FI-­‐227  Física  de  Disposi1vos  

Tópico  9  Cavidades  ressonantes  

1  

Cavidades  Ressonantes  •  Considere  uma  região  fechada  onde  as  propriedades  da  

matéria  (µ  e  ε)  são  diferentes  do  resto  do  espaço;  •  Consideremos  a  ausência  de  fontes  (cargas  ou  correntes.  

Portanto,  temos  seis  equações:  

•  Se  considerarmos  a  dependência  com  o  tempo  de  uma  única  frequência,  então  teremos  eq.  para  as  componentes  do  1po:  

•  As  condições  de  contorno  na  interface  (não  magné1cos)  serão  do  1po:  

2  

02

2

22 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∂

∂−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∇HE

tcHE

!!

!!

µε

∇2Ψ(r)+ µεω2

c2Ψ(r) = 0 ≡ [∇2 + k0

2 ]= 0

εε /(int)/(int)

(int);(int)(int);(int)

fd

fdfd

Ψ∇=Ψ∇

Ψ∇=Ψ∇Ψ=Ψ

Cavidades  Fechadas  •  As  cavidades  fechadas  todos  os  campos  são  nulos  fora  dela;  

sendo  assim  a  condição  de  contorno  fica:  

•  Nos  casos  separáveis,  material  homogênio  ou  geometrias  par1culares;    será  um  produto  de  3  funções,  cada  uma  função  de  uma  dimensão;  e  teremos  três  equações  do  1po:  

•  Onde  λ  ,  o  auto-­‐valor,  está  relacionado  com  k0;  •  Esta  forma  auto-­‐adjunta,  coma  as  condições  de  contorno  

acima,  garantem  λ  são  reais  e  que    podemos  sempre  construir  uma  base  ortogonal    completa  em  cada  dimensão  para  funções  no  domínio  da  região;  

3  

0)(;0)( =Ψ∇=Ψ fronteirafronteira

)()(

;0)()()(

xqdxdxp

dxd

xuxxu

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡≡℘

=+℘ λω

•  De  forma  geral  então  temos  para  cada  ωn,  uma  solução  Φn(r)  e  o  conjunto  de  funções  Φn(r)  formam  uma  base  ortogonal  completa  para  descrever  qualquer  função  de  r  na  região;  

•  Como  cada  Φn(r)  é  solução  com  uma  frequência,  se  num  num  instante  inicial,  temos  Γ(r,0)  então:  

•  Em  geral,  temos  uma  mistura  de  frequências,  mas  se  1vermos  um  Γ(r,0)  =Φn(r),  o  sistema  permanecerá  neste  estado  indefinidamente  oscilando  numa  única  frequência  (largura  de  linha  nula);  O  mesmo  pode  ser  dito  se  fixamos  um  ponto  do  espaço  e  temos  uma  oscilação  f(r0,t);  teremos  uam  mistura  de  requências  com  as  distribuições  espaciais  correspondentes  

4  

nmnmnn

n

tinn

rdrrrdrra

eratr n

,3*3* )()(;)0,()(

;)(),(

δφφφ

φ ω

=Γ=

=Γ

∫∫

∑!!!!

!!

)()2/1(;),(

;)(),(

0 mntititi

n

n

tinn

dteedttrea

eratr

mnn

n

ωωδπ

φ

ωωω

ω

−=Γ=

=Γ

∫∫

∑−− !

!!

Exemplos  

•  Cavidade  em  forma  de  paralelepípedo;  •  Modo  TE;  •  Do  tópico  9,  vejamos  o  guia  retangular,  agora  fechado  em  z  =  0  e  z  =  c  

5  

z

•  No  problema  do  guia  bnhamos:  exp(±ikz),  sendo  que  temos  ramos  de  Kp,q(ω)  ou  temos  ramos  de  ωp,q(K)  

•  No  caso  TE  Bz  =  0  em  z  =  0  e  z  =  c,  Bz=Ψexp(±ikz), então:  

•  Só  algumas  frequências  podem  exis1r:  

6  

222

, )( kbq

ap

nckqp +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=ππ

ω

,..2,1;0)(0),,(;00)0,,());()cos()(,(),,(

±±==⇒=⇒==⇒=

+Ψ=

llckkcFsencyxBEyxBkzFsenkzEyxzyxB

lzz

z

π

222

,, )( ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=cl

bq

ap

ncklqp

πππω

•  Temos  então  as  constantes  de  propagação  em  x,  y  e  z,  kx,p=pπ/a  ,  ky,q=qπ/b,  kz,l=lπ/c  

•  Consideremos  a=b=c=d  Para  k2  grande  (comprimentos  de  onda  muito  menores  que  d,  temos  o  numero  de  modos:    

7  

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++== 2

2

2

2

2

222);,,(

cl

bl

apkkkkk zyx π

!

k2

3

2

3

2

23

22

23

2

2

2

2

3

2

33

3

3

8)(;42

24))(()(

;2

))(()(

;2

)()(;6

/)()(

6)/(3481

)(

cccdd

ddk

dkkdn

ck

cddk

dkkdn

kdkkdnkkVolkNkn

dkd

kkN

TMTETE

TE

TE

πννρ

πνππνπ

νω

ωω

νρ

ωπ

ωω

ωωρ

πρ

π

ππ

π

====

===

===≡

⇒==

+

Exemplos  

•  Cavidade  cilíndrica:  Comecemos  com  o  guia  cilíndrico;  

•  Modo  TM;  Ψ=Ez;  Ez  =  0  em  r=R    •  Do  tópico  8,  agora  fechado  em  z  =  0  e  z  =  c  

8  

z

r

•  Onde  XM,N  é  a  n-­‐ésima  raiz  da  função  de  Bessel  JM(x)   9  

( )

