Εισαγωγή στην ασαφή λογική ασαφή σύνολα...

-1-

Εισαγωγή στην ασαφή λογική – ασαφή σύνολα – συναρτήσεις συμμετοχής

Σύνοψη Στο παρόν κεφάλαιο αρχικά γίνεται μία αναδρομή στην ιστορία της ασαφούς λογικής. Ακολουθεί συνοπτική παράθεση των χαρακτηριστικών των κλασσικών συνόλων, μέσω της οποίας γίνεται η μετάβαση στα ασαφή σύνολα. Δίνονται οι ορισμοί των ασαφών συνόλων, μελετώνται τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητές τους. Στη συνέχεια περιγράφονται οι έννοιες της τομής και της ένωσης ασαφών συνόλων, καθώς και του συμπληρώματος. Ακολουθεί η ανάλυση των πλέον σημαντικών μονοδιάστατων συναρτήσεων συμμετοχής, όπως και δισδιάστατων συναρτήσεων μέσω της συνθετικής μεθόδου περιγραφής. Στο τέλος του κεφαλαίου γίνεται μία σύντομη αναφορά στα ασαφή σύνολα τύπου–2 και το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με συνοπτικό σχολιασμό των διαφορών της θεωρίας της ασαφούς λογικής από τη θεωρία πιθανοτήτων.

Λέξεις κλειδιά υπολογιστική νοημοσύνη, προσεγγιστικός συλλογισμός, κλασσικά σύνολα, ασαφή σύνολα, τριγωνική/τραπεζοειδής/καμπανοειδής/γκαουσιανή/σιγμοειδής/δίπλευρη/ανοικτή συνάρτηση συμμετοχής, χαρακτηριστική συνάρτηση, δίτιμη/πλειότιμη λογική, ένωση/τομή/συμπλήρωμα συνόλων, μέγεθος συνόλου, ασαφή σύνολα τύπου–2, συνθετική μέθοδος περιγραφής πολυδιάστατων συναρτήσεων συμμετοχής, θεωρία πιθανοτήτων

1.1. Εισαγωγή Η ασαφής λογική (fuzzy logic) το 2015 συμπλήρωσε 50 έτη ζωής. Το ζεύγος ασαφής λογική–ασαφή συστήματα αποτελεί έναν από τους τρεις πυλώνες της υπολογιστικής νοημοσύνης (computational intelli-gence), η οποία με τη σειρά της υπάγεται στο ευρύ πεδίο της τεχνητής νοημοσύνης (artificial intelligence). Οι άλλοι δύο πυλώνες είναι τα τεχνητά νευρωνικά δίκτυα (artificial neural networks) και η εξελικτική υπολογιστική (evolutionary computation). Τα ασαφή συστήματα (fuzzy systems), τα οποία αποτελούν υλοποίηση των ασαφών συνόλων (fuzzy sets) και της ασαφούς λογικής, είναι μία προσπάθεια αποτελεσματικής περιγραφής της ασάφειας του πραγματικού κόσμου. Τα ασαφή σύνολα αποτελούν γενίκευση των κλασσικών συνόλων: στα κλασσικά σύνολα ένα στοιχείο είτε ανήκει είτε δεν ανήκει σε ένα σύνολο. Αντίθετα, στα ασαφή σύνολα ένα στοιχείο συμμετέχει στο σύνολο με ένα ποσοστό (βαθμό) που υπάγεται στο διάστημα [0,1]. Όπως θα αναλυθεί στις επόμενες παραγράφους, τα ασαφή σύνολα παρέχουν ένα μέσο ποιοτικής περιγραφής των μεγεθών στα οποία ενυπάρχει ασάφεια και απροσδιοριστία.

Η ασαφής λογική αποτελεί γενίκευση της κλασσικής λογικής και παρέχει μηχανισμούς προσεγγιστικού συλλογισμού (approximate reasoning) και εξαγωγής συμπεράσματος (decision making). Ο προσεγγιστικός συλλογισμός είναι μία προσπάθεια να μοντελοποιηθεί ο ανθρώπινος τρόπος σκέψης και συμπερασμού, καθώς είναι γνωστό ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος πραγματοποιεί περισσότερο προσεγγιστικούς συλλογισμούς με βάση ποιοτικά κριτήρια αντίληψης, παρά ακριβείς συλλογισμούς βασισμένους σε πληθώρα δεδομένων.

Στο πλαίσιο αυτό, στις ενότητες που ακολουθούν αρχικά θα επιχειρηθεί μία ιστορική αναδρομή στην ασαφή λογική και τα σαφή συστήματα. Ακολούθως θα αναλυθεί η μετάβαση από τα κλασσικά στα ασαφή σύνολα. Για τα τελευταία θα δοθούν ορισμοί, θα μελετηθούν οι ιδιότητες και τα χαρακτηριστικά τους, καθώς και οι τρόποι μαθηματικής περιγραφής τους.

-2-

1.2. Ιστορική αναδρομή

Τα ασαφή σύνολα επινοήθηκαν το 1965 από τον Ρωσοπερσικής καταγωγής καθηγητή του Πανεπιστημίου του Berkeley Lotfi Zadeh. Όπως αναφέρθηκε στην §1.1, τα ασαφή σύνολα εκφράζουν μία διαφορετική αντίληψη περί της αλήθειας και του ψεύδους μίας πρότασης σε σχέση με τη δισχιλιετή δίτιμη αριστοτελική λογική, καθώς εισήγαγαν την πλειότιμη (multivalued) λογική σε μία πρόταση και αντικατέστησαν την έννοια της υπαγωγής ενός στοιχείου σε ένα σύνολο με την έννοια της συμμετοχής του στοιχείου στο σύνολο. Ωστόσο ήδη από την εποχή του Βούδα (5ος αιώνας π.Χ.) και του Πλάτωνα (4ος αιώνας π.Χ.) υπήρχαν αντιρρήσεις είτε ως προς την ύπαρξη μόνο δύο καταστάσεων είτε ως προς την άποψη ότι αυτές οι δύο καταστάσεις είναι αμοιβαία αποκλειόμενες. Βέβαια αυτές οι θεωρήσεις δεν αποτυπώθηκαν σε μαθηματική θεωρία παρά μόνο στο πρώτο τέταρτο του 20 ου αιώνα, όταν ο Πολωνός Jan Lucasiewicz περιέγραψε μία τρίτιμη λογική, ενώ το 1937 ο αμερικανοβρετανός Max Black επινόησε ένα είδος συνάρτησης συμμετοχής (membership function). Σε κάθε περίπτωση ήταν η εμφάνιση της θεωρίας του Zadeh που πυροδότησε την έκρηξη μίας εναλλακτικής λογικής, η οποία δε θα έμενε σε θεωρητικές προσεγγίσεις αλλά θα οδηγούσε σε πραγματικές, βιομηχανικές εφαρμογές που θα συνεισέφεραν στην ανθρώπινη εξέλιξη και πρόοδο.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο Zadeh ήταν ήδη ένας επιτυχημένος ακαδημαϊκός στο γνωστικό πεδίο της θεωρίας αυτομάτου ελέγχου (control theory), έχοντας αναπτύξει την έννοια της κατάστασης (state), η οποία αποτελεί τη βάση της σύγχρονης θεωρίας ελέγχου. Παραταύτα προβληματιζόταν από το γεγονός ότι η κλασσική θεωρία ελέγχου έδινε τόση πολλή έμφαση στην ακρίβεια (precision) ώστε δεν μπορούσε να περιγράψει ικανοποιητικά σύνθετα συστήματα. Ήδη από το 1962 σημείωνε ότι «για να χειριστούμε βιολογικά συστήματα χρειαζόμαστε ένα ριζικά διαφορετικό είδος μαθηματικών, τα μαθηματικά των ασαφών ή νεφελωδών (cloudy) ποσοτήτων, τα οποία δε θα περιγράφονται βάσει κατανομών πιθανοτήτων».

Oι πρώτες αντιδράσεις της επιστημονικής κοινότητας απέναντι στην ασαφή θεωρία ήταν αρνητικές, καθώς θεωρήθηκε ότι η «ασάφεια» ήταν είτε αντίθετη στις βασικές επιστημονικές αρχές είτε περιττή, εφόσον υπήρχε η άποψη ότι η πιθανοτική θεωρία ήταν σε θέση να επιλύσει οποιοδήποτε πρόβλημα επέλυε η ασαφής θεωρία κατά τρόπο εξίσου επαρκή, έαν όχι επαρκέστερο. Αν και πλήθος επιστημόνων άρχισαν να συνεισφέρουν στην κατάστρωση μίας στέρεας μαθηματικής θεωρίας της ασαφούς λογικής και ήδη από τα τέλη της δεκαετίας του 1960 εμφανίστηκαν έννοιες όπως ο ασαφής αριθμός (fuzzy number), ήταν η επιμονή και αφοσίωση του Zadeh που επέτρεψε την επιβίωση της ασαφούς θεωρίας κατά τη διάρκεια της αμφισβήτησής της. Το 1968 πρότεινε την έννοια του ασαφούς αλγορίθμου (fuzzy algorithm), το 1970 μαζί με τον Bellman την έννοια των ασαφούς λήψης αποφάσεων (fuzzy decision making), το 1971 την ασαφή διάταξη (fuzzy ordering) και τα έτη 1973, 1975 τη λεκτική μεταβλητή (linguistic variable) και τους ασαφείς κανόνες (fuzzy if–then rules).

Η σταδιακή αποδοχή της θεωρίας της ασαφούς λογικής από την επιστημονική κοινότητα ξεκίνησε με την εμφάνιση των πρώτων εφαρμογών της. Tο 1975 στην Αγγλία οι Mamdani και Assilian παρουσίασαν έναν ασαφή ελεγκτή για έλεγχο ατμομηχανής, το 1976, επίσης στην Αγγλία, ο Tong πρότεινε έναν ασαφή ελεγκτή στη διαδικασία παραγωγής χάλυβα και το 1978 oι Δανοί Ηοlmblad και Østergaard δημιούργησαν έναν ασαφή ελεγκτή για κάμινο τσιμέντου. Τα επόμενα έτη η πρωτοκαθεδρία στις εφαρμογές πέρασε από την Ευρώπη στην Άπω Ανατολή, οπότε και το πλήθος και η σημασία των εφαρμογών εξελίχθηκαν εκθετικά. Κάνοντας χρήση του πλεονεκτήματος που διαθέτουν τα ασαφή συστήματα ελέγχου να μην απαιτούν μαθηματικά μοντέλα των προς έλεγχο διεργασιών, αναπτύχθηκαν εφαρμογές εκεί όπου δεν υφίσταντο μαθηματικά μοντέλα. Ο Ιάπωνας Michio Sugeno πρωταγωνίστησε στην «άνοιξη» της ασαφούς θεωρίας, συμμετέχοντας αρχικά το 1980 στην κατασκευή ασαφούς ελεγκτή για εργοστάσιο καθαρισμού υδάτων. To 1983 και 1985 εμφάνισε εφαρμογές στη ρομποτική και τη βιομηχανία οχημάτων, σε συνεργασία με τον Τakagi και τον Ni-shida, αντίστοιχα. Mάλιστα το ασαφές σύστημα Takagi – Sugeno Kang, μαζί με το αντίστοιχο του Mamdani, αποτελούν ακόμη τη βάση των ασαφών συστημάτων. Βέβαια τα μοντέλα αυτά εξελίχθηκαν και εμπλουτίστηκαν με την πάροδο του χρόνου, παραμένουν όμως θεμελιώδη.

Αντίστοιχες εφαρμογές αναπτύχθηκαν και σε διάφορες βομηχανίες: Το 1983 οι Yasunobu και Miya-moto από την εταιρεία Ηitachi ανέπτυξαν στην Ιαπωνική πόλη Sandai ένα σύστημα ελέγχου του μετρό. Το σύστημα ελέγχου περιλαμβάνει δύο βασικά τμήματα: τον ελεγκτή σταθερής ταχύτητας, ο οποίος ξεκινά το τρένο και το κρατά σε σταθερή ταχύτητα κάτω από ένα όριο ασφαλείας, και τον ελεγκτή αυτόματης πέδησης, ο οποίος ελέγχει την ταχύτητα του τρένου έτσι ώστε να σταματήσει σε ένα προκαθορισμένο σημείο. Η διαδρομή κατέστη τόσο άνετη ώστε οι επιβάτες δεν αισθάνονταν την ανάγκη να κρατηθούν από τις

-3-

χειρολαβές. Παράλληλα ο ασαφής ελεγκτής έκανε έως και 70% λιγότερα σφάλματα στην επιτάχυνση και την πέδηση σε σχέση με τους ανθρώπινους χειριστές.

Ο κατάλογος των εφαρμογών διευρύνεται συνέχεια με την πάροδο του χρόνου, περνώντας από βιομηχανικές εφαρμογές σε καταναλωτικά αγαθά, ακόμη και στο διαδίκτυο. Το 1990 η εταιρεία Matsushita και το 1996 η Siemens κατασκεύασαν πλυντήρια, τα οποία χρησιμοποιούσαν τις αρχές της ασαφούς λογικής. Αισθητήρες ανίχνευαν το χρώμα και το είδος της βρωμιάς των ρούχων, όπως επίσης και τον όγκο της πλύσης. Στη συνέχεια ένα ασαφές σύστημα χρησιμοποιούσε ασαφείς κανόνες για την αυτόματη επιλογή του κατάλληλου κύκλου πλύσης. Η εταιρία Mitsubishi κατασκεύασε ένα ασαφές κλιματιστικό μηχάνημα, όπου η θερμοκρασία άλλαζε αυτόματα σύμφωνα με τις περιβαλλοντολογικές συνθήκες και τις προτιμήσεις του χρήστη. Η εταιρεία Sanyo κατασκεύασε μία κάμερα, η οποία ελεγχόταν από ασαφή ελεγκτή για καλύτερη εστίαση και σταθεροποίηση της εικόνας. Στον χώρο του διαδικτύου, από την αρχή του 21ου αιώνα και εντεύθεν χρησιμοποιούνται ευρέως ασαφείς αλγόριθμοι για την κατασκευή προφίλ χρηστών και τη διαχείριση των μεταδεδομένων. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι 30 έτη μετά την εμφάνιση των ασαφών συνόλων από τον Zadeh, η αξία των προϊόντων που χρησιμοποιούσαν ασαφή λογική ανερχόταν στα 35 δισεκατομμύρια δολάρια Η.Π.Α. Πλέον η ασαφής λογική χρησιμοποιείται στις θετικές και τις οικονομικές επιστήμες, στις επιστήμες μηχανικού και πληροφορικής, αλλά και στα κοινά πεδία των επιστημών αυτών με την Ιατρική, τις επιστήμες γης και περιβάλλοντος κ.λ.π. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι σημαντική ώθηση δόθηκε από τη σύζευξη των ασαφών συστημάτων με τα νευρωνικά δίκτυα, η οποία οδήγησε στα νευροασαφή συστήματα (neurofuzzy systems) και sτα ασαφή νευρωνικά δίκτυα (fuzzy neural networks).

Οι επίδραση της θεωρίας της ασαφούς λογικής και των ασαφών συστημάτων στη βιομηχανία οδήγησε σε αύξηση της ακαδημαϊκής έρευνας στο νέο αυτό επιστημονικό πεδίο, δημιουργώντας την ανάγκη δημοσιοποίησης των ερευνητικών αποτελεσμάτων. Το πρώτο επιστημονικό περιοδικό του χώρου εκδόθηκε από τον εκδοτικό οίκο Elsevier το 1978, με τίτλο Fuzzy Sets and Systems, ενώ το πρώτο αυτόνομο επιστημονικό συνέδριο από τον μεγαλύτερο παγκοσμίως οργανισμό μηχανικών, τον ΙΕΕΕ (Institute of Elec-trical and Electronics Εngineers), διοργανώθηκε το 1992 στο San Diego των Η.Π.Α. Το επόμενο έτος εκδόθηκε από τον οργανισμό ΙΕΕΕ το επιστημονικό περιοδικό IEEE Transactions on Fuzzy Systems. Πέραν του ΙΕΕΕ υφίσταται και πλήθος φορέων στην Ευρώπη, την Ασία και την Αμερική – όπως π.χ. o International Fuzzy Systems Association – όπου έχουν ως σκοπό την προαγωγή της επιστήμης στο πεδίο της ασαφούς λογικής ή της υπολογιστικής νοημοσύνης γενικότερα.

