viewtopic.php?f=109&t=15584 - COMMON...

http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=109&t=15584

Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1



ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

ΤΕΥΧΟΣ 6ο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 501 - 600

Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με

Μαθηματικούς διαγωνισμούς

Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif



ΘΕΜΑ 501 (sokratis lyras)

Να βρείτε όλα τα διαδοχικά ζεύγη n n 1

a ,a

της ακολουθίας n

na 2 49,n N

έτσι ώστε n n 1

a pq , a rs

με p,q,r,s P,p q,r s και q p s r όπου

P το σύνολο των πρώτων αριθμών.

ΘΕΜΑ 502 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ)

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 2x z 1(2x) 1 y

, δεν έχει λύση στο σύνολο των

φυσικών αριθμών, όταν ο y είναι πρώτος.

ΘΕΜΑ 503 (vzf)

Να λύσετε την εξίσωση 2 2 2(x 5x 3) 3(x 5x 3) 3(x 1) .

ΘΕΜΑ 504 (vzf)

Να λύσετε την εξίσωση x x

5 24 5 24 10 .

ΘΕΜΑ 505 (Socrates)

Δείξτε ότι 3 3 3 3

2 2 2

a b c (a b c),

1 9b ac 1 9c ab 1 9a bc 18

για όλους τους

θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c για τους οποίους ab bc ca 1 .


Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει

2 2 2

a b c

2 2 2

a b c

r r ra b c2· .

r r r 3ra b c


Οι θετικοί ακέραιοι m,n είναι τέτοιοι ώστε 3 3 3 3n (n 1) (n 2) m . Δείξτε

ότι 4 / n 1 .




Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 4n 4n n n 2n 2na b a b 3a b 0 , όπου

n N* .


Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους m,n,p όπου p πρώτος, τέτοιους ώστε ο

αριθμός m n

m n

5 2 p

5 2 p

να είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου.


Αν οι πραγματικοί αριθμοί x,y,α είναι τέτοιοι ώστε

2 2 22x 2y 2αx 2αy α 4 , να δείξετε ότι | x y | 2 .


Αν σε τρίγωνο ABC οι αριθμοί R,S,r αποτελούν με αυτή τη σειρά διαδοχικούς

όρους αριθμητικής προόδου , όπου S το εμβαδόν του τριγώνου, R και r είναι η

ακτίνα του περιγεγραμμένου και του εγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα, να

δείξετε ότι 2 2 2

a b c

9m m m

4 .


Να δείξετε ότι 1 1 1

(abc 1)( ) 3 a b ca b c

για κάθε a,b,c 1 .


Αν x,y ακέραιοι, x,y 1 τέτοιοι ώστε 4 4

x 1 y 1Z

y 1 x 1

, να δείξετε ότι

4 44x 1| x y 1 .




α) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της σταθερής C έτσι ώστε 2 2x y 1 C(x y) ,

για κάθε x,y R .

β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της σταθερής C έτσι ώστε 2 2

x y xy 1 C(x y) , για κάθε x,y R .


Βρείτε όλους τους πρώτους pγια τους οποίους οι αριθμοί

2 2 2p 2,2p 1,3p 4 είναι επίσης πρώτοι.


Έστω n 0 ένας ακέραιος. Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα βαθμού 2nμε

πραγματικούς συντελεστές και μη αρνητικές ρίζες, της μορφής

2n 2n 1 2n 2 2

2 2n 2P(X) X (2n 10)X a X ... a X (2n 10)X 1

.


Να λυθεί η εξίσωση 2x 6x [x] 7 0 .


Να λυθεί το σύστημα

3 2

2 2

x 3xy 49

x 8xy y 8y 17x

.


Έστω m,n θετικοί ακέραιοι. Αν ο αριθμός 2 2

2 2

n mp

n m

είναι πρώτος, να

δείξετε ότι p 1(mod8) .




Να δείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει

2 2 2

A B C B A C C A B

2 r 2 r 2 ra b c 4(R 3r)

r r r r r r r r r

.


Να βρεθούν όλοι οι άρτιοι θετικοί ακέραιοι n τέτοιοι ώστε

1 2 k

1 1 1 1620

d d d 1003 όπου

1 2 3 kd d d ... d οι διαιρέτες του.

Λύση:

Γράφω λίγα περισσότερα από ότι χρειάζονται για την λύση για να δούμε και την

σχετική θεωρία.

Αν ο d είναι διαιρέτης του n τότε και ο n

d πρέπει να είναι διαιρέτης του n . Άρα

οι 1

n

d,…,

k

n

d είναι επίσης διαιρέτες του n . Επίσης είναι διαφορετικοί μεταξύ

τους και άρα πρέπει να είναι όλοι οι διαιρέτες του n . Επομένως η συνθήκη

μετασχηματίζεται σε 1 kd d 1620

n n 1003 ή ισοδύναμα σε 1620n 1003σ(n) ,

όπου με (n) συμβολίζουμε το άθροισμα των διαιρετών του n .

Ας μελετήσουμε λοιπόν λίγο περισσότερο αυτήν την συνάρτηση.

Έστω ότι 1 2 kr r r

1 2 kn p p p η παράσταση του n σε γινόμενο διαφορετικών πρώτων

παραγόντων. Τότε κάθε διαιρέτης του n πρέπει να είναι της μορφής t1 2 ss s

1 2 tp p p

όπου i i

0 s r για κάθε i .



Άρα για να βρούμε το (n) πρέπει να προσθέσουμε όλους αυτούς τους

αριθμούς. Γνωρίζοντας ήδη το αποτέλεσμα ισχυρίζομαι πως

t1 1 rr r2 2 2

1 1 1 2 2 2 t t t(n) (1 p p p )(1 p p p ) (1 p p p ) .

Για την απόδειξη του ισχυρισμού παρατηρούμε ότι αν κάνουμε όλους τους

πολλαπλασιασμούς στο πιο πάνω γινόμενο θα πάρουμε άθροισμα αριθμών της

μορφής t1 2 ss s

1 2 tp p p με

i i0 s r για κάθε i . Επιπλέον κάθε τέτοιος αριθμός

εμφανίζεται στο άθροισμα ακριβώς μία φορά οπότε το άθροισμα πράγματι

ισούται με (n) .

Επομένως ισχύει ότι

t1 rr2 2

1 1 1 t t t

(n) 1 1 1 1 1 11 1

n p p p p p p

.

Από εδώ παρατηρούμε άμεσα ότι αν ο m είναι πολλαπλάσιο του n με m n

τότε σ(m) σ(n)

m n .

Αυτό γιατί στο αντίστοιχο γινόμενο για το σ(m)

m κάθε ένας από τους

παράγοντες είτε θα είναι ο ίδιος είτε θα έχει επιπλέον όρους στο άθροισμά του.

Επιπλέον το αντίστοιχο γινόμενο για το σ(m)

m μπορεί να έχει και άλλους

παράγοντες που αντιστοιχούν σε πρώτους που δεν διαιρούν m αλλά όχι τον n .

Τέλος επειδή m n δεν μπορεί να είναι όλοι οι παράγοντες των δύο γινομένων

ακριβώς οι ίδιοι.

Πάμε τώρα πίσω στο πρόβλημα. Ξέρουμε ότι 1620n 1003σ(n) επομένως ο n

είναι πολλαπλάσιο του 2003 . (Αφού οι 1620 και 2003 δεν έχουν κοινούς

παράγοντες.)

Επειδή ο n είναι άρτιος, πρέπει να είναι και πολλαπλάσιο του 2006 2·17·59 .

Άρα 1620 σ(n) σ(2006) 3 18 60 1620

· ·1003 n 2006 2 17 59 1003

.



Όπως έχουμε δείξει πιο πάνω η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν n 2006 .


Nα λυθεί η εξίσωση: 2 2 2 2

2 2 2 2

x 4x 3 x 4x 3 x 6x 8 x 6x 8

x 4x 3 x 4x 3 x 6x 8 x 6x 8

.