RkRkJkzEsenkzDMCsenMBkAJE

PMddP

dd

MMdd

dd

ddP

dd

P

P

kcnr

NMNMM

Mz

t

/)(0])([)];()cos()][()cos(][)([

;0)(

,...2,1,0;1;01

)()(;011

;0),(

,,

222

22

2

222

2

2

22

2

2

22

22222

Χ=⇒=

++=

=−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=−=Φ

Φ=+

Φ

Φ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Φ=Ψ=Ψ+∂

Ψ∂+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

Ψ∂

∂

∂

−≡=Ψ+∇

γγ

ϕϕργ

ργρ

ρρ

ρ

ϕρργ

ϕρρ

ρρ

ϕργϕρρ

ρρρ

ωγϕγ

•  O  campo  elétrico  transversal  deve  ser  nulo  nas  tampas  em  z  =  0  e  z  =  H,  então:  

•  Ou  seja,  quan1zamos  os  valores  de  k.  

 10  

HlklDHzEzE

PkzEsenkzDikEikE

tt

tztt

/;00)(;0)0(

);()]()cos([22

π

γγ

==⇒====

Φ∇+−=∇−=

!!

""!

GHzmmHRHRn

cHl

Rnc

Hl

cn NM

lNMNM

440;1;9.98.5

;

min221,1,0min

2

22

2

2,

,,2

2

2

222,

2

≈==+==

+Χ

=⇒−=

νωω

πω

πωγ

•  Os  modos  com  M=1,2,...  e  o  primeiro  zero,  N=1  são  modos  confinados  próximo  à  supermcie.  Isto  ocorre  devido  às  propriedades  das  funções  de  Bessel  neste  caso.  

•  Podemos  graficar  as  funções  P(ρ)Φ(φ):  

 •  Estes  modos  têm  2M  nodos/an1nodos  que  se  concentram  cada  vez  mais  próximo  à  supermcie.  São  chamados  whispering  gallery  modes.   11  

M=10; N=1

M=20; N=1

M=2; N=1

Disco  Dielétrico    •  Consideramos  o  problema  bi-­‐dimensional  •  O  confinamento  no  plano  é  dado  pelo  resultado  do  “slab  waveguide”onde  obtemos  o  neff  para  a  propagação  confinada.  Em  geral  a  espessura  é  tal  que  somente  um  modo  (TE  e  TM)  é  permi1do.  

•  Aproximamos  o  problema  considerando  a  condição  de  contorno  como  o  caso  metálico  ou  seja  nulidade  de  E  tangencial  ou  B  normal  na  borda.  

•  As  ressonâncias:    

12  

Rnc

Rc

nNM

eff

TMTENM

NMNM

eff

TMTE

TMTE ,,,2

2,2

,2

222

,

,Χ

=⇒Χ

=⇒≈ ωγω

γ

Cavidade  Anel  •  Um  guia  de  ondas  que  é  distorcido  para  formar  um  anel.  

•  Os  modos  que  podem  exis1r  são  conbnuos  após  uma  revolução.  Então  os  k´s  e,  portanto,  as  frequências  ω  são  discretos.  

•  Kp=p2π/L  

13  

ω

k

c/nD

c/nF

TE

Perda  de  energia  •  Se  existe  dissipação  da  energia  armazenada  na  cavidade,  inicialmente  preparada  num  modo  Φn(r)  ,  qual  deve  ser  o  efeito  espectral;  

•  Consideremos  agora  que  a  energia  decaia  exponencialmente  com  o  tempo  de  vida  fotônico  τ:  

•  Onde  Q  é  o  fator  de  qualidade  da  cavidade;  

•  Para  este  decaimento,  propomos:  

14  

pnQtt QAeAetrAtU np τωφ ωτ ≡=== −− ;),()( //2

QttiQiti

nnn

erftreerftr /22)2

1()(),(;)(),( ωω

ω

φφ −Δ+

==

TREQQ

dttdUtU

TQ

perda

arm

n

ppn

πω

τπτω

2)()(;2 ==⇒===

•  A  transformada  de  Fourier  desta  amplitude  nos  dá  o  comportamento  espectral:  

   •  Temos  um  curva  Lorentziana  centrada  em  ωn-­‐Δωn  Ou  seja,  temos  um  desvio  da  ressonância  por  Δωn  e  uma  largura  de  meia  altura  de  ωn/Q  ou  1/τp;  

•  Quanto  maior  Q  ou  o  tempo  de  vida  fotônico,  menor  a  largura  de  linha.   15  

12/1

|)(|

12/

|)(|),(~

;)()2/(

2/)(

2)(

0;00;

2)(),(~

2,

2

2

22

0

(2

)2

1(

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−∝

Δ−−+

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

<

>= ∫∫∞ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ−−+−

−∞

∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ++

p

n

n

nn

nnn

tQti

tQii

rf

Q

rfr

iQrf

dterfdtet

terfrnn

nnn

τωω

ωωωω

ωφ

ωωωωπ

ππωφ

ωωωω

ωωω

16  

pn

pnp

nM

nM

r

r

τωω

τωωτωω

ωφ

ωωωφ

/1)(2

2/1)(;12/1

;2/1),(~

;0;1),(~

,

,

2,2

,2

=−

=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

=−=

ω’n

Cálculo  Direto  Aproximado:  Cavidade  linear  

•  Consideremos  uma  cavidade  linear  com  dois  espelhos  com  refle1vidade  R,  ganho  g  e  perdas  por  espalhamento  a  da  propagação;    

•  A  intensidade  de  uma  onda  plana  propagando-­‐se  na  cavidade  linear  é:  I(x)  =I0e(g-­‐a)x)  

