Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά · 2020-03-02 ·...

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά

PV = A ∙1 − (1 + i)−n

i

Σημειώσεις Διδασκαλίας

Ακαδημαϊκό Έτος 2019-20

Ανδρέας Αναστασάκης, Λέκτορας Εφαρμογών


Σελίδα | 2

Περιεχόμενα

ΣΚΟΠΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ .................................................................................................. 4

1. ΜΕΡΙΣΜΟΣ ....................................................................................................................... 5

1.1. Βασικές Μέθοδοι Μερισμού .............................................................................................. 5 1.2. Οικονομική Διαχείριση με Μερισμό ................................................................................... 8

2. ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ ................................................................................................................. 12

2.1. Βασικές Έννοιες ................................................................................................................. 12 2.2. Απλή και Σύνθετη Κεφαλαιοποίηση ................................................................................. 12 2.3. Υπολογισμός Απλού Τόκου ............................................................................................... 13 2.4. Επίλυση προβλημάτων απλού τόκου με τοκάριθμους και σταθερούς διαιρέτες ........... 20 2.5. Επίλυση Προβλημάτων Απλού Τόκου με Ανάλυση Κεφαλαίου ....................................... 23

3. ΣΥΝΑΛΛΑΓΕΣ ΜΕ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΕΣ Η ΓΡΑΜΜΑΤΙΑ ........................................................ 25

3.1. Βασικές Έννοιες ................................................................................................................. 25 3.1.1. Γραμμάτιο ................................................................................................................. 25 3.1.2. Συναλλαγματική ........................................................................................................ 26

3.2. Προεξόφληση Συναλλαγματικών ...................................................................................... 27 3.2.1. Υπολογισμός Εξωτερικού Προεξοφλήματος ............................................................ 27 3.2.2. Υπολογισμός Εσωτερικού Προεξοφλήματος ............................................................ 28

4. ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕ ΔΙΑΤΑΓΗ ........................................................... 34

4.1 Βασικές Έννοιες. ................................................................................................................. 34 4.2 Χρήσιμοι Τύποι Επίλυσης Προβλημάτων Αντικατάστασης Συναλλαγματικών. ................ 34

5. ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ ................................................................................................................ 43

5.1. Βασικές Έννοιες ................................................................................................................. 43 5.2. Υπολογισμός της Τελικής Αξίας στον Ανατοκισμό ............................................................ 43

5.1.1. Υπολογισμός με Χρονική Διάρκεια σε Ακέραιο Αριθμό Περιόδων ......................... 43 5.1.2. Υπολογισμός με Χρονική Διάρκεια σε Δεκαδικό Αριθμό Περιόδων ....................... 44

5.2. Προεξόφληση Συναλλαγματικών με Ανατοκισμό ............................................................ 49 5.2.1. Υπολογισμός του Προεξοφλήματος Συναρτήσει της Παρούσας Αξίας .................... 49 5.2.2. Υπολογισμός του Προεξοφλήματος Συναρτήσει της Ονομαστικής Αξίας................ 51

5.3. Ισοδυναμία Συναλλαγματικών με Ανατοκισμό ................................................................ 54 5.3.1 Χρήσιμοι Τύποι Επίλυσης Προβλημάτων Αντικατάστασης Συναλλαγματικών στον

Ανατοκισμό ............................................................................................................... 54 6. ΡΑΝΤΕΣ ............................................................................................................................ 59

6.1. Μέλλουσα ή τελική αξία ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας ........................................... 60 6.2. Μέλλουσα ή τελική αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας ........................... 63 6.3. Μέλλουσα αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας ..................................... 66 6.4. Μέλλουσα αξία ετήσιας προκαταβλητέας κυμαινόμενης ράντας ................................... 67 6.5. Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης σταθερής ράντας ............................ 68 6.6. Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας προκαταβλητέας σταθερής ράντας ......................... 71 6.7. Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας ληξιπρόθεσμης κυμαινόμενης ράντας ................... 74 6.8. Παρούσα ή σημερινή αξία ετήσιας προκαταβλητέας κυμαινόμενης ράντας .................. 75

7. ΧΡΗΜΑΤΟΔΟΤΗΣΗ ΜΕ ΤΟΚΟΧΡΕΟΛΥΤΙΚΑ ΔΑΝΕΙΑ ........................................................... 76

7.1. Μέθοδος προοδευτικού χρεολυσίου ή Γαλλικό σύστημα. .............................................. 76 7.1.1. Υπολογισμός της δόσης (τοκοχρεολύσιο) ................................................................ 76 7.1.2. Υπολογισμός του χρεολυσίου στο τέλος της μ περιόδου ........................................ 78 7.1.3. Υπολογισμός του ποσού του κεφαλαίου δανείου που εξοφλήθηκε στο τέλος της

περιόδου μ (Εμ) ......................................................................................................... 78


Σελίδα | 3

7.1.4. Υπολογισμός του ποσού του ανεξόφλητου κεφαλαίου δανείου στο τέλος της περιόδου μ (Κμ) ......................................................................................................... 79

7.1.5. Υπολογισμός του μέρους των τόκων στο τέλος της περιόδου μ (Ιμ) ........................ 79 7.1.6. Υπολογισμός των συνολικών τόκων του δανείου (Ι) ................................................ 79 7.1.7. Πίνακες εξυπηρέτησης δανείου ............................................................................... 82 7.1.8. Υπολογισμός κεφαλαίου, χρόνου και επιτοκίου ...................................................... 86

7.2. Μέθοδος σταθερού χρεολυσίου ή Αμερικάνικο σύστημα ή Sinking Fund ...................... 88 7.2.1. Γενικά ........................................................................................................................ 88 7.2.2. Υπολογισμός τοκοχρεολυτικής δόσης ...................................................................... 88 7.2.3. Πίνακες εξυπηρέτησης δανείου ............................................................................... 89

7.3. Μέθοδος προοδευτικά μειωμένου τοκοχρεολυσίου ή ίσων μερών κεφαλαίου. ............ 95 7.3.1. Γενικά ........................................................................................................................ 95

7.4. Εξόφληση τοκοχρεολυτικών δανείων πριν από τη λήξη τους .......................................... 98 8. ΔΑΝΕΙΑ ΜΕ ΤΙΤΛΟΥΣ Η ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΑ ΔΑΝΕΙΑ .................................................................. 99

8.1. Γενικά ................................................................................................................................ 99 8.2. Απόσβεση ομολογιακών δανείων στο άρτιο, με την προοδευτική μέθοδο .................. 100

8.2.1. Η σύνταξη του πίνακα απόσβεσης ομολογιακού δανείου .................................... 100 8.2.2. Υπολογισμός με αλγεβρικό τρόπο των στοιχείων ομολογιακού δανείου ............. 102

8.3. Απόσβεση ομολογιακών δανείων σε τιμή διαφορετική από το άρτιο, με την προοδευτική μέθοδο ................................................................................................................................... 106

8.3.1. Η σύνταξη του πίνακα απόσβεσης ομολογιακού δανείου .................................... 106 8.3.2. Υπολογισμός με αλγεβρικό τρόπο των στοιχείων ομολογιακού δανείου ............. 108

8.4. Λαχειοφόρα ομολογιακά δάνεια που εξοφλούνται τοκοχρεολυτικά στο άρτιο ή σε τιμή διαφορετικά από το άρτιο ..................................................................................................... 111

8.4.1. Γενικά ...................................................................................................................... 111 8.4.2. Τεχνικές υπολογισμού των όρων λαχειοφόρου ομολογιακού δανείου ................ 111

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ .................................................................................................... 114

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ................................................................................................................... 129


Σελίδα | 4

Πρόλογος:

Σκοπός του μαθήματος

Οι σημειώσεις αυτές αποτελούν την σύνθεση και ενοποίηση των διαλέξεων διδασκαλίας του μαθήματος «Οικονομικά Μαθηματικά», που περιλαμβάνεται στο προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών (ΠΠΣ) του Τμήματος Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής του Ελληνικού Μεσογειακού Πανεπιστημίου (ΕΛ.ΜΕ.ΠΑ.).

Το κείμενο αυτό δεν φιλοδοξεί να αντικαταστήσει τα δόκιμα συγγράμματα της διεθνούς και εθνικής βιβλιογραφίας, που σχετίζονται με το εν λόγω γνωστικό αντικείμενο και ορισμένα από αυτά προτείνονται άλλωστε ως πολλαπλή βιβλιογραφία στο συγκεκριμένο μάθημα του ΠΠΣ του Τμήματος Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Αντίθετα φιλοδοξεί να αποτελέσει ένα συμπληρωματικό χρήσιμο βοήθημα για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες που παρακολουθούν το συγκεκριμένο μάθημα.

