Επιτάχυνση Σωματιδίων σε Υψηλές Ενέργειες 8.1...

8Επιτάχυνση Σωματιδίων σε Υψηλές

Ενέργειες

81 Εισαγωγή

΄Οπως έχει ήδη αναφερθεί οι διαδικασίες της Αστροφυσικής Υψηλών Ενερ-

γειών εμπλέκουν σωματίδια υψηλών ενεργειών Την ύπαρξη τέτοιων σωμα-

τιδίων αντιλαμβανόμαστε είτε έμμεσα (οδηγούν στη δημιουργία παρατηρή-

σιμων φωτονίων υψηλής ενέργειας μέσω της ακτινοβολίας σύγχροτρον ή του

αντίστροφου σκεδασμού Compton) είτε laquoάμεσαraquo μέσω της κοσμικής ακτι-νοβολίας (και στην περίπτωση αυτή ανιχνεύουμε φωτόνια υψηλών ενεργειών

που δημιουργούνται από την αλληλεπίδραση της κοσμικής ακτινοβολίας με

σωμάτια της ατμόσφαιρας) Το ερώτημα που θα μας απασχολήσει στο

παρόν κεφάλαιο είναι πώς τα σωματίδια αυτά αποκτούν υψηλή ενέργεια

δηλ πώς επιταχύνονται σε ενέργειες πολύ μεγαλύτερες από την ενέργεια

ηρεμίας τους E = γmc2 ≫ mc2

Ας εξετάσουμε τη δράση όλων των γνωστών δυνάμεων στο σωματίδιο

Η ισχυρή πυρηνική δύναμη λόγω της μικρής της εμβέλειας θα χρειαζόταν

να δώσει εξωπραγματικά υψηλή επιτάχυνση σε αποστάσεις της τάξης sim10minus13cm Το ίδιο ισχύει για την ασθενή πυρηνική δύναμηΘα μπορούσε η βαρύτητα να λύσει το πρόβλημα Η βαρύτητα ως συντη-

ρητική δύναμη που είναι δεν μπορεί να δώσει υψηλές ταχύτητες μακρυά από

τη βαρυτική πηγή που επιταχύνει το σωμάτιο Αν σκεφτούμε κάποιο σωμά-

τιο να πλησιάζει κάποια βαρυτική πηγή η κινητική του ενέργεια (γ minus 1)mc2

αυξάνει Καθώς όμως απομακρύνεται από την πηγή για να φτάσει σ΄ εμάς

η ενέργειά του μειώνεται και γίνεται όση ήταν και πριν πλησιάσει την πηγή

Η απάντηση λοιπόν είναι πάλι αρνητική

Το τελικό συμπέρασμα αυτού του συλλογισμού είναι ότι μόνο ηλεκτρο-

93

94 Επιτάχυνση Σωματιδίων σε Υψηλές Ενέργειες

μαγνητικές δυνάμεις μπορούν να επιταχύνουν σωμάτια σε μεγάλες ενέργειες

Η ενέργεια που αποκτά ένα σωμάτιο εξαρτάται από το φορτίο του Ας

σκεφτούμε για παράδειγμα ένα πρωτόνιο ένα νετρόνιο και ένα σωμάτιο άλφα

να βρίσκονται μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Ποιο θα αποκτήσει μεγαλύ-

τερη ενέργεια Βέβαια το σωμάτιο άλφα διότι έχει μεγαλύτερο φορτίο (ανε-

ξάρτητα του γεγονότος ότι λόγω της μεγαλύτερης αδράνειάς του θα κινηθεί

δυσκολότερα) Μικρότερη ενέργεια θα πάρει το πρωτόνιο και τελευταίο στη

σειρά θα είναι το ουδέτερο νετρόνιο

Ας σκεφτούμε ένα φορτίο να μπαίνει σε χώρο με στατικό (χρονοαμετά-

βλητο) μαγνητικό πεδίο και μηδενικό ηλεκτρικό πεδίο Το φορτίο θα εκτε-

λέσει ελικοειδή κίνηση στην οποία η ταχύτητά του αλλάζει διεύθυνση αλλά

όχι μέτρο άρα η ενέργεια παραμένει αμετάβλητη Αν όμως το μαγνητικό

πεδίο κινείται Αφού η ενέργεια του φορτίου είναι σταθερή στο κινούμενο

σύστημα θα έχουμε μετατόπιση Doppler στο ακίνητο σύστημα αναφοράς΄Ετσι laquoκινούμεναraquo μαγνητικά πεδία μπορούν να αυξήσουν την ενέργεια ενός

φορτίου Ακόμα κι αν στο κινούμενο σύστημα υπάρχει μόνο μαγνητικό πεδίο

(και μηδενικό ηλεκτρικό) στο σύστημα του εργαστηρίου υπάρχει ηλεκτρικό

πεδίο στο οποίο ουσιαστικά οφείλεται η αύξηση στην ενέργεια του φορ-

τίου Αλλος τρόπος να αυξήσουμε την ενέργεια ενός φορτίου είναι βέβαια η

άμεση επιτάχυνση λόγω ηλεκτρικού πεδίου ΄Ετσι κάποια πτώση δυναμικού

ή σκέδαση Compton μπορεί να επιταχύνει φορτίαΣυνοψίζοντας ο μόνος τρόπος να έχουμε φωτόνια υψηλής ενέργειας είναι

αυτά να παράγονται χρησιμοποιώντας ενέργεια σωματιδίων τα οποία με

τη σειρά τους έχουν επιταχυνθεί είτε σε κινούμενα μαγνητικά πεδία είτε σε

ηλεκτρικά πεδία

Στη συνέχεια θα περιγράψουμε συγκεκριμένους μηχανισμούς επιτάχυνσης

αυτού του τύπου με απώτερο σκοπό να προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε το

παρατηρούμενο φάσμα σωματιδίων υψηλής ενέργειας (πχ κοσμικών ακτί-

νων) το οποίο τυπικά είναι ένας νόμος δύναμης με εκθέτη 2ndash3 (εννοώντας ότι

ο αριθμός σωματίων με ενέργειες από E ως E +dE είναι N(E)dE prop EminusαdEμε α = 2 minus 3) Τα φάσματα εκτείνονται σε πολύ μεγάλες ενέργειες πχκοσμικές ακτίνες έχουν παρατηρηθεί μέχρι 3times1020eV όπως έχει ήδη αναφερ-θεί Σ΄ αυτήν λοιπόν την περίπτωση έχουμε επιτάχυνση ενός μικρού κλάσμα-

τος σωματίων σε υπερ-υψηλές ενέργειες ενώ περισσότερα σωματίδια έχουν

μικρότερες ενέργειες Ακόμα και στην περίπτωση που λαμβάνουμε ακτινο-

βολία υψηλών ενεργειών με φάσμα νόμο δύναμης τα σωματίδια που την

παράγουν μέσω επιτάχυνσης σε μαγνητικό πεδίο στην περίπτωση της ακτι-

νοβολίας σύγχροτρον ή μέσω αντίστροφου σκεδασμού Compton πρέπει ναέχουν ενεργειακό φάσμα νόμου δύναμης παραπλήσιο με αυτό των κοσμικών

ακτίνων όπως αποδείχθηκε στα κεφάλαια 534 και 63

Υπάρχουν επίσης ισχυρές ενδείξεις σε εκροές από ενεργούς γαλαξιακούς

82 Δεύτερης τάξης επιτάχυνση Fermi 95

Σχήμα 81 Κρούση σωματίου με κινούμενο νέφος

πυρήνες για κίνηση του συνόλου της εκροής ndash την οποία θα ονομάζουμε

μακροσκοπική κίνηση σε αντιδιαστολή με την κίνηση μεμονωμένων σωματίων

ndash με παράγοντα Lorentz μέχρι μερικές δεκάδες Επίσης το επικρατέστερομοντέλο για την εξήγηση των εκλάμψεων γάμμα ακτινοβολίας απαιτεί επι-

τάχυνση του συνόλου της εκροής σε παράγοντα Lorentz μερικές εκατοντάδεςΤα δύο τελευταία παραδείγματα δείχνουν ότι κάποιες φορές όλη η ύλη σε κά-

ποια περιοχή μπορεί να κινείται ισχυρά σχετικιστικά

Το αντικείμενό μας είναι λοιπόν να εξηγήσουμε

(α) φάσματα νόμου δύναμης και υπερ-υψηλές ενέργειες για μικρό κλάσμα

σωματίων και

(β) σχετικιστική μακροσκοπική κίνηση

Στο υπόλοιπο του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με το πρώτο το δεύτερο

θέμα θα μας απασχολήσει σε επόμενο κεφάλαιο

82 Δεύτερης τάξης επιτάχυνση FermiΟ μηχανισμός αυτός προτάθηκε από τον Fermi (1949) Πρώτα θα τον περιγρά-ψουμε αφαιρετικά (μόνο την ιδέα σαν πρόβλημα Κλασικής Μηχανικής) και

στη συνέχεια θα δούμε πού μπορεί να συναντάται σε Αστροφυσικά συστή-

ματα

΄Εστω ότι ένα σωμάτιο μάζας m κινείται σε χώρο όπου υπάρχουν διά-σπαρτα κατανεμημένα κινούμενα σώματα (θα τα αποκαλούμε laquoνέφηraquo μεγά-

λης μάζας και μικρής ταχύτητας σε σχέση με τη μάζα και την ταχύτητα

του σωματίου τα οποία ανακλούν ελαστικά το σωμάτιο Αν αυτά τα νέφη

κινούνται με ταχύτητα Vs και το σωμάτιο κινείται με ταχύτητα V μετά απόκάθε κρούση το σωμάτιο κερδίζει ή χάνει ενέργεια ανάλογα με το αν τα

σώματα πριν την κρούση κινούνται σε αντίθετη ή στην ίδια κατεύθυνση


Ας εξετάσουμε πρώτα το μη σχετικιστικό ισοδύναμο Στο σύστημα ανα-

φοράς του νέφους το σωμάτιο φαίνεται να πλησιάζει με ταχύτητα (V∥ minusVs) + Vperp (βλ σχήμα 81) Μετά την κρούση η ταχύτητα στο σύστημα

του νέφους θα είναι minus(V∥ minus Vs) + Vperp Αρα στο αρχικό σύστημα ανα-

φοράς V primeprime = minusV∥ + 2Vs + Vperp Η μεταβολή της κινητικής ενέργειας είναι

2m(V 2s minus V middot Vs) δηλ κέρδος 2mVs(V∥ + Vs) στην περίπτωση μετωπικής

κρούσης V middot Vs lt 0 και ζημία 2mVs(V∥ minus Vs) στην περίπτωση ακόλουθηςκρούσης V middot Vs gt 0Στη σχετικιστική περίπτωση ο συλλογισμός είναι ο ίδιος πρέπει όμως να

χρησιμοποιήσουμε μετασχηματισμούς Lorentz όταν σκεφτόμαστε τη σχέσημεταξύ ταχυτήτων και ενεργειών από το ένα σύστημα στο άλλο Το τελικό

αποτέλεσμα είναι

γprimeprime = γ

(1 + 2V 2

s c2 minus 2V middot Vsc2

1 minus V 2s c2

) (81)

Αναπτύσσοντας κατά Taylor την εξίσωση 81 ως προς Vsc και κρατώνταςμέχρι δεύτερης τάξης όρους έχουμε για το κέρδος ενέργειας (V middot Vs lt 0 γιαμετωπική κρούση)

