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Experimentos com Estados Emaranhados de Fótons

Paulo Henrique Souto RibeiroInstituto de Física - UFRJ

Universidade Federal de Sergipe Aracaju

Julho, 2009

Grupo de Óptica Quântica do IF - UFRJ

Grupo de Óptica Quântica – IF/UFRJExperimentais:Prof. Paulo Henrique Souto Ribeiro Prof. Stephen Patrick Walborn

Teóricos:Prof. Luiz DavidovichProf. Nicim ZaguryProf. Ruynet Matos FilhoProf. Fabricio Toscano

Estudantes de Doutorado: Adriana Auyuanet Larrieu, Adriano H. de Oliveira Aragão, Alejo Salles, Alessandro Saboya Lima e Silva, Bruno de Moura Escher , Bruno GouvêiaTaketani, Daniel Schneider Tasca, Gabriel Aguilar, Gabriela BarretoLemos, Osvaldo Jimènez Farias, Rafael Chaves, Rafael Morais Gomes.

Parte I

-Simultaneidade em conversão paramétrica descendente-Comportamento não clássico: violação de uma desigualdade clássica-Consequências da simultaneidade: estado de um fóton localizado,o interferômetro de Hong-Ou-Mandel e a medida do tempo de tunelamente do fóton

Parte II

-Coerência espacial e coerência parcial-Interferência de fenda dupla com fótons gêmeos-A transferência do espectro angular-Consequências das correlações espaciais: comprimento de onda de deBroglie e o anti-agrupamento espacial

-Prova de não-separabilidade e detecção de emaranhamento devariáveis contínuas

Parte III

-Emaranhamento na Polarização: geração e detecção-Violação da desigualdade de Bell e Medida do emaranhamento-Criptografia Quântica

Programa:

Parte I

-Simultaneidade em conversão paramétrica descendente-Comportamento não clássico: violação de uma desigualdade clássica-Consequencias da simultaneidade: estado de um fóton localizado,o interferômetro de Hong-Ou-Mandel e a medida do tempo de tunelamente do fóton

Parte II

-Coerência espacial e coerência parcial-Interferência de fenda dupla com fótons gêmeos-A transferência do espectro angular-Consequências das correlações espaciais: comprimento de onda de deBroglie e o anti-agrupamento espacial-Prova de não-separabilidade e detecção de emaranhamento devariáveis contínuas

Parte III

-Emaranhamento na Polarização: geração e detecção-Violação da desigualdade de Bell e Medida do emaranhamento-Criptografia Quântica

Programa:

Conversão Parametrica Descendente

Emissão espontânea

TwinPhotons

p i sω ω ω= +h h h

p i sk k k= +r r r

Emissão estimulada

Conversão Parametrica Descendente

Observação de simultaneidade

Conversão paramétrica descendente:estadoquântico

Seguindo L.J. Wang – PhD thesis – Rochester - 1992

Evolução temporal

Operador de evolução temporal

Integral temporal

Simultaneidade na conversão paramétricadescendente

Estado quântico para interação fraca

Estado quântico após algumas aproximações


( ) ( ) ( ), , ,ˆ ˆ( ) ( )s i s i s iI t t E t E t tτ ψ τ τ ψ− ++ = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ, ( ) ( )i s s s i i i i s sC t t t E t E t E t E t tτ τ ψ τ τ τ τ ψ− − + ++ + = + + + +

Cálculo de valores esperados

( ) ( ) ( ).1 ˆ, i k r t

k kk

E r t l a e ωε ω −+ =Ω∑

r r

r rr

) r

Operador campo elétrico

Intensidade

Coincidências


Simultaneidade na conversão paramétricadescendente: abordagem simplificada

( ) ( )( )01 2( ) 1 1i si t t

i s P i s i st c vac c d d v e ω ωψ ω ω ω ω ω ω+ −= + +∫

( ) ( ) ( )i tE t c d a e ω ττ ω ω ++ + = ∫) )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )2

, ( ) ( )

( )

τ τ ψ τ τ τ τ ψ

τ τ ψ

− − + +

+ +

+ + = + + + +

= + +

) ) ) )

) )i s s s i i i i s s

i i s s

C t t t E t E t E t E t t

E t E t t

Estado quântico simplificado

Operador campo elétrico: onda plana, quase monocromático

Coincidências


( )

( ) ( ) ( )0 02

,

0 0i i s s

i s

i t t t i t t ti s P i s i s

C t t

d d v e eω τ ω τ

τ τ

η ω ω ω ω ω ω− + + − + +

+ + =

= +∫

( ) ( ) ( )2

, i sii s i sC t t d e ω τ ττ τ η ω η δ τ τ−+ + = = −∫

( )( ) ( )

( ) ( )( )

