exercicios de primitivas

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Captulo5Primitiva cao5.1Determine uma express ao geral de todas as primitivas das seguintes fun c oes.a) (1 x)5, b) |x|.(GrupoIII2daProvade25/7/77)5.2Para cada uma das fun c oes denidas em R pelas express oescos

2x 4

,x1 +x4, xex2(todas elas imediatamente primitiv aveis) obtenha, se possvel:a) A primitiva que se anula no pontox = 0.b) A primitiva que tende para 1 quandox +.Se nalgum caso for impossvel obter uma primitiva que verique a condi c ao requerida explique araz ao dessa impossibilidade.(Pergunta1daProvade20/7/78)Resolu cao:Designando porFuma primitiva de cos

2x 4

temos:F(x)

cos

2x 4

dx =12

cos

2x 4

2 dx =12 sen

2x 4

+K.a) SeF(0) = 0 e porqueK =122; a primitiva que se anula parax = 0 e pois:F(x) =12 sen

2x 4

+122.b) Para nenhum valor de K existe o limite limx+F(x) pelo que n ao existe nenhuma primitivatal que limx+F(x) = 1.Designando porG uma primitiva dex1+x4temos:G(x)

x1 +x4dx =12

2x1 + (x2)2dx =12 arctg x2+K.99CAPITULO5. PRIMITIVACAOa) SeG(0) = 0 e porqueK = 0; a primitiva que se anula em 0 e pois:G(x) =arctg x22.b)limx+G(x) = limx+arctg x22+K =4+K.Se limx+F(x) = 1 e porqueK = 1 4, logo a primitiva pedida e:G(x) =12 arctg x2+

1 4

.Designando porHuma primitiva dexex2H(x)

xex2dx = 12

ex2(2x) dx = 12ex2+K.a) SeH(0) = 0 e porqueK =12. Logo, a primitiva pedida e:H(x) =12

1 ex2

.b) limx+H(x) = limx+

12ex2+K

= K. Logo a primitiva que vericalimx+H(x) = 1 e:H(x) = 12ex2+ 1.5.3a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun c oes:x2cos(x3+ 1),1 +x1 x2, exsenx.b) Determine a fun c aoFdenida em R \ {1} que obedece ` as seguintes condi c oes:F

(x) =1(x 1)2, F(2) = 0, limxF(x) = 10.(GrupoIdaProvade11/9/78)5.4Obtenhaumaprimitivadecada umadasseguintes fun c oes(todaselas elementarmentepri-mitiv aveis).sen(2x) cos(2x),1x(2 3 log x)23, ex+ex.(GrupoIadaRepeti caodo2oTestede18/9/80)Resolu cao:Notando que a derivada deddx(sen(2x)) = 2 cos(2x):

sen(2x) cos(2x) dx =12

sen(2x) cos(2x)2 dx =14 sen2(2x).100Notando que1xe a derivada de log x:

1x(2 3 log x)23dx =

1(2 3 log x)231x dx= 13

(2 3 log x)23

3x

dx = 133(2 3 log x)13= (2 3 log x)13.FinalmenteH(x) =

ex+exdx =

exeexdx = eex.5.5Paracadaumas das fun c oes (todas elas imediatamenteprimitiv aveis) denidas pelas ex-press oes:xsen x2,ex2 + ex,1(1 + x2)[1 + (arctg x)2]determine, se possvel:1. Uma primitiva que se anule no pontox = 0;2. Uma primitiva que tenda para 0 quandox +.Nos casos em que n ao seja possvel obter uma primitiva nas condi c oes requeridas explique sucin-tamente a raz ao dessa impossibilidade.(GrupoIbdo2oTestede28/7/80)5.6Determine uma primitiva delog xx(log2x + 1)no intervalo ]0, +[.(Pergunta1bdaProvade7/74)5.7a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun c oes:tg xsec2x; sen x 2cos x;1x + xlog2x.b) Determine a fun c aof, denida em R \ {0} que verica as seguintes condi c oes:f

(x) = 4xlog |x|,f(1) = 1,f(1) = 1.(GrupoIaebdoExamede2aepocade11/2/80)Resolu cao:a) Designamos porF(x) uma primitiva de tg xsec2x.F(x) =

tg xsec2xdx =12 tg2x.101CAPITULO5. PRIMITIVACAODesignemos porG(x) uma primitiva de sen x2cos x.G(x) =

sen x2cos xdx =

2cos xsen xdx=1log 2

e(log 2) cos x(log 2 senx) dx = e(log 2) cos xlog 2= 2cos xlog 2 .Designemos porH(x) uma primitiva de1x+xlog2xH(x) =

