1

Ορισμός Συνάρτησης

Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Σχόλιο : Τα σύνολα Α και Β είναι δύο μη κενά σύνολα. Συμπληρωματικοί ορισμοί

Έστω μια συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β.

Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της

συνάρτησης.

Οι συναρτήσεις στις οποίες το Α είναι υποσύνολο του

συνόλου ℝ και το Β συμπίπτει με το ℝ ονομάζονται

πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής

μεταβλητής. Στο εξής θα τις λέμε απλώς συναρτήσεις.

Αν με τη συνάρτηση f το ανιστοιχίζεται στο Β

τότε γράφουμε .

Το x ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή και το

εξαρτημένη μεταβλητή.

ΣΧΟΛΙΟ

Αν και συνήθως χρησιμοποιούμε το γράμμα f για το

συμβολισμό μιας συνάρτησης και τα γράμματα x και y για το συμβολισμό της ανεξάρτητης και της εξαρτημένης μεταβλητής αντιστοίχως, ωστόσο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και

άλλα γράμματα. Έτσι, για παράδειγμα, οι τύποι 21( )

2f x gx

και 21( )

2s t gt ορίζουν την ίδια συνάρτηση.

Συναρτήσεις

2

Πράξεις με συναρτήσεις

Έστω οι συναρτήσεις f και g με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα.

Ορίζουμε ως άθροισμα , διαφορά , γινόμενο και

πηλίκο

των συναρτήσεων f, g τις συναρτήσεις με τύπους

S(x)=

D(x)=

P(x)=

R(x)=

Το πεδίο ορισμού των , , είναι η τομή Α Β, ενώ

το πεδίο ορισμού της

είναι το Α Β, εξαιρουμένων των τιμών

του x που μηδενίζουν τον παρανομαστή . Ορισμός

Γραφική παράσταση ή καμπύλη μιας συνάρτησης f , σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy λέγεται το σύνολο των

σημείων για όλα τα .

Επομένως, ένα σημείο ( , )M x y του επιπέδου των αξόνων ανήκει

στην καμπύλη της f, μόνο όταν ( )y f x .

Η εξίσωση λοιπόν ( )y f x επαληθεύεται μόνο από τα ζεύγη

( , )x y που είναι συντεταγμένες σημείων της γραφικής

παράστασης της f και λέγεται εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.

3

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

ΕΥΘΕΙΑ

y = a & x = β y = ax y = ax + β

ΠΑΡΑΒΟΛΗ - ΤΡΙΩΝΥ Ο

y = ax2 y = ax2 + βx + γ

ΥΠΕΡΒΟΛΗ

ΚΥΒΙΚΗ ΔΥΝΑ Η

το α αλλάζει

την κλίση της

ευθείας

το β είναι το

σημείο που

τέμνει τον

άξονα των y

3y x

4

Μονοτονία συνάρτησης

Ορισμός: ία συνάρτηση f λέγεται:

γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου

ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε Δ με

ισχύει:

Συμβολισμός: Δ

γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου

ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε Δ με

ισχύει:

Συμβολισμός: Δ Θα γνωρίζω ότι: Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, τότε λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ.

Τοπικά ακρότατα συνάρτησης

Ορισμός: ία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι:

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο , το , όταν

για κάθε σε μια περιοχή του .

παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο , το , όταν

για κάθε σε μια περιοχή του .

Σχόλια :

Αν η ανισότητα ισχύει για κάθε τότε η f

παρουσιάζει στο ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο το

. (Αντίστοιχα λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο

ή απλά ελάχιστο). Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μιας

συνάρτησης, τοπικά ή ολικά, λέγονται ακρότατα της

συνάρτησης.

Περιοχή του ονομάζουμε ένα ανοικτό διάστημα το

οποίο περιέχει το και είναι «αρκετά» μικρό.

