1

Αποτέλεσμα Υποκατάστασης καιΑποτέλεσμα Εισοδήματος

(Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στη Ζητούμενη Ποσότητα)

(1) Διαγραμματική Παρουσίαση

1Α. Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στα Κανονικά Αγαθά

(Π1) Μείωση της Τιμής του Αγαθού 1

x1

x2

0

••

•

IC2 (U2)

IC1 (U1)

1

Mp

1

Mp′

2/M p

1Ax 1

Bx 1xΓ

Γ

A

B2Ax

2xΒ

2xΓ

BC

BC΄

2

- Ο καταναλωτής επιλέγει αρχικά το σημείο

- Έστω ότι η τιμή του αγαθού 1 μειώνεται από

⇒ Η γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού μετατοπίζεται από BC σε BC΄.⇒ Ο καταναλωτής επιλέγει τώρα το σημείο

1 2( , ).A AA x x

1 1 σε .p p′

1 2Γ ( , ).x xΓ Γ

- Η μετακίνηση από το σημείο Α στο Γ (δηλαδή η συνολική αύξησητης ζητούμενης ποσότητας του αγαθού 1 από μπορεί νααναλυθεί σε δύο επιμέρους αποτελέσματα:

( Ι ) Αποτέλεσμα Υποκατάστασης (Μετακίνηση από το Α στο Β)

- Ακόμα και αν το άτομο παραμείνει στην ίδια καμπύλη αδιαφορίαςIC1 (δηλαδή ακόμα και αν η χρησιμότητα παραμείνει ίση με U1), ηαλλαγή των σχετικών τιμών θα οδηγήσει σε μετακίνηση από τοσημείο Α στο Β (κατά μήκος της αρχικής IC1).

A Γ1 1x σε x )

3

- H μείωση της σχετικής τιμής του αγαθού 1 οδηγεί το άτομο ναυποκαταστήσει το αγαθό 2 με το σχετικά φθηνότερο αγαθό 1.(αύξηση του σε , μείωση του σε )

=> Αυτή η μετακίνηση από το σημείο Α στο Β κατά μήκος τηςαρχικής IC1 (δηλαδή η αύξηση της ζητούμενης ποσότητας τουαγαθού 1 λόγω μείωσης της τιμής p1 , με δεδομένη τη χρησιμότηταU1) ονομάζεται αποτέλεσμα υποκατάστασης.

1Ax 1

Bx 2Ax 2

Bx

( ΙΙ ) Αποτέλεσμα Εισοδήματος (Μετακίνηση από το Β στο Γ)

- Η μείωση της τιμής του αγαθού 1 αυξάνει το πραγματικό εισόδηματου ατόμου.

⇒ Το άτομο μπορεί να αποκτήσει ένα μεγαλύτερο επίπεδοχρησιμότητας (U2 >U1), δηλαδή μπορεί να μετακινηθεί από τοσημείο Β (επί της αρχικής καμπύλης αδιαφορίας IC1) στο σημείο Γ(επί της υψηλότερης καμπύλης αδιαφορίας IC2).

4

=> Αυτή η μετακίνηση από το σημείο Β στο Γ (δηλαδή η αύξηση τηςζητούμενης ποσότητας του αγαθού 1 λόγω αύξησης τουπραγματικού εισοδήματος του ατόμου) ονομάζεται αποτέλεσμαεισοδήματος.

(αύξηση του σε και αύξηση του σε , διότι τα αγαθά 1, 2 είναι κανονικά.)

- Σημείωση: Η παρατηρούμενη καταναλωτική συμπεριφορά είναιμόνο η συνολική μετακίνηση από το σημείο Α στο Γ (δηλαδή ησυνολική μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας από σε ).

1Bx 1xΓ

2Bx 2xΓ

1xΓ1xΑ

5

x1

x2

0

••

•

IC1 (U1)

IC2 (U2)

1

Mp′′ 1

Mp

2/M p

1Ax1

Bx1xΓ

Γ A

B

2Ax

2xΒ

2xΓ

BC΄΄

BC

(Π2) Αύξηση της Τιμής του Αγαθού 1

- Ο καταναλωτής επιλέγει αρχικά το σημείο- Έστω ότι η τιμή του αγαθού 1 αυξάνεται από

⇒ Η γραμμή του εισοδηματικού περιορισμού μετατοπίζεται από BC σε BC΄΄.

