Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ...

82
Πολυχρόνη Μωυσιάδη Καθηγητή ΑΠΘ Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ για πρωτοετείς φοιτητές Δασολογίας Θεσσαλονίκη 2010 Ιστοσελίδα http://users.auth.gr/~cmoi/AdvMathsDas_gr.htm

Transcript of Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ...

Page 1: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη Καθηγητή ΑΠΘ

Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα

ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

για

πρωτοετείς φοιτητές Δασολογίας

Θεσσαλονίκη 2010

Ιστοσελίδα http://users.auth.gr/~cmoi/AdvMathsDas_gr.htm

Page 2: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής
Page 3: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.1

Συναρτήσεις Ανασκόπηση - Έννοιες – Ορισμοί

Ορισμός: : , ( ),f A B όπου y f x με x B ' = ÎA Βασικές Έννοιες

1. Να είναι καλά ορισμένη. Για παράδειγμα η συνάρτηση [ ] [ ]) 3 1: 0, 4 1,13α y x= + ή [ ]3 1: 0, 4y x= + ορίζει ευθύγραμμο τμήμα

(αριστερό σχήμα ) , ενώ η ) 3 1:β y x= + ή 3 1y x= + ορίζει την ευθεία (δεξιό σχήμα )

Γενικά αν δεν δίνεται το πεδίο τιμών ως τέτοιο λαμβάνεται το σύνολο εικόνων f(A), ενώ αν δεν δίνεται το πεδίο ορισμού ως τέτοιο λαμβάνεται το μεγαλύτερο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών όπου μπορεί να οριστεί η συνάρτηση (π.χ. να μην απειρίζεται, να μην γίνεται αρνητικό κάποιο υπόριζο ή όρισμα λογαρίθμου, κλπ.).

2. Ισότητα, επέκταση περιορισμός Έστω δύο συναρτήσεις για τις οποίες

( ) :f x A G , ( ) :g x B D και ( ) ( )f x g x για κάθε x= ÎAÇB Αν Α=Β f(x) και g(x) είναι ίσες. Συμβολίζουμε f=g Αν ΑB η f(x) λέγεται περιορισμός της g(x) στο Α , ενώ η g(x) λέγεται επέκταση της f(x) στο Β.

π.χ. αν ( ) , * 0ημx

f x xx

= Î = - και , 0

( )1 , 0

ημxx

g x xx

ìïï ¹ï=íïï =ïî

τότε η g(x) είναι επέκταση της f(x) στο .

1 2 3 4

-5

5

10

15

-2 -1 1 2 3 4 5

-5

5

10

15

Page 4: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.2

3. Άθροισμα - Διαφορά - Γινόμενο – Πηλίκο Αν οι συναρτήσεις 1 2,f f έχουν κοινό πεδίο ορισμού Α, ορίζεται:

( )1 2 1 2 1 2: ( ) ( ) ( ),f f f f x f x f x x A+ + = + Î

( )1 2 1 2 1 2: ( ) ( ) ( ),f f f f x f x f x x A- - = - Î

( )1 2 1 2 1 2: ( ) ( ) ( ),f f f f x f x f x x A⋅ ⋅ = ⋅ Î

1 1 12

2 2 2

( ): ( ) , : , ( ) 0

( )

f f f xx x A x x A f x

f f f x¢= Î = Î ¹

4. Άρτια, Περιττή Συνάρτηση Η συνάρτηση ( )f x είναι άρτια αν ( ) ( ),f x f x x A- = " Î (Συμμετρική ως προς άξονα Οy) και περιττή αν ( ) ( ),f x f x x A- =- " Î (Συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων). Οι περισσότερες συναρτήσεις δεν είναι ούτε άρτιες, ούτε περιττές.

5. Μονοτονία Η συνάρτηση ( )f x είναι

αύξουσα 1 2 1 2 1 2( ) ( ), ,x x f x f x x x A< £ " Î

φθίνουσα 1 2 1 2 1 2( ) ( ), ,x x f x f x x x A< ³ " Î

γνησίως αύξουσα 1 2 1 2 1 2( ) ( ), ,x x f x f x x x A< < " Î

γνησίως φθίνουσα 1 2 1 2 1 2( ) ( ), ,x x f x f x x x A< > " Î

Μέθοδος: Για την εξέταση της μονοτονίας θεωρούμε δύο τιμές 1 2x x< και εξετάζουμε

τη διαφορά 1 2( ) ( ) 0f x f x- > ή το πηλίκο 1 2( ) / ( ) 1f x f x > όταν οι τιμές της

συνάρτησης είναι θετικές. 6. Φραγμένες Συναρτήσεις H συνάρτηση f(x) είναι: φραγμένη , : ( ) ,m M m f x M x A$ £ £ " Î φραγμένη άνω : ( ) ,M f x M x A$ £ " Î φραγμένη κάτω : ( ) ,m f x m x A$ ³ " Î

μη-φραγμένη 1 2 1 2, , , : ( ) ( )m M x x A f x m και f x" $ Î £ ³M

Ο M λέγεται άνω φράγμα, ο m κάτω φράγμα

Page 5: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.3

Μέθοδος: Για την εξέταση του εάν μία συνάρτηση είναι φραγμένη ή όχι θεωρούμε ανισοτικές σχέσεις, ή χωρίζουμε τη συνάρτηση σε μονότονα τμήματα.

7. Περιοδικότητα H συνάρτηση f(x) είναι περιοδική, αν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ, τέτοιος ώστε:

να είναι και , ( ) ( )όταν x A x T A και να ισχύει f x T f xÎ + Î + = . Ο μικρότερος αριθμός Τ λέγεται περίοδος.

Παραδείγματα περιοδικών συναρτήσεων είναι οι τριγωνομετρικές y=ημx, y=συνx, y=εφx, … και γενικά οι ημιτονοειδείς συναρτήσεις, η y=x-[x] κ.ά. 8. Σύνθεση συναρτήσεων Οι συναρτήσεις 1 2: , :f fAB BG ορίζουν μία συνάρτηση

:f A G , όπου 1 2 2 1( ) ( )( ) ( ( ))f x f f x f f x= = .

Αν 1 2,f f πραγματικές πραγματικής μεταβλητής, με 1 2: , :f fA B τότε η

σύνθεση ορίζεται στο υποσύνολο Α΄ του Α, όπου:

1 : , ( ) A x x A f x B¢ = Î Î .

Page 6: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.4

Παράδειγμα: Θεωρούμε τις συναρτήσεις ( ) xf x e= και ( ) lng x x= Διαπιστώνεται εύκολα ότι: :f , ενώ : (0, )g ¥ , δηλ. , (0, )A B= = ¥ Τότε:

: ,

( ) ( ( )) ln( ) ,x

g f A όπου A με

g f x g f x e x x

¢ ¢ =

= = = Î

ενώ

ln

: , (0, )

( ) ( ( )) , (0, )x

f g B όπου B με

f g x f g x e x x

¢ ¢ = ¥

= = = Î ¥

δηλαδή η g f είναι η ταυτοτική σε όλο το , ενώ η f g είναι η ταυτοτική στο (0,∞). 9. Αντιστροφή συναρτήσεων Πρέπει η συνάρτηση να είναι 1-1 και επί. (Για να το ελέγξουμε θεωρούμε 1 2( ) ( )f x f x=

και προσπαθούμε από αυτό να συμπεράνουμε 1 2x x= )

Αν :f A B τότε ορίζεται η αντίστροφη 1 :f B A- έτσι ώστε

αν ( )y f x= τότε να ισχύει 1( )x f y-= . Οι γραφικές παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο των αξόνων (αριστερά στο σχήμα)

Παράδειγμα. Αν 2( ) 1 , 0 1f x x x= - £ £ , τότε 1( ) 1 , 0 1f x x x- = - £ £ . Παρατηρήστε στο σχήμα δεξιά ότι οι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο καμπύλες τέμνονται

σε σημεία που δεν βρίσκονται όλα στην διχοτόμο. Είναι τα (0,1), (1,0) και 5 1 5 1

,2 2

æ ö- - ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø.

Page 7: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.5

10. Όριο ( x ¥ ) lim ( )x

f x λ¥

= όταν 0 00, 0 : , ( )ε x x A με x x f x λ ε" > $ > " Î > - <

Π.χ. η συνάρτηση /102 xy e ημx-= + του παρακάτω σχήματος έχει lim ( ) 2x

f x¥

=

lim ( )x

f x¥

=+¥ όταν 0 00, 0 : , ( )x x A με x x f x"M> $ > " Î > >M

Π.χ. η συνάρτηση ln20

xy = του παρακάτω σχήματος έχει lim ( )

xf x

¥=+¥

lim ( )x

f x¥

=-¥ όταν 0 00, 0 : , ( )x x A με x x f x"M> $ > " Î > <-M

Π.χ. η συνάρτηση 2501

10

xy

-= του παρακάτω σχήματος έχει lim ( )

xf x

¥=-¥

Ανάλογα ισχύουν και όταν x -¥

10 20 30 401.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

/102 xy e x

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 3

- 2

- 1

1

2

ln20

xy

2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0

- 8 0 0

- 6 0 0

- 4 0 0

- 2 0 0

2 0 0

2501

10

xy

Page 8: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.6

Όριο ( 0x x )

0

lim ( )x x

f x λ

= όταν 00, 0 : , 0 ( )ε δ x A με x x δ f x λ ε" > $ > " Î < - < - <

0

lim ( )x x

f x

=+¥ όταν 00, 0 : , 0 ( )M δ x A με x x δ f x M" > $ > " Î < - < >

0

lim ( )x x

f x

=-¥ όταν 00, 0 : , 0 ( )M δ x A με x x δ f x M" > $ > " Î < - < <-

Στο παρακάτω σχήμα είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης / 2 , 0

0.5 , 0 / 2( ) 2

, / 2 55log( 5), 5

xe x

εφx x πf x x

π xxx x

ìï <ïïï + < <ïïï=í -ï < <ïï -ïïï - >ïî

Παρατηρούμε ότι

0lim ( ) 0.5x

f x

= (παρόλο που από τις δύο πλευρές του x=0 έχουμε

διαφορετικές εκφράσεις. Επίσης ότι 5

lim ( )x

f x

=-¥ , ενώ δεν υπάρχει το / 2

lim ( )x π

f x

11. Πλευρικά Όρια 0x x + ή 0x x -

0

lim ( )x x

f x λ+

= όταν 0 00, 0 : , ( )ε δ x A με x x x δ f x λ ε" > $ > " Î < < + - <

0

lim ( )x x

f x λ-

= όταν 0 00, 0 : , ( )ε δ x A με x δ x x f x λ ε" > $ > " Î - < < - <

0

lim ( )x x

f x+

=+¥ όταν 0 00, 0 : , ( )M δ x A με x x x δ f x M" > $ > " Î < < + >

0

lim ( )x x

f x-

=+¥ όταν 0 00, 0 : , ( )M δ x A με x δ x x f x M" > $ > " Î - < < >

0

lim ( )x x

f x+

=-¥ όταν 0 00, 0 : , ( )M δ x A με x x x δ f x M" > $ > " Î < < + <-

0

lim ( )x x

f x-

=-¥ όταν 0 00, 0 : , ( )M δ x A με x δ x x f x M" > $ > " Î - < < <-

Παρατηρούμε (στο σχήμα) ότι 2

22

2lim ( ) =0.12516

5

π

ππ

x

f x+

-=

- , ενώ

2

lim ( )π

x

f x-

=+¥

-2 -1 1 2

2 3 4 5 6

-8

-6

-4

-2

2

4

Page 9: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.7

ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν 0 0

lim ( ) lim ( )x x x x

f x f x+ -

= τότε υπάρχει το 0

lim ( )x x

f x

και μάλιστα

0 0 0

lim ( ) lim ( ) lim ( )x x x x x x

f x f x f x+ -

= =

12. Συνέχεια σε σημείο Η συνάρτηση :f BA είναι συνεχής στο σημείο 0x AÎ , αν υπάρχει το όριο

0

lim ( )x x

f x

και ισχύει 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x

= .

Η συνάρτηση :f BA είναι συνεχής από δεξιά στο σημείο 0x AÎ , αν υπάρχει το όριο

0

lim ( )x x

f x+

και ισχύει 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x+

= .

Η συνάρτηση :f BA είναι συνεχής από αριστερά στο σημείο 0x AÎ , αν υπάρχει το

όριο 0

lim ( )x x

f x-

και ισχύει 0

0lim ( ) ( )x x

f x f x-

= .

ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν η συνάρτηση :f BA είναι συνεχής στο σημείο 0x AÎ , και από

δεξιά και από αριστερά τότε είναι συνεχής στο σημείο αυτό, δηλ. Αν

00lim ( ) ( )

x xf x f x

+= και

00lim ( ) ( )

x xf x f x

-= τότε

00lim ( ) ( )

x xf x f x

=

13. Ασυνέχειες

Η συνάρτηση :f BA δεν είναι συνεχής στο σημείο 0x AÎ όταν:

Τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν, είναι ίσα, αλλά διαφέρουν από το 0( )f x

Στην περίπτωση αυτή η ασυνέχεια αίρεται με αλλαγή της τιμής 0( )f x .

Τα δύο πλευρικά όρια υπάρχουν αλλά διαφέρουν μεταξύ τους Στην περίπτωση αυτή αν η τιμή 0( )f x είναι το ημιάθροισμα των πλευρικών ορίων,

το σημείο λέγεται κανονικό σημείο ασυνέχειας Ένα τουλάχιστον από τα πλευρικά όρια στο x0 δεν ορίζεται ή είναι άπειρο (σημεία

άπειρης ασυνέχειας 14. Γνωστά Όρια

α)

1, 0

lim , 0

0, 0

a

x

αν a

x αν a

αν a¥

ì =ïïïï= +¥ >íïï <ïïî

β) 0

lim 1x

ημx

x=

γ) 1 0

1 01 0

1 0

/ ,...

lim 0,...

,

n mn nn n

m mxm m

a β αν m na x a x a x

αν m nβ x β x β x

αν m n

--

-¥-

ì =ïï+ + + ïï= >íï+ + + ï ¥ <ïïî

δ) 1

lim 1x

xe

æ ö÷ç + =÷ç ÷çè ø ε) lim 1

xa

x

ae

æ ö÷ç + =÷ç ÷çè ø

Page 10: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.8

Γνωστές συναρτήσεις 1. H γραμμική συνάρτηση (ευθεία) ( )y f x α x β= = +

2. H δευτεροβάθμια συνάρτηση (παραβολή) 2( )y f x α x β x γ= = + +

Τα σημεία τομής της καμπύλης με τον άξονα των x (αν υπάρχουν), είναι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης 2 0α x β x γ+ + = .

3. H ομογραφική συνάρτηση (υπερβολή) ( ) , 0α x β

y f x γ x δγ x δ

+= = + ¹

+

Page 11: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.9

4. Οι τριγωνομετρικές (κυκλικές) συναρτήσεις

y ημx= y συνx=

y εφx= y σφx=

5. H ρητή συνάρτηση 1

1 01

1 0

( ) , 0 , 0n n

n nn mm m

m m

α x α x αy Q x α β

β x β x β

--

--

+ + += = ¹ ¹

+ + +

π.χ. 2

3

2 3 1

1

x xy

x x

+ -=

- +

5 3

3

2 3 1

1

x xy

x x

+ -=

- +

2 2 3 4

-1

-0.5

0.5

1

2 2

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

3

22

2

3

2

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

-2 2 4 6 8

-10

-5

5

10

-4 -2 2 4

-40

-20

20

40

60

3

22

2

3

25

27

2

-1

-0.5

0.5

1

Page 12: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.10

3 2

3

2 3 1

1

x xy

x x

+ -=

- +

και ιδιαιτέρως στα δύο άκρα 6. H εκθετική συνάρτηση με βάση α, α≠1, α>0 ( ) xy f x α= =

Παρατηρούμε ότι για κάθε α περνά από το σημείο (0,1), ότι για α>1 είναι αύξουσα, ενώ για 0<α<1 φθίνουσα. Για α>1 ισχύει lim x

xa

¥=+¥ και lim 0x

xa

-¥= και ανάλογα όταν

0<α<1.

-100 -80 -60 -40 -20

1.6

1.65

1.7

1.75

1.8

1.85

1.9

1.95

20 40 60 80 100

2.05

2.1

2.15

2.2

2.25

2.3

2.35

-4 -2 2 4

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

-2 -1 1 2

2

4

6

8

2xy

xy e

10xy

12

2

x

xy

Page 13: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.11

7. H λογαριθμική συνάρτηση με βάση α, α≠1, α>0 ( ) logay f x x= =

Παρατηρούμε ότι για κάθε α περνά από το σημείο (1,0), ότι για α>1 είναι αύξουσα,

ενώ για 0<α<1 φθίνουσα. Για α>1 ισχύει lim logax

=+¥ και 0

lim logax

x+

=-¥ , ενώ

για 0<α<1 ισχύει lim logax

=-¥ και 0

lim logax

x+

=+¥ .

Ιδιότητες Λογαρίθμων Οι συναρτήσεις lnx και xe είναι αντίστροφες άρα: ln xe x= (πρέπει x>0) , ln( )xe x= . Οι συναρτήσεις loga x και xa είναι αντίστροφες άρα: logα xα x= (πρέπει x>0) ,

log ( )xα α x= .

Αλλαγή βάσης Λογαρίθμων log

log , 0, 1log

βα

β

xx β β

a= " > ¹

και ειδικά για το e ln

loglnα

xx

a=

Ισχύουν επίσης log ( ) log loga a ax y x y⋅ = +

log log loga a a

xx y

y= -

log logna ax n x= ⋅

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

1/ 2log ( )y x2log ( )y x

10log ( )y x

ln( )y x

Page 14: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.12

8. Κωνικές τομές

2 2y p x

p > 0

Για p<0, συμμετρικά ως προς Oy

Παραβολή 2 2x p y

p < 0

Για p>0, συμμετρικά ως προς Ox

Κύκλος με ακτίνα r και κέντρο Ο(0,0) με ακτίνα r και κέντρο Κ(α,β)

είναι κύκλος (Κ,r), με

Γενικά η εξίσωση: 2 2 0x y x x+ +A +B +G=

2 2 4,

2 2 2καιK r

A B A +B - G- - =æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

2 2 4 0με A +B - G>

2 2 2x y r+ =

( ) ( )2 2 2x α y β r- + - =

Page 15: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.13

| | 2ME ME΄

+1

Υπερβολή 2 2

2 21

x y

2α = απόσταση κορυφών 2γ = εστιακή απόσταση

2 2

Εφαπτομένη στο (x0, y0)

0 02 2

1x x y y

Εκκεντρότητα ε, ε>1

2 1

ε= β = α ισοσκελής ε 1, β 0 κλειστή

2

Ασύμπτωτες

,y x y x

2ME ME΄

Έλλειψη 2 2

2 21

x y

2α = μεγάλος άξονας 2β = μικρός άξονας 2γ = εστιακή απόσταση

2 2

Εφαπτομένη στο (x0, y0)

0 02 2

1x x y y

Εκκεντρότητα ε, 0<ε<1

21

ε 0, β α Κύκλος ε 1, β 0 Ευθεία

Παραμετρικές εξισώσεις

, [0, 2 )x

y

Page 16: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.14

Στοιχειώδεις Υπερβατικές Συναρτήσεις

: 0, 1,1y x

τοξσυνx ή συν-1x

: 1,1 0,y x

συνx συνx

y=x

τοξσυνx

Πρωτεύων κλάδος του τοξσυνx

ημx

Αντίστροφες Κυκλικές Συναρτήσεις

: , 1,12 2

y x

τοξημx ή ημ-1x

τοξημx

y=x

ημx

ημx-τοξημx

: 1,1 ,2 2

y x

Πρωτεύων κλάδος του τοξημx

Page 17: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.15

x

x

Αν x γνωστό (x [-1, 1])

Ανάλογα και για τις άλλες τριγ. συναρτ.

