etti.poly.roetti.poly.ro/cursuri/anul III/mt/culegere_probleme_MT.pdfetti.poly.ro

Medii de transmisiune – Culegere de probleme

1 Medii de transmisiune

1.1. Să se determine modurile care se pot propaga printr-un ghid dielectric planar simetric, fără pierderi, la frecvenţa 9GHzf = . Grosimea ghidului este

iar permitivitatea electrică relativă a celor două medii este 2 2ca = m 1rε =5, respectiv r2ε =1. Rezolvare: Frecvenţa de prag pentru modurile sau poate fi calculată cu expresia:

Em Hm

01 2

( 1)4cm r r

m cfa ε ε

−=

−,

unde . m ∗∈N Modurile E şi se propagă numai dacă m Hm cmf f> . Pentru se obţine 1m = 1 0cf = , de unde rezultă că modurile şi se propagă la orice frecvenţă, deci şi la

1E 1H9GHzf = (sunt moduri fundamentale în

ghidul dielectric planar). Pentru 2m = se obţine:

8

1002 2

1 2

3 10 3 10 3,75GHz4 1 10 2 84c r r

cf fa ε ε −

⋅= = = ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅−< .

Prin urmare se propagă şi modurile şi 2E 2H . Pentru 3m = rezultă:

5

Capitolul 1 – Medii de transmisiune

03 21 2

2 2 7,5GHz4c cr r

cf f fa ε ε

= = =−

< ,

situaţie în care se propagă şi modurile şi . 3E 3H Pentru 4m = se obţine:

04 21 2

3 3 11,25GHz4c cr r

cf f fa ε ε

= = =−

> .

Deci modurile şi ca şi modurile de ordin mai ridicat nu se vor propaga. 4E 4H , Rezumând, modurile care se pot propaga la frecvenţa de lucru sunt:

, . 1E ,

1H 2E , 2H , 3E , 3H 1.2. Să se calculeze grosimea maximă pe care o poate avea o placă de dielectric cu permitivitatea electrică relativă 5rε = pentru a asigura transmisiune unimodală la frecvenţa 20GHzf = . Rezolvare: Frecvenţa de prag pentru modurile sau poate fi calculată cu expresia:

Em Hm

01 2

( 1)4cm r r

m cfa ε ε

−=

−,

unde este grosimea plăcii de dielectric. 2a Transmisiunea unimodală implică propagarea doar a modurilor sau

. Ca urmare, grosimea plăcii de dielectric trebuie să conducă la o valoare a frecvenţei critice corespunzătoare modurilor imediat superioare (

1E1H

)2E , 2H mai mare decât frecvenţa de lucru:

02 4 1c r

cf f fa ε

> ⇒ >−

.

De aici rezultă:

022 1r

caf ε

<−

,

6


adică

8

10

3 102 0,00375m=3,75mm.2 2 10 4

a ⋅< =⋅ ⋅ ⋅

Observaţie: În aceste condiţii se pot propaga totuşi două moduri: şi

. Transmisia poate deveni unimodală dacă sistemul de excitaţie evită apariţia uneia dintre aceste două unde.

1E1H

1.3. Să se determine distribuţia câmpului electromagnetic pentru unda în ghidul dielectric planar.

2E

Rezolvare: În acest caz frecvenţa de prag este:

( )0 021 2 1

2 14 4c r r r r

c cfa a 2ε ε ε

−= =

− − ε.

Pentru modurile pare, expresia generală a componentei axiale (longitudinale) a câmpului electromagnetic poate fi scrisă sub forma:

( )( )( )( )

0

e , ,

cos , ,

e , ,

Kyp

zp

Kyp

A y a

A y C ky y a a

A y a−

⎧ ∈ −∞ −⎪⎪= ∈ −⎨⎪ ∈ + ∞⎪⎩

unde reprezintă numărul de undă critic în mediul dielectric 1, 1k k= ∈R

2

+

jK k= ( )K +∈Rz

este numărul de undă critic în mediul dielectric 2; s-a neglijat dependenţa de care este cunoscută ( 0( , ) ( )

zz zA y z A y e

γ−= ). Se folosesc notaţiile: , , ,u ka w Ka u w += = ∈R 0 , z zC E A E= = (deoarece unda este de tip ). E Se impun condiţiile pe frontieră:

7


( ) ( )0 00 0 cos e e cKa Kazp zp p p osA a A a C ka A A C−− = + ⇒ = ⇒ = ka . Pentru unda de tip se obţine: E

( )

( )

( )

( )

0

0 0

0

e cos e , ,

cos , ,

e cos e , ,

wyw a

z

wyw a

E u yuyE y E y a aa

E u y a−

⎧a∈ −∞ −⎪

⎪⎪= ∈ −⎨⎪⎪

∈ +∞⎪⎩

,

unde s-au folosit şi notaţiile . ,u ka w Ka= = Se poate rescrie expresia de mai sus într-o formă mai compactă:

( )( ) ( )

( )

( )

0

0

0

cos e , , ,

cos , ,

w y aa

z

E u y a aE y uyE y a a

a

−−⎧

∈ −∞ − ∪ +∞⎪= ⎨⎪ ∈ −⎩

(1.3.1)

Componenta axială a câmpului magnetic este nulă ( ) deoarece unda este de tip transversal magnetic ( ).

( )zH y = 0TM

Se pot deduce acum componentele transversale din cele axiale deja cunoscute:

( ) { }00 0 0 02 2j

, 1,2g zT x x y y T z yi i

dEE E E y ik k dy

.βγ

= + = − ∇ = − ∈E e e e

S-a obţinut componenta transversală 0 0xE = deoarece 0zE nu depinde de x . Componenta transversală este de forma: 0 yE

{ }00 2j

, 1,2g zyi

dEE ik dy

.β

= − ∈

Pentru ( ),y∈ −∞ − a se obţine:

( )

00 02 2

2

j 2 1j cos ew y ag z a

yg

dE wE Ek dy K a

,uβ π

λ

−− −

= − = −−

8


( ) ( )

0 0 02

2

2 1 2j cos e j cos ew wy a y a

a ay

g g

w aE E u u Ew a wa

π πλ λ

− −− − − −

= = .

Din ecuaţia caracteristică pentru modurile pare rezultă egalitatea:

1tg ,kak Kδ

− =

de unde prin înlocuirile ,uk Ka a

= =w se obţine:

1 sin 1 1tg cos sin .cos

uu uu w u u w w u

uδ δ δ− = ⇒ − = ⇒ = −

Pentru unda E, 12

r

r

εδε

= şi rezultă:

12

1 1cos sinrr

u uw u

εε

= − .

Se obţine astfel expresia finală:

( )( )

10 0

2

2j sin e , ,w y a

r ay

g r

aE u E yu

π ελ ε

−− −

= − ∈ −∞ − .a

Pentru domeniul ( ),y a∈ +∞ se schimbă cu y y− şi se modifică semnul expresiei ( datorită derivării lui e Ky− ), astfel încât:

( )( )

10 0

2

2j sin e , ,w y a

r ay

g r

aE u E yu

π ελ ε

−−

= ∈ .a + ∞

În domeniul ( ),y a a∈ − rezultă:

00 0 22 21

2

j 2 1 2 1j ( )sin j sing zyg g

dE u uy u uyE Euk dy k a a a aa

0 ,Eβ π π

λ λ= − =− − =

9


adică

0 02j siny

g

a uE Eu a

.yπλ

=

Comasând rezultatele de mai sus se obţine:

( ) ( )

( )

( )1

02

0

0

2jsgn( ) sin e , , ,

2j sin , ,

w y ar a

g ry

g

ay u E y a au

Ea uyE y a au a

π ελ ε

πλ

− −⎧∈ −∞ − ∪ +∞⎪

⎪= ⎨⎪ ∈ −⎪⎩

(1.3.2)

Din definiţia impedanţei de undă pentru unda rezultă: E

{ }000 0

, 1,2y gxuEy x i

EEZ iH H

βωε

= = − = ∈ ,

de unde se poate demonstra că: 0 00 0x yE H= ⇒ = . Pe de altă parte, componenta 0xH are expresia:

0 0 0 02 1

2i gi di

0i

x y y i g yg di di i i

f cg yH E E E E

π ε λωε εε λ λβ π λ λ ε μ

= − = − = − = − ,

sau

{ }00 01 1 , 1,2g yx g ydi di dii

i

EH E i

Zλ

λλ λμ

ε

= − = − ∈ .

Folosind expresia (1.3.2) pentru şi egalitatea 0 yE

12 2 1

2

rd d d d

r1Z Z

ελ λε

= ,

se obţine:

10


( ) ( )

( )

( )0

1 10

0

1 1

2jsgn( ) sin e , , ,

2j sin , ,

w y aa

d dx

d d

a Ey u y a au Z

Ha E uy y a au Z a

πλ

πλ

− −⎧− ∈ −∞⎪⎪= ⎨⎪− ∈ −⎪⎩

− ∪ + ∞ (1.3.3)

Pentru a putea trage anumite concluzii vor fi analizate în continuare două

tuaţi

ecinătatea frecvenţei de prag se obţine:

si i particulare: cazul frecvenţelor mici (în vecinătatea frecvenţei de prag) iar apoi cazul frecvenţelor mari. La frecvenţe situate în v

( ) ( )2 1 2 12 2cf f V m 2π π π

→ ⇒ → − = − = ,

2

u π→ ,

de unde rezultă că

2 2 0w V u= − → ( ( )0 0 1 2r rV aω ε μ ε ε= − reprezintă frecvenţa normalizată). Atunci:

0

i deci unda electromagnetică pătrunde tot mai mult în mediul al doilea pe

nfinit, atunci:

20 0 jw Ka K k K= → ⇒ → ⇒ = → şmăsura apropierii de frecvenţa critică. Dacă frecvenţa de lucru tinde la i

( )0 0 1 2r rf V aω ε μ ε ε→∞⇒ = − →∞ , u π→ ,

e unde rezultă că

2 2w V u= − →d ∞ .

eci:

i câmpul electromagnetic este concentrat în placa dielectrică.

D 2 jw Ka K k K= →∞⇒ →∞⇒ = →∞ ş

11


1.4. O placă dielectrică de grosime constantă 2 1mma ,= infinit extinsă în planele suprafeţelor sale şi având 1 3,rε = 1 1,rμ = 1 0,σ = se află în spaţiul liber, infinit extins ( )2 21, 1,r r 2 0 .ε μ σ= =

2 jk =

=

1k

Să se calculeze frecvenţele pentru care, în ghidul dielectric planar astfel format, se propagă modurile şi

în condiţiile în care (s-a notat prin unde 1,TE

,2TE , 3TE

4TE , ik { }1,i 2 ,∈ numărul de undă critic în mediul de indice i ). Să se generalizeze pentru modul de propagare

. TEm Rezolvare: Numerele de undă critice în cele două medii sunt 1 ,k k= respectiv 2 j ,k K= unde sunt numere reale pozitive. ,k K Condiţia problemei, 2 j ,k k1= conduce la egalitatea sau – cu notaţiile w

,k K=,u ka= Ka= – se obţine:

.u w= Ecuaţia caracteristică are forma

1ctg uuwδ

=

pentru modurile impare şi

1tg uuwδ

− =

în cazul modurilor pare. Înlocuind, pentru modurile T 1E ,m δ = şi luând ,u w= ecuaţia caracteristică devine ctg 1u =

12


pentru modurile impare şi tg 1u− = în cazul modurilor pare. Soluţiile primei ecuaţii sunt

,4i

u kπ π= + ,k∈Z

iar soluţiile celei de a doua ecuaţii sunt

,4p

u kπ π= − + .k∈Z

Cea mai mică soluţie pozitivă a şirului ,iu 1 4,iu π= corespunde modului

iar valoarea imediat următoare, 1TE , 2 5 4,iu π= corespunde modului 3TE . Cea mai mică soluţie pozitivă a şirului ,pu 1 3 4pu ,π= corespunde modului iar valoarea imediat următoare, 2TE , 2 7 4,pu π= corespunde modului

