Υπολογιστικά+Συστήματα+– Ψηφιακή+Αναπαράσταση+...

67
Υπολογιστικά Συστήματα – Ψηφιακή Αναπαράσταση Πληροφορίας Διδάσκοντες: Δρ. Ευγενία Αδαμοπούλου, Δρ. Κώστας Δεμέστιχας ΔΠΜΣ «ΤεχνοΟικονομικά Συστήματα» Τεχνολογία Πληροφορίας και Τηλεπικοινωνιών

Transcript of Υπολογιστικά+Συστήματα+– Ψηφιακή+Αναπαράσταση+...

Υπολογιστικά  Συστήματα  –  Ψηφιακή  Αναπαράσταση  Πληροφορίας  Διδάσκοντες:    Δρ.  Ευγενία  Αδαμοπούλου,  Δρ.  Κώστας  Δεμέστιχας ΔΠΜΣ  «Τεχνο-­‐Οικονομικά  Συστήματα»  Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Τηλεπικοινωνιών

Ιστοσελίδα  Μαθήματος

¨  http://people.cn.ntua.gr/jenny/index.php/courses  

¨  e-mail επικοινωνίας:    ¤ [email protected] ¤ [email protected]

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

2

Δομή  μαθήματος

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

3

• Δίκτυα  υπολογιστών • Πρωτόκολλα  επικοινωνίας  (στρώμα  εφαρμογής,  μετάδοσης)

• Ομότιμα  δίκτυα

• Ιεραρχία  μνήμης • Φυσικά  μέσα  αποθήκευσης

• Συστήματα  αρχείων • Βάσεις  δεδομένων

• Λογική  σχεδίαση

• Αρχιτεκτονική  Η/Υ

• Συμβολική  γλώσσα

• Αριθμητικά  συστήματα  αναπαράστασης

• Παράσταση  προσημασμένων  αριθμών

Αναπαράσταση Επεξεργασία

Μετάδοση Αποθήκευση

Πληροφορία

Ενδεικτική  Βιβλιογραφία

¨  Γ.  Παπακωνσταντίνου,  Π.  Τσανάκα,  Γ.  Φραγκάκη,  Αρχιτεκτονική  Υπολογιστών,  εκδ.  Συμμετρία  

¨  Ν.  Κοζύρης,  Μ.  Αθανασάκη,  Ε.  Αθανασάκη,  Σημειώσεις  στα  Συστήματα  Αρίθμησης  -­‐  Δυαδική  Παράσταση  Αριθμών,  Εισαγωγή  στην  Επιστήμη  των  Υπολογιστών

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

4

Υπολογιστικό  σύστημα

¨  Κάθε  υπολογιστικό  σύστημα  αποτελείται  από  το  υλικό  (hardware)  και  το  λογισμικό (software)  

¨  Υλικό:  σύνολο  των  συσκευών  που  απαρτίζουν  το  υπολογιστικό  σύστημα  

¨  Λογισμικό:  σύνολο  των  προγραμμάτων  που  μπορούν  να  εκτελεσθούν  από  το  υπολογιστικό  σύστημα

Υπολογιστικό  Σύστημα

Υλικό  Επεξεργαστής,  Μνήμες,  

Δίσκοι,  Εκτυπωτές,  Οθόνη,  Πληκτρολόγιο,  Άλλες  

συσκευές...  

Λογισμικό  Λογισμικό  συστήματος,  Λογισμικό  εφαρμογών

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

5

Ιεραρχική  οργάνωση  των  υπολογιστικών  συστημάτων

Επίπεδο  προγραμμάτων  εφαρμογής  (π.χ.  Επεξεργαστές  κειμένου,  Πλοηγοί  Ιστού,  ΒΔ)

Επίπεδο  γλωσσών  προγραμματισμού  υψηλού  επιπέδου  (π.χ.  C, C++, Java)

Επίπεδο  λειτουργικού  συστήματος  (Έλεγχος  εκτέλεσης  προγράμματος,  Έλεγχος  λειτουργιών  Εισόδου/Εξόδου)

Επίπεδο  γλώσσας  μηχανής  (Ανάκληση  –  εκτέλεση  γλώσσας  μηχανής)

Επίπεδο  μικρολειτουργιών  (Μικρολειτουργίες,  Μικροπρογραμματισμός)

Επίπεδο  πυλών  (Καταχωρητές,  Μνήμες,  Ελεγκτές)

6

5

4

3

2

1 Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

6

Ολοκληρωμένα  κυκλώματα

¨  Τη  δεκαετία  του  1950  δύο  ανακαλύψεις  έδωσαν  σπουδαία  ώθηση  στην  ηλεκτρονική  και  έφεραν  την  επανάσταση  στο  χώρο  των  υπολογιστικών  συστημάτων  

¨  Η  αντικατάσταση  της  λυχνίας  κενού  (που  είχαν  μεγάλο  μέγεθος  και  υπερθερμαίνονταν  κατά  τη  λειτουργία)  από  την  κρυσταλλοτρίοδο  (τρανζίστορ)  ¤  Στοιχείο  ηλεκτρονικού  κυκλώματος  κατασκευασμένο  από  ημιαγώγιμο  υλικό,  

που  μπορεί  να  χρησιμοποιηθεί  ως  ηλεκτρονικός  ενισχυτής  ή  διακόπτης)  ¨  Η  κατασκευή  ολοκληρωμένων  κυκλωμάτων  (integrated circuits),  που  

αντικατέστησε  τη  μέθοδο  των  κολλήσεων  δίνοντας  λύση  στον  τρόπο  διασύνδεσης  των  τρανζίστορ  μεταξύ  τους  ¤  Συλλογές  από  κρυσταλλοδιόδους,  κρυσταλλοτριόδους,  πυκνωτές,  αντιστάτες,  

κ.λπ.,  καθώς  και  οι  συνδέσεις  αυτών,  κατασκευασμένες  επί  ενός  μικρού  τεμαχίου  ημιαγωγού  (π.χ.  πυριτίου)  διαστάσεων  μερικών  τετραγωνικών  χιλιοστών

¤  Η  όλη  κατασκευή  τοποθετείται  σε  μεταλλική  ή  πλαστική  συσκευασία,  που  ονομάζεται  ψηφίδα  (chip)  