Λύνουμε την τριγωνομετρική εξίσωση έτσι ώστε θ [-π/2, π/2])

3 3

2 2

3

2 3

23

32

3

k

k

παράδειγμα

ημx και τοξημx είναι αντίστροφες

x x

2

2 1

x kx

k x

2 22 2

k x k

(2 1) (2 1)2 2

k x k

Ειδικά: x

x

2 ή 2x k x k

Ιδιότητες Τόξων

: 0,y x : 0,y x

: ,2 2

y x

: ,2 2

y x

τοξεφx και τοξσφx

Page 18: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.16

Ασκήσεις

Βρέστε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων 3

2 1

xy τοξημ

x

-=

+ 2 2

1 lnx

y xx

-= - +

( )1 2xy τοξεφ= + (Απαντ. 4 ή 2 / 3x x<- > , 0 1x< £ , Îx R )

Υπολογίστε τις εκφράσεις

5

3

πτοξημ συν

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø,

1 2

3 3ημ τοξημ τοξσυν

ì üï ïï ï+í ýï ïï ïî þ,

212

29ημ τοξσυν

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø

(Απ. / 6π , ( )2 1 10 / 9 0.92495+ = , 2

8400.9988

29= )

Λύστε τις εξισώσεις 1 1

2 2ημ τοξεφx

æ ö÷ç =÷ç ÷çè ø,

5

2 6

x πτοξημx τοξσυν+ = (Απ.

3, 1x x= = )

Παραστήστε γραφικά τις συναρτήσεις ( )12

πy τοξημ x= + - 2y τοξεφx π= -

2

2

x kx

k x

2 2 1k x k

2 1 2k x k

x x Όμοια: ενώ

x x k

2 2k x k

x x Επίσης: ενώ

1x

x

Ισχύουν: x x

x x

x x

Ακόμη:

2x x

2x x

Για το τοξσφx, έχουμε:

( ) ( )τοξσφ σφx τοξεφ εφx=

που δίνει

Page 19: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.17

Υπερβολικές Συναρτήσεις

υπερβολικό ημίτονο 2

sinh :x x

y xe e-

= =-

υπερβολικό συνημίτονο 2

cosh :x x

y xe e-

= =+

υπερβολική εφαπτομένη sinhtanh :

cosh

xy x

x= =

υπερβολική συνεφαπτομένη coshcoth : 0

sinh

xy x

x= = -

Αντίστροφες Υπερβολικές Συναρτήσεις ( )1 2arcsinh s n 1inh l :y x x x x x- + += = = Î

( )21arccosh co :lsh n 11y x x x xx- + -= = = ³

1arctanh tan1

h :1

1ln 11

2

x

xy x x x-= = = - <

-<

+

1arccoth coth : | | 11 1

ln2 1

y x xx

xx- =

+-

= = >

Ιδιότητες, όπου οφείλεται η ονομασία

2 2

2 2

2

2

cosh sinh 1

sinh 2 2sinh cosh

cosh 2 cosh sinh

2cosh 1

1 2sinh

x x

x x x

x x x

x

x

2 2

2 2

2

2

cos sin 1

sin 2 2sin cos

cos2 cos sin

2cos 1

1 2sin

x x

x x x

x x x

x

x

υπερβολικοί τριγωνομετρικοί αριθμοί τριγωνομετρικοί αριθμοί

Page 20: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.18

Ασκήσεις Βρέστε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων

cosh 2 1y x= + , 1 cosh

2 sinh

xy

x

+=

+, ( )arctanh 1 2 xy -= -

(Απάντ. 1/ 2x>- ln( 5 2) -1.44364x¹ - = 1x>- ) Υπολογίστε τις εκφράσεις

( )cosh 2 ln 3- , arccos 2 arcsin 3h h- , ( )1coth 25/7e-- (Απ. 41/9, 0, 3/4)

Υπερβολική εφαπτομένη - Υπερβολική συνεφαπτομένη

cothx

coth-1x

tanhx

tanh-1x

cosh-1x

coshx sinhx

sinh-1x

Υπερβολικό ημίτονο - Υπερβολικό συνημίτονο

Page 21: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.19

Δείξτε ότι:

( )sinh sinh cosh cosh sinhx y x y x y+ = + 2

2 tanhtanh 2

1 tanh

xx

x=

+

Παραστήσατε γραφικά τις συναρτήσεις ( )1 tanh 1y x= - - ( )12cosh 1y x-=- +

Πεπλεγμένες συναρτήσεις Έστω συνάρτηση δύο μεταβλητών F(x,y), και έστω ότι ισχύει F(x,y)=0 για (x,y) στο

D. Αν το x είναι δοσμένο και ίσο με x0 τότε από τη σχέση F(x0,y)=0, προκύπτει θεωρητικά μια λύση y=y0 Θεωρούμε αυτό το y0 ως εικόνα του x0. Επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία για γειτονικά σημεία του x0 φροντίζοντας να επιλέγουμε λύσεις (εάν υπάρχουν περισσότερες από μία) που να βρίσκονται γειτονικά στην y0. Αν αυτή η διαδικασία γίνει για όλα τα σημεία x ενός συνόλου Α ορίζεται μία συνάρτηση ( )y f x= με πεδίο ορισμού το Α, η οποία λέγεται πεπλεγμένη συνάρτηση ή ότι ορίζεται πεπλεγμένα μέσω της σχέσης F(x,y)=0.

Η πεπλεγμένη συνάρτηση δεν είναι κατ’ ανάγκην μοναδική. Συνήθως έχει διαφορετικούς κλάδους.

Παράδειγμα

Η εξίσωση 2 2

2 21

x y

α β+ = ορίζει πεπλεγμένα μια έλλειψη. Μάλιστα, η έλλειψη αυτή

ορίζεται με δύο κλάδους, ο ένας που ορίζει την άνω ημι-έλλειψη (συνάρτηση 2

21

xy β

α= -

με πεδίου ορισμού [-α,α]) ενώ ο άλλος ορίζει την κάτω ημι-έλλειψη (συνάρτηση 2

21

xy β

α=- - με πεδίου ορισμού [-α,α]).

Όμοια η εξίσωση 2/3 2/3 2/3x y α+ = ορίζει πεπλεγμένα το αστεροειδές.

Παραμετρικές εξισώσεις Έστω δύο συναρτήσεις ( ) :x g t I A= , ( ) :y h t= I B με πεδίο ορισμού Ι. Υποθέτουμε ότι η ( )g t είναι αντιστρέψιμη, π.χ. ότι είναι μονότονη. Ορίζεται τότε μία συνάρτηση ( ) :y f x A B= η οποία λέμε ότι ορίζεται παραμετρικά μέσω των g και h η

οποία είναι απλά η σύνθεση των h και g-1 δηλαδή: 1f h g-= , ή ότι 1( ) ( ( ))f x h g x-= για κάθε x AÎ . Η «συνάρτηση» :f A B ενδέχεται να μην ικανοποιεί βασικές ιδιότητες. π.χ. Για το ίδιο x να υπάρχουν διαφορετικά y μέσα από διαφορετικά t.

Στη Φυσική το t συνήθως παριστάνει χρόνο, ενώ τα x=x(t), y=y(t) τη μεταβολή π.χ. της θέσης ενός κινητού στους άξονες x και y. Η οριζόμενη συνάρτηση y=f(x) παριστάνει την τροχιά του κινητού.

Page 22: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.20

2 /3 2 /3 2 /3x y

3

3, 0, 2

x tt

y t

αστεροειδές

κυκλοειδές

,1

x t tt

y t

5, 0, 2

3

x tt

y t

α

κισσοειδές

2

2

3

2

1 ,

1

tx

t tt

yt

3 4

x+y=α

3

2

3

3

1,

3

1

tx

tt

ty

t

Φύλλο Καρτεσίου

2

21

xy

2

21

xy

2 2

2 2

2 2 2 2

2 21

x y

, 0 2x

y

Παραμετρική εξίσωση έλλειψης

Page 23: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.21

Πολικές Συντεταγμένες

Κάθε σημείο Μ του επιπέδου μπορεί να παρασταθεί όπως γνωρίζουμε με τα (x,y) που είναι οι προβολές του σημείου στους δύο άξονες. Τα (x,y) ονομάζονται καρτεσιανές συντεταγμένες (x=τετμημένη, y=τεταγμένη). Στο σχήμα βλέπουμε ότι υπάρχουν και δύο άλλα στοιχεία το r και το θ που είναι η «πολική» ακτίνα και το όρισμα του σημείου Μ. Τα (r,θ) ορίζουν εξίσου καλά το Μ όπως και τα (x,y) και λέγονται πολικές συντεταγμένες, η αρχή των συντεταγμένων λέγεται πόλος και ο άξονας των x λέγεται πολικός άξονας. Η γωνία θ είναι προσανατολισμένη με θετικά φορά αυτήν που είναι αντίθετη της φοράς των δεικτών του ωρολογίου.

Είναι εύκολο να αποδειχθούν οι σχέσεις Από τις σχέσεις αυτές προκύπτει ότι αν είναι γνωστές οι πολικές συν/νες είναι γνωστές και οι καρτεσιανές και αντίστροφα. Παράδειγμα.

r=α, θ [0,2π), είναι ο κύκλος Κ(0,α)

r=2ασυνθ, θ [0,2π), είναι ο κύκλος Κ((α,0), α)

Αν γνωρίζουμε την r=r(θ) (συνάρτηση σε πολικές συν/νες) τότε αντικαθιστώντας στην (1) παίρνουμε παραμετρική μορφή της συνάρτησης, με παράμετρο το θ. Παραδείγματα

Λημνίσκος Bernoullli

2 2 2 , 0 2r

22 2 2 2 2x y x y

α -α 2α

1 , 0 2r

α

x

y

OΠόλος

r

θ

M(r,θ)

Πολικός άξονας

M(x,y)

καρδιοειδές

( )( )

2 2

, 0

, 0

r x y

τοξεφ y x αν xθ

π τοξεφ y x αν x

= +

ì >ïï=íï + <ïî

x r συνθ

y r ημθ

==

Page 24: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

1.22

Ασκήσεις Δείξτε ότι η 2 2 42 0y x y x+ - = ορίζει πεπλεγμένα δύο παραβολές. Κάντε γραφ. παράσταση

(Απ. ( )( )2 22 0y x y x- + = )

Θέτοντας x=t/2, ή x=συνθ στην 24 4x y+ = προκύπτουν δύο διαφορετικές παραμετρικές

μορφές (Απάντ. 2/ 2, 4x t y t= = - , 2, 4x συνθ y ημ θ= = )

Βρέστε παραμετρική μορφή για την ( )2 /32 /3 2 /3 2 /3 2 /3α y β x αβ+ =

(Απ. 3 3,x ασυν θ y β ημ θ= = )

Εκφράστε με πολικές συν/νες την ( )22 2 2 2x y x y+ = - (Απ. 2 2r συν θ= )

Δείξτε ότι οι cosh , sinh ,x α t y β t t= = Î είναι παραμετρικές εξισώσεις υπερβολής. Ποιο σημείο της αντιστοιχεί στο ln 3t = .

(Απ. 2 2

2 21

x y

α β+ = ,

5 4cosh(ln3) , sinh(ln3)

3 3

α βx α y β= = = = )

2 , 0 2r

τετράφυλλο

α α

α α

Σπείρα Αρχιμήδη Λογαριθμική Σπείρα

,r ,r e

Page 25: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.1

Η έννοια του ορίου - Ακολουθίες

Παράδειγμα 1: Παράδοξο Ζήνωνος Έστω ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα 10-πλάσια της ταχύτητας της χελώνας. Έστω ακόμη ότι η χελώνα έχει προβάδισμα s1=100, όταν ξεκινούν ταυτόχρονα. Τότε κατά το διάστημα που ο Αχιλλέας θα χρειαστεί να φθάσει στην αρχική θέση της χελώνας, αυτή θα έχει προχωρήσει κατά s2=10. Όσο να κάνει την απόσταση αυτή ο Αχιλλέας η χελώνα θα έχει προχωρήσει κατά s3=1. Επομένως συνεχίζοντας έτσι ο Αχιλλέας θα υπολείπεται της χελώνας στο n-στο βήμα αυτής της διαδικασίας κατά sn=103-n. Οι τιμές s1, s2, s3,…., sn,… συνιστούν μία ακολουθία. Το παράδοξο που διατύπωσε ο Ζήνων οδηγεί στο συμπέρασμα ότι δεν υπάρχει κίνηση και οφείλετε στην διακριτοποίηση του συνεχούς χρόνου. Από το σχήμα που παριστάνει τις δύο ευθείες της κίνησης του Αχιλλέα και της χελώνας οι οποίες τέμνονται στο σημείο της συνάντησης. Αθροίζοντας τις τιμές s1, s2, s3,…., sn,… προκύπτει

1 2 3 4

2 3

100 10 1 0.1

1 1000100(1 0.1 0.1 0.1 ) 100 111.1

1 0.1 9

s s s s+ + + = + + + + =

+ + + + = ⋅ = =-

όπου χρησιμοποιήσαμε το γνωστό από το λύκειο άθροισμα απείρων όρων μια φθίνουσας γεωμετρικής προόδου. Το 111.111 είναι η τεταγμένη του σημείου τομής των δύο ευθειών στο σχήμα. Παράδειγμα 2: Τεμαχισμός τετραγώνου. Στο τετράγωνο πλευράς 1 διχοτομούμε την οριζόντια πλευρά του. Αριστερά το εμβαδόν είναι Ε1=1/2. Δεξιά διχοτομούμε την κάθετη πλευρά. Το κάτω εμβαδό είναι Ε2=1/4. Επάνω διχοτομούμε την οριζόντια πλευρά του. Αριστερά το εμβαδόν είναι Ε3=1/8. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι το άπειρο, δημιουργώντας μία ακολουθία εμβαδών που συνολικά θα έχουν άθροισμα τη μονάδα ενώ όσο ο δείκτης μεγαλώνει το En θα πλησιάζει το 0. Παράδειγμα 3: Νιφάδα χιονιού Ξεκινάμε σχεδιάζοντας ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς α,

που ως γνωστόν έχει εμβαδόν 21

3

4S α= , ενώ το

περίγραμμά του έχει μήκος 1 3l a= . Τριχοτομούμε κάθε μία

από τις τρεις πλευρές του και στο μεσαίο τμήμα σχηματίζουμε προς τα έξω ισόπλευρα τμήματα. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι καθένα από αυτά έχει εμβαδό ίσο με το 1/9 του αρχικού και επομένως το συνολικό σχήμα που

δημιουργήθηκε έχει εμβαδόν 2 1 1

3

9S S S= + και περίγραμμα

μήκους 2 3 33

al a= + . Τριχοτομούμε κάθε μία από τις 12

πλευρές του σχήματος και στο μεσαίο τμήμα τους σχηματίζουμε προς τα έξω ισόπλευρα τμήματα. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι καθένα από αυτά έχει εμβαδό ίσο με το (1/9)2 του αρχικού και

1

1/2 1/2

1/2

1/4 1/4

1/4

1/8

Ε1=1/2

Ε2=1/4

Ε3=1/8

Ε4=1/16

S1=S= 2 3

4

Page 26: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.2

επομένως το συνολικό σχήμα που δημιουργήθηκε έχει εμβαδόν 3 1 1 1

3 12

9 81S S S S= + + και

περίγραμμα μήκους 3 3 3 123 9

a al a= + + . Συνεχίζοντας με αυτό τον τρόπο δημιουργούμε μια

ακολουθία εμβαδών S1, S2, …, Sn,… και μια ακολουθία περιγραμμάτων.

Με λίγη άλγεβρα βρίσκουμε 2 3

1 1

3 4 4 4 4...

4 9 9 9 9

n

nS S Sæ öæ ö æ ö æ ö ÷ç ÷ ÷ ÷ç ç ç ÷ç= + + + + +÷ ÷ ÷ ÷ç ç çç ÷ ÷ ÷ç ç ç ÷è ø è ø è ø ÷çè ø

και συνεχίζοντας μέχρι το …άπειρο, βρίσκουμε χρησιμοποιώντας τη φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο

που εμφανίζεται στην παρένθεση ότι το εμβαδό του προκύπτοντος σχήματος θα είναι 1

80.693

5S a= .

Από την άλλη πλευρά για τα περιγράμματα έχουμε 2 2

4 4 44 ...

3 3 3

n

nl α-æ öæ ö æ ö ÷ç ÷ ÷ç ç ÷ç= + + + +÷ ÷ ÷ç çç ÷ ÷ç ç ÷è ø è ø ÷çè ø

που σημαίνει

ότι το συνολικό μήκος είναι άπειρο (η αύξουσα γεωμετρική πρόοδος έχει άθροισμα όρων που τείνει στο άπειρο. Σημείωση. Με την παραπάνω διαδικασία κατασκευάσαμε μία «γραμμή» άπειρου μήκους που περικλείει πεπερασμένο εμβαδόν. Ορισμός ακολουθίας: Είναι μία διαδοχή πραγματικών αριθμών που συμβολίζονται

( )1 2 3, , , ..., , ...n n n Nα α α α ή α

Î

Είναι με άλλα λόγια μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο των φυσικών αριθμών, δηλαδή

:f

Όριο Ακολουθίας: Η ακολουθία ( )n n Nα

Î έχει όριο το α,

δηλαδή: lim nn

α α¥

= όταν 0 00, : nε n n με n n a a ε" > $ Î " Î > - <

, Που σημαίνει με απλά λόγια ότι μετά κάποιο δείκτη όλες οι τιμές της ακολουθίας περικλείονται μέσα σε μία όσο στενή ζώνη (σχήμα) θέλουμε γύρω από το α.

π.χ. Μηδενική ακολουθία, λέγεται αυτή που έχει όριο το 0 όπως η 1 1 1 1 1

1, , , , , ..., , ...2 3 4 5 n

δηλ

1lim 0n n¥

= .

Μία ακολουθία αποκλίνει προς το +∞ όταν 0 00, : nM n n με n n a M" > $ Î " Î > > . Ανάλογα

και για το -∞. Μονοτονία. Η ακολουθία ( )n n N

αÎ

λέγεται αύξουσα αν ισχύει 1 ,n nα α n+ ³ " Î , ενώ αυστηρά

αύξουσα αν 1 ,n nα α n+ > " Î . Ανάλογα ορίζεται η φθίνουσα και η αυστηρά φθίνουσα

ακολουθία. Ο έλεγχος της μονοτονίας γίνεται με την εξέταση της διαφοράς 1n na a+ - που πρέπει να είναι πάντα

θετική (ή αρνητική). Αν οι όροι της ακολουθίας είναι όλοι θετικοί γίνεται και με την εξέταση του

πηλίκου 1n

n

a

a+ που πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερο (ή μικρότερο ) του 1.

Φράγματα. Η ακολουθία ( )n n N

αÎ

λέγεται φραγμένη άνω αν ισχύει , ώ ,nM στε α M n$ Î £ " Î

α-εα

α+ε

n0

Page 27: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.3

. Λέγεται φραγμένη κάτω αν ισχύει , ώ ,nm στε α m n$ Î ³ " Î . Αν είναι φραγμένη και άνω και

κάτω τότε λέγεται φραγμένη και τότε ισχύει , ,ώ ,nm M στε m α M n$ Î £ £ " Î .

