Παρουσίαση του PowerPoint—λεκτρικέςΜηχανές... · 3...

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Μηχανές»

(Μετασχηματιστές)

Γεώργιος Περαντζάκης

Δρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός ΕΜΠ

2016

2

Μετασχηματιστές – Λειτουργία Χωρίς Φορτίο Ο μετασχηματιστής (transformer) στην πιο απλή του μορφή αποτελείται από δύο

τυλίγματα (πηνία) ηλεκτρικά απομονωμένα μεταξύ τους (γαλβανική απομόνωση), τα οποία είναι μαγνητικώς συζευγμένα. Τα πηνία είναι τυλιγμένα στα δύο σκέλη σιδηροπυρήνα υψηλής μαγνητικής διαπερατότητας.

«Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Μηχανές», Γ. Περαντζάκης

Το τύλιγμα που συνδέεται με τη χρονικά μεταβαλλόμενη τάση του δικτύου ονομάζεται πρωτεύον τύλιγμα και το τύλιγμα που συνδέεται με το ηλεκτρικό φορτίο ονομάζεται δευτερεύον τύλιγμα.

Εάν στο δευτερεύον τύλιγμα δε συνδέεται φορτίο, ο μετασχηματιστής (Μ/Σ) λειτουργεί χωρίς φορτίο, ενώ όταν συνδέεται λειτουργεί με φορτίο.

Στη λειτουργία χωρίς φορτίο, το πρωτεύον τύλιγμα συνδέεται σε πηγή ΕΡ (ΔΕΗ), v1(ωt), διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα, i1(ωt) και παράγει εναλλασσόμενη μαγνητική ροή, η οποία κυκλοφορεί μέσα από το σιδηροπυρήνα.

3

Μετασχηματιστές – Λειτουργία Χωρίς Φορτίο

Το δευτερεύον τύλιγμα υφίσταται τη μεταβολή του μαγνητικού πεδίου (dφ/dt ≠ 0) και επάγεται, σύμφωνα με το νόμο του Faraday, ηλεκτρική τάση e2(ωt). Ηλεκτρική τάση από αυτεπαγωγή αναπτύσσεται και στο πρωτεύον τύλιγμα, e1(ωt), αφού τη μεταβολή του μαγνητικού πεδίου την υφίσταται και αυτό. Ισχύουν οι εξής σχέσεις:

Τάση πρωτεύοντος (δικτύου ΔΕΗ):

Τάσεις στο πρωτεύον τύλιγμα (νόμος των τάσεων του Kirchhoff):

Το ρεύμα κενής λειτουργίας ή ρεύμα μαγνήτισης είναι μικρό, της τάξης του 2 – 5% του ονομαστικού ρεύματος του πρωτεύοντος και επομένως ισχύει η προσέγγιση:


( ) ( ) ( )1 1 1ˆ cos 2 cosv t V t V tω ω ω= =

11 1 1 1 1 1o o o

d dv R i e R i R i Ndt dt

φΨ= + = + = +

Ν1: Αριθμός σπειρών πρωτεύοντος io: Ρεύμα κενής λειτουργίας ή ρεύμα διέγερσης R1: Ωμική αντίσταση πρωτεύοντος

( ) ( )1 1 1 1 1 1ˆ ˆ, cos cosoR i e v e V t E tω ω<< ≈ = =

4

Μαγνητική Ροή στον Πυρήνα του Μ/Σ Συνδυάζοντας τις προηγούμενες σχέσεις, προκύπτει για τη μαγνητική ροή:

Για ημιτονοειδή τάση πρωτεύοντος v1, προκαλείται ημιτονοειδής μαγνητική ροή φ, η οποία καθυστερεί ως προς την επαγόμενη τάση e1 κατά 90ο.


( ) ( ) ( ) ( )1 1 11 max

1 1 1 1

ˆ ˆ ˆ1 cos cos sin sinE E Ee dt t dt t d t t tN N N N

φ ω ω ω ω ωω ω

= = = = =Φ∫ ∫ ∫

1 1 1max

1 1 1

ˆ

2 2E E VN f N f Nω π π

Φ = = =

Η μέγιστη τιμή της μαγνητικής ροής στον πυρήνα κατά την εν κενώ λειτουργία είναι ανάλογη της ενεργούς τιμής της τάσης πρωτεύοντος και αντιστρόφως ανάλογη της συχνότητας και των σπειρών. Η Φmax (για v1≈e1) είναι ανεξάρτητη από τις

διαστάσεις και την ποιότητα του σιδηρομαγνητικού υλικού του πυρήνα. Μονάδα μέτρησης

μαγνητικής ροής φ σε V*sec = Weber

5 «Ηλεκτροτεχνία – Ηλεκτρικές Μηχανές», Γ. Περαντζάκης

Μαγνητεγερτική δύναμη (ΜΕΔ, ή μαγνητική τάση): Είναι η αιτία που προκαλεί τη μαγνητική ροή στο μαγνητικό κύκλωμα του Μ/Σ και μετριέται σε αμπερελίγματα (Ampere –turns, At),

Ένταση μαγνητικού πεδίου: Είναι τα αμπερελίγματα ανά μονάδα μήκους (At/m) που απαιτούνται για την κυκλοφορία της μαγνητικής ροής στο μαγνητικό κύκλωμα,

Πυκνότητα μαγνητικής ροής: , μονάδα: (Weber/m2, Wb/m2) ή (Tesla, T).

Η ένταση του μαγνητικού πεδίου (Η) εκφράζει την «προσπάθεια» του ρεύματος για τη δημιουργία μαγνητικού πεδίου.

Η μαγνητική διαπερατότητα (μ) εκφράζει τη σχετική ευκολία που παρουσιάζει η ανάπτυξη μαγνητικού πεδίου στο συγκεκριμένο υλικό.

F N i=

F N iHl lµ µ

= =

oB Hµ µ=

lμ: Μήκος μέσης μαγνητικής γραμμής

Μαγνητεγερτική Δύναμη-Ένταση και Πυκνότητα Μαγνητικού Πεδίου

6

Μαγνητική Συμπεριφορά Πυρήνα Μετασχηματιστή (Μ/Σ) Καμπύλη μαγνήτισης υλικού πυρήνα

Ο πυρήνας Μ/Σ, λόγω της εναλλασσόμενης μαγνητικής ροής, υφίσταται συνεχή μαγνήτιση και απομαγνήτιση, διαδικασία μη γραμμική λόγω του φαινομένου του μαγνητικού κορεσμού.

