Ανάκλαση και Διάθλαση · 2016. 7. 21. · Ασύρματες Ζεύξεις...

Ασύρματες Ζεύξεις και Διάδοσηmdash8ο εξάμηνοmdashlaquoΑνάκλαση και Διάθλαση Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτωνraquo

1

Ανάκλαση και Διάθλαση Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτων

Γιώργος Φικιώρης

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Ε Μ Πολυτεχνείο

email gfikiecentuagr

Πολλοί τρόποι διάδοσης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σχετίζονται άμεσα με την

ανάκλαση και τη διάθλαση Αναφέρουμε ενδεικτικά τα τροποσφαιρικά και ιονοσφαιρικά

κύματα τα κύματα εδάφους καθώς και τη διάδοση σημάτων μέσω οπτικών ινών Στις

σημειώσεις αυτές συζητάμε με λεπτομέρεια το απλούστερο πρόβλημα στο οποίο

συμβαίνει ανάκλαση και διάθλαση αυτό της πρόσπτωσης επίπεδου κύματος στη

διαχωριστική επιφάνεια δύο διηλεκτρικών ημιχώρων Έπειτα συζητάμε πιο

προχωρημένα προβλήματα επεκτάσεις και εφαρμογές

1 Επίπεδα κύματα

Σε ό τι ακολουθεί αναφερόμαστε σε ηλεκτρομαγνητικά κύματα μίας συχνότητας

f (σε Hz) ενώ 2 f είναι η κυκλική συχνότητα (σε radsec) Ως συνήθως το

σύμβολο E παριστάνει τον φασιθέτη (ή φάσορα phasor) του διανύσματος του

ηλεκτρικού πεδίου με αντίστοιχη στιγμιαία τιμή Re j te E

Έστω ισοτροπικό μη-αγώγιμο μέσο με διηλεκτρική σταθερά και μαγνητική

διαπερατότητα Υπενθυμίζουμε ότι ένα επίπεδο κύμα (plane wave) οδεύον κατά τη

z κατεύθυνση έχει ηλεκτρικό πεδίο E που δίνεται από

( ) (0) jkzz eE E (1)

όπου ο κυματαριθμός k (wavenumber) είναι

k (2)

και όπου το πλάτος (0)E είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης δηλαδή

(0) zE (3)

Τονίζουμε ότι το πλάτος είναι για όλους τους χρόνους σταθερό Η ονομασία επίπεδο

κύμα οφείλεται στο ότι όπως προκύπτει από την (1) το πλάτος και η φάση του

ηλεκτρικού πεδίου είναι αναλλοίωτα σε οποιοδήποτε απέραντο επίπεδο που δίνεται από

τη σχέση z σταθερό Η σημασία των επιπέδων επιφανειών σταθερής φάσης καθώς και


2

η έννοια της κατεύθυνσης όδευσης z φαίνεται στο Σχήμα 1 όπου έχουμε σχεδιάσει το

Re ( ) | (0) | cos arg (0)j tE z e E t kz E ως συνάρτηση του z (laquoφωτογραφίαraquo)

για δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές 1t και 2t όπου 1 2t t Το σχήμα για 2t t είναι

απλώς το προγενέστερο μετατοπισμένο κατά την απόσταση 2 1( ) t t k γεγονός που

δηλώνει όδευση (χωρίς απόσβεση) της laquoφωτογραφίαςraquo με σταθερή ταχύτητα

1

k

(4)

0 1 2 3 4z

-1

-05

0

05

1

eR

Ez

pxe

jt

Σχήμα 1 laquoΦωτογραφίαraquo της στιγμιαίας τιμής του ηλεκτρικού πεδίου επίπεδου κύματος σε δύο χρονικές

στιγμές Η μεταγενέστερη φωτογραφία ( 2t t ) είναι η αρχική ( 1t t ) μετατοπισμένη προς τα δεξιά κατά

απόσταση 2 1 2 1( ) ( )t t k t t v

Η ταχύτητα αυτή ονομάζεται ταχύτητα φάσης (phase velocity) Το αντίστοιχο

μαγνητικό πεδίοmdashπου μπορεί να βρεθεί αμέσως από τις εξισώσεις του Maxwellmdash

προκύπτει κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης και επίσης κάθετο στο ηλεκτρικό πεδίο

Αυτά απεικονίζονται στο Σχήμα 2


3

Σχήμα 2 Η διεύθυνση διάδοσης το ηλεκτρικό πεδίο και το μαγνητικό πεδίο ενός επίπεδου κύματος είναι

ανά δύο κάθετα μεταξύ τους

Συμβολίζουμε ως συνήθως το διάνυσμα θέσης με r οπότε ˆ ˆ ˆx y z r x y z

όπου ˆ ˆ ˆ x y z τα μοναδιαία διανύσματα Με αλλαγή του συστήματος συντεταγμένων

προκύπτει αμέσως από τα παραπάνω ότι ένα ηλεκτρικό πεδίο της μορφής

( ) ( ) je k rE r E 0 (5)

όπου το κυματοδιάνυσμα ˆ ˆ ˆx y zk k k k x y z (wave vector) έχει μέτρο k που δίνεται

από

2 2 2

x y zk k k k (6)

και όπου το πλάτος ( )E 0 είναι κάθετο στο κυματοδιάνυσμα δηλαδή

( ) 0 E 0 k (7)

παριστάνει επίπεδο κύμα οδεύον κατά την κατεύθυνση k Υποθέτουμε εδώ ότι οι

συνιστώσες x y zk k k είναι πραγματικοί αριθμοί (αλλά θα αναφέρουμε επεκτάσεις σε

μιγαδικές συνιστώσες αργότερα) Η ταχύτητα φάσης εδώ είναι ένα διάνυσμα κατά την

κατεύθυνση k Στις (5) και (7) το σύμβολο δηλώνει ως συνήθως το εσωτερικό

γινόμενο δύο διανυσμάτων

Οποιαδήποτε πρακτική κεραία εκπομπής έχει πεπερασμένη έκταση και δεν

μπορεί να παράγει ηλεκτρικό πεδίο -όπως αυτό των σχέσεων (1) και (5)- που δεν

αποσβέννυται καθώς οδεύει Για το λόγο αυτό το επίπεδο κύμα είναι μια εξιδανίκευση

Είναι όμως μια πολύ χρήσιμη εξιδανίκευση διότι στις συνηθισμένες εφαρμογές

ενδιαφέρει το μακρινό πεδίο δηλαδή το πεδίο μακρυά από την κεραία Το μακρινό πεδίο

μιας κεραίας εκπομπής μπορεί να θεωρηθεί τοπικά σαν επίπεδο κύμα

Η

Ε

όδευση κατά τη

κατεύθυνση z


4

2 Ανάκλαση και διάθλαση επιπέδου κυμάτος σε διαχωριστική επιφάνεια δύο

διηλεκτρικών ημιχώρων

21 Διατύπωση του προβλήματος Αναζήτηση λύσης μέσω επίπεδων κυμάτων

Επίπεδο κύμα κυκλικής συχνότητας προσπίπτει από τον διηλεκτρικό ημιχώρο

1 με σταθερές 1 1 0 σε διαχωριστική επιφάνεια με άλλον διηλεκτρικό ημιχώρο με

σταθερές 2 2 0 Ενδιαφερόμαστε για το πλήρες ηλεκτρομαγνητικό πεδίο σε

οποιοδήποτε σημείο του χώρου Εδώ έχουμε συμβολίσει με 7

0 4 10 henrysmeters τη μαγνητική διαπερατότητα του κενού χώρου Η υπόθεση

1 2 0 ικανοποιείται στα περισσότερα διηλεκτρικά της πράξης πάντως θα

αναφέρουμε την πιο γενική περίπτωση 1 2 αργότερα

Σχήμα 3 Γεωμετρία και άξονες του προβλήματός μας

Τοποθετούμε τους άξονες όπως στο Σχήμα 3 Έτσι το επίπεδο 0z (το επίπεδο

xy με άλλα λόγια) είναι η διαχωριστική επιφάνεια ενώ το προσπίπτον κυματοδιάνυσμα

ik ( 0 1

ik ) κατευθύνεται στην αρχή των αξόνων και ανήκει στο επίπεδο 0y

Αναζητάμε τη λύση στον αριστερό ημιχώρο ως διανυσματικό άθροισμα του

προαναφερόμενου laquoπροσπίπτοντοςraquo (ldquoincidentrdquo) επιπέδου κύματος και ενός άλλου

επίπεδου κύματος (laquoανακλώμενοraquo κύμα ldquoreflectedrdquo wave) με κυματοδιάνυσμα rk

ημιχώρος 2

2 2 0

tk

rk

ik

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


5

( 0 1

rk ) Ενώ στον δεξί ημιχώρο αναζητάμε τη λύση ως ένα επίπεδο κύμα

(laquoμεταδιδόμενοraquo ή laquoδιαθλώμενοraquo κύμα ldquotransmittedrdquo or ldquorefractedrdquo wave) με

κυματοδιάνυσμα tk ( 0 1

tk ) Τα τρία κύματα αυτά δίνονται από τις σχέσεις

2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) i i

ix zj k x k zi i j i i i i

x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (8)

2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) r r

rx zj k x k zr r j r r r r

x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (9)

2 2 2

2

0 2( ) ( ) ( ) t t

tx zj k x k zt t j t t t t

x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (10)

Τα τρία κυματοδιανύσματα απεικονίζονται στο Σχήμα 3

22 Νόμοι ανάκλασης και διάθλασης του Snell

Σε οποιοδήποτε σημείο της διαχωριστικής επιφάνειας 0z οι οριακές συνθήκες

απαιτούν τη συνέχεια των εφαπτομενικών συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου Έπεται

από τις (8)-(10) ότι ανεξάρτητα από την πόλωση του προσπίπτοντος θα ισχύει για όλα τα

x μια σχέση της μορφής

i r tx x xjk x jk x jk x

e e e (11)

Το αριστερό μέλος της (11) προέρχεται από το πεδίο (προσπίπτον + ανακλώμενο) λίγο

αριστερά από τη διαχωριστική επιφάνεια ενώ το δεξί μέλος της (11) από το πεδίο

(μεταδιδόμενο) λίγο δεξιά Οι σταθερές εξαρτώνται από την πόλωση του

προσπίπτοντος Σε κάθε περίπτωση όμως το ότι μια σχέση της μορφής (11) ισχύει για

κάθε x συνεπάγεται αναγκαστικά ότι

i t r

x x xk k k (12)

Φθάσαμε λοιπόν στο θεμελιώδες συμπέρασμα ότι οι εφαπτομενικές συνιστώσες των

τριών κυματοδιανυσμάτων είναι όλες ίσες Με άλλα λόγια η παράλληλη στη

διαχωριστική επιφάνεια συνιστώσα της ταχύτητας φάσης είναι ίδια και για τα τρία

κύματα (προσπίπτον ανακλώμενο διαθλώμενο)

Από τη (12) και τις εκφράσεις στις (8)-(10) για τα μέτρα i r tk k k παίρνουμε

απλές σχέσεις που συνδέουν τις γωνίες πρόσπτωσης ανάκλασης και μετάδοσης (ή

διάθλασης) i r και t [angles of incidence reflection and transmission (or refraction)]

τις οποίες ορίζουμε όπως φαίνεται στο Σχήμα 3 Από το Σχήμα 3 βλέπουμε ότι

sin sin sini i r r t t

x i x r x tk k k k k k (13)


6

Επειδή

1

2

i r tk k k

(14)

οι (12) και (13) δίνουν

i r (15)

και

1

2

sin sint i

(16)

Έτσι δείξαμε ότι η γωνία ανάκλασης r είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης i ενώ η

γωνία διάθλασης t βρίσκεται εύκολα από τη γωνία πρόσπτωσης και τον λόγο 1 2 των

διηλεκτρικών σταθερών Η (16) ονομάζεται νόμος (διάθλασης) του Snell ενώ η (15)

μερικές φορές ονομάζεται νόμος ανάκλασης του Snell Εισάγοντας τους δείκτες

διάθλασης (refraction indices) 1 1 0n και 2 2 0n (όπου

12

0 8854 10 faradsmeters είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού χώρου)

μπορούμε να γράψουμε τον νόμο διάθλασης του Snell και ως

1

2

sin sint i

n

n (17)

Τονίζουμε ξανά ότι οι νόμοι του Snell ισχύουν για οποιαδήποτε πόλωση του

προσπίπτοντος κύματος

Παρατηρούμε ότι εάν 1 2 (ή 1 2n n ) είναι δυνατόν η (16) [ή η (17)] να μην

δίνει πραγματική τιμή για τη γωνία μετάδοσης οπότε η διαδικασία με την οποία

βρήκαμε τη λύση χρειάζεται επανεξέταση Θα επανέλθουμε στο σημείο αυτό αργότερα

23 Συντελεστές ανάκλασης και διάθλασης

Σε ό τι ακολουθεί θέλουμε να βρούμε τα πλάτη ( )rE 0 και ( )tE 0 από το πλάτος

( )iE 0 του προσπίπτοντος Για να το κάνουμε αυτό βολεύει να αναλύσουμε το

προσπίπτον κύμα σε δύο κατάλληλες συνιστώσες και να εξετάσουμε τις δύο συνιστώσες

(τις δύο πολώσεις με άλλα λόγια) ξεχωριστά Όπως θα δούμε μάλιστα οι δύο πολώσεις

ανακλώνται και διαθλώνται κατά διαφορετικό τρόπο

Οι δύο συνιστώσες ορίζονται μέσω του επιπέδου πρόσπτωσης (plane of

incidence) το οποίο με τη σειρά του ορίζεται ως το επίπεδο το οποίο σχηματίζουν το k


7

και η προβολή του k στη διαχωριστική επιφάνεια Έχουμε κάθετη ή Ε πόλωση

(perpendicular or E polarization) όταν το προσπίπτον πεδίο ( )iE r είναι κάθετο στο

επίπεδο πρόσπτωσης Ενώ έχουμε παράλληλη ή Η πόλωση (parallel or H polarization)

όταν το προσπίπτον πεδίο ( )iE r είναι παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης (οπότε το

μαγνητικό πεδίο H ανήκει στο επίπεδο πόλωσης εξ ου και η ονομασία H polarization)1

Προφανώς ένα τυχαίο προσπίπτον πάντα μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός

των δύο πολώσεων

Με τους άξονες όπως στο Σχήμα 3 το επίπεδο πρόσπτωσης είναι το επίπεδο

0y (με άλλα λόγια το επίπεδο xz ) Έχουμε κάθετη πόλωση όταν το προσπίπτον

ηλεκτρικό πεδίο έχει μόνο y -συνιστώσα και παράλληλη πόλωση όταν το προσπίπτον

ηλεκτρικό πεδίο έχει y -συνιστώσα ίση με μηδέν Αυτά απεικονίζονται στα Σχήματα 4α

και 4β

Σχήμα 4α Κάθετη πόλωση Επίπεδο πρόσπτωσης και διανύσματα ηλεκτρικού πεδίου

Στη συνέχεια για καθεμιά από τις δύο περιπτώσεις δίνουμε τις σχέσεις που

συνδέουν τα πλάτη των ηλεκτρικών πεδίων Η εξαγωγή των σχέσεων αυτών γίνεται

μέσω των εξισώσεων Μaxwell Ένα πρώτο συμπέρασμα από τις εξισώσεις Maxwell

είναι ότι το μεταδιδόμενο και το ανακλώμενο κύμα διατηρούν την πόλωση του

προσπίπτοντος Αυτό φαίνεται και στα Σχήματα 4α και 4β

1 Στη βιβλιογραφία για την κάθετη και παράλληλη πόλωση μερικές φορές χρησιμοποιούνται και οι

ονομασίες οριζόντια και κατακόρυφη πόλωση (horizontal and vertical polarization) τις οποίες θα

αποφύγουμε εδώ

rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


8

Σχήμα 4β Παράλληλη πόλωση Επίπεδο πρόσπτωσης και διανύσματα ηλεκτρικού πεδίου

231 Κάθετη ή Ε πόλωση

Στην περίπτωση της κάθετης πόλωσης και με τους άξονες όπως το Σχήμα 4α τα

ηλεκτρικά πεδία είναι της μορφής

ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i r ti i j r r j t t j

y y yE e E e E e k r k r k rE r y 0 E r y 0 E r y 0 (18)

Ως συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης του Fresnel για κάθετη πόλωση (Fresnel

reflection and transmission coefficients for perpendicular polarization) ( )K iR και ( )K iT

ορίζουμε τους λόγους

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

r t

y y

K i K ii i

y y

E ER T

E E

0 0

0 0 (19)

Εφαρμόζοντας τις κατάλληλες οριακές συνθήκες δείχνουμε στο Παράρτημα ότι

22

1

22

1

cos sin

( )

cos sin

i i

K i

i i

R

(20)

rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


9

και ότι

22

1

2cos( ) 1 ( )

cos sin

iK i K i

i i

T R

(21)

Οι (12)-(16) και (18)-(21) είναι πλήρεις σχέσεις για το ηλεκτρικό πεδίο σε οποιοδήποτε

σημείο του χώρου

0 20 40 60 80ί ό

-1

-08

-06

-04

-02

ήά

Σχήμα 5 Συντελεστής ανάκλασης Fresnel ( )K iR για κάθετη πόλωση και για2 1 15 (πάνω

γραμμή) και 2 1 9 (κάτω γραμμή)

Το Σχήμα 5 είναι διάγραμμα του ( )K iR για 2 1 15 (πρόσπτωση από αέρα

σε γυαλί) και για 2 1 9 (πρόσπτωση από αέρα σε θαλάσσιο νερό1) Όπως είναι

λογικό παρατηρούμε περισσότερη ανάκλαση όταν οι διηλεκτρικές σταθερές διαφέρουν

περισσότερο (στο όριο 2 1 μάλιστα έχουμε ( ) 1K iR για όλα τα i ) καθώς

και ολική ανάκλαση για i 90deg (οριζόντια γωνία πρόσπτωσης grazing incidence) Στο

Σχήμα 5 το ότι ( ) 0K iR σημαίνει ότι η ανάκλαση επιφέρει αλλαγή φοράς στο πεδίο

1 Έχουμε υποθέσει ότι η αγωγιμότητα του θαλάσσιου νερού είναι μηδέν


10

232 Παράλληλη ή Η πόλωση

Στην περίπτωση της παράλληλης πόλωσης φαίνεται από το Σχήμα 4β και τη

σχέση (15) ότι τα ηλεκτρικά πεδία μπορούν να γραφούν ως

0ˆ ˆ( ) ( cos sin )

ii j

i iE e k rE r x z (22)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)

Οι (22)-(24) ορίζουν τους συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης του Fresnel για

παράλληλη πόλωση (Fresnel reflection and transmission coefficients for parallel

polarization) ( )iR και ( )iT Με εφαρμογή των κατάλληλων οριακών συνθηκών (η

διαδικασία είναι παρόμοια μrsquo αυτήν του Παραρτήματος για την περίπτωση της κάθετης

πόλωσης) μπορεί να δειχτεί ότι

22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)

Θα συζητήσουμε τώρα μια σημαντική ιδιότητα της παράλληλης πόλωσης που δεν έχει

αντίστοιχο στην κάθετη πόλωση


11

24 Μηδενική ανάκλαση στην παράλληλη πόλωση Γωνία Brewster

Στην περίπτωση παράλληλης πόλωσης προκύπτει από την (25) ότι υπάρχει πάντα

μια γωνία πρόσπτωσης i για την οποία ο συντελεστής ανάκλασης μηδενίζεται

δηλαδή ( ) 0BR όπου

1 2

1

tan

(27)

Η ονομάζεται γωνία Brewster (Brewster angle) Στη γωνία Brewster μπορούμε να

θεωρούμε ότι οι δύο ημιχώροι είναι τέλεια προσαρμοσμένοι μεταξύ τους οπότε η

διάδοση γίνεται ανεμπόδιστα Όταν συμβαίνει το φαινόμενο Brewster προκύπτει από τις

(27) και (16) ότι η γωνία μετάδοσης t είναι 90deg δηλαδή συμπληρωματική της

γωνίας (πρόσπτωσης) Βrewster

Από την άλλη μεριά είναι συνέπεια της (20) ότι ( ) 0iR για όλα τα i οπότε

στην περίπτωση της κάθετης πόλωσης πάντα έχουμε μη-μηδενική ανάκλαση (εκτός από

την τετριμμένη περίπτωση 1 2 στην οποία δεν έχουμε ανάκλαση έτσι και αλλιώς)

Για παράδειγμα η ανάκλαση είναι πάντα μη-μηδενική στις δύο περιπτώσεις του

Σχήματος 5 Η γωνία Βrewster ονομάζεται και γωνία πόλωσης (polarizing angle) διότι

προσπίπτον που έχει και τις δύο πολώσεις θα μετατραπεί μετά από πρόσπτωση με

i B σε ανακλώμενο με κάθετη μόνο πόλωση

Για πρόσπτωση κύματος από τον αέρα σε θαλάσσιο νερό η γωνία Brewster

προκύπτει περίπου 837deg (σχεδόν οριζόντια γωνία πρόσπτωσης nearly grazing

incidence) ενώ είναι 63deg=90deg837deg (σχεδόν κάθετη πρόσπτωση nearly normal

incidence) για πρόσπτωση από νερό σε αέρα Το φαινόμενο Brewster βρίσκει αρκετές

εφαρμογές στην Οπτική αναφέρουμε ως παράδειγμα την ελαχιστοποίηση απωλειών από

ανάκλαση κατά τη διαδρομή φωτός μέσα σε laser

25 Κρίσιμη γωνία πρόσπτωσης Ολική ανάκλαση Επιφανειακά κύματα

Θεωρούμε τυχαία πόλωση και επιστρέφουμε στην παρατήρηση -που έγινε στo

τέλος της sect22- ότι είναι δυνατό να έχουμε laquoγωνία μετάδοσηςraquo που να μην είναι

πραγματικός αριθμός Για να συμβαίνει αυτό φαίνεται από την (16) ότι πρέπει και αρκεί

να ικανοποιούνται οι εξής δύο συνθήκες

1 21 2 crit

1

sini

και (28)

Εφόσον λοιπόν η πρόσπτωση γίνεται από το πυκνότερο προς το αραιότερο μέσο

( 1 2 ) το εν λόγω φαινόμενο θα συμβαίνει για όλες τις γωνίες πρόσπτωσης

μεγαλύτερες από την κρίσιμη γωνία (critical angle) crit που ορίζεται στην (28) Το


12

φαινόμενο είναι αδύνατο να συμβεί αν η πρόσπτωση γίνεται από το αραιότερο προς το

πυκνότερο μέσο ( 2 1 ) Όταν ισχύουν οι (28) η τετραγωνική ρίζα που εμφανίζεται

στις (20) και (25) είναι φανταστικός αριθμός οπότε οι αριθμητές έχουν το ίδιο μέτρο με

τους αντίστοιχους παρονομαστές Άρα τα μέτρα των συντελεστών ανάκλασης είναι 1

crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)

οπότε το φαινόμενο που μελετάμε λέγεται ολική ανάκλαση (total reflection)

Όσον αφορά τη συμπεριφορά του συντελεστή ανάκλασης η ολική ανάκλαση

είναι κατά κάποιον τρόπο το αντίθετο του φαινομένου Brewster Τονίζουμε όμως ότι η

ολική ανάκλαση (αλλά όχι το φαινόμενο Brewster) συμβαίνει (i) και στις δύο πολώσεις

(ii) μόνο για πρόσπτωση από πυκνότερο προς αραιότερο μέσο και (iii) για ένα εύρος

γωνιών ( crit ) όχι για μία συγκεκριμένη γωνία μόνο

Υποθέτουμε τώρα ότι ισχύουν οι (28) και επιστρέφουμε στις sect21 και sect22 για

να επανεξετάσουμε τη διαδικασία εύρεσης της λύσης και να δούμε με μεγαλύτερη

λεπτομέρεια τη μορφή του laquoμεταδιδόμενουraquo πεδίου Όπως και πριν αναζητάμε λύση στο

πρόβλημά μας με τη μορφή (8)-(10) Από τις (8) (10) (12) και την πρώτη σχέση (13) -

όλες αυτές οι σχέσεις εξακολουθούν να ισχύουν- εύκολα φαίνεται ότι η συνθήκη

2 1sin i για ολική ανάκλαση είναι ισοδύναμη με

t t

xk k (30)

Από τη δεύτερη σχέση (10) έχουμε

2 2 2

t t t

z xk k k (31)

Οι (30) και (31) φανερώνουν ότι το t

zk είναι φανταστικός αριθμός Από την πρώτη σχέση

(10) επομένως όταν έχουμε ολική ανάκλαση το πεδίο στον δεξί ημιχώρο φθίνει εκθετικά

καθώς απομακρυνόμαστε από τη διαχωριστική επιφάνεια Ταυτόχρονα βέβαια λόγω της

(12) διαδίδεται παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια Τέτοιου είδους κύματα είναι

γνωστά ως επιφανειακά κύματα (surface waves) και όπως θα εξηγήσουμε στο επόμενο

Εδάφιο 3 έχουν μεγάλη σημασία στη διάδοση Επειδή οι επιφάνειες σταθερής φάσης και

οι επιφάνειες σταθερού πλάτους εδώ δεν ταυτίζονται λέμε ότι η λύση στον ημιχώρο

δεξιά είναι ανομοιογενές επίπεδο κύμα (inhomogeneous plane wave) Ακόμα επειδή το

κύμα αποσβέννυται γρήγορα καθώς απομακρυνόμαστε από την επιφάνεια λέμε ότι είναι

γερά προσδεμένο (tightly bound) στην επιφάνεια Τέλος φαίνεται από τη συνθήκη (30)

ότι παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια η διάδοση γίνεται με ταχύτητα φάσης

μικρότερη απrsquo αυτήν ( k ) της ταχύτητας επίπεδου κύματος στον απέραντο χώρο Για

τον λόγο αυτό εδώ έχουμε αργό επιφανειακό κύμα (slow surface wave)


13

Για πρόσπτωση κύματος από θαλάσσιο νερό σε αέρα η κρίσιμη γωνία προκύπτει

64deg (λίγο μεγαλύτερη από τη γωνία Brewster) επομένως ολική ανάκλαση συμβαίνει για

ένα μεγάλο εύρος γωνιών πρόσπτωσης

Το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης είναι πολύ σημαντικό στην Οπτική

Επιτρέπει να αλλάζουμε τη διεύθυνση μιας ακτίνας χωρίς απώλειες πράγμα που

χρησιμοποιείται σε εφαρμογές όπως τα κυάλια Άλλες εφαρμογές εκμεταλλεύονται το

ότι οι αλλαγές φάσης στις δύο πολώσεις δεν είναι ίδιες (παρόλο που σύμφωνα με την

(29) και οι δύο συντελεστές ανάκλασης έχουν μέτρο 1) Τέλος η διάδοση στις οπτικές

ίνες μπορεί να εξηγηθεί σαν διαδοχικές ολικές ανακλάσεις στην επιφάνεια της

διηλεκτρικής ίνας

3 Επεκτάσεις

Τα φαινόμενα που συζητήσαμε εδώ καθώς και η ανάλυσή μας έχουν πολλές επεκτάσεις

και εφαρμογές Αναφέρουμε ενδεικτικά μερικές εδώ

1) Είναι πολύ εύκολο να άρουμε τον περιορισμό ότι τα δύο μέσα έχουν την ίδια

διαπερατότητα και να επεκτείνουμε τα αποτελέσματα και για την περίπτωση 1 2 Οι

αντίστοιχες σχέσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για τα φερρομαγνητικά υλικά και μπορούν

να βρεθούν στη βιβλιογραφία [1] Σημειώνουμε ότι ο νόμος ανάκλασης του Snell

εξακολουθεί να ισχύει ενώ ο νόμος διάθλασης του Snell είναι η σχέση (16) με

το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2

2) Τα πολλαπλά διηλεκτρικά στρώματα [1] χρησιμεύουν στις εφαρμογές διότι δίνουν

τη δυνατότητα αλλαγής των ιδιοτήτων ανάκλασης και μετάδοσης με τη συχνότητα Κατά

την ανάλυση προκύπτουν πολλές αναλογίες και ομοιότητες με τη μετάδοση στις

γραμμές μεταφοράς [1]

3) Εδώ θεωρήσαμε γραμμική πόλωση Προσπίπτον με ελλειπτική πόλωση αναλύεται

στο [1] Προκύπτει ότι η ανάκλαση είναι δυνατόν να αλλάζει τις ιδιότητες πόλωσης Για

παράδειγμα δεξιόστροφα κυκλικά πολωμένο κύμα που προσπίπτει με γωνία μικρότερη

της γωνίας Βrewster μετατρέπεται όταν ανακλασθεί σε αριστερόστροφα ελλειπτικά

πολωμένο κύμα [1]

4) Όταν ένας τουλάχιστον ημιχώρος έχει απώλειες πολλές από τις εξισώσεις των sect21-

sect23 εξακολουθούν να ισχύουν αλλά η φυσική ερμηνεία τους είναι πολύ διαφορετική

Για πρόσπτωση από αέρα σε αγώγιμο μέσο για παράδειγμα είναι αμέσως φανερό ότι το

πεδίο στον αγωγό πάντα θα έχει εκθετική απόσβεση ανεξάρτητα από τη γωνία

πρόσπτωσης Για λεπτομερή ανάλυση παραπέμπομουμε στο [7 sect26] καθώς και στο

[1]

5) Στην sect25 συζητήσαμε το απλούστερο ίσως πρόβλημα στο οποίο προκύπτει ως λύση

επιφανειακό κύμα Επιφανειακά κύματα υπάρχουν και όταν το laquoπροσπίπτον κύμαraquo

προέρχεται από δίπολο ή άλλη κεραία κοντά στη διαχωριστική επιφάνεια τέτοια κύματα


14

δεν μπορούν να θεωρηθούν επίπεδα και τα επιφανειακά κύματα που αναπτύσσονται είναι

πιο περίπλοκης μορφής Λεπτομερής ανάλυση και εκτενής βιβλιογραφία μπορεί να

βρεθεί στο [7]

Στην πράξη τα επιφανειακά κύματα έχουν μεγάλη σημασία στη διάδοση κοντά

στην επιφάνεια της γης οπότε μιλάμε για κύματα εδάφους (ground waves) Τα κύματα

εδάφους είναι ιδιαίτερα σημαντικά στη ζώνη MF (300-3000 kHz) που περιλαμβάνει και

την εκπομπή AM

6) Τέλος φαινόμενα ανάκλασης και διάθλασης -πιο περίπλοκης μορφής- συμβαίνουν

επίσης στην τροπόσφαιρα και στην ιονόσφαιρα Η τροπόσφαιρα είναι το κατώτερο

τμήμα της ατμόσφαιρας (το άνω όριό της απέχει 10 km κατά μέσο όρο από τη γήινη

επιφάνεια) ενώ η ιονόσφαιρα είναι το άνω στρώμα της ατμόσφαιρας (αρχίζει περίπου 60

km πάνω από τη γήινη επιφάνεια) Tα αντίστοιχα ανακλώμενα κύματα καλούνται

τροποσφαιρικά και ιονοσφαιρικά και είναι ιδιαίτερα σημαντικά για διάδοση αντίστοιχα

των συχνοτήτων 30 ΜHz-1GHz και 1-30ΜΗz [3] [10]-[13]

4 Παράρτημα Εξαγωγή των σχέσεων (20) και (21)

Στο Παράρτημα αυτό δείχνουμε ότι οι συντελεστές ανάκλασης και μετάδοσης

( )iR και ( )iT για την περίπτωση της κάθετης πόλωσης δίνονται από τις (20) και

(21) Στη διαχωριστική επιφάνεια 0z οι εφαπτομενικές συνιστώσες του ηλεκτρικού

πεδίου είναι συνεχείς οπότε οι (18) και (12) δίνουν

( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)

Διαίρεση της (32) με ( )i

yE 0 και χρήση των ορισμών (19) δίνει

1 ( ) ( )i iR T (33)

που είναι η πρώτη σχέση (21) Τα τρία ηλεκτρικά πεδία στη (18) είναι όλα της μορφής

ˆ ( )yE x zE y Από την εξίσωση 0j E H του Maxwell τα αντίστοιχα

μαγνητικά πεδία θα είναι της μορφής

0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)

Άρα στην περίπτωση της κάθετης πόλωσης που εξετάζουμε η συνέχεια των

εφαπτομενικών συνιστωσών του μαγνητικού πεδίου ισοδυναμεί με συνέχεια της

παραγώγου yE z Στο προσπίπτον παραγώγιση ως προς z ισοδυναμεί με


15

πολλαπλασιασμό με 2 2

i i i

z xk k k και παρόμοια για το ανακλώμενο και το

μεταδιδόμενο Επομένως η συνέχεια της παραγώγου yE z μπορεί να γραφεί ως

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t

y x y x y xE k k E k k E k k 0 0 0 (35)

όπου τα αρνητικό πρόσημο στον δεύτερο όρο οφείλεται στο ότι σύμφωνα με το Σχήμα

3 0r

zk Διαίρεση της (35) με ( )i i

yk E 0 και χρήση των (19) και των (12)-(15) δίνει

2

1

1 ( ) cos ( )cosi i i tR T

(36)

Οι (20) και (21) τελικά προκύπτουν αν εκφράσουμε το cos t στην (36) συναρτήσει του

sin i [χρησιμοποιώντας τον νόμο (16) του Snell] και κατόπιν επιλύσουμε τις (33) και

(36) ως προς ( )iR και ( )iT

5 Βιβλιογραφία

Η ανάκλαση και η διάθλαση είναι laquoκλασικάraquo θέματα και ανάλυση παρόμοια με

την παρούσα υπάρχει σε πολλά βιβλία ηλεκτρομαγνητισμού κεραιών και οπτικής καθώς

και σε αρκετές πηγές στο διαδίκτυο Αναφέρουμε ενδεικτικά τα εξής

[1] C A Balanis Advanced Engineering Electromagnetics New York John Wiley amp

Sons 1989 chapt 5 [Η ανάλυση εδώ είναι ιδιαίτερα λεπτομερής και κατανοητή Για

παράδειγμα η περίπτωση 0i (normal incidence) μελετάται πρώτα και τα

αποτελέσματα έπειτα επεκτείνονται για 0i (oblique incidence)]

[2] U S Inan et A S Inan Engineering Electromagnetics Menlo Park CA Addison-

Wesley 1999

[3] Ι Γ Φικιώρης Εισαγωγή εις την Θεωρίαν των Κεραιών και την Διάδοσιν

Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτων Αθήνα Β Σελλούντος 1982 κεφ 6

[4] Η Α Haus Waves and Fields in Optoelectronics Englewood Cliffs New Jersey

Prentice-Hall 1984

[5] R E Collin Antennas and Radiowave Propagation Singapore McGraw-Hill

International Edition 1985 chapt 6

[6] J D Jackson Classical Electrodynamics 3rd Edition New York John Wiley ampSons

1998 chapt 7 (Προσοχή εδώ χρησιμοποιούνται οι λεγόμενες μονάδες Gauss


16

μεταβλητές Gauss Οι μεταβλητές Gauss είναι διαφορετικές από τις συνηθισμένες

μεταβλητές του συστήματος SI)

[7] R W P King M Owens and T T Wu Lateral Electromagnetic Waves New York

Springer-Verlag 1992 [Κύριος σκοπός του προχωρημένου αυτού βιβλίου είναι τα

επιφανειακά κύματα παραγόμενα από δίπολα υπεράνω γης Το εισαγωγικό κεφάλαιο 2

(ldquoElectromagnetic preliminariesrdquo) έχει πολλές (αλλά συνοπτικές) πληροφορίες για την

ανάκλασηδιάθλαση επίπεδων κυμάτων]

[8] ldquoFresnel equations for reflection and refractionrdquo

httpwwwphysicsrutgerseduugrad389FresnelsEqnsppt

[9] httpenwikipediaorgwikiMain_Page ldquoPlane wavesrdquo ldquoFresnel equationsrdquo ldquoSnellrsquos

lawrdquo ldquoBrewster anglerdquo ldquoTotal internal reflectionrdquo

Όπως ήδη αναφέρθηκε πιο ειδικευμένα θέματα υπάρχουν στα [1] [3] [7] καθώς

και στα

[10] Ι Δ Κανελλόπουλος Διάδοση Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτων σε Γήινο Περιβάλλον

Θεσσαλονίκη Τζιόλας κεφ 1 2

[11] ITU-R Handbook ldquoIonosphere and its Effects on Radiowave Propagationrdquo 1998

[12] ITU-R ldquoRadiowave Propagation Information for Predictions for Earth-to-Space Path

Communicationsrdquo 1996

[13] R K Crane ldquoPropagation Handbook for Wireless Communication System Designrdquo

CRC Press 2003

Απρίλιος 2012


2

η έννοια της κατεύθυνσης όδευσης z φαίνεται στο Σχήμα 1 όπου έχουμε σχεδιάσει το

Re ( ) | (0) | cos arg (0)j tE z e E t kz E ως συνάρτηση του z (laquoφωτογραφίαraquo)

για δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές 1t και 2t όπου 1 2t t Το σχήμα για 2t t είναι

απλώς το προγενέστερο μετατοπισμένο κατά την απόσταση 2 1( ) t t k γεγονός που

δηλώνει όδευση (χωρίς απόσβεση) της laquoφωτογραφίαςraquo με σταθερή ταχύτητα

1

k

(4)

0 1 2 3 4z

-1

-05

0

05

1

eR

Ez

pxe

jt

Σχήμα 1 laquoΦωτογραφίαraquo της στιγμιαίας τιμής του ηλεκτρικού πεδίου επίπεδου κύματος σε δύο χρονικές

στιγμές Η μεταγενέστερη φωτογραφία ( 2t t ) είναι η αρχική ( 1t t ) μετατοπισμένη προς τα δεξιά κατά

απόσταση 2 1 2 1( ) ( )t t k t t v

Η ταχύτητα αυτή ονομάζεται ταχύτητα φάσης (phase velocity) Το αντίστοιχο

μαγνητικό πεδίοmdashπου μπορεί να βρεθεί αμέσως από τις εξισώσεις του Maxwellmdash

προκύπτει κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης και επίσης κάθετο στο ηλεκτρικό πεδίο

Αυτά απεικονίζονται στο Σχήμα 2


3






( ) ( ) je k rE r E 0 (5)


από

2 2 2

x y zk k k k (6)


( ) 0 E 0 k (7)












Η

Ε




4














ik ( 0 1





ημιχώρος 2

2 2 0

tk

rk

ik

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


5

( 0 1





2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) i i


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (8)

2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) r r


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (9)

2 2 2

2

0 2( ) ( ) ( ) t t


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (10)








e e e (11)






i t r

x x xk k k (12)












6

Επειδή

1

2

i r tk k k

(14)


i r (15)

και

1

2

sin sint i

(16)






12



1

2

sin sint i

n

n (17)















7












και 4β










rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


8










( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

r t

y y

K i K ii i

y y

E ER T

E E

0 0

0 0 (19)


22

1

22

1

cos sin

( )

cos sin

i i

K i

i i

R

(20)

rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


9

και ότι

22

1

2cos( ) 1 ( )

cos sin

iK i K i

i i

T R

(21)



0 20 40 60 80ί ό

-1

-08

-06

-04

-02

ήά











10





ii j


0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)






22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)




11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



3






( ) ( ) je k rE r E 0 (5)


από

2 2 2

x y zk k k k (6)


( ) 0 E 0 k (7)












Η

Ε




4














ik ( 0 1





ημιχώρος 2

2 2 0

tk

rk

ik

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


5

( 0 1





2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) i i


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (8)

2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) r r


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (9)

2 2 2

2

0 2( ) ( ) ( ) t t


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (10)








e e e (11)






i t r

x x xk k k (12)












6

Επειδή

1

2

i r tk k k

(14)


i r (15)

και

1

2

sin sint i

(16)






12



1

2

sin sint i

n

n (17)















7












και 4β










rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


8










( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

r t

y y

K i K ii i

y y

E ER T

E E

0 0

0 0 (19)


22

1

22

1

cos sin

( )

cos sin

i i

K i

i i

R

(20)

rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


9

και ότι

22

1

2cos( ) 1 ( )

cos sin

iK i K i

i i

T R

(21)



0 20 40 60 80ί ό

-1

-08

-06

-04

-02

ήά











10





ii j


0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)






22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)




11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



4














ik ( 0 1





ημιχώρος 2

2 2 0

tk

rk

ik

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


5

( 0 1





2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) i i


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (8)

2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) r r


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (9)

2 2 2

2

0 2( ) ( ) ( ) t t


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (10)








e e e (11)






i t r

x x xk k k (12)












6

Επειδή

1

2

i r tk k k

(14)


i r (15)

και

1

2

sin sint i

(16)






12



1

2

sin sint i

n

n (17)















7












και 4β










rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


8










( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

r t

y y

K i K ii i

y y

E ER T

E E

0 0

0 0 (19)


22

1

22

1

cos sin

( )

cos sin

i i

K i

i i

R

(20)

rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


9

και ότι

22

1

2cos( ) 1 ( )

cos sin

iK i K i

i i

T R

(21)



0 20 40 60 80ί ό

-1

-08

-06

-04

-02

ήά











10





ii j


0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)






22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)




11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



5

( 0 1





2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) i i


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (8)

2 2 2

2

0 1( ) ( ) ( ) r r


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (9)

2 2 2

2

0 2( ) ( ) ( ) t t


x ze e k k k k r

E r E 0 E 0 (10)








e e e (11)






i t r

x x xk k k (12)












6

Επειδή

1

2

i r tk k k

(14)


i r (15)

και

1

2

sin sint i

(16)






12



1

2

sin sint i

n

n (17)















7












και 4β










rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


8










( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

r t

y y

K i K ii i

y y

E ER T

E E

0 0

0 0 (19)


22

1

22

1

cos sin

( )

cos sin

i i

K i

i i

R

(20)

rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


9

και ότι

22

1

2cos( ) 1 ( )

cos sin

iK i K i

i i

T R

(21)



0 20 40 60 80ί ό

-1

-08

-06

-04

-02

ήά











10





ii j


0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)






22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)




11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



6

Επειδή

1

2

i r tk k k

(14)


i r (15)

και

1

2

sin sint i

(16)






12



1

2

sin sint i

n

n (17)















7












και 4β










rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


8










( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

r t

y y

K i K ii i

y y

E ER T

E E

0 0

0 0 (19)


22

1

22

1

cos sin

( )

cos sin

i i

K i

i i

R

(20)

rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


9

και ότι

22

1

2cos( ) 1 ( )

cos sin

iK i K i

i i

T R

(21)



0 20 40 60 80ί ό

-1

-08

-06

-04

-02

ήά











10





ii j


0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)






22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)




11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



7












και 4β










rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


8










( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

r t

y y

K i K ii i

y y

E ER T

E E

0 0

0 0 (19)


22

1

22

1

cos sin

( )

cos sin

i i

K i

i i

R

(20)

rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


9

και ότι

22

1

2cos( ) 1 ( )

cos sin

iK i K i

i i

T R

(21)



0 20 40 60 80ί ό

-1

-08

-06

-04

-02

ήά











10





ii j


0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)






22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)




11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



8










( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

r t

y y

K i K ii i

y y

E ER T

E E

0 0

0 0 (19)


22

1

22

1

cos sin

( )

cos sin

i i

K i

i i

R

(20)

rE

tE

iE

ημιχώρος 2

2 2 0

x

z t r

i

ημιχώρος 1

1 1 0


9

και ότι

22

1

2cos( ) 1 ( )

cos sin

iK i K i

i i

T R

(21)



0 20 40 60 80ί ό

-1

-08

-06

-04

-02

ήά











10





ii j


0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)






22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)




11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



9

και ότι

22

1

2cos( ) 1 ( )

cos sin

iK i K i

i i

T R

(21)



0 20 40 60 80ί ό

-1

-08

-06

-04

-02

ήά











10





ii j


0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)






22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)




11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



10





ii j


0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

rr j

i i iR E e

k rE r x z (23)

0ˆ ˆ( ) ( ) ( cos sin )

tt j

i t tT E e

k rE r x z (24)






22 2

1 1

22 2

1 1

cos sin

( )

cos sin

i i

i

i i

R

(25)

και ότι

2

1

22 2

1 1

2 coscos

( ) 1 ( )cos

cos sin

i

ii i

t

i i

T R

(26)




11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



11





1 2

1

tan

(27)
























1 21 2 crit

1

sini

και (28)





12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



12





crit| ( ) | | ( ) | 1 ( )R R (29)













t t

xk k (30)


2 2 2

t t t

z xk k k (31)
















13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



13



















το 1 1 2 2( ) ( ) στη θέση του 1 2















[1]





14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



14




















( ) ( ) ( )i r t

y y yE E E 0 0 0 (32)



1 ( ) ( )i iR T (33)




0

ˆ ˆy yE Ej

z x

H x y (34)





15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



15


i i i



2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( )i i i r r r t t t



3 0r



2

1


(36)













Wesley 1999




Prentice-Hall 1984






16













και στα







CRC Press 2003



16













και στα







CRC Press 2003


Ανάκλαση και Διάθλαση · 2016. 7. 21. · Ασύρματες Ζεύξεις...

Documents

Transcript of Ανάκλαση και Διάθλαση · 2016. 7. 21. · Ασύρματες Ζεύξεις...