναι το ση-μείο (Ο) που είναι και η αρχή του άξονα xx΄. H εξίσωση του κύματοςείναι:

t xy 10 ημ2π x,y σε cm, t σε s

T 20 = ⋅ −

α. Τη χρονική στιγμή t1 η φάση ενός σημείου Α του ελαστικού μέσου με


Ax 10cm= είναι ίση με π rad. Να υπολογισθεί αυτή τη στιγμή η απομά-

κρυνση ενός άλλου σημείου B του ελαστικού μέσου με Bx 12,5cm=β. Αν ο χρόνος που απαιτείται για την διάδοση του κύματος από το σημείο

(Α) έως το σημείο (Β) είναι Δt 0,25s= να βρεθεί η περίοδος του κύματος.γ. Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή που το

κύμα φτάνει στο σημείο (Γ) με Γx 35cm= εκείνη την στιγμή. Ποιεςείναι οι θέσεις των σημείων που έχουν εκείνη τη στιγμή υ=0;

δ. Αν το υλικό σημείο (Γ) του ελαστικού μέσου έχει μάζα 3m 10 Kg−= να

υπολογισθεί η συνισταμένη δύναμη τη στιγμή 11t s

3= . Δίνεται 2π 10= .

Λύση:

α. t x

y 10ημ2π Α 10cmT 20

1 1 λ 20cmt xy Aημ2π λ 20

T λ

= − = ⇒ = ⇔ = = −

Η φάση είναι: t xφ 2πT 20

= −

Για το σημείο Α την χρονική στιγμή 1t :

1 A 1 1 1Α

1 11

t x t t 2t10 1φ 2π π 2π 1 2 1 1T 20 T 20 T 2 Τ

t 2t1 1 2 2 t Τ

Τ Τ

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

+ = ⇒ = ⇒ =

Για το σημείο Β την χρονική στιγμή 1t :

( )

( )

1 ΒB Β

Β

B B B

B B B

t x Τ 12,5y 10ημ2π y 10ημ2π

T 20 Τ 20y 10ημ2π 1 0,625

3π 3πy 10ημ 2π·0,375 y 10ημ y 10ημ π

4 4

π 2y 10ημ y 10 y = 5 2cm

4 2

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒

= ⇒ = ⇒ − ⇒

= ⇒ = ⇒


β. B AΔx x x 12,5 10 2,5cm= − = − = ,είναι η απόσταση στην οποία διαδόθηκε το κύμα από το Α ως το Β.

Δx 2,5 cmΔx υ·Δt υ υ 10Δt 0,25 s

= ⇔ = ⇔ = =

λ λ 20υ Τ Τ s = 2sΤ υ 10

= ⇔ = ⇔ =

γ. Το κύμα φτάνει στο σημείο x=35cm τηστιγμή t=x/υ=3,5s. Άρα στην εξίσωση

t xy 10ημ2π

T 20 = −

αντικαθιστούμε t=3,5s και παίρνουμε:

3,5 xy =10ημ2π - 0 x 35cm

2 20 ≤ ≤

Τα σημεία που είναι σε ακραία θέση της ταλάντωσης τους και έχουν υ=0, εκείνητη στιγμή βρίσκονται στις θέσεις: x 0,10, 20, 30cm= .

δ. ΣF D·y= − , όπου:

2 22 3 3 2 3 22π 2π Ν

D m·ω m· 10 · 10 ·π 10 ·10 10Τ 2 m

− − − − = = = = = =

Γ

Γ Γ

Γ Γ Γ

Γ

11t x 353y 10ημ2π y 10ημ2πT 20 2 20

11 35 11 7y 10ημ2π y 10ημ2π

6 20 6 4

22 21 1 πy 10ημ2π y 10ημ 2π y 10ημ

12 12 2 6

1y 10 5cm

2

= − ⇒ = − ⇒

= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒

= =

2 2 -4ΣF D·y 10 ·5·10 N 5·10 N− −= = − = −

3. Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύ-θυνση του άξονα διαδίδεται αρμονικό κύμα της μορφής:


πxy -0,1ημ - 4πt SI

2 =

Να βρεθούν:α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος.β. Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις των ταλαντώσεων δυο σημείων

(Μ) και (Ν) του μέσου που είναι προς τα δεξιά της πηγής (Ο), είναι

Μ10πφ rad

3= και N

17πφ rad6

= . Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία

είναι πιο κοντά στην πηγή (Ο) και ποια είναι η απόσταση μεταξύ τωνδύο σημείων.

γ. Ποια είναι η απομάκρυνση του σημείου (Ν) από τη θέση ισορροπίαςτου, κάθε φορά που το σημείο (Μ) αποκτά τη μέγιστη θετική απομά-κρυνση.

δ. Να βρείτε την τιμή της ταχύτητας ενός μορίου του μέσου, όταν η απο-μάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι: y 0,05m=

ε. Να γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t=1s.Λύση:

α. Διαμορφώνουμε την εξίσωση που μας δίνεται βάσει της εξίσωσης του αρμονικού

κύματος της θεωρίας: t xy = Aημ2π -

T λ

πx xy = 0,1ημ 4πt - y = 0,1ημ2π 2t -

2 4 ⇒

Άρα είναι: Α = 0,1 m , 1 12 = T = s και f = 2 Hz

T 2⇒ , λ = 4 m

Επομένως έχουμε: υ = λ f = 8 m/s⋅

β. Επειδή είναι Μ10π 20πφ = = rad >

3 6N

17πφ = rad6

το σημείο (Μ) βρίσκεται

πλησιέστερα στην πηγή (Ο, x=0), σε σχέση με το σημείο (Ν).

Μ M

N N

2π 2πφ = t - xΤ λ2π 2πφ = t - xΤ λ

⇒

( )N M2π 2π 3π 2πΔφ = x - x Δφ = Δx Δxλ λ 6 λ

⇒ ⇒ =


3 2 Δx Δx = 1m6 4

⇒ = ⇒

γ. Επειδή πΔφ = rad2

η ταλάντωση του σημείου (Ν) καθυστερεί σε σχέση με την

ταλάντωση του (Μ) κατά Τ/4. Άρα κάθε φορά που είναι yM=+A θα είναι yN= 0

κινούμενο κατά τη θετική φορά (υ>0) .δ. Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση του μορίου:

( )

2 2 2 2 2 2

22 2 2 2 2 2 2

1 1 1E k U DA mυ Dy DA - Dy mυ

2 2 2

Aω A - y υ υ ω A - y υ ω A -4

= + ⇔ = + ⇔ = ⇔

⇔ = ⇔ = ± ⇒ = ± ⇒

23Aυ = ±ω4

⇒ υ = ±0, 2π 3 m/s⇒

ε. Για t=1 s η εξίσωση του κύματος γίνεται:

xy = 0,1ημ2π 2 -

4

S.I.

Σε χρόνο t=1s το κύμα έχει διανύσειαπόσταση x=υ.t=8m, δηλ:0 x 8m≤ ≤

4. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2δημιουργούν στην επιφάνεια νερού που η-ρεμεί εγκάρσια κύματα που διαδίδονται μεταχύτητα υ=80 cm/s. Οι δύο πηγές εκτε-λούν απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσω-

ση: 2πy Aημ t

Τ =

Με την επίδραση των δύο κυμάτων, έναμικρό κομμάτι φελλού που βρίσκεται στην επιφάνεια του νερού ταλαντώ-νεται, με εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του:

( )y 4ημ2π 8t - 4= y σε m και t σε s.Οι αποστάσεις του φελλού από τις πηγές και το μήκος κύματος λ των δυοκυμάτων συνδέονται με τη σχέση 1 2r - r 2λ= .


α. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r1 και r2 .β. Ποια είναι η επιτάχυνση της ταλάντωσης του φελλού τις χρονικές στιγ-

μές: 0,3 s και 0,6875 s μετά τη στιγμή t=0;γ. Ποια χρονική στιγμή μετά την t=0 περνά ο φελλός από τη θέση μέγι-

στης απομάκρυνσης για 1η φορά;Λύση:

α. Η εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης του φελλού εξαιτίας των δύο κυμάτων

είναι: 1 2 1 2r - r r + rty = 2Aσυν 2π ημ2π -

2λ T 2λ

Εφόσον 1 2r - r = 2λ η

εξίσωση γίνεται: 1 2r + rty = 2Aημ2π -

T 2λ

(1)

Αλλά: ( )y = 4ημ2π 8t - 4 (2)Εξισώνοντας τους συντελεστές ομοίων όρων των (1) και (2) παίρνουμε:

t 1= 8t T = s f = 8Hz

T 8⇒ ⇒ και 1 2

1 2

r + r= 4 r + r = 8λ

2λ⇒ (3)

Δίνεται επίσης ότι: 1 2r - r = 2λ (4)

Από την λύση του συστήματος των (3) και (4) παίρνουμε: 1r = 5λ και 2r = 3λΑπό την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε:

υ 80λ = λ = cm = 10 cmf 8

⇔

Άρα: 1r = 50cm και 2r = 30cm

β. Βρίσκουμε πρώτα ποια χρονική στιγμή αρχίζει η συνισταμένη ταλάντωση τουφελλού, μετά την t=0. Εξαιτίας του κύματος από την πηγή Π2 ταλαντώνεται

μετά από χρόνο: 22

r 30t = = = 0,375 s

u 80Αντίστοιχα από την πηγή Π1 ταλαντώνεται μετά από χρόνο:

11

r 50t = = = 0,625 sec

u 80

Δηλ. η συνισταμένη ταλάντωση του φελλού ξεκινά μετά την t = 0, 625 sec .

Άρα την χρονική στιγμή t = 0,3 sec δεν έχει φτάσει στον φελλό κανένα κύμα,

οπότε 2y = 0 και α = -ω y = 0 .


Αντίθετα την χρονική στιγμή t = 0, 6875 sec ο φελλός ήδη κάνει συνισταμένηταλάντωση εξαιτίας των δύο κυμάτων με εξίσωση:

( ) ( )y = 4ημ2π 8t - 4 y = 4ημ2π 5,5 - 4 y = 4ημ3π = 0 και α = 0⇒ ⇒

γ. ( ) ( ) ( )y = 4ημ2π 8t - 4 4 = 4ημ2π 8t - 4 1 = ημ 16πt - 8π⇔ ⇔ ⇔

( )π πημ ημ 16πt -8π 16πt -8π 2κπ2 2

π κ 1716πt 2κπ 8π t sec

2 8 32

= ⇔ = + ⇔

⇔ = + + ⇔ = +

Επειδή πρέπει t > 0, 625 sec το κ μπορεί να πάρει τιμές: κ = 1, 2,...

Επειδή θέλουμε για 1η φορά θέτουμε κ=1, οπότε: t = 0, 65625 sec

5. Σε ομογενή ελαστική χορδή μήκους L 102,5cm= που το ένα άκρο της είναιακλόνητα στερεωμένο δημιουργούνται στάσιμα κύματα. Αν η εξίσωση του

στάσιμου κύματος είναι πχy 8συν ημ8πt

5= ⋅ (y, x σε cm και t σε s).

α. Να γραφούν οι εξισώσεις του τρέχοντος και του ανακλώμενου κύματοςκαι να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης του τρέχοντος κύματος.

β. Να βρεθεί η εξίσωση που δίνει τις αποστάσεις από την πηγή όλων τωνσημείων που πάλλονται με πλάτος 4cm. Να γραφεί η εξίσωση απομά-κρυνσης χρόνου για τα σημεία αυτά.

γ. Να βρεθεί ο αριθμός των κοιλιών που δημιουργούνται κατά μήκος τηςχορδής.

δ. Να γίνουν τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές 1t T / 4=

και 2t 3T / 4= στο ίδιο διάγραμμα.ε. Να βρεθούν τα σημεία της χορδής που έχουν μέγιστη ταχύτητα μέτρου

ίσου με το μισό του πλάτους της ταχύτητας μιας κοιλίας και να γραφεί ηεξίσωση ταχύτητας χρόνου για τα σημεία αυτά.

Λύση:

α.

2A 8 A 4cm2πx 2πty 2A συν ημ

2πx πxλ T λ 10cmπx λ 5

y 8 συν ημ8 πt2πt 15 8πt T sΤ 4

= ⇒ == ⋅ ⋅ ⇒ = ⇒ == ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ =


Άρα οι εξισώσεις του τρέχοντος και ανακλώμενου κύματος είναι:

t x xy A ημ 2π y 4ημ 2π 4t

T λ 10 = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ∓ ∓

Η ταχύτητα διάδοσης του τρέχοντος κύματος είναι: υ λ f 40cm/s= ⋅ =

β. Το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου είναι:

o

o

πx 1 πx π5x συν 2κπA 8 συν 5 2 5 35πx 1 πx 4πσυν 2κπA 45 2 5 3

= ⇒ = ±= ⇒ = − ⇒ = ±=

άρα

5x 10κ (1)

320

x 10κ (2)3

= ± = ±

Η εξίσωση y-t είναι για τα σημεία που βρίσκονται στις θέσεις που δίνονται απότην (1), είναι: oy A΄ ημωt 4ημ8πt= ⋅ =Η εξίσωση y-t είναι για τα σημεία που βρίσκονται στις θέσεις που δίνονται απότην (2), είναι: oy A΄ ημωt 4ημ8πt= ⋅ = −

γ. Η απόσταση των κοιλιών από την πηγή δίνεται από τη σχέση: λx κ

2= ⋅ όπου

κλ0 x 102,5cm 102,5

2≤ ≤ ⇒ < ⇒ 205κ κ 20,5

10< ⇒ <

Άρα ο αριθμός κοιλιών είναι:ι κ = 21 (0, 1, 2, 3, ..., 20)

δ. Στην εξίσωση του στασιμού κύματος θέτω Tt

4=

1

πx πx πy 8συν ημ8πt y 8συν ημ

5 5 2= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒

πxy 8συν

5= ⋅ όπου 0 x 102,5cm≤ ≤

Βρίσκουμε την πρώτη κοιλία που αντιστοιχεί στην πηγή δηλαδή γιαx 0 y 8cm= ⇒ = . Γνωρίζουμε επίσης ότι η απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών

είναι λd 5cm

2= = και στο άλλο άκρο της χορδής είναι δεσμός.

1 1

3T πx 3 πx 3πt y 8συν ημ 8π y 8συν ημ

4 5 16 5 2= ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅


Επομένως 1

πxy 8συν

5= − , θα είναι η συμμετρική όπως στο σχήμα.

ε. o,maxA 2A 8cm= = διότι στη θέση της πηγής θα δημιουργηθεί κοιλία.

o,max ο,maxU ωΑ 64πcm /s= = .

o ο,max

0o

πx πxU ΄ ω2Α συν 64συν

πx 4 πx 15 5 συν συνU 5 8 5 2

U ΄ 32π2

= = ⇒ = ⇒ = ±= =

Τα ζητούμενα σημεία θα είναι ίδια με αυτά που βρέθηκαν στο ερώτημα Β

6. Σε χορδή έχει σχηματιστεί στάσιμο κύμα με εξίσωση πx πy 0,2συν ημ t

3 6=

σε μονάδες του S.I. . Θεωρούμε ως t 0= μία χρονική στιγμή κατά τηνοποία η αρχή x 0= , η οποία είναι κοιλία, διέρχεται από τη θέση ισορρο-πίας κινούμενη κατά τη θετική κατεύθυνση.α. Να γίνουν τα διαγράμματα απομάκρυνσης - χρόνου δύο σημείων Κ και

Λ που βρίσκονται στις θέσεις Κx 4m= και Λx 5m= .β. Να γίνει διάγραμμα της φάσης των σημείων της χορδής σε συνάρτηση

με την απόσταση x την t 6s= .γ. Ποια η ταχύτητα ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x 9m= τη στιγμή

t 8s= .

δ. Πόσοι δεσμοί υπάρχουν ανάμεσα στις θέσεις x 1m= ως x 7m= ;Λύση:

α. Ισχύει: 2A 0,2 A 0,1m= ⇒ = , πx 2πx λ 6m3 λ

= ⇒ = , πt 2πtT 12s

6 T= ⇒ =


Για το Κ ισχύει: K

π 4 π 1 π πy 0,2συν ημ t 0,2 ημ t 0,1ημ t π

3 6 2 6 6

⋅ = ⋅ = ⋅ = +

Για το Λ ισχύει: Λπ 5 π 1 π π

y 0,2συν ημ t 0,2 ημ t 0,1ημ t3 6 2 6 6

⋅ = ⋅ = ⋅ = Δηλ. τα Κ, Λ είναι κατ’ αντίθεση άρα:

β. Μεταξύ των σημείων Α και Β είναι:

2πφ ωt 6 π rad12

= = ⋅ =

Μεταξύ των σημείων Β, Δ είναι:φ΄ π π 2π rad= + =

Άρα τελικά το ζητούμενο διάγραμμα είναι:

γ. Ισχύει 2π πx πυ ωΑ΄συνωt 0,2 συν συν tΤ 3 6

= = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒

( ) ( )2π π 9 π 2π 1 πυ 0,2 συν συν 8 0,2 1 1 m /s12 3 6 12 2 60

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − =

δ. Η εξίσωση του δεσμού είναι: ( )Δλ

x 2Κ 14

= +

Πρέπει ( )Δ6

1 x 7 1 2Κ 1 7 0,16 Κ 1,834

< < ⇒ < + ⋅ ≤ ⇒ − ≤ ≤

Άρα Κ 0, Κ 1= = δυο δεσμοί, στις θέσεις 1x 1,5m= και 2x 4,5m= αντίστοιχα.


7. Από σημείο Ο (x=0) γραμμικού ελαστικού μέσου διέρχεται τη στιγμή t=0αρμονικό κύμα με ταχύτητα υ=40m/s. Το διάγραμμα παρέχει την απομά-κρυνση ενός σημείου Α, σεσχέση με τον χρόνο. Το κύμαανακλάται σε ακλόνητο εμπό-διο Ε, επιστρέφει και δη-μιουργεί στάσιμο. Όταν απο-καθίσταται το στάσιμο, το Οείναι κοιλία.α. Ποια είναι η θέση του Α;β. Εξηγήστε γιατί το διάγραμμα έχει αυτή τη μορφή.γ. Ποια είναι η θέση του εμπόδιου Ε;δ. Να βρεθεί η εξίσωση του στάσιμου.