Ασκήσεις 1. Εξετάστε ως προς τη μονοτονία τις ακολουθίες

a. 3 1n

n=

+ (υπόδ. δείξτε πρώτα

( )( )1

10

3 1 3 4n nα αn n+ - = >+ +

ή 1 1

13 3 1nα n

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø+)

b. 2nα n n= + - (υπόδ. πολ/ντας και διαιρώντας με συζυγή παράστ. 2

2nα

n n=

+ +)

2. Εξετάστε αν είναι φραγμένες οι ακολουθίες

a. 2n n

nα = (λόγω της σχέσης ( ) 112 1 1 1 1

nn n n-- = + > + - = τότε

1

10

2 2 2 2n n

n nα

n-< = < <⋅

Β΄ τρόπος: Δείξτε αn φθίνουσα (αn/αn-1<1) . Άρα αn <α1=1/2)

b. ( )2 1nnα n= - (πολ/ζουμε και διαιρούμε με συζυγή παράσταση δηλ.

( )( )( )

( )( )1 2

1 2

1 ... 1 11 1, ό 2

... 1

n n n

n

n n

λ λ λ λλ n n n που λ

nλ λ

- -

- -

- + + + -- = < = =

+ + +)

c. 2 1

2n

n

+= (Αν είναι φραγμένη άνω υπάρχει Κ>0 ώστε αn<Κ, ή

2 21 2 2 1 0n nK n nK+ < - + < άτοπο, διότι ένα 2-βάθμιο τριώνυμο με α>0 είναι αρνητικό μόνο εντός των ριζών)

3. Εξετάστε ως προς τη μονοτονία τις ακολουθίες

a. 3

!

n

nα n= , b.

( )( )

1 3 5 2 1

2 4 6 2n

n

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ -=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

, c. ( )2 1n

nα n= + - ,

d. 2

2

3 1

2 3 2n

n nα

n n

+ -=

+ - , e.

2

1 1

2 1, 2, 2

1n

nn

αα n α

α+

+= ³ =

+

4. Εξετάστε αν είναι φραγμένη η ακολουθία , 2 1

12 1

, 23 2

n

kαν n k

kαk

αν n kk

ìïï = -ïï +ï=íï +ï =ïï -ïî

(Δείξτε 0 1na< < )

5. Εξετάστε αν η 1 11, 1, 3n nα α n α+ = + ³ = είναι μονότονη και φραγμένη (δείξτε 0 2na< < )

Υπακολουθίες Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται πως σχηματίζεται μία υπακολουθία μιας δοσμένης ακολουθίας

Θεωρήματα: Κάθε αύξουσα είναι φραγμένη κάτω. Κάθε φθίνουσα είναι φραγμένη άνω. Κάθε συγκλίνουσα είναι φραγμένη. Κάθε μονότονη και φραγμένη είναι συγκλίνουσα.

α1, α2, α3, α4, α5, α6, α7, α8, α9, α10, α11, α12, …….

α2, α5, α9, α10, α15, α25, α40, α45, …….

k1=2, k2=5, k3=9, k4=10, …. Πρέπει (kn) αύξουσα

n

( )nkα =

Page 28: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.4

Άσκηση

Δίνεται η ακολουθία

1 , 3

1 1 2 2 11, 0, 1, , , 1, 1, , 1, ..., , 3 1

2 3 5 1

, 3 22 1

n

αν n k

ka αν n k

kk

αν n kk

ìïïï =ïïïï -ï- = = +íï +ïïïïï = +ï +ïî

Δείξτε ότι (α) η υπακολουθία (α3k) συγκλίνει στο 1. (β) η υπακολουθία (α3k+1) συγκλίνει στο 2.

(γ) η υπακολουθία (α3k+2) συγκλίνει στο 1/2. (Δεν υπάρχει υπακολουθία που συγκλίνει σε άλλο όριο)

Προφανώς η ακολουθία δεν συγκλίνει. Ταλαντεύεται. Σύγκριση ακολουθιών

Παράδειγμα

2 3n n nn

Θ. (Ισοσυγκλίνουσες). Αν (βn) και (γn) συγκλίνουν στο ίδιο όριο ή αποκλίνουν ταυτόχρονα στο +∞ ή στο -∞, και αν: βn ≤ αn ≤ γn τότε η (αn) συμπεριφέρεται όμοια.

Άρα αn → 3

Γνωστά όρια

Παράδειγμα

2

3n

nn

Επειδή βn →∞ άρα και αn →∞

Θ. Αν :k$ Î " n>k, αn £ βn , Τότε lim αn £ lim βn

Αν δεν γνωρίζουμε για τη σύγκλιση της (αn): αn ≤ βn και lim βn = β Τότε (αn) φραγμένη άνω βn ≤ αn και lim βn = β Τότε (αn) φραγμένη κάτω αn ≤ βn και lim βn = -∞ Τότε lim αn = -∞ βn ≤ αn και lim βn = +∞ Τότε lim αn = +∞

Page 29: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.5

Κριτήρια Σύγκλισης

Από αυτό φαίνεται ότι παίρνοντας κάθε φορά περισσότερους όρους το άθροισμά τους δεν σταθεροποιείται αλλά αυξάνεται (έστω και αργά). Κριτήριο Stolz

Συνέπεια του κριτηρίου Stolz

Παράδειγμα. Είναι 31 2 3

lim ... 1n n

n n n n

ì üï ïï ï+ + + + =í ýï ïï ïî þ, διότι οι όροι στις αγκύλες είναι

αριθμητικοί μέσοι των όρων της nnα n= , που συγκλίνει, ως γνωστόν, στο 1.

Θ. Αν (αn) →λ (ή +∞ ή -∞) τότε και οι ακολουθίες:

α. αριθμητικών μέσων, β. γεωμετρικών μέσων, γ. αρμονικών μέσων

συγκλίνουν στο λ (ή +∞ ή -∞)

(αn) τυχαία και (βn) →∞ αυστ. αύξ.

Παράδειγμα. Η είναι μηδενική, διότι:

Cauchy: H (αn) συγκλίνει αν και μόνον αν 0, : | | , ,n mε κ a a ε m n k" > $ Î - < " >

Με το MAPLE βρήκαμε 100

1

15.187

k k

1000000

1

114.393

k k

910

1

121.3

k k

1510

1

135.116

k k

Page 30: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.6

Παράδειγμα. Αρνητική χρήση του προηγουμένου

Έστω η συνάρτηση 1

( )f x ημx

= .

Σχηματίζουμε δύο μηδενικές ακολουθίες (αn) και (βn) και παρατηρούμε

Για την ( )

20

4 1nα n π+=

+ ισχύει

( )4 1( ) 1 1

2n

n πf α ημ

+= = , ενώ

Για την 1

02nβ nπ

+= ισχύει ( )( ) 2 0 0nf β ημ nπ= = Άρα δεν υπάρχει όριο $0

1limx

ημx+

.

Στο επόμενο σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της f(x) με λεπτομέρεια κοντά στο 0.

Αναδρομικές Ακολουθίες

Γενική μορφή αn+k=F(αn, αn+1,...,αn+k-1), α1, α2,...,αk γνωστά. k τάξης

(1) αn+1=kαn+f(n), α1 γνωστό Τηλεσκοπικό άθροισμα

διακρίνουμε: k1 ή k=1

1( )f x

x

1( )f x

x

Έστω f(x): A B και (αn) ακολουθία τιμών του Α που συγκλίνει στο α Α. Σχηματίζουμε και την

αντίστοιχη ακολουθία f(αn) των τιμών της συνάρτησης.

Αν f(x) συνεχής στο Α, και αn συγκλίνει τότε και f(αn) συγκλίνει Αν f(x) συνάρτηση και αnα και βnα, όπου αΑ και f(αn), f(βn)

συγκλίνουν σε διαφορετικά όρια τότε η f(x) δεν είναι συνεχής στο α.

Χρήσιμο:

Θ. Αν f(x) συνεχής στο α, τότε η f(αn) f(α), όταν αnα και αντίστροφα.

Ακολουθίες και Συναρτήσεις

α2 α1 α3

f(α1) f(α2)

f(α3)

f(α)

α

Παραδείγματα: f(n)=λ και α1=α f(n)=1/2n και α1=1

Page 31: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.7

Παράδειγμα Ποιος ο γενικός όρος της ακολουθίας Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .....

Είναι: 2 1 1 2 , 1, 1n n na a a με a a+ += + = =

Χαρακτηριστική εξίσωση 2 1x x= + με ρίζες 1 2

1 5 1 5,

2 2ρ ρ

- += =

Άρα 1 1

1 11 2

5 5 1 5 5 5 1 5

10 2 10 2

n n

n nnα α ρ β ρ

- -

- -æ ö æ ö- - + -÷ ÷ç ç÷ ÷= + = +ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø

Σειρές Ορισμός

α1, α2, ...., αn,... (αn) ακολουθία (γεν. όρος αn)

α1, α1+α2, ...., α1+α2+....+αn,... (α1+α2+....+αn) ακολουθία (γεν. όρος α1+α2+....+αn)

s1, s2, ...., sn,... (sn)

ακολουθία μερικών αθροισμάτων

ακολουθία (γεν. όρος sn)

Το όριο της ακολουθίας αυτής αν υπάρχει συμβολίζεται: και λέγεται σειρά 1

nn

αn είναι ο γεν. όρος της σειράς

2 ρίζες διπλή

Χαρακτηριστική εξίσωση: x2=κx+λ, ρίζες ρ1, ρ2

1 11 2n n

n i. Αν ρ1 … ρ2 τότε υπάρχουν πραγματικοί α, β ώστε:

1nn n ii. Αν ρ1= ρ2=ρ τότε υπάρχουν

πραγματικοί α, β ώστε:

(4) αn+2=κ αn+1 +λ αn, α1, α2 γνωστά (γραμμική β΄ τάξης)

Τα α, β ικανοποιούν το

1

2 1 2

1

1

Page 32: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.8

Παράδειγμα

Ιδιότητες

Θ. Αν (αn) φθίνουσα, αn>0, Σαn συγκλίνουσα τότε: lim n αn =0. Το αντίστροφο δεν ισχύει.

Παράδειγμα. Η αρμονική σειρά τάξης t, με 0<t ≤1, αποκλίνει 1

1t

n n

11lim lim lim t

n tn n n

n

Πράγματι, αν ήταν συγκλίνουσα θα έπρεπε να ισχύει το θεώρημα, ενώ:

Παράδειγμα. Έστω η σειρά

Θ. Αν η σειρά Σαn συγκλίνει τότε η (αn) είναι μηδενική. (δηλαδή lim αn =0). Το αντίστροφο δεν ισχύει.

ενώ 1

1 1 1 1 1 1 11

2 3

n

n nk

s nk n n n n

1

1 10n

n

an n

Ας υποθέσουμε ότι αn=ωn , με n=0, 1, 2,….

Ισχύει: 10 1 1

1... 1 ...

1

nn

n ns

Αν είναι |ω|<1 , τότε ωn 0 Άρα υπάρχει το όριο της sn και είναι ίσο με: 1

1 Η σειρά που σχηματίστηκε λέγεται γεωμετρική σειρά

0

1

1n

n

με |ω|<1

Αν ω>1 η σειρά αποκλίνει στο , ενώ

αν ω -1 η σειρά αποκλίνει (ταλαντεύεται)

Η ακολουθία (ωn) που ορίζει τη γεωμετρική σειρά είναι φθίνουσα γεωμετρική πρόοδος

Η αρχή της σειράς δεν επηρεάζει στην ύπαρξη ορίου, αλλάζει όμως την τιμή

Page 33: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.9

Απόλυτα Συγκλίνουσες Σειρές Η προσεταιριστική ιδιότητα των πεπερασμένων αθροισμάτων γενικεύεται μόνο για απόλυτα συγκλίνουσες σειρές. Δηλαδή αν μία σειρά δεν είναι απόλυτα συγκλίνουσα (όπως για παράδειγμα η εναλλάσσουσα αρμονική) μπορούμε με αλλαγή της θέσης των όρων της να πάρουμε διαφορετικό άθροισμα. Κριτήρια σύγκλισης

(2) Κριτήριο Cauchy

3 3 1

lim | | lim lim 12 22

n nn

n nn

n n Παράδειγμα: Η σειρά συγκλίνει, διότι:

1

3 1

2n

n

n

lim nn

1,

1,

1,

ίνει απόλυτα

δεν ίνει

ίνει πληροφορία

Αν τότε

(1) Κριτήριο Σύγκρισης για σύγκλιση

Παράδειγμα: Η σειρά αποκλίνει

2 5

n

n n 2

1

5

n

nn n

Διότι, αν n 5

Αν 0 , na n n n£ " ³ Τότε: n n

n n

ίνει ίνει

ίνει ίνει

0lim 0n

n

,

,n n

n n

n n

n n

n n

n n

ί όχρονα ή

ί όχρονα

ίνει ίνει

ίνει ίνει

ίνει ίνει

ίνει ίνει

και η σειρά

αποκλίνει

1

n

Θ. Αν (αn) φθίνουσα, αn>0, και (αn) μηδενική, τότε η εναλλάσσουσα σειρά Σ(-1)n αn είναι συγκλίνουσα.

Παράδειγμα. Η εναλλάσσουσα αρμονική σειρά τάξης t, με t>0, συγκλίνει

1

1

11

n

tn n

Παράδειγμα. Η αρμονική σειρά τάξης t, με t > 1, συγκλίνει

1

1t

n n

Θ. Αν (αn) φθίνουσα ακολουθία μη αρνητικών αριθμών, τότε οι: συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. 1

nn

2

0

2 nn

n

και

Η τελευταία συγκλίνει ως γεωμετρική με λόγο 1/(2t-1)<1

Πράγματι: 2 1 1

0 0 0 0

1 1 12 2

(2 ) (2 ) 2n

n

n nn t n t t

n n n n

Αν Σ|αn| συγκλίνει Τότε λέμε: Σαn είναι απόλυτα συγκλίνουσα.

1

1, ό

21

, ά3

n

n

n

n

n

+

ìïïïïï=íïïïïïî

an peritt Va

an rtioV

1 1 1lim | | max , 1

2 3 2n

n

Παράδειγμα: Η

συγκλίνει, διότι

2 2 4 4 6 6

1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 3

Page 34: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.10

Ασκήσεις Να μελετηθούν οι σειρές:

1. 2

31

3 2 1

3n

n n

n

¥

=

+ -+å (Παρατηρήστε ότι

3

ό 1nn

n

αβ τ τε

n β= )

2. 2

1 2n

n

n

¥

= +å (Δείξτε πρώτα 3/ 2

1nα n< )

3. 2

1

lnn n n

¥

=å (Παρατηρήστε

1 1

1 1 12

2 ln 2 ln 2n

n nn n n

¥ ¥

= =

=å å )

4. 2

2

1

lnn n n

¥

=å Παρατηρήστε

2 2 21 1

1 1 12

2 ln 2 ln 2n

n nn n n

¥ ¥

= =

=å å

5. ( )( )1

1

1

n

nn

n

n e

¥

=

-+å (Δείξτε πρώτα

1 11n

n

α

α e+ < )

6. 2 1

1 3 1

n

n

n

n

=

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø-å (Παρατηρήστε

11

9n

nα < )

7. 1 1n

ημn

n n

¥

= +å (Δείξτε πρώτα

3/ 2

1nα n< )

8. 1

lnn

n

n

e

¥

=å (Ισχύει 1 1

1n

n

α

α e+ < )

9. 1

1

1 1

2 2nn

n

n

¥

-=

+-å (Ισχύει 1 1

2n

n

α

α+ )

10. 1

3

4

n

n

=

æ ö÷ç ÷ç ÷çè øå (Ισχύει 3

14

nn )

11. 1 1

n

n

n

n

¥

=

æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø+å (Παρατ. 1,

0

nn

n

α

και α e

¹)

(3) Κριτήριο D’ Alembert

Παράδειγμα: 1

3 1

2n

n

n

22

2 1

20

3

kk

k

22 1

2

1 3

4 2

kk

k

Άρα α=0, Α=∞

1 1 3 2 11

3 12 2n

n

n

n

συγκλίνει, αφού

Παράδειγμα: Για τη σειρά δεν βοηθά το

κριτήριο2 2 4 4 6 6

1 1 1 1 1 1

2 3 2 3 2 3

1lim n

n

Αν υπάρχει τότε

1,

1,

1,

ρ συγκλίνει απόλυτα

ρ δεν συγκλίνει

ρ δεν δίνει πληροφορία

ì <ïïïï >íïï =ïïî

1 1lim , limn n

n n

A

τότε 1,

1,

1 ,

ίνει απόλυτα

δεν ίνει

ίνει πληροφορία

Πράγματι

Page 35: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.11

Δυναμοσειρές

Παράδειγμα

Πράξεις δυναμοσειρών Θ. Έστω οι δυναμοσειρές

0

nn

n

α x¥

=å και

0

nn

n

β x¥

=å και με ακτίνες σύγκλισης αντίστοιχα r1, r2 και έστω r=minr1, r2.

Τότε οι δυναμοσειρές άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο έχουν όλες ακτίνα σύγκλισης r.

( )0 0 0

n n nn n n n

n n n

α x β x α β x¥ ¥ ¥

= = =

= å å å

0 0 0

n n nn n n

n n n

α x β x γ x¥ ¥ ¥

= = =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç⋅ =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è øå å å όπου 0 1 1 0n n n nγ α β α β α β-= + + +

0 0 0

:n n nn n n

n n n

α x β x δ x¥ ¥ ¥

= = =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è øå å å όπου 0 1 1 0n n n nα δ β δ β δ β-= + + +

21

2

1lim lim 1

1 1n

n

n

n

άρα r=1/ρ=1

21

1 1

21

n

n

xn

αn

x0

άρα συγκλίνει σίγουρα στο διάστημα

11 1

2x

3 1

2 2x

ή

Για x=1/2 21

1

1n n

συγκλίνει διότι 2 2

1 1

1n n

2

1

1

n n

αρμονική τάξης 2

Για x= -3/2

21

1

1

n

n n

συγκλίνει διότι είναι εναλλάσσουσα αρμονική με αn φθίνουσα μηδενική

2

1

2 1

1 2

n

nn

x

n

Το x0 κέντρο της δυναμοσειράς

το r λέγεται ακτίνα σύγκλισης της δυναμοσειράς το (x0-r, x0+r) είναι το διάστημα σύγκλισης της δυναμοσειράς στα άκρα x0-r, x0+r εξετάζω ιδιαιτέρως

Θ. Υπάρχει αριθμός r Î È ¥- έτσι ώ

συγκλίνει για κάθε x (x0-r, x0+r) αποκλίνει έξω από το διάστημα

00

nn

n

x x

λέγεται δυναμοσειρά Η σειρά

Θ. Αν υπάρχει ή

τότε

1lim n

n

lim nn

0 ,

1/ , 0

, 0

r

Page 36: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.12

Παράδειγμα

Η γεωμετρική σειρά 0

1

1n

n

xx

¥

=

=-å έχει ακτίνα σύγκλισης r=1, δηλ. συγκλίνει για |x|<1

Επειδή ( )2

0 0

1

1n n

n n

x xx

¥ ¥

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç⋅ =÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷è ø è ø -å å έπεται

( )20

1( 1)

1n

n

n xx

¥

=

+ ⋅ =-

å

Όμοια ( )2

0 0

1 1( 1)

11n n

n n

n x xxx

¥ ¥

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ ⋅ + = +÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ -è ø è ø -å å έπεται ( )

( )20

22

1n

n

xn x

x

¥

=

-+ ⋅ =

Όμοια ( )2

0 0

1 1( 1)

11n n

n n

n x xxx

¥ ¥

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ ⋅ - = -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ -è ø è ø -å å έπεται

( )20 1

n

n

xn x

x

¥

=

⋅ =-

å

Όμοια ( )2

0 0

1 1( 1)

11n n

n n

n x xxx

¥ ¥

= =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ ⋅ ⋅ = ⋅÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ -è ø è ø -å å έπεται

( )( )3

0

( 1) 2 1

2 1n

n

n nx

x

¥

=

+ ⋅ +⋅ =

Όλες οι παραπάνω δυναμοσειρές συγκλίνουν στο |x|<1. Ασκήσεις

1. Να βρεθεί η ακτίνα σύγκλισης των δυναμοσειρών:

α. 1

ln

2n

nn

nx

¥

=å , β.