•  A  amplitude  da  onda  então  deve  ser:    •  E(x)  =  E0e[ik+(g-­‐a)/2]x  =I01/2e[ik+(g-­‐a)/2]x  

17  

•  Após  a  n-­‐ésima  volta  completa,  temos:  

•  Portanto,  o  campo  total  num  certo  ponto  da  cavidade,  se  esperarmos  um  tempo  longo,  combina  contribuições  com  diversas  número  de  voltas:  

•  Temos  uma  série  geométrica  que  converge  quando:  

•  Mais  ainda,  temos  as  ressonâncias  em  :  

18  

RreeREE rnnnLagiknLagiknn === +−+−+ ;./ )(22]2/)([2]2/)([

0ℓ

LmncLmke mmLik /)/(;/12 πωπ ==⇒=

iargRnLagrnLag lim)()/1(;0)()/1(2/)( ≡−<<+− ℓℓ

nLnrLagik

nT eEE )(/ 2]})/1(2/)[({

0ℓ+−+∑=

•  A  intensidade  do  campo  é  E.E*  

•  Se  Δ=0  (limiar)  temos  divergências  nas  ressonâncias!  Ou  seja,  quando  as  perdas  igualam  ao  ganho  temos  picos  com  largura  de  linha  zero  em  torno  das  ressonâncias.   19  

)(sin.4).1(1

)]/1()[(;)(sin4)1(

11

1)(/

2)(2)(

22

2]})/1(2/)[({2]})/1(2/)[({

0

kLeReRI

RnLagkLee

I

eeEE

LagLagT

T

LnrLagiknLnrLagik

nT

−−

ΔΔ

+−++−+

+−=

−−≡Δ+−

=

−==∑

ℓ

ℓℓ

I  vs  KL/pi  para  diversos  Δ

Notem  a  largura  de  linha  diminuindo  com  a  diminuição  de  Δ.   20  

0  

0.1  

0.2  

0.3  

0.4  

0.5  

0.6  

0.7  

0.8  

0.9  

1  

0   0.5   1   1.5   2   2.5   3   3.5   4  

I  total  normalizad

o  

KL/pi  

-­‐10  

-­‐5  

-­‐1  

-­‐0.1  

-­‐0.01  

Δ

•  Finesse:  

•  O  Q  está  relacionado  com  a  finesse  e  é  tanto  maior  quanto  maior  ωm,  ou  m.  

   

21  

IT =IMAX

1+ Fπ( )

2sin2(kL)

=IMAX

1+ Fπ( )

2sin2(ωL / c)

;

IMAX ≡1

(1− R.e(g−a)L )2;F /π ≡ 4R.e(g−a)L

(1− R.e(g−a)L )2;

IT ω→ωm=mcπ /L≈

IMAX1+ F

π( )(ω −ωn )2 (L / c)2

= IMAX / 2⇒Δ(ωL / c) ≈ 2πF

Δω ≈2πcFL

⇒Δωωm

≈2πcFL

Lmπc

=2mF

=1Q

Fator  Q  •  Expandindo-­‐se  a  expressão  da  página  19  em  torno  de  uma  ressonância  ωn,  temos:  

 •  Notem  que  no  limiar  Q  →∞;  Próximo  ao  limiar:  

22  

)2/sinh(2

)2/sinh(2)1(

)()1()/(41

)1()(

)]/1()[(;)()/(4)1(

1)(

2/

22

2

2

222

Δ−=

=Δ

−=−

=

−−

+

−=≈

−−≡Δ−+−

=≈

Δ

Δ

Δ

Δ

−Δ

ΔΔ

cnL

cnL

cnL

eeQ

ecnLeeI

RnLagcnLee

I

p

pmm

m

m

mT

mmT

τ

τωω

ω

ωωωω

ωωωω ℓ

[ ])/1()/1()()/()/(1

2/)2/sinh(0

RnLagncLnc

cnLQ

p

m

ℓ−−=Δ

→

Δ−→⇒Δ→Δ⇒≈Δ

τ

ω

•  Podemos  expandir  isto  para  cavidades  com  múl1plas  reflexões  com  q  muitas  reflexões  e  q  segmentos  (l1+  l2,…=  LT).  

23  )2/sinh(2

)2/sinh(22)1(2

)()1()2/(41

)1()(

)]..(2/)[(

;)()2/(4)1(

1)(

2/

22

2

2

21

222

Δ−=

=Δ

−=−

=

−−

+

−=≈

+−≡Δ

−+−=≈

Δ

Δ

Δ

Δ

−Δ

ΔΔ

cnL

cnL

cnL

eeQ

ecnLeeI

rrrnLagcnLee

I

Tp

pmmT

mT

mT

mT

qT

mTmT

τ

τωω

ω

ωωωω

ωωωω

ℓr1

r2

r3

r4

r5

r6

Cavidade  anel  •  L=2πR  •  As  perdas  são  distribuídas  na  rugosidade  e  incorporadas  em  a.  

24  )2/sinh(

)2/sinh()2/sinh()1(2

)()1()/(41

)1()(

];)[(

2/

22

2

2

Δ−=

Δ−=

Δ−=

−=

−−

+

−=≈

=−≡Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

−Δ

cRn

mnc

RncRn

eeQ

ecRneeI

RmcRag

p

mm

m

mT

m

πτ

πωπω

π

ωωπ

ωω

ωπ

Cavidade  anel  •  L=2πR  •  As  perdas  são  distribuídas  na  rugosidade  e  incorporadas  em  a.  