Σκοπός του μαθήματος είναι η εξοικείωση των φοιτητών με τα Μαθηματικά Πίστης. Ξεκινώντας από εφαρμογές απλής κεφαλαιοποίησης ο φοιτητής έρχεται σε επαφή με εφαρμογές και υποδείγματα που χρησιμοποιούνται για να αποτιμηθεί η αξία του κεφαλαίου μέσα στο χρόνο. Κατόπιν γίνεται εκτενής αναφορά στην προεξόφληση συναλλαγματικών καθώς και στην οικονομική ισοδυναμία συναλλαγματικών μέσα από τα υποδείγματα της παρούσας και μελλοντικής αξίας.

Στη συνέχεια παρουσιάζονται εφαρμογές σύνθετης κεφαλαιοποίησης, ισοδυναμίας επιτοκίων, γραμμικής και εκθετικής συνθήκης αποτίμησης τελικής αξίας κεφαλαίου.

Εδώ η αναφορά στην παρούσα και μελλοντική αξία κεφαλαίων είναι πιο εκτενής, με εφαρμογές ισοδυναμίας, προεξόφλησης και αποτίμησης κεφαλαίων, διαχρονικά. Η εισήγηση ολοκληρώνεται με εφαρμογές παρούσας και μελλοντικής αξίας σε σειρές κεφαλαίων (ράντες) και απλά παραδείγματα αποτίμησης παρούσας αξίας ταμειακών εισροών. Στο φροντιστηριακό μέρος του μαθήματος παρουσιάζονται οι σημαντικότερες συναρτήσεις των Οικονομικών Μαθηματικών και οι φοιτητές μαθαίνουν να κατασκευάζουν τύπους υπολογισμού για όλες τις εφαρμογές που παρουσιάζονται στο μάθημα.

Ελπίζοντας ότι οι σημειώσεις αυτές θα αποδειχθούν χρήσιμες για τους φοιτητές και τις φοιτήτριες του Τμήματος, τους ζητούμε εκ των προτέρων την επιείκεια τους για τις παραλείψεις που ενδεχομένως περιλαμβάνονται σε αυτές.


Σελίδα | 5

1. Μερισμός

1.1. Βασικές Μέθοδοι Μερισμού

Μερισμό ονομάζουμε το χωρισμό ενός αριθμού σε μέρη ανάλογα ή αντιστρόφως ανάλογα μιας ή πολλών σειρών αριθμών. Δηλαδή άλλοτε απαιτείται να μερισθεί ένας αριθμός α) σε μέρη ανάλογα μιας σειράς αριθμών, β) σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα μιας σειράς αριθμών, και γ) σε μέρη ανάλογα δυο ή πολλών σειρών αριθμών.

α) Μερισμός ενός αριθμού Χ σε μέρη ανάλογα μιας σειράς αριθμών α, β, γ, …., ν

Αν πρόκειται να μερισθεί ο αριθμός χ σε μέρη ανάλογα των αριθμών α, β, γ,…,ν τότε δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού (ΣΜ) που είναι ίσος με το λόγο του αριθμού Χ προς το

άθροισμα των αριθμών α, β, γ,…,ν δηλαδή ΣΜ =Χ

α+β+γ+⋯ν και στην συνέχεια

πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμό της σειράς χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού Χ, δηλαδή:

Μερισμός αριθμού Χ Μέρη αριθμού Χ

Πρώτο μέρος: ΣΜ ∙ α

Δεύτερο μέρος: ΣΜ ∙ β

Τρίτο μέρος: ΣΜ ∙ γ

……………………. ………..

Νιοστό μέρος: ΣΜ ∙ ν β) Μερισμός αριθμού Χ σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα μιας σειράς αριθμών α, β, γ, …., ν

Εργαζόμαστε ως εξής:

Πρώτον, δημιουργούμε τους αντίστροφους αριθμούς των α, β, γ,…,ν δηλαδή:

1

α,

1

β,

1

γ, … . ,

1

ν

Δεύτερο, μετατρέπουμε τους αντίστροφους αριθμούς σε ομώνυμα κλάσματα, δηλαδή:

βγ. . ν

αβγ … ν,αγ … ν

αγ … ν,

αβ … ν

αβγ … ν, …

αβγ …

αβγ … ν

Τρίτο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του Χ με βάση τους αριθμητές των ομώνυμων

κλασμάτων, δηλαδή ΣΜ =Χ

βγ..ν+αγ..ν+αβ..ν+αβγ… και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ

με τον κάθε ένα αριθμητή των ομώνυμων κλασμάτων χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού Χ, δηλαδή:


Πρώτο μέρος: ΣΜ ∙ βγ. . ν

Δεύτερο μέρος: ΣΜ ∙ αγ … ν

Τρίτο μέρος: ΣΜ ∙ αβ … ν

……………………. ………..

Νιοστό μέρος: ΣΜ ∙ αβγ … γ) Μερισμός αριθμού Χ σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών α, β, γ…ν και δ, ε, ζ…μ

Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι είναι τα γινόμενα των ανά δυο ζευγών αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: αδ, βε, γζ, …νμ.


Σελίδα | 6

Δεύτερο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του Χ με βάση τα προηγούμενα γινόμενα, δηλαδή:

ΣΜ =Χ

αδ+βε+γζ+⋯νμ και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με το κάθε ένα από τα

προηγούμενα γινόμενα χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού Χ, δηλαδή:


Πρώτο μέρος: ΣΜ ∙ αδ

Δεύτερο μέρος: ΣΜ ∙ βε

Τρίτο μέρος: ΣΜ ∙ γζ

……………………. ………..

Νιοστό μέρος: ΣΜ ∙ νμ Παράδειγμα 1

Να μερισθεί ο αριθμός 80 σε μέρη ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4, 7

Λύση:

Πρώτον, υπολογίζουμε τον συντελεστή μερισμού, δηλαδή ΣΜ =Χ

α+β+γ+δ=

80

2+3+4+6=

80

16= 5,

και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμό της σειράς χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 80, δηλαδή:

Μερισμός αριθμού 80 Μέρη αριθμού 80

Πρώτο μέρος: 5 ∙ 2 = 10

Δεύτερο μέρος: 5 ∙ 3 = 15

Τρίτο μέρος: 5 ∙ 4 = 20

Τέταρτο μέρος 5 ∙ 7 = 35

Σύνολο 80 Παράδειγμα 2

Να μερισθεί ο αριθμός 1000 σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα των αριθμών 2, 3, 4, 8, 10

Λύση:

Πρώτον, δημιουργούμε τους αντίστροφους αριθμούς των 2, 3, 4, 8,10 δηλαδή: 1

2,

1

3,

1

4,

1

8,

1

10

Δεύτερο, μετατρέπουμε τους αντίστροφους αριθμούς σε ομώνυμα κλάσματα, δηλαδή θα έχουμε:

3∙4⋅8⋅10

2∙3∙4⋅8⋅10,

2∙4⋅8⋅10

2∙3∙4⋅8⋅10,

2∙3⋅8⋅10

2∙3∙4⋅8⋅10,

2∙3∙4⋅10

2∙3∙4⋅8⋅10,

2∙3∙4⋅8

2∙3∙4⋅8⋅10,

και με απλοποίηση: 960

1920,

640

1920,

480

1920,

240

1920,

192

1920

Τρίτο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του Χ με βάση τους αριθμητές των ομώνυμων

κλασμάτων, δηλαδή ΣΜ =1000

960+640+480+240+192=

1000

2512= 0,398089 και στην συνέχεια

πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμητή των ομώνυμων κλασμάτων χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού Χ, δηλαδή:


Σελίδα | 7

Μερισμός αριθμού 1000 Μέρη αριθμού 1000

Πρώτο μέρος: 0,398089 ∙ 960 = 382,17

Δεύτερο μέρος: 0,398089 ∙ 640 = 254,78

Τρίτο μέρος: 0,398089 ∙ 480 = 191,08

Τέταρτο μέρος: 0,398089 ∙ 240 = 95,54

Πέμπτο μέρος: 0,398089 ∙ 192 = 76,43

Σύνολο 1.000,00 Παράδειγμα 3

Να μερισθεί ο αριθμός 25.000 σε μέρη ανάλογα των αριθμών 2,3,4,8,10 και 5, 6,7,9,11.