Αν ο αριθμός 9 9 4n 1

A 9n2 2

, όπου n N , είναι θετικός ρητός, να

αποδείξετε ότι και ο αριθμός A , είναι επίσης θετικός ρητός.


Αποδείξτε ότι ο αριθμός: A 111...11122...2225 ,όπου οι άσσοι έχουν πλήθος

1997 και τα δυάρια έχουν πλήθος 1998 , είναι τέλειο τετράγωνο.

(Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα για "Μικρούς")


Αν a,b,c 0 , a b c 1 , να δειχθεί ότι: 2 2 2112abc a b c 1 2abc

27 .

(Από το περιοδικό "ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ" της Ε.Μ.Ε)


Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης n 2

3 7 k .


Να αποδείξετε ότι 2(abc) (a b c)(b c a)(c a b) για κάθε x,y,z 0

με a b c 3 .




Αν a,b,c 0 να δείξετε την ισοδυναμία

a b 1 a c 1 a d 1· · · 3 a bcd

b 1 cd c 1 bd d 1 cb

.


Θεωρούμε την ακολουθία 2 2

1 2 n 2 n 1 na 2,a 5, a (2 n )a (2 n )a , n 1

.

Υπάρχουν p,q,r ώστε p q r

a a a ;


Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε a b c 1 , να δείξετε ότι

3 2 2 3 2 2 3 2 2

a b c 81

a b c c b b c a a c c a b b a 27abc

.


Υπάρχουν ακέραιοι x,y,z,t ώστε 5 5 5 5x y z t 93 ;


Να λυθεί η εξίσωση [x]·{x} 2005x .


Στο επίπεδο, θεωρούμε σημεία 1 2 2010

A ,A , ,A και αυθαίρετο κύκλο (C)

ακτίνας 1 .Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο S του κύκλου τέτοιο ώστε

1 2 2010SA SA ... SA 2010 .



ΘΕΜΑ 534 (Freyia)

Να λυθεί στους φυσικούς αριθμούς ( *N ), η εξίσωση:

(7x 3y 16)(17y 15) 32 .

(Να αποφύγετε να πάρετε περιπτώσεις).


Βρείτε τους πρώτους p,q αν 2 3p q q p .


Βρείτε τους πρώτους p,q αν 2 2p q q 145p (1) .


Βρείτε τους θετικούς ακεραίους x,y για τους οποίους ο αριθμός 2

xy

x y είναι

πρώτος.


Να βρείτε τους φυσικούς a,b,c αν ισχύουν 8 9 11[ab,c] 2 , [bc,a] 2 , [ca,b] 2 .


Να βρείτε όλους τους φυσικούς αριθμούς n , για τους οποίους ο αριθμός n n

(2 1)(3 2) διαιρείται από τον n

5 .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Υπενθυμίζουμε ότι:

α) Αν ένας αριθμός λήγει σε 0,1,5,6 τότε οποιαδήποτε δύναμη με βάση αυτόν

τον αριθμό, θα λήγει επίσης σε 0,1,5,6 .

β) Αν ένας αριθμός λήγει σε 4,9 τότε για να βρούμε που θα λήγει μια δύναμη με

βάση αυτόν τον αριθμό, παίρνουμε δύο περιπτώσεις για τον εκθέτη n :



1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : n 2k

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : n 2k 1

γ) Αν ένας αριθμός λήγει σε 2,3,7,8 τότε για να βρούμε που θα λήγει μια

δύναμη με βάση αυτόν τον αριθμό, παίρνουμε τέσσερις περιπτώσεις για τον

εκθέτη n :

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : n 4k




Επανερχόμενοι τώρα στο πρόβλημά μας, έχουμε:

1η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : n 4k .

Τότε n 4k k

2 1 2 1 16 1 και άρα λήγει σε 7 , που δεν μας κάνει.

2η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : n 4k 1 .

