A.R.J.S.Capıtulo 13 Fluidos

1) Um cilindro de cobre tem 6cm de comprimento e 2cm de raio. Calculara sua massa.

Solucao: Calcule o volume e depois use

m = ρV

V = πr2h = 75.4× 10−6m3

m = 8.93× 103V = 0.673Kg

5) Um balao de vidro, de 60mL, esta cheio de mercurio a 00C. Quando atemperatura sobe para 800C, transborda do balao 1.47g de mercurio. Adimi-tindo que o volume do balao seja invariavel, calcular a densidade do mercurioa 800C, sendo a sua densidade a 00C igual a 13.645Kg/m3.

Solucao: Escreva ρ′

em termos de ρ0, V e ∆m

m = ρ0V

m′= m−∆m = ρ

′V = ρ0 −

∆′

V

Calcule ρ′

ρ′= 13.621Kg/m3

9) Calcular (a) a pressao absoluta e (b) a pressao manometrica no fundode uma piscina com profundidade de 5.0m.

Solucao:a)

P = Pat + ρgh

P = (1.01× 105 + 9.81× 103 × 5) = 1.5× 105N/m2

b)

Pman = P − Pat

1

A.R.J.S.Pman = 0.5atm

13) Que pressao e necessaria para reduzir o volume de 1Kg de agua de1.00L de agua de 1.00L para 0.99L?

Solucao: Use a equacao 13.6

∆P = 2.0× 109 × 10−2 = 2× 107Pa ≈ 200atm

15) No seculo XVII, Pascal realizou a experiencia equematizada na fig13.23. Um tonel de vinho, completamente cheio de agua, foi acoplado aum tubo vertical comprido. Por este tubo foi derramado agua ate o tonelarrebentar. (a) Se a tampa do tonel tiver 20cm de raio e a altura da aguano tubo for de 12m, calcular a forca exercida sobre a tampa. (b) Se o raiointerno do tubo vertical for de 3mm, que massa de agua no tubo provoca apressao que arrebenta o tonel?

Solucao:a)

F = PA

P = ρgh

F = ρaguaghπR2

F = (1× 103 × 9.81× 12× π × 0.22)N = 14.800N

b)

m = ρhπr2

m = 1× 103 × 12× π × 9× 10−6Kg = 0.34Kg = 340g

17) Muitas pessoas pensam, ingenuamente, que se um tubo flexıvel etivercom a boca flutuando acima do nıvel da agua, sera possıvel respirar atravesdele enquanto estiverem mergulhadas (fig 13-24). Esquecem-se, porem, dapressao da agua que se opoes a expansao do torax e dos pulmoes. Imagineque voce seja capaz de respirar deitado no chao com um peso de 400N sobre

2

A.R.J.S.a caixa toracica. A que profundidade, na agua, voce conseguiria respirar,adimitindo que a area frontal da caixa toracica seja de 0.09m2?

Solucao:

P = ρaguagh =F

A

h =F

ρaguagA

h =(

400

1× 103 × 9.81× 0.09

)m = 0.453m = 45.3cm

21) O volume de um cone circular reto, de altura h e raio da base r eV = πr2h/3. Um vaso conico, com altura de 25cm e raio da base de 15cm,apoiado na sua base, esta cheio de agua. (a) Calcular o volume e o peso daagua no cone. (b) Determinar a forca exercida pela agua sobre a base docone. Explicar como esta forca pode ser maior do que o peso da agua.

Solucao:a)

w = ρgV dado

V = 5.89× 10−3m3

w = 5.89× 9.81 = 57.8N

b)

F = PA = ρghA

F = ρghπr2 = 3ρgV = 3× 57.8N = 173N

A forca e maior pelo mesmo motivo pelo qual a forca no barril do problema15 e maior que o peso da agua no tubo. A forca exercida sobre a base inclui,alem do peso da agua, a componente para baixo da forca exercida sobre aagua pelas paredes inclinadas do cone.

22) O principio de Arquimedes vale num satelite em orbita terrestre?Explique.

3

A.R.J.S.Solucao: Nao. Em uma situacao na qual gef = 0, nao existe forca de

empuxo.26) Dois corpos estao equilibrados como mostra a fig. 13-25. Os corpos

tem volumes iguais, mas massas diferentes. O equilibrio sera perturbado seo sistema for imerso em agua? Explique.

Solucao: Sim. Quando os objetos sao mergulhados, as forcas para baixodos lados da prancha sao reduzidas do mesmo valor e nao proporcionalmenteas massas, ou seja, se m1L1 = m2L2 e L1 6= L2 ,(m1 − c)L1 6= (m2 − c)L2.

29) Uma amostra de cobre (densidade relativa de 9.0) esta penduradonum dinamometro e mergulhada na agua. Sendo de 500g a massa da amostra,qual a leitura do sinamometro?

Solucao:

W = ρcuV g = ρcuV g − ρaguaV g = (ρcu − ρagua)w

ρcu

w′= 0.5× 9.81(7.93/8.93)N = 4.36N

34) Uma amostra de 5Kg de ferro e pendurada num dinamometro eimersa num fluido de densidade desconhecida. A leitura do dinamometro e6.16N . Qual a densidade do fluido?(

ρobj −ρliqρobj

)=w

′

w

ρliqu = ρFe

(1− w

′

w

)

ρliqu = 6.96× 103Kg/m3

38) Caixas de livros, cada qual com 20Kg, sao colocadas sobre uma balsade 3m de lado e 11cm de espessura, que flutua em aguas calmas. A madeirada balsa tem a densidade relativa de 0.6. Quantas caixas podem ser colocadassobre a balsa sem haver perigo de os livros se molharem?

Solucao: Seja A a area da balsa e d sua espessura. Seja n o maiornumero possıvel de caixas de 20Kg.

FB = ρaguaAdg = 0.6ρaguaAdg + 20ng

n = 0.4ρaguaAd/20 = 0.4× 103 × 9× 0.11/20 = 19.8

4

A.R.J.S.n = 19

42) O hidrometro, cujo esquema na fig. 13-29, e dispositivo para medicaoda densidade de liquıdos. O bulbo tem uma tara de granalha de chumbo ea densidade e lida diretamente pela posicao do liquido sobre a haste, depoisde o instrumento ter sido calibrado. O volume do bulbo e de 20mL, a hastetem 15cm de comprimento e 5.00mm de diametro, e a massa do vidro e de6.0g. (a) Qual a massa da granalha de chumbo para que a menor densidadede liquido que puder ser medida seja de 0.9Kg/L? (b) Qual sera entao amaior densidade que podera ser medida?

Solucao:a) Para ρmin, o sistema esta em equilibrio neutro.

ρminV = mtot 0.9(20 + 15π × 0.25/4)g = 6g +mpb

calculando mpb

mpb = 14.65g

b) Agora apenas o bulbo esta submerso

ρmax × 20 = mtot = 20.65

ρmax = 1.03Kg/L

46) Uma corrente de agua flui a 0.65m/s atraves de uma magueira com3cm de diametro e um bocal de 0.30cm. (a) Qual a velocidade da agua nobocal? (b) Uma bomba esta impelindo a agua na entrada da mangueira e estana mesma altura que o bocal. A pressao na saıda do bocal e a atmosferica.Qual a pressao da bomba na entrada da agua na mangueira?

Solucao:a)

Aν = constante

A ∝ d2

νN = νH(dH/dN)2

5

A.R.J.S.νN = 100× 0.65m/s = 65m/s

b) Obter Pp usando Eq. 13-18

Pp = Patm + 1/2ρagua(652 − 0.652) = 22.1KPa = 21.8atm

50) Quando o vento sopra forte sobre um telhado, ha risco de a pressaose reduzir e o telhado ser arrancado pela forca da pressaono interior da casa.Imagine que um vento de 30m/s sopre sobre um telhado de 15mx15m. Es-timar a forca exercida de dentro para fora, sobre o telhado.