Λύση:

Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι είναι τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή:

2∙5=10, 3∙6=18, 4∙7=28, 8∙9=72, 10∙11=110,

Δεύτερο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του 25.000 με βάση τα προηγούμενα γινόμενα, δηλαδή:

ΣΜ =25.000

10+18+28+72+110=

25.000

238= 105,042 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με το

κάθε ένα από τα προηγούμενα γινόμενα χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 25.000, δηλαδή:

Μερισμός αριθμού 25.000 Μέρη αριθμού 25.000

Πρώτο μέρος: 105,042 ∙ 10 = 1.050,42

Δεύτερο μέρος: 105,042 ∙ 18 = 1.890,76

Τρίτο μέρος: 105,042 ∙ 28 = 2.941,18

Τέταρτο μέρος: 105,042 ∙ 72 = 7.563,03

Πέμπτο μέρος: 105,042 ∙ 110 = 11.554,62

Σύνολο 25.000,00


Σελίδα | 8

1.2. Οικονομική Διαχείριση με Μερισμό

Η σύγχρονη οικονομική διαχείριση των επιχειρήσεων αντιμετωπίζει διάφορα προβλήματα, των οποίων η αντιμετώπιση και η λύση τους απαιτεί την εφαρμογή των μεθόδων του μερισμού. Τέτοια προβλήματα είναι συνήθως η διανομή του οικονομικού α[αποτελέσματος (κέρδος ή ζημιά) μεταξύ των εταίρων μιας επιχείρησης, η διανομή των περιουσιακών στοιχείων μεταξύ των εταίρων στην περίπτωση διάλυσης μιας επιχείρησης, η διανομή του κόστους εργασίας μεταξύ των εργαζομένων μιας επιχείρησης. Ακολουθούν παραδείγματα εφαρμογής του μερισμού στα προαναφερόμενα προβλήματα.

Παράδειγμα 1

Τα κέρδη για διανομή της ομόρρυθμης επιχείρησης Ζ την τελευταία χρήση ήταν 900.000€. Στο εταιρικό κεφάλαιο της επιχείρησης συμμετέχουν ο Α με 180.000€, ο Β με 220.000€, και ο Γ με 360.000€, ο Δ με 450.000€ και ο Ε με 290.000€. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους τρεις συνέταιρους.

Λύση:

Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα πέντε άλλων αριθμών (των συμμετοχών των Α, Β, Γ, Δ. Ε). Εργαζόμαστε ως εξής:

Πρώτον, υπολογίζουμε τον συντελεστή μερισμού, δηλαδή:

ΣΜ =900.000

180.000 + 220.000 + 360.000 + 450.00 + 290.000=

900.000

1.500.000= 0,6

και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμό χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 789.000, δηλαδή:

Μερισμός κερδών 900.000 Μέρη κερδών 900.000

Κέρδη Α εταίρου: 0,6 ∙ 180.000 = 108.000

Κέρδη Β εταίρου: 0,6 ∙ 220.000 = 132.000

Κέρδη Γ εταίρου: 0,6 ∙ 360.000 = 216.000

Κέρδη Δ εταίρου: 0,6 ∙ 450.000 = 270.000

Κέρδη Ε εταίρου: 0,6 ∙ 290.000 = 174.000

Σύνολο 900.000 Παράδειγμα 2

Ο Α ίδρυσε την 1/2 μια επιχείρηση με κεφάλαιο 34.000€. Την 1/4 συμφώνησε να συνεταιρισθεί με το Β, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης 34.000€. Την 1/6 συμφώνησαν και οι δυο τους να συνεταιρισθούν με το Γ, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης 34.000€. Την 15/7 εισήλθε ο Δ στην επιχείρηση επίσης 34.000€ και την 30/8 εισήλθε ο Ε στην επιχείρηση επίσης 34.000€ . Στο τέλος της χρήσης η επιχείρηση παρουσίασε κέρδη για διανομή 365.000€. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους πέντε συνέταιρους.

Λύση:

Το πρόβλημα έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή) σε μέρη ανάλογα πέντε άλλων αριθμών (των μηνών συμμετοχής στην επιχείρηση των Α, Β, Γ, Δ, Ε που διαφέρουν μεταξύ τους ), επειδή οι τελευταίοι συμμετέχουν με ίσα ποσά στο εταιρικό κεφάλαιο. Δηλαδή πρέπει να γίνει ο μερισμός του αριθμού 250.000 σε μέρη ανάλογα των αριθμών 11, 9, 7, 5.5, και 4 (οι μήνες συμμετοχής των Α, Β, Γ , Ε, Δ στην επιχείρηση). Εργαζόμαστε ως εξής:

Πρώτον, υπολογίζουμε τον συντελεστή μερισμού, δηλαδή:


Σελίδα | 9

ΣΜ =365.000

11 + 9 + 7 + 5,5 + 4=

365.000

36,5= 10.000

και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με τον κάθε ένα αριθμό μηνών χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 250.000, δηλαδή:


Κέρδη Α εταίρου: 10.000 ∙ 11 = 110.00

Κέρδη Β εταίρου: 10.000 ∙ 9 = 90.000

Κέρδη Γ εταίρου: 10.000 ∙ 7 = 70.000

Κέρδη Δ εταίρου: 10.000 ∙ 5,5 = 55.000

Κέρδη Ε εταίρου: 10.000 ∙ 4 = 40.000


Ο Α ίδρυσε την 1/1 μια επιχείρηση με κεφάλαιο 6.800€. Την 1/2 συμφώνησε να συνεταιρισθεί με το Β, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση επίσης 3.000€. Την 1/4 συμφώνησαν και οι δυο τους να συνεταιρισθούν με το Γ, ο οποίος εισέφερε στην επιχείρηση 8.400€. Την 15/6 εισήλθε ο Δ στην επιχείρηση με 5.500€. Την 1/8 ο Ε με 7.500€ και την 15/9 ο ΣΤ με 4.300€. Στο τέλος της χρήσης η επιχείρηση παρουσίασε κέρδη για διανομή 27.850€. Ζητείται να γίνει η διανομή των κερδών στους έξι συνέταιρους.

Λύση:

Επειδή οι έξι συνέταιροι συμμετέχουν με διαφορετικά ποσά στο εταιρικό κεφάλαιο αφενός και αφετέρου έχουν διαφορετικό χρόνο συμμετοχής στην επιχείρηση, η διανομή των κερδών σε αυτούς θα γίνει ανάλογα και των διαφορετικών ποσών συμμετοχής τους και του διαφορετικού χρόνου συμμετοχής τους. Το πρόβλημα δηλαδή έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (κέρδη για διανομή 30.000) σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών, των ποσών συμμετοχής (6.800, 3.000, 8.400, 5.500, 7.500 και 4.200 ) και των μηνών συμμετοχής των έξι εταίρων (12, 11, 9, 6.5, 5 και 3.5). Εργαζόμαστε ως εξής:

Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 6.800∙12=81.600, 3.000∙11=33.000, 8.400∙9=75.600, 5.500∙6,5=35.750, 7.500∙5=37.500 και 4.300∙3,5=15.050 .

Δεύτερο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του 24.988 με βάση τα προηγούμενα γινόμενα, δηλαδή:

ΣΜ =27.850

81.600 + 33.000 + 75.600 + 35.750 + 37.500 + 15.050=

27.850

278.500= 0,1

και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με το κάθε ένα από τα προηγούμενα γινόμενα χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 27.850, δηλαδή:


Κέρδη Α εταίρου: 0,1 ∙ 81.600 = 8.160

Κέρδη Β εταίρου: 0,1 ∙ 33.000 = 3.300

Κέρδη Γ εταίρου: 0,1 ∙ 75.600 = 7.560

Κέρδη Δ εταίρου: 0,1 ∙ 35.750 = 3.575

Κέρδη Ε εταίρου: 0,1 ∙ 37.500 = 3.750

Κέρδη ΣΤ εταίρου: 0,1 ∙ 15.050 = 1.505

Σύνολο 27.850


Σελίδα | 10


Για την εκτέλεση ενός έργου εργάσθηκαν 4 εργάτες, οι Α, Β, Γ, Δ. Ο Α εργάσθηκε 12 ημέρες με 8 ώρες ημερήσια απασχόληση, ο Β εργάσθηκε 10 ημέρες με 7 ώρες ημερήσια απασχόληση, ο Γ εργάσθηκε 9 ημέρες με 6 ώρες ημερήσια απασχόληση και ο Δ εργάσθηκε 6 ημέρες με 4 ώρες ημερήσια απασχόληση. Το σύνολο της αμοιβής τους είναι 1.586€. Ζητείται να υπολογισθεί η αμοιβή κάθε εργάτη χωριστά.