Στην περιοχή του μαγνητικού κορεσμού μειώνεται δραστικά η μαγνητική διαπερατότητα του υλικού (ανεπιθύμητη κατάσταση !)


Παραμένουσα μαγνήτιση Μεταβολή Μαγνητικής διαπερατότητας

7

Μαγνητική Συμπεριφορά Πυρήνα Μετασχηματιστή (Μ/Σ) Ενέργεια μαγνητικού πεδίου – Βρόχος μαγνητικής υστέρησης

Για τη μαγνήτιση-απομαγνήτιση δαπανάται ενέργεια από το μαγνητικό πεδίο με αποτέλεσμα την ανύψωση της θερμοκρασίας του υλικού. Η ενέργεια που καταναλώνεται είναι ανάλογη προς την επιφάνεια του βρόχου υστέρησης.

Τα σιδηρομαγνητικά υλικά των πυρήνων των ηλεκτρικών μηχανών πρέπει να εμφανίζουν λεπτό βρόχο υστέρησης με μικρό εμβαδόν («μαλακά» υλικά).


Αποθηκευμένη ενέργεια μαγνητικού πεδίου Βρόχος μαγνητικής υστέρησης

8

Μαγνητική Συμπεριφορά Πυρήνα Μετασχηματιστή (Μ/Σ)


Επαγωγή δινορρευμάτων

Επαγωγή τάσεων στον πυρήνα λόγω της χρονικής μεταβολής του μαγνητικού πεδίου και δημιουργία δινορρευμάτων.

Τα δινορρεύματα δημιουργούν μαγνητική ροή που εξασθενούν την κύρια μαγνητική ροή και για την αντιστάθμισή της πρέπει να αυξηθεί η μαγνητεγερτική δύναμη του τυλίγματος, δηλαδή η ένταση του ρεύματος για Ν = σταθ.

Η ροή των δινορρευμάτων προκαλεί τις απώλειες δινορρευμάτων, όπου ένα μέρος της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου μετατρέπεται σε θερμότητα στις ωμικές αντιστάσεις των βρόχων που διατρέχουν τα δινορρεύματα. Για τον περιορισμό:

(α) Κατασκευή πυρήνα με ελάσματα. (β) Αύξηση ειδικής αντίστασης πυρήνα.

9

Μαγνητικές Απώλειες Μετασχηματιστή


Οι μαγνητικές απώλειες Μ/Σ οφείλονται στις απώλειες δινορρευμάτων και στις απώλειες λόγω μαγνητικής υστέρησης. Για σταθερή τάση πρωτεύοντος και σταθερή συχνότητα, οι μαγνητικές απώλειες του ΜΣ είναι σταθερές και δεν εξαρτώνται από το φορτίο του !

Απώλειες μαγνητικής υστέρησης: όπου: Ph: Απώλειες του σιδηρομαγνητικού υλικού (W), wh: Καθαρή ενέργεια που απορροφάται από το μαγνητικό πεδίο ανά μονάδα όγκου σε ένα πλήρη κύκλο μαγνήτισης-απoμαγνήτισης και είναι ίση με το εμβαδόν του βρόχου υστέρησης, V: Όγκος του υλικού του πυρήνα (m3), f: Συχνότητα (Hz), Kh: Σταθερά που χαρακτηρίζει το υλικό, Bm: Μέγιστη τιμή πυκνότητας μαγνητικής ροής (Vs/m2=Τesla, T), n = 1,5≤n≤2,5, εμπειρικός συντελεστής με αντιπροσωπευτική τιμή για τα περισσότερα σιδηρομαγνητικά υλικά, n=1,6.

nh h h mP w Vf K B f= ≅

10

Μαγνητικές Απώλειες Μετασχηματιστή


Απώλειες δινορρευμάτων

όπου: Pe: Απώλειες δινορρευμάτων (W), Ke: Σταθερά εξαρτώμενη από το πάχος των ελασμάτων του σιδηροπυρήνα του ΜΣ. Συνολικές μαγνητικές απώλειες ΜΣ

Η ισχύς μαγνητικών απωλειών μετατρέπεται σε θερμότητα που αυξάνει τη

θερμοκρασία λειτουργίας και μειώνει το βαθμό απόδοσης του Μ/Σ. Ο προσδιορισμός των μαγνητικών απωλειών γίνεται με τη δοκιμή κενής

λειτουργίας του Μ/Σ (λειτουργία Μ/Σ χωρίς φορτίο ή λειτουργία εν κενώ).

2 2e e mP K B f=

m h eP P P= +

11

Ρεύμα Μαγνήτισης Μετασχηματιστή


Το ρεύμα μαγνήτισης Μ/Σ δε μεταβάλλεται ημιτονοειδώς !

Όταν η μέγιστη μαγνητική ροή φτάνει στο σημείο κορεσμού, απαιτείται μεγάλη αύξηση του ρεύματος μαγνήτισης, έστω και για μικρή αύξηση της μαγνητικής ροής.

Το ρεύμα μαγνήτισης, εκτός από τη θεμελιώδη αρμονική, περιέχει και ανώτερες αρμονικές ρεύματος !

Η 3η ανώτερη αρμονική του ρεύματος μαγνήτισης (150Hz) είναι η πιο ισχυρή και ευθύνεται για την αιχμή της κορυφής του ρεύματος),

12

Διανυσματικά Διαγράμματα Κενής Λειτουργίας Ιδανικού ΜΣ Το ρεύμα μαγνήτισης καθυστερεί ως προς την τάση (αναφοράς) πρωτεύοντος και

αναλύεται σε μία συνιστώσα συμφασική με την τάση (Ic) και σε μια συνιστώσα (Im) που καθυστερεί ως προς την V1 κατά -900.


Η πραγματική ισχύς που απορροφάται από το πρωτεύον κατά την κενή λειτουργία οφείλεται στη συνιστώσα Ic και η άεργη ισχύς μαγνήτισης του πυρήνα του Μ/Σ οφείλεται στη συνιστώσα Im. Στο πεδίο της συχνότητας, είναι:

cosc cI Iφ θ=

sinm cI Iφ θ=

2 2c mI I Iφ = +

1

1 1 1

0

0

0

90

o

o

co

c co

m m

V V

E V E

I I

I I

I I

φ φ θ

= ∠

≅ = ∠

= ∠−

= ∠

= ∠−

13

Λειτουργία Μετασχηματιστή Υπό Φορτίο 1. Ιδανικός Μ/Σ

Η τάσεις από αυτεπαγωγή e1 και από επαγωγή e2 οφείλονται στη χρονική μεταβολή της πεπλεγμένης μαγνητικής ροής. Είναι:


Παραδοχές Ιδανικού Μ/Σ: Αμελητέες ωμικές

αντιστάσεις τυλιγμάτων. Αμελητέα μαγνητική ροή

σκέδασης. Άπειρη μαγνητική

διαπερατότητα, μηδενικό ρεύμα μαγνήτισης.

Αμελητέες απώλειες μαγνήτισης πυρήνα.

1 2 1 11 1 2 2

2 2

1 21 1 2 2

2 1

,

10 ( ) 0

d d e Nd de N e N adt dt dt dt e N

N iF N i N iN i a

φ φ

µ

Ψ Ψ= = = = ⇒ = =

= →∞ ⇒ − = ⇒ = =∑1 1 2 1

2 2 1 2

V E I N aV E I N

= = = =

Λόγος μετασχηματισμού ιδανικού Μ/Σ

14

Λειτουργία Μετασχηματιστή Υπό Φορτίο 2. Πραγματικός μονοφασικός Μ/Σ υπό φορτίο

Λαμβάνονται υπόψη:

Οι ωμικές αντιστάσεις των τυλιγμάτων R1 και R2

Οι συντελεστές αυτεπαγωγής των δύο τυλιγμάτων, L1, L2, λόγω της ροής σκέδασης

Το ρεύμα διέγερσης που απαιτείται για την εγκατάσταση της μαγνητικής ροής στον πυρήνα του Μ/Σ


Ροή σκέδασης είναι η μαγνητική ροή που παράγεται από ένα πηνίο και εμπλέκεται μόνο με τις σπείρες του ιδίου πηνίου μέσα από τον αέρα και δε συμβάλλει στην παραγωγή τάσης

15

Λειτουργία Μετασχηματιστή Υπό Φορτίο Ισοδύναμο κύκλωμα λαμβάνοντας υπόψη τους συντελεστές αυτεπαγωγών σκέδασης

Το μαγνητικό πεδίο του ρεύματος του δευτερεύοντος εξασθενεί το μαγνητικό πεδίο του πρωτεύοντος (F1-F2>0, N1I1>N2I2, Νόμος διαρρεύματος του Amper)

Το ρεύμα πρωτεύοντος πρέπει αφενός μεν να εξασφαλίζει την απαιτούμενη μαγνητική ροή στον πυρήνα και αφετέρου να αντισταθμίζει την απομαγνητίζουσα δράση που προκαλεί το ρεύμα φορτίου στο δευτερεύον τύλιγμα του Μ/Σ.


16

Λειτουργία Μετασχηματιστή Υπό Φορτίο Ισοδύναμο ηλεκτρικό κύκλωμα λαμβάνοντας υπόψη τις απώλειες μαγνήτισης


Οι απώλειες μαγνητικής υστέρησης και δινορρευμάτων είναι πραγματικές απώλειες (W), αντιπροσωπεύουν θερμότητα που καταναλώνεται στην αντίσταση Rc.

Η άεργη ισχύς μαγνήτισης (Var) του πυρήνα του Μ/Σ καταναλώνεται στην επαγωγική αντίδραση Xm.

Η μαγνητική ροή στον πυρήνα του Μ/Σ πρέπει να παραμείνει σταθερή ανεξάρτητα από το φορτίο.

( )( )

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2'

1 2

1 1,c mc m

V R j X I E

E R j X I V

I I I

E EI IR j X

φ

= + +

= + +

= +

= =

17

Λειτουργία Μετασχηματιστή Υπό Φορτίο Αναγωγή των στοιχείων του Μ/Σ στο πρωτεύον τύλιγμα


Η ανάλυση λειτουργίας Μ/Σ γίνεται με την αναγωγή των παραμέτρων είτε προς την πλευρά του πρωτεύοντος είτε προς την πλευρά του δευτερεύοντος, με ταυτόχρονη μετακίνηση προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά αντίστοιχα του ιδανικού Μ/Σ και στη συνέχεια την παράληψή του.

Τα μεγέθη με εκθέτη «’» παριστάνουν μεγέθη του δευτερεύοντος ανηγμένα στο πρωτεύον

18

Λειτουργία Μετασχηματιστή Υπό Φορτίο Αναγωγή των στοιχείων του Μ/Σ στο πρωτεύον τύλιγμα

Σχέσεις αναγωγής των στοιχείων δευτερεύοντος στο πρωτεύον


2 21 2 21

1 2 2/in LV V VZ Z ZI I I

αα α

α= = = = =

Η αντίσταση του φορτίου μπορεί να αναχθεί (ισοδύναμα) προς την πλευρά του πρωτεύοντος εάν πολλαπλασιαστεί με το τετράγωνο του λόγου μετασχηματισμού (συνθήκη αναγωγής !)

( )

( ) ( )( )

1 1 2 12 2 2 2 2

22 2 1

2 2 22 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2 2

,

L L L

V E I NE R j X I V aNV E I

IE R j X I V R j X V

E E E R j X I V

IV V I Z Z Z I

α α α α α αα

α

α α αα

= + + = = = =

= + + = + +

′ ′ ′ ′ ′= = = + +

′ ′ ′= = = =

2 2 2 2

222 2 2

22 2

2

,

,

,

L L

E E V V

II R R

X X

Z Z

α α

ααα

α

′ ′= =

′ ′= =

′ =

′ =

Είναι:

19

Λειτουργία Μετασχηματιστή Υπό Φορτίο Αναγωγή των στοιχείων του Μ/Σ στο δευτερεύον τύλιγμα


20

Λειτουργία Μετασχηματιστή Υπό Φορτίο Αναγωγή των στοιχείων του Μ/Σ στο δευτερεύον τύλιγμα


( )

( ) ( )

1 1 1 1 11 1 1 12 2

1 1 1 1 1 1 2

1V E R X ER j X I j I

V R j X I E R j X I E

αα α α αα α

= + + = + +

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′= + + = + +

Είναι: 11 1

1 1

1 11 12 2

1 2

1 2

2 2

,

,

,

c cc c

m mm m

c mc m

E VE V

I IR XR X

E EI IR R

E EI IX X

R XR X

α αα

α α

α

α

α α

′′ ′′= =

′′=

′′ ′′= =

′′′′ = = =

′′ ′′

′′′′ = = =

′′ ′′

′′ ′′= =

Τα μεγέθη με εκθέτη «’’» παριστάνουν μεγέθη του πρωτεύοντος τυλίγματος ανηγμένα στο δευτερεύον τύλιγμα (1ον → 2ον)

21

Παράδειγμα 1 Δεδομένα: Μονοφασικός Μ/Σ ονομαστικής ισχύος 15kVA, 6600/230V, 50Hz έχει

τις εξής παραμέτρους: R1=3,5Ω, X1=4,2Ω, Rc=28kΩ, Xm=3,0kΩ, R2=0,03Ω, X2=0,04Ω. Ο Μ/Σ λειτουργεί υπό την ονομαστική τάση και τροφοδοτεί επαγωγικό φορτίο με συντελεστή ισχύος 0,85. Ζητούνται:

1. Να προσδιοριστεί το ισοδύναμο κύκλωμα του ΜΣ ανηγμένο στο πρωτεύον και στο δευτερεύον τύλιγμα.

2. Η πραγματική ισχύς και ο συντελεστής ισχύος στην είσοδο του Μ/Σ.

Λύση

1. Η αναγωγή των παραμέτρων των ισοδυνάμων κυκλωμάτων στο πρωτεύον και δευτερεύον γίνεται με βάση το λόγο μετασχηματισμού, α. Είναι:


1

2

6600 28,7230

VV

α = = =

22

Παράδειγμα 1 Ισοδύναμο κύκλωμα ανηγμένο στο πρωτεύον


' 2 22 2' 2 22 2

28,7 0,03 24,7

28,7 0,04 32,95

R R

X X

α

α

= = ⋅ = Ω

= = ⋅ = Ω

23

Παράδειγμα 1 Ισοδύναμο κύκλωμα ανηγμένο στο δευτερεύον


1 11 12 2 2 2

2 2 2 2

3,5 4,20,0043 , 0,00528,7 28,728.000 3.00034 , 3,6428,7 28,7

c mc m

R XR X

R XR X

α α

α α

′′ ′′= = = Ω = = = Ω

′′ ′′= = = Ω = = = Ω

24

Παράδειγμα 1 2. Εάν θεωρηθεί ότι το φορτίο στο δευτερεύον του Μ/Σ πρέπει να λειτουργεί υπό

σταθερή τάση, τότε η τάση δευτερεύοντος λαμβάνεται ως τάση αναφοράς. Επιλέγεται να αναχθούν όλα τα μεγέθη στο πρωτεύον τύλιγμα. Είναι:

Τάση δευτερεύοντος:

Ένταση ρεύματος στο δευτερεύον υπό ονομαστικό φορτίο:

Αναγωγή των μεγεθών στο πρωτεύον τύλιγμα:


2 230 0oV V= ∠

1

22

2

cos 0,85 31,815.000 65,22

230

65,22 31,8

oL

L

o

SI AV

I A

φ −= =

= = =

= ∠−

2 2

22

28,7 230 0 6.600 0

65,22 31,8 2,27 31,828,7

o o

oo

V V V

II

α

α

′ = = ⋅ ∠ = ∠

∠−′ = = = ∠−

25

Παράδειγμα 1 Με βάση το ισοδύναμο κύκλωμα ανηγμένο στο πρωτεύον τύλιγμα, προκύπτει:

Ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση του πυρήνα:

Ρεύμα διέγερσης:

Ρεύμα πρωτεύοντος:


( ) ( )( )' ' ' '1 2 2 2 2

1

6.600 0 2,27 31,8 24,7 32,95

6.687,07 34,02 6.687,2 0,29

o o

o

E V I R j X j

E j V

= + + = ∠ + ∠− +

= + = ∠

( ) ( ) 628.000 3.000 84 10 90 2.983 83,928.000 3.000 28.160,26 6,1

oc m o

oc m

R j X jZ

R j X jφ⋅ ⋅ ∠

= = = = ∠ Ω+ + ∠

1 6.687,2 0,29 2,24 83,612.983 83,9

oo

oEI AZφφ

∠= = = ∠−

∠

'1 2 2,27 31,8 2,24 83,61 2,18 3,42 4,06 57,5o o oI I I j Aφ= + = ∠− + ∠− = − = ∠−

26

Παράδειγμα 1 Τάση στην είσοδο του Μ/Σ:

Μιγαδική ισχύς στην είσοδο του Μ/Σ:

Πραγματική ισχύς και συντελεστής ισχύος στην είσοδο του Μ/Σ:


( ) ( )( )1 1 1 1 1

1

6.687,2 0,29 4,06 57,5 3,5 4,2

6.709,13 31,1 6.709,2 0,27

o o

o

V E I R j X j

V j V

= + + = ∠ + ∠− +

= + = ∠

( )( )/ 1 1

/

6.709,2 0,27 4,06 57,5 27.239,4 57,77

14.527,3 23.042,2

o o oS V I

S j VA

∗Μ Σ

Μ Σ

= ⋅ = ∠ ∠ = ∠

= +

( ) ( )/ 14,527,3

cos 57,77 0,533.P WΜ Σ =

ΣΙ = =

27

Απλοποιημένα Ισοδύναμα Κυκλώματα ΜΣ Παραδοχές που οδηγούν στη διαμόρφωση απλοποιημένων

ισοδύναμων κυκλωμάτων Μ/Σ Το ρεύμα μαγνήτισης ή διέγερσης Μ/Σ είναι ένα μικρό ποσοστό (συνήθως

μικρότερο από 5%) του ονομαστικού ρεύματος στο πλήρες φορτίο.

Η πτώση τάσης στη σύνθετη αντίδραση σκέδασης και την ωμική αντίσταση του πρωτεύοντος τυλίγματος, ακόμη και κατά τη λειτουργία υπό πλήρες φορτίο, είναι πολύ μικρή σε σχέση με την αντίστοιχη ονομαστική τάση.

Με βάση τις προηγούμενες παρατηρήσεις, είναι δυνατή η μετακίνηση του εγκάρσιου (παράλληλου) κλάδου μαγνήτισης προς την αριστερή πλευρά της σύνθετης αντίστασης του πρωτεύοντος.

Και εδώ, οι παράμετροι των στοιχείων μπορεί να αναχθούν είτε στο πρωτεύον είτε στο δευτερεύον τύλιγμα του Μ/Σ.

Η προσέγγιση χρησιμοποιείται σχεδόν πάντοτε σε Μ/Σ ισχύος που χρησιμοποιούνται σε δίκτυα μεταφοράς και διανομής ηλεκτρικής ενέργειας, καθώς και σε Μ/Σ υποσταθμών καταναλωτών μέσης τάσης (ΜΤ) !!!


28

Απλοποιημένα Ισοδύναμα Κυκλώματα Μ/Σ Απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα Μ/Σ ανηγμένο στο πρωτεύον


' '1 2

' '1 2

' ' '

eq

eq

eq eq eq

R R R

X X X

Z R j X

= +

= +

= +

Ισοδύναμο κύκλωμα

Διανυσματικό διάγραμμα

29

Απλοποιημένα Ισοδύναμα Κυκλώματα Μ/Σ Απλοποιημένο ισοδύναμο κύκλωμα Μ/Σ ανηγμένο στο δευτερεύον


'' ''1 2

'' ''1 2

'' '' ''

eq

eq

eq eq eq

R R R

X X X

Z R j X

= +

= +

= +

Ισοδύναμο κύκλωμα

Διανυσματικό διάγραμμα

30

Απλουστευμένα Ισοδύναμα Κυκλώματα Μ/Σ Απλουστευμένο ισοδύναμο κύκλωμα Μ/Σ με παράλειψη του κλάδου μαγνήτισης


Ανηγμένο στο πρωτεύον

Διανυσματικό διάγραμμα ανηγμένο στο πρωτεύον

Ανηγμένο στο δευτερεύον

Ο Μ/Σ στα δίκτυα μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας λαμβάνεται υπόψη μόνο με τη σύνθετη αντίσταση σειράς !

31

Εκατοστιαία Πτώση Τάσης Μ/Σ Η εκατοστιαία πτώση τάσης (percent voltage regulation) εκφράζει τη μεταβολή

της τάσης στα άκρα του δευτερεύοντος (πρωτεύοντος) τυλίγματος του Μ/Σ, όταν το πρωτεύον (δευτερεύον) τύλιγμα τροφοδοτείται με ονομαστική τάση και το φορτίο μεταβάλλεται από το κενό μέχρι το πλήρες φορτίο. Ορίζεται από τη σχέση:

Λαμβάνοντας υπόψη το απλοποιημένο ή απλουστευμένο ισοδύναμο κύκλωμα (σελ. 28 και 30 αντίστοιχα), αποδεικνύεται ότι η εκατοστιαία πτώση τάσης υπολογίζεται με ικανοποιητική ακρίβεια από τη σχέση:

Όπου: ΙL’, V2’ είναι το ρεύμα και η τάση φορτίου ανηγμένα στο πρωτεύον, Req’, Xeq’ είναι η ισοδύναμη ωμική και επαγωγική αντίσταση του Μ/Σ ανηγμένα στο πρωτεύον και θ η γωνία φορτίου.


( ) 1 2 1 2

2 2% 100 100V V V VVR

V Vα α

α− −

= =

( )' ' ' '

'2

cos sin% 100L eq L eqI R I X

VRV

θ θ + =

32

Παράδειγμα 2 Μονοφασικός Μ/Σ έχει τις εξής παραμέτρους: V1/V2=2.300/230, SN=50kVA,

f=50Hz, R1=0,35Ω, X1=0,80Ω, R2= 0,0028Ω, X2=0,0073Ω. Το φορτίο στο δευτερεύον του Μ/Σ είναι επαγωγικό με συντελεστή ισχύος 75% και τροφοδοτείται με την ονομαστική τάση του Μ/Σ. Να υπολογιστεί η εκατοστιαία πτώση τάσης αναλυτικά και με την προσεγγιστική σχέση.

Λύση

Για την ανάλυση, θεωρείται το απλουστευμένο ισοδύναμο κύκλωμα (σελ. 30) ανηγμένο στο πρωτεύον τύλιγμα. Υπολογισμός παραμέτρων κυκλώματος:


'12 2

2' 2 2 ' 2 22 2 2 2' ' ' '

1 2 1 2

2.300 10, 10 230 0 2.300 0 ,230

10 0,0028 0,28 , 10 0,0073 0,73 ,

0,35 0,28 0,63 , 0,8 0,73 1,53

o o

eq eq

Va V aV VV

R a R X a X

R R R X X X

= = = = = ⋅ ∠ = ∠

= = ⋅ = Ω = = ⋅ = Ω

= + = + = Ω = + = + = Ω

33

Παράδειγμα 2 Υπολογισμός τάσης

στην είσοδο του Μ/Σ


11

1

' '1 2

50.000 21,742.300

cos (0,75) 41,4

21,74 41,4

o

oL

SI AV

I I I A

φ −

= = =

= =

= = = ∠−

( )( )( )

( )

' ' ' '1 2 2

1

1

1

2.300 0 21,74 41,4 0,63 1,53

2.300 0 35,87 26,22

2332,18 15,85 2.332,23 0,39

eq eq

o o

o o

o

V V I R j X

V j

V

V j V

= + +

= ∠ + ∠− +

= ∠ + ∠

= + = ∠

34

Παράδειγμα 2 Αναλυτικός και προσεγγιστικός υπολογισμός της εκατοστιαίας πτώσης τάσης με

μεταβολή του φορτίου από την κενή λειτουργία έως την πλήρη φόρτιση του Μ/Σ:

Παρατηρούμε ότι και με τους δύο τρόπους υπολογισμού υπάρχει ταύτιση αποτελεσμάτων.


( )

( )

( )

'1 2

'2

' ' ' '

'2

2.332,23 2.300% 100 100 1,4%2.300

cos sin% 100

21,74 0,63 0,75 21,74 1,53 0,661% 100 1,4%2.300

L eq L eq

V VVRV

I R I XVR

V

VR

θ θ

− −= = =

+ =

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = =

35

Απόδοση Μ/Σ Ο βαθμός απόδοσης ενός Μ/Σ εξαρτάται από τις απώλειες ισχύος, οι οποίες

παράγουν θερμότητα και αυξάνουν τη θερμοκρασία λειτουργίας του Μ/Σ.

Οι απώλειες ισχύος Μ/Σ διακρίνονται στις απώλειες πυρήνα του σιδηρομαγνητικού υλικού, οι οποίες οφείλονται στη μαγνητική υστέρηση και στην ανάπτυξη των δινορρευμάτων, λόγω της χρονικής μεταβολής του μαγνητικού πεδίου, και στις απώλειες χαλκού, οι οποίες είναι απώλειες Joule και οφείλουν την ύπαρξή τους στη ροή του ρεύματος στα τυλίγματα του Μ/Σ.

Απώλειες πυρήνα, Pc, και χαλκού, Pcu,

Βαθμός απόδοσης Μ/Σ,


2 2

2 2 2 ' 2 ' 2 21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

nc h e h m e m

Cu

loss c Cu

P P P K B f K B f

P I R I R I R I R I R I RP P P

= + = +

′′ ′′= + = + = +

= +

2

2

coscos

out out L L

in out loss L L c Cu

P P V IP P P V I P P

θηθ

= = =+ + +

36

Βέλτιστος Βαθμός Απόδοσης Μ/Σ Για σταθερή τάση και σταθερό συντελεστή ισχύος στο φορτίο, ο βαθμός

απόδοσης του Μ/Σ εξαρτάται αποκλειστικά και μόνο από το ρεύμα φορτίου, IL. Αποδεικνύεται ότι, η απόδοση του Μ/Σ μεγιστοποιείται όταν το ρεύμα στο φορτίο έχει τέτοια τιμή, ώστε οι απώλειες χαλκού να είναι ίσες με τις απώλειες σιδήρου,

Τιμή ρεύματος φορτίου που βελτιστοποιεί το βαθμό απόδοσης του Μ/Σ:


( )2 21 20 L L eq c

LI R R I R P

Iη∂ ′′ ′′= ⇒ + = =

∂

2, . , .

2 2, . , .

2 2 2 2,2, 2, 2, 2,

, . 2,,

cL opt eq c L opt

eq

L opt eq L optc c c

Cu NN N N N eq

cL opt N

Cu N

PI R P IR

I R IP P PPI I I I R

PI IP

′′ = ⇒ =′′

′′= ⇒ = =

′′

=

Όπου ο δείκτης «Ν» σημαίνει ονομαστικά δεδομένα του Μ/Σ.

37

Παράδειγμα 3 Μονοφασικός Μ/Σ 30kVA, 2.300V/230V, 50Hz, έχει τις παραμέτρους που

δίνονται στο παρακάτω κύκλωμα, ανηγμένο στο πρωτεύον τύλιγμα. Το φορτίο είναι επαγωγικό με συντελεστή ισχύος 85%. Ζητούνται: (1) ο βαθμός απόδοσης του Μ/Σ υπό το πλήρες, ονομαστικό φορτίο. (2) Η ένταση ρεύματος του Μ/Σ, για την οποία επιτυγχάνεται ο βέλτιστος βαθμός απόδοσης.


38

Παράδειγμα 3 Λύση 1. Υπολογισμός τάσης εισόδου υπό το ονομαστικό φορτίο:

Απώλειες πυρήνα και χαλκού αντίστοιχα για το ονομαστικό φορτίο του Μ/Σ,


( )

( )( )( )

12

2,2

1 2 2,

1

1

2.300 0 , cos 0,85 31,7930.00031,79 31,79 13,04 31,792.300

2.300 0 13,04 31,79 4 6

2.385,54 39,02 2.385,86 0,94 .

o oL

o o oNN

N eq eq

o o

o

V VSI AV

V V I R j X

V j

V j V

θ −′ = ∠ = =

′ = ∠− = ∠− = ∠−′

′ ′ ′ ′= + +

= ∠ + ∠− +

= + = ∠

2 21

2 2, 2,

2.385,86 203,328.000

13,04 4 680,17 .

cc

Cu N N eq

VP WR

P I R W

= = =

′= = ⋅ =

39

Παράδειγμα 3 Βαθμός απόδοσης Μ/Σ για το ονομαστικό του φορτίο,

2. Ένταση ρεύματος Μ/Σ, για την οποία επιτυγχάνεται ο βέλτιστος βαθμός απόδοσης,

που σημαίνει ότι, ο βέλτιστος βαθμός απόδοσης επιτυγχάνεται για ένταση ρεύματος ίση με το 54,67% του ονομαστικού ρεύματος, ή διαφορετικά όταν ο Μ/Σ αποδίδει το 54,67% του ονομαστικού του φορτίου, PL,opt.=0,5467*25.943,2 = 14.183 W.

Βέλτιστος Βαθμός απόδοσης,


2 2, cos 2.300 13,04 0,85 25.493,2

25.493,2 0,967 96,7%.25.493,2 203,3 680,2

L N L

L L

in L loss

P V I W

P P ήP P P

θ

η

′ ′= = ⋅ ⋅ =

= = = =+ + +

, . 2, 2, 2,,

203,3 0,5467 7,129 .680,17

cL opt N N N

Cu N

PI I I I AP

= = = ⋅ =

, . , .

, .

14.183 0,972 97,2%.2 14.183 2 203,3

L opt L opt

in L opt c

P Pή

P P Pη = = = =

+ + ⋅

40

Προσδιορισμός Παραμέτρων Ισοδυνάμου Κυκλώματος Μ/Σ Δοκιμή κενού φορτίου (Open-circuit test): Υπολογίζονται τα στοιχεία του

εγκάρσιου (παράλληλου) κλάδου μαγνήτισης, Rc και Xm. Η δοκιμή κενής λειτουργίας γίνεται είτε από το πρωτεύον τύλιγμα είτε από το δευτερεύον, εφαρμόζοντας ημιτονοειδή τάση ίση με την ονομαστική σε ένα από τα δύο τυλίγματα και διατηρώντας το άλλο ανοιχτοκυκλωμένο.

Χρησιμοποιούνται τρία όργανα, ένα βολτόμετρο, ένα αμπερόμετρο και ένα βατόμετρο, για τη μέτρηση των αντίστοιχων μεγεθών, από την πλευρά του τυλίγματος που εφαρμόζεται η τάση.