Solucao: Determine a diferenca de pressao

∆P = 1/2ρarν2 = 582Pa

F = A∆P

F = (582× 225)N = 131kN

54) Um bomboeiro segura uma mangueira de incendio que tem umacurvatura, comno esta na fig 13-31. O raio da secao reta do jato de agua nobocal e de 1.5cm e a velocidade da aga e de 30m/s. (a) Que massa de aguasai pelo bocal em 1s? (b) Qual o momento horizontal dessa massa de agua?(c) Antes de chegar a curva da mangueira, o momento da agua e dirigido navertical para cima e depois esta na direcao horizontal. Desenhar o diagramavetorial dos vetores momentos inicial e final, e achar a variacao do momentoda agua, na curva, em 1s. Calcular, entao, a forca que a mangueira exercesobre a agua.

Solucao:a)

m = ρAν

m = 103 × π × 2.25× 10−4 × 30Kg/s = 21.2Kg/s

b)

P = mν

6

A.R.J.S.P = 636Kg.m/s

c)

∆p = pf − pi

∆p = 636√

2 = 900Kg.m/s

F = ∆p/∆t = 900N

57) Uma corrente de agua, com vazao de 0.30mL/s, passa por um tubohorizontal com diametro de 1.2mm e comprimento de 25cm. Estimar a dife-renca de pressao que mantem esse escoamento, sendo de 1.00mPa.s a visco-sidade da agua.

Solucao: Use a Eq. 13-23

∆P = (8× 10−3 × 0.25× 0.3× 10−6/π × 0.64 × 10−12)Pa

= 1.47kPa

64) A densidade de um corpo e ligeiramente menor do que a da agua e ocorpo flutua na agua quase inteiramente submerso. O corpo, porem, e maiscompressıvel do que a agua. O que acontece se o corpo flutuante receberpequeno empurrao para o fundo da agua?

Solucao: Sera comprimido, sua densidade aumentara e ele descera ate ofundo do recipiente.

68) Um bote flutua num lago muito pequeno. A ancora do bote e lancadana agua. O que acontece com o nıvel da agua no lago?

Solucao: O nıvel da agua diminui ligeiramente.71) O modolo de compressibilidade da agua do mar e de 2.3× 109N/m2.

Estimar a densidade da agua do mar a uma profundidade onde a pressao sejade 800atm. A densidade na superficie do mar e de 1025Kg/m3.

Solucao:

m = ρV = constante dρ/ρ = −∆V/V

∆ρ = ρ0∆P/B ρ = ρ0(1 + ∆P/B)

7

A.R.J.S.calculado o valor de ρ

ρ =[1025

(1 + 800× 1.01× 105/2.3× 109

)]

= 1061Kg/m3

78) Um pedaco de madeira, com 1.5Kg, flutua na agua com 68% do seuvolume imerso. Um pedaco de chumbo e colocado cuidadosamente sobre amadeira, e observa-se que todo o seu volume fica imerso. Estimar a massado pedaco de chumbo.

Solucao: Calculando o volume da madeira

ρmadeira = 680Kg/m3

V = 1.5/680m3 = 2.206× 10−3m3

Fazendo

FB = ρaguaV g = mtotg = (1.5Kg +mpb)g

mpb = (2.206− 1.5)Kg = 0.7060Kg

80) Uma esfera oca de cobre, com diametro externo de 12cm, flurua naagua com a metade do seu volume acima da superfıce da agua. Determinaro diametro da cavidade interna da esfera.

Solucao: (πd3

ext

6

)(ρaguag

2

)= mg

m =π

6

(d3ext − d3

int

)ρcu

8.93d3ext − 0.5d3

ext = 8.93d3int

dext

(8.43

8.93

)1/3

8

A.R.J.S.= 11.8cm

83) A tubulacao esquematizada na fig 13.32 conduz agua que sai para aatmosfera em C. O diametro da tubulacao e de 2.0cm em A, 1.0cm em Be 0.8cm em C. A pressao manometrica da agua em A e 1.22atm e a vazao0.8L/s. Os dois tubos verticais estao abertos para a atmosfera. Estimar aaltura do nıvel da superfıcie livre da agua em cada um dos tubos verticais.

Solucao: Determinando a velocidade de escoamento νA

νA =IVAA

= 8.0× 10−4/π × 10−4m/s = 8πm/s

Usando a equacao 13-7

PA − PC = 1.22× 1.01× 105 = 103 × 9.81hA

hA = 12.6m

Usando a eq. 13-18 para determinar PB

νB = 4νA

PB = PA − 1/2(15× 103 × 64/π2

)= 1.53× 105Pa

= 1.51atma

Usando a eq. 13-7 para calcular hB

0.51× 1.01× 105 = 103 × 9.81hB

hB = 5.3m

83) A tribulacao esquematizada na fig. 13-32 conduz agua que sai paraa atmosfera em C. O diametro da tubulacao e de 2.0cm em A, 1.0cm em Be 0.8cm em C. A pressao manometrica da agua em A e 1.22atm e a vazao0.8L/s. Os dois tubos verticais estao abertos para a atmosfera. Estimar aaltura do nıvel da superficie livre da agua em cada um dos tubos verticais.

Solucao: Determinando a velocidade de escoamento νA

9

A.R.J.S.νA =

IVAA

=8.0× 10−4

π × 10−4m/s = 8πm/s

Usando a eq. 13-7

PA − PC = 1.22× 1.01× 105 = 103 × 9.81hA

hA = 12.6m

Usando a eq. 13-18 para determinar PB; νB = 4νA

PB = PA − 1/2(15× 103 × 64/π2

)= 1.53× 105Pa

= 1.51atm

Usando a eq 13-7 para calcular hB

0.51× 1.01× 105 = 103 × 9.81hB

hB = 5.3m

88) Um manometro de oleo (ρ = 900Kg/m3) pode ser lido aproximacaode ±0.05mm. Qual a menor variacao de pressao que o manometro podeevidenciar?

Solucao:

∆P = ρg∆h = 5× 10−5 × 900× 9.81Pa = 0.44Pa ≈ 3.3× 10−3mmHg

∆P ≈ 3µmHg

92) Um peso de chumbo edta pendurado na face inferior de um pedacode madeira de 0.5Kg e densidade relativa de 0.7. O conjunto e oposto naagua e o pedaco de madeira flutua com a face superior no nıvel da agua.Qual a massa do peso de chumbo?

Solucao: Escrevendo a condicao de equilibrio neutro

Vmadeiraρaguag = 0.5g +mpbg − Vpbρaguag (1)

10

A.R.J.S.Vmadeira = 0.5/ρagua

Vpb = mpb/ρpb

substituindo em (1)

0.5ρagua/ρmadeira +mpbρagua/ρpb = 0.5 +mpb (2)

Calculando mpb usando ρmadeira/ρagua = 0.7; ρpb/ρagua = 11.3

mpb = 0.235Kg

96) Como mencionado na discussao da lei da diminuicao da pressao at-mosferica, a diminuicao relativa da pressao atmosferica e proporcional a va-riacao de altitude. Em forma matematica, dP

P= −Cdh em que C e cons-

tante. (a) Mostrar que uma solucao desta equacao diferencial e P (h) =P0exp(−Ch). (b) Mostrar que se ∆h for muito menor do que h0 tem-seP (h + ∆h) ≈ P (h)(1 −∆h/h0), com h0 = 1/C. (c) Sabendo que a pressaoatmosferica na altura h = 5.5Km e metade da pressao no nıvel do mar,determinar a constante C.

Solucao:a) Para

P (h) = P0e−Ch

dP

dh= −CP0e

−Ch = −CP

assim

dP

P= −Cdh

b) Para Ch << 1

e−Ch ≈ 1− Ch = 1− h/h0

assim

P (h+ ∆h) ≈ P (h)(1−∆/h0)

11

A.R.J.S.c) Calculando o logaritimo da equacao

P0/P (5.5Km) = 2 = e5.5C

5.5C = ln 2

C = 0.126Km−1

h0 = 7.93Km

99) Quando o hidrometro mencionado no Problema 42 for mergulhadonum liquido com densidade relativa maior do que um certo valor minimo, oinstrumento flutuara com parte da haste de vidro acima do nivel livre. Ima-gine que o diametro do bulbo esferico do instrumento seja de 2.4cm que ahaste de vidro tenha 20cm de comprimento e 7.5mm de diametro. A massa dovidro do bulbo e da haste e de 7.28g. (a) Que massa de granalha de chumbodeve ser colocada no bulbo para que o hidrometro flutue, com a haste quasetoda imersa, num liquido de densidade ralativa 0.78 (b) Com o hidrometropreparado conforme se mencionaou na parte (a), que comprimento da hsteaflorara acima da superfıce quando o instrumento estiver flutuando na agua?(c) O hidrometro e mergulhado num liquido de densidade relativa desconhe-cida e se observa que a haste emergente tem o comprimento de 12.2cm. Quala densidade relativa do lıquido?