5

Όριο συνάρτησης

Η έννοια του ορίου :

Έστω μια συνάρτηση f , η οποία ορίζεται όσο κοντά

θέλουμε στον αριθμό . Όταν το παίρνει τιμές πολύ κοντά στον αριθμό l , καθώς το x παίρνει τιμές πολύ

κοντά στον αριθμό τότε λέμε ότι το όριο της f στο είναι l.

Συμβολισμός : .

Διαβάζεται «το όριο της f(x) καθώς το x τείνει στο

είναι »

Όρια και Πράξεις

Αν υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων f και g στο , δηλαδή

αν

κ και λ τότε:

κ λ

ρ ρ

ρ κ για κάθε σταθερά ρ ℝ

4.

=

= κ

λ με

≠0.

κ

εφόσον κοντά στο

6

Ορισμός Συνέχειας Συνάρτησης

ια συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής, αν για

κάθε ισχύει .

Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα κλειστό διάστημα είναι ότι η γραφική της παράσταση είναι μια συνεχής καμπύλη, δηλαδή για το σχεδιασμό της δε χρειάζεται να σηκώσουμε το μολύβι από το χαρτί. Θα γνωρίζω ότι : Αποδεικνύεται ότι οι

πολυωνυμικές,

ρητές,

τριγωνομετρικές,

εκθετικές και

λογαριθμικές συναρτήσεις,

καθώς και όσες προκύπτουν από πράξεις μεταξύ τους είναι συνεχείς συναρτήσεις.

7

Εφαπτομένη καμπύλης

Έστω f μια συνάρτηση και 0 0( , ( ))A x f x ένα σημείο της

γραφικής της παράστασης C. Παίρνουμε και ένα άλλο σημείο

0 0( , ( ))M x h f x h της C με 0h .

Παρατηρούμε ότι καθώς το Μ κινούμενο πάνω στη C πλησιάζει

το Α, όταν δηλαδή 0h , τότε η ευθεία ΑΜ φαίνεται να παίρνει μια οριακή θέση ε η οποία λέγεται εφαπτομένη (tangent) της C στο Α. Από το σχήμα

έχουμε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΜ είναι

0 0( ) ( )εφφ

f x h f xMΓ

AΓ h

,

οπότε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της C στο Α θα είναι

0 0

0

( ) ( )εφ lim

h

f x h f xω

h

.

x x0+h x0

f(x0)

y

f(x0+h)

Ο

C

Μ

Α

ε

Γ

φ ω

Μ

8

Μέση Ταχύτητα Το διάστημα S που διανύεται σε χρόνο t sec (s) από ένα σώμα που αφήνεται να πέσει στο κενό εκφράζεται από τον τύπο

21( )

2S t gt ,

Σε ένα χρονικό διάστημα [t1, t2], ορίζεται η μέση ταχύτητα ως

έση ταχύτητα = διανυθέν διάστημα

χρόνος =

0 0( ) ( )f t h f tx

h h

.

Στιγμιαία Ταχύτητα H ταχύτητα που έχει το κινητό μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή t0 δίνεται από τη σχέση:

0 0

0 0

( ) ( )lim limh h

f t h f tx

h h

.

Δηλαδή θα είναι το όριο του λόγου της μεταβολής της τετμημένης του κινητού προς την αύξηση του χρόνου, καθώς η τελευταία τείνει προς το μηδέν χωρίς στην πραγματικότητα να γίνεται ίση με το μηδέν.

9

0

Γ

Β

Α

ε 0f x h

0

0f x

fc

0x

h

Α

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f

Ορισμός: Παράγωγος συνάρτησης f σε ένα σημείο 0x του

πεδίου ορισμού της ονομάζεται το όριο 0 0

h 0

f x h f xlim

h

όταν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.

Συμβολίζεται με 0f x . Δηλαδή: 0f x 0 0

h 0

f x h f xlim

h

Τι παριστάνει ο αριθμός 0f x ;

0 0f x h f x

h

0f x : 0 0

h 0

f x h f xlim

h

εφω ω: γωνία της εφαπτομένης με τον x΄x

κλίση της ε

ρυθμός μεταβολής της f στο 0x

σε προβλήματα κίνησης: s t u t

10

u t t

Παράδειγμα:

Δίνεται η συνάρτηση 2f x x 5x 6 . Να βρείτε την f 2 .

Για h 0 έχω:

2f 2 h f 2 2 h 5 2 h 6 0

h h

24 4h h 10 5h 6

h

2 hh h

h

h 1

h

h 1 .

Άρα

h 0 h 0

f 2 h f 2lim lim h 1 1

h

.

Άρα f 2 1 .

ΙΔΙΟΤΗΤΑ: Κάθε συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη

στο 0x είναι και συνεχής στο 0x .

Δηλαδή 0

0x xlim f x f x

[το αντίστροφο δεν ισχύει]

Π.χ. η x, x 0

f x | x |x, x 0

h 0 h 0

f 0 h f 0 h 0lim lim 1

h h

και

h 0 h 0

f 0 h f 0 h 0lim lim 1

h h

Άρα δεν υπάρχει η f 0 .

11

Εξίσωση εφαπτομένης

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Πώς θα βρίσκω εξίσωση εφαπτομένης της fc

στο 0 0A x , f x ;

1. Γράφω ότι η ζητούμενη εξίσωση έχει τη μορφή y x .

2. Γράφω ότι 0f x και το υπολογίζω.

3. Αντικαθιστώ τις συντεταγμένες του Α στην y x και

βγάζω την εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας.

Παράδειγμα: Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στην

fc της 2f x x 5x 6 στο A 2, f (2) .

Λύση: Η εξίσωση της εφαπτομένης έχει τη μορφή y x

όπου f 2 ... 1 . Αλλά A 2, f (2) 2, 0 άρα

0 1 2 2 , δηλαδή : y x 2 .

Παράγωγος Συνάρτηση

Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α, και Β το σύνολο των x A στα οποία η f είναι παραγωγίσιμη. Τότε ορίζεται μια νέα συνάρτηση, με την οποία κάθε x B

αντιστοιχίζεται στο 0

( ) ( )( ) lim

h

f x h f xf x

h

. Η συνάρτηση αυτή

λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f και συμβολίζεται με f .

Παράδειγμα: Έστω 2( ) 3f x x , τότε έχουμε: 2 2 2 2 2( ) ( ) 3( ) 3 3( 2 ) 3 (2 )f x h f x x h x x xh h x h x h ,

και για 0h ( ) ( ) 3 (2 )

6 3f x h f x h x h

x hh h

.

Επομένως, 0

( ) lim(6 3 ) 6h

f x x h x

.

12

Θεώρημα 1ο

Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c είναι

.

Απόδειξη

Για h 0 ισχύει: f x h f x c c

0h h

άρα και

h 0

f x h f xlim 0

h

, δηλαδή f x 0

Θεώρημα 2ο

Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι

Απόδειξη

Για h 0 ισχύει f h x f x x

h

h x 1

h

άρα και

h 0

f x h f xlim 1

h

, δηλαδή f x 1 .

f x c x x x x

x x xe x x nx

f x

0 1 1x

x

x

2

1

x

2

1

x

xe

x n

1

2 x 1

x

Θεώρημα 3ο

Η παράγωγος της συνάρτησης cf(x) όπου c είναι c

Απόδειξη

Θεωρώ τη συνάρτηση F x c f x οπότε για h 0 ισχύει:

F x h F x c f x h c f x f x h f xc

h h h

άρα

h 0 h 0

f x h f x f x h f xlimc c lim c f x

h h

13

Θεώρημα 4ο

Η παράγωγος της συνάρτησης f(x)+g(x) είναι

Απόδειξη

Θεωρώ τη συνάρτηση F x f x g x οπότε για h 0 ισχύει:

F x h F x f x h g x h f x g x f x h f x g x h g x

h h h h

Άρα

h 0 h 0 h 0

F x h F x f x h f x g x h g xlim lim lim f x g x

h h h

Κανόνες παραγώγισης

c f x c f x

f x g x f x g x

f x g x f x g x f x g x

2

f x f x g x f x g x

g x g x

Παραδείγματα παραγώγων

1. 7 4 n3 9 0

2.