. 4TE Frecvenţa normalizată, rezultă din ecuaţia ,V 2 2u w V+ = 2 ştiind că, în cazul problemei, u w= . Se scrie 2V u= şi, deoarece

1 20

2 ,r rfaV

cπ ε ε= −

rezultă

( )

0

1 2

.2 r r

c ufaπ ε ε

=−

Înlocuind numeric, frecveţele sunt:

13


( )

8

1 14

3 10 4 75 GHz pentru modul TE ,5 10 2 3 1

f ππ −

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ −

( )

8

2 24

3 10 3 4 225 GHz pentru modul TE ,5 10 2 3 1

f ππ −

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ −

( )

8

3 34

3 10 5 4 375 GHz pentru modul TE ,5 10 2 3 1

f ππ −

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ −

( )

8

4 44

3 10 7 4 525 GHz pentru modul TE .5 10 2 3 1

f ππ −

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ −

Generalizând, se constată că pentru modul ,mTE ,m

∗∈N se obţine

,4 2m

u mπ π= − +

de unde rezultă frecvenţele

( )

0

1 2

.2

mm

r r

c ufaπ ε ε

=−

Înlocuind numeric, rezultă, pentru modul , TEm ( ) [ ]75 2 1 GHz .mf m= − 1.5. Un ghid dielectric planar este alcătuit dintr-o placă dielectrică de grosime constantă infinit extinsă în planele suprafeţelor sale şi având

2 2mm,a =1 3,25,rε = 1 1,rμ = 1 0,σ = care se află în spaţiul liber infinit extins

( 2r 1,ε = 2 1,rμ = 2 0σ =1f =

). Să se calculeze numărul de moduri care se pot propaga dacă frecvenţa este sau 500GHz 2 625GHz.f = Rezolvare: Modurile H şi unde m E ,m ,m

∗∈N apar numai dacă se îndeplineşte condiţia de propagare

( )1 ,2

V m π> −

14


de unde rezultă

2 1, .Vm mπ

∗< + ∈N

Deci valoarea maximă Mm a lui este cel mai mare număr natural mai

mic decât

m2 1Vπ

⎛ +⎜⎝ ⎠

⎞⎟ . Dacă 2V π nu este număr natural atunci

2 21 1MV Vmπ π

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦,

unde s-a notat prin [ ]x - partea întreagă a numărului .x În cazul în care 2 ,V π ∗∈N

2 .MVmπ

=

Deoarece pentru fiecare ordin există câte o pereche de moduri de propagare ( )E şi Hm m , rezultă că numărul de moduri care se pot propaga este

2 MN m= şi se obţine

2 22 1 , dacă .

4 2, dacă

V V

NV V

π π

π π

∗ ∗+

∗

⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤ + ∈⎪ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎠= ⎨⎪ ∈⎪⎩

R N

N

−

Din expresia frecvenţei normalizate

1 20

2 ,r rfaV

cπ ε ε= −

rezultă

1 20

2 4 .r rV fa

cε ε

π= −

În cazurile particulare din problemă se scrie

15


11 3

1 11 2 8

0

2 4 4 5 10 10 3,25 1 10 ,3 10r r

V f ac

ε επ

−∗⋅ ⋅ ⋅= − = − = ∈

⋅N

11 3

2 21 2 8

0

2 4 4 6,25 10 10 3,25 1 12,53 10r r

V f ac

ε επ

−∗⋅ ⋅ ⋅= − = − =

⋅N∉

şi rezultă

114 20,VNπ

= =

respectiv

( )2222 1 2 12 1VNπ

⎛ ⎞⎡ ⎤= + = + =⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠26.

1.6. Să se determine domeniul de frecvenţă în care numărul de moduri care se pot propaga printr-o fibră optică este supraunitar şi minim. Să se specifice modurile care se pot propaga. Rezolvare: Pentru ca numărul de moduri care se pot propaga să fie supraunitar trebuie ca: 2,405V ≥ unde ( )0 0 1 2r rV aω ε μ ε ε= −

1r

reprezintă frecvenţa normalizată. Dacă se propagă doar modul fundamental care are frecvenţa normalizată nulă.

2,405V < 11HE

În cazul ghidajului slab ( 2 2 21 2 1 1 2r rn n n ε ε ε− ⇔ − ; mediul 1 corespunde miezului fibrei optice, iar mediul 2 este învelişul) se poate face următoarea aproximaţie: ( ) ( ) ( )

01 01 21H E HE2,405C C CV V V ,

deci pentru cele trei moduri se pot propaga. 2,405V ≥

16


Pentru ca numărul de moduri care se pot propaga să fie şi minim trebuie evitată apariţia altor moduri superioare, adică: ( ) ( ) ( )

11 12 31EH HE HE3,8C C CV V V V< .

Deci numărul de moduri care se pot propaga este supraunitar şi minim pentru . [2,405;3,8)V ∈ Se pot propaga modurile , şi . 11HE 01H , 01E 21HE 1.7. Să se calculeze apertura numerică şi semiunghiul la vârf al conului de acceptanţă al unei fibre optice cu salt de indice de refracţie având miezul de indice dacă diferenţa relativă dintre indicii de refracţie ai miezului şi învelişului este de 1 sau de 1 iar mediul ambiant este aerul.

1 1,45,n =% 2%,

Rezolvare: Pentru o diferenţa relativă de 1 , %

1 21

0,01 1n nn−

= ,

situaţie în care poate fi utilizată formula

2 21 2 1 2

211

0,01.2

n n n nnn

− −Δ = ≅ =

Deci apertura numerică este

1 1,45. . 2 2 0,01 0,23,1a

nA Nn

= Δ = ⋅ =

unde s-a înlocuit indicele de refracţie al mediului ambiant, 1.an ≅ Semiunghiul la vârf al conului de acceptanţă, se obţine din relaţia ,aMi . . sin aMA N i= şi rezultă arcsin . . arcsin 0,23 11,8 .aMi A N= = =

o

17


În cel de-al doilea caz,

1 21

0,12n nn−

=

nu mai este mult mai mic decât unitatea. Va fi calculat astfel indicele de refracţie al învelişului ( ) ( )2 1 1 1,45 1 0,12 1,276.n n= − Δ = − =

Apertura numerică are expresia

2 21 1 21. . 2 .

a a

nA N nn n

= Δ = − n

Înlocuind numeric,

2 21. . 1,45 1,276 0,69.1

A N = − =

În aceste condiţii, semiunghiul la vârf al conului de acceptanţă va avea valoarea arcsin . . arcsin 0,69 43,5 .aMi A N= = =

o

De remarcat că în acest caz

2 21 2 1

211

0,11 0,122

n n n nnn

− −Δ = = ≠ = 2

dar abaterea nu este foarte mare. Dacă s-ar fi calculat apertura numerică folosind valoarea aproximativă

1 21

0,12,n nn−′Δ ≅ =

ar fi rezultat

1,45. . 2 0,12 0,711

A N ′ = ⋅ =

18


şi semiunghiul la vârf al conului de acceptanţă arcsin 0,71 45,2 .aMi′ = =

o

1.8. Să se calculeze frecvenţa normalizată şi numărul de moduri care se pot propaga într-o fibră cu salt de indice de refracţie având raza miezului

şi apertura numerică 40μma = . . 0,4A N = , atunci când lungimea de undă a luminii care se transmite este 0 0,85μm,λ = iar mediul ambiant este aerul. Rezolvare: Deoarece frecvenţa normalizată are expresia

10

2 2 ,aV nπλ

= Δ

iar apertura numerică se calculează din relaţia

1. . 2 ,a

nA Nn

= Δ

rezultă că

0

2 . .aaV n A Nπ

λ= ⋅

Numeric,

6

62 40 10 1 0,4 118,3.0,85 10

V π−

−⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ =⋅

Numărul de moduri care se pot propaga poate fi calculat cu aproximaţie din formula

2

2VN ≅ .

În cazul problemei,

19


2118,3 6997.

2N ≅ =

1.9. Să se determine diferenţa relativă dintre indicii de refracţie ai miezului şi învelişului unei fibre optice cu salt de indice de refracţie, având miezul de indice 1 1,45n = şi rază 3μm,a = astfel încât să se asigure propagarea unimodală la lungimile de undă 01 0,85μmλ = sau 02 1,3μm.λ = Rezolvare: Condiţia de propagare unimodală este ca frecvenţa normalizată să fie mai mică decât frecvenţa normalizată de tăiere a primelor moduri superioare, egală cu cea mai mică soluţie a ecuaţiei

V

( )0 0.cJ V = Cum această soluţie este , condiţia de propagare unimodală se scrie: 2,405cV =

10

2 2 2,405.aV nπλ

= Δ <

Rezultă de aici

2

0

1

1 2,405 .2 2 an

λπ

⎛ ⎞⋅Δ ≤ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

În cazurile particulare din problemă

26

31 6

1 2,405 0,85 10 2,8 10 ,2 2 3 10 1,45π

−−

−

⎛ ⎞⋅ ⋅Δ ≤ = ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

26

32 6

1 2,405 1,3 10 6,5 10 .2 2 3 10 1,45π

−−

−

⎛ ⎞⋅ ⋅Δ ≤ = ⋅⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅⎝ ⎠

Cum aceste valori sunt mult mai mici decât unitatea, se poate scrie

1 21

.n nn−

≅ Δ

20


1.10. Determinaţi domeniile de valori ale razei miezului unei fibre optice cu salt de indice de refracţie, având indicele de refracţie al miezului şi diferenţa relativă de indice de refracţie de

1 1,45n =1%′Δ = sau de 0,01%′′Δ = , care este

monomod la lungimea de undă 01 0,81μmλ = sau la 02 1,3μmλ = . Rezolvare: Frecvenţa normalizată are expresia:

( ) 2 20 0 1 2 1 2 10 0

2 2r r r r

f aV a a n nc 2π πω ε μ ε ε ε ε

λ= − = − = − ,

unde . 2r nε =Diferenţa relativă de indice este

2 21 2

21

,2

n nn−

Δ =

de unde

2 2 21 2 12n n n− = Δ

şi deci:

21 10 0

2 22 2a aV n nπ πλ λ

= Δ = Δ .

Pentru ca fibra optică să fie monomod, trebuie să se propage doar modul fundamental, adică:

010 1

2 22,405 2 2,4052 2

aV n an

,405π λλ π

< ⇒ Δ < ⇒ <Δ

Rezultă astfel patru soluţii:

( )6

011 12

1

2,405 2,405 0,81 10 1,5μm 0;1,5 μm2 2 2 1,45 2 10

a an

λπ π

−

−

⋅ ⋅′ ′< = ⇒ ∈′Δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

,

21


( )6

022 22

1

2,405 2,405 1,3 10 2,4μm 0;2,4 μm2 2 2 1,45 2 10

a an

λπ π

−

−

⋅ ⋅′ ′< = ⇒ ∈′Δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

,

( )6

011 24

1

2,405 2,405 0,81 10 15μm 0;15 μm2 2 2 1,45 2 10

a an

λπ π

−

−

⋅ ⋅′′ ′′< = ⇒ ∈′′Δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

,

( )6

022 24

1

2,405 2,405 1,3 10 24μm 0;24 μm2 2 2 1,45 2 10

a an

λπ π

−

−

⋅ ⋅′′ ′′< = ⇒ ∈′′Δ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

.