Solucao:a) Determinando os volumes do bulbo e da haste

Vbulbo = πd3/6 = 7.238cm3

Vhaste = πd2L/4 = 8.836cm3

escrevendo a condicao para que haja equilibrio neutro

1.6074× 10−5 × 780 = 7.28× 10−3 +mpb

mpb = 5.26g

b) Determinando o volume submerso na agua para m = 12.54g

12

A.R.J.S.1.254× 10−2 = V × 103

V = 1.254× 10−5m3 = 12.54cm3

determinando o Vhaste e o comprimento da parte submersa h′

o comprimentoda parte emersa do tubo e 20cm− h′

Vhaste,sub = 5.3cm3 = π(0.75)2h′/4

h′= 12cm

h = 8cmqquad acima da agua

c) Determinando o volume deslocado

FB = mg = V ρLg

V =[7.238 + π(0.75)2 × 7.8/4

]cm3 = 10.68cm3

1.068× 10−5ρL = 1.254× 10−2Kg

A densidade relativa e igual a

ρL103

densidade relativa = 1.174

Capıtulo 14 Oscilacoes

1) Um corpo oscila com movimento harmonico simples de amplitude A.Que distancia o corpo cobre em um perıodo? Qual o deslocamento do corpoem um perıodo?

Solucao: Em um perıodo, o corpo cobre uma distancia 4A. Como ocorpo volta a posicao inicial, o deslocamento e zero.

13

A.R.J.S.9) Uma partıcula de massa m parte do repouso em x = 25cm e oscila em

torno da posicao de equilıbrio em x = 0, com o periodo de 1.5s. Determinaras equacoes (a) da posicao x em funcao do tempo t, (b) da velocidade ν emfuncao de t e (c) da aceleracao a em funcao de t.

Solucao:a)

x = A cos[(2π

T)t+ δ

]

x = 25 cos(4.19t)cm

b)

ν = −Aw sin(wt)

ν = −105 sin(4.19T )cm/s

c)

a = −w2x

a = −439 cos(4.19t)cm/s2

14) As especificacoes de qualidade de certos equipamentos eletronicos deuso militarexigem que o material suporte aceleracoes de 10g = 98.1m/s2.Para ensaiar o equipamento e comum usar uma mesa vibratoria que podeoscilar com diversas frequencias e aplitudes. Uma delas tem uma vibracaocom amplitude de 1.5cm. Qual deve ser a frequencia da vibracao a fim de aaceleracazo ser da ordem de 10g?

Solucao:

amax = Aw2 = 98.1m/s2

w = (98.1/0.015)1/2rad/s = 80.9rad/s

f = 12.9Hz

14

A.R.J.S.16) A proa de uma embarcacao joga com um movimento harmonico sim-

ples com periodo de 8.0s e amplitude de 2.0m. (a) Qual a velocidade verticalmaxima da proa? (b) Qual a aceleracao maxima? (c) Se um marinheiro de80Kg estiver sobre a plataforma de uma balanca, no conves da proa, quaisas leituras maximas e m;inima que se observam na balanca, em newtons?

Solucao:a)

νmax = Aw = 2πA/T

νmax = (4π/8)m/s = 1.57m/s

b)

amax = Aw2 = A(2π/T )2

amax = 2(π/4)2m/s2 = 1.23m/s2

c)

gef = g 6= amax

w = mgef

wmin = 80× 8.58N = 686N

wmax = 883N

17) Uma particula descreve um circulo com raio de 40cm e velociadeconstante de 80cm/s. Calcular (a) a frequencia do movimento e (b) o periododo movimento. (c) Dar a equacao da componente x da posicao da particulaem funcao do tempo t, admitindo que, no instante t = 0, x seja positivo.

Solucao:b)

T =2πr

ν

15

A.R.J.S.T = πs = 3.14s

a)

f =1

T

f =1

π= 0.318Hz

c)

x = 40 cos(2πft+ δ)cm

x = 40 cos(2t+ δ)cm

onde δ < π/218) Uma particula descreve um circulo com raio de 15cm e faz uma volta

a cada 3s. (a) Qual a velociadade da partıcula? (b) Qual a velocidadeangular w? (c) Dar a equacao da componente x da partıcula em funcao dotempo t, admitindo que no instante t = 0 a partıcula esteja num x positivo.

Solucao:a)

ν = 2π/T

ν = 30π/3cm/s = 31.4cm/s

b)

w = 2πf =2π

T

w =2π

3rad/s

c)

x = r cos(wt+ δ)

16

A.R.J.S.x = 15 cos(2πt/3 + δ)cm

δ <π

2

23) Um corpo de 1.5Kg oscila com movimento harmonico simples presoa uma mola com constante de forca de k = 500N/m. A velocidade maximado corpo e de 70cm/s. (a) Qual a energia total do sistema? (b) Qual aamplitude da oscilacao?

Solucao:a)

E = mν2max/2 = 1.5× 0.72/2J = 0.368J

b)

E = 0.386J = KA2/2

A = 0.0383m = 3.83cm

26) Um corpo de 3Kg oscila com amplitude de 8cm sob a acao de umamola. A aceleracao maxima e de 3.5m/s2. Calcular a energia total do sis-tema.

Solucao:

w2 =K

m=amaxA

E =mν2

max

2=mA2w2

2

E =mAamax

2= 3× 0.08× 3.5

2J = 0.42J

31) Um corpo de 3Hg oscila preso a uma mola com amplitude A = 10cme frequencia f = 2.4Hz. (a) Qual a constante de forca da mola? (b) Qual operiodo do movimento? (c) Qual a velocidade maxima do corpo? (d) Quala aceleracao maxima do corpo?

Solucao:

17

A.R.J.S.a)

K

m= w2 = 4π2f 2

K = 4π2f 2m

K = 4π2 × 2.42 × 3N/m = 682N/m

b)

T =1

f

T =1

2.4s = 0.417s

c)

νmax = Aw = 2πfA

νmax = 2π × 2.4× 0.1m/s = 1.508m/s

d)

amax = 4π2f 2A

amax = 4π2 × 2.42 × 0.1m/s2 = 22.7m/s2

35) Um corpo de 0.4Kg ligado a uma certa mola de constante de forcade 12N/m oscila com amplitude de 8cm. Calcular (a) a velocidade maximado corpo, (b) a velocidade e a aceleracao do corpo quando estiver na posicaox = 4cm em relacao a posicao de equilibrio x = 0 e (c) o tempo que o corpoleva para ir de x = 0 ate x = 4cm.

Solucao:a)

w =(K

m

)1/2

= (30)1/2rad/s

18

A.R.J.S.νmax = Aw

νmax = 0.08(30)1/2m/s = 0.438m/s

b) Fazendo

x = coswt

nesse caso

x =A

2

para wt = π/3

ν = νmax sin(π/3) = 0.379m/s

a = 0.5νmaxw = 1.2m/s2

c) ∆t e igua ao tempo para ir de wt = π/3 a wt = π/2

∆t =π

6w= 0.0956s

39) O arco de uma ponte tem altura de 192m. Imagine que uma pessoa,de 90Kg, pula do arco presa a uma fita elastica resistente. A pessoa atingeo solo com velocidade nula. Calcular a energia cinetica K da pessoa depoisde 2.00s de queda. (Admitir que a fita elastica obedeca a lei de Hooke edesprezar o seu comprimento quando nao esticada)

Solucao:Determinando a constante K da fita usando a lei de conservacao da ener-

gia

−mgh+kh2

2= 0

k =2mg

h= 6.13N/m

determinando o valor de w para o movimento

19

A.R.J.S.w =

(k

m

)1/2

= 0.32rad/s

escrevendo ν(t);

A =192

2= 96m

ν(t) = −Aw sin(wt) = 30.7 sin(0.32t)m/s

calculando

mv2

2

para t = 2s

K = 30 [30.7 sin(0.64)]2 = 10.1KJ

43) Uma crianca esta sobre uam grande plataforma ligada a uma molahorizontal. A crianca e a plataforma oscilam com periodo de 2s. (a) Ocoeficiente de atrito estatico entre a crianca e a platforma e de 0.25. Sea amplitude da oscilacao for de 1m, a crianca escorregara ou nao sobre aplataforma? (b) Qual a amplitude maxima dentro da qual nao havera oescorregamento da crianca?