1 2( , ).A AA x x1 1 σε .p p′′

6

- Ο καταναλωτής επιλέγει τώρα το σημείο 1 2Γ ( , ).x xΓ Γ

- Η μετακίνηση από το σημείο Α στο Γ (δηλαδή η συνολική μείωσητης ζητούμενης ποσότητας του αγαθού 1 από μπορεί νααναλυθεί σε δύο επιμέρους αποτελέσματα:( Ι ) Αποτέλεσμα Υποκατάστασης (Μετακίνηση από το Α στο Β)

- Ακόμα και αν το άτομο παραμείνει στην ίδια καμπύλη αδιαφορίαςIC1 (δηλαδή ακόμα και αν η χρησιμότητα παραμείνει ίση με U1), ηαλλαγή των σχετικών τιμών θα οδηγήσει σε μετακίνηση από τοσημείο Α στο Β (κατά μήκος της αρχικής IC1).

A Γ1 1x σε x )

- H αύξηση της σχετικής τιμής του αγαθού 1 οδηγεί το άτομο ναυποκαταστήσει το αγαθό 1 με το σχετικά φθηνότερο αγαθό 2.(μείωση του σε , αύξηση του σε )

=> Αυτή η μετακίνηση από το σημείο Α στο Β κατά μήκος τηςαρχικής IC1 (δηλαδή η μείωση της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού1 λόγω αύξησης της τιμής p1 , με δεδομένη τη χρησιμότητα U1) ονομάζεται αποτέλεσμα υποκατάστασης.

1Ax 1

Bx 2Ax 2

Bx

7

( ΙΙ ) Αποτέλεσμα Εισοδήματος (Μετακίνηση από το Β στο Γ)

- Η αύξηση της τιμής του αγαθού 1 μειώνει το πραγματικό εισόδηματου ατόμου.

⇒ Το άτομο αναγκάζεται να μετακινηθεί από το σημείο Β (επί τηςαρχικής καμπύλης αδιαφορίας IC1) στο σημείο Γ (επί τηςχαμηλότερης καμπύλης αδιαφορίας IC2), δηλαδή η χρησιμότηταμειώνεται από U1 σε U2.

=> Αυτή η μετακίνηση από το σημείο Β στο Γ (δηλαδή η μείωση τηςζητούμενης ποσότητας του αγαθού 1 λόγω μείωσης του πραγματικούεισοδήματος του ατόμου) ονομάζεται αποτέλεσμα εισοδήματος.

(μείωση του σε και μείωση του σε , διότι τα αγαθά 1, 2 είναι κανονικά.)

1Bx 1xΓ

2Bx 2xΓ

8

- Παρατήρηση: Αν το αγαθό 1 είναι κανονικό , τότε το αποτέλεσμαυποκατάστασης και το αποτέλεσμα εισοδήματος λειτουργούν προςτην ίδια κατεύθυνση (αλληλοενισχύονται).

- Αν η τιμή του αγαθού 1 μειωθεί, τότε:

• Το αποτέλεσμα υποκατάστασης τείνει να αυξήσει τη ζητούμενηποσότητα x1 .

• Το αποτέλεσμα εισοδήματος (η αύξηση του πραγματικούεισοδήματος) τείνει επίσης να αυξήσει τη ζητούμενη ποσότητα x1 .

- Συμπέρασμα: Αν το αγαθό i είναι κανονικό, τότε η μείωση(αύξηση) της τιμής pi οδηγεί σίγουρα σε αύξηση (μείωση) τηςζητούμενης ποσότητας xi, δηλαδή η τιμή και η ζητούμενηποσότητα κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις:

( , ) / 0i ix p M p∂ ∂ <

9

1Β. Επιπτώσεις Μεταβολής της Τιμής στα Κατώτερα Αγαθά

- Αν το αγαθό 1 είναι κατώτερο , τότε το αποτέλεσμαυποκατάστασης και το αποτέλεσμα εισοδήματος λειτουργούν προςαντίθετες κατευθύνσεις.

- Αν η τιμή του αγαθού 1 μειωθεί, τότε:

• Το αποτέλεσμα υποκατάστασης τείνει να αυξήσει τη ζητούμενηποσότητα x1 .

• Το αποτέλεσμα εισοδήματος (η αύξηση του πραγματικούεισοδήματος) τείνει να μειώσει τη ζητούμενη ποσότητα x1 .

- Συμπέρασμα: Αν το αγαθό i είναι κατώτερο, τότε η επίπτωσηαπό μια μείωση (ή αύξηση) της τιμής pi στη ζητούμενη ποσότηταxi είναι αμφίβολη (δεν μπορεί να προβλεφθεί με βεβαιότητα).

10

Αγαθά Giffen

- Αν το αποτέλεσμα εισοδήματος είναι αρκετά ισχυρό για ένακατώτερο αγαθό, τότε η τιμή και η ζητούμενη ποσότητα μπορούν νακινούνται προς την ίδια κατεύθυνση.

- Ένα αγαθό i ονομάζεται αγαθό Giffen αν η αύξηση (μείωση) τηςτιμής pi οδηγεί σε αύξηση (μείωση) της ζητούμενης ποσότητας xi:

( , ) / 0i ix p M p∂ ∂ >

- Η μείωση (αύξηση) της ζητούμενης ποσότητας ενός αγαθού λόγωμείωσης (αύξησης) της τιμής του ονομάζεται παράδοξο του Giffen.

- Παράδειγμα: Αύξηση κατανάλωσης πατάτας λόγω αύξησης τηςτιμής της (Ιρλανδία, 19ος αιώνας).

11

(2) Μαθηματική Παρουσίαση

- Η συνολική επίπτωση από μια μεταβολή της τιμής pi στηζητούμενη ποσότητα xi δίνεται από τη μερική παράγωγο:

( , ) /i ix p M p∂ ∂- Αναλύουμε αυτήν τη συνολική επίπτωση στα επιμέρουςαποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος χρησιμοποιώντας τιςσχέσεις που συνδέουν τις Μαρσαλιανές με τις αντισταθμιστικέςσυναρτήσεις ζήτησης:

( , ) [ , ( , )]( , ) [ , ( , )]

i i

i i

x p M h p V p Mh p u x p e p u

=

=

- Πρόταση (Εξίσωση του Slutsky). Αν u = V(p,M), τότε για κάθε(p,M) ισχύει:

( , ) ( , ) ( , )( , )i i ii

i i

x p M h p u x p Mx p Mp p M

∂ ∂ ∂= − ⋅

∂ ∂ ∂

12

- Απόδειξη: Χρησιμοποιούμε την ταυτότητα:

( , ) [ , ( , )] (1)i ih p u x p e p u=

- Παραγωγίζουμε την (1) ως προς pi :

(1) (2)

- Eίναι: ( , ) [ , ( , )] (3)

- Από το Λήμμα του Shephard, γνωρίζου

i i i

i i i

h x x ep p e pe p u e p V p M M

∂ ∂ ∂ ∂⇒ = + ⋅

∂ ∂ ∂ ∂

= =

(3)

(4)

(6)

με: ( , ) (4)

- Άρα: (2) ( , ) (5)

- Επίσης: ( , ) [ , ( , )] ( , ) (6)

- Άρα: (5)

ii

i i ii

i i

i i i

i

e h p up

h x x h p up p M

h p u h p V p M x p Mh

∂=

∂

∂ ∂ ∂⇔ = + ⋅

∂ ∂ ∂= =

∂⇔

∂( , ) ( , )i i i i

i ii i i i

ix x x h xx p M x p Mp p M p p M

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + ⋅ ⇔ = − ⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂

■

13

- Ο όρος παριστάνει το αποτέλεσμαυποκατάστασης, διότι δείχνει τη μεταβολή της ζητούμενηςποσότητας xi (όταν μεταβάλλεται η τιμή pi) υποθέτοντας ότι ηχρησιμότητα παραμένει σταθερή (κίνηση κατά μήκος μιαςδεδομένης καμπύλης αδιαφορίας).

- Ο όρος παριστάνει το αποτέλεσμαεισοδήματος, διότι δείχνει τη μεταβολή της ζητούμενης ποσότηταςxi (όταν μεταβάλλεται η τιμή pi) λόγω μεταβολής του πραγματικούεισοδήματος.