Se observă că pentru diferenţa de indice 1%′Δ = trebuie ca fibra optică să aibă un miez extrem de subţire, ceea ce duce la apariţia unor probleme de interconectare precum şi a unui randament redus de injecţie a luminii. De aceea, în practică, în cazul fibrelor optice monomod miezul are raza [ ]4;10 μma∈ . O valoare a diferenţei de indice de refracţie 0,01%′′Δ = conduce la îngustarea conului de acceptanţă a luminii în fibra optică (randament redus de injecţie a luminii), deoarece apertura numerică este proporţională cu Δ :

1 11. . 2 2S

a

A N n nn

= Δ = Δ .

1.11. Să se determine cea mai mare lungime a traiectoriilor razelor de lumină într-o fibră optică cu salt de indice de refracţie, având lungimea

, care are miezul cu indicele de refracţie 1kmL = 1 1,45n = şi diametrul de , iar învelişul cu indicele de refracţie 50μm 2 1,35n = . Să se calculeze numărul

de reflexii pe care le suferă raza de lumină şi dispersia intermodală a fibrei.

Figura 1.11.1

22


Rezolvare: Distribuţia câmpului electromagnetic din fibra optică poate fi descompus în unde plane uniforme care se propagă pe direcţii ce fac unghiul i cu axa fibrei optice (v. fig. 1.11.1). Propagarea are loc dacă pe frontiera dintre miez şi înveliş se produce fenomenul de reflexie totală. Unghiul limită la care se produce acest fenomen este:

211

arcsinlni in

≥ = .

Pentru acest unghi ( ) se poate obţine cea mai lungă traiectorie a razei de lumină ( ). Rezultă:

1 li i=maxl l=

max cosL l i= de unde

max2

1

cos sincos( ) sin arcsin2l

l

L L L Lli i ni

nπ= = = = ⎛ ⎞− ⎜ ⎟

⎝ ⎠

.

Numeric,

1max2

1074mnl Ln

= = .

Numărul de reflexii pe care le suferă raza de lumină este:

1'LN

A B⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Din fig. 1.11.1

'tg ' ' tg'l l

A Bi A B AA iAA

= ⇒ =

unde ' 50μmAA = (diametrul miezului) şi 021

1,35arcsin arcsin 68,61,45l

nin

= = .

23


Atunci:

61000' 127,56μm N= 1 7.839.449 reflexii

127,56 10A B −

⎡ ⎤⇒ + =⎢ ⎥⋅⎣ ⎦.

Dispersia intermodală apare doar la fibra optică multimod şi, prin definiţie, are următoarea expresie:

max min( )imt tt

L−

Δ = ,

unde reprezintă timpul maxim, respectiv minim în care raza de lumină parcurge fibra optică de lungime .

max min,t tL

Acest timp depinde de unghiul i dintre traiectoria razei şi axul fibrei optice prin relaţia:

( ) 11 0 cosd

l Lnt ic c

= =i,

unde cos

Lli

= este lungimea traiectoriei iar 011

dccn

= este viteza razei de lumină

în mediul dielectric 1.

0 0 0 02 21 11 1

arcsin ,90 90 0 ,arccos 0 ,21,4n ni i in n

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0⎡ ⎤∈ ⇒ = − ∈ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

.

Cum cos este funcţie descrescătoare în cadranul 1 rezultă că ( ) este funcţie crescătoare, deci:

i t i

1min0

(0) Lnt tc

= = ,

respectiv

2

2 1max

21 00

1

arccos n Ln Lnt t nn ccn

⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠1

2n= .

Rezultă astfel expresia dispersiei intermodale:

24


21 1

max min 0 2 0 1 1

0 2

( ) 1im

Ln Lnt t c n c n nt

L L c n

−⎛ ⎞−

Δ = = = −⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Cu datele problemei,

81,45 1,45 ps( ) 1 3583 10 1,35 mim

t ⎛ ⎞Δ = −⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠.

1.12. Să se determine dispersia totală a unei fibre optice cu salt de indice de refracţie având indicele de refracţie al miezului 1 1,45n = , diferenţa relativă de indice de refracţie între miez şi înveliş 1%Δ = şi dispersia intramodală ( ) 5ps mctΔ = . Rezolvare: Dispersia intermodală la fibra optică multimod cu salt de indice de refracţie are expresia (v. probl. 1.11.):

( )1 1 2max min 1 10 2 0 2

( ) 1imn n nt t n nt

L c n c n−⎛ ⎞−

Δ = = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

,

unde este indicele de refracţie al învelişului. 2n Cum este necunoscut se foloseşte expresia diferenţei relative de indice de refracţie:

2n

( )( )2 2 2

1 2 1 21 2 11 22 2

1 1

22 2

n n n nn n nn nn n n

− +− ΔΔ = = ⇒ − =

1 2n+.

Se obţine astfel o nouă expresie pentru dispersia intermodală, înlocuind

cu 1 2( )n n−21

1 2

2nn n

Δ+

:

( )

31

0 2 1 2

2( )imnt

c n n nΔ

Δ =+

.

Se constată că fibra optică lucrează în condiţii de ghidaj slab deoarece:

25


. 2 21 22 2 0,01 0,02 1 n n nΔ = ⋅ = ⇒ −21

În acest caz se pot face următoarele aproximaţii:

1 21 2 2medn nn n n +=

adică

10 0

( ) medimn nt

c cΔ Δ

Δ .

Cu datele problemei,

81,45 0,01 ps( ) 48,3

3 10 mimt ⋅Δ

⋅.

Dispersia intermodală şi cea intramodală (cromatică) acţionează în cazul fibrei optice multimod, din punct de vedere statistic, la fel ca două distribuţii independente. Rezultă că dispersia totală este:

( ) ( ) ( ) 2 2 ps48,3 5 48,6mtot im c

t t tΔ = Δ + Δ = + .

1.13. Să se calculeze dispersia totală a unei fibre optice cu variaţie gradată a indicelui de refracţie, având profilul de indice de refracţie optimizat, ştiind că valoarea maximă a indicelui de refracţie este ( )0 1,4n 5= , diferenţa relativă de indice de refracţie 0 1%Δ = şi dispersia intramodală ( )ct 0,5ps mΔ = . Rezolvare: Valoarea optimă a profilului de indice de refracţie (pentru dispersie intermodală minimă) este: ( ) ( )0 02 1 2 0,01 1optg − Δ Δ = . Fibrele optice cu variaţie gradată a indicelui de refracţie au indicele de refracţie al miezului variabil, cu simetrie radială, mărimea sa micşorându-se lent

26


de la ax (unde are valoarea ) către interfaţa cu învelişul, de ecuaţie 0n r a= (unde are valoarea a indicelui de refracţie constant al învelişului): 2n

( )[

( ) [

0 0

0 0

1 , 0, )

1 , , )

grn ran r

n r a

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞− Δ ∈⎪ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎨ ⎣ ⎦

⎪ − Δ ∈ ∞⎩

a

Aproximaţia precedentă este valabilă în condiţii de ghidaj slab ( 02 1Δ ) relaţie îndeplinită de regulă în practică deoarece şi au valori suficient de apropiate.

0n 2n

Se poate verifica uşor că: ( ) 00n n= ; ( ) ( )0 0lim 1r a

r a

n a n→<

= − Δ ;

( ) ( )0 01 const., pentru n r n r a= − Δ = ≥ ;

( )( )2 2

0 2 0 20 2 00 2 2

2 02 2n n n nn n n n

n n− +− −

Δ = = 20n

(în condiţii de ghidaj slab).

Astfel, se obţine:

( ) 0 20 0 00

1 1 n nn nn

⎛ ⎞−− Δ − =⎜ ⎟

⎝ ⎠2n .

Se poate demonstra că pentru profilul optim de indice de refracţie dispersia intermodală are expresia:

( )2 2

0 08

0

1,45 0,01 ps0,068 8 3 10im optnt

cΔ ⋅

Δ =⋅ ⋅ m

,

( ) ( ) ( ) 2 2 ps0,06 0,5 0,5mtot im c

t t tΔ = Δ + Δ = + ≈ .

Pentru o fibră optică cu salt de indice de refracţie având indicele de refracţie al miezului şi diferenţa relativă de indice de refracţie 1 0 1,45n n= =

27


între miez şi înve 1liş 0 1%Δ = Δ = se obţine o valoare a dispersiei

intermodale 10

ps48,3m

ncΔ astfel încât raportul de îmbunătăţire în

cazul folosirii unei fibre optice cu variaţie gradată a indicelui de r

( )imtΔ

efracţie este:

( )( )

0 0

02

0 0 0

0

8 800

8

im

im opt

nt c

ntc

ΔΔ

= = =ΔΔ Δ

.

1.14. Se consideră o fibră optică cu salt de indice de refracţie având indicele de refracţie al miezului 1 1,4n = şi apertura numerică . . 0,2A N = . Ştiind că dispersia cromatică este ( ) 5ps mctΔ = să se determine dispersia totală care afectează un semnal transmis prin această fibră, precum şi indicele de refracţie al învelişului . 2n Rezolvare: Apertura numerică pentru fibra optică cu salt de indice de refracţie are următoarea expresie:

1. . 2a

nA Nn

= Δ

unde reprezintă indicele de refracţie al mediului 2 (aerul, în cazul de faţă,

). De aici se poate determina valoarea diferenţei relative de indice de refracţie dintre miez şi înveliş:

an1an =

( )2 2

2 21

. . 0,2 0,012 2 1,4

A Nn

Δ = =⋅

.

Se observă că este îndeplinită condiţia de ghidaj slab: 2 21 22 2 0,01 0,02 1 n n nΔ = ⋅ = ⇒ −

21

deoarece 2 21 2

212

n nn−

Δ = .

Poate fi astfel folosită formula aproximativă pentru dispersia intermodală:

28


( ) 1 80

1,4 0,01 ps46,73 10 mim

ntcΔ ⋅

Δ =⋅

.

Dispersia totală a fibrei este:

( ) ( ) ( ) 2 2 ps46,7 5 46,97mtot im c

t t tΔ = Δ + Δ = + .

Indicele de refracţie al învelişului poate fi determinat folosind expresia diferenţei relative de indice de refracţie:

( )2 2

2 2 2 2 21 21 1 2 2 1 2 12

1

2 1 22

n n n n n n n n nn−

Δ = ⇒ Δ = − ⇒ = − Δ ⇒ = − Δ1 2 .

Numeric, rezultă: 2 1,4 1 2 0,01 1,386n = − ⋅ . 1.15. O diodă LED are suprafaţa de emisie circulară de diametru

şi diagrama de radiaţie cu unghiul (pentru care puterea emisă este jumătate din puterea maximă). 2 70μmR = 03 40a dBi =

O fibră optică cu variaţie gradată a indicelui de refracţie, având profilul de indice de refracţie 2g = şi apertura numerică ( ). . 0 0,25A N = , este în contact direct cu suprafaţa emisivă a LED. Miezul fibrei optice are diametrul

şi indicele de refracţie în centrul fibrei este 2 50μma = ( )0 1n ,45= . Să se calculeze pierderea totală de cuplaj, ,TD dintre fibra optică şi sursă.

Rezolvare: Pierderea totală de cuplaj dintre fibra optică şi sursă (LED) poate fi determinată folosind relaţia: . .T S A N RD D D D= + + unde SD reprezintă pierderea de cuplaj datorată diferenţei de arie dintre suprafaţa emisivă a sursei şi secţiunea transversală a miezului fibrei optice,

. .A ND reprezintă pierderea de cuplaj datorată diferenţei dintre diagrama de radiaţie a sursei şi conul de acceptanţă al fibrei optice, iar RD este pierderea Fresnel (datorită reflexiei pe suprafaţa de intrare în miezul fibrei optice).

29


Rezultă:

2

2

2510lg 10lg 20lg 20lg 2,92dB35

FOS

SURSA

A a aDA R R

ππ

= = = = − .

( )( )

20 0

. . 2

110lg

2A N a

g m nD

g n⎡ ⎤+ Δ

= ⎢ ⎥+⎣ ⎦.

