Estructuras - Plasticidad

Plasticidad Estructuras _______________________________________________________________________

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I.- PLASTICIDAD

1.-CONCEPTOS BÁSICOS

1.1.- LEY DE HOOKE. MÓDULO DE ELASTICIDAD

La mayoría de las estructuras se diseñan para soportar pequeñas deformaciones,

que involucran únicamente la parte lineal del diagrama σ-ε. Para la parte lineal de

los diagramas de las figuras 1a y 1b, el esfuerzo σ es directamente proporcional a

la deformación ε y puede escribirse:

σ=E. ε Ley de Hooke

El coeficiente E se llama módulo de elasticidad del material o módulo de Young.

El mayor valor para el cual se puede utilizar la ley de Hooke en un material dado

se conoce como límite de proporcionalidad del material.

En el caso de materiales dúctiles con un punto de fluencia bien definido, como en

la fig.1, el límite de proporcionalidad coincide prácticamente con el límite de

fluencia.

Estructuras Plasticidad _______________________________________________________________________

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Fig.1 Diagramas σ-ε de dos materiales dúctiles.

1.2.- COMPORTAMIENTO ELÁSTICO Y PARCIALMENTE

ELÁSTICO.

Algunas de las propiedades físicas de los metales estructurales, como resistencia,

ductilidad, resistencia a la corrosión, etc, pueden resultar bastante afectadas por

las aleaciones, el tratamiento térmico o el proceso de manufactura empleado. Por

ejemplo, se muestra en los diagramas σ-ε ( de hierro puro y tres aceros de

diferente grado) de la fig.2, que existen grandes variaciones en resistencia, límite

de fluencia y deformación final (ductilidad) entre estos cuatro metales. Todos ellos,

sin embargo, tienen el mismo módulo de elasticidad, es decir, su rigidez o

capacidad para resistir en el rango lineal es la misma.


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Fig.2. Diagrama σ-ε de diversos materiales

Los diagramas σ-ε de las figuras 1 y 2, muestran el comportamiento de diversos

materiales cuando se cargan estáticamente a tracción o a compresión.

En la figura 3a se simula el comportamiento elástico de un material.

Fig.3a.Comportamiento elástico.


4

Se aplica una carga desde el punto O hasta el punto A sin llegar al límite elástico

E, siguiendo la curva OA y una vez estamos en el punto A, vamos disminuyendo la

carga hasta cero. Como que de O hasta A el material tiene un comportamiento

elástico, en el proceso de descarga, el material sigue exactamente la misma curva

y recupera sus dimensiones originales.

Suponemos ahora que se carga este mismo material a un nivel mucho mayor, de

forma tal que se alcanza el punto B del diagrama σ-ε (fig.3b).

Fig.3b Comportamiento parcialmente elástico.

Esta línea de descarga es paralela a la porción inicial de la curva de carga; esto

es, la línea BC es paralela a una tangente al diagrama σ-ε en el punto O. Cuando

se alcanza el punto C, la carga se ha retirado completamente, pero persiste en el

material una deformación permanente o residual OC.

De la deformación total OD ocasionada durante la carga del material desde O

hasta B, la deformación CD se recupera elásticamente y la deformación OC

persiste como deformación permanente. Así, durante la descarga la barra

recupera parcialmente su forma original; en consecuencia, se dice que el material

es parcialmente elástico.


5

La característica de un material que le permite soportar deformaciones inelásticas

superiores al límite elástico se conoce como plasticidad.

Si el material permanece dentro de la zona elástica puede ser cargado,

descargado y cargado nuevamente sin un cambio apreciable en su

comportamiento. Sin embargo, cuando se carga en la zona plástica, la estructura

interna del material se modifica y sus propiedades cambian. Por ejemplo, se ha

observado que existe una deformación permanente en el material después de

descargarse en la zona plástica (fig.3b).

Fig.4 Recarga de un material y ascenso del esfuerzo de fluencia.

Suponemos ahora que el material se carga nuevamente después de la descarga

(fig.4).