1x + xlog2xdx =

11 + log2x1x dx.Usando primitiva c ao por substitui c ao comy = log x e portantodydx= 1/x consideramos

11 + y2dy = arctg ydondeH(x) = arctg(log x).b) Trata-se de determinar em R \ {0} uma primitivaJ(x) de 4xlog |x| de forma que:

f(1) = 1,f(1) = 1.Sex > 0 devemos ter para alguma constanteK1:J(x) =

4xlog xdx = 4

xlog xdx = 4

12x2log x

12x2 1x dx

= 2x2log x 2

xdx = 2x2log x x2+ K1 = x2(2 log x 1) + K1Sex < 0 devemos ter para alguma constanteK2:J(x) =

4xlog(x) dx = 4

12x2log(x)

12x21x(1) dx

= x2(2 log(x) 1) + K2.AssimJ(x) ter a de ser da forma:J(x) =

x2(2 log x 1) + K1, sex > 0,x2(2 log(x) 1) + K2sex < 0.Para obterf(1) = 1 ef(1) = 1 as constantesK1 eK2 tem de escolher-se assim:K1 = 0, K2 = 2.5.8Determine a fun c aof, denida no intervalo ]0, +[ e que satisfaz as condi c oes:f

(x) = x5log x 1x2 sen xx>0e f(1) = 0.(Pergunta1adaProvade18/12/72)1025.9Estabele ca uma f ormula de recorrencia para o c alculo deP tgnx, n N1.(Pergunta3daProvade12/3/74)Resolu cao:Ponha-seJn(x) = tgnxdx. Sen = 1:J1(x) =

tg xdx =

sen xcos x dx ==

1cos x(senx) dx = log | cos x|Sen = 2:J2(x) =

tg2xdx =

(sec2x 1) dx = tg x x.Sen > 2:Jn(x) =

tgnxdx =

tgn2xtg2xdx ==

tgn2x(sec2x 1) dx =

tgn2xsec2xdx Jn2(x) =1n 1 tgn1x Jn2(x).Temos pois:Jn(x) =1n 1 tgn1x Jn2(x), sen > 2,J1(x) = log | cos x|,J2(x) = tg x x.5.10Primitivexlog x + log xx+1xlog x +1xlog xlog(log x).(Pergunta2daProvade21/10/74)5.11Determine a fun c aofque verica:

f

(x) = senxsen 2x, para todo ox R,f(0) = f

(0) = 1.(Pergunta3adaProvade19/7/71)5.12Determine a fun c aof: ] 1, +[ R que verica:

f

(x) =11+x, qualquer que sejax > 1,f(0) = f

(0) = 1.(GrupoIIadaProvade18/9/79)103CAPITULO5. PRIMITIVACAO5.13Determine a fun c ao, denida em R e que verica as condi c oes seguintes:

(x) =x+1x2+1qualquer que sejax R,(0) = 1,

(0) = 0.(Pergunta2bdeumaProvadeAnaliseII)5.14Calcule

x4x41 dx.(GrupoIadaProvade23/2/79)Resolu cao:Escrevamosx4x41como soma de frac c oes simples:x4x41= 1 +1x41e1x41=Ax +Bx2+ 1+Cx 1 +Dx + 1.DeterminemosA,B,CeD:1 = (Ax +B)(x21) +C(x2+ 1)(x + 1) +D(x2+ 1)(x 1)1 = (A+C +D)x3+ (B +C D)x2+ (A+C +D)x + (B +C D)A+C +D = 0B +C D = 0A+C +D = 0B +C D = 1A = 0B = 12C =14D = 14Quer dizer que:

x4x41 dx =

1 dx 12

1x2+ 1 dx + 14

1x 1 dx 14

1x + 1 dx= x 12 arctgx + 14 log |x 1| 14 log |x + 1|= x 12 arctgx + 14 log

x 1x + 1

.5.15Obtenha a primitiva da fun c ao12x + 8x44x2denida no intervalo ]2, +[ e que tende para 1 quandox tende para +.(GrupoIbdaRepeti caodo2oTestede18/9/80)5.16Determine:a) Uma express ao geral das primitivas da fun c ao denida em R pela f ormula:f(x) = (x + 1)ex2+2x.104b) A primitivaG, da fun c aog(x) =x + 3x4x2denida no intervalo ]1, +[ e que verica a condi c ao limx+G(x) = 3.(GrupoIdaProvade28/6/79)5.17a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun c oes:f(x) = cos(2x) cos x, g(x) =log arcsenx1 x2, h(x) =x3