Λύση:α. Ισχύει για το σημείο Α: Αx υt 40 0,125 5m= = ⋅ = Τ=0,1s, λ=υT=4mβ. Το Α είναι δεσμός. Αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή 1t 0,125s= που το κύμα

διέρχεται από αυτό και ακινητοποιείται τη στιγμή 2t 0,525s= που το απο ανά-κλαση κύμα επιστρέφει στο Α.

γ. Από τη στιγμή 1t ως τη στιγμή 2t το κύμα καλύπτει απόσταση:

( )2 AE υΔt 40 0,4 16m= = ⋅ =

άρα: ( )AE 8m= ( )Ex 8 5 m 13m= + =

δ. Από το διάγραμμα έχουμε: 4T 0,525 0,125 0,4s= − = άρα: T 0,1s= , λ υ Τ 4m= ⋅ =

Η ζητούμενη εξίσωση είναι: πx

y 0,2 συν ημ20πt2

= ⋅ ⋅

8.α. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας του σχή-ματος. Η τομή του πρίσματος είναι ισόπλευ-

ρο τρίγωνο, έχει δείκτη διάθλασης 4 3n

3=

και περιβάλλεται από αέρα.β. Tι θα συμβεί αν το πρίσμα βυθιστεί σε υγρό

που έχει δείκτη διάθλασης ΄ 2 6n

3= ;


Λύση:α. Η ακτίνα συναντά κάθετα την έδρα ΚΛ του πρί-

σματος και χωρίς να διαθλαστεί διαδίδεται μέσαστο πρίσμα.Η ακτίνα συναντά την έδρα ΚΜ του πρίσματος.Η ακτίνα ή θα διαθλαστεί ή θα υποστεί ολικήανάκλαση στην έδρα ΚΜ. Η γωνία πρόσπτωσηςείναι θ=60ο.Η οριακή γωνία θορ υπολογίζεται από τη σχέση:

ορ ορ

ορ

1 3ημθ = ημθ =n 4 θ3ημ =

2

⇒ ⇒ < θ

θ

Άρα η ακτίνα υφίσταται ολική ανάκλαση. Η γωνία ανάκλασης είναι φ=θ=60ο

και η ακτίνα συναντά την ΛΜ κάθετα και εξέρχεται του πρίσματος.

β. Το πρίσμα περιβάλλεται από υγρό, που είναι αραιότερο του πρίσματος. Άραμπορεί να συμβεί και πάλι ολική ανάκλαση, αρκεί η γωνία πρόσπτωσης να είναιμεγαλύτερη της νέας οριακής γωνίας θ΄ορ που υπολογίζεται από τη σχέση:

ορ ορn΄ 2ημθ = ημθ =n 2

′ ′⇒ ⇒ 0ορθ = 45′

θ=60ο

Άρα η ακτίνα υφίσταται ολική ανάκλαση στην έδρα ΚΜ του πρίσματος.


1. Στο σχήμα βλέπουμε το στιγ-μιότυπο ενός κύματος τη χρο-νική στιγμή 1t 9 / 20s= . Τοκύμα διαδίδεται κατά τη θε-τική φορά του άξονα xx΄ καιτη στιγμή t=0 ξεκίνησε απόx=0. Να βρεθούν:

α. Η εξίσωση της κίνησης της πηγής και η εξίσωση του διαδιδόμενουκύματος.

β. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και η μέγιστη ταχύτητα ταλάντω-σης των σημείων του ελαστικού μέσου.

γ. Στο παραπάνω στιγμιότυπο να βρεθούν οι ταχύτητες και οι επιταχύνσειςτων σημείων P με x=0,7m και Β με x=0,8m. (π2 = 10)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


2. Σε χορδή Οχ η αρχή Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή t 0= να εκτελεί γ.α.τ. μεπλάτος Α=0,3m. Στo εγκάρσιο αρμονικό κύμα που παράγεται, βρίσκουμεότι δύο διαδοχικές κορυφές απέχουν μεταξύ τους 4m και ότι ένα σημείοτου ελαστικού μέσου χρειάζεται ελάχιστο 0,2s για να περάσει δύο διαδοχι-κές φορές από τη Θ.Ι. του.α. Να βρείτε την εξίσωση του διαδιδόμενου κύματος.β. Για ένα σημείο B του ελαστικού μέσου (xΒ=5m)

i. Να υπολογίσετε την απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας τουτις χρονικές στιγμές 0,2 s, 0,9s και 1,8s.

ii. Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης του σημείου Β με το Ο.γ. Να γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τις στιγμές 0,45s και 0,9 s.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

3. Σώμα μάζας m = 0,2kg προσδένεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανι-κού ελατηρίου. Στο κάτω μέρος του σώματος προσαρμόζεται μια λεπτήαβαρής ακίδα, η οποία βυθίζεται μέσα σε ένα υγρό, που βρίσκεται κάτωαπό το σώμα (δες σχήμα). Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση ισορροπίαςτου κατά d = 0,1m και το αφήνουμε νά εκτελέσει ταλάντωση, η οποίαθεωρείται αμείωτη τη χρονική στιγμή t = 0. Έτσι, η ακίδα δημιουργεί


ένα αρμονικό κύμα που διαδίδεταιστην επιφάνεια του υγρού. Ένα μικρόκομμάτι φελλού που απέχει απόστασηx =0,6m από την ακίδα, αρχίζει να τα-λαντώνεται μετά από χρόνο Δt =0,2s.Το εγκάρσιο κύμα που δημιουργείταιστην επιφάνεια του υγρού έχει λ=3m.

α. Να υπολογίσετε τη σταθερά K τουελατηρίου και να γράψετε την εξίσω-ση της γ.α.τ. του σώματος m.

β. Να γράψετε την εξίσωση του διαδι-δόμενου κύματος.

γ. Να βρείτε την απομάκρυνση του μικρού φελλού από τη θέση ισορροπίαςτου και την ταχύτητα ταλάντωσής του τη χρονική στιγμή t1 = 0,35s(π2 = 10)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

4. Αρμονικό εγκάρσιο κύμα πλάτους Α=0,3m διαδίδεται κατά τη θετική κα-τεύθυνση του άξονα Οx. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο, είναι:

y=Α.ημωtΣτο σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συ-


νάρτηση με την απόσταση x από την πηγή,τη χρονική στιγμή t1=1s.α. Να βρείτε την περίοδο του κύματος, το

μήκος κύματος και τη ταχύτητα διάδοσηςτου κύματος.

β. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.γ. Να βρείτε για τη χρονική στιγμή t=2 s και

για το σημείο Ρ του ελαστικού μέσου τοοποίο απέχει από την πηγή Ο απόσταση x=1 m:την απομάκρυνσή του y, την ταχύτητά του και την επιτάχυνσή του.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

5. Σε δύο σημεία Π1, Π2 στην επιφάνεια υγρού υπάρχουν δύο σύγχρονεςπηγές παραγωγής κυμάτων πλάτους Α=1 cm και συχνότητας f=2 Hz.Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σ΄ένα σημείο Φ της επιφάνειας τουυγρού που απέχει r1=32cm και r2=48 cm αντίστοιχα από τα Π1 και Π2.Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=40 m/s. Να βρείτε:α. Την εξίσωση απομάκρυνσης του φελλού από τη Θ.Ι. του, όταν κάνει τη

σύνθετη κίνησή του.β. Την απομάκρυνση του φελλού τις στιγμές 0,7s, 1,25 s.


γ. Πόση είναι η μέγιστη επιτάχυνση του φελλού όταν εκτελεί τη σύνθετηκίνησή του;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. Δυο εγκάρσια αρμονικά κύματα που έχουν το ίδιο πλάτος και την ίδιασυχνότητα f=20Hz διαδίδονται κατά μήκος μιας χορδής προς αντίθετεςκατευθύνσεις και δημιουργούν στάσιμο κύμα. Η μέγιστη ταχύτητα ταλά-ντωσης των σωματιδίων που βρίσκονται στις κοιλίες είναι 160πcm/s. Ηαπόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της αμέσως επόμενης κοιλίας είναιΔx=15cm.α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.β. Ποια είναι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων της χορδής, που απέ-

χουν μεταξύ τους απόσταση 20cm.γ. Πόσοι δεσμοί σχηματίζονται μεταξύ μιας κοιλίας του στάσιμου κύμα-

τος που επιλέγουμε σαν αρχή μέτρησης των αποστάσεων (x=0) και ενόςσημείου της χορδής που απέχει από αυτήν απόσταση 135cm.

δ. Ποια είναι η επιτάχυνση ενός σωματιδίου της χορδής, που απέχει 30cmαπό το σημείο x=0 και προς τα δεξιά του, την χρονική στιγμή 1/160s;(π2=10)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

7. Ένα σκοινί διατηρείται οριζόντιο και καλά τεντωμένο. Το ένα άκρο του Κπαραμένει διαρκώς ακίνητο. Ένας μηχανισμός αναγκάζει το άλλο άκροτου Λ να εκτελεί ταυτόχρονα δύο ταλαντώσεις με εξισώσεις απομάκρυν-

σης 1

π πy 2ημ t

6 3 = +

και 2

π πy 2 3ημ t

6 6 = −

όπου τα μήκη μετριού-

νται σε cm και ο χρόνος σε s. Μετά από λίγο εμφανίζεται στη χορδή στά-σιμο κύμα. Διαπιστώνουμε ότι δύο σημεία που πάλλονται ως κοιλίες απέ-χουν 1,2m, ενώ αναμεσά τους παρεμβάλλονται δύο δεσμοί.

α. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή;

β. Ποια είναι η εξίσωση της απομάκρυνσης ενός στοιχειώδους τμήματοςP που απέχει ελάχιστη απόσταση 0,1m από ένα άλλο στοιχειώδες τμήματου σκοινιού που παραμένει διαρκώς ακίνητο;

γ. Ποια σημεία ταλαντώνονται έχοντας ενέργεια ίση με το 50% της μέγι-στης ενέργειας και βρίσκονται μεταξύ του 1ου δεσμού και 2η κοιλίας;

δ. Ποια η ταχύτητα ενός σημείου που απέχει x 0,3m= από μία κοιλία,

όταν η απομάκρυνση του είναι y=2 2 cm;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας και βρεί-τε την ταχύτητά της στο γυάλινο πρίσμα τουσχήματος.Δίνονται ότι: c=3.108 m/s, ημθορ=0,4 και ότι τοπρίσμα περιβάλλεται από αέρα.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Θέμα 1ο

Α. Σε ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό κύμα.1. Η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται από τη συχνότητα και το μήκος κύματος.2. Όταν αλλάζει το κύμα μέσο διάδοσης δεν αλλάζει το μήκος κύματος.3. Όταν αλλάζει το κύμα μέσο διάδοσης δεν αλλάζει η συχνότητα.4. Όταν αλλάζει το κύμα μέσο διάδοσης δεν αλλάζει η ταχύτητά του.

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Β. Σε ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό κύμα. Δυο σημεία που απέχουν 3λ/2έχουν διαφορά φάσης:1. π/2 rad

2. 3π/2 rad

3. 5λ/2 rad

4. π/4 rad(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Γ. Σε στάσιμο κύμα, ισχύει:1. Όλα τα σημεία του μέσου περνάνε ταυτόχρονα από τη Θ.Ι.τους με ίδια φορά

κίνησης.2. Όλα τα σημεία του μέσου έχουν ταυτόχρονα μέγιστη δυναμική ενέργεια.3. Οι κοιλίες έχουν μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης Vmax=ω.Α, όπου Α είναι το

πλάτος κάθενός από τα τρέχοντα κύματα που συμβάλλουν.4. Όλα τα σημεία του μέσου που έχουν ίδια φορά κίνησης έχουν Δφ=π.

(Μονάδες 5)


Δ. Από την πορεία της ακτίνας του σχήματος, συμπεραί-νουμε ότι:1. 1 2n < n

2. 1 ορθ < θ

3. 1 2υ > υ

4. 2 12λ > λ(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................E. Aκτίνα προσπίπτει πλάγια στην επιφάνεια πρίσματος.Όταν αυξάνει η γωνία

πρόσπτωσης:1. αυξάνεται ο δείκτης διάθλασης2. μειώνεται ο δείκτης διάθλασης3. αυξάνεται η γωνία διάθλασης4. μειώνεται η γωνία διάθλαση

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Θέμα 2ο

Α. Να αποδείξετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος.(Μονάδες 5)

Β. Σε μια χορδή μπορούν να δημιουργηθούν τα παρακάτω στάσιμα κύματα:1. y=2.συν(πx).ημ(πt), y,x σε cm, t σε s2. y=4.συν(2πx).ημ(2πt), y,x σε cm, t σε s3. y=3.συν(πx/4).ημ(πt/4), y,x σε cm, t σε sΝα συγκρίνετε την απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών και την μέγιστη ταχύτητατων κοιλιών, για τα τρία αυτά κύματα. (Μονάδες 10)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Γ. Η εξίσωση του πλάτους σε στάσιμο κύμα Α΄=2A.συν2πx

λ

, υπό ποιες προϋπο-

θέσεις ισχύει; Να υπολογίσετε τις αποστάσεις των δεσμών και των κοιλιών απότο σημείο αναφοράς.

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Δ. Σε δύο σημεία Π και Π΄ στην επιφάνεια υγρού υπάρχουν δυο σύγχρονες πηγέςπαραγωγής κυμάτων ίδιου πλάτους. Να αποδείξετε τη συνθήκη ώστε ένα σημείοτης επιφάνειας του υγρού να ηρεμεί;

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Θέμα 3ο

Στο επόμενο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο στάσιμου κύματος τη στιγμή t1 στηνοποία τα σημεία του γραμμικού μέσου έχουν μόνο δυναμική ενέργεια. (Τ=2s)


α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.(Μονάδες 7)

β. Να σχεδιάσετε τη μορφή του γραμμικού μέσου, τις στιγμές:

t2= t1+ 0,5s και t3= t1+1s.(Μονάδες 8)

γ. Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης και την μέγιστη ταχύτητα του σημείου Κ.(Μονάδες 10)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Θέμα 4ο

Ένα γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x΄Οx. Για το ση-μείο Ο δίνεται ότι: y=Aημ(ωt).Στο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος. Ζητούνται:

α. H συχνότητα, το μήκος κύματος, η ταχύτητα διάδοσης και η εξίσωση του κύμα-τος.

(Μονάδες 7)

β. Nα γίνει το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή 1,1s.(Μονάδες 7)

γ. Nα βρείτε την απομάκρυνση, την ταχύτητα και την επιτάχυνση τη χρονική στιγ-μή t=0,9s ενός σημείου Ρ που βρίσκεται στη θέση x=0,5m.

(Μονάδες 6)

δ. Την απόσταση δύο σημείων τα οποία κάποια χρονική στιγμή έχουν μεταξύ τουςδιαφορά φάσης 3π/2.

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Ο μαθητής που έχει μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει να γνω-ρίζει:

� Τα είδη των κινήσεων που μπορεί να κάνει ένα στερεό σώμα (μεταφορική,στροφική σύνθετη). Για στερεό που κάνει κύλιση, την απόδειξη των εξισώ-σεων:

cmυ = ω R⋅ , cm γωνα = α R⋅

� Να σχεδιάζει δυνάμεις σε ένα σώμα και να βρίσκει τις ροπές των δυνάμεωναυτών.Να εφαρμόζει τις συνθήκες ισορροπίας στερεού σώματος.

� Να υπολογίζει τη ροπή αδράνειας ενός σώματος, εφαρμόζοντας το θεώρημαSteiner.Να εφαρμόζει τον θεμελιώδη νόμο σε μεταφορική και στροφική κίνηση καινα υπολογίζει τις επιταχύνσεις των σωμάτων.

� Να υπολογίζει τη στροφορμή στερεού σώματος και συστήματος σωμάτων

και να αποδεικνύει τη σχέση: dL

= τdt

∑

Να εφαρμόζει την διατήρηση της στροφορμής σε ένα σώμα και σύστημασωμάτων.

� Να αποδεικνύει τις σχέσεις:

21Κ = Iω2

, W = τ θ⋅ και Ρ = τ ω⋅

και να εφαρμόζει την Α.Δ.Ε ή το Θ.Μ.Κ.Ε.

8 2 . Μηχανική στερεού σώματος Τύποι - Βασικές έννοιες

MHΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ: Τύποι - Βασικές έννοιες

Γωνιακή επιτάχυνση: γωνdωα =dt

Κύλιση τροχού

Ταχύτητα του κέντρου μάζας: υcm=ωR

Επιτάχυνση του κέντρου μάζας: acm=αγων R

Ροπή δύναμης: τ=F

Ροπή ζεύγους: τ=F d

Iσορροπία στερεού: x

y

F = 0και τ = 0

F = 0

Σ ΣΣ

Ροπή αδράνειας: Ι=m1r12+m2r2

2+...

Θεώρημα Steiner: Ι=Ιcm+Μd2

Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης: Στ=Ιαγων

Στροφορμή: L=pr=mυr

L=Iω

Γενικότερη διατύπωση του

Θεμελιώδους Νόμου στροφικής κίνησης: Στ=dL

dt

Κινητική ενέργεια λόγω στροφικής κίνησης: Κ= 21Iω

2

Κινητική ενέργεια λόγω σύνθετης κίνησης: Κ= 2cm

1Mυ

2+ 21

Iω2

Έργο σταθερής ροπής: W=τθ

Iσχύς δύναμης: Ρ=τω

8 3 .Βήμα 1ο Μηχανική στερεού σώματος

ΘΕΩΡΙΑ 1 Να αποδείξετε ότι σε κύλιση τροχού, ισχύουν:υcm=ω.R και αcm=αγων.R

Απόδειξη

Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του υcm , είναι ίση κατά μέτρο με την γραμμικήταχύτητα των σημείων της περιφέρειάς του. Αν ο τροχός μετατοπίστηκε κατά dx σε

χρόνο dt τότε: cm

dx

dtυ =

Στον ίδιο χρόνο κάθε σημείο της περιφέρειας του τροχού διέγραψε τόξο ds ώστε:

ds

dtυ =

Επειδή όμως ο τροχός κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει θα είναι dx = ds. Άρα: υ = υcmκαι επειδή υ = ω R θα είναι: υcm = υ = ω R .

