Άσκηση 1 ΟΚΤ 2016

Δίνεται το σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς

Η(s) =

Δύο πόλοι του συστήματος είναι οι: και

. Βρείτε όλους τους πόλους και εν

συνεχεία βρείτε τον αναλυτικό τύπο της χρονικής εξέλιξης της

εξόδου του συστήματος, , όταν η είσοδος είναι

( , η βηματική συνάρτηση).

Είναι το σύστημα ευσταθές; Ναι ή όχι και γιατί.

Λύση:

Για απλότητα στα επόμενα θέτουμε α2 = και β2= ,

οπότε και

1ος τρόπος ανάλυσης σε απλά κλάσματα

Ο τρόπος αυτός βασίζεται στην ιδιότητα του αντίστροφου

Laplace:

Ι.L.1

O ανωτέρω τύπος ισχύει και για α πραγματικό αλλά και για

μιγαδικό. Πχ

Για α = 3:

ενώ

Για α = 3-5j:

Για να εκμεταλλευτούμε την ανωτέρω ιδιότητα (Ι.L.1),

αναλύουμε την Y(s) σε απλά κλάσματα ως εξής:

1. Θέτω s=p1 => A =

=>

Α = -0.0738

2. Θέτω s=p2 => B =

=>

Β = 0.4417 - 0.1644i

3. Θέτω s=p3 => Γ =

=>

Γ = 0.4417 + 0.1644i

4. Θέτω s=p4 => Δ =

=>

Δ = 0.5238

5. Θέτω s=-2 => Ε =

=>

Ε =

=>

Ε = -1.3334

Προσοχή! Οι συντελεστές Β και Γ που αντιστοιχούν στις

συζυγείς ρίζες p2 & p3 είναι και αυτοί συζυγείς. Αυτό είναι

κρίσιμο για την μορφή της εξόδου y(t).

Όντως:

Σημαντικό: Οι όροι δίνουν:

Αλλά αν το * συμβολίζει τον συζυγή, ισχύει Β* = Γ και Γ* = Β και

Άρα: .

Αρα η έξοδος y(t) είναι πραγματική συνάρτηση.

2ος τρόπος:

Ο τρόπος αυτός βασίζεται στις ιδιότητες του αντίστροφου

Laplace:

Ι.L.2 =>

Και επίσης:

Ομοίως

Στον δεύτερο αυτό τρόπο, ομαδοποιούμε τους συζυγείς

πόλους ανά 2. Πχ στο προκείμενο

1. Οι όροι , , δεν αλλάζουν καθώς οι αντικαταστάσεις

του για , αντίστοιχα, μηδενίζουν τους

συντελεστές των , και ο όρος

είναι ταυτοτικός με τον .

2. Θέτω και μηδενίζω το συντελεστή του .

Γνωρίζοντας τα , , λαμβάνουμε

3. Θέτω και γνωρίζοντας τα , , , λαμβάνουμε

Tότε η προκύπτει ως