Oscillazioni  

Definizioni    Mo/  armonici  Propagazione  delle  onde    

Il  moto  armonico  e  il  moto  circolare  uniforme  

§  Una particella che si muove con velocità ω lungo una circonferenza di raggio unitario, descrive sull’asse y una funzione che si chiama seno e sull’asse x un’altra funzione chiamata coseno.

ωt

sinωt  

La curva a destra dello schizzo è una sinusoide. Abbiamo diviso l’asse x in parti uguali di angoli crescenti e sull’asse y abbiamo posto il valore del seno corrispondente.

Caratteristiche del moto armonico    §  Un corpo compie un moto armonico quando dopo un tempo T si trova nella stessa posizione di partenza. x(t) = xmcos(ωt+φ) §  In questa equazione xm è l’ampiezza massima che può raggiungere il corpo, ω è la pulsazione φ la fase. §  ω è legata al periodo T dalla relazione ωT = 2π ed è anche legata alla frequenza ν come ω = 2πν. §  φ è l’angolo di fase. Questo è zero quando, caso della sinusoide, l’oscillazione parte dall’origine e nel caso della cosinusoide parte dal valore massimo.

Per definizione di moto armonico dopo un intero periodo: x(t) = x(t+T) e di conseguenza xmcos(ωt)=xmcos[ω(t+T)] Ovvero gli argomenti dei coseni saranno ωt + 2π = ωt + ωT ovvero ωT=2π

ω = 2π/T = 2πν

Posizione, velocità e accelerazione del moto armonico

[ ]

)sin( )(

)cos()(

φωω

φω

+−=

+==

txtv

txdtd

dtdxtv

m

m

)()(

)cos()(

)]sin([)(

2

2

txtatxta

txdtd

dtdvta

m

m

ω

φωω

φωω

−=

+−=

+−==

Sia x(t) = xm cos[(ωt)+φ] la posizione di un moto armonico

Nel moto armonico l’accelerazione a(t) e la posizione x(t) hanno gli stessi zeri perché sono legate dall’opposto della pulsazione al quadrato

La derivata della velocità è l’accelerazione.

La sua derivata è la velocità:

La proiezione sull’asse x di un punto in moto circolare uniforme è descritta da: x(t) = xm cos(ωt+f) La velocità di questo spostamento è la derivata prima, e vale: v(t)= - ωmxm sin(ωt+φ)

L’accelerazione è data dalla derivata seconda dello spostamento ed ha la forma: a(t) = - ωm

2xm cos(ωt+f)= - ω2 x(t)

L’oscillazione del moto circolare uniforme

Soluzione  di  un  moto  oscillatorio  

§  Nel caso di un blocco attaccato ad una molla “ideale” il modulo della forza della molla è proporzionale allo spostamento. §  Per la 2a legge di Newton dovremo scrivere F = ma dove F è la forza della molla che vale - kx e determina un moto pari a ma .

Equazione differenziale al secondo ordine, la cui soluzione è: x(t) = A cos(ω0t + φ)

con ω0 = √(k/m) e ν = 1/T avremo ω0 = 2π/T ω0 = 2πν0 T= 2π√(m/k)

- kx = ma = m(d2x/dt2) quindi m d2x/dt2 + kx = 0

La legge di Hook §  Un corpo attaccato ad una molla oscilla e la sua accelerazione vale a(t) = - ω2x(t). §  La forza che determina questo moto avrà una forma che dipendente dalla posizione: F = m[ -ω2 x(t) ] (F=ma)

ovvero F = - (mω2) x(t) §  Se mω2 è uguale a k, si ha la legge di Hook F = - kx. §  La frequenza e il periodo di questo sistema sono date da:

Ovvero a parità di massa m la frequenza dipende dalla rigidità k della molla.

kmT

mk

ππνω 2 2 ===

Energia di un moto armonico

)(cos)( 22212

21 φω +== tkxkxtU m

)(sin)( 22212

21 φωω +−== txmmvE mk

( ) ( )( ) ( )

221

22221

222122

21

]sin[cossincos

mk

m

mm

kxUEEttkxE

tkxtkxE

=+=

+++=

+++=

φωφω

φωφω

L’energia potenziale di un moto armonico è associata alla molla. Il suo valore dipende dalla elongazione cioè: U(t) = ½kx2 con x(t) = xmcos(ωt+φ)

L’energia cinetica è interamente associata al blocco : Ek= ½ mv2 con v2 = (-ωxm)2 sin2(ωt+φ)

Quindi l’energia meccanica totale sarà: E = Ek + U

Pendolo semplice

gL

mgLmL

mgLIT πππ 222

2

===

Le forze agenti sulla particella sono la forza peso e la tensione del filo.