2

1

1n

n

n

nx

n

¥

=

æ ö+ ÷ç ÷ç ÷çè øå , γ. 1

nn

n

α x¥

=å με

1/ 3 , 2

1/ 2 , 2 1

n

n n

αν n kα

αν n k

ìï =ï=íï = +ïî

(Απάντ. α. r=2, β. r=1/e, γ. 2 , ό lim 1/ 2nnr δι τι a= = )

2. Να βρεθεί διάστημα σύγκλισης των δυναμοσειρών (να γίνει ιδιαίτερη μελέτη στα άκρα)

α. 1

12

n

n

=

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè øå , β. 2

1

n

n

x

n

¥

=å , γ. ( )

2

1

13

n

nn

nx

¥

=

(Απάντ. α. 0 4x< < , β. 1 1x- £ £ , γ. 2 4x- < < ) Παραγώγιση Δυναμοσειρών Θ. Παραγωγίζοντας τους όρους μιας δυναμοσειράς που έχει ακτίνα σύγκλισης r, προκύπτει μία δυναμοσειρά που έχει και αυτή την ίδια ακτίνα σύγκλισης r.

Άρα αν ( )0 0 00

( ) , ( , )n

nn

f x α x x x x r x r¥

=

= - Î - +å τότε

( ) 1

0 0 01

( ) , ( , )n

nn

f x nα x x x x r x r¥

-

=

¢ = - Î - +å

(Προσέξτε ότι ο δείκτης στο δεύτερο άθροισμα αρχίζει από 1 αντί από 0. Αυτό γίνεται όποτε η σειρά έχει σταθερό όρο που χάνεται με την παραγώγιση) Η σύγκλιση στα άκρα πρέπει να ελεγχθεί ξεχωριστά.

Παράδειγμα Έστω η γεωμετρική σειρά 0

1, 1 1

1n

n

x xx

¥

=

= - < <-å

( )0

12

1

11, 1 1

1 1n

nn

n

x xx

n xx

¥¥-

==

¢ ¢æ ö æ ö÷ç ÷ç÷ ÷ç ç÷ ÷çç ÷ è ø-è ø= = = - < <

-åå

( ) ( )

1 23 2

0 2

2( 1) , 1 1

1

1 1n n

nn

nx n n x xx x

¥- -

=

¥

=

¢æ ö¢æ ö ÷ç÷ç ÷ç÷ ÷ç ç= - =÷ ÷ç ÷ çè ø ÷= -ç -

<- ø

å å

Page 37: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.13

Σειρά Taylor Αν pn(x) το πολυώνυμο Taylor n βαθμού της συνάρτησης f(x) και Εn το υπόλοιπο n βαθμού, τότε αν το Εn τείνει στο 0 το pn(x) θα τείνει στην f(x). Το όριο το pn(x) θα λέγεται στην περίπτωση αυτή, ανάπτυγμα της f(x) σε σειρά Taylor. Ώστε:

2

( )0 00 0 0 0 0

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ...

2! !

nnx x x x

f x f x f x x x f x f xn

- -¢ ¢¢+ - + + + +

με την προϋπόθεση ( 1) *

1 *0 0

( )lim ( ) lim ( ) 0,

( 1)!

nn

nn n

f xE x x x με x x x

n

++

¥ ¥= - = < <

+

Αν x0=0 μιλούμε για ανάπτυγμα Mac Laurin, δηλαδή 2

( )( ) (0) (0) (0) ... (0) ...2! !

nnx x

f x f f x f fn

¢ ¢¢= + + + + +

Παραδείγματα 1. Να βρεθεί το ανάπτυγμα Mac Laurin της ,xy e x= Î .

( ), , ..., ,x x n xy e y e y e n¢ ¢¢= = = Î άρα ( )(0) 1, (0) 1, ..., (0) 1,ny y y n¢= = = Î

Επομένως 2

1 ... ...,2! !

nx x x

e x xn

= + + + + + Î

Σφάλμα **( 1) * 10

1 1( )( ) ( ) ( ) 0

( 1)! ( 1)! ( 1)!

n x nx xn n

n n

f x e xE x f x p x x x

n n n

+ +< <+ += - = = @

+ + +

2. Να βρεθεί το ανάπτυγμα Mac Laurin της ,y ημx x= Î .

, , , ................y συνx y ημx y συνx¢ ¢¢ ¢¢¢= =- =- άρα

(0) 0, (0) 1, (0) 0, (0) 1, ............y y y y¢ ¢¢ ¢¢¢= = = =- ή (2 )

(2 1)

(0) 0

(0) ( 1)

k

k k

y

y +

=

= -

Επομένως 3 5 7 2 1

( ) ... ( 1) ...,3! 5! 7! (2 1)!

nnx x x x

ημ x x xn

+

= - + - + - + Î+

Σφάλμα *( 1) * 10

1 1( ) 1( ) ( ) ( ) 0

( 1)! ( 1)! ( 1)!

n nx xn n

n n

f x xE x f x p x x x

n n n

+ +< <+ += - = £ =

+ + +

3. Να βρεθεί το ανάπτυγμα Mac Laurin της , [ 1,1]y τοξημx x= Î - .

Έχουμε 21 1y x¢ - = , 2

21 0

1

xy x y

x¢¢ ¢- - =

- που δίνει ( )21 0x y x y¢¢ ¢- - =

και όμοια

( )21 3 0x y x y y¢¢¢ ¢¢ ¢- - - = , ( )2 (4)1 5 4 0x y x y y¢¢¢ ¢¢- - - = ,

( )2 (5) (4)1 7 9 0x y x y y¢¢¢- - - =

άρα (4) (5)(0) 0, (0) 1, (0) 0, (0) 1, (0) 0, (0) 9, .....y y y y y y¢ ¢¢ ¢¢¢= = = = = =

ή (2 )

(2 1) 2 3 2

(0) 0 ,

(0) 1 3 (2 1)

k

k

yk

y k+

= -

Page 38: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.14

Επομένως 3 5 71 1 3 1 3 5

( ) ..., [ 1,1]2 3 2 4 5 2 4 6 7

x x xτοξημ x x x

⋅ ⋅ ⋅= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + Î -

⋅ ⋅ ⋅

(Σε πίνακες δίνονται τα αναπτύγματα των συνx, ln(1+x), (x+1)r, τοξσυνx, arcsinhx,.κλπ)

4. Να βρεθεί το ανάπτυγμα Mac Laurin της 3

1

(1 )

xy

x

+=

-.

Έχουμε 4

2(2 )

(1 )

xy

x

+¢ =-

, 5

6(3 )

(1 )

xy

x

+¢¢ =-

και γενικά (με επαγωγή)

( )3

( 1)!( 1 )

(1 )n

n

n n xy

x +

+ + +=

- άρα

( )(0) 1, (0) 4, (0) 18, (0) ( 1)( 1)!ny y y y n n¢ ¢¢= = = = + +

Επομένως

2( )

3

2 3 2 2

0

1(0) (0) (0) ... (0) ...

(1 ) 2! !

1 4 9 16 ... ( 1) ... ( 1) , -1<x<1

nn

n n

n

x x xy y x y y

x n

x x x n x n x¥

=

+ ¢ ¢¢= + + + + + =-

= + + + + + + + = +å

B΄ τρόπος

Βρήκαμε προηγούμενα ( )

23

2

1 1( 1) , 1 1

21n

n

n n x xx

¥-

=

= - - < <-

å

Είναι 3 3 3

1 1 1....

(1 ) (1 ) (1 )

xy x

x x x

+= = + ⋅ =

- - - που δίνει το ίδιο αποτέλεσμα στο -1<x<1

Για x=1/2, είναι ( )

2 2

3 1 11

3 / 2 4 9 1612 1 ... ...

2 4 8 2 21/ 2n n

n

n n¥

- -=

= = + + + + + + =å

που δίνει ότι το όριο της σειράς 2

11 2 n

n

-=å είναι ίσο με 12.

Σημείωση. Αν θέσουμε στον τύπο x=-2 δίνει 23

0

1 2( 1) ( 2)

(1 2)n

n

=

-= + -

+ å ή

2

0

1( 1) 2 ( 1)

27n n

n

=

-- + =å , δηλαδή δίνει το άθροισμα μιας εναλλάσσουσας σειράς που όμως δεν

συγκλίνει όπως μπορεί να διαπιστωθεί με άλλους τρόπους. Το λάθος οφείλεται στο ότι ο τύπος

που βρήκαμε ισχύει μόνο όταν -1<x<1.

Ασκήσεις

1. α) Δείξτε ότι αν ( )1α αxy x e

- -= - τότε θα είναι ( )1dy

x αxydx

- =

β) Δείξτε με επαγωγή ότι για n 1 ισχύει: ( ) ( 1) ( ) ( 1)1 ( ) 0n n nx y n αx y nαy+ -- - + - =

γ) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο υπολογίστε το πολυώνυμο Taylor 5ου βαθμού της y(x)

στο σημείο x0=0

δ) Βρέστε προσεγγιστικά την τιμή της y στο x=1/2, όταν α=1/3 και συγκρίνετέ την με την

ακριβή σε τέσσερα δεκαδικά ψηφία τιμή της που είναι 1.0665.

(Απ. γ. 2 3 4 55

2 3 ( 2) 4 (5 6)( ) 1

2 6 24 120

α α α α α αP x x x x x

+ += + + + + , 5. (1/ 3) 1.064δ P =

Page 39: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.15

2. Χρησιμοποιώντας τη γεωμετρική σειρά που έχει άθροισμα 2

1

1 x+:

α) βρέστε το ανάπτυγμα Mac Laurin της y=τοξεφx.

β) βρέστε στη συνέχεια το άθροισμα της σειράς: ( )1 1 11 ... 1 ...

3 5 2 1

n

n- + - + - +

+

(Υπόδ. α) Παραγωγίστε όρο προς όρο τη γεωμετρική σειρά. β) Θέσατε x=1 ) 3. Να βρεθούν οι παράγωγοι α΄, β΄ και γ΄ τάξης της ( ) - f x τοξημx τοξσυνx=

και στη συνέχεια να βρεθεί το πολυώνυμο Taylor γ΄ βαθμού της f(x) στο x=0. 4. Να αναπτυχθεί το πολυώνυμο 4 2( ) 5 8 7p x x x x= - + - κατά τις δυνάμεις του x-2.

Υπόδ. Βρέστε το ανάπτυγμα Taylor της p(x) στο σημείο x0=2

(Απάντ.

4(4)

2 3 4

( 2)( ) (2) ... (2) 0 0 ...

4!

( 2) ( 2) ( 2)5 20( 2) 38 48 24

2! 3! 4!

xp x p p

x x xx

-= + + + + + =

- - -= + - + + +

)

5. α) Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Taylor της xy e= βρέστε το ανάπτυγμα Taylor της sinhy x=

β) Χρησιμοποιώντας ότι βρήκατε στο (α) υπολογίστε την n-στη παράγωγο της ( ) sinhf x x= , στο 0, για τις διάφορες τιμές του n.

Page 40: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 2.16

Page 41: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 3.1

Παράγωγοι και Εφαρμογές Ορισμός Παραγώγου

Κανόνες Παραγώγισης

( )( ) ( )c f x c f x¢ ¢=

( )( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x¢ ¢ ¢+ = +

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x¢ ¢ ¢⋅ = +

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0

( ) ( )

f x f x g x f x g xg x

g x g x

¢æ ö ¢ ¢-÷ç ÷ = ¹ç ÷ç ÷çè ø

( )( ( )) ( ( )) ( )f g x f g x g x¢ ¢ ¢=

Αν ( )y f z= , όπου ( )z g x= , τότε ( )y h x= και ισχύει dy dy dz

dx dz dx=

Παράγωγοι στοιχειωδών συναρτήσεων

( ) 0c ¢ =

( ) 1 ,r rx r x r-¢ = Î

( )x xe e¢ =

( ) lnx xα α α¢ =

( ) 1ln x

x¢ =

( ) 1log

lna xx a

¢ =

( )ημx συνx¢ = , ( )συνx ημx¢ =-

( ) 22

11εφx εφ x

συν x¢ = = +

( ) ( )22

11σφx σφ x

ημ x

-¢ = =- +

( )2

1, 1 1

1τοξημx x

x¢ = - < <

-

( )2

1, 1 1

1τοξσυνx x

x

-¢ = - < <-

( ) 2

1,

1τοξεφx x

x¢ = Î

+

( ) 2

1,

1τοξσφx x

x

-¢ = Î+

( )sinh coshx x¢ = , ( )cosh sinhx x¢ =

( ) 22

1tanh 1 tanh

coshx x

x¢ = = -

( ) 22

1coth 1 coth

sinhx x

x

-¢ = = -

( )2

1arcsin ,

1hx x

x¢ = Î

+

( )2

1arccos , 1

1hx x

x¢ = >

-

( ) 2

1arctan , 1 1

1hx x

x¢ = - < <

-

( ) 2

1arccot , 1

1hx x

x¢ = >

-

Έστω y=f(x), x0 A Τότε:

Συμβολισμός

0

00 0 0

( )( ) ή ( ) ή ή ( ) ή

x

df x dy dyf x y x x

dx dx dx

Πλευρικές παράγωγοι

0 00

0

( ) ( )limh

f x h f xf x

h

0 00

0

( ) ( )limh

f x h f xf x

h

Για να υπάρχει παράγωγος στο x0, πρέπει να υπάρχουν και να είναι ίσα

ορίζεται η παράγωγος ( )f xx0 παραγωγίσιμη 0( )f x

0

0 0 00

00

( ) ( ) ( ) ( )lim limx x h

f x f x f x h f xf x

x x h

Παράγωγος αριθμός στο x0

Page 42: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 3.2

Ασκήσεις 1. Να βρεθεί η α΄και β΄ παράγωγος των συναρτήσεων:

α. 1

( ) ln1

ημxf x

ημx

æ ö+ ÷ç ÷= ç ÷ç ÷÷ç -è ø, β. sinh coshy x x x= -

(Απάντ. α. 2

1( ) , ( )

ημxf x f x

συνx συν x¢ ¢¢= = , β. cosh , cosh sinhy x x y x x x¢ ¢¢= = +

2. Δίνεται η συνάρτηση y=ημ(α τοξεφx). Να δειχθεί ότι επαληθεύει τη διαφ. Εξίσωση:2 2 2 2(1 ) 2 (1 ) 0x y x x y α y¢¢ ¢+ + + + =

3. Δίνεται: 2 3 1

( ) 25 4

x xf x τοξημ τοξεφ

x

+ -= +

+. Δείξτε ότι η f(x) ορίζεται στο διάστημα

(-4,1] και ότι έχει σταθερή τιμή σ’ αυτό. (Για το δεύτερο δείξτε ότι f΄(x)=0)

Συναρτήσεις με παραμετρική μορφή Έστω η ( ) :y f x A B= που ορίζεται παραμετρικά ως

( ) :x g t I A= , ( ) :y h t= IB , tI Θέλουμε να βρούμε την παράγωγο της y ως προς x χωρίς να βρούμε την αναλυτική

έκφραση της ( )y f x= . Χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι υ y είναι σύνθεση των h και g-1, δηλ. 1( ) ( ( ))f x h g x-= .

Ισχύει :dy dy dt dy dx

dx dt dx dt dt= = που γράφεται

yy

x¢ =

, όπου η τελεία σημαίνει

παραγώγιση ως προς t.

Παράδειγμα. 2ln(1 )x t= + , y t τοξεφt= - t Î

2

2

1

dx tx

dt t= =

+ ,

2

21

dy ty

dt t= =

+ που δίνουν

2

y ty

x¢ = =

. άρα 2

ty¢ = , 2ln(1 )x t= + ,

t Î (Προσέξτε ότι για να οριστεί η παράγωγος χρειάζεται και η έκφραση για το x. Δηλαδή και η παράγωγος ορίζεται παραμετρικά)

Αν ζητείται και η δεύτερη παράγωγος, παραγωγίζουμε την πρώτη πάλι ως παραμετρική.

Δηλ. 2

2

1( ) 12

2 41

y ty

tx tt

¢ +¢¢ = = =

+

, άρα β΄ παράγ.

21

4

ty

t

+¢¢ = , 2ln(1 )x t= + , t Î

Παράδειγμα [ ]2 3

2, 0,1

2

x t tt

y t t

= +Î

= -

α΄ παράγωγος [ ]

2 3

, 0,12( 1)

(2 3 )

x t ttt

yt t

= +Î-¢=

+

, (διότι 2( 1)

(2 3 )

y ty

x t t

-¢= =+

)

β΄ παράγωγος [ ]

2 3

2

3 2

, 0,16 12 4

(2 3 )

x t t

tt ty

t t

= +Î- + +¢¢ =

+

(διότι ( )

( )2

3 2

2( 1) 6 12 4: (2 3 )

(2 3 ) (2 3 )

y t t ty t t

x t t t t

¢ æ ö- - + +÷碢 ÷= = + =ç ÷ç ÷ç + +è ø

)

Page 43: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 3.3

Άσκηση

Να βρεθεί η β΄ παρ. της y=f(x) όπου: 2

3 3

3 3 , , 1

1 1

at atx y t

t t= = ¹-

+ +

(Απάντ. 3 4

3 3 3

3 2( 1) , , 1

1 3 (1 2 )

at tx y t

t a t

+¢¢= = ¹-+ -

)

Πεπλεγμένες Συναρτήσεις Μία συνάρτηση ορίζεται πεπλεγμένα με μία συνάρτηση δύο μεταβλητών ( , ) 0F x y = . Μπορούμε να βρούμε την παράγωγό της χωρίς να βρούμε την αναλυτική έκφραση της

( )y f x= . Για το σκοπό αυτό θεωρούμε ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή x υπάρχει μέσα στην ισότητα ( , ) 0F x y = είτε φανερά είτε μέσω της μεταβλητής y. Έτσι όταν παραγωγίζουμε το y το θεωρούμε ως συνάρτηση του x. Παράδειγμα Να βρεθεί η παράγωγος της ( )y f x= που ορίζεται από τη σχέση

3 3 - 3 0 x y xy+ = .

3 3( ) ( ) (3 ) 0x y xy¢ ¢ ¢ ¢+ - = 2 23 3 3( ) 0x y y y xy¢ ¢+ - + = 2

2

x yy

y x

-¢ =-

(Προσέξτε ότι και η y΄ είναι πεπλεγμένη συνάρτηση αφού δεν ορίζεται αναλυτικά ως προς x). Αν ζητείται και η δεύτερη παράγωγος, παραγωγίζουμε την πρώτη πάλι ως πεπλεγμένη. Βρίσκουμε

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

2 22

22 2

2 2 2 2 3 3

2 32 2

2 2 1

2 2 2( )(1 )

x y y x x y yyx yy

y x y x

xy x y y yx y x x y xy

y x y x

¢ ¢ ¢æ ö - - - - -- ÷碢 ÷= = =ç ÷ç ÷ç -è ø -

¢- - - - - - -= =

- -

( )

3 3

32

2( )(1 )x y xyy

y x

- -¢¢ =-

Β΄ Τρόπος Από τον τύπο της α΄ παραγώγου έχουμε ( )2 2y y x x y¢ - = -

Παραγωγίζουμε τη σχέση αυτή πεπλεγμένα και έχουμε ( )2 (2 1) 2y y x y yy x y¢¢ ¢ ¢ ¢- + - = - ή ( ) ( )2 22 ( )y y x x y y¢¢ ¢- = -

Αντικαθιστώντας την y´ βρίσκουμε πάλι το προηγούμενο αποτέλεσμα. Παράδειγμα Να βρεθεί η παράγωγος της ( )y f x= που ορίζεται από τη σχέση 2 2 2x y x y++ = .