El nuevo ciclo de carga empieza en el punto C del diagrama y continúa en

ascenso hasta B. El material sigue entonces el diagrama σ-ε original hasta el


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punto F. Durante el segundo ciclo de carga, el material se comporta en forma

lineal desde C hasta B, por lo que el material presenta un límite de

proporcionalidad y un esfuerzo de fluencia superiores a los anteriores. Luego, al

estirar un material se puede aumentar el punto de fluencia, aunque la ductilidad se

reduzca debido a que la intensidad de fluencia desde B hasta F es menor que

desde E hasta F.


7

2.- DEFORMACIONES PLÁSTICAS. EJEMPLOS DE APLICACIÓN

El estudio de la elasticidad suponía la hipótesis de una relación esfuerzo-

deformación lineal. Se supuso que el límite de proporcionalidad del material nunca

sería excedido. Esta es una hipótesis razonable en materiales frágiles que se

rompen sin fluir (véase fig.5).

Fig.5 Diagrama σ-ε para un material frágil.

En el caso de materiales dúctiles, esta hipótesis implica que no se excede el límite

de fluencia del material. Las deformaciones entonces se mantendrán dentro del

rango elástico y el elemento estructural considerado recuperará su forma original

después de retirar las cargas. Por otra parte, si los esfuerzos en alguna zona del

elemento exceden el límite de fluencia del material, ocurren deformaciones

plásticas y la mayor parte de los resultados obtenidos en la teoría de la elasticidad

dejarán de ser válidos. Deberá hacerse un análisis más complejo, basado en

relaciones no lineales esfuerzo-deformación.


8

Consideramos un material elastoplástico idealizado para el cual el diagrama

esfuerzo-deformación consta de dos segmentos rectos, como en la fig.6.

Fig.6. Diagrama σ-ε de un material elastoplástico

El diagrama esfuerzo-deformación del acero es semejante a esta idealización.

Mientras el esfuerzo σ es menor que el esfuerzo de fluencia σF, el material se

comporta elásticamente y obedece la ley de Hooke, σ=E.ε. Cuando σ alcanza el

valor de σF, el material empieza a fluir y se deforma plásticamente bajo carga

constante. Si se retira la carga, la descarga tiene lugar a lo largo de una recta CD

paralela a la porción inicial AY de la línea de carga. El segmento AD del eje

horizontal representa la deformación plástica o permanente resultante de la carga

y descarga de la probeta. Aunque ningún material real se comporta como el de la

fig.6, este diagrama σ-ε será útil al estudiar las deformaciones plásticas de

materiales dúctiles como el acero.


9

Ejercicio de aplicación

Una barra de longitud L=500 mm y sección transversal de área A=60 mm2, de

material elastoplástico con E=200 GPa en su rango elástico y límite elástico

σf=300 MPa, se somete a carga axial, hasta que se alarga 7 mm, y a continuación

se descarga. ¿Cual es la deformación permanente?.

Refiriéndonos al diagrama de la fig.6, se observa que la deformación máxima

representada por la abscisa del punto C, es:

310145007 −=== xmmmm

LC

Cδ

ε

La deformación de fluencia representada por la abscisa del punto Y, es:

39

6

105,11020010300 −=== xPaxPax

Ef

f

σε

La deformación después de la descarga está representada por la abscisa εD del

punto D. De la fig.6 se deduce que:

333 105,12105,11014 −−− =−=−=== xxxYCAD fCD εεε

El alargamiento permanente es δD, que corresponde a la deformación εD. O sea:

δD=εD.L=(12,5.10-3).(500 mm)=6,25 mm

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3.- FLEXIÓN

3.1.- FLEXIÓN ELÁSTICA

La flexión elástica se refiere a la flexión de vigas cuando el material satisface le ley

de Hooke. Ello ocurre siempre y cuando la viga se cargue de manera que los

esfuerzos no superen el límite de proporcionalidad del material.

El comportamiento de una viga en flexión elástica depende del perfil del diagrama

esfuerzo-deformación. El material puede ser aluminio, el cual tiene un diagrama σ-

ε que se curva más allá del límite de proporcionalidad, como se muestra en la

fig.7, o acero, el cual manifiesta una fluencia prolongada y presenta un diagrama

σ-ε idealizado que se muestra en la fig.8. En cualquier caso, si se conoce el

diagrama σ-ε, siempre es posible determinar los esfuerzos y deformaciones de la

viga.