Ισοδύναμο κύκλωμα Μ/Σ, σε περίπτωση που οι μετρήσεις πραγματοποιούνται από την πλευρά του πρωτεύοντος τυλίγματος:


2

22 2

,

,

occ oc oc oc

oc

ocm oc oc m

m

VR S V IP

VQ S P XQ

= =

= − =

Υπολογίζονται τα στοιχεία του κλάδου μαγνήτισης από τις μετρήσεις κενής λειτουργίας

41

Προσδιορισμός Παραμέτρων Ισοδυνάμου Κυκλώματος Μ/Σ Δοκιμή βραχυκύκλωσης (Short-circuit test)

Κατά τη δοκιμή βραχυκύκλωσης, το ένα από τα δύο τυλίγματα (συνήθως το δευτερεύον) βραχυκυκλώνεται και η ημιτονοειδής εναλλασσόμενη τάση που εφαρμόζεται στο άλλο τύλιγμα, αυξάνεται βαθμιαία από το μηδέν μέχρι την τιμή εκείνη, η οποία ονομάζεται τάση βραχυκύκλωσης, όπου τα τυλίγματα του Μ/Σ διαρρέονται από τα αντίστοιχα ονομαστικά ρεύματα.

Χρησιμοποιούνται και εδώ τα ίδια όργανα, όπως και στη δοκιμή κενής λειτουργίας, για τη μέτρηση της ισχύος, της τάσης και του ρεύματος στην είσοδο του πρωτεύοντος τυλίγματος.

Η σύνθετη αντίσταση του κλάδου μαγνήτισης του Μ/Σ είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από την ισοδύναμη σύνθετη αντίσταση του εν σειρά κλάδου και για το λόγο αυτό παραλείπεται,


( ) ( ) ( )1 2 1 2c m

c m

R jXR R j X X

R jX′ ′>> + + +

+

42

Προσδιορισμός Παραμέτρων Ισοδυνάμου Κυκλώματος Μ/Σ Ισοδύναμο κύκλωμα Μ/Σ κατά τη δοκιμή βραχυκύκλωσης ανηγμένο στο

πρωτεύον τύλιγμα,

Με τη δοκιμή βραχυκύκλωσης υπολογίζονται τα στοιχεία της εν σειρά ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης του Μ/Σ:


2 22

22

1 2 1 2

,

,2 2

sc sceq eq eq eq

scsc

sceq eq

eq eq

P VR Z R XII

VX RIscR X

R R X X

′ ′ ′ ′= = = +

′ ′= −

′ ′′ ′= = = =

Η ισχύς εισόδου, Psc, καταναλώνεται στην ισοδύναμη ωμική αντίσταση, R’eq.

Η ένταση ρεύματος του αμπερομέτρου, Isc, είναι η ονομαστική ένταση ρεύματος του Μ/Σ.

43

Ονομαστικό Ρεύμα Βραχυκύκλωσης Μ/Σ Με βάση το απλουστευμένο ισοδύναμο κύκλωμα του Μ/Σ, η τάση

βραχυκύκλωσης, vsc, ισούται,

Η τάση βραχυκύκλωσης στους Μ/Σ εκφράζεται συνήθως ως ποσοστό επί τοις εκατό (ή σε ανά μονάδα, α.μ. ή per unit, p.u. τιμή) της ονομαστικής τάσης,

Η τάση βραχυκύκλωσης αυξάνει ανάλογα με την ικανότητα φόρτισης του Μ/Σ. Τυπικές τιμές της τάσης βραχυκύκλωσης, για Μ/Σ ισχύος από 10 έως 100kVA, κυμαίνονται από 3% έως 20%.

Το ονομαστικό ρεύμα βραχυκύκλωσης, Ι(1,sc)N, ορίζεται ως το ρεύμα που διαρρέει το πρωτεύον (δευτερεύον) τύλιγμα, όταν το δευτερεύον (πρωτεύον) τύλιγμα είναι βραχυκυκλωμένο και στο πρωτεύον (δευτερεύον) τύλιγμα εφαρμόζεται η ονομαστική τάση. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, είναι:


1, 1, 1,sc sc eq N eqV I Z I Z′ ′= =

( ) 1,1,

1, 1,% 100 100N eqsc

scN N

I ZVv

V V′

= =

44

Ονομαστικό Ρεύμα Βραχυκύκλωσης Μ/Σ Το ονομαστικό ρεύμα

βραχυκύκλωσης είναι αντιστρόφως ανάλογο της α.μ. (p.u.) τιμής της τάσης βραχυκύκλωσης του Μ/Σ.

Για παράδειγμα, Μ/Σ με τάση βραχυκύκλωσης 4%=0,04 p.u., θα έχει ονομαστικό ρεύμα βραχυκύκλωσης 25 φορές μεγαλύτερο από το ονομαστικό ρεύμα του Μ/Σ !.


( )

( )

( )

1,1,

1, 1, 1, 1,

1, 1, 1, 1, 1, 1,

1,1,

1 1( )

1( . .)

Nsc N

eq

sc N N eq N N

N N N eq sc sc N sc

Nsc Nsc

VI

Z

I V Z V VI I I Z V V V v pu

I Iv p u

=′

′= = = = =

′

=

Η p.u. τιμή της τάσης βραχυκύκλωσης είναι ίση με την p.u. τιμή του μέτρου της ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης του Μ/Σ.

( )1,1,

1, 1, 1, 1, 1,( . .) . .N eq eq eqsc

sc eqN N N N N

I Z Z ZVv p u z p u

V V V I Z

′ ′ ′′= = = = =

45

Παράδειγμα 4 Σε μονοφασικό Μ/Σ, 70kVA, 4.600V/230V, 50Hz, ελήφθησαν τα εξής

δεδομένα:

Δοκιμή κενού φορτίου από την πλευρά της ΧΤ: 230V, 12,5A, 455W

Δοκιμή βραχυκύκλωσης από την πλευρά της ΥΤ: 158V, 15,2A, 1.150W.

Ζητούνται να υπολογιστούν:

1. Οι παράμετροι του ισοδυνάμου κυκλώματος από την πλευρά του πρωτεύοντος και του δευτερεύοντος τυλίγματος και να σχεδιαστούν τα αντίστοιχα ισοδύναμα κυκλώματα.

2. Η εκατοστιαία πτώση τάσης, όταν ο Μ/Σ λειτουργεί με το ονομαστικό του φορτίο και με επαγωγικό συντελεστή ισχύος 75%.

3. Οι p.u. τιμές της τάσης βραχυκύκλωσης και της σύνθετης ισοδύναμης αντίστασης , καθώς και το ονομαστικό ρεύμα βραχυκύκλωσης του Μ/Σ.


46

Παράδειγμα 4 Λύση

1. Με βάση τα δεδομένα από τη δοκιμή κενής λειτουργίας, προκύπτουν οι τιμές των στοιχείων Rc και Xm από την πλευρά του δευτερεύοντος τυλίγματος,


2 2

2 2 2 2

2 2

230 130 , 230 12,5 2.875455

2.875 455 2.838,8

230 18,63 .2.838,8

occ oc oc oc

oc

oc oc oc

ocm

oc

VR S V I VAP

Q S P VAr

VXQ

= = = Ω = = ⋅ =

= − = − =

= = = Ω

47

Παράδειγμα 4


2 2

2 2 2 2

1.150 1584,98 , 10,3915,215,2

10,39 4,98 9,12

sc sceq eq

scsc

eq eq eq

P VR ZII

X Z R

′ ′= = = Ω = = = Ω

′ ′ ′= − = − = Ω

Με βάση τις μετρήσεις από τη δοκιμή βραχυκύκλωσης, προκύπτουν η ισοδύναμη ωμική και επαγωγική αντίσταση στην πλευρά του πρωτεύοντος τυλίγματος,

Ισοδύναμο κύκλωμα Μ/Σ ανηγμένο στο πρωτεύον τύλιγμα. Λόγος μετασχηματισμού Μ/Σ: α = 4.600/230 = 20 Η αντίσταση πυρήνα, Rc, και η επαγωγική αντίδραση μαγνήτισης, Xm, πρέπει να

αναχθούν στο πρωτεύον τύλιγμα. Είναι:

Η ισοδύναμη ωμική και επαγωγική αντίσταση σε σειρά έχει ήδη υπολογιστεί από την πλευρά του πρωτεύοντος τυλίγματος,

2 2

2 2

20 130 52.000 52

20 18,63 7.452 7,45 .c c

m m

R a R k

X a X k

′ = = ⋅ = Ω= Ω

′ = = ⋅ = Ω= Ω

1 2

1 2

4,984,98 2,492 29,129,12 4,56

2

eqeq

eq

RR R R

X X X

′′ ′= Ω ⇒ = = = = Ω

′ ′= Ω ⇒ = = = Ω

48



Ισοδύναμο κύκλωμα ανηγμένο στο πρωτεύον τύλιγμα:

Ισοδύναμο κύκλωμα Μ/Σ ανηγμένο στο δευτερεύον τύλιγμα. Αναγωγή ωμικής και επαγωγικής αντίστασης σε σειρά από το πρωτεύον στο

δευτερεύον τύλιγμα,

1 22 2

1 22 2

4,98 0,01240,0124 0,0062220

9,12 0,02280,0228 0,0114 .220

eqeq

eqeq

RR R R

aX

X X Xa

′′′ ′′= = = Ω ⇒ = = = Ω

′′′ ′′= = = Ω ⇒ = = = Ω

49



Η ωμική αντίσταση πυρήνα και η επαγωγική αντίδραση μαγνήτισης έχουν ήδη υπολογιστεί από την πλευρά του δευτερεύοντος τυλίγματος.

Ισοδύναμο κύκλωμα Μ/Σ ανηγμένο στο δευτερεύον τύλιγμα,

2. Για τον υπολογισμό της εκατοστιαίας πτώσης τάσης χρησιμοποιείται το απλουστευμένο ισοδύναμο κύκλωμα ανηγμένο στο πρωτεύον τύλιγμα. Είναι:

( )1 2 2 eq eqV V I R j X′ ′ ′ ′= + +

50



( )1

22,

2

22

cos 0,75 41,4170.000 304,35

230

304,35 41,41

304,35 41,4120

oL

N

No

o

SI AV

I A

II Aa

θ −= =

= = =

= ∠−

′ = = ∠−

( )( ) ( )( )

( )

1 2 2

1

1

1 2

2

4.600 0 15,22 41,41 4,98 9,12

4.748,65 53,96 4.749 0,654.749 4.600% 100 100 3,24%.

4.600

eq eq

o o

o

V V I R j X

V j

V j VV VVR

V

′ ′ ′ ′= + +

= ∠ + ∠− +

= + = ∠′− −

= = =′

51



3. Η α.μ. τιμή της τάσης βραχυκύκλωσης, της ισοδύναμης σύνθετης αντίστασης και η τιμή του ονομαστικού ρεύματος βραχυκύκλωσης του Μ/Σ είναι:

( )

( ) ( )

( ) ( )

1,

1,

1,1,

1,1,

158. . 0,034 . . 3,4%4.600

. . . . 0,034 . . 3,4%

70.000 15,224.600

1 15,22 447,65 .. . 0,034

scsc

N

eq sc

NN

N

Nsc Nsc

Vv p u p uή

V

z p u v p u p uή

SI AV

I I Av p u

= = =

′ = =

= = =

= = =

52

Βιβλιογραφία


1. «Ηλεκτρικές Μηχανές», S. J. Chapman, 4η Έκδοση, Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ, 2010, Θεσσαλονίκη.

2. «Ηλεκτρικές Μηχανές», 3η Έκδοση, Π. Μαλατέστας, Εκδόσεις ΤΖΙΟΛΑ, 2015, Θεσσαλονίκη.

3. «Ηλεκτρικές Μηχανές», C. I. Hubert, Εκδόσεις ΙΩΝ, 2008, Αθήνα.

4. “Electrical Machines, Drives and Power Systems”, Sixth Edition, Theodore Wildi, Pearson Prentice Hall, 2006.

5. “Electric Machinery”, sixth Edition, A. E. Fitzgerald, Charles Kingsley, JR, Stephen D. Umans, McGraw Hill, 2003.

6. “Principles of Electrical Machines and Power Electronics”, Second Edition, P. C. Sen, John Wiley & Sons, 1997.

7. “Principles of Electric Machinery with Power Electronics Applications”, Second Edition, Mohamend E., EI-Hawary, IEEE Press Power Engineering Series, A John Wiley & Sons, Publications, 2002.

Παρουσίαση του PowerPoint—λεκτρικέςΜηχανές... · 3...

Documents

Transcript of Παρουσίαση του PowerPoint—λεκτρικέςΜηχανές... · 3...