Ficha de Trabalho Nº 26 Matemática 12 Ano · Simplifique a expressão de f. 7.2. Determine os...

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1. Qual o valor exato da expressão 7 π 4 π 3 π sin cos tg 6 3 4 + (A) –2 (B) –1 (C) 0 (D) 2 2. Considere a função f, de domínio , definida por = (). 2.1. Qual o contradomínio de ()? (A) [1 , 5] (B) [–1 , 1] (C) [–1 , 5] (D) [–5 , –1] 2.2. No intervalo [0, π] , f tem: (A) 3 zeros (B) 2 zeros (C) 1 zero (D) não tem zeros. 3. Na figura está representado parte de um gráfico de uma função periódica. Sabe-se que: o período da função é 15 π 6 ; a abcissa do ponto A é 31 π 8 . Qual é a abcissa do ponto B? (A) 155 π 22 (B) 15 π 6 (C) 31 π 8 (D) 8 π 4. Simplifique a seguinte expressão: ( ) ( ) ( ) π sin π cos 2 π tg sin 2 x x x x + + + + 5. Determine o valor exato de sin 3630º cos 2040º tg 3645º + Ficha de Trabalho N.º 26 Matemática 12.º Ano Nome do Aluno N.º Data ____ / ____ / 2015 Prof. Sandra Paulo

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1. Qualovalorexatodaexpressão 7 π 4π 3πsin cos tg6 3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(A)–2 (B)–1

(C)0 (D)2

2. Considereafunçãof,dedomínioℝ ,definidapor𝒇 𝒙 = 𝟑 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧(𝟐𝒙).

2.1. Qualocontradomíniode𝑓(𝑥)?

(A)[1,5] (B)[–1,1]

(C)[–1,5] (D)[–5,–1]

2.2. Nointervalo[0,π],ftem:

(A)3zeros (B)2zeros

(C)1zero (D)nãotemzeros.

3. Nafiguraestárepresentadopartedeumgráficodeumafunçãoperiódica.

Sabe-seque:

− operíododafunçãoé15π6;

− aabcissadopontoAé31π8

− .

QualéaabcissadopontoB?

(A)155π22 (B)

15π6

(C)31π8 (D)

4. Simplifiqueaseguinteexpressão:

( ) ( ) ( ) πsin π cos 2π tg sin2

x x x x⎛ ⎞+ − − + − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

5. Determineovalorexatode sin3630º cos 2040º tg 3645º+ −

FichadeTrabalhoN.º 26Matemática12.ºAno

NomedoAlunoN.ºData ____ / ____ / 2015 Prof.SandraPaulo

6. Resolveaequação

2sin 2 4sinx x+ =

7. Considereafunçãofdedomínio[0,2π]definidapor:

π( ) 2 3 cos 32

f x x⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

7.1. Simplifiqueaexpressãodef.

7.2. Determineoszerosdafunçãof.

7.3. Calcule π 5π6 3

f f⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7.4. Calculeosextremosdafunçãof.

8. Nafiguraestárepresentado,numreferencialo.n.Oxy,ocírculoderaio5ecentronaorigem.

Sabe-seque:

• OpontoAtemcoordenadas(5,0);

• OpontoBtemcoordenadas(10,0).

ConsiderequeumpontoPsemovesobrea

circunferência.

ParacadaposiçãodopontoP,sejad= PB eseja

α ∈[0,2π[aamplitude,emradianos,doângulo

orientadocujooladoorigeméosemieixopositivoOxecujooladoextremidadeéasemirreta OP .

8.1. Mostreque ( )2 125 100cosd α= −

8.2. Determineosvaloresdeα ∈[0,2π[paraosquaisd2=75.

8.3. Paraumcertovalordeα pertencenteaointervalo[0,π],tem-se tg –2 6α = .

Determined,paraessevalordeα.

8.4. IndiqueascoordenadasdePdemodoquedsejamáxima.

PROPOSTADERESOLUÇÃO

1. 7 π 4 π 3π π π πsin cos tg sin π cos π tg π6 3 4 6 3 4

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + = + − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π π 1 1sin cos tg 1 16 3 4 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − = − + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Resposta:(B)

2.

2.1. 1 sin(2 ) 1x− ≤ ≤

2 2sin(2 ) 22 2sin(2 ) 21 3 2sin(2 ) 5

xxx

− ≥ − ≥

− ≤ − ≤

≤ − ≤

Resposta:(A)

2.2. Comoocontradomínioé[1,5],fnãotemzeros

Resposta:(D)

3. 8π 6π 22π31 15 155

− + =

Resposta:(A)

4. ( ) ( ) ( ) πsin π cos 2π tg sin sin( ) cos( ) tg( ) cos( )2

x x x x x x x x⎛ ⎞+ − − + − + + = − − − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

sin( ) cos( ) tg( ) cos( ) sin( ) tg( )x x x x x x= − − − + = − −

5. sin3630º cos 2040º tg 3645º sin(10 360º 30) cos(5 360º 240º ) tg(10 360º 45º )+ − = × + + × + − × + =

1sin(30º ) cos(240º ) tg(45º ) cos(180º 60º ) 12

= + − = + − − =

1 1 1cos(60º ) 12 2 2

= − − = − − = −

FichadeTrabalhoN.º26|Trigonometria(RevisõesIII)|12.ºAno

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6. 22sin 2 4sin 4sin 2sin 2 2sin 2 sin2

x x x x x x+ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = ⇔

π π πsin sin 2 π π 2 π, 4 4 4

x x k x k k⎛ ⎞= ⇔ = + ∨ = − + ∈ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

¢

π 3π2 π 2 π, 4 4

x k x k k= + ∨ = + ∈¢

7.

7.1. π( ) 2 3 cos 3 2 3 sin 32

f x x x⎛ ⎞= + − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

7.2. 3 3( ) 0 2 3 sin 3 0 sin sin22 3

f x x x x= ⇔− − = ⇔ = ⇔ = − ⇔−

π π πsin sin 2 π π 2 π,3 3 3

x x k x k k⎛ ⎞⇔ = − ⇔ = − + ∨ = + + ∈ ⇔⎜ ⎟⎝ ⎠

¢

π 4π2 π 2 π,3 3

x k x k k⇔ = − + ∨ = + ∈¢

7.3. π 5π π 5π 1 32 3 sin 3 2 3 sin 3 2 3 6 2 36 3 6 3 2 2

f f⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − − − − = − × − − × − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 6 3 3 3= − − + = − −

7.4. 1 sin 1x− ≤ ≤

2 3 2 3sin 2 3

2 3 2 3sin 2 3

2 3 3 2 3sin 3 2 3 3

x

x

x

− ≥ − ≥

− ≤ − ≤

− − ≤ − − ≤ −

Máximo: 2 3 3−

Mínimo: 2 3 3− −

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8.

8.1. ParacadaposiçãoopontoPtemcoordenadas ( )5cos ,5sinα α eopontoBtemcoordenadas(10,0).

Portento,temos

2 2 2 2 2 2(5cos 10) (5sin 0) 25cos 100cos 100 25sind dα α α α α= − + − ⇔ = − + + ⇔

2 225 100cos 100 125 100cosd dα α⇔ = − + ⇔ = −

8.2. 1 π125 100cos 75 cos cos cos2 3

α α α− = ⇔ = ⇔ = ⇔

π 2 π,3

k kα⇔ = ± + ∈¢

π π03 3

k α α= → = ∨ = −

π1 2π3

k α= → = +π 5π2π=3 3

α∨ = − +

8.3. Usandoafórmula 22

11 tgcos

xx

+ =

( )2

22 2

1 1 1 1 11 2 6 25 cos cos coscos cos 25 25 5x

α α αα

+ − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ±

Encontraroquadranteaquepertenceα

[ ]0, π2.º .

tg 2 6Q

αα

α

⎧ ∈⎪⇒ ∈⎨

= −⎪⎩

Portanto,temos1cos5

α = −

Calculard

2 2

0

1125 100 145 145 1455 d

d d d d>

⎛ ⎞= − − ⇔ = ⇔ = ± ⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

8.4. OvalordedémáximoquandoPtemcoordenadas(–5,0).

BomTrabalho