Λύση:

Επειδή οι 4 εργάτες εργάσθηκαν διαφορετικές ημέρες αφενός και αφετέρου με διαφορετικές ώρες ημερήσιας απασχόλησης, η διανομή της συνολικής αμοιβής σε αυτούς θα γίνει ανάλογα και των διαφορετικών ημερών εργασίας και των διαφορετικών ωρών ημερήσιας απασχόλησης τους. Το πρόβλημα δηλαδή έγκειται στο μερισμό ενός αριθμού (συνολική αμοιβή 1.586) σε μέρη ανάλογα δυο σειρών αριθμών, των ημερών απασχόλησης (12, 10, 9, 6) και των ωρών ημερήσιας απασχόλησης (8, 7, 6, 4). ). Εργαζόμαστε ως εξής:

Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο σειρών, δηλαδή: 12∙8=96, 10∙7=70, 9∙6=54, 6∙4=24.

Δεύτερο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του αριθμού 1.586 με βάση τα προηγούμενα γινόμενα, δηλαδή:

ΣΜ =1.586

96+70+54+24=

1.586

244= 6,5 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με το κάθε ένα

από τα προηγούμενα γινόμενα χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού 1.350, δηλαδή:

Μερισμός συνολικής αμοιβής 1.586

Μέρη συνολικής αμοιβής 1.586

Α εργάτης: 6,5 ∙ 96 = 624

Β εργάτης: 6,5 ∙ 70 = 455

Γ εργάτης: 6,5 ∙ 54 = 351

Δ εργάτης: 6,5 ∙ 24 = 156


Σε μια ομόρρυθμη επιχείρηση με εταιρικό κεφάλαιο 100.000€ συμμετέχουν τρεις εταίροι, ο Γ με συμμετοχή 40.000€, ο Β με συμμετοχή 25.000€ και ο Γ με συμμετοχή 35.000€. Οι τρεις εταίροι είναι ταυτόχρονα αυτοαπασχολούμενοι στην επιχείρηση με ημερήσιο ωράριο εργασίας, ο Α 8 ώρες, ο Β 6 ώρες και ο Γ 4 ώρες. Στο τέλος της τελευταίας χρήσης η επιχείρηση παρουσίασε ζημιά και οι εταίροι αποφάσισαν να την κλείσουν, κάνοντας εκκαθάριση με προσδιορισμό οφειλών προς τρίτους 1.301.000€. Ακολούθησε η εκποίηση των περιουσιακών στοιχείων της επιχείρησης και εισπράχθηκαν από την επιχείρηση 1.850.000€. Πως θα διανεμηθεί το υπόλοιπο ποσό της εκκαθάρισης στους τρεις εταίρους;.

Λύση:

Το υπόλοιπο ποσό της εκκαθάρισης ανέρχεται σε 549.000€ (1.850.000€ από εκκαθάριση - 1.301.000€ οφειλές προς τρίτους). Για να διανεμηθεί αυτό το ποσό στους τρεις εταίρους θα πρέπει να λάβουμε υπόψη ότι συμμετέχουν στο εταιρικό κεφάλαιο με διαφορετικά ποσά και επίσης εργάζονταν στην επιχείρηση με διαφορετικό ημερήσιο ωράριο. Επομένως πρέπει να διανεμηθεί το ποσό των 549.000€ ανάλογα της σειράς των διαφορετικών ποσών συμμετοχής τους, δηλαδή (40.000€, 25.000€, 35.000€) και ανάλογα της σειράς του διαφορετικού ωραρίου απασχόλησης τους, δηλαδή (8 ώρες, 6 ώρες, 4 ώρες). Εργαζόμαστε ως εξής:


Σελίδα | 11

Πρώτον, δημιουργούμε μια νέα σειρά αριθμών, οι οποίοι αποτελούν τα γινόμενα ανά δυο των αριθμών των δυο προαναφερόμενων σειρών, δηλαδή: 40.000∙8=320.000, 25.000∙6=150.000, 35.000∙4=140.000.

Δεύτερο, δημιουργούμε τον συντελεστή μερισμού του αριθμού 550.000 με βάση τα προηγούμενα γινόμενα, δηλαδή:

ΣΜ =549.000

320.000+150.000+140.000=

549.000

610.000= 0,9 και στην συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον ΣΜ με

το κάθε ένα από τα προηγούμενα γινόμενα χωριστά, για να εξάγουμε τα μέρη του αριθμού

549.000, δηλαδή:

Μερισμός υπόλοιπου εκκαθάρισης

549.000 Μέρη υπόλοιπου εκκαθάρισης

549.000

Α εταίρος: 0,9 ∙ 320.000 = 288.000

Β εταίρος: 0,9 ∙ 150.000 = 135.000

Γ εταίρος: 0,9 ∙ 140.000 = 126.000

Σύνολο 549.000


Σελίδα | 12

2. Απλός Τόκος

2.1. Βασικές Έννοιες

Οι βασικές μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στη μελέτη και την επίλυση των προβλημάτων που παρουσιάζονται στις οικονομικές συναλλαγές ατόμων και επιχειρήσεων με τις τράπεζες αλλά και μεταξύ τους είναι το κεφάλαιο, ο τόκος, το επιτόκιο και ο χρόνος.

Κεφάλαιο (K) είναι κάθε χρηματικό ποσό που μετράτε σε νομισματικές μονάδες, που μεταβιβάζεται με την μέθοδο του δανεισμού από τον κάτοχο του σε άλλο πρόσωπο που σκοπεύει να το εκμεταλλευθεί. Αυτός που μεταβιβάζει το κεφάλαιο λέγεται δανειστής ή πιστωτής και ο άλλος που το δέχεται λέγεται οφειλέτης ή δανειζόμενος.

Τόκος (I) είναι η αμοιβή που λαμβάνει ο πιστωτής από τον οφειλέτη, επειδή ο δεύτερος εκμεταλλεύεται το κεφάλαιο του πρώτου για ένα ορισμένο χρονικό διάστημα.

Επιτόκιο (i) λέγεται ο συντελεστής μέτρησης του τόκου και είναι ο τόκος κεφαλαίου μιας νομισματικής μονάδας στη μονάδα του χρόνου.

Χρόνος (n) λέγεται το χρονικό διάστημα που θα χρησιμοποιηθεί το κεφάλαιο του πιστωτή από τον οφειλέτη. Η χρονική μονάδα στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο δανεισμού ονομάζεται περίοδος, και ως τέτοια λαμβάνεται το έτος, το εξάμηνο, το τρίμηνο, αλλά και ο μήνας.

2.2. Απλή και Σύνθετη Κεφαλαιοποίηση

Το άθροισμα Κ+I, που προκύπτει από την ενσωμάτωση του τόκου I στο κεφάλαιο Κ λέγεται τελική αξία ή μελλοντική αξία του κεφαλαίου και συμβολίζεται με FV (future value). Η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο από το οποίο προέκυψε λέγεται κεφαλαιοποίηση. Υπάρχουν δύο συστήματα κεφαλαιοποίησης σε ευρεία χρήση, ανάλογα με το πότε προκύπτει η ενσωμάτωση του τόκου στο κεφάλαιο :

Απλή κεφαλαιοποίηση ή απλός τόκος (simple interest) είναι εκείνο το σύστημα στο οποίο ο τόκος που αναλογεί στο κεφάλαιο παράγεται στο τέλος της περιόδου και την επόμενη περίοδο τοκίζεται μόνο το αρχικό κεφάλαιο, το οποίο στο τέλος της περιόδου παράγει ξανά τόκο. Δηλαδή το κεφάλαιο και ο τόκος κάθε περιόδου μένουν σταθερά. Σε αυτή την περίπτωση το κεφάλαιο τοκίζεται με απλό τόκο. Ο απλός τόκος εφαρμόζεται στις βραχυπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, δηλαδή σε εκείνες που η χρονική τους διάρκεια είναι μέχρι ένα έτος.

