IME2004 FÍSICA

“A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo”Galileu Galilei

A figura abaixo mostra uma fenda iluminada por uma luz de comprimento de onda λ . Com as molas não deformadas, o ângulo correspondente ao primeiro mínimo de difração é θ .

Determine: 1. a largura d da fenda com as molas não deformadas; 2. o valor da força F que deverá ser aplicada para que o ângulo correspondente ao primeiro mínimo de difração passe a ser θ /2. Dado: constante elástica de cada mola: k. OBS: despreze todas as forças de atrito. Resolução: 1) Como trata-se de difração de fenda simples, temos:

( ) ( )sen

senλ λ

θ = ∴ =θ

dd

2)

( )sen 'sen sen2 ' 2θ λ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠d d

d

( )1 cos' 2 cos ' 2

2 2+ θθ⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟

⎝ ⎠d d d d

( ) ( )1 cos2 ' 2 2 1

2F k d d F kd

⎡ ⎤+ θ= − ⇒ = −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )1 cos2 2 1

sen 2kF

⎡ ⎤+ θλ∴ = −⎢ ⎥

θ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Q u e s t ã o 0 1

j

k

R0

i

Fm

v0

Uma partícula carregada está sujeita a um campo magnético B paralelo ao eixo k, porém com sentido contrário. Sabendo que

sua velocidade inicial é dada pelo vetor 0v , paralelo ao eixo i, desenhe a trajetória da imagem da partícula refletida no espelho, não deixando de indicar a posição inicial e o vetor velocidade inicial da imagem (módulo e direção). Justifique sua resposta. Dados: os eixos i, j e k são ortogonais entre si; distância focal da lente = f (f < x); massa da partícula = m; carga da partícula = q. OBS: o espelho e a lente estão paralelos ao plano i – j.

Resolução: 1) Para o objeto:

M cpF F= 20

00

mvBqvR

=

00

mvRqB

=

2) Para a imagem: 1 1 1 '

'xfp

f x p x f= + ⇒ =

−

Como ' 0x f p> ⇒ > ⇒ imagem real Considerando 'd p>

–f f

R

R0

x

d

(2)(3)

(1)

k

p’

v

v0

d-p’ d-p’

Q u e s t ã o 0 2

O objeto real ( )1 conjuga na lente uma imagem real ( )2 que por sua vez serve de objeto real para o espelho e conjuga a imagem ( )3 vide desenho

acima. 3) Utilizando do aumento linear transversal, temos:

( )0

0

0

' 'mv xfqB x fR p R pA R

R x x x

− ⋅−

= = − ⇒ = − =

( )0mv fR

qB x f∴ = −

−

Lembrando que podemos aplicar a fórmula do aumento linear transversal para as velocidades, assim:

( )0 0

0

' 'p v v p v xfA vx v x x x f

= − = ⇒ = − = − ⋅−

0v fvx f

∴ = −−

A figura 1 ilustra um sistema de aquecimento de água em um reservatório industrial. Duas bombas hidráulicas idênticas são utilizadas, sendo uma delas responsável pela captação de água da represa, enquanto a outra realiza o fornecimento da água aquecida para o processo industrial. As bombas são alimentadas por uma única fonte e suas características de vazão versus tensão encontram-se na figura 2. O circuito de aquecimento está inicialmente desligado, de maneira que a temperatura da água no tanque é igual a da represa. Supondo que a água proveniente da represa seja instantaneamente misturada pelo agitador no tanque, que não haja dissipação térmica no tanque e que o sistema de aquecimento tenha sido acionado, determine: 1. a vazão das bombas, caso a tensão das bombas seja ajustada para 50 V; 2. a energia em joules fornecida pela resistência de aquecimento em 1 minuto ao acionar a chave S; 3. a temperatura final da água aquecida, após a estabilização da temperatura da água no tanque. Dados: temperatura da água na represa: 20 ºC; calor específico da água: cágua = 1 cal/g ºC; densidade da água: dágua = 1 g/mL; R1 = 2 Ω W, R2 = 8 Ω e 1 cal = 4,18 J.