Solucao:b) Condicao para que haja escorregamento:

mgµs < mamax

amax = gµs

expressando amax em termos de Amax e T

amax =4π2Amax

T 2

Amax =gµsT

2

4π2= 24.8cm

a) Observe que A = 1m > Amax a crianca escorregara

20

A.R.J.S.44) Um corpo de 2.5Kg esta pendurado numa mola cuja constante de

forca e de 600N/m e oscila com amplitude de 3cm. Quando o corpo estiverno deslocamento maximmo para baixo, calcular (a) a energia total do sis-tema, (b) a energia potencial gravitacional e (c) a energia potencial da mola.(d) Qual a energia cinetica maxima do corpo? Faca U = 0 na posicao deequilibrio do corpo sobre a mola.

Solucao: Podemos fazer Ugrav = 0 escolhendo y0 como origem do sistemade coordenadas, onde y0 e a posicao de equilibrio do corpo. Como Fres = 0na posicao de equilibrio, a distensao adicional y, a energia potencial Umolaaumenta para (k(y+ y0)

2/2 = ky2/2 + kyy0 + ky20/2 = ky2/2 +mgy+ ky2

0/2.Se fizermos U = Ugrav + Umola = 0. uma dimensao adicional y fara Umolaaumentar de ky2/2 + mgy e Ugrav diminuir de mgy. Assim, se U = 0 naposicao de eequilibrio, a variacao de U sera dada por k(y

′)2/2 , onde y

′=

y − y0.a)

E =kA2

2

E = 300× 0.032J = 0.27J

b)

Ug = −mgA

Ug = −0.736J

c)

Umola =kA2

2+mgA

Umola = 0.27 + 0.736J = 1.006J

d)

Kmax =KA2

2

Kmax = 0.27J

21

A.R.J.S.46) Um corpo de 1.2Kg esta pendurado em uma mola vertical cuja cons-

tante de forca e de 300N/m e oscila com velocidade maxima de 30cm/s. (a)Qual o deslocamento maximo do corpo? Quando o corpo estiver no ponto dedeslocamneto maximo calcular (b) a energia total do sistema, (c) a energiapotencial gravitacional e (d) a energia potencial da mola. (Seja U = 0 naposicao de equilibrio do corpo pendurado na mola).

Solucao:a) Determine A usando νmax = wA , w = (k/m)1/2

w =(

300

1.2

)1/2

rad/s = 15.8rad/s

A =0.3

15.8m = 1.9cm

b)

E =kA2

2

E = 150× 0.0192J = 0.0542J

c)

Ug =6= mgA

Ug =6= 0.225J

d)

Umola =kA2

2+mgA

Umola = 0.279J

55) Um pendulo simples, de comprimento L, esta solidario com um car-rinho que rola sem atrito por um plano inclinado de θ. Calcular o periodode oscilacao do pendulo no carrinho rolando plano abaixo.

Solucao:Determimando a aceleracao efetiva

22

A.R.J.S.geft = g − g sin θ = g(1− sin θ)

usando a equacao 14-27

T = 2π

[L

g(1− sin θ)

]1/2

60) A fig. 14-29 mostra um haltere constituıdo por duas bolas iguais (quepodem ser consideradas massas puntiformes) presas a uma haste delgada(de massa desprezıvel) de comprimento L. (a) Mostrar que o perıodo deoscilacao deste pendulo e mınimo quando o ponto de suspensao P esta numaextremidades. (b) Calcular o perıodo do pendulo fısico quando a distanciaentre P e a extremidade superior for L/4.

Solucao:a) Icm = 2m(L/2)2 = mL2/2. Seja x a distancia do ponto de suspensao

ao centro da haste. Nesse caso, I = mL2/22mx2. O perıodo e dado por

T = 2π

√L2/4 + x2

gx

Fazendo dT/dx = 0 para determinar o valor de x para o qual T e mınimo.

d

dx

√L2/4 + x2

x=

2x2 − (L2/4 + x2)

x2√

L2/4+x2

x

A equacao acima se anula para x = L/2.

b) Se x = L/4, usando a expressao acima para T , obtemos T = π√

5L/g =3.17 s para L = 2, 0m.

63) Um corpo plano de forma irregular tem massa de 3,2 Kg e estapendurado numa haste delgada, de comprimento regulavel, que pode oscilarno plano do proprio corpo (Fig. 14-31). Quando o comprimento da haste ede 1,0m, o periodo do pendulo, para pequenas oscilacoes, e de 2,6s. Quandoa haste e encurtada para 0, 8m, o perıodo diminui para 2, 5s. Qual o perıododo pendulo quando o comprimento da haste for de 0,5m?

Solucao:Escrevendo a condicao inicial para T 2

1 = 6, 76s2

[Icm + 3, 2(1, 0 + d)2

]/(1, 0 + d) = 5, 375Kg.m

Escrevendo a condicao para um comprimento de 0, 8

23

A.R.J.S.[Icm + 3, 2(0, 8 + d)2

]/(0, 8 + d) = 4, 97Kg.m

Calculando os valores de d e Icm

d = 0, 283m; Icm = 1, 63Kgm2

Calculando os valores de D e I para um comprimento de 0, 5m

D = 0, 783m;

I = (1, 63 + 3, 2× 0, 7832)Kg.m2

Fazendo

T = 2π(I/MgD)1/2

T = 2, 40s

68) A fig. 14.35 mostra o pendulo de um relogio. A haste uniforme decomprimento L = 2, 0m tem massa m = 0, 8Kg. Montado na haste esta umdisco com massa M = 1, 2Kg e raio de 0, 15m. O relogio e construıdo paramarcar o tempo exato quando o pendulo oscila com perıodo de 3, 50s. (a)Qual deve ser a distancia d para que o perıodo do pendulo seja de 3, 50s?(b) Imagine que o pendulo atrase 5, 0 minutos por dia. De quanto se devedeslocar o disco, e em que direcao, para que o relogio continue a operar comexatidao?

Solucao:a) Determinando I em funcao de d

I = 0, 8× 22/3 + 1/2× 1, 2× 0, 152 + 1, 2d2 = (1, 08 + 1, 2d2)Kgm2

Determinando a posicao do centro de massa em relacao ao ponto de sus-pensao

1, 0× 0, 8 + 1, 2d = 2, 0xcm

xcm = (0, 4 + 0, 6d)m

Escrevendo uma expressao para T 2g/4π2

24

A.R.J.S.T 2g/4π2 = 3, 04 = (1, 08 + 1, 2d2)/(0, 4 + 0, 6d)

Resolvendo a equacao do segundo grau em d

d = 1, 59m

b) ∆T/T = −0, 0035; calcule dT/dd em d = 1, 59m Calcule o valor de∆d

dT = 1, 145dd

∆T T = 1, 145∆d/d = 0, 72∆d

∆d = −2, 52mm

o disco deve ser deslocado 2, 52mm para cima.69) Dois relogios tem pendulos simples de comprimento L. O pendulo

do relogio A oscila com um arco de 10o; o do relogio B com um arco de 5o.Quando os dois relogios sao comparados, observa-se que (a) o relogio A atrasaem relacao a B. (b) O relogio A adianta em relacao a B. (c) Os dois relogiossao sıncronos. (d) O resultado da comparacao depende do comprimento L.

Solucao: O perıodo de A e maior (ver equacao 14-28)81) Um sistema corpo-mola oscila a 200 Hz. A constante de tempo do

sistema e de 2, 0s. No instante t = 0 , a amplitude da oscilacao e de 6, 0cm ea energia do sistema oscilante e de 60J . a) Qual amplitude tem as oscilacoesnos instantes t = 2s e t = 4s? b) Que energia e dissipada no primeirointervalo de 2s e no segundo intervalo de 2s?