Παραγωγίζοντας την τελευταία σχέση έχουμε:

cmcm

dυ dωυ ω R Rdt dt

= ⋅ ⇒ = ⋅ ⇒ αcm=αγων.R

ΘΕΩΡΙΑ 2 Να αποδείξετε ότι η ροπή ζεύγους δυνάμεων ως προς οποιο-δήποτε σημείο (Ο) του επιπέδου των δυνάμεων, είναι ανε-ξάρτητη από την θέση του σημείου (Ο).

8 4 . Μηχανική στερεού σώματος Βήμα 1ο

ΑπόδειξηΈστω το ζεύγος δυνάμεων του σχήματος και ένα σημείο (Ο) του επιπέδου τους.Τότε:

( )

1 2

1 2 1 1

2 2

1 2 1 2

F d

F d

F d F d F d d F d

τ = τ + τ τ = τ + τ ⇒ τ = ⋅ ⇒ τ = ⋅

τ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⇒ τ = ⋅

ΘΕΩΡΙΑ 3 Να αποδείξετε ότι η στροφορμή στερεού δίνεται από τη σχέση:L=Ι ·ω

ΑπόδειξηΘεωρούμε ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα y’y μεσταθερή γωνιακή ταχύτητα ω . Οι διάφορες στοιχειώδ-εις μάζες από τις οποίες αποτελείται το σώμα διαγρά-φουν κυκλικές τροχιές σε επίπεδα κάθετα στον άξοναπεριστροφής με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω αλλά μεδιαφορετική γραμμική ταχύτητα υ (υ=ω.r), καθώς δια-γράφουν τροχιές με διαφορετικές ακτίνες. Θεωρούμεότι το σώμα αποτελείται από ένα τεράστιο πλήθος ν στοι-χειωδών μαζών, των οποίων οι στροφορμές, 2

1 1 1L m r= ω ,2

2 2 2L m r= ω ,..., 2L m rν ν ν= ω είναι συγγραμμικές και ο-μόρροπες επομένως η στροφορμή του στερεού σώματοςείναι το άθροισμα των στροφορμών των υλικών σημείωνπου αποτελούν το σώμα:

1 2L L L ... Lν= + + + ⇒ 2 2 21 1 2 2L m r m r ... m rν ν= ω + ω + + ω ⇒

( )2 2 21 1 2 2L m r m r ... m rν ν= + + + ω

Aλλά είναι: 2 2 21 1 2 2I m r m r ... m rν ν= + + + . Επομένως: L I= ⋅ω

ΘΕΩΡΙΑ 4 Να αποδείξετε τη γενικευμένη μορφή του θεμελιώδη νόμουτης στροφικής κίνησης.


ΑπόδειξηΌταν ο άξονας περιστροφής του στερεού σώματος είναι σταθερός, τότε και η ροπήαδράνειας του σώματος είναι σταθερή, επομένως από τη σχέση L=Ι·ω έχουμε:

( )d IωdL dωI

dt dt dt= = ⇒ γων

dLI α

dt= ⋅

Είναι όμως γωνΙα = Στ , άρα η προηγούμενη σχέση γίνεται: dL

dtΣτ =

ΘΕΩΡΙΑ 5 Να αποδείξετε τη σχέση με την οποία υπολογίζεται η κινητικήενέργεια λόγω περιστροφής.

ΑπόδειξηΤο σώμα μάζας m, του σχήματος, αποτελείται από τις στοι-χειώδεις μάζες (υλικά σημεία) m1, m2, …, που διαγρά-φουν κυκλικές τροχιές με ακτίνες r1, r2, …, αντίστοιχακαι οι οποίες έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα μέτρου ωκαι γραμμικές ταχύτητες 1 2, ,...υ υ , τα μέτρα των οποίων

είναι: ( )1 1 2 2r , r ,.... 1υ = ω⋅ υ = ω⋅

Η κινητική ενέργεια του σώματος θα είναι ίση με το ά-θροισμα των κινητικών ενεργειών των στοιχειωδών μα-ζών:

( )( ) ( )

12 22 2

στρ 1 1 2 2 στρ 1 1 2 21 1 1 1

K m υ m υ ... Κ m ωr m ωr ...2 2 2 2

= + + ⇒ = + + ⇒

2 2 2 2στρ 1 1 2 2

1 1K m ω r m ω r ...

2 2= + + ⇒ ( ) ( )2 2 2

στρ 1 1 2 21

K m r m r ... ω 22

= + +

Όμως: 2 21 1 2 2m r m r ... I+ + =

Επομένως, η (2) γράφεται: 2στρ

1K Ιω

2=

ΘΕΩΡΙΑ 6 Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει το έργο σταθερής ροπής:W = τ · θ


Απόδειξη

Ας θεωρήσουμε τη δύναμη F η οποία ασκείται πάνωστο σώμα (διπλανό σχήμα) και έστω r η ακτίνα πε-ριστροφής του σημείου εφαρμογής της. Θεωρούμεεπίσης ότι η διεύθυνση της δύναμης, βρίσκεται στοεπίπεδο περιστροφής του σημείου εφαρμογής της καιεφάπτεται στην τροχιά.Για μία απειροστή στροφή του σώματος, κατά γωνίαdθ, η δύναμη παράγει έργο:

dW F ds= ⋅ (1)όπου ds είναι το μήκος του τόξου που διαγράφει τοσημείο εφαρμογής της δύναμης.Όμως: ds r d= ⋅ θ (η γωνία dθ μετριέται σε rad)

Άρα η εξίσωση (1) γράφεται: dW F r d= ⋅ ⋅ θ (2)

Όμως: F r⋅ = τ

Άρα η (2) γράφεται: dW d= τ ⋅ θ (3)Για στροφή του σώματος κατά γωνία θ, μπορούμε να χωρίσουμε τη γωνία θ σεστοιχειώδεις γωνίες 1 2d ,d ,...,θ θ και να αθροίσουμε τα επιμέρους έργα:

( )3

1 2 1 1 2 2W dW dW ... W d d ...= + + ⇒ = τ ⋅ θ + τ θ + (4)

Αν η ροπή της δύναμης είναι σταθερή, τότε η σχέση (4) γράφεται:

( )1 2W d d ... W= τ ⋅ θ + θ + ⇒ = τ ⋅θ

ΘΕΩΡΙΑ 7 Να αποδείξετε ôç ó÷Ýóç ðïõ äßíåé ôçí éó÷ý ñïðÞò:Ñ=ô · ù

Απόδειξη

Από την σχέση dW d= τ ⋅ θ παίρνουμε:dW d

dt dt

θ= τ ⋅

Όμως ο ρυθμός παραγωγής του έργου εκφράζει την ισχύ της δύναμης dWP

dt= και

d

dt

θ = ω . Οπότε η τελευταία σχέση γράφεται: P = τ ⋅ω


Α. Από το σχολικό βιβλίοΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.Ερωτήσεις: 4.3, 4.7, 4.11, 4.15, 4.19, 4.20, 4.22, 4.25,

4.27, 4.29, 4.30Προβλήματα: 4.32, 4.36, 4.42, 4.45, 4.49, 4.54, 4.55, 4.56, 4.58,

4.59, 4.60, 4.62, 4.63, 4.66, 4.67, 4.68, 4.69

Β. Από τα Βιβλιομαθήματα :ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ


Βιβλιομάθημα 8ο:Λυμένα παραδείγματα: 3.2, 3.3, 3.4Ερωτήσεις: 2, 6, 8, 10Προτεινόμενα θέματα: 3.2, 3.3, 3.5Ξεχωριστό: σελ. 139

Βιβλιομάθημα 9ο:Λυμένα παραδείγματα: 3.5, 3.6, 3.8Ερωτήσεις: 3, 4, 6, 11Προτεινόμενα θέματα: 3.11, 3.14, 3.19, 3.20, 3.21Ξεχωριστό: σελ. 162

Βιβλιομάθημα 10ο:Λυμένα παραδείγματα: 3.12, 3.15, 3.17Ερωτήσεις: 1, 2, 7Προτεινόμενα θέματα: 3.25, 3.27, 3.28, 3.29, 3.32, 3.35Ξεχωριστό: σελ. 179



(μηχανική στερεού σώματος - κρούσεις)εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”

2. Κινήσεις στερεων σωμάτωνΕρωτήσεις: 2.4, 2.5, 2.9, 2.11, 2.12, 2.24

Λυμένα παράδειγματα: 1, 4, 7Ασκήσεις για λύση: 2.32, 2.34, 2.35

3. Ροπή δύναμης - Ισορροπία στερεούΕρωτήσεις: 3.4, 3.7, 3.11, 3.17, 3.24

Λυμένα παράδειγματα: 3, 5, 7, 9Ασκήσεις για λύση: 3.34, 3.45, 3.46, 3.47,

4. Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμοςΕρωτήσεις: 4.1, 4.7, 4.9, 4.16, 4.17

Λυμένα παράδειγματα: 4, 5, 9, 10, 11, 12Ασκήσεις για λύση: 4.35, 4.36, 4.42, 4.44

5. Στροφορμή - Διατήρηση στροφορμήςΕρωτήσεις: 5.1, 5.5, 5.10, 5.13, 5.27


6. Έργο - ενέργεια στη στροφική κίνησηΕρωτήσεις: 6.6, 6.7, 6.11, 6.16, 6.22

Λυμένα παράδειγματα: 1, 4, 8, 10Ασκήσεις για λύση: 6.37, 6.38, 6.39, 6.42, 6.45

Βιβλιομάθημα 11ο:Λυμένα παραδείγματα: 3.18, 3.19, 3.20, 3.21Ερωτήσεις: 2, 4, 6, 7, 10Προτεινόμενα θέματα: 3.35, 3.36, 3.38, 3.40Ξεχωριστό: σελ. 195


1. Σφαίρα βάρους w=150 Ν και ακτίναςR βρίσκεται σε λείο οριζόντιο δάπεδο,όπως στο σχήμα.Ποιά οριζόντια δύναμη F πρέπει ναασκήσουμε στο σημείο Λ της σφαίρας,για να υπερπηδήσει εμπόδιο ύψουςh=R/4;

Λύση:Οι δυνάμεις που ασκούνται στη σφαίρα είναι:

• το βάρος της w,• η αντίδραση Ν από το οριζόντιο δάπεδο,• η δύναμη F1 που της ασκείται από το Α.

Στην οριακή περίπτωση που η σφαίρα ισορ-ροπεί και πάει να υπερπηδήσει το εμπόδιο,χάνει την επαφή της με το οριζόντιο δάπεδοκαι γίνεται Ν=0.

Στ(Α) = 0 ή w x - F y = 0 (1)

Όμως είναι: y =3R 3R R 5R

- h -2 2 4 4

== (2)

Από Πυθαγόρειο θεώρημα παίρνουμε:

( ) ( )2 22 2 R 7x = R - R - h = R - 3R/4 =

4 (3)

Η σχέση (1) λόγω των (2) και (3) γράφεται:

150 Ν R 7

4 - F

5R

4= 0 ή F= 30 7 N

Επομένως θα πρέπει να είναι: F> 30 7 N

F

R

R/2

R/2

hA

K

Ë

F

w

Nx

h

y

A

K

Ë

+

R/2

R/2

F1


2. Συμπαγής ομογενής τροχός μάζας m=2 kg και ακτίνας R 10 10 cm= , α-φήνεται από ύψος h=3 m να κυλήσει πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίαςκλίσης φ=30ο. Ο κύλινδρος δεν ολισθαίνει.α. να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που δέχεται ο τροχός και να υπολογίσετε την

επιτάχυνση του κέντρου μάζας του,β. να υπολογίσετε την στατική τριβή του κυλίνδρου και τις τιμές του συ-

ντελεστή τριβής για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.γ. η ταχύτητα του cm και το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου, όταν

φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και η ροπή αδράνειας

του κυλίνδρου 2cm

1I mR

2= .

Λύση:

α.

ö

Ï

h

w

N

Ôó

xw

yw

ö

cmá

cmõ

Στο σώμα ασκούνται οι δυνάμεις:το βάρος του w , που αναλύεται σε συνιστώσες:

wx=w·ημφ και wy=w·συνφ

η κάθετη δύναμη Ν από το κεκλιμένο επίπεδο,

η στατική τριβή σΤ .Για τη μεταφορική κίνηση:

cm σ cm σ cmxF = m α wημφ -T = mα 10-T = 2α (1)⇒ ⇒∑

Για τη στροφική κίνηση:

(K)γωντ = Ια ⇒∑ Τσ

.R=I.αγων σ γων σ γων1 1Τ = mRα Τ = 2Rα2 2

⇒ ⇒ (2)

Στην κύλιση ισχύει: αcm= γωνα .R (3)


Λύνουμε τις σχέσεις (1) Τσ και αντικαθιστούμε στην (2), οπότε παίρνουμε:

2cm cm cm

1010- 2α = α α = m/s

3⇒

β. Η σχέση (1) δίνει: σ10

T = Ν3

Η συνθήκη για να έχομε κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι το μέτρο της στατικήςτριβής να μη ξεπεράσει το μέτρο της τριβής ολίσθησης. Δηλαδή: Τσ<μΝΑντικαθιστώντας στην τελευταία την τιμή της Τσ που βρίκαμε και Ν=wσυνφ,

παίρνουμε: 10 3< μ 10 3 < μ

3 9⋅ ⇒

γ. Από την ΑΔΜΕ και θεωρώντας ως επίπεδο U=0, αυτό που διέρχεται από τοκέντρο μάζας του κυλίνδρου, όταν αυτό έχει κατέλθει κατά h, θα έχουμε:

( )cm R

22 2 2 2 2 2cm

1 1 1 1 1mgh I m mgh mR m R 4gh 3 R

2 2 2 2 2

υ =ω

= ω + υ ⇒ = ⋅ ω + ω ⇒ = ω

2

4gh 2 gh 2 10 3 rad rad20

3R R 3 3 s s0,1 10

⋅ω = = = ⇒ω=

Η ταχύτητα του cm είναι: cm cm

m mR 20 0,1 10 2 10

s sυ = ω⋅ = ⋅ ⇒ υ =

Το μέτρο της στροφορμής είναι:

L=I.ω= ( )22 2 21 1mR 2 0,1 10 20 kg.m / s 2 kg.m / s

2 2ω= =

3. Συμπαγής κύλινδρος μάζας M 3Kg= είναι δεμένος στην άκρη ενός ιδανι-κού ελατηρίου σταθεράς K 200 N m= , έτσι ώστε να μπορεί να κινείταιοριζόντια χωρίς να ολισθαίνει. Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προςτον άξονα του γύρω από τον οποίο περιστρέφεται δίνεται από τη σχέση

21I MR

2= . Επιμηκύνουμε το ελατήριο κατά x 0,3m= και το αφήνουμε

ελεύθερο. Ζητούνται:α. Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που δέχεται ο κύλινδρος σε μια τυχαία θέση

της κίνησής του καθώς επιταχύνεται.β. Να υπολογιστεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας λόγω μεταφορικής προς

την κινητική ενέργεια λόγω περιστροφικής κίνησης τη στιγμή που τοελατήριο διέρχεται από τη θέση φυσικού του μήκους.


γ. Να υπολογιστεί η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής και η κινητικήενέργεια λόγω μεταφοράς του κυλίνδρου τη στιγμή που το ελατήριοδιέρχεται από τη θέση φυσικού του μήκους.

δ. Να αποδείξετε ότι το σύστημα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωσηκαι να υπολογίσετε την περίοδό του.

Λύση:α.

β. 2 2 2

μετ. μετ.2 2

2περ. περ.

K K1/ 2Μυ Μ·ω ·R2

K K1/ 2 Ιω M ·R·ω

2

= = ⇒ =

γ. 2μετ. περ. oλ μετ. περ.

(1)

μετ. περ. περ. περ.

περ. περ μετ.

K K E K K 1/ 2Κ·x

K K 9 2K K 9

3K 9J και K 3J, K 6J

+ = ⇒ + = ⇒

+ = ⇒ + = ⇒

= = =

δ. Στην Θ.Ι. (1): ΣF = 0Στην Τ.Θ.Τ. (2):ΣF = Τ – Fελ(2)Αλλά: ελ. cm ελ cmF Τ Μ·α T F Μ·α− = ⇒ = − (3)

Επίσης: 2γων γων

cmcm

1Στ Ι·α Τ·R Μ·R ·α2

α1 2TΤ ΜR · α (4)2 R m

= ⇒ = ⇒

= ⇒ =

Οπότε από τις σχέσεις (3), (4) ελ ελ2T

T F Μ F 3TΜ

⇒ = − ⇒ = (5)

Τελικά από τις σχέσεις (2), (5) ελελ ελ

ελ

FΣF T F ΣF F3

ΣF 2 / 3F ΣF 2 / 3Κx

⇒ = − ⇒ = − ⇒

= − ⇒ = −


zO

AB

�/3

�/6

2 /3�

z´ cm

w

30 h

Άρα το σύστημα εκτελεί α.α.τ. 2ΚD

3=

Η περίοδος ταλάντωσης είναι: Μ 3ΜΤ 2π 2π T 0,3πs2K /3 2K

= = ⇒ =

4. Μία λεπτή ράβδος μήκους3m= και μάζας m=1 kg,

συγκρατείται σε οριζόντιαθέση, όπως φαίνεται στοσχήμα. Η ράβδος έχει τηδυνατότητα να περιστρέ-φεται γύρω από οριζόντιο άξονα (Ο), που είναι κάθετος στη ράβδο καιαπέχει από το ένα άκρο της απόσταση / 3 . Αφήνουμε τη ράβδο ελεύθερηνα περιστραφεί. Nα βρείτε:α. τη ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το (Ο),β. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν έχει στραφεί κατά 30°, καθώς

επίσης και τη γραμμική ταχύτητα του άκρου Β,γ. τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου όταν βρίσκεται σε κατακόρυφη θέση,

τη στροφορμή της και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της εκείνητη στιγμή;

Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που περνά από το

κέντρο μάζας της 2cm

1I m

12= .

