Film(&)Philosophie: The imitation game
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The Imitation Game Film(&)Philosophie Akademie für http://akademiephilosophie.de M = (Q, ∑, Γ,δ, q 0 ,☐, q f ) Dr. Thomas Wachtendorf angewandte Philosophie
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The Imitation GameFilm(&)Philosophie
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M = (Q, ∑, Γ,δ, q0,☐, qf)
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The Imitation Game – Ein streng geheimes Leben
Morten Tyldum, 2014 (UK)
• Mit Benedict Cumberbatch und Keira Knightley• Buch: Andrew Hodges• Erzählt wird das Leben des englischen
Mathematikers Alan Turing, der maßgeblich an der Entschlüsselung der deutschen ENIGMA-Chiffriermaschine beteiligt war
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Was bisher geschah…
Ab etwa Mitte des 19. Jahrhunderts macht die Mathematik einen Sprung von einer eher Anwendungswissenschaft zu einer mathesis universalis, wie sie René Descartes vorschwebte – also zu einer Universalsprache, in der alles ausgedrückt werden können soll, was Maß und Zahl unterworfen ist.
Was war passiert?
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Guiseppe Peano (1858-1932)
Axiomatisiert den Kalkül der natürlichen Zahlen.Die natürlichen Zahlen lassen sich dadurch erstmals mit mathematischen Methoden ableiten.Außerdem entwickelt er eine zu diesem Zwecke passende neue mathematische Notation, die durch Bertrand Russell später populär wird (Beispiel: „und“ := ^; „oder“ := v; „impliziert“ := →. „A und B“ := A ^ B).
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George Boole (1815-1864)
Entwickelt den 1. algebraischen Logikkalkül, das heißt, die Aussagenlogik wird mit algebraischen Methoden formalisiert und damit berechenbar.Das ist eine Voraussetzung für die spätere Computerprogrammierung. Boole liefert auch ein Entscheidbarkeitsverfahren für die Aussagenlogik.
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Gottlob Frege (1848-1925)
Revolutioniert die Logik durch die Entwicklung einer formalen Sprache der Logik (Aussagen- und Prädikatenlogik). Er liefert dadurch zugleich die Grundlage für formallogische Beweise. Frege will Fehler in den Grundlagen der Arithmetik vermeiden, indem er die Mathematik auf die Logik reduziert (Logizismus). Bertrand Russell aber weist in Freges System schließlich eine Antinomie nach.
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Gottlob Frege (1848-1925)
Revolutioniert die Logik durch die Entwicklung einer formalen Sprache der Logik (Aussagen- und Prädikatenlogik). Liefert die Grundlage für formallogische Beweise. Frege will Fehler in den Grundlagen der Arithmetik vermeiden, indem er die Mathematik auf die Logik reduziert (Logizismus). Aber: Die Prädikatenlogik II. Stufe ist nicht vollständig und widerspruchsfrei. Bertrand Russell weist in Freges System schließlich eine Antinomie nach.
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Georg Cantor (1845-1925)
Entwickelt die Mengenlehre und definiert Unendlichkeit in arithmetischen Begriffen. Mit Cantors 1. Diagonalargument lässt sich zeigen, dass zwei unendliche Mengen gegebenenfalls gleich mächtig sind (woraus die Möglichkeit folgt, dass es auch unendliche Mengen gibt, die nicht gleich mächtig sind).Das II. Diagonalargument beweist dann auch, dass die Menge der reellen Zahlen überabzählbar ist.Russell verwendet die Mengenlehre zur Bildung seiner Antinomie.
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David Hilbert (1862-1943)
Angesichts der unklaren Grundlagenkrise der Mathematik stellt Hilbert 1900 auf einem Kongress 23 Probleme vor, die gelöst werden müssen. Das wichtigste, das Hilbert-Programm, fordert die vollständige und widerspruchsfreie Axiomatisierung der Arithmetik.15 Probleme sind bisher gelöst, 3 sind ungelöst und 5 prinzipiell unlösbar – darunter das Hilbert-Programm.
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Alfred Tarski (1901-1983)
Versucht Russells Paradox und damit auch dem Hilbert-Programm auf einem Umweg zu begegnen. Durch die Einführung einer Objekt- und einer Metasprache und der so genannten Konvention T lassen sich die Probleme vermeiden. Dies aber nur um den Preis einer Sprachen-Hierarchie, die zu arithmetisieren Russell nicht gelingt.
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Die Grundlagen der Mathematik bleiben weiter unklar. Es kommt zur Ausbildung und zum Streit zwischen drei mathematischen Richtungen oder Schulen, der bis heute nicht abschließend geklärt ist:
• Logizismus (Russell, Frege)• Formalismus (Hilbert, Turing)• Intuitionismus (Brouwer)
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Kurt Gödel (1906-1978)
Gödel arbeitet am Hilbert-Programm. 1929 kann er die Vollständigkeit und Widerspruchsfreiheit der Prädikatenlogik I. Stufe beweisen, was Hilberts Bemühungen stützt.