25  )2/sinh(

)2/sinh()2/sinh()1(2

)()1()/(41

)1()(

];)[(

2/

22

2

2

Δ−=

Δ−=

Δ−=

−=

−−

+

−=≈

=−≡Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

−Δ

cRn

mnc

RncRn

eeQ

ecRneeI

RmcRag

p

mm

m

mT

m

πτ

πωπω

π

ωωπ

ωω

ωπ

Polígonos  de  2M  lados  inscritos  em  circunferência  de  raio  R  

•  Este  caso  aproxima-­‐se  aos  modos  whispering  gallery  modes;  

•  Para  M  grande,  aproxima-­‐se  do  anel    

26  

( )

)2/sinh(2

)2/sinh(22)1(2

2/2/cos4)];(2/)[(

;)()2/(4)1(

1)(

2/

222

Δ−=

=Δ

−=−

=

−=+−≡Δ

−+−=≈

Δ

Δ

ΔΔ

cnL

cnL

cnL

eeQ

MMRLRnMLagcnLee

I

Tp

pmmT

mT

TT

mTmT

τ

τωω

ω

ππ

ωωωω

ℓ

( )( ) ( ) RMMRMsensenMMR

MMRLTππππππ

ππ

22/4]2/()2/2/cos()2/[cos42/2/cos4

=→+

→−=

•  Deve-­‐se  resolver  as  equações  de  Maxwell  por  diferenças  finitas  no  tempo  e  espaço;  •  O  cálculo  de  Q  pode  ser  feito:  

–  Forçando  uma  certa  freqûencia  (eiωt)  num  ponto  da  cavidade  e  obtendo  a  potência  saindo  da  cavidade  num  estado  estacionário;  

–  Colocando  um  pulso  rápido  (espectro  aberto  em  frequência  e  acompanhando  a  evolução  temporal  nas  diversas  frequências  na  cavidade;  

–  Criando-­‐se  fronteiras  onde  qualquer  onda  é  absorvida  sem  qualquer  reflexão.  Ou  seja,  trazemos  o  infinito  para  esta  fronteira  e  resolvemos  as  eq.  De  Maxwell.  A  integral  do  vetor  de  Poyin1ng  em  toda  a  fronteira  da  cavidade  numa  certa  frequência  nos  dá  a  perda  de  energia.  Mais  diretamente,  obtemos  soluções  com  frequências  complexas  que  em  si  provêm  o  Q  da  cavidades.  

         

•  No  caso  do  disco,  transformação  conforme  transforme  o  problema  num  slab  waveguide  com  perfil  de  índice  de  refração  não  uniforme.  (N.  C.  Frateschi,  A.  F.  J.  Levi)  

Problema  Geral  

27  

fronteira cavidade

Acoplamento  guia  cavidade  anel  

•  Suponha  que  colocamos  um  pulso  na  entrada  do  guia  de  onda  com  amplitude  a1.  

•  Ao  propagar,  parte  da  onda  (fator  k)  acopla  no    anel  e  forma  o  pulso  com  amplitude  b2.  Parte  da  onda  (fator  t)  vai  para  a  saída  com  amplitude  b1.    

•   O  pulso  no  anel  propaga  e  leva  a  um  pulso  a2  que    pode  acoplar  no  guia  com  fator  k1  ou  con1nuar  no  anel  com  um  fator  t1.  

28  

a1 b1

a2 b2

entrada saída

Três  regimes:  •  O  tamanho  do  pulso  (τp)  é  menor  que  o  tempo  de  uma  volta  

(τrt)  no  anel: τp< τrt  –  No  domínio  do  tempo  veremos  o  pulso  na  saída  e  várias  repe1ções  em  intervalos  de  τrt.    

–  No  domínio  da  frequência  veremos  um  espectro  com  largura    Δω~1/ τp  inicialmente  e  o  espectro  se  modifica  persis1ndo  as  frequências  de  ressonância  da  cavidade  anel;  

•  Caso  intermediário:  o  pulso  tem  tamanho  comparável  ao  tempo  de  volta:  τp~ τrt  –  A  interação  ocorre  em  somente  parte  do  pulso;  –  Este  caso  é  complexo  e  necessita    um  estudo  caso  a  caso.    

•  O  tamanho  do  pulso  é  muito  maior  que  o  da  volta: τp>>> τrt  –   Caso  estacionário.  Este  caso  será  estudado  a  seguir  e  implica  que  o  

pulso  interage  consigo  mesmo  completamente.  –  Este  é  ú1l  para  estudar  o  acoplamento.   29  

Caso  estacionário*  •  Podemos  escrever:  •  Se  o  sistema  é  conserva1vo:  |b1|2+|b2|2=  |a1|2+|a2|2;  a  energia  que  entra  do  lado  esquerdo  é  igual  à  que  sai  do  lado  direito  do  acoplamento;  

•  Podemos  escrever:  

•  Isto  implica  em:  •  Portanto:  

30  * A. Yariv ELECTRONICS LETTERS 17th February2000 Vol. 36 No. 4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

112

1

aa

tkkt

bb

)()()()(

;

;

*11

**121

*1

**21

22

221

21

21

222

21

21

21

*211

*1

*12

*11

22

21

*22

22

22

2*12

**21

*21

2*11

21

ktktaakttkaaaktaktbb

akaaktaaktatbbb

akakataatkatbbb

+++++++=+

+++==

+++==

1)()(;; 21

21

22*1

*1 =+=+−== ktktkktt

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1**

2

1

aa

tkkt

bb

•  Se  considerarmos  que  |a1  |2=  1W  (todas  amplitudes  são  normalizadas  com  respeito  a  a1);  

•  E  que  a2=αeiθb2,  ou  seja  ao  propagar  o  anel  há  variação  de  fase  θ  (ωL/c,  L  é  o  perímetro  do  anel)  e  da  amplitude  da  onda  α (meios  passivos  0< α <1  e  meios  com  ganho  α >1)  .    