Σύνθετη κεφαλαιοποίηση ή ανατοκισμός (compound interest) ονομάζεται το σύστημα στο οποίο ο τόκος που παράγεται στο τέλος κάθε χρονικής περιόδου προστίθεται στο αρχικό κεφάλαιο και έτσι σχηματίζεται ένα νέο κεφάλαιο (Κ+Ι), το οποίο παράγει την επόμενη περίοδο νέο τόκο που θα προστεθεί πάλι στο κεφάλαιο της συγκεκριμένης περιόδου κ.ο.κ.. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να λήξει η χρονική διάρκεια του τοκισμού. Δηλαδή το κεφάλαιο και ο τόκος αυξάνουν από σε περίοδο σε περίοδο. Σε αυτή την περίπτωση το κεφάλαιο τοκίζεται με σύνθετο τόκο ή ανατοκισμό. Ο ανατοκισμός εφαρμόζεται στις μεσοπρόθεσμες και μακροπρόθεσμες οικονομικές πράξεις, δηλαδή σε εκείνες που η χρονική τους διάρκεια είναι μεγαλύτερη από ένα έτος.


Σελίδα | 13

2.3. Υπολογισμός Απλού Τόκου

Ο απλός τόκος είναι ανάλογος του χρηματικού κεφαλαίου, του επιτοκίου και του χρόνου και υπολογίζεται στο τέλος της χρονικής διάρκειας τοκισμού ενός χρηματικού κεφαλαίου, είτε αυτό αποτελεί δάνειο από τράπεζα σε δανειολήπτη, είτε αποτελεί κατάθεση από καταθέτη σε τράπεζα. Επομένως ο τύπος υπολογισμού του δίνεται από τη σχέση:

I = Κ ∙ i ∙ η

όπου:

I = ο απλός τόκος

Κ = το αρχικό κεφάλαιο

i = το επιτόκιο

η = ο χρόνος

Το άθροισμα του αρχικού κεφαλαίου και του τόκου ονομάζεται τελική αξία, συμβολίζεται με Kn και δίνεται από τη σχέση:

Kn = Κ + I => Kn = Κ + Κ ∙ i ∙ η => Kn = Κ ∙ (1 + i ∙ η)

Οι παραπάνω τύποι υπολογισμού του τόκου ή της τελικής αξίας εξ ορισμού αποτελούν τη βάση για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος σχετικού με βραχυχρόνιες οικονομικές πράξεις απλού τόκου. Επειδή σε κάθε πρόβλημα απλού τόκου εμπλέκονται τα 4 μεγέθη, Κ, Ι, i, n, αν τα τρία από αυτά είναι γνωστά, τότε με χρήση του προαναφερόμενου τύπου του απλού τόκου υπολογίζεται το τέταρτο.

Δηλαδή ανάλογα με το τι θα ζητείται κάθε φορά σε ένα πρόβλημα, θα ξεκινάμε με αυτό το τύπο, αρκεί η χρονική διάρκεια της οικονομικής πράξης (δανεισμός ή κατάθεση) να εκφράζεται στην την ίδια χρονική μονάδα στην οποία αναφέρεται το επιτόκιο.

Διαφορετικά αν τα δύο αυτά μεγέθη, επιτόκιο και χρόνος, δίδονται σε διαφορετική χρονική βάση, τότε πρέπει πάντα να προσαρμόζεται το μέγεθος που δίδεται σε χρονική βάση μικρότερου του έτους, σε ανάλογο μέγεθος ετήσιας βάσης.

Δηλαδή:

Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε μήνες, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των μηνών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=μ/12, όπου μ ο αριθμός των μηνών διάρκειας της οικονομικής πράξης.

Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε ετήσια βάση και ο χρόνος του δανείου σε αριθμό ημερών, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή των ημερών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=v/360, όπου v ο αριθμός των ημερών διάρκειας της οικονομικής πράξης.

Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε μηνιαία βάση και ο χρόνος του δανείου σε έτη, τότε είναι απαραίτητη η μετατροπή του επιτοκίου σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το i με 12/m, όπου m ο αριθμός των μηνών του επιτοκίου.

Όταν το επιτόκιο εκφράζεται σε μηνιαία βάση και ο χρόνος του δανείου σε μήνες ή σε έτη και μήνες, τότε είναι απαραίτητη αφενός η μετατροπή του επιτοκίου σε ετήσια βάση, πολλαπλασιάζοντας το i με 12/m, όπου m ο αριθμός των μηνών του επιτοκίου, και αφετέρου η μετατροπή των μηνών σε κλάσμα του έτους θέτοντας στη θέση του η=μ/12, όπου μ ο αριθμός των μηνών διάρκειας της οικονομικής πράξης..

Μετά από αυτές τις προσαρμογές του βασικού τύπου του απλού τόκου ή της τελικής αξίας, θα τους επιλύουμε ως προς ένα από τα μεγέθη τους που αποτελούν το ζητούμενο κάθε προβλήματος.


Σελίδα | 14


Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000€, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 12% για 8 μήνες.

Λύση

Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου:

I = Κ ∙ i ∙ η

Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και η χρονική διάρκεια τοκισμού εκφράζεται σε μήνες, την

μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η =(μήνες διάρκειας) 8

(μήνες επιτοκίου) 12 και μετά την αντικατάσταση

στον παραπάνω τύπο θα έχουμε:

I = 100.000 ∙ 0,12 ∙8

12= 8.000€


Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000€, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 10% για 1 χρόνο και 4 μήνες.

Λύση


I = Κ ∙ i ∙ η

Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε έτος και μήνες, την

μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η =(μήνες διάρκειας) 16

(μήνες επιτοκίου) 12 και μετά την αντικατάσταση

στον παραπάνω τύπο θα έχουμε:

Επομένως ο τόκος θα ανέρχεται σε :

I = 100.000 ∙ 0,10 ∙16

12= 13.333,33€


Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 100.000€, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με εξαμηνιαίο 12% για 1 χρόνο.

Λύση


I = Κ ∙ i ∙ η

Επειδή το επιτόκιο εκφράζεται σε χρονική διάρκεια μικρότερη του έτους, πρέπει να το

μετατρέψουμε σε ετήσιο επιτόκιο, δηλαδή i′ = i ∙12

𝑚= 0,12 ∙

12

6= 0,12 ∙ 2 = 0,24 και μετά την

αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε:

I = 100.000 ∙ 0,24 ∙ 1 = 24.000€


Σελίδα | 15


Να βρεθεί ο τόκος κεφαλαίου 10.000€, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με τριμηνιαίο επιτόκιο 3% για 1 χρόνο και 3 μήνες.

Λύση


I = Κ ∙ i ∙ η



𝑚= 0,03 ∙

12

3= 0,03 ∙ 4 = 0,12.

Επειδή επίσης η χρονική διάρκεια τοκισμού εκφράζεται σε έτος και μήνες, την μετατρέπουμε σε

κλάσμα του έτους, δηλαδή η =(μήνες διάρκειας)

(μήνες επιτοκίου)=

15

12

Μετά τις παραπάνω προσαρμογές με αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε:

I = 10.000 ∙ 0,12 ∙15

12= 1.500€


Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 50.000€, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 8% για 18 μήνες.

Λύση

Η τελική αξία θα είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο πλέον τον τόκο. Άρα θα υπολογίσουμε το τόκο που αντιστοιχεί στα παραπάνω δεδομένα και στην συνέχεια θα τον προσθέσουμε στο αρχικό κεφάλαιο.


I = Κ ∙ i ∙ η

Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και η χρονική διάρκεια τοκισμού εκφράζεται σε μήνες, την

μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η =(μήνες διάρκειας)


18

12 και μετά την


I = 50.000 ∙ 0,08 ∙18

12= 6.000€

Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε :

50.000 + 6.000 = 56.000€


Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 100.000€, το οποίο τοκίστηκε με ετήσιο επιτόκιο 10% για 1 χρόνο και 2 μήνες.

Λύση




Σελίδα | 16

I = Κ ∙ i ∙ η

Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο και η χρονική διάρκεια τοκισμού εκφράζεται σε έτος και μήνες,

την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους, δηλαδή η =(μήνες διάρκειας)


14

12 και μετά την


Άρα ο τόκος θα είναι:

I = 100.000 ∙ 0,1 ∙14

12= 11.666,67€


100.000 + 11.666,67 = 111.666,67€


Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 20.000€, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με εξαμηνιαίο επιτόκιο 4% για 1 χρόνο.