Η ελληνική επιστημονική και ακαδημαϊκή κοινότητα επέδειξε ιδιαίτερο ενδιαφέρον για την ασαφή λογική και τα ασαφή συστήματα. Οι πρώτες μελέτες και εφαρμογές εμφανίστηκαν τη δεκαετία του 1990, ενώ πλέον η ερευνητική δραστηριότητα έχει εξαπλωθεί σε πολλούς τομείς, τόσο σε θεωρητικό επίπεδο όσο και σε εφαρμοσμένο. Στο πλαίσιο της διεύρυνσης της ασαφούς θεωρίας σημαντική συνεισφορά αποτελεί η θεωρία των ασαφών πλεγμάτων (fuzzy lattice theory), που προτάθηκε από τον Βασίλειο Καμπουρλάζο και τους συνεργάτες του (Kaburlasos [2006], Kaburlasos – Kehagias [2007a, 2014]). Ένας ενδεικτικός κατάλογος ελληνικών εφαρμογών της ασαφούς λογικής είναι ο ακόλουθος: Βιοϊατρική τεχνολογία, διαγνωστική και απεικονιστική: Georgopoulos, Malandraki, Stylios [2003], Gian-noglou, Stavrakoudis, Theocharis, Petridis [2015], Mastorocostas [2006], Mastorocostas, Tolias, Theocharis, Hadjileontiadis, Panas [2000], Mastorocostas – Theocharis [2007], Mastorocostas, Stavrakoudis, Theocharis [2008], Papageorgiou [2011], Papageorgiou, Stylios, Groumpos [2003], Papageorgiou, Spyridonos, Glotsos, Stylios, Ravazoula, Nikoforidis [2008], Stylios, Georgopoulos, Malandraki, Chouliara [2008]

Συστήματα ηλεκτρικής ενέργειας και ανανεώσιμες πηγές ενέργειας: Bakirtzis, Theocharis, Kiartzis, Satsios [1995], Barbounis – Theocharis [2007], Damousis, Alexiadis, Theocharis, Dokopoulos [2004], Elias, Tsekouras, Kavatza, Contaxis [2004], Markoulakis, Stavrakakis, Nikolaou [2006], Mastorocostas, Theocharis, Bakirtzis [1999], Mastorocostas, Theocharis, Kiartzis, Bakirtzis [2000], Mastorocostas, Theocharis, Petridis [2001], Papadakis, Theocharis, Kiartzis, Bakirtzis [1998], Papadakis, Theocharis, Bakirtzis [2003]

Eπεξεργασία ήχου, εικόνας – αναγνώριση προτύπων: Amanatiadis, Kaburlasos, Gasteratos [2011], V. Chatzis – Pitas [2000], Kaburlasos, Papadakis, Papakostas [2013], Mastorocostas – Theocharis [2002], Pa-padakis, Kaburlasos, Papakostas [2014]

Τηλεπισκόπηση: Mitrakis, Topaloglou, Alexandridis, Theocharis, Zalidis [2008], Mitrakis, Mallinis, Kout-sias, Theocharis [2012], Moustakidis, Mallinis, Koutsias, Theocharis, Petridis [2012b], Mylonas, Stavrakoudis, Theocharis, Mastorocostas [2014, 2015a, 2015b], Stavrakoudis, Theocharis, Zalidis [2011], Stavrakoudis, Galidaki, Gitas, Theocharis, Zalidis [2012]

-4-

Τηλεπικοινωνιακά δίκτυα: Mastorocostas – Hilas [2012, 2013, 2014], Mastorocostas, Hilas, Varsamis, Dova [2015]

Εδαφομηχανική – υδραυλική: Tzimopoulos, Mpallas, Evangelides [2008b], Tzimopoulos, Evangelidis, Papaevangelou [2012]

Διαδίκτυο – σημασιολογικός ιστός: Stoilos, Simou, Stamou, Kollias [2006], Stoilos, Pan, Stamou [2010], Stoilos – Stamou [2014], Venetis, Stoilos, Stamou [2014a, 2014b], Trivela, Stoilos, Chortaras, Stamou [2015]

Oικονομικές Επιστήμες: Botzoris, Papadopoulos, Sfiris [2013], Botzoris, Varagouli, Profillidis, Papado-poulos, Lathiras [2014]

Περιβάλλον: Dragozi, Gitas, Stavrakoudis, Theocharis [2014], Kaburlasos, Athanasiadis, Mitkas [2007b], Moutsopoulos, Chalkidis, Tzimopoulos [2005], Stavrakoudis, Dragozi, Gitas, Karydas [2014], Tzimopoulos, Mpallas, Evangelides [2008a]

Eμβιομηχανική: Moustakidis, Theocharis, Giakas [2008, 2010, 2012a]

Βιομηχανία τροφίμων: Doganis, Sarimveis, Bafas [2005], Κaburlasos [2004], Topaloglou, Mylonas, Stavrakoudis, Mastorocostas, Theocharis [2014]

1.3. Κλασσικά και ασαφή σύνολα

Τα κλασσικά ή συμβατικά σύνολα αποτελούν συλλογές στοιχείων, τα οποία ορίζονται σε ένα πεδίο ορισμού U (universal set ή universe of discourse) και κατέχουν μία κοινή ιδιότητα. Έστω x τα στοιχεία (elements) ή δεδομένα (data) ή αντικείμενα (objects) που απαρτίζουν το U. Θεωρώντας ως πεδίο ορισμού τους βαθμούς που μπορεί να λάβει ένας φοιτητής σε εξέταση μαθήματος 0.10,5.9,...,0.1,5.0,0 (ως βήμα τέθηκε το 0.5), το σύνολο Α των πραγματικών αριθμών που οδηγούν σε επιτυχή εξέταση του μαθήματος ορίζεται ως:

0.10,...,5.0,0,0.5 UA xxx (1.1)

Κατά συνέπεια, ένας βαθμός (στοιχείο του πεδίου ορισμού) είτε θα ανήκει είτε δε θα ανήκει στο σύνολο A. Eπιπλέον, όλα τα στοιχεία του συνόλου Α έχουν την ιδιότητα «προβιβάσιμος βαθμός» κατά το ίδιο ποσοστό (100%). Όμοια, όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του πεδίου ορισμού U δεν ανήκουν στο σύνολο Α κατά 100% ή, εναλλακτικά, ανήκουν στο σύνολο Α κατά 0%. Εάν εκφράσουμε με μία τιμή από το πεδίο τιμών 0,1 το ποσοστό συμμετοχής σε ένα σύνολο, τότε το σύνολο Α μπορεί να περιγραφεί από τη χαρακτηριστική συνάρτηση (characteristic function):

1, ( )

0, Aiff x

xiff x

A

A (1.2)

όπου iff σημαίνει if and only if (εάν και μόνο εάν). Η χαρακτηριστική συνάρτηση απεικονίζει το πεδίο

ορισμού 0.10,...5.0,0U στο πεδίο τιμών 0,1. Από τον ανωτέρω ορισμό της χαρακτηριστικής συνάρτησης συνάγεται ότι στα κλασσικά σύνολα

ακολουθείται η αριστοτελική αρχή ότι οι δύο ομάδες των στοιχείων που ανήκουν και δεν ανήκουν στο σύνολο Α είναι αμοιβαία αποκλειόμενες. Ο ορισμός της ( )A x υποδηλώνει ότι το όριο του κλασσικού συνόλου είναι σαφές και «απότομο» (crisp), διχοτομώντας κατά τρόπο απόλυτα προσδιορισμένο το πεδίο ορισμού στις δύο παραπάνω ομάδες. Για τον λόγο αυτόν τα κλασσικά σύνολα ονομάζονται και σαφή ή προσδιορισμένα σύνολα (crisp sets).

Στο προηγούμενο παράδειγμα η ιδιότητα «προβιβάσιμος βαθμός» είναι απολύτως προσδιορισμένη και δεν εμπεριέχει το παραμικρό στοιχείο ασάφειας. Ως εκ τούτου η χρήση κλασσικών συνόλων είναι η προφανής και ενδεδειγμένη λύση. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που μία ιδιότητα δεν ερμηνεύεται ξεκάθαρα, αλλά παρουσιάζει ασάφεια (fuzziness) ή απροσδιοριστία (vagueness). Για παράδειγμα, εάν θεωρήσουμε ως πεδίο ορισμού τις ηλικίες 0,1,...,100 και θέλουμε να δημιουργήσουμε το σύνολο των ηλικιών που έχουν

την ιδιότητα «νέος άνθρωπος», η αριστοτελική προσέγγιση μας υποχρεώνει να καθορίσουμε το ηλικιακό σύνορο του νέου κατ’ απόλυτο τρόπο (π.χ. τα 30 έτη), έτσι ώστε να οδηγηθούμε στο ακόλουθο εννοιολογικό παράδοξο:

-5-

Οι ηλικίες 0 έως 30 υπάγονται στο σύνολο «νέος άνθρωπος» κατά 100%, δηλαδή δε διαφέρουν μεταξύ τους ως προς αυτήν την ιδιότητα.

Ένας άνθρωπος 31 ετών δεν είναι νέος και μάλιστα κατά το ίδιο ποσοστό που δεν είναι νέος και ένας άνθρωπος 75 ετών, δηλαδή η ιδιότητα της νεότητας χάνεται απότομα και με τρόπο παρόμοιο για όλες τις ηλικίες άνω του καθορισθέντος ορίου των 30 ετών.

Είναι προφανές ότι η υλοποίηση της έννοιας «νέος άνθρωπος» με χρήση κλασσικών συνόλων απέχει από τον ανθρώπινο τρόπο αντίληψης, σύμφωνα με τον οποία η ιδιότητα της νεότητας χάνεται σταδιακά κι όχι απότομα. Παρόμοια, πλήθος εννοιών που διαμορφώνει και χειρίζεται ο άνθρωπος είναι σε μεγάλο βαθμό ασαφείς ή μη ακριβείς (imprecise). Ο αφηρημένος ανθρώπινος τρόπος αντίληψης, ο οποίος μεταφέρεται στη γλώσσα με τη χρήση επιθέτων όπως «ψηλός», «όμορφος», αποτελεί τη βάση πάνω στην οποία θεμελιώθηκε η ασαφής λογική.

Η έννοια της σταδιακής ή βαθμιαίας μετάβασης από την κατάσταση της συμμετοχής ενός στοιχείου σε ένα σύνολο στην κατάσταση της μη συμμετοχής είναι το κύριο χαρακτηριστικό των ασαφών συνόλων. Αυτή η βαθμιαία μετάβαση δίνει στα ασαφή σύνολα μεγαλύτερη ευελιξία στην περιγραφή λεκτικών εκφράσεων και εννοιών όπως «νέος άνθρωπος». Η συμμετοχή ενός στοιχείου x στο ασαφές σύνολο Α δίνεται από τη συνάρτηση συμμετοχής (membership function), η οποία συμβολίζεται ( )A x . Ο όρος ( )A x αναφέρεται επίσης και ως βαθμός συμμετοχής (membership degree) του x στο Α, καθώς παρέχει τον βαθμό κατά τον οποίο το x ανήκει στο Α. Σε αντιδιαστολή με τη χαρακτηριστική συνάρτηση, το πεδίο τιμών της συνάρτησης συμμετοχής είναι το διάστημα [0,1]. Επομένως η συνάρτηση συμμετοχής απεικονίζει ένα πεδίο ορισμού U στο πεδίο τιμών [0,1]. Το ζεύγος )(, xx A καλείται ασαφές singleton (fuzzy singleton).

Από τα παραπάνω τεκμαίρεται ότι το ασαφές σύνολο αποτελεί μία γενίκευση του κλασσικού συνόλου, μεταβαίνοντας από τη δίτιμη λογική της «συμμετοχής» – «μη συμμετοχής» στην πλειότιμη λογική του «βαθμού συμμετοχής», ώστε να μπορούν να περιγραφούν πιο αποτελεσματικά ασαφείς και απροσδιόριστες έννοιες του πραγματικού κόσμου. Αν η συνάρτηση συμμετοχής περιορισθεί στις τιμές 0 και 1, τότε το ασαφές σύνολο μεταπίπτει στο αντίστοιχο κλασσικό σύνολο. Συνεπώς τα κλασικά σύνολα μπορούν να θεωρηθούν σαν μερικές περιπτώσεις των ασαφών συνόλων. Με παρόμοιο συλλογισμό προκύπτει ότι η ασαφής λογική μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση της κλασσικής λογικής.

1.4. Κατηγορίες ασαφών συνόλων

Όπως τα κλασσικά σύνολα έτσι και τα ασαφή διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: (α) τα διακριτά ασαφή σύνολα, τα οποία αναπτύσσονται σε διακριτό πεδίο ορισμού (discrete universe of discourse) και (β) τα συνεχή ασαφή σύνολα, τα οποία έχουν συνεχές πεδίο ορισμού (continuous universe of discourse).

1.4.1. Διακριτά ασαφή σύνολα

Τα διακριτά ασαφή σύνολα αναπτύσσονται σε διακριτά πεδία ορισμού και περιγράφονται με ασυνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής. Έστω ένα διακριτό πεδίο ορισμού 1 2, ,..., nx x xU . Ένα ασαφές σύνολο Α

περιγράφεται από τα ζεύγη ασαφών singleton nixx iAi ,...,1,)(, :

)(,.....,,)(,,)(, 2211 nAnAA xxxxxx A (1.3)

Η περιγραφή των διακριτών ασαφών συνόλων μέσω των ασαφών singleton γίνεται εναλλακτικά με τη σημειογραφία άθροισης (summation notation):

n

nAAA

x

x

x

x

x

x )(...

)()(

2

2

1

1 A ή

n

i i

iA

x

x

1

)(A (1.4)

Τα σύμβολα «+», «» και «/» στην Εξ. (1.4) δεν αντιπροσωπεύουν το αλγεβρικό άθροισμα και τη

διαίρεση. Τα μεν «+», «» υποδηλώνουν την ένωση των ασαφών singleton, το δε «/» υποδηλώνει το

-6-

ασαφές singleton )(, iAi xx . Τα στοιχεία του πεδίου ορισμού με μηδενικούς βαθμούς συμμετοχής συνήθως παραλείπονται.

1.4.1.1. Παράδειγμα

Θεωρούμε το πεδίο ορισμού Πόλεις = Βιέννη, Μελβούρνη, Βανκούβερ, Τορόντο, Βαγδάτη =

1 2 3 4 5, , , ,x x x x x και το ασαφές σύνολο «καλύτερες πόλεις για να ζει κανείς». Το πεδίο ορισμού αποτελείται

από μη διατεταγμένα στοιχεία και, με βάση αποτελέσματα δημοσκοπήσεων, οι προτιμήσεις του κοινού διαμορφώνουν το ακόλουθο ασαφές σύνολο:

4321

9.06.07.08.0

xxxxA (1.5)

Το στοιχείο Βαγδάτη απουσιάζει από την Εξ.(1.5), γεγονός που υποδεικνύει ότι ο βαθμός συμμετοχής του είναι 0.

Η συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου απεικονίζεται στο Σχήμα 1.1:

Σχήμα 1.1 Η συνάρτηση συμμετοχής του παραδείγματος 1.4.1.1 .


Έστω U oι φυσικοί αριθμοί 0,1,...,9,10 . Το πεδίο ορισμού αποτελείται από διατεταγμένα στοιχεία.

Θεωρούμε το ασαφές σύνολο Α «αριθμοί κοντά στο 3», το οποίο περιγράφεται ως

6

1.0

5

5.0

4

8.0

3

0.1

2

8.0

1

5.0

0

1.0A (1.6)

Η συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου απεικονίζεται στο Σχήμα 1.2:

Σχήμα 1.2 Η συνάρτηση συμμετοχής του παραδείγματος 1.4.1.2 .

Με βάση την Εξ. (1.6) και το Σχήμα 1.2, μπορούν να σημειωθούν τα ακόλουθα:

-7-

Στην Εξ. (1.6) απουσιάζουν οι αριθμοί από το 7 έως το 10 γιατί δε δύνανται να θεωρηθούν ότι κατέχουν – έστω και κατ’ ελάχιστο – την ιδιότητα «αριθμοί κοντά στο 3», επομένως ο βαθμός συμμετοχής τους είναι 0. Ωστόσο σε ένα ευρύτερο πεδίο ορισμού, π.χ. 0,1,...,99,100 , οι αριθμοί αυτοί θα είχαν μη μηδενικό βαθμό

συμμετοχής. Επομένως η βαθμονόμηση των στοιχείων εξαρτάται από το πεδίο ορισμού, δηλαδή από τη φύση του εκάστοτε προβλήματος.

Προφανώς το στοιχείο 3 είναι το μοναδικό που ικανοποιεί πλήρως την έννοια «αριθμοί κοντά στο 3», γι’ αυτό και ο βαθμός συμμετοχής του είναι 1. Λόγω της φύσης του ασαφούς συνόλου εμφανίζεται συμμετρία πέριξ του 3.

Η μείωση των βαθμών συμμετοχής για τα στοιχεία που βρίσκονται πέριξ του 3 δεν είναι αναλογική. Ο λόγος είναι ότι η έννοια της εγγύτητας προσλαμβάνεται από τον άνθρωπο στην πλειοψηφία των προβλημάτων ως μη γραμμική.

1.4.2. Συνεχή ασαφή σύνολα

Τα συνεχή ασαφή σύνολα έχουν συνεχή πεδία ορισμού και περιγράφονται από συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής. Κατ’ αντιστοιχία με τα διακριτά ασαφή σύνολα, με χρήση σημειογραφίας άθροισης ένα συνεχές ασαφές σύνολο δηλώνεται ως εξής:

U

A

x

x)(A (1.7)

Όπως και στην Εξ. (1.4), το σύμβολο « U

» δεν έχει την έννοια του αλγεβρικού ολοκληρώματος αλλά

την έννοια της «ένωσης» των ασαφών singleton.


Έστω το πεδίο ορισμού των ηλικιών [0,100]U , όπου ο χώρος θεωρείται συνεχής. Στον χώρο αυτόν περιγράφουμε τις έννοιες «νέος», «μεσήλικας» και «ηλικιωμένος» με βάση τα ακόλουθα ασαφή σύνολα:

Α = «νέος» = Uxxx A ))(,( , 6

1( )

130

A xx

(1.8.α)

Β = «μεσήλικας» = Uxxx B ))(,( , 6

1( )

501

20

B xx

(1.8.β)

C = «ηλικιωμένος» = Uxxx C ))(,( , 6

1( )

1001

30

C xx

(1.8.γ)

Στο Σχήμα 1.3 παριστάνονται γραφικά οι συναρτήσεις συμμετοχής των τριών ασαφών συνόλων, απ’ όπου προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού καλύπτεται πλήρως από τα τρία ασαφή σύνολα, ήτοι για κάθε ηλικία υπάρχει ένα τουλάχιστον ασαφές σύνολο με μη μηδενικό βαθμό συμμετοχής.

-8-

Σχήμα 1.3 Οι συναρτήσεις συμμετοχής του παραδείγματος 1.4.2.1 .

Η μετάβαση από το ένα ασαφές σύνολο στο άλλο γίνεται βαθμιαία. Κάθε σύνολο έχει μία ηλικιακή

περιοχή με υψηλούς βαθμούς συμμετοχής. Αυτή η περιοχή χαρακτηρίζει πλήρως το νόημα του ασαφούς συνόλου. Καθώς οι τιμές του x πλησιάζουν στα όρια, τότε οι βαθμοί συμμετοχής σταδιακά μειώνονται. Για παράδειγμα, για το ασαφές σύνολο «νέος» οι τιμές του μέχρι τα 19 έτη δίνουν βαθμό συμμετοχής μεγαλύτερο του 0.95, γεγονός που υποδηλώνει έως και αυτήν την ηλικία περιγράφεται ξεκάθαρα το νόημα του συνόλου. Όσο πλησιάζουμε προς τις ηλικίες των 30 ετών, ο βαθμός συμμετοχής του συνόλου «νέος» μειώνονται δραστικά ενώ αντίθετα οι βαθμοί συμμετοχής του συνόλου «μεσήλικας» αυξάνουν σταδιακά. Κατά συνέπεια η ηλικιακή αυτή περιοχή καλύπτεται μεν από τα δύο σύνολα, ωστόσο άτομα με τέτοιες ηλικίες δεν μπορεί να καθορισθούν απόλυτα ότι είναι νέα ή μεσήλικες. Διαθέτουν και τις δύο ιδιότητες κατά ένα ποσοστό, δηλαδή τον βαθμό που καθορίζεται από τη συνάρτηση συμμετοχής του κάθε συνόλου. Ειδικά ένα άτομο με ηλικία τα 30 έτη εντάσσεται εξίσου στις κατηγορίες νέος και μεσήλικας καθόσον οι αντίστοιχες συναρτήσεις συμμετοχής έχουν τον ίδιο βαθμό 0.5. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε κατάσταση μέγιστης ασάφειας, δηλαδή το άτομο δεν μπορεί να καταταχθεί με σαφήνεια ούτε στην μία ούτε στην άλλη κατηγορία.

Παρατηρήσεις:

Επί του αριθμητικού πεδίου ορισμού [0,100]U , στο οποίο λειτούργησαν τρεις μαθηματικές συναρτήσεις, αναπτύχθηκε η έννοια της «ηλικίας». Κάθε μία από τις συναρτήσεις αυτές αντιστοιχεί σε ένα ασαφές σύνολο, δηλαδή σε έναν επιθετικό προσδιορισμό της ηλικίας. Υπό αυτή την έννοια η «ηλικία» αντιπροσωπεύει μια λεκτική ή γλωσσική μεταβλητή (linguistic variable), η οποία μπορεί να παίρνει διάφορες λεκτικές τιμές (linguistic values), π.χ. τις τιμές «νέος», «μεσήλικας» και «ηλικιωμένος». Επομένως, οι λεκτικές μεταβλητές μπορούν να θεωρηθούν σαν γενικεύσεις των κλασσικών μεταβλητών. Το ζήτημα των λεκτικών μεταβλητών θα εξετασθεί εκτενώς στο κεφάλαιο 5.

Η περιγραφή ενός ασαφούς συνόλου εξαρτάται από δύο παράγοντες: (α) την αναγνώριση του κατάλληλου πεδίου ορισμού και (β) τον καθορισμό της αντίστοιχης συνάρτησης συμμετοχής. Ο καθορισμός της συνάρτησης συμμετοχής γίνεται με υποκειμενικό τρόπο και εξαρτάται από το εκάστοτε πρόβλημα. Αυτό σημαίνει ότι οι συναρτήσεις συμμετοχής, οι οποίες δίνονται από διάφορα πρόσωπα και αφορούν την περιγραφή της ίδιας έννοιας, μπορεί να διαφέρουν αρκετά μεταξύ τους. Επιπλέον το ίδιο πεδίο ορισμού, π.χ. ηλικίες 0,1,...,100, μπορεί να υποστεί διαφορετικό χειρισμό όταν χρησιμοποιείται σε προβλήματα καταπόνησης του ανθρώπινου σώματος και όταν χρησιμοποιείται σε ζητήματα υπολογισμού του εργασιακού βίου ή ζητήματα ασφαλιστικών προνοιών.

Η ασάφεια μιας έννοιας έγκειται στο καθορισμό της συνάρτησης συμμετοχής, η οποία περιγράφει με επάρκεια την έννοια. Άπαξ και καθορισθεί, η συνάρτηση συμμετοχής, ως μαθηματική συνάρτηση, δεν έχει από μόνη της κάποιας μορφής ασάφεια. Κατά συνέπεια, αντίθετα με την αντίληψη που ορισμένες φορές επικρατεί, η ασαφής λογική αποτελεί ένα εργαλείο επίλυσης προβλημάτων όπου ενυπάρχει ασάφεια ή απροσδιοριστία.

-9-

1.5. Ορισμοί – χαρακτηριστικά των ασαφών συνόλων 1.5.1. Σύνολο υποστήριξης Το σύνολο υποστήριξης ή ενεργός περιοχή ή στήριγμα ή φορέας (support) ενός ασαφούς συνόλου Α είναι ένα κλασσικό (σαφές) σύνολο, το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία x του U για τα οποία ισχύει 0)( xA .

0)()( xxASupport AU (1.9)

Τα σύνολα υποστήριξης για τα παραδείγματα 1.4.1.1 και 1.4.1.2 είναι τα ακόλουθα:

4321 ,,,)1.1.4.1( xxxxSupport (1.10.α)

6,5,4,3,2,1,0)2.1.4.1( Support (1.10.β)

1.5.2. Ύψος Το ύψος (height) ενός ασαφούς συνόλου Α είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης συμμετοχής )(xA στο δεδομένο πεδίο ορισμού U.

)(max)(sup)( xxAHeight Ax

Ax

UU

(1.11)

Τα ύψη των ασαφών συνόλων στα παραδείγματα 1.4.1.1 και 1.4.1.2 είναι 0.9 και 1.0, αντίστοιχα.

1.5.3. Κανονικό ασαφές σύνολο Ένα ασαφές σύνολο καλείται κανονικό ή κανονικοποιημένο (normal – normalized fuzzy set) εάν το ύψος του είναι μονάδα, δηλαδή, 1)( AHeight . Eάν το ύψος είναι μικρότερο της μονάδας, το ασαφές σύνολο καλείται υποκανονικό (subnormal).

Tο ασαφές σύνολο του παραδείγματος 1.4.1.1 δεν είναι κανονικό. Τα ασαφή σύνολα των παραδειγμάτων 1.4.1.2 και 1.4.2.1 είναι κανονικά.

1.5.4. Πυρήνας

Ο πυρήνας ή κόρος (core ή kernel) ενός ασαφούς συνόλου Α είναι ένα κλασσικό (σαφές) σύνολο, το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία x του U για τα οποία ισχύει 1)( xA .

Οι πυρήνες για τα παραδείγματα 1.4.1.1 και 1.4.1.2 είναι οι ακόλουθοι:

(1.4.1.1)Core (1.12.α)

(1.4.1.2) 3Core (1.12.β)

Αντίστοιχα, οι πυρήνες για τα τρία ασαφή σύνολα του παραδείγματος 1.4.2.1 είναι οι εξής:

Core(«νέος»)= 0 (1.13.α)

Core(«μεσήλικας»)= 50 (1.13.β)

Core(«ηλικιωμένος»)= 100 (1.13.γ)

Τα κανονικά ασαφή σύνολα έχουν κόρο ένα μη κενό σύνολο. Δηλαδή, υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή του x για την οποία ισχύει 1)( xA .

1.5.5. Σημείο καμπής

-10-

Ένα σημείο x του πεδίου ορισμού U καλείται σημείο καμπής (crossover point) εφόσον η τιμή της συνάρτησης συμμετοχής στο σημείο αυτό έχει τιμή 0.5:

5.0)()( xxACrossover AU (1.14)

Τα σημεία καμπής του ασαφούς συνόλου για το παράδειγμα 1.4.2.1 είναι τα 1 και 5. Στο παράδειγμα 1.4.2.1 το ασαφές σύνολο «νέος» έχει σημείο καμπής το 30, το σύνολο «ηλικιωμένος» έχει σημείο καμπής το 70, ενώ το ασαφές σύνολο για τη λεκτική τιμή «μεσήλικας» έχει δύο σημεία καμπής, τα 30 και 70. Τα ανωτέρω χαρακτηριστικά των ασαφών συνόλων για το σύνολο για τη λεκτική τιμή «μεσήλικας» απεικονίζονται στο Σχήμα 1.4:

Σχήμα 1.4 Η συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου «μεσήλικας».

1.5.6. Συμμετρικό ασαφές σύνολο

Ένα ασαφές σύνολο Α είναι συμμετρικό εάν η συνάρτηση συμμετοχής του )(xA είναι συμμετρική γύρω

από μια τιμή cx :

U xxcxc AA ),()( (1.15)

Το ασαφές σύνολο του παραδείγματος 1.4.1.2 είναι συμμετρικό με κέντρο συμμετρίας το 3. Όμοια, το ασαφές σύνολο για τη λεκτική τιμή «μεσήλικας» στο παράδειγμα 1.4.2.1 είναι συμμετρικό με κέντρο συμμετρίας το 50.

1.5.7. Ανοικτό και κλειστό ασαφές σύνολο

Ένα ασαφές σύνολο είναι ανοικτό από αριστερά (open left fuzzy set) αν ισχύουν οι συνθήκες:

1)(lim xAx και 0)(lim xAx (1.16.α)

Ένα ασαφές σύνολο είναι ανοικτό από δεξιά (open right fuzzy set) αν ισχύουν οι συνθήκες:

0)(lim xAx και 1)(lim xAx (1.16.β)

Ένα ασαφές σύνολο είναι κλειστό (closed fuzzy set) αν ισχύουν οι συνθήκες:

0)(lim xAx και 0)(lim xAx (1.16.γ)

Στο παράδειγμα 1.4.2.1 τα ασαφή σύνολα «νέος» και «ηλικιωμένος» είναι ανοικτά από αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα, ενώ το ασαφές σύνολο «μεσήλικας» είναι κλειστό.

1.5.8. Σύνολο διατομής–α

-11-

Το σύνολο τομής–α ή σύνολο διατομής–α (α–cut set) ενός ασαφούς συνόλου Α συμβολίζεται με A και είναι ένα κλασσικό (σαφές) σύνολο, το οποίο περιέχει όλα τα στοιχεία του πεδίου ορισμού για τα οποία ισχύει

axA )( .

axxA A )( U , 0 1a (1.17)

H ανισοϊσότητα axA )( έχει ως αποτέλεσμα τα παραπάνω σύνολο να καλείται ασθενές σύνολο διατομής–α. Εάν αφαιρεθεί η ισότητα από την Εξ. (1.17), το προκύπτον σύνολο ονομάζεται ισχυρό σύνολο

διατομής–α. Το ισχυρό σύνολο (strong α–cut set) συμβολίζεται με A και ορίζεται ως εξής:

axxA A )( U , 0 1a (1.18)

Η παράμετρος α δηλώνει το ύψος στο οποίο γίνεται η τομή («κόψιμο») του ασαφούς συνόλου Α. Εφεξής, όποτε γίνεται αναφορά σε σύνολα διατομής–α, θα εννοούνται τα ασθενή σύνολα διατομής.

Με βάση τους ορισμούς, το σύνολο υποστήριξης και ο πυρήνας ενός ασαφούς συνόλου αποτελούν σύνολα διατομής–α:

0( )Support A A (1.19.α)

1( )Core A A (1.19.β)

Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση συμμετοχής του παραδείγματος 1.4.1.2, εξάγονται τα ακόλουθα σύνολα διατομής–α:

5,4,3,2,14.03.02.01.0 AAAA (1.20.α)

4,3,28.07.06.0 AAA (1.20.β)


Θεωρούμε ένα ασαφές σύνολο Α, το οποίο ορίζεται στο [0,100] και περιγράφεται από τη συνάρτηση

συμμετοχής 8

1( )

501

20

A xx

. Η εξαγωγή του συνόλου διατομής–α γίνεται ως εξής:

1 18 8 8 8

8

1 50 1 50 1 50 1 11 1 1 50 20 1

20 20 20501

20

x x xx

x

1 1 1 18 8 8 81 1 1 1

20 1 50 20 1 50 20 1 50 20 1x x

(1.21)

Κατά συνέπεια, τα σύνολα διατομής–α του ασαφούς συνόλου Α είναι τα κλειστά διαστήματα:

1 18 81 1

50 20 1 , 50 20 1A

(1.22)

με το α να αποτελεί παράμετρο. Tα παραπάνω παρουσιάζονται στη γραφική παράσταση του Σχήματος 1.5:

-12-

Σχήμα 1.5 Σύνολα διατομής–α του παραδείγματος 1.5.9.1.

1.5.9. Κυρτό ασαφές σύνολο

Ένα ασαφές σύνολο Α καλείται κυρτό (convex) εάν και μόνο εάν για κάθε ζεύγος τιμών 21,xx του πεδίου

ορισμού και για κάθε [ , ]01 , ισχύει η σχέση:

)(),(min))1(( 2121 xxxx AAA (1.23)

Ισοδύναμα, ένα ασαφές σύνολο Α είναι κυρτό όταν όλα τα σύνολα διατομής–α είναι κυρτά σύνολα. Σε αντίθετη περίπτωση, το Α καλείται μη κυρτό.

Η κυρτότητα ενός ασαφούς συνόλου Α συνεπάγεται ότι η συνάρτηση συμμετοχής του δεν παρουσιάζει ανεβοκατεβάσματα. Με άλλα λόγια, αρχικά ακολουθεί μια ανοδική πορεία μέχρι τον μέγιστο βαθμό συμμετοχής και στη συνέχεια ακολουθεί μια μονότονα φθίνουσα πορεία έως ότου μηδενισθεί. Στο Σχήμα 1.6 απεικονίζονται κυρτά και μη κυρτά σύνολα.

Σχήμα 1.6 Κυρτά και μη κυρτά ασαφή σύνολα. Ένα ασαφές σύνολο που είναι κανονικό και κυρτό ονομάζεται ασαφής αριθμός (fuzzy number).

1.5.10. Ασαφές δυναμοσύνολο

Ασαφές δυναμοσύνολο ή σύνολο α–δύναμης (power fuzzy set) είναι ένα ασαφές σύνολο Α που έχει υψωθεί σε μία δύναμη α. Αυτό επιτυγχάνεται υψώνοντας τη συνάρτηση συμμετοχής του συνόλου στη δύναμη α. Το

προκύπτον ασαφές δυναμοσύνολο συμβολίζεται με Aa και έχει την ακόλουθη συνάρτηση συμμετοχής:

aAAxxa )()( (1.24)

Ανάλογα με την δύναμη στην οποία υψώνεται, διαφοροποιείται και το νόημα του προκύπτοντος συνόλου. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι η ύψωση στη τετράγωνο ενός ασαφούς συνόλου Α συνεπάγεται την προσθήκη του επιθετικού προσδιορισμού «πολύ» (very) στη λεκτική τιμή που αντιστοιχεί στο Α.

-13-

Περισσότερες λεπτομέρειες θα δοθούν σε επόμενο κεφάλαιο, όπου θα μελετηθούν οι έννοιες των λεκτικών μετασχηματιστών (linguistic hedges).

1.5.11. Ασαφές singleton

Το ασαφές singleton (fuzzy singleton) είναι ένα εκφυλισμένο ασαφές σύνολο, υπό την έννοια ότι αποτελείται από ένα στοιχείο με βαθμό συμμετοχής 1, ενώ όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του πεδίου ορισμού έχουν τιμή 0:

0

0

1,( )

0, , A

x xx

x x x

U

(1.25)

Αποτελεί χρήσιμο εφεύρημα καθώς, όπως θα αναλυθεί σε επόμενο κεφάλαιο, επιτρέπει την ασαφοποίηση των δεδομένων εισόδου σε ένα ασαφές σύστημα. Στο Σχήμα 1.7 παρουσιάζεται γραφικά το ασαφές singleton.

Σχήμα 1.7 Ασαφές singleton.

1.5.12. Μέγεθος ασαφούς συνόλου

Το μέγεθος ή πληθάριθμος (cardinality) ενός ασαφούς συνόλου Α συμβολίζεται με A και ορίζεται ως το

άθροισμα των βαθμών συμμετοχής όλων των στοιχείων του:

Ux

A xA )( (1.26)

Το μέγεθος A είναι γενίκευση της έννοιας του μεγέθους στα κλασσικά σύνολα, στα οποία το

μέγεθος ταυτίζεται με τον αριθμό των στοιχείων που περιέχονται σε ένα σύνολο. Αντίθετα, στα ασαφή σύνολα αθροίζονται οι βαθμοί συμμετοχής των στοιχείων.

Για τα ασαφή σύνολα των παραδειγμάτων 1.4.1.1 και 1.4.1.2 τα μεγέθη τους έχουν τιμές 3.0 και 3.8 αντίστοιχα. Σημειώνεται ότι στο παράδειγμα 1.4.1.1 τα στοιχεία με μη μηδενικούς βαθμούς συμμετοχής είναι 4, ενώ στο παράδειγμα 1.4.1.2 τα αντίστοιχα στοιχεία είναι 7. Κατά συνέπεια, εάν n είναι ο αριθμός των στοιχείων ενός ασαφούς συνόλου με μη μηδενικούς βαθμούς συμμετοχής, ισχύει ότι nA . Εάν nA , τότε

το σύνολο έχει καταστεί σαφές.

1.6. Υλοποίηση των ορισμών των ασαφών συνόλων σε κώδικα MATLAB

Θεωρούμε το πεδίο ορισμού 10, 9, 8,...,49,50 U και τη λεκτική μεταβλητή «θερμοκρασία», η οποία λαμβάνει τις λεκτικές τιμές «χαμηλή», «μέση» και «υψηλή». Οι λεκτικές τιμές περιγράφονται από τα ακόλουθα ασαφή σύνολα:

-14-

Α = «χαμηλή» = Uxxx A ))(,( , 2

1( )

101

12

A xx

(1.27.α)

Β= «μέση» = Uxxx B ))(,( , 2

2

1 ( 20)( ) exp

2 15B

xx

(1.27.β)

C= «υψηλή» = Uxxx C ))(,( , 2

1( )

501

12

C xx

(1.27.γ)

(1) Με χρήση της εντολής plot θα απεικονισθούν γραφικά στο ίδιο σχήμα τα ζεύγη singleton των τριών ασαφών συνόλων. (2) Mε τη βοήθεια των εντολών subplot και bar θα απεικονιστούν γραφικά στην ίδια εικόνα αλλά σε διαφορετικά σχήματα, με χρήση ραβδογραμμάτων πάχους 0.1, τα εξής: Τα σύνολα υποστήριξης των τριών ασαφών συνόλων. Ως όριο τίθεται το 0.005 στη θέση του 0. Οι πυρήνες των τριών ασαφών συνόλων. Ως όριο τίθεται το 0.95 στη θέση του 1. Τα σύνολα διατομής-α των τριών ασαφών συνόλων για α=0.4 και α=0.8.

O υπολογισμός των συνόλων υποστήριξης, διατομής–α και των πυρήνων καθίσταται ευκολότερος με χρήση της εντολής find. Η πρόταση index=find(x>R) δημιουργεί έναν πίνακα index με στοιχεία του τις θέσεις των στοιχείων του x που έχουν τιμή μεγαλύτερη του αριθμού R. (3) Θα υπολογιστούν τα μεγέθη (cardinalities) των τριών ασαφών συνόλων. Η εντολή sum(x) υπολογίζει το άθροισμα των στοιχείων του διανύσματος x.

Οι γραφικές παραστάσεις απεικονίζονται στα Σχήματα 1.8.α έως ε.

%--------------------------- % Ορισμοί των ασαφών συνόλων %--------------------------- clear all; close all; clc; x=-10:50; mf(1,:)=(1+((x+10)/12).^2).^-1; mf(2,:)=exp(-0.5*((x-20).^2)/(15^2)); mf(3,:)=(1+((x-50)/12).^2).^-1; plot(x,mf(1,:)); hold on plot(x,mf(2,:),'r'); plot(x,mf(3,:),'k'); legend('Xαμηλή','Μέση','Υψηλή'); AXIS([min(x) max(x) 0 1.1]); figure(2) names=['Σύνολο υποστήριξης του συνόλου Α';'Σύνολο υποστήριξης του συνόλου Β';'Σύνολο υποστήριξης του συνόλου C']; for (i=1:3) deiktis=find(mf(i,:)>0.005); my_display(3,i,x(deiktis),mf(i,deiktis),0.1,names(i,:)); end figure(3); names=['Πυρήνας του συνόλου Α';'Πυρήνας του συνόλου Β';'Πυρήνας του

-15-

συνόλου C']; for (i=1:3) deiktis=find(mf(i,:)>0.95); my_display(3,i,x(deiktis),mf(i,deiktis),0.1,names(i,:)); end figure(4); names=['Σύνολο διατομής 0.4 του συνόλου Α';'Σύνολο διατομής 0.4 του συνόλου Β';'Σύνολο διατομής 0.4 του συνόλου C']; for (i=1:3) deiktis=find(mf(i,:)>=0.4); my_display(3,i,x(deiktis),mf(i,deiktis),0.1,names(i,:)); end figure(5); names=['Σύνολο διατομής 0.8 του συνόλου Α';'Σύνολο διατομής 0.8 του συνόλου Β';'Σύνολο διατομής 0.8 του συνόλου C']; for (i=1:3) deiktis=find(mf(i,:)>=0.8); my_display(3,i,x(deiktis),mf(i,deiktis),0.1,names(i,:)); end % Τέλος του προγράμματος %----------------------------------- % Συνάρτηση εμφάνισης ραβδογραμμάτων %----------------------------------- function my_display(no_of_plots,plot_no,x,y,bar_width,tlt) subplot(no_of_plots,1,plot_no); bar(x,y,bar_width); axis([min(x) max(x) (min(y)-0.001) max(y)]) title(tlt);

(α)

-16-

(β) (γ)

(δ) (ε)

Σχήμα 1.8 Γραφικές παραστάσεις του προγράμματος.

1.7. Βασικές πράξεις και μέτρα των ασαφών συνόλων

1.7.1. Τομή ασαφών συνόλων

Η τομή (intersection) δύο ασαφών συνόλων Α και Β, που ορίζονται στο ίδιο πεδίο ορισμού U, είναι ένα ασαφές σύνολο C, το οποίο συμβολίζεται με BAC . Η συνάρτηση συμμετοχής του C προκύπτει από τις συναρτήσεις συμμετοχής των Α και Β με χρήση του τελεστή τομής:

U xxxx BAC ),()()( (1.28)

Εάν ως τελεστής τομής χρησιμοποιηθεί το min

)()( ),(

)()( ),()(),(min)()(

xxiffx

xxiffxxxxx

BAB

BAABABA

(1.29)

η Εξ. (1.28) γίνεται

U xxxx BAC ,)(),(min)( (1.30)

Η τομή δύο ασαφών συνόλων σχετίζεται στην ασαφή λογική με τη λογική πράξη AND («και»). Η Εξ. (1.28) μπορεί να γενικευθεί σε τομή περισσότερων των δύο ασαφών συνόλων. Έστω )(),...,(1 xx n οι συναρτήσεις συμμετοχής n ασαφών συνόλων. Η τομή τους δίνεται από την ακόλουθη σχέση:

-17-

U xxxxxxxx nnC ),(,...,),()()(),...,(),()( 2121 (1.31)

Η τομή των ασαφών συνόλων απεικονίζεται γραφικά στο Σχήμα 1.9:

(α) (β)

Σχήμα 1.9 Τομή ασαφών συνόλων.


Έστω U oι φυσικοί αριθμοί 0,1,...,9,10 . Θεωρούμε τα ασαφή σύνολα Α «αριθμοί κοντά στο 3» και Β

«αριθμοί κοντά στο 6», τα οποία περιγράφονται ως

6

1.0

5

5.0

4

8.0

3

0.1

2

8.0

1

5.0

0

1.0A (1.32.α)

9

1.0

8

5.0

7

8.0

6

0.1

5

8.0

4

5.0

3

1.0B (1.32.β)

Για να υπολογισθεί η τομή των δύο ασαφών συνόλων χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι κανόνες: Όσα σημεία ενός εκ των των δύο ασαφών συνόλων έχουν μηδενικό βαθμό συμμετοχής, θα έχουν μηδενικό βαθμό συμμετοχής και στο σύνολο διατομής. Κατά συνέπεια, αυτά τα σημεία δε λαμβάνονται υπόψη. Για τα υπόλοιπα σημεία εφαρμόζεται ο τελεστής τομής.

Με βάση τους παραπάνω κανόνες, η τομή των συνόλων Α και Β είναι το ακόλουθο ασαφές σύνολο:

6

1.0

5

5.0

4

5.0

3

1.0

6

)0.1,1.0min(

5

)8.0,5.0min(

4

)5.0,8.0min(

3

)1.0,0.1min( BA (1.33)

1.7.2. Ένωση ασαφών συνόλων

Η ένωση δύο ασαφών συνόλων Α και Β (union), που ορίζονται στο ίδιο πεδίο ορισμού U, είναι ένα ασαφές σύνολο C, το οποίο συμβολίζεται με BAC . Η συνάρτηση συμμετοχής του C προκύπτει από τις συναρτήσεις συμμετοχής των Α και Β με χρήση του τελεστή ένωσης:

U xxxx BAC ),()()( (1.34)

Εάν ως τελεστής ένωσης χρησιμοποιηθεί το max

)()( ),(

)()( ),()(),(max)()(

xxffx

xxiffxxxxx

BAB

BAABABA

(1.35)

η Εξ. (1.34) γίνεται

-18-

U xxxx BAC ,)(),(max)( (1.36)

Η ένωση δύο ασαφών συνόλων σχετίζεται στην ασαφή λογική με τη λογική πράξη ΟR («ή»). Κατ’ αντιστοιχία με την τομή ασαφών συνόλων, η Εξ. (1.34) μπορεί να γενικευθεί σε ένωση περισσότερων των δύο συνόλων. Έστω )(),...,(1 xx n οι συναρτήσεις συμμετοχής n ασαφών συνόλων. Η ένωσή τους δίνεται από την ακόλουθη σχέση:

U xxxxxxxx nnC ),(,...,),()()(),...,(),()( 2121 (1.37)

Η ένωση των ασαφών συνόλων απεικονίζεται γραφικά στο Σχήμα 1.10:

(α) (β)

Σχήμα 1.10 Ένωση ασαφών συνόλων.


Θεωρούμε τα ασαφή σύνολα του παραδείγματος 1.7.1.1. Για να υπολογισθεί η ένωση των δύο ασαφών συνόλων, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι κανόνες: Όσα σημεία ενός εκ των των δύο ασαφών συνόλων έχουν βαθμό συμμετοχής 1, θα έχουν de facto βαθμό συμμετοχής 1 και στο σύνολο ένωσης. Για τα υπόλοιπα σημεία εφαρμόζεται ο τελεστής ένωσης.

Με βάση τους παραπάνω κανόνες, η ένωση των συνόλων Α και Β είναι το ακόλουθο ασαφές σύνολο:

6

0.1

5

)8.0,5.0max(

4

)5.0,8.0max(

3

0.1

2

)0,8.0max(

1

)0,5.0max(

0

)0,1.0max(BA

9

1.0

8

5.0

7

8.0

6

0.1

5

8.0

4

8.0

3

0.1

2

8.0

1

5.0

0

1.0

9

)1.0,0max(

8

)05,0max(

7

)08.0,0max( (1.38)

1.7.3. Συμπλήρωμα ασαφούς συνόλου

Το συμπλήρωμα (complement) ενός ασαφούς συνόλου Α είναι ένα ασαφές σύνολο, το οποίο συμβολίζεται ως A και έχει την ακόλουθη συνάρτηση συμμετοχής:

U xxx AA ),(1)( (1.39)

Το συμπλήρωμα ενός ασαφούς συνόλου σχετίζεται στην ασαφή λογική με την έννοια της άρνησης, NOT («όχι»). Στο Σχήμα 1.11 απεικονίζεται γραφικά το συμπλήρωμα ενός συνεχούς ασαφούς συνόλου:

-19-

Σχήμα 1.11 Συμπλήρωμα ασαφούς συνόλου.


Θεωρούμε τα ασαφή σύνολα του παραδείγματος 1.7.1.1. Tα συμπληρώματά τους δίνονται ακολούθως

10

0.1

9

0.1

8

0.1

7

0.1

6

9.0

5

5.0

4

2.0

3

0.0

2

2.0

1

5.0

0

9.0A (1.40.α)

10

0.1

9

9.0

8

5.0

7

2.0

6

0.0

5

2.0

4

5.0

3

9.0

2

0.1

1

0.1

0

0.1B (1.40.β)

Θεωρούμε τα ασαφή σύνολα «νέος» και «ηλικιωμένος» του παραδείγματος 1.4.2.1. Στο Σχήμα 1.12 απεικονίζονται τα δύο σύνολα μαζί με το συμπλήρωμα του συνόλου «νέος». Από τις γραφικές παραστάσεις προκύπτει ότι το ασαφές σύνολο «όχι νέος» δεν ταυτίζεται με το ασαφές σύνολο «ηλικιωμένος». Κατά συνέπεια, τα σύνολα «νέος» και «ηλικιωμένος» φαίνονται εννοιολογικά να λειτουργούν συμπληρωματικά αλλά αυτή η πεποίθηση δε στοιχειοθετείται μαθηματικά. Η αντίθετη της λεκτικής τιμής «νέος» είναι «όχι νέος» και όχι «ηλικιωμένος».

Σχήμα 1.12 Τα ασαφή σύνολα του παραδείγματος 1.7.3.1.

1.7.4. Βαθμός περιεκτικότητας – μέτρο γειτονίας

Ένα ασαφές σύνολο Α είναι υποσύνολο (subset) ενός ασαφούς συνόλου Β, ή το Α περιέχεται στο Β (A is contained in B) εάν και μόνο εάν )()( xx BA , x U .

-20-

U xxxBA BA ),()( (1.41)

Το ασαφές σύνολο Α στο Σχήμα 1.13 είναι υποσύνολο του Β, δηλαδή περιέχεται στο Β. Υπάρχει περίπτωση όμως το Α να μη περιέχεται μεν εξ’ ολοκλήρου στο Β, αλλά να έχει ένα μεγάλο βαθμό επικάλυψης (overlapping) με το Β. Επομένως, ο ανωτέρω ορισμός του υποσυνόλου είναι πολύ αυστηρός και δεν έχει πρακτική αξία στην ασαφή λογική. Για να καθορισθεί ο βαθμός στον οποίο το Α περιέχεται στο Β χρησιμοποιείται το μέτρο γειτονίας (subsethood measure), το οποίο ορίζεται ως εξής:

A

BABABAS

)(degree),( (1.42)

Σχήμα 1.13 Η έννοια του υποσυνόλου στα ασαφή σύνολα.

Η έννοια της γειτονίας είναι αμφίδρομη, δηλαδή δεν περιέχεται μόνο το Α στο Β αλλά και το B στο A:

B

BAABABS

)(degree),( (1.43)

Από τις Εξ. (1.42) και (1.43) προκύπτει ότι, εν γένει, ),(),( ABSBAS .


Θεωρούμε τα ασαφή σύνολα του παραδείγματος 1.7.1.1. Η τομή τους δίνεται από την Εξ. (1.33) και το μέγεθος της τομής υπολογίζεται ως εξής:

2.11.05.05.01.0 BA (1.44.α)

Τα μεγέθη των Α και Β είναι τα ακόλουθα:

8.31.05.08.00.18.05.01.0 A (1.44.β)

8.31.05.08.00.18.05.01.0 B (1.44.γ)

Κατά συνέπεια, τα μέτρα γειτονίας λαμβάνουν τις τιμές:

315.019

6

8.3

2.1),(

A

BABAS (1.45.α)

315.019

6

8.3

2.1),(

B

BAABS (1.45.β)

Συμπέρασμα: Στο συγκεκριμένο παράδειγμα τα μέτρα γειτονίας ),( BAS και ),( ABS τυχαίνει να είναι ίσα, ένεκα του γεγονότος ότι τα ασαφή σύνολα Α και Β, αν και πολύ διαφορετικά μεταξύ τους, ωστόσο έχουν το ίδιο μέγεθος.

1.7.5. Ισότητα ασαφών συνόλων – μέτρο ομοιότητας

-21-

Δύο ασαφή σύνολα Α και Β είναι ίσα έαν και μόνο εάν ισχύει η σχέση

U xxx BA )()( (1.46)

Όπως στην έννοια του υποσυνόλου, έτσι και στην έννοια της ισότητας ο ορισμός είναι πολύ αυστηρός, καθώς εάν για κάποιο x οι βαθμοί συμμετοχής δεν είναι ίσοι, τότε BA . Για να ελεγχθεί ο βαθμός ισότητας μεταξύ δύο ασαφών συνόλων χρησιμοποιείται το μέτρο ομοιότητας (similarity measure):

),(),( ABEBA

BABAE

(1.47)

Όταν Α=Β τότε 1),( BAE . Επίσης, όταν τα Α και Β δεν έχουν καμία επικάλυψη μεταξύ τους, τότε

BA και 0 BA , οπότε 0),( BAE .


Θεωρούμε τα ασαφή σύνολα του παραδείγματος 1.7.1.1. Τα μεγέθη των συνόλων και της τομής τους υπολογίσθηκαν στο παράδειγμα 1.7.4.1. Η ένωσή τους δίνεται από την Εξ. (1.38) και το μέγεθος της ένωσης υπολογίζεται ως εξής:

4.61.05.08.00.18.08.00.18.05.01.0 BA (1.48)

Κατά συνέπεια, τα μέτρα γειτονίας λαμβάνουν τις τιμές:

1875.016

3

4.6

2.1),(),(

BA

BAABEBAE (1.49)

Σύμφωνα με το αποτέλεσμα της Εξ. (1.49), το ασαφές σύνολο Α θεωρείται ίσο με το Β με τον ιδιαίτερα χαμηλό βαθμό 0.1875, γεγονός που δικαιολογείται καθώς το Α αντιπροσωπεύει μία πολύ διαφορετική οντότητα («αριθμοί κοντά στο 3») από το Β («αριθμοί κοντά στο 6»). Ο βαθμός ισότητας ή ομοιότητας καθορίζεται από τον βαθμό επικάλυψης μεταξύ τους. O βαθμός επικάλυψης μετριέται από το μέγεθος της τομής τους BA .