•  E  definirmos    ,  ou  seja,  a  transmissão  causa  variação  de  fase  φt  e  amplitude  |t|.  

•  Podemos  obter  a2  e  b1,  amplitude  no  ressonador  e  amplitude  transmi1da.  

31  

tie|t|t φ=

;)cos(21

)1(

;)cos(21

)cos(2

22

22*22

22

22

22*11

21

t

t

t

ttt

aaa

tttt

bbb

φθαα

α

φθαα

φθαα

+−+

−==

+−+

+−+==

•  É  interessante  o  caso  em  que  θ+φt=m2π. •  Neste  caso  as  expressões  se  reduzem  a:  

•  Notem  que  quando  α  =|t|  não  haverá  transmissão  e  toda  a  energia  se  concentrará  no  anel.  Também  vemos  que  :  

•  Para  α=1  (nenhuma  perda  no  anel)  a  energia  em  cada  modo  diverge.  

32  

;)1()1(

;)1()(

2

22*22

22

2

2*11

21

tt

aaa

tt

bbb

α

α

α

α

−

−==

−

−==

;)1( 2

22

2 αα−

=a

Caracterís1ca  espectral  •  Acoplamento  crí1co  ou  não:  

33  

α =0 .9 e t = 0.1

α =0 .9 e t = 0.5

α =0 .9 e t = 0.9

•  Dependência  com  a  perda  e  transmissão  no  acoplamento  crí1co:  

34  

α = t = 0.1 α = t = 0.5

α = t = 0.9 α = t = 0.99

•  Amplificação  no  disco  (α  >  1,  α|t|<1)  

35  

α = t = 0.9

α =1.1 e t = 0.9

α =1.05 t = 0.9

α =1 t = 0.9

Com a amplificação no anel, podemos gerar ressonâncias transmitidas tão estreitas quanto queiramos fazendo α|t| → 1

Geração  de  pentes  de  frequência  •  Mistura  de  4  ondas:  dois  fótons  numa  freqüência  ω1  e  vetor  de  onda  k1  podem  gerar  dois  fótons  nas  freqüências  ω2  e  ω3  desde  que  se  conserve  energia  e  momento:  2 ω1= ω2  +  ω3  e  2 k1  = k3  +  k2  

36  

ω1 ω1 ω2 ω3

•  Efeito  não  linear  depende  de  X(3)  e  alta  intensidade  do  campo  eletromagné1co  (ou  alta  densidade  fotônica);  

•  Cavidades  pequenas  com  alto  fator  de  qualidade  Q  fazem  aumentar  a  intensidade  do  campo  por  concentrar  os  fótons  espacialmente  e  mantê-­‐los  confinados  por  mais  tempo.  

•  Numa  cavidade  anel  com  índice  de  refração  n,  para  modos  com  λ  <<  perímetro,  temos  que  os  modos  ressonantes  são:  

•  Portanto  os  modos  são  igulamente  espaçados  em  frequência  e  k  (energia  e  momento).  

37  

,...2,1,0;22±±==⇒=⇒=⇒= m

nmL

mL

Lmk

nLcm mat

mvácmmm λλ

ππω

ω

m m+1 m-1 m m+1 m-1

knLc π

ω2

=Δ

•  No  entanto,  o  índice  de  refração  é  função  da  frequência  n(ω)  devido  à:  –  dispersão  no  material;  –  dispersão  devido  o  confinamento  eletromagné1co;  

•  A  dispersão  no  material  em  geral  é  tal  que  n  aumenta  com  a  frequência  (diminui  com  o  comprimento  de  onda)  dispersão  normal.  

•  A  dispersão  do  guia  é  diferente.  Lembremos  que  ao  resolver  o  guia  obtemos  ω(k)  ou  k(ω)=  ck/n(ω);  –  No  espaço  aberto  esta  relação  só  varia  devido  à  variação  do  índice;  

–  No  caso  confinado,  cada  confinamento  leva  a  uma  função  k(ω)  que  perto  de  uma  frequência  central  ainda  vale:    

38  cnk ωωω ω )(|)( 00

=

•  Expandindo  em  torno  de  uma  certa  frequencia:  

•  Agora,  em  geral  a  velocidade  de  fase  local  (em  torno  de  ω0  linha  pon1lhada  em  vermelho)  é  maior  que  a  velocidade  de  grupo  (derivada  de  ω  com  k  em  ω0,  flecha  azul)  dispersão  normal;  no  entanto,  pode  ocorrer  que  vG>vF  ou  vG<0.  Nestes  casos  dn/dω<0,  dispersão  anômala.    

39  

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇒

≡+=

11/1)(

;/1)(;)()()(

G

F

GG

G

vvn

vncnn

vc

ddn

vddk

cn

cddn

ddk

ωωωωω

ωωωω

ωω

ωω

ω

k

•  Projetando-­‐se  o  guia  de  onda  corretamente,  pode-­‐se  compensar  a  dispersão  normal  do  material  com  a  anômala  do  confinamento  de  tal  forma  que  dn/dω  total  é  nulo  e  as  condições  de  conservação  de  energia  são  sa1sfeitas  para  modos  subsequentes  :  2  fótons  do  modo  m  geram  um  fóton  no  modo  m-­‐1  e  m+1.  Isto  ocorre  sucessivamente.  