Fgsinθ è la forza di richiamo e il momento della forza rispetto al vincolo vale τ = Iα

τ = - Lfgsinθ à τ = - Lmgsinθ = IαPer angoli piccoli fino θ ~ 5°si può sostituire sinθ con θ facendo un errore < 0,1% e quindi: - Lmgθ = IαDa cui α = -(mgL/I)θ d2θ/dt2 + (mgL/I)θ = 0 confrontando con la soluzione dell’oscillatore armonico abbiamo che (k/m = ω2) mgL/I = ω2

kIT π2=

Torcendo il filo di sospensione di un angolo q si realizzerà un momento torcente di richiamo che si oppone allo spostamento

τ = -kθ

k è la costante di richiamo e dipende dal tipo di filo: lunghezza, spessore, elasticità, etc.etc. La formula del momento torcente è come la legge di Hook e quindi potremo trovare il periodo di oscillazione

I è il momento di inerzia di un disco e vale I = ½ MR2

Pendolo a torsione

Pendolo  reale  

mghmhIT

mgLIT cm

2

22 +=→= ππ

Nel pendolo reale, importante è individuare il centro di massa dell’oggetto oscillante.

La forza di gravità agisce nel centro di massa e la distanza che lo separa dal punto di oscillazione vale h.

Come  si  cammina  Il movimento di una gamba può essere approssimato all’oscillazione di un pendolo ed il suo periodo di oscillazione è

gLT

322π=

Dove il fattore √2/3 tiene conto della distribuzione della massa lungo tutta la gamba e non concentrata solo nel piede. Si potrà stimare l’andatura di una persona facendo ragionevoli approssimazioni e conoscendo la lunghezza della sua gamba. Supponiamo che l’andatura sia quella che richiede il minimo sforzo muscolare (minimo consumo di energia) e il tempo di un singolo passo sia ½ del periodo T; quindi la velocità di una camminata (andatura) sarà:

LTLvandatura ∝∝2

Oscillazioni  ed  onde  •  La conoscenza del moto armonico ci permette di comprendere il moto di qualunque onda, sia essa elettromagnetica o meccanica, sferica o longitudinale . •  Il suono è un onda meccanica longitudinale che comprime e decomprime l’aria fra la sorgente e l’orecchio •  Le onde longitudinali hanno una periodicità temporale ed una spaziale. •  Dopo un tempo T e dopo una distanza λ la forma dell’onda ritorna uguale, una valle ritorna una valle e una cresta una cresta.

λ = v T λ = v/ν λ = 2π v/ω v = velocità, ω = pulsazione ν = frequenza

Onde  sonore  •  Le onde sonore sono onde longitudinali dovute alla compressione e rarefazione dell’aria •  La velocità del suono è 331,5 m/s alla pressione del livello del mare e a 0 °C •  Al variare della temperatura la v(T) = 331,5 + 0,6T m/s •  L’intervallo di frequenze udibili varia da 20 a 20,000 Hz e sono chiamate “onde acustiche” sopra tali frequenze ci sono le onde ultrasoniche •  Il suono si trasmette con velocità maggiore nei mezzi con densità maggiore •  L’intensità di un suono è il decibel (dB) ed è una misura relativa. Il dB = 10 log10 (I/I0) a quella che è considerata la soglia di udibilità I0 = 10-12 W/m2

Le  onde  ele=romagne/che  Per le onde elettromagnetiche non c’è bisogno di mezzo di propagazione (si propagano anche nel vuoto). L’oscillazione dei campi elettrico e magnetico sono perpendicolari alla direzione di propagazione e perpendicolari fra loro. Un piccolo elemento di una corda, di aria, o di campo onda si muove come descritto dalle soluzioni del moto armonico e l’energia associata al moto armonico è: La potenza nell’unità di tempo che fluisce attraverso una superficie elementare, ovvero l’intensità è

20

222 ymfE Δ=Δ π

20

22 2 yfvAPI ρπ==

Effe=o  Doppler    Se una sorgente di onde di frequenza f si avvicina o si allontana da un rivelatore, la frequenza percepita f’ sarà diversa da quella realmente emessa. Se la sorgente si avvicina la frequenza sarà maggiore (suono più alto) se si allontana sarà minore (suono più basso). Effetto Doppler. In un periodo T, se la sorgente si muove verso il rivelatore l’onda percorrerà la distanza l = vT e la sorgente si sarà mossa di una distanza ls = vsT. La differenza di queste due distanze sarà la nuova λ’ = l – ls = (v - vs) T e questa è la nuova lunghezza d’onda percepita dal rivelatore. Più in generale

( )

( ) ( )vvf

fvvvv

vvf

Tf

Tvvvvf

ss

s

∓∓

∓

11' avremo

1 ricordando e

''

==

===λ

Mentre se la sorgente è ferma e il rivelatore si muove

!"

#$%

&±=vvff 01'