∆E = (γprimeprime minus γ)mc2 =(

minus2V middot Vs

c2 + 2V 2s

c2

)γmc2 (82)

Για να υπολογίσουμε έναν στατιστικό μέσο όρο του ∆E θα πρέπει ναλάβουμε υπόψη ότι η πιθανότητα για μετωπική κρούση είναι μεγαλύτερη από

την πιθανότητα για ακόλουθη κρούση Αυτό γίνεται εύκολα κατανοητό αν

σκεφτούμε τη μονοδιάστατη περίπτωση ΄Εστω ότι οδηγούμε ένα αυτοκίνητο

με ταχύτητα V και στον δρόμο υπάρχουν και άλλα αυτοκίνητα που κινούνταιμε ταχύτητα μέτρου Vs lt V κάποια στο ίδιο ρεύμα με εμάς και κάποια στοαντίθετο (με ίδιες πυκνότητες) Σε κάποιο χρονικό διάστημα ∆t θα περά-σουν δίπλα μας όχι μόνο όσα αυτοκίνητα βρίσκονται αρχικά σε απόσταση

lt V ∆t μπροστά μας αλλά και κάποια άλλα τα οποία μας πλησιάζουν καιθα αποκτήσουν απόσταση lt V ∆t μέσα στον χρόνο ∆t Τα αυτοκίνητα πουκινούνται με αντίρροπη ταχύτητα ως προς εμάς αντιστοιχούν στις μετωπι-

κές κρούσεις Αντίθετα οι ακόλουθες κρούσεις θα είναι λιγότερες από τα

αυτοκίνητα που βρίσκονται σε απόσταση V ∆t διότι πρέπει να αφαιρέσουμεαυτά που θα φύγουν από αυτήν την απόσταση στον χρόνο ∆t Η πιθανό-τητα η επόμενη κρούση να είναι μετωπική είναι ανάλογη του (V +Vs)∆t ενώγια ακόλουθη κρούση ανάλογη του (V minus Vs)∆t Ο συντελεστής αναλογίαςβρίσκεται από την κανονικοποίηση (το άθροισμα πιθανοτήτων είναι μονάδα)

και έτσι βρίσκουμε τις πιθανότητες να είναι (V +Vs)(2V ) και (V minusVs)(2V )


για μετωπική και ακόλουθη κρούση αντίστοιχα Αρα η μέση αύξηση στην

ενέργεια μετά από μια κρούση είναι

∆E = 2mVs(V + Vs)V + Vs

2Vminus 2mVs(V minus Vs)

V minus Vs

2V= 8

(Vs

V

)2Ek (83)

Ακριβείς υπολογισμοί στην τρισδιάστατη κίνηση και με σχετικιστικές ταχύτη-

τες οδηγούν σε παρόμοιο αποτέλεσμα ∆E = (83)(Vsc)2E (εδώ E = γmc2

είναι η ολική ενέργεια του σωματίου συμπεριλαμβανομένης της ενέργειας

ηρεμίας mc2και όχι μόνο η κινητική ενέργεια Ek = E minus mc2 = (γ minus 1)mc2

η

οποία για μη-σχετικιστικές κινήσεις γίνεται mV 22) Η αύξηση της ενέργειαςεξαρτάται από το τετράγωνο του (Vsc) και γι΄ αυτό ο μηχανισμός αυτόςονομάστηκε laquoδεύτερης τάξηςraquo Να σημειώσουμε ότι ο μηχανισμός αυτός

βασίζεται στην ιδιότητα μιας συλλογής από αλληλοσυγκρουόμενα σωμάτια

να φτάσουν σε ισοκατανομή της ενέργειας

Επειδή ο μέσος χρόνος μεταξύ των κρούσεων είναι lt LV cos θ gt asymp 2Lcόπου L η μέση απόσταση μεταξύ νεφών δηλ προκύπτει σταθερός και τομέσο κέρδος στην ενέργεια ∆EE επίσης σταθερό οι συνεχείς κρούσεις θαοδηγήσουν στατιστικά σε εκθετική αύξηση της ενέργειας του σωματίου

dE

dt= ∆E

2Lc= E

ta

hArr E = E0etta ta = 3cL

4V 2s

(84)

Ο χρόνος ta στον οποίο η ενέργεια αυξάνει σημαντικά είναι πολύ μεγαλύ-

τερος του χρόνου μεταξύ των κρούσεων 2Lc δηλ η αύξηση απαιτεί τηνυλοποίηση μεγάλου αριθμού κρούσεων

Τα σωμάτια δεν μένουν για πάντα στην περιοχή των νεφών αλλά διαφεύ-

γουν με κάποιο ρυθμό από αυτήν ΄Εστω ότι ο μέσος χρόνος παραμονής (και

επιτάχυνσης) είναι td Τότε το πλήθος των σωματίων που θα επιταχύνονται

σε συνολικό χρονικό διάστημα από t ως t + dt είναι N(t)dt prop eminusttddt Αυτάτα σωμάτια όταν διαφύγουν θα έχουν ενέργεια E = E0e

tta hArr t(E) =ln(EE0)ta Συνεπώς τα σωμάτια που φεύγουν με ενέργειες από E ωςE + dE είναι N(E)dE = N(t)dt prop Eminus1minustatddE δηλ βρήκαμε νόμο δύ-ναμης

Ας σκεφτούμε τώρα την εφαρμογή αυτού του μηχανισμού Η αρχική ιδέα

του Fermi ήταν πως τα laquoνέφηraquo είναι ανομοιογένειες μαγνητικού πεδίου (δηλέχουμε κινούμενο μαγνητικό πεδίο) στον μεσοαστρικό χώρο οι οποίες δρουν

σαν μαγνητικοί καθρέπτες για τα φορτισμένα σωμάτια αναγκάζοντάς τα

να ανακλώνται ελαστικά ΄Οπως ξέρουμε ένα φορτισμένο σωμάτιο εκτελεί

ελικοειδή τροχιά Larmor μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο Μπορούμε ναχωρίσουμε την κίνηση σε ευθύγραμμη και ομαλή με ορμή p∥ = γmV∥ παράλ-

ληλα στο μαγνητικό πεδίο και ομαλή κυκλική με ορμή pperp = γmVperp και ακτίνα


r = pperpqB κάθετα στο πεδίο Αν το πεδίο είναι ανομοιογενές τα p2∥ και p

2perp δεν

διατηρούνται πια σταθερά αν και το άθροισμά τους είναι σταθερό (η δύναμη

από μαγνητικό πεδίο είναι κάθετη στην ταχύτητα και άρα δεν αλλάζει την

ενέργεια E =radic

m2c4 + p2c2 του σωματίου αφού δεν παράγει έργο) Στην

περίπτωση που το πεδίο αλλάζει λίγο στην κλίμακα μήκους που καθορίζει η

ακτίνα Larmor αποδεικνύεται (μέσω λύσης της εξίσωσης Newton διαταράσ-σοντας την κίνηση γύρω από την τροχιά Larmor) ότι η ποσότητα p2

perpB είναιlaquoαδιαβατική αναλλοίωτηraquo δηλ μένει σταθερή κατά τη διάρκεια της κίνησης

κάτι που οδηγεί στο ακόλουθο ενδιαφέρον συμπέρασμα ΄Οταν το φορτίο

κινείται προς μεγαλύτερες εντάσεις πεδίου η συνιστώσα pperp αυξάνει οπότε η

p∥ μειώνεται Δηλ το βήμα της έλικας συνεχώς μικραίνει και για αρκούντως

μεγάλες τιμές του B μπορεί να μηδενιστεί Στην περίπτωση αυτή το φορτίοανακλάται σε έναν laquoμαγνητικό καθρέπτηraquo

Παρότι ο μηχανισμός οδήγησε σε νόμο δύναμης παρουσιάζει διάφορα

προβλήματα Ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει η ενέργεια ενός σωματίου

σε επιθυμητά επίπεδα είναι αρκετά μεγάλος κάτι που δεν δικαιολογεί να

αμελήσουμε ενεργειακές απώλειες Για παράδειγμα έστω ότι Vsc sim 10minus4

και L sim 1pc Ο χρόνος μεταξύ δυο κρούσεων είναι περίπου 2Lc sim 7 χρόνιαενώ ο χρόνος που χρειάζεται το σωμάτιο για να επιταχυνθεί από κάποια

ενέργεια σε e φορές μεγαλύτερη είναι sim [(83)(Vsc)2]minus1φορές μεγαλύτερος

δηλ κοντά ένα δισεκατομμύριο χρόνια Φυσικά αν το πεδίο είναι εντονότερα

ανομοιογενές δηλ το L είναι μικρότερο ο χρόνος ελαττώνεται Γενικά είναι

ta = 38

2Lc

(Vsc)2 = 109(

L

1pc

)(Vs

10minus4c

)minus2yrs

Ακόμα κι αν λύσουμε αυτό το πρόβλημα είναι δύσκολο να απαντήσουμε

μια άλλη ερώτηση γιατί ο φασματικός δείκτης (minus1 minus tatd) έχει πάντα

σχεδόν την ίδια τιμή Με άλλα λόγια γιατί το td είναι συγκρίσιμο με το ta

και συνδέεται με την ίδια σχέση με τα L και Vs σε όλες τις κατανομές νεφών

83 Πρώτης τάξης επιτάχυνση FermiΒελτίωση του προηγούμενου μηχανισμού αποτελεί ο μηχανισμός Fermi πρώ-της τάξης Η ιδέα είναι απλή ΄Οπως είδαμε στον μηχανισμό δεύτερης τά-

ξης το μέσο κέρδος σε ενέργεια είναι ανάλογο του (Vsc)2 διότι οι μετωπι-

κές κρούσεις μερικώς εξουδετερώνονται από τις ακόλουθες κρούσεις Αν με

κάποιο τρόπο εξασφαλίσουμε ότι μόνο μετωπικές κρούσεις είναι δυνατές ο

μηχανισμός θα γίνει πολύ αποδοτικότερος Το κέρδος σε ενέργεια θα είναι

σύμφωνα με την εξίσωση (82) ∆EE = 2V Vsc2 δηλ ανάλογο του Vsc

83 Πρώτης τάξης επιτάχυνση Fermi 99

Για τον λόγο αυτό ο μηχανισμός ονομάστηκε laquoπρώτης τάξηςraquo

Σχήμα 82 Ροή πλάσματος με ασυνέχεια (a) Ταχύτητες στο σύστημααναφοράς όπου το αδιατάρακτο μέρος laquo1raquo είναι ακίνητο Η ασυνέχεια έχει

ταχύτητα U ενώ το μέρος laquo2raquo από το οποίο έχει περάσει η ασυνέχεια έχειταχύτητα 3U4 (b) Ταχύτητες στο σύστημα αναφοράς της ασυνέχειαςΕίναι V1 = 4V2 όπως βρήκαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο (c) Ταχύτητεςστο σύστημα αναφοράς του μέρους laquo2raquo

Το μηχανικό ανάλογο είναι ένα σωμάτιο να κινείται μεταξύ δύο νεφών

τα οποία πλησιάζουν μεταξύ τους Το ερώτημα είναι βέβαια πού μπορεί να

υλοποιηθεί ένας τέτοιος μηχανισμός σε Αστροφυσικά συστήματα Προξενεί

εντύπωση ότι αυτό είναι ισοδύναμο με κινήσεις σωματίων που περνούν ασυ-

νέχειες ροής πλάσματος δηλ στα ωστικά κύματα (shocks) που αναλύθηκανστο προηγούμενο κεφάλαιο Τέτοιες ασυνέχειες δημιουργούνται αυθόρμητα