Κατεύθυνση Αποτελεσμάτων Υποκατάστασης και Εισοδήματος( Ι ) Κατεύθυνση Αποτελέσματος Υποκατάστασης- Αντισταθμιστικός Νόμος Ζήτησης (ή 1ος Νόμος του Hicks).

Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη, τότε τοαποτέλεσμα υποκατάστασης είναι αρνητικό:

( , ) /i ih p u p∂ ∂

( , ) [ ( , ) / ]i ix p M x p M M− ⋅ ∂ ∂

( , ) / 0 , 1,..., .i ih p u p i n∂ ∂ ≤ ∀ =

14

- Αν η τιμή του αγαθού i μειωθεί, τότε ο καταναλωτής υποκαθιστάτα υπόλοιπα αγαθά με το σχετικά φθηνότερο αγαθό i, δηλαδή ηζητούμενη ποσότητα hi αυξάνεται.

(II) Κατεύθυνση Αποτελέσματος Εισοδήματος

(i) Αν το αγαθό i είναι κανονικό, τότε το αποτέλεσμα εισοδήματοςείναι επίσης αρνητικό:

( , ) [ ( , ) / ] 0i ix p M x p M M− ⋅ ∂ ∂ <

( )+

- Στην περίπτωση αυτή, τα αποτελέσματα υποκατάστασης καιεισοδήματος λειτουργούν προς την ίδια κατεύθυνση (είναι και τα δύοαρνητικά).

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0i i ii

i i

x p M h p u x p Mx p Mp p M

∂ ∂ ∂⇒ = − ⋅ <

∂ ∂ ∂( )− ( )−

15

- Συμπέρασμα: Αν το αγαθό i είναι κανονικό, τότε η μείωση(αύξηση) της τιμής pi οδηγεί σίγουρα σε αύξηση (μείωση) τηςζητούμενης ποσότητας xi, δηλαδή η τιμή και η ζητούμενηποσότητα κινούνται προς αντίθετες κατευθύνσεις.

(ii) Αν το αγαθό i είναι κατώτερο, τότε το αποτέλεσμα εισοδήματοςείναι θετικό:

( , ) [ ( , ) / ] 0i ix p M x p M M− ⋅ ∂ ∂ >( )−

- Στην περίπτωση αυτή, τα αποτελέσματα υποκατάστασης καιεισοδήματος λειτουργούν προς αντίθετες κατευθύνσεις (τοαποτέλεσμα υποκατάστασης είναι αρνητικό, ενώ το αποτέλεσμαεισοδήματος είναι θετικό).

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0i i ii

i i

x p M h p u x p Mx p Mp p M

∂ ∂ ∂⇒ = − ⋅

∂ ∂ ∂><

( )− ( )+

16

- Συμπέρασμα: Αν το αγαθό i είναι κατώτερο, τότε η επίπτωση απόμια μείωση (ή αύξηση) της τιμής pi στη ζητούμενη ποσότητα xi είναιαμφίβολη (δεν μπορεί να προβλεφθεί με ακρίβεια).

- Αν το (θετικό) αποτέλεσμα εισοδήματος υπερισχύει του (αρνητικού) αποτελέσματος υποκατάστασης, τότε ισχύει(δηλαδή το αγαθό i είναι ένα αγαθό Giffen).- Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas:

( , ) / 0i ix p M p∂ ∂ >

1 2 1 2( , ) , , 0, 1u x x x xα β α β α β= > + =Γνωρίζουμε:1 1

2 2

( , ) / ( , ) /

x p M M Px p M M P

αβ

==

( ) ( )1 2( , ) / / V p M a p p Mα ββ= ⋅ ⋅

(Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης)

(Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας)

( ) ( )( ) ( )

1 2 1

2 1 2

( , ) / /

( , ) / /

h p u p p u

h p u p p u

β β

α α

α β

β α

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅(Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις

Ζήτησης)

17

- Η συνολική επίπτωση από μια μεταβολή της τιμής p1 στηζητούμενη ποσότητα x1 είναι:

21 1 1( , ) / / 0 (7)x p M p M pα∂ ∂ = − <

- Αναλύουμε τη συνολική επίπτωση στα επιμέρους αποτελέσματαυποκατάστασης και εισοδήματος (χρησιμοποιώντας την εξίσωση τουSlutsky).