Λύση:

α. Η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής της, βρίσκεται με το θεώρη-μα Steiner:

2

cm

2 2

2 2

I I m6

1 1m m

12 361

I m 1kg.m9

= + ⇒

Ι = + ⇒

= =

β. Όταν η ράβδος σχηματίζει γωνία 30ο με την οριζόντια διεύθυνση, το cm της έχει

z

O

AB

�/3 2 /3�

z´

cm

w


A

A

B

B

�/3 2 /3�

cm

w

�/6O

κατέβει κατακόρυφα κατά:1

h 30 m6 4

ο= ⋅ηµ =

Θεωρώντας ως επίπεδο U=0 αυτό που διέρχεται από το cm της ράβδου, όταναυτή σχηματίζει γωνία 30ο με την οριζόντια διεύθυνση, και εφαρμόζοντας ΑΔΜΕ,έχουμε:

Uαρχ=Κτελ ή 2 2 2 21 1

1 1 1 3 gmg I mg m

12 2 12 2 9 2= ω ⇒ = ⋅ ω ⇒ω = ⋅ ⇒

1 1 1

3 g 3 10 rad rad5

2 2 3 s sω = ⋅ ⇒ω = ⋅ ⇒ω =

Η γραμμική ταχύτητα του άκρου Β της ράβδου θα είναι:

2 2.3 m m5 2 5

3 3 s sυ = ω⋅ = ⋅ ⇒ υ =

γ. Όταν η ράβδος βρεθεί σε κατακόρυφη θέση, το κέντρο μάζας της έχει κατέβει

κατά 0,5m6= . Επομένως, από την ΑΔΜΕ και θεωρώντας επίπεδο U=0 αυτό

που διέρχεται από το κέντρο μάζαςτης ράβδου, έχουμε:

Uαρχ τελ= Κ ⇒

22

2 22

1mg I

6 21 1

mg m6 2 9

= ω ⇒

= ⋅ ⋅ω ⇒

22

g3ω = ⇒ 2

g 10 radω 3 33 s

= =

2

rad10

sη ω =

Η στροφορμή της ράβδου έχει τιμή: L=I.ω2=210 kg.m / s

Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ράβδου είναι:L

0t ολ

∆ = τ =∆


Ã

A

x

y

Ï

ö

w

N1

ù0N2

N2,x

N2,y

T1

T2

T2,x

T2,y

5. Ο ομογενής κύλινδρος του σχήματοςέχει ακτίνα R=1m, μάζα m=2kg καιβρίσκεται συνέχεια σε επαφή με τηράβδο ΑΓ και το οριζόντιο επίπεδο,που σχηματίζουν μεταξύ τους γωνίαφ. Αν ο συντελεστής τριβής ολίσθη-σης μεταξύ του κυλίνδρου και τουεπιπέδου καθώς και με τη ράβδο εί-ναι μ=0,5 και η αρχική του γωνιακήταχύτητα είναι ω0=100 rad/s, να υπο-λογίσετε:α. Τα μέτρα των τριβών που δέχεται ο τροχός και τη γωνιακή επιβράδυν-

σή του.β. Μετά από πόσο χρόνο θα σταματήσει να περιστρέφεται ο κύλινδρος αφού

έρθει σε επαφή με τα δύο επίπεδα.γ. Το πλήθος των περιστροφών του κυλίνδρου από τη στιγμή που αφήνε-

ται μέχρι να σταματήσει.δ. Τα έργα των τριβών.

Δίνονται συνφ=0,8 , ημφ=0,6 , για τον κύλινδρο Ιcm= 1

2mR2, g =10m/s2

και δεν κάνει μεταφορική κίνηση.Λύση:α. Οι δυνάμεις που ασκούνται στο κύλινδρο

είναι:• το βάρος του w

• οι τριβές 1 2T , T και οι κάθετες δυνάμεις

1 2N N, από το επίπεδο και τη ράβδο α-ντίστοιχα.

Ο κύλινδρος δεν εκτελεί μεταφορική κίνηση άρα:ΣFx= 0 (1) ΣFy= 0 (2)

Αναλύουμε τις δυνάμεις 2 2N , T σε συνιστώσες.

Ν2χ=Ν2.ημφ (3) και Ν2y=N2.συνφ (4)

Τ2y=T2.ημφ (5) και Τ2χ=Τ2.συνφ (6)

Από τις σχέσεις (1) και (2) με την βοήθεια (3), (4), (5) και (6) έχουμε ότι:

Ã

A

Ï

ömg

R

ù0


Τ2χ+ Ν2χ - Τ1=0 ⇒ Τ2.συνφ + Ν2.ημφ -Τ1=0

Τ2y+Ν1-w - Ν2y=0 ⇒ Τ2.ημφ +Ν1 - mg - N2.συνφ = 0Από τον νόμο της τριβής (Τ=μ.Ν) παίρνουμε:

μ·Ν2 ·συνφ + Ν2·ημφ – μ·Ν1=0 και μ·Ν2·ημφ +Ν1 – mg – N2·συνφ = 0

Ν1= 2N (μ.συνφ + ημφ)μ

(7) και

μ.Ν2·ημφ - mg - N2·συνφ + 2N (μ.συνφ + ημφ)μ

= 0 ⇒

μ2·Ν2·ημφ - m·g·μ - Ν2·μ·συνφ+Ν2( μ·συνφ + ημφ)=0⇒

Ν2(μ·συνφ+ημφ–μ·συνφ+μ2ημφ) = mgμ⇒Ν2= 2

m.g.μ(μ +1)ημφ

Με αντικατάσταση παίρνουμε: 2

40N = N

3

Από τις (7),(6) παίρνουμε: Ν1= 2

m.g.μ(μ +1)ημφ

(μ.συνφ + ημφ)μ

⇒

Ν1= 2

m.g.(μσυνφ + ημφ)(μ +1)ημφ

Με αντικατάσταση παίρνουμε: Ν1=80

N3

Οπότε οι τριβές που ασκούνται στον κύλινδρο από τις επιφάνειες θα είναι:

Τ1=μ·Ν1⇒Τ1=40

N3

και

Τ2=μ·Ν2 ⇒Τ2= 20N

3Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής και λαμβάνοντας υπόψιν ότι οι μόνεςδυνάμεις που προκαλούν ροπή είναι οι τριβές, επειδή στις άλλες έχουμε ότι οιφορείς τους διέρχονται από τον άξονα περιστροφής, θα ισχύει:

Στ=Ι.αγων⇒ Τ1.R + T2.R =2mR

2αγων⇒ Τ1 + T2 =

mR

2αγων⇒

40N

3 + 20

N3

=1kgm2.αγων ⇒αγων = 20rad/s2


β. Η γωνιακή επιβράδυνση είναι α= 20rad/s2 , οπότε η εξίσωση της γωνιακής ταχύ-τητας θα είναι: ω=ω0 -αγων·t ⇒0=100-20.t ⇒ t=5s

γ. Η εξίσωση της γωνιακής θέσης θα είναι: θ=ω0·t- 1

2 α.t2 ⇒ θ=250 rad

Άρα το πλήθος των περιστρόφων είναι: Ν=θ 125

2π π=

δ. W1=T1·R·θ= 40N

3.1m.250 rad= 42

10 J3

W2=T2·R·θ= 20N

3·1m·250 rad= 35

10 J3

6. Η ομογενής ράβδος μήκους 3l m

4= και μάζας M 4kg= ,

του σχήματος, μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβέςσε κατακόρυφο επίπεδο, γύρω από οριζόντιο άξονα πουείναι κάθετος στο ράβδο και διέρχεται από το ένα άκροτης. Στο άλλο άκρο της ράβδου είναι προσκολλημένησημειακή μάζα m 2kg= η οποία κινείται μαζί με τηράβδο. Αρχικά η ράβδος βρίσκεται στη θέση (1) καιαφήνεται ελεύθερη να κινηθεί.Α. Να υπολογιστούν:

i. Η ροπή αδράνειας του συστήματος και η γωνια-κή επιτάχυνση του συστήματος ράβδου - μάζαςόταν αυτό είναι οριζόντιο.

ii. Η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συστή-ματος ράβδου - μάζας.

Β. Όταν η ράβδος φτάσει στην κάτω κατακόρυφη θέση της, η μάζα mαποκολλάται από τη ράβδο και κινούμενη οριζόντια, συγκρούεται πλα-στικά με σώμα ίσης μάζας που βρίσκεται δεμένο στην ελεύθερη άκρηοριζόντιου ελατηρίου και που έχει το άλλο άκρο του στερεωμένο. Τοελατήριο έχει σταθερά K 100N / m= και βρίσκεται στο φυσικό του μή-κος. i. Να βρείτε την ταχύτητα του σφαιριδίου στην κατώτερη θέση. ii. Το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το συσσωμάτωμα.iii. Μετά από πόσο χρόνο μετά την κρούση το ελατήριο θα ξαναβρεθεί

στη θέση φυσικού του μήκους. Δίνεται Ιcm =Μl2/12Λύση:Α.i. Ροπή αδράνειας συστήματος:


22 2 2

συστ ραβδ m συστ1 15

I I I M M m l kg m12 2 8

= + = + + ⇒ = ⋅ l

l l

συστ γων γων γωνσυστ

Mg mg 302τ I α α α α 16rad / s15I8

+= ⋅ ⇒ = ⇒ = ⇒ =∑

ll

ii. Είναι: maxmax

dL dLΣτ Στdt dt

= ⇒ = . Επομένως είναι

max

dL

dt

όταν η ρά-

βδος είναι οριζόντια (θέση 2) ,γιατί τότε η ροπή είναι μέγιστη.

U=0


2

εξ 2max

dL 1 mτ Mg mgl 30kgdt 2 s

= = + = ⋅ ∑

Β. i. ΑΔΜΕ από τη θέση 1 στη θέση 3 (U=0 στη θέση3):

2συστ

3l 1 1Mg mg2l I ω Μg ω 8 rad / s

2 2 2+ = + ⇒ =

Ταχύτητα της μάζας m τη στιγμή που αποκολλάται από τη ράβδο:υ ω l υ 6m / s= ⋅ ⇒ =

ii. Α.Δ.Ο. κατά την πλαστική κρούση:

κ κmυ 2m υ υ 3m / s= ⋅ ⇒ = Όλη η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετατρέπεται σε δυναμική ε-

νέργεια ταλάντωσης:

2 2κ

1 12m υ ΚΑ Α 0,6m

2 2⋅ = ⇒ =

iii. O χρόνος που ζητείται είναι:T 1 Κ

t 2π2 2 2m

= = t 5πsec=

7. Στο σχήμα, η ομογενής σφαίρα ακτί-νας r και μάζας m, αφήνεται στο ση-μείο Α του κεκλιμένου επιπέδου. Εάντο κεκλιμένο επίπεδο και η κυκλικήστεφάνη ακτίνας R=2,5 m είναι λεία,να υπολογίσετε:

α. Το ελάχιστο ύψος h του κέντρου τηςσφαίρας από το έδαφος από το οποίοπρέπει να αφήσουμε την σφαίρα ώστε να κάνει ασφαλή ανακύκλωση.

β. Στην περίπτωση που στο κεκλιμένο επίπεδο και στην κυκλική στεφάνηαναπτύσσονται δυνάμεις τριβής. Θα καταφέρει η σφαίρα να κάνει μίαπλήρη ανακύκλωση αν την αφήσουμε από το ύψος που υπολογίσαμεστο παραπάνω ερώτημα; Και αν όχι, μέχρι ποιο ύψος h΄ θα καταφέρεινα φτάσει;

γ. Να υπολογίσετε το νέο ύψος Η από το οποίο πρέπει να αφήσουμε τηνσφαίρα ώστε να κάνει μία πλήρη ανακύκλωση.

Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας 2cm

2I mr

5= , g=10m/s2 και ότι

r << R

hR

R

R

K

(A)

100. Μηχανική στερεού σώματος Βήμα 3ο

Λύση:

h

U=0

R

R

K

(A)

w

w

N

Nõ

(Ã)

α. Το κέντρο μάζας της σφαίρας εκτελεί στο εσωτερικό της στεφάνης κυκλική κίνησηακτίνας R - r R≅ =2,5m. Όταν η σφαίρα βρίσκεται στην υψηλότερη θέση τηςκυκλικής στεφάνης, ασκούνται σ’αυτήν:

το βάρος της w και η κάθετη αντίδραση Ν από το εσωτερικό της στεφάνης.

Ισχύει ότι: N+w=R

mυ2

Στην οριακή περίπτωση η σφαίρα να εκτελέσει μία πλήρη ανακύκλωση είναι

Ν=0, οπότε: w=R

mυ2

⇒υ=5m/s

Εφαρμόζουμε την AΔME για τη σφαίρα, στις θέσεις (Α) και (Γ) (δεν υπάρχουντριβές) και παίρνουμε:

U(A)=U(Γ)+Κμεταφ(Γ) ⇒ mgh=mg2R+1

2mυ2 ⇒ h=6,25m

β. Εάν στο κύλινδρο παρουσιάζονται τριβές και τον αφήνουμε από το ύψος πουυπολογίσαμε (h=6,25m), εφαρμόζοντας την ΑΔΜΕ, (η στατική τριβή δεν έχειέργο, θεωρούμε ότι ο κύλινδρος ολισθαίνει), έχουμε:

U(A)=U(Γ)+Κστροφ(Γ)+ Κμεταφ(Γ) ⇒ mgh=mg2R+1

2Icmω2+ 2

cm

1mυ

2

Aντικαθιστώντας όπου ω= cmυ /r , καταλήγουμε στην:

gh=g2R+7

102cmυ ⇒ cmυ 4,23m/s

101.Βήμα 3ο Μηχανική στερεού σώματος

Παρατηρούμε ότι είναι μικρότερη από την ελάχιστη ικανή ταχύτητα (υ=5m/s)για να εκτελέσει η σφαίρα ασφαλή ανακύκλωση όταν βρίσκεται στη θέση Γ.

h

U=0

R

d

h´K

(A)

wwx

wy

ö

õ1 (Â)

(Ã)

Άρα δεν πρόκειται να εκτελέσει πλήρη ανακύκλωση.Για να υπολογίσουμε το ύψος στο οποίο θα φτάσει τελικά η σφαίρα, εφαρμόζουμεπάλι ΑΔΜΕ από Α-Β.

U(A)=U(Β)+Κστροφ(Β)+ Κμεταφ(Β) ⇒ mgh=mgh΄+1

2Icmω2+ 2

1

1mυ

2

Στη θέση Β (τελική θέση της σφαίρας), η κάθετη αντίδραση από την κυκλική

στεφάνη γίνεται Ν=0. Τότε ισχύει: wy=21mυ

R⇒ mgημφ=

21mυ

R ⇒υ2

1=gRημφ

Επίσης η σφαίρα απέχει από το έδαφος απόσταση h΄=R+d, όπου d=Rημφ

Άρα παίρνουμε: mgh=mg(R+Rημφ)+ 21 2mr

2 52ω + 2

1

1mυ

2

Αντικαθιστώντας ωr= 1υ και h=6,25m, έχουμε: ημφ=0,86Συνεπώς βρίσκουμε: h΄=2,5+0,88·2,5⇒ h΄= 4,7m

γ. Για να υπολογίσουμε από ποιο ύψος Η πρέπει να αφήσουμε το σώμα, ώστε ναεκτελέσει ασφαλή πλήρη ανακύκλωση, θα εφαρμόσουμε ΑΔΜΕ για την νέααρχική θέση της σφαίρας μέχρι τη θέση Γ της κυκλικής στεφάνηςU(Aρχ)=U(Γ)+Κστροφ(Γ)+ Κμεταφ(Γ)⇒

mgΗ=mg2R+1

2Icmω2+

1

2mυ2 ⇒ gH=g2R+ 21 2

r2 5

2ω1

22+ υ

Από την τελευταία με αντικατάσταση παίρνουμε: Η=6,75m.


8. Σε μια μπάλα του μπιλιάρδου με κατάλληλο χτύπημα τη χρονική στιγμήt=0 προσδίδουμε γωνιακή ταχύτητα ωο και γραμμική ταχύτητα υo σύμ-φωνα με το παρακάτω σχήμα.

α. i. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που εξασκούνται στη μπάλα και να εξηγή-σετε σε ποια σημεία πρέπει να γίνει το χτύπημα για να έχουμε τηνκίνηση του σχήματος.

ii. Να περιγράψετε το είδος κίνησης της μπάλας μέχρι να αρχίσει νακυλά.

β. i. Να γίνουν ποιοτικά οι γραφικές παραστάσεις της ταχύτητας του κέ-ντρου μάζας της και της γωνιακής ταχύτητας σε συνάρτηση του χρό-νου. (υcm=f(t)) και ω=f(t)).

ii. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που αρχίζει η μπάλα να κυλά και ο αριθ-μός των στροφών που πραγματοποιεί μέχρι τότε αν γνωρίζω ότι τε-λικά η μπάλα κυλά προς τα δεξιά.

Οι ποσότητες ω0, υ0, Μ, μ, g και Icm θεωρούνται γνωστές.Λύση:α. Η μπάλα αποκτά ταχύτητα υ0 λόγω της δύνα-

μης F, οπότε η φορά της F πρέπει να είναι προςτα δεξιά. Η μπάλα αποκτά επίσης και γωνιακήταχύτητα ω0. Άρα η δύναμη F θα πρέπει ναασκηθεί κάτω από το κέντρο της για να έχουμετην κατάλληλη γωνιακή επιτάχυνση ώστε ναμπορεί να αποκτήσει γωνιακή ταχύτητα ω

0. Το σημείο Α έχει ταχύτητα με φορά

προς τα δεξιά, που δίδεται από τη σχέση υA

=ωR+υo και τείνει να ολισθήσει.

Επομένως στη μπάλα ασκείται τριβή ολίσθησης προς τα αριστερά.

Η τριβή ολίσθησης παίζει δύο ρόλους:

Επιβραδύνει το κέντρο μάζας της μπάλας, άρα μειώνεται η ταχύτητα του κέ-ντρου μάζας.

Λόγω της ροπής της επιβραδύνει τη στροφική κίνηση της μπάλας, άρα μειώνε-ται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής.