1.7.6. Καρτεσιανό γινόμενο ασαφών συνόλων

Θεωρούμε δύο ασαφή σύνολα 1A και 2A , τα οποία ορίζονται στα πεδία ορισμού 1U και 2U , αντίστοιχα. Ο

συνολικός χώρος ορισμού, γνωστός ως product space, συμβολίζεται με 21 UU . Το καρτεσιανό γινόμενο (car-

tesian product) των 1A και 2A συμβολίζεται ως 21 AA , και αντιπροσωπεύει ένα δισδιάστατο ασαφές

σύνολο (two–dimensional fuzzy set), το οποίο ορίζεται στον χώρο 21 UU . Η συνάρτηση συμμετοχής του

21 AA εξάγεται ως ακολούθως:

)(),(min),( 2121 2121xxxx AAAA , 11 Ux , 22 Ux (1.50)

Ο παραπάνω ορισμός μπορεί να επεκταθεί και σε πολυδιάστατους χώρους. Έστω τα ασαφή σύνολα

nAAA ,....,, 21 τα οποία ορίζονται στους χώρους nUUU ....,,, 21 , αντίστοιχα. Το καρτεσιανό γινόμενο

nAAA 21 είναι ένα πολυδιάστατο ασαφές σύνολο, που ορίζεται στον συνολικό χώρο nUUU ....21 και έχει την παρακάτω συνάρτηση συμμετοχής:

)(.....,),(),(min),....,( 211... 211 nAAAnAA xxxxxnn

(1.51)


-22-

Θεωρούμε τα πεδία ορισμού ,,1 cbaU και 2 ,,$¥U . Ορίζουμε στον χώρο 1U το ασαφές σύνολο

1

0.3 0.9 0.6

a b c A (1.52.α)

και στον χώρο 2U το ασαφές σύνολο

$¥

70402

..A (1.52.β)

Το συνολικό πεδίο ορισμού είναι:

)$,(),$,(),$,(),¥,(),¥,(),¥,(21 cbacbaUU (1.53)

Το Καρτεσιανό γινόμενο 21 AA έχει τη εξής συνάρτηση συμμετοχής:

),(

7.06.0

),(

7.09.0

),(

7.03.0

),(

4.06.0

),(

4.09.0

),(

4.03.021 $$$¥¥¥ cbacba

AA

),(

6.0

),(

7.0

),(

3.0

),(

4.0

),(

4.0

),(

3.021 $$$¥¥¥ cbacba

AA (1.54)

Για κάθε ζεύγος ),( 21 xx ο ελάχιστος των βαθμών συμμετοχής )( 11xA και )( 22

xA καθορίζει τον

βαθμό συμμετοχής του ζεύγους στο 21 AA .

1.8. Υλοποίηση των βασικών πράξεων και μέτρων των ασαφών συνόλων σε κώδικα MATLAB

Θεωρούμε τη λεκτική μεταβλητή «θερμοκρασία», το πεδίο ορισμού και τα ασαφή σύνολα της §1.6. (1) Mε τη βοήθεια της εντολής plot απεικονίζονται γραφικά:

(1.1) Οι τομές των συνόλων A C , C B . (1.2) Οι ενώσεις των συνόλων A B και CA . (1.3) Το συμπλήρωμα του συνόλου Α.

(2) Υπολογίζονται: (2.1) Τα μεγέθη των τριών ασαφών συνόλων και των τομών του (1.1) και των ενώσεων του (1.2). (2.2) Τα μέτρα γειτονείας ),( BAS , ( , )S A C , ),( BCS .

(2.3) Τα μέτρα ομοιότητας ),( BAE , ),( CAE , ),( CBE . Οι γραφικές παραστάσεις απεικονίζονται στα Σχήματα 1.14.α έως ε και τα αποτελέσματα δίνονται

στην Εικόνα 1.1.

%--------------------------------------------- % Βασικές πράξεις και μέτρα των ασαφών συνόλων %--------------------------------------------- close all; clear all; clc; x=-10:50; mf(1,:)=(1+((x+10)/12).^2).^-1; mf(2,:)=exp(-0.5*((x-20).^2)/(15^2)); mf(3,:)=(1+((x-50)/12).^2).^-1; In_A_C=min(mf(1,:),mf(3,:)); plot(x,mf(1,:),'k',x,mf(3,:),'k',x,In_A_C,'r'); title('Τομή των συνόλων A και C'); legend('A','C','Τομή Α,C','Location','North'); AXIS([min(x) max(x) 0 1.02]);

-23-

figure(2); In_C_B=min(mf(3,:),mf(2,:)); plot(x,mf(3,:),'k',x,mf(2,:),'k',x,In_C_B,'r'); title('Τομή των συνόλων C και B'); legend('C','B','Τομή C,B','Location','NorthWest'); AXIS([min(x) max(x) 0 1.02]); figure(3); Un_A_B=max(mf(1,:),mf(2,:)); plot(x,mf(1,:),'k',x,mf(2,:),'k',x,Un_A_B,'r'); title('Ένωση των συνόλων A και B'); legend('Α','B','Ένωση A,B'); AXIS([min(x) max(x) 0 1.02]); figure(4); Un_A_C=max(mf(1,:),mf(3,:)); plot(x,mf(1,:),'k',x,mf(3,:),'k',x,Un_A_C,'r'); title('Ένωση των συνόλων A και C'); legend('Α','C','Ένωση A,C','Location','North'); AXIS([min(x) max(x) 0 1.02]); figure(5); mf_A_bar=1-mf(1,:); plot(x,mf(1,:),'k',x,mf_A_bar,'r'); title('Συμπλήρωμα του A'); legend('Α','Συμπλήρωμα A','Location','East'); AXIS([min(x) max(x) 0 1.02]); for (i=1:3) st=sprintf('Tο μέγεθος του ασαφούς συνόλου %d είναι %g.\n',i,sum(mf(i,:))); disp(st); end st=sprintf('Tα μεγέθη της τομής των A και C και της τομής των C και B είναι %g και %g, αντίστοιχα.\n',sum(In_A_C),sum(In_C_B)); disp(st); st=sprintf('Tα μεγέθη της ένωσης των A και B και της ένωσης των A και C είναι %g και %g, αντίστοιχα.\n',sum(Un_A_B),sum(Un_A_C)); disp(st); subsethood=subsethood_measure(mf(1,:),mf(2,:)); st=sprintf('Tο μέτρο γειτονίας των ασαφών συνόλων A και B είναι %g.\n',subsethood); disp(st); subsethood=subsethood_measure(mf(1,:),mf(3,:)); st=sprintf('Tο μέτρο γειτονίας των ασαφών συνόλων A και C είναι %g.\n',subsethood); disp(st); subsethood=subsethood_measure(mf(3,:),mf(2,:)); st=sprintf('Tο μέτρο γειτονίας των ασαφών συνόλων C και B είναι %g.\n',subsethood); disp(st); similarity=similarity_measure(mf(1,:),mf(2,:));

-24-

st=sprintf('Tο μέτρο ομοιότητας των ασαφών συνόλων A και B είναι %g.\n',similarity); disp(st); similarity=similarity_measure(mf(1,:),mf(3,:)); st=sprintf('Tο μέτρο ομοιότητας των ασαφών συνόλων A και C είναι %g\n.',similarity); disp(st); similarity=similarity_measure(mf(2,:),mf(3,:)); st=sprintf('Tο μέτρο ομοιότητας των ασαφών συνόλων B και C είναι %g\n.',similarity); disp(st); % Τέλος του προγράμματος %-------------------------------- % Συνάρτηση του μέτρου γειτονίας %-------------------------------- function sub=subsethood_measure(y1,y2) sub= sum(min(y1,y2))/sum(y1); %--------------------------------- % Συνάρτηση του μέτρου ομοιότητας %--------------------------------- function sim=similarity_measure(y1,y2) w_inter=min(y1,y2); w_union=max(y1,y2);

sim=sum(w_inter)/sum(w_union);

(α) (β)

-25-

(γ) (δ)

(ε)

Σχήμα 1.14 Γραφικές παραστάσεις του προγράμματος.

Εικόνα 1.1 Τα αποτελέσματα του προγράμματος.

1.9. Μονοδιάστατες συναρτήσεις συμμετοχής συνεχών ασαφών συνόλων Η μαθηματική περιγραφή των ασαφών συνόλων γίνεται μέσω των συναρτήσεων συμμετοχής (membership functions, MF). Για τις συνεχείς συναρτήσεις συμμετοχής είναι πρακτικά αδύνατη η περιγραφή μέσω των ζευγών ασαφών singleton. Κατά συνέπεια, χρησιμοποιούνται συνεχείς συναρτήσεις, οι οποίες είναι παραμετροποιημένες (parameterized functions). Καθορίζοντας τις παραμέτρους μίας συνάρτησης συμμετοχής, μεταβάλλονται τα χαρακτηριστικά της. Οι πλέον δημοφιλείς μονοδιάστατες συναρτήσεις συμμετοχής, μαζί με την υλοποίησή τους σε κώδικα MATLAB, περιγράφονται στη συνέχεια.

-26-

1.9.1. Τραπεζοειδής συνάρτηση συμμετοχής H τραπεζοειδής συνάρτηση συμμετοχής (trapezoidal membership function, trap_MF) αποτελεί μία τμηματικά γραμμική συνάρτηση (piecewise–linear function). Περιγράφεται από μία τετράδα παραμέτρων a,b,c,d, οι οποίες καθορίζουν την ενεργό περιοχή και τον πυρήνα της, καθώς παρέχουν τις συντεταγμένες των τεσσάρων κορυφών του τραπεζίου.

xd

dxccd

xdcxb

bxaab

axax

dcbaxMFtrap

,0

,

,1

,

,0

),,,;(_ (1.55)

Σε συμπαγή μορφή, η οποία είναι άμεσα υλοποιήσιμη σε κώδικα MATLAB, η Εξ. (1.55) περιγράφεται από την παρακάτω έκφραση:

0,,1,minmax),,,;(_cd

xd

ab

axdcbaxMFtrap (1.56)

Η συνάρτηση trap_MF έχει την απλούστερη δυνατή μορφή συνάρτησης συμμετοχής και απαιτεί μικρό υπολογιστικό φόρτο για την υλοποίησή της, καθώς τμηματικά αποτελείται από πολύωνυμα πρώτης τάξης. Για τον λόγο αυτό προτιμάται κυρίως σε ασαφή συστήματα πραγματικού χρόνου (real-time). Η γραφική απεικόνισή της δίνεται στο Σχήμα 1.15, όπου οι παράμετροι λαμβάνουν τις τιμές a,b,c,d,=10,20,40,70.

Σχήμα 1.15 Tραπεζοειδής συνάρτηση συμμετοχής.

Υλοποίηση σε κώδικα MATLAB:

%---------------------------------- % Τραπεζοειδής συνάρτηση συμμετοχής %---------------------------------- function y=trap_MF(x,a,b,c,d) if a > b error('Εσφαλμένη τιμή για την παράμετρο a > b'); elseif b > c error('Εσφαλμένη τιμή για την παράμετρο b > c'); elseif c > d error('Εσφαλμένη τιμή για την παράμετρο c > d'); end y=max(min(min(((x-a)/(b-a)),1),((d-x)/(d-c))),0);

-27-

1.9.2. Τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής Η τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής (triangular membership function, tri_MF) προέρχεται από την τραπεζοειδή συνάρτηση συμμετοχής, εάν b = c, δηλαδή εάν εξαλειφθεί ο οριζόντιος κλάδος που συνιστά τον πυρήνα της τραπεζοειδούς. Περιγράφεται από μία τριάδα παραμέτρων a,b,c, οι οποίες παρέχουν τις συντεταγμένες των τριών κορυφών του τριγώνου.

xc

cxbbc

xc

bxaab

axax

cbaxMFtri

,0

,

,

,0

),,;(_ (1.57)

Σε συμπαγή μορφή, η οποία είναι άμεσα υλοποιήσιμη σε κώδικα MATLAB, η Εξ. (1.57) γράφεται ως εξής:

0,,minmax),,;(_bc

xc

ab

axcbaxMFtri (1.58)

Η τριγωνική συνάρτηση συμμετοχής παρουσιάζει τα ίδια χαρακτηριστικά υλοποίησης με την τραπεζοειδή, γι’ αυτό και προτιμάται επίσης σε ασαφή συστήματα πραγματικού χρόνου (real-time). Η γραφική απεικόνισή της δίνεται στο Σχήμα 1.16, όπου οι παράμετροι λαμβάνουν τις τιμές a,b,c=10,50,70.

Σχήμα 1.16 Tριγωνική συνάρτηση συμμετοχής.


%------------------------------- % Tριγωνική συνάρτηση συμμετοχής %------------------------------- function y=tri_MF(x,a,b,c) if a > b error('Εσφαλμένη τιμή για την παράμετρο a > b'); elseif b > c error('Εσφαλμένη τιμή για την παράμετρο b > c'); end y=max( min(((x-a)/(b-a)),((c-x)/(c-b))),0 );

1.9.3. Γενικευμένη καμπανοειδής συνάρτηση συμμετοχής

-28-

Η γενικευμένη καμπανοειδής ή κωδωνοειδής συνάρτηση συμμετοχής (generalized bell-shaped membership function, bell_MF) παραμετροποιείται από τρεις παραμέτρους a,b,c και έχει την ακόλουθη μορφή:

b

a

cxcbaxMFbell 2

1

1),,;(_

(1.59)

Η γραφική απεικόνισή της δίνεται στο Σχήμα 1.17, όπου οι παράμετροι λαμβάνουν τις τιμές a,b,c=20,4,60.

Σχήμα 1.17 Γενικευμένη καμπανοειδής συνάρτηση συμμετοχής.


H συνάρτηση bell_MF είναι συμμετρική, με κέντρο συμμετρίας την τιμή της παραμέτρου c. Το σημείο αυτό αποτελεί και τον κόρο της συνάρτησης.

H συνάρτηση bell_MF έχει δύο σημεία καμπής στις θέσεις ac . Κατά συνέπεια, η παράμετρος a ελέγχει το «εύρος» της bell_MF, καθώς όσο το a αυξάνει τόσο αυξάνει το «εύρος» της συνάρτησης συμμετοχής.

Η παράμετρος b ελέγχει την κλίση της bell_MF στον ανερχόμενο (αριστερό) και τον κατερχόμενο (δεξιό)

κλάδο. Η κλίση στα σημεία καμπής είναι a

b

2 . Κατά συνέπεια, η παράμετρος b ελέγχει τον ρυθμό πτώσης

της συνάρτησης από τη μονάδα στο μηδέν. Όσο αυξάνει το b τόσο αυξάνει ο ρυθμός πτώσης και η μετάβαση από τους υψηλούς βαθμούς συμμετοχής στους χαμηλούς βαθμούς συμμετοχής γίνεται πιο απότομη. Για μεγάλες τιμές του b το ασαφές σύνολο παρουσιάζει μεγάλες τιμές συμμετοχής (κοντά στην μονάδα) για όλα τα στοιχεία του συνόλου υποστήριξης και το ασαφές σύνολο τείνει να γίνει σαφές. Συμπερασματικά, η παράμετρος b ελέγχει τον βαθμό «ασάφειας» του ασαφούς συνόλου και γι’ αυτό θεωρείται και ως «ασαφοποιητής» (fuzzifier). Μικρές τιμές του b προσδίδουν μεγάλη ασάφεια, ενώ μεγάλες τιμές του b προσδίδουν μικρή ασάφεια στα ασαφή σύνολα. Στο Σχήμα 1.18 παρουσιάζεται η επίδραση της παραμέτρου b.

-29-

Σχήμα 1.18 Επίδραση της παραμέτρου b στην γενικευμένη καμπανοειδής συνάρτηση συμμετοχής.

Λόγω της ευελιξίας της και του εύκολου τρόπου ελέγχου της, η συνάρτηση bell_MF είναι από τις

πλέον διαδεδομένες στα ασαφή συστήματα. Υλοποίηση σε κώδικα MATLAB:

%---------------------------------------------- % Γενικευμένη καμπανοειδής συνάρτηση συμμετοχής %---------------------------------------------- function y=bell_MF(x,a,b,c) if (a == 0) error('Εσφαλμένη τιμή για την παράμετρο a = 0'); end tmp = ((x - c)/a).^2; if (tmp == 0 & b == 0) y = 0.5; elseif (tmp == 0 & b < 0) y = 0; else tmp = tmp.^b; y = 1./(1 + tmp); end

1.9.4. Γκαουσιανή συνάρτηση συμμετοχής

Η γκαουσιανή συνάρτηση συμμετοχής (Gaussian membership function, gauss_MF) έχει δύο παραμέτρους m,σ και περιγράφεται από τη συνάρτηση:

2

2

1

),;(_

mx

emxMFgauss (1.60)

Η παραπάνω συνάρτηση είναι παρόμοια με τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας, η οποία προσδιορίζει τις γκαουσιανές πιθανοτικές κατανομές (Gaussian distributions). Η συνάρτηση gauss_MF είναι συμμετρική, με κέντρο συμμετρίας το m. Η παράμετρος σ είναι η τυπική απόκλιση της κατανομής και ελέγχει τη διασπορά, δηλαδή το «εύρος» της συνάρτησης συμμετοχής. Τα σημεία m είναι περίπου τα σημεία

καμπής, καθώς 6.0),;(_ 5.0 emmMFgauss . Η γραφική απεικόνισή της δίνεται στο Σχήμα 1.19, όπου οι παράμετροι λαμβάνουν τις τιμές

m,σ=60,10.

-30-

Σχήμα 1.19 Γκαουσιανή συνάρτηση συμμετοχής.