Τότε n 4k k

2 1 2 2 1 16 2 1 και άρα λήγει σε 3 , που επίσης δεν μας

κάνει


Τότε n 4k 2 k

2 1 2 2 1 16 4 1 , και άρα λήγει 5 . Αυτό ίσως μας κάνει,

αλλά όμως: n 4k 2 k

3 2 3 2 81 9 2 , που λήγει σε 1 και άρα ούτε η

περίπτωση αυτή μας ενδιαφέρει.


Τότε n k

2 1 16 8 1 , που λήγει σε 9 .

Συνεπώς , μόνο για n 1 , έχουμε το ζητούμενο.




Να συγκριθούν οι αριθμοί p q q p και p p q q .


Να υπολογίσετε το άθροισμα 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

3 1 5 2 4013 2006S ....

2 1 3 2 2007 2006

.


Για ποιους ακέραιους n είναι ο αριθμός 4 2

n 3n 9 πρώτος;


Οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c,d είναι τέτοιοι ώστε 2 2 2 2 2 2

a b b c c d 1 . Να δείξετε ότι ab ac ad bc bd cd 3 .


Αν x,y,z θετικοί αριθμοί με 2 2 2x y z 1 , τότε να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της

συνάρτησης: 2 2 2 2 2 2

x x y y z zf (x,y,z)

y z x z x y .

(Από το περιοδικό της ΕΜΕ ¨ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β¨)


Να δείξετε ότι

1 1 1 2 2 2... 1 ...

852 853 2554 2* 3* 4 5* 6* 7 2552* 2553* 2554 .





2 2

2 2

2 2

x y z 1

y z x 1

z x y 1

.


Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού

N 1 3 5 ... 2549 2 4 6 ... 2550 με το 2551 .



2 2

2 2

2 2

x y z

y z x

z x y

.


Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της a 2 2

4 4a 4 b .


Αν x,y,z θετικοί αριθμοί να δείξετε ότι ένας, τουλάχιστον από τους αριθμούς

x y z xyz και xy yz zx 3 είναι θετικός.

Βρείτε παράδειγμα τέτοιων αριθμών για τους οποίους οι αριθμοί x y z xyz

και xy yz zx 3 είναι ετερόσημοι (μη μηδενικοί).


Αν η εξίσωση (x m)(x n) x m n έχει ακέραια ρίζα να δείξετε ότι

1 m2

2 n .




Αν a,b,c [0,1] τότε 1 a b c 2(ab bc ca) 3(1 a)(1 b)(1 c) 9 .

Πότε έχουμε ισότητα;


Να βρεθούν οι ρητοί x,y αν x 5 y 5 6 5 10 .



2

2

2

x y z 1

y z x 1

z x y 1

.



2

2

2

x y z 1

y z x 1

z x y 1

.


Ένα ημικυκλικό κομμάτι χαρτί, ακτίνας 10 , διπλώνεται ώστε να σχηματιστεί

κώνος. Να βρεθεί το ύψος του.


Οι πρώτοι αριθμοί p,q είναι τέτοιοι ώστε 2q / p 1 και 2

p / q 1 .

Δείξτε ότι ο αριθμός p q 1 είναι σύνθετος.




Να αποδείξετε ότι:

Αν : 2 2 2 21 2 3 ... 50 a , τότε: 1 2 2 3 ... 100 101 8a .

Και μάλιστα ισχύει 2n n

2 2

k 1 k 1

(k k) 8 k

, για κάθε θετικό ακέραιο n .


Δίνεται η εξίσωση 2

ax bx c 0 , όπου a,b,c R και a 0 . Αν είναι μια

πραγματική ρίζα της εξίσωσης, δείξτε ότι: 2

2 | ac | b| |

| ab |

.

Δίνεται μια ιδιότητα των απολύτων τιμών: | a b | | a | | b | , | a b | | a | | b | .


Θεωρούμε δύο ομόκεντρους κύκλους (O,R) και (O,2R) .

Φέρνουμε την χορδή AB του μεγαλύτερου κύκλου, ώστε να είναι εφαπτόμενη

στον μικρότερο κύκλο, και ονομάζουμε M , το σημείο επαφής.

Από το σημείο A φέρνουμε την εφαπτομένη AN στον μικρό κύκλο.

Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της περιοχής που περικλείεται από τα "ελάσσονα"

τόξα AB , και NM , και από τα ευθύγραμμα τμήματα AN και MB , είναι ίσο με

το εμβαδόν του μικρότερου κύκλου.


Η πράξη *: R R R είναι τέτοια ώστε x 1

* x 12

και (x * y)z (xz)* (yz)

για κάθε x,y,z R Βρείτε τον αριθμό 3* 4 και παράδειγμα τέτοιας πράξης.




Αν 1 2

x ,x είναι ρίζες των εξισώσεων 2x ax b 0 και 2n n n n

x a x b 0 ,

όπου *n N και b 0 , τότε: n n n

1 2 1 2(x x ) x x .

ΘΕΜΑ 563 (ΘΑΝΑΣΗΣ KARKAR)

Η πάνω και η κάτω πλευρές είναι παράλληλες .

Βρείτε το E .


Ένα αυτοκίνητο που κινείται σε ευθύ δρόμο με μία λωρίδα κυκλοφορίας ανά

κατεύθυνση, θέλει να προσπεράσει ένα φορτηγό που βρίσκεται 5mμπροστά

του. Μπαίνει στο αντίθετο ρεύμα κυκλοφορίας και μόλις το προσπεράσει κατά

5m επανέρχεται στο ρεύμα κυκλοφορίας του.

Αν το αυτοκίνητο κινείται με Km

100h

και το φορτηγό με Km

90h

βρείτε το

διάστημα που θα διανύσει το αυτοκίνητο στο αντίθετο ρεύμα κυκλοφορίας.

Δίνεται ότι το μήκος του φορτηγού είναι 15m .


Στον πίνακα είναι γραμμένος ο αριθμός 1000 . Δύο μαθητές παίζουν το

ακόλουθο παιχνίδι:

Εναλλάξ, επιλέγουν ένα γνήσιο διαιρέτη (διάφορο του ίδιου του αριθμού) του

αριθμού που υπάρχει στον πίνακα και αντικαθιστούν τον αριθμό που είναι

γραμμένος στον πίνακα με τη (θετική) διαφορά του αριθμού αυτού από τον

διαιρέτη που επέλεξαν.



Χάνει όποιος δεν μπορεί να παίξει.

Ποιος έχει στρατηγική νίκης;


Να αποδείξετε ότι ο αριθμός: 3 3 3 3A 6 13 20 ... (7n 1) 22n , είναι

πολλαπλάσιο του 7 , για κάθε *

n N .


Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης:

2 2A 5x 4xy y 6x 6y 33 με x,y R .

ΘΕΜΑ 568 (ΘΑΝΟΣ ΜΑΓΚΟΣ)

Έστω a Z . Να εξετάσετε αν υπάρχουν ακέραιοι x,y για τους οποίους

2 2 245x 78y a 1 .


Να αποδειχθεί ότι:

20 20 20 20 30 30 30 30 11 .


Αν 1 2 3 n

a ,a ,a ,...,a , είναι φυσικοί αριθμοί διάφοροι ανά δύο και όλοι τους

μεγαλύτεροι ή ίσοι του 2 , να αποδείξετε ότι:

2

1 2 2 3 n 1 n n 1a a a a ... a a a a n 4n

, για κάθε n N , με n 2 .


Να βρεθούν οι θετικές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης n

2 a! b! c! .




Αν ο πρώτος αριθμός p γράφεται στη μορφή 5 5x y όπου x,y ακέραιοι, να

δείξετε ότι 2

4p 1 v 1

5 2

για κάποιον περιττό v .


Να βρεθούν οι ακέραιες ρίζες της εξίσωσης 2 4 3 2

y 2y x 20x 104x 40x 2003 .


Βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (p,q,n) όπου p,q πρώτοι ώστε

p(p 3) q(q 3) n(n 3) .


Να λυθεί η εξίσωση (x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5)(x 6) 720 .