•  Portanto,  injetando-­‐se  uma  frequência  de  ressonância  do  anel,  para  a  qual  a  dispersão  foi  suprimida  obtemos  diversos  modos  espaçados  de                              em  toda  a  região  de  validade  da  dispersão  nula.   40  

entrada saída

nLc π

ω2

=Δ

ω ω

Bandgap  fotônico  •  Consideremos  a  equação  de  onda  no  caso  harmônico  

monocromá1co:  

•  Consideremos  que  a  constante  dielétrica  do  meio  tenha  uma  periodicidade  caracterizada  por  uma  rede:  

•  Portanto,  a  constante  dielétrica  pode  ser  expressa  como  uma  série  de  Fourier  envolvendo  os  vetores  da  rede  recíproca,  G;  

•  Expandindo-­‐se  o  campo  elétrico  em  termos  do  vetor  de  onda,  temos:  

41  

;321 apalamR !!!!++=

;)( .rGi

GGer

!!

!!

! −∑= εε

rkiekAkdrE!!!!!!! .)()( −∫=

;0)()( 2 =−×∇×∇ ErE!!!

µεω

•  Subs1tuindo  na  equação  as  expressões  para  o  campo  e  a  constante  dielétrica,  temos:  

 

42  

d3k∫!k ×[!k ×!A(!k )]e−i

!k . !r −ω 2µ d3kε !G∫

!A(!k )e−i(

!k+!G ). !r

!G∑ = 0;

!k +!G ≡!k '⇒ d3k = d3k '⇒

− d3k∫!k ×[!k ×!A(!k )]e−i

!k . !r −ω 2µ d3kε !G∫

!A(!k −!G)e−i

!k . !r

!G∑ = 0

⇒!k ×[!k ×!A(!k )]+ω 2µ ε !G

!A(!k −!G)

!G∑ = 0

∇×!A(!k )e−i

!k . !r = i

!k ×!A(!k )e−i

!k . !r

•  Para  cada  k  (conbnuo),  temos  infinitas  equações  acoplando  os  infinitos  coeficientes    A(k)  com  A(k-­‐G);  portanto,  cada  raiz  do  determinante  secular  nos  leva  a  um  possível  grupo  de  A(k-­‐G),  com  o  campo  dado  por:  

•  Que  são  ondas  de  Bloch;  •  Notem  também  que  cada  raiz  do  determinante  nos  leva  a  uma  

relação  de  dispersão  ω(k);  Estas  relações  de  dispersão  formam  as  bandas,  cuja  a  estrutura  depende  não  só  depende  da  periodicidade  de  ε,  como  da  orientação  de  E  e  da  direção  de  propagação  k;  

43  

)()(

)()()(

;)()(

).(

).().()).((

).(

rEeRrE

eGkAeeGkARrE

eGkArE

k

Rkik

G

rGkiRki

G

RrGkik

G

rGkik

!!!!!

!!!!!!!!!

!!!!!

!

!!

!

!

!!!!!

!

!!!!

!

!

!!!

!

−

−−−+−−

−−

=+⇒

−=−=+

−=

∑∑

∑

•  Em  certos  casos  de  periodicidade,  para  certas  orientações  do  campo  e  de  k,  pode  ocorrer  que  uma  faixa  conbnua  de  ω  não  tenha  soluções  reais  de  k;  nestas  regiões,  temos  bandgap  fotônico  onde  a  propagação  de  ondas  é  proibida,  levando  à  reflexão;  

•  Portanto,  estruturas  periódicas  podem  ser  de  extrema  u1lidade  por  prover:  –  Relações  de  dispersão  que  dependem  da  periodicidade  da  constante  dielétrica  e  da  orientação  do  campo  e  da  direção  de  propagação  e  não  somente  de  propriedades  dos  materiais;  

–  Dependência  com  a  orientação  cria  um  novo  universo  de  materiais  bi-­‐refringentes;  

–  Bandgap  fotônico  pode  levar  à  seleção  de  modos  de  acordo  com  a  orientação  do  campo,  alem  de  prover,  reflexão  e/ou  guiamento  da  luz;  

44  

1  D  •  Para  exemplificar  o  bandgap  fotônico;  façamos  o  caso  de  

periodicidade  unidirecional  (direção  z  com  período  Λ)  e  campos  na  direção  transversal,  para  propagação  na  direção  k=kz  e  E//x;  

•  Neste  caso,  a  equação  final  da  página  3,  fica:  

•  Consideremos  o  caso  onde  somente  ε0  e  ε1=ε-­‐1  são  não  nulos;  (Esta  aproximação  é  exata  se  a  constante  dielétrica  1ver  um  comportamento  puramente  senoidal)  

•  Neste  caso:  

45  

0)/2()( 22 =Λ−− ∑l

l lkAkAk πεµω

•  Temos:  

•  Desprezando-­‐se  o  termo  em  segunda  ordem  ε1A(k±4π/Λ);  temos:  

46  

;0)]/4()([()/2(])/2[(

;0)]/4()([()/2(])/2[(

;0)]/2()/2([)()(

12

022

12

022

12

022

=Λ++−Λ+−Λ+

=Λ−+−Λ−−Λ−

=Λ++Λ−−−

πµεωπµεωπ

πµεωπµεωπ

ππµεωµεω

kAkAkAkkAkAkAk

kAkAkAk

)/2();/2();(

0])/2[(0

0])/2[()(

022

12

022

12

12

12

022

Λ+≡Λ−≡≡

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−Λ+−

−Λ−−

−−−

ππ

µεωπµεω

µεωπµεω

µεωµεωµεω

kAckAbkAa

cba

kk

k

•  Temos  solução  não  trivial  se:  

 •  Para  k=0,  temos  soluções:  

 •  Para  k=±π/Λ,  temos  as  soluções  aproximadas:  

•  Um  gap  principal  se  dá  entre  ω+  e  ω-;também  entre  ω2  e  ω3; sendo  tanto  maiores  quanto  maior  ε1.  