Ο τροχός θα στρέφεται και θα ολισθαίνει μέχρι τη στιγμή που θα αρχίσει νακυλά. Εκείνη τη στιγμή θα παύσει η εφαρμογή της τριβής ολίσθησης και στημπάλα δε θα ασκείται καμία δύναμη, οπότε οι ταχύτητες υ

cm και ω

1 παραμένουν

σταθερές.

õ0

F

Í

w

A

Tïë ù R0


β. i. Έχουμε δύο περιπτώσεις ανάλογα με τι τιμές των ωο και υ

o.

Μπορεί να μηδενιστεί πρώτα η ταχύτητα του κέντρου μάζας, οπότε η τριβήολίσθησης θα αρχίσει να επιταχύνει τη μπάλα προς τα πίσω και η κύλιση θαγίνεται προς τα αριστερά (ανάποδα φάλτσα). Οι γραφικές παραστάσεις γίνο-νται:

ùõcm

tt 00

ù0õ0

ù1

õ1

t2

t2t1

Τη χρονική στιγμή t1 έχουμε υ

cm=0 και αρχίζει η κίνηση προς τα αριστερά, ενώ

τη χρονική στιγμή t2 αρχίζει η μπάλα να κυλά (υ

1=ω

1R).

ii. Μπορεί να μηδενιστεί πρώτα η γωνιακή ταχύτητα, οπότε η ροπή της τριβήςολίσθησης αρχίζει να στρέφει τη μπάλα ανάποδα και η κύλιση γίνεται προς ταδεξιά.Οι γραφικές παραστάσεις γίνονται:

ùõcm

tt 00

ù0õ0

õ1

ù1

t2

t2

t1

Τη χρονική στιγμή t1 αρχίζει η μπάλα να στρέφεται ανάποδα και τη χρονική

στιγμή t2 αρχίζει κυλά (u

1=ω

1R).

Β.2.õ0

acm

ATïë


Λόγω της μεταφορικής κίνησης: ολ cm cm cmT = Μα μΜg = Mα α = μg⇒ ⇒ (1)

Για τη ταχύτητα του κέντρου μάζας έχουμε: cm o cmυ = υ - α t (2)

Λόγω της στροφικής κίνησης:

cm γ ολ cm γ cm γ γcm

μΜgRΣτ = Ι α Τ R = Ι α μΜgR = Ι α α =Ι

⇒ ⇒ ⇒ (3)

Για τη γωνιακή ταχύτητα έχουμε: o γω = ω -α t (4)

Για να αρχίζει να κυλά πρέπει υA=0. Άρα έχουμε με τη βοήθεια των σχέσεων

(1), (2), (3) και (4), έχουμε:

ο ocm ο γ 2 o cm 2 2 2

cm

ω R - υωR = υ (ω - α t )R = (υ - α t ) t =

μΜgR-μg

Ι

⇒ ⇒

Προσοχή! Όσο στρέφεται το σώμα και ολισθαίνει:

cmυ ωR≠ και cm γα α R≠

O αριθμός των στροφών υπολογίζεται από τη γωνία θ που διαγράφει η μπάλα

μέχρι να αρχίσει να κυλά. Έχουμε ότι: 2ο 2 γ 2

1θ = ω t - α t2

όπου η αγ

δίδεται από τη σχέση (3).

Τελικά ο αριθμός των στροφών είναι:θ

N =2π

9. Ο τροχός του σχήματος έχει μάζαM=4kg και ακτίνα R=20cm. Tηχρονική στιγμή t=0 αρχίζει ναασκείται σταθερού μέτρου δύναμηF=20Ν, οπότε ο τροχός αρχίζει ναπεριστρέφεται γύρω από τον άξο-να z΄z που περνά από το cm του.α. Να υπολογίσετε:

i. τη γωνιακή επιτάχυνση τουτροχού,

ii. τη στροφορμή του τροχούκαι την ισχύ της δύναμηςπου τον στρέφει, τη χρονική στιγμή 5s,

z

z´

MR

F


iii. το έργο της ροπής της δύναμης μετά από χρόνο 5s.β. Τη χρονική στιγμή t=5s παύει να ενεργεί η δύναμη. Ένα κομμάτι λά-

σπης μάζας 0,5kg, αφήνεται να πέσει κατακόρυφα και κολλά πάνω στοντροχό σε απόσταση R/2 από τον άξονα περιστροφής του τροχού. Να υ-πολογίσετε:i. τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού αμέσως μετά την προσκόλληση της

λάσπης σ’ αυτόν και την κινητική ενέργεια του τροχού τη χρονικήστιγμή 7s.

ii. πόσo έργο απαιτείται για να σταματήσει το σύστημα;

Δίνεται: η ροπή αδράνειας τροχού ως προς άξονα που περνά από το κέντρο

μάζας του 2

cm

M RI

2⋅= . Θεωρήστε αμελητέες τις τριβές.

Λύση:α.i. Η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι:

( )222 2 2

cm cm

4 0,2M RI kg m I 8 10 kg m

2 2−⋅= = ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Από το θεμελιώδη νόμο της στροφικής κίνησης θα υπολογίσουμε τη γωνιακήεπιτάχυνση του τροχού.

Έχουμε: 2 2cm 2

cm

F.R 4rad / s 50rad / s

8 10γων γων γων−Στ = Ι α ⇒α = = ⇒α =Ι ⋅

ii. Η κίνηση του τροχού είναι κυκλική ομαλά επιταχυνόμενη.Επομένως τη χρονι-κή στιγμή 5s η γωνιακή του ταχύτητα είναι:

1 1 1t 50 5rad / s 250rad / sγωνω = α = ⋅ ⇒ ω =Άρα, η στροφορμή του δίσκου, την ίδια χρονική στιγμή, και ο ρυθμός παραγω-γής του έργου (ισχύς της δύναμης) θα είναι:

2 2 2cm 1L I 8 10 250kg m /s L 20kg m /s−= ⋅ω = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅

και η ζητούμενη ισχύς: 1 1P 4 250J / s P 1000J / s= τ ⋅ω = ⋅ ⇒ =

iii. Από το ΘΜΚΕ για τη στροφική κίνηση θα υπολογίσουμε το ζητούμενο έργο:K Wτελ αρχ− Κ = ⇒

2 2 21 cm 1

1 1W W W 8 10 250 J W 2500J

2 2−Κ = ⇒ = Ι ω ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒ =

Β.i. Εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της στροφορμής για το σύστημα (δεν υ-πάρχει εξωτερική ροπή από τη χρονική στιγμή 5s και μετά):


11 2 1 2 2 2

2

LL L L I ω ω

I= ⇒ = ⋅ ⇒ =

Μετά την προσκόλληση της λά-σπης στον τροχό,η ροπή αδράνει-ας του συστήματος γίνεται:

( )

2

2 cm

22 22

2 22

RI I m

2

I 8 10 0,5 0,1 kg m

I 8,5 10 kg m

−

−

= + ⇒ = ⋅ + ⋅ ⇒

= ⋅ ⋅

Άρα:

2 2

20rad / s 235rad / s

8,5 10−ω = =

⋅Από τη χρονική στιγμή 5s και μετά την προσκόλληση της λάσπης στον τροχό,αφού θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν τριβές, η γωνιακή ταχύτητα του τροχού θαείναι σταθερή και ίση με ω2. Επομένως, τη χρονική στιγμή 7s η κινητικήενέργεια του τροχού λόγω περιστροφής θα είναι:

2 2 22 2 2 2

1 1K I 8,5 10 235 J K 2347J

2 2−= ω = ⋅ ⋅ ⇒ =

ii. Το ζητούμενο έργο θα υπολογιστεί με Θ.Μ.Κ.ΕΚτελ-Καρχ=W ⇒ 0-2347 J=W⇒W=-2347 J

z

z´

M

R/2m


1. Η δοκός του σχήματος είναι ομογε-νής βάρους w1=200Ν και μήκουςl=1m. Το σχοινί είναι οριζόντιο καιαβαρές. Η σφαίρα έχει ακτίναR=0,2m και βάρος w2=40Ν. Aν δενυπάρχουν τριβές και το σύστημαισορροπεί. Να υπολογίσετε:α. Την τάση του νήματος,

β. Τη δύναμη από την άρθρωση.

γ. Πόσο πρέπει να είναι το μέγιστοβάρος της σφαίρας, για να μη σπά-σει το νήμα που έχει όριο θραύ-σης 130Ν;

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

ÃÁ

60o

O


2. Ο τροχός του σχήματος ακτίνας 0,5 m περιστρέ-φεται γύρω από ένα σταθερό οριζόντιο άξοναχωρίς τριβή. Η ροπή αδράνειας του ως προς τονάξονα αυτόν είναι 2Kgm2. Μια σταθερού μέ-τρου δύναμη F=20Ν ασκείται στο άκρο του νή-ματος, που είναι τυλιγμένο γύρω από την περί-μετρο του τροχού, έτσι ώστε αυτός να επιταχύ-νεται. Αν ο τροχός αρχίζει να περιστρέφεται τηστιγμή t = 0, να βρείτε:α. την γωνιακή επιτάχυνση και την γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη στιγ-

μή t = 4s,β. την ισχύ της δύναμης και τη μεταβολή της κινητικής της ενέργειας όταν

το μήκος του σχοινιού που ξετυλίχθηκε είναι 4,5m.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

3. Κυλινδρικός δίσκος ακτίνας R και μάζας m εί-ναι τυλιγμένος με λεπτό, αβαρές μη εκτατόνήμα, η άλλη άκρη του οποίου στερεώνεται σεακλόνητο σημείο, όπως στο σχήμα. Αφήνουμετο δίσκο ελεύθερο και αυτός αρχίζει να κατε-βαίνει.α. Να βρείτε την επιτάχυνση του cm δίσκου

και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμήςτου.

β. Να βñåßôå ôçí ôá÷ýôçôá ôïõ êÝíôñïõ ìÜæáò ôïõ üôáí ï äßóêïò Ý÷åéðÝóåé êáôÜ 1,2m

FR

R


Δίνονται: για το δίσκο 2

cm

M RI

2⋅= και g=10 m/s2á.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

4. Στον κύλινδρο του σχήματος ακτίνας R=0,5m και μάζα M=2kg που αρχι-κά έχει γωνιακή ταχύτητα ω0=4rad/s, ασκείται εφαπτομενικά δύναμη μέ-τρου F=20N.α. Να υπολογιστεί η μεταβολή της

στροφορμής σε χρόνο 2s.β. Το έργο της δύναμης σε 2s.γ. Tην ισχύ της δύναμης τη στιγμή 2s.

Δίνεται για το δίσκο 2

cm

M RI

2⋅= .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

F

R


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

5. Μία γάτα με μάζα m=4kg βρίσκεται στην περιφέρεια του κυκλικού τρα-πεζιού του σχήματος, που έχει μάζα Μ=40kg, ακτίνα R=1m. Η γάτα είναιακίνητη ως προς το τραπέζι και όλο το σύστημα περιστρέφεται, χωρίςτριβές, με γωνιακή ταχύτητα ω=2rad/s. Ξαφνικά η γάτα αρχίζει να κινεί-ται στην περιφέρεια τραπεζιού με σταθερή κατάμέτρο ταχύτητα υ0= 4m/s.Να βρεθεί η νέα γωνιακή ταχύτητα τουτραπεζιού στις περιπτώσεις:

α. η φορά της κίνησης της γάτας συμπίπτει μετην φορά περιστροφής ττου τραπεζιού,

β. η φορά της κίνησης της γάτας είναι αντίθετημε την φορά περιστροφής του τραπεζιού.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. Κύλινδρος συμπαγής μάζας Μ=4kg βρίσκεται στη βάση κεκλιμένου επίπε-δου γωνίας κλίσης φ=300 .Νήμα είναι τυλιγμένο στην περιφέρεια του κυ-

m

M


λίνδρου και στο άκρο του ασκείται σταθε-ρή δύναμη μέτρου F =20N, παράλληλη στοκεκλιμένο δάπεδο Ο κύλινδρος αρχίζει ναανεβαίνει τη στιγμή t=0, με επιτάχυνση 10/3 m/s2. Να υπολογιστoύν:α. η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου.β. ο ρυθμός που μεταβάλεται η στροφορ-

μή του κυλίνδρου τη στιγμή 4s.γ. το έργο της δύναμης F σε 4s και ο ρυθ-

μός που προσφέρεται ενέργεια στονκύ-λινδρο.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

7. Δύο μάζες 1m 3Kg = και 2m 1Kg = συνδέονται με αβαρές μη εκτατό νήμαπου είναι περασμένο σε τροχαλία, ακτίναςR=10cm και μάζας Μ=4Kg. Τα σώματα αρ-χικά είναι στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και τοσύστημα ήταν ακίνητο. Να υπολογίσετε:α. την επιτάχυνση των μαζών m1 και m2,β. την υψομετρική διαφορά των σωμάτων

σε 2s και την στροφορμή της τροχαλίας τηστιγμή αυτή. Δίνονται g=10 m/s2 και ότιτο νήμα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία.

2τρ

1I MR

2=

F

R

30o

RM

m m1 2


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Οι δύο ίδιοι ράβδοι του σχήματος είναι κολ-λημένες στο Ο. Το σύστημα μπορεί να στρέ-φεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξοναπου περνά από το Ο. Τη στιγμή t=0 αφήνεταιτο στερεό ελεύθερο από τη θέση που φαίνεταιστο σχήμα.α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του

στερεού, όταν οι ράβδοι σχηματίζουν ίσεςγωνίες με την κατακόρυφη.

β. Πόσος είναι εκείνη τη στιγμή ο ρυθμός με-ταβολής της στροφορμής του στερεού και πόση η στροφορμή του;

Δίνονται g=10 m/s2 l=2m, m=2kg και ότι η ροπή αδράνειας ράβδου ως

προς άξονα περιστροφής που περνά από το άκρο της, είναι: 2mlI 3=

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Om

ml

l


9. Ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΖέχει μήκος L=4 m, μάζα Μ=3 kgκαι ισορροπεί σε οριζόντια θέση,όπως φαίνεται στο σχήμα. Στοάκρο Α υπάρχει ακλόνητη άρθρω-ση γύρω από την οποία η ράβδοςμπορεί να περιστρέφεται χωρίςτριβές, ενώ στο άλλο άκρο Ζ υ-πάρχει στερεωμένο σφαιρίδιο μά-ζας m1=0,6 kg και αμελητέων δια-στάσεων. Ένα αβαρές νήμα ΔΓσυνδέει το σημείο Γ της ράβδουμε σφαιρίδιο μάζας m2=1 kg, το οποίο είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκροιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 Ν/m. Δίνεται AΓ=2,8 m. Nα υπολογί-σετε:α. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου - σφαιριδίου m1, ως προς

άξονα που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο της διάταξηςβ. Το μέτρο της τάσης του νήματος ΓΔ.

Αν κόψουμε το νήμα ΓΔ το m2 κάνει γ.α.τ., ενώ η ράβδος με το m1πέφτει με την επίδραση της βαρύτητας. Να υπολογίσετε:

γ. Το χρόνο που χρειάζεται το σφαιρίδιο m2 από τη στιγμή που κόβεται τονήμα μέχρι τη στιγμή που θα φτάσει στο ψηλότερη θέση του για 1ηφορά.

δ. Το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ζ, τη στιγμή που ηράβδος περνά από την κατακόρυφη θέση.

Δίνονται g=10m/s2, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το cm: Ιcm=2M L

2

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

ZA

Ã

Ä

m1

m

k

2


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

10. Μία σφαίρα μάζας m=1kg και ακτίνας R=0,2m περιστρέφεται με ω0=20rad/s και τοποθετείται χωρίς αρχική μεταφορική ταχύτητα σε οριζόντιοδάπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής μ=0,25.

ù0

α. Να υπολογίσετε το χρόνο που θα αρχίσει ο δίσκος να κυλίεται χωρίς ναολισθαίνει.

β. Να εξετάσετε την περίπτωση που υπάρχει αρχική μεταφορική ταχύτη-τα:

i. υ0=2 m/s, ii. υ0=4 m/s.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Θέμα 1ο

Α. Τροχός ακτίνας R, κυλίεται χωρίς ολίσθηση στον οριζόντιο δρόμο και κάποιαστιγμή έχει ταχύτητα υcm και επιτάχυνση αcm.1. Για κάθε σημείο του τροχού ισχύει ότι: υπεριστρ=υcm2. Είναι: αcm=αγων

.R3. Όλα τα σημεία του τροχού που είναι σε ύψος R από τον δρόμο έχουν ταχύτη-

τα υcm.4. Τα σημεία του τροχού που εφάπτονται στο δρόμο έχουν ταχύτητα υcm.Ποια πρόταση είναι σωστή;

(Μονάδες 5)...........................................................................................................................

Β. α. Το τροχός του λούνα παρκ κάνει:1. στροφική κίνηση

2. μεταφορική κίνηση

3. σύνθετη κίνησηβ. Οι θαλαμίσκοι του τροχού του λούνα παρκ κάνουν:

1. στροφική κίνηση

2. μεταφορική κίνηση

3. σύνθετη κίνηση(Μονάδες 8)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Γ. Ο δίσκος του σχήματος στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από άξονα, με την επίδρα-

ση μιάς εφαπτομενικής δύναμης F . Στο επόμενο σχήμα φαίνεται πως μετα-βάλλεται η γωνιακή του ταχύτητα με το χρόνο. Ποια από τις επόμενες προτά-σεις είναι σωστή;


1. στο διάστημα (0, t1) τα διανύσματαω και τ είναι αντίρροπα,

2. στο διάστημα t>t1 είναι WF<0,3. η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου

είναι μεταβλητή,4. το μέτρο της δύναμης είναι μεταβλη-

τό. (ÌïíÜäåò 7)

...........................................................................................................................

Δ. Για την περιστροφή ενός τροχού δίνεται το διάγραμ-μα ω=f(t) του σχήματος. Ποια από τα διαγράμματαα=f(t) είναι το σωστό;

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

Θέμα 2ο

Α. Στην κύλιση τροχού να αποδείξετε την εξίσωση αcm=αγων.R.

(Μονάδες 5).................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Β. Ένα στερεό έχει αcm=0 και αγων=0. Τι είδους κίνηση μπορεί να κάνει;(Μονάδες 7)

t

ù

0 1t 2t 3tá á

á

1

t0 1 2 3t t t

2

t01 2 3t t t

t0

3

1t 2t 3t

F

ù

tt1

0


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Γ. Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει τη στροφορμή στερεού σώματος. Γιατί ηδιάρκεια της περιστροφής της Γης γύρω από τον εαυτό της είναι 24h;

(Μονάδες 8).................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Δ. Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει την κινητική ενέρ-γεια στερεού λόγω στροφικής κίνησης. Για ποιον απότους άξονες (α), (β) η ράβδος έχει μεγαλύτερη κινητι-κή ενέργεια;

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Θέμα 3ο

Η ράβδος ΑΓ του παρακάτω σχήματος μάζας m=3kg, μήκους L= 2 m και 2

cm

mLI =

12,

στρέφεται γύρω από τον άξονα y΄y χωρίς τριβές με ω0=2 rad/s. Tη στιγμή t=0 δέχε-

ται την εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου 20 Ν, με φορά όπως φαίνεταιστο σχήμα.

(á) (â)

l, m


α. Nα γίνει το διάγραμμα ω=f(t) από 0 s μέχρι 4 s.(Μονάδες 5)

β. Να υπολογίσετε το έργο της F μέχρι τη στιγμή 4 s,(Μονάδες 8)

γ. το ρυθμό που προσφέρεται ενέργεια στη ράβδο τη στιγμή 4 s.(Μονάδες 7)

δ. το ρυθμό που μεταβάλλεται η στροφορμή της ράβδου.(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

..............................................................................................................................

Ã

F

ù0

Á

y

y´

L, m


Θέμα 4ο

Στεφάνη μάζας m=1kg αφήνεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ= 30o καιαπό ύψος h=1,8 m, να κυλήσει χωρίς να γλυστράει. Να βρείτε:α. το μέτρο της ταχύτητας της στεφάνης στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου.

(Μονάδες 5)

β. την επιτάχυνση του κέντρου μάζας και το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεταιαπό το επίπεδο.

(Μονάδες 7)

γ. τις τιμές του συντελεστή στατικής τριβής για να κυλάει χωρίς ολίσθηση.

(Μονάδες 8)

δ. το μέτρο της ταχύτητας της στεφάνης στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, αναυτό ήταν λείο.

(Μονάδες 5)

Δίνεται: g=10m/s2..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Ο μαθητής που έχει μελετήσει την ενότητα αυτή θα πρέπει ναγνωρίζει:

� από τη θεωρία των κρούσεων:

Τα είδη των κρούσεων. Να αποδεικνύει τους τύπους που δίνουν τις ταχύτητεςτων σωμάτων, μετά την ελαστική μετωπική κρούση τους.

Σε ελαστική μετωπική κρούση τις σχέσεις που δίνουν τις ταχύτητες τωνσωμάτων όταν αυτά έχουν:

i. ίσες μάζες,

ii. το δεύτερο σώμα είναι αρχικά ακίνητο

Να εφαρμόζει την Αρχή Διατήρησης της Ορμής (ΑΔΟ) σε ανελαστικήκρούση.

Να εφαρμόζει την Διατήρηση της Ενέργειας στις κρούσεις και να υπολογίζει

ποσοστά απωλειών σε ανελαστική κρούση.

� από τη θεωρία στο φαινόμενο Doppler:

Να εφαρμόζει τη γενική σχέση του φαινομένου Doppler.

122. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler Τύποι - Βασικές έννοιες

ΚΡΟΥΣΕΙΣ - ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER: Τύποι - Βασικές έννοιες

1. Κρούσεις

Διατήρηση της ορμής: Αν εξ πριν μεταΣF 0 P P= ⇒ =

Κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών 1 1m , υ με 2 2m , υ και : πριν μεταK K=

' 2 1 21 2 1

1 2 1 2

2m m mυ υ υm m m m

−= ++ +

' 1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m mυ υ υm m m m

−= ++ +

i. 1 2m m= '1 2υ υ= '

2 1υ υ=

ii. 2υ 0=' 1 21 1

1 2

m mυ υ

m m

−=

+' 12 1

1 2

2mυ υ

m m=

+

iii. 2 1m m>> '1 1υ υ= − '

2υ 0=

iv. 2 1m m<< '1 1υ υ '

2 1υ 2υ

2. Φαινόμενο Doppler

i. Ο παρατηρητής κινείται προς ακίνητη πηγή: ΑA s

υ υf f

υ+=

ii. Ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή: ΑA s

υ υf f

υ−=

iii. Η πηγή πλησιάζει ακίνητο παρατηρητή:

A ss

υf f

υ υ=

−

iv. Η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή: A ss

υf f

υ υ=

+

v. Παρατηρητής και πηγή κινούνται ως προς το μέσο:Α

A ss

υ υf f

υ υ±

=∓

123.Βήμα 1ο Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler

1. Κρούσεις

ΘΕΩΡΙΑ 1 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 καιm2 να υπολογίσετε τις ταχύτητες '

1u και '2u των σφαιρών μετά

την σύγκρουση, αν γνωρίζετε τις αρχικές τους ταχύτητες καιτις μάζες τους.

Απόδειξη

Ας ορίσουμε σαν θετική τη φορά προς τα δεξιά, όπως δείχνει το σχήμα.Για την κρούση επειδή είναι ελαστική, θα ισχύουν η ΑΔΟ και η αρχή διατήρησηςτης ενέργειας (ΑΔΚΕ) πριν και μετά την κρούση.Α.Δ.Ο.

' ' ' '1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2p p p p p p m u m u m u m uπριν µετα= ⇒ + = + ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2m u m u m u m u m u u m u u′ ′ ′ ′⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ − = − (1)

Α.Δ.Κ.Ε.

2 2 '2 '21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1m u m u m u m u

2 2 2 2πριν µεταΚ = Κ ⇒ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2m u m u m u m u m u u m u u′ ′ ′ ′⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⇒ − = − ⇒

( )( ) ( )( )1 1 1 1 1 2 2 2 2 2m u u u u m u u u u′ ′ ′ ′− + = − + (2)

m1

ðñéí ôç êñïýóç ìåôÜ ôç êñïýóçêñïýóç

m1m2m2

u´1u1

F1

(+)

F2

u2 u´2

124. Κρούσεις - Φαινόμενο Doppler Βήμα 1ο

Αν είναι: '1 1u u≠ και '

2 2u u≠από (1) και (2) διαιρώντας κατά μέλη ( 2 ):( 1 ) παίρνουμε:

1 1 2 2u u u u′ ′+ = + (3)

Οι σχέσεις (1) και (3) δίνουν:2 1 2

1 2 11 2 1 2

2m m mu u u

m m m m

−′ = ++ + (4)

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m mu u u

m m m m

−′ = ++ + (5)

ΘΕΩΡΙΑ 2 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 =m2να δείξετε ότι οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες μετά τηνκρούση.

Απόδειξη

m mmm

u´1u1 u2 u´2

Εάν m1 = m2 = m τότε οι σχέσεις (4) και (5) γίνονται:

2 2 1 2 1

2m m mu u u u u

2m 2m

−′ ′= + ⇒ = και

2 1 2 2 1

2m m mu u u u u

2m 2m

−′ ′= + ⇒ =

ΘΕΩΡΙΑ 3 Σε κεντρική ελαστικήκρούση δύο σφαιρώνμε μάζες m1 και m2, μεu2=0, να βρείτε τις τα-χύτητες των σφαιρώνμετά την κρούση.

ΑπόδειξηΑν u2=0 από τις γενικές σχέσεις (4) και (5) έχουμε:

2 1 2 1 21 1 1 1

1 2 1 2 1 2

2m m m m mu 0 u u u

m m m m m m

− −′ ′= ⋅ + ⇒ =+ + + (6)

m1 m1

m2

m2

u1 u´2u´1


1 2 1 12 1 2 1

1 2 1 2 1 2

2m m m 2mu u 0 u u

m m m m m m

−′ ′= + ⋅ ⇒ =+ + + (7)

ΘΕΩΡΙΑ 4 Σε κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών με μάζες m1 καιm2, u2=0 να βρείτε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά την κρού-ση, στις περιπτώσεις:

ι. m1 = m2 ιι. m1 >> m2 ιιι. m1 << m2

Απόδειξηi. Αν m1 = m2 από τις σχέσεις (6) και (7)

έχουμε:1 2 1u 0 u u′ ′= =

ii. Αν m1 >> m2 από τις σχέσεις (6)και (7) λαμβάνοντας υπόψην ότι

2

1

m0

m→ έχουμε:

1 2 2

1 2 1 1 11 1 1 1 1 1 1

1 2 21 2

1 1 1

m m m1

m m m m m 1 0u u u u u u u

m m mm m 1 01m m m

− −− −′ ′= = = = ⇒ =+ ++ +

1

1 12 1 1 1 1 2 1

1 2 21 2

1 1 1

m2

2m m 2 2u u u u u u 2u

m m mm m 1 01m m m

′ ′= = = = ⇒ =+ ++ +

iii. Αν m1 << m2 από τις σχέσεις (6) και (7) λαμβάνοντας υπόψην ότι 1

2

m0

m→ έχ-

ουμε:

m1

m1

m2

u =02 u´ =02

m2u1 u1

m1 m1

m2

m2

u1 u1

m1 m1m2 m2

u1 u´1=u1

u´2=2u1


1 2 2

1 2 2 2 11 1 1 1 1 1 1

1 2 21 2

2 2 1

m m m1

m m m m m 0 1u u u u u u u

m m mm m 0 11m m m

− −− −′ ′= = = = ⇒ = −+ ++ +

1

1 22 1 1 1 1 2

1 21 2

2 2

m2

2m m 2 0u u u u 0 u u 0

m mm m 0 1m m

⋅′ ′= = = = ⋅ ⇒ =+ ++

ΘΕΩΡΙΑ 5 Στην περίπτωση που η σφαίραπροσκρούει ελαστικά και πλάγια σετοίχο με γωνία πρόσπτωσης θπτότε θα ανακλαστεί με γωνία θαόπου θα ισχύει ότι θπ=θα.

ΑπόδειξηΑπό αναλύσεις των ταχυτήτων θα έχουμε:

yy

uu u

uπ πηµθ = ⇒ = ⋅ηµθ

xx

uu u

uπ πσυνθ = ⇒ = ⋅συνθ

'y ' '

y

uu u

uα αηµθ = ⇒ = ⋅ηµθ

'' 'xx

uu u

uα ασυνθ = ⇒ = ⋅συνθ

Από Αρχή Διατήρησης της κινητικής ενέργειας θα πρέπει :

ð

á

u

y´

Ï

yu´

m

è

è

m

ð

u

ux

uy

è á

u´x

uyu´

è


2 '2 2 '2 '1 1K mu mu u u u u

2 2πριν µετα= Κ ⇒ = ⇒ = ⇒ = (1)

Α.Δ.Ο στον άξονα y΄Ο y, επειδή δεν γίνεται κρούση, θα πρέπει:( )1

' ' 'y y y yp p mu mu u uπ α= ⇒ = ⇒ ηµθ = ηµθ →

π α π αηµθ = ηµθ ⇒ θ = θ

ΘΕΩΡΙΑ 6 Nα γράψετε τη γενική σχέση στο φαινόμενο Doppler. Να εξη-γήσετε πως βάζουμε τα πρόσημα.

A ss

f fΑυ ± υ=υ± υ

Τα πρόσημα στον αριθμητή και στον παρανομαστή μπαίνουν ως εξής:

� Όταν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή παίρνουμε (-) στον παρανομαστή.� Όταν η πηγή απομακρύνεται από τον παρατηρητή παίρνουμε (+) στον παρανο-

μαστή.� Όταν ο παρατηρητής πλησιάζει την πηγή παίρνουμε (+) στον αριθμητή.� Όταν ο παρατηρητής απομακρύνεται από την πηγή παίρνουμε (-) στον αριθμητή.

ΠαρατήρησηΟι ταχύτητες στην παραπάνω σχέση έχουν τη διεύθυνση της ευθείας που συνδέειτην πηγή με τον παρατηρητή. Αν η κίνηση της πηγής ή του παρατηρητή γίνεται σεάλλη διεύθυνση, ως ταχύτητα θα θεωρήσουμε τη συνιστώσα της στη διεύθυνσηπηγή-παρατηρητής.


Α. Από το σχολικό βιβλίο

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 2003.

Ερωτήσεις: 5.1, 5.4, 5.5, 5.6, 5.8, 5.9, 5.19, 5.20, 5.21

Ασκήσεις - Προβλήματα: 5.22, 5.25, 5.30, 5.40, 5.42, 5.44, 5.45, 5.47,5.48, 5.49, 5.51, 5.53

Β. Από τα Βιβλιομαθήματα:

ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”Βιβλιομάθημα 12ο:Λυμένα παραδείγματα: 4.2, 4.4, 4.6, 4.8, 4.10, 4.11, 4.15Ερωτήσεις: 1, 3, 6, 7,8Προτεινόμενα θέματα:4.4, 4.6, 4.10, 4.11, 4.14, 4.18, 4.19Ξεχωριστό: σελ. 230

Βιβλιομάθημα 13ο:Λυμένα παραδείγματα: 4.19, 4.21Ερωτήσεις: 1, 2, 3, 4, 5, 6Προτεινόμενα θέματα: 4.26, 4.28


Γ. Από το βιβλίο:ΦΥΣΙΚΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θετικής & Τεχν/κης κατεύθυνσης 2ος τόμος(Μηχανική στερεού σώματος - Κρούσεις)

εκδόσεις “ΟΡΟΣΗΜΟ”7. Κρούσεις

Ερωτήσεις: 7.5, 7.9, 7.10, 7.13, 7.31

Λυμένα παράδειγματα: 2, 3, 4, 8, 9, 11, 13, 16, 17Ασκήσεις για λύση: 7.36, 7.41, 7.47, 7.55, 7.60, 7.61

8. Φαινόμενο DopplerΕρωτήσεις: 8.6, 8.7, 8.8, 8.10, 8.11

Λυμένα παράδειγματα: 2, 3, 4Ασκήσεις για λύση: 8.25, 8.27, 8.28


1. Δύο μεταλλικές σφαίρες με μάζες m1=1kg και m2=2kg αντίστοιχα, πλησιά-ζουν η μια την άλλη με αντίθετες ταχύτητες μέτρου υ0= 3 m/s. Η κρούσηείναι μετωπική και ελαστική.

α. Να βρεθούν οι τελικές ταχύτητες των σφαιρών.β. Να βρείτε το μέτρο της δύναμης που ασκεί η μία σφαίρα στην άλλη, αν

η διάρκεια της κρούσης είναι 0,1s.γ. Το ποσοστό επί τοις % της ενέργειας της σφαίρας m2 που μεταβιβάζεται

κατά την κρούση στην σφαίρα m1.Λύση:α. Από τη θεωρία χρησιμοποιούμε τις σχέσεις:

2 1 21 2 1

1 2 1 2

2m m - mυ = υ + υm + m m + m

′ (1)

1 2 12 1 2

1 2 1 2

2m m - mυ = υ + υm + m m + m

′ (2)

Με αντικατάσταση παίρνουμε:

( ) [ ]1

2 2 1- 2 m m mυ = -3 + 3 = -4 + (-1) = -51+ 2 1+ 2 s s s

⋅ ′

[ ]22 1 2-1 m m mυ = 3+ (-3) = 2 + (-1) =1

1+ 2 1+ 2 s s s

⋅ ′

β. Στη διάρκεια της κρούσης οι δυνάμεις 1 2F , F είναι αντίθετες (Δράση - αντίδρα-

ση). Από 2ο νόμο του Νεύτωνα έχουμε: Δp

F =Δt

Το μέτρο της 1F είναι: 1 1 1 1 11 2

Δp m υ - m υ -5 -3F = = N = 80N F

Δt Δt 0,1′

= =

m1

m1

ðñéí

ìåôÜ

m2

m2

õ0

õ´1 õ´2

õ0


ö

öh

s NT

w1w1,y

w1,x

m2 k

(1)

(2)

γ. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται:2

μεταβ

αρχ(m )

E100%

Eή

2 2

2 2 22 0 2 20 2 2

2 22 0 0

2 0

1 1m υ m υ υ υ υ 8002 2 100% = 100% = 1- 100% = %

1 9υ υm υ2

′− ′ ′−

2. Από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου, ύψους h= 1,6m και γωνίας κλίσηςφ=30ο, αφήνεται να ολισθήσει σώμα μάζας m1=1 kg. Στη βάση του κεκλι-μένου επιπέδου το σώμα συναντά λείο οριζόντιο επίπεδο στο οποίο κινεί-ται μέχρις ότου συγκρουστεί πλαστικά με σώμα μάζας m2=4 kg. Το συσ-σωμάτωμα κινούμενο συναντά και συσπειρώνει ιδανικό οριζόντιο ελατή-ριο, το οποίο έχει μόνιμα στερεωμένο το ένα του άκρο. Αν ο συντελεστής

τριβής ολίσθησης επί του κεκλιμένου επιπέδου είναι 3/4µ = , να υπολο-γιστούν:α. η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου,β. το ποσοστό επί τοις εκατό της ελάττωσης της αρχικής ενέργειας του

σώματος m1 κατά την ολίσθησή του επί του κεκλιμένου επιπέδου,γ. το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής ενέργειας του σώματος m1 που

έγινε θερμότητα κατά την κρούση.Δίνονται: g = 10 m/s2, k = 1000 N/m.Δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας κατά τη στιγμή που το σώμα m1 συναντάτο οριζόντιο επίπεδο. Γενικές εξετάσεις 1989

Λύση:α. Βρίσκουμε την ταχύτητα

υ1 του σώματος m1 τηστιγμή της κρούσης, ε-φαρμόζοντας ΘΜΚE γιατο m1 από (1) σε (2)

(τελ) (αρχ) βαρ T

21 1 1

Κ - Κ = W + W

1m υ -0 = m gh -Ts

2

⇒

Η τριβή έχει μέτρο: 1T = μ N = μ w συνφ = 15/4 Ν


Η απόσταση s που διανύει το σώμα m1 είναι:

hs = = 3,2m

ημφΆρα παίρνουμε:

21 1

1 151υ =1 10 1,6 - 3,2 υ = 2 2 m/s

2 4⋅ ⋅ ⋅ ⇒

Eφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για την πλαστική κρού-ση.

( )1 1 1 2 Κm υ + 0 = m + m υ+→

K2 2υ = m/s

5⇒

Eφαρμόζουμε ΑΔET για για κίνηση του συσσωματώματος μέχρι την μέγιστησυσπείρωση του ελατηρίου (θέση 3).

( ) 2 2(2) ταλ(3) 1 2 K max

2 -2max max

1 1K = U m + m υ = kx

2 21 8 1

5 = 1000x x = 4 10 m2 25 2

⇒ ⇒

⇒ ⋅

β. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται από τη σχέση:

1

T

αρχ(m )

W100%

U⇒

1

Ts100%

m gh⇒

153,2

4 100% = 75%1 10 1,6⋅ ⋅

γ. Το ζητούμενο ποσοστό βρίσκεται από τη σχέση:

1

απωλ(κρουση)

αρχ(m )

E100%

E⇒

( )2 21 1 1 2 Κ

1

1 1m υ - m + m υ

2 2 100%m g h

⇒

1 1 8

1 8- 5 4-0,82 2 25 100% = 100% = 20%1 10 1,6 16

⋅

⋅ ⋅

k

k

k

õ1

õÊ

m2

mïë

xmax

(2)

(2)

(3)


V

2(M+m )g

T

l

õ2

2

2m

m

M

M+

l

V

l

3. Σώμα μάζας m=3kg είναι α-κίνητο σε λείο οριζόντιο δά-πεδο, όπως φαίνεται στο σχή-μα. Λόγω εσωτερικής αιτίαςτο σώμα διασπάται σε δύοκομμάτια με μάζες m1=2m2.Μετά τη διάσπαση κινούνταιαντίθετα και το m1 συγκρούεται πλαστικά με το σώμα m΄. Το συσσωμάτωμαμετά την κρούση αρχίζει να κάνει γ.α.τ. με εξίσωση: x=Α·ημ(10t) S.I.To m2 συγκρούεται πλαστικά με το ακίνητο σώμα Μ=3kg, το οποίο κρέ-μεται από το νήμα μήκους l=3m.Aμέσως μετά την κρούση η τάση τουνήματος είναι Τ=220/3 Ν. Δίνονται Κ=400 Ν/m και g=10 m/s2.Να βρεθούν:α. Οι ταχύτητες των κομματιών μετά τη διάσπαση.β. Η μέγιστη γωνία εκτροπής του νήματος.γ. Η τάση του νήματος αν το m2 διαπερνούσε το Μ και έβγαινε με ταχύτη-

τα υ΄=8m/s;δ. Η απώλεια ενέργειας της κρούσης μεταξύ m2 και Μ σε κάθε περίπτωση;ε. Η μάζα m΄ και το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος m1 +m΄;

Λύση:α. Είναι: m1+m2=m=3Kg και m1=2m2 Άρα: m1=2Kg και m2=1Kg

Αμέσως μετά την κρούση μεταξύ των m2 και Μ έχουμε:

Τ-Β=Fκεντρ

22(m + M)V

T - B = V = 5m/s⇒ ⇒l

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την πλαστική κρούση μεταξύ των m2 και Μ:

( )2 2 2 2m υ + 0 = m + M V υ = 20m/s+→ ⇒

Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την διάσπαση του σώματος m.

2 2 1 1 10 = m υ m υ υ = 10m/s1 2m 2m=+→ − →

k m´m

l

Ì


β. Eφαρμόζουμε AΔME για το συσσωμάτωμα και έχουμε:

V

V

2(M+m )g

Th

ll

-hl

ö

( ) ( )2αρχ τελ 2 2

1K = U M m V = M m gh h 1,25m

2⇒ + + ⇒ =

- h 3 -1,25συνφ = συνφ = = 0,583h 3

⇒l

γ. Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την κρούση: 2 2 2m υ + 0 = m υ + MV = 4m/sV+ ′ ′ ′→ ⇒

õ õ´

V´

Ìg

2 22

m m

T

M

l l

Άρα: Τ-Mg=Fκεντρ

2 2MV MVT - Μg = T = Mg + T = 46N

l l

′ ′⇒ ⇒ ⇒

δ. 2

2 2(α) 2 2

1 1ΔΕ = m υ - (M + m )V = 150J2 2

2 2 22 2

1 1 1m υ - MV - m V΄ =144J

2 2 2( ) 2γ∆Ε =

ε. Από την εξίσωση ταλάντωσης έχουμε: ω=10 rad/s

Aλλά ( ) 21 12

ΚD = m + m΄ ω m΄ = - m m΄ = 2kg

ωD K=→ ⇒

õ

õ 21

2

1mm


Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για την πλαστική κρούση μεταξύ των m1 και m΄:

( )1 1 1 Κm υ + 0 = m + m΄ υ = 5m/sΚ+← υ ⇒

Εφαρμόζουμε ΑΔET : ( ) 2ολ 1

1 1Κ = Ε m + m΄ = DA A = 0,5m2 2

2

Κ⇒ υ ⇒

4. Σώμα μάζας Μ =0,25 kg, πουείναι δεμένο στην άκρη ορι-ζόντιου ελατηρίου σταθεράςΚ=100Ν/m εκτελεί γ.α.τ. με

πλάτος Α = 2 / 2 m πάνω σελείο οριζόντιο επίπεδο. Τηστιγμή που είναι U=K και το ελατήριο είναι επιμηκυμένο (x>0), όπως στοσχήμα, βλήμα μάζας m = 0,25 kg κινούμενο οριζόντια με ταχύτητα u0 =20m/s, σφηνώνεται στο κέντρο του σώματος μάζας Μ. Να βρείτε:α. Tο πλάτος της νέας ταλάντωσης.β. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας των σωμάτων που έγινε

θερμότητα κατά την κρούση.γ. Το μέγιστο ρυθμό μεταβολής της ορμής του συσσωματώματος.

Λύση:α. Εφαρμόζοντας την AΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας M, θα βρούμε την θέση και

την ταχύτητα που έχει τη στιγμή που πάει να γίνει η κρούση.

2 2max 1

U K E 1 12U U 2 Dx DA

U K 2 2ολ+ =

⇒ = ⇒ ==

221 1 1 1

A 2 2 2x x A x m x 0,5m

2 2 2 2⇒ = ⇒ = ± ⇒ = ± ⇒ = ±

D

2 2 2 2 2 2o 1 1 1 1

1 1 1U K E Dx M DA x

2 2 2

=Κ

λ+ = ⇒ + υ = ⇒ Κ +Μυ = ΚΑ ⇒

( ) ( )2 2

1

1

x1

Κ Α −υ = ±

Μ

Αντικαθιστώντας στην (1) x1 = +0,5m και Α = 2 / 2 m βρίσκουμε:

1 10m / sυ = ±Άρα έχουμε δύο περιπτώσεις:

K õ0

Ö.M.È.É.

M

m


1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:Το σώμα μάζας Μ πριν τηνκρούση κινείται προς τα δεξιάμε ταχύτητα υ1 = +10 m/s.Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχου-με:

Μυ1 - mu0 = ( Μ + m )υΚ

Αντικαθιστώντας τις τιμές πουέχουμε βρίσκουμε:

υK=-5 m/s

Η Θ.Ι του συσσωματώματος εί-ναι ίδια με την Θ.Ι του αρχικού ταλαντωτή, στη θέση φ.μ. του ελαστηρίου.Εφαρμόζουμε: την ΑΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας (Μ + m) αμέσως μετά τηνκρούση και έχουμε:

( ) D K2 2 2ολ 1

2 2 21 1

1 1 1U+Κ Ε D x + Μ + m = DA΄

2 2 2

6K x + (Μ + m)υ = KA΄ Α΄ = m

4

=Κ= ⇒ υ →

⇒

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ:Το σώμα μάζας Μ πριν την κρού-ση κινείται προς τα αριστερά μεταχύτητα υ1 =-10 m/s.Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχου-με:

Μυ1 + mu0 = ( Μ + m )υΚ

Αντικαθιστώντας τις τιμές πουέχουμε βρίσκουμε:

υK=15 m/s

Η Θ.Ι του συσσωματώματος εί-ναι ίδια με την Θ.Ι του αρχικού ταλαντωτή, στη θέση φ.μ. του ελαστηρίου.Εφαρμόζουμε: την ΑΔΕΤ για τον ταλαντωτή μάζας (Μ + m) αμέσως μετά τηνκρούση έχουμε:

K

K

õõ

õ

x

01

K

1

Ö.M.È.É.

M

M+m

m

K

K

õõ

õ

x

01

K

1

Ö.M.È.É.

M

M+m

m


( ) D K2 2 2ολ 1

2 2 21 1

1 1 1U+Κ Ε D x + Μ + m = DA΄

2 2 2

22K x + (Μ + m)υ = KA΄ Α΄ = m

4

=Κ= ⇒ υ →

⇒

β. Το ζητούμενο ποσοστό είναι:

2 2 20 1 Καρχ τελ

αρχ 2 20 1

1 1 1mυ Μυ (m + Μ)υΚ - Κ 2 2 2100% 100%

1 1Κ mυ Μυ2 2

+ −=

+

Για την 1η περίπτωση βρίσκουμε 95% και για την 2η 55%

γ. Δp Δp= D xFΔt Δt

⇔ = − ⋅∑ . Άρα:max

ΔpK A΄

Δt = ⋅

max,1 max,2

Δp 6 Δp 22100 25 6 N και 100 25 22 N

Δt 4 Δt 4 = ⋅ = = ⋅ =

5. Η σφαίρα του παρακάτω σχήματος μάζας m=1,6kg και ακτίνας R (πολύμικρή), αφήνεται να κυλήσει από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου ύψους

h=7/4m, γωνίας κλίσης φ=30ο, με συντελεστή τριβής μ = 3/6 . Όταν φθά-σει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου συγκρούεται ακαριαία μετωπικά μεσώμα μάζας Μ=4kg, το οποίο είναι συνδεδεμένο στη μιά άκρη ιδανικούοριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=400 Ν/m, του οποίου η άλλη άκρη είναιδεμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχωμα.Το οριζόντιο δάπεδο είναι λείο και μετά τη κρούση η σφαίρα ακινητοποι-είται.α. Να δείξετε ότι η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.β. Να βρείτε τη ταχύτητα υcm της m πριν τη κρούση.

KM

m

h

ö


γ. Να βρείτε τη ταχύτητα υ της Μ μετά τη κρούση.δ. Να βρείτε το ποσοστό της αρχικής ενέργειας της m που έγινε θερμότητα

κατά την κρούση.ε. Να βρείτε τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου.

Δίνονται: 22I mR5

= , g=10 m/s2.

Λύση:α. Η συνθήκη για να έχουμε κύ-

λιση χωρίς ολίσθηση είναι:Τσ<μ·Ν

Αντικαθιστώντας στην τελευ-ταία την τιμή της Τσ καιΝ=w·συνφ, παίρνουμε:

Τσ<μ·w·συνφ=4Ν (1)

Για τη μεταφορική κίνηση

cm σ cmxF = mα wημφ -T = mα⇒∑ (2)

Για τη στροφική κίνηση

(K)γωντ = Ι.α∑ ⇒Τσ

.R=I.αγων (3)

Στην κύλιση ισχύει: αcm= αγων·R (4)Λύνουμε τις σχέσεις (2) και (4) ως προς Τσ και αγων αντίστοιχα και αντικαθι-στούμε στην (3), οπότε παίρνουμε:

( )cmwημφ - m Rα = 2 cmα2mR

5 R⇒ αcm= 3,57m/s2

Άρα από την (2) έχουμε: Τσ=2,3 ΝΆρα βλέπουμε ότι ικανοποιείται η σχέση (1).

β. Εφαρμόζουμε A.Δ.Μ.Ε. από (Ι) σε (ΙΙ).

UΙ+KΙ=UΙΙ+KΙΙ ⇒ m·g·h + 0= 0 + 2cm

1mυ

2+ 21

Iω2

⇒

m·g·h = 2cm

1mυ

2+

22cmυ1 2mR

2 5 R

⇒ cmυ m/s5=

ö

K

w

Í

Ôóx

w

yw

ö

cmácmõ


γ. Εφαρμόζοντας την ΑΔΟ, έχουμε: mυcm = Μυ ⇒ υ=2m/sδ. Το ζητούμενο ποσοστό είναι:

2 2

αρχ μετα

αρχ

1 1mgh Μυ ΜυΕ - Κ 2 2100% 100% = 100%

Ε mgh mgh1

− = −

=71,43%

ε. Η Θ.Ι του ταλαντωτή M, είναι η θέση φ.μ. του ελαστηρίου. Η max συσπείρωσητου ελατηρίου είναι και το πλάτος της ταλάντωσης. Άρα εφαρμόζουμε την ΑΔΕΤγια τον ταλαντωτή μάζας Μ αμέσως μετά την κρούση και έχουμε:

D K2 2 2 2ολ

1 1 2U+Κ Ε Μυ = DA Μυ = KA Α = m

2 2 10== ⇒ → ⇒

6. Το κιβώτιο του σχήματος μάζας m=4,5 kg ηρεμεί πάνω σε αμαξίδιο μάζαςΜ= 15 kg, το οποίο μπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιo δάπεδο.Ένα βλήμα μάζας m΄= 0,5 kg κινείται με ταχύτητα μέτρου υ0= 50 m/sευθύγραμμα και σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο του κύβου. Ο συντελε-στής τριβής ολίσθησης μεταξύ του κιβωτίου και του δαπέδου του αμαξι-δίου είναι μ= 0,5.Να βρείτε:α. τη τελική ταχύτητα του συστήματος αμαξίδιο - κιβώτιο - βλήμα,β. τις απώλειες ενέργειας σε όλο το φαινόμενο.γ. το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα βλήμα - κιβώτιο πάνω στο

αμαξίδιο καιδ. το χρόνο κίνησης του συσσωματώματος βλήμα - κιβώτιο ως προς το

αμαξίδιο. (g=10 m/s2)

Λύση:

α. Eφαρμόζουμε Α.Δ.Ο. για την ακαριαία πλαστική κρούση βλήματος - κιβωτίου:

ολ(πριν) ολ(μετα)p = p ( )0 1m΄υ = m΄+ m υ+⇒ ⇒ υ1=5 m/s

Tα σώματα (m+m΄) και Μ του συστήματος δέχονται τις δυνάμεις που φαίνονται

m

õ0

m´

M


στο σχήμα. Tο συσσωμάτωμα (m+m΄) δέ-χεται:

το βάρος του w , την κάθετη δύναμη N από

το αμαξίδιο και την τριβή T από το αμαξί-διο.

Tο αμαξίδιο Μ δέχεται:

το βάρος του 1w , την κάθετη δύναμη 1N

από το δάπεδο, την τριβή T΄ από το (m+m΄)

και την κάθετη δύναμη N΄ από το (m+m΄)

Οι δυνάμεις T , T΄ , N και N΄ είναι δυνάμεις εσωτερικές.

Το μέτρο της τριβής Τ είναι: T = μΝ = μ(m΄+ m)g = 25 N

Τ=Τ΄ και Ν=Ν΄ (Δράση - Αντίδραση)

Το σύστημα είναι μονωμένο, άρα ισχύει η Α.Δ.Ο.

( ) ( )1 K Km + m΄ υ + 0 = m΄+ m υ + M υ⇒ ⇒ υK=1,25 m/s

β. Α.Δ.Ε. από την αρχή μέχρι την υΚ.

Εαρχ=Ετελ + Εαπωλ, ολ⇒20

1m΄υ

2= ( ) 2

K1

m΄+ m υ2

+ 2K

1M υ

2+ Εαπωλ, ολ ⇒

625 J=15,625 J + Εαπωλ, ολ ⇒ Εαπωλ, ολ=609,375 J

γ. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για κάθε σώμα.

( ) ( ) ( )2 2τελ αρχ T Κ 1

1 1m΄+ m : Κ - K = W m΄+ m υ - m΄+ m υ = -T x + L

2 2⇒

õ1 õK

m+ m´ m´m+

M M õK

x L

T

T´

N´

N1

N

w

w1

M

m+ m´


2τελ αρχ Τ΄ Κ

1Μ : Κ - K = W M υ -0 = Τ΄x2

⇒

Προσθέτουμε κατά μέλη και επειδή Τ=Τ΄ παίρνουμε:

( ) ( )2 2 2Κ Κ 1

1 1 1m΄+ m υ + M υ - m΄+ m υ = -ΤL

2 2 2

Με αντικατάσταση παίρνουμε: L=1,875m

δ. Το συσσωμάτωμα (m+m΄) κάνει ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση.

21

25NF Tα = = = =5m/sm΄+ m m΄+ m kg

Σ5

υΚ=υ1 - α1.t⇒1,25m/s=5m/s - 5m/s2.t⇒ t=0,75s

7. Σώμα Σ1 μάζας m = 1 kg ισορροπεί συνδεδεμέ-νο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατη-ρίου σταθεράς Κ=200 Ν/m, του οποίου το άλλοάκρο στερεώνεται σε οροφή. Βλήμα Σ2, ίσηςμάζας με το σώμα, κινείται κατακόρυφα προς ταπάνω και συγκρούεται τη χρονική στιγμή t=0

με ταχύτητα μέτρου υ = 3 m/s μετωπικά καιπλαστικά με το Σ1. H διάρκεια της κρούσης θε-ωρείται αμελητέα. Δίνεται g = 10 m/s2 και θετι-κή φορά προς τα πάνω.α. Να γράψετε την εξίσωση της κίνησης του συστήματος.β. Να βρείτε, το χρονικό διάστημα μέχρι να μηδενιστεί για 2η φορά η

ταχύτητα του συστήματος.γ. Ποιο είναι το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας του βλήματος

που χάθηκε κατά την κρούση; (g=10 m/s2)

Λύση:α. Η ζητούμενη εξίσωση είναι: x=Αημ(ωt+φ0)

Η αρχική επιμήκυνση του ελατηρίου είναι:

Θ.Ι. m: ελ 1 1 1mg

F = mg Kx = mg x = x = 0,05mK

⇒ ⇒ ⇒

Εφαρμόζουμε Α.Δ.Ο.για την πλαστική κρούση του συστήματος βλήμα - σώμα:

K

Ó1

Ó2 õ


+⇒ mυ + 0 = 2m.υΚ ⇒ K K

υ 3 m= =

2 2 sυ ⇒ υ

Το συσσωμάτωμα 2m εκτελείγ.α.τ. με D=k, γύρω από τηΘ.Ι. του.Θ.Ι. 2m:

ελ 2

2 2

F = 2mg Kx = 2mg

2mgx = x = 0,1m

K

⇒ ⇒

⇒

Τη στιγμή που το 2m αποκτάταχύτητα Kυ απέχει από τηΘ.Ι. του κατά:

3 2 1x = x - x = 0,05m

Εφαρμόζουμε ΑΔΕΤ:

Uταλ+K=Εολ ⇒2 2 2

3 Κ1 1 1

Dx + 2mυ = DA2 2 2

Αντικαθιστώντας βρίσκουμε: A = 0,1m

Τη χρονική στιγμή t0 = 0 το συσσωμάτωμα βρίσκεται στη θέση 3x = x = +A/2 .