11 1 1 2- Αποτέλεσμα Υποκατάστασης: ( , ) / (8)h p u p p p uβ α β βα β − −∂ ∂ = −

( ) ( )1 2(9)

21 1 1

Θέτουμε: ( , ) / / (9)

Άρα: (8) ( , ) / / (10)

u V p M a p p M

h p M p M p

α ββ

αβ

= = ⋅ ⋅

⇔∂ ∂ = −

i

i2 2

1 1 1-Αποτέλεσμα Εισοδήματος: ( , ) [ ( , ) / ] / (11)x p M x p M M M pα− ⋅ ∂ ∂ = −- Αθροίζουμε τα αποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος γιανα πάρουμε τη συνολική επίπτωση από τη μεταβολή της τιμής:

(10)1 1 1

1 (11)1 1

( , ) ( , ) ( , )( , )x p M h p u x p Mx p Mp p M

∂ ∂ ∂= − ⋅ =

∂ ∂ ∂

18

2

2 2 21 1 1

, πράγματι (όπως βρήκαμε και στην (7)).M M Mp p p

αβ α α= − − = −

- Αριθμητικό Παράδειγμα: Έστω α=β=1/2 , p1=1, p2=4, M=8.

• Τότε: x1=4, x2=1, V=2, h1(p1=1, p2=4, u=2)=2= x1

• Αν η τιμή του αγαθού 1 αυξηθεί σε 1 14, τότε: 1,p x′ ′= =

1 1 2

1 1 1

( 4, 4, 2) 23 : Συνολική επίπτωση στη ζητούμενη ποσότητα.

h p p ux x x

′ ′ = = = =′⇒ Δ = − = −

• Αναλύουμε τη συνολική επίπτωση στα επιμέρους αποτελέσματαυποκατάστασης και εισοδήματος:*Αποτέλεσμα Υποκατάστασης:

* Αποτέλεσμα Εισοδήματος = Συνολική Επίπτωση – ΑποτέλεσμαΥποκατάστασης

1 1 1 2 h h h′Δ = − = −

1 1 ( 3) ( 2) 1.x h= Δ −Δ = − − − = −

19

Σχέσεις Ζήτησης Μεταξύ των Αγαθών(Υποκατάστατα και Συμπληρωματικά Αγαθά)

- Εξετάζουμε τις επιπτώσεις από μια μεταβολή της τιμής του αγαθούj ( pj ) στη ζητούμενη ποσότητα του αγαθού i ( xi ):

- Αναλύουμε αυτή τη συνολική επίπτωση στα επιμέρουςαποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος χρησιμοποιώντας τηγενικευμένη εξίσωση του Slutsky:

( , ) /i jx p M p∂ ∂

( , ) ( , ) ( , )( , )i i ij

j j

x p M h p u x p Mx p Mp p M

∂ ∂ ∂= − ⋅

∂ ∂ ∂

( , ) /i ih p u p∂ ∂υποκατάστασης.

- Ο όρος παριστάνει το (σταυροειδές) αποτέλεσμα εισοδήματος.

( , ) [ ( , ) / ]i i

- Ο όρος παριστάνει το (σταυροειδές) αποτέλεσμα

x p M x p M M− ⋅ ∂ ∂

20

Κατεύθυνση (Σταυροειδών) Αποτελεσμάτων Υποκατάστασηςκαι Εισοδήματος

( Ι ) Κατεύθυνση (Σταυροειδούς) Αποτελέσματος Υποκατάστασης

- Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη, τότε το(σταυροειδές) αποτέλεσμα υποκατάστασης είναι θετικό:

( , ) / 0 , , 1,..., .i jh p u p i j n∂ ∂ ≥ ∀ =

- Αν η τιμή του αγαθού j αυξηθεί, τότε ο καταναλωτής υποκαθιστάτο αγαθό j με το σχετικά φθηνότερο αγαθό i, δηλαδή η ζητούμενηποσότητα hi αυξάνεται. ( II ) Κατεύθυνση (Σταυροειδούς) Αποτελέσματος Εισοδήματος

(i) Αν το αγαθό i είναι κανονικό, τότε το σταυροειδές αποτέλεσμαεισοδήματος είναι αρνητικό:

( , ) [ ( , ) / ] 0j ix p M x p M M− ⋅ ∂ ∂ <

( )+

21

- Στην περίπτωση αυτή, τα αποτελέσματα υποκατάστασης καιεισοδήματος λειτουργούν προς αντίθετες κατευθύνσεις (τοαποτέλεσμα υποκατάστασης είναι θετικό, ενώ το αποτέλεσμαεισοδήματος είναι αρνητικό).

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0i i ij

j j

x p M h p u x p Mx p Mp p M

∂ ∂ ∂⇒ = − ⋅

∂ ∂ ∂><

( )+ ( )−

- Συμπέρασμα: Αν το αγαθό i είναι κανονικό, τότε η επίπτωση απόμια μείωση (ή αύξηση) της τιμής pj στη ζητούμενη ποσότητα xi είναιαμφίβολη.

(ii) Αν το αγαθό i είναι κατώτερο, τότε το σταυροειδές αποτέλεσμαεισοδήματος είναι θετικό:

( , ) [ ( , ) / ] 0j ix p M x p M M− ⋅ ∂ ∂ >

( )−

22

- Στην περίπτωση αυτή, τα αποτελέσματα υποκατάστασης καιεισοδήματος λειτουργούν προς την ίδια κατεύθυνση (είναι και τα δύοθετικά).

( , ) ( , ) ( , )( , ) 0i i ij

j j

x p M h p u x p Mx p Mp p M

∂ ∂ ∂⇒ = − ⋅ >

∂ ∂ ∂

( )+ ( )+

- Συμπέρασμα: Αν το αγαθό i είναι κατώτερο, τότε η αύξηση(μείωση) της τιμής pj οδηγεί σίγουρα σε αύξηση (μείωση) τηςζητούμενης ποσότητας xi .

Υποκατάστατα και Συμπληρωματικά ΑγαθάΟρισμός 1

(i) Δύο αγαθά i, j ονομάζονται ακαθάριστα υποκατάστατα αν:( , ) / 0 i jx p M p∂ ∂ >

- Η αύξηση (μείωση) της τιμής του αγαθού j αυξάνει (μειώνει) τηζητούμενη ποσότητα του αγαθού i.

23

(ii) Δύο αγαθά i, j ονομάζονται ακαθάριστα συμπληρωματικά αν:( , ) / 0 i jx p M p∂ ∂ <

- Η αύξηση (μείωση) της τιμής του αγαθού j μειώνει (αυξάνει) τηζητούμενη ποσότητα του αγαθού i.

- Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas:

1 2 1 2( , ) , , 0, 1u x x x xα β α β α β= > + =Γνωρίζουμε:1 1

2 2

( , ) / ( , ) /

x p M M Px p M M P

αβ

==

( ) ( )1 2( , ) / / V p M a p p Mα ββ= ⋅ ⋅

(Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης)

( ) ( )( ) ( )

1 2 1

2 1 2

( , ) / /

( , ) / /

h p u p p u

h p u p p u

β β

α α

α β

β α

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅(Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις

Ζήτησης)

(Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας)

24

- Η συνολική επίπτωση από μια μεταβολή της τιμής p2 στηζητούμενη ποσότητα x1 είναι:

1 2( , ) / 0 (12)x p M p∂ ∂ =• Δηλαδή, τα αγαθά 1, 2 δεν είναι ακαθάριστα υποκατάστατα ούτεσυμπληρωματικά.

- Αναλύουμε τη συνολική επίπτωση στα επιμέρους σταυροειδήαποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματος (χρησιμοποιώντας τηγενικευμένη εξίσωση του Slutsky).

1 2 1 2- Αποτέλεσμα Υποκατάστασης: ( , ) / (13)h p u p p p uβ α β αα β − −∂ ∂ =

( ) ( )1 2(14)

1 2 1 2

Θέτουμε: ( , ) / / (14)

Άρα: (13) ( , ) / / (15)

u V p M a p p M

h p u p M p p

α ββ

αβ

= = ⋅ ⋅

⇔∂ ∂ =

i

i

2 1 1 2

-Αποτέλεσμα Εισοδήματος:( , ) [ ( , ) / ] / (16)x p M x p M M M p pαβ− ⋅ ∂ ∂ = −

25

(15)1 1 1

2 (16)2 2

1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , )( , )

0 , πράγματι (όπως βρήκαμε και στην (12)).

x p M h p u x p Mx p Mp p MM M

p p p pαβ αβ

∂ ∂ ∂= − ⋅ =

∂ ∂ ∂

= − =

- Αθροίζουμε τα σταυροειδή αποτελέσματα υποκατάστασης καιεισοδήματος για να πάρουμε τη συνολική επίπτωση από τη μεταβολήτης τιμής:

- Άρα: Για τη συνάρτηση Cobb-Douglas, τα σταυροειδήαποτελέσματα υποκατάστασης και εισοδήματοςαλληλοεξουδετερώνονται.

=> Η συνολική (ακαθάριστη) επίπτωση από μια μεταβολή της p2 στηζητούμενη ποσότητα x1 είναι μηδενική.

26

- Ο ορισμός των ακαθάριστων υποκατάστατων και συμπληρωματικώναγαθών έχει το μειονέκτημα της ασυμμετρίας.

- Είναι δυνατό να ισχύει και, ταυτόχρονα, ναισχύει

( , ) / 0 i jx p M p∂ ∂ >( , ) / 0 (ή ( , ) / 0) j i j ix p M p x p M p∂ ∂ < ∂ ∂ =

⇒ Ασαφής σχέση μεταξύ των αγαθών i, j.

- Παράδειγμα. Έστω η οιονεί γραμμική συνάρτηση χρησιμότητας:

1 2 1 2( , ) lnu x x x x= +

- Οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι:

1 2( , ) x x =2

1

( ,0) , αν M M pp

≤

2 22

1 2

( , ) , αν p M p M pp p

−≥

27

1 22

2 1

- Για , είναι: 0 και 0

Ασαφής σχέση μεταξύ των αγαθών 1,2.

x xM pp p∂ ∂

≥ > =∂ ∂

=>Ορισμός 2

(i) Δύο αγαθά i, j ονομάζονται καθαρά (ή κατά Hicks) υποκατάστατα αν:

( , ) / 0 i jh p u p∂ ∂ >- Παρατήρηση: Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη, τότε τα αγαθά i, j είναι καθαρά υποκατάστατα.(ii) Δύο αγαθά i, j ονομάζονται καθαρά συμπληρωματικά αν:

( , ) / 0 i jh p u p∂ ∂ <- Πρόταση: (Συμμετρία Σταυροειδών ΑποτελεσμάτωνΥποκατάστασης ή 2ος Νόμος του Hicks). Για δύο οποιαδήποτεαγαθά i, j ισχύει:

( , )( , ) ji

j i

h p uh p up p

∂∂=

∂ ∂

28

- Παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas:

( ) ( )( ) ( )

1 2 1

2 1 2

( , ) / /

( , ) / /

h p u p p u

h p u p p u

β β

α α

α β

β α

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅(Αντισταθμιστικές Συναρτήσεις

Ζήτησης)

1 2 1 2( , ) , , 0, 1. Έχουμε ήδη βρει:u x x x xα β α β α β= > + =

1 21 2

2 1

0 . Δηλαδή:h hp p up p

β α β αα β − −∂ ∂⇒ = = >

∂ ∂

- Τα αγαθά 1, 2 είναι καθαρά υποκατάστατα.- Τα σταυροειδή αποτελέσματα υποκατάστασης είναι συμμετρικά.

29

- 3ος Νόμος του Hicks: Τα “περισσότερα” αγαθά πρέπει να είναικαθαρά υποκατάστατα.- Απόδειξη:• Γνωρίζουμε ότι η αντισταθμιστική συνάρτηση ζήτησης είναιομογενής μηδενικού βαθμού ως προς τις τιμές.=> Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Euler στη συνάρτηση hi(p,u):

11

( , ) ( , ) ( , ) ... ... 0 (17) i i ii n

i n

h p u h p u h p up p pp p p

∂ ∂ ∂+ + + + =

∂ ∂ ∂• Από τον 1ο Νόμο του Hicks, έχουμε:

( , ) 0 (18)i

i

h p up

∂≤

∂( , ) Από (17), (18) 0 i

jj i j

h p upp≠

∂⇒ ≥

∂∑i

- Δηλαδή: Το σταθμισμένο άθροισμα των σταυροειδώναποτελεσμάτων υποκατάστασης πρέπει να είναι θετικό για κάθεαγαθό i.