 

47  

0]})/2[(])/2{[()(

])/2][()/2)[((

022

0222

12

022

022

022

=−Λ++−Λ−−

−Λ+−Λ−−

µεωπµεωπµεω

µεωπµεωπµεω

kkkkk

)2

(

)/2(;)/2(;0

0

2

0

223

0

222

21

1

ε

µεµε

πω

µεπ

ωω

+

Λ=

Λ==

)1(

)/(;)1(

)/(;)/3(

0

10

22

0

10

22

0

22

εε

µε

πω

εε

µε

πω

µεπ

ω−

Λ=

+

Λ=

Λ= +−

48  

k  π/Λ -π/Λ

ε1  

ε0  

48  

ω

(1/µε0)1/2π/Λ

(1/µε0)1/22π/Λ

bandgap

ω+

ω-

Cavidades  Ressonantes  com  PBG  •  Se  criarmos  um  defeito  na  rede  cristalina  fotônica,  pode-­‐se  obter  um  armadilha  fotônica  onde  se  confina  os  fótons.  Uma  frequência  no  meio  do  gap  só  pode  exis1r  no  defeito.  

•  O  bandgap  fotônico  pode  exis1r  para  uma  polarização  e  não  para  outra.  

•  Exemplo:  rede  hexagonal  2  D  com  defeito  (H1)  

49  

Estrutura  de  banda  

•  Modo  armadilhado  |Hy|2  

50  

Photonic  bandgap  membranes  

51  D. Figueira, et al Optics Express. , v.20, p.18772 - 18783, 2012.  

52  

Γ

Μ

Κ

ky

kx

]0,3

,[aa

ππ−

]0,0,34[aπ

ξωξ

πξω

πξ

πξ

ξωξξ

ωω

)/(;;0;

4)/(;3

)30cos(;)30sin(;

)/();30sin();30cos(;

)/(0;)/(

2

22

22222

nckka

nca

ka

kM

nckkM

kknckkkknc

yy

yx

yx

yxzzyx

−===Γ→Κ

+=−=+=Κ→

=−==→Γ

+=⇒=++=

•  Bandgap  Fotônico  planar  kz  ≈0  

Limites (Linha azul): (ξ é um segmento numa dada direção)

Optomecânica  (Breve  introdução)  •  Consideremos  que  temos  um  número  N  de  fótons  com  frequência  ressonante  ωn  numa  cavidade  ressonante;Portanto,  a  energia  na  cavidade  é  

•  Se  fizermos  um  trabalho  deformando  a  cavidade  com  um  valor  dξ,  tal  que  a  ressonância  mude,  os  fótons  mudam  de  frequência  e  a  energia  fica:  

•  O  trabalho  e  a  força  são:  

53  

nNE ω!=

ξξξω

ω dgNdddNdNdE n

nn !!! ≡==

nn

apop

nap

gddfotonFfotonF

gNdEdFdW

!!

!

−=−=−=

===

ξω

ξ

//

;

Cavidade  Fabry-­‐Perot  •  Uma  dimensão  e  comprimento  L;  As  ressonâncias  são:  

•  Se  quisermos  calcular    a  força  como  vimos  atrás,  teríamos:  

54  

;2

rtm

mLcm

τππ

ω ==

;/ 2Lcm

dLd

dxdfotonF

dLdx

nnop

πωω !! =−==

−=L

Fap

Δx

Fop

Mais  fisicamente:  •  Considere  uma  cavidade  Fabry-­‐Perot  em  que  um  dos  espelhos  é  movido  com  velocidade  uniforme  v;  

•  Considerando  o  espelho  perfeito,  cada  fóton  que  bate  transfere  um  momento  de  Δp  =  2E/c;  

•  O  espelho  se  movendo  com  velocidade  uniforme  tem  ΔL  =  v Δt;  

•  O  número  de  vezes  que  cada  fóton  bate  no  espelho  num  certo  intervalo  Δt,  é  Δt/τrt;(rt:round  trip)  

55  L

F v

•  Obtemos  a  força  então:  

•  O  sinal  nega1vo  é  porque  vai  no  sen1do  –x.  

56  

22/212

122

/22

LcmF

Lc

cLcm

cF

cEFL

cELFtvF

vLcEt

cEtFp

rt

m

rtrt

rtrt

ππτ

ω

ττ

ττ

!!!−=⇒−=−=

−=⇒Δ

−=Δ=Δ

⇒Δ

−=Δ

−=Δ=Δ

Acoplamento  •  Cavidade  Fabry-­‐Perot  e  um  espelho  de  massa  m  preso  a  uma  mola  de  constante  K;  

 •  Notem  que  os  sistemas  se  acoplam  pois  Δx=F/K=F/(mω0

2)(  ω0 é  a  ressonância  mecânica)  e  F  é  a  força  aplicada  à  cavidade  e  estará  relacionada  com  mudança  de  frequência  da  mesma  e  com  a  força  óp1ca.(Ainda  consideramos  a  mola  clássica)  

57  

L

Δx

K m

Modulação  (ver  ar1go  de  ziper  laser  -­‐    Thiago  Alegre  et  al.  e  anéis  acoplados  Gustavo  

Wiederhecker)  •  Considere  dois  modos  da  cavidade  ωm  e  ωs.  Se  aumentarmos  o  número  de  fótons  em  ωm  o  que  ocorre  em  ωs?  

•  O  aumento  de  fótons  ΔN  em  ωm  causa  uma  força  óp1ca  dada  por:  

 •  Esta  força  causa  uma  variação  em  x  de:  •  Esta  variação  causa  uma  mudança  em  ωs  dada  por:  

58  

KNg

KF

x mop Δ==Δ!