Λύση



I = K ∙ i ∙ η



𝑚= 0,04 ∙

12

6= 0,04 ∙ 2 = 0,08 και μετά την


I = 20.000 ∙ 0,08 ∙ 1 = 1.600€

Επομένως η τελική αξία του κεφαλαίου θα ανέρχεται σε : 20.000 + 1.600 = 21.600€


Να βρεθεί η τελική αξία κεφαλαίου 10.000 ευρώ, το οποίο τοκίστηκε με απλό τόκο, και με τετραμηνιαίο επιτόκιο 2,5% για 1 χρόνο και 5 μήνες.

Λύση



I = Κ ∙ i ∙ η



𝑚= 0,025 ∙

12

4= 0,025 ∙ 3 = 0,075.

Επειδή επίσης η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε έτος και μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα

του έτους, δηλαδή η =(μήνες διάρκειας)


17

12

Μετά τις παραπάνω προσαρμογές με αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε:


Σελίδα | 17

I = 10.000 ∙ 0,075 ∙17

12= 1.062,50€


10.000 + 1.062,50 = 11.062,50€


Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 50.000€ για 18 μήνες, θα αποκτήσει τελική αξία 55.800€

Λύση

Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου και τον λύνουμε ως προς το επιτόκιο:

I = K ∙ i ∙ η => i =I

K ∙ n

Επειδή η χρονική διάρκεια τοκισμού εκφράζεται σε μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του

έτους, δηλαδή η =(μήνες διάρκειας)


18

12

Μετά με αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε:

i =(55.800 − 50.000)

50.000 ∙18

12

=5.800

75.000= 0,0773, ή 7,73%


Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 100.000€ για 1 χρόνο και 3 μήνες θα αποκτήσει τελική αξία 102.900€.

Λύση


I = K ∙ i ∙ η => i =I

K ∙ n

Επειδή η χρονική διάρκεια τοκισμού εκφράζεται σε έτος και μήνες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα

του έτους, δηλαδή η =(μήνες διάρκειας)


15

12


i =(102.900 − 100.000)

100.000 ∙15

12

=2.900

125.000= 0,0232, ή 2,32%


Να βρεθεί το ετήσιο επιτόκιο με το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 100.000€ από 10/4 έως 24/10 θα αποκτήσει τελική αξία 102.500€.

Λύση


I = K ∙ i ∙ η => i =I

K ∙ n


Σελίδα | 18

Πριν εφαρμόσουμε τον παραπάνω τύπο, υπολογίζουμε τον αριθμό των ημερών, ως εξής:

ΜΗΝΕΣ 4 5 6 7 8 9 10 ΣΥΝΟΛΟ

ΗΜΕΡΕΣ 30-9=21 30 30 30 30 30 24 195

Επειδή η χρονική διάρκεια εκφράζεται σε ημέρες, την μετατρέπουμε σε κλάσμα του έτους,

δηλαδή η =(ημέρες διάρκειας)

(ημέρς έτους)=

195

360


i =(102.500 − 100.000)

100.000 ∙195

360

=2.500

54.166,67= 0,0462, ή 4,62%


Να βρεθεί το χρονικό διάστημα κατά το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 50.000€ με ετήσιο επιτόκιο 7,5 %, θα αποκτήσει τελική αξία 55.800€

Λύση

Ξεκινάμε με τον τύπου ορισμού του απλού τόκου και τον λύνουμε ως προς το χρόνο:

I = Κ ∙ i ∙ η => η =I

Κ ∙ i

Επειδή το επιτόκιο είναι ετήσιο, η χρονική διάρκεια θα υπολογισθεί σε έτη, άρα με αντικατάσταση στον παραπάνω τύπο θα έχουμε:

η =(55.800 − 50.000)

50.000 ∙ 0,075=

5.800

3.750= 1,5467 χρόνια ή 18, 56 μήνες ή 557 ημέρες


Να βρεθεί το χρονικό διάστημα κατά το οποίο αν τοκισθεί ένα κεφάλαιο 20.000€ με εξαμηνιαίο επιτόκιο 3,5%, θα αποκτήσει τελική αξία 20.900€.

Λύση


I = Κ ∙ i ∙ η => η =I

Κ ∙ i

Επειδή το επιτόκιο είναι εξαμηνιαίο, η χρονική διάρκεια θα υπολογισθεί σε εξάμηνα, δηλαδή

η =12

μ (μήνες επιτοκίου)∙ λ (αριθμός εξαμήνων) και μετά την αντικατάσταση στον παραπάνω

τύπο θα έχουμε:

12

6∙ λ =

(20.900 − 20.000)

20.000 ∙ 0,035=> 2λ =

900

700=> 2λ = 1,286 => λ = 0,64 εξάμηνα


Σελίδα | 19


Αν ένα κεφάλαιο 10.000€ κατατεθεί στις 20/4 με εξαμηνιαίο επιτόκιο 8%, να υπολογισθεί η ημερομηνία που θα αποκτήσει τελική αξία 10.700€.

Λύση


I = Κ ∙ i ∙ η => η =I

Κ ∙ i

Επειδή το επιτόκιο είναι εξαμηνιαίο, η χρονική διάρκεια θα υπολογισθεί σε εξάμηνα, δηλαδή:

η =12

μ (μήνες επιτοκίου)∙ λ (αριθμός εξαμήνων) και μετά την αντικατάσταση στον παραπάνω

τύπο θα έχουμε:

12

6∙ λ =

(10.700 − 10.000)

10.000 ∙ 0,08=> 2λ =

700

800=> 2λ = 0,88 => λ = 0,44 εξάμηνα

Επειδή δε ζητείται η ημερομηνία λήξης της κατάθεσης, απαιτείται ο υπολογισμός των ημερών κατάθεσης, οπότε πολλαπλασιάζουμε τον παραπάνω αριθμό εξαμήνων με 180 (ημέρες εξαμήνου), και θα έχουμε: 0,44 ∙ 180 = 78,75 ≅ 79 ημέρες

Επομένως η ημερομηνία λήξης βρίσκεται ως εξής:

ΜΗΝΕΣ 4 5 6 7 ΣΥΝΟΛΟ

ΗΜΕΡΕΣ 30-19=11 30 30 > 8 79

Ημερομηνία λήξης: 8/7


Σελίδα | 20

2.4. Επίλυση προβλημάτων απλού τόκου με τοκάριθμους και σταθερούς διαιρέτες

Στην προηγούμενη ενότητα χρησιμοποιήσαμε τον βασικό τύπο του απλού τόκου για επίλυση προβλημάτων απλού τοκισμού. Ο βασικός αυτός τύπος μπορεί με απλή επεξεργασία να μετατραπεί και να σχετισθεί με τους παράγοντες: Τοκάριθμος και Διαιρέτης. Με αυτή την εκδοχή του βασικού τύπου του απλού τόκου, όπως θα δούμε παρακάτω, επιλύονται επίσης διάφορα προβλήματα απλού τοκισμού.

Δηλαδή, αν στο βασικό τύπο του απλού τόκου εκφράσουμε το χρόνο (n) σε ανάλογο αριθμό ημερών χρονικής διάρκειας, δηλαδή η=ν/360, τότε θα έχουμε:

I = Κ ∙ i ∙ η => I =Κ ∙ i ∙ ν

360

Στην συνέχεια αν διαιρέσουμε με το (i) τον αριθμητή και παρονομαστή του β΄ μέρους του τύπου θα έχουμε:

I =

Κ∙i∙ν

i360

i

=> I =K ∙ ν360

i

Το γινόμενο του κεφαλαίου (Κ) με τον αριθμό των ημερών (ν) στον αριθμητή ονομάζεται Τοκάριθμος και συμβολίζεται με το γράμμα (Ν), ενώ ο λόγος 360/i στον παρονομαστή ονομάζεται Διαιρέτης και συμβολίζεται με το γράμμα (Δ). Με τη χρήση αυτών των συμβόλων ο προαναφερόμενος τύπος του απλού τόκου απλουστεύεται ως εξής:

I =Ν

Δ

Ο παραπάνω τύπος διευκολύνει πολύ την επίλυση προβλημάτων απλού τοκισμού, όπου διαφορετικά κεφάλαια τοκίζονται με το ίδιο επιτόκιο για διαφορετικό αριθμό ημερών διάρκειας, όπως συμβαίνει στις τραπεζικές συναλλαγές.


Να υπολογισθεί ο τόκος ενός κεφαλαίου 1.000€ το οποίο θα τοκισθεί με απλό τοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 10% το χρονικό διάστημα 10/2 – 1/9 του τρέχοντος έτους.