3 25 3 5 5

5 2

3 3x x x

5 5 x

3. 3 3

3 2 3

2 2

2x x 2x x2x 6x x 2x x

x x x

14

4.

3 2f x 7x 2x 9x 2005

3 2f x 7x 2x 9x 2005

3 27 x 2 x 9 x 2005

27 3x 2 2x 9 1 0

5. g x 3 x 4x 9 x 8

1

g x 3 x 4 9 02 x

6. 3

3x 1f x x

12 12

2

3 21 1 xf x x 3x

12 12 4

7. 4 3 1g x 7x 6x 8 x

6

3 2 8g' x 28x 18x

x

221x 4x 9

15

ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

f g(x) f g(x) g x

f x f x f g(x) f g(x)

c 0 - -

x 1 - -

x 1x g x 1g x g x

x x g x g x g x

x x g x g x g x

x 2

1

x g x

2

1g x

g x

x 2

1

x

g x

2

1g x

g x

xe xe g xe

g xe g x

x x n g x

g xn g x

x 1

2 x g x

1g x

2 g x

nx 1

x ng x

1g x

g x

16

Παραδείγματα

f x 6x f x 6x 6x 6 6x

6 5 5f x x f x 6 x x 6 x x

2005 2005 2004

2 2 2 2f x 3 x 5x f x 3 x 5x 3 2005 x 5x x 5x

2004

26015 2x 5 x 5x

Κριτήριο 1ης παραγώγου

Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε αυτό. Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ

Αν σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ

Αν για μια συνάρτηση f ισχύει 0f x 0 και 0x , τότε:

Αν στο 0, x f x 0 και στο 0x , f x 0

τότε f παρουσιάζει στο 0x μέγιστο

Αν στο 0, x f x 0 και στο 0x , f x 0

τότε f παρουσιάζει στο 0x ελάχιστο

Παράδειγμα 1ο

Η συνάρτηση f x 5x 10 ορίζεται στο [2, ) και

παραγωγίζεται στο 2, με 1

f x 5 02 5x 10

. Άρα f

στο [2, )

17

Παράδειγμα 2ο

Η συνάρτηση 3

2xf x 3x 5x 1

3 ορίζεται στο και

2f x x 6x 5 . Τότε f x 0 x 1 ή x 5 .

Κατασκευάζω τώρα τον πίνακα μεταβολών της f.

x 1 5

f x + O O +

f x

Τ. . T.E. f(1) f(5)

18

Στατιστική

19

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική: σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για

Το σχεδιασμό και τη διαδικασία συλλογής δεδομένων

Τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους

Την ανάλυση και εξαγωγή αντίστοιχων συμπερασμάτων

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ

Πληθυσμός: Ένα σύνολο που θέλουμε να εξετάσουμε τα στοιχεία του (άτομα) ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους (μεταβλητές) Μεταβλητή: Το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουμε έναν πληθυσμό. Τις συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα (Χ,Υ,Ζ,Α,Β…) Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής. xi=τιμή της μεταβλητής ή της παρατήρησης ή του δεδομένου i=1,2,3… ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

Οι τιμές τους δεν είναι αριθμοί Αριθμοί

αλλά

χαρακτηρισμοί ή γράμματα

ΠΟΙΟΤΙΚΕΣ Ή ΚΑΤΗΓΟΡΙΚΕΣ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ

20

Οι ποσοτικές μεταβλητές που Οι ποσοτικές μεταβλητές παίρνουν μόνο «μεμονωμένες» που μπορούν να πάρουν τιμές οποιαδήποτε τιμή σε ένα

διάστημα πραγματικών αριθμών (α,β)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Ο αριθμός υπαλλήλων μιας επιχείρησης

Το αποτέλεσμα της ρίψης ενός ζαριού

Ο αριθμός μαθητών μιας τάξης

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

Το ύψος και το βάρος των μαθητών μιας τάξης

Ο χρόνος που χρειάζονται οι μαθητές για να απαντήσουν

σε ένα τεστ.