Προσδιορίστε τα ζεύγη πρώτων αριθμών (p,q)με 2 p,q 100 ώστε οι αριθμοί

p 6,p 10,q 4,q 10 και p q 1 να είναι επίσης πρώτοι.


Δείξτε ότι ο αριθμός 2005

2005 γράφεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων ακεραίων

αλλά όχι ως άθροισμα δύο κύβων ακεραίων.



2 2

2 2

y (x 8)(x 2)

y (8 4x)y 5x 16x 16

.




Υπάρχουν ακέραιοι x,y και z ώστε 2 2 2z (x 1)(y 1) n αν

(α) n 2006

(β) n 2007 ;


Βρείτε τους πρώτους p και q ώστε ο p να διαιρεί τον q 6 και ο q τον p 7 .


Σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός 2007!; Ποιο το τελευταίο μη μηδενικό

ψηφίο του;


Έστω 1 2 3

p ,p ,p και 4

p πρώτοι, διαφορετικοί ανά δύο, τέτοιοι ώστε

1 2 3 42p 3p 5p 7p 162

1 2 3 411p 7p 5p 4p 162

Βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του γινομένου 1 2 3 4

p p p p .


Βρείτε τον ελάχιστο k για τον οποίο ο αριθμός 2010 μπορεί να εκφραστεί ως

άθροισμα k τετραγώνων ακεραίων.


Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της σταθερής k ώστε 4 2 2 4 4 x x y y k(x y) για

κάθε x,y .




Για ποιους θετικούς ακεραίους n είναι ο αριθμός 3 2

n 8n 1

3n

πρώτος ;


Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 2 21 x y x 2xy 2x y .


α) Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί x,y,z τέτοιοι ώστε

x y z 0 και xy yz zx 3 .

β) Αν οι πραγματικοί x,y,z είναι τέτοιοι ώστε x y z 0 και

xy yz zx 3 να βρείτε την τιμή της παράστασης 3 3 3x y y z z x .

ΘΕΜΑ 588 (ΔΗΜΗΤΡΗΣ)

Δείξτε ότι: 5 6 7 104 1 1 1 1

... ...1 3 2 4 3 5 100 102 2 3 4 340

.


Να δείξετε ότι η παράσταση

2 2

2 2

n 0 n 1 n 2 ... n n 1 n n

n 0 n 1 n 2 ... n n 1 n n

είναι σταθερή, δηλαδή ανεξάρτητη του θετικού ακεραίου n .


Βρείτε όλες τις τριάδες (x,y,p) όπου x,y ακέραιοι και pπρώτος τέτοιες ώστε



2 2 2x 3xy p y 12p .


Να λυθεί η εξίσωση 6 3x 2[x] 1 0 .


Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις του συστήματος

2

1 1 2

2

2 2 3

2

n n 1

a a 2a 1

a a 2a 1

...

a a 2a 1

.


Βρείτε όλους τους πρώτους p ώστε ο αριθμός p(p 17) να γράφεται ως

γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων.


Έστω 2 2 2 2

1 1 1 1x ...

2 3 4 100 . Δείξτε ότι:

x0,2 0,3

11 .


Αν a,b,c είναι πρώτοι αριθμοί και 2 a 7 b c 3 , να βρεθούν οι a,b,c .


Δείξτε ότι ο αριθμός 2009 2009 2009 2009

...1 3 3 5 5 7 2007 2009

είναι φυσικός.




Αν *n N ,a N , με a 2 , τότε ο αριθμός

n 1

n

1 aA

1 a

δεν μπορεί να είναι

φυσικός.


Δείξτε ότι: 2012 2013 2012 2013 2012 2013 2013 .


Αν a,b,c Q και ab bc ca 2013 , δείξτε ότι ο αριθμός:

2 2 2A (2013 a )(2013 b )(2013 c ) είναι ρητός.


Αν a,b N,a,b 2 και αν επί πλέον είναι a b , δείξτε ότι: ab a b 1 .

viewtopic.php?f=109&t=15584 - COMMON...

Documents

Transcript of viewtopic.php?f=109&t=15584 - COMMON...