Fasores en Corriente Alterna

UES-FIA-EIE-AEL115 Ciclo I-2008

Chapter 10 Sinusoidal Steady-State Analysis

Engineering Circuit Analysis Sixth Edition

W.H. Hayt, Jr., J.E. Kemmerly, S.M. Durbin

Copyright © 2002 McGraw-Hill, Inc. All Rights Rese rved.

User Note:

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Fig. 10.1 The sinusoidal function v(t) = Vm sin ωωωωt is ...

Fig. 10.2 The sine wave V m sin ( ωωωωt + θ) + θ) + θ) + θ) leads …

Fig. 10.3 A graphical representation of two sinusoi ds v1 and v2.

Fig. 10.8 (and 10.9) Real and imaginary forcing fu nctions.

Fig. 10.10 The complex forcing function V m e j(ωωωωt + θθθθ) produces ...

Fig. 10.12 (10.13 & 10.14) Resistors, inductors, an d capacitors …

Fig. 10.19 Circuit from Example 10.6.

Fig. 10.21 Circuit from Example 10.7.

Fig. 10.37 Phasor diagrams.


Científicos que desarrollaron las herramientas matemáticas analíticas para facilitar el estudio de la Corriente Alterna (AC/CA).

III: Estado Senoidal Estable:


La energía eléctrica usada en la industria, comercio, oficinas y residencias se trasmite mundialmente a través de la generación de ondas de voltajes senoidales a 50 Hz (Europa) y 60 Hz (América).Por ello la importancia del análisis de circuitos en régimen permanente de corriente alterna.

3.2 Ondas Senoidales:


Características de la Sinusoide:

Onda seno vrs tiempo “t”

)()( wtsenVtv m=


Características de la Sinusoide:

Onda seno vrs ángulo “wt”

)()( wtsenVtv m=


Valor pico o amplitud máxima:

Valor pico a pico:

Período y frecuencia:

Frecuencia angular:

2 2

1 1 [S] ; [Hz] : [cps]

2 [rad/s]

P m

PP P m

V V

V V V

T ff T

w fπ

=

= =

= =

=


Par de identidades:

onda seno en term inos de y :

N otar que la onda seno se repi 2 [radte cada ]

cos( ) sen( / 2)

( ) cos( / 2)

( ) ( ) ( )m m

w t

T

sen

v t V sen w t V sen

θ

π

ϕ ϕ πβ β π

θ

=

= += −

= =


0

/ 2

0

Valor promedio en un período completo (T):

Valor promedio en un semi-período (T/2):

1( ) 0

21( )

/ 2

T

med m

Tm

med m

V V sen wt dtT

VV V sen wt dt

T π

= =

= =

∫

∫


2

0

C

P

Valor eficaz o rms:

Factor de cresta o factor de pico:

Factor de forma:

1[ ( )]

2

K 2 1.414

2K = 1.111

42 2

Tm

rms m

VV V sen wt dt

T

π π

= =

= ≈

= ≈

∫


The sine wave Vm sin ( wt + ө) leads Vm sin( wt) by ө rad.

Desplazamientos relativos:


3.3 Frecuencia Compleja:

Una forma más elegante y completapara definir funciones constantes, exponenciales, senoidales y senoidalescon envolventes exponenciales, esaplicando el concepto de una fuente de excitación exponencial compleja en función de la frecuencia compleja


Definición: ( )

s tSv t ke

s jwσ=

= ± +donde: vs(t): excitación exponencial

complejas : frecuencia compleja.

Este concepto cubre 4 casos o 4 tiposdiferentes de señales, las cuales son:


Caso 1: señales constantes o DC:

0

0

( ) (constante)S

s

v t ke k

=⇒ = =


Caso 2: Exponenciales crecientes o decrecientes:

tS ketv

s )( σ

σ±=⇒

±=

100

2

2 exp t( ).

40 t0 1 2 3 4

0

25

50

75

100

trace 1

2

0.036631

2 exp t( ).