(2 2 ) (2 )x y x y+¢ ¢+ = ( )2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2x y x yy x y+ ¢¢+ ⋅ = ⋅ +

( )2 2 2 1x y x yy y+¢ ¢+ ⋅ = ⋅ + (2 2 ) 2 2x y y x x yy+ +¢- ⋅ = - Άρα 2 (2 1)

2 (2 1)

x y

y xy

-¢=--

Για τη δεύτερη παράγωγο βρίσκουμε μετά από κάποιες πράξεις

2 2

(2 1) (2 1)2 ln 2

2 (2 1)

y xx y

y x

yy + ¢- - -¢¢ =

- που με αντικατάσταση του y´ γίνεται

2 2

2 (2 2 )(2 1)ln 2

2 (2 1)

x x y y

y xy

+ -¢¢ =-

Page 44: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 3.4

Ασκήσεις 1. Να βρεθεί η β΄ παράγωγος της ( )y f x= που ορίζεται από τη σχέση 4 4 1 28x y xy+ = + .

(Απ. 3

3

7,

7

y xy

y x

-¢=-

( )

2 2 4 4 2 2

23

14 (5 49) ( )(3 49)

7

xy x y x y x yy

y x

- - + +¢¢ =-

)

2. Η συνάρτηση y=f(x) ορίζεται παραμετρικά με τις σχέσεις: , , [0, / 2]x t ημt y συνt t π= + = Î

α) Βρέστε την εφαπτομένη στο σημείο P που αντιστοιχεί στο t=π/3 (Απ.

) 3 3 3 3 / 3α x y π+ = + )

β) Δείξτε, ότι: ( ) ( )221 (1 ) 0y y y y¢+ + + + =

3. Η συνάρτηση y=f(x) ορίζεται πεπλεγμένα από την ισότητα: 2 2ln( ) 2 0y

x y τοξεφx

+ - =

Ποιά η y΄; (Απ. x y

yx y

+¢=-

)

Λογαριθμική Παραγώγιση Εφαρμόζεται σε πολύπλοκα γινόμενα, πηλίκα. δυνάμεις κλπ. Λογαριθμίζουμε – Παραγωγίζουμε πεπλεγμένα - Λύνουμε ως προς y΄

Παράδειγμα 3 2 3 22

1

1

xy x ημ xσυν x

x

-=

+

Λογαριθμίζουμε 22ln ln ln(1 ) ln(1 ) 3ln( ) 2ln( )

3y x x x ημx συνx= + - - + + +

Παραγωγίζουμε 2

2 1 23 2

3 1 1

y x συνx ημx

y x x x ημx συνx

¢ - -= + - + +

- +

Άρα

3 2 3 22 2

1 2 1 23 2

1 3 1 1

x xy x ημ xσυν x σφx εφx

x x x x

æ ö- - ÷ç¢ = + - + - ÷ç ÷çè ø+ - +(Υποθέτουμε ότι το πεδίο ορισμού είναι κατάλληλο ώστε οι ποσότητες μέσα στους λογαρίθμους να είναι θετικές. Αλλιώς πρέπει να πάρουμε απόλυτες τιμές.)

Πολυώνυμο Taylor Εφαπτομένη στο x=x0.

0 0 0 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x f x p x¢+ - =

(Γραμμική ή πρώτη προσέγγιση της ( )f x ) Γενικεύοντας: ( ) ( ), nf x p x= , όπου

1 2( )0 0 0

0 0 0 0

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )

1! 2! !

nn

n

x x x x x xp x f x f x f x f x

n

- - -¢ ¢¢= + + + +

(προσέγγιση n-τάξης της ( )f x )

To ( )np x λέγεται πολυώνυμο Taylor n βαθμού της ( )f x .

Όταν η διαφορά ( 1) *

1 *0 0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ,

( 1)!

nn

n n

f xE x f x p x x x x x x

n

++= - = - < <

+ (που λέγεται

υπόλοιπο) τείνει στο 0 όταν n τείνει στο άπειρο, το πολυώνυμο Taylor προσεγγίζει πολύ ικανοποιητικά τη συνάρτηση. (Σε πρακτικές εφαρμογές παίρνουμε x*=x0)

Page 45: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 3.5

Παράδειγμα: To πολυώνυμο β΄ βαθμού Taylor της 2lny x= στο x=1

( )2 2 lnln

xy x

x¢¢ = = 2

2 ln 2(1 ln )x xy

x x

¢æ ö -÷碢 = =÷ç ÷çè ø άρα (1) 0, (1) 0, (1) 2y y y¢ ¢¢= = =

και

1 2

2

( 1) ( 1)( ) (1) (1) (1)

1! 2!

x xp x y y y

- -¢ ¢¢= + + δηλαδή 22 ( ) ( 1)p x x= - .

Αν x=1.03 τότε οι ακριβείς τιμές είναι

2(1.03) ln 1.03 0.0008737227 0.0009f = = , ενώ

22 (1.03) 0.03 0.0009p = =

Δηλαδή υπάρχει διαφορά 2 2(1.03) (1.03) - (1.03) -0.0000262772E f p= =

Γενικά *

3 *2 2

( )( ) ( ) ( ) ( 1) , ό 1

3!

f xE x f x p x x που x x

¢¢¢= - = - < <

και αποδεικνύεται *3

1

6 4ln( ) (1) 6

x

xf x f

x =

- +¢¢¢ ¢¢¢» = =- άρα

*

32

( )(1.03) (1.03 1) 0.000027

3!

f xE

¢¢¢» - =- (βρέθηκε η ίδια διαφορά με πολύ καλή

προσέγγιση) Γεωμετρικές Εφαρμογές της Παραγώγου.

(2) Γωνία δύο καμπύλων

1 21 2

1 21

ΜΑ εφαπτομένη της f1, ΜB εφαπτομένη της f2, Από τη γνωστή τριγωνομετρική ταυτότητα,

Βρίσκουμε: 2 0 1 02 1

1 0 2 0

( ) ( )

1 ( ) ( )

f x f x

f x f x

(1) Εφαπτομένη και κάθετος καμπύλης

Μπορούμε να υπολογίσουμε το εμβαδό (ΜΤΝ), το ημφ, κλπ.

ΜΤ = εφαπτομένη στο (x0,y0) ΜΝ = κάθετος στο (x0,y0) ΤΚ = υφαπτομένη ΚΝ = υποκάθετος

Εξισώσεις: MT: y - y0 = y0 N (x - x0) MN: x - x0 + y0 N (y - y0)=0

Βρίσκουμε

0

0

( )y

TK Sy

0 0( )KN S y y

200

0

( ) 1y

MT yy

20 0( ) 1MN y y

Page 46: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 3.6

Μέθοδος Newton-Raphson

Παράδειγμα: Ποια η ρίζα ξ της εξίσωσης 3 ln 2 0x x+ = Βρίσκουμε

-1 -1

-1

(1) 2 0, ( ) -3 2 (2 -3 ) / 0

0.36788, 1

f f e e e e

α e β

= > = + = <

= = =

2

( ) (3 / ) 2 0 ( , )

( ) -3 / 0 ( , )

f x x στο α β

f x x στο α β

¢ = + >

¢¢ = <

άρα 0 0.3678x =

0 0 0 01 0 0

0 0

( ) (3ln 2 )0.590851

( ) 3 2

f x x x xx x x

f x x

+= - = - =

¢ +

1 1 1 12 1 1

1 1

( ) (3ln 2 )0.646927

( ) 3 2

f x x x xx x x

f x x

+= - = - =

¢ +

3 0.648842x =

4 0.648844x =

5 0.648844x =

……………… ……………

Έλεγχος: -7

( ) 3ln(0.548844) 2(0.648844)

-8.829136 ·10

f ξ = + =

=

Άσκηση Να βρεθεί μία ρίζα της εξίσωσης 3 2 5 0x x- - = (Απ. 32, 3, 2.09455α β x= = = )

(α)

(β)

Προσεγγιστική επίλυση της f(x)=0, όπου f συνεχής συνάρτηση με f(α), f(β) ετερόσημα

Το όριο αυτής της ακολουθίας είναι ρίζα της f(x).

Χωρίς περιορισμό ισχύει είτε το σχήμα (α) (κοίλα προς τα κάτω) είτε το (β) (κοίλα προς τα άνω). Αλλιώς αντικαθιστούμε ένα από τα άκρα με το μέσον ή θεωρούμε την -f(x). Θέτουμε x0=α, αν f(α) και f ΄΄(x) ομόσημα, αλλιώς x0=β.

Κατασκευάζουμε την αναδρομική ακολουθία: 1

( )

( )n

n nn

f xx x

f x

Επομένως ξ=0.648844

Page 47: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 3.7

Μελέτη Συνάρτησης Βρίσκουμε πεδίο ορισμού (ασυνέχειες κλπ.) Εξετάζουμε συμμετρίες ή περιοδικότητες Βρίσκουμε σημεία τομής με άξονες (όρια κλπ) Βρίσκουμε ασύμπτωτες (αν υπάρχουν) Βρίσκουμε τοπικά ακρότατα - διαστήματα μονοτονίας Βρίσκουμε σημεία καμπής - διαστήματα σταθερής καμπυλότητας Σχηματίζουμε συγκεντρωτικό πίνακα Κάνουμε τη γραφική παράσταση Παραδείγματα (Τα σχήματα έγιναν με το πακέτο Mathematica)

1. Να γίνει πλήρης μελέτη της συνάρτησης 23( ) ( 3)f x x x= -

Πεδίο Ορισμού x≥0

(Στο βιβλίο αναφέρεται το , διότι παλαιότερα θεωρούνταν 3 3 , 0x x x=- - < )

y=x-2 πλάγια ασύμπτωτος (διότι 2

33

( 3)lim lim 1x x

y x x

x¥ ¥

-= = = και

( )

( )

232323

23

( 3) / 1( 3)lim( ) lim ( 3) lim 1 lim

1/

(1 3 / ) 1 0lim ... 2

1/ 0

x x x x

x

x x xx xy αx x x

β

x xx x

x

x

¥ ¥ ¥ ¥

¥

æ ö - -- ÷ç ÷ç- = - - = - = =÷ç ÷ç ÷çè ø

- - æ ö÷ç= = = =- =÷ç ÷çè ø

΄ 1 / (δηλαδή μηδενίζεται για 1 και όχι για 3 διότι στο 3 δεν

ορίζεται. Όμως στο 3 έχουμε τοπικό ακρότατο, είναι εκεί 0 και παντού αλλού θετική.

Το πρόσημο βρίσκεται από το πηλίκο ή ισοδύναμα από το γινόμενο 1 3 .

΄΄ 1 / και έχει πάντα πρόσημο αντίθετο του δηλαδή αρνητικό.

Ο πίνακας τιμών

2. Να γίνει πλήρης μελέτη της συνάρτησης .

( )2

1 2( )

2 1

xy f x

x

-= = +

+ (που γράφεται και

( )2

1 2( )

2 1

xy f x

x

-= = +

+)

Π.Ο. R--1, τοπ. μέγιστο 5, , σημείο καμπής 8,

1 κατακόρυφη ασύμπτωτος, 1/2 οριζόντια ασύμπτωτος

1 2 3 4 5 6

1

223

2

Page 48: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11 3.8

Ο πίνακας τιμών

Στο πρώτο σχήμα δεν φαίνονται ούτε το μέγιστο, ούτε το σημείο καμπής, ούτε αν η ασύμπτωτος στο 1/2 είναι πράγματι ασύμπτωτος. Στην λεπτομέρεια φαίνονται όλα αυτά. 3. Να γίνει πλήρης μελέτη της συνάρτησης ( ) ln( )y f x εφx= = και της ( ) ln( )y f x εφx= =

Για την πρώτη

Η δεύτερη ορίζεται στα διαστήματα που δεν ορίζονταν η πρώτη (εκτός από τα πολλαπλάσια του π/2) και μπορούμε να σχηματίσουμε τον πίνακα των τιμών της με ανάλογο τρόπο.

5 8 11

0.5

0.570.58

217 -3 -1 1 2 5 8

32

-1

12

1

2

2

3 2

-8

-6

-4

-2

2

4

6

2

2

3

2

-6

-4

-2

2

4

6

Page 49: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

4.1

Ολοκλήρωμα και εφαρμογές Το ολοκλήρωμα ως εμβαδό

Στο πρώτο σχήμα το εμβαδόν ορίζεται και είναι ίσο με ( )β

αE f x dx= ò

Στο δεύτερο και τρίτο δεν είναι βέβαιο αν ορίζεται εμβαδόν ή όχι (μη-γνήσια ολοκληρώματα) Παράδειγμα

Να βρεθεί το εμβαδόν του σχήματος που ορίζεται από τη γραμμή και τους άξονες, ως ολοκλήρωμα.

1

( )n

k kk

E f ξ x=

» Då

Η συνάρτηση που περιγράφει τη γραμμή είναι 1, 0 1

( )1, 1 4

x xf x

x

ì + < <ïï=íï < <ïî

και το εμβαδόν είναι 4.5. Άρα 4

0( ) 4.5E f x dx= =ò

Ορισμένο Ολοκλήρωμα

Έστω y=f(x) : [α,β] Ορίζω n-1 εσωτερικά σημεία διαίρεσης ώστε το [α,β] να υποδιαιρεθεί σε n υπο-διαστήματα (για τα άκρα δεν έχει σημασία αν ανήκουν ή όχι στα υπο-διαστήματα

Το εμβαδόν κάτω από την καμπύλη από τα α μέχρι το β, μπορεί να γραφεί ως άθροισμα της

μορφής 11

( )( )n

k k kk

E f ξ x x -=

» -å

Θέτουμε 1k k kx x x -D = - και υποθέτουμε max 0kxD οπότε το Ε γράφεται

Αν το όριο του τελευταίου αθροίσματος υπάρχει, όταν το n τείνει στο άπειρο, τότε ορίζεται το ορισμένο ολοκλήρωμα και συνάρτηση ( )f x λέγεται ολοκληρώσιμη στο [α, β]. Συμβολίζουμε:

1max 0

( ) lim ( )k

k knα

kx

f x dx f ξ x¥

=D

= Dåò

1

41

2

E

Page 50: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

4.2

Κανόνες Ολοκλήρωσης

( ) ( ) ( )β γ γ

α β αα β γ f x dx f x dx f x dx< < + =ò ò ò

( ) ( )β α

α ββ α f x dx f x dx< =-ò ò

( ) ( ) , άβ β

α αk f x dx k f x dx για κ θε k= Îò ò

( ) ( ), [ , ] ( ) ( )β β

α αν f x g x x α β f x dx g x dxA £ " Î £ò ò

( )( ) ( ) ( ) ( )β β β

α α αf x g x dx f x dx g x dx+ = +ò ò ò

Θεώρημα Μέσης Τιμής Αν f(x), g(x) είναι συνεχείς στο [α, β] και g(x)>0 στο [α, β],

τότε:

( ) ( ) ( ) ( )β β β

α α αm g x dx f x g x dx M g x dx£ £ò ò ò

όπου M η μέγιστη και m η ελάχιστη τιμή της f(x) στο [α, β] Για g(x)≡1 στο [α, β] η σχέση γίνεται

1

( )β

αm f x dx M

β a£ £

- ò

Στο σχήμα η τιμή μ δίνεται από τη σχέση 1

( )β

αμ f x dx

β a=

- ò λέγεται μέση τιμή και

τετραγωνίζει (όπως λέμε) το εμβαδόν του χωρίου που βρίσκεται κάτω από την καμπύλη. Δηλαδή το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκος (β-α) (μήκος του ευθυγράμμου τμήματος (α,β)) και πλάτος μ έχει το ίδιο εμβαδό με το χωρίο κάτω από την καμπύλη. Παράδειγμα: Ποια η μέση τιμή της , στο 1 1;

1312

11

1 1 1 1( )

1 ( 1) 2 3 3

β

α

xμ f x dx x dx

β α --

= = = =- - -ò ò

Παράδειγμα: (Κατά προσέγγιση υπολογισμός)

Υπολογίστε το ολοκλήρωμα: / 2

2

0

11

2

π

I ημ x dx= +ò

Είναι

20 1ημ x£ £ 21 31 1

2 2ημ x £ + £

/ 2 / 2

0 0

31

2

π π

dx I dx ⋅ £ £ò ò 3

2 2 2

π πI £ £

Δηλαδή ισχύει ή 1.57 1.91I£ £ Αν πάρουμε τη μεσαία τιμή έχουμε: 1.74I » , ενώ η ακριβής τιμή είναι 1.75177

Αόριστο Ολοκλήρωμα Έστω ( )f x ολοκληρώσιμη συνάρτηση και α ένα σημείο του πεδίου ορισμού της. Τότε, για κάθε x μπορούμε να ορίσουμε μία τιμή το ολοκλήρωμα από το α μέχρι το x, που στην περίπτωση του σχήματος παριστάνει το εμβαδόν του χωρίου κάτω από την καμπύλη από το α μέχρι το x. Την τιμή αυτή την συμβολίζουμε

( )F x και είναι φανερό ότι αν το x διατρέχει το σύνολο ορισμού

μ

Page 51: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

4.3

της ( )f x τα ( )F x θα σχηματίσουν μία συνάρτηση. Αυτή η συνάρτηση λέγεται αόριστο ολοκλήρωμα της ( )f x ή/και αρχική συνάρτηση της ( )f x ή παράγουσα ή αντιπαράγωγος.

Συμβολίζουμε ( ) ( )x

αF x f t dt= ò

Παράδειγμα: Να βρεθεί το αόριστο ολοκλήρωμα της ( ) 1f x x= + όταν α=1

Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις 1 (σχ. (α) και (β)) και 1 (σχ. (γ)). Σε όλες τις περιπτώσεις βρίσκουμε το ίδιο αποτέλεσμα, για το σχήμα (γ) έχουμε

( )21

3 41

2 3( ) 1 , ( ) ( 1) ( 1) ...

2

x

x

x xγ αν x F x t dt t dt E E

+ -£- = + =- + =- - = =ò ò

Αν αντί του α=1 χρησιμοποιήσουμε κάποιο άλλο σημείο βρίσκουμε το ίδιο αόριστο ολοκλήρωμα εκτός από κάποια σταθερά. Επίσης, εύκολα διαπιστώνουμε ότι η παράγωγος της ( )F x δίνει την

( )f x πράγμα που δικαιολογεί τον όρο αντιπαράγωγος. Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού

α) Αν ( ) ( )x

αF x f t dt= ò τότε ( ) ( )F x f x¢ = για κάθε σημείο συνέχειας της f(x)

(β) Αν G(x) οποιαδήποτε αρχική της f(x), τότε:

( ) ( ) ( )β

αf t dt G β G α= -ò

Ισοδύναμες μορφές

( ) ( )x

α

df t dt f x

dx=ò

( ) ( )x

αf t dt f x¢ =ò

( ) ( )f t dt G x c= +ò

Παραδείγματα

1. Αφού βρεθεί η y΄, όπου: ( )21

2

x τοξεφx xy

+ -= να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

1

02I x τοξεφx dx= ò

Βρίσκουμε y x τοξεφx¢ = άρα 2 2 2 (1) 2 (0) 0.57x τοξεφx y I y y¢= = - =

2. Δείξτε (χωρίς να βρεθεί το ολοκλήρωμα), ότι η: 2

20

1( )

1

x t ty f x dt

t t

- += =

+ +ò είναι

αυστηρά αύξουσα. Ποια τα σημεία καμπής της;

(α) (β) (γ)

Page 52: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

4.4

Είναι 2

2

1( )

1

x xf x

x x

- +¢ =+ +

που είναι πάντα θετική (τα τριώνυμα στον αριθμητή και

παρονομαστή έχουν σταθερό θετικό πρόσημα διότι έχουν μιγαδικές ρίζες)

Από 2

2 2

2( 1)( )

( 1)

xf x

x x

-¢¢ =+ +

βρίσκουμε σημεία τομής τα 1, 1.