Λύση

Αρχικά υπολογίζουμε τον αριθμό των ημερών ως εξής:

ΜΗΝΕΣ 2 3 4 5 6 7 8 9 Σύνολο

ΗΜΕΡΕΣ 30-9=21 30 30 30 30 30 30 1 202

Στην συνέχεια υπολογίζουμε τους παράγοντες Ν και Δ, δηλαδή:

Ν = Κ ∙ ν = 1.000 ∙ 202 = 202.000

Δ =360

i=

360

0,1= 3.600

Άρα ο τόκος που θα παραχθεί θα είναι:

I =Ν

Δ=

202.000

3.600= 56,11€


Σελίδα | 21


Έστω ότι ένα κεφάλαιο 10.000€ θα κατατεθεί σε τράπεζα στις 4/4 με απλό τοκισμό και με ετήσιο επιτόκιο 5%. Να υπολογισθεί η ημερομηνία εκείνη κατά την οποία θα έχει παραχθεί τόκος 300€.

Λύση

Αρχικά υπολογίζουμε το διαιρέτη (Δ):

Δ =360

i=

360

0,05= 7.200

Στην συνέχεια με αντικατάσταση στον προαναφερόμενο τύπο του τόκου λύνουμε ως προς (Ν) και θα έχουμε:

I =Ν

Δ=> 300 =

Ν

7.200=> Ν = 300 ∙ 7.200 = 2.160.000

Γνωρίζουμε όμως ότι:

Ν = Κ ∙ ν => 2.160.000 = 10.000 ∙ ν => ν =2.160.000

10.000= 216 ημέρες

Άρα η ζητούμενη ημερομηνία θα υπολογισθεί ως εξής:

ΜΗΝΕΣ 4 5 6 7 8 9 10 9 Σύνολο

ΗΜΕΡΕΣ 30-3=27 30 30 30 30 30 30 9 216

Δηλαδή η 9/9


Πόσο κεφάλαιο πρέπει να κατατεθεί στις 18/3 με απλό τοκισμό και ετήσιο επιτόκιο 4%, ώστε στις 8/7 να έχει δημιουργηθεί τόκος 500€.

Λύση

Αρχικά υπολογίζουμε τον αριθμό των ημερών ως εξής:

ΜΗΝΕΣ 3 4 5 6 7 Σύνολο

ΗΜΕΡΕΣ 30-17=13 30 30 30 8 111

Στην συνέχεια υπολογίζεται ο Διαιρέτης (Δ):

Δ =360

i=

360

0,04= 9.000

Ακολούθως με αντικατάσταση στον προαναφερόμενο τύπο του τόκου λύνουμε ως προς (Ν) και θα έχουμε:

I =Ν

Δ=> 500 =

Ν

9.000=> Ν = 500 ∙ 9.000 = 4.500.000


Ν = Κ ∙ ν => 4.500.000 = Κ ∙ 111 => Κ =4.500.000

111= 40.540,54€


Σελίδα | 22


Με ποιο ετήσιο επιτόκιο ένα κεφάλαιο 10.800€ αν τοκισθεί για 50 ημέρες θα φέρει τόκο 270€;

Λύση

Αρχικά υπολογίζεται ο Τοκάριθμος (Ν):

Ν = Κ ∙ ν => Ν = 10.800 ∙ 50 = 540.000

Ακολούθως με αντικατάσταση στον προαναφερόμενο τύπο του τόκου λύνουμε ως προς (Δ) και θα έχουμε:

I =Ν

Δ=> 270 =

540.000

Δ=> Δ =

540.000

270= 2.000


Δ =360

i=> 2.000 =

360

i=> i =

360

2.000= 0,18 ή 18%


Σελίδα | 23

2.5. Επίλυση Προβλημάτων Απλού Τόκου με Ανάλυση Κεφαλαίου

Ένας επίσης διαφορετικός τρόπος υπολογισμού προβλημάτων απλού τοκισμού είναι η χρήση του βασικού τύπου υπολογισμού του με ανάλυση κεφαλαίου, δηλαδή εργαζόμαστε ως εξής:

I = Κ ∙ i ∙ η => I =Κ ∙ i ∙ ν

360= I =

Κ∙i∙ν

i360

i

=> I =K ∙ ν360

i

=> I =K ∙ ν

Δ

Στον παραπάνω τύπο, αν Κ=Δ τότε Ι=ν, ανάλογα αν Κ=λΔ τότε Ι=λν.

Έτσι με τη βοήθεια του πολλαπλασιαστή (λ) μπορούμε να επιλύσουμε διάφορα προβλήματα απλού τοκισμού.


Να υπολογισθεί ο τόκος ενός κεφαλαίου 5.800€ που τοκίσθηκε για 195 ημέρες με ετήσιο επιτόκιο 6%.

Λύση


Δ =360

i=

360

0,06= 6.000

Στην συνέχεια υπολογίζουμε το (λ) του λόγου (Κ) προς (Δ) :

Κ = λΔ => λ =Κ

Δ=

5.800

6.000= 0,9667

Άρα:

Ι = λν = 0,9667 ∙ 195 = 188,50€


Να υπολογισθεί πόσο κεφάλαιο πρέπει να τοκισθεί για 180 ημέρες με ετήσιο επιτόκιο 6%, ώστε να φέρει τόκο 580€.

Λύση


Δ =360

i=

360

0,06= 6.000

Στην συνέχεια υπολογίζουμε το (λ) του λόγου (Ι) προς (ν) :

Ι = λν => λ =Ι

ν=

580

180= 3,22

Άρα:

Κ = λΔ = 3,22 ∙ 6.000 = 19.333,33€


Σελίδα | 24


Έστω ότι ένα κεφάλαιο 20.000€ τοκίζεται στις 23/3 με ετήσιο επιτόκιο 9%. Να υπολογισθεί η ημερομηνία που θα φέρει τόκο 234€.

Λύση


Δ =360

i=

360

0,09= 4.000

Στην συνέχεια υπολογίζουμε το (λ) του λόγου (Κ) προς (Δ) :

Κ = λΔ => λ =Κ

Δ=

20.000

4.000= 5

Άρα:

Ι = λν => ν =Ι

λ=

234

5= 44,8 ≅ 45 ημέρες

Άρα η ζητούμενη ημερομηνία θα υπολογισθεί ως εξής:

ΜΗΝΕΣ 3 4 5 Σύνολο

ΗΜΕΡΕΣ 30-22=8 30 7 45

Δηλαδή η 7/5


Σελίδα | 25

3. Συναλλαγές με Συναλλαγματικές ή Γραμμάτια

3.1. Βασικές Έννοιες

Οι σύγχρονες εμπορικές συναλλαγές στην μεγάλη τους πλειοψηφία έχουν σαν βασικό χαρακτηριστικό τους την μερική ή ολική αντικατάσταση του χρήματος με την πίστη. Πολλές φορές στις εμπορικές συναλλαγές οι πληρωμές δεν γίνονται αμέσως με την καταβολή μετρητών, είτε λόγω έλλειψης ρευστού χρήματος, είτε για άλλους λόγους. Δηλαδή αυτές οι συναλλαγές γίνονται με πίστωση.

Στις περιπτώσεις αυτές, ο αγοραστής (οφειλέτης) υπόσχεται στον πωλητή (πιστωτή) να πληρώσει την οφειλή του σε ορισμένο χρόνο στο μέλλον. Αν ο πιστωτής γνωρίζει τον οφειλέτη και του έχει εμπιστοσύνη, δέχεται την υπόσχεσή του και η αγοροπωλησία πραγματοποιείται. Όταν όμως το ποσό της συναλλαγής είναι μεγάλο, ή όταν ο πωλητής δεν γνωρίζει καλά τον αγοραστή, δεν μπορεί να στηριχθεί μόνο στην υπόσχεσή του για την πληρωμή. Από την άλλη πλευρά, αν δεν δεχθεί να πουλήσει με τον τρόπο αυτό, πιθανώς να μη βρει κανένα αγοραστή, κυρίως σε συνθήκες έλλειψης ρευστότητας στην αγορά.

Για να βοηθηθούν οι εμπορικές συναλλαγές, ο νόμος προέβλεψε νομικά έγγραφα (γραμμάτια και συναλλαγματικές), που κατοχυρώνουν τον πιστωτή έναντι της αθέτησης υπόσχεσης πληρωμής από τον οφειλέτη. Χρησιμοποιούνται πάρα πολύ, κυρίως, σε περιόδους οικονομικής κρίσης, όπου η εύρεση «ρευστού» χρήματος είναι πολύ δύσκολη. Αποτελούν μορφή «άυλου» χρήματος. Είναι πολύ χρήσιμα γιατί:

Δίνουν το απαραίτητο χρονικό περιθώριο στον οφειλέτη, να πληρώσει τις οφειλές του.

Βοηθούν τον πιστωτή, ώστε να έχει εμπιστοσύνη στην πραγματοποίηση των μελλοντικών πληρωμών.

Μέσω του τραπεζικού συστήματος, με την προεξόφλησή τους, δίνουν το απαραίτητο «ρευστό» χρήμα στον κάτοχό τους.

3.1.1. Γραμμάτιο

Το γραμμάτιο είναι χρεόγραφο ή πιστωτικός τίτλος. Εκδίδεται από τον αγοραστή και περιέχει την υπόσχεσή του, να πληρώσει στον πωλητή ένα συγκεκριμένο ποσό (ονομαστική αξία του γραμματίου) στο τέλος προκαθορισμένης χρονικής περιόδου (ημερομηνία λήξης του γραμματίου). Στην όψη του γραμματίου αναγράφονται, επίσης, η ημερομηνία έκδοσης και το όνομα του πωλητή, και τίθεται η υπογραφή του αγοραστή (εκδότη).

Παράδειγμα εντύπου γραμματίου βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, στο έντυπο του γραμματίου πρέπει να αναγράφεται η αξία του γραμματίου, η ημερομηνία στην οποία λήγει , δηλαδή στην ημερομηνία στην οποία πρέπει να πληρωθεί, ο τόπος πληρωμής και ο εκδότης.


Σελίδα | 26

3.1.2. Συναλλαγματική

Συναλλαγματική είναι η έγγραφη εντολή που συντάσσεται με ορισμένο τύπο, κατά την οποία ένα πρόσωπο, ο εκδότης (πωλητής), διατάσσει ένα άλλο πρόσωπο τον αποδέκτη (αγοραστής), να πληρώσει σε ορισμένο χρόνο και τόπο (υποκατάστημα της Χ τράπεζας) ένα ορισμένο χρηματικό ποσό σε ένα τρίτο πρόσωπο, τον κομιστή της συναλλαγματικής που μπορεί να είναι ο ίδιος ο εκδότης της ή άλλο πρόσωπο εξουσιοδοτημένο από αυτόν.

Παράδειγμα εντύπου συναλλαγματικής βλέπουμε στο παρακάτω σχήμα. Όπως φαίνεται στο σχήμα, στο έντυπο της συναλλαγματικής πρέπει να αναγράφεται η αξία της συναλλαγματικής, η ημερομηνία που πρέπει να πληρωθεί, ο τόπος πληρωμής, ο αποδέκτης και ο εκδότης.

Η διαφορά μεταξύ του γραμματίου και της συναλλαγματικής είναι η εξής: τη συναλλαγματική την «εκδίδει» ο πωλητής ή πιστωτής και την αποδέχεται αυτός που πρέπει να πληρώσει, δηλαδή ο αγοραστής ή οφειλέτης. Αντίθετα, στο γραμμάτιο «εκδότης» είναι αυτός που δέχεται την «εντολή για πληρωμή, δηλαδή ο αγοραστής ή οφειλέτης.

Στην αγορά στις συναλλαγές με πίστωση επικρατεί η συναλλαγματική, καθώς τα γραμμάτια δεν μπορούν να διαθέτουν κάθε στιγμή τα πρόσωπα που επιθυμούν να αγοράσουν με πίστωση, ενώ αντίθετα συναλλαγματικές, και μάλιστα σε μπλοκ, διαθέτουν όσοι πωλητές πραγματοποιούν εμπορικές συναλλαγές με πίστωση.

Πρέπει να αποσαφηνισθεί ότι, εάν μία συναλλαγματική δεν πληρωθεί την ημερομηνία λήξης της, ο εκδότης της μπορεί να διεκδικήσει τα χρήματά του είτε υποβάλλοντας αίτηση για έκδοση διαταγής προς πληρωμή είτε ασκώντας αγωγή αδικαιολόγητου πλουτισμού. Επίσης οι απλήρωτες συναλλαγματικές καταγράφονται στη «μαύρη λίστα» του Τειρεσία.


Σελίδα | 27

3.2. Προεξόφληση Συναλλαγματικών

Οι εκδότες - κάτοχοι συναλλαγματικών ενεργούν με τους εξής τρόπους:

1. Τοποθετούν τις συναλλαγματικές σε ασφαλές μέρος και περιμένουν να λήξουν για να εισπράξουν το αναγραφόμενο ποσό από τους οφειλέτες τους.

2. Μεταβιβάζουν την απαίτηση τους με οπισθογράφηση των συναλλαγματικών που κατέχουν σε τρίτους.

3. Αναθέτουν σε τράπεζα που συνεργάζονται να εισπράξει τα αναγραφόμενα ποσά των συναλλαγματικών που κατέχουν έναντι προμήθειας.

4. Στη περίπτωση που έχουν ανάγκη χρημάτων, ρευστοποιούν τις συναλλαγματικές που κατέχουν σε τράπεζα που συνεργάζονται, οπότε τους παρακρατούνται οι τόκοι που αντιστοιχούν στο χρονικό διάστημα από την ημέρα της ρευστοποίησης της συναλλαγματικής μέχρι τη λήξη της.

Η ρευστοποίηση αυτή λέγεται προεξόφληση. Οι τόκοι δε που παρακρατούνται από την τράπεζα κατά την ρευστοποίηση των γραμματίων ονομάζονται προεξόφλημα. Το προεξόφλημα υπολογίζεται με τους εξής δυο μεθόδους:

1) Βάση της Ονομαστικής Αξίας (Κ), δηλαδή του ποσού που αναγράφεται στην συναλλαγματική και εισπράττεται κατά τη λήξη της. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται Εξωτερική Προεξόφληση και το προεξόφλημα που παρακρατείται από την τράπεζα Εξωτερικό Προεξόφλημα (Ε).

2) Βάση της Παρούσας Αξίας (Α), δηλαδή του ποσού που εισπράττεται κατά την προεξόφληση της συναλλαγματικής. Η μέθοδος αυτή ονομάζεται Εσωτερική Προεξόφληση και το προεξόφλημα που παρακρατείται από την τράπεζα Εσωτερικό Προεξόφλημα (Ε1).

3.2.1. Υπολογισμός Εξωτερικού Προεξοφλήματος

Σύμφωνα με τον προαναφερθέντα ορισμό της εξωτερικής προεξόφλησης, το εξωτερικό προεξόφλημα υπολογίζεται βάση της ονομαστικής αξίας της συναλλαγματικής αφενός και αφετέρου επειδή αποτελεί στην ουσία παρακρατηθέντα τόκο, λαμβάνεται υπόψη το επιτόκιο προεξόφλησης και το χρονικό διάστημα από την ημέρα προεξόφλησης της συναλλαγματικής έως την ημέρα λήξης της.

Δηλαδή ο τύπος υπολογισμού του είναι ανάλογος του τύπου του απλού τόκου, όταν ο χρόνος εκφράζεται σε ημέρες. Θα είναι δηλαδή:

Ε =Κ ∙ ν ∙ i

360

όπου:

Κ= η ονομαστική αξία της συναλλαγματικής.

ν= οι ημέρες προεξόφλησης, δηλαδή ο αριθμός ημερών από την ημέρα προεξόφλησης, μέχρι την ημέρα λήξης της συναλλαγματικής

i= το επιτόκιο προεξόφλησης.

Για την απλούστευση του τύπου, αν διαιρέσουμε αριθμητή και παρονομαστή του κλάσματος με i θα έχουμε:

Ε =

Κ∙ν∙i

i360

i

Στην συνέχεια απαλείφοντας το i από τον αριθμητή και θέτοντας όπου


Σελίδα | 28

360

i= Δ (Διαιρέτης)

ο αρχικός τύπος γίνεται:

Ε =Κ ∙ ν

Δ (1)

Με βάση τον προαναφερθέντα βασικό τύπο ορισμού εξάγονται όλοι οι αναγκαίοι τύποι υπολογισμού, που εφαρμόζονται στην επίλυση προβλημάτων εξωτερικής προεξόφλησης συναλλαγματικών, όπου κάθε φορά το ζητούμενο θα είναι είτε το προεξόφλημα, είτε η ονομαστική αξία, είτε η παρούσα �

Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά · 2020-03-02 ·...

Documents

Transcript of Εισαγωγή στα Οικονομικά Μαθηματικά · 2020-03-02 ·...