Intensitatea energetică a sursei într-o direcţie caracterizată de unghiul este:

ai

( ) 0 cos , 1ma aI i I i m= ≥ unde reprezintă un parametru propriu sursei, iar m ( )00 m0I I I= = ax . Dar:

( ) 03 2a dBII i = .

Egalând cele două expresii de mai sus se obţine:

0 000 31 1cos cos 40 lg(cos 40 ) lg

2 2m m m

a dBII i = ⇒ = ⇒ =

2

de unde

( )01lg2 2,6

lg cos40m = .

Pentru determinarea diferenţei relative de indice de refracţie poate fi folosită expresia aperturii numerice:

0Δ

( ) ( )22

00 0 2

0

. . 0. . 0 2

2a

a

n A NnA Nn n

⎡ ⎤⎣ ⎦= Δ ⇒ Δ =

sau, numeric,

30


2

0 2

1 0,25 0,01492 1,45⋅

Δ =⋅

.

Se poate acum calcula . .A ND :

( )( )

2

. . 2

2 2,6 1 1,45 0,014910lg 12,49dB

2 2 1A ND

⋅ + ⋅ ⋅−

+ ⋅.

Pierderea Fresnel este dată de expresia: ( )10lg 1RD ρ= − ,

unde 2 2

0

0

1,45 1 0,03371,45 1

a

a

n nn n

ρ⎛ ⎞− −⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

.

Numeric: ( )10lg 1 0,0337 0,15dBRD − − . Pierderea totală de cuplaj dintre fibra optică şi sursă este: . . . 2,92 12,49 0,15 15,56dBT S A N RD D D D= + + − − − = − 1.16. O diodă LED având o diagramă de radiaţie lambertiană este în contact direct cu o fibră cu salt de indice de refracţie având apertura numerică

. . 0,25A N = , iar mediul ambiant este aerul. Să se calculeze pierderea de cuplaj datorată diagramei de radiaţie a sursei şi aperturii numerice a fibrei optice. Să se determine puterea radiaţiei care se va propaga în fibra optică ştiind că puterea luminoasă aplicată de dioda LED suprafeţei transversale de intrare în miezul fibrei optice este 80μW.TP = Rezolvare: În cazul fibrei optice cu salt de indice de refracţie, considerând g →∞ în expresia lui . .A ND din problema 1.15 şi înlocuind 0n n1= şi , rezultă pierderea de cuplaj

0Δ = Δ

( )21

. . 2

110lg .A N

a

m nD

n+ Δ

=

31


Deoarece apertura numerică are expresia

1. . 2 ,a

nA Nn

= Δ

se obţine

( )( )2

. .

1 . .10lg .

2A Nm A N

D+

=

Înlocuind numeric (pentru caracteristica de tip Lambert, ), rezultă 1m =

( )2

. .

1 1 0,2510lg 20lg0,25 12dB.

2A ND

+ ⋅= = = −

Întrucât, prin definiţie,

. . 10lg ,CA NT

PDP

=

unde CP este puterea radiaţiei captate pentru propagare, comparând cu expresia anterioară, rezultă relaţia

( )( )21 . .

,2

C

T

m A NPP

+=

de unde

( )( )21 . .

.2C T

m A NP P

+=

Înlocuind numeric, se obţine

( )2

61 1 0,25 80 10 5μW,2C

P −+ ⋅

= ⋅ ⋅ =

adică se va transmite pe fibră ca energie a razelor acceptate la propagare doar circa 6% din energia luminii incidente pe suprafaţa de intrare a miezului fibrei.

32


1.17. O diodă LED emite lumină în mod uniform într-un con al cărui semiunghi la vârf este . La distanţa 020i = 150μmd = de suprafaţa emisivă a sursei (LED) este plasată o fibră optică având diametrul miezului astfel incât axul fibrei optice este perpendicular pe suprafaţa emisivă a sursei şi trece chiar prin centrul acesteia.

2 50μma =

Să se calculeze pierderea de cuplaj SD dintre fibra optică şi sursă, precum şi puterea luminoasă FOP care ajunge la miezul fibrei optice ştiind că puterea luminoasă totală emisă de LED este 0,1mWSP = . Rezolvare: Pierderea de cuplaj datorată diferenţei de arie poate fi calculată cu formula:

10lg FOSS

ADA

= ,

unde FOA este aria secţiunii transversale a miezului fibrei optice, iar reprezintă aria virtuală a sursei (aria secţiunii tranversale aflată la distanţa faţă de vârf a conului luminos emis de LED).

SAd

d

aiAO

B

C

Aria fibrei optice

Aria virtualăa sursei

Figura 1.17.1

Urmărind figura 1.17.1, rezultă: 2 2( )FOA OB aπ π= = ,

33


( )2SA OCπ= , unde (vezi triunghiul dreptunghic AOC). 0tg 150 tg 20 54,6μmOC d i= = ⋅ Se calculează:

( )

2

210lg 10lg 20lgFO

SS

A a aDA OCOC

ππ

= = = ,

sau, numeric,

2520lg 6,8dB54,6S

D = − .

Presupunând că sursa emite lumină în mod uniform, rezultă:

FO FS S

OP AP A

= .

Numeric:

2

2

250,1 0,02mW54,6

FOFO S

S

AP PA

ππ

⋅= ⋅

⋅.

1.18. O fotodiodă are suprafaţa fotosensibilă circulară de diametru

. O fibră optică cu salt de indice de refracţie având apertura numerică 2 1mR =. . 0,3

mA N = şi un diametru al miezului 2 50μma = este plasată la distanţa

de detector (fotodiodă), astfel încât axul fibrei optice este perpendicular pe suprafaţa fotosensibilă a fotodiodei şi trece chiar prin centrul acesteia.

2mmd =

Să se calculeze pierderea de cuplaj SD dintre fibra optică şi detector. Rezolvare: În figura 1.18.1 i este chiar unghiul maxim admisibil din expresia aperturii numerice, iar V este raza suprafeţei circulare care reprezintă aria virtuală a fibrei oprice (aria secţiunii transversale a trunchiului de con de lumină emis de fibra optică, situată la distanţa de capătul fibrei optice).

maxai

d

34


a

d

2R2V

i

miezul fibrei optice

fotodioda

Figura 1.18.1

Se poate uşor calcula valoarea unghiului i : . 0max max. . sin 0,3 arcsin 0,3 17,5a aA N i i i= = ⇒ = = Din figura 1.18.1 se observă că: . 6 3tg 25 10 2 10 0,315 655μm< R=500μmV a d i − −= + ⋅ + ⋅ ⋅ Rezultă în final pierderea de cuplaj dintre fibra optică şi detector:

2

2

50010lg 10lg 20lg 20lg 2,35dB655

DETS

VFO

A R RDA V V

ππ

= = = − .

35


2 Complemente de teoria circuitelor liniare de microunde

2.1. Să se calculeze matricea de repartiţie corespunzătoare circuitului din figura 2.1.1, în raport cu impedanţele de normare 01 02 50 ,Z Z= = Ω la frecvenţa

1GHzf = . Să se precizeze care dintre proprietăţile de reciprocitate, pasivitate, nedisipativitate şi simetrie sunt prezente în cazul circuitului studiat şi apoi să se verifice satisfacerea acestor condiţii de către elementele calculate ale matricei S.

( )01Z ( )02Z

R

50ΩC

5 pFπ

Figura 2.1.1

Rezolvare: La frecvenţa de lucru, impedanţa corespunzătoare condensatorului ideal din schemă are valoarea:

9 121 1j j j j100

2 2 10 5 10C CZ X

fCπ π π −−

= = = − = − Ω⋅ ⋅ ⋅

.

Pentru determinarea parametrilor şi poarta 2 a circuitului trebuie terminată adaptat, ca în figura 2.1.2.

11S 21S

Coeficientul de reflexie la poarta 1 cu poarta 2 terminată adaptat, are expresia:

11,S

2 0

2 0 2

1 01 111 1

1 01 1 1

11

in inZ Z

in inZ Z z

Z Z zSZ Z z=

= =

− −= Γ = =

+ +,

37

Capitolul 2 – Complemente de teoria circuitelor liniare de microunde

( )01Z ( )02Z

R

CZ 2Z

1inZ ( )01Z ( )02Z

1

j2− 1

1inz

1U2U

Figura 2.1.2

unde reprezintă impedanţa de intrare normată, la poarta 1, cu poarta 2 terminată adaptat:

1inz

( )2

2 02

11 1

01

j42 || j2 1 j2 j2

inin z

Z Z

ZzZ=

=

−= = − = =

−− .

Rezultă astfel valoarea lui : 11S

( )( )111 j 1 j 1 j1 j 1 2 j 5

S− − − −

= = =− + −

2 .

Coeficientul de transfer de la poarta 1 la poarta 2, , poate fi calculat cu expresia:

21S

( ) ( )2 02 2 02

01 2 221 11 11

02 1 1

1 1Z Z Z

Z U US S SZ U U

= =

= + = +Z

,

unde

2

2

1 1

12z

UU

=

=

şi deci

211 j2 1 3 j1

5 2 5S − −⎛ ⎞= + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.


22S 12S

38


( )01Z ( )02Z

R

CZ1Z 1U 2U

2inz

( )01Z ( )02Z

1

j2−1 1U2U

Figura 2.1.3


22 ,S

1 01

1 01 1

2 02 222 2

2 02 2 1

11

in inZ Z

in inZ Z z

Z Z zSZ Z z=

= =

− −= Γ = =

+ +,

unde reprezintă impedanţa de intrare normată, la poarta 2, cu poarta 1 terminată adaptat:

2inz

( )1

1 01

22 1

02

9 j21|| j2 15

inin z

Z Z

ZzZ=

=

−= = − + =⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Se obţine astfel valoarea parametrului : 22S

22

9 j2 1 4 j2 3 j59 j2 14 j2 101

5

S

− − − −= = =

− −+.

Coeficientul de transfer de la poarta 2 la poarta 1 cu poarta 1 terminată adaptat, , poate fi determinat folosind relaţia: 12S

( ) ( )1 01 1 01

02 1 112 22 22

01 2 2

1 1Z Z Z

Z U US S SZ U U

= =

= + = +Z

,

unde

( )( )

1

1

2 1

1|| j2 4 j2 8 j21|| j2 1 9 j2 17z

UU

=

− − −= = =

− + −⎡ ⎤⎣ ⎦

39


şi deci

123 j 8 j2 3 j110 17 5

S − − −⎛ ⎞= + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Sumarizând, matricea de repartiţie a circuitului din figura 2.1.1 este:

1 j2 3 j5 5

3 j 3 j5 10

− −⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

S .

Circuitul studiat (v. fig. 2.1.1) este reciproc, pasiv, disipativ şi nesimetric. Din matricea S rezultată se constată următoarele: ; 21 12 circuitul este S S= ⇒ reciproc

111 j2 1 1

5 5S −= = < ;

21 123 j 2 1

5 5S S −= = = < ;

223 j 1 110 10

S −= = < ;

Deoarece modulele parametrilor S sunt subunitare, diportul studiat este pasiv. Observaţie: Aceasta este o condiţie necesară, dar nu şi suficientă.

2 2

2 211 12

1 j2 3 j 1 2 3 15 5 5 5 5

S S − −+ = + = + = <

Deoarece suma pătratelor modulelor parametrilor S de pe prima linie a matricei de repartiţie este subunitară, diportul studiat este disipativ. Deoarece 11 22S S≠ circuitul este nesimetric.

40


Se constată astfel verificarea proprietăţilor obţinute prin inspecţia vizuală asupra schemei. 2.2. Să se calculeze matricea de repartiţie corespunzătoare circuitului din figura 2.2.1, în raport cu impedanţele de normare 01 100 ,Z = Ω la frecvenţa

02 50Z = Ω1GHzf = . Să se precizeze care dintre proprietăţile de reciprocitate,

pasivitate, nedisipativitate şi simetrie sunt prezente în cazul circuitului studiat şi apoi să se verifice satisfacerea acestor condiţii de către elementele calculate ale matricei S.

1R 2R

( )01Z ( )02Z

50 nHLπ

=

1 100R = Ω

2 50R = Ω

Figura 2.2.1

Rezolvare: La frecvenţa de lucru, impedanţa corespunzătoare bobinei ideale din schemă are valoarea:

9 950j j2 j2 10 10 j100L LZ X fLπ π π

−= = = ⋅ ⋅ ⋅ = .Ω


11S 21S

1R 2R

( )01Z ( )02Z

LZ

2 02Z Z=

1inZ

1U 2U

Figura 2.2.2


11,S

41


2 0

2 02

1 0111 1

1 01

inZ Z

in Z Z

Z ZSZ Z=

=

−= Γ =

+,

unde 1inZ reprezintă impedanţa de intrare la poarta 1 cu poarta 2 terminată adaptat:

( ) ( )1 2 2 1 50 50 j100 100

100 j400 2100 j1600.5 j4 41

in LZ Z R Z R= + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +

= =+

=

Rezultă astfel valoarea lui : 11S

11

2100 j1600 100 10 j8 6 j8412100 j1600 31 j8 25100

41

S

+− − + − +

= =+ ++

= .

Coeficientul de transfer de la poarta 1 la poarta 2, , poate fi calculat cu expresia:

21S

( )2 02

01 221 11

02 1

1 ,Z Z

Z US SZ U

=

= +

unde

( ) ( )

2 02

2 2 2

1 2 2

50 50 1 1 j450 50 j100 1 j4 17LZ Z

U Z RU Z R Z

=

−= = = =

+ + +

şi deci

( )213 j4 2100 6 j8 1 j41

50 25 17 25S

− ⋅− + −⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.


22S 12S

42


1R 2R

2inZ

1 01Z Z= 1U 2U

Figura 2.2.3


22 ,S

1 01

1 01

2 0222 2

2 02

inZ Z

in Z Z

Z ZSZ Z=

=

−= Γ =

+,

unde 2inZ reprezintă impedanţa de intrare la poarta 2, cu poarta 1 terminată adaptat:

( ) ( )2 1 1 2 100 100 j100 50

25 j50 75 j25.1 j 2

in LZ Z R Z R= + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ +

= =+

=

22S va avea valoarea:

22

75 j25 50 1 j 3 j42 .75 j25 7 j 25502

S

+− − + − +

= = =+ ++

Coeficientul de transfer de la poarta 2 la poarta 1 cu poarta 1 terminată adaptat, , poate fi calculat folosind relaţia: 12S

( )1 01

02 112 22

01 2

1Z Z

Z US SZ U

=

= + ,

unde

( ) ( )

1 01

1 1 1

2 1 1

100 100 50 1 j2100 100 j100 50 j100 5LZ Z

U Z RU Z R Z

=

−= = = =

+ + +

43


şi deci

( )123 j4 250 3 j4 1 j2 1 6 j81

100 25 5 25 252S

− ⋅− + − −⎛ ⎞= ⋅ + ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Sumarizând, matricea de repartiţie a circuitului din figura 2.2.1 este:

( )

( )6 j8 3 j4 21 .

25 3 j4 2 3 j4

⎡ ⎤− + − ⋅= ⋅ ⎢ ⎥

− ⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦S

Circuitul studiat (v. fig. 2.2.1) este reciproc, pasiv, disipativ şi nesimetric. Din matricea S rezultată se constată următoarele: ; 21 12 circuitul este S S= ⇒ reciproc

116 j8 2 125 5

S − += = < ;

( )21 123 j4 2 2 1

25 5S S

− ⋅= = = < ;

223 j4 1 125 5

S − += = < .

Deoarece modulele parametrilor S sunt subunitare, diportul studiat este pasiv.

( )22

2 211 12

3 j4 26 j8 4 2 125 25 25 25

S S− ⋅− +

+ = + = + <

Deoarece suma pătratelor modulelor parametrilor S de pe prima linie a matricei de repartiţie este subunitară, diportul studiat este disipativ. Deoarece 11 22S S≠ circuitul din figura 2.2.1 este nesimetric.

44


2.3. Să se calculeze elementele matricei de repartiţie corespunzătoare unei reactanţe paralel , dacă linia de intrare are impedanţa caracteristică

iar linia de ieşire are impedanţa caracteristică 200X = Ω

1 50CZ = Ω 2 100 .CZ = Ω

j X ZZ 1C 2C

( ) ( )Z Z1C 2C Figura 2.3.1

Rezolvare: Folosind drept impedanţă de normare la poarta 1 impedanţa 1CZ iar la poarta 2 impedanţa 2CZ , se obţine:

( )1CZ ( )2CZ

2 2CZ Z=j X1inZ

j X1 1CZ Z=

( )1CZ ( )2CZ

2inZ

Figura 2.3.2

2 2

2 2

1 111 1

1 1C

C

in CZ Z

in C Z Z

Z ZSZ Z=

=

−= Γ =

+,

unde

( )2

21

2

j j200 100j || 80 j40j j200 100

Cin C

C

X ZZ X ZX Z

⋅ ⋅= = = = +

+ +Ω

2

reprezintă impedanţa de intrare la poarta 1 calculată cu poarta 2 terminată adaptat, 2 CZ Z= (v. figura 2.3.2.a)). Rezultă:

( )( )11

j40 1 j2 50 11 j8j40 1 j2 50 37

S− − +

= =− +

.

45


Analog, se obţine:

1 1

1 1

2 222 2

2 2C

C

in CZ Z

in C Z Z

Z ZSZ Z=

=

−= Γ =

+,

unde

12 11

j j200 50 800 200j || jj j200 50 17 17

Cin C

C

X ZZ X ZX Z

⋅ ⋅ ⎛ ⎞= = = = +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠Ω

este impedanţa de intrare la poarta 2 cu poarta 1 terminată adaptat, 1 1CZ Z= (v. figura 2.3.2.b)). Rezultă:

( )

( )22

j200 1 j4 100 13 j417j200 371 j4 10017

S− − − +

= =− +

.

Pentru coeficientul de transfer de la poarta 1 la poarta 2, se obţine: 21,S

( ) ( )2 2

1 221 12 11

2 1

50 11 j8 4 21 1 1100 37 37

C

C

C Z Z

Z US S SZ U

=

+⎛ ⎞= = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

6 j

Sumarizând,

( )

( )11 j8 4 6+j 21 .

37 4 6+j 2 13 j4

⎡ ⎤+= ⋅ ⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦S

Observaţie: Se pot verifica proprietăţile matricelor de repartiţie corespunzătoare diporţilor reciproci, fără pierderi, subţiri. Matricea nu are deoarece diportul nu poate fi considerat simetric (având impedanţe de normare diferite la cele două porţi).

11 22S S=

2.4. Să se determine matricea de repartiţie a unui tronson de linie de transmisiune fără pierderi cu lungimea impedanţa caracteristică ,l CZ şi având ca dielectric aerul. Impedanţele de referinţă la porţile liniei sunt egale cu impedanţa caracteristică a tronsonului, 01 02 CZ Z Z= = .

46


l

CZ

( )01Z ( )02Z

1U 2U

Figura 2.4.1

Rezolvare: Urmărind figura, pentru impedanţe de normare egale cu CZ , se scrie:

2 02 2

1 01 111 22

1 01 1

0C

in in C C C

in in C C CZ Z Z Z

Z Z Z Z Z ZS SZ Z Z Z Z Z

= =

− − −= = = =

+ + += ,

respectiv

( )2 02

j j01 221 11 12

02 1

1 1 e l lCCZ Z

Z U ZS SZ U Z

β β− −

=

= ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ = =e S

şi deci matricea repartiţie cerută este

. j

11 12j

21 22

0 ee 0

l

l

S SS S

β

β

−

−

⎡ ⎤⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

S

2.5. Să se calculeze matricea de repartiţie a unui tronson de linie de transmisiune cu pierderi mici având impedanţa caracteristică ,CZ lungimea şi constanta de propagare

l,γ în raport cu impedanţele de normare 01Z şi 02Z la

porţi. Să se analizeze modul de utilizare a formulei de calcul

( )2 212P a b= −

pentru evaluarea puterii disipate în impedanţa de sarcină conectată la ieşirea liniei. Să se particularizeze rezultatele în cazul alegerii impedanţelor de normare egale cu impedanţa caracteristică a liniei, CZ .

47


z

2Z

Ol− z

GZ

1I

( )01Z ( )02Z1T 2T

1a 2a1b 2b

1U ( )U z 2U

( )I z

2ICZγ

Figura 2.5.1

Rezolvare: Coeficientul de reflexie rezultă din expresia 11S

2 02

1 0111

1 01

in

in Z Z

Z ZSZ Z

∗

=

−=

+,

evaluând impedanţa de intrare la poarta 1 când la poarta 2 este conectată o sarcină cu impedanţă 2Z egală cu impedanţa de referinţă 02Z :

2 02

22

1 22

1 e ,1 e

l

in C lZ ZZ Z

γ

γ

−

−=

+ Γ=

− Γ

unde

2 022 02 02

.C CC C

Z Z Z ZZ Z Z Z

− −Γ = = = Γ

+ + 2 (2.5.1)

Rezultă:

202

012 202 01 01 2

11 2 202 01 01 02

01202

1 e1 e e1 e 1 e1 e

l

C l lC

l lC

C l

Z ZZ ZSZ ZZ Z

γ

γ γ

γ γ

γ

−∗

− ∗ ∗

− −

−

+ Γ −− Γ + −Γ + Γ

= = ⋅+ Γ + −Γ Γ+−Γ

−

.

Dacă se introduce, ca în relaţia (2.5.1), notaţia

48


010101

,CC

Z ZZ Z

−Γ =

+ (2.5.2)

se calculează

01

01 01 01 01

0101 01 01

01

11 2 ,1 21

C

C C C

C C C

C

Z ZC

C

Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z ZZ Z

∗ ∗

∗∗

∗

−−

− Γ + + += = ⋅ =

−− Γ + +−+

ţinând cont de faptul că pentru linia cu pierderi mici impedanţa caracteristică CZ poate fi considerată reală. Parametrul devine: 11S

2

01 01 0211 2

01 01 02

1 e1 1 e

l

lSγ

γ

∗ −

∗

− Γ −Γ + Γ= ⋅

− Γ −Γ Γ −. (2.5.3)

Inversând indicii 1 cu 2 se obţine expresia coeficientului de reflexie : 22S

2

02 02 0122 2

02 01 02

11 1 e

l

lSe γ

γ

∗ −

∗

− Γ −Γ + Γ= ⋅

− Γ − Γ Γ −. (2.5.4)

Coeficientul de transfer poate fi determinat din relaţia 21S

2 02

01 02 2 121

02 1 1 01

Re Re 2 inin Z Z

Z Z U ZSZ U Z Z

=

⋅= ⋅ ⋅

+,

evaluând

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 2

0 0 0 1 ,e e0 e 0 e

d il ll l

d i

U U UUU U l U U γ γγ γ −− − −

+ + Γ= = =

− ++ Γ

2 02

2 022

1 02

1 e1 e

ll

Z Z

UU

γγ

−−

=

+ Γ= ⋅

+ Γ

şi

49


( )( )

2 02

202

22021 02

2 2021 01 01 01 02

01202

202

201 01 02

1 e2 2 1 e2 1 e1 e e1 e

2 1 e .1 e

l

lC lCin

l lin C CZ Z

C l

lC

lC

Z ZZZ Z Z Z Z ZZ Z

ZZ Z

γ

γγ

γ γ

γ

γ

γ

−

−−

− −=

−

−

−

+ Γ+ Γ− Γ

= =+ Γ+ + + − Γ+−Γ

+ Γ= ⋅

+ − Γ Γ

=

Se obţine

2

01 02 02 0221 2 2

02 02 01 01 02

Re Re 1 2 1e1 e 1 e

ll C

l lC

Z Z ZSZ Z Z

γγ e

γ γ

−−

− −

⋅ + Γ + Γ= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ Γ + − Γ Γ

şi, deoarece

02 020202 02

21 1 CC C

Z Z ZZ Z Z Z

−+ Γ = + =

+ +,

rezultă, în final:

( )( )

01 0221 2

01 02 01 02

4 Re Re e .1 e

lC

lC C

Z Z ZS

Z Z Z Z

γ

γ

−

−

⋅= ⋅

+ + − Γ Γ (2.5.5)

Dacă în relaţia (2.5.5) se inversează între ei indicii 1 şi 2, rezultă expresia coeficientului de transfer de la poarta 2 la poarta 1, : 12S

( )( )

02 0112 2

02 01 02 01

4 Re Re e .1 e

lC

lC C

Z Z ZS

Z Z Z Z

γ

γ

−

−

⋅= ⋅

+ + − Γ Γ (2.5.6)

Se constată că ceea ce confirmă faptul că diportul studiat este reciproc. 12 21,S S= Puterea în sarcina montată la poarta 2 este dată de expresia

( )2 22 2 212SP P b a= = − , unde

( )2 202

1 ,2 Re

a U ZZ

= + 02 2I

50


( )2 202

1 .2 Re

b UZ

∗= − 02 2Z I

Se calculează

( )( ) { }22 22 2 02 2 2 02 2 2 02 2 02 2 2

2 2 202 02

2Re,

4Re 4ReU Z I U Z I U Z I Z U I

b b bZ Z

∗ ∗ ∗ ∗∗

− − + −= = =

( )( ) { }22 22 2 02 2 2 02 2 2 02 2 02 2 2

2 2 202 02

2Re4Re 4Re

U Z I U Z I U Z I Z U Ia a a

Z Z

∗ ∗ ∗ ∗∗

+ + + += = =

şi se obţine

( ){ } { }

{ }

02 2 2 2 2 02 2 2

02 02

22 2 2 2

2

Re Re 2Re4Re 4Re

ReRe .

2 2

S

Z U I U I Z U IP

Z Z

Z I I IZ

∗ ∗ ∗

∗

− + − ⋅= =

−= − =

= (2.5.7)

Se constată faptul că puterea în sarcină, ,SP nu depinde, aşa cum era de aşteptat, de impedanţa de referinţă 02.Z Dacă se alege 2 02 ,Z Z= deoarece 2 2 ,U Z I2= − rezultă

( )2 2 202

1 02 Re

a Z I ZZ

= − + 2 2I =

şi

2 2 2 22 22

Re ,2 ReZ I Z Ib I

Z

∗− −= = − 2Z

de unde

2 2

2 22Re .2 2S

b IP Z= = (2.5.8)

Se obţine deci acelaşi rezultat (v. relaţia (2.5.7)), doar că alegerea convenabilă a impedanţei de referinţă a condus la reducerea volumului de calcule.

51


Dacă se aleg impedanţele de referinţă egale cu impedanţa caracteristică a liniei, 01 02 ,CZ Z Z += = ∈R din relaţiile (2.5.1) şi (2.5.2) rezultă 01 02 0,Γ = Γ = iar expresiile (2.5.3) – (2.5.6) ale parametrilor de repartiţie sunt (2.5.9) 11 22 0,S S= =

12 214

e e2 2

lC C C

C C

Z Z ZS S

Z Z,lγ γ− −

⋅= = ⋅ =

⋅ (2.5.10)

valori identice cu cele din problema 2.4. În acest caz expresiile undelor generalizate devin

( ) ( ) ( )2 220 0

,2 2

C iC

C C

U Z I UU Z Ia0

CZ Z Z−+

= = =

( ) ( ) ( )2 220 0

,2 2

C dC

C C

U Z I UU Z IbZ Z

+−= = =

0

CZ

adică vor corespunde chiar undelor inversă şi directă care se propagă pe linie. Acest lucru este confirmat şi din evaluări energetice:

( ) ( )

22

2

01 0 ,2 2

ii

C

Ua P

Z= =

( ) ( )

22

2

01 0 ,2 2

dd

C

Ub P

Z= =

puterea în sarcină fiind

( ) ( ) ( )2 22 21 0 02S dP b a P P= − = − .i

52


2.6. Cunoscând matricea de repartiţie a unui tronson de linie de transmisiune cu pierderi mici având impedanţa caracteristică ,CZ constanta de propagare γ şi lungimea determinată în cazul în care impedanţele de referinţă la porţi sunt egale cu impedanţa caracteristică a liniei (v. problemele 2.4 şi 2.5), să se determine matricea de repartiţie a aceleiaşi linii în cazul utilizării unor impedanţe de referinţă oarecare la porţi,

,l

01Z şi 02.Z Rezolvare: În cazul în care matricea diagonală a impedanţelor de referinţă este

0

,0

C

C

ZZ

⎡= ⎢⎣ ⎦

0Z⎤⎥

⎥

⎤⎥

(2.6.1)

matricea de repartiţie a diportului s-a obţinut de forma

(2.6.2) 0 e

.e 0

l

l

γ

γ

−

−

⎡ ⎤= ⎢⎣ ⎦

S

Dacă matricea diagonală a impedanţelor de referinţă devine

(2.6.3) 0102

0,

0Z

Z⎡′ = ⎢⎣ ⎦

0Z

matricea de repartiţie se va obţine din expresia ( )( ) 11 ,−− ∗′ = − −S A S Γ 1 ΓS A∗ (2.6.4) unde s-au introdus notaţiile ( ) (1 ,−∗′ ′= + +0 0 0 0Γ Z Z Z Z ) (2.6.5) ( ) ( )1 ,− ∗′= −A F F 1 Γ (2.6.6) iar

53


1 01 ,

10

C

C

C

Z

ZZ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F 1 (2.6.7)

(s-a ţinut seamă de faptul că CZ +∈R ) şi

01

01

1 0Re

.10

Re

Z

Z

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢′ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

F ⎥ (2.6.8)

Se începe prin evaluarea matricei înlocuind în relaţia (2.6.5) pe şi

cu expresiile lor din (2.6.1) şi (2.6.3): ,Γ 0Z

′0Z

101 01

02 02

01

01

02

02

0 00 0

0.

0

C C

C C

C

C

C

C

Z Z Z ZZ Z Z Z

Z ZZ Z

Z ZZ Z

−+ −⎡ ⎤ ⎡= =⎢ ⎥ ⎢+ −⎣ ⎦ ⎣

−⎡ ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

Γ⎤⎥⎦

Notând

010101

,CC

Z ZZ Z

−Γ =

+ (2.6.9)

020202

,CC

Z ZZ Z

−Γ =

+ (2.6.10)

se scrie

(2.6.11) 0102

0.

0Γ⎡

= ⎢ Γ⎣ ⎦Γ

⎤⎥

54


Se calculează acum matricea utilizând formula (2.6.6), înlocuind şi din relaţiile (2.6.7), (2.6.8) şi (2.6.11):

A ,F′F Γ

( )

( )

01 01

0202

0101

0202

Re 0 1 0 1 010 1 0 10 Re

Re1 0.

Re0 1

C

C

C

ZZZ

ZZ

ZZ

∗

∗

∗

∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− Γ⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥ − Γ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎡

− Γ⎢⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− Γ⎢ ⎥⎣ ⎦

A

⎤⎥ (2.6.12)

Se evaluează produsul primilor doi factori din membrul drept al relaţiei (2.6.4),

( ) 01 011 0102

02 02

01

01 01 01 01

02

02 02 02 02

1 01 Re e

e101 Re

1 e1 Re 1 Re

1 e1 Re 1 Re

Cl

lC

lC C

lC C

ZZ

ZZ

Z ZZ Z

Z ZZ Z

γ

γ

γ

γ

∗ ∗ −− ∗

− ∗

∗

∗−

∗ ∗

∗−

∗ ∗

⎡ ⎤⎢ ⎥− Γ ⎡ ⎤−Γ⎢ ⎥− = =⎢ ⎥⎢ ⎥ −Γ⎣ ⎦⎢ ⎥

− Γ⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤Γ−⎢ ⎥− Γ − Γ⎢ ⎥= ⎢ ⎥Γ⎢ ⎥−− Γ − Γ⎢ ⎥⎣ ⎦

A S Γ

(2.6.13)

şi al treilea factor din membrul doi al relaţiei (2.6.4):

( )

11 01

02

1

01 01

02 02

01 0 0 e00 1 e 0

1 e 1 e1 ,e 1 e 1

l

l

l l

l l

γ

γ

γ γ

γ γ

−−−

−

−− −

− −

⎛ ⎞Γ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤− = − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟Γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡−Γ Γ= =

⎤⎢ ⎥ ⎢Δ−Γ Γ ⎥⎣ ⎦ ⎣

1 ΓS

⎦

.

unde

201 021 enot

lγ−Δ = − Γ Γ (2.6.14) Produsul ultimilor doi factori din membrul doi al relaţiei (2.6.4) este

55


( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

0101

1 01

02 0202

01 0201 01 02

01 0202 01 02

Re1 01 e1e 1 Re0 1

Re Re1 1 e1 (2.6.15)

Re Re1 e 1

lC

l

C

l

C C

l

C C

ZZ

ZZ

Z ZZ Z

Z ZZ Z

γ

γ

γ

γ

−− ∗

−

−

−

⎡ ⎤− Γ⎢ ⎥

⎡ ⎤Γ ⎢ ⎥− = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Γ⎣ ⎦ ⎢ ⎥− Γ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− Γ Γ − Γ⎢ ⎥

⎢ ⎥= ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥Γ − Γ − Γ⎢ ⎥⎣ ⎦

1 ΓS A

Matricea din relaţia (2.6.4) rezultă înmulţind matricea din formula (2.6.13) cu cea din expresia (2.6.15). Se obţin astfel valorile:

′S

( ) ( ) 201 01 02 0111

01 01

201 01 02

201 01 02

1 11 e1 1

1 e ,1 1 e

l

l

l

S γ

γ

γ

∗−

∗ ∗

∗ −

∗ −

⎡ ⎤Γ − Γ Γ − Γ′ = − +⎢ ⎥Δ − Γ −Γ⎣

− Γ −Γ + Γ= ⋅

− Γ − Γ Γ

=⎦ (2.6.16)

2

02 02 0122 2

02 01 02

1 ,1 1 e

l

lSγ

γ

∗ −

∗

− Γ −Γ + Γ′ = ⋅− Γ − Γ Γ

e− (2.6.17)

( )

( )( )

01 01 02 02 02 0212

01 01 01 01

01 01 02 022

01 01 01 02

11 Re 1 Re e1 Re 1 Re

1 1 Re e ,1 Re 1 e

l

l

l

Z ZSZ Z

ZZ

γ

γ

γ

∗−

∗ ∗

∗ −

∗ −

⎡ ⎤Γ Γ − Γ − Γ′ = − +⎢ ⎥Δ − Γ − Γ⎣ ⎦

− Γ Γ −Γ=

−Γ − Γ Γ

=

în care se evaluează

( )

( )( )

02

02 02 02 01 01 0201 01

0101 01 01 01 01

012 22 2

01 01 01 01 01 0101 02

02 0101 01

11 Re Re1 11 Re Re1

2 R2 R

2 2Re

C

C C C

C C C

C

C C C C C CC C

C C C C

C

Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z

Z ZZ Z Z Z Z ZZ Z

Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ee

Z Z Z ZZ Z Z ZZ Z Z Z

Z

∗∗

∗∗ ∗

∗

∗ ∗∗

∗

−−

⎛ ⎞− Γ + − −− Γ Γ = − =⎜ ⎟−− Γ + +⎝ ⎠−

+

+ + + − + + −+=

+ + +

⋅=( )( ) ( )( )

01 0201 02

01 02 01 01 02

4 Re ReRe .Re

C

C C C C

Z Z ZZ ZZ Z Z Z Z Z Z Z Z

⋅=

+ + + +

56


Se obţine

( )( )

01 0212 2

01 02 01 02

4 Re Re e .1 e

lC

lC C

Z Z ZS

Z Z Z Z

γ

γ

−

−

⋅′ = ⋅

+ + − Γ Γ (2.6.18)

Similar, rezultă:

( )( )

02 0121 2

02 01 02 01

4 Re Re e .1 e

lC

lC C

Z Z ZS

Z Z Z Z

γ

γ

−

−

⋅′ = ⋅

+ + − Γ Γ (2.6.19)

Se constată că s-au obţinut expresii ale parametrilor de repartiţie identice cu acelea din problema 2.5. 2.7. Să se determine matricea de repartiţie corespunzătoare unui diport reciproc, pasiv, nedisipativ şi subţire, ştiind că la frecvenţa de lucru faza parametrului are valoarea . 11S 11 120ϕ =

o

Impedanţele de normare la porţile circuitului au o aceeaşi valoare reală, 01 02 0Z Z Z= = .

1T 2T( )01Z ( )02Z

[ ]S1U 2U

Figura 2.7.1

Rezolvare: Matricea de repartiţie corespunzătoare unui diport are ordinul doi, prin urmare patru elemente:

. (2.7.1) 11 1221 22

S SS S⎡ ⎤

= ⎢⎣ ⎦

S ⎥

Un diport reciproc îndeplineşte condiţia . (2.7.2) 21 12S S=

57


În cazul normării cu impedanţe reale şi egale între ele, coeficienţii de transfer şi pot fi determinaţi cu ajutorul relaţiei: 21S 12S

( )0

1j

jji ii

i Z Z

US S i

U=

= + ≠, j . (2.7.3)

Un diport subţire reprezintă un diport pentru care planul de referinţă de la poarta 1, , coincide cu planul de referinţă de la poarta sa 2, (vezi fig. 2.7.1). În această situaţie, tensiunile de la cele două porţi sunt egale între ele,

1T 2T1 2U U= .

Ca urmare: , (2.7.4) 21 111S = + S

S

⎥

respectiv . (2.7.5) 12 221S = + Introducând şi condiţia de reciprocitate rezultă îndeplinită condiţia de simetrie: . (2.7.6) 11 22S S= Matricea S corespunzătoare unui diport reciproc şi subţire are prin urmare forma:

. (2.7.7) 11 1111 11

11

S SS S

+⎡ ⎤= ⎢ +⎣ ⎦

S

Diportul fiind pasiv şi nedisipativ, sunt valabile următoarele relaţii: 2 211 12 1S S+ = , (2.7.8)

2 221 22 1S S+ = , (2.7.9) . (2.7.10) 11 21 12 22 0S S S S

∗ ∗+ = Dacă se ţine seama de faptul că diportul este reciproc, ( )12 21S S= din (2.7.8) şi (2.7.9) rezultă: 22 11S S= , (2.7.11)

58


212 21 111S S S= = − . (2.7.12) Prin urmare, referitor la parametrii S ai unui diport de acest tip, se poate spune că doar un singur modul este independent, în sensul că celelalte module pot fi calculate în funcţie de el. Pe de altă parte, din (2.7.10) rezultă: 11 21 12 22j j j j11 21 12 22e e e eS S S S

ϕ ϕ ϕ ϕ− + 0− = . (2.7.13) Ţinând cont şi de relaţiile precedente, se obţine: 11 21 21 22j j j j11 21 21 11e e e eS S S S

ϕ ϕ ϕ ϕ− + 0− = , (2.7.14) sau ( )11 21 21 22j j j j11 21 e e e e 0S S ϕ ϕ ϕ ϕ− −+ = , (2.7.15) adică ( ) ( )11 21 21 22j j11 21 e eS S

ϕ ϕ ϕ ϕ− −⎡ ⎤+ =⎣ ⎦ 0 (2.7.16) Presupunând că şi nu au valoarea zero, de aici rezultă: 11S 21S

11 2221 902ϕ ϕϕ += ± o . (2.7.17)

Dacă diportul este şi simetric ( )11 22S S= atunci 11 22ϕ ϕ= şi deci . (2.7.18) 21 11 90ϕ ϕ= ±

o

Sumarizând, pot fi scrise următoarele relaţii: 11j11 11 eS S

ϕ= , (2.7.19)

( )1121 11j 902j j21 21 11 11e 1 e j 1 eS S S Sϕ 2ϕ ϕ±= = − = ± −

o

, (2.7.20) , (2.7.21) 12 21S S= . (2.7.22) 22 11S S=

59


Din (2.7.4) şi (2.7.20) rezultă egalitatea:

112 j11 111 j 1S S eϕ+ = ± − , (2.7.23)

sau

11 112j j11 111 e j 1 eS Sϕ ϕ+ = ± − , (2.7.24)

adică:

211 11 11 111 sin 1 cosS Sϕ ϕ− = +m (2.7.25) sau

211 11 11 111 cos sinS Sϕ ϕ± − = . (2.7.26) Ţinând cont de datele problemei ( )11 120ϕ = o din relaţia (2.7.26) rezultă:

2

111111

11 11

1sin tg 3cos

SS

ϕ ϕϕ

± −= = = − , (2.7.27)

adică

22 1112

S S= = , (2.7.28)

respectiv , (2.7.29) 22 11 120ϕ ϕ= =

o

deci

j12022 111 e2

S S= =o

(2.7.30)

iar

12 213

2S S= = , (2.7.31)

60


respectiv , (2.7.32) 12 21 120 90ϕ ϕ= = ±

o o

deci

(j 120 9012 213 e

2S S ±= =

o o ) . (2.7.33)

2.8. Se consideră circuitul din figura 2.8.1, alcătuit dintr-o bobină ideală cu inductanţa 25 nHL π= conectată în serie cu un tronson de linie de transmisiune fără pierderi, cu impedanţa caracteristică , lungimea

şi având ca dielectric aerul. 50CZ = Ω

7,5cml = Să se calculeze matricea de repartiţie corespunzătoare circuitului, în raport cu impedanţele de referinţă 01 02 50 ,Z Z= = Ω la frecvenţa 1GHzf = .

l

CZ

L

( )01Z ( )02Z Figura 2.8.1

Rezolvare: Metoda 1: Bobina ideală din figura 2.8.1 reprezintă un diport (v. figura 2.8.2.a)) care poate fi caracterizat prin matricea sa S.

( )01Z ( )02Z

LZ LZ

( )01Z ( )02Z

2Z1U 2U

Figura 2.8.2

La frecvenţa de lucru, impedanţa bobinei ideale din circuit are valoarea:

61


9 9j j2 j2 10 25 10 j50L LZ X fLπ π π−= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = Ω .

Pentru determinarea parametrilor şi , poarta 2 a circuitului trebuie terminată adaptat, ca în figura 2.8.2.b). Astfel:

11S 21S

2 02

2 02 2

1 01 111 1

1 01 1 1

11

in inZ Z

in inZ Z z

Z Z zSZ Z z=

= =

−= Γ = =

+ +− .

Impedanţa de intrare normată, la poarta 1, cu poarta 2 terminată adaptat, este:

21 11in zz = = + j,

prin urmare se obţine:

( )( )111 j 1 j 1 j1 j 1 2 j 5

S+ − 2+

= = =+ + +

.

Circuitul din figura 2.8.2.a) fiind simetric, rezultă:

22 111 j2

5S S += = .

Pentru determinarea coeficientului de transfer poate fi folosită relaţia: 21S

( ) ( )2 02 2 02

01 2 221 11 11

02 1 1

1 1Z Z Z

Z U US S SZ U U

= =

= + = +Z

.

Folosind notaţiile din figura 2.8.2.b), factorul de transfer al tensiunii atunci când poarta 2 este terminată adaptat are valoarea:

2

2

1 1

1 11 j 2z

UU

=

−= =

+j ,

astfel încât

211 j2 1 j 4 j21

5 2 5S + − −⎛ ⎞= + ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Circuitul din figura 2.8.2.a) fiind reciproc, rezultă:

62


12 214 j2

5S S −= = .

Cunoscând astfel matricea S a bobinei serie, matricea de repartiţie aferentă circuitului din figura 2.8.1 poate fi determinată prin deplasarea planului de referinţă de la poarta 2 a diportului din figura 2.8.2.a) cu o distanţă egală cu lungimea tronsonului de linie, l . Astfel, rezultă:

11 111 j2

5S S +′ = = ,

j21 21 21e

lS S S jeβ ϕ−′ = = − , unde ϕ reprezintă lungimea electrică a liniei; în S.I. lungimea electrică este exprimată în grade sau radiani. La frecvenţa de lucru, lungimea de undă are valoarea

8

09

3 10 0,3m 30cm10

cf

λ ⋅= = = = ,

iar lungimea fizică a liniei, exprimată în funcţie de lungimea de undă, este 7,5cm 4l λ= = , valoare caracteristică unui tronson inversor de impedanţă. Prin urmare:

2j

421

4 j2 2 j4e5 5

Sπ λλ

− ⋅− +′ = ⋅ = − ,

j j12 12 21 212 j4e e

5l lS S S Sβ β− − +′ ′= = = = − ,

2j2j2 4

22 221 j2 1 j2e e

5 5lS S

π λβ λ

− ⋅ ⋅− + +′ = = ⋅ = −

Metoda 2: Circuitul din figura 2.8.1 poate fi privit ca fiind alcătuit prin conectarea în cascadă a doi diporţi: inductanţa serie şi tronsonul de linie de transmisiune. Determinarea parametrilor de repartiţie ai circuitului presupune cunoaşterea matricelor S ale celor doi diporţi. Se notează cu matricea de repartiţie a diportului reprezentat de inductanţă,

1S

63


11 j2 4 j214 j2 1 j25+ −⎡

= ⋅ ⎢ − +⎣ ⎦S ⎤⎥

şi cu matricea de repartiţie corespunzătoare tronsonului inversor (v. problema 2.4):

2S

jj 2

2 jj2

0 e 0 j0 ej 0e 0

e 0

πϕ

ϕ π

−−

−−

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

S .

Circuitul corespunzător celor doi diporţi conectaţi în cascadă este prezentat în figura 2.8.3.

1S 2S

1a 2a 3a

1b 2b 3b Figura 2.8.3

Ţinând cont de convenţia folosită pentru desenarea undelor generalizate de putere (v. figura 2.8.3), rezultă graful asociat structurii analizate, prezentat în figura 2.8.4. Din definiţia coeficientului de reflexie al circuitului considerat, particularizată conform notaţiilor din figura 2.8.3 şi folosind regula lui Mason, se obţine:

11S

3

111

1 0

k kk

b

LbSa

=

Δ= =

Δ

∑,

unde calea, unică, este: . 1 1a b→

1a 2a 3a

2b 3b

( )21 1S ( )21 2S

( )12 1S ( )12 2S

( )11 1S ( )22 1S( )11 2S ( )22 2S

1a

1b

1 1a 2a 3a

2b 3b

( )21 1S ( )21 2S

( )12 1S ( )12 2S

( )11 1S ( )22 1S

1a

1b

1

Figura 2.8.4

64


Deoarece graful din figura 2.8.4.b) nu prezintă bucle, determinantul este .

Pentru singura cale, se calculează:

1Δ =1 1a b→ ,

( )1 11 11

1 j25

1

L S += =

Δ =

şi deci

111 j2S += .