3. Αφού βρεθεί η αρχική της f(x), να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

( )3

3 2

22y x x x dx-

-= - +ò (Απάντ.

4 2 3

( )2 2 3

x x xF x

-

=- - + )

Αόριστα ολοκληρώματα στοιχειωδών συναρτήσεων ( ), ( ) u g x du g x dx¢= =

1

, 11

rr u

u du c rr

+

= + ¹-+ò

u ue du e c= +ò

ημu du συνu c=- +ò

sinh coshu du u c= +ò

2

duσφu c

ημ u=- +ò

2coth

sinh

duu c

u=- +ò

21

duτοξεφu c

u= +

12

1

tanh , 11

1 1coth , 1 ln

2 1

duu c u

uu

u c u cu

-

-

= + <-

+= + > = +

-

ò

2, 1

1

duτοξημu c u

u= + <

lndu

u cu

= +ò

ln

uu αα du c

α= +ò

συνu du ημu c= +ò

cosh sinhu du u c= +ò

2

duεφu c

συν u= +ò

2tanh

cosh

duu c

u= +ò

( )1 2

2sinh ln 1

1

duu c u u c

u

-= + = + + ++

ò

( )

1

2

2

cosh , 11

ln 1 , 1

( 1, 1)

duu c u

u

u u c u

αν u αν u

-= + >-

= + - + >

+ > - <-

ò

Ασκήσεις

1. Να βρεθούν τα ολοκληρώματα: 2

1

1dx

xò 2

1

1dx

x-ò

Για το πρώτο 2

1ln 0.6931x cé ù+ =ë û που φαίνεται και στο σχήμα

(εμβαδόν από 1 μέχρι 2).

Για το δεύτερο 2

1ln 0.6931x c

-é ù+ =ë û που στο σχήμα φαίνεται

ότι είναι λάθος. Το λάθος οφείλεται στο ότι στο διάστημα (-1, 2) περιλαμβάνεται το 0 στο οποίο η συνάρτηση δεν ορίζεται. Το ολοκλήρωμα αυτό είναι μη-γνήσιο

2. Όμοια τα: α) 2 2

xdx

x +ò β)

2

(2 )

(2 )

εφ xdx

συν xò γ) 1

lndx

x xò

(Απάντ.-Υπόδ. α) ( ) ( )1/ 22 212 2

2x d x

-+ +ò , β) ( )1

(2 ) (2 )εφ x d εφ xπ ò , γ) ( )1

lnln

d xxò )

1y

x

Page 53: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

4.5

3. Όμοια τα: α) 2

1

2dx

x +ò β)

2 2

1

2x xdx

e e-+ -ò

(Απάντ.-Υπόδ. α) 2

2 1( / 2)

2 1 ( / 2)d x

x+ò , β)

2

1 1

4 sinhdx

xò )

Εμβαδά χωρίων Αν D Περατωμένο (σχήμα) τότε (τύπος Fudini)

( ) ( )β β

α αμβ D dE υ x dxE = =ò ò

όπου υ(x) η κάθετη απόσταση των γραμμών που περιβάλλουν το D. Άλλος τρόπος με την οριζόντια απόσταση

( ) ( )δ δ

γ γμβ D dE υ y dyE = =ò ò

Αν χρειάζεται χωρίζουμε το χωρίο σε μικρότερα τμήματα ώστε να εφαρμόζεται μία από τις δύο μεθόδους.

Παραδείγματα 1. Ποιο το εμβαδό του χωρίου που ορίζουν οι καμπύλες:

( ) 5 - 2f x x= και 2( ) ( -1)g x x=

( ) ( )2 2 2

2

2 2 2( ) ( ) 4 10.67E dE f x g x dx x dx

- - -= = - = - =ò ò ò

2. Όμοια οι: 4 16y x= + και 2 4 - y x=

( )2 2 2

2 4

2 2 2( ) 20 61.87E dE h y dy y y dy

- - -= = = - - =ò ò ò

Γεωμετρικές Εφαρμογές

(1) Όγκος στερεών εκ περιστροφής

Παράδειγμα Όγκος κώνου 2dV πρ dx=

ρ r xrρ

x h h= =

Άρα 2

2 220 0

1...

3

h h πrV dV x dx πr h

h= = = =ò ò

Page 54: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

4.6

Όγκος εκ περιστροφής χωρίου γύρω από διαφορετικούς άξονες

Παράδειγμα. To χωρίο y2=4x, y=0, x=1 περιστρέφεται γύρω (α) άξονα Οx, (β) ευθεία x=1, (γ) άξονα Οy

(α) 2dV πr dy= 2r x= άρα 4dV πxdx= επομένως

1 1

0 04 ... 2V dV πx dx π= = = =ò ò

(β) 2dV πr dx= 2 4(1 )y r= - άρα 22

14

ydV π dy

æ ö÷ç ÷= -ç ÷ç ÷çè ø επομένως

222 2

0 01 ... 1.067

4

yV dV π dy π

æ ö÷ç ÷= = - = =ç ÷ç ÷çè øò ò

(γ) 22

2

4

ydV πr dy π dy

æ ö÷ç ÷= = ç ÷ç ÷çè ø επομένως

42 2

0 0

2...

16 5α

πy πV dV dy= = = =ò ò άρα ί

8

5κυλ νδρου α

πV V V= - =

(2) Μήκος τόξου

Παράδειγμα. Να βρεθεί το μήκος του τόξου ΑΒ επί της: y=3x3/2

dx dsσυνω= , y εφω¢ = 2

2

11

1

ds dx εφ ωdxσυνω

y dx

= = + =

¢= +

άρα

( )( )1 1 3/ 2

0 0

81 81 ... 85 / 4 1 3.192

4 243s ds x dx= = + = = - =ò ò

Παράδειγμα. Να βρεθεί το μήκος του κλειστού τόξου επί της: 9y2 = x (3-x)2 Λόγω συμμετρίας αρκεί να υπολογιστεί το μισό χωρίο που το

ορίζει το άνω τμήμα της καμπύλης που είναι 1

(3 )3

y x x= -

Είναι 21 1

12 2

x xy y

x x

- +¢ ¢= + = Επομένως:

( )3 3 3

2 2

0 0 0

11 2 2 1 4 3 3. 6

22 4

xs y dx dx t dt

x

+¢= + = = + = =ò ò ò

Page 55: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

4.7

(3) Εμβαδόν επιφάνειας εκ περιστροφής Παράδειγμα. Ποια η επιφάνεια του στερεού εκ περιστροφής της καμπύλης y=x3 (από x=0 έως x=1) γύρω από τον Ox ; Εδώ dS = παράπλευρη επιφ. κόλουρου κώνου με ακτίνες βάσεων r και r+dr, ύψος dx. και λ = απόστημα παράπλευρης επιφάνειας

3r y x= = , 21λ y dx¢= +

( ) 2 3 42 2 1 2 1 9dS π r r dr λ πyλ πy y dx πx x dxé ù ¢= + + » = + = +ë û

Άρα 1 1 1

2 3 4ά .

0 0 02 1 2 1 9 .. 1.342παρ πλS dS πr y dx πx x dx π¢= = + = + = =ò ò ò

ΠΙΝΑΚΑΣ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ

Εφαρμογή Σχήμα Τύπος

Εμβαδό χωρίου που περικλείεται μεταξύ της του άξονα των και των ευθειών και

1 2 3

( ) ( )

( ) ( )

β γ

α α

δ β

γ δ

E E E E

f x dx f x dx

f x dx f x dx

= + + =

= = -

- +

ò ò

ò ò

Εμβαδό χωρίου Ε που περι-κλείεται μεταξύ των και και των ευθειών

και

( )( ) ( )β

αE f x g x dx= -ò

Εμβαδό χωρίου Ε που περι-κλείεται μεταξύ των και και των ευθειών

και

( )( ) ( )δ

γE f y g y dy= -ò

Μήκος καμπύλης από μέχρι

( )21

β

αs y dx

dyόπου y

dx

¢= +

¢ =

ò

Μήκος καμπύλης , από μέχρι

2 2

,

β

αs x y dt

dx dyόπου x y

dt dt

= +

= =

ò

Όγκος και Επιφάνεια εκ περιστροφής της καμπύλης

από μέχρι γύρω από τον άξονα των ( )

2

22 1

β

α

β

α

V π y dx

S π y y dx

=

¢= +

ò

ò

Όγκος και Επιφάνεια εκ περιστροφής της καμπύλης

από μέχρι γύρω από τον άξονα των ( )

2

22 1

δ

γ

δ

γ

V π x dy

S π x x dy

=

¢= +

ò

ò

Page 56: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

4.8

Ασκήσεις

Ποιο το εμβαδό χωρίου που ορίζεται μεταξύ των y=ημx, y=συνx, 0<x<2π

Είναι 2

0... 4 2

π

E ημx συνx dx= - = =ò

Να βρεθεί ο όγκος και η επιφάνεια του τόρου (σαμπρέλας) που σχηματίζεται με περιστροφή της περιφέρειας κέντρου Κ(0,α) και ακτίνας r, γύρω από τον Οx

2 2 2 21 2 ( ) ( ) 4

α α α

α α αV V V π f x dx π g x dx πβ α x dx

- - -= - = - = -ò ò ò

2 21 2 2 2

12 1 2 1 4

α α α

α α αS S S π f f dx π g g dx παβ dx

α x- - -¢ ¢= + = + - + =

-ò ò ò

(Μετά τις πράξεις βρίσκουμε 2 2 22 , 4V π α β S π αβ= = )

2 2( )y f x β α x= = + -

2 2( )y g x β α x= = - -

Page 57: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

5.1

Τεχνικές Ολοκλήρωσης Μέθοδος αντικατάστασης Κατά παράγοντες ολοκλήρωση Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Ολοκλήρωση μη-Ρητών Συναρτήσεων Ολοκλήρωση Δυναμοσειρών

Μέθοδος αντικατάστασης Θεώρημα: Έστω συνεχής στο , , διαφορίσιμη ώστε:

α) , β) Για κάθε με , ισχύει ή γ) ΄ συνεχής στο , ή ,

Τότε ( ) ( ( )) ( ) ( )β δ δ

α γ γf x dx f g t g t dt h t dt¢= =ò ò ò , όπου h(t) = f(g(t)) g'(t).

Για Αόριστα Ολοκληρώματα ( )f x dxò Βήμα 1. Βρίσκουμε μία διαφορίσιμη & αντιστρέψιμη

Βήμα 2. Αντικαθιστούμε στο ολοκλήρωμα και έχουμε: ( ( )) ( )f g t g t dt¢ò

Βήμα 3. Διακρίνουμε τις περιπτώσεις: (i).To νέο ολοκλήρωμα είναι στοιχειώδες ή ανάγεται σε στοιχειώδες. Έστω μία

αρχική. Ισχύει: ( ( )) ( ) ( )f g t g t dt F t c¢ = +ò Πηγαίνουμε στο Βήμα 4.

(ii). Το νέο ολοκλήρωμα είναι ευκολότερο αλλά όχι στοιχειώδες. Θεωρούμε το t ως νέο και πάμε στο Βήμα 1.

(iii). Το νέο ολοκλήρωμα είναι δυσκολότερο από το αρχικό. Πάμε στο Βήμα 1 και κάνουμε άλλη αντικατάσταση.

Βήμα 4. Βρίσκουμε την αντίστροφη και αντικαθιστούμε:

1( ) ( ( ))f x dx F g x c-= +ò

Παράδειγμα 2. Να υπολογιστεί το 3

xI dx

x x=

-ò με την αντικατάσταση 6

( 6 5 ) Έχουμε διαδοχικά

.5 1

2 1

g(t)

t

Παράδειγμα 1

1

2 20.5 1

dxI

x x

για 0.5, 2 για 1, 1

22 2

2 2 21 1

( 1/ )... 0.8219

(1/ ) 1 (1/ ) 1

t dt t dtI x

t t t

Θέτουμε 1/

Είναι ΄ συνεχής στο 1,2

Page 58: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

5.2

65 4 3 2

6 5 4 3 2

6 35 2 3 6 6

6 16 1

1 1

6 6 6 66 6ln 1

5 4 3 26 6 6 6

6 6ln 15 4 3 2

tI dt t t t t t dt

t t

t t t t t t t c

x x x x x x x c

æ ö÷ç= = + + + + + + ÷ç ÷çè ø- -

= + + + + + + - + =

= + + + + + + - +

ò ò

Παράδειγμα 3. Να υπολογιστεί το: 2 2I α x dx= -ò με την αντικατάσταση x=αημt

Είναι dx=ασυνtdt άρα 2 2 2 2 2I α α ημ t ασυνt dt α συν t dt= - =ò ò

Επειδή 2 (2 ) 1

2

συν tσυν t

+= έχουμε

2 21 ( )2 2

2 2 2

α a ημt συνt tI συν t d t t

æ ö +÷ç= + =÷ç ÷çè øò

Επειδή /ημt x α= , 2 2 /συνt α x α= - , ( / )t τοξημ x α= το αποτέλεσμα γράφεται

2 2 2 ( / )

2

x α x α τοξημ x aI c

- += +

Ασκήσεις

1. Να υπολογιστούν με την αντικατάσταση που δίνεται τα ολοκληρώματα.

α. 2

1,

( 1)

dxx

x x t=

+ò , β. 3

7 23

1,

1( 1) ( 1)

dx xt

xx x

-=

+- +ò

γ. 7

23, 3 4

6 25

dxx t

x x= +

- +ò δ. 3

2 23, 3

9

dxx εφt

x x=

(Απ. α. 2

2

1 1ln

2

xc

x

+- + , β. 3

3 3 5 1

16 1 1

x xc

x x

- +- +

- -, γ. π/6, δ. 0.0651

Ολοκληρωτικές Σχέσεις

(α) άρτια συνάρτηση

( ) ( )α β

β αf x dx f x dx

-

-=ò ò

0( ) 2 ( )

α α

αf x dx f x dx

- =ò ò

(β) περιττή συνάρτηση

( ) ( )α β

β αf x dx f x dx

-

-=-ò ò ( ) 0

α

αf x dx

- =ò

Παράδειγμα 4: Δείξτε 0 0

( ) ( )α α

f x dx f a x dx= -ò ò (*)

Θέτουμε x=α - t . Τότε dx = -dt, f(x) =f(α-t) και για x=0 είναι t=α, ενώ για x=α είναι t=0

και 0

0 0( ) ( )( ) ( )

α a

αf x dx f a t dt f a t dt= - - = -ò ò ò που δίνει το ζητούμενο

Page 59: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

5.3

Παράδειγμα 5: Δείξτε 3/ 2

3 30 4

π ημ x πdx

ημ x συν xI = =

Εδώ 3 3

3 3 3 3( ) ( )

2

ημ x π συν xf x και f x

ημ x συν x ημ x συν x= - =

+ +

Από τη σχέση (*) έχουμε

3 3/2 /2

3 3 3 30 0

3 3/2 /2

3 30 0

( )

12

x xI I dx dx

x x x x

x xdx dx

x x

p p

p p

hm sunhm sun hm sun

hm sun phm sun

* + = + =+ +

+= = =

+

ò ò

ò ò

που δίνει αμέσως το ζητούμενο.

Παράδειγμα 6: Βρέστε το 2

0, ό

πnημ x dx n περιττ ςI = ò

Ισχύουν ( )( ) ώ (2 ) (2 ) 1 ( )nn n nf x ημ x εν f π x ημ π x ημ x f x= - = - = - =-

Άρα ( )2 2

0 0(*) ( ) ( )

π π

f x dx f x dx = -ò ò άρα Ι=-Ι επομένως Ι=0

Ασκήσεις

Δείξτε α. 2

20 1 4

π x ημx πdx

συν x=

+ò β. 1/ 2

1/ 2

1ln 0

1

xσυνx dx

x-

+⋅ =

Κατά παράγοντες ολοκλήρωση Ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx¢ ¢= -ò ò

ή

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x df x f x g x f x dg x= -ò ò

ή ισοδύναμα

u dv u v v du= -ò ò

Παρατηρήσεις Μπορεί να εφαρμοστεί πολλές φορές Πρέπει το δεύτερο ολοκλήρωμα να είναι γνωστό ή στοιχειώδες ή τουλάχιστον ευκολότερο

από το πρώτο. Ορίζονται ίσως αναδρομικές σχέσεις ( π.χ. ημnx) Εφαρμόζεται σε γινόμενα πολυωνύμων με τριγωνομετρικές ή εκθετικές συναρτήσεις ή σε

πολύπλοκα γινόμενα.

Παράδειγμα 7: Να υπολογισθεί το ( )( )2/32 1 1x x dx- -ò

Με κατά παράγοντες ολοκλήρωση έχουμε

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

2/3 5/32 2

5/3 5/32 2

5/3 8/32

31 1 1 1

53 3

1 1 1 15 53 9

1 1 15 20

x x dx x d x

x x x d x

x x xd x

- - = - - =

= - - - - - =

= - - - - =

ò ò

ò

ò

Page 60: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

5.4

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

5/3 8/3 8/32

5/3 8/3 11/32

8/3

3 9 91 1 1 1

5 20 203 9 27

1 1 1 15 20 2203

1 4 744

x x x x x dx

x x x x x c

x x c

= - - - - + - =

= - - - - + - + =

= - + +

ò

(Δοκιμάστε και την αντικατάσταση x-1=t3)

Παράδειγμα 8: Να βρεθεί αναγωγικός τύπος για το nnI ημ xdx= ò

( )

1 1

1 1 1 2 2

1 2 2

1 2

( )

( ) ( 1)

( 1) (1 )

( 1)

n n nn

n n n n

n n

n n n

I ημ x dx ημ x ημx dx ημ x d συνx

ημ xσυνx συνx d ημ x ημ xσυνx n ημ xσυν x dx

ημ xσυνx n ημ x ημ x dx

ημ xσυνx n ημ x dx ημ x dx

- -

- - - -

- -

- -

= = =- =

=- + =- + - =

=- + - - =

=- + - -

ò ò òò ò

òò ò

12

1 1, 2n

n n

nI I ημ xσυνx n

n n-

-

-= - ³

Παράδειγμα 9: Να βρεθεί αναγωγικός τύπος για το / 2

0

πn

nJ ημ xdx= ò

/ 2 / 2/ 21 1 1

00 0

/ 22 2

0

( ) ( )

0 ( 1) ) .....

π ππn n nn

πn

J ημ x d συνx ημ xσυνx συνx d ημ x

n συν xημ x dx

- - -

-

=- =- + =

= + - =

ò ò

ò

2

1, 2n n

nJ J n

n -

-= ³

(Αν είναι γνωστό το προηγούμενο αποτέλεσμα θέτουμε απλά τα όρια στα ολοκληρώματα και τις τιμές στα δύο όρια στις συναρτήσεις)

Ασκήσεις 1. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα

α. ( )x ημx συνx dx+ò , β. lnnx x dxò , γ. ( )( )2 /31 1x x dx- +ò

δ. 1

lne

x dxò , ε. 2

/ 2

0( 1) xx e dx-ò , στ.

1

0τοξεφx dxò

(Απ. α. (1 ) (1 )x συνx x ημx c- + + + , β. [ ]1

2( 1) ln 1

( 1)

nxn x c

n

+

+ - ++

,

γ. ( ) ( )5/331 5 11

40x x c+ - + , δ. 1, ε. 0.5634, στ. (π-2ln2)/4=0.438825

2. Υπολογίστε το 3

3 3 1/ 2

1(4 )t t dt-

-+ò όταν γνωρίζουμε

33 1/ 2

1(4 ) 11.2148t dt

-+ =ò

(Απ. Το ζητούμενο γράφεται 3

3 1/2

1

2(4 )

3t d t

-+ò και με κατά παράγοντες ολοκλ. =4.8137)

Page 61: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

5.5

Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων

Έστω ολοκλήρωμα της μορφής ( )

( )

P xdx

Q xò όπου P(x), Q(x) πολυώνυμα

Γίνεται προσπάθεια διάσπασης του κλάσματος σε απλούστερα με διάφορους τρόπους Με απλοποίηση:

Παράδειγμα 10. 2

2 2

2

2 2 1 1

( 2) 2

1 2 7 2 1ln ln

( 1/ 2) 7 / 4) 7 7

x xdx dx dx

x x x x x x

xx dx x τοξεφ c

x

+ += + =

+ + + +

+= + = + +

+ +

ò ò ò

ò

Με διάσπαση σε απλά κλάσματα (ρίζες απλές πραγματικές),

Παράδειγμα 11. 2 11 24

( 1)( 2)( 5) 1 2 5

x x A BI dx dx

x x x x x x

- - G= = + +

+ - + + - +ò ò

Από ( 2)( 5) ( 1)( 5) ( 1)( 2)

1 2 5 ( 1)( 2)( 5)

A B A x x B x x x x

x x x x x x

G - + + + + +G + -+ + =

+ - + + - +, βρίσκουμε

Α=1, Β=-2, Γ=2 και η συνέχεια εύκολη

2

2

( 1)( 5)ln( 1) 2ln( 2) 2ln( 5) ln

( 2)

x xI x x x c c

x

æ ö+ + ÷ç ÷= + - - + + + = +ç ÷ç ÷ç -è ø

ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν x=ρ απλή ρίζα του Q(x) τότε: 1

1

( )( )

( ) ( )

P xP x A

Q x x ρ Q x= +

-, όπου Q(x)=(x-ρ)Q1(x),

Q1(ρ) 0, και για το Α έχουμε: ( )

( )

P ρA

Q ρ=

¢

Για την απόδειξη παρατηρήστε ότι 1 1( ) ( ) ( ) ( )P x AQ x x ρ P xº + - ,

( )1 1( ) ( )Q x Q x x ρ Q¢ ¢= + - και αντικαταστήστε το x με ρ.

Για το προηγούμενο παράδειγμα, -1, 2 και -5 απλές ρίζες, και 2( ) 11 24P x x x= - - , ( ) ( 2)( 5) ( 1)( 5) ( 1)( 2)Q x x x x x x x¢ = - + + + + + + - Άρα

( 1) 12

1( 1) 12

P

Q

- -A= = =

¢ - -,

(2)2

(2)

P

QB= =-

¢,

( 5)2

( 5)

P

Q

-G= =

¢ -

δηλαδή βρέθηκε ευκολότερα η λύση. Με διάσπαση σε απλούστερα κλάσματα (ρίζες πραγματικές),

Παράδειγμα 12.

22 2

3 3 23/2 3/2

3 7 1

( 1) ( 2) ( 1) ( 1) 1 2

x x A BI dx dx

x x x x x x

æ ö- + - G D ÷ç ÷= = + + +ç ÷ç ÷ç- + - - - +è øò ò

(παρατηρήστε ότι αντιστοιχούμε τόσα κλάσματα όση η δύναμη του παρονομαστή με δυνάμεις που φθίνουν μέχρι το 1). Από την ταυτότητα

2 2 33 7 1 ( 2) ( 1)( 2) ( 1) ( 2) ( 1)x x A x x x x x x- + - º + +B - + +G - + +D -

Page 62: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

5.6

προκύπτει εύκολα το σύστημα 0

3 33 3 7

2 2 2 1

G+D=B- D=-A+B- G+ D=A- B+ G-D=-

που δίνει

1,

0,

1,

1

A=

B=G=-D=

και τελικά

2 2 2

33/2 3/2 3/2

23 1

3/2

1 1 1

( 1) 1 2

( 1)ln( 1) ln( 2) 1.78

3 1

I dx dx dxx x x

xx x

- +

-= + + =

- - +

-= - - + + =

- +

ò ò ò

Με διάσπαση σε απλούστερα κλάσματα (ρίζες μιγαδικές),

Παράδειγμα 13. 3 2 3 23 3 3

4 2 2 2 2 23 /3 3 /3 3 /3

3 3 2 3 3 2

( 1) 1

x x x x A B xI dx dx dx

x x x x x x x

æ ö+ + + + G +D÷ç= = = + + ÷ç ÷çè ø+ + +ò ò ò

(παρατηρήστε ότι για τον παρονομαστή που έχει μιγαδικές ρίζες ο αριθμητής είναι πρωτοβάθμιο διώνυμο της μορφής A x B+ ). Από την ταυτότητα:

3 2 2 2 23 3 2 ( 1) ( 1) ( )x x A x x x x x+ + º + +B + + G +D προκύπτει 2 , 0 , 3, 1A= B= G= D=

που δίνει εύκολα

3 3

2 23 /3 3 /3

3 3 32

2 23 /3 3 /3 3 /3

2 3 1

13 2 1

2 ... 4.48092 1 1

xI dx dx

x xx

x dx dx dxx x

-

+= + =

+

= + + = =+ +

ò ò

ò ò ò

Ασκήσεις

1. Υπολογίστε τα ολοκληρώματα

α. 3 3

( 2)( 1)

xdx

x x

-- +ò , β.

2

3 2

2

2

x xdx

x x

+ --ò , γ.

2

2

2

( 1)( 1)

xdx

x x+ -ò

(Απ. α. ( )2ln ( 1) ( 2)x x c+ - + , β. 1

ln( 2)x cx

- + - + , γ. 21ln | -1| ln( 1)

2τοξεφx x x c+ + + +

2. Με την παρατήρηση ότι ( )7 71 1x x= + - υπολογίστε το 7( 1)

dx

x x +ò

Ολοκλήρωση μη-Ρητών Συναρτήσεων

(Τριγωνομετρικών, υπερβατικών, με ριζικά κλπ.)

Γίνεται προσπάθεια απλοποίησης ή μετατροπής της μη-ρητής συνάρτησης σε ρητή. Ρητές ως προς ex - (μορφή R(ex) )

Θέτουμε: ex=t, x=lnt Παράδειγμα 14:

x x

x x

e eI dx

e e

-

-

+=

-ò 2

2

1

( 1)

tdt

t t

+-ò που είναι ρητή και δίνει:

2 2ln 1 ln ln 11 1

xdt dt dtt t c e x c

t t t

-+ + = - - + = - - +

- +ò ò ò

Page 63: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

5.7

Παρατηρήστε ότι:

1

cosh (sinh )ln sinh ln

sinh sinh

x xx x

x x

e e x xI dx dx x c e e c

e e x x

--

-

¢+= = = = + = - +

- ò ò

που εύκολα δείχνουμε ότι είναι ίδιο με το προηγούμενο αποτέλεσμα Ρητές ως προς ημx, συνx (μορφή R(ημx, συνx))

Θέτουμε: 22

xεφ t x τοξεφt= = οπότε

2

2 2

2 1,

1 1

t tημx συνx

t t

-= =

+ + και

2

2

1dx dt

t=

+

Παράδειγμα 15: 1

1

ημxI dx

ημx

-=

+ò 2

2 2

2(1 )

(1 ) (1 )

tdt

t t

-I=

+ +ò που είναι ρητή και δίνει:

2 2 1

2

4 2 4 4

(1 ) 1 1 xεφ

dt dt τοξεφt c x ct t t +

I = - =- - + =- - + =+ + +ò ò

Ρητές ως προς ημ2x, συν2x (μορφή R(ημ2x, συν2x) )

Θέτουμε: εφx t x τοξεφt= = από όπου 2

22 2

1,

1 1

tημ x συνx

t t= =

+ + και

2

1

1dx dt

t=

+

Παράδειγμα 16: 2

6

ημ xI dx

συν x= ò 2 2(1 )I t t dt= +ò που είναι ρητή και δίνει:

( ) ( )3 3

2 25 3 5 315 15

t εφ xI t c εφ x c= + + = + +

Ρητές ως προς n αx β+ ( μορφή R( n αx β+ ) )

Θέτουμε: n αx β t+ = nt β

-= και 1nn

dx t dtα

-=

π.χ. 35 ( 1) 1

xI dx

x x=

+ + +ò

6

2

5( )

( 1)

t tdt

t

-+ò (όπου 55 1 , 1x t x t+ = = - )

που δίνει 4 22 2

1... ( )

1 1

tI t dt t dt dt dt dt φ x c

t t= - + - - = = +

+ +ò ò ò ò ò

Ρητές ως προς nαx β

γx δ

++

( μορφή R( nαx β

γx δ

++

) )

Θέτουμε: nαx β

tγx δ

+=

+ ,

n

n

β δtx

γt α

-=

- και 1

2( )n

n

αδ βγdx nt dt

γt α--

=-

Παράδειγμα 17:

3

21

1 1

( 1)1 1

x x dxI

xx x

+ - -=

++ - -ò που γράφεται 3

21

11

1( 1)1

11

xdxxI

xx

x

--

+=+-

++

ò

Θέτουμε 1

1

xt

x

-=

+

2

2

1

1

tx

t

+ =

- και

2 2

4

(1 )

t dtdx

t=

-,

2

21

1x

t+ =

-.

Τα νέα όρια του t είναι t=0 όταν x=1 και 2 / 2t = όταν x=3. Άρα έχουμε:

Page 64: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

5.8

2 / 2

0

(1- ).... 0.0946

1

t tI dt

t= = =

Ρητές ως προς 2αx βx γ+ + ( μορφή R( 2αx βx γ+ + ) ) (ρ1, ρ2 ρίζες του

τριωνύμου)

1. Αν α>0 θέτουμε: ( )2αx βx γ a x t+ + = -

2. Αν 1 2ρ ρ¹ θέτουμε: 21 2 1( )( ) ( )αx βx γ α x ρ x ρ x ρ t+ + = - - = -

3. Αν για κατάλληλα t, k ισχύει ένα από τα παρακάτω τρία :

2 2

2 2 2

2 2

,

, , cosh

, , sinh

k t θέτουμε t k συνz ή t k ημz

kαx βx γ t k θέτουμε t ή t k z

ημz

t k θέτουμε t k εφz ή t k z

ìï - = =ïïïïï+ + = - = =íïïïïï + = =ïî

Διαλέγουμε εκείνη την αντικατάσταση που οδηγεί σε ευκολότερο ολοκλήρωμα Παράδειγμα 18:

3

2

( 1)

2 2

xI dx

x x

-=

- +ò . Θέτουμε 1x t- = οπότε

3

2 1

tI dx

t=

Α΄ τρόπος Θέτουμε 2

dzt εφz dt

συν z= =

3 2

4 4 3

2 3/2 2 1/2

1 1 1

31

... ( 2 2) ( 2 2)3

ημ z συν zI dz dσυνz c

συν z συν z συνz συν z

x x x x c

- -= =- = + + =

= = - + - - + +

ò ò

Β΄ τρόπος Θέτουμε sinh cosht z dt z dz= = και 2 1 sht co z+ =

3 2 2

3 2 3/ 2 2 1/ 2

sinh sinh cosh (1 cosh ) cosh

1 1cosh cosh ... ( 2 2) ( 2 2)

3 3

I z dz z d z z d z

z z x x x x c

= = = - =

= - = = - + - - + +

ò ò ò

Γ΄ τρόπος Είναι 3 2

2

2 2

1( 1)

21 1

t tI dx d t

t t= = +

+ +ò ò Θέτουμε 2 1t z+ =

1/ 2 1/ 2 3/ 2 1/ 21 1 1 1( ) ...

2 2 3

zI dz z z dz z z c

z--

= = - = - + =ò ò

Ασκήσεις Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα

α. 2

1

x

x

edx

e +ò , β.

1 ln

ln

xdx

x x

+ò , γ.

2

1

4 1dx

x x- +ò , δ.

( )3

1

1

xdx

x x

-

ε. ln 3

0

1

1

x x

x

e edx

e

-+ò , στ.

21

0 2

xdx

x-ò , ζ. / 2

2 6

/ 2

π

πσυν x ημ x dx

-ò , η. 2

0

π

ημ x dxò

(Απ. α. ( )22 1

3x xe e c- + + , β.

1 ln 12 1 ln 2ln

1 ln 1

xx c

x

+ -+ + +

+ +, γ. 2ln | -2 -4 1 |x x x c+ + +

δ. 1/6 1/3 2/3

1/6) 1/3

(3 / 2)( 4 2

4 ( ) 2ln(1 ))

x x x

τοξεφ x x

- - + +

+ + +, ε.

40.607

2

π-= , στ. 0.3006, ζ.

50.1227

128

π= , η. π/2)

Page 65: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

6.1

Ειδικά Ολοκληρώματα Ολοκλήρωση Δυναμοσειρών

ΘΕΩΡΗΜΑ Ολοκληρώνοντας τους όρους μιας δυναμοσειράς που έχει ακτίνα σύγκλισης r,

προκύπτει μία δυναμοσειρά που έχει και αυτή την ίδια ακτίνα σύγκλισης r.

Άρα, αν ( )0 0 00

( ) , ( , )n

nn

f x α x x x x r x r¥

=

= - Î - +å τότε

( ) 1

00 0

0

( ) , ( , )1

n

nn

x xf x dx α x x r x r

n

=

-= Î - +

+åò

Η σύγκλιση στα άκρα πρέπει να ελεγχθεί ξεχωριστά.

Παράδειγμα 1 Έστω η γεωμετρική σειρά 0

1, 1 1

1n

n

x xx

¥

=

= - < <-å . Τότε:

1

0 0

1ln 1 , 1 1

1 1

nn

n n

xx dx x dx x

n x

+¥ ¥

= =

= =- - = - < <+ -å åò ò δηλ.

προέκυψε το ανάπτυγμα του λογαρίθμου 1

0

1ln 1 , 1 1

1n

n

x x xn

¥+

=

-- = - < <

+å .

Παράδειγμα 2 Υπολογίζουμε

2 2 2 2

1 11 1 1 10 0

5(1 )

1(1 ) (1 ) 211

n nn n

x x xdx dx dx x dx

x xx

¥ ¥

- -= =

æ ö÷ç= ÷ = = + =ç ÷ç ÷ç+ +è ø -+

å åò ò ò ò

Ασκήσεις

1. Γνωρίζοντας ότι 0

1, 1

1n

n

x xx

¥

=

= £-å βρέστε το άθροισμα της σειράς

( ) 10

1

1 3nn n

¥

+= +å .

2. Δίνεται ότι το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor της συνάρτησης y=ημx είναι 3 5 7 2 1

... ( 1) ...3! 5! 7! (2 1)!

nnx x x x

ημx x xn

+

= - + - + + - + " Î+

α) Παραγωγίστε την παραπάνω σχέση όρο προς όρο. Τι παριστάνει η σειρά που προέκυψε; Ποιο είναι το διάστημα σύγκλισης της νέας σειράς; β) Ολοκληρώστε όρο προς όρο την αρχική σχέση. Τι παρατηρείτε;

Μη-γνήσια ολοκληρώματα

Α΄ είδους αν διάστημα ολοκλήρωσης άπειρο, Β΄ είδους αν η συνάρτηση απειρίζεται

A΄ είδους Β΄ είδους

Page 66: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

6.2

Α΄ είδους: ( ) lim ( )M

Mα αf x dx f x dx

¥

¥=ò ò με την προϋπόθεση ότι το όριο υπάρχει.

( ) ( ) ( )α

αf x dx f x dx f x dx

¥ ¥

-¥ -¥= +ò ò ò υπολογίζουμε χωριστά τα δύο ολοκλ.

(Σημείωση: πρέπει να υπάρχουν και τα δύο)

Αν υπάρχει το όριο lim ( )M

M Mf x dx

¥ -ò λέγεται πρωτεύουσα τιμή του ( )f x dx¥

-¥ò .

Β΄ είδους. Αν lim ( )

x cf x

=¥ τότε

0( ) lim ( )

c c ε

εα αf x dx f x dx

-

=ò ò εφόσον υπάρχει το όριο.

Αν α<c<β τότε ( ) ( ) ( )β c β

α α cf x dx f x dx f x dx= +ò ò ò υπολογίζουμε χωριστά το καθένα,

Δηλαδή 0 0

( ) lim ( ) lim ( )β c ε β

ε ηα α c ηf x dx f x dx f x dx

-

+= +ò ò ò

(Σημείωση: πρέπει να υπάρχουν και τα δύο) Αν υπάρχει το όριο

0lim ( ) ( )

c ε β

ε α c εf x dx f x dx

-

-+ò ò λέγεται πρωτεύουσα τιμή του ( )

β

αf x dx =ò

Παράδειγμα 3 Να υπολογιστεί (αν υπάρχει) το

0

xxe dx¥

0 0

0 01

M Mx x

MMx x M M

xe dx x de

xe e dx Me e

- -

- - - -

=- ==

- + =- - +

ò ò

ò

άρα

( )0 0

lim lim 1 1M

x x M M

M Mxe dx xe dx Me e

¥- - - -

¥ ¥= = - + =ò ò

Παράδειγμα 4:

Δείξτε ότι υπάρχει το: 2

1 ,xI xe dx¥

-

-¥= ò ενώ δεν υπάρχει το 2 21

xI dx

x

¥

-¥=

+ò ,

ενώ οι δύο συναρτήσεις έχουν παρόμοια γραφική παράσταση

2

2

0

1 1...

2 2

MMx

M

exe dx

--

¥

-= = ò

( )22

0

ln 1...

2

Mx

M

Mxe dx-

¥

+= = ¥ò

2 20

0

x xxe dx xe dx¥

- -

-¥=- ò ò 1I = 0 Άρα δεν υπάρχει το Ι2

Η πρωτεύουσα τιμή του υπάρχει και είναι 0

1 2 5 8

0.37

0.5

1 2 5 8

0.37

0.5

( ) xf x xe

-2 -1 1 2

-0.43

-0.2

0.2

0.43

-2 -1 1 2

-0.43

-0.2

0.2

0.43

-1 1

-0.5

-0.2

0.2

0.5

-1 1

-0.5

-0.2

0.2

0.52

( ) xf x xe 2( )

1

xf x

x

Page 67: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

6.3

Παράδειγμα 5: Να υπολογιστεί (αν υπάρχει) το 1

20

1

1dx

x-ò

11

200

1(1 )

1

εε

dx τοξημx τοξημ εx

--

= = - -

ò

1

2 00

1lim (1 )

21 ε

πdx τοξημ ε

x = - =

Παράδειγμα 6: Δείξτε ότι δεν υπάρχει το 20

1

1I dx

x

¥=

Αν υπάρχει το Ι, τότε: 1 2

2 2 20 1 2

1 1 1

1 1 1I dx dx dx

x x x

¥= + +

- - -ò ò ò

Όμως 1

2 00

1 1 2... ln 1

1 2

ε

εdx

x ε

-

= = - ¥

-ò άρα δεν υπάρχει το Ι

ΕΝΑ ΜΗ-ΓΝΗΣΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

Δόθηκε, σε εξετάσεις, το ολοκλήρωμα: 22 1

dxI

x x

¥=

Υπάρχουν πολλές λύσεις, από τις οποίες αρκετές δόθηκαν από τους φοιτητές

1η Λύση Με αντικατάσταση 1x t= +

που δίνει 1

...42( 1)

dt πI

t t

¥= = =

2η Λύση Με αντικατάσταση 2 1x u x- = - που δίνει

2 1 21 2

2lim 2 ...