Q u e s t ã o 0 3

Z (L/min)

U (v)

5

Z

10 50 110

R1

R2

100V

i

Resolução: 1)

5 0

110 10ZUΔ −

=Δ −

25 10 L/VminZU

−Δ= ×

Δ

Para 2050V 5 10 2 L/min50 10

Z ZU ZU

−Δ −= ⇒ = = × ⇒ =

Δ −

2)

1 2

100 10 Ai iR R

= ⇒ =+

( )( )222 2 28 10 800 WP R i P= ⋅ = ⇒ =

( )( ) 42 800 W 60 s 4,8 10 JE P t E= ⋅ Δ = ∴ = ×

3)

E mE mc c Zct t

= Δθ⇒ = ⋅ ⋅ Δθ = ρ ΔθΔ Δ

( ) g 2 L J800 W 1000 4,186L 60 s g C

E Zct

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ρ Δθ⇒ = Δθ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Δ °⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

5,73 C 20 5,73 25,7 CΔθ = ° ⇒ θ − = ∴θ = °

A figura abaixo mostra duas placas metálicas retangulares e paralelas, com 4 m de altura e afastadas de 4 cm, constituindo um capacitor de 5 μ F. No ponto A, eqüidistante das bordas superiores das placas, encontra-se um corpo puntiforme com 2 g de massa e carregado com + 4 μ C. O corpo cai livremente e após 0,6 s de queda livre a chave K é fechada, ficando as placas ligadas ao circuito capacitivo em que a fonte E tem 60 V de tensão.

Determine: 1. com qual das placas o corpo irá se chocar (justifique sua resposta); 2. a que distância da borda inferior da placa se dará o choque.

Dado: aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.

Q u e s t ã o 0 4

ΔSAB

A

B

Resolução: 1) Antes de fechar a chave S , o corpo percorre o segmento AB .

( )( )22 10 0,62 2AB

gtSΔ = =

1,8 mABSΔ =

2) Fechando a chave S , teremos o seguinte circuito equivalente:

--

--

++

+

+

C

D

E

C

D

E

20μF

20μF

40μF

20μF

15μF

60V 60V

Como os capacitores do nosso circuito equivalente estão em série, temos:

60 VCD DE

CD DE

U UQ Q

+ =⎧⎨ =⎩

40 20CD CD CDCD DE

DE DE DE

Q C UU U

Q C U=

==

Resolvendo o sistema, temos: 20VCDU =

40VDEU =

3) No ponto B

( ) 2

202 440

CDCD

UU E zd Ed −= ⇒ = =

Vm500E =

P1 P2

ΔSAC

A

BF

C

+–

–

–

–

+

+

+

d = 2cm Na horizontal, temos:

( )( )( )

6

3

440 500

290qEF qE ma am

−

−= = ⇒ = =

21m/sa =

( )22 2 2 102t 0,2s2 2

at dda

−⋅ ×= ⇒ = = =

Na vertical, temos:

( )( )22 10 0,6 0,22 2ACtS g

+Δ = =

3,2mACSΔ =

Logo, o corpo irá se chocar com a placa 1P a 0,8m de sua borda inferior.

Um tanque de guerra de massa M se desloca com velocidade constante v0. Um atirador dispara um foguete frontalmente contra o veículo quando a distância entre eles é D. O foguete de massa m e velocidade constante vf colide com o tanque, alojando-se em seu interior. Neste instante o motorista freia com uma aceleração de módulo a. Determine: 1. o tempo t transcorrido entre o instante em que o motorista pisa no freio e o instante em que o veículo pára; 2. a distância a que, ao parar, o veículo estará do local de onde o foguete foi disparado. Resolução:

D

D – x

m

vfv0

M

1) Por conservação de momento linear:

( ) O fO f

Mv mvMv mv m M v v

m M−

− = + ⇒ =+

2) Calculando tempo solicitado:

( )( )

o fMv mvo vv va t tt a a a m M

−−Δ Δ= − ⇒ Δ = − = − ∴ Δ =

Δ +

3) Do instante inicial até o choque:

o

o f o f

x D x v Dt xv v v v

−= = ⇒ =

+

4) Após o choque:

222 12

2 2o fMv mvvO v a S S

a a m M−⎛ ⎞

= − Δ ⇒ Δ = = ⎜ ⎟+⎝ ⎠

Assim, a distância ( )d procurada será:

( )2

12

o fo

o f

Mv mvv Dd D x S d Dv v a m M

⎡ ⎤−⎛ ⎞⎢ ⎥= − + Δ ∴ = − + ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Um tanque contém 2 líquidos imiscíveis, L1 e L2, com massas específicas 1ρ e 2ρ , respectivamente, estando o líquido L2 em contato com o fundo do tanque. Um cubo totalmente imerso no líquido L1 é solto e, após 2 segundos, sua face inferior toca a interface dos líquidos. Sabendo que a distância percorrida pelo cubo desde o instante em que é solto até tocar o fundo do tanque é de 31 m, pede-se: 1. esboce o gráfico da velocidade v do cubo em função da distância percorrida pelo mesmo, para todo o percurso; 2. mostre, no gráfico, as coordenadas dos pontos correspondentes às seguintes situações: (a) a face inferior do cubo toca a interface dos líquidos; (b) a face superior do cubo toca a interface dos líquidos e (c) o cubo toca o fundo do tanque. Dados: 1ρ = 2000 kg/m3 e 2ρ =3.000 kg/m3; massa específica do cubo: ρ cubo=4.000 kg/m3; volume do cubo: Vcubo = 1 m3; aceleração da gravidade: g = 10 m/s2.

Q u e s t ã o 0 5

Q u e s t ã o 0 6

E1

P

E1

P

E2

( )NFR2

x (m)

130.000

120.000

10 x 11

τ

E2

P

L1

L2

0

x1

31

x(m)

Resolução:

1) Abandonando o cubo em 1L até a interface de 1L com 2L

1 1RF P E= −

1 1Lma gv gv= −∫ ∫

( )( )( )1

4000 2000 10 14000

a−

=

21 5m/sa =

( )( )221

1 1

5 210m

2 2a tx x= = ⇒ =

210 2v a x= + , 0 10x≤ ≤

10v x= 2) Passando de 1L para 2L :

( ) ( )2 1 2 40.000 20000 1 30000RF P E E x x= − + = − ⎡ − + ⎤⎣ ⎦

( )2

10000 2RF x= − , 10 11x≤ ≤

mas cEπ = Δ , assim:

( ) ( ) ( ) ( )( )24 42

10 12 10 2 10 4000 4000 102 2 2

x xv

⎡ ⎤− ⋅ + −⎣ ⎦ = −

25 60 2502

v x x= − + − , 10 11x≤ ≤

3) Da interface até o fundo do recipiente:

3 2RF P E= −

23 Lma gv gv= −∫ ∫

( )( ) 23 3

4000 3000 102,5m/s

4000a a

−= ⇒ =

( )23107,5 2 11v a x= + −

52,5 5v x= + , 11 31x≤ ≤

14,4

10,37

10

10 11 31

v (m/s)

x(m)

A figura abaixo mostra o esquema de um gerador fotovoltaico alimentando um circuito elétrico com 18 V. Sabendo que a potência solicitada na entrada do gerador (potência luminosa) é de 100 W, determine o rendimento do gerador na situação em que a razão dos valores numéricos da tensão e da corrente medidos, respectivamente, pelo voltímetro V (em volts) e pelo amperímetro A (em ampères) seja igual a 2 (dois).

Resolução:

AI E

B C

D

18 V

10V R

2Ω12Ω

iCE

VA

iAB

212 8 12 A3AB AB AB ABU i i i= ⇒ = ⇒ =

42 V3

CDCD

AB

U Ui

= ⇒ =

208 V3CD DE DEU U V U+ = ⇒ =

102 A3DE CE CEU i i= ⇒ =

2 10 4A3 3AB CEI i i I= + = + ⇒ =

( )( )18 18V 4A 72WGeradorFotovoltaico

P I= ⋅ = =

min

72 72%100

GeradorFotovoltaico

Lu osa

P

Pη = = ∴η =

Uma certa usina termoelétrica tem por objetivo produzir eletricidade para consumo residencial a partir da queima de carvão. São consumidas 7,2 toneladas de carvão por hora e a combustão de cada quilo gera 72 10 J× de energia. A temperatura de queima é de 907ºC e existe uma rejeição de energia para um riacho cuja temperatura é de 22 ºC. Estimativas indicam que o rendimento da termoelétrica é 75% do máximo admissível teoricamente. No discurso de inauguração desta usina, o palestrante afirmou que ela poderia atender, no mínimo, à demanda de 100.000 residências. Admitindo que cada unidade habitacional consome mensalmente 400 kWh e que a termoelétrica opera durante 29,63 dias em cada mês, o que equivale a aproximadamente 62,56 10× segundos, determine a veracidade daquela afirmação e justifique sua conclusão através de uma análise termodinâmica do problema.