Solucao: a)

A(t) = A0e−t/2τ

A(2) = 6e−0,5cm = 3, 64cm;

A(4) = 6e−1cm = 2, 21cm

b)

25

A.R.J.S.E(t) = E0e

−t/τ

∆E = E0(1− e−t/τ )

∆E0−2 = 60× 60× 0, 632J = 37, 9J ;

∆E2−4 = 37, 9× 0, 632J = 24J

83) Uma esfera de 3Kg, caindo de uma grande altura na atmosfera, temvelocidade terminal de 25m/s. (Admita que a forca de arrosto seja da forma−bv.) Imagine que a esfera seja pendurada numa certa mola com constantede forca K = 400N/m e que oscile com a amplitude inicial de 20cm. a) Quala constante de tempo τ? b) Em que instante a amplitude sera de 10cm? c)Que energia tera sido dissipada ate a amplitude chegar a 10cm?

Solucao:a) Determinando b a partir de νt = mg/b τ = m/b = νt/g

τ = 25/9, 81s = 2, 55s

b)

A(t) = A0e−t/2τ

2 = et/5,1

t = 5, 1 ln(2) = 3, 54s

c)

E0 = 1/2kA20

E ∝ A2

E(3, 54s) = E0/4

26

A.R.J.S.Energia dissipada = 3E0/4 = 3× 8/4 = 6J

89) Um corpo de 2Kg oscila preso a certa mola com constante de forcak = 400N/m. A constante de amortecimento tem o valor b = 2, 00Kg/s . Osistema e excitado por uma forca senoidal cujo valor maximo e de 10N e afrequencia angular w = 10rad/s. a) Qual a amplitude da oscilacao? b) Se afrequencia de excitacao variar, em que frequencia ocorrera a ressonancia? c)Qual a amplitude das oscilacoes? b) Se a frequencia de excitacao variar, emque frequencia ocorrera a ressonancia ? c) Qual a amplitude das oscilacoesna ressonancia ? d) Qual a largura ∆w da curva de ressonancia ?

Solucao:a) Determinando w0

w0 = (k/m)1/2 = 14, 4rad/s

Usando a equacao (14-49) para determinar A temos

A =10

[4(200− 100)2 + 4× 100]1/2m = 0, 05m = 5, 0cm

b) A ressonancia acontece para w = w0

wres = 14, 14rad/s

c) Usando a Eq. 14-49 para determinar Ares

Ares =10

(4× 200)1/2= 35, 4cm

d) De acordo com as Eqs. 14-39 e 14-45, ∆w = b/m

∆w = 1rad/s

91) Tarzan oscila num cipo com perıodo de 3s. Sua companheira injetaenergia no sistema de modo que a amplitude da oscilacao se mantem cons-tante, com velocidade de 2, 0m/s no ponto mais baixo da trajetoria. A massada Trazan e de 90 Kg. a) Qual a energia total do sistema oscilante? b) SeQ = 20, quanta energia seria dissipada em cada oscilacao? c) Que potenciae injetada para manter constante a amplitude das oscilacoes? (Nota: A ex-citacao de um balanco nao e feita comumente, de maneira senoidal. ´Para quea amplitude seja constante, porem, a energia perdida por ciclo, em virtudedo amortecimento, tem que ser compensada pela fonte externa de energia.)

27

A.R.J.S.Solucao:a)

E = mν2max/2

E × 45× 4J = 180J

b)

∆E = E0(2π/Q)

∆E = 180× 0, 314 = 56, 5J

c)

P = ∆E/∆t

P = 56, 5/3W = 18, 8W

93) A fig. 14-37 mostra um sistema oscilante massa-mola sobre umasuperfıcie horizontal sem atrito e um outro corpo que se dirige contra ocorpo oscilante, com velocidade ν. O movimento do corpo oscilante e dadapor x(t) = (0, 1m) cos(40s−1t) onde x e o deslocamento do corpo em relacaoa posicao de equilibrio. Os dois corpos colidem no instante em que o corpovibrante passa pela posicao de equilibrio avancando para a direita. A colisaoe elastica. a) Qual a velocidade ν do segundo corpo para que o sistema massa-mola fique em repouso depois da colisao elastica? b) Qual a velocidade dosegundo corpo depois da colisao elastica?

Solucao:a) Usando as leis de conservacao da energia e do momento

Mν21i +Mν2

2i = Mν22f Mν1i +Mν2i = Mν2f

Como as massas se concelem, temos

(ν2f + ν2i)(ν2f − ν2i) = ν21i

ν2f − ν2i = ν1i

28

A.R.J.S.Determinando ν1i

ν1i = ν2f + ν2i = 0

a massa esta inicialmente em repousob)

ν2f = ν1i

ν1i = Aw = 4m/s

ν2f = 4m/s

95) Um corpo de 2Kg esta preso a uma mola de constante igual a600N/m, sobre uma superfıcie horizontal sem atrito. Um segundo corpo,de 1Kg, escorrega sobre a superfıcie, na direcao do primeiro, com veloci-dade de 6m/s. a) Determinar a amplitude da oscilacao se a colisao entre oscorpos for perfeitamente inelastica, ficando ambos reunidos e presos a moladepois da colisao. Qual o perıodo de oscilacao? b) Determinar a amplitudee o perıodo se a colisao for elastica. c) Em cada tipo da colisao, determinara expressao da posicao x do corpo preso a mola, em fuuncao do tempo t,admitindo que a colisao ocorra no instante t = 0.

Solucao:a) Usando a lei de conservacao do momento para determinar νmax

νmax = 1× 6/3m/s = 2m/s = Aw

Determinando w = (k/M)1/2

w = (600/3)1/2rad/s = 14, 4rad/s

T = 2π/w = 0, 444s

b) Seja m2 = 2Kg a massa do corpo estacionario; usando a Eq. 8-30 bpodemos determinar w = (k/m2)

1/2 e T

w = 3001/2rad/s = 17, 32rad/s

T = 2π/w = 0, 363s

29

A.R.J.S.c) Determinando A e escrevendo x(t)

A = 4/17, 32m = 23, 1cm

x(t) = 23, 1 sin(17, 3t)cm

109) Um cubo de madeira, com aresta a e massa m , flutua na aguacom uma das faces paralela a superfıcie do lıquido. A densidade da aguae ρ. Calcular o perıodo da oscilacao do cubo, na direcao vertical, se forligeiramente empurrado para baixo.

Solucao: Determinando a variacao da forca de empuxo

dFB = −ρV g = −a2ρgy

Escrevendo a equacao de movimento

m(d2y/dt2) = −a2ρgy

d2y/dt2 = −(a2ρg/m)y

Comparando com as equacoes 14-2 e 14-7

w = a√ρg/m

T = 2π/w = (2π/a)√m/ρg

112) A fig. 14-40 mostra um pendulo de comprimento L com um peso demassa M . Este peso esta ligado a certa mola de constante k, como explica oesquema. Quando o peso esta na vertical do ponto de suspensao, a mola temo comprimento de equilibrio. a) Deduza a expressao do perıodo de oscilacaodeste sistema no caso de vibracoes de pequena amplitude. b) Imagine queM = 1Kg e L e tal que na ausencia da mola o perıodo seja de 2s. Qual aconstante da mola k se o perıodo de oscilacao do sistema for de 1s?

Solucao:a) Para pequenos deslocamentos,

ML(d2φ/dt2) = −Mgφ− kLφ = −(Mg + kL)φ = −w2φ

Assim,

30

A.R.J.S.w =

√(g/L) + (k/M)

e

T =2π√

(g/L) + (k/M)

b) Dividindo o perıodo por 2 equivale a multiplicar a frequencia por 2 e,portanto, a multiplicar w2 por 4. Assim,

K/M = 3g/L

como

g/L = 4π2/T 2 = π2

k = 3π2M = 3π2 = 29, 6N/m

.116) Mostrar que nas duas montagens esquematizadas nas figs. 14-42 a

e b, o corpo oscila com frequencia f = [1/(2π)]√kef/m com a) kef = k1 + k2

e b) 1/kef = 1/k1 + 1/k2. (Sugestao: Determinar a forca resultante F sobreo corpo para pequeno deslocamento x e descrever F = −kefx. Observar queem b) as molas se distendem de modo diferente e que a soma das elongacoese x).

Solucao:a) Determinando a forca correspondente ao deslocamento x

F = −k1x− k2x = −(k1 + k2)x

kef = k1 + k2

b) A mesma forca age sobre as duas molas

F = −k1x1 = −k2x2

x2 = x1(k1/k2)

A elongacao total e dada por x1 + x2 = x = −F/kef

31

A.R.J.S.kef = −F/(x1 + x2) = k1/(1 + k1/k2) = k1k2/(k1 + k2)

Escrevendo 1/kef

1/kef = 1/k1 + 1/k2

120) A energia de um corpo de massa m e dada em funcao da posicaopor U(x) = U0(α + 1/α), onde α = x/a e a e uma constante. a)Fazer ografico de U(x) contra x no intervalo 0, 1a < x < 3a. b) Determinar o valorx+ x0 no equilıbrio estavel. c) Determinar a expressao da energia potencialU(x) para x = x0 + ε, sendo ε pequeno deslocamento em relacao a posicaode equilıbrio x0. d) Desenvolva o termo em 1/x pela expresao (1 + r)n =

1+nr+ n(n−1)(n−2)3×2×1

+ . . . com r = ε/x0 << 1, abandonando as parcelas acimade r2. e) Comparar o resultado com o potencial de oscilador harmonicosimples. Mostrar que o corpo tera movimento harmonico simples quandoos deslocamentos em relacao ao equilıbrio forem pequenos e determinar afrequencia deste movimento.

Solucao:a)Grafico;b)

F = 0 = dU/dx = (dU/dα)(dα/dx) = (U0/a)(1− α2)

α0 = 1 x0 = a

c)

U(x0 + ε) = U0

[1 + β + (1 + β)−1

]onde β = ε/ad)

U(x0 + ε) ∼= U0

(1 + β + 1− β + β2

)= constante + U0ε

2/a2

e) De acordo com o grafico, U e mınima em x = x0. Em um osciladorharmonico simples, U = constante + kε2/2 e, portanto, k = 2U0/a

2. Afrequencia e dada por f = (1/2π)(k/m)1/2 = (1/2πa)(2U0/m)1/2

122)Um rolo cilındrico macico, com massa de 6Kg e diametro de 0, 06m,rola sem escorregar sobre uma superfıcie horizontal (Fig 14-44). O eixo do

32

A.R.J.S.rolo esta preso a uma mola de constante K = 4000N/m, como no esquema.a) Determinar a frequencia da oscilacao deste sistema para pequenos desloca-mentos. b) Qual o valor mınimo do coeficiente de atrito estatico que garantenao haja escorregamento do rolo quando a energia de vibracao for de 5, 0J?

Solucao: a) b) Vamos primeiro resolver este problema para o caso gerale depois substituir as variaveis por valores numericos. Determinando Kmax

e igualando a kA2/2.

K = Iw2/2 +Mν2/2

onde

w = R/ν

I = MR2/2

Kmax = 3Mν2max/4

e

w = (2K/3M)1/2

A frequencia e

w/2π

Para que nao haja escorregamento do rolo

kA ≤ µsMg

.Assim, o valor crıtico do coeficiente de atrito e dado por

µs = kA/Mg

Como

kA = (2Ek)1/2

µs = (2Ek)1/2/Mg

33

A.R.J.S.a)

f = (1/2π)(2k/3M)1/2

f = (1/2π)(800/18)1/2Hz = 3, 36Hz

b)

µs = (2Ek)1/2/Mg

µs = (40000)1/2/6× 9, 81 = 3, 4

Capıtulo 16 Superposicao de Ondas Estacionarias

18) Uma fonte de som A esta no ponto x = 0 , y = 0 e outra fonte Bem x = 0, y = 2, 4m. As duas fontes emitem coerentemente e em fase. Umaobservadora em x = 40m, y = 0, percebe que se andar na direcao dos ypositivos ou negativos afastando-se do y = 0, a intensidade do som diminui.Qual a frequencia mais baixa e a frequencia mais alta seguinte que explicamesta observacao?

Solucao:A diferenca entre as duas fontes e

∆x =√

402 + 2, 42 − 40 = 0, 072m

Para que haja interferencia construtiva no ponto de observacao, devemoster

0, 072m = nλ

Para n = 1

λ = 0, 072m

e

f1 = 4722Hz

Para n = 2

f2 = 2f1 = 9444Hz

34

A.R.J.S.20) Duas fontes puntiformes estao em fase e separadas pela distancia d.

Observa-se uma figura de interferencia sobre a reta paralela a reta que passapelas fontes e situada a uma grande distancia Ddas duas, como mostra aFig. 16-28. a) Mostrar que a diferenca de percurso entre as duas fontes eum ponto sobre a reta, fazendo um pequeno angulo θ com a perpendiculara reta das duas fontes, e dada por ∆s = d sin θ. Sugestao: Admitir que asretas das fontes ao ponto P sejam aproximadamente paralelas.) b) Mostrarque a distancia ym entre o ponto do maximo central e o ponto do m-esimomaximo de interferencia e dada aproximadamente por ym = m(Dλ/d).

Solucao:a)

∆s = d sin θ

b) Se θ << 1, ∆x = d sin θ ≈ d tan θ = dym/D. Para que haja inter-ferencia construtiva,

δ = 2πm = 2π∆x/λ = 2πdym/Dλ

Explicitando ym obtemos:

ym = mDλ/d

21) Duas fontes sonoras, irradiando em fase na frequencia de 480Hz,interferem de tal forma que se percebem maximos de interferencia sob angulosde 0o e 23o em relacao a reta perpendicular a reta que passa pelas duasfontes. Calcular a separacao entre as duas fontes e os outros angulos quecorrespondem a maximos de intensidade do som.

Solucao: Como 23o nao e um angilo pequeno, nao podemos usar a apro-ximacao para pequenos angulos.

∆x = λ = 340/480 = 0, 708 = d sin 23o

d = 0, 708/ sin 23om = 1, 81m

Se d sin θ = 2λ, havera outro maximo de intensidade

sin θ = 1, 4161/1, 81 = 0, 782 = 51, 5o

25) Um radiotelescopio e constituıdo por duas antenas separadas por200m. As duas estao sintonizadas para uma certa frequencia, 20Mhz, porexemplo. Os sinais recebidos em cada antena sao injetados num amplificador

35

A.R.J.S.comum a ambas, mas um deles passa primeiro por um ajustador de fase quealtera a sua fase de uma grandeza conhecida. O telescopio, assim pode apon-tar para diferentes direcoes do espaco. Quando o atraso de fase introduzidofor nulo, as ondas de radio planas que incidem verticalmente nas antenasprovocam sinais que se adicionam construtivamente no amplificador. Qualo atraso de fase para que os sinais que incidem num angulo θ = 10o com avertical (no plano definido pela vertical e pela reta que passa pelas antenas)se adicionem construtivamente no amplificador?

Solucao: Determinando λ e a diferenca de percurso para θ = 10o

λ = (3× 108/2× 107)m = 15m

Podemos subtrair 2λ da diferenca de percurso

∆s = (200 sin 10o)m = 34, 73m = 2, 315λ = (2 + 0, 315)λ

Calculando a diferenca de fase correspondente a ∆λ = 0, 315λ

δ = 0, 315× 2π = 1, 98rad = 113, 5o

60) a) Dada a funcao de onda mencionada no problema 48, calcular avelocidade de um segmento de corda, num certo ponto x, em funcao dotempo. b) Que ponto tem a maior velocidade em qualquer tempo? Qual ea velocidade maxima deste ponto? c) Calcular a aceleracao de um segmentoda corda, num certo ponto x, em funcao do tempo? d) Que ponto tem amaior aceleracao? Qual e a aceleracao maxima deste ponto?

Solucao:a)

νy = dy/dt = −(377× 0, 02 sin 2, 36x sin 377t)m/s

νy = −7, 54 sin 2, 36x sin 377t)m/s

b) νy e maxima para sin 2, 36x = 1

x = 1/2π/2, 36m = 0, 666m

νy,max = 377× 0, 02m/s = 7, 54m/s

c)

36

A.R.J.S.ay = −(3772 × 0, 02 sin 2, 36x cos 377t)m/s2

ay = −(2843 sin 2, 36x cos 377tm/s2

d) ay e maxima no ponto em que sin 2, 36x = 1, no instante em quecos 377t = 1

x = 0, 666m; ay,max = 2843m/s2

63) Uma corda de 2m esta fixa por uma ponta e vibra no terceiroharmonico com amplitude de 3cm e frequencia de 100Hz. a) Dar a funcao deonda da vibracao. b) Dar a expressao da energia cinetica de um segmento decorda com o comprimento dx em um ponto x num certo instante t. Em queinstante a energia cinetica e maxima? Qual a forma da corda neste instante?c) Calcular a energia cinetica maxima da corda pela integracao, para todo ocomprimento da corda, da expressao encontrada na parte b).