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Kurt Gödel (1906-1978)
1931 jedoch gelingt ihm in seinem Aufsatz Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme der Nachweis, dass es in einem widerspruchsfreien, genügend reichhaltigen, aber hinreichend einfachem Axiomensystem unbeweisbare Aussagen gibt. Es gilt also, ein Axiomensystem ist:1. nicht hinreichend einfach,2. nicht vollständig3. oder widersprüchig.
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Kurt Gödel (1906-1978)
Gödel benutzt für den Nachweis ein geniales Verfahren, dass zwar Tarskis Beweisidee beibehält, aber dessen Probleme umgeht. Das Verfahren wird nach ihm Gödelisierung genannt. Es ermöglicht, metasprachlichen Aussagen über die Sprache S mit Sätzen der Sprache S in S auszudrücken.Gödel gelingt schließlich noch der Beweis, dass die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems nicht aus diesem System selbst ableitbar ist.Hilberts Programm war gescheitert.
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Alan Turing (1912-1954), OBE (Order of the British Empire), FRS (Fellow of the Royal Society)
Turing wird in England geboren und wächst dort auf, seine Eltern leben teilweise in Indien. Er fällt durch hohe Intelligenz auf. Mit 16 liest und versteht er Einsteins Texte und leitet daraus Gesetze ab.Turing studiert 1931-34 in Cambridge und erwirbt seinen PhD in Princeton, USA, 1938. 1939 studiert er bei Ludwig Wittgenstein in Cambridge.
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Turing arbeitet während des 2. Weltkriegs in Bletchley Park an der Entschlüsselung der deutschen Chiffriermaschine ENIGMA.1952 wird er aufgrund seiner Homosexualität wegen grober Unzucht und sexueller Perversion angeklagt und zu einer Haftstrafe verurteilt. Er entgeht der Haft durch chemische Kastration, die ihn depressiv macht. Er stirbt in der Folge1954 durch Suizid.2009 bittet Premierminister Gordon um Verzeihung für die „entsetzliche Behandlung“, 2011 wird eine Rehabilitierung abgelehnt, die 2013 durch einen Royal Pardon von Elizabeth II erfolgt.
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Die Turing-Maschine
Was ist überhaupt eine Maschine?Eine definierte Apparatur, die (in der) Kraft überträgt (übertragen wird). Es muss klar sein, was die Maschine macht.
Das Können einer Maschine hängt von deren Bauweise ab.
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Die Turing-Maschine
Bei elektronischen Maschinen ist es umgekehrt: Ihr Können hängt nicht in der Weise von der Bauweise ab.Elektronische Gatter (zum Beispiel: UND, ODER, NICHT) sind nach bestimmten Regeln kombinierbar und ermöglichen mächtige Operationen, die dennoch – etwa durch die Boolsche Algebra – wohldefiniert sind. Es wird keine Kraft mehr übertragen, sondern Impulse.Solche Maschinen werden durch Rechenprozesse, nämlich Algorithmen, beschrieben.
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Die Turing-Maschine
Das einfachste Rechenmodell eines Computers ist die Turing-Maschine (Computer sind auch Maschinen).Sie hat: ein Steuerwerk, ein Speicherband, ein Eingabealphabet, einen Lesekopf, der bewegt werden, lesen und schreiben kann.
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Die Turing-Maschine
Definition:
M = (Q, ∑, Γ,δ, q0,☐, qf),wobei:Q = endliche Zustandsmenge∑ = endliches EingabealphabetΓ = endliches Bandalphabet (∑ ⊂ Γ)δ = (Q ∖ {qf}) × Γ → Q × Γ × {L, O, R} - Überführungsfunktion
q0 ∈ Q - Anfangszustand☐ ∈ Γ ∖ ∑ - leeres Feldqf ∈ Q - akzeptierter Zustand (Endzustand)
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Die Turing-Maschine
Die Turing-Maschine ermöglicht die mathematische Definition folgender Begriffe:
Berechenbarkeit: Eine Rechnung ist durch eine endliche Anzahl von festen Schritten (:= Algorithmus) durchführbar. Eine solche Rechnung heißt auch beweisbar (d.h.: es gibt eine Ableitung: Die Turing-Maschine terminiert).
Entscheidbarkeit: Für jedes Element der Menge gibt es einen Algorithmus, der beantwortet, ob das Element eine Eigenschaft hat.
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Turing zeigt 1936 in seinem Aufsatz On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem, dass eine Turing-Maschine „jedes vorstellbare mathematische Problem […] lösen [kann], sofern dies auch durch einen Algorithmus gelöst werden kann.“ Er bestätigt durch diese Arbeit Gödels These und beweist zugleich, dass es keine Lösung für das Entscheidungsproblem geben kann.Außerdem legt er damit die Grundlagen der theoretischen Informatik.
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Die Turing-Maschine
Die Turing-Maschine ermöglicht außerdem die mathematische Definition des Begriffes:
Halteproblem: Kommt eine Turing-Maschine zum Stehen? Es gibt keinen Algorithmus, der diese Frage für alle möglichen Algorithmen und Eingaben beweisen kann. Das heißt: Die automatische Feststellung von Wahrheit innerhalb eines Systems ist nicht möglich (vgl. Tarski).
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M = (Q, ∑, Γ,δ, q0, ☐, qf)
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