1

FISIKA KUANTUM4 SKS

2

BAB 1PENDAHULUAN

Mekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) suksesmenjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis.

Cahaya sebagai gelombang (Fresnel, Maxwell, Hertz) sangatberhasil menjelaskan sifat-sifat cahaya.

Pada akhir abad 19, teori-teori klasik di atas tidak mampumemberikan penjelasan yang memuaskan bagi sejumlahfenomena berskala-kecil seperti sifat radiasi dan interaksiradiasi-materi.

Akibatnya, dasar-dasar fisika yang ada secara radikal diteliti-ulanglagi, dan dalam perempat pertama abad 20 muncul berbagaipengembangan teori seperti relativitas dan mekanika kuantum.

3

1.1 Radiasi Benda-hitam

Benda-hitam: penyerap semua radiasielektromagnet yang mengenainya, atau pengemisisemua radiasi elektromagnet yang dimiliknya.

Berdasarkan termodinamika, distribusi panjanggelombang spektrumnya hanya bergantung padatemperatur tidak pada jenis bahan benda-hitam.

T2

T1

E()

T1>T2

Raleigh-JeanWien

Stefan (1879): total energi yang dipancarkanadalah:

adalah konstanta dan c=3x108 m/s adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa.

4)/4( TcE =

Wien (1893): panjang gelombang di mana rapat energi radiasi maksimumberbanding lurus dengan 1/T.

maxT=konstan; disebut hukum pergeseran Wien

Eksp

4

Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang elektromagnetdiemisikan oleh osilator muatan-muatan listrik.

Bilamana osilator-osilator dalam kesetimbangan dengan radiasi dalambenda-hitam, maka rapat energi radiasi per satuan volum adalah:

u()= energi rata-rata osilator dengan frekuensi .

Hukum energi ekipartisi: energi rata-rata itu adalah u()=kBT di manakB=1,3806 x 10-23 J/K adalah konstanta Boltzmann. Dengan c= ,

)(8)( 32

uc

E =

TkE B48)( =

Inilah rumusan Raleigh-Jeans, yang ternyata hanya berlaku pada panjanggelombang yang besar.

5

Max Planck (1900):Suatu benda-hitam adalah kumpulan osilator dalam kesetimbangan denganmedan radiasi.

Suatu osilator dengan frekuensi hanya bisa memiliki energi:

.....,2,1,0; == nnhn

h=6,624 x 10-34 Js disebut konstanta Planck, dan h disebut kuantumenergi.

Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi adalah:

=

=

=

0

0

)/exp(

)/exp()(

nBn

nBnn

Tk

Tku 1)/exp(

)(

=Tkh

huB

Akhirnya diperoleh:

Inilah rumusan Planck yang sesuai kurvaradiasi benda hitam secara lengkap. 1

8)( /32

= Tkh Be

hc

E

6

Untuk panjang gelombang yang besar berlaku pendekatan

exp(h/kBT)=exp[hc/( kBT)] 1+ h /kBT

persamaan dari Raleigh-Jeans.

Persamaan dapat diungkapkan dalam sebagai berikut:

Tkc

B3

28=

18)( /3

2

= Tkh Be

hc

E

118)( /5

= Tkhc BehcE

Misalkan x=hc/kBT, maka

18)(

5

44

55

= x

B

ex

hcTkE

Untuk memperoleh E() maksimum, harus dipenuhi dE/dx=0; jadi,

0151 =+ xe x x=4,9651

T=hc/(4,9651 kB)=2,8978x10-3 mK. hukum pergeseran Wien

7

1.2 Efek Foto Listrik

Dalam pengamatan ternyata:

(i) untuk suatu jenis logam ada frekuensi cahaya minimal yang dapatmelepaskan elektron, dan

(ii) semakin tingi intensitas cahaya yang mengenai permukaan logam, semakin banyak elektron yang dilepaskan.

hv

Klogam

8

1.3 Dualisme Gelombang-Partikel

Hasil-hasil eksperimen interferensi dan difraksi membuktikan bahwa teori tentangcahaya sebagai gelombang telah mantap pada penghujung abad 19, terlebih lagikarena keberhasilan teori elektromagnetik Maxwell.

hW / W adalah fungsi kerja logam (=energi ikat elektron dipermukaan logam).

Einstein (1905) menolak teori tersebut berdasarkan fenomena efek foto-listrik dimanapermukaan logam melepaskan elektron jika disinari dengan cahaya berfrekuensi

Menurut Einstein, dalam fenomena tersebut cahaya harus dipandang sebagaikuanta yang disebut foton, yakni partikel cahaya dengan energi kuantum E=h.Dalam teori relativitas khususnya (1905), hubungan energi dan momentum suatupartikel diungkapkan sebagai berikut:

2222

cmpcE

o+=

p adalah momentum partikel, dan mo adalah massa

diam partikel bersangkutan

Untuk foton, karena tidak mempunyai massa diam, sedangkan energinya E=h,maka momentum foton adalah

.h

cEp == Adanya momentum inilah yang mencirikan sifat partikel dari cahaya.

9

Arthur H. Compton (1924)

elektron terhambur

sinar-X terhambur

sinar-X datang

Mengamati perubahan panjang gelombang sinar-X setelah dihamburkan olehelektron bebas.

( ) cos1' =cmh

e

Jika dan adalah panjang gelombang sinar-X sebelum dan setelah terhambur, dan me adalah massa diam elektron, maka diperoleh hubungan:

h/mec=0,00243 nm, disebut panjang gelombang Compton.

> energi foton terhambur (E) lebih kecil daripada energi foton datang (E).

Dapat dibuktikan dengan hukum kekekalanmomentum dan energi

10

Louis de Broglie : Mengemukakan bahwa tidak hanya cahaya yang memiliki sifat mendua, tetapi juga

partikel.

.ph

= Panjang gelombang ini disebut panjang gelombang de Broglie.

Clinton Davisson dan Lester Germer (1927):

Memperlihatkan efek difraksi dari berkas elektronketika melalui celah sempit sebagaimana cahaya.

Andaikan a adalah lebar celah dan posisi sudutuntuk gelap pertama adalah , maka berlaku

berkaselektron

Suatu partikel dapat juga memiliki sifat gelombang. Menurut de Broglie suatu partikelyang memiliki momentum p jika dipandang sebagai gelombang, mempunyai panjanggelombang:

a sin=

11

Kecepatan fasa:

vf==(h/p)(E/h)=E/p=p/2m=v. Aneh tapi tidak penting karena tak punya arti fisis.

Momentum p=mv dan energi E=p2/2m=mv2

Yang penting adalah kecepatan grup, yakni

vg=d/dk, di mana =2 dan k=2/.

Dengan E=p2/2m,

vg =d/dk=dE/dp=p/m=v.

Kecepatan grup dari gelombang partikelsama dengan kecepatan partikel itusendiri.

x

x

12

1.2 Spektroskopi Atom HidrogenJohann Balmer (1885):Eksperimen menunjukkan bahwa panjang gelombang-panjang gelombang semua garisspektrum atom hidrogen bisa diungkapkan dengan rumus empiris:

= 22

1211

nR

ndengan R =1.097x107 m-1 disebut konstanta Rydberg.

Balmer dan Ritz: mengemukakan rumus yang lebih umum,

mnnm

Rn

>

= ;111 22

Dengan rumusan empiris ini, Lyman menemukan deret ultraviolet untuk m=1, n=2, 3, 4, dan Paschen menemukan deret inframerah untuk m=3, n=4, 5, 6, Bagaimana sebenarnya struktur atom?

Ernest Rutherford (1911):Berdasarkan percobaan hamburan partikel-, menyarankan struktur atom terdiri dari intibermuatan positif dan elektron-elektron yang mengitarinya.

Sayangnya, teori fisika pada masa itu tak mampu menjelaskan hasil penemuanRutherford dalam kaitannya dengan rumusan Balmer-Ritz di atas.

13

BAB 2DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM

2.1 Persamaan GelombangTinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregang sepanjang sumbu-x dengankedua ujungnya dibuat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktuadalah (x,t).Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti:

2

2

22

2 ),(1),(ttx

vxtx

=

v adalah kecepatan fasa

Misalkan )()(),( txtx =

22

2

2

22 )()(

1)()(

==dttd

tdxxd

xv

0)()( 222

=+ ttdtd )(sin)( += tAt

0)()( 22

2

2

=+ xvdx

xd

+

= xDxCx

2cos2sin)(

14

=2, adalah frekuensi dan adalah konstanta; karena v adalah kecepatanmerambat maka panjang gelombang =v/.

Untuk konstanta C dan D diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas, pada x=0, dan x=L dengan L adalah panjang kawat. Andaikan, untuk x=0, (0)=0 maka D=0,

= xCx

2sin)(

Selanjutnya jika di x=L, (L)=C sin(2L/)=0 maka sin(2L/)=0, sehingga:

.....,2,1;2 == nnL

n disebut nomor modus normal.

= xLnCxn sin)(maka:

Akhirnya: )(sinsin),( txLnBtxn +

=

15

2.2 Persamaan SchrdingerTinjaulah sebuah partikel yang memiliki massa m, bergerak dengan momentum p didalam suatu medan konservatif. Menurut mekanika klasik, energi total partikel adalah jumlah energi kinetik dan potensial:

VmpE +=2

2

)(2 VEmp =

Sebagai gelombang, kecepatan fasa gelombang partikel itu

)(2 VEmE

pEv

==

Misalkan (x,t) adalah fungsi gelombang partikel, maka persamaan gelombang:

2

2

22

2 ),()(2),(ttx

EVEm

xtx

=

Suatu fungsi gelombang partikel dengan energi tetap berkaitan dengan frekuensitetap. Untuk itu (x,t) memenuhi

tiextx = )(),(

16

),()(2),( 222

txVEmxtx

h

=

E h=Mengingat h 2/=hdan

Akhirnya diperoleh persamaan:

0)()(2)(22

=+

xVEmxx

h

Bagian waktu exp(-it) telah dihilangkan sementara karena tak mempunyai pengaruh, dan selanjutnya persamaan itu disebut persamaan Schrdinger yang tak bergantungwaktu bagi sebuah partikel dalam satu dimensi.

Untuk tiga dimensi persamaan Schrdinger ini adalah:

0),,()(2),,( 22 =+ zyxVEmzyx

h

V adalah energi potensial yang bentuknya harus diketahui sebelumnya, sedangkanfungsi gelombang (x) dan energi E dari partikel bersangkutan merupakan solusiyang harus dicari dari persamaan tersebut.

Persamaan Schrodinger 1-dimensi

17

)()( xExH =

Vm

H += 22

2 h

Persamaan S