Solucao:a) Da eq. 16-61 usando λ = 4/3m

y(x, t) = 0, 03 sin 3πx/4 cos 200πtm

b)

dm = µdx; dk = 1/2ν2ydm

dk e maxima para 200πt = π/2, 3π/2, . . .

dk = 1/2(6π sin 3πx/4 sin 200πt)2µdx

t = 2, 5ms, 7, 5ms, . . ., a corda tem a forma de uma linha retac) Integrando dk de x = 0 a x = L; observando que dkmax = µw2A2 sin2 kxdx/2

k = 1/2µw2A2∫ L

0sin2 kxdx

k = 1/2µw2A2∫ L

0sin2(3πx/L)dx

K = 3π/L

37

A.R.J.S.Substituindo w e A por valores numericos

k = mw2A2/4

onde m e a massa da mola

k = (200π)2(0, 03)2m/4J = 89mJ

85) Numa experiencia de demonstracao, a ponta de uma corda elasticae presa a haste de um diapasao de 60Hz que gera ondas transversais. Aoutra ponta da corda passa por uma polia e sustenta pesos que proporci-onam tensoes variaveis na corda. Ao vibrar, a corda exibe nos localizadosaproximadamente na haste do diapasao e na polia. a) Se a densidade linearda corda for 8g/m se o seu comprimento (da haste do diapasao a polia) forde 2,5m, qual deve ser a tensao para a corda vibrar no modo fundamental?b) Valcular as tensoes necessarias para a corda vibrar no segundo, no trceitoe no quarto harmonicos.

Solucao:a)

ν2 = F/mu = f 2λ2 = 4f 2L2

F = 4f 2L2µ

F = 4× 602 × 2, 52 × 0, 008N = 720N

b)

fn = nf1 e F ∝ f 2

F2 = 4× 720N = 2880N

F3 = 6480N

F4 = 11520N

86) Tres frequencias de ressonancia sucessivas num tubo de orgao sao1310, 1834, e 2358Hz. a) O tubo e fechado numa extremidade ou aberto emambas? b) Qual a frequencia fundamental? c) Qual o comprimento do tubo?

38

A.R.J.S.Solucao:a) No caso de um tubo fechado nas duas extremidades, ∆f = f1 e fn =

nf1 = n∆f , onde n e um numero inteiro. Como em nosso caso ∆f = 524 e1310 = 2, 5f1, o tubo e fechado numa extremidade.

b) No caso de um tubo fechado numa extremidade, ∆f = 2f1; f1 =∆f/2 = 262Hz.

c) L = λ/4; λ = 340/262m = 1, 30m

L = 32, 4cm

96) a) Mostrar ue quando a tensao de uma corda, fixa nas extremidades,se altera da pequena grandeza dF , a frequencia do fundamental se altera deaproximadamente df , com df/f = dF/2F . Este resultado aplica-se a todosos harmonicos? b) Com o resultado anterior, calcule a variacao percentualda tensao numa corda de piano para que a fundamental passe de 260Hz para262Hz.

Solucao:a) Como fn = nν/2L e ν = CF 1/2, onde C e uma constante, dfn/dF =

(Cn/4L)F−1/2 = fn/2F ; dfn/fn = dF/2F . Sim, este resultado se aplica atodos os harmonicos.

b)

∆F/F = 2∆f/f = 4/260 = 0, 0154 = 1, 54%

97) Duas fontes tem uma diferenca de fase δ0 proporcional ao tempo:δ0 = Ct, com C constante. A amplitude da onda proveniente de cada funcao,num certo ponto P , e A0. a) Dar a funcao de onda de cada onda, no pontoP, admitindo que este ponto esteja a distancia x1 de uma fonte e x1 + ∆xda outra. b) Determinar a funcao de onda resultante e mostrar que a suaamplitude e de 2A0 cos(δ+δ0)/2, onde δ e a diferenca de fase em P provocadapela diferenca de percurso. c) Fazer o grafico da ntensidae no ponto P , emfuncao do tempo, sendo nula a diferenca de percurso. (A intensidade devidaa cada onda, isoladamente, e I0.) Qual a media da intendsidade no tempo?d) Repetir a questao anterior para a intensidade num ponto onde a diferencade percurso e λ/2.

Solucao:

y1 = A0 cos(k1x1−wt); y2 = A0 cos(kx1−wt+k∆x+δ0) = A0 cos [kx1 − wt+ (δ + δ0)]

onde δ = k∆xb) Usando

39

A.R.J.S.cosα + cos β = 2 cos

α + β

2

ytot = y1 + y2 = 2A0 cosδ + δ0

2cos

kx1 − wt+ δ+δ02

2

a amplitude da onda resultante e

2A0 cosδ + δ0

2

c) Observe que I ∝ A2. Com δ = 0 e δ0 = Ct, I ∝ 4A20 cos2(Ct/2). Como

a media de cos2 θ para um periodo completo e 1/2 , a intensidade media e2I0;

d) Se ∆x = λ/2, as ondas interferem destrutivamente em t = 0.100) Uma corda de 3, 2m de comprimento e densidae linear de massa de

0, 008Kg/m e mantida sob tensao de modo que as ondas se propagam coma velocidade de 48m/s. As pontas da corda estao fixas e depois de um certotempo se instala na corda uma onda estacionaria com amplitude de 5, 0cm.Que energia esta associada ao sistema vibrante nestas circunstancias? Se aamplitude da onda estacionaria diminuir para 3, 0cm em 1, 0s, qual o Q dosistema vibrante?

Solucao:

E = Kmax = mw2A2/4

w2 = n2π2ν2/L2

E = n2A2π2ν2m/4L2 = 0, 320J

Usando a Eq. 14-36 para encontar τ

τ =1

[2 ln(5/3)]= 0, 979s

Usando a eq. 14-38 para determinar Q

Q = nπντ/L = 138

40

A.R.J.S.Capıtulo 19 Calor e Primeira Lei da Termo-

dinamica

20) Quer-se determinar o calor especıfico de um bloco de material de100g. O bloco e colocado num calorımetro de cobre 25g que contem 60g deagua. Inicialmente, o sistema esta em equilıbrio a 20oC. Depois, 120 ml deagua a 80oC juntam-se ao calorımetro com o bloco. Atigindo o equilıbriotermico, a temperatura da agua e de 54oC. Determinar o calor especıfico domaterial do bloco.

Solucao:

(mBCB +mCu +magua)∆tB = magua∆t2

∆tB = 34K

∆t2 = 26K

magua = 60g magua = 120g

Calculando CB

CB = 0, 295cal/g.K

23) Um calorımetro cujo vaso de alumınio tem massa de 200g contem500g de agua, tudo a 20oC. Amostra de granalha de alumınio, com 300g, eaquecida a 100oC e depois transferida para a agua do calorımetro. a) Com ocalor especıfico do alumınio dado na tabela 19-1, determinar a temperaturafinal do sistema, admitindo que nao haja perdas termicas para o ambiente.b) O erro provocado pela transferencia de calor entre o calorimetro e suasvizinhancas pode ser minimizado se a temperatura inicial do calorimetroestiver ∆tqgua/2 abaixo da temperatura ambiente, sendo ∆tagua a variacaode temperatutra da agua do calorımetro durante a medida calorımetrica. Atemperatura final de equilıbrio, nestas circunstancias, estara ∆tagua/2 acimada temperatura ambiente. Qual deve ser a temperatura inicial do vaso e daagua do calorımetro, sendo 20oC a temperatura ambiente?

