EXAMEN DE MATEMÁTICAS: TRIGONOMETRÍA.1º A. 20 de diciembre de 2000.

EJERCICIOS: (1 punto cada uno. Sin calculadora).

1. Hallar las razones trigonométricas de un ángulo situado en el cuarto cuadrante del que se sabe que su cotangente es igual a -3/4. Razona la respuesta.

2. Encuentra una relación entre las razones trigonométricas de los ángulos de 3666º y 7224º. Razona la respuesta.

3. Si llamamos t a la tangente del ángulo /2, expresar sen, cos y tg en función de t.

4. Demuestra la siguiente identidad:

5. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica:

PROBLEMAS: puede usarse la calculadora.

6. Hallar el área de un pentágono regular de 30 dm de perímetro. Razona la respuesta. (1 punto)

7. Averigua la altura del edificio representado en la imagen, usando los datos que se incluyen en la misma: desde cierta posición la visual del edificio forma un ángulo de 35º con el suelo. Si nos acercamos al edificio 20 metros, la visual forma ahora un ángulo de 45º con el suelo. (2 puntos)

8. Se quiere calcular la distancia entre los puntos A y B que están separados por un río. La visual de A a B forma un ángulo de 60º con la visual de A hacia un tercer punto C accesible. Medimos la distancia entre A y C que resulta ser de 60m. La visual de C a B forma un ángulo de 45º con la visual de A a C. Averigua la distancia entre A y B. (2 puntos)

SOLUCIONES

1. Ahora usamos la fórmula 1+tg2 = sec2 y tenemos en cuenta que la secante

es la inversa del coseno, por lo que es positiva en el cuarto cuadrante, es decir hay que escoger la raíz

cuadrada positiva: . Para calcular el

seno multiplicamos el coseno por la tangente: . Por último, la cosecante

es la inversa del seno:

2. 3666º=360ºx10+66º; luego las razones trigonométricas de 3666º son iguales que las de 66º; por su parte, 7224º=360ºx20+24º, por lo que las razones trigonométricas de 7224º son iguales a las de 24º. Como 66+24=90, resulta que son ángulos complementarios, por lo que sen3666º=cos7224º, cos3666º=sen7224º y tg3666º=cotg7224º.

3.

4.

5.

6. Si el perímetro mide 30 dm, cada lado mide 6 dm. Si dividimos el pentágono en 5 triángulos isósceles iguales, uniendo cada vértice con el centro, los ángulos centrales miden 360/5, es decir 72º. Como los otros dos ángulos son iguales, entre los dos suman 180-72=108, por lo que cada uno de los otros ángulos mide la mitad, o sea, 54º. Si trazamos la altura, como el triángulo es isósceles queda dividido en dos partes iguales, que son triángulos rectángulos. La base del triángulo isósceles es el lado del pentágono, es decir, 6 dm, luego la base del triángulo rectángulo mide 3 dm. La altura del triángulo h=3 tg54º = 4,13. Por lo tanto el área del triángulo isósceles es base por altura partido 2: (6 x 4,13)/2 =12,39 dm2. El área del pentágono será cinco veces esa cantidad, es decir: 61,94 dm2.

7. Llamamos y a la altura del edificio y x a la distancia señalada en el dibujo. Tenemos por lo tanto, dos triángulos rectángulos: ABC y

ABD. En el primero tenemos: y en el segundo

. Tenemos un sistema de dos ecuaciones

con dos incógnitas:

8. El ángulo en B es 180-(60+45)=75º. La distancia entre A y B es el lado opuesto al ángulo C, por lo tanto la denominaremos c. Aplicando el teorema de los senos: