F 789 A - MECÂNICA QUÂNTICA II -Prof. Eduardo Granado - PROVA 1 (01/04/2015)

1) Considere um sistema de duas partículas de massa m1 e m2 que interagem através de um potencial central V(r), onde r é a distância entre as partículas. A equação de autovalores de energia é dada por:

H ψ(r )=[−ℏ

2

2μ∇

2+V (r )] ψ(r )=E ψ(r ) , onde μ≡

m1 m2

m1+m2

.

(a) Mostre que o Hamiltoniano pode ser escrito na forma: H =−ℏ

2

2μ

1r

∂2

∂r 2 r +1

2μ r2 L2+V (r )

. (Dica: Verifique o formulário)(b) Encontre [H , L] e [ H , L 2

] , justificando sua resposta.(c) Considerando que a dependência angular dos autoestados simultâneos de L2 e Lz é dada pelos harmônicos esféricos Y l

m(θ ,ϕ) , argumente por que os autoestados simultâneous de H, L2 e Lz

são descritos como ψk , l ,m(r )=uk ,l(r )

rY l

m(θ ,ϕ) , em que uk ,l (r ) satisfaz a equação radial:

[−ℏ

2

2μ

d 2

dr 2 +l (l+1)ℏ2

2μ r2 +V (r )]uk , l(r )=E k ,l uk , l(r) . Nesta equação, Ek,l e l (l+1)ℏ2 são os

autovalores de H e L2, respectivamente.(d) Seja uma partícula me massa m confinada ao interior de uma esfera oca de raio a, ou seja, V(r)=0 para r < a e V(r)= para r > a. Aplique as condições de contorno para este problema, e encontre os autoestados de H, L2 e Lz com l=0 e m=0 ( ψn ,0,0(r ) ). Quais são os valores possíveis de energia ?

2) Considere o átomo de hidrogênio, onde a energia potencial de interação é escrita como V (r )=−e2/r .

(a) Mostre, através de uma mudança de variáveis, que a equação radial enunciada no problema 1

pode ser reescrita na forma: [d 2

d ρ2−

l (l +1)

ρ2 +

2ρ−λk.l

2]uk ,l (ρ)=0 , onde ρ=r /a0 ,

λk ,l=√−E k , l / E I , a0≡ℏ2/μe2 , e E I≡μ e4

/2ℏ2 .

(b) Encontre o comportamento assintótico de uk ,l (ρ) no limite ρ→∞ .(c) Denominando a função encontrada em (b) de f k ,l (ρ) e definindo yk ,l (ρ) de tal forma que uk ,l (ρ)= f k ,l (ρ) yk , l(ρ) , mostre que a equação diferencial satisfeita por yk ,l (ρ) é:

[d 2

d ρ2−2λk ,l

dd ρ

+(2ρ−

l (l +1)

ρ2 )] yk , l(ρ)=0 .

(d) Propomos soluções da equação acima na forma de uma expansão em potências em ρ , ou seja,

yk ,l (ρ)=ρs∑q=0

∞

cq ρq

, onde c0 é por definição o primeiro termo não-nulo da expansão. Pode-se

mostrar facilmente, inserindo esta expansão na equação diferencial (não precisa fazer aqui), que s=l+1 e que os coeficientes da expansão satisfazem a relação

q (q+2l+1)cq=2[(q+l )λk , l−1]cq−1 . Queremos agora truncar esta relação de recursão para uma dada ordem da expansão q=k, para chegarmos a soluções fisicamente aceitáveis (autoestados normalizáveis). Pergunta: Qual a relação que λk ,l deve satisfazer para que este truncamento ocorra ?(e) A partir do resultado de (d), encontre os valores possíveis de energias, e mostre que, para cada nível possível de energia, existe um valor máximo possível para o número quântico l.

3) Considere uma partícula de massa µ sendo espalhada por um potencial V(r). No limite assintótico r →∞ , a função de onda da partícula em um estado estacionário é dada por

ψk (r)=e ikz+ f k (θ ,ϕ)

e ikr

r, e a seção de choque diferencial de espalhamento é dada por

σ(θ ,ϕ)=∣ f k (θ ,ϕ)∣2 . Na abordagem do problema de espalhamento na aproximação de Born

(primeira ordem na série de Born), a amplitude de espalhamento é dada pela relação:

f k( B)

(θ ,ϕ)=−μ

2πℏ2∫ e−iK⋅rV (r )d 3 r , onde K≡kd−k i é o vetor de onda de

espalhamento.(a) Mostre que, quando se tratar de um potencial central V(r), a amplitude de espalhamento pode ser

escrita na forma de uma integral simples: f k (θ)=−2μ

ℏ2 K

∫0

∞

rV (r )sin(Kr )dr . Mostre que a

magnitude do vetor K é dada por K=2 k sin(θ/2) .(b) Considere um potencial de uma esfera suave, [V(r) = V0 para r < a e V(r) = 0 para r > a]. Encontre f k (θ) na aproximação de Born, em função apenas de ℏ , µ, V0, k, e θ .(c) Para o problema do ítem (b), esboce gráficos para σ(θ) em três condições distintas, ka << 1, ka >> 1 e ka = 1.

4) Considere o problema de espalhamento de uma partícula de massa µ por uma esfera rígida [V(r) = para r < a e V(r) = 0 para r > a], no limite de baixas energias (ka << 1).(a) Qual método deve ser utilizado para analisar este problema (série de Born ou análise de ondas parciais) ? Por quê ?(b) Encontre o desvio de fase δ0 e argumente qualitativamente por que os demais desvios de fase δl podem ser desconsiderados no limite analisado. Dica: use a equação radial dada no enunciado

da questão (1), lembrando que Ek ,l=ℏ

2 k 2

2μ.

(c) Encontre a seção de choque diferencial σ(θ) e a seção de choque total σ=∫σ(θ)d Ω

para este problema.

FORMULÁRIO

∇2=

1r

∂2

∂ r2r+

1

r 2( ∂

2

∂θ2+

1tanθ

∂∂θ

+1

sin2(θ)

∂2

∂ϕ2) (Laplaciano em coord. esféricas)

L2=− ℏ

2( ∂

2

∂θ2+

1tanθ

∂∂θ

+1

sin2θ

∂2

∂ϕ2) , Lz=

ℏ

i∂

∂ϕ

f k (θ)=1k ∑l=0

∞

√ 4π(2l+1)e iδl sin δl Y l0(θ)

Y 00=

1

√4 π