5

transf e expresia:

Coeficientul de er este dat d21S

3

321

1 0

k kΔ, k

b

LaSa

=

= =Δ

∑

lea, unică, este: 3 . onform regulii lui Mason, se calculează:

nde ca 1 2a a a→ →u

C

( ) ( ) ( )1 21 211 2 5 5 , 1

4 j2 2 j4j

1

L S S − += = ⋅ − = −

Δ =

i deci ş

21 52 j4S += − .

determinat cu expresia:

Coeficientul de transfer S poate fi

12

1

112

3 0

k kk

a

LbSb

=

Δ= =

Δ

∑ ,

istă o singură cale: 1b . Se calculează:

nde ex 3 2b b→ →u

65


( ) ( ) ( )1 12 122 1 j 5 5L S S

1

4 j2 2 j4

1

− +

Δ =

e unde

= = − ⋅ = −

d

122 j4

5S = − . +

Coeficientul de reflex este dat de expresia:

ie 22S

1

3 223 0

k kk

a

LaSb

=

Δ= =

Δ

∑,

nde apare o cale: u 3 2 2 3b a a→ → → . Se calculează:

b

( ) ( ) ( ) )( ( )1 12 22 212 1 2 j j5 5L S S S

1

1 j2 1 j2

1

+ +

Δ =,

rin urmare

= = − ⋅ ⋅ − = −

p

22 5S = −1 j2+ .

Metoda 3: Determinarea matricei de repartiţie a circuitului din

efectuată şi cu ajutorul matricei de transfer a undelor, T. Astfel, notând cu matricea de transfer a primului diport (v. figura 2.8.3), respect ilea, matricea de transfer corespunzătoare circuitului studiat rezultă

in expresia:

.

etrii de transfer pot fi exprimaţi în funcţie de parametrii de repartiţie oresp

figura 2.8.1 poate fi 1T ,

iv aespectiv 2Telui de-al do

r cd

1 2= ⋅T T T Paramc unzători fiecărui diport, conform expresiilor:

221 ; ST T= = − ; 11 1221 21S S

66


11ST = 11 2221 22 1221 21

; S ST SS S

= − ,

are, particularizate pentru fiecare diport, conduc la următoarele matrice de ansfe

ctr r:

1

2 j j1j 2 j2+ −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦T ,

spectiv

ituaţie în care matricea de transfer a circuitului devine:

re

2

j 0⎡ ⎤= ⎢ ⎥T 0 j−⎣ ⎦

s

2 j j j 0 1 j2 11 1j 2 j 0 j 1 1 j22 2+ − − + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡

= ⋅ ⋅ = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣T ⎤⎥

⎦.

tricea S a circuitului poate fi calculată din matricea T pe baza ulelor de trecere de la parametrii de transfer la parametrii de repartiţie:

Ma

form

21 12 2111 12 2211 11T T

; T T TS S T= = − ;

1221 2211 11

1 T; S ST T

= = − .

eric, rezultă: Num

1 j2 2 j412 j4 1 j25+ − −⎡ ⎤

= ⋅ ⎢ ⎥− − − −S .

⎣ ⎦

2.9. Să se calculeze coeficientul lexie la poarta 1, pentru schema din figura 2.9.1, în raport cu impedanţa de referinţă

de ref 1,Γ

500Z = Ω , la frecvenţa 1GHzf = .

eglijabile i Linia de transmisiu are ca dielectric aer intă pierderi

ar la frecvenţa de lucru diportul din sc descris prin de repartiţie S, raportată la impedanţ

ne ul şhemăa 0

i prez esten

Z : următoarea matrice

67


1 j2 2 j412 j4 1 j25+ − −⎡ ⎤

= ⋅ ⎢ ⎥− − − −⎣ ⎦S

3,75cml =

50CZ = Ω [ ]S

( )0Z ( )0Z ( )0Z1Γ

( )10 j50Z 0S = + Ω

1dΓ

Figura 2.9.1

Rezolvare: Metoda 1: Lungimea de undă corespunzătoare frecvenţei de lucru are valoarea

8

09

3 10 0,3m 30cm10

cf

λ ⋅= = = = .

Lungimea fizică a liniei poate fi exprimată în funcţie de lungimea de undă

:

3,75cml 8λ

= = .

ipor D tul din schemă are drept sarcină impedanţa complexă SZ al cărei oeficient de reflexie la frecvenţa fc este:

( )( )

0

0S

100 j50 50 j 2 j100 j50 50 3 j 5

SS

Z ZZ Z

+ −− + +Γ = = = =

+ + + +.

oeficientul de reflexie la poarta 1 a diportului,

1

C 1 ,dΓ rezultă din expresia

12 211 11221 SS

Sd

S SS ΓΓ = +− Γ

în care parametrii de repartiţie cor spund

e matricei S a diportului. Cu datele din nunţ, la frecvenţa de lucru are valoarea: e 1dΓ

68


1

2 j4 2 j4 2 j+ + +⎛ ⎞⎛ ⎞− −1 j2 1 j85 5 5

5 15 5

d

⎜ ⎟⎜ ⎟+ − +⎝ ⎠⎝ ⎠Γ = ⋅ =−⎝ ⎠

.

al c

1 j2 2 j 13+ +⎛ ⎞−⎜ ⎟

Linia de transmisiune folosită este terminată pe o sarcină al cărei coeficient de reflexie este eg u 1,dΓ . Tronsonul fiind fără pierderi, coeficientul

e reflexie la intrarea liniei, , p calculat cu expresia:

1Γ oate fid

j21 1 e

ld

β−Γ = Γ , unde

2β π λ= reprezintă constanta de defazare a liniei. Rezultă de aici aloarea parametrului cerut: v

2j2

81

1 j8 8 je13 3

π λλ

− ⋅ ⋅− + +Γ = = .

1

etoda 2: Circuitul din figura 2.9.1 este alcătuit prin conectarea în cascadă a doi i (tronsonu

ină.

M diporţ l de linie de transmisiune fără pierderi şi diportul cu matricea repartiţie S) şi un uniport sarc

1S 2S SΓ

1a 2a 3a

1b 2b 3b Figura 2.9.2

Ca urmare, schema poate fi redesenată ca în figura 2.9.2, punând astfel în evidenţă existenţa celor trei elemente interconectate. Se notează cu matricea de repartiţie a tronsonului de linie, cu matricea corespunzăto portului (evident,

1Sare di

2S 2 ≡S S ) iar cu SΓ coeficientul

reflexie al uniportului sarcină. Matricea S a unui tronson de linie fără pierderi are forma:

de

1 je 0

j0 e ϕϕ−

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

S ,

−⎡ ⎤

unde

69


2 2 rad8 4

l lπ π λ πϕ βλ λ

= = = ⋅ =

reprezintă lungimea electrică a liniei considerate, la frecvenţa de lucru. Rezultă:

j4

1j4

0 e

e 0

π

π

−

−

⎡ ⎤⎢= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

S ⎥

Având astfel cunoscute cele d trice de repartiţie şi coeficientul deflexie al uniportului sarcină, para cerut în enunţ poate fi determinat

olosind, de pildă, metoda grafului de fluenţă.

e putere (vezi fig. 2.9.2), rezultă graful asociat structurii analizate, prezentat în figura 2.9.3.

.

ouă ma re metrul f Ţinând cont de convenţia folosită pentru desenarea undelor generalizated

1a 2a 3a

1 2 3b b b

( )21 1S ( )21 2S

( )12 1S ( )12 2S

( )11 1S ( )22 1S ( )11 2S( )22 2S

SΓ

1a 2a 3a

b b b

( )21S 1 ( )21 2S

( )22 2SSΓ( )11 2S

1 2 3( )12 1S ( )12 2S

Figura 2.9.3

Din definiţia coeficientului de reflexie 1Γ al circuitului considerat, particularizată conform notaţiilor din figura 2.9.2 şi folosind regula lui Mason, se obţine:

111

k kk

Lba

ΔΓ = =

Δ

∑

unde intervin două căi: 1b ; 1 2a a→ → 2 1b b→ , şi a1 2 3 3 2a a b b→ → → → → Determinantul grafului are valoarea:

( )22 21 j2 2 j 5 j1 1

5 5 5SS + + +⎛ ⎞Δ = − Γ = − − ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Pentru cale

a ( )1 2 2a a b b→ → → 1 se calculează:

70


( ) ( ) ( )

j j4 41 j2 2 je e ,π π

− −

1 21 11 121 2 1 5 5L S S S + −= ⋅ ⋅ =

15 j.

5

=

Pentru a doua cale

+Δ = Δ =

( )1 2 3 3 2a a a b b b→ → → → → 1 , se obţine:

( ) ( ) ( ) ( )2 21 21 12 121 2 2 1j j4 4j4 4e eπ π

− − +⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟

2

2 j4 2 j 2 j8 ,5 5 5 25

1.

SL S S S S= Γ =

+ + +⎞ ⎛⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Δ =

Rezultă astfel valoarea parametrului căutat:

15 5

5 j

2 j 5 j 4 j88 j2513

5

− + +⋅ + +Γ =

+ = .

2.10. Să se calculeze parametrul pentru schema

u impedanţa de referinţă co ă la am

etti.poly.roetti.poly.ro/cursuri/anul III/mt/culegere_probleme_MT.pdfetti.poly.ro

Documents

Transcript of etti.poly.roetti.poly.ro/cursuri/anul III/mt/culegere_probleme_MT.pdfetti.poly.ro

Chimie OrganicĂ – Curs Anul i

MT 7200 (70.8 cm - MT 8200 · 1 - Não utilize a motosserra antes de tomar totalmente conhecimento do modo específico de utilização do aparelho. Antes da primeira experiência,

PA - Curs 12 Algoritmi aleatorii - andrei.clubcisco.roandrei.clubcisco.ro/cursuri/f/f-sym/2pa/cursuri/2012cb/curs 13 CB.pdf · • Teorema mică a lui Fermat: n este prim n=> 0

ΜΟΝΗ Mt. Hymettus. The sources refer to it as “Kaisariani ...

ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΡΕΥΜΑΤΟΣ …users.teilar.gr/~trogadas/MIXANES/MT MIXANES DC/theoriaDC.pdf · ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ

Lição 4: A Igreja de Deus Texto básico: Mt 16...1 Lição 4: A Igreja de Deus Texto básico: Mt 16.18 O texto de Mateus 16.18 é a primeira vez em toda a Bíblia que aparece a palavra

MT3700 - MT 4100S - MT 4100SP 3 - Efco: Prodotti per la ... · 1 - Não utilize a motosserra antes de tomar totalmente conhecimento do modo específico de utilização do aparelho.

4 Aspectos teológicos de Mt 17,1-8

El Hijo Del Hombre Come y Bebe (Mt 11,19; Lc 7,34)

MT-1860 MANUAL.pdf

Money in the Utility Function Walsh Chapter 2bd892/Walsh2.pdf · Money in the Utility Function Walsh Chapter 2. 1 Model Utility u(ct;mt) where mt= Mt PtNt Output yt= f(kt 1)

Machine Learning - MT 2016 4 & 5. Basis Expansion ...

Acceleratorii de particule - phys.ubbcluj.rogrigore.damian/cursuri/pe/curs11.pdf · multiplicator de tensiune –creşterea energiei cinetice a particulelor accelerate Ec nqV sistem

B z e m a n MT Heating and Dynamics of Two Flare Loop ...

Solucionario Miniensayo MT 242 2013

Manual de limbi clasice anul IV

Angle Modulation - poly.roetti.poly.ro/cursuri/anul III/cad/1_8.pdf · Principles of Communication Prof. V. Venkata Rao Indian Institute of Technology Madras 5.4 deviation of st(

3.- SOBRETENSIONES TRANSITORIAS POR · PDF fileSOBRETENSIONES TRANSITORIAS POR MANIOBRAS ... En la red de MT para un abonado en MT ... decondensadores en media y alta tensión,resulta

MT-0 5001 Mo-lecture Notes.pptx

Antibody CLS-415 Nada Mohamed Ahmed, MSc, MT (ASCP)i.