¤  Τα  στοιχεία  των  ηλεκτρονικών  κυκλωμάτων  που  περιέχονται  στις  ψηφίδες  συνδυάζονται  για  να  σχηματίσουν  πύλες  (gates)

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

7

Ιστορική  εξέλιξη  των  υπολογιστικών  συστημάτων  –  Μηχανικοί  υπολογιστές ¨  Μηχανισμός  (αστρολάβος)  των  Αντικυθήρων  (150-­‐100  π.Χ.):  Μηχανικός  

υπολογιστής  και  όργανο  αστρονομικών  παρατηρήσεων  ¤  Τεχνολογία  οδοντωτών  τροχών  ¤  Αντίστοιχοι  μηχανισμοί  βρέθηκαν  αργότερα  στο  Βυζάντιο  και  στον  αραβικό  

κόσμο  

¨  Pascal  (1623-­‐62):  Σχεδιαστής  μηχανικού  υπολογιστή  (Pascaline)  βασισμένου  σε  οδοντωτούς  τροχούς  για  την  εκτέλεση  πρόσθεσης  και  αφαίρεσης  

¨  Από  τότε  αρκετοί  επιστήμονες  καταπιάστηκαν  με  την  ιδέα  της  κατασκευής  ενός  μηχανικού  υπολογιστικού  συστήματος...    

Μηχανή  Leibnitz  (1646-­‐1716) Μηχανή  Babbage  

(1792-­‐1872)

Μηχανή  Pascal  (1623-­‐62)

Μηχανή  Burroughs (1855-98)

Αστρολάβος  των  Αντικυθήρων

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

8

Ιστορική  εξέλιξη  των  υπολογιστικών  συστημάτων  –  Θεμελιωτές  ηλεκτρονικών  υπολογιστών

¨  Hollerith  (1860-­‐1929):    ¤  Κατασκευή  ηλεκτρο-­‐μηχανικού  πινακοποιητή  βασισμένου  στις  διάτρητες  κάρτες  

(punched-card tabulator)  που  λειτουργούσε  με  ηλεκτρισμό ¤  Ίδρυση  της  IBM  

¨  Aiken  (1900-­‐73):    ¤  Κατασκευή  του  Η/Υ  Harvard  Mark  I  με  χρήση  διακοπτών  (relays)  

¨  Οι  Eckert  και  Mauchly  κατασκεύασαν  το  1946  τον  ENIAC,  που  θεωρείται  ο  πρώτος  Η/Υ,  με  χρήση  18000  λυχνιών  κενού  

¨  Atanasoff  είχε  κατασκευάσει  έναν  παρόμοιο  εξειδικευμένο  υπολογιστή  το  1941  και  κατέθεσε  μήνυση  κατά  των  κατασκευαστών  του  ENIAC  για  την  οποία  και  δικαιώθηκε  

¨  Von  Neumann:  Διατύπωσε  τις  έννοιες  του  αποθηκευμένου  προγράμματος  (stored  program)  και  του  μετρητή  προγράμματος  (program  counter)  (1945)  

¨  Alan  Turing  (1912-­‐1954):    ¤  Μεγάλη  συνεισφορά  στη  θεωρία  υπολογισμού  και  στην  τεχνητή  νοημοσύνη  ¤  Προσέδωσε  στην  άτυπη  έννοια  του  αλγορίθμου  μία  επίσημη,  αυστηρή  

μαθηματική  διατύπωση  μέσω  της  λεγόμενης  Μηχανής  Turing  (πρόκειται  για  αφηρημένο  μοντέλο  και  όχι  πραγματικό  υπολογιστή)  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

9

Ιστορική  εξέλιξη  των  υπολογιστικών  συστημάτων  –  Γενιές 1.  Συστήματα  1ης  Γενιάς  (1946-­‐58)  

¤  Χρήση  ηλεκτρονικών  λυχνιών  (λυχνίες  κενού)  ¤  Χρήση  γλώσσας  μηχανής  και  συμβολικής  γλώσσας  (assembly)  

2.  Συστήματα  2ης  Γενιάς  (1959-­‐64)  ¤  Χρήση  τρανζίστορ  ¤  Χρήση  γλωσσών  προγραμματισμού  υψηλού  επιπέδου  

3.  Συστήματα  3ης  Γενιάς  (1965-­‐71)  ¤  Χρήση  ολοκληρωμένων  κυκλωμάτων  SSI και  MSI  ¤  Χρήση  γλωσσών  προγραμματισμού  υψηλού  επιπέδου

4.  Συστήματα  4ης  Γενιάς  (1971-­‐)  ¤  Χρήση  ολοκληρωμένων  κυκλωμάτων  LSI,  VLSI και  ανώτερης  

κλίμακας  ¤  Εμφάνιση  προσωπικών  υπολογιστών  (PC)  ¤  Εμφάνιση  λειτουργικών  συστημάτων  μεγάλων  δυνατοτήτων  και  

εύχρηστων  εφαρμογών  Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

10

Διάκριση  ολοκληρωμένων  κυκλωμάτων

Πλήθος  τρανζίστορ Κλίμακα  ολοκλήρωσης

Ακρωνύμιο Παράδειγμα

2-­‐50 Small SSI

50-­‐5.000 Medium MSI CDC-7600, IBM 360/91, Illiac IV

5.000-­‐100.000 Large LSI Intel 8086 (29.000)

100.000-­‐10  εκ. Very Large VLSI Pentium (3 εκ.)

10  εκ.  –  1.000  εκ. Ultra Large ULSI Pentium III (30 εκ.)

1.000  εκ. Super Large SLSI 6core i7 (Gulftown), 8core AMD Bulldozer

3ης  γενιάς  υπ.  συστ.  

4ης  γενιάς  υπ.  συστ.  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

11

Μονάδες  πληροφορίας

¨  Στο  σύνολο  των  σύγχρονων  υπολογιστών  η  βασική  μονάδα  πληροφορίας  είναι  το  δυαδικό  ψηφίο  (binary digit, bit)

¨  Για  την  παράστασή  της  χρησιμοποιούνται  δίτιμα  στοιχεία  (transistors, μαγνητικοί  δακτύλιοι,  κτλ.)  

¨  Η  μνήμη  κάθε  υπολογιστή  είναι  οργανωμένη  σε  λέξεις  (words),  δηλαδή  ομάδες  των  n bits. Το  μήκος  n κάθε  λέξης  καθορίζεται  από  οικονομικούς  και  τεχνολογικούς  παράγοντες.

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

12

Τύποι  πληροφοριών

Πληροφορίες

Εντολές Δεδομένα

Αριθμοί

Σταθερής  υποδιαστολής

Κινητής  υποδιαστολής

Χαρακτήρες

Διευθύνσεις

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

13

Αριθμητικά  Συστήματα

¨  Κάθε  αριθμός  Ν  μπορεί  να  γραφεί  με  τη  μορφή  

 όπου    

¤  β    η  βάση  του  αριθμητικού  συστήματος  στην  οποία  εκφράζεται  ο  αριθμός  

¤  αi  τα  ψηφία  του  αριθμού,  με  0≤αi<β  ¤  m  το  πλήθος  ψηφίων  του  ακέραιου  μέρους  ¤  n  το  πλήθος  ψηφίων  του  κλασματικού  μέρους  

ακέραιο  μέρος κλασματικό  μέρος

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

14

Αριθμητικά  Συστήματα    -­‐  Παράδειγμα ¨  Ο  δεκαδικός  αριθμός  12,624 γράφεται  ως  1�101  +  2�100  +  6�10-­‐1  +  2�10-­‐2  +  4�10-­‐3        

δηλαδή  α1  =  1,  α0  =  2,  α-­‐1  =  6,  α-­‐2  =  2,  α-­‐3  =  4    ¨  Ο  δεκαδικός  αριθμός  13  γράφεται  στο  δυαδικό  σύστημα  ως  1101  1�23  +  1�22  +  0�21  +  1�20  =  8+4+0+1  =  13  ¨  Το  πιο  αριστερό  ψηφίο  του  αριθμού  ονομάζεται  MSB (Most

Significant Bit) γιατί  πολλαπλασιάζεται  με  το  μεγαλύτερο  συντελεστή  

¨  Το  δεξιότερο  ψηφίο  του  αριθμού  ονομάζεται  LSB  (Least Significant Bit) γιατί  πολλαπλασιάζεται  με  το  χαμηλότερο    συντελεστή  

 

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

15

Πλήθος  αναπαραστώμενων    αριθμών ¨  Ένα  αριθμητικό  σύστημα  με  βάση  β  χρειάζεται  β  διαφορετικά  ψηφία  που  παίρνουν  τιμές  από  0  έως  β-­‐1  

¨  Ερ.:  Πόσες  διαφορετικές  τιμές  μπορεί  να  πάρει  ένας  φυσικός  αριθμός  με  m ψηφία  στο  σύστημα  αυτό;  ¤ Απ.:  Μπορεί  να  πάρει  βm διαφορετικές  τιμές,  από  0  έως  β  m -1

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

16

Επιλογή  συστήματος

¨  Όπως  είδαμε,  σε  ένα  αριθμητικό  σύστημα  με  βάση  β  στο  οποίο  διατίθενται  m ψηφία  υπάρχει  η  δυνατότητα  για  την  παράσταση  βm αριθμών  

¨  Δεδομένου  ότι  για  κάθε  ψηφίο  απαιτούνται  β  σύμβολα  ο  δείκτης  Ε  =  m.β  ορίζει  ένα  μέτρο  για  την  «αποτελεσματικότητα»  της  αποθήκευσης.  Έτσι  προκύπτει  το  πρόβλημα  της  ελαχιστοποίησης  του  Ε,  με  τον  περιορισμό  ότι  το  πλήθος  Α  των  αριθμών  που  μπορούν  να  αναπαρασταθούν  είναι  σταθερό  δηλαδή  Α  =  βm = σταθερό  

¨  Έτσι  έχουμε  m = lnA/lnβ  και  αντικαθιστώντας  στον  ορισμό  του  Ε  παίρνουμε  Ε  =  βlnA/lnβ  

¨  Παραγωγίζοντας  την  προηγούμενη  σχέση  καταλήγουμε  εύκολα  στο  συμπέρασμα  ότι  η  αποτελεσματικότητα  Ε  παίρνει  την  ελάχιστη  τιμή  όταν  β=e=2.17…

¨  Δεδομένου  ότι  β  ακέραιος,  συμπεραίνουμε  ότι  η  βάση  β=3  οδηγεί  σε  ελαφρώς  αποτελεσματικότερη  αποθήκευση  από  ό,τι  η  βάση  β=2  (3/ln3 < 2/ln2)

¨  Για  τεχνολογικούς  λόγους  όμως,  καθώς  υπάρχουν  εύκολα  υλοποιήσιμα  στοιχεία  δύο  καταστάσεων,  έχει  επικρατήσει  το  δυαδικό  σύστημα  σε  όλα  σχεδόν  τα  υπολογιστικά  συστήματα

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

17

Συνηθέστερα  αριθμητικά  συστήματα

¨  426(10)  =  426D  =  4*102  +  2*101  +  6*100  ¨  426(8)    =  426O  =  4*82  +  2*81  +  6*80    =  278(10)  ¨  426(16)  =  426H  =  0x426  =  4*162  +  2*161  +  6*160  =  1062(10)  

Δεκαδικό  σύστημα  (β=10)

Δυαδικό  σύστημα  (β=2)

Οκταδικό  σύστημα  (β=8)

Δεκαεξαδικό  σύστημα  (β=16)

0 5 0 0 4 0 8

1 6 1 1 5 1 9

2 7 2 6 2 Α

3 8 3 7 3 Β

4 9 4 C

5 D

6 E

7 F

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

18

Μετατροπή  αριθμών  από  ένα  σύστημα  στο  δεκαδικό

¨  Η  μετατροπή  ενός  αριθμού  από  ένα  αριθμητικό  σύστημα  με  βάση  β  στο  δεκαδικό  σύστημα  είναι,  όπως  είδαμε  πολύ  απλή,  καθώς  υπολογίζουμε  την  τιμή  της  παράστασης  

¨  11001(2)  =    1�24  +  1�23  +  0�22  +  0�21  +  1�20  =  25(10)  ¨  112,32(8)  =  1�82  +  1�81  +  2�80  +  3�8-­‐1  +  2�8-­‐2  =  72,40625(10)    

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

19

Μετατροπή  αριθμών  από  το  δεκαδικό  σε  ένα  σύστημα  με  βάση  β

Αρχή

Α    =  Ακέραιο  μέρος  του  Ν

i = i+1

i = 0

αi = υπόλοιπο  διαίρεσης  Α/β  Α  =  πηλίκο

i = m

Τέλος

ΝΑΙ

ΟΧΙ

Αρχή

Κ    =  Κλασματικό  μέρος  του  Ν

i = i-­‐1

i = -­‐1

αi = ακέραιο  μέρος  του  (β  επί  Κ)  

Κ  =  κλασματικό  μέρος  του(  β  επί  Κ)  

i = -­‐n-1

Τέλος

ΝΑΙ

ΟΧΙ

Μ ε τ α τ ρ ο π ή  α ρ ι θ μ ο ύ   Ν   σ ε  σύστημα  με  βάση  β,  χρησιμοποιώντας   m και   n ψηφία   για   το  ακέρα ιο   κα ι   τ ο  κλασματικό   μέρος  αντίστοιχα  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

20

Παράδειγμα

¨  Θέλουμε  να  μετατρέψουμε  τον  αριθμό  Ν(10)  =  53,625    στο  δυαδικό  σύστημα  ¤ Επειδή  25  <  53  <  26,  το  πλήθος  m των  ψηφίων  του  ακέραιου  μέρους  πρέπει  να  είναι  τουλάχιστον  6  

¤ Το  πλήθος  n των  ψηφίων  του  κλασματικού  μέρους  εξαρτάται  από  την  ακρίβεια  που  επιθυμούμε  

¨  Ας  θεωρήσουμε  εδώ  m=6 και  n=4 ¨  Εργαζόμαστε  χωριστά  πρώτα  για  το  ακέραιο  και  κατόπιν  για  το  κλασματικό  μέρος  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

21

Παράδειγμα  –  Ακέραιο  μέρος

           Α  Υ  Χ  ¨  53  -­‐-­‐  Διαιρούμε  το  53  με  το  2  à      26  1                            1  ¨  26  -­‐-­‐  Διαιρούμε  το  26  με  το  2  à      13  0        01  ¨  13  -­‐-­‐  Διαιρούμε  το  13  με  το  2  à        6  1    101  ¨  6  -­‐-­‐  Διαιρούμε  το  6  με  το  2    à                3  0              0101  ¨  3  -­‐-­‐  Διαιρούμε  το  3  με  το  2    à                1  1          10101  ¨  1  -­‐-­‐  Διαιρούμε  το  1  με  το  2    à                0  1      110101  ¨  0  à  53(10)  =  110101(2)

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

22

Παράδειγμα  –  Κλασματικό  μέρος

             ¨  0,625  -­‐-­‐  Πολλαπλασιάζουμε  0,625x2=1,25  à  Ακέραιο  μέρος  =  1,  Κ=0,25  ¨  0,25  -­‐-­‐  Πολλαπλασιάζουμε  0,25x2=0,5  à  Ακέραιο  μέρος  =  0,  Κ=0,5  ¨  0,5  -­‐-­‐  Πολλαπλασιάζουμε  0,5x2=1  à  Ακέραιο  μέρος  =  1,  Κ=0  ¨  0  -­‐-­‐  Πολλαπλασιάζουμε  0x2=0  à  Ακέραιο  μέρος  =  0,  Κ=0  

i = -4-1  à  0,625(10)  =  0,1010(2)    

¨  53,625(10)  =  110101,1010(2)  

¨  Ερ.:  Τι  γίνεται  όταν  σταματάμε  τον  υπολογισμό  μετά  από  n κλασματικά  ψηφία;  

 

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

23

Μετατροπή  από  δυαδικό  σε  δεκαεξαδικό  ή  οκταδικό  &  αντίστροφα

¨  Πρόκειται  για  τις  πιο  εύκολες  περιπτώσεις  μετατροπών  

¨  Από  δυαδικό  σε  δεκαεξαδικό:  ¤ Χωρίζουμε  τα  ψηφία  σε  τετράδες,  ξεκινώντας  από  την  υποδιαστολή  και  προχωρώντας  προς  τα  άκρα  

¤ Συμπληρώνουμε  με  μηδενικά  αν  είναι  απαραίτητο  ¤ 0111001011,  110101  à  0001  1100  1011  ,  1101  0100  

 1  C                      B ,    D 4

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

24

Μετατροπή  από  δυαδικό  σε  δεκαεξαδικό  ή  οκταδικό  &  αντίστροφα

¨  Από  δεκαεξαδικό  σε  δυαδικό  ¤  Αντικαθιστούμε  κάθε  δεκαεξαδικό  ψηφίο  με  την  αντίστοιχη  τετράδα  δυαδικών  ψηφίων  

¤  3D8, AE à   0011   1101    1000  ,    1010    1110  

¨  Από  δυαδικό  σε  οκταδικό  ¤ Παρόμοια  με  την  περίπτωση  δυαδικού  à  δεκαεξαδικό,  μόνο  που  αντί  για  τετράδες  χωρίζουμε  σε  τριάδες  

¨  Από  οκταδικό  σε  δυαδικό  ¤  Αντικαθιστούμε  οκταδικό  ψηφίο  με  την  αντίστοιχη  τριάδα  δυαδικών  ψηφίων  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

25

Πράξεις  θετικών  ακέραιων  αριθμών  στο  δυαδικό  σύστημα

x + y = z          

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 και  1  κρατούμενο  

                             για  την  ανώτερη    

                             δυαδική  τάξη

x -­‐ y = z          

0 -­‐ 0 = 0 1 -­‐ 0 = 1 1 -­‐ 1 = 0 0 - 1 = 1 και  δανεικό  1  από  

                       την  ανώτερη    

                       δυαδική  τάξη

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

26

Πρόσθεση/Αφαίρεση  δυαδικών  αριθμών

xi yi Ki-1 ή  Δi-1 xi + yi + Ki-1 Ki xi – yi - Δi-1 Δi

0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1 1

0 1 1 0 1 0 1

1 0 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0

1 1 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1

xn xn-1 … xi … x1 yn yn-1 … yi … y1

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

27

Παραδείγματα  –  Πρόσθεση

¨  46(10) + 26(10) = 72(10)

1 0 1 1 1 0

+ + + + + +

0 1 1 0 1 0

0 0 1 0 0 0 1

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

28

Παραδείγματα  –  Αφαίρεση

¨  38(10) -­‐ 26(10) = 12(10)

1 0 0 1 1 0

-­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐ -­‐

0 1 1 0 1 0

0 0 1 1 0 0

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

29

Πολλαπλασιασμός  -­‐  Διαίρεση

¨  Ο  πολλαπλασιασμός  και  η  διαίρεση  μεταξύ  θετικών  δυαδικών  αριθμών  γίνεται  με  διαδοχικές  προσθέσεις  και  αφαιρέσεις  αντίστοιχα  

¨  Πρέπει  να  σημειωθεί  ότι  στον  πολλαπλασιασμό  εκτελούμε  κάθε  φορά  τα  επιμέρους  αθροίσματα,  ώστε  να  μην  προκύπτουν  κρατούμενα  που  πρέπει  να  μεταφερθούν  στις  μεθεπόμενες  βαθμίδες

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

30

Παραδείγματα  -­‐  Πολλαπλασιασμός

     20(10)        

 X 14(10)

80

+ 20

280

     10100        

 X 1110

00000

+ 10100

101000

+ 10100

1111000 10100 100011000

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

31

Παραδείγματα  -­‐  Διαίρεση

280(10)        20(10)  20                    14(10)      80      80      00

 100011000        10100        10100                      01110  0011110            10100            010100                10100                000000

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

32

Παράσταση  αριθμών

¨  Όπως  είδαμε,  με  n δυαδικά  ψηφία  μπορούμε  να  παραστήσουμε  2n διαφορετικούς  αριθμούς  

¨  Στην  περίπτωση  που  θέλουμε  να  παραστήσουμε  προσημασμένους  αριθμούς,  τότε  εκμεταλλευόμαστε  το  MSB του  αριθμού  για  να  κωδικοποιήσουμε  το  πρόσημο  ¤ Αν  MSB = 0, τότε  ο  αριθμός  είναι  θετικός  ¤ Αν  MSB = 1, τότε  ο  αριθμός  είναι  αρνητικός  ¤ Με  τα  υπόλοιπα  n-1 δυαδικά  ψηφία  κωδικοποιούμε  την  απόλυτη  τιμή  του  αριθμού  ή  αλλιώς  το  μέτρο  του  

Πρόσημο Αριθμός

1bit n-1 bits Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

33

Κωδικοποίηση  αρνητικών  προσημασμένων  αριθμών ¨  Υπάρχουν  3  τρόποι  για  την  παράσταση  των  προσημασμένων  αριθμών  ¤ Η  παράσταση  μέτρου  ¤ Η  παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1  ¤ Η  παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

34

Παράσταση  μέτρου

¨  Στην  παράσταση  αυτή  το  MSB παίρνει  την  τιμή  0  εάν  πρόκειται  για  θετικό  αριθμό  και  την  τιμή  1  αν  αντίστοιχα  πρόκειται  για  αρνητικό  αριθμό  

¨  Τα  υπόλοιπα  n-1 bits χρησιμοποιούνται  για  την  τιμή  του  αριθμού  ¨  Μέγιστος  αριθμός*  :  2n-1 -­‐1  à 0111….11 ¨  Ελάχιστος  αριθμός:  -­‐(2n-1-­‐1) à 1111…11 ¨  Μηδέν:  2  τρόποι:  0000....00  ή  1000....00  ¨  Παράδειγμα  

¤   28(10)  =  011100(2)  ¤  -­‐28(10)  =  111100(2)

 *  που  μπορεί  να  παρασταθεί  με  n bits

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

35

Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1 ¨  Στην  παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1  

¤  Αν  MSB = 0, ο  αριθμός  είναι  θετικός  και  το  μέτρο  του  δίνεται  από  τα  υπόλοιπα  n-1 ψηφία  

¤  Αν  MSB = 1, ο  αριθμός  είναι  αρνητικός  και  το  μέτρο  δίνεται  από  το  συμπλήρωμα  ως  προς  1  των  υπολοίπων  n-1 ψηφίων  του  

¨  Το  συμπλήρωμα  ως  προς  1  ενός  δυαδικού  αριθμού  βρίσκεται  αν  αντικαταστήσουμε  όλα  τα  1  του  αριθμού  με  0,  και  όλα  τα  0  με  1  

1 0 1 1 0 0

0 1 0 0 1 1 Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

36

Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1 ¨  Μέγιστος  αριθμός  :  2n-1 -­‐1  à 0111….11 ¨  Ελάχιστος  αριθμός:  -­‐(2n-1-­‐1) à 1000….00 ¨  Μηδέν:  2  τρόποι:  0000....00  ή  1111….11

¨  Όλοι  οι  μη  αρνητικοί  (θετικοί  και  μηδέν) έως  2n-1 -­‐1  παριστάνονται  όπως  ακριβώς  στο  σύστημα  παράστασης  μέτρου  

¨  Οι  αριθμοί  από  -­‐(2n-1-­‐1) έως  0  παριστάνονται  με  το  συμπλήρωμα  ως  προς  1  της  απόλυτης  τιμής  τους  

¨  !Προσοχή:  Οι  έννοιες  «συμπλήρωμα  ως  προς  1»  και  «παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1»  είναι  διαφορετικές.  Το  συμπλήρωμα  ως  προς  1  ενός  αριθμού  είναι  το  αποτέλεσμα  της  αντιστροφής  των  ψηφίων  του.  Η  παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1  χρησιμοποιεί  το  συμπλήρωμα  ως  προς  1  για  να  παραστήσει  τους  αρνητικούς  αριθμούς

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

37

Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1  -­‐  Παράδειγμα

¨  12(10)  à  001100  ¨  Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1  του  -­‐12(10)  à  110011

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

38

Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2 ¨  Στην  παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2  

¤  Αν  MSB = 0, ο  αριθμός  είναι  θετικός  και  το  μέτρο  του  δίνεται  από  τα  υπόλοιπα  n-1 ψηφία  

¤  Αν  MSB = 1, ο  αριθμός  είναι  αρνητικός  και  το  μέτρο  δίνεται  από  το  συμπλήρωμα  ως  προς  2  του  συνόλου  των  ψηφίων  του  

¨  Το  συμπλήρωμα  ως  προς  2  ενός  δυαδικού  αριθμού  βρίσκεται  αν  αντικαταστήσουμε  όλα  τα  1  του  αριθμού  με  0  ,  και  όλα  τα  0  με  1  (συμπλήρωμα  ως  προς  1)  και  προσθέσουμε  1  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

39

Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2

1 0 1 1 0 0

1 0 0 1 1 0

1

1 0 1 0 0 0 Μέτρο:

Άρα  ο  101100  σε  παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2  παριστά  τον  αριθμό  ... Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

40

Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2 ¨  Μέγιστος  αριθμός  :  2n-1 -­‐1  à 0111….11 ¨  Ελάχιστος  αριθμός:  -­‐2n-1 à 1000….00 ¨  Μηδέν:  1  τρόπος:  0000....00

¨  Όλοι  οι  μη  αρνητικοί  (θετικοί  και  μηδέν) έως  2n-1 -­‐1  παριστάνονται  όπως  ακριβώς  στο  σύστημα  παράστασης  μέτρου  

¨  Οι  αρνητικοί  αριθμοί  παριστάνονται  με  το  συμπλήρωμα  ως  προς  2  και  των  n ψηφίων  

¨  !Με  την  παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2  ο  ελάχιστος  αριθμός  που  μπορούμε  να  παραστήσουμε  έχει  μεγαλύτερη  απόλυτη  τιμή  από  τον  μέγιστο  αριθμό.

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

41

Πράξεις  προσημασμένων  αριθμών

¨  Το  αλγεβρικό  άθροισμα  δυο  προσημασμένων  ακεραίων  στη  μορφή  παραστάσεως  συμπληρώματος  ως  προς  1  ή  στη  μορφή  παραστάσεως  συμπληρώματος  ως  προς  2  βρίσκεται  εάν  προστεθούν  οι  παραστάσεις  των  αριθμών  συμπεριλαμβανομένου  και  του  ψηφίου  προσήμου.  

¨  Εάν  υπάρξει  κρατούμενο  από  την  πρόσθεση  των  MSB τότε  αυτό  ¤  αγνοείται  στην  περίπτωση  παράστασης  συμπληρώματος  ως  προς  2  

¤  προστίθεται  στο  αποτέλεσμα  στην  περίπτωση  παραστάσεως  συμπληρώματος  ως  προς  1  

¨  Το  αποτέλεσμα  που  προκύπτει  είναι  εκφρασμένο  αμέσως  στην  αντίστοιχη  μορφή  παραστάσεως  συμπληρώματος  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

42

Παραδείγματα

-­‐2    -­‐5  -­‐7      -­‐4    -­‐4  -­‐8

                           1101                      +    1010                          |0111                            +          1                              1000    

                           1110                        +  1011                      1|1001  

       1001  

                             1011                  +          1011                            |0110                      +                  1                                0111      

                             1100                  +          1100                      1  |1000                                1000      

Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1 Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2

Overflow

Αγνοείται

Αγνοείται

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

43

Περίπτωση  υπερχείλισης

¨  Προσοχή  πρέπει  να  δίνεται  πάντα  για  το  αν  το  αποτέλεσμα  που  προκύπτει  βρίσκεται  εντός  της  περιοχής  των  αριθμών  που  μπορούν  να  παρασταθούν  με  δεδομένο  μήκος  λέξης  n και  για  συγκεκριμένη  παράσταση  

¨  Στην  περίπτωση  που  το  πλήθος  των  bits δεν  επαρκεί  για  την  παράσταση  του  αποτελέσματος  μιας  πράξης  λέμε  ότι  έχουμε  υπερχείλιση  (overflow). ¤ Οι  υπολογιστές  διαθέτουν  εσωτερικούς  μηχανισμούς  ώστε  να  εντοπίζουν  τις  περιπτώσεις  υπερχείλισης  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

44

Σύγκριση  παραστάσεων

¨  Παράσταση  μέτρου  ¤  Πλεονέκτημα:  Προκύπτει  εύκολα  ¤  Μειονέκτημα:  Δύσκολη  εκτέλεση  πράξεων  

¨  Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1  ¤  Πλεονεκτήματα:  Προκύπτει  εύκολα  -­‐  Οι  πράξεις  μεταξύ  των  αριθμών  

γίνονται  απευθείας,  χωρίς  μετατροπή,  ανεξάρτητα  με  το  πρόσημο  ¤  Μειονεκτήματα:  Απαιτείται  πρόσθεση  του  κρατούμενου  που  τυχόν  

προκύπτει  -­‐  2  παραστάσεις  για  το  0  ¨  Παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2  

¤  Πλεονεκτήματα:  Αγνοείται  το  κρατούμενο  που  τυχόν  προκύπτει  -­‐  Οι  πράξεις  μεταξύ  των  αριθμών  γίνονται  απευθείας,  χωρίς  μετατροπή,  ανεξάρτητα  με  το  πρόσημο  –  1  παράσταση  για  το  0  

¤  Μειονεκτήματα:  Προκύπτει  πιο  δύσκολα  από  το  συμπλήρωμα  ως  προς  1  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

45

Παράσταση  πραγματικών  αριθμών

¨  Παράσταση  σταθερής  υποδιαστολής  (fixed point)  ¨  Παράσταση  κινητής  υποδιαστολής  (floating point)  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

46

Παράσταση  πραγματικών  αριθμών - Παράσταση  σταθερής  υποδιαστολής   ¨  Παράσταση  σταθερής  υποδιαστολής  (fixed point)  

¤ Στην  παράσταση  σταθερής  υποδιαστολής  θεωρούμε  ότι  από  τα  n bits  μιας  λέξης  τα  n1 bits χρησιμοποιούνται  για  το  ακέραιο  μέρος  του  αριθμού  και  τα  υπόλοιπα  n2  bits για  το  κλασματικό  μέρος  (n=n1+n2)

¤ Το  πρόσημο  του  αριθμού  θα  κωδικοποιείται  σαν  και  τα  n ψηφία  του  αριθμού  να  παρίσταναν  έναν  ακέραιο,  προσθέτοντας  τη  μονάδα  στο  δεξιότερο  κλασματικό  ψηφίο

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

47

Παράσταση  σταθερής  υποδιαστολής

¨  Π.χ.:  Έστω  ότι  έχουμε  μήκος  λέξης  8  bits  από  τα  οποία  6  bits χρησιμοποιούνται  για  το  ακέραιο  και  2  bits για  το  κλασματικό  μέρος,  ενώ  χρησιμοποιούμε  παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  2 για  την  παράσταση  προσημασμένων  αριθμών  ¤  Ο  μέγιστος  αριθμός  που  μπορούμε  να  παραστήσουμε  σε  αυτήν  την  

περίπτωση  είναι  ο  011111,11    και  είναι  ο  31,75(10)  ¤  Ο  ελάχιστος  αριθμός  που  μπορούμε  να  παραστήσουμε  είναι  ο  

100000,00  και  είναι  ο  -­‐32(10)  ¤  Οι  πλησιέστεροι  αριθμοί  στο  0  που  μπορούμε  να  παραστήσουμε  είναι  

n  ο  000000,01  =  0,25(10)  για  τους  θετικούς  n  ο  111111,11  =    -­‐  0,25(10)  για  τους  αρνητικούς  

¨  Σημαντικό  μειονέκτημα  της  παράστασης  σταθερής  υποδιαστολής  είναι  ότι  το  διάστημα  των  αριθμών  που  μπορούν  να  παρασταθούν  είναι  σχετικά  μικρό  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

48

Παράσταση  πραγματικών  αριθμών - Παράσταση  κινητής  υποδιαστολής ¨  Παράσταση  κινητής  υποδιαστολής  (floating point)  

¤  Στην  παράσταση  αυτή  ο  δυαδικός  αριθμός  Ν  εκφράζεται  αρχικά  σε  εκθετική  μορφή  ως  εξής:  Ν  =  ±σ.2ε n Ο  αριθμός  σ  καλείται  συντελεστής  (mantissa) n Ο  αριθμός  ε  καλείται  εκθέτης  (exponent)  

¤ Για  την  παράσταση  των  αριθμών  αφιερώνονται  n1 ψηφία  στον  εκθέτη,  n2 ψηφία  στο  συντελεστή  και  ένα  ψηφίο  για  το  πρόσημο   n  (n = n1 + n2 +1)  

πρόσημο n1 ψηφία  εκθέτη   n2 ψηφία  συντελεστή

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

49

Παράσταση  κινητής  υποδιαστολής

¨  Παράδειγμα:  Ο  αριθμός  0101,1101  μπορεί  να  γραφεί  ως  ¤  0,01011101.20100  ¤  1,011101.20010  ¤  0,1011101.20011  με  τους  συντελεστές  και  τους  εκθέτες  να  είναι  εκφρασμένοι  στο  δυαδικό  σύστημα  

¨  Το  MSB του  αριθμού  έχει  το  ρόλο  του  προσήμου.  Αν  είναι  0  ο  αριθμός  είναι  θετικός,  αλλιώς  είναι  αρνητικός  

¨  Ο  εκθέτης  μπορεί  να  είναι  αρνητικός,  οπότε  έχει  το  δικό  του  πρόσημο  

πρόσημο n1 ψηφία  εκθέτη   n2 ψηφία  συντελεστή

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

50

Παράσταση  κινητής  υποδιαστολής

¨  Όπως  είδαμε  υπάρχουν  πολλοί  τρόποι  για  να  γραφεί  εκθετικά  ένας  αριθμός  

¨  Η  παράσταση  εκείνη  για  την  οποία  ισχύει  ½≤σ<1 ονομάζεται  κανονική  μορφή  

¨  Παράδειγμα:  Η  κανονική  μορφή  του  αριθμού  101,110  είναι  0,101110.2011  ¨  δηλαδή  το  ακέραιο  μέρος  πρέπει  να  είναι  0  και  το  πρώτο  κλασματικό  ψηφίο  1  

¨  Η  κανονική  μορφή  είναι  επιθυμητή  γιατί  επιτρέπει  την  καταγραφή  περισσότερων  ψηφίων  του  συντελεστή,  αυξάνοντας  την  ακρίβεια  της  παράστασης.  Επίσης,  επιτρέπει  την  παράσταση  με  ένα  και  μοναδικό  τρόπο.  

¨  Ερ:.  Ποιος  αριθμός  δεν  έχει  κανονική  μορφή;    

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

51

Παράσταση  κινητής  υποδιαστολής

¨  Μπορούμε  να  χρησιμοποιήσουμε  οποιαδήποτε  από  τις  τρεις  μεθόδους  που  μελετήσαμε  για  τους  προσημασμένους  ακέραιους.  

¨  Π.χ.  για  την  παράσταση  ενός  αρνητικού  πραγματικού  αριθμού  σε  παράσταση  συμπληρώματος  ως  προς  1  παίρνουμε  το  μέτρο  του,  βρίσκουμε  την  κανονική  του  μορφή,  γράφουμε  τον  εκθέτη  και  το  συντελεστή  στα  αντίστοιχα  πεδία  και  τέλος  παίρνουμε  συμπλήρωμα  ως  προς  1  λαμβάνοντας  υπόψη  και  τα  n ψηφία

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

52

Πράξεις  πραγματικών  αριθμών

¨  Για  να  προσθέσουμε  δύο  αριθμούς:    1.  Αρχικά  τους  μετατρέπουμε  (με  αντίστοιχη  ολίσθηση)  ώστε  να  έχουν  τον  ίδιο  εκθέτη  

¤ Ερ.:  Ποιες  είναι  οι  επιπτώσεις  της  ολίσθησης;  

2.  Προσθέτουμε  τους  συντελεστές  των  αριθμών  3.  Γράφουμε  το  αποτέλεσμα  στην  κανονική  μορφή  Προσοχή:  Το  πλήθος  ψηφίων  του  συντελεστή  μένει  πάντα  σταθερό  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

53

Πολλαπλασιασμός  –  Διαίρεση  πραγματικών  αριθμών ¨  Ο  πολλαπλασιασμός  και  η  διαίρεση  πραγματικών  αριθμών  κινητής  υποδιαστολής  γίνονται  αρκετά  εύκολα  

¨  Πολλαπλασιασμός  

¨  Διαίρεση  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

54

Ακρίβεια  και  εύρος

¨  Το  πλήθος  των  ψηφίων  που  χρησιμοποιούνται  για  το  συντελεστή  καθορίζει  την  ακρίβεια  παραστάσεως  των  αριθμών    ¤ Τον  κοντινότερο  στο  0  θετικό  και  τον  κοντινότερο  στο  0  αρνητικό  αριθμό  

¨  Το  πλήθος  των  ψηφίων  που  χρησιμοποιούνται  για  τον  εκθέτη  καθορίζει  το  εύρος  των  αριθμών  που  μπορούν  να  παρασταθούν  ¤ Τον  μεγαλύτερο  και  μικρότερο  αριθμό  που  μπορεί  να  παρασταθεί

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

55

Παράσταση  χαρακτήρων  

¨  Στα  υπολογιστικά  συστήματα,  εκτός  από  αριθμούς  υπάρχει  και  η  ανάγκη  παράσταση  διάφορων  συμβόλων  όπως  οι  αλφαβητικοί  χαρακτήρες,  τα  σημεία  στίξης,  κτλ.  

¨  Η  αντιστοιχία  μεταξύ  των  προαναφερθέντων  συμβόλων  με  δυαδικά  ψηφία  καλείται  κώδικας  

¨  Μια  ευρέως  αποδεκτή  αντιστοίχιση  χαρακτήρων-­‐δυαδικών  ψηφίων  (καθορισμένη  συνήθως  από  κάποιο  διεθνή  οργανισμό  πιστοποίησης) ονομάζεται  σύνολο  χαρακτήρων  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

56

Κώδικας  ASCII

Αρχικά  7  bits Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

57

ISO 8859-7 - Ελληνικά

8  bits Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

58

Unicode

Ελληνικά:  Από  0x370 έως 0x3CF 16 bits  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

59

Άλγεβρα  Boole

¨  Ορίζεται  στο  σύνολο  Α  =  {0,1}  ¤ Οι  μεταβλητές  παίρνουν  μόνο  τις  τιμές  0  και  1  

¨  Αποτελεί  τη  βάση  για  το  σχεδιασμό  λογικών  κυκλωμάτων  

¨  Ισχύουν  ¤ η  σχέση  της  ισότητας  (=)  ¤ η  πράξη  λογικό  ‘H (OR) (+ ή  ∨)  ¤ η  πράξη  λογικό  ΚΑΙ  (AND) (�  ή  ∧) ¤ η  πράξη  της  αντιστροφής  (NOT)  (‘  ή  -­‐  )  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

60

Αξιώματα  και  θεωρήματα  Άλγεβρας  Boole ¨  Αξιώματα  

¤  a+b  =  b+a,  a�b  =  b�a  ¤  a(b+c)  =  ab+ac  ¤  (a+b)(a+c)  =  a+bc  ¤  0+a  =  a,  a�1  =  a  ¤  a  +  a’  =  1,  a�a’  =  0  

¨  Θεωρήματα  ¤  a+1=1,  a+0  =  a,  a�1  =  a,  a�0  =  0  ¤  a+a  =  a,  a�a  =  a  ¤  (a’)’=a  ¤  (a+b)’  =  a’�b’,  (ab)’  =  a’  +  b’  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

61

Λογικές  συναρτήσεις

¨  Σε  κάθε  αληθή  λογική  πρόταση  δίνουμε  την  τιμή  1  και  σε  κάθε  ψευδή  πρόταση  την  τιμή  0  

¨  Ορίζονται  λογικές  συναρτήσεις  f(x1, x2, … xn) με  x1, x2, … xn  boolean μεταβλητές  

Α Β Ζ  =  ΑΒ Ζ  =  Α+Β Ζ=  Α’

0 0 0 0 1

0 1 0 1 1

1 0 0 1 0

1 1 1 1 0

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

62

Πίνακες  αληθείας

¨  Πίνακας  αληθείας  ονομάζεται  ο  πίνακας  που  περιλαμβάνει  όλους  τους  δυνατούς  συνδυασμούς  τιμών  των  μεταβλητών  μιας  λογικής  συνάρτησης  και  την  αντίστοιχη  τιμή  για  κάθε  συνδυασμό  

¨  Συνάρτηση  NAND

¨  Z = A’B’+A’B+AB’

A B Z = (AB)’

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

63

Απλοποίηση  λογικών  συναρτήσεων

¨  Εφαρμογή  των  θεωρημάτων  άλγεβρας  Boole ¨  Χάρτης  Karnaugh

¤ Κατασκευάζουμε  πίνακα  με  2n τετράγωνα  (n ο  αριθμός  των  μεταβλητών  της  λογικής  συνάρτησης)  

¤ Τοποθετούμε  στα  τετράγωνα  την  τιμή  της  λογικής  συνάρτησης  για  κάθε  συνδυασμό  μεταβλητών  

¤ Σχηματίζουμε  ομάδες  από  όσο  δυνατόν  περισσότερα  γειτονικά    «1»  (ο  αριθμός  τους  πρέπει  να  είναι  δύναμη  του  2)  

¤ Κάθε  «1»  πρέπει  να  ληφθεί  τουλάχιστον  μια  φορά  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

64

Χάρτης  Karnaugh - Παράδειγμα

¨  Θέλουμε  να  απλοποιήσουμε  τη  συνάρτηση  Ζ  =  f (A,B,C) = A’B’C’  +A’B+ABC’ +AC  ή  αλλιώς  

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

65

Λογικές  πύλες

¨  Ηλεκτρονικά  λογικά  κυκλώματα  που  υλοποιούν  τις  βασικές  πράξεις  της  άλγεβρας  Boole

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

66

Ευχαριστώ  για  την  προσοχή  σας!

Τεχνολογία  Πληροφορίας  και  Επικοινωνιών  -­‐  Ε.  Αδαμοπούλου,  Κ.  Δεμέστιχας

67