Solucao:a)

mgrcAl(100− tf ) = (mcalcAl +magua)(tf − 20)

41

A.R.J.S.calculando tf

6450− 64, 5tf = 532, 3tf − 10645

tf = 28, 6oC

b) Para o calorımetro fazemos ti = tamb − t0 e tf = tamb + t0 onde tamb =20oC escrevendo a equacao do calorımetro e calculando os valores de t0 e tf

mgrcAl(100− 20− t0) = (mcalcAl +magua)(2t0)

64, 5× 80− 64, 5t0 = 2× 532, 3t0

t0 = 4, 57oC

ti = 15, 43oC

60) Meio mol de gas perfeito monoatomico, na pressao de 400kPa e natremperatura de 300K, expande-se ate que a pressao tenha se reduzido a160kPa. Calcular a temperatura e o volume finais, o trabalho efetuado e ocalor absorvido pelo gas se a expansao for a) isotermica e b) adiabatica.

Solucao:a) Calculando Vi a partir da lei dos gases ideais

Vi = (8, 314c× 300/2× 400)L = 3, 12L

Nos processos isotermicos Vf = Vi(Pi/Pf )

Vf = 3, 12(400/160)L = 7, 8L

Tf = Ti

Tf = 300K

Usando a equacao 19-16 W = nRT ln(Vf/Vi)

W = 0, 5× 8, 314× 300× ln(2, 5)J = 1, 14kJ

42

A.R.J.S.Q = ∆U +W

∆U = 0

Q = 1, 14kJ

b) De acordo com a equacao 19-37 , Vf = Vi(Pi/Pf )1/γ

Vi = 3, 12L

Vf = 3, 12(2, 5)0,6L = 5, 41L

Tf = PfVf/nR

Tf = (160× 5, 41/0, 5× 8, 314)K = 208K

W = −∆U = −CV ∆T

Q = 0

W = (0, 5× 1, 5× 8, 314× 92)J = 574J

Q = 0

64) Um gas perfeito, que ocupa inicialmente um volume V1 a uma pressaoP1, expande -se quase-estaticamente e adiabaticamente ate ocupar um vo-lume V2 a uma pressao P2. Calcule diretamente o trabalho executado pelogas, integrando PdV , e mostre que o resultado e igual ao obtido usando aequacao 19-39.

Solucao: Nos processos adiabaticos,

PV γ = constante = C

assim

43

A.R.J.S.P = C/V γ

e

W =∫ v2

v1PdV = C

∫ v2

v1V γdV =

C

1− γ(V 1−γ

2 − V 1−γ1 )

CV 1−γ2 = P2V

γ2

CV 1−γ1 = P1V

γ1

Fazendo estas substituicoes, chegamos ao resultado desejado:

W =P1V1 − P2V2

γ − 1

66) Dois moles de gas perfeito monoatomico tem a pressao inicial de P1 =2atm e volume inicial V1 = 2l. O gas efetua o seguinte ciclo de procesos quase-estaticos: expansao isotermica ate o volume V2 = 4l aquecimento isocoricoate a pressao P3 = 2atm resfriamento isobarico ate o estado inicial. a)Mostre este ciclo em um diagrama PV . b) Calcule o calor fornecido aogas e o trabalho realizado pelo gas em cada parte do ciclo. c) Calcule astemperaturas T1 , T2 e T3.

Solucao:c) Calculando T1 = P1V1/nR

T1 = 24, 3K

Calculando T2 a expansao e isotermica e, portanto, T2 = T1

T2 = 24, 3K

Calculando T3 = P3V3/nR

T3 = 48, 6K

b)

1− 2 : Q = W = nRT ln(V2/V1)

44

A.R.J.S.Q1−2 = 280J

W = 280J

2− 3 : Q = CV ∆T

CV = 3R

Q2−3 = 606J

W = 0

3− 1 : Q = Cp∆T

Cp = 5R

W = Q− CV ∆T

Q3−1 = −1010J

W = −404J

88) Imaginemos que os dois moles de gas perfeito monoatomico mencio-nado no problema 87 sejam comprimidos adiabaticamente de 181 ate 81. Otrabalho feito sobre o gas e de 820 J. Determinar a temperatura inicial e aspressoes no inıcio e no fim do processo.

Solucao:

W =PiVi − PfVf

γ − 1=Pi [Vi − Vf (Vi/Vf )γ]

γ − 1

Calculando P1

45

A.R.J.S.Pi =

−0, 4× 820

[18− 8(18/8)1,4]× 10−3Pa = 47, 56kPa

Calculando T1 = Ti a partir da lei dos gases perfeitos

Ti = (47, 56× 18/2× 8, 314)K = 51, 5K

Calculando T2 = Tf a partir de W = −CV ∆T

∆T = −820/5× 8, 314K = 19, 7K

Tf = 71, 2K

Calculando Pf a partir da lei dos gases perfeitos

Pf = 2× 8, 314× 71, 2/8kPa = 148kPa

Capıtulo 20 A Segunda Lei da Termodinamica

13) Um gas ideal γ = 1, 4 efetua o ciclo representado na fig. 20-12. Atemperatura no estado 1 e de 200K. Calcular (a) as temperaturas dos outrostres estados do ciclo e b) o rendimento do ciclo.

Solucao: a) Usando

PV = nRT

Ti = T1(PiVi/P1V1)

T1 = 200K, T2 = 600K, T3 = 1800K,T4 = 600K

b) Calculando W = area limitada pelo ciclo

W = 400atm.L

Calculando

Qin = CV ∆T1−2 + Cp∆T2−3

46

A.R.J.S.Qin = (2, 5× 200 + 3, 5× 600)atm.L = 2600atm.L

ε = W/Qin

ε = 400/2600 = 0, 154 = 15, 4%

16) A equacao de estado de Clausius e P (V − bn) = nRT , onde b e umaconstante. Mostrar que o rendimento de um ciclo de Carnot e o mesmo paraum gas que obedece a esta equacao de estado e para um gas que obedece aequacao de estado de um gas ideal, pV = nRT .

Solucao: Os quatro segmentos do ciclo de Carnot sao: A. Expansaoisotermica em T = Tq de V1 para V2. B. Expansao adiabatica de V2 para V3,a temperatura Tf . C. Compressao isotermica de V3 para V4. D. Compressaoadiabatica de V4 para V1.

Segmento A:

QA = WA =∫ v2

v1PdV = nRTq

∫ v2

v1

dV

V − bn= nRTq ln

(V2 − bnV − bn

)= Qq

Segmento C: Utilizando o mesmo metodo usado para o segmento A, ob-temos:

|Qf | = nRTf ln

(V2 − bnV1 − bn

)

como

∆U = 0

Para o ciclo completo,

W = Qq − |Qf |

O rendimento e dado por

ε =W

Qq

= 1− TfTq

ln

ln

[(V2 − bn)/(V1 − bn)]

[(V3 − bn)/(V4 − bn)]

os volumes V1, V4, V2 e V3 estao relacionados atraves de processos adiabaticos,nos quais dQ = 0 = dU + dW . Assim,

47

A.R.J.S.CvdT + PdV = CvdT + [nRT/(V − bn)] dV = 0

e ∫ dT

T= −nR

Cv

∫ dV

V − bn= −(γ − 1)

∫ dV

V − bn

Nesse caso,

T (V − bn)γ−1 = constante

de modo que

Tq(V2 − bn)γ−1

e

Tq(V1 − bn)γ−1 = Tf (V4 − bn)γ−1

Em consequencia

V2 − bnV1 − bn

=V3 − bnV4 − bn

e rendimento e

ε = 1− TfTq

como para um gas ideal.71) Um freezer funciona a temperatura Tf = −23oC. A temperatura do

ar na cozinha e Tq = 27oC. Como o isolamento termico nao e perfeito, ocalor entra no freezer a uma taxa de 50W . Determine a potencia do motornecessaria para manter a temperatura do freezer.

Solucao:

COE = Tf/∆T

P = (dQf/dt)/COE = (dQf/dt)×∆T/Tf

P = 50× 50/250 = 10W

48

A.R.J.S.Capıtulo 21 Propriedades e Processos Termicos

62)O diametro de uma barra e dado por d = d0(1 + ax), onde a e umaconstante e x e a distancia em relacao a uma das extremidades. Se a con-dutividade termica do material e k e o comprimento da barra e L, qual e aresistencia termica?

Solucao:

I = −kA(dT/dx)

A = (π/4)d20(1 + ax)2

∫ T2

T1

dT = − 4I

πkd20

∫ L

0

dx

(1 + ax)2

T2 − T1 =4IL

πkd20(1 + aL)

49