(x41)3.b) Considere a fun c ao:f(x) =3x2+ 7(x2+ 4)(x21)denida emR\{1, 1}. Obtenha uma primitiva F de f que satisfa ca as tres condi c oes seguintes:i) limxF(x) =2,ii) limx+F(x) = 0,iii) F(0) = 1.(GrupoIdaProvade11/9/79)5.18a) Calcule uma primitiva de cada uma das seguintes fun c oes:ex2+2 sen x(x + cos x),(1 + 2 arctg x)31 + x2, x2sh x.b) Calcule:

4x23x + 5(x 1)2(x + 2) dx.(GrupoIdaProvade22/9/78)5.19Calcule uma primitiva de cada uma das fun c oes seguintes:arcotg xx2e3x + 4(x 5)2+ 3.(Pergunta2adaProvade6/7/71)5.20Calcule

x4x45x2+ 4 dx.(GrupoII1adaProvade18/7/77)5.21Determine:a) Uma fun c aof, denida em R, e vericando as condi c oes:f

(x) =arctg x1 + x2xRe limx+f(x) = 0.105CAPITULO5. PRIMITIVACAOb) Decida justicadamente se existe uma fun c aog, denida no intervaloI = ]16, +[ e tal que:g

(x) =1 +xx(4 x)xIe limx+g(x) = 1.(Pergunta3daProvade20/2/71)5.22Calcule uma primitiva de cada uma das fun c oeslog x1 + xe5x 6x[(x 1)2+ 2].(Pergunta2adaProvade5/7/71)Resolu cao:a) Primitivando por partes delog x1+xparax > 0:I(x) =

log x1 + xdx =

(1 + x)12log xdx = 2(1 + x)12log x 2

(1 + x)121x dx.Para calcular J(x) = (1+x)121x dx poderia parecer razo avel tentar de novo uma primitiva c aopor partes. Noentanto talconduzsemprea primitivasenvolvendo potencias fraccion ariasde1 + xamultiplicarpor umapotencia inteiraen aonula dexou conduz-nos denovo ` aprimitiva com que tnhamos come cado.Como as potencias fraccion arias de 1+x s ao um problema tentamos uma mudan ca de vari avelpara elimin a-las. Para tal consideramos a substitui c aoy = (1 + x)12, ondex > 0 e portantoy>1, cujainversa ex=y2 1queporsuaveztemderivadadxdy=2y, conduzindoaoc alculo de:

y1y212y dy = 2

y2y21 dy = 2

(1 +1y21) dy = 2y + 2

1y21 dy. (5.1)Decompondo1y21=Ay+1 +By1e determinando as constantesA eBatraves de 1 = A(y 1) + B(y + 1) obtem-seA = 12eB =12, quer dizer1y21=12

1y 1 1y + 1

,pelo que

1y21dy =12 log y 1y + 1(sey> 1).Substituindo em (5.1)

y2y21 dy = y + 12 log y 1y + 1.Da que:J(x) = 2(1 + x)12+ log (1 + x)12 1(1 + x)12+ 1.Voltando aI(x):I(x) = 2(1 + x)12log x 4(1 + x)122 log (1 + x)12 1(1 + x)12+ 1= 2(1 + x)12(log x 2) 2 log (1 + x)12 1(1 + x)12+ 1.106Em conclus ao:

log x1 + xdx = 2

1 + x(log x 2) log1 + x 11 + x + 1

+ K.b) A primitiva 5x6x[(x1)2+2] dx calcula-se mais comodamente efectuando a mudan ca de vari avely = x 1 o que conduz a:

5y 1(y + 1)(y2+ 2) dy.Decompondo a frac c ao racional:5y 1(y + 1)(y2+ 2)=Ay + 1 +By + Cy2+ 2obtem-se calculandoA,BeC,5y 1(y + 1)(y2+ 2)=2y + 1 + 2y + 3y2+ 2e da:

5y 1(y + 1)(y2+ 2) dy = 2 log |y + 1| +

2y + 3y2+ 2 dy= 2 log |y + 1| +

2yy2+ 2 dy + 3

1y2+ 2 dy= 2 log |y + 1| + log(y2+ 2) + 32

1

y2

2+ 1dy= 2 log |y + 1| + log(y2+ 2) +32 arctgy2.Invertendo a mudan ca de vari avel:

5x 6x[(x 1)2+ 2] dx = 2 log |x| + log((x 1)2+ 2) +32 arctgx 12.5.23Calcule

1x41 + xdx(GrupoIIIdaProvade19/9/77)5.24Determine as fun c oesfeg, denidas em R e que vericam as condi c oes:f

(x) = (1 + senx) cos x, f

(0) = 1, f(0) = 3;g

(x) =11 + e2x, limx+g(x) = 1.(Pergunta2adoPontono5de25/10/71)107CAPITULO5. PRIMITIVACAO5.25Obtenha