F 789 A - MECNICA QUNTICA II -Prof. Eduardo Granado - PROVA 1 (01/04/2015)

1) Considere um sistema de duas partculas de massa m1 e m2 que interagem atravs de um potencial central V(r), onde r a distncia entre as partculas. A equao de autovalores de energia dada por:

H (r )=[ 2

2 2+V (r )] (r )=E (r ) , onde

m1 m2m1+m2

.

(a) Mostre que o Hamiltoniano pode ser escrito na forma: H = 2

21r

2

r 2r + 1

2 r2L 2+V (r )

. (Dica: Verifique o formulrio)(b) Encontre [H , L] e [ H , L 2] , justificando sua resposta.(c) Considerando que a dependncia angular dos autoestados simultneos de L2 e Lz dada pelos harmnicos esfricos Y l

m( ,) , argumente por que os autoestados simultneous de H, L2 e Lz

so descritos como k , l ,m(r )=uk ,l(r )

rY l

m( ,) , em que uk ,l (r ) satisfaz a equao radial:

[ 2

2d 2

dr 2+ l (l+1)

2

2 r2+V (r )]uk , l(r )=E k ,l uk , l(r) . Nesta equao, Ek,l e l (l+1)2 so os

autovalores de H e L2, respectivamente.(d) Seja uma partcula me massa m confinada ao interior de uma esfera oca de raio a, ou seja, V(r)=0 para r < a e V(r)= para r > a. Aplique as condies de contorno para este problema, e encontre os autoestados de H, L2 e Lz com l=0 e m=0 ( n ,0,0(r ) ). Quais so os valores possveis de energia ?

2) Considere o tomo de hidrognio, onde a energia potencial de interao escrita como V (r )=e2/r .

(a) Mostre, atravs de uma mudana de variveis, que a equao radial enunciada no problema 1

pode ser reescrita na forma: [ d2

d 2

l (l +1)2

+ 2k.l2 ]uk ,l ()=0 , onde =r /a0 ,

k ,l=E k , l / E I , a02/e2 , e E I e4/22 .(b) Encontre o comportamento assinttico de uk ,l () no limite .(c) Denominando a funo encontrada em (b) de f k ,l () e definindo yk ,l () de tal forma que uk ,l ()= f k ,l () yk , l() , mostre que a equao diferencial satisfeita por yk ,l () :

[ d2

d 22k ,l

dd

+( 2l (l +1)

2)] yk , l()=0 .

(d) Propomos solues da equao acima na forma de uma expanso em potncias em , ou seja, yk ,l ()=

sq=0

cq q , onde c0 por definio o primeiro termo no-nulo da expanso. Pode-se

mostrar facilmente, inserindo esta expanso na equao diferencial (no precisa fazer aqui), que s=l+1 e que os coeficientes da expanso satisfazem a relao

q (q+2l+1)cq=2[(q+l )k , l1]cq1 . Queremos agora truncar esta relao de recurso para uma dada ordem da expanso q=k, para chegarmos a solues fisicamente aceitveis (autoestados normalizveis). Pergunta: Qual a relao que k ,l deve satisfazer para que este truncamento ocorra ?(e) A partir do resultado de (d), encontre os valores possveis de energias, e mostre que, para cada nvel possvel de energia, existe um valor mximo possvel para o nmero quntico l.

3) Considere uma partcula de massa sendo espalhada por um potencial V(r). No limite assinttico r , a funo de onda da partcula em um estado estacionrio dada por

k (r)=eikz+ f k ( ,)

e ikr

r, e a seo de choque diferencial de espalhamento dada por

( ,)= f k ( ,)2 . Na abordagem do problema de espalhamento na aproximao de Born

(primeira ordem na srie de Born), a amplitude de espalhamento dada pela relao:

f k( B)( ,)=

22 eiKrV (r )d 3 r , onde Kkdk i o vetor de onda de

espalhamento.(a) Mostre que, quando se tratar de um potencial central V(r), a amplitude de espalhamento pode ser

escrita na forma de uma integral simples: f k ()=22 K

0

rV (r )sin(Kr )dr . Mostre que a

magnitude do vetor K dada por K=2 k sin(/2) .(b) Considere um potencial de uma esfera suave, [V(r) = V0 para r < a e V(r) = 0 para r > a]. Encontre f k () na aproximao de Born, em funo apenas de , , V0, k, e .(c) Para o problema do tem (b), esboce grficos para () em trs condies distintas, ka > 1 e ka = 1.

4) Considere o problema de espalhamento de uma partcula de massa por uma esfera rgida [V(r) = para r < a e V(r) = 0 para r > a], no limite de baixas energias (ka