σε υπερηχητικές ροές όπως σε αυτές που συνδέονται με εκρήξεις υπερκαι-

νοφανών Στην περίπτωση αυτή το υλικό που εκτοξεύεται έχει ταχύτητες

sim 104 km sminus1 κατά πολύ μεγαλύτερες από τυπικές ταχύτητες ήχου του

μεσοαστρικού υλικού που είναι το πολύ 10 km sminus1 ΄Ετσι δημιουργείται μια

ισχυρή ασυνέχεια η οποία κινείται υπερηχητικά με ταχύτητα U χωρίζονταςτον χώρο σε δυο μέρη το μέρος laquo2raquo από το οποίο έχει περάσει η ασυνέχεια

και το μέρος laquo1raquo βλ σχήμα 82 ΄Ενα σωμάτιο που αρχικά βρίσκεται στο

laquo1raquo βλέπει το μέρος laquo2raquo να κινείται προς το μέρος του με ταχύτητα 3U4 [βλ


σχήμα 82(a)] Κατά συνέπεια η κρούση με το μέρος laquo2raquo θα είναι μετωπικήκαι το σχετικό κέρδος ενέργειας του σωματίου θα είναι ∆EE = O(Uc)Ακριβείς υπολογισμοί δείχνουν ότι το κέρδος είναι ∆EE = U2c Μετά τηνκρούση το σωμάτιο βρίσκεται μέσα στο μέρος laquo2raquo όπου λόγω της τυρβώ-

δους ροής αλλά και της ύπαρξης μαγνητικού πεδίου σκεδάζεται και αλλάζει

κατεύθυνση κίνησης με τυχαίο τρόπο (χωρίς να αλλάζει ενέργεια) γιατί το

μέσο είναι ισοτροπικό στο σύστημα ηρεμίας του Στη συνέχεια το σωμάτιο

είτε θα διαφύγει από τη γειτονιά της ασυνέχειας είτε θα συγκρουστεί με το

μέσο laquo1raquo Αν σκεφτούμε ότι η ροή σωματίων είναι το γινόμενο της αριθμητι-

κής τους πυκνότητας με την ταχύτητα η ροή σωματίων που απομακρύνεται

από την ασυνέχεια και χάνεται στο μέσο laquo2raquo είναι n2(U4) [σχήμα 82(b)]Πολύ κοντά στην ασυνέχεια και μέσα στο μέρος laquo2raquo τα μισά από τα σωμά-

τια απομακρύνονται και τα άλλα μισά ξαναπερνούν την ασυνέχεια Αφού

η μέση ταχύτητα αυτών των σωματίων είναι c2 η ροή σωματίων προς τηνασυνέχεια είναι (n22)(c2) = n2c4 Συμπέρασμα αυτού του συλλογισμούείναι ότι το κλάσμα των σωματίων που φεύγει μακρυά από την ασυνέχεια

σε σχέση με αυτά που την ξαναπερνούν είναι μόλις Uc Αρα η συντρι-πτική πλειοψηφία θα συγκρουστεί με το μέσο laquo1raquo ΄Οπως βλέπουμε από το

σχήμα 82(c) πάλι η κρούση είναι μετωπική οπότε το σωμάτιο θα ξανακερδί-σει ενέργεια Το φαινόμενο επαναλαμβάνεται και το σωμάτιο ποτέ δεν χάνει

ενέργεια σαν να συγκρούεται συνεχώς με δύο καθρέπτες που πλησιάζουν

Μετά από δύο περάσματα από την ασυνέχεια (μπρος και πίσω δηλ ένας

πλήρης κύκλος) είναι ∆EE = U2c+U2c = Uc Αρα μετά από k κύκλουςη ενέργεια θα είναι E = E0(1 + Uc)k

Αφού η πιθανότητα να διαφύγει ένα

σωμάτιο είναι Uc αν αρχικά είχαμε N0 σωμάτια μετά από k κύκλους θαέχουμε N = N0(1 minus Uc)k

Απαλείφοντας το k έχουμε

N

N0=(

E

E0

) ln(1minusUc)ln(1+Uc)

asymp(

E

E0

)minus1rArr N(E)dE prop Eminus2dE (85)

δηλ ο εκθέτης στον νόμο δύναμης του ενεργειακού φάσματος είναι ακριβώς

2 Αν εξετάζουμε αέριο με Γ = 53 τα αποτελέσματα θα αλλάξουν οπότε οεκθέτης δεν θα είναι ακριβώς 2 αλλά κοντά σ΄ αυτήν την τιμή Το αποτέλε-

σμα αυτό υπήρξε ενθαρρυντικό για την εξήγηση της προέλευσης των κοσμι-

κών ακτίνων με υποψήφια πηγή τις ασυνέχειες από εκρήξεις υπερκαινοφανών

΄Ομως είναι δύσκολο να εξηγήσει την παραγωγή σωματίων με ενέργεια πάνω

από sim 1015eV Ο λόγος είναι ότι η ασυνέχεια επιβραδύνεται καθώς σπρώχνειόλο και μεγαλύτερη μάζα μεσοαστρικού υλικού Κάποιος άλλος λόγος λοι-

πόν πρέπει να υπάρχει και να εξηγεί την παραγωγή σωματίων υπερ-υψηλής

ενέργειας

Μια παραλλαγή της επιτάχυνσης σε ασυνέχειες είναι η περίπτωση ολίσθη-

σης πάνω στην επιφάνεια ασυνέχειας η οποία κινείται κάθετα σε μαγνητικό


Σχήμα 83 Επιτάχυνση θετικού φορτίου από ολίσθηση πάνω σε επιφάνεια

ασυνέχειας

πεδίο Στο σχήμα 83 φαίνεται η γεωμετρία της περίπτωσης αυτής ΄Ενα φορ-

τίο q μάζας m βρίσκεται στο δεξιό μέρος του σχήματος μέσα σε σταθερόμαγνητικό πεδίο B1 και ηλεκτρικό πεδίο E με E lt B1 Η κίνηση του φορτίου

η οποία ικανοποιεί την εξίσωση d(γmv)dt = qE + q(vc) times B μπορεί νααναλυθεί σε μία ομαλή κυκλική γυροακτίνας rg = cpperp|q|B και ταχύτηταςvperp της οποίας το οδηγό κέντρο εκτελεί (1) ευθύγραμμη κίνηση με ταχύτητα v∥στη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου και (2) ολίσθηση laquoηλεκτρικού πεδίουraquo

με ταχύτητα

VE = cE times B

B2 (86)

(αυτό διότι όπως μπορεί εύκολα να ελεγχθεί το ηλεκτρικό πεδίο μηδενίζε-

ται στο σύστημα που κινείται με VE και άρα η κίνηση είναι Larmor στοσύστημα αυτό) ΄Ενας τρόπος να καταλάβουμε ποιοτικά τη φορά της VE

είναι να σκεφτούμε ότι ένα θετικό φορτίο (το οποίο για τα πεδία του σχήμα-

τος περιστρέφεται με την ορθή φορά) λόγω της φοράς του ηλεκτρικού πεδίου

έχει μεγαλύτερη ενέργεια στο πάνω μέρος της κίνησής του και άρα η τοπική

ακτίνα Larmor είναι μεγαλύτερη στο πάνω μέρος της τροχιάς Σε συνδυασμόμε την ορθή φορά περιστροφής αυτό οδηγεί σε μετατόπιση της τροχιάς προς

τα αριστερά ΄Ομοια για ένα αρνητικό φορτίο η τοπική ακτίνα Larmor είναι


μικρότερη στο πάνω μέρος της τροχιάς κάτι που σε συνδυασμό με την ανά-

δρομη περιστροφή οδηγεί ξανά σε μετατόπιση της τροχιάς προς τα αριστερά

Η ταχύτητα VE είναι τέτοια που οδηγεί όλα τα φορτία προς την ασυ-

νέχεια βλ σχήμα 83 (η VE είναι ανεξάρτητη του πρόσημου του φορτίου)

΄Οταν το σωμάτιο περάσει την ασυνέχεια μέρος της τροχιάς του θα βρε-

θεί στο αριστερό μέρος όπου το μαγνητικό πεδίο έχει μεγαλύτερη ένταση

όπως συζητήθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο ενώ το ηλεκτρικό μένει ίδιο

Συνεπώς η γυροακτίνα του σωματίου θα είναι μικρότερη (όπως και η ταχύ-

τητα VE) οπότε το σωμάτιο ολισθαίνει πάνω στο επίπεδο της ασυνέχειας

Παρατηρούμε ότι η ολίσθηση είναι παράλληλη στο ηλεκτρικό πεδίο οπότε

το σωμάτιο κερδίζει ενέργεια Το σχήμα 83 παριστάνει την κίνηση θετικού

φορτίου για αρνητικό φορτίο ο ίδιος συλλογισμός οδηγεί σε ολίσθηση προς

διεύθυνση αντίθετη του E οπότε έχουμε ξανά επιτάχυνση και κέρδος ενέρ-γειας Αυτή η ολίσθηση προέρχεται από την ανομοιογένεια του μαγνητικού

πεδίου και στη γενική περίπτωση είναι

VnablaB = minuscp2

perp2mγB

nablaB times B

qB2 (87)

Δηλ εκτός από την κυκλική κίνηση την ομαλή κίνηση στη διεύθυνση του Bκαι την ολίσθηση λόγω της ύπαρξης ηλεκτρικού πεδίου επιπρόσθετα υπάρ-

χει μία δεύτερη ολίσθηση λόγω ανομοιογένειας του μέτρου του μαγνητικού

πεδίου (Παρατηρήστε ότι η VnablaB είναι αντίθετη για αντίθετα φορτία οπότε

δημιουργεί ρεύμα το οποίο τείνει να αναιρέσει το αίτιο που το προκάλεσε

δηλ τη διαφορά του μαγνητικού πεδίου B2 minus B1)

84 Επιτάχυνση από μεταβολές δυναμικού

Φορτία μέσα σε χώρο με ισχυρά ηλεκτρικά πεδία επιταχύνονται αν το δυνα-

μικό στα διάφορα σημεία της τροχιάς τους μεταβάλλεται (ισοδύναμα αν η

ταχύτητά τους έχει μη μηδενική προβολή πάνω στο ηλεκτρικό πεδίο) Πτώση

δυναμικού V προκαλεί αύξηση ενέργειας qV σ΄ ένα θετικό φορτίο q (αντί-στοιχα αύξηση δυναμικού επιταχύνει αρνητικό φορτίο) Αν έχουμε ηλεκτρικό

πεδίο E τότε το φορτίο κερδίζει ενέργεια qV sim qEL όταν διανύει απόστασηLΠτώσεις δυναμικού συναντώνται οποτεδήποτε υπάρχει μαγνητικό πεδίο

σε περιοχή περιστρεφόμενου αγωγού Αφού τα φορτία του αγωγού είναι

ευκίνητα (άπειρη αγωγιμότητα) ο νόμος του Ohm δίνει το ηλεκτρικό πεδίοστο εσωτερικό του αγωγού