Fig.7 Diagrama σ-ε característico de una aleación

de aluminio.

Fig.8 Diagrama σ-ε del acero estructural

típico en tracción.


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Las deformaciones en una viga elástica, varían linealmente a lo largo de la altura

de la viga, entonces conociendo el diagrama σ-ε y las ecuaciones de la estática,

se puede obtener la deformación y la tensión normal en cada fibra de la viga en

cuestión.

Para obtener las ecuaciones básicas de la flexión elástica, se considera una viga

en flexión pura sometida a un momento flector positivo como se muestra en la

fig.9a.

Los momentos flectores actúan en el plano xy, el cual se supone que es un plano

de simetría de la sección transversal (fig 9b). Entonces, la viga se deformará en

este mismo plano, que es el plano de flexión.

Fig.9 Flexión elástica de una viga.

Se sabe de Resistencia de Materiales que en flexión pura elástica:

• El eje neutro pasa por el centro de gravedad de la sección.

• z y y son ejes principales de inercia.

• La ecuación de resistencia a la flexión es yIM

x

f .=σ


12

3.2.- FLEXIÓN PLÁSTICA

El caso más simple de flexión inelástica es la flexión plástica, la cual ocurre

cuando el material de la viga es elastoplástico. Tal material cumple con la ley de

Hooke hasta el esfuerzo de fluencia, y después cede plásticamente bajo esfuerzo

constante. En la fig.11 se muestra el diagrama σ-ε de un material elastoplástico

con el mismo esfuerzo de fluencia σy y el mismo módulo de elasticidad E a tensión

y a compresión. Se aprecia que un material elastoplástico tiene una región de

elasticidad lineal entre regiones de plasticidad perfecta.

Fig.11. Diagrama σ-ε para un material elastoplástico.

Los aceros estructurales pueden idealizarse como materiales elastoplásticos

porque poseen puntos de fluencia bien definidos y experimentan grandes

deformaciones durante la fluencia. La suposición de plasticidad perfecta después

de alcanzarse el esfuerzo de fluencia significa que se desprecian los efectos de

endurecimiento por deformación, pero como este efecto proporciona un

incremento en la resistencia del acero, generalmente es seguro despreciarlo.

Suponemos una viga de material elastoplástico sometida a flexión pura (fig.9).


13

Cuando el momento flector aplicado M da lugar a un esfuerzo normal σ inferior al

esfuerzo de fluencia σf, la viga está en la condición de flexión elástica con una

distribución lineal de esfuerzos como se muestra en la fig.12a. En este caso el eje

neutro pasa por el centro de gravedad de la sección transversal.

Fig.12 Distribución de esfuerzos en una viga de material elastoplástico.

El esfuerzo normal es IyM

x.

=σ y la curvatura IEM.

−=κ .

Estos resultados son válidos hasta que el esfuerzo en la viga en el punto más

alejado del eje neutro alcanza el esfuerzo de fluencia (fig 12b).

Entonces el momento correspondiente que actúa sobre la viga se denomina

momento flector de fluencia Mf.

elfmax

ff W

yI

M ..

σσ

==


14

Donde la relación max

el yIW = es el menor de los dos módulos de sección de la

sección transversal.

Para una viga de sección transversal rectangular, el momento flector de fluencia

es:

6.. 2hb

M ff

σ=

donde b es el ancho y h la altura de la sección transversal.

Si ahora incrementamos el momento flector por encima del momento de fluencia

Mf, las deformaciones en los puntos extremos de la sección transversal

continuarán incrementándose y la deformación máxima excederá a la deformación

de fluencia εf. Sin embargo, debido a la fluencia perfectamente plástica, los

esfuerzos máximos permanecerán constantes e iguales a σf. Entonces, la

condición de esfuerzo será la representada en la fig.12c.

Las fibras más extremas de la viga se han vuelto plásticas mientras permanece

elástico un núcleo central. También cambia la posición del eje neutro a menos que

la sección sea doblemente simétrica.

A medida que se aumenta el momento flector, la región plástica se extiende desde

el punto más alejado hacia el eje neutro, hasta alcanzar la condición mostrada en

la fig.12d.