Δείγμα(αντιπροσωπευτικό): κάποια μικρή ομάδα ή υποσύνολο του πληθυσμού που έχει επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε μονάδα (άτομο) του πληθυσμού να έχει την ίδια δυνατότητα να επιλεγεί. Μέγεθος ν ενός δείγματος; ο φυσικός αριθμός που δείχνει το πλήθος των ατόμων που περιλαμβάνει το δείγμα. Έστω x1 , x2,…. xk οι τιμές μιας μεταβλητής Χ που αφορά στα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, κ ≤ ν τότε:

ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

21

πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων όπου i=1, 2, …k Προφανώς ισχύει ν1+ν2+…νκ=ν Σχετική συχνότητα fi της τιμής xi λέγεται το πηλίκο της διαίρεσης της συχνότητας νi με το μέγεθος ν του δείγματος δηλαδή

fi =

i=1, 2,….k

IΣΧΥΕΙ ΟΤΙ:

0 ≤ fi ≤ 1

f1+f2+…+fk =1

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: συνήθως τις σχετικές fi τις εκφράζουμε επί τοις εκατό οπότε συμβολίζονται με fi %.

Δηλαδή fi %=100fi =100

, i=1, 2,…..k

Αθροιστική συχνότητα Νi της τιμής xi μιας μεταβλητής Χ όταν οι τιμές x1 , x2,…. xk είναι διατεταγμένες σε αύξουσα διάταξη, λέγεται ο αριθμός Νi =ν1+ν2+…νi , i=1,2,….k Ισχύει ότι: ν1=Ν1 ν1+ν2=Ν2 . . . ν1+ν2+….νκ=Νκ Αθροιστική σχετική συχνότητα Fi της τιμής xi λέγεται ο αριθμός Fi=f1+f2+…fi i=1, 2, …..k Ισχύει ότι: F1 = f1 F2 = f1+f2

. . Fk =f1+f2+…fk

22

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Γραφικές παραστάσεις κατανομής συχνοτήτων ΡΑΒΔΟΓΡΑΜΜΑ: οριζόντιο ή κατακόρυφο χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής.

23

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ: χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μιας ποσοτικής μεταβλητής.

24

Διάγραμμα συχνοτήτων πολύγωνο συχνοτήτων ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ: σχηματίζεται ενώνοντας τα σημεία (xi,νi) KΥΚΛΙΚΟ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ: χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο ποιοτικών όσο και διακριτών ποσοτικών συχνοτήτων όταν οι τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες. Αν αi είναι το αντίστοιχο τόξο (επίκεντρη γωνία) ενός κυκλικού τμήματος στο κυκλικό διάγραμμα συχνοτήτων, τότε

αi=3600

=3600 fi i=1, 2, …k

ΣHMEIOΓΡΑΜΜΑ Όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, η κατανομή τους μπορεί

να περιγραφεί με το σημειόγραμμα (dot diagram), στο οποίο

οι τιμές παριστάνονται γραφικά σαν σημεία υπεράνω ενός

οριζόντιου άξονα. Στο σχήμα 4 έχουμε το σημειόγραμμα των

χρόνων (σε λεπτά) 4,2,3,1,5,6,4,2,3,4,7,4,8,6,3 που

χρειάστηκαν δεκαπέντε μαθητές, για να λύσουν ένα

πρόβλημα.