Άρα: 0

0 0

0

φA 1 6ημφ ημφ

52 2 φ6

π = η= Α ⋅ ⇒ = ⇒ π =

Επειδή είναι υΚ>0, συμπεραίνουμε ότι: 0

πφ =6

D 200 rad= = rad/s ω = 10

2 m 2 sω ⇒

Τελικά έχουμε: πx 0,1 ημ 10t

6 = ⋅ +

S.I.

β. Η ταχύτητα γίνεται υ=0 στις ακραίες θέσεις. Αυτό για 2η φορά γίνεται στη θέση-Α. Επομένως από την εξίσωση x-t, έχουμε:

K K

m

m

2m

õ

Ö.Ì.

È.É. m

È.É. 2m

õKx1

x

x3

x2


π π π 3π 2-0,1 0,1 ημ 10t ημ 10t 1 10t t s

6 6 6 2 15

π = ⋅ + ⇒ + = − ⇒ + = ⇒ =

γ. απωλ(κρουση)

αρχ(βλημ)

E100%

E⇒

2 2Κ

2

1 1mυ - 2mυ

2 2 100%1

mυ2

⇒2 2

Κ2

υ - 2υ100% = 50%

υ

8. Ένας παρατηρητής κινείται σε μια ευθεία που ενώνει δύο ηχητικές πηγές

S1, S2 οι οποίες παράγουν ήχο συχνότητας Sf = 400Hz . Ο παρατηρητής

κινείται από την πηγή S1 προς τον S2 με ταχύτητα Aυ = 2m/s .

Sõ

SÁ

12

α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα των διακροτημάτων που ακούει ο παρα-τηρητής.

β. Ποιος είναι ο αριθμός των μέγιστων που ακούει ο παρατηρητής σε 3s;Δίνεται ηχυ = 340m/s .

Λύση:α. Εφαρμόζουμε την σχέση του φαινομένου Doppler, για τον ήχο από την 1η πηγή:

ηχ ΑΑ,1 S Α,1 Α,1

ηχ

υ - υ 338f = f f = 400Ηz f = 397,647Ηz

υ 340⇒ ⇒

Εφαρμόζουμε την σχέση του φαινομένου Doppler, για τον ήχο από την 2η πηγή:

Α ηχΑ,2 S Α,2 Α,2

ηχ

υ + υ 342f = f f = 400Ηz f = 402,353Ηz

υ 340⇒ ⇒

Η συχνότητα του διακροτήματος είναι: δ Α,2 Α,1f = f f 4,7 z− = Η

β. Ο παρατηρητής κάθε Τδ =0,213 s ακούει 1 μέγιστο. Άρα σε 3s ακούει:

3sΝ = = 14,080,213s

δηλ 14 μέγιστα.


1. Σώμα μάζας m1 = 0,5kg κινείται σε λείο

οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα μέτρουυ

1 = 80m/s και συγκρούεται πλαστικά

με ακίνητο σώμα μάζας m2

= 3,5kg.Μετά την κρούση το συσσωμάτωμαανεβαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο κλίσηςφ=300, που παρουσιάζει συντελεστή

τριβής μ= 3/3 . Ζητούνται:α. Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά τη κρούση.β. Το ύψος που θα φτάσει το συσσωμάτωμα.γ. Το ποσοστό επί της % της αρχικής ενέργειας που χάνεται κατά την κρούση.δ. Το συσσωμάτωμα θα κατέβει προς τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου;Δίνεται g=10m/s2.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

2. Το σώμα μάζας m1=1kg εκτοξεύεται από το σημείο (Σ) του οριζοντίου

δαπέδου με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,5 με

ö1m

2m1õ


ταχύτητα μέτρου υ0 όπως

στο σχήμα. Το σώμα αφούδιανύσει απόσταση d = 10 m,συγκρούεται κεντρικά καιελαστικά με το σώμα μάζαςm

2=2kg το οποίο είναι δεμέ-

νο στο ένα άκρο αβαρούςνήματος μήκους l =3,6m,του οποίου το άλλο άκρο εί-ναι δεμένο στο ακλόνητο σημείο Κ. Το σώμα m

2 μόλις που κάνει ανακύ-

κλωση. Αν δίνεται g = 10m/s2:α. Ποια είναι η ταχύτητα του σώματος m2 αμέσως μετά την κρούση;β. Ποια είναι η αρχική ταχύτητα υ0 του σώματος m1;γ. Τι ποσοστό της ενέργειας του σώματος m1 μεταβιβάζεται κατά την διάρ-

κεια της κρούσης στο m2;...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

3. Δύο σφαίρες αμελητέων ακτίνων με μάζες m1και m2, όπου m1= m2, αφή-νονται διαδοχικά να πέσουν από το ίδιο ύψος h = 18 m επί οριζoντίoυεπιπέδου. Οι σφαίρες κινούνται επάνω στην ίδια κατακόρυφο. Aφήνεταιπρώτα η σφαίρα μάζας m1 και μετά η σφαίρα μάζας m2. Η σφαίρα μάζαςm1 προσκρούει στο οριζόντιο επίπεδο και αρχίζει να κινείται κατακόρυφαπρος τα επάνω. Μόλις αποχωρισθεί από το επίπεδο, συγκρούεται μετωπι-κά με την κατερχόμενη σφαίρα μάζας m2. Να βρεθεί το ύψος h2 στο οποίο

mmõ

1

20

l

d

(Ó)

(K)


θα φθάσει η σφαίρα μάζας m2.Να θεωρηθεί ότι, όταν οι σφαίρες συγκρούονται, έχουν διανύσει την ίδιακατακόρυφη απόσταση h από το σημείο εκκίνησης. Όλες οι κρούσεις είναιελαστικές και η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

4. Σφαίρα μάζας m=1 kg αφήνεται από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέ-δου φ=30ο μήκους s=8,1m. Όταν φθάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέ-δου συγκρούεται ακαριαία μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας m΄=2kgτο οποίο είναι συνδεδεμένο στη μιά άκρη ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου,του οποίου η άλλη άκρη είναι δεμένη σε ακλόνητο κατακόρυφο τοίχωμα.Το ελατήριο σταθεράς Κ=600Ν/m είναι στο φυσικό του μήκος.

K m´

ö

m

Να βρείτε:α. τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου,β. το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειας της m που έγινε θερμότητα

κατά τη κρούση,γ. Τη θερμότητα σε όλο το φαινόμενο.

Δίνονται ο συντελεστής τριβής μεταξύ του συσσωματώματος και του ορι-ζόντιου δαπέδου είναι μ=0,25 και g=10 m/s2.


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

5. Ο δίσκος μάζας m=2 kg ενός δυναμομέτρου εί-ναι στερεωμένος στο άκρο κατακόρυφου ελα-τήριου σταθεράς Κ=400 N/m, το άλλο άκρο τουοποίου στερεώνεται σε ακλόνητη οροφή. Μίασφαίρα μάζας m΄=m, αφήνεται ελεύθερη απόύψος h. Η κρούση είναι πλαστική και μετωπι-κή.Να βρεθούν:

α. το ύψος h ώστε το πλάτος ταλάντωσης ναείναι 0,1 m,

β. το ποσοστό επί τοις % της αρχικής ενέργειαςτης m΄ που έγινε θερμότητα κατά τη κρούση,

γ. Να βρείτε τον ελάχιστο χρόνο για να γίνει μέγιστη η ταχύτητα τουσυσσωματώματος.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

K

h

m

m´


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

6. Το σώμα μάζας m=1kg, του σχήματος κάνει απλή αρμονική ταλάντωσηπλάτους 10cm. Τη στιγμή που περνά από τη θέση ισορροπίας του πέφτεικατακόρυφα σώμα μάζας m΄=1kg και συσσωματώνεται με το σώμα m.

α. Nα βρείτε το νέο πλάτος ταλάντωσης.β. Το ποσοστό επί τοις % της απώλειας ενέργειας ταλάντωσης.γ. Το λόγο των περιόδων ταλάντωσης.Δίνονται: π2 = 10, g = 10 m/s2, K1 =100 N/m, K2 =200 N/m...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

7. Στο σχήμα το σώμα μάζας m1=1kg είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου στα-θεράς Κ=100 Ν/m και εκτελεί γ.α.τ πλάτους 0,3m. Όταν το σώμα μάζας m1

Ê1 Ê2

m

m´


είναι στην θέση x=0,15 3 m, κινούμενοπρος τα δεξιά συγκρούεται πλαστικά μεένα άλλο σώμα μάζας m2=3kg, που κινεί-ται αντίρροπα με το πρώτο και με ταχύ-τητα 0,5m/s.α. Να γράψετε την εξίσωση x=f(t) για την γ.α.τ. του συσσωματώματος,

θεωρώντας t=0 τη στιγμή της κρούσης.β. Να βρείτε την απώλεια της κινητικής ενέργειαςπου έγινε θερμότητα κατά

τη κρούση.γ. Το λόγο των συχνοτήτων των δύο ταλαντώσεων.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

8. Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης θ=30o στερεώ-νεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας m2=1 kg και το σύστημαισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Από τηβάση του κεκλιμένου επιπέδου βάλλεται με υ0=5 m/s σώμα μάζας m1=1 kg.

Ê m1

s

Ê

õ

m 2

0

è

1m


Η αρχική απόσταση των σωμάτων είναι s=0,9 m και η σταθερά του ελα-τηρίου Κ=100 N/m. Τα σώματα συγκρούονται ακαριαία, μετωπικά καιελαστικά. Να βρείτε:α. την εξίσωση x=f(t) για την γ.α.τ. του m2, θεωρώντας t=0 τη στιγμή της

κρούσης.β. την ταχύτητα του m1, όταν ξαναφτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέ-

δου,γ. Πού βρίσκεται το m2 όταν το m1 ξαναφτάνει στη βάση του κεκλιμένου

επιπέδου; (g=10 m/s2)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

9. Η ράβδος ΑΒ του σχήματος μάζας Μ=2 kgκαι μήκους l=2 m μπορεί να στρέφεται γύρωαπό το (Α), όπως φαίνεται στο σχήμα. Έναβλήμα μάζας m=0,1g κινείται οριζόντια μεταχύτητα μέτρου υ0 και διαπερνά τη ράβδοέχοντας μετά την κρούση ταχύτητα μέτρουυ0/2, σε απόσταση d= 0,8 l από το Α. Η ρά-βδος μετά τη κρούση εκτρέπεται κατά 60ο.

α. Nα υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακήςταχύτητας της ράβδου αμέσως μετά τηνκρούση.

β. Nα υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ0 του βλήματος.

Â

m

Á

d

õ


γ. Nα υπολογίσετε την απώλεια ενέργειας κατά τη κρούση.

Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής

της είναι 2ΜI = 3

l .

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

10. H ακίνητη ηχητική πηγή του σχήματος εκπέμπει ήχο συχνότητας f=400tστο S.I. Ένας ακροατής Α είναι αρχικά ακίνητος σε απόσταση 100m καιαρχίζει να κινείται με σταθερή ταχύτητα προς την πηγή. Μετά από 4s oακροατής φτάνει στην πηγή.α. Να παρασταθεί γραφικά με τον χρόνο η συχνότητα που αντιλαμβάνε-

ται ο παρατηρητής μέχρι να φτάσει στην πηγή.β. Ποια είναι η συχνότητα που αντιλαμβάνεται αμέσως μόλις προσπερά-

σει την πηγή;γ. Ποιος είναι ο αριθμός των κυμάτων που ακούει ο παρατηρητής από

την στιγμή που είναι δίπλα στη πηγή και 2s μετά;Δίνεται η ταχύτητα του ήχου ηχυ = 340m/s .

S

õÁ


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Θέμα 1ο

Α. Κινούμενο σώμα μάζας m1συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμαμάζας m2. Aν, μετά την κρούση, το σώμα μάζας m1 γυρίζει προς τα πίσω, τότεσυμπεραίνουμε ότι:α. m1 = m2β. m1 > m2γ. m1 <m2δ. m1 << m1

(Μονάδες 5)

.................................................................................

Β. Ένα αμαξίδιο μάζας Μ κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 σε λείο οριζόντιο επίπε-δο. Στο καρότσι πέφτει κινούμενο κατακόρυφα, ένα μπαλάκι μάζας m. Το μπα-λάκι ανακλάται Η ταχύτητα του αμαξιδίου μετά είναι:α. υ΄1>υ1β. υ΄1<υ1γ. υ΄1=υ1δ. δεν γνωρίζουμε

(Μονάδες 5)

..............................................................................

Γ. Θεωρούμε τη μετωπική κρούση δύο σφαιρών ίσων μαζών που πλησιάζει η μιατην άλλη με ταχύτητες μέτρων 10m/s και 15m/s αντίστοιχα. Αν η πρώτη σφαίραμετά τη κρούση έχει ταχύτητα -15 m/s, η κρούση είναι:α. ελαστικήβ. πλαστικήγ. ανελαστικήδ. δεν μπορούμε να ξέρουμε

(Μονάδες 5).............................................................................. ......................................

.............................................................................. ......................................


Δ. Κινούμενος παρατηρητής που πλησιάζει ηχητική πηγή αντιλαμβάνεται συχνό-τητα:α. Ίση με της πηγής.β. Μεγαλύτερη από της πηγής.γ. Μικρότερη από της πηγής.δ. Δεν μπορούμε να γνωρίζουμε.

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

Ε. Κινούμενη πηγή απομακρύνεται από παρατηρητή, ο οποίος κινείται επίσης πλη-σιάζοντας την πηγή. Τότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται συχνότητα:α. Ίση με της πηγής.β. Μεγαλύτερη από της πηγής.γ. Μικρότερη από της πηγής.

(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

Θέμα 2ο

Α. Σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει ελαστικά και πλάγια σε λείο δάπεδο, όπωςφαίνεται στο σχήμα. Αν υ1 και υ2 είναι τα μέτρα της ταχύτητας της σφαίραςπριν και μετά την κρούση, π είναι η γωνία πρόσπτωσης και α η γωνία ανάκλασηςτης σφαίρας, τότε να δείξετε ότι: 1 2υ = υ και π = α

(Μονάδες 8)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Β. Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτων να έχει ορμή μηδέν και ολική κινη-τική ενέργεια διάφορη του μηδενός; Είναι δυνατόν ένα σύστημα δύο σωμάτωννα έχει κινητική ενέργεια ίση με μηδέν και ολική ορμή διάφορη του μηδενός;Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Μονάδες 7)

...........................................................................................................................


...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Γ. Δύο σώματα συγκρούονται. Να αντιστοιχίσετε τα είδη της κρούσης της στήληςΑ με τις προτάσεις της στήλης Β.

Στήλη Α Στήλη Βα. κεντική κρούση 1. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σω-

μάτων είναι παράλληλες.β. έκκεντρη κρούση 2. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σω-

μάτων έχουν τυχαίες διευθύνσεις.γ. πλάγια κρούση 3. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σω-

μάτων βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία.(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Δ. Να γίνει αντιστοίχιση της συχνότητας fΑ του ήχου που ακούει ο παρατηρητήςκάθε φορά, με την περίπτωση κίνησης παρατηρητή - πηγή

õ =0A 1 2

3 4

õ õ

õ

S S

Sõ =0S

õA

õ õA A

α. ΑΑ S

S

υ- υf = f

υ + υ β. ΑΑ S

υ - υf = f

υγ. Α

Α SS

υ + υf = f

υ - υ


δ. Α SS

υf = f

υ - υ ε. ΑΑ S

υ + υf = f

υ(Μονάδες 5)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

Θέμα 3ο

Η πηγή (1) του σχήματος κινείται με υ1=30m/s και εκπέμπει ήχο συχνότητας f1=620Hz. Η πηγή (2) του σχήματος κινείται με υ2=50m/s και εκπέμπει ήχο συχνότηταςf1=634 Hz.

õAõ 2 õ1

Να υπολογίσετε:

α. την ταχύτητα του ακροατή ώστε να ακούει ίδια συχνότητα από τις δύο πηγές,(Μονάδες 15)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

β. τη συχνότητα που ακούει ο ακροατής.(Μονάδες 10)

Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340 m/s.

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................


Θέμα 4ο

Ο δίσκος μάζας Μ=2 kg είναι στερεωμένος στο πάνω άκροκατακόρυφου ελατήριου σταθεράς Κ=100 N/m, το άλλο άκροτου οποίου στερεώνεται σε ακλόνητο δάπε-δο. Μία σφαίραμάζας m= 2kg, αφήνεται ελεύθερη από ύψος h=5m. Η κρούσηείναι πλαστική και μετωπική. Να βρεθούν:α. Η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος.

(Μονάδες 5)β. Το ποσοστό επι τοις % που έγινε θερμότητα κατά την κρού-

ση.(Μονάδες 5)

γ. Το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος και την πε-ρίοδό του.

(Μονάδες 8)δ. Η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.

(Μονάδες 7)

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

...........................................................................................................................

K

h

M

m

Fisiki g Lykeiou Voithima

Documents

Transcript of Fisiki g Lykeiou Voithima