40 t0 1 2 3 4

0

0.5

1

1.5

2

trace 1


Caso 3: Corriente Alterna: AC/CA:

)cos()( β+==⇒

=wtkketv

jwsjwt

S

2

2

1.8 cos t 1( ).( )

200 t0 5 10 15 20

2

1

0

1

2

trace 1


Caso 4: senoides con envolventes exponenciales (crecientes o decrecientes)

)cos()(

)(

)(

φ

σ

σ

σ

+=⇒

=⇒

+±=

±

+±

wtketv

ketv

jws

tS

tjwS

100

100

sin 10 t( ) exp 0.4 t( )( )

120 t0 3 6 9 12

100

50

0

50

100

trace 1

15

15

15 sin 10 t( ) exp 0.4t( )( )

120 t0 3 6 9 12

15

7.5

0

7.5

15

trace 1


Fasores:

El concepto de Fasor (cuasi-vector) se aplicaen el dominio de la frecuencia compleja en redes lineales y se busca la respuesta en estado estable. Generalmente se supone quelas fuentes de excitación son senos o cosenos puras (AC) a la misma frecuencia.

Una transformacion fasorial es un cambio en la descripcion matematica de una variable física para facilitar el cálculo, generalmenteexpresado en el dominio de la frecuencia.


Fasores:

Un fasor es una versión transformada de una señal de voltaje o corriente en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia compleja, que contiene la información siguiente:

a) amplitud (valor eficaz o rms), y

b) ángulo de fase (grados o radianes)


Identidad de Euler:


La Identidad de Euler constituye la base de la notación fasorial, define la exponencial compleja como un puntoen el plano complejo, el cual puederepresentarse por medio de la componente real y de su componenteimaginaria.En efecto la Identidad de Euler es unarelación trigonométrica en el planocomplejo.


Operador imaginario:“j ” en vez de “i ” evita ambigüedad con “corriente”

jjjjj

jj

jjjjj

jjj

jj

====−==−=−==

−=−==

−==

1

1)1()(

)1(

1)1())((

1

45

2224

23

22

1


Representaciones Variable compleja: Z

)]sen( )[cos(

z

y

ϕϕ

ϕϕ

±+±==

±∠=±=

±

jrz

rez

r

jxz

j

Forma binónica o rectangular:

Forma polar o de Steinmetz:

Forma exponencial compleja:

Forma trigonométrica:


Plano complejo:


Ejemplo: Representación fasorial de dos senos:


A graphical representation of the two sinusoids v1 and v2. The magnitude of each sine function is represented by the length of the corresponding arrow, and the phase angle by the orientation with respect to the positive x axis. In this diagram, v1 leads v2 by 100o + 30o = 130o, although it could also be argued that v2leads v1 by 230o.

It is customary, however, to express the phase difference by an angle less than or equalto 180o in magnitude.


A phasor diagram showing the sum of V1 = 6 + j8 V and V2=3 – j4 V, V1 + V2 = 9 + j4 V = 9.85∠24.0o V.


The phasor diagram shows V1 and I1, where I1 = YV1 and Y = 1 + j S = 1.4∠45o S. The current and voltage amplitude scales are different.


Método gráfico: Suma y resta de dos fasores:


3.4 Impedancia: Z

Las relaciones en el dominio de la frecuencia compleja para la corriente o el voltaje fasorial en los elementos básicos de circuitos (R, L y C) resultan similares a la Ley de Ohm para los resistores en DC.La impedancia desempeña un papel similar al de una “resistencia compleja”donde los inductores y capacitores actúan como resistores dependientes o en función de la frecuencia compleja en particular.


La Impedancia compleja “Z” en función de “s” se define como la transformada fasorial de la razón del voltaje a la corriente, o sea:

( ) £( ( ))£

( ) £( ( ))

( )( ) [ ]

( )

s s

s s

S

S

v t v t

i t i t

V sZ s

I s

=

= Ω

Ley de Ohm en notación fasorial:


Expresando Z en el plano complejo, se tienen sus respectivas componentes:

θ±∠=±=

z

jXRZ

donde: R: Resistencia (real)

+X: Reactancia inductiva (imaginaria)

- X: Reactancia capacitiva (imaginaria)

|z|: magnitud de Zθ : ángulo o fase de Z


Admitancia compleja: Y(s)

En ciertos problemas de circuitos se prefiere utilizar conductancias en vez de resistencias.En el dominio de la frecuencia compleja también se define una cantidad análoga al inverso de la Impedancia compleja y se denonimaAdmitancia compleja: Y(s).