Q u e s t ã o 0 7

Q u e s t ã o 0 8

Resolução: 1) O rendimento máximo teórico é o rendimento do ciclo de carnot, assim:

22 2731 1 75%907 273

Cmáx máx

H

TT

+η = − = − ⇒ η =

+

logo, o rendimento da termo elétrica será: 0,75 56,25%termo máx termoη = η ⇒ η =

2) Calculando potência total da termoelétrica 1kg carvão – 72 10 J/h⋅

37,2 10 kg⋅ carvão – TP 10 7 714,4 10 J/h 4 10 J/s 4 10 WT TP P= ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅

( )( )70,5625 4 10útiltermo útil termo T

T

P P PP

η = ⇒ = η ⋅ = ⋅

72,25 10 WútilP = ⋅

( )( )72,25 10 W 29,63 24hútil útilQ P t= ⋅ Δ = ⋅ × 71,6 10 kWhútilQ = ⋅

3) Calculando quantidade de energia consumida pelas casas 7100.000 400kWh 4 10 kWhcasas casasQ Q= ⋅ ⇒ = ⋅

útil casasQ Q∴ < . O palestrante é um demagogo.

Cinco cubos idênticos, de aresta L e massa específica μ , estão dispostos em um sistema em equilíbrio, como mostra a figura. Uma mola de constante elástica k é comprimida e ligada ao centro do cubo, que se encontra sobre o pistão do cilindro maior de diâmetro D de um dispositivo hidráulico. Os demais cilindros deste dispositivo são idênticos e possuem diâmetro d. Em uma das extremidades do dispositivo hidráulico existe um cubo suspenso por um braço de alavanca. Na outra extremidade existe outro cubo ligado a fios ideais e a um conjunto de roldanas. Este conjunto mantém suspenso um cubo totalmente imerso em um líquido de massa específica ρ .

Sendo g a aceleração da gravidade e desprezando as massas da alavanca, pistões, fios e roldanas, determine: 1. a relação La/Lb dos comprimentos do braço de alavanca no equilíbrio em função de ρ e μ ; 2. o comprimento Δ x de compressão da mola para o equilíbrio; Resolução:

P P P

P

P

La Lb

L

T’T T

T

2TE

NN’N” Fel

1 2

a) 1) Para a alavanca

0 0 aa b

b

L TTorques PL TL L pΣ = ⇒ − = ⇒ =

Q u e s t ã o 0 9

2) Para o corpo submerso 0 2 0força E T PΣ = ⇒ + − =

3 32 0gL T gLρ + −μ =

( ) 312

T gL= μ −ρ

como 'T T= , temos:

( ) ( )3

3

12

2a a

b b

gLL LTL p LgL

μ − ρ μ −ρ= = ∴ =

μ μ

b) Pelo princípio de Pascal:

2 2 2 2

'' ''

2 2

F N N N NA d Dd D= = ⇒ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞π π⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Para o bloco 1: ''N P Fe= + Para o bloco 2: N P T= −

( )3 33

2 2 2 2

12

gL gLP T P kx gL kxd D d D

μ − μ − ρ− + μ += ⇒ =

( )23

22DgLx

K d⎡ ⎤μ − ρ

= − μ⎢ ⎥⎣ ⎦

Um pequeno corpo é lançado com velocidade inicial, tendo componentes

vx = -2 m/s; vy=3 m/s e vz=2 m/s em relação ao referencial XYZ representado na figura. A partícula sai do chão na posição (0,4; 0; 0) e atinge o plano YZ quando sua altura é máxima. Neste instante, é emitido deste ponto um raio de luz branca que incide no cubo de vidro encaixado no chão com uma única face aparente no plano XY e cujo centro se encontra no eixo Y. O cubo tem aresta L e sua face mais próxima ao plano XZ está à distância de 1 m. Determine: 1. a posição em que o corpo atinge o plano YZ; 2. qual das componentes da luz branca, devido à refração, atinge a posição mais próxima do centro da face que está oposta à aparente, considerando que o raio incidente no cubo é o que percorre a menor distância desde a emissão da luz branca até a incidência no cubo. Dados: aceleração da gravidade: g = 10 m/s2;

índice de refração do ar: nar =1, 00. tabela com índices de refração do vidro para as diversas cores:

Q u e s t ã o 1 0

Resolução: a)

z

y

x

B y z(0; ; )

A(0,4;0;0)

1) Z OZv v gt= −

2 10O t= − 0,2st =

2) 2 2 2Z OZv v gZ= −

4 2O OZ= − 0,2mZ =

3) yyvt

=

3 0,6m0,2y y= ⇒ =

( )0; 0,6; 0,2B =

b) Por Snell - Descartes

θ

θ

βL

0,4

0,2

L2

B (0;0,6;0,2)

arn sen n sen⋅ θ = ⋅ β

0,4 0,510,2 1,25

n⋅ = ⋅

2n = ∴ violeta