En este momento, las deformaciones en las fibras extremas pueden llegar a ser 10

o 15 veces la deformación de fluencia εf, y el núcleo elástico casi ha desaparecido

por completo. La viga ha alcanzado su capacidad última de resistencia a momento


15

y es posible idealizar la distribución de esfuerzos última como consistente en dos

porciones rectangulares fig.12e.

El momento flector correspondiente a esta distribución de esfuerzos idealizada se

denomina momento flector plástico Mp y representa el momento máximo que

puede soportar una viga de material elastoplástico.

La determinación del momento plástico tiene gran importancia, porque es el

momento límite o momento máximo de la viga. A fin de encontrar Mp, empezamos

con localizar el eje neutro de la sección transversal (fig.13a).

Fig.13 Determinación del momento plástico Mp.

Por encima del eje neutro cada elemento en la sección transversal tiene un

esfuerzo de compresión igual a σf (fig 13b); por debajo del eje neutro, el esfuerzo

es de tracción y también es igual a σf. La fuerza de tracción total T es igual a σf.A1,

donde A1 es el área de la sección transversal por debajo del eje neutro. De

manera que la fuerza de compresión C es σf.A2, en donde A2 es el área de la

sección transversal por encima del eje neutro. Según la ecuación ∫ = 0.dAxσ , la

fuerza resultante sobre la sección transversal debe ser cero, de modo que:

T-C=0 --> A1=A2


16

Dado que el área total de la sección transversal es A=A1+A2, de la ecuación

anterior se halla:

A1=A2=A/2

y de ello se deduce que el eje neutro plástico divide a la sección transversal

en dos áreas iguales.

En general, el eje neutro del momento plástico Mp tiene una localización diferente

a la correspondiente a la flexión lineal-elástica. Por ejemplo para una sección

trapezoidal, el eje neutro está levemente más abajo para el caso plástico que para

el elástico. Si una sección es doblemente simétrica, como una viga rectangular, el

eje neutro tendrá la misma posición tanto para el caso plástico como para el caso

elástico.

El momento plástico puede encontrarse a partir de la ecuación ∫ = MdAy..σ ,

mediante integración o mediante el procedimiento equivalente de tomar momentos

respecto al eje neutro de las fuerzas T y C mostradas en la fig.13.b; de esta

manera se obtiene:

Mp=T.y1+C.y2

donde y1 y y2 son las distancias desde el eje neutro hasta los centros de gravedad

c1 y c2 de las áreas A1 y A2, respectivamente. Sustituyendo T y C por σf.A/2, se

obtiene:

El procedimiento para cada viga es dividir la sección transversal en dos áreas

iguales, localizar el centro de gravedad de cada mitad y utilizar la ecuación

anterior para calcular Mp.

2).(. 21 yyA

M fp

+=σ


17

La expresión para el momento plástico puede formularse de forma análoga a la del

momento de fluencia, o sea:

en donde: 2

).( 21 yyAWpl+

= es el módulo resistente plástico para la sección

transversal.

Se denomina factor de forma f a la relación entre momento plástico y momento

de fluencia.

el

pl

f

p

WW

MM

f ==

Si tomamos una viga de sección transversal rectangular (bxh), el módulo plástico

resulta:

4.

44.

2. 2hbhhhbWpl =

+=

Siendo el módulo elástico 6. 2hbWel = , el factor de forma para una viga rectangular

será 23

=f . Ello significa que el momento plástico para una viga rectangular es el

50 % mayor que el momento de fluencia.

plfp WM .σ=


18

Ejercicio de aplicación

Hallar el momento plástico de un elemento cuya

sección se muestra, suponiendo que el material

es elastoplástico y tiene un límite de fluencia de

240 MPa.

__________________________________________________________________

Determinación del eje neutro plástico:

Cuando la deformación es totalmente plástica, el eje neutro divide la sección en

dos partes cuyas áreas son iguales, puesto que el área total es:

24800)20.60()20.80()20.100( mmA =++=

el área sobre el eje neutro será de 2400 mm2.

mm 20 ydeduce se ; 2400.20)100.20( ==+ y

El eje neutro plástico no pasa por

el centro de gravedadde la sección.

Cálculo del Momento plástico respecto al eje paralelo a las alas.

Hallamos la fuerza que pasa por el centro de gravedad de cada área.