J

σ= E + V

ctimes B

σrarrinfin=rArr E = minusV

ctimes B (88)

84 Επιτάχυνση από μεταβολές δυναμικού 103

Η σχέση αυτή εκφράζει το γεγονός ότι το ηλεκτρικό πεδίο που οφείλεται σε

διαχωρισμό φορτίων εξουδετερώνει πλήρως το πεδίο που αναπτύσσεται εξ΄

επαγωγής καθώς ο αγωγός κινείται μέσα στο μαγνητικό πεδίο ΄Οπως θα

δούμε και στο επόμενο κεφάλαιο 922 εκφράζει ισοδύναμα ότι στο σύστημα

που κινείται μαζί με τον αγωγό το ηλεκτρικό πεδίο είναι μηδέν

Αν ο χώρος έξω από τον αγωγό είναι σχεδόν κενός το ηλεκτρικό πεδίο δεν

ακολουθεί τη σχέση (88) και άρα δεν είναι απαραίτητα κάθετο στο μαγνη-

τικό πεδίο Αφού τα φορτία κινούνται κυρίως κατά μήκος των μαγνητικών

γραμμών η συνιστώσα του E πάνω στο B τα επιταχύνει ενώ η κάθετη

συνιστώσα καθορίζει τι είδους φορτία (θετικά ή αρνητικά) θα κινηθούν σε

κάθε δυναμική γραμμή δηλ διαχωρίζει τα θετικά από τα αρνητικά φορτία

Τα παραπάνω θα γίνουν καλύτερα κατανοητά μελετώντας την ακόλουθη

περίπτωση η οποία είναι σημαντική σε θέματα σχετικά με μαγνητόσφαιρες

των pulsarsPulsars είναι αστέρες νετρονίων γρήγορα περιστρεφόμενοι και ισχυρά μαγνη-

τισμένοι1 Κοντά στο αστέρι το ηλεκτρικό πεδίο έχει μη μηδενική συνιστώσα

1Το μαγνητικό πεδίο ενός αστέρα νετρονίων είναι σε πρώτη προσέγγιση διπολικό δηλ

σε σφαιρικές συντεταγμένες (r θ φ)

B = B0

2R3

r3

(2 cos θr + sin θθ

) (89)

όπου B0 είναι το πεδίο στην επιφάνεια του αστέρα πάνω στους πόλους (r = R θ = 0 ήπ) Οι δυναμικές γραμμές έχουν εξίσωση drBr = rdθBθ hArr sin2 θr = sin2 θRR όπουθR είναι η τιμή της γωνίας θ πάνω στην επιφάνεια του άστρου r = R Η γωνία αυτή είναιδιαφορετική για κάθε δυναμική γραμμή

Το εσωτερικό του αστέρα νετρονίων είναι πολύ καλός αγωγός και περιστρέφεται με

γωνιακή ταχύτητα Ω (στην πιο απλή προσέγγιση σταθερή) Αρα V = Ωr sin θφ οπότε ηεξίσωση (88) δίνει

Ein = B0ΩR3

2c r2

(sin2 θr minus 2 sin θ cos θθ

) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)

όπου C σταθεράΑν το εξωτερικό (r gt R) είναι κενό τότεnabla2V = 0 Λύνοντας την τελευταία εξίσωση για

r gt R χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα (810) για τις οριακές συνθήκες στην επιφάνειαr = R και απαιτώντας το συνολικό φορτίο του αστέρα να είναι μηδέν (το οποίο αντιστοιχεί

σε C = minusB0ΩR2

3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ

)r minus 2 sin θ cos θθ

] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)

Εύκολα μπορεί να δειχθεί ότι για τυπικές τιμές των φυσικών μεγεθών που αντιστοιχούν

σε pulsars η δύναμη λόγω του Eout υπερνικά κατά πολύ τη βαρύτητα ΄Ετσι φορτία θα

αποσπασθούν από την επιφάνεια του αστέρα και θα γεμίσουν τη μαγνητόσφαιρά του

Κοντά στους πόλους Er lt 0 οπότε θα αποσπαστούν αρνητικά φορτία ενώ κοντά στον


παράλληλα στο μαγνητικό (βλ υποσημείωση 1) ΄Ετσι καθώς ένα φορτίο

κινείται πάνω σε μία από τις ανοιχτές δυναμικές γραμμές του B επιταχύνε-ται και (

dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)

Λεπτομέρειες για το πώς μεταβάλλεται το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο

με την απόσταση και το πού ισχύει B middot E = 0 παραμένουν αντικείμενοέρευνας (Η εικόνα που περιγράφεται στην υποσημείωση 1 τροποποιείται

αφενός λόγω του ότι η μαγνητόσφαιρα δεν παραμένει κενή και αφετέρου

γιατί το μαγνητικό πεδίο δεν παραμένει διπολικό αφού πρέπει οι δυναμικές

του γραμμές να είναι ανοικτές πέρα από τον κύλινδρο φωτός) Τυπικές τιμές

για τα πεδία κοντά στην επιφάνεια του αστέρα είναι B sim 1012G και E sim(RΩc)B sim 1010sV cmminus1

θεωρώντας ακτίνα του αστέρα νετρονίων R =106cm και περίοδο περιστροφής 003s΄Εστω ότι ένα ηλεκτρόνιο έχει αποσπαστεί από την επιφάνεια του αστέρα

νετρονίων και αρχίζει να επιταχύνεται καθώς κινείται πάνω σε μια δυναμική

γραμμή του μαγνητικού πεδίου Αφού η δυναμική γραμμή είναι καμπύλη η

διεύθυνση της ταχύτητας του φορτίου αλλάζει δηλ υπάρχει επιτάχυνση

οπότε θα εκπεμφθεί ακτινοβολία λόγω καμπυλότητας της τροχιάς Η ισχύς

της ακτινοβολούμενης ενέργειας η οποία ισούται με τον ρυθμό μείωσης της

ενέργειας του φορτίου δίνεται από τη γενική σχέση Larmor (άσκηση )

d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)

όπου aperp a∥ είναι οι συνιστώσες της επιτάχυνσης κάθετα και παράλληλα στην

ταχύτητα αντίστοιχα Η επιτάχυνση λόγω καμπυλότητας των δυναμικών

γραμμών είναι κάθετη στην ταχύτητα (κεντρομόλος) με μέτρο aperp = V 2R asympc2R όπου R είναι η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς οπότε(

dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)

(Υποπερίπτωση αποτελεί η ακτινοβολία σύγχροτρον ΓιαR = rg = γmc2eBπαίρνουμε το αποτέλεσμα mc2(dγdt)syn = minus(23)(e4m2c3)B2γ2

που ήδη

έχει βρεθεί στο κεφάλαιο 6)

ισημερινό Er gt 0 και αποσπώνται θετικά φορτία Τα φορτία αυτά περιστρέφονται μαζίμε το άστρο με γωνιακή ταχύτητα Ω ΄Οταν όμως φτάνουν σε κυλινδρικές αποστάσεις ϖτέτοιες ώστε ϖΩ ge c αυτό αποκλείεται σύμφωνα με τη θεωρία της σχετικότητας ΄Ετσιοι δυναμικές γραμμές δεν είναι πια κλειστές διπολικές αλλά ανοίγουν και πάνω σ΄ αυτές

εκρέει πλάσμα το οποίο έχει Vφ ≪ ϖΩ Η επιφάνεια ϖΩ = c λέγεται κύλινδρος φωτός


Η τελική επιτάχυνση του σωματίου δίνεται από (σε υψηλές ενέργειες οι

απώλειες λόγω ακτινοβολίας καμπυλότητας υπερισχύουν έναντι των υπολοί-

πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)

Η οριακή τιμή του παράγοντα Lorentz αντιστοιχεί σε dγdt = 0 δηλ

γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)

Το σωμάτιο λοιπόν θα δώσει ένα φωτόνιο (γ) Το φωτόνιο αυτό με τησειρά του αλληλεπιδρά με το μαγνητικό πεδίο και μπορεί να δώσει ένα ζεύ-

γος ηλεκτρονίου-ποζιτρονίου (γB rarr eminuse+B) Τα δύο νέα σωμάτια επιτα-χύνονται και δίνουν νέα φωτόνια κοκ Παρουσιάζεται λοιπόν φαινόμενο

χιονοστιβάδας το οποίο έχει ως αποτέλεσμα να γεμίσει η μαγνητόσφαιρα με

ηλεκτρόνια-ποζιτρόνια


85 Ασκήσεις

Ασκηση 81

΄Εστω ότι ένα φορτισμένο σωμάτιο μάζας m κινείται σε χώρο όπου υπάρχουνδιάσπαρτα κατανεμημένοι μαγνητικοί καθρέπτες οι οποίοι ανακλούν ελαστι-

κά το σωμάτιο Οι καθρέπτες κινούνται με ταχύτητα Vs ≪ c Θεωρήστε ότιτο σωμάτιο κινείται αρχικά με μη σχετικιστική ταχύτητα V Θεωρήστε ότι οιταχύτητες V και Vs έχουν ίδια διεύθυνση αλλά όχι απαραίτητα ίδια φορά

(α) Υπολογίστε τη διαφορά στην ενέργεια του σωματίου μετά από μία

κρούση

(β) Αφού βρείτε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε V Vs και V Vs υπολογίστε το μέσο κέρδος στην ενέργεια του σωματίου μετά από κάθε

κρούση

(γ) Επαναλάβατε τα προηγούμενα στην περίπτωση όπου η ταχύτητα V είναισχετικιστική

(δ) ΄Εστω L η μέση απόσταση μεταξύ των καθρεπτών Επίσης θεωρήστε ότιυπάρχει πλήθος σωματίων στην περιοχή των καθρεπτών το οποίο ndash λόγω της

διαφυγής κάποιων από τα σωμάτια ndash μειώνεται εκθετικά με χρόνο υποδι-

πλασιασμού td Δείξτε ότι τα σωμάτια που φεύγουν από αυτήν την περιοχή

έχουν ενέργειες με φάσμα έναν νόμο δύναμης του οποίου να βρείτε τον εκθέτη

Ασκηση 82

Δείξτε ότι στην περίπτωση όπου ένα σωμάτιο κινείται με ταχύτητα V και

ανακλάται ελαστικά από ένα μεγάλης μάζας σώμα που έχει ταχύτητα Vs η

ενέργειά του μετά την κρούση δίνεται από τη σχέση (81)

Στη συνέχεια δείξτε ότι η πιθανότητα σε μια κρούση η γωνία θ isin [0 π]μεταξύ Vs και V να είναι από θ ως θ+dθ είναι (12) [1 minus (Vsc) cos θ] sin θdθ(Θεωρήστε ότι το σωμάτιο έχει ταχύτητα V asymp c)Δείχνοντας πρώτα ότι η μέση τιμή lt cos θ gt είναι minusVs3c βρείτε το μέσοκέρδος σε ενέργεια lt ∆γγ gt μετά από μια κρούση στο όριο που Vs ≪ c

Ασκηση 83

Πλήθος σωματίων N0 με αρχική ενέργεια E0 επιταχύνεται σε ασυνέχεια ροής

Θεωρούμε ότι μετά από κάθε κύκλο η ενέργεια ενός σωματίου γίνεται ε επίτην ενέργεια που είχε στην αρχή του κύκλου με ε =σταθερά (μεγαλύτερητης μονάδας)