1 2

1 2

0

2

1 2,

1 1

ω τ ω τω ω

ω ω

ω ωτ τ η

ω ω ω ω ω ω

+ +

+ −

×+ + =

× +

∫ ∫∫

) )i s

i s

i t i t

i s i t ti s P i s i s

d a e d a eC t t

d d v e

( )Feixe de bombeamentocomo onda plana

( )0ω ω δ ω ω ω→ + → − −P i s i sv


Detecção em Coincidências

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 σ = 370ps

even

ts (

norm

aliz

ed)

time delay (ns)

Detecção em Coincidências

Medida dos atrasos relativos

σ=168ps

σ=185ps

( )

( ) ( ) ( )0 02

( )

,

( 0) 0i i s si s

i s

i t t t i t t ti s P i s i s

C t t

d d v f e ef ω τ ω τ

τ τ

η ω ω ω ω ω ωω ω − + + − + +

+ + =

= +∫

( ) ( ) ( )22 2

( ), ω τ ττ τ η ω ηω τ τ−+ = = −+ ∫ i sis si iC t t d ef F

( )( ) ( )

( ) ( )( )

1 2

1 2

0

2

1 221,

( )

1 1

( )ω τ ω τω ω

ω ω

ω ωτ τ η

ω

ω ω

ω ω ω ω ω

+ +

+ −

×+ + =

× +

∫ ∫∫

) )i s

i s

i t i t

i s i t ti s P i s i s

d a e d a eC

f

d

ft t

d v e

Feixe de bombeamentocomo onda plana

( ) ( )0ω ω δ ω ω ω→ + → − −P i s i sv


+ filtros na detecção

-15 -10 -5 0 5 10 15

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

σ = 2.7 x 1013 rad/s

tran

smitan

ce(%

)

frequency x1013(rad/s)-200 -100 0 100 200

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Filtro de interferência típico => Δλ = 10nm e usando λ = 700nm

σ = 116 x 10-15 s

amplit

ude

time(fs)

2 ( )ωf ( )tF

12

32(Gaussiano 3.8 10 /) rad scf πω ω λλ

ω→ →Δ = Δ ×→Δ =

12 32.7 10 1/ 116 168( ) '2 '2

ω πω ωω

Δ→Δ = = → Δ Δ = →Δ = =

Δ× <<rad s fsf t f t ps


+ filtros na detecção


+ resolução temporal

Estado de um fóton localizado

Violação de uma desigualdade clássica

Violação de uma desigualdade clássica:desigualdade de

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz

Em matemática, a desigualdade de Cauchy-Schwarz, também conhecida como a desigualdade de Schwarz, a desigualdade de Cauchy, ou a desigualdade de Cauchy-Bunyakovsky-Schuarz, é uma desigualdade muito útil que aparece emvários contextos diferentes, tais como em álgebra linear aplicando-se a vetores, em análise aplicando-se a series infinitas e integração de produtos, e na teoria de probabilidades aplicando-se as variâncias e covariâncias.

A desigualdade garante que, para quaisquer dois vetores x e y de um espaçovectorial com produto interno, se tem

com igualdade se, e só se, x e y são linearmente dependentes. Essa desigualdade para somas foi publicada por Augustin Cauchy (1821), enquanto a correspondente desigualdade para integrais foi primeiro estabelecidapor Viktor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) e redescoberta porHermann Amandus Schwarz (1888) (às vezes chamado erroneamente de "Schwartz").

≤ ⋅2

, , ,x y x x y y

Interferômetro de Hong, Ou and Mandel

1 1 2

2 2 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

b ta ira

b ta ira

= +

= +

( ) ( )1 2 1 2 2 1

2 21 1 2 2 1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

b b ta ira ta ira

irt a a irt a a t a a r a a

= + +

= + + −

Divisor de feixe Relações entrada-saída

Interferômetro de Hong, Ou and Mandel:análise monomodo

( ) ( )= + +

= + + −1 1 1 2 1 2

2 22 1 1 2 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ


b b ta ira ta ira


( ) ( )= + +

= + + −2 2 2 1 2 1

2 21 2 2 1 2 2 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ


b b ta ira ta ira


1 1 2

2 2 1

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

b ta ira

b ta ira

= +

= +

( ) ( )1 2 1 2 2 1

2 21 1 2 2 1 2 1 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ


b b ta ira ta ira


= + +

= + + −

Divisor de feixe Relações entrada-saída

Interferômetro de Hong, Ou and Mandel:análise monomodo

( ) ( )= + +

= + + −1 1 1 2 1 2

2 22 1 1 2 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ


b b ta ira ta ira


( ) ( )= + +

= + + −2 2 2 1 2 1

2 21 2 2 1 2 2 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ


b b ta ira ta ira


=r t

( )ω δτ

ωδτ τ τ

− Δ∝ −Δ →

= −

2.

Taxadecoincidencias

1

i s

C e( )ωf

.c δτ

( )ωf

2cσω

=Δ

Interferômetro de Hong, Ou and Mandel

Tempo de tunelamento de um fóton

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