Άσκηση 1 Α)hy111/2011-12/hw/lus02.pdfΆσκηση 1 Α) Β) Αν, θεωρούμε την...
8
Άσκηση 1 Α)
Transcript of Άσκηση 1 Α)hy111/2011-12/hw/lus02.pdfΆσκηση 1 Α) Β) Αν, θεωρούμε την...
Άσκηση 1
Α)
Β) Αν ,
θεωρούμε την και
Αν το σημείο επαφής τότε
Επειδή το εφαπτόμενο επίπεδο είναι κάθετο στο στο σημείο επαφής τα διανύσματα και θα είναι συγγραμικά.
Ως εκ τούτου, προκύπτει ότι:
Έστω ένα σημείο του χώρου το οποίο είναι σημείο του ζητουμένου επιπέδου αν και μόνο άν
Για να διέρχεται από το και για , θα πρέπει:
Επειδή , δεν υπάρχει το ζητούμενο κατάλληλο σημείο.
root
Typewritten text
α=β=γ=0 επομένως:
Γ) Αν ,
Το σημείο είναι κρίσιμο και εντός του τετραγώνου.
Επίσης:
, και
Επιπλέον:
Ως εκ τούτου, λόγω δηλαδή των παραπάνω, παρατηρείται σαγματικό σημείο στο .
➢ ΑΒ: Είναι και
Επιπλέον:
Άρα τοπικό μέγιστο στο το καιτοπικό ελάχιστο στο το .
➢ ΒΓ: Είναι και
Επίσης:
Οπότε συνεπάγονται:
Τοπικό ελάχιστο στο το Τοπικό μέγιστο στο το Τοπικό ελάχιστο στο το
root
Typewritten text
Σημείωση: Το τετράγωνο σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης έχει πλευρά 1, η λύση της άσκησης έχει γίνει με τετράγωνο πλευράς 2. Η λύση στην περίπτωση του τετραγώνου πλευράς 1 είναι ακριβώς αντίστοιχη με τη μόνη διαφορά οι ευθείες να είναι αντί για x=1 και -1<=y<=1, x=1/2 και -1/2<=y <=1/2 κτλ.
root
Typewritten text
-
root
Typewritten text
-
➢ ΓΔ: Είναι , και
Επιπρόσθετα:
Οπότε:
Τοπικό μέγιστο στο το Τοπικό ελάχιστο στο το Τοπικό μέγιστο στο το
➢ ΔΑ: Είναι
και
Επιπλέον:
Άρα τοπικό μέγιστο στο το καιτοπικό ελάχιστο στο το
root
Typewritten text
Επομένως, το ολικό ελάχιστο το έχω στη θέση (-3/4,-1) και είναι f(-1,-1)=-25/8 και το ολικό μέγιστο το έχω στη θέση (1,-1) και είναι f(1,-1)=7
Άσκηση 2
Α)
Σημείωση: Α και Β προκύπτουν από τον υπολογισμό του
Β)
2π
0(
∫ 1
0
f(r, θ)r dr)dθ =
∫2π
0(
∫ 1
0(2(1 + rcosθ)2 + 2(1 + rsinθ)2 + 1 + rcosθ + 1 + rsinθ + 10)r dr)dθ =∫ 2π
0(
∫ 1
0(2(1 + rcosθ)2 + 2(1 + rsinθ)2 + 1 + rcosθ + 1 + rsinθ + 10)r dr)dθ =∫ 2π
0
∫ 1
0(16r + 5r2cosθ + 5r2sinθ + 2r3 dr)dθ =
∫ 2π
08r2 +
r4
2+r35cosθ
3+r35sinθ
3
∣∣∣∣10
dθ =∫ 2π
08 +
1
2+
5cosθ
3+
5sinθ
3dθ =
17θ
2− 5cosθ
3+
5sinθ
3
∣∣∣∣2π0
= 17π
7
∫
Έστω η αλλαγή συντεταγμένων : y = 1 + rsinθ and x = 1 + rcosθ (1)
0 ≤ r ≤ 1 and 0 ≤ θ ≤ 2π
τότε ο κύκλος κέντρου (1,1) και ακτίνας 1 θα ισχύει
Από το θεώρημα αλλαγής μεταβλητών μπορεί να αποδειχθεί ότι ο ζητούμενος όγκος είναι:
Άσκηση 3