7 8 6 5 4 3 2 1 0

χρόνος (σε λεπτά)

25

ΧΡΟΝΟΓΡΑΜΜΑ Το χρονόγραμμα ή χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους. Ο οριζόντιος άξονας χρησιμοποιείται συνήθως ως άξονας μέτρησης του χρόνου και ο κάθετος ως άξονας μέτρησης της εξεταζόμενης μεταβλητής.

Θήλεις

Σύνολο

Άρρενες

0

2

4

6

8

10

12

14

fi %16

1990 1991 1992 1993 1994 1995

26

ΠΩΣ ΚΑΝΩ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ

1ο ΒΗΜΑ: εκλογή του πλήθους κ των ομάδων ή

κλάσεων σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα:

ΕΓΕΘΟΣ ΔΙΕΓ ΑΤΟΣ (ν) ΑΡΙΘ ΟΣ ΚΛΑΣΕΩΝ (κ)

<20 5

20-50 6

50-100 7

100-200 8

200-400 9

400-700 10

700-1000 11

≥1000 12

2ο ΒΗΜΑ: προσδιορισμός του πλάτους c των κ κλάσεων:

c=

(αν χρειαστεί κάνω στρογγυλοποίηση πάντα προς τα πάνω )

3ο ΒΗΜΑ: κατασκευή των κλάσεων

1. Ξεκινάμε από την μικρότερη παρατήρηση ή για

πρακτικούς λόγους λίγο πιο κάτω.

2. Προσθέτοντας κάθε φορά το πλάτος c

δημιουργούμε τις κ κλάσεις.

3. Η μεγαλύτερη τιμή του δείγματος θα πρέπει να

ανήκει οπωσδήποτε στην τελευταία κλάση.

4. Διαλογή των παρατηρήσεων στις κ κλάσεις.

Το πλήθος των παρατηρήσεων νi στην κλάση i καλείται συχνότητα της i κλάσης ή συχνότητα της κεντρικής τιμής xi.

27

ΙΣΤΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ: Η γραφική παράσταση μιας ομαδοποιημένης κατανομής με διαδοχικά ορθογώνια (ιστούς) που το καθένα έχει:

Βάση ίση με το πλάτος c της κλάσης

Ύψος τέτοιο ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται

με τη συχνότητα ν της κλάσης.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: θεωρώ το πλάτος c ως μονάδα μέτρησης του χαρακτηριστικού στον οριζόντιο άξονα, το ύψος κάθε ορθογωνίου είναι ίσο με τη συχνότητα ή τη σχετική συχνότητα. ΠΟΛΥΓΩΝΟ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ: Το σύνολο των διαδοχικών ευθύγραμμων τμημάτων που ενώνουν τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων του ιστογράμματος, θεωρώντας δύο ακόμα υποθετικές κλάσεις στην αρχή και στο τέλος, με συχνότητα μηδέν και πλάτος c. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Ύψος μαθητών [ , )

Κεντρικές τιμές xi

νi

fi%

Νi

Fi%

156-162 159 2

5 2 5

162-168 165 8

20 10 25

168-174 171 12

30 22 55

174-180 177 11

27,5

33 82,5

180-186 183 5

12,5

38 95

186-192 189 2

5 40 100

------------ Σύνολο 40

100 ------------- -------------

28

Ιστόγραμμα και πολύγωνο συχνοτήτων

Πολύγωνο και ιστόγραμμα αθροιστικών συχνοτήτων Το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων προκύπτει αν ενώσουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα.

29

ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

1. Στο ιστόγραμμα, το άθροισμα των εμβαδών όλων των

ορθογωνίων είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος.

2. Το εμβαδόν που περικλείει το πολύγωνο συχνοτήτων με

τον οριζόντιο άξονα, ισούται με το άθροισμα των εμβαδών

των ορθογωνίων δηλαδή ίσο με το μέγεθος ν.