NgNdxdF m

mop Δ=Δ= !!

ω

KNggxgx

dxd ms

ss

sΔ

=Δ=Δ=Δ!ω

ω

•  Se  ΔN  é  causado  por  uma  potência  Pm,  temos  que:  

 •  Ou  seja,  ao  injetarmos  luz  em  uma  ressonância,  podemos  variar  uma  outra  ressonância;  

•  Este  efeito  será  tanto  maior  quanto  maior  for  Qm  e  menor  K;  

59  

m

m

m

mPm

m

m QPPNωω

τω !!

==Δ

2m

mmmsm

m

m

mms

s KQPgg

K

QPgg

ωωω

ω ==Δ!

!

Sistemas  mecânicos  no  estado  fundamental  

•  É  interessante  pensar  na  interação  do  oscilador  mecânico  (agora  quân1co)  com  energias  En=(n+1/2)hω0/2π;  

•  É  possível  usar  a  interação  com    o  oscilador  e  resfriá-­‐lo  ao  estado  fundamental,  N=0;  

 

60  

L

Δx

K m

Sistemas  mecânicos  no  estado  fundamental(visão  clássica)  

•  Votemos  ao  sistema  do  espelho  acoplado  a  um  oscilador.  

•  Consideremos  que  a  cavidade  tem  fótons  num  modo  ωM.que  ocorre  para  o  L  médio  da  oscilação;  a  força  óp1ca  conforme  definimos  é  esboçada  abaixo  em  função  de  x.  

 

61  

L

Δx

Km

X~L

•  A  força  definida  como  

•  é  resultado  do  momento  transferido  pelos  fótons  acumulado  em  sua  circulação  na  cavidade;  Portanto,  existe  um  “atraso”para  que  ela  ocorra.  

•  Também,  a  quan1dade  de  fótons  batendo  no  espelho  por  unidade  de  tempo  depende  de  τrt;  

•  Portanto,  ao  diminuirmos  a  cavidade  (aumento  de  x),  diminui  o  τrt    e  a  quan1dade  de  fótons  que  batem  no  espelho  por  unidade  de  tempo  aumenta.  No  caso  contrário  diminui.  Portanto,  existe  uma  assimetria  que  resulta  numa  força  maior  para  se  opor  à  oscilação  para  a  direita  e  uma  força  menor  para  aumentar  a  amplitude  no  movimento  à  esquerda.  Ou  seja,  os  fótons  freiam  o  oscilador.   62  

mm

op gdxdfotonF

m!! == ω

ω/

•  Se  forçarmos  a  assimetria,  bombeando  fótons  ligeiramente  de-­‐sintonizados  com  a  cavidade  tal  que  o  oscilador  ao  mover-­‐se  em  x  traz  L  à  ressonância,  a  força  de  amortecimento  é  maior.  Ou  seja,  pode-­‐se  diminuir  mais  a  amplitude  da  oscilação.  Num  limite  reduzimos  o  número  quân1co  relacionado  à  oscilação  e  a  energia  decresce  com  En=(n+1/2)hω0/2π,  tendendo  ao  estado  fundamental  hω0/4π;

•  O  contrário  (amplificação  da  oscilação  mecânica)  pode  ser  feito  colocando-­‐se  o  bombeio  do  à  direita  do  máximo  de  gm.  (seta  vermelha)  

63  

•  De  fato,  o  oscilador  impõe  dois  picos  satélites  em  torno  de  ωm  de  ω0.  

•  Ou  seja,  o  espelho  modula  a  ressonância  óp1ca.  A  ressonância  óp1ca  pode  re1rar  excitação  do  oscilador  harmônica.  Para  tal,  o  satélite  Stokes  deve  ser  completamente  suprimido.    

64  

Anti-stokes (tira fonons do oscilador)

Stokes (dá fonons do oscilador)

ωm +ω0

ωm - ω0

ωm

Análise  (+/-­‐)  Quân1ca  •  Consideremos  o  sistema  de  fônons  ωm  (oscilações  mecânicas)  e  oscilações  eletromagné1cas  ωp.

•  Se  a  oscilação  muda  a  frequência  da  cavidade,  os  sistemas  estão  acoplados:  

65  

( )

( )meff

omopphoop

meffopommphoopop

omopopmphoopop

mggbbaagbbnaaH

bbm

xxngnnE

xgxnxnE

ωωω

ωωω

ωωωω

2;ˆˆˆˆˆˆˆˆ

ˆˆ2

;

)(;)(

†††,0

†,0

†,0

,0

!!!!

!!!!

!!

≡+++=

+=++=

⇒+≈+=

•  Existe  uma  troca  entre  criação/aniquilação  de  fônons  e  fótons  em  equilíbrio;  

•  Lembrando  que  o  sistema,  tanto  de  fótons  como  de  fônons,  é  dissipa1vo,  temos  perdas  de  fótons  para  o  vácuo  e  perdas  de  fônons  com  a  excitação  de  osciladores  do  banho  térmico.  

•  Há  uma  largura  de  linha  relacionada  aos  processos;  •  Injetando-­‐se  fótons  com  frequência  ωL:    

•  Estes  acoplam  melhor  com  os  picos  Stokes  ou  an1  Stokes;  num  caso,  1ra  energia  dos  fônons  e  coloca  nos  fótons  (resfriamento);  no  outro,  excita  fônons  1rando  energia  dos  fótons  (amplificação);  

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         + ih keaine-­‐ iwlt(a -­‐ a†) + ...

67  

ωop +ωm

ωop - ωm

ωop

Resfria, perdendo fônons para acoplar na ressonância

Amplifica, excitando fônons para acoplar na ressonância

ωL ωL