19

( ) ( ) kNMPammAR f 480240.02.0.1.0.11 === σ

( ) ( ) kNMPammAR f 96240.02.0.02.0.22 === σ

( ) ( ) kNMPammAR f 288240.06.0.02.0.33 === σ

( ) ( ) kNMPammAR f 288240.02.0.06.0.44 === σ

El momento plástico Mp se obtiene sumando los momentos de las fuerzas con

respecto al eje z.

kN.m 16.44).07.0().03.0().01.0().03.0( 4321 =+++= RmRmRmRmM p


20

4.- ANÁLISIS PLÁSTICO DE VIGAS.

4.1.- RÓTULAS PLÁSTICAS

Consideremos el comportamiento de una viga simple de material elastoplástico

sometida a una carga concentrada P en el punto medio (fig.14a). El diagrama de

momentos es de forma triangular con un momento flector máximo Mmáx igual a

4.LP Si el momento máximo es mayor que Mf pero menor que Mp, en la parte

central de la viga existirá una región de flujo plástico controlado. Las regiones

donde la viga se ha vuelto completamente plástica se muestran sombreadas en la

fig.14a.

Fig.14 Viga parcialmente plástica: a) Zona plástica, b) diagrama de momentos flectores.


21

La altura de la zona elástica en cualquier sección transversal puede calcularse a

partir del momento flector, utilizando la teoría de flexión pura descrita

anteriormente. Esta teoría desprecia los efectos de las fuerzas cortantes, pero

estos efectos usualmente son muy pequeños. También en este ejemplo se

desprecia el peso de la viga y se consideran únicamente los momentos flectores

producidos por la carga aplicada.

A medida que se incrementa la carga y el momento flector máximo se aproxima al

momento plástico Mp, las regiones de plasticidad se extienden desde los bordes

hacia el eje neutro de la viga. Finalmente, cuando Mmax se vuelve igual a Mp, la

sección transversal en el centro de la viga es completamente plástica (fig.14). La

curvatura en el centro de la viga se vuelve entonces extremadamente grande, y

tiene lugar un flujo plástico incontrolado. No puede ocurrir un incremento adicional

en el momento máximo, y la carga sobre la viga está en su valor máximo. La viga

falla por las rotaciones excesivas que ocurren en la sección transversal media,

mientras que las dos mitades de la viga permanecen comparativamente rígidas.

La viga se comporta como dos barras rígidas acopladas mediante una

articulación plástica que permite que las dos barras giren relativamente entre sí

bajo la acción de un momento constante Mp.

La longitud Lp de la zona plástica que circunda la articulación plástica (fig.14)

puede calcularse fácilmente a partir del hecho de que el momento flector en el

borde de la zona es igual a Mf. Por lo tanto se tiene:

−=

22p

f

LLPM

Además se sabe que el momento máximo es igual a Mp, de modo que la carga

sobre la viga es:


22

LM

P p4=

Despejando Lp se obtiene:

−=

−=

fL

MM

LLp

fp

111

para una viga simple con carga concentrada en su punto medio.

Para una viga rectangular f=1,5 obtenemos Lp=L/3.

La presencia de la articulación plástica significa que la viga girará en la sección

transversal de la articulación mientras que el momento flector permanece

constante e igual a Mp. Por supuesto, las articulaciones plásticas se forman

siempre en las secciones donde el momento flector alcanza un valor máximo.

4.2.- VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS

El concepto de articulaciones plásticas proporciona un método útil para determinar

la carga máxima que puede soportar una viga elastoplástica.

Si la viga es estáticamente determinada, la formación de una articulación simple

es suficiente para producir el fallo. La magnitud de la carga requerida para

desarrollar la articulación (carga última) puede calcularse a partir del equilibrio

estático. Por ejemplo, la carga última Pu para la viga de la fig.14 es:

LM

P pu

4=


23

La tarea de calcular las cargas últimas y localizar las articulaciones plásticas para

vigas elastoplásticas se conoce como análisis plástico.

Consideremos ahora otro ejemplo de una viga estáticamente determinada. La viga

mostrada en la figura 15a tiene una carga uniforme de valor q que actúa sobre la

mitad izquierda.

Fig.15 Análisis plástico de una viga estáticamente determinada.

El diagrama de momentos flