Ασκήσεις Γενικά Μαθη ατικά Ι Λύσεις ασκήσεων...
50
Ασκήσεις Γενικά Μαθηματικά Ι Λύσεις ασκήσεων Ομάδας 1 2013-2014 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης ΄Ασκηση 1: Δυο ευθείες [ 1 : y = m 1 x + a 1 , 1 : y = m 2 x + a 2 ], τέμνονται και σχηματίζουν γωνία θ (λέπε Σχήμα). Δείξτε ότι ισχύει η σχέση tan(θ)= m 2 - m 1 1+ m 2 m 1 Σχήμα 1: Οι δύο ευθείες 1 , 2 Λύση : Γνωρίζουμε ότι φ 1 + (180 - φ 2 )+ θ = 180 άρα θ = φ 2 - φ 1 tan(θ) = tan(φ 2 - φ 1 )= tan φ 2 - tan φ 1 1 + tan φ 1 tan φ 2 = m 2 - m 1 1+ m 2 m 1 ΄Ασκηση 2: Να καθοριστεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων y 1 = 1 - log 2 (x), y 2 = √ 1 - x 2 + log ( 2-x x ) ,y 3 = x 2 -6+ √ 9-x 2 x 2 -1 . Λύση : (α) Το πεδίο ορισμού της y 1 ορίζεται από τη σχέση 1-log 2 x ≥ 0 και είναι 0 <x ≤ 2. () Για την συνάρτηση y 2 ϑα πρέπει ταυτόχρονα να επαληθεύονται οι σχέσεις 1 - x 2 ≥ 0 και (2 - x)x> 0. Οι ανισότητες αυτές συναλυθεύουν όταν το 0 <x ≤ 1. (γ) Θα πρέπει να συναλυθεύουν οι σχέσεις -3 ≤ x ≤ 3 και x = ±1 άρα D ∈ [-3, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, 3]. 1
Transcript of Ασκήσεις Γενικά Μαθη ατικά Ι Λύσεις ασκήσεων...
!"#$"%&' (%)&#* +,-.µ,/&#* 012"%&' ,"#$"%3) 4µ*5,' 1
2013-2014167#*' 89*:6' #,& +,);9.' <9%&;).'
!"#$%#% 1: =76 %7-%>%' [!1 : y = m1x+ a1, !1 : y = m2x+ a2], /?µ)6)/,& #,& ":.µ,/>@67)A3)>, " (B9?C% D:$µ,). =%>E/% F/& &":2%& . ":?".
tan(") =m2 !m1
1 +m2m1
D:$µ, 1: 4& 526 %7-%>%' !1, !2
&'#% : ()3G>@67µ% F/& #1 + (180! #2) + " = 180 *G, " = #2 ! #1
tan(") = tan(#2 ! #1) =tan#2 ! tan#1
1 + tan#1 tan#2=
m2 !m1
1 +m2m1
!"#$%#% 2: H, #,-6G&"/%> /6 C%5>6 6G&"µ62 /3) "7),G/$"%3) y1 =!
1! log2(x),
y2 ="1! x2 + log
"2!xx
#, y3 =
x2!6+"9!x2
x2!1 .
&'#% : (,) I6 C%5>6 6G&"µ62 /.' y1 6G>@%/,& ,CF /. ":?". 1!log2 x # 0 #,& %>),& 0 < x $ 2.(B) (&, /.) "7)*G/.". y2 J, CG?C%& /,7/F:G6), ), %C,9.-%26)/,& 6& ":?"%&' 1!x2 # 0
#,& (2! x)x > 0. 4& ,)&"F/./%' ,7/?' "7),97-%267) F/,) /6 0 < x $ 1.(A) K, CG?C%& ), "7),97-%267) 6& ":?"%&' !3 $ x $ 3 #,& x %= ±1 *G,D & [!3,!1)'
(!1, 1) ' (1, 3].
1
!"#$%#% 3: H, BG%-62) 6& ,)/>"/G6L%' "7),G/$"%&' /3) y1 = 3!5!x, y2 =3!1 +
"1! x3+
3!1!
"1! x3
&'#% : (,) M AG,L&#$ C,G*"/,". /.' "7)*G/.".' y1 C,G67"&*@%/,& "/6 D:. 1 #,& ?:%&
!1.0 !0.5 0.5 1.0
!2
!1
1
2
D:$µ, 2: M AG,L&#$ C,G*"/,". /.' "7)*G/.".' y1
C%5>6 6G&"µ62 69F#9.G6 /6) *E6), /3) CG,Aµ,/&#;) ,G&-µ;) x & R. M ,)/>"/G6L. "7)*G-/.". 7C696A>@%/,& %2#69, F/& %>),& log5(1/(3! x)) #,& ?:%& C%5>6 6G&"µ62 !( < x < 3.
(B) I6 C%5>6 6G&"µ62 /.' "7)*G/.".' %>),& /6 0 $ x $ 1 #,& "/. C%G&6:$ ,7/$ ."7)*G/.". y2 %>),& ,µL&µ6)6"2µ,)/. (89?C% D:. 2)
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
D:$µ, 3: M AG,L&#$ C,G*"/,". /.' "7)*G/.".' y2
4G>@67µ% 526 )?%' "7),G/$"%&' A(x) = 1 +"1! x3 #,& B(x) = 1 !
"1! x3 #,& .
"7)*G/.". y2 = A1/3 + B1/3. NC%&5$ &":267) 6& ":?"%&' A + B = 2, AB = x3 ?:67µ%y32 = A+3A3/2B3/2+3A1/3B1/3+B ) y32 ! 2 = 3A1/3B1/3(A1/3+B1/3) ) y32 ! 2 = 3xy2#,& %2#69, #,/,9$A67µ% "/.) O./62µ%). ,)/>"/G6L. "7)*G/.".
f!1 =x3 ! 2
3x.
I6 C%5>6 6G&"µ62 /.' ,)/>"/G6L.' "7),G/.".' %>),& x & [ 3"2, 2]
!"#$%#% 4: I, */6µ, #,)6)> *)-G,#, (*)-G,#,'-12 $ 12C) C%G&?:67) 6 CG3/F)&,#,& 6 )%/GF)&,. 4 *)-G,#,'-14 (14C) %>),& ?), P,5&%)%GAF &"F/6CF /67 C67 C%G&?:%&6#/; )%/GF)&, "/6) ,/6µ&#F /67 C7G$),. I, C6"6"/* /3) %C&µ?G67' &"6/FC3) ":%/&#*µ% /6 "7)69&#F ,G&-µF ,/Fµ3) *)-G,#, %>),& ("/67' O;)/%' 6GA,)&"µ62') 12C - 98.89%,13C - 1.11% #,& 14C - 0.00000000010%. =.9,5$ ?:67µ% 1 */6µ6 *)-G,#,-14 A&,#*-% /G&"%#,/6µµ2G&6 ,/Fµ3) *)-G,#,-12. 4 *)-G,#,'-14 ":.µ,/>@%/,& "/.) ,);/%G,
2
"/G;µ,/, /.' ,/µF"L,&G,', F/,) )%/GF)&, /.' #6"µ&#$' ,#/&)6Q69>,' µ%/,99*""67) /6*@3/6 "% *)-G,#,-14 µ?"3 /.' :
14N + n !*14 C + p
I, R7/* CG6"9,µQ*)67) ,CF /.) ,/µF"L,&G, #,& /&' 526 µ6GL?' *)-G,#,, #,& ?/"&6 *)-G,#,'-14 %&"?G:%/,& "/.) /G6L&#$ ,97">5,. S4/,) ?),' 6GA,)&"µF' C%-,>)%&, C,2%&), ,C6GG6L* *)-G,#,. NC%&5$, Fµ3', 6 *)-G,#,'-14 %>),& ,"/,-$', µ%/,":.µ,/>@%/,&,GA* #,& "/,-%G* "% *@3/6 µ?"3 P,5&%)%GA62 5&*"C,".' :
146 C !*14
7 N + e! + $̄e
4 :GF)6' «:GF)6' .µ&@3$'» /67 P,5&%)%GA62 &"6/FC67 %>),& t1/2 = 5.730 ± 40 :GF)&,,A%A6)F' C67 ,E&6C6&62µ% A&, ), :G6)696A$"67µ% 6"/*, E296 #,& *99, 6GA,)&#* 79&#*µ% /. µ?-656 /67 *)-G,#, 14. (&, ), %L,Gµ6"/%> . µ?-656' CG?C%& Fµ3' ), 7C*G:%&"/6 5%>Aµ, µ&, 6G&"µ?). %9*:&"/. C6"F/./, 14T, #,& A&S! ,7/F µC6G%> ), %L,Gµ6"/%> "%%7G$µ,/, .9&#>,' /6 C692 µ?:G& 60.000 %/;) C%G>C67. M ,#G>Q%&, :G6)69FA.".' 5&,L?G%&#,& "7),G/*/,& µ% /.) .9&#>, /67 5%>Aµ,/6'. !) /6 5%>Aµ, ?:%& .9&#>, µ&#GF/%G. /3)10.000 %/;), µC6G%> ), :G6)696A.-%> µ% CG6"?AA&". 10-20 %/;).
1. =&,Q*"/% CG6"%#/&#* /, %&",A3A&#*.
2. <6&* "7)*G/.". :,G,#/.G>@%& /.) P,5&%)%GAF 5&*"C,".U
3. 8G%>/% /.) /&µ$ /67 P7-µ62 5&*"C,".',r, /67 14C.
4. 8G%>/% /.) .9&#>, µ&,' !&A7C/&,#$' µ62µ&,' /.' 6C6>,' 6 E29&)6' ",G#6L*A6' BG?-J.#% ), ?:%& 1 */6µ6 14C ,)* 1.71+ 1012 */6µ, 12C.
5. D% C6&, C%G>656 /67 !&A7C/&,#62 C69&/&"µ62 ?@."% 6 µ67µ&6C6&.µ?)6' !&A2C/&6',C6&, . CG3/%267", /67 /.) C%G>656 ,7/$U I& /6 C%G>%GA6 ?:67) 6& C7G,µ>5%' ,7/$'/.' C%G&F567 (CG6,&G%/&#$ F9. . %G;/.". 4).
6. SN"/3 F/& ,),#,92C/%/,& µ&, ,CGF"µ%). R7"&#$ 5&,5&#,">, %µC967/&"µ62 /3) )%-#G;) &"/;) µ% 14C, . 6C6>, A>)%/,& %)%GA$ ,µ?"3' µ%/* /.) ,C6#*97V./%#"#,L$/.' ",G#6L*A67, #,& . 6C6>, /.) ‘µ692)%&’ µ% 14C "% C6"6"/F 6% %C> /67 ,µF-97)/67 C6"6"/62 /67. <,>G)6)/,' 7CFV&) ",' ,7/F /6 A%A6)F' %C,)%#/&µ$"/% /.)CG,Aµ,/&#$ .9&#>, /.' µ62µ&,'.
&'#% :
1. M "7)*G/.". C67 :,G,#/.G>@%& /.) P,5&%)%GAF 5&*"C,". %>),& . "7)*G/.". %#-%/&-#$' µ%>3".' :
f(t) = f(0) exp(!rt)
FC67 f(t) 6 ,G&-µF' ,/Fµ3) /67 14C, r 6 P7-µF' 5&*"C,".' /67 14C #,& t 6 :GF)6'.
3
2. 8G>"#67µ% /6) P7-µF 5&*"C,".' :G."&µ6C6&;)/,' /6 :GF)6 .µ&@3$' A&, /6) 6C6>6f(t1/2) = f(0)/2, %C6µ?)3' :
f(0)
2= f(0) exp(!rt1/2) =) ln(1/2) = !5730r =) r = 0.000121
3. !L62 . #,)6)&#$ C%G&%#/&#F/./, ,/Fµ3) 14C "% ":?". µ% ,7/* /67 12C %>),& 1/1012%); BG$#,µ% F/& /6 E296 /.' ",G#6L*A67 C%G&?:%& 1/1.71+ 1012 */6µ, 14C, ?:67µ%F/& :
1
1.71+ 1012=
1
1012exp(!0.000121t) =) t = 4434 years
4. D/6 <,9,&F 8,">9%&6 (2686 - 2181 CW.) C67 CG3/%267", %>:% /.) +?µL&5,. N>),&B,-µ&53/?' C7G,µ>5%' µ% :,G,#/.G&"/&#$ ,7/$ /67 B,"&9&* X6@?G.
5. 6% µF97)". ".µ,>)%& F/& /6 /%9&#F C6"6"/F 14C C67 µ%/G*µ% %>),& (1/1.17 + 1012)%>),& #,/* 6% µ%A,92/%G6 ,CF /6 ,µF97)/6 C6"6"/F C67 ,)/&"/6&:%> "/.) 5&,5&#,">,5&*"C,".' /67 14C, C67 ".µ,>)%& F/& CG?C%& ), /6 5&,&G?"3 µ% 1.06 A&, ), BG3 /6,µF97)/6 C6"6"/F 14C µ% /6 6C6>6 µC6G; /%9&#* ), #*)3 /.) 6G-$ :G6)69FA.". :
1
1.71+ 10121
1.06=
1
1012exp(!0.000121t) =) t = 4915 years
!"#$%#% 5: =>5%/,& µ&, 5%E,µ%)$, ,G:&#* A%µ*/., ,CF /.) 6C6>, %#G?%& )%GF ?/"& ;"/%/6 C6"F /67 )%G62 C67 C,G,µ?)%& "/. 5%E,µ%)$ "7),G/$"%& /67 :GF)67 5>5%/,& ,CF /.) :
fe(t) = 300(20! t)2 liters
%C>".' /6 2V6' /67 )%G62 C67 C,G,µ?)%& µ?", "/. 5%E,µ%)$ ",) "7)*G/.". /67 :GF)675>5%/,& ,CF /.) :
fh(t) = 20(1! t/20)2 meters
X./62)/,& /, %E$' :
1. <F"6 /6 ,G:&#F "7)69&#F C6"F )%G62 "/. 5%E,µ%)$, C6&%' %>),& 6& 5&,"/*"%&' /.'5%E,µ%)$' #,& C6&6' 6 "7)69&#F' :GF)6' %#G6$' )%G62 µ?:G& ), ,5%&*"%& . 5%E,µ%)$U
2. <F"6 AG$A6G, :2)%/,& /6 )%GF "/6 /?96' /3) CG;/3) 15 9%C/;) #,& C6&6' %>),& 6µ?"6' P7-µF' %#G6$' /67 )%G62 "% 9>/G, #,/* /6 CG;/6 159%C/6U
3. <6&6' %>),& P7-µF' µ%>3".' /67 2V67' /67 )%G62 µ?", "/. 5%E,µ%)$, C6&, . ,G:&#$/,:2/./, µ%>3".' /67 2V67' #,& C6&, . /,:2/./, "/6 /?96' /3) CG;/3) 15 9%C/;)U
4. M #9>". /.' #,µC29.' 2V67' )%G62 %>),& J%/&#$ $ ,G)./&#$U
4
5. 8G%>/% /. ":?". µ%/,E2 /67 P7-µ62 µ%>3".' /67 C6"62 /67 )%G62 µ?", "/. 5%E,µ%)$#,& /67 P7-µ62 µ%>3".' /67 2V67' /67 )%G62. N>),& AG,µµ&#$ $ F:& . ":?". ,7/$U
&'#% :
1. I6 ,G:&#F "7)69&#F C6"F )%G62 "/. 5%E,µ%)$ 5>5%/,& ,CF /.) CG;/. %E>"3". A&, /6),G:&#F :GF)6 t = 0, 5.9,5$ 120000 9>/G,, 5.9,5$ 120 /F)67', 5.9,5$ 120 #7Q&#*µ?/G,. I6 2V6' /.' 5%E,µ%)$' 5>5%/,& ,CF /.) 5%2/%G. %E>"3". A&, /6) ,G:&#F :GF)6t = 0, 5.9,5$ 10µ. S!G, 6& 5&,"/*"%&' /.' 5%E,µ%)$' %>),& 3.46 + 3.46 + 10 µ. 4"7)69&#F' :GF)6' %#G6$' %>),& ,7/F' C67 ,)/&"/6&:%> "% fe(t) = fh(t) = 0, 5.9,5$t = 20 min.
2. WG%&*@6µ,& /.) /,:2/./, %#G6$', *G, /.) CG;/. C,G*A3A6 /.' fe:
ve(t) =dfedt
= !600(20! t) liters/min
6CF/% "/6 t = 15 min: ve(t = 15) = !3000 liters/min. 4 µ?"6' P7-µF' %#G6$' /67)%G62 "% 9>/G, #,/* /6 CG;/6 159%C/6 %>),& :
!fe!t
=fe(15)! fe(0)
15= !7500 liters/min
3. 4 P7-µF' µ%>3".' /67 2V67' /67 )%G62 5>5%/,& ,CF /.) C,G*A3A6 /.' 2.' %E>"3".' :
vh(t) =dfhdt
=t
20! 1 m/min
M ,G:&#$ /,:2/./, µ%>3".' /67 2V67' 5>5%/,& ,CF /.) C,G,C*)3 "/6 t = 0, 5.-9,5$ : vh(0) = !1 m/min #,& "/6 /?96' /3) CG;/3) 15 9%C/;) %>),& : vh(15) =!0.25 m/min.
4. !G)./&#$.
5. 12)6)/,' 3' CG6' t /.) vh(t) #,& ,)/&#,-&"/;)/,' "/.) ve(t) BG>"#67µ%
ve(t) = 12000vh(t)
NC6µ?)3' ),&, %>),& AG,µµ&#$ . ":?"..
!"#$%#% 6: !) . #>).". %)F' ";µ,/6' #,-6G>@%/,& ,CF /&' C,G,µ%/G&#?' %E&";"%&' :x(t) = t2 ! 1, y(t) = t3 ! t µ% t > 0. H, BG%>/% /, ".µ%>, /.' /G6:&*' "/, 6C6>, .%L,C/Fµ%). %>),& C,G*99.9. µ% /6) *E6), Ox.
5
&'#% : <G;/, 7C696A>@67µ% /.) %E>"3". /.' /G6:&*' /67 92)6)/,' 3' CG6' /.) CG;/. #,&,)/&#,-&"/;)/,' "/.) 5%2/%G. :
t ="1 + x =) y(t) = (1 + x)3/2 ! (1 + x)1/2
M C,G*99.9. %L,C/Fµ%). CG6' /6) *E6), /3) x %>),& ,7/$ A&, /.) 6C6>, . #9>". /.'"7)*G/.".' ?:%& /&µ$ 0. NC6µ?)3' 7C696A>@3 /.) #9>". /.' %L,C/Fµ%).' /.' "7)*G/.".'y:
m =dy
dx=
3
2(1 + x)1/2 ! 1
2(1 + x)!1/2
#,& /.) µ.5%)>@3 :m = 0 =) m =
3x+ 2
2(1 + x)1/2= 0
#,& BG>"#3 F/& µ.5%)>@%/,& A&, x = !2/3.
6
!"#$"%&' (%)&#* +,-.µ,/&#* 012"%&' ,"#$"%3) 4µ*5,' 2
2013-2014167#*' 89*:6' #,& +,);9.' <9%&;).'
!"#$%#% 1: =>5%/,& . #,µ?29. :
y =!2x3 ! 3x+ cos(xy)
"g(x)
@?67 g(0) = 6 #,& limz!0 [(g(z)! 6)/z] = 4. A, BC%-%> . %D>"3". /.' %E,?/6µF).' /.'#,µ?29.' #,& . #*-%/6' %?> ,7/$' "/6 ".µ%>6 x0 = 0.&'#% : GC."&µ6?6&62µ% /.) µF-656 ?,C,H;H&".' ?%?9%HµF).' "7)*C/.".' #,& ?,>C)67-µ% :
dy
dx=
#6x2 ! 6! d
dx(xy) sin(xy)
$g(x) +
!2x3 ! 3x+ cos(xy)
" dg(x)dx
=" dy
dx=
#6x2 ! 3! (x
dy
dx+ y) sin(xy)
$g(x) +
!2x3 ! 3x+ cos(xy)
" dg(x)dx
=" dy
dx|x=x0 = !3g(0) +
dg(x)
dx|x=x0
<,C,/.C62µ% @/& limz!0 [(g(z)! 6)/z] %>),& 6 6C&"µ@' /.' ?,C,H;H67 /.' "7)*C/.".'g(x) "/6 x = x0, 6?@/% dg(x)
dx |x=x0 = 4. I #9>". /.' %E,?/6µF).' "/6 ".µ%>6 x = x0 %>),& :
m =dy
dx|x=x0 = !18 + 4 = !14
#,& . %D>"3". /.' %E,?/6µF).' %7-%>,' %>),& (H&,/> y(x0) = 6):
y = !14(x! 0) + 6 = !14x+ 6
%); /.' #,-F/67 "% ,7/$ "/6 ".µ%>6 x = x0 %>),& :
y =1
14x+ 6
!"#$%#% 2: J?*C:%& /&µ$ /67 b H&, /.) 6?6>, . "7)*C/.". :
1
g(x) =
%2x3 + b, ,) x < 0cos(2x), ,) x # 0
H>)%/,& "7)%:$' "/6 x = 0; I "7)*C/.". %>),& ?,C,H3H>"&µ. "/6 x = 0; !&/&696H$"/% /.),?*)/.". ",'. K:%5&*"/% /.) g(x) µ%/,D2!5 < x < 5 :C."&µ6?6&;)/,' @?6&6 ?C@HC,µµ,HC,E&#;) LF9%/% (?:., Mathematica, Matlab, IDL, gnuplot, #,).&'#% : (&, ), %>),& "7)%:$' ,7/$ . "7)*C/.". "/6 x = 0 ?CF?%& /6 @C&6 ,?@ /, ,C&"/%C*#,& ,7/@ ,?@ /, 5%D&* /67 0 ), "7µ?>?/67), ?CF?%& 5.9,5$ :
limx!0!
g(x) = limx!0+
g(x) = g(0)
@?67 g(0) = cos(0) = 1. MN:67µ% 96&?@) @/& :
limx!0!
g(x) = limx!0!
(2x3 + b) = b
#,&limx!0+
g(x) = cos(0) = 1
!C, H&, b = 1 /, 526 ?9%7C&#* @C&, "/6 x = 0 %>),& >", µ%/,D2 /67' #,& %?>".' >", µ%g(0), #,& %?6µF)3' . "7)*C/.". %>),& "7)%:$' H&, b = 1.
(&, ), %>),& ?,C,H3H>"&µ. "/6 x = 0 ?CF?%& 6& ?9%7C&#F' ?,C*H3H6& ), %>),& >"%',5.9,5$ ?CF?%& . ?,C*H3H6' :
d
dx(2x3 + b)|x=0 = 6x2|x=0 = 0
), %>),& >". µ% /.) :d
dxcos(2x)|x=0 = !2 sin(2x)|x=0 = 0
89F?67µ% 96&?@) @/& 6& 526 ?9%7C&#F' ?,C*H3H6& %>),& >"%' µ% /6 0, 6?@/% . g(x) %>),&?,C,H3H>"&µ. "/6 0.
!"#$%#% 3: !%C@"/,/6 ,)7O;)%/,& #,/,#@C7E, ?*)3 ,?@ F5,E6' µ% "/,-%C@ P7-µ@,)2O3".' 2m/sec. M4/,) BC>"#%/,& "% 2O6' 80m ?%C)* µ6/6"7#9F/, ,#C&Q;' ,?@ #*/3,?@ /6 ,%C@"/,/6 µ% /,:2/./, 17m/sec. <@"6 HC$H6C, ,7D*)%/,& . ,?@"/,"., s(t),µ%/,D2 µ6/6"7#9F/,' #,& ,%C@"/,/67 µ%/* ,?@ 4sec;
&'#% : I #,/,#@C7E6' ,?@"/,". ,%C@"/,/67 ,?@ F5,E6' %>),& y, . ,?@"/,". ?67 5&,)2-%& . µ.:,)$ %?> /67 %5*E67' %>),& x, #,& %?6µF)3' . ,?@"/,". ,%C@"/,/67-µ6/6"7#9F/,'%>),& s = (x2 + y2)1/2. GC."&µ6?6&;)/,' /.) µF-656 ?,C,H;H&".' ?%?9%HµF)3) "7),C/$-"%3) F:67µ% :
ds
dt=
1
2(x2 + y2)"1/2
#2x
dx
dt+ 2y
dy
dt
$
2
I ,?@"/,". ?67 5&,)2%& . µ6/6"7#9F/, µ%/* ,?@ 4sec ,E62 ?%C*"%& ,#C&Q;' ,?@ #*/3,?@ /6 ,%C@"/,/6, %>),& x = v$ t = 4$ 17 = 68m %); /6 2O6' /67 ,%C@"/,/67 "/, 4 ,7/*9%?/* H>)%/,& y = 80 + 4$ 2 = 88m. MN:67µ% 96&?@) :
ds
dt=
1
2(682 + 882)"1/2 [2$ 68$ 17 + 2$ 88$ 2] % 12m/sec
!C, ds/dt = 12m/sec.
!"#$%#% 4: J9&#@ ".µ%>6 µ*R,' m #&)%>/,& µ% /,:2/./, v 7?@ /.) %?>5C,". 52),µ.' F#,/* µ$#6' /67 *D6),Ox. =%>D/% @/& ,) . 52),µ. µ?6C%> ), ?,C,"/,-%> ",) /.) ?,C*H3H6µ&,' *99.' "7)*C/.".' U(x)
F (x) = !dU(x)
dx
/@/% . ?6"@/./, (1/2)mv2 + U(x) ?,C,µF)%& "/,-%C* #,/* µ$#6' /.' /C6:&*' /67 (x(t)).K7R./$"/% 526 LFµ,/, (,) S& ,)/&?C6"3?%2%& ,7/$ . ?6"@/./,; (B) <6&, %>),& . B,"&#$µ,' ?,C,56:$ ?67 65$H."% "/. "/,-%C@/./, ,7/$' /.' ?6"@/./,';&'#% : T%#&)*µ% ,?@ /6 5%2/%C6 )@µ6 /67' A%2/3),
mdv
dt= F = !dU(x)
dx. (1)
<699,?9,"&*R6)/,' #,& /, 526 µF9. /.' ND. 1 µ% /.) /,:2/./, F:67µ%
mv · dvdt
= !dx
dt· dU(x)
dx
$d
dt[(1/2)mv2] = !dU(x)
dtd
dt[(1/2)mv2 + U(x)] = 0
*C, . ?6"@/./, [(1/2)mv2 + U ] ?,C,µF)%& "/,-%C* #,& %>),& U7"&#* . 69&#$ %)FCH%&,/67 79> ".µ%>67. !),H#,>, "7)-$#. H&, ), ?,C,µF)%& . 69&#$ %)FCH%&, "/,-%C$ %>),&. 52),µ. ), ?C6FC:%/,& ,?@ /.) ?,C*H3H6 /67 57),µ> (6& 57)*µ%&' ,7/F' 9FH6)/,&‘!"#$%&%$'()*’ 57)*µ%&').
!"#$%#% 5: !) Q %>),& . /6µ$ /67 ?C;/67 /%/,C/.µ6C>67 /67 #2#967 (x ! 1)2 + y2 = 1#,& /67 #2#967 x2+ y2 = r2. !) R %>),& /6 ".µ%>6 ?67 . %7-%>, ?67 ?%C)* ,?@ /, ".µ%>,P (0, r) #,& Q "7),)/* /6) *D6), Ox. +%9%/$"/% /.) LF". /67 R @/,) r & 0+.
&'#% : !E,&C;)/,' #,/* µF9. /.' %D&";"%&' /3) 526 #2#93) #,/,9$H67µ% "/. ":F".x = r2 #,& ,)/&#,-&"/;)/,' /6 x "/.) %D>"3". x2 + y2 = r2 7?696H>R67µ% /. LF". /67
3
K:$µ, 1: *"#.". 5
Q(r2/2,&r2 ! r4/4). !) 6& "7)/%/,HµF)%' /67 R(a, 0) #,& ,) S %>),& /6 ".µ%>6 /.' /6µ$'
/.' #,-F/67 ,?@ /6) ".µ%>6 Q "/6) *D6), Ox #,& %?%&5$ /, /C>H3), RSQ #,& ROP %>),&@µ6&, L, F:67µ%
a! r2/4&r2 !R4/4
=a
r
$a =
r3/2
r !&
r2 ! r4/4.
S6 @C&6 /67limr!0+
a = limr!0+
r3/2
r !&r2 ! r4/4
= 4
M!C, /6 R L, ?9."&*R%& /6 ".µ%>6 (4, 0) @/,) . ,#/>), /67 #2#967 ?9."&*R%& /6 µ.5F).
!"#$%#% 6: (,) A, 7?696H&"-%> ?@"6 HC$H6C, /6 µ$#6' %)@' #2Q67 ,99*R%& /. "/&Hµ$?67 . ,#µ$ /67 %>),& 5cm #,& 6 @H#6' /67 ,99*R%& µ% P7-µ@ 100cm3/sec (B) A, BC%-62)@9%' 6& %7-%>%' ?67 %>),& %E,?/@µ%)%' "/.) "7)*C/.". y = x3 #,& ?%C)62) ,?@ /6 ".µ%>6(2, 4).
&'#% : (,) !?@ /6) @H#6 V = a3 L, F:67µ%
dV
dt= 3a2
da
dt.
!) (dV/dt) = !100cm3/sec #,& a = 5 /@/% (da/dt) = !(4/3)cm/sec.
(B) 4& %E,?/@µ%)%' "/.) #,µ?29. y = x3 "/6 /7:,>6 ".µ%>6 (x0, y0) L, F:67) #9>". 3x20
#,& L, ?%C&HC*E6)/,& ,?@ /. ":F". y ! x30 = (3x2
0)(x ! x0). (&, ), ?%C*"67) ,?@ /6".µ%>6 (2,4) L, ?CF?%& ), %?,9.-%267) /.) %D>"3". 4 ! x3
0 = 3x20(2 ! x0). 4& 92"%&'
/&' %D>"3".' ,7/$' L, 5;"67) H&, /6 x0 = 1, 1 ±'3 #,& 6& V./62µ%)%' %7-%>%' L, %>),&
(!1 : y = 3x!2; !2 : y = [(12+6'3)x!(20+12
'3)]; !3 : y = [(12!6
'3)x!(20!12
'3)).)
4
!"#$"%&' (%)&#* +,-.µ,/&#* 01µ*2, 3
345#*' 67*84' #,& +,)97.' :7%&9).'(3;"%&')
!"#$%#% 1: <;4 2&*2=4µ4& "5),)/9)/,& #,& "8.µ,/>?45) @A)>, (B7CD% E8. 1). 1 C),'2&*2=4µ4' %>),& 2;4 µC/=, F,=2;' #,& 4 *774' /=>, µC/=,. G, 5D474@&"-%> /4 µ$#4' /45L /45 /.' µ%@,7;/%=.' B&H7&4-$#.' D45 µD4=%> ), D%=*"%& I=-&, ,DI /. @A)>,. &'#% :
E8$µ, 1:
!DI /&' "8C"%&' 3/x = y/2 #,& L = (x+ 9)1/2 + (4 + y)1/2 J, C845µ%
L(x) = (x2 + 9)1/2 + (4 + (6/x)2)1/2 = (x2 + 9)1/2(1 +2
x)
KD474@>?4)/,' /.) ,#=I/,/. /&µ$ /45 µ$#45' L J, C845µ%dL
dx= 0 ! x = (18)1/3cm
#,&Lmax " 7m.
!"#$%#% 2: +>, L*H24' µ$#45' 14cm C8%& "5)2%-%> "/4 C), *#=4 "% #;#74 ,#/>),' 5cm#,& "/4 *774 "/4) *M4), Ox (B7CD% E8. 2). KD474@>"/% /.) /,8;/./, /45 ".µ%>45 D45B=>"#%/,& D*)A "/4 #;#74 I/,) /4 ".µ%>4 D45 #&)%>/,& D*)A "/4) *M4), Ox B=>"#%/,& "/4".µ%>4 (11cm, 0) #,& #&)%>/,& µ% /,8;/./, 1200cm/sec.
&'#% : N4 O./4;µ%)4 %>),& 4 L5-µI' µ%/,H47$' /.' @A)>,' d!/dt I/,) /4 a = 11cm. !DI/&' "8C"%&'
x2 + y2 = 52 (1)
1
E8$µ, 2:
(x# a)2 + y2 = 142 (2)D,=,@A@>?4)/,' /&' PM. (1,2) J, C845µ%
xdx
dt+ y
dy
dt= 0 (3)
(x# a)
!dx
dt# da
dt
"+ y
dy
dt= 0 (4)
3;)4)/,' /4 ";"/.µ, /A) %M&"9"%A) (1, 2, 3,4) @&, a = 11cm #,& v = da/dt = #1200cm/secB=>"#45µ% I/& x = #25/11, y = 20
$6/11, dx/dt = (146/121)v, dy/dt = (365/(242
$6))v.
Q @A)>, ! 5D474@>?%/,& ,DI /. "8C". tan ! = y/x #,&
d!
dt=
xdydt # y dx
dt
x2 + y2=
1460$6
11
!"#$%#% 3: RP), "Aµ,/>2&4 #&)%>/,& #,/* µ$#4' /45 *M4), Oy #,& . JC". /45 ("% µC/=,)/. 8=4)&#$ "/&@µ$ t ("% 2%5/%=I7%D/,) 5D474@>?%/,& ,DI /. "8C".
y(t) = t3 # 3t+ 3.
G, "8%2&*"%/% /.) #,µD;7. /.' /=48&*' /45 "Aµ,/&2>45 #,& ), 5D474@&"-%> /4 µ$#4' D45J, 2&,);"%& /, D=9/, /=>, 2%5/%=I7%D/,.&'#% : P>),& %;#474 ), 2%>M45µ% I/& /4 y! > 0 @&, t < #1 #,& t > 1 #,& y! < 0 @&,#1 < t < 1 ,=, y(0) = 3, y(1) = 1, y(3) = 21 #,& /4 O./4;µ%)4 µ$#4' J, %>),& s =(3# 1) + (21# 1) = 22cm.
!"#$%#% 4: G, ,D42%&8-%> I/& :lim
x"!/2[(1 + cos x)]secx/" = a
$e
&'#% : S*)45µ% /4) %M$' µ%/,"8.µ,/&"µI : y = cosx =! 1/y = 1/ cosx = sec x 4DI/%I/,) x % "/2 /I/% y % 0. 1DI/% C845µ% :
limx"!/2
[(1 + cos x)]secx/" = limy"0
[(1 + y)]1/"y =
#limy"0
[(1 + y)]1/y$1/"
= e1/" = a$e
2
!"#$%#% 5: RP845µ% µ&, "5)*=/.". y = f(x), . 4D4>, D,=,µ%/=4D4&%>/,& A' %M$' : x(t) =sin t #,& y(t) = aet
#2 # be$t
#2 µ% t & (#"/2, "/2). G, ,D42%>M%/% I/& :
(1# x2)d2y
dx2# x
dy
dx= 2y
&'#% : T=."&µ4D4&A)/,' /4) #,)I), ,75"&2A/$' D,=,@9@&".' C845µ% :
g(t) =dy
dx=
dy
dt
dt
dx=
a$2et
#2 # b
$2e$t
#2
cos t.
Q 2%;/%=. D,=*@A@4' A' D=4' /4 x %>),& :
d2y
dx2=
dg
dx=
dg
dt
dt
dx=
%2aet
#2 # 2be$t
#2
cos t+ sin t
a$2et
#2 + b
$2e$t
#2
cos2 t
&1
cos t=!
d2y
dx2=
2 cos t(aet#2 # be$t
#2) + sin t(a
$2et
#2 + b
$2e$t
#2)
cos3 t=!
d2y
dx2=
2y cos t(aet#2 # be$t
#2) + dy
dx sin t cos t
cos3 t
T=."&µ4D4&9)/,' /4 : cos t = (1# x2)1/2 D,>=)45µ% :
d2y
dx2=
2y(1# x2)1/2 + x(1 # x2)1/2dy/dx
(1# x2)3/2=! (1# x2)
d2y
dx2# x
dy
dx= 2y
4.%.2.
!"#$%#% 6: RP845µ% 2 "5),=/$"%&' : f(x) = x2 + 2x # 3 #,& g(x) = x2 # 9/4x + 5/4<%>M/% I/& 4& %5-%>%' D45 %>),& %U,D/Iµ%)%' /A) f(x), g(x), "/4 ".µ%>4 D45 /Cµ)4)/,& %>),&#*-%/%' µ%/,M; /45'.&'#% : S,/,=8*' B=>"#45µ% /&' #7>"%&' /A) %U,D/4µC)A) %5-%&9) /A) "5),=/$"%A) f(x), g(x).1& #7>"%&' ,)/&"/4&84;) "/. D,=*@A@4 /45', 4DI/% C845µ% :
mf =df
dx= 2x+ 2
mg =dg
dx= 2x# 9/4
!U4; /Cµ)4)/,& 4& f(x) #,& g(x), @&, ), B@A /4 #4&)I ".µ%>4 /4µ$' :
f(x) = g(x) =! 2x# 3 = #(9/4)x+ 5/4 =! x = 1
R!=, "/4 x = 1 4& 2 "5),=/$"%&' /Cµ4)/,& (#,& C8A f(1) = g(1) = 0). (&, ), %>),& #*-%/%'µ%/,M; /45' 4& %U,D/Iµ%)%' D=CD%& mf = #m$1
g . !)/&#,-&"/9)/,' /.) /&µ$ /45 x = 1D=*@µ,/& B=>"#45µ% I/& : mf = 4 #,& mg = #1/4.
3
!"#$"%&' (%)&#* +,-.µ,/&#* 01µ*2, 4
345#*' 67*84' #,& +,)97.' :7%&9).'(3;"%&')
!"#$%#% 1: +<, =77%&>. µ% µ%?*74 .µ&*@4), 5m #,& µ&#AB 3m =8%& #=)/A4 /.) ,A8$ /C),@B)C). D, 5E474?&"-4;) /, ,#AB/,/, "/.) ,EB"/,". /C) ".µ%<C) /.' =77%&>.' ,EB /.),A8$ /C) ,@B)C) ,),75/&#* #,& ), %E,7.-%5-%< B/& %<),& <", µ% /45' 2;4 .µ&*@4)%' /.'=77%&>.'.&'#% : F ,EB"/,". /C) ".µ%<C) /.' E%A&µ=/A45 /.' =77%&>.' ,EB /4 #=)/A4 /.' (0, 0) G,%<),&
D2 = x2 + y2(x) (1)BE45 /4 y(x) G, 4A<H%/,& ,EB /. "8=".
9x2 + 25(y(x))2 = 225 (2)
(&, ), 5E474?<"45µ% /, ,#AB/,/, "/.) ,EB"/,". G, =845µ%
2x+ 2yy!(x) = 0
$y!(x) = !x
y
#,& ,EB /.) %@<"C". 2 G, =845µ% ,) E,A,?C?<"45µ% C' EA4' x
18x+ 50yy!(x) = 0
$18x+ 50y
!!x
y
"= 0
18x! 50x = 0 " x = 0
#,& %E&"/A=I4)/,' "/.) 2 G, =845µ% y = ±3.
!) %E,),7*J45µ% /.) *"#.". 5E4-=/4)/,' B/& x(y), G, #,/,7$@45µ% "/, *77, 2;4 ".µ%<,(±5, 0). K5µE%A,"µ,/&#* 5E474?<H45µ% /45' .µ&*@4)%' (a = 3, b = 5).
1
!"#$%#% 2: +&, #.7<2, 7,2&4; ,E79)%/,& #5#7&#* µ=", "/4 /.?*)& #,& . ,#/<), /.' %<),&,)*74?. /45 t1/2, BE45 t %<),& 4 8AB)4' ,EB /. "/&?µ$ E45 . #.7<2, ="/,@% "/4 /.?*)&.D, LA%-%< 4 M5-µB' µ%/,J47$' /45 E*845' /.' #.7<2,'.&'#% : !) 5E4-="45µ% B/& r = t1/2 #,& 4 B?#4' /.' #.7<2,' G, %<),&
V = !r2T
G, =845µ%(r2T )! = 0
2rdr
dtT + r2
dT
dt= 0
*A,dT
dt= !2r!
rT = !T/t
!"#$%#% 3: D, µ%7%/.-4;) ,),75/&#* #,& "/. "5)=8%&, ), "8%2&,"/4;) 4& #,µE;7%' (,)y = 5x2/3 ! 2x5/3, (L) y = x3ex
&'#% : (,) !EB /. "8=". y = 5x2/3!2x5/3 G, =845µ% y! = 103 x
"1/3! 103 x
2/3 = 103 x
"1/3(1!x).N!A, y! > 0 ?&, (0, 1) #,& y! < 0 ?&, /&' E%A&48=' (!#, 0) #,& (1,#)
K8$µ, 1:
y!! = !109 x
"4/3 ! 209 x
"1/3 = !209 x
"4/3(x + 1/2). F 2%;/%A. E,A*?C?4' y!! > 0 ?&,(!#,!1/2) #,& y!! < 0 ?&, (!1/2, 0) #,& (0,#).+% L*". /, E,A,E*)C 5E474?<H45µ% B/& /, ".µ,)/&#* ".µ%<, G, %<),&(0, 0) /4E&#B %7*8&"/4(1, 3) /4E&#B µ=?&"/4(!1/2, 3 3
$2) ".µ%<4 #,µE$'
K/4 ".µ%<4 x = 0 . "5)*A/.".lim y!x#0+ = #
2
lim y!x#0! = !#*A, "/4 ".µ%<4 (0, 0) 5E*A8%& ,"5)=8%&, (¨,#<2,¨)F #,µE;7. /=µ)%& /4) *@4), Oy "/, ".µ%<, x = 0 #,& x = 5/2. (67=E% K8. 2)
(L)
1. :%2<4 4A&"µ4; /.' "5)*A/.".' %<),& /4 2&*"/.µ, !# < x < +#.
2. K5µµ%/A<, #,& E%A&42&#B/./, 2%) =845µ%.
3. O4 µ4),2&#B ".µ%<4 /4µ$' µ% /45' *@4)%' %<),& . ,A8$ /C) ,@B)C) O(0, 0).
4. P,/,#BA5I. ,";µE/C/. 2%) 5E*A8%&. Q@%/*H45µ% /9A, /4
limx#+$
f(x)
x= lim
x#+$x2e2 = +#
*A, 2%) 5E*A8%& E7*?&, ,";µE/C/. /.' #,µE;7.' EA4' /, 2%@&*.
limx#"$
f(x)
x= lim
x#"$x2ex = (# · 0) = lim
x#"$
x3
e"x=
###
$=
= limx#"$
3x2
!e"x=
###
$= lim
x#"$
6x
e"x=
###
$= lim
x#"$
6
!e"x= 0
*A, 2%) 5E*A8%& E7*?&, 4;/% EA4' /, ,A&"/%A*, ,I4; a = 0. !77*
limx#"$
y = limx#"$
x3ex = (# · 0) = limx#"$
x3
e"x=
###
$= lim
x#"$
3x2
!e"x=
###
$=
= limx#"$
6x
e"x=
###
$= lim
x#"$
6
!e"x= 0 "
" . y = 0 %<),& 4A&HB)/&, ,";µE/C/. EA4' /, ,A&"/%A* #,& µ*7&"/, . #,µE;7. /.)E7."&*H%& ,"5µE/C/&#* EA4' /, ,A&"/%A* #,& ,EB #*/C.
QE%&2$ lim yx#+$ = lim x3exx#+$ = +# " 2%) 5E*A8%& 4A&HB)/&, ,";µE/C/. EA4'/, 2%@&*.
5. 6A<"#45µ% /.) EA9/. E,A*?C?4
y! = 3x2ex + x3ex = x2(3 + x)ex
y! = 0 " x = 0 " #,& x = !3. F "5)*A/.". %<),& R-<)45", "/4 2&*"/.µ,(!#,!3) #,& ,;@45", "/, 2&,"/$µ,/, (!3, 0) #,& (0,+#).
3
QE4µ=)C' ?&, x = !3 =845µ% %7*8&"/4 #,& µ*7&"/,
ymin = !27
e3
%)9 ?&, x = 0 2%) =845µ% *#A, /&µ$.
6. 6A<"#45µ% /. 2%;/%A. E,A*?C?4
y!! = (6x+ 3x2)ex + (3x2 + x3)ex = ex · x(x2 + 6x+ 6)
y!! = 0 " x1 = 0 #,& x2,3 = !3±$3
N!A, . #,µE;7. "/A=I%& /, #4<7, EA4' /, #*/C "/, 2&,"/$µ,/, (!#,!3!$3) #,&
(!3+$3, 0), %)9 "/A=I%& /, #4<7, EA4' /, E*)C "/, 2&,"/$µ,/, (!3!
$3,!3+
$3)
#,& (0,+#).QE4µ=)C' /, ".µ%<, x = !3!
$3, x = !3 +
$3 #,& x = 0 %<),& ".µ%<, #,µE$'.
K8$µ, 2:
!"#$%#% 4: D, µ%/,"8.µ,/<"%/% "% P,A/%"&,)<%' "5)/%/,?µ=)%' /&' #*/C-&, #,& %Aµ.)%;-"/% /& ,)/&EA4"CE%;%& #*-% µ&, :
1. r = 1! cos(")
2. r3 = 4r2 sin(")
3. r = csc(")er cos(!)
&'#% :
1. SA."&µ4E4&4;µ% /4) µ%/,"8.µ,/&"µB ,EB E47&#=' "% P,A/%"&,)=' "5)/%/,?µ=)%',2.7,2$ x = r cos("), y = r sin("):
%x2 + y2 = 1! x%
x2 + y2=
%x2 + y2 ! x%x2 + y2
="
4
(%
x2 + y2)2 =%
x2 + y2 ! x ="
(x2 + y2 ! x)2 = x2 + y2 =" x4 + y4 + 2x2y2 ! 2x3 ! 2xy2 ! y2 = 0
F #,µE;7. ,5/$ %<),& . P,A2&4%&2$'.
2. NQ845µ% :r3 = 4r2 sin(") =" r2 = 4r sin(") ="
x2 + y2 = 4y =" x2 + y2 ! 4y + 4 = 4 =" x2 + (y ! 2)2 = 22
N!A, %<),& #;#74' ,#/<),' 2 #,& #=)/A45 (0,2).
3. NQ845µ% :
r = csc(")er cos(!) =" r
csc(")= er cos(!) =" r sin(") = er cos(!) =" y = ex
F %#-%/&#$ "5)*A/."..
!"#$%#% 5: TE474?<"/% /&' 2&,"/*"%&' (;>45' h #,& ,#/<),' r) #57&)2A 248%<45 ,-745µ&)<45 8CA./&#B/./,' 2500cm3 9"/% ), %7,8&"/4E4&$"%/% /4 #B"/4' µ&,' #,& /, ,E4-#Bµµ,/, ,745µ4;)&4 2%) @,),8A."&µ4E4&4;)/,&. U%CA$"/% @%8CA&"/* #4µµ*/&, ?&, /4E7%5A&#B /4<8Cµ, #,& ?&, /&' 2 L*"%&', ,#/<),' r (4& L*"%&' G, #4E4;) ,EB /%/A*?C),R;77, ,745µ&)<45). 6A%</% E4&, . "5)47&#$ E4"B/./, (%7,8<"/45 #B"/45') ,745µ&)<45E45 G, 8A%&,"/%< ?&, /.) #,/,"#%5$.&'#% :
O, E7%5A&#* #57&)2A&#* /4&89µ,/, µE4A4;) ), #4E4;) 8CA<' ,E97%&%' #,& G, =845)%E&I*)%&, 2!rh, %)9 /, #5#7&#* ,EB /%/A*?C), R;77, %E&I*)%&,' /4 #*-% =), : (2r)2
N!A, . "5)47&#$ %E&I*)%&, ,745µ&)<45 E45 8A%&,HBµ,"/% ,A8&#*, #,& E45 G=745µ% ),%7,8&"/4E4&$"45µ%, %<),& :
A = 2!rh+ 8r2
SA%&,HBµ,"/% ), ,E,7%<>45µ% /4) *?)C"/4 h. O4 EABJ7.µ, µ,' 2<2%& /4) B?#4 :
V = 2500 =" !r2h = 2500
4EB/% h = 2500/(!r2). N!A,A =
5000
r+ 8r2 (1)
:,A,?C?<H45µ% #,& µ.2%)<H45µ% ?&, ), LA4;µ% #A<"&µ, ".µ%<, :
dA
dr= !5000
r2+ 16r = 0 =" r3 = 312.5 =" r = 6.79 .
5
QE4µ=)C' /4 r = 6.79 %<),& #A<"&µ4 ".µ%<4 #,& ,I4; . 2%;/%A. E,A*?C?4' /45 A %<),&G%/&#$ (d2A/dx2 = 16 + 10000/r3 > 0) "% B74 /4 E%2<4 4A&"µ4;, ".µ,<)%& B/& "/4 r = 6.79=845µ% 47&#B %7*8&"/4 #,& %E4µ=)C' . ,)/<"/4&8. %7*8&"/. E4"B/./, ,745µ&)<45 E45 G,8A%&,"/4;µ% LA<"#%/,& ,EB /.) (1) #,& %<),& : A % 1106.
F *77. 2&*"/,". /45 #57<)2A45 (;>4') ?&, /.) 4E4<, =845µ% /4 %7*8&"/4 #B"/4' #,-/,"#%5$' LA<"#%/,& ,EB /.) : h = 2500/(!r2) = 17.28.
!"#$%#% 6: :,A,?C?<"/% /&' E,A,#*/C :
1. y = (4x2 ! 1) ln(2x)csch(ln(2x))
2. y = ln(x) +$1! 4x2sech"1(2x)
3. y = csch"14x
&'#% :
1. Q@ 4A&"µ4; =845µ% B/& :
csch(ln(2x)) =2
eln(2x) ! e" ln(2x)=
2x
4x2 ! 1="
dy
dx=
d
dx(4x2 ! 1) ln(2x)
4x
4x2 ! 1=
d
dx[2x ln(2x)] = 4(1 + ln(2x))
2. NQ845µ% B/& :
dy
dx=
d ln(x)
dx+ sech"1(2x)
d$1! 4x2
dx+$1! 4x2
dsech"1(2x)
dx="
dy
dx=
1
x+ sech"1(2x)
!4x$1! 4x2
+$1! 4x2
!2
2x$1! 4x2
="
dy
dx= !4
sech"1(2x)$1! 4x2
.
3. NQ845µ% B/& :dy
dx=
dcsch"14x
dx=
d(4x)/dx
!4x$1 + 42x
= ! ln 4$1 + 16x
6
!"#$"%&' (%)&#* +,-.µ,/&#* 01µ*2, 5(34"%&')
567#*' 83*96' #,& +,):3.' ;3%&:).'
!"#$%#% 1: <, 7=636>&"/64) /, ?@&,
•lim
!! 3
4n+
n2 ! n
n2 + n+ 1
!!1
3
"n"
•lim
!2n + (!5)n!1
7n+1 + (!1)n
"
• A%B@64µ% /.) ,#6367-C, (an), =67 6@CD%/,& ,=? /.) ,),2@6µ&#$ "9E". an+1 =!1
3an + 2 #,& /.) ,@9&#$ "7)-$#. a1 = 1. <, F@%-%C /6 ?@&? /.'.
&'#% : (i)lim
#! 3
4n+
n2 ! n
n2 + n+ 1
!!1
3
"n$=
= ! lim
!3
4n
"+
!lim
1! 1n
1 + 1n + 1
nn
"!lim
!!1
3
"n"
= !0 +1! 0
1 + 0 + 0· 0 = 0
(ii) G&,&@64µ% µ% ,@&-µ./$ #,& =,@6)6µ,"/$ µ% /. 24),µ. µ% /. µ%>,34/%@. F*".. HI-967µ% :
lim
!2n + (!5)n!1
7n+1 + (!1)n
"= lim
%&27
'n ! 15
&!5
7
'n
7 +&!1
7
'n
(
=lim
&!2
7
'n ! 15 lim
&!5
7
'n
7 + lim(!1/7)n=
0! 0
7 + 0= 0
1
(iii ) AE/67µ% "/6 n 2&,269&#* /&' /&µE' 1, 2, 3..., n #,& =,C@)67µ% /&' %=?µ%)%' "9E"%&' :)*******+
*******,
a2 = !13a1 + 2
a3 = !13a2 + 2...
an!1 = !13an!2 + 2
an = !13an!1 + 2
an+1 = !13an + 2
;633,=3,"&*D67µ% /.) =@6/%3%7/,C, "9E". µ% !13 , /.) ,µE"B' =@6.>64µ%). µ% (!1
3)2,
/.) =@6.>64µ%). ,=? ,7/$) µ% (!13)
3 #/3, >&, ), #,/,3$J67µ% "/. 2%4/%@. "9E". =67K, /.) =633,=3,"&*"67µ% µ% (!1
3)n!2 #,& /.) =@:/. µ% (!1
3)n!1. (1 #,)?),' %C),& : 6
%#-E/.' /67 !13 "7) /6) 2%C#/. /67 ?@67 "/6 2%JC µE36' /.' ,)/C"/6&9.' "9E".' ), &"64/,&
µ% n).
;,C@)67µ% E/"& /&' "9E"%&' :
)********+
********,
&!1
3
'n!1a2 =
&!1
3
'na1 + 2 ·
&!1
3
'n!1
&!1
3
'n!2a3 =
&!1
3
'n!1a2 + 2 ·
&!1
3
'n!2
...&!1
3
'2an!1 =
&!1
3
'3an!2 + 2 ·
&!1
3
'2
!13an =
&!1
3
'2an!1 + 2 ·
&!1
3
'
an+1 = !13an + 2
;@6"-E/6)/,' #,/* µE3. #,& 2&,>@*L6)/,' /67' #6&)64' ?@67', =,C@)67µ%
an+1 =
!!1
3
"n
a1 + 2 + 2
!!1
3
"+ 2
!!1
3
"2
+ ...+ 2
!!1
3
"n!2
+ 2
!!1
3
"n!1
=
=
!!1
3
"n
+2
%
1! 1
3+
!!1
3
"2
+ ... +
!!1
3
"n!2
+
!!1
3
"n!1(
=
!!1
3
"n
+2·1!
&!1
3
'n
1!&!1
3
'
AE/6)/,' n! 1 ,)/C n, =,C@)67µ% an =&!1
3
'n!1+ 2 · 1!(! 1
3)n!1
1!(! 13)
=&!1
3
'n!1+
1!(! 13)
n!1
3 .
I=6µE)B', lim an = lim&!1
3
'n!1+
1!lim(! 13)
n!1
3 = 13 (%=%&2$ lim
&!1
3
'n!1= 0).
!"#$%#% 2: GC)%/,& . ,#6367-C, (an) . 6=6C, 6@CD%/,& ,=? /&' "9E"%&' : a1 = a, a2 = b #,&2an+2 = an + an+1. <, F@%-%C /6 ?@&6 lim an.
&'#% : HI967µ% 2an+2 = an+an+1 " 2an+2!an+1 = an " 2an+2!2an+1 = an!an+1. !)KE"67µ% !n = an+1 ! an, K, =*@67µ% 2!n+1 = !!n " !n+1 = !1
2!n. M (!n) %C),& 36&=?)>%Bµ%/@&#$ =@?626' µ% 3?>6 !1
2 #,& =@:/6 ?@6 !1 = " ! a. 1 >%)&#?' /4=6' /.' %C),&!n =
&!1
2
'n!1(" ! a).
!#?µ.,an = (an ! an!1) + (an!1 ! an!2) + ...+ (a2 ! a1) + a1 = !n!1 + !n!2 + ...+ !1 + a =
2
=
!!1
2
"n!2
("!a)+
!!1
2
"n!3
("!a)+ ...+
!!1
2
"("!a)+("!a)+a =
-!!1
2
"n!2
+
!!1
2
"n!3
+ ...+
!!1
2
"+ 1
.
(" ! a) + a =2
3
-
1!!!1
2
"n!1.
(" ! a) + a.
N7)%=:' lim an = 23
/1! lim
&!1
2
'n!10(" ! a) + a = 2
3(" ! a) + a = 2!+a3 .
!"#$%#% 3: <, 7=636>&"/%C /6 *-@6&"µ, /.' "%&@*'"1
n=1
!3
n(n + 1)+
1
2n
"
&'#% : M "%&@*"1
n=1
!1
2
"n
=1/2
1! 1/2= 1
I=C".'"1
n=1
1
n(n + 1)=
n1
n=1
!1
n! 1
n + 1
"= 1! 1
n + 1= 1! 0 = 1
O6 P./64µ%)6 K, %C),&"1
n=1
!3
n(n + 1)+
1
2n
"= 3 · 1 + 1 = 4
!"#$%#% 4: <, 9@."&µ6=6&$"%/% /.) µE-626 /67 <%4/B), >&, ), F@%C/% /6) ,),2@6µ&#?/4=6 /.' ,#6367-C,' =67 F,"CD%/,& "/.)
f(x) = x3 ! a a > 0 .
Q@."&µ6=6&:)/,' /.) /&µ$ %##C).".' x0 = 1 #,& a = 8 7=636>C"/% /67' 2&,269@'?@67' /.' ,#6367-C,'. N% =6&6 ,@&-µ? "7>#3C)%& . ,#6367-C,; +%/* ,=? =?"67' ?@67'"7>#3C)%& "/6) ,@&-µ? ,7/? µ% =@6"E>>&". /@C/67 2%#,2@ ;@6,&@%/&#* ?=6&6' %=&-7-µ%C ,' >@*R%& E), =@?>@,µµ, Fortran $ C++ =67 ), #*)%& /67' =,@,=*)B 7=636>&"µ64'#,& ), 2C)%& ,7/?µ,/, /.) 34". >&, 2&,L6@%/&#E' %=&36>E' /.' /&µ$' a.&'#% : M µE-626' /67 <%4/B), µ,' 3E%& ?/& %*) f(x) =,@,>B>C"&µ. µ=6@64µ% ), #,/,-"#%7*"67µ% µ&, ,#6367-C,, =,C@)6)/,' B' ".µ%C6 %##C).".' #*=6&6 x0, =67 µ=6@%C ),"7>#3C)%& "% #*=6&6 ".µ%C6 µ.2%)&"µ64 /.' f . M µE-626' ,7/$ µ,' 2C)%& /6) ,),2@6µ&#?/4=6 /.' ,#6367-C,' B' %J$' :
xn+1 = xn !f(xn)
f "(xn)
3
xn+1 = xn !x3n + 8
3x2n
=# xn+1 =1
3
!2xn +
8
x2n
"
S%#&):)/,' ,=? ".µ%C6 %##C).".' x0 = 0 #,& 7=636>CD6)/,' 2&,269&#* /67' ?@67' /.',#6367-C,' µ=6@64µ% %4#63, ), 264µ% ?/& "7>#3C)%& "/6 )64µ%@6 2 (?=B' ,),µE)%/,&,=? /.) 34". /.' f(x) = 0) #,& µ*3&"/, "9%/&#* >@$>6@,, µ%/* ,=? 5 µ% 6 ?@67' (x4-x5).
Program Newtonimplicit nonereal a(0:10),da,Constinteger nprint*,’Insert value of constant’read(*,*) Consta(0)=1.do n=1,10a(n)=(1/3)*(2*a(n-1)+Const/a(n-1)**2)da=a(n)-a(n-1) ! DiTerence between n and n-1 termif(da.eq.0) goto 33write(*,*) n-1,a(n-1),n,a(n),daenddo33 continuestopend
4
!"#$%#% 5: 8@%C/% ,) "7>#3C)67) $ ,=6#3C)67) 6& %J$' "%&@E' (µ.) 9@."&µ6=6&$"%/%#@&/$@&6 636#3.@:µ,/6'):
(a)"1
n=1
12!n!4n
(n+ 3)!, (b)
"1
n=1
sechn , (c)"1
n=1
coshn
&'#% : M 34". µ=6@%C ), 26-%C µ% 2&,L6@%/&#* #@&/$@&,. Q@."&µ6=6&: =,@,#*/B /6#@&/$@&6 3?>67.
(a) limn#"
2222an+1
an
2222 = limn#"
(n+ 1)!(n+ 3)!4n+1
n!(n + 4)!4n= lim
n#"
4(n+ 1)
n+ 4= 4 lim
n#"
1 + 1/n
1 + 4/n= 4
!L64 /6 ?@&6 ,7/? %C),& > 1 ".µ,C)%& ?/& . "%&@* 2%) "7>#3C)%&.
(b) limn#"
2222an+1
an
2222 = limn#"
en + e!n
en+1 + e!(n+1)= lim
n#"
(e2n + 1)/en
(e2(n+1) + 1)/e(n+1)= lim
n#"
(e2n + 1)e(n+1)
(e2(n+1) + 1)en=
e limn#"
1 + 1/e2n
e2 + 1/e2n= e/e2 = 1/e < 1
H!@, "7>#3C)%&.(c) !#6367-:)/,' /.) C2&, 2&,2&#,"C, µ% =,@,=*)B E967µ% ?/&
limn#"
2222an+1
an
2222 = limn#"
en+1 + e!(n+1)
en + e!n= e > 1
H!@, ,=6#3C)%&.
!"#$%#% 6: Q@."&µ6=6&$"/% /. µE-626 Picard >&, ), 34"%/% /&' %J&":"%&' :$x = x and x2 = x
(&,/C "/.) =@:/. =%@C=/B". F@C"#67µ% µ?)6 µC, ,=? /&' 2 34"%&' (/.) x = 1), #,& "/.)2%4/%@. =%@C=/B". F@C"#67µ% µ?)6 /.) 34". x = 0. U/&*J/% #,& µ%3%/$"/% /, 2&,>@*µ-µ,/, /B) "9%/&#:) "7),@/$"%B).&'#% : N/.) =@:/. =%@C=/B". E967µ% ?/& . g(x) =
$x, %=6µE)B' %*) =*@67µ% B' x0 =
0.5 #,& %L,@µ?"67µ% #,/EJ,#6364-.". /.) g(x), =,C@)67µ% x1 = g(x0) =$0.5, x2 =
g(x1) =3$
0.5, #3=. !=? /6 >@*L.µ, /.' "7)*@/.".' g(x) ,33* #,& ,=? /.) y = x (=67%C),& . "7)*@/.". µE"B /.' 6=6C,' %=&3E>67µ% /&' 2&,269&#E' /&µE' /67 x) F3E=67µ% ?/&. 2&,2&#,"C, ,7/$ µ,' 62.>%C "/. /&µ$ x = 1 (2%) µ=6@64µ% ), F@64µ% 2.3,2$ /.) *33.34"., /.) x = 0).
!)/C"/6&9, ,) =*@67µ% /.) %JC"B". x2 = x, 2.3,2$ /.) g(x) = x2 (=,9&* µ=3% #,µ=4-3.), /?/% F3E=67µ% ?/& . µE-626' ,7/$ K, µ,' 62.>$"%& "/.) 34". x = 0 (2%) K, F@64µ%2.3,2$ /.) *33. 34"., 2.3,2$ /.) x = 1).
5
N9$µ, 1:
6
!"#$"%&' (%)&#* +,-.µ,/&#* 01µ*2, 6(34"%&')
567#*' 83*96' #,& +,):3.' ;3%&:).'
!"#$%#% 1: (,) <, =>6"%??&"-%@ . /&µ$ /67 e µ% ,#>@A%&, 0.001. (B) <, =>6"%??&"-%@ 6ln 2 µ% ,#>@A%&, 0.1.
&'#% : !) C%#&)$"67µ% ,=D /. "7)*>/.". f(x) = ex #,& ?&, f(1) = e ?&, ), 7=636?@"67µ%=>6"%??&"/&#* /6 e µ% ,#>@A%&, 0.001 E, =>F=%&
Rn(1) =
!!!!fn+1(!)
(n + 1)!1(n+1)
!!!! ! 0.001
D=67 0 < ! < 1. GHD"6) /6 fn+1(!) = e! #,& e < 3 E, F967µ%
e! < e1 < 3,
/D/%Rn(1) =
!!!!3
(n+ 1)!
!!!! ! 0.001
,) n " 6,
e = 1 + 1 +1
2!+
1
3!+
1
4!+
1
5!+
1
6!# 2.71805556.
(B) I1µ6&, ,=D /. "7)*>/.". f(x) = ln(1 + x) E, F967µ% ?&, /6 7=D36&=6
Rn(1) =
!!!!fn+1(!)
(n+ 1)!
!!!! =!!!!($1)nn!
(1 + !)n+1
1
(n+ 1)!
!!!! =!!!!
($1)n
(1 + !)n+1(n+ 1)
!!!!
%=%&2$ /6 ! > 0 E, F967µ% Rn(1) <!! 1n+1
!! #,& ?&, ), %@),& /6 Rn(1) < 0.1 E, =>F=%& /6n > 9
f(1) = 1$ 1
2+
1
3$ 1
4+
1
5$ 1
6+
1
7$ 1
8+
1
9# 0.7456349209
!"#$%#% 2: (,) J>."&µ6=6&$"/% /. "%&>* MacLaurin
1
1$ x= 1 + x+ x2 + x3 + .....
1
D=67 x < 1, ?&, ), 7=636?@"%/% /. K./$ "7)*>/.". f(x) = r(x)p(x) =67 µ=6>%@ ), ,),37-%@
"/. "%&>*!"
k=1
kxk+1.
(B) L=636?@"/% /6 *->6&"µ,!"
k=1
k
2k+1.
&'#% : (,) M, C%#&)$"67µ% ,=D /. "%&>*!"
k=1
kxk+1 = x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 + ....
$!"
k=1
kxk+1 = x2(1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + ....)
/6 *->6&"µ, "/. =,>F)-%".
d
dx
#1
x$ 1
$=
d
dx(1 + x+ x2 + x3 + x4 + ...)
d
dx
#1
x$ 1
$= 1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + .....
N7µ=%>,@)67µ% 36&=D) D/&!"
k=1
kxk+1 = x2(1 + 2x+ 3x2 + 4x3 + ....) = x2 d
dx
#1
x$ 1
$=
x2
(1$ x)2
(B) (&, x = 1/2 . =,>,=*)O "9F". E, 2:"%&!"
k=1
k
2k+1=
!"
k=1
k
#1
2
$k+1
=
%12
&2
(1$ 12)
2= 1.
!"#$%#% 3: !),=/4C/% /. "7)*>/.". f(x) = sin(3x2) "% "%&>* MacLaurin #,& µ% /.B6$-%&, /.' "%&>*' ,7/$' 7=636?@"/% /.) =,>*?O?6 f (39)(0).
&'#% : !=D /6 ,)*=/7?µ,
sin x = x$ x3
3!+
x5
5!$ x7
7!+ ....
2
,) ,)/&#,/,"/$"67µ% x % 3x2 E, F967µ%
sin(3x2) = 3x2 $ 33x6
3!+
35x10
5!$ 37x14
7!+ ....
6 "7)/%3%"/$' /67 D>67 x39 E, %@),&f 39(0)
39!=,>,/.>64µ% DµO' D/& . "%&>* =%>&F9%& µD)6 *>/&%' 27)*µ%&' /67 x #,& 6 "7)/%3%"/$' /.'x39 E, %@),& µ.2F) (f 39(0) = 0).
!"#$%#% 4: 8>%@/% /&' "%&>F' MacLaurin /O) =,>,#*/O "7),>/$"%O) :(,) f(x) = x5 + 3x4 + 5x2 + 6x+ 2(B) f(x) = cosh x sinh x
!"#$ :(,) P%#&)*µ% µ% /6 ), =,>,?O?@"67µ% #,/FC,#6364-.". /.) "7)*>/.". µ,', #,& ), %#/&-µ$"67µ% /&' =,>,?:?67' "/6 x = 0. G=6µF)O' : f(0) = 2, f "(0) = 5x4+12x3+10x+6 = 6,f
!!(0) = 20x3 + 36x2 + 10 = 10, f
!!!(0) = 60x2 + 72x = 0, f !!!!
(0) = 120x + 72 = 72,f
!!!!!(0) = 120 . 1 ?%)&#D' /4=6' /O) "%&>:) MacLaurin %@),& :
k=5"
k=0
f (k)(0)
k!xk = f(0) + f
!(0)x+
f!!(0)
2!x2 +
f!!!(0)
3!x3 +
f!!!!(0)
4!x4 +
f!!!!!(0)
5!x5
G=6µF)O'2 + 6x+
10
2x2 +
72
24x4 +
120
120x5 = 2 + 6x+ 5x2 + 3x4 + x5
I!>, . "%&>* MacLaurin /.' "7)*>/.".' f(x) %@),& 6 %,7/D' /.'.(B) M, 9>."&µ6=6&$"67µ% /.) %#-%/&#$ µ6>H$ /O) 7=%>A63&#:) "7),>/$"%O) :
cosh x =ex + e#x
2and sinh x =
ex $ e#x
2
!=D /6 ,)*=/7?µ, MacLaurin /.' %#-%/&#$' "7)*>/.".' F967µ% :
e2x = 1 + (2x) +(2x)2
2!+ ...+
(2x)n
n!
e#2x = 1 + ($2x) +($2x)2
2!+ ...+
($2x)n
n!I!>,
e2x $ e#2x = 0 + 2(2x) + 223x3
3!+ ...+ 2
22n+1x2n+1
(2n+ 1)!=
!"
n=0
22n+2x2n+1
(2n+ 1)!
3
#,& /F36' :
f(x) = cosh x sinh x =e2x $ e#2x
22=
!"
n=0
22nx2n+1
(2n+ 1)!
!"#$%#% 5: 8>%@/% /.) "%&>* MacLaurin /.' "7)*>/.".' : f(x) = ln(1 + 3xa) #,& /62&*"/.µ, "4?3&".' /.'. ;6&, . =>6"%??&"/&#$ /&µ$ /.' %*) 9>."&µ6=6&$"67µ% /67' 2=>:/67' D>67' /67 ,),=/4?µ,/6' MacLaurin ?&, x = 0.3 #,& a = 1. Q /&µ$ ,7/$ /67 x%@),& µF", "/6 2&*"/.µ, "4?#3&".'; G#/&µ$"/% #,& /6 "9%/&#D "H*3µ, /.' =>6"F??&".',7/$', 2.3,2$ /6 R2(x).
!"#$ :M, 9>."&µ6=6&$"67µ% /6 ?)O"/D ,)*=/7?µ, :
ln(1 + y) = y $ y2
2+
y3
3+ ...+ ($1)n#1y
n
n
=67 F9%& 2&*"/.µ, "4?3&".' /6 $1 < y ! 1. (&, /.) =%>@=/O". µ,' EF/6)/,' y = 3xa
=,@>)67µ%ln(1 + 3xa) = 3xa $ 32x2a
2+
33x3a
3+ ...+ ($1)n#13n
xan
n
=67 /:>, BFA,&, /6 2&*"/.µ, "4?#3&".' %@),& /6 0 ! x ! a'1/3.
MF367µ% ), 264µ% =6&D %@),& /6 "H*3µ, /.' =>6"F??&".' /.' "7)*>/.".' ,7/$' (?&,a = 1) %*) 9>."&µ6=6&."67µ% µD)6 /67' 2 =>:/67' D>67' /67 ,),=/4?µ,/6' "/6 x = 0.3.R,/,>9*' F967µ% D/& 0 < x <
'1/3 6=D/% /6 ".µ%@6 µ,' ,7/D %@),& µF", "/6 2&*"/.µ,
"4?#3&".'.1 ?%)&#D' /4=6' /.' ,=D#3&".' µ&,' =>6"F??&".' "/6) )&6"/D D>6 2@2%/,& "/.) *"#.".
1 (µ% /.) µD). 2&,H6>* =67 %2: ,)/@ ?&, x . µ%/,A3./$ µ,' %@),& 3x). N/.) =%>@=/O".µ,' F967µ% 36&=D) :
Rn(x) =
!!!!f(n+1)(c)
xn+1
(n+ 1)!
!!!! =!!!!($1)n 3n+1 n!
(1 + 3c)n+1
xn+1
(n + 1)!
!!!!
1=D/% /6 "H*3µ, /.' =>6"F??&".' "/6 ,)*=/7?µ, µF9>& #,& 26 D>6 2@2%/,& ,=D /.) :
R2(x) =
!!!!f(3)(c)
x3
3!
!!!! =54
(1 + 3c)3x3
3!
D=67 /6 c =,@>)%& /&µ$ µ%/,C4 /67 0 #,& /67 x = 0.3.
R2(0.3) =54
(1 + 3c)30.33
3!! 54& 0.33
3!= 9& 0.33 ' 0.243 .
I!>, . ,=D#3&". ,=D /.) 6>-$ /&µ$ /.' "7)*>/.".' E, %@),& #,/* µF?&"/6 0.243 µ%µ&, =>6"F??&". /O) 2 =>:/O) D>O). ;>*?µ,/& %*) 7=636?@"67µ% /.) "7)*>/.". µ,' µ%
4
/.) ,>&-µ6µ.9,)$ F967µ% : ln(1.9) = 0.64185 +% /.) 2% =>6"F??&". /O) 2 =>:/O) D>O)F967µ% : 3& 0.3$ (32 & 0.32)/2 = 0.495. I!>, . ,=D#3&". %@),& : ( 0.1468 < R2.
!"#$%#% 6: L=636?@"/% /, D>&, limx$0 f(x) /O) #*/O-& "7),>/$"%O) 9>."&µ6=6&:)/,',),=/4?µ,/, Taylor .
(a) f(x) =arctan(2x)$ sin(x)
x cosx
(b) f(x) =ln(1 + x3)$ x3
sin x2 $ x2
!"#$ :(,) !=D /, ?)O"/* ,),=/4?µ,/, Taylor /67 .µ&/D)67, "7).µ./D)67 #,& /DC6 %H,=/6µF).',=>6",>µ6"µF), "/&' µ%/,A3./F' /O) "7),>/$"%O) =67 µ,' 2@26)/,& "/6 =>DA3.µ, ,7/D,F967µ% D/& :
arctan(2x) = 2x$ (2x)3
3+
(2x)5
5$ ...
sin x = x$ x3
3!+
x5
5!$ ...
cosx = 1$ x2
2!+
x4
4!$ ...
1 ,>&-µ./$' /.' "7)*>/.".' 2@)%/,& ,=D :
arctan(2x)$ sin x = 2x$ (2x)3
3+
(2x)5
5$ ...$
#x$ x3
3!+
x5
5!$ ...
$=
x$ 5x3
2+
767x5
120$ ...
R,& /%3&#* F967µ% :
limx$0
f(x) = limx$0
x$ 5x3
2 + 767x5
120 $ ...
x$ x3
2! +x5
4! $ ...=
1$ limx$0(5x2/2) + ...
1$ limx$0(x2/2!) + ...= 1
(B) !=D /, ?)O"/* ,),=/4?µ,/, Taylor /67 36?,>@-µ67 /67 1 + x #,& /67 .µ&/D)67,=>6",>µ6"µF), "/&' µ%/,A3./F' /O) "7),>/$"%O) =67 µ,' 2@26)/,& "/6 =>DA3.µ, ,7/D,F967µ% D/& :
ln(1 + x3) = x3 $ x6
2+
x9
3$ ...
sin(x2) = x2 $ x6
3!+
x10
5!$ ...
5
G=6µF)O',
limx$0
f(x) = limx$0
ln(1 + x3)$ x3
sin x2 $ x2= lim
x$0
$x6
2 + x9
3 $ ...
$x6
3! +x10
5! $ ...=
limx$0
$12 +
x3
3 $ ...
$ 13! +
x4
5! $ ...=
1/2 + limx$0(x9/3)$ ...
1/6 + limx$0(x4/5!)$ ...= 3
6
!"#$"%&' (%)&#* +,-.µ,/&#* 01µ*2, 7(34"%&')
567#*' 83*96' #,& +,):3.' ;3%&:).'
!"#$%#% 1: <, 7=636>&"-64) /, 636#3.?:µ,/,
1.!sin(lnx) dx
2.!
xcos2 x dx
&'#% :
1. I =
"sin(ln x) dx =
"(x)! sin(ln x) dx = x sin(lnx)!
"x(sin(ln x))! dx =
x sin(ln x)!"
cos(ln x) dx = x sin(ln x)!"
(x)! cos(ln x) dx =
x sin(ln x)! x cos(ln x)! I " I =1
2[x sin(ln x)! x cos(ln x)] + c.
2."
x
cos2 xdx =
"x(tan x)! dx = x tanx!
"tanx dx = x tanx!
"sin x
cosxdx =
x tanx+
"(cosx)!
cosxdx = x tanx+ ln | cosx| + c.
!"#$%#% 2: @=636>A"%/% /6 636#3$?Bµ,
1. I1 =!sinh3 x cosh5 xdx
2. I2 =!sec3xdx
&'#% :
1.I1 = I =
"sinh3 x sinh5 xdx,
1
CD/67µ% t = sinh x, 6=E/% dt = cosh xdx #,& cosh2 x = sinh2 x+ 1 = t2 + 1 "7)%=:'
I1 = I =
"t3(t2 + 1)2dt = (1/8) sinh8 x+ (1/3) sinh6 x+ (1/4) sinh4 x+ c
2. I2 =!sec3 xdx =
!sec x sec2 xdx =
!sec xd(tan x)
I = sec x tanx!!secx tan2 xdx = sec x tan x!
!sec x(sec2 x! 1)dx
I = sec x tanx!!sec3 xdx+
!sec xdx
2I2 = sec x tan x+
"sec xdx,
%=%&2$ /6"
sec xdx = ln | sec x+ tanx| + c (,=62%AF/% ,7/$ /. "9D".)6=E/% I2 = (1/2)(sec x tanx+ ln | sec x+ tan x|) + C
!"#$%#% 3: <, 7=636>A"%/% /, 636#3.?:µ,/,
1. I1 =
"1
3 sin x! 4 cosxdx
2. I2 =
"1! 3x+ 2x2 ! x3
x(x2 + 1)2dx
3. I3 =
"x2 + 2x! 1
2x3 + 3x2 ! 2xdx
&'#% :
1.I1 =
"1
3 sin x! 4 cosxdx
,) ,),#/$"67µ% /6 t = tan(x/2) /E/%
sin x =2t
1 + t2cosx =
1! t2
1 + t2
#,&dt =
2
1 + t2
C, D967µ%I1 =
"dt
(2t! 1)(t+ 2)=
1
5ln
####2 tan(x/2)
tan(x/2) + 2
#### + c
2
2. "1! 3x+ 2x2 ! x3
x(x2 ! 1)2dx
I2 =1! 3x+ 2x2 ! x3
x(x2 ! 1)2=
A
x+
Bx+ C
x2 + 1+
Dx+ E
(x2 + 1)2
µ%/* /&' =?*F%&' 7=636>AG67µ% /&' "/,-%?D' A = 1, B = !1, C = !1, D = 1 #,&E = !2. *?,
I2 =
"1! 3x+ 2x2 ! x3
x(x2 ! 1)2dx = ln
|x|#x2 + 1
! 2 arctanx! 2x+ 1
2(x2 + 1)+ c
3.I3 =
"x2 + 2x! 1
2x3 + 3x2 ! 2xdx =
"x2 + 2x! 1
x(2x! 1)(x+ 2)dx
" $1
2
$1
x
%+
1
5
$1
2x! 1
%! 1
10
$1
x+ 2
%%dx =
1
2ln |x|+ 1
10ln
####2x! 1
x+ 2
####+ c
!"#$%#% 4: @=636>A"/% /6 6?&"µD)6 636#3$?Bµ, : A =
" !/6
0
(1! sin 3t)2 cos 3tdt
&'#% : H%#&)*µ% µ% /.) ,33,>$ µ%/,I3./$' : u = sin 3t =" du = 3 cos 3tdt. J=6µD)B'/, E?&, /67 636#3.?:µ,/6' >A)6)/,& /:?, : t = 0 $ u = 0 t = !/6 $ u = 1, #,& /6636#3$?Bµ, =,A?)%& /.) µ6?K$ :
A =1
3
" 1
0
(1! u)2du
L:?, #*)67µ% /.) %F$' ,33,>$ µ?/,I3./:) : k = 1 ! u =" dk = !du, #,& /, E?&,>A)6)/,& : u = 0 $ k = 1 u = 1 $ k = 0, #,& =,A?)B /6 636#3$?Bµ, "/. µ6?K$ :
A = !1
3
" 0
1
k2dk =1
3
" 1
0
k2dk ="
A =1
3
k3
3|10 =
1
9
!"#$%#% 5: 8?%A/% /&' =,?,>:>67' /B) :
1. y =
" 0
tanx
dt/(1 + t2)
3
2. y =
" lnx
1
3ex sin xdx
&'#% :
1. MD/B u = tanx =" du = sec2 xdx. N?."&µ6=6&: /6) #,)E), ,37"&2B/$' =,?,>:->.".' #,& D9B :
dy
dx=
dy
du
du
dx=
d
du
$" 0
u
dt
1 + t2
%du
dx=
dy
dx= ! d
du
$" u
0
dt
1 + t2
%du
dx= ! 1
1 + u2sec2 x = ! 1
1 + tan2 xsec2 x = !sec2 x
sec2 x= !1
2. MD/B u = ln x $ du = dx/x #,& 9?."&µ6=6&: /6) #,)E), ,37"&2B/$' =,?,>:>.-".' :
dy
dx=
dy
du
du
dx=
d
du
$" u
1
3ex sin xdx
%du
dx=
(3eu sin u)du
dx=
3elnx sin(lnx)
x=
3x sin(lnx)
x= 3 sin(ln x)
!"#$%#% 6: (,) <, O?%-%A /6 %µI,2E /67 9B?A67 =67 =%?%A%/,& µ%/,F4 /B) #,µ=43B)y1 = x2 ! 4 #,& y2 = !x2 ! 2x "/6 #3%&"/E 2&*"/.µ, [!3, 1]. P/&*F/% /6 "9%/&#E "9$µ,=?:/,.
&'#% :8?A"#67µ% #,/,?9*' /, ".µ%A, /6µ$' /B) 246 "7),?/$"%B) µ% /6 ), CD"67µ% y1 = y2
2.3,2$ :x2 ! 4 = !x2 ! 2x =" x4 ! x+ 2 = 0 =" (x! 1)(x+ 2) = 0
Q!?, 6& RAG%' /.', #,& %=6µD)B' /, ".µ%A, /6µ$' /B) 2 "7),?/$"%B), %A),& /, x = !2 #,&x = 1 (E=B' %A),& S,)%?E #,& ,=E /6 "9%/&#E "9$µ,). 83D=67µ% E/& /6 D), ".µ%A6 /6µ$'(x = 1) "7µ=A=/%& µ% /6 *)B E?&6 636#3$?B".', %): /6 *336 ".µ%A6 /6µ$' %A),& %"B/%?&#E/67 2&,"/$µ,/6' 636#3$?B".', >%>6)E' =67 ".µ,A)%& E/& 6& 246 "7),?/$"%&' ,33*G67)S6?* µ&* S6?* µD", "/6 2&*"/.µ, 636#3$?B".'. T.3,2$ =,?,/.?64µ% E/& y1 % y2 "/6[!3,!2] #,& y2 % y1 "/6 [!2, 1].
Q!?, >&, ), 7=636>A"B /6 %µI,2E /67 9B?A67 µ%/,F4 /B) 246 #,µ=43B) 9B?AGB /62&*"/.µ, 636#3$?B".' "% 2 µD?. ([!3,!2] #,& [!2, 1]), 7=636>AGB /, %µI,2* "% #*-% D),,=E ,7/* #,& ,-?6AGB "/6 /D36'.
QJ967µ% 36&=E) "/6 [!3,!2] E/& y1 ! y2 = x2 ! 4 + x2 + 2x = 2x2 + 2x! 4, #,& *?, /6%µI,2E /67 9B?A67 µ%/,F4 /B) #,µ=43B) "% ,7/E /6 2&*"/.µ, %A),& :
A1 =
" "2
"3
(2x2 + 2x! 4)dx = 2x3/3 + x2 ! 4x|"2"3 = 11/3
4
U9$µ, 1:
. V,& "/6 [!2, 1] D967µ% E/& y2 ! y1 = !2x2 ! 2x+ 4, *?, :
A2 =
" "2
"3
(!2x2 ! 2x+ 4)dx = !2x3/3! x2 + 4x|1"2 = 27/3
Q!?, /6 "7)63&#E 9B?A6 µ%/,F4 /B) 246 #,µ=43B) %A),& :
A = A1 + A2 = 11/3 + 27/3 = 38/3
.
5
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι
Οµάδα 8
(λύσεις)
Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης
΄Ασκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα
∫ ∞
0
dx
(ax+ 1)(x2 + 1)
(ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα
∫ a
0
f(x)
f(x) + f(x+ a)dx
για κάθε ϑετική και συνεχής συνάρτηση στο διάστηµα [0,α].
Λύση: (α) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα
I =
∫ ∞
0
dx
(ax+ 1)(x2 + 1)
αναλύεται
I =
(
1
a2 + 1
)(∫
a2
ax+ 1dx−
∫
ax− 1
x2 + 1dx
)
I =
(
1
a2 + 1
)
(
a ln(ax+ 1)− a
2ln(x2 + 1) + arctan(x)
)
+ C
I =
(
1
a2 + 1
)
limc→∞
[
a ln(ax+ 1)− a
2ln(x2 + 1) + arctan(x)
]c
0
I =1
a2 + 1(a ln a + π/2)
(ϐ) Το ολοκλήρωµα
I =
∫ a
0
f(x)
f(x) + f(x+ a)dx
1
µε την αλλαγή µεταβλητών u = a − x, du = −dx και των ορίων x = 0 ⇒ u = a, x = a ⇒u = o
I =
∫ 0
a
f(a− u)
f(u) + f(a− u)(−du) =
∫ a
0
f(a− x)
f(x) + f(a− x)dx
2I =
∫ a
0
f(x)
f(x) + f(a− x)dx+
∫ a
0
f(a− x)
f(x) + f(a− x)dx =
∫ a
0
f(x) + f(a− x)
f(x) + f(a− x)dx
2I =
∫ a
0
dx = a ⇒ I = a/2
΄Ασκηση 2: (α) Βρείτε το εµβαδόν του τόπου εντός της καρδιοειδούς r = 1 + cos θ και
εκτός του κύκλου r = 2 sin θ. (ϐ) ϐρείτε το εµβαδόν του κοινού τόπου µεταξύ του κύκλου
r = 3/2 και του καρδιοειδούς r = 1 + cos θ.
Σχήµα 1: (1α) ερώτηµα 2α, (1β) ερώτηµα 2β
Λύση: (α) Το Ϲητούµενο εµβαδόν είναι διπλάσιο του εµβαδού E1 (ϐλεπε Σχ. 1)
E1 =1
2
∫ π
0
r2(θ)dθ =1
2
∫ π
0
(1 + cos θ)2dθ − π
2=
3π
4− π
2=
π
4
E =π
2
(ϐ) Από το Σχ. 1β ϐλέπουµε ότι το Ϲητούµενο εµβαδόν ϑα είναι
E1 =1
2
∫ π/3
0
(3/2)2dθ +1
2
∫ π
π/3
(1 + cos θ)2dθ =7π
8− 9
√3
16
E = 2E1 =7π
4− 9
√3
8
2
΄Ασκηση 3: (α) Υπολογίστε το γενικευµένο ολοκλήρωµα
∫ ∞
−∞
dx
1 + x2
(ϐ) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα∫ 1
0
ln xdx
Λύση: (α) Το γενικευµένο ολοκλήρωµα
∫ ∞
−∞
1
1 + x2dx =
∫ 0
−∞
1
1 + x2dx+
∫ ∞
0
1
1 + x2dx
∫ ∞
0
1
1 + x2dx = lim
t→∞
(∫ t
0
1
1 + x2dx
)
= limt→∞
[arctan(x)]t0 =π
2
όµοια∫ 0
−∞
1
1 + x2dx =
π
2
και∫ ∞
−∞
1
1 + x2dx = π
(ϐ)∫ 1
0
ln(x)dx = limt→0+
[∫ 1
t
ln(x)dx
]
= limt→0+
[−t ln t− 1 + t]
εφαρµόζοντας τον κανόνα l′Hospital καταλήγουµε στο συµπέρασµα
∫ 1
0
ln(x)dx = −1
΄Ασκηση 4: Να υπολογισθούν τα ολοκληρώµατα αφού διερευνήσετε και συζητήσετε την
µεθοδολογία στην οποία ϑα στηριχτείτε :
1.
I1 =
∫ 1
−1
x5
√1− x2
dx
2.
I2 =
∫ ∞
0
dx
4x+1
3
3.
I3 =
∫ ∞
1
arctan x
x2dx
Λύση:
1. Βλέπουµε ότι στο υπόριζο έχουµε µια από τις µορφές για τις οποίες µπορούµε να
χρησιµοποιήσουµε αλλαγή µεταβλητών µε τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Επιπλέον
η συνάρτηση µας δεν ορίζεται στο x = ±1 και εποµένως η τριγωνοµετρική συνάρτηση
που ϑα χρησιµοποιήσω για την αλλαγή µεταβλητών (sin θ) ορίζεται στο −π/2 < θ <π/2 (για να εξασφαλίσω ότι υπάρχει η αντίστροφή της). Κάνουµε λοιπόν την εξής
αλλαγή µεταβλητών : x = sin θ =⇒ 1 − x2 = 1 − sin2 θ = cos2 θ =⇒√1− x2 =
| cos θ| = cos θ (αφού το πεδίο ορισµού είναι το −π/2 < θ < π/2). Επίσης έχουµε
ότι dx = cos θdθ. Εποµένως
I1 = lima→−1+
∫ 0
a
x5dx√1 + x2
+ limb→1−
∫ b
0
x5dx√1 + x2
=⇒
I1 = − lima→−π/2+
∫ 0
a
sin θ(1− cos2 θ)2 cos θ dθ
| cos θ| − limb→π/2−
∫ b
0
sin θ(1− cos2 θ)2 cos θ dθ
| cos θ| =⇒
I1 = − lima→−π/2+
∫ 0
a
(1− cos2 θ)2 d(cos θ)− limb→π/2−
∫ b
0
(1− cos2 θ)2 d(cos θ) =⇒
I1 = − lima→−π/2+
[
cos θ − 2 cos3 θ
3+
cos5 θ
5
]0
a
− limb→π/2−
[
cos θ − 2 cos3 θ
3+
cos5 θ
5
]b
0
=⇒ I1 = − cos 0 +2 cos3 0
3− cos5 0
5+ cos 0− 2 cos3 0
3+
cos5 0
5= 0
΄Αρα το ολοκλήρωµα συγκλίνει στο µηδέν.
2. Για να λυθεί το γενικευµένο αυτό ολοκλήρωµα:
I2 =
∫ ∞
0
dx
4x+1= lim
b→∞
∫ b
0
dx
4x+1
κάνουµε την εξής ϐολική αλλαγή µεταβλητών : 4−(x+1) = y =⇒ dy = −4−(x+1)(ln 4) dxοπότε τα όρια του ολοκληρώµατος αλλάζουν σε : x = 0 =⇒ y = 4−1 x = b =⇒ y =4−(b+1) και έχουµε :
I2 = limb→∞
∫ 4−(b+1)
1/4
4−(x+1)dy
− ln 4 4−(x+1)= − 1
ln 4limb→∞
∫ 4−(b+1)
1/4
dy =⇒
I2 = − 1
ln 4limb→∞
(
1
4b+1− 1
4
)
=1
4 ln 4
4
3. Για να λυθεί το γενικευµένο αυτό ολοκλήρωµα:
I3 =
∫ ∞
1
arctan x
x2dx = lim
b→∞
∫ b
1
arctanx
x2dx
που ορίζεται στο [1,∞), ακολουθούµε την διαδικασία ολοκλήρωσης κατά παράγον-
τες, µε u = arctan x και dv = dx/x2. Εποµένως έχουµε :
I3 = limb→∞
[
arctanx
(
−1
x
)
|b1 −∫ b
1
dx
−x(x2 + 1)
]
Το ολοκλήρωµα στο δεξιό µέρος απλοποιείται µε την µέθοδο των µερικών κλασµά-
των :1
x(x2 + 1)=
A
x+
Bx+ C
x2 + 1
και παίρνουµε τελικά : A = 1, B = −1, C = 0
=⇒ 1
x(x2 + 1)=
1
x− x
x2 + 1
΄Αρα το ολοκλήρωµα µας γίνεται :
I3 = limb→∞
[
arctanx
(
−1
x
)
|b1 +∫ b
1
dx
x−∫ b
1
xdx
x2 + 1
]
Για να λύσουµε το δεύτερο ολοκλήρωµα στο δεξί µέρος, κάνουµε τον εξής µετασχη-
µατισµό µεταβλητών : y = x2 + 1 =⇒ dy = 2xdx και παίρνουµε :
−∫
xdx
x2 + 1= −1
2ln(x2 + 1) = ln
(
1√x2 + 1
)
Οπότε το ολοκλήρωµα µας λύνεται και παίρνουµε :
I3 = limb→∞
[
arctan x
(
−1
x
)
+ ln
(
x√x2 + 1
)]b
1
=⇒
I3 = limb→∞
[
arctan b
(
−1
b
)
+ ln
(
b√b2 + 1
)]
+ arctan 1− ln
(
1√2
)
όπου το όριο της λογαριθµικής συνάρτησης δίδεται από:
limb→∞
ln
(
b√b2 + 1
)
= limb→∞
ln
(
1√
1 + 1/b2
)
= ln 1 = 0
και καταλήγουµε τελικά στην λύση:
I3 =π
2× 0 + 0 +
π
4+ ln(
√2) =
π
4+ ln(
√2)
5
΄Ασκηση 5: Χρησιµοποιήστε τα κριτήρια σύγκλισης για να διερευνήσετε εάν το κάτωθι
ολοκλήρωµα συγκλίνει, αφού ξεκαθαρίσετε την συµπεριφορά του στα άκρα ολοκλήρωσης:
I =
∫ ∞
0
√x sin2(1/x)
ln(1 + x)dx
Λύση: Η συνάρτηση f(x) =√x sin2(1/x)ln(1+x)
δεν ορίζεται στο κάτω άκρο του διαστήµατος [0,∞)άρα για να ϐρούµε αν συγκλίνει ή αποκλίνει το γενικευµένο ολοκλήρωµα I πρέπει να
ϐρούµε αν συγκλίνουν τα γεκικευµένα ολοκληρώµατα I1 και I2 ∀c ∈ (0,∞) (µε I = I1+I2)όπου:
I1 = lima→0+
∫ c
a
√x sin2(1/x)
ln(1 + x)dx
I1 = limb→∞
∫ b
c
√x sin2(1/x)
ln(1 + x)dx
• Ας ξεκινήσουµε από το I1. ΄Εχουµε ∀x ∈ (0, c] ότι
0 < f(x) ≤√x
ln(1 + x).
΄Αρα χρησιµοποιώντας το κριτήριο άµεσης σύγκρισης αρκεί να αποδείξω ότι το
∫ c
0
√x
ln(1 + x)
συγκλίνει (ή ότι η f(x) αποκλίνει). Παρατηρώ ότι η συνάρτηση
g(x) =
√x
ln(1 + x)
και η
h(x) = 1/√x
είναι ϑετικές ∀x ∈ (0, c] και εποµένως µπορώ να χρησιµοποιήσω το οριακό κριτήριο λόγου,
σε µια προσπάθεια να αποδείξω ότι αφού το γενικευµένο ολοκλήρωµα (Γ.Ο.) της h(x)συγκλίνει (στο 2
√c όπως πολύ εύκολα µπορεί να αποδειχτεί) και το Γ.Ο. της g(x) ϑα
συγκλίνει και εποµένως και το Γ.Ο. της f(x) ϑα συγκλίνει. ΄Εχουµε λοιπόν ότι :
limx→0+
g(x)
h(x)= lim
x→0+
x
ln(1 + x)=
0
0= lim
x→0+(1 + x) = 1
που σηµαίνει ότι και τα γενικευµένα ολοκληρώµατα και των δύο συναρτήσεων, g(x)και h(x), είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα, και αφού το Γ.Ο. της h(x)συγκλίνει ϑα συγκλίνει και αυτό της g(x). ΄Αρα τελικά και το Γ.Ο. της f(x) συγκλίνει.
6
• Στην περίπτωση του γενικευµένου ολοκληρώµατος I2, χρησιµοποιώ απευθείας το
οριακό κριτήριο λόγου. Για τον σκοπό αυτό χρησιµοποιώ την συνάρτηση
g(x) =
√x
x2
και την f(x) που είναι ϑετικές ∀x ∈ [c,∞) και εποµένως ϑα προσπαθήσω να α-
ποδείξω ότι αφού το γενικευµένο ολοκλήρωµα (Γ.Ο.) της g(x) συγκλίνει (στο 2/√c
όπως πολύ εύκολα µπορεί να αποδειχτεί) και το Γ.Ο. της f(x) ϑα συγκλίνει. ΄Εχουµε
λοιπόν ότι :
limx→∞
f(x)
g(x)= lim
x→∞
√x sin2(1/x)√
x ln(1 + x)(1/x)2= lim
x→∞
1
ln(1 + x)limx→∞
(
sin(1/x)
(1/x)
)2
= 0×1 = 0
που σηµαίνει ότι και τα γενικευµένα ολοκληρώµατα και των δύο συναρτήσεων, f(x)και g(x), είτε συγκλίνουν είτε αποκλίνουν ταυτόχρονα, και αφού το Γ.Ο. της g(x)συγκλίνει ϑα συγκλίνει και αυτό της f(x).
Αποδείξαµε λοιπόν ότι και τα δύο γενικευµένα ολοκληρώµατα I1 και I2 συγκλίνουν και
εποµένως και το I(= I1 + I2) ϑα συγκλίνει.
΄Ασκηση 6: Να υπολογίσετε το εµβαδό των χωρίου που περικλείονται από τα κάτωθι Ϲεύγη
καµπύλων (προσέξτε, στη δεύτερη περίπτωση η ολοκλήρωση ϑα γίνει ως προς y):
1. y1 = f1(x) = x3 & y2 = f2(x) = 2x2. x1 = y2 & x2 = 2− y2
Λύση:
1. Θέλουµε να υπολογίσουµε το εµαβαδό του χωρίου ανάµεσα στις f2(x) = 2x και
f1(x) = x3 (δες το σχετικό γράφηµα). Καταρχάς ϐρίσκουµε τα κοινά σηµεία των 2 καµπύ-
λων ϑέτοντας f1(x) = f2(x). Βρίσκουµε δύο κοινά σηµεία, επιπλέον του (0, 0), που είναι
τα : (√2, 2
√2) και (−
√2,−2
√2), όπως ϕαίνεται και στο γράφηµα.
΄Αρα για να ϐρούµε το εµβαδό ολοκληρώνουµε την απόλυτη τιµή της διαφοράς των δύο
καµπύλων, όπως έχουµε µάθει και µε όρια ολοκλήρωσης τα 0 και√2. ΄Εχουµε :
A =
∫
√2
−√2
|f2(x)− f1(x)| dx =
∫
√2
−√2
∣
∣2x− x3∣
∣ dx = 2
∫
√2
0
∣
∣2x− x3∣
∣ dx
(η τελευταία προκύπτει επειδή η συνάρτηση υπό ολοκλήρωση είναι άρτια)1 ΄Εχουµε λοιπόν
επειδή x(2− x2) ≥ 0 ∀x ∈ [0,√2] ότι :
A = 2
[
∫
√2
0
2xdx−∫
√2
0
x3dx
]
= 2
[
x2 − x4
4
]
√2
0
= 2
1Γενικά ισχύει και εύκολα αποδεικνύεται ότι εάν η f(x) µε πεδίο ορισµού [−a, a] και πεδίο τιµών το R
είναι άρτια ή περιττή, τότε ισχύει∫
a
−af(x)dx = 2
∫
a
0f(x)dx ή
∫
a
−af(x)dx = 0, αντίστοιχα.
7
Σχήµα 2: Αριστερά το χωρίο µεταξύ των καµπύλων: f2(x) = 2x και f1(x) = x3. ∆εξιά το
χωρίο µεταξύ των καµπύλων: f2(y) = 2− y2 και f1(y) = y2.
2. Θέλουµε να υπολογίσουµε το εµβαδό του χωρίου ανάµεσα στις 2 καµπύλες : x1 =f1(y) = y2 και x2 = f2(y) = 2 − y2. Καταρχάς ϐρίσκουµε τα κοινά σηµεία τους ϑέτοντας
f1(y) = f2(y), τα οποία είναι τα : (1, 1) και (1,−1). ΄Αρα για να ϐρούµε το εµβαδό του
Ϲητούµενου χωρίου ολοκληρώνουµε την απόλυτη τιµή της διαφοράς των δύο καµπύλων,
όπως έχουµε µάθει και µε όρια ολοκλήρωσης τα y = −1 και y = 1:
A =
∫ 1
−1
|f2(y)− f1(y)|dy =
∫ 1
−1
|2− y2 − y2|dy = 2
∫ 1
−1
(1− y2)dy = 4
∫ 1
0
(1− y2)dy =
που προκύπτει από το γεγονός ότι 1− y2 ≥ 0 ∀ y ∈ [−1, 1]. ΄Αρα έχουµε :
A = 4
[
y − y3
3
]1
0
=8
3
8
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι
Οµάδα 9
Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης
΄Ασκηση 1: Η καµπύλη y = 1/x µε x > 1, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και
δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. ∆είξτε ότι το στερεό που δηµιουργείται
έχει πεπερασµένο όγκο και άπειρη επιφάνεια (δικαιολογήστε το αποτέλεσµα).
Λύση: Για να υπολογίσουµε την επιφάνεια
S = 2π
∫ ∞
1
y√
1 + (y′)2dx = 2π
∫ ∞
1
1
x
√
1 +1
x4dx
επειδή 1
x
√
1 + 1
x4 ≥ 1
x≥ 0 για x > 1,ϑα έχουµε
S = 2π
∫ ∞
1
1
xdx → ∞
Για τον όγκο
V = π
∫ ∞
1
y2dx = π
∫ ∞
1
1
x2dx
που σύµφωνα µε όσα έχουµε ήδη συζητήσει για ολοκληρώµατα της µορφής (∫∞1(1/xp)dx)
συγκλίνουν όταν p > 1.
΄Ασκηση 2: Αν (a, b) σταθερές και a > b > 0, να υπολογισθεί η επιφάνεια του στερεού
που δηµιουργείτε από την περιστροφή του κύκλου (x− b)2 + y2 = a2 γύρω από τον άξονα
Oy.
Λύση: Για να υπολογίσουµε την επιφάνεια ϑα πρέπει να υπολογίσουµε το ολοκλήρωµα
S = 2π
∫ a
−a
x√
1 + (x′)2dy = 2π
∫ a
−a
(
b+√
a2 − y2) a√
a2 − y2dy
S = 2πab
∫ a
−a
dy√
a2 − y2= 4π2ab
1
΄Ασκηση 3: (α)Υπολογίστε του όγκους των στερεών που σχηµατίζονται από την περιστροφή
γύρω από τους άξονες Ox και Oy του τόπου που ορίζεται από την παραβολή y = x2 και
την ευθεία y = x. (ϐ) Υπολογίστε το µήκος της καµπύλης y = ln(sec x) για 0 ≤ x ≤ π/4.
(γ) Υπολογίστε το εµβαδόν που περικλείεται από τον οριζόντιο άξονα και την καµπύλη µε
παραµετρική εξίσωση x = 6(θ − sin θ), y = 6(1− cos θ) (κυκλοειδής) για 0 ≤ θ ≤ 2π.
Λύση: (α) Ο όγκος από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Ox υπολογίζεται από το
ολοκλήρωµα
V1 = π
∫
1
0
(x2 − x4)dx = 2π/15
και από την περιστροφή γύρω από τον άξονα Oy
V2 = π
∫
1
0
(y − y2)dy = π/6
(ϐ) L =
∫ π
4
0
√
1 +
(
dy
dx
)2
dx =
∫ π
4
0
√
1 + tan2 xdx =
∫ π
4
0
√sec2 xdx =
∫ π
4
0
| sec x|dx =
∫ π
4
0
sec xdx =
∫ π
4
0
sec xsec x+ tanx
sec x+ tanxdx = ln | sec x+ tanx|
π
4
0 = ln(√2 + 1).
(γ)E =
∫
2π
0
y(θ)dx(θ)
dθdθ =
∫
2π
0
36(1−cos θ)2dθ = 36
∫
2π
0
(
3
2− 2 cos θ +
1
2cos(2θ)
)
dθ =
108π
΄Ασκηση 4: Το σχήµα µιας δεξαµενής νερού (µορφής µπολ) µπορεί να παραχθεί εάν
περιστρέψουµε ως προς τον άξονα Oy το τµήµα της καµπύλης y = x2/2 από y = 0 έως
y = 5. (α) Βρείτε την εξίσωση του όγκου της δεξαµενής, (ϐ) ϐρείτε την τιµή του όγκου της
σε κυβικές µονάδες, και (γ) ϐρείτε τον ϱυθµό ανόδου της στάθµης του νερού όταν το νερό
έχει ϐάθος 4 µονάδες µήκους και γεµίζουµε την δεξαµενή µε σταθερό ϱυθµό 3 κυβικών
µονάδων µήκους ανά δευτερόλεπτο (χρησιµοποιήστε συναφές ϱυθµό).
Λύση: Ο όγκος της δεξαµενής µπορεί να ϐρεθεί µε την µέθοδο των κυκλικών δίσκων.
Στην εικόνα ϕαίνεται η σχετική καµπύλη, η περιστροφή της οποίας γύρω από τον άξονα
Oy δίδει τον όγκο της δεξαµενής. Το χωρίο του σχετικού κυκλικού δίσκου (κάθετου στον
άξονα περιστροφής) είναι : A(y) = πR2(y) µε R(y) την ακτίνα του, που δίδεται από την
x =√2y1/2 και y το ύψος του. Ο όγκος της δεξαµενής δίδεται από την :
V =
∫
5
0
A(y)dy =
∫
5
0
2πydy = πy2|50 = 25π
΄Αρα ο όγκος της δεξαµενής δίνεται σαν συνάρτηση του ύψους, y, ως : V = πy2 και έχει
τιµή : 25π
2
Σχήµα 1: Στο διάγραµµα ϕαίνεται η καµπύλη, η περιστροφή της οποίας γύρω από τον
άξονα Oy σχηµατίζει την δεξαµενή.
Ο ϱυθµός µεταβολής του όγκου συναρτήσει του χρόνου είναι :
dV
dt=
d
dt
(
πy2)
= 2πydy
dt
΄Εχουµε λοιπόν ότι dV/dt = 3 και dV/dt = 2πydy/dt και Ϲητάµε να ϐρούµε το dy/dt όταν
y = 4. ΄Αρα έχουµε :
8πdy
dt= 3 =⇒ dy
dt=
3
8π
΄Ασκηση 5: Υπολογίστε τον όγκο του στερεού (τόρος) που παράγεται εάν περιστρέψτε
τον κυκλικό δίσκο x2 + y2 ≤ a2 ως προς την ευθεία x = b (όπου a < b). Ο όγκος να
υπολογιστεί χρησιµοποιώντας δύο µεθόδους, αυτή της δακτυλιοειδούς διατοµής αλλά και
αυτή των κυλινδρικών ϕλοιών.
Λύση: (α) Μέθοδος δακτυλιοειδούς διατοµής: Θεωρούµε ότι η διάµετρος του κυ-
κλικού δίσκου που είναι παράλληλη µε τον άξονα περιστροφής χωρίζει τον δίσκο σε δύο
ηµικύκλια. Η ακτίνα που ξεκινά από τον άξονα περιστροφής έως την εξωτερική περίµετρο
του κυκλικού δίσκου είναι R(y) = b +√
a2 − y2 ενώ αυτή που r(y) = b −√
a2 − y2. Ε-
ποµένως σύµφωνα µε την µέθοδο της δακτυλιοειδούς διατοµής ο όγκος του τορου δίδεται
από την :
V = π
∫ a
−a
[
R(y)2 − r(y)2]
dy = π
∫ a
−a
[
(b+√
a2 − y2)2 − (b−√
a2 − y2)2]
dy =⇒
3
Σχήµα 2: Το αριστερό διάγραµµα αντιστοιχεί στη χρήση της µεθόδου της δακτυλιοειδούς
διατοµής, όπου ϕαίνεται η εξωτερική, R(y), και εσωτερική, r(y), ακτίνα των αντίστοιχων
κυκλικών δίσκων. Το δεξί διάγραµµα αντιστοιχεί στη µέθοδο των κυλινδρικών ϕλοιών,
όπου ϕαίνονται η ακτίνα και το ύψος του κυλινδρικού ϕλοιού. Στο συγκεκριµένο διά-
γραµµα, όπως είναι ϕανερό, η τιµές των (a, b) είναι αντίστοιχα (2, 3). Επίσης ϕαίνεται µε
µπλε γραµµές το τρίγωνο µέσω του οποίου υπολογίζουµε το ήµισυ του ύψους του ϕλοιού.
Και στα 2 διαγράµµατα η κόκκινη ευθεία αντιστοιχεί στον άξονα περιστροφής.
V = π
∫ a
−a
[
b2 + 2b√
a2 − y2 + (a2 − y2)− b2dy + 2b√
a2 − y2 − (a2 − y2)]
dy =⇒
V = 4πb
∫ a
−a
√
a2 − y2dy = 4πb
(
πa2
2
)
= 2π2ba2
το τελευταίο προκύπτει κάνοντας τον µετασχηµατισµό: a2 − y2 = a2 sin2 θ από τον οποίο
προκύπτει : y = a cos θ και −2ydy = a2 sin θ cos θdθ → dy = −a sin θdθ εποµένως έχουµε :
∫ a
−a
√
a2 − y2dy = −a2∫
0
π
sin2 θdθ = a2∫ π
0
sin2 θdθ = a2[
θ
2− sin 2θ
4
]π
0
=πa2
2
(α) Μέθοδος κυλινδρικών ϕλοιών: Ξεκινάµε µε το να Ϲωγραφίσουµε ευθύγραµµο
τµήµα (πάχους ) παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής το οποίο διατρέχει τον κυκλικό
δίσκο. Αυτό είναι το ύψος και ισούται (από ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την ακτίνα
κυκλικού δίσκου) µε : 2×√a2 − x2. Η ακτίνα ισούται µε b+ x και εποµένως ο όγκος του
στερεού εκ περιστροφής δίδεται από:
V = 2π
∫ a
−a
2√a2 − x2(b+ x)dx = 4π
∫ a
−a
[
b√a2 − x2 + x
√a2 − x2
]
dx =⇒
V = 4πb
∫ a
−a
√a2 − x2dx+ 4πb
∫ a
−a
x√a2 − x2dx
4
Το πρώτο εκ των 2 ολοκληρωµάτων το γνωρίζουµε από την προηγούµενη µέθοδο, και
ισούται µε 2π2ba2, και εποµένως το δεύτερο ολοκλήρωµα ϑα πρέπει να ισούται µε µηδέν.
Πράγµατι, κάνοντας την αλλαγή µεταβλητών a2 − x2 = y → −2xdx = dy∫ a
−a
x√a2 − x2dx = −1
2
∫
0
0
√ydy = 0
΄Αρα και µε αυτή την µέθοδο, όπως ϕυσικά ϑα έπρεπε, ϐρίσκουµε τον όγκο του τόρου να
είναι :
V = 2π2ba2
µε b την απόσταση του άξονα περιστροφής από το κέντρο της κυκλικής διατοµής του, και
a την ακτίνα της κυκλικής διατοµής του.
΄Ασκηση 6: Βρείτε το µήκος της καµπύλης f(x) = ex στο x ∈ [0, 1].
Λύση: Η καµπύλη αυτή έχει παράγωγο συνεχή στο Ϲητούµενο διάστηµα (df/dx = ex) και
άρα είναι λεία. Το µήκος της δίδεται εποµένως από το :
L =
∫
1
0
√
1 +
(
df
dx
)2
dx =
∫
1
0
√1 + e2xdx
Χρησιµοποιούµε τον µετασχηµατισµό y =√1 + e2x → e2x = y2 − 1 → 2e2xdx = 2ydy,
οπότε το µήκος της καµπύλης δίδεται από:
L =
∫
√1+e2
√2
y2
y2 − 1dy =
∫
√1+e2
√2
(
1 +1
y2 − 1
)
dy =(√
1 + e2 −√2)
+
∫
√1+e2
√2
1
y2 − 1dy
Το τελευταίο ολοκλήρωµα το λύνουµε, χρησιµοποιώντας την µέθοδο µερικών κλασµάτων,
ως εξής :
∫ b
a
1
x2 − 1dx =
∫ b
a
1
(x− 1)(x+ 1)dx =
1
2
∫ b
a
1
x− 1dx− 1
2
∫ b
a
1
x+ 1dx
=1
2ln |x− 1| − 1
2ln |x+ 1| = 1
2ln
∣
∣
∣
∣
x− 1
x+ 1
∣
∣
∣
∣
a
b
=1
2
[
ln
∣
∣
∣
∣
a− 1
a + 1
∣
∣
∣
∣
− ln
∣
∣
∣
∣
b− 1
b+ 1
∣
∣
∣
∣
]
=⇒
∫ b
a
1
x2 − 1dx =
1
2ln
∣
∣
∣
∣
(a− 1)(b+ 1)
(a+ 1)(b− 1)
∣
∣
∣
∣
Αντικαθιστώντας όπου a =√2 και b =
√1 + e2 και παίρνοντας υπόψιν µας ότι y > 1
έχουµε µετά από αλγεβρικές πράξεις ότι :
∫
√1+e2
√2
1
y2 − 1dy = ln
[
e(√2 + 1)√
1 + e2 + 1
]
5
΄Αρα το µήκος της Ϲητούµενης καµπύλης είναι :
L =(√
1 + e2 −√2)
+ ln
[
e(√2 + 1)√
1 + e2 + 1
]
6