(α) Ποια η ενέργεια Ek σωματίων μετά από k κύκλους(β) Αν η πιθανότητα παραμονής σωματίου μετά από κάθε κύκλο είναι p μεp =σταθ πόσα σωμάτια συνεχίζουν να επιταχύνονται μετά από k κύκλους(και άρα αποκτούν ενέργεια μεγαλύτερη από Ek) Συγκεκριμένα δείξτε ότι

N(gt E) = N0 (EE0)minuss+1με s = 1 minus ln p ln ε Ποιος είναι ο εκθέτης του

νόμου δύναμης του ενεργειακού φάσματος που παράγεται Δείξτε ότι στο

85 Ασκήσεις 107

όριο p asymp 1minus ε asymp 1+

ο εκθέτης του νόμου δύναμης είναι 1 + (1 minus p)(ε minus 1)(γ) ΄Εστω ότι η πιθανότητα παραμονής σωματίου μετά από κάθε κύκλο pδεν είναι σταθερή αλλά μειώνεται όσο η ενέργεια αυξάνει Θεωρούμε ότι

η μείωση αυτή περιγράφεται από νόμο δύναμης δηλ ότι η πιθανότητα ένα

σωμάτιο που έχει ήδη κάνει k minus 1 κύκλους να μείνει στην περιοχή της επι-τάχυνσης εκτελώντας τον k κύκλο δίδεται από τη σχέση pk = gEq

k όπου g

και q θετικές σταθερές Δείξτε ότι N(gt E) = N0 (EE0)minus[sminus1+r ln(EE0)]με

s = 1 minus q2 minus ln(gEq0) ln ε r = q(2 ln ε) Ποιο είναι το ενεργειακό φάσμα

dNdE σε αυτήν την περίπτωση Σκεπτόμενοι ότι οι λογάριθμοι αλλάζουνπολύ αργά σε σχέση με τις δυνάμεις απλοποιήστε τη σχέση που δίνει το

φάσμα και συμπεράνετε ότι το φάσμα είναι νόμος δύναμης με μεταβλητό

εκθέτη

(δ) ΄Εστω ότι η πιθανότητα παραμονής σωματίου μένει σταθερή για μικρές

τιμές της ενέργειας E ≪ Ec ενώ μειώνεται για μεγαλύτερες τιμές Αυτό

μπορεί να περιγραφεί με τη σχέση pk = g [1 + (EkEc)q] Συνδυάζοντας τιςαπαντήσεις στα (β) (γ) και χωρίς να κάνετε πράξεις ποιο περιμένετε να

είναι το φάσμα

Ασκηση 84

(α) Περιγράψτε ποιοτικά την επιτάχυνση φορτισμένων σωματίων στην περί-

πτωση ολίσθησης πάνω σε επιφάνεια ασυνέχειας η οποία κινείται κάθετα σε

μαγνητικό πεδίο

(β) ΄Εστω ότι το πάχος της ασυ-

νέχειας είναι L και το μαγνητι-κό πεδίο αλλάζει μέσα σ΄ αυτήν

σύμφωνα με τη σχέση1B

= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x

L Δείξτε ότι η ενέρ-

γεια ενός σωματίου αυξάνει εκθε-

τικά με χρόνο υπερδιπλασιασμού

ta ln 2 όπου ta = 2L

V1 (1 minus B1B2)

Για την περίπτωση ισχυρής ασυνέχειας με B2B1 = 4 και L = 1 pc V1c =10minus4 σε πόσο χρόνο ένα ηλεκτρόνιο θα αποκτήσει ενέργεια 1015 eV

Υπόδειξη Σκεφτείτε πού οφείλεται η αύξηση της ενέργειας του σωματίου

(γ) Αν ο μέσος χρόνος παραμονής των σωματίων στην περιοχή της ασυνέ-

χειας είναι td (οπότε N(t)dt prop eminusttddt) δείξτε ότι το πλήθος των σωμα-τίων που φεύγοντας έχουν αποκτήσει ενέργεια από E έως E + dE είναιprop Eminus1minustatddE Δίνεται c = 3 times 1010cm sminus1 1 pc = 3 times 1018 cm και ότι η αγωγιμότητατου υλικού είναι πρακτικά άπειρη Επίσης η ολίσθηση laquoηλεκτρικού πεδίουraquo


VE = cE times BB2και η ολίσθηση που προέρχεται από ανομοιογένεια μαγνη-

τικού πεδίου VnablaB = minus(cp2perp2qmγB3)nablaB times B

Ασκηση 85

΄Εστω ένα μαγνητισμένο νέφος που κινείται με ταχύτητα V Αν το υλικό τουνέφους παρουσιάζει άπειρη αγωγιμότητα ποια η σχέση μεταξύ ηλεκτρικού

(E) και μαγνητικού (B) πεδίουΦορτίο q κινείται με μη-σχετικιστική ταχύτητα w στην περιοχή του νέφους

Δείξτε ότι η εξίσωση κίνησης γράφεταιdw

dt= q

m

w minus V

ctimes B

Δείξτε ότι ο ρυθμός αύξησης της ενέργειας του φορτίου είναι qV middot(

w

ctimes B

)

δηλ σχετίζεται με το έργο της δύναμης που ασκεί το φορτίο στο νέφος

Δείξτε ότι το προηγούμενο συμπέρασμα παραμένει ίδιο και στην περίπτωση

σχετικιστικής κίνησης του φορτίου

Ασκηση 86

(α) Ποια η διαφορά μεταξύ των μηχανισμών επιτάχυνσης Fermi πρώτης καιδεύτερης τάξης

(β) Πώς υλοποιείται ο μηχανισμός δεύτερης τάξης σύμφωνα με την αρχική

ιδέα του Fermi και ποια είναι τα μειονεκτήματά του στο να εξηγήσει παρα-τηρήσεις

(γ) Περιγράψτε ποιοτικά πώς υλοποιείται ο μηχανισμός επιτάχυνσης Fermiπρώτης τάξης σε ασυνέχειες ροής πλάσματος

(δ) Πλήθος σωματίων N0 με αρχική ενέργεια E0 επιταχύνεται σε ασυνέχεια

ροής Αν μετά από κάθε κύκλο η ενέργεια ενός σωματίου αυξάνει κατά

∆E = nE με n = σταθ ποια η ενέργειά του μετά από k κύκλους Αν ηπιθανότητα διαφυγής σωματίου μετά από κάθε κύκλο είναι P πόσα σωμάτιασυνεχίζουν να επιταχύνονται μετά από k κύκλους Ποιος είναι ο εκθέτης τουνόμου δύναμης του ενεργειακού φάσματος που παράγεται Δείξτε ότι στο

όριο P ≪ 1 n ≪ 1 ο εκθέτης του νόμου δύναμης είναι 1 + Pn

Ασκηση 87

(α) Περιγράψτε την επιτάχυνση σωματίων στις μαγνητόσφαιρες των pulsarsόπου το μαγνητικό πεδίο έχει δυναμικές γραμμές με ακτίνα καμπυλότητας Rκαι υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο E παράλληλα στις δυναμικές γραμμές του BΠοια η μέγιστη τιμή του παράγοντα Lorentz που αποκτούν τα σωμάτια(β) ΄Εστω ότι οι δυναμικές γραμμές του B είναι ακτινικές (οπότε R = infin)Αφού σκεφτείτε σε ποιο μηχανισμό ακτινοβολίας οφείλονται τώρα οι απώ-

λειες γράψτε τη διαφορική εξίσωση για τον παράγοντα Lorentz και βρείτε τημέγιστη τιμή του


(Δίδεται η σχέση Larmor P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

)για την ακτινοβολία από

ένα φορτίο q)

Ασκηση 88

Στη γειτονιά μιας μελανής οπής με μάζα M = M8 times 108M⊙ και σε απο-

στάσεις r = r1rS (όπου rS = 2GMc2η ακτίνα Schwarzschild) το υλικό του

δίσκου προσαύξησης περιστρέφεται κεπλεριανά

(α) Αν στην περιοχή αυτή υπάρχει μαγνητικό πεδίο B4 times 104G ποιο το ηλε-κτρικό πεδίο

(β) Ποια η μέγιστη ενέργεια γmaxmc2που αποκτούν σωμάτια φορτίου q = q1e

και μάζας m = m1mp σ΄ αυτήν την περιοχή αν η ακτίνα καμπυλότητας του

πεδίου B είναι R = R1r Εξαρτάται το αποτέλεσμα από τη μάζα του σωμα-τίου

(γ) Δείξτε ότι ο χρόνος που απαιτείται για την επιτάχυνση σε γmax εί-

ναι sim γmaxmcqE και υπολογίστε τον στην περίπτωση ενός πρωτονίου ότανr1 = R1 = B4 = M8 = 1(δ) Για δεδομένα r1 = R1 = B4 = M8 = 1 πώς θα μπορούσαμε να πά-ρουμε σωμάτια με ενέργεια 1020eV Πόσος χρόνος θα χρειαζόταν γι΄ αυτήντην επιτάχυνση και πόση απόσταση διανύει το φορτίο σε αυτόν τον χρόνο

Συγκρίνετε αυτήν την απόσταση με την ακτίνα Schwarzschild και συμπερά-νετε αν είναι καλή προσέγγιση να θεωρούμε το πεδίο E σταθερόΔίδεται η σχέση Larmor για την ακτινοβολία από ένα φορτίο q

P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) Επίσης e = 48 times 10minus10 esu c = 3 times 1010cm sminus1

G = 667 times 10minus8 cm3gminus1sminus2 M⊙ = 2 times 1033g mp = 167 times 10minus24g 1eV=16 times10minus12ergs

Ασκηση 89

Πλήθος σωματίων N0 με αρχική ενέργεια E0 επιταχύνεται σε ωστικό κύμα


(α) Ποια η ενέργεια Ek σωματίων μετά από k κύκλους(β) Αν η πιθανότητα παραμονής σωματίου μετά από κάθε κύκλο είναι p μεp = σταθ πόσα σωμάτια συνεχίζουν να επιταχύνονται μετά από k κύκλους(και άρα αποκτούν ενέργεια μεγαλύτερη από Ek) Συγκεκριμένα δείξτε ότι




ο εκθέτης είναι 1 + (1 minus p)(ε minus 1)(γ) Σε ένα ωστικό κύμα επιταχύνονται ηλεκτρόνια Θεωρήστε γνωστό ότι


ο χρόνος που χρειάζεται ένα ηλεκτρόνιο για να αποκτήσει ενέργεια E είναιtacc = 4cηE3V 2

sheB όπου Vsh η ταχύτητα του ωστικού κύματος B το μαγνη-τικό πεδίο στην περιοχή επιτάχυνσης και η μια σταθερά Λαμβάνοντας υπόψητην ακτινοβολία σύγχροτρον (αφού τα ηλεκτρόνια βρίσκονται μέσα σε μαγνη-

τικό πεδίο ακτινοβολούν) υπολογίστε τη μέγιστη ενέργεια Emax που μπορούν

να αποκτήσουν Υπόδειξη Βρείτε πρώτα το πόσος χρόνος απαιτείται για

να ακτινοβολήσει ένα ηλεκτρόνιο όλη του την ενέργεια χρησιμοποιώντας τη

σχέση Esyn = (43)σTcUB(Emc2)2

Γνωρίζοντας ότι ηλεκτρόνια ενέργειας E εκπέμπουν φωτόνια ενέργειας hνsyn =mc2(Emc2)2(BBcr) όπου Bcr = 2πm2c3eh ποια η μέγιστη συχνότητατου φάσματος που εκπέμπεται