1( ) [S] [ ]

( )Y s

Z s= ≡


Expresando Y en el plano complejo, se tienen sus componentes:

φ±∠=±=

y

jBGY

donde: G: Conductancia: (real)

+B: Susceptancia capacitiva: (imaginaria)

- B: Susceptancia inductiva: (imaginaria)

|y|: magnitud de YØ: ángulo o fase de Y


Resistor en frecuencia compleja:

R

sea: ( )

de Ohm: ( ) ( ) Re

sus fasores son:

k

Z

( ) R [ ]

stS

stS S

S

S

S

S

R

i t ke

v t i t R k

I

V kR

V kRR

I k

Z s

ϕϕ

ϕϕ

=

= =

= ∠= ∠

∠∴ = = =∠

⇒ = Ω


Inductor en frecuencia compleja:sea: ( )

( )de "L": ( )

sus fasores son:

Z

( ) [ ]

stS

stSS

S

S

SL

S

L

i t ke

di tv t L LkSe

dt

I k

V kSL

V kSLSL

I k

Z s SL

φφ

φφ

=

= =

= ∠= ∠

∠∴ = = =∠

⇒ = Ω


Capacitor en frecuencia compleja:

sea: ( )

( )de "C": i( )

sus fasores son:

1Z

1( ) [ ]

SC

st

st

C

C

v t ke

dv tt C CkSe

dt

V k

I kSC

V k

I kSC SC

Z s

ββ

ββ

=

= =

= ∠= ∠

∠∴ = = =∠

⇒ = Ω


En circuitos con Amp-Op en DC se aplicó el concepto de “función de red o función de transferencia” como la relación de la transformada de laplacede una variable de salida respecto a una entrada:

3.5 Funcion de Transferencia:Polos y Ceros

£salida( ) ó ( )

£entradaM s H s=


En el dominio de la frecuencia complejaoperamos en función de la frecuencia compleja “s”, de lo cual la función de red se puede denotar como el cociente de dos polinomios en “s”:

)p-)...(sp-)(sp-(s)c-)...(sc-)(sc-(s

......

)()(

)(

m21

n21

011

1

011

1

=

++++++++== −

−

−−

bsbsbsb

asasasa

sin

soutsM m

mm

m

nn

nn


La función de transferencia proporciona la información siguiente:

• Las raíces del numerador denotan a los “ceros” del sistema.Un cero hace “cero” a la función de red.En el plano complejo se denotan por ceros “o”.


• Las raíces del denominador denotan a los “polos” del sistema.Un polo hace infinita a la función de redEn el plano complejo se denotan por equis “x”

• El orden del sistema queda determinado por los polos de la función de transferencia, o sea depende del grado del polinomio del denominador.


• Los polos de la función de transferencia proporcionan la naturaleza de la respuesta natural del sistema.

• El fasor de la respuesta forzada de la señal de salida, se determina evaluando la función de transferencia en la respectiva frecuencia compleja de la excitación y multiplicandola por el fasor de entrada.


Similar a la unidad I, las Leyes, Arreglos, Métodos y Teoremas de Circuitos en DC son válidos en AC, bajo el concepto de Impedancia en el dominio de la frecuencia compleja, por supuesto es indispensable aplicar las herramientas de Variable compleja y Trasformada fasorial descritos en esta unidad.

3.6 Leyes, Arreglos, Métodos y Teoremas de análisis en AC:


The sinusoidal forcing function V mcos ( wt + θ)

produces the steady - state response

Imcos ( wt + Φ).


The imaginary sinusoidal forcing function

j Vmsin ( wt + θ) produces the imaginary sinusoidal

response j Imsin ( wt + Φ).


The complex forcing function V me j(wt + θ )

produces the complex response

Ime j(wt + Φ ).


Fuentesindependientes en AC: s = jw:


Resistencia en AC: s = jw :


Reactancia Capacitiva en AC: s = jw:

El fasor corriente adelanta al fasor tension en 900


Reactancia Inductiva en AC: s = jw :

El fasor corriente atrasa al fasor tension en 900


Fuentes dependientes en AC: s = jw :


Resumen: s = jw : AC:


Example: Find the current i(t) in the circuit shown in (a).


Example: Find the time-domain node voltages v1(t) and v2(t) in the circuit shown below.

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