%-------------------------------- % Γκαουσιανή συνάρτηση συμμετοχής %-------------------------------- function y=gauss_MF(x,m,sigma) if sigma == 0, error('Η παράμετρος σ πρέπει να είναι μη μηδενική.'); end y = exp(-(x - m).^2/(2*sigma^2));

1.9.5. Δίπλευρη συνάρτηση συμμετοχής Οι συναρτήσεις που παρουσιάστηκαν στις προηγούμενες παραγράφους είναι συμμετρικές. Ορισμένες φορές όμως είναι επιθυμητό η μορφή της συνάρτησης συμμετοχής αριστερά της κεντρικής τιμής της να είναι διαφορετική από εκείνη του τμήματος δεξιά της κεντρικής τιμής. Για τον λόγο αυτόν έχουν εισαχθεί οι δίπλευρες συναρτήσεις συμμετοχής ή ασύμμετρες (two-sided membership functions, ts_MF).

Mία δίπλευρη συνάρτηση συμμετοχής έχει την ακόλουθη μορφή:

xd

dxcdcxMFsr

cxb

bxabaxMFsl

ax

dcbaxMFts

,0

),,;(_

,1

),,;(_

,0

),,,;(_ (1.61)

Το σύνολο υποστήριξης της Εξ. (1.61) είναι το διάστημα [a,d]. Στα διαστήματα [a,b] και [c,d] η ts_MF περιγράφεται από κάποιες συμμετρικές sl_MF και sr_MF, αντίστοιχα. Oι δύο αυτές συνάρτήσεις είτε είναι της ίδιας κατηγορίας (π.χ. γκαουσιανές) είτε ακόμη και διαφορετικής κατηγορίας (π.χ. γκαουσιανή και γενικευμένη καμπανοειδής). Στο ενδιάμεσο διάστημα [b,c] η συνάρτηση είναι μονάδα, δηλαδή, ο πυρήνας της Εξ. (1.61) είναι το διάστημα [b,c].

Στο Σχήμα 1.20 ορίζεται μία δίπλευρη συνάρτηση χρησιμοποιώντας γκαουσιανές συναρτήσεις. Ο αριστερός κλάδος περιγράφεται από την )15,40;(_ xMFgauss και ο δεξιός κλάδος περιγράφεται από την

)10,60;(_ xMFgauss .

-31-

Σχήμα 1.20 Δίπλευρη συνάρτηση συμμετοχής.

1.9.6. Ανοικτές συναρτήσεις συμμετοχής Οι συναρτήσεις tri_MF, bell_MF και gauss_MF είναι κλειστές συναρτήσεις συμμετοχής. Οι συναρτήσεις αυτές είναι κατάλληλες για να περιγράψουν ασαφή σύνολα που βρίσκονται στο εσωτερικό ενός πεδίου ορισμού και υλοποιούν λεκτικές τιμές όπως «μεσήλικας» «μέση θερμοκρασία» κλπ. Οι συναρτήσεις αυτές όμως δεν είναι κατάλληλες για να περιγράψουν ασαφή σύνολα που βρίσκονται στα άκρα του πεδίου ορισμού. Τέτοια ασαφή σύνολα περιγράφονται με συναρτήσεις συμμετοχής ανοικτές από αριστερά ή από δεξιά.

Από ένα πλήθος μαθηματικών συναρτήσεων που μπορούν να διαδραματίσουν τον ρόλο της ανοικτής συνάρτησης συμμετοχής, θα μελετηθεί η πλέον γνωστή, η σιγμοειδής συνάρτηση (sigmoidal membership function, sigm_MF). Η sigm_MF έχει δύο παραμέτρους a,c και περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση:

)(exp1

1),;(_

cxacaxMFsigm

(1.62)

Η σιγμοειδής συνάρτηση χρησιμοποιείται ευρέως και ως συνάρτηση ενεργοποίησης (activation function) στα νευρωνικά δίκτυα.


Το σημείο cx είναι το σημείο καμπής.

Η παράμετρος a λαμβάνει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Για 0a η sigm_MF είναι ανοικτή από δεξιά και χρησιμοποιείται για να περιγράψει την περιοχή του πεδίου ορισμού που βρίσκεται στο δεξί όριο, υλοποιώντας την έννοια «πολύ μεγάλο».

Για 0a η sigm_MF είναι ανοικτή από αριστερά και χρησιμοποιείται για να περιγράψει την περιοχή του πεδίου ορισμού που βρίσκεται στο αριστερό όριο, υλοποιώντας την έννοια «πολύ μικρό».

Η τιμή της παραμέτρου a καθορίζει τον ρυθμό μεταβολής της καμπύλης, παίζοντας τον ρόλο του «ασαφοποιητή», κατ’ αντιστοιχία με την παράμετρο b της γενικευμένης καμπανοειδούς συνάρτησης.

Η γραφική απεικόνισή της δίνεται στο Σχήμα 1.21, όπου 60c . Η παράμετρος a λαμβάνει θετικές και αρνητικές τιμές.

-32-

Σχήμα 1.21 Σιγμοειδής συνάρτηση συμμετοχής.


%-------------------------------- % Σιγμοειδής συνάρτηση συμμετοχής %-------------------------------- function y=sigmoid_MF(x,a,c) tmp = exp(-a*(x-c)); y = 1./(1 + tmp);

Σημείωση: Η συνάρτηση trap_MF μπορεί να περιγράψει οποιοδήποτε ασαφές σύνολο. Όταν ba τότε η trap_MF γίνεται ανοικτή από αριστερά, ενώ όταν dc τότε γίνεται ανοικτή από δεξιά.

1.10. Δισδιάστατες και πολυδιάστατες συναρτήσεις συμμετοχής συνεχών ασαφών συνόλων Στην περίπτωση που ένα ασαφές σύστημα έχει δύο εισόδους, που λειτουργούν σε διαφορετικά πεδία ορισμού, πρέπει να δημιουργηθούν δισδιάστατες συναρτήσεις συμμετοχής (two-dimensional membership functions, 2-D MFs). Με παρόμοιο σκεπτικό μπορούμε να ορίσουμε και πολυδιάστατες συναρτήσεις συμμετοχής για χώρους περισσοτέρων διαστάσεων.

Στη βιβλιογραφία απαντώνται δύο βασικές μέθοδοι για τη δημιουργία δισδιάστατων συναρτήσεων συμμετοχής: η συνθετική και η μη συνθετική μέθοδος. Η συνθετική μέθοδος συνίσταται στο να χρησιμοποιηθούν αναλυτικές συναρτήσεις συμμετοχής για κάθε διάσταση ξεχωριστά και η δισδιάστατη συνάρτηση να αποτελέσει τον συνδυασμό τους. Σύμφωνα με τη μη συνθετική μέθοδο, η συνολική συνάρτηση συμμετοχής είναι μια δισδιάστατη αναλυτική συνάρτηση άλλης μορφής.

Η συνθετική μέθοδος είναι η πλέον δημοφιλής για τη δημιουργία πολυδιάστατων συναρτήσεων, γιατί προσφέρει έναν εύκολο τρόπο παραγωγής της τελικής συνάρτησης από υφιστάμενες μονοδιάστατες συναρτήσεις. Η σύνδεση των συνιστωσών ως προς κάθε μία διάσταση ξεχωριστά γίνεται με τα συνδετικά (connectives) AND και OR. Ως συνδετικό AND συνήθως χρησιμοποιείται ο τελεστής min και το αλγεβρικό γινόμενο, ενώ ο τελεστής max υλοποιεί το συνδετικό OR στην πλειοψηφία των περιπτώσεων.

1.10.1. Παράδειγμα – υλοποίηση δισδιάστατων συναρτήσεων σε κώδικα MATLAB

Θεωρούμε τα πεδία ορισμού [0,50]x U και [0,100]y U , επί των οποίων δίνεται η λεκτική περιγραφή «το

ζεύγος (x,y) είναι κοντά στο σημείο (20,60)». Η λεκτική τιμή «κοντά» για την είσοδο xxU περιγράφεται από ένα ασαφές σύνολο Α με συνάρτηση συμμετοχής:

-33-

21 20

2 8( )

x

A x e

= gauss_MF(x; xm , x ) = gauss_MF(x;20,8) (1.63.α)

Σε ό,τι αφορά την είσοδο yyU , η λεκτική τιμή «κοντά» περιγράφεται από ένα ασαφές σύνολο Β με

συνάρτηση συμμετοχής: 21 60

2 15( )

y

A x e

= gauss_MF(y; ym , y ) = gauss_MF(y;60,15) (1.63.β)

Χρησιμοποιώντας τη συνθετική μέθοδος περιγραφής, θα παραχθούν τα ακόλουθα δισδιάστατα σύνολα: C1 = «το x είναι κοντά στο σημείο 20» AND «το y είναι κοντά στο σημείο 60» (με το συνδετικό min,

(x,y) yx )),(),(min( ) C2 = «το x είναι κοντά στο σημείο 20» OR «το y είναι κοντά στο σημείο 60» (με το συνδετικό max,

(x,y) yx )),(),(max( ). C3 = «το x είναι κοντά στο σημείο 20» AND «το y είναι κοντά στο σημείο 60» (με το αλγεβρικό γινόμενο

(x,y) yx ),()( ). H χρήση του τελεστή αλγεβρικό γινόμενο (algebraic product) σε γκαουσιανές συνάρτήσεις συμμετοχής είναι ευρύτατα διαδεδομένη γιατί επιτρέπει στη συνολική έκφραση να διατηρήσει τη μορφή της γκαουσιανής συνάρτησης:

2 22 2

3

1 20 601 20 1 602 8 152 8 2 15( , ) ( ) ( )

x yx y

C A Bx y x x e e e

=

=gauss_MF(x,y; xm , x , ym , y ) (1.64)

Oι συναρτήσεις συμμετοχής C1, C2, C3 απεικονίζονται στα Σχήματα 1.22.α έως γ.

(α) (β)

-34-

(γ)

Σχήμα 1.22 Οι δισδιάστατες συναρτήσεις συμμετοχής του παραδείγματος 1.10.1.

Εάν χρησιμοποιηθεί η μη συνθετική μέθοδος περιγραφής θα πρέπει να εφαρμοσθεί μία κατάλληλη

αναλυτική συνάρτηση, όπως η ακόλουθη:

1( )

1 20 20C xx y

(1.65)

Η Εξ. (1.65) δεν είναι δυνατόν να αναλυθεί σε επί μέρους ανεξάρτητες συναρτήσεις ως προς x και y.

Υλοποίηση σε κώδικα MATLAB: Η εντολή linspace διαμερίζει ομοιόμορφα τα πεδία ορισμού σε δεδομένο αριθμό σημείων, από τα οποία θα προκύψουν οι τιμές των x και y. Χρησιμοποιείται η εντολή meshgrid, έτσι ώστε να δημιουργηθούν όλα τα ζεύγη )(),( yx BA και επί αυτών να εφαρμοσθούν τα συνδετικά. Με τις εντολές mesh ή surf απεικονίζονται τρισδιάστατα οι συναρτήσεις συμμετοχής C1, C2, C3.

%------------------------------------ % Δισδιάστατες συναρτήσεις συμμετοχής %------------------------------------ clc; close all; clear all; x=linspace(0,50,101); y=linspace(0,100,101); sigma_x=8; sigma_y=15; mi_x=20; mi_y=60; [con_min,con_max,con_prod]=two_dim_MF(x,y,mi_x,mi_y,sigma_x,sigma_y); mesh(x,y,con_min); title('Συνθετική περιγραφή με το συνδετικό min'); xlabel('x'); ylabel('y') figure(2); mesh(x,y,con_max); title('Συνθετική περιγραφή με το συνδετικό max'); xlabel('x'); ylabel('y') figure(3); mesh(x,y,con_prod); title('Συνθετική περιγραφή με το συνδετικό αλγεβρικό γινόμενο'); xlabel('x'); ylabel('y');

-35-

% Τέλος του προγράμματος %--------------------------------------------------------------------- % Υλοποίηση της συνθετικής μεθόδου περιγραφής, με χρήση γκαουσιανών % συναρτήσεων συμμετοχής %--------------------------------------------------------------------- function [con_min,con_max,con_prod]=two_dim_MF(xx,yy,mx,my,sx,sy) if (sx==0 | sy==0) error('Η παράμετρος σ πρέπει να είναι μη μηδενική.'); end [mf_gauss_xx,mf_gauss_yy]=meshgrid(gauss_MF(xx,mx,sx),gauss_MF(yy,my,sy));% Συνδετικό MIN con_min= min(mf_gauss_xx,mf_gauss_yy); % Συνδετικό MAX con_max= max(mf_gauss_xx,mf_gauss_yy); % Συνδετικό αλγεβρικό γινόμενο con_prod= mf_gauss_xx.*mf_gauss_yy;

1.11. Ιδιότητες των ασαφών συνόλων

Τα κλασσικά σύνολα παρουσιάζουν μία σειρά από ιδιότητες και ταυτότητες. Έστω Α, Β και C τρία κλασσικά σύνολα, που ορίζονται στο ίδιο πεδίο ορισμού U. Oι ιδιότητές τους δίνονται στον Πίνακα 1.1:

Ι.1. Ταυτοδύναμη (Idempotency) AAA και AAA

Ι.2. Αυτοπαθής (Involution, double-negation law) AA Ι.3. Αντιμεταθετικότητα (Commutativity) ABBA και ABBA

Ι.4. Προσεταιριστικότητα (Associativity) )()( CBACBA και

)()( CBACBA

Ι.5. Επιμεριστικότητα (Distributivity) )()()( CABACBA και

)()()( CABACBA

Ι.6. Απορροφητικότητα (Absοrption) ABAA )( και ABAA )(

Ι7. Απορροφητικότητα του συμπληρώματος (Absοrption of complement)

BABAA )( και BABAA )(

Ι.8. Νόμοι De Morgan BABA και BABA

Ι.9. Αντίθεση (Contradiction) AA

Ι.10. Συμπλήρωμα (Law of excluded middle) U AA

Πίνακας 1.1 Ιδιότητες των κλασσικών συνόλων.

Οι ιδιότητες Ι.1-Ι.6 των κλασσικών συνόλων ισχύουν επακριβώς και για τα ασαφή σύνολα. Στις ιδιότητες αυτές τα ασαφή σύνολα περιγράφονται από τις συναρτήσεις συμμετοχής τους και οι ορισμοί της τομής, της ένωσης και του συμπληρώματος δίνονται από τις Εξ. (1.28), (1.34) και (1.39).

Εάν θεωρήσουμε τρία ασαφή σύνολα Α, Β και C με συναρτήσεις συμμετοχής )(),(),( xxx CBA , οι ιδιότητες π.χ. της προσεταιριστικότητας και της επιμεριστικότητας δίνονται από τους ακόλουθους τύπους:

))()(()()())()(( xxxxxx CBACBA (1.66.α)

))()(()()())()(( xxxxxx CBACBA (1.66.β)

))()(())(()(())())(()( xxxxxxx CABACBA (1.67.α)

))()(())(()(())())(()( xxxxxxx CABACBA (1.67.β)

Για τα ασαφή σύνολα οι νόμοι De Morgan εκφράζονται ως εξής:

-36-

)()()()( xxxx BABA (1.68.α)

)()()()( xxxx BABA (1.68.β)

Θεωρώντας ως τελεστή ένωσης το max και ως τελεστή τομής το min, οι Εξ. (1.68) λαμβάνουν την ακόλουθη μορφή:

)(1),(1min)(),(max1 xxxx BABA (1.69.α)

)(1),(1max)(),(min1 xxxx BABA (1.69.β)

Οι ιδιότητες των κλασσικών συνόλων Ι.9 και Ι.10 δεν ισχύουν στα ασαφή σύνολα. Η Ι.9 στα κλασσικά σύνολα σημαίνει ότι η τομή ενός συνόλου Α κα του συμπληρώματός του είναι το κενό σύνολο. Αυτό συμβαίνει λόγω του ότι τα κλασσικά σύνολα η έννοια της συμμετοχής και της μη συμμετοχής είναι αμοιβάια αποκλειόμενες. Η Ι.10 σημαίνει ότι η ένωση του Α και του συμπληρώματός του αναπλάθει το πεδίο ορισμού U. Στα ασαφή σύνολα ισχύει:

AA (1.70.α)

U AA (1.70.β)

Η τομή του Α και του συμπληρώματός του δεν είναι το κενό σύνολο. Αντίστοιχα, η ένωση του Α και του συμπληρώματός του δεν είναι ολόκληρος ο χώρος U. Οι Eξ. (1.70) ισχύουν γιατί στα ασαφή ισχύει η βαθμιαία μετάβαση από τη μία κατάσταση στη συμπληρωματική της, επομένως το σύνολο Α και το συμπλήρωμά του παρουσιάζουν επικάλυψη μεταξύ τους. Στον Πίνακα 1.2 παρουσιάζονται δύο ιδιότητες που ισχύουν μόνο στα σαφή σύνολα:

Ι.11. Απορροφητικότητα από U (Law of zero) UA και A

Ι.12.Tαυτότητα (Law of identity) AA και AA U

Πίνακας 1.2 Επιπρόσθετες ιδιότητες των κλασσικών συνόλων.

Η Ι.11 λαμβάνει τη μορφή:

)(11)()()( xxxx UAUA (1.71.α)

)(00)()()( xxxx AA (1.71.β)

Η Ι.12 γράφεται ως εξής:

)(0)()()( xxxx AAA (1.72.α)

)(1)()()( xxxx AAUA (1.72.β)

Παρατήρηση: Οι ιδιότητες Ι.1-Ι.12 ισχύουν για τα ασαφή σύνολα, πλην των Ι.9 και Ι.10. Αυτό συμβαίνει με την

προϋπόθεση ότι η ένωση και η τομή περιγράφονται από τους τελεστές max και min αντίστοιχα, και ότι το συμπλήρωμα δίνεται από την Εξ. (1.39). Αν μεταβληθούν αυτοί οι τελεστές είναι δυνατόν να ισχύουν οι Ι.9 και Ι.10. Σε αυτήν την περίπτωση όμως δεν θα ισχύουν κάποιες από τις υπόλοιπες ιδιότητες.

1.12. Ασαφή σύνολα τύπου 2

Τα ασαφή σύνολα που μελετήθηκαν έως τώρα ονομάζονται ασαφή σύνολα τύπου–1. Περιγράφονται πλήρως από το ζεύγος , ( )x x και αποτελούν μία απεικόνιση από το πεδίο ορισμού στο διάστημα [0,1]. Ωστόσο σε

ορισμένες εφαρμογές η συνάρτηση συμμετοχής είναι περισσότερο ακριβής από την αβεβαιότητα που επιχειρείται να εκφράσει και ως εκ τούτου δεν μπορεί να περιγράψει επαρκώς μία κατάσταση. Για τον λόγο αυτό ο Zadeh πρότεινε το 1975 τα ασαφή σύνολα τύπου–2 (type–2 fuzzy sets), στα οποία κάθε τιμή της συνάρτησης συμμετοχής είναι πλέον ένα διάστημα. Αν και πλήθος επιστημόνων μελέτησαν τα ασαφή σύνολα τύπου–2 από το 1975 και εντεύθεν, αυτή η κατηγορία ασαφών συνόλων ξεκίνησε να γνωρίζει αυξανόμενη

-37-

ακμή από το τέλος της δεκαετίας του 1990, όταν ο καθηγητής Jerry Mendel και οι συνεργάτες του ανέπτυξαν μία πλήρη μαθηματική θεωρία.

Στο Σχήμα 1.23.α απεικονίζεται ένα ασαφές σύνολο τύπου–2. Σε ένα οποιοδήποτε σημείο ix δεν

αντιστοιχεί μία μοναδική τιμή της συνάρτησης συμμετοχής , ( )i ix x αλλά ένα διάστημα 1 2 3 4[ , ],[ , ]p p p p ,

δηλαδή διάστημα που το αριστερό και το δεξί όριό του δεν είναι σαφείς αριθμοί αλλά κείνται στα υποδιαστήματα 1 2[ , ]p p και 3 4[ , ]p p , αντίστοιχα. Συνεπώς, τα ασαφή σύνολα τύπου–2 αποτελούν μία

απεικόνιση από το πεδίο ορισμού στο ([0,1]) , όπου ([0,1]) είναι το σύνολο όλων των ασαφών συνόλων ως προς το σύνολο αναφοράς [0,1], το οποίο καλείται και ασαφές δυναμοσύνολο (fuzzy powerset) του [0,1].

Μία απλοποιημένη εκδοχή των ασαφών συνόλων τύπου–2 είναι τα διαστημότιμα ασαφή σύνολα τύπου 2 (interval–valued type–2 fuzzy sets) . Ένα διαστημότιμο σύνολο απεικονίζεται στο Σχήμα 1.23.β, απ’ όπου προκύπτει ότι σε ένα οποιοδήποτε σημείο ix δεν αντιστοιχεί μία μοναδική τιμή της συνάρτησης

συμμετοχής , ( )i ix x αλλά ένα διάστημα 1 2[ , ]q q με σαφή όρια. Συνεπώς, τα διαστημότιμα ασαφή σύνολα

τύπου–2 αποτελούν μία απεικόνιση από το πεδίο ορισμού στο ([0,1]) , όπου ([0,1]) είναι το δυναμοσύνολο (powerset) του [0,1]. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα ασαφή σύνολα τύπου–2 έχουν μεγάλη νοηματική και εκφραστική ισχύ αλλά και μεγάλες υπολογιστικές απαιτήσεις. Τα διαστημότιμα ασαφή σύνολα τύπου–2 αποτελούν έναν εξαιρετικό συμβιβασμό ανάμεσα στις νοηματικές δυνατότητες των κανονικών ασαφών συνόλων τύπου–2 και την απαιτούμενη υπολογιστική απλότητα, γι’ αυτό και χρησιμοποιούνται στην πλειοψηφία των εφαρμογών ασαφών συνόλων τύπου–2.

Οι χρωματισμένες περιοχές στα Σχήματα 1.23, που αποτελούν τις διευρυμένες εκφράσεις της κλασσικής συνάρτησης συμμετοχής, ονομάζονται αποτυπώματα της αβεβαιότητας (footprints of uncertainty) και συμβολίζονται ως FOU.

(α) Ασαφές σύνολο τύπου–2 (β) Διαστημότιμο ασαφές σύνολο τύπου–2.

Σχήμα 1.23

Tα ασαφή σύνολα τύπου–2 αποτελούν ένα μεγάλο ανεξάρτητο κεφάλαιο της ασαφούς λογικής και δε περιλαμβάνονται στα αντικείμενα του παρόντος συγγράμματος.

1.13. Η ασαφής λογική και η θεωρία πιθανοτήτων

Όπως σημειώθηκε στην §1.2, η αντίδραση που αντιμετώπισε η θεωρία της ασαφούς λογικής ήταν από την πρώτη στιγμή ισχυρή, ιδιαίτερα από τους επιστήμονες που ασχολούνταν με τη θεωρία των πιθανοτήτων, καθώς θεωρήθηκε ότι η ασαφής λογική είτε δεν έχει να προσφέρει κάτι επιπλέον σε σχέση με την πιθανοτική θεωρία είτε αποτελεί εκδοχή της θεωρίας πιθανοτήτων. Η ασάφεια (fuzziness) ή δυνατότητα (possibility) και η πιθανότητα ανάφερονται και οι δύο σε βαθμούς βεβαιότητας (ή αβεβαιότητας) κάποιου γεγονότος. Ωστόσο υπάρχει σαφής διαφοροποίηση ανάμεσα στις δύο έννοιες καθώς η στατιστική πιθανότητα αναφέρεται στον

-38-

βαθμό βεβαιότητας να συμβεί ένα γεγονός, προτού αυτό συμβεί. Όταν το γεγονός συμβεί η πιθανότητα παύει να υφίσταται.

Για παράδειγμα, πριν την μέτρηση του ύψους ενός ατόμου εκφράζεται η πιθανότητα το άτομο αυτό να είναι ψηλό. Μετά τη μέτρηση του ύψους το άτομο είτε θα καταταγεί στους ψηλούς είτε όχι και η πιθανότητα θα εξαλειφθεί. Με βάση την ασαφή θεωρία, το άτομο θα συμμετέχει στο σύνολο των ψηλών ανθρώπων κατά ένα ποσοστό, η τιμή του οποίου θα καθοριστεί από το ύψος του και τη συνάρτηση συμμετοχής της λεκτικής τιμής «ψηλός».

Ορισμένοι ένθερμοι υποστηρικτές της ασαφούς λογικής, όπως ο καθηγητής Bart Kosko έχουν εκφράσει την άποψη ότι η ασαφής λογική συμπεριλαμβάνει τη θεωρία πιθανοτήτων και το θεώρημα του Bayes έχει αποδειχθεί μέσω της ασαφούς γειτονίας ή βαθμού διάταξης σίγμα – διατομής (fuzzy subsethood, sigma-meet inclusion measure). Ο Zadeh υποστηρίζει ότι η θεωρία πιθανοτήτων και η ασαφής λογική είναι περισσότερο συμπληρωματικές παρά ανταγωνιστικές, προτείνοντας η πιθανοτική θεωρία να μεταπηδήσει από τη δίτιμη στην πλειότιμη λογική. Μία ενδιαφέρουσα οπτική παρέχoυν o George Klir αλλά και ο Timothy Ross, όπου εντάσσουν τη θεωρία πιθανοτήτων και την ασαφή λογική στη θεωρία της απόδειξης (evidence theory). Ο αναγνώστης παραπέμπεται στις τρεις αναφορές ([Klir, 1995], [Ross, 2010], [Zadeh, 2002]) για εμβάθυνση στο ζήτημα.

Ασκήσεις

Άσκηση 1 Θεωρούμε το ασαφές σύνολο Α, το οποίο ορίζεται στο και έχει τη συνάρτηση συμμετοχής

1

1Aμ (x) =+ x

.

(α) Να εξαχθεί το σύνολο διατομής–α, a = 0.5 . (β) Να επαναληφθεί το σκέλος (α) για την περίπτωση που το Α είναι διακριτό σύνολο, με πεδίο ορισμού το σύνολο -9,-3-1,-,1,3,9.

Άσκηση 2 Θεωρούμε δύο ασαφή σύνολα Α και Β, τέτοια ώστε core(Α) core(B) = . (α) To ασαφές σύνολο Α B είναι κανονικό; (β) Ποια συνθήκη πρέπει να ισχύει για τα σύνολα υποστήριξης των Α και Β, ώστε το μέγεθος του Α να είναι πάντοτε μεγαλύτερο του μηδενός;

Άσκηση 3 Θεωρούμε δύο ασαφή σύνολα Α και Β σε κοινό πεδίο ορισμού U. Nα αποδειχθεί ότι, εάν το συμπλήρωμα ενός ασαφούς συνόλου δίνεται από την Εξ. (1.39), ο τελεστής τομής min και ο τελεστής ένωσης max ικανοποιούν του νόμους De Morgan, δηλαδή:

(α) A B = A B

(β) A B A B=

Άσκηση 4 Να υπολογιστούν τα μέτρα ομοιότητας και γειτονίας για τα ακόλουθα ασαφή σύνολα:

0 0.7 1.0 0.7 0

0 0.5 1 1.5 2Α = ,

0.5 0.8 1.0 0.8 0.5

500 750 1000 1250 1500Β =

Άσκηση 5

-39-

O αριθμός Froude, RF , ο οποίος συχνά χρησιμοποιείται για να εκτιμηθεί κατά πόσον η ροή ενός

καναλιού είναι υποκρίσιμη, κρίσιμη ή υπερκρίσιμη, δίνεται από την έκφραση R

vF

g D

, όπου v είναι

η ταχύτητα της ροής, D είναι το βάθος του καναλιού και g είναι η βαρυτική σταθερά. Σε ένα κανάλι με σταθερό βάθος, ο RF καθίσταται μέγιστος όταν η ροή είναι υψηλή και ελάχιστος όταν η ροή είναι χαμηλή. Έστω ότι η ταχύτητα της ροής λαμβάνει τιμές από ένα πεδίο ορισμού αδιάστατων ταχυτήτων

0,20,40,60,80,100V . Για τα ακόλουθα δύο ασαφή σύνολα 1Fl και 2Fl , τα οποία περιγράφουν τη ροή του καναλιού, να υπολογιστούν η τομή τους, και η ένωσή τους.

1

1.0 0.8 0.65 0.45 0.3 0.1

0 20 40 60 80 100Fl = , 2

0.45 0.6 0.8 0.95 1.0

20 40 60 80 100Fl =

Άσκηση 6 Να υλοποιηθεί η συνθετική μέθοδος δημιουργίας δισδιάστατων συναρτήσεων συμμετοχής στις λεκτικές τιμές του παραδείγματος 1.10.1, όπου οι γκαουσιανές συναρτήσεις συμμετοχής θα αντικατασταθούν από τις τραπεζοειδείς trap_MF(x;10,15,20,25), trap_MF(x;40,55,65,80).

Άσκηση 7 Οι επιδόσεις ενός αριθμητικού επεξεργαστή είναι άμεσα σχετιζόμενες με την ταχύτητα (συχνότητα) του ρολογιού του. Θεωρώντας ότι οι διαθέσιμες τεχνολογίες για την υλοποίηση ενός επεξεργαστή προέρχονται από την ίδια οικογένεια (π.χ. CMOS), έστω ότι αυτές είναι οι ακόλουθες τρεις: (i) κυκλώματα ολοκλήρωσης μεσαίας κλίμακας (medium scale integration, MSI) ((ii) πίνακες πυλών προγραμματιζόμενων στο πεδίο (field programming gate arrays, FPGA) και (iii) πολυψηφιδικές υπομονάδες (multichip modules, MCM). Ορίζεται ο χώρος των δυνατών συχνοτήτων ρολογιού ως

1,10,20,40,80,100CF (σε MHz) και τα σασφή σύνολα MSI, FPGA, MCM με τις ακόλουθες

συναρτήσεις συμμετοχής:

1.0 0.7 0.4

1 10 20ΜSΙ = ,

0.3 1.0 1.0 0.5 0.2

1 10 20 40 80FPGA = ,

0.5 0.7 1.0 1.0

20 40 80 100MCM =

Για τα ανωτέρω ασαφή σύνολα να υπολογιστούν: (α) ΜSΙ FPGA (β) ΜSΙ FPGA

(γ) MSI , FPGA

(δ) MCM FPGA

(ε) MSI MCM

Άσκηση 8 Για να εξεταστεί η μηχανική αντοχή δύο κατηγοριών σκυροδέματος θεωρείται το πεδίο ορισμού

1,2,3,4S , το οποίο εκφράζει τις μονάδες μηχανικής τάσης που πρέπει να ασκηθεί για να οδηγηθεί

το σκυρόδεμα σε αστοχία. Εάν η «αστοχία» θεωρηθεί ασαφής έννοια, ο βαθμός συμμετοχής σε μία συγκεκριμένη μονάδα μηχανικής τάσης αντιπροσωπεύει την εκτίμηση του κατά πόσον υπήρξε πραγματική αστοχία. Τα παρακάτω ασαφή σύνολα περιγράφουν τις εκτιμήσεις αστοχίας για τις δύο κατηγορίες σκυροδέματος:

0.15 0.25 0.6 0.9

1 2 3 4Α = ,

0.2 0.3 0.5 0.8

1 2 3 4Β =

Για τα σύνολα Α και B να εξαχθούν η τομή και η ένωσή τους. Επίσης να υπολογιστεί το μέτρο ομοιότητας.

Άσκηση 9 Έστω ένα τοπικό δίκτυο (Local Area Network, LAN) υπολογιστών, οι οποίοι επικοινωνούν με πρωτόκολλα Ethernet μέγιστης ταχύτητας 10Μbit/sec. O φόρτος του δικτύου εκφράζεται ως η μέγιστη

-40-

τιμή του συνολικού χρησιμοποιούμενου εύρους φάσματος (Band width, BW). Εάν το πεδίο ορισμού 0,1,2,5,7,9,10ΒW αντιπροσωπεύει τη χρήση του εύρους φάσματος, σε Μbit/sec, τα ασαφή σύνολα

A και Β περιγράφουν τις καταστάσεις «δίκτυο σε ηρεμία» και «υπερφορτωμένο δίκτυο», αντίστοιχα. Οι συναρτήσεις συμμετοχής τους απεικονίζονται στην ακόλουθη εικόνα.

Για τα σύνολα Α και B να καθοριστούν και να παρασταθούν γραφικά η τομή τους, η ένωσή τους, το συμπλήρωμα του καθενός και τα σύνολα που προκύπτουν με εφαρμογή των νόμων De Motgan.

Άσκηση 10 Ο καθορισμός ορισμένων αλλαγών στις συνθήκες λειτουργίας ενός αεροσκάφους σε έναν προσομοιωτή πτήσης στηρίζεται στην ταχύτητα στην κλίμακα των Mach. Έστω ότι ορίζεται ένα ασαφές σύνολο Α για να περιγράψει τη συνθήκη «κοντά στα 0.74Mach» και ένα δεύτερο ασαφές σύνολο Β για να περιγράψει τη συνθήκη «στην περιοχή των 0.74Mach». Τα δύο σύνολα έχουν τις ακόλουθες συναρτήσεις συμμετοχής:

0 0.8 1.0 0.6 0

0.730 0.735 0.740 0.745 0.750Α = ,

0 0.4 0.8 1 0.6

0.730 0.735 0.740 0.745 0.750Β =

Για τα ανωτέρω ασαφή σύνολα να εξαχθούν η τομή τους, η ένωσή τους, τα συμπληρώματά τους και τα συμπληρώματα της ένωσης και της τομής τους.

Βιβλιογραφία κεφαλαίου I. Θεοχάρης, Ασαφή Συστήματα, Aριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, 2000.

Γ. Θεοδώρου, Εισαγωγή στην Ασαφή Λογική, Εκδόσεις Τζιόλα, 2010.

B. Kosko, Fuzzy Logic – Η Νέα Επιστήμη, Λέξημα, 1997, μετάφραση από το πρωτότυπο: Fuzzy Thinking, Hyperion, 1993.

Π. Μαστοροκώστας, Ανάπτυξη μεθόδων ασαφούς μοντελοποίησης και εφαρμογή σε πραγματικά προβλήματα αναγνώρισης μη γραμμικών συστημάτων, Διδακτορική Διατριβή, Aριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, 1999.

Χ. Τζιμόπουλος, Β. Παπαδόπουλος, Ασαφής Λογική με Εφαρμογές στις Επιστήμες του Μηχανικού, Εκδόσεις Ζήτη, 2013.

A. Amanatiadis, V. Kaburlasos, A. Gasteratos, S. Papadakis, “Evaluation of Shape Descriptors for Shape-based Image Retrieval,” ITE Image Processing, vol. 5, no. 5, pp. 493-499, 2011.

A. Bakirtzis, J. Theocharis, S. Kiartzis, K. Satsios, “Short Term Load Forecasting Using Fuzzy Neural Net-works,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 10, no. 3, pp. 1518-1524, 1995.

T. Barbounis, J. Theocharis, “A Locally Recurrent Fuzzy Neural Network with Application to the Wind speed Prediction Using Spatial Correlation,” Neurocomputing, vol. 70, pp. 1525-1452, 2007.

-41-

R. Bellman, L. Zadeh, “Decision Making in a Fuzzy Environment,” Management Sciences, vol. 17, no. 4, pp. 141-164, 1970.

G. Botzoris, E. Varagouli, V. Profillidis, B. Papadopoulos, P. Lathiras, “Forecast of Tourism Demand with the Use of Fuzzy and Cointegration Econometric Techniques,” Journal of Computational Methods in Sciences and Engineering, vol. 14, no 4-5, pp. 245-257, 2014.

G. Botzoris, B. Papadopoulos, D. Sfiris, “Modeling Queueing Systems Using Fuzzy Estimators,” Fuzzy Eco-nomic Reviews, vol. 18, no 2, pp. 3-17, 2013.

V. Chatzis, I. Pitas, “A Generalized Fuzzy Mathematical Morphology and its Application in Robust 2D and 3D Object Representation,” IEEE Transactions on Image Processing, vol. 9, no. 10, pp. 1798-1810, 2000.

I. Damousis, M. Alexiadis, J. Theocharis, P. Dokopoulos, “A Fuzzy Model for Wind Speed Prediction and Power Generation in Wind Parks Using Spatial Correlation,” IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 19, no. 2, pp. 352-361, 2004.

P. Doganis, H. Sarimveis, G. Bafas, “Optimal Production Scheduling for Dairy Industries Based on a Neural Network Sales Forecasting Model,” Proceedings of IMACS 2005.

E. Dragozi, I. Gitas, D. Stavrakoudis, J. Theocharis, “Burned Area Mapping Using Support Vector Machines and the FuzCoC Feature Selection Method on VHR IKONOS Imagery,” Remote Sensing, vol. 6, pp. 12005-12036, 2014.

D. Dubois, H. Prade, Fuzzy Sets and Systems, Academic Press, 1980.

C. Elias, G. Tsekouras, S. Kavatza, G. Contaxis, “A Midterm Energy Forecasting Method Using Fuzzy Logic”, WSEAS Transactions on Systems, vol. 3, iss. 5, pp. 2128-2135, 2004.

V. Georgopoulos, G. Malandraki, C. Stylios, “A Fuzzy Cognitive Map Approach To Differential Diagnosis of Specific Language Impairment,” Journal of Artificial Intelligence in Medicine, vol. 29, no. 3, pp. 261-278, 2003.

V. Giannoglou, D. Stavrakoudis, J. Theocharis, V. Petridis, “Genetic Fuzzy Rule Based Classification Sys-tems for Coronary Plaque Characterization Based on Intravascular Ultrsound Images,” Engineering Applica-tions of Artificial Intelligence, vol. 38, pp. 203-220, 2015.

J. Jang, C. Sun, E. Mizutani, Neuro-Fuzzy and Soft Computing, Prentice Hall, 1997.

V. Kaburlasos, “FINs: Lattice Theoretic Tools for Improving Prediction of Sugar Production from Populations of Measurements,” IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics – Part B: Cybernetics, vol. 34, no. 2, pp. 1017-1030, 2004.

V. Kaburlasos, Towards a Unified Modeling and Knowledge-Representation based on Lattice Theory: Computational Intelligence and Soft Computing Applications, Springer, 2006.

V. Kaburlasos, A. Kehagias, “Novel Fuzzy Inference System Analysis and Design Based on Lattice Theory,” IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol. 15, no. 2, pp. 243-260, 2007(a).

V. Kaburlasos, I. Athanasiadis, P. Mitkas, “Fuzzy Lattice Reasoning (FLR) Classifier and its Application for Ambient Ozone Estimation,” International Journal of Approximate Reasoning, vol. 45, no 1, pp. 152-188, 2007(b).

V. Kaburlasos, A. Kehagias, “Fuzzy Inference System (FIS) Extensions Based on the Lattice Theory,” IEEE Transactions on Fuzzy Systems, vol. 22, no. 3, pp. 531-546, 2014.

V. Kaburlasos, S. Papadakis, G. Papakostas, “Lattice Computing Extension of the FAM Neural Classifier for Human Facial Expression Recognition,” IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems, vol. 24, no. 10, pp. 1526-1538, 2013.

G. Klir, B. Yuan, Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications, Prentice-Hall, 1995.

B. Kosko, Neural Networks and Fuzzy Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1992.

-42-

E.Mamdani, S. Assilian, “An Experiment in Linguistic Synthesis with a Fuzzy Logic Controller,” Interna-tional Journal of Man-Machine Studies, vol. 7, no. 1, pp. 1-13, 1975.

S. Markoulakis, G. Stavrakakis, T. Nikolaou, “ Short-Term Load Forecasting Based on the Kalman Filter and the Neural-Fuzzy Network (ANFIS),” Proceedings of the 2006 IASME/WSEAS International Conference on Energy & Environmental Systems, pp. 189-193, 2006.

P. Mastorocostas, “A Recurrent Fuzzy Filter for the Analysis of Lung Sounds,” Fuzzy Sets and Systems, vol. 157, iss. 4, pp. 578-594, 2006.

P. Mastorocostas, C. Hilas, “Α Computational Intelligence Forecasting System for Telecommunications Time Series,” Engineering Applications of Artificial Intelligence, vol. 25, iss. 1, pp. 200-206, 2012.

P. Mastorocostas, C. Hilas, “ReNFFor: A Recurrent Neurofuzzy Forecaster for Telecommunications Data,” Neural Computing and Applications, vol. 22, iss. 7-8, pp. 1727-1734, 2013.

P. Mastorocostas, C. Hilas, “SCOLS-FuM: A Hybrid Fuzzy Modeling Method for Telecommunications Time-Series Forecasting,” Informatica, vol. 25, no 2, pp. 221-239, 2014.

P. Mastorocostas, C. Hilas, D. Varsamis, S. Dova, “Telecommunications Call Volume Forecasting With a Block-Diagonal Recurrent Fuzzy Neural Network,” Telecommunications Systems, doi 10.1007/s11235-015-9968-x, 2015.

P. Mastorocostas, D. Stavrakoudis, J. Theocharis, “Α Pipelined Recurrent Fuzzy Model for Real-Time Analy-sis of Lung Sounds,” Engineering Applications of Artificial Intelligence, vol.21, iss. 8, pp. 1301-1308, 2008.

P. Mastorocostas, J. Theocharis, “A Recurrent Fuzzy Neural Model for Dynamic System Identification,” IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part B: Cybernetics, vol. 32, no 2, pp. 176-190, 2002.

P. Mastorocostas, J. Theocharis, “A Dynamic Fuzzy-Neural Filter for Separation of Discontinuous Adventi-tious Sounds from Vesicular Sounds,” Computers in Biology and Medicine, vol. 37, pp. 60-69, 2007.

P. Mastorocostas, J. Theocharis, A. Bakirtzis, “Fuzzy Modeling for Short Term Load Forecasting Using an Orthogonal Least Squares Method,” ΙΕΕΕ Transactions on Power Systems, vol. 14, no 1, pp. 29-36, 1999.

P. Mastorocostas, J. Theocharis, S. Kiartzis, A. Bakirtzis, “A Hybrid Fuzzy Modeling Method for Short Term Load Forecasting,” Mathematics and Computers in Simulation, vol. 51, iss. 3-4, pp. 221-232, 2000.

P. Mastorocostas, J. Theocharis, V. Petridis, “A Constrained Orthogonal Least Squares Method for Generating TSK Fuzzy Models: Application to Short-Term Load Forecasting,” Fuzzy Sets and Systems, vol. 118, iss. 2, pp. 35-53, 2001.

P. Mastorocostas, Y. Tolias, J. Theocharis, L. Hadjileontiadis, S. Panas, “An Orthogonal Least Squares-Based Fuzzy Filter for Real-Time Αnalysis of Lung Sounds,” IEEE Transactions on Biomedical Engineering, vol. 47, no 9, pp. 1165-1176, 2000.

J. Mendel, Uncertain Rule-Based Fuzzy Logic Systems, Prentice Hall, 2001.

N. Mitrakis, C. Topaloglou, T. Alexandridis, J. Theocharis, G. Zalidis, “Decision Fusion of GA Self–Organizing Neuro–Fuzzy Multilayered Classifiers for Land Cover Classification Using Textural and Spectral Features,” IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 46, no. 7, pp. 2137-2152, 2008.

N. Mitrakis, G. Mallinis, N. Koutsias, J. Theocharis, “Burned Area Mapping in Mediterranean Environment Using Medium–Resolution Multi–Spectral Data and a Neuro–Fuzzy Classifier,” International Journal of Im-age and Data Fusion, vol. 3, no. 4, pp. 299-318, 2012.

S. Moustakidis, J. Theocharis, G. Giakas, “Subject recognition based on ground reaction force measurements of gait signals,” IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics – Part B: Cybernetics, vol. 38, no. 6, pp. 1476-1485, 2008.

S. Moustakidis, J. Theocharis, G. Giakas, “A Fuzzy Decision Tree–Based SVM Classifier for Assessing Os-teoarthritis Severity Using Ground Reaction Force Measurements,” Medical Engineering & Physics, vol. 32, no. 10, pp. 1145-1160, 2010.

-43-

S. Moustakidis, J. Theocharis, G Giakas, “Feature Selection Based on a Fuzzy Complementary Criterion: Ap-plication to Gait Recognition Using Ground Reaction Forces,” Computer Methods in Biomechanics and Bio-medical Engineering, vol. 15, no. 6, pp. 627-644, 2012(a).

S. Moustakidis, G. Mallinis, N. Koutsias, J. Theocharis, V. Petridis, “SVM-Based Fuzzy Decision Trees for Classification of High Spatial Resolution Remote Sensing Images,” IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, vol. 50, no. 1, pp. 149-169, 2012(b).

Κ. Moutsopoulos, I. Chalkidis, C. Tzimopoulos, “Fuzzy Analysis of Groundwater Resources Including In-complete Data of Aquifer Spatial Extent,” Journal of the Mechanical Behavior of Materials, vol. 16, no. 1-2, pp. 95-102, 2005.

S. Mylonas, D. Stavrakoudis, J. Theocharis, P. Mastorocostas, “Spectral-Spatial Classification of Remote Sensing Images Using a Region-based GeneSIS Segmentation Algorithm,” Proceedings of 23rd IEEE Interna-tional Conference on Fuzzy Systems, Beijing, China, pp. 1976-1984, 2014.

S. Mylonas, D. Stavrakoudis, J. Theocharis, P. Mastorocostas, “A Region-based GeneSIS Segmentation Algo-rithm for Classification of Remotely Sensed Images,” Remote Sensing, vol. 7, pp. 2474-2508, 2015(a).

S. Mylonas, D. Stavrakoudis, J. Theocharis, P. Mastorocostas, “Classification of Remotely Sensed Images Using the GeneSIS Fuzzy Segmentation Algorithm,” IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2015(b).

H. Nguyen, N. Prasad, C. Walker, E. Walker, A First Course in Fuzzy and Neural Control, Chapman & Hall/CRC, 2003.

S. Papadakis, J. Theocharis, A. Bakirtzis, “A Load Curve–Based Fuzzy Modeling Technique for Short–Term Load Forecasting,” Fuzzy Sets and Systems, vol. 135, no. 2, pp. 279-303, 2003.

S. Papadakis, V. Kaburlasos, G. Papakostas, “Two Fuzzy Lattice Reasoning (FLR) Classifiers and their Ap-plications for Human Facial Expression Recognition,” Journal of Multiple Value Logic and Soft Computing, vol. 22, no. 4-6, pp. 561-579, 2014.

S. Papadakis, J. Theocharis, S. Kiartzis, A. Bakirtzis, “A Novel Approach to Short–Term Load Forecasting Using Fuzzy Neural Networks,” IEEE Transactions on Power Systems, vol. 13, pp.480-492, 1998.

E. Papageorgiou, “A New Methodology for Decisions in Medical Informatics Using Fuzzy Cognitive Maps Based on Fuzzy Rule–Extraction Techniques,” Applied Soft Computing, vol. 11, pp. 500-513, 2011.

E. Papageorgiou, P. Spyridonos, D. Glotsos, C. Stylios, R. Ravazoula, G. Nikoforidis, “Brain Tumour Charac-terization Using the Soft Computing Technique of Fuzzy Cognitive Maps,” Applied Soft Computing, vol. 8, pp. 820-828, 2008.

E. Papageorgiou, C. Stylios, P. Groumpos, “An Integrated Two–Level Hierarchical System for Decision Mak-ing in Radiation Therapy Based on Fuzzy Cognitive Maps,” IEEE Transactions on Biomedical Engineering, vol. 50, no. 12, pp. 1326-1339, 2003.

T. Ross, Fuzzy Logic with Engineering Applications, John Wiley & Sons, 3rd Edition, 2010.

D. Stavrakoudis, E. Dragozi, I. Gitas, C. Karydas, “Decision Fusion Based on Hyperspectral and Multispectral Satellite Imagery for Accurate Forest Species Mapping,” Remote Sensing, vol. 7, pp. 6897-6928, 2014.

D. Stavrakoudis, J. Theocharis, G. Zalidis, “A Boosted Genetic Fuzzy Classifier for Land Cover Classification of Remote Sensing Imagery,” ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing, vol. 66, no. 4, pp. 529-544, 2011.

D. Stavrakoudis, G. Galidaki, I. Gitas, J. Theocharis, G. Zalidis, “A Genetic Fuzzy–Rule–Based Classifier for Land Cover Classification from Hyperspectral Imagery,” IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sens-ing, vol. 50, pp. 130-148, 2012.

G. Stoilos, J. Pan, G. Stamou, “Fuzzy Extensions of OWL: Logical Properties and Reduction to Fuzzy De-scription Logics,” International Journal of Approximate Reasoning, vol. 51, no. 6, pp. 656-679, 2010.

-44-

G. Stoilos, N. Simou, G. Stamou, S. Kollias, “Uncertainty and the Semantic Web,” IEEE Intelligent Systems, vol. 21, no. 5, pp. 84-87, 2006.

G. Stoilos, G. Stamou, “Reasoning with Fuzzy Extensions of OWL and OWL 2,” Journal of Knowledge and Information Systems, vol. 40, no. 1, pp. 205-242, 2014.

C. Stylios, V. Georgopoulos, G. Malandraki, S. Chouliara, “Fuzzy Cognitive Map Architectures for Medical Decision Support Systems,” Applied Soft Computing, vol. 8, pp. 1243-1251, 2008.

T. Takagi and M. Sugeno, “Fuzzy Identification of Systems and Its Applications,” IEEE Transactions on Sys-tems, Man, and Cybernetics, vol. 15, no. 1, pp. 116-132, 1985.

C. Topaloglou, S. Mylonas, D. Stavrakoudis, P. Mastorocostas, J. Theocharis, “Accurate Crop Classification Using Hierarchical Genetic Fuzzy Rule-Based Systems,” Proceedings of 2014 SPIE International Conference on Remote Sensing, Amsterdam, The Netherlands, 2014.

D. Trivela, G. Stoilos, A. Chortaras, G. Stamou, “Optimising Resolution-Based Rewriting Algorithms for OWL Ontologies,” Web Semantics: Science, Services and Agents on the World Wide Web, 2015.

L. Tsoukalas, R. Uhrig, Fuzzy and Neural Approaches in Engineering, John Wiley & Sons, 1997.

C. Tzimopoulos, C. Evangelidis, G. Papaevangelou, “A Fuzzy Set Approach of an Analytical Solution of Non–Steady Two–Dimensional Drainage,” Advances in Engineering Software, vol. 45, no. 1, pp. 61-68, 2012.

C. Tzimopoulos, L. Mpallas, C. Evangelides, “Fuzzy Model Comparison to Extrapolate Rainfall Data,” Jour-nal of Environmental Science and Technology, vol. 1, pp. 214-224, 2008(a).

C. Tzimopoulos, L. Mpallas, C. Evangelides, “Estimation of Evapotranspiration Using Fuzzy Systems and Comparison With the Blaney-Criddle Method,” Journal of Environmental Science and Technology, vol. 1, pp. 181-186, 2008(b).

T. Venetis, G. Stoilos, G. Stamou, “Query Extensions and Incremental Query Rewriting for OWL 2 QL On-tologies,” Journal on Data Semantics, vol. 3, pp. 1-23, 2014(a).

T. Venetis, G. Stoilos, G. Stamou, “Query Rewriting Under Query Refinements,” Journal of Knowledge–Based Systems, vol. 56, pp. 36-48, 2014(b).

C. Von Altrock, Fuzzy Logic and Neurofuzzy Applications Explained, Prentice Hall, 1995.

L. Zadeh, “From Circuit Theory to System Theory,” Proceedings of the IRE, vol. 50, pp. 856-865, 1962.

L. Zadeh, “Fuzzy Sets,” Information and Control, vol. 8, pp. 338-353, 1965.

L. Zadehe, Toward a Theory of Fuzzy Systems στο Aspects of Networks and Systems Theory, (επιμ. R. Kal-man, N. DeClaris), Holt, Rinehart & Winston, 1971.

L. Zadeh, “Outline of a New Approach to the Analysis of Complex Systems and Decision Processes,” IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, vol. 3, no. 1, pp. 28-44, 1973.

L. Zadeh, “The Concept of a Linguistic Variable and Its Application to Approximate Reasoning,” Information Sciences, vol. 8, pp. 199-249, 1975.

L. Zadeh, “Tοward a Perception – Based Theory of Probabilistic Reasoning with Imprecise Probabilities,” Journal of Statistical Planning and Inference, vol. 105, pp. 233-264, 2002.

H. Zhang, D. Liu, Fuzzy Modeling and Fuzzy Control, Birkhauser, 2006.

Εισαγωγή στην ασαφή λογική ασαφή σύνολα...

Documents

Transcript of Εισαγωγή στην ασαφή λογική ασαφή σύνολα...