Ασκηση 810

(α) Η επιτάχυνση Fermi δεύτερης τάξης οδηγεί σε ενεργειακό φάσμα propEminus1minustatddE όπου ta = 3cL4V 2

s Ποιο το μηχανικό της ανάλογο και τι

σημαίνουν τα διάφορα σύμβολα των προηγούμενων σχέσεων Μπορούν να

επιταχυνθούν ουδέτερα σωμάτια με αυτόν τον μηχανισμό Ποια τα μειονε-

κτήματα του μηχανισμού αυτού Ποια η βελτιωμένη έκδοση του μηχανισμού

Fermi (Αναφέρατε μόνο το μηχανικό της ανάλογο)(β) Μια πιθανή υλοποίηση της

επιτάχυνσης Fermi πρώτης τά-ξης μπορεί να λαμβάνει χώρα

σε περιοχές μαγνητικής επανα-

σύνδεσης (magnetic reconnection)Στο φαινόμενο αυτό δυο μέρη

μαγνητισμένου πλάσματος ndash με

μαγνητικό πεδίο αντίθετης φοράς

ndash κινούνται το ένα προς το άλλο

με μακροσκοπική ταχύτητα Vin

Στο σχήμα τα δυο αυτά μέρη είναι το πάνω και το κάτω Η επανασύνδεση

συμβαίνει μέσα στην κεντρική περιοχή (κεντρικό σκιασμένο ορθογώνιο στο

σχήμα) και το πλάσμα εξέρχεται από τις μικρότερες πλευρές του ορθογω-

νίου (δεξιά και αριστερά στο σχήμα) με μακροσκοπική ταχύτητα Vout ΄Ενα

σχετικιστικό σωμάτιο που βρίσκεται στο πάνω μέρος και κινείται προς το

κάτω βλέπει το κάτω μέρος σαν ένα νέφος που πλησιάζει Κατά συνέπεια

μετά την ανάκλαση από αυτό θα κερδίσει ενέργεια Στη συνέχεια όντας

μέσα στο κάτω μέρος θα βλέπει το πάνω μέρος σαν ένα νέφος που επίσης

πλησιάζει κερδίζοντας ξανά ενέργεια μετά την ανάκλαση Οι de Gouveiadal Pino amp Lazarian (2005 AampA 441 845) υπολόγισαν ότι μετά από κάθεκύκλο το σωμάτιο κερδίζει ενέργεια ∆E = (83)(Vinc)E όπου E η ενέργειαστην έναρξη του κύκλου ενώ η πιθανότητα διαφυγής του σωματίου από την


περιοχή επανασύνδεσης σε κάθε κύκλο είναι 4(Vinc)Ποιος ο εκθέτης του παραγόμενου ενεργειακού φάσματος Ποια η προσεγγι-

στική του τιμή αν Vin ≪ c

Ασκηση 811

(α) Πλήθος σωματίων N0 με αρχική ενέργεια E0 επιταχύνεται σε ωστικό

κύμα Μετά από κάθε κύκλο η ενέργεια ενός σωματίου γίνεται ε επί τηνενέργεια που είχε στην αρχή του κύκλου με ε = 1 + (43)(1 minus 1r)(Vsc)όπου Vs η ταχύτητα του ωστικού κύματος και r ο λόγος συμπίεσης Γιαισχυρά ωστικά κύματα (στα οποία η ταχύτητα Vs είναι πολύ μεγαλύτερη

από την ταχύτητα διάδοσης κυμάτων μέσα στο ρευστό) ο λόγος συμπίεσης

είναι r = (Γ+1)(Γminus1) όπου Γ ο πολυτροπικός δείκτης (Γ = 1+2f όπου fτο πλήθος των βαθμών ελευθερίας) Η πιθανότητα παραμονής σωματίου μετά

από κάθε κύκλο είναι p = 1minus(4r)(Vsc) Δείξτε ότι το πλήθος των σωματίωνπου αποκτούν ενέργεια μεγαλύτερη από E είναι N(gt E) = N0 (EE0)minuss+1

με s = 1minusln p ln ε Ποιος είναι ο εκθέτης του νόμου δύναμης του ενεργειακούφάσματος που παράγεται Ποια η προσεγγιστική τιμή του σαν συνάρτηση

του Γ αν Vs ≪ c(β) Το ωστικό κύμα ενός υπερκαινοφανούς κινείται με ταχύτητα vs = 104km sminus1

μέσα στον μεσοαστρικό χώρο για τον οποίο υποθέτουμε πυκνότητα ένα

άτομο υδρογόνου ανά cm3 θερμοκρασία T = 104Κ και μαγνητικό πεδίο

B = 3 μG Μπορεί να θεωρηθεί το ωστικό κύμα ισχυρό (Λάβετε υπόψη τακύματα ήχου με ταχύτητα cs =

radicΓPρ και τα κύματα Alfveacuten με ταχύτητα

vA = Bradic

4πρ) Ποιος ο εκθέτης του ενεργειακού φάσματος των κοσμικώνακτίνων που προέρχονται από τον υπερκαινοφανή (Θεωρήστε μονατομικό

αέριο)

Δίνεται η μάζα του πρωτονίου 1(6023times1023) g και η σταθερά του BoltzmannkB = 138 times 10minus16 (cgs)

Ασκηση 812

(α) Περιγράψτε την επιτάχυνση σωματίων σε υψηλές ενέργειες από μεταβολές

δυναμικού στη μαγνητόσφαιρα αστέρων νετρονίων Ποιος ο ρυθμός αύξησης

του παράγοντα Lorentz Υπολογίστε τον αριθμητικά για ηλεκτρόνια (me =91times10minus28g e = 48times10minus10cgs) που επιταχύνονται σε αστέρα με R = 106cmB = 1012G και Ω = 200 rad sminus1(β) Μέχρι πότε συνεχίζεται η αύξηση του παράγοντα Lorentz Αναφέρατετρεις λόγους που μπορούν να σταματήσουν την επιτάχυνση και σχολιάστε

ποιος είναι ο κυρίαρχος και γιατί Ποια η μέγιστη τιμή του παράγοντα

LorentzΔίνεται P = 2

3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

)και c = 3 times 1010 cm sminus1


Ασκηση 813

(α) Σε ποια από τις γνωστές μορφές δύναμης στη φύση οφείλεται η επιτά-

χυνση Fermi(β) Ποιο το μηχανικό ανάλογο της δεύτερης τάξης επιτάχυνσης Fermi(γ) Μπορεί η δεύτερης τάξης επιτάχυνση Fermi να εξηγήσει το φάσμα τωνκοσμικών ακτίνων

Ασκηση 814

(α) Πού οφείλονται οι ελαστικές ανακλάσεις που είναι απαραίτητες για την

υλοποίηση του μηχανισμού επιτάχυνσης τύπου FermiΠώς συνδέεται η έκταση στην

οποία αλλάζει φορά η ταχύτητα

με την ενέργεια των σωματίων Eκαι το μαγνητικό πεδίο B Δείξτεότι αν το μέγεθος της περιοχής

επιτάχυνσης είναι R η μέγιστη

ενέργεια που μπορεί να αποκτή-

σει ένα ιόν με φορτίο Ze εί-

ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times

1018eV ΄Ετσι προκύπτει το διά-γραμμα του Hillas (Hillas A M1984 ARAampA 22 425) στοοποίο φαίνονται οι πιθανοί τόποι

επιτάχυνσης σε δεδομένη ενέρ-

γεια E Μέχρι ποιας ενέργειας πρωτόνια

μπορούν να επιταχυνθούν σε υπο-

λείμματα υπερκαινοφανών (SNR)(1 EeV=1018 eV 1 ZeV=1020 eV)

Δίδονται 1 pc = 3 times 1018cm e = 48 times 10minus10cgs 1 eV= 16 times 10minus12ergs(β) Δείξτε ότι και στην περίπτωση που ένα φορτίο Ze επιταχύνεται από ηλε-κτρικό πεδίο σε μαγνητόσφαιρα κάποιου αστρικού αντικειμένου η μέγιστη

ενέργεια δίνεται από μια παρόμοια σχέση Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times

1018eV όπου R η ακτίνα και Ω η γωνιακή ταχύτητα του αντικειμένου (Θεω-ρήστε ότι και η μαγνητόσφαιρα έχει ίδια διάσταση R)


Ασκηση 815

(α) Περιγράψτε περιληπτικά την επιτάχυνση Fermi σε μια ισχυρή ασυνέχειαροής ΄Εστω αρχικά έχουμε πρωτόνια με θερμική κατανομή θερμοκρασίας

T ≪ mpc2kB Ποια η ενέργεια κάθε σωματίου μετά από n περάσματα απότην ασυνέχεια (δηλ n2 κύκλους)(β) Οι Muranushi T amp Inutsuka S (2009ApJ 691 L24) προσομοίωσαν την επιτά-χυνση πρωτονίων σε ένα ωστικό κύμα Δί-

πλα βλέπετε την ενέργεια των σωματίων

συναρτήσει του αριθμού περασμάτων από

την ασυνέχεια Οι γραμμές δείχνουν την

πορεία κάθε σωματίου ενώ η εστιγμένη

γραμμή δείχνει τη μέση κλίση των γραμ-

μών αυτών

Συμφωνούν τα αποτελέσματα αυτά με τη θεωρία της επιτάχυνσης FermiΤι μπορούμε να βρούμε από την κλίση της εστιγμένης γραμμής (Δώστε το

σχετικό αποτέλεσμα)

Ασκηση 816

Ηλεκτρόνια επιταχύνονται στις μαγνητόσφαιρες των pulsars λόγω της ύπαρ-ξης ηλεκτρικού πεδίου με μη-μηδενική συνιστώσα E∥ πάνω στην ταχύτητα

των φορτίων cβ (με β asymp 1) Θεωρούμε ότι η επιτάχυνση λαμβάνει χώρατοπικά δηλ οι τιμές του ηλεκτρικού πεδίου (E∥) του μαγνητικού πεδίου Bκαι της καμπυλότητας R των δυναμικών γραμμών του πεδίου B παραμένουνπρακτικά σταθερές όσο το φορτίο επιταχύνεται

(α) Υπολογίστε τον χρόνο ta = γ

(dγ

dt

)minus1

aστον οποίο ο παράγοντας Lorentz

κάποιου ηλεκτρονίου γίνεται γ(β) Λόγω του μαγνητικού πεδίου το ηλεκτρόνιο επιταχύνεται ndash και άρα ακτι-

νοβολεί ndash με δυο τρόπους

(β1) Ακτινοβολία καμπυλότητας δημιουργείται αν το ηλεκτρόνιο κινείται κυρίως

κατά μήκος τουB λόγω της καμπυλότητας της τροχιάςR Αν ο παράγοντας

Lorentz του φορτίου είναι γ υπολογίστε τον χρόνο tc = γ

∣∣∣∣∣dγ

dt

∣∣∣∣∣minus1

cστον οποίο

ακτινοβολείται όλη η ενέργεια του φορτίου μέσω της ακτινοβολίας καμπυλό-

τητας Δίδεται ο ρυθμός ελάττωσης της ενέργειας φορτίου e που ακτινοβολείλόγω επιτάχυνσης cβ (2e23c)γ6

[(β)2 minus (β times β)2

](σχέση Larmor)

(β2) Ακτινοβολία σύγχροτρον δημιουργείται λόγω της ταχύτητας cβperp κάθετα

στο μαγνητικό πεδίο Υπολογίστε τον χρόνο ts στον οποίο το φορτίο χάνει

όλη την ενέργειά του (γmc2) λόγω ακτινοβολίας σύγχροτρον Δίδεται για την


κίνηση ηλεκτρονίου σε μαγνητικό πεδίο β = e

mγcβ timesB με μέτρο β = eBβperp

mγc

(γ) Στις μαγνητόσφαιρες η επιτάχυνση λόγω ηλεκτρικού πεδίου δημιουργεί

κίνηση κυρίως κατά μήκος του πεδίου B οπότε η κυρίαρχη επιτάχυνση οφεί-λεται στην καμπυλότητα R Αν B = 106 G E∥ = B R = 108 cm (δίνονταιεπίσης e = minus48 times 10minus10 m = 91 times 10minus28 c = 3 times 1010 όλα σε μονάδες cgs)βρείτε τους χρόνους ta και tc σαν συναρτήσεις του παράγοντα Lorentz γ καισχεδιάστε τους σε διάγραμμα log γ ndash log t Με τη βοήθεια του διαγράμμα-τος αυτού βρείτε τον μέγιστο παράγοντα Lorentz και τον χρόνο επιτάχυνσηςΕίναι δικαιολογημένη η υπόθεση της τοπικής επιτάχυνσης

(δ) Πόση πρέπει να είναι το πολύ η συνιστώσα της ταχύτητας κάθετα στο

μαγνητικό πεδίο cβperp ώστε οι απώλειες σύγχροτρον να είναι πράγματι αμελη-

τέες (Το ερώτημα αφορά μαγνητόσφαιρα με τα χαρακτηριστικά του προη-

γούμενου ερωτήματος)

Ασκηση 817

΄Εστω μία κυλινδρική εκροή ακτίνας ϖj στην οποία η ταχύτητα έχει σταθε-

ρή διεύθυνση παράλληλη στον άξονα συμμετρίας αλλά όχι σταθερό μέτρο

v = v(ϖ)z Αν υπάρχουν ανομοιογένειες στο μαγνητικό πεδίο της εκροήςσωματίδια που κινούνται μεταξύ στρωμάτων με διαφορετικές μακροσκοπικές

ταχύτητες θα επιταχύνονται κατά Fermi(α) Τι τάξης θα είναι η επιτάχυνση Fermi πρώτης ή δεύτερης(β) Οι Rieger amp Duffy 2004 ApJ 617 155 υπολόγισαν ότι αν ο παράγονταςLorentz ελαττώνεται γραμμικά από γb στον άξονα (ϖ = 0) σε asymp 1 στην

επιφάνεια του κυλίνδρου (ϖ = ϖj) ο χρόνος επιτάχυνσης είναι tacc =3ϖ2

j

γ4b λc

όπου λ asymp rg η μέση ελεύθερη διαδρομή ίση περίπου με την ακτίνα Larmorrg asymp γmc2|q|Bco Θεωρώντας |q| = e δείξτε ότι οι απώλειες σύγχροτρον

δεν είναι σημαντικές για ϖj lt 01γ2b

(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc

Δίνεται ο χρόνος για την ψύξη σύγχροτρον tsyn = 9m3c5

4q4B2coγ

(γ) Ποια η μέγιστη ενέργεια που αποκτούν πρωτόνια επιταχυνόμενα στη ροή

αν ϖj = 10 pc Bco = 10minus2 G και γb = 10 Αλλάζει αυτό το αποτέλεσμα αναντί πρωτονίων επιταχύνονται ηλεκτρόνια ή πυρήνες σιδήρου

Δίνονται οι σταθερές e = 48 times 10minus10 mp = 91 times 10minus28 c = 3 times 1010 1 pc= 3 times 1018 1 eV = 16 times 10minus12 όλες σε μονάδες cgs


Ασκηση 818

(α) Τι θερμοκρασία θα έπρεπε να έχει μια αστροφυσική πηγή ώστε να μπο-

ρεί (σε ένα υποθετικό σενάριο) να επιταχύνει θερμικά πυρήνες σιδήρου σε

ενέργεια 1020eV(β) Θα μπορούσαν οι κοσμικές ακτίνες που φτάνουν στη γη να έχουν επιτα-

χυνθεί βαρυτικά

(γ) Μπορούν πρωτόνια ενέργειας 1018eV να έχουν επιταχυνθεί σε υπόλειμμαυπερκαινοφανούς διαστάσεων 2 pc στο οποίο το μαγνητικό πεδίο είναι B asymp10minus6 G(δ) Δώστε ένα απλό μηχανικό ανάλογο της επιτάχυνσης Fermi πρώτης τά-ξης Αναλύστε το ανάλογο αυτό βρίσκοντας το μέσο ενεργειακό κέρδος ανά

κύκλο

Δίδονται 1 pc = 3times1018 e = 48times10minus10 1 eV= 16times10minus12 kB = 138times10minus16όλα στο Gauss σύστημα μονάδων

Ασκηση 819


κύμα Μετά από κάθε κύκλο η ενέργεια κάθε σωματίου αυξάνεται γεωμε-

τρικά με λόγο ε = 1 + (43)(1 minus 1r)(Vc) όπου V η ταχύτητα του ωστικούκύματος και r ο λόγος συμπίεσης ο οποίος για ισχυρά ωστικά κύματα εί-ναι r = 4 Η πιθανότητα παραμονής σωματίου μετά από κάθε κύκλο είναιp = 1 minus (4r)(Vc) Δείξτε ότι το πλήθος των σωματίων που αποκτούν ενέρ-γεια μεγαλύτερη από E είναι N(gt E) = N0 (EE0)minuss+1

με s = 1minus ln p ln εΠοιος είναι ο εκθέτης του νόμου δύναμης του ενεργειακού φάσματος που

παράγεται Ποια η προσεγγιστική τιμή του αν V ≪ c(β) Το ωστικό κύμα ενός υπερκαινοφανούς κινείται με ταχύτητα 104km sminus1

μέσα στον μεσοαστρικό χώρο για τον οποίο υποθέτουμε πυκνότητα 1 cmminus3θερμοκρασία 104

Κ και μαγνητικό πεδίο 3 μG Μπορεί να θεωρηθεί το ωστικόκύμα ισχυρό (Λάβετε υπόψη τα κύματα ήχου με ταχύτητα cs =

radicΓPρ

Γ = 53 και τα κύματα Alfveacuten με ταχύτητα vA = Bradic

4πρ) Ποιος ο εκθέτηςτου ενεργειακού φάσματος των κοσμικών ακτίνων που επιταχύνονται στον

υπερκαινοφανή Εμείς θα παρατηρήσουμε αυτό το φάσμα από τη Γη

Δίνεται η μάζα του πρωτονίου 1(6023 times 1023) g και η σταθερά του Boltz-mann kB = 138 times 10minus16 (cgs)

Ασκηση 820

(α) Σωματίδια επιταχύνονται σε κάποιο αστροφυσικό περιβάλλον με τρόπο

ώστε η ενέργειά τους να αυξάνεται σαν μια δύναμη του χρόνου E prop tn

Αν το πλήθος των σωματιδίων που συνεχίζουν να επιταχύνονται μετά από

χρόνο t ελαττώνεται σαν N prop tminusmδείξτε ότι το ενεργειακό φάσμα που


παρατηρούμε είναι νόμος δύναμης και βρείτε τον εκθέτη

(β) Αλλάζει το φάσμα αν E prop fnκαιN prop fminusm

όπου f είναι μια οποιαδήποτεσυνάρτηση του χρόνου Ποια είναι η f(t) που αντιστοιχεί στην επιτάχυνσηFermi δεύτερης τάξης

Ασκηση 821

΄Εστω ένα σωμάτιο ενέργειας E κινείται σχετικιστικά με ταχύτητα V asymp cκαι ανακλάται ελαστικά από ένα μεγάλης μάζας σώμα που έχει ταχύτητα

Vs Θεωρήστε δεδομένο ότι η ενέργεια του σωματίου μετά την κρούση είναι

E + ∆E όπου ∆E = 2VsVs minus c cos θ

c2 minus V 2s

E και θ η γωνία μεταξύ Vs και V

(α) Στην 2ης τάξης επιτάχυνση Fermi η γωνία θ μπορεί να πάρει οποιαδήποτετιμή στο διάστημα [0 π] Δείξτε ότι η πιθανότητα να είναι στο διάστημααπό θ ως θ + dθ είναι

12c

(c minus Vs cos θ) sin θ dθ

Δείχνοντας πρώτα ότι η μέση τιμή lt cos θ gt είναι minusVs3c βρείτε το μέσοκέρδος σε ενέργεια lt ∆EE gt μετά από μια κρούση(β) Επαναλάβατε για την επιτάχυνση Fermi 1ης τάξης (Τι τιμές μπορεί ναπάρει η γωνία θ σε αυτή την περίπτωση)(γ) Αναφέρετε συνοπτικά πώς υλοποιούνται οι ελαστικές ανακλάσεις σε

αστροφυσικά συστήματα

Ασκηση 822

(α) Θέλουμε να εξετάσουμε ποιας ενέργειας κοσμικές ακτίνες επηρεάζονται

από το μαγνητικό πεδίο της ηλιόσφαιρας B sim 10 μG Βρείτε την ενέργειαπου αντιστοιχεί σε γυροακτίνα ίση με τη διάσταση της ηλιόσφαιρας L sim 100AU(β) ΄Ομοια για το μεσοαστρικό χώρο με χαρακτηριστική διάσταση L sim 100pc και μαγνητικό πεδίο B sim 5 μG(γ) Εκτιμήστε τη μέγιστη ενέργεια φορτισμένων σωματίων που επιταχύνονται

στις μαγνητόσφαιρες των pulsars (χωρίς να λάβετε υπόψη κανένα μηχανισμόακτινοβολίας) Τυπικά μεγέθη για τους αστέρες αυτούς είναι μαγνητικό

πεδίο 1012 G ακτίνα 10 km και περίοδος περιστροφής 01 s Μπορούν ναεπιταχύνονται οι κοσμικές ακτίνες στις μαγνητόσφαιρες αυτές

Δίνεται 1 AU = 15 times 1013 cm 1 pc = 3 times 1018 cm e = 48 times 10minus10 cgs 1 eV= 16 times 10minus12 cgs

86 Βιβλιογραφία

Fermi E (1949) ldquoOn the Origin of the Cosmic Radiationrdquo Physical Review75 1169

86 Βιβλιογραφία 117

Longair M S (2011) High Energy Astrophysics Cambridge University Press(3rd edition)

Choudhuri A R (1998) The Physics of Fluids and Plasmas An introduc-tion for astrophysicists Cambridge University Press

Chiuderi C amp Einaudi G (eds) (1996) Plasma Astrophysics Springer

Jackson J D (1998) Classical Electrodynamics John Wiley amp Sons Inc


μαγνητικές δυνάμεις μπορούν να επιταχύνουν σωμάτια σε μεγάλες ενέργειες

Η ενέργεια που αποκτά ένα σωμάτιο εξαρτάται από το φορτίο του Ας

σκεφτούμε για παράδειγμα ένα πρωτόνιο ένα νετρόνιο και ένα σωμάτιο άλφα

να βρίσκονται μέσα σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο Ποιο θα αποκτήσει μεγαλύ-

τερη ενέργεια Βέβαια το σωμάτιο άλφα διότι έχει μεγαλύτερο φορτίο (ανε-

ξάρτητα του γεγονότος ότι λόγω της μεγαλύτερης αδράνειάς του θα κινηθεί

δυσκολότερα) Μικρότερη ενέργεια θα πάρει το πρωτόνιο και τελευταίο στη

σειρά θα είναι το ουδέτερο νετρόνιο

Ας σκεφτούμε ένα φορτίο να μπαίνει σε χώρο με στατικό (χρονοαμετά-

βλητο) μαγνητικό πεδίο και μηδενικό ηλεκτρικό πεδίο Το φορτίο θα εκτε-

λέσει ελικοειδή κίνηση στην οποία η ταχύτητά του αλλάζει διεύθυνση αλλά

όχι μέτρο άρα η ενέργεια παραμένει αμετάβλητη Αν όμως το μαγνητικό

πεδίο κινείται Αφού η ενέργεια του φορτίου είναι σταθερή στο κινούμενο

σύστημα θα έχουμε μετατόπιση Doppler στο ακίνητο σύστημα αναφοράς΄Ετσι laquoκινούμεναraquo μαγνητικά πεδία μπορούν να αυξήσουν την ενέργεια ενός

φορτίου Ακόμα κι αν στο κινούμενο σύστημα υπάρχει μόνο μαγνητικό πεδίο

(και μηδενικό ηλεκτρικό) στο σύστημα του εργαστηρίου υπάρχει ηλεκτρικό

πεδίο στο οποίο ουσιαστικά οφείλεται η αύξηση στην ενέργεια του φορ-

τίου Αλλος τρόπος να αυξήσουμε την ενέργεια ενός φορτίου είναι βέβαια η

άμεση επιτάχυνση λόγω ηλεκτρικού πεδίου ΄Ετσι κάποια πτώση δυναμικού

ή σκέδαση Compton μπορεί να επιταχύνει φορτίαΣυνοψίζοντας ο μόνος τρόπος να έχουμε φωτόνια υψηλής ενέργειας είναι

αυτά να παράγονται χρησιμοποιώντας ενέργεια σωματιδίων τα οποία με

τη σειρά τους έχουν επιταχυνθεί είτε σε κινούμενα μαγνητικά πεδία είτε σε

ηλεκτρικά πεδία

Στη συνέχεια θα περιγράψουμε συγκεκριμένους μηχανισμούς επιτάχυνσης

αυτού του τύπου με απώτερο σκοπό να προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε το

παρατηρούμενο φάσμα σωματιδίων υψηλής ενέργειας (πχ κοσμικών ακτί-

νων) το οποίο τυπικά είναι ένας νόμος δύναμης με εκθέτη 2ndash3 (εννοώντας ότι

ο αριθμός σωματίων με ενέργειες από E ως E +dE είναι N(E)dE prop EminusαdEμε α = 2 minus 3) Τα φάσματα εκτείνονται σε πολύ μεγάλες ενέργειες πχκοσμικές ακτίνες έχουν παρατηρηθεί μέχρι 3times1020eV όπως έχει ήδη αναφερ-θεί Σ΄ αυτήν λοιπόν την περίπτωση έχουμε επιτάχυνση ενός μικρού κλάσμα-

τος σωματίων σε υπερ-υψηλές ενέργειες ενώ περισσότερα σωματίδια έχουν

μικρότερες ενέργειες Ακόμα και στην περίπτωση που λαμβάνουμε ακτινο-

βολία υψηλών ενεργειών με φάσμα νόμο δύναμης τα σωματίδια που την

παράγουν μέσω επιτάχυνσης σε μαγνητικό πεδίο στην περίπτωση της ακτι-

νοβολίας σύγχροτρον ή μέσω αντίστροφου σκεδασμού Compton πρέπει ναέχουν ενεργειακό φάσμα νόμου δύναμης παραπλήσιο με αυτό των κοσμικών

ακτίνων όπως αποδείχθηκε στα κεφάλαια 534 και 63

Υπάρχουν επίσης ισχυρές ενδείξεις σε εκροές από ενεργούς γαλαξιακούς
















ματα















γprimeprime = γ

(1 + 2V 2


1 minus V 2s c2

) (81)



minus2V middot Vs

c2 + 2V 2s

c2

)γmc2 (82)














V minus Vs

2V= 8

(Vs

V

)2Ek (83)





η





dE

dt= ∆E

2Lc= E

ta


4V 2s

(84)
















2perp δεν




















ta = 38

2Lc

(Vsc)2 = 109(

L

1pc

)(Vs

10minus4c

)minus2yrs














































N

N0=(

E

E0


asymp(

E

E0









ενέργειας










VE = cE times B

B2 (86)























VnablaB = minuscp2

perp2mγB

nablaB times B

qB2 (87)














J

σ= E + V

ctimes B


ctimes B (88)



















B = B0

2R3

r3


) (89)




Ein = B0ΩR3

2c r2


) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)




3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ


] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)








dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822




























ματα















γprimeprime = γ

(1 + 2V 2


1 minus V 2s c2

) (81)



minus2V middot Vs

c2 + 2V 2s

c2

)γmc2 (82)














V minus Vs

2V= 8

(Vs

V

)2Ek (83)





η





dE

dt= ∆E

2Lc= E

ta


4V 2s

(84)
















2perp δεν




















ta = 38

2Lc

(Vsc)2 = 109(

L

1pc

)(Vs

10minus4c

)minus2yrs














































N

N0=(

E

E0


asymp(

E

E0









ενέργειας










VE = cE times B

B2 (86)























VnablaB = minuscp2

perp2mγB

nablaB times B

qB2 (87)














J

σ= E + V

ctimes B


ctimes B (88)



















B = B0

2R3

r3


) (89)




Ein = B0ΩR3

2c r2


) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)




3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ


] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)








dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822






















γprimeprime = γ

(1 + 2V 2


1 minus V 2s c2

) (81)



minus2V middot Vs

c2 + 2V 2s

c2

)γmc2 (82)














V minus Vs

2V= 8

(Vs

V

)2Ek (83)





η





dE

dt= ∆E

2Lc= E

ta


4V 2s

(84)
















2perp δεν




















ta = 38

2Lc

(Vsc)2 = 109(

L

1pc

)(Vs

10minus4c

)minus2yrs














































N

N0=(

E

E0


asymp(

E

E0









ενέργειας










VE = cE times B

B2 (86)























VnablaB = minuscp2

perp2mγB

nablaB times B

qB2 (87)














J

σ= E + V

ctimes B


ctimes B (88)



















B = B0

2R3

r3


) (89)




Ein = B0ΩR3

2c r2


) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)




3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ


] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)








dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822


















V minus Vs

2V= 8

(Vs

V

)2Ek (83)





η





dE

dt= ∆E

2Lc= E

ta


4V 2s

(84)
















2perp δεν




















ta = 38

2Lc

(Vsc)2 = 109(

L

1pc

)(Vs

10minus4c

)minus2yrs














































N

N0=(

E

E0


asymp(

E

E0









ενέργειας










VE = cE times B

B2 (86)























VnablaB = minuscp2

perp2mγB

nablaB times B

qB2 (87)














J

σ= E + V

ctimes B


ctimes B (88)



















B = B0

2R3

r3


) (89)




Ein = B0ΩR3

2c r2


) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)




3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ


] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)








dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822















2perp δεν




















ta = 38

2Lc

(Vsc)2 = 109(

L

1pc

)(Vs

10minus4c

)minus2yrs














































N

N0=(

E

E0


asymp(

E

E0









ενέργειας










VE = cE times B

B2 (86)























VnablaB = minuscp2

perp2mγB

nablaB times B

qB2 (87)














J

σ= E + V

ctimes B


ctimes B (88)



















B = B0

2R3

r3


) (89)




Ein = B0ΩR3

2c r2


) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)




3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ


] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)








dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822
















































N

N0=(

E

E0


asymp(

E

E0









ενέργειας










VE = cE times B

B2 (86)























VnablaB = minuscp2

perp2mγB

nablaB times B

qB2 (87)














J

σ= E + V

ctimes B


ctimes B (88)



















B = B0

2R3

r3


) (89)




Ein = B0ΩR3

2c r2


) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)




3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ


] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)








dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822




















VE = cE times B

B2 (86)























VnablaB = minuscp2

perp2mγB

nablaB times B

qB2 (87)














J

σ= E + V

ctimes B


ctimes B (88)



















B = B0

2R3

r3


) (89)




Ein = B0ΩR3

2c r2


) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)




3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ


] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)








dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822




























VnablaB = minuscp2

perp2mγB

nablaB times B

qB2 (87)














J

σ= E + V

ctimes B


ctimes B (88)



















B = B0

2R3

r3


) (89)




Ein = B0ΩR3

2c r2


) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)




3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ


] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)








dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822































B = B0

2R3

r3


) (89)




Ein = B0ΩR3

2c r2


) Vin = B0ΩR3

2c rsin2 θ + C (810)




3c) έχουμε

Eout = B0ΩR5

2c r4

[(1 minus 3 cos2 θ


] Vout = B0ΩR5

6c r3

(1 minus 3 cos2 θ

) (811)








dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822
















dγ

dt

)acc

= eE middot V

mc2 sim eE

mc (812)














d(γmc2)dt

= minus23

e2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥

) (813)




dγ

dt

)cr

asymp minus23

e2

mcR2 γ4 (814)


που ήδη







πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822
















πων)

dγ

dt=(

dγ

dt

)acc

+(

dγ

dt

)cr

= eE

mcminus 2

3e2

mcR2 γ4 (815)


γ =(

3ER2

2e

)14

= 7 times 107(

E

106 sV cmminus1

)14 ( R108cm

)12 (816)






85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822














85 Ασκήσεις

Ασκηση 81




κρούση


κρούση






Ασκηση 82





Ασκηση 83











k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822


















k όπου g





εκθέτη





Ασκηση 84







= 1B1

minus( 1B1

minus 1B2

)x





V1 (1 minus B1B2)








Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822
















Ασκηση 85




dt= q

m

w minus V

ctimes B


w

ctimes B

)




Ασκηση 86









Ασκηση 87





q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822















q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 88











P = 23

q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 89
















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822





















Ασκηση 810


























Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822
















Ασκηση 811












vA = Bradic


αέριο)


Ασκηση 812






3q2

c3 γ4(a2

perp + γ2a2∥



Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822














Ασκηση 813



Ασκηση 814








ναι Emax = Z

(R

kpc

)(B

10minus6G

)times








(R

kpc

)(B

10minus6G

)(RΩc

)times



Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822














Ασκηση 815








μών αυτών



Ασκηση 816




(dγ

dt

)minus1







∣∣∣∣∣dγ

dt













mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822
















mγc







Ασκηση 817






j

γ4b λc



(m

mp

)2 (Bco

1G

)minus32pc


4q4B2coγ





Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822














Ασκηση 818






κύκλο


Ασκηση 819








radicΓPρ





Ασκηση 820









Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822

















Ασκηση 821




c2 minus V 2s



12c




Ασκηση 822













Επιτάχυνση Σωματιδίων σε Υψηλές Ενέργειες 8.1...

Documents

Transcript of Επιτάχυνση Σωματιδίων σε Υψηλές Ενέργειες 8.1...