1 4u

M

du πI τοξεφu

u

¥

+¥+= = = =

ή βρίσκουμε πρώτα το αόριστο ολοκλήρωμα (την αρχική) που εδώ είναι:

21( ) 2 ( 1)G x τοξεφ x x= + - και ( )1 1lim ( ) ( 2) ...

4M

πI G M G

¥= - = =

0.5 1 ∂ 1

1

2

3

4

5

0.5 1 ∂ 1

1

2

3

4

5

2

1( )

1f x

x

0 . 5 1 ∂ 1 1 2

1

2

3

4

5

0 . 5 1 ∂ 1 1 2

1

2

3

4

5

2

1( )

1f x

x x

Page 68: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

6.4

3η Λύση Με αντικατάσταση 2 1x u- = που δίνει 2 11

lim ...1 4

M

M

dt πI τοξεφu

u

¥

¥= = = =

4η Λύση Με αντικατάσταση 1

xt

= που δίνει 0 0

2 / 222 / 2...

41

dt πI τοξημt

t=- =- = =

5η Λύση Με αντικατάσταση 1

xημt

= που δίνει / 4

0...

4

π πI dt= = =ò

ή βρίσκουμε πρώτα το αόριστο ολοκλήρωμα (την αρχική) που εδώ είναι:

2

1( )G x τοξημ

x=- και ( )2 2lim ( ) ( 2) ...

4M

πI G M G

¥= - = =

6η Λύση Με αντικατάσταση coshx z=

που δίνει 2ln( 2 1) ln( 2 1)

cosh...

cosh 1 sinh 4

dz zdz πI

z z

¥ ¥

+ += = = =

+ò ò

που υπολογίζεται και αλλιώς 2 2ln( 2 1) 2 1

2 2...

1 4

z

z

e dz dz πI

e u z

¥ ¥

+ += = = =

+ò ò

Αριθμητική Ολοκλήρωση

0 1 1 1 2... ( ) ...n nh y y y f x dx h y y y

00 1 2 1

1 1( ) 2 ...2

. .2

2 . 22 n

nn

nhf x dx y y y y

y y y yh hy

Αν f(x) μονότονη: ( ) ( )E f f h Σφάλμα

Για επιθυμητή ακρίβεια ε

2

12

( )h

M

Αν f(x) οποιαδήποτε: 2212

E h M

2( )f x M , όπου

για α<x<β

f(x) μονότονη

Κανόνας Τραπεζίου

( )

i

i i

x ih

hn

y f x

( )f x dx

Page 69: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

6.5

0 1 2 3 2 1( ) 4 2 4 ... 4 23 n n n

hf x dx y y y y y y y

Για επιθυμητή ακρίβεια ε πρέπει: 4

4

180

( )h

M

Σφάλμα 44180

E h M

(4)

4( )f x M, όπου , για α<x<β

Κανόνας Simpson , , ( ) ,i i ix ih h y f xn

n άρτιος

προσέγγιση της f(x) f(x)p1(x)

f(x)p2(x)

Παράδειγμα: Να υπολογιστεί προσεγγιστικά το:

1/ 2

1/ 2( )f x dx

2

2

1 , 0( )

1 , 0

x xf x

x x

, όπου

0 1 2 12 2 ... 2 1.0642 n n

hI y y y y y

Σφάλμα Ε<|f(β)-f(α)| h = |0.875 - 1.25| (1/8) = 0.0469

2 22

1(0.125) 2 0.0026

12 12E h M

ή σφάλμα

Πραγματικό σφάλμα Ε=0.0004 < 0.0026

1/ 2

1/ 2

0 1/ 22 2

1/ 2 0

( )

(1 ) (1 ) 1.0260

I f x dx

x dx x dx

Ακριβής τιμή

Page 70: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

6.6

Παράδειγμα: Ποιο το εμβαδό του διπλανού χωραφιού;

Είναι h=10, y0=0, y1=5, y2=10,...,y11=48, y12=50

10[(0 50) 4 (5 15 25 38 45 48)

32 (10 20 30 45 45)] 3.513 .

E

Παίρνοντας n=10 σημεία βρίσκουμε D=4.9348090 Ακριβής τιμή V=π2/2=4.9347939, σφάλμα Ε=0.0000151

Παράδειγμα. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που σχηματίζει μισό κύμα της συνάρτησης y=ημx με την περιστροφή του γύρω από τον άξονα Οx, με τον κανόνα Simpson ώστε να πετύχουμε ακρίβεια τουλ. 2 δεκαδ. ψηφίων.

2

0V x dx

Ζητείται , δηλαδή f(x) = π ημ2x, ... Μ4 = 8π

Για ακρίβεια ε=0.005 πρέπει

άρα n=10

44

4

1800.01139 0.3267

( )h

M

Παράδειγμα: Να υπολογιστεί προσεγγιστικά το:

/ 6

0

xe dx

k kk x y

0 0 1

1 π / 6 1 . 6 4 7 0

2 π / 3 2 . 3 7 7 4

3 π / 2 2 . 7 1 8 3

4 2 π / 3 2 . 3 7 7 4

5 5 π / 6 1 . 6 4 8 7

6 π 1

Κ. Τραπεζίου D=6.1630 Κ. Simpson D=6.2086

2

22

( )

2

xf x e x x

e x x e M

Σφάλμα 2

1 2 0.3912 6

E M

(4) 4

24

( ) 3 2

3 2 9

xf x e x x x

x x x e M

Σφάλμα 4

2 4 0.0321180 6

E M

Για ακρίβεια ε=0.0005 πρέπει 4 0.00117 0.18h

άρα n>0.18/π=17.4

Παίρνοντας n=18 σημεία βρίσκουμε D=6.2088

Page 71: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

6.7

Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Δύο ή Περισσοτέρων Μεταβλητών

Παράδειγμα Ηλ. Ακτινοβολ. (S.A.Bowers & R.D.Hanks)

Προφίλ της S ως προς W ή της S ως προς H

0.425(0.25841)S WΑν H=140 cm Αν W=40 kg 0.725(0.03445)S H

Παράδειγμα (Θερμ. φύλλων) (R.C. Simmons)

Παράδειγμα.(E.F. Dubois) S=επιφάνεια σώματος, W=βάρος σώματος ανθρώπων ή ζώων, H=ύψος σώματος

0.425 0.725(0.007184)S W H δηλαδή ( , )S f W H

Παρατηρείστε S(75, 150)=1.7, S(55, 180)=1.7, κλπ

ισεμβαδικές καμπύλες Ισοβαρείς καμπύλες ή Ισουψείς,.... ΓΕΝΙΚΑ ισοσταθμικές καμπύλες

Page 72: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

7.2

Συστήματα Συντεταγμένων

Καρτεσιανό τρισορθογώνιο σύστημα x, y, z

Σύστημα Κυλινδρικών / Ημιπολικών Συντ/νων r, θ, z

x ry rz z

2 2

( / ), 0

( / ), 0

r x yy x x

y x xz z

Σύστημα Σφαιρικών / Πολικών Συντ/νων r, θ, φ

x ry rz r

2 2 2

( / ), 0

( / ), 0( / )

r x y zτοξεφ y x αν x

θπ τοξεφ y x αν x

z τοξσυν z r

= + +ì >ïï=íï + <ïî

=

Τριδιάστατη παράσταση

Παράδειγμα Παραβολοειδές

2 2z x y

Ισοσταθμικές με z=c

Ισοσταθμικές με y=c

Page 73: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

7.3

Μερική Παράγωγος

0 0

0 00 0 0 0

,

( , ), ή ( , ) , ή , ή ( , )x

x y

f x y ff x y f x y

x x x

συμβολισμός

0 0 0 0 0 0

0

( , ) ( , ) ( , )limy

f x y f x y y f x y

y y

Θεωρείται το x ως σταθερά παράμετρος

0 0 0 0 0 0

0

( , ) ( , ) ( , )limx

f x y f x x y f x y

x x

Θεωρείται το y ως σταθερά παράμετρος

Παράδειγμα Ποιες οι μερικές παράγωγοι της

2 3 3( , ) 2f x y x y x στο σημείο (1, 2)

2 3 3 3 22 4 3x

fx y x xy x

x

3 2

(1,2)(1, 2) 4 3 29f xy x

x

2 3 3 2 22 6y

fx y x x y

y

2 2

(1,2)(1, 2) 6 24f x y

y

1 2

:( ) ( )

xD

f x y f x

Τόπος

Όριο - Συνέχεια

1 2

:( ) ( )

yD

g y x g y

P 0

0

lim ( , )x xy y

f x y

0

lim ( , )P P

f x y

ή

f(x,y) συνεχής στο P0=(x0 ,y0 ), αν-ν λ= f(x0 ,y0 )

Διαφέρουν από τα διπλά όρια

Page 74: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

7.4

Αλυσσωτοί νόμοι παραγώγισης

Έστω z=f(x, y). Αν x=g(r, s) και y=h(r, s) τότε : z=F(r, s).

Ιακωβιανή των u,v ως προς x,y όπου u,v είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις των x,y

( , )

( , )

x y

x y

u uu ux yD u v

v v v vD x y

x y

z z x z y

r x r y r

z z x z y

s x s y s

Πως συνδέονται οι παράγωγοι ως προς r, s, με αυτές ως προς x, y ;

dz z dx z dy

dt x dt y dt

Έστω z=f(x, y). Αν x=g(t), y=h(t) τότε : z=F(t).

Πως συνδέονται οι παράγωγοι ως προς r, s, με αυτήν ως προς t ;

Ισχύει: ( , ) ( , )

1( , ) ( , )

D u v D x y

D x y D u v

Δεύτερη Μερική Παράγωγος

Παράδειγμα ( , ) xyf x y e y

2

2

f f

x xx

2

2

f f

y yy

2 f f

x y x y

2 f f

y x y x

Μεικτές παράγωγοι. Είναι ίσες υπό προϋποθέσεις

, , ,xx xy yx yyf f f f άλλοι

συμβολισμοί 0 0 0 0 0 0 0 0

( , ) ( , ) ( , ) ( , ), , ,x y x y x y x yxx xy yx yyf f f f

( ) xyfy e y

x

( )xyfe y x y

y

22

2xyf

y e yx

2

22

2 (1 )xyfe x y x y

y

2

(1 )xyfe y y xy y

x y

Page 75: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

7.5

Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης

Έστω y=y(x) η πεπλεγμένη που ορίζεται με τη σχέση: F(x, y)=0

Θεωρούμε z=F(x, y)=0 με x=x, y=y(x) άρα: z=Φ(x).

1/31/3

1/3

(2 / 3)

(2 / 3)x

y

F x yy

F xy

0dz z dx z dy

dx x dx y dx

dy z z

x ydx

x

y

Fy

F

Παράδειγμα Παραγωγίστε την πεπλεγμένη που ορίζεται με:

2/3 2 /3 2 /3x y

2/3 2/3 2/3( , ) 0F x y x y Είναι

Παράδειγμα Οι πεπλεγμένες που ορίζονται από τις: τέμνονται κάθετα στην αρχή των αξόνων

4 3 25 2 0 ( , )x y x x y F x y

3 25 2 0 ( , )y x y x y x y

2 2(0,0)

2 2 2

55 3 2x

y

xyy

y x

3 2

3(0,0)

5 4 3 5

22 2x

y

F x x yy

F x y

Αλλαγή μεταβλητών

Έστω u=u(x, y) και v=v(x, y) δύο νέες μεταβλητές

( , )

( , )

D u vdudv dxdy

D x yΠως

μεταβάλλεται το στοιχειώδες εμβαδό dxdy ; ( , )

( , )

D x ydxdy dudv

D u v

Ολικό Διαφορικό Για την z=f(x,y) ορίζουμε:

z zdz dx dy

x y

Παράδειγμα Αλλαγή μεταβλητών στο επίπεδο: Καρτεσιανές σε Πολικές

x r

y r

Είναι τότε: dxdy rdrd

2 2( , ) ( ) ( )( )

( ) ( )( , )r

r

D x y r r rr r

r r rD r

διότι:

Page 76: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

7.6

Παράδειγμα Ποια η μέγιστη τιμή του γινομένου xyz όταν το άθροισμα x+y+z=c σταθερό.

Αρκεί να βρεθεί το μέγιστο της V(x,y) = xy(c-x-y)

( 2 )V

y c x yx

Είναι ( 2 )

Vx c x y

y

( 2 ) 0

( 2 ) 0

y c x y

x c x y

Κρίσιμα σημεία (0,0) , ( ,0) , (0, ) , ,

3 3

c cc c

3

max 3 3 3 3 27

c c c c cV c

Για (0,0) , ( ,0) , (0, )c c είναι ΑΓ - Β2 =-c2<0 άρα δεν έχει ακρότατο

,3 3

c c

Για είναι Α=Γ=-2c/3, Β=-c/3 Α<0, ΑΓ-Β2=c2/3>0 Μέγιστο

Ακρότατα

Θ. Έστω ότι υπάρχουν οι παράγωγοι α΄ και β΄ τάξης της f(x,y)και (x0, y0) κρίσιμο σημείο, δηλαδή τέτοιο ώστε:

0 0 0 0( , ) ( , )0, 0

f x y f x y

x y

2 2 2

0 0 0 0 0 02 2

( , ) ( , ) ( , ), ,

f x y f x y f x yA B

x yx y

Θέτουμε:

ΑΓ-Β2>0, Α>0 f(x,y) έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο (x0,y0) Τότε:

ΑΓ-Β2>0, Α<0 f(x,y) έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο (x0,y0)

ΑΓ-Β2<0 f(x,y) δεν έχει τοπικό ακρότατο στο σημείο (x0,y0)

ΑΓ-Β2=0 δεν γνωρίζουμε

Page 77: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

7.7

όπου D ο τόπος που περικλείεται από τις καμπύλες: y=x2, y=(1/3)(4-x2), x=2

Παράδειγμα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

( )D

V x y dxdy

τότε

22

22

22 2

1 (4 ) /3 1(4 ) /3

24 3 2

1

( )2

4( 3 3 2) 5.90

9

y xx

xy x

yV x y dy dx xy dx

x x x x dx

2 2

1 2:

(3 / 4)(4 )

xD

x y x

Διπλό Ολοκλήρωμα

Όγκος κάτω από την επιφάνεια z=f(x, y)

Αν ο τόπος D:

( , )D

V f x y dxdy

2

1

( )

( )( , )

f x

f xV f x y dy dx

τότε

Αν ο τόπος D:

2

1

( )

( )( , )

g y

g yV f x y dx dy

τότε

το y θεωρείται σταθερό

το x θεωρείται σταθερό

Page 78: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

7.8

όπου D ο τόπος που περικλείεται από τις υπερβολές: x2-y2=1, x2-y2=9, xy=2, xy=4

Παράδειγμα Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

2 2( )D

I x y dxdy

τότε 2 2 2 2

*

( , )( ) ( )

( , )D D

D x yI x y dxdy x y dudv

D u v

1 9* :

4 8

xD

x

Θέτοντας x2-y2=u, 2xy=v, ο τόπος D γίνεται D*

2 2

( , )

( , )

2 24( )

2 2

x y

x x

y

u uD u vv vD x y

x yx

y x

9 8

* 1 4

1 18

4 4DI dudv dv du

άρα

Page 79: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

8.1

Διαφορικές Εξισώσεις

Η οικογένεια συναρτήσεων ( ) ktN t ceείναι η γενική λύση

Παράδειγμα Μεταβολή πληθυσμού ΑΝΑΛΟΓΗ πληθυσμού Y

( ) ( ) ( )N t t N t N k N t t και οριακά dN

k Ndt

δ.ε.

Η συνάρτηση 0.0148( ) 50000 tN t e

είναι η μερική λύση για την οποία Ν(0)=50 000, Ν(10)=58 000

Σημείωση. Βακτηρίδια από 1 γεννήτορα Σε 2 ημέρες (2880 λεπτά) θα υπάρχουν Ν=2.23 · 1043 βακτ. με βάρος από 3.35 · 1032 έως 8.92 · 1033 τόνους. (ενώ Βάρος Γης 5.97 · 1021 τόνοι).

/ 20 0.03465( ) 2t tN t e

όχι καλό μοντέλο για μεγάλο χρονικό διάστημα

Αν Ν(t) P, P σταθερό Τότε: ( ) , .....dN

k P Ndt

Ορισμός

Έστω F(x, y, y΄, y΄΄, ...)=0 Υπάρχει y=f(x), ώστε να ισχύει;

Διαφορική εξίσωση (δ.ε.)

Λύση της δ.ε.

Η λύση εξαρτάται συνήθως από παραμέτρους c1, c2,... γενική λύση

οικογένεια καμπύλων

Πολλές φορές αναζητούμε λύση που να ικανοποιεί αρχικές συνθήκες y(x0)=y0, y΄(x0)=y΄0,..., μερική λύση

κάποια από την οικογένεια

Page 80: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

8.2

Παράδειγμα Λογιστικό μοντέλο μεταβολής πληθυσμών

ή άdN

dt

μερική λύση / 4

60( )

1 14 tN t

e

υποθέτουμε ή 1

2 600

N

N

ά 1

4 300

N

N

k=1/240, A=600

( )dN

k N A Ndt

ln10.56

kt

Ak Σημείο καμπής

όπου ο ρυθμός μεταβολής είναι μέγιστος

( )

dNk dt

N A N

δ.ε. χωριζομένων μεταβλητών

Αρχικές συνθήκες Τ(0)=100, Τ(10)=80

Παράδειγμα Νόμος ψύξης Νεύτωνα ( 25)

dTk T

dt δ.ε.

( ) ( )dy

f x g ydx

ή ( ) ( )G y dy F x dx

( ) ( )G y dy F x dx

Θεωρούμε ως ανεξάρτητη μεταβλητή το x

Θεωρούμε ως ανεξάρτητη μεταβλητή το y

,25

dTk dt

T

γενική λύση

( ) 25 k tT t ce

μερική λύση 0.03102( ) 25 75 tT t e

Page 81: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

8.3

Παράδειγμα Ποιο το σχήμα κατόπτρου ώστε οι ανακλώμενες ακτίνες να είναι παράλληλες;

γενική λύση

2 22y c x c

Επειδή πρέπει OB=OP, όπου:

P P POB x y y 2 2P POP x y

2 2P P P P Px y y x y

ομογενής δ.ε.

Ομογενείς Διαφορικές Εξισώσεις

( , )

( , )

dy f x y

dx g x y

όπου f, g ομογενείς ίδιου βαθμού, δηλαδή:

( , ) ( , ) ( , ) ( , )f tx ty t f x y g tx ty t g x y

2(1 )

dw dx

xw

Για τη λύση, θέτουμε: y

w y wxx

Παράδειγμα. Να λυθεί η δ.ε 2 2 2 3dy

x x y xydx

γενική λύση 1

1ln

y xc x

(1, )

(1, )

dw f ww x

dx g w

( , ) (1, )

( , ) (1, )

f x y f w

g x y g wάρα και

dy dww x

dx dx

Τελικά (1, ) / (1, )

dw dx

f w g w w x

Page 82: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ...users.auth.gr/~cmoi/Notes/Maths/PanepParadAnotMathimDas.pdf · 2015-11-06 · Τα σημεία τομής

Πολυχρόνη Μωυσιάδη: Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στα ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2010-11

8.4

Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις

( ) ( )dy

P x y Q xdx

Παράδειγμα. Να λυθεί η δ.ε 2 2dy

x y x xdx

( ) ( )( )

P x dx P x dxy e c Q x e dx

1( ) , ( ) 2P x Q x x

x 1

2dy

y xdx x

( ) (1/ ) lnP x dx x dx xe e e x

1( 2) ...x dx

x

( ) ln 1P x dx xe ex

γενική λύση ( 2ln )y c x x x x