3. Το εμβαδόν που περικλείει η πολυγωνική γραμμή των

αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων με τον οριζόντιο άξονα

ισούται με 1.

4. Οι τιμές του δείγματος που ανήκουν σε μια κλάση

πλάτους c, θεωρούμε ότι κατανέμονται ομοιόμορφα σ’

αυτή. Επομένως, αν θεωρήσουμε κλάση [α, β) πλάτους c

και ένα υποδιάστημα [α, γ) αυτής,

α γ β [ ] ) ν2

ν1

τότε τα πλήθη ν1 και ν2 των τιμών του δείγματος που περιέχονται στα αντίστοιχα διαστήματα αυτά είναι ανάλογα με τα πλάτη των διαστημάτων αυτών. Δηλαδή:

=

=

30

Όμοια από το πολύγωνο αθροιστικών συχνοτήτων ή αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων εφαρμόζοντας το θεώρημα Θαλή έχουμε………… ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ: είναι εκείνη η πολυγωνική γραμμή που τείνει να πάρει τη μορφή μιας ομαλής καμπύλης όταν:

O αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι

αρκετά μεγάλος

Το πλάτος των κλάσεων είναι αρκετά μικρό (τείνει στο

μηδέν)

31

ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ Ή ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ μιας κατανομής ενός συνόλου δεδομένων είναι εκείνα που μας δίνουν τη θέση του «κέντρου» των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα.

1. ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ : ορίζεται ως το άθροισμα των

παρατηρήσεων δια του πλήθους τους.

Όταν σε ένα δείγμα μεγέθους ν οι παρατηρήσεις μιας

μεταβλητής Χ είναι t1, t2, … tν, τότε

=

=

=

Σε μία κατανομή συχνοτήτων, αν x1, x2,….xk είναι οι

τιμές της μεταβλητής Χ με συχνότητες ν1, ν2,…νκ

αντίστοιχα, τότε:

=

=

=

Ισοδύναμα: =

=

.

2. ΣΤΑΘΜΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ ή σταθμισμένος αριθμητικός μέσος

που συμβολίζεται επίσης με , των τιμών x1, x2,….xk ενός

συνόλου δεδομένων, με αντίστοιχους συντελεστές

στάθμισης (βαρύτητας) w1, w2,…wk ορίζεται από τον τύπο

=

=

3. ΔΙΑΜΕΣΟΣ δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων (διακριτής

μεταβλητής) οι οποίες έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά

ορίζεται ως:

Η μεσαία παρατήρηση όταν ν περιττός

Το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων όταν

το ν είναι άρτιος άρτιος.

Δηλαδή αν ν=2κ+1 τότε δ=xκ+1 Ενώ αν ν=2κ τότε δ=xk

32

ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΣΕ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

Η διάμεσος δ αντιστοιχεί στην τιμή Fi%=50

Η διάμεσος είναι η τιμή για την οποία Το πο ύ των παρατηρήσεων είναι μι ρότερες από αυτήν αι Το πο ύ των παρατηρήσεων είναι μεγα ύτερες από αυτήν

33

Σύγκριση μέτρων θέσης

Η μέση τιμή επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές και

εξαρτάται από όλες τις τιμές της μεταβλητής

Η διάμεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές και

εξαρτάται από όλες τις τιμές μιας μεταβλητής.

ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ μιας κατανομής συνόλου δεδομένων είναι εκείνα που μας εκφράζουν τις αποκλίσεις (τη διασπορά) των τιμών μιας μεταβλητής γύρω από τα μέτρα «κεντρικής τάσης».

1 .Εύρος R: είναι η διαφορά της ελάχιστης από τη μέγιστη παρατήρηση δηλαδή R=Xmax - Xmin Το εύρος δεν είναι αξιόπιστο μέτρο διασποράς γιατί βασίζεται μόνο στις δύο ακραίες παρατηρήσεις. 2. Μέση απόλυτη απόκλιση α

α=

=

α=

=

3. Διακύμανση ή διασπορά s2

S2 =

=

S2 =

S2 =

=

S2 =

34

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: η διακύμανση είναι μία αξιόπιστη παράμετρος διασποράς με το μειονέκτημα ότι δεν εκφράζεται με τις μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. 4. Τυπική απόκλιση s

S= ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: η τυπική απόκλιση s είναι το μέτρο διασποράς που εκφράζεται με τις μονάδες του χαρακτηριστικού.

4. Συντελεστής μεταβολής ή μεταβλητότητας CV

cv=

ο συντελεστής μεταβολής cv είναι ανεξάρτητος από τις μονάδες μέτρησης και παριστάνει ένα μέτρο σχετικής διασποράς. Ομοιογενές θεωρείται ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής όταν cv<10%

Για δύο δείγματα Α, Β αν CVA < CVB τότε το Α είναι πιο

ομοιογενές από το Β.

35

Ιδιότητες μέσης τιμής

Αν όλες οι τιμές χi της μεταβλητής Χ με μέση τιμή

αυξηθούν κατά ω, ω∊ℝ τότε η νέα μέση τιμή θα είναι

= +ω.

πολλαπλασιαστούν με α∊ℝ τότε η νέα μέση τιμή θα είναι

= α .

Ιδιότητες διακύμανσης

Αν όλες οι τιμές χi της μεταβλητής Χ με διασπορά s2

αυξηθούν κατά ω, ω∊ℝ , τότε η διασπορά μένει ίδια,

δηλαδή

=

πολλαπλασιαστούν με α∊ℝ τότε η νέα διασπορά θα είναι

= α2 .

36

Αν η καμπύλη συχνοτήτων για το χαρακτηριστικό που εξετάζουμε είναι κανονική ή περίπου κανονική, τότε η τυπική απόκλιση s έχει τις παρακάτω ιδιότητες:

To 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο

διάστημα ( -s, +s).

To 95% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο

διάστημα ( -2s, +2s).

Το 99,7% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο

διάστημα ( -3s, +3s).

Το εύρος R είναι περίπου ίσο με έξι τυπικές αποκλίσεις

R 6s

H μέση τιμή είναι ίση με τη διάμεσο δ, δηλαδή =δ

Λόγω της συμμετρίας της καμπύλης, μπορούμε να υπολογίσουμε τα ποσοστά των παρατηρήσεων που βρίσκονται στα ενδιάμεσα διαστήματα όπως παρακάτω.

Κανονική κατανομή

37

38

Οι αποδείξεις συνοπτικά

Θεώρημα 1ο

Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c είναι

.

Απόδειξη

Για h 0 ισχύει: f x h f x c c

0h h

άρα και

h 0

f x h f xlim 0

h

, δηλαδή f x 0

Θεώρημα 2ο

Η παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι

Απόδειξη

Για h 0 ισχύει f h x f x x

h

h x 1

h

άρα και

h 0

f x h f xlim 1

h

, δηλαδή f x 1 .

Θεώρημα 3ο

Η παράγωγος της συνάρτησης cf(x) όπου c είναι c

Απόδειξη

Θεωρώ τη συνάρτηση F x c f x οπότε για h 0 ισχύει:

F x h F x c f x h c f x f x h f xc

h h h

άρα

h 0 h 0

f x h f x f x h f xlimc c lim c f x

h h

39

Θεώρημα 4ο

Η παράγωγος της συνάρτησης f(x)+g(x) είναι

Απόδειξη

Θεωρώ τη συνάρτηση F x f x g x οπότε για h 0 ισχύει:

F x h F x f x h g x h f x g x f x h f x g x h g x

h h h h

Άρα

h 0 h 0 h 0

F x h F x f x h f x g x h g xlim lim lim f x g x

h h h

Έχουμε ότι : f1 + f2 +……..+ fk =

=

=

= 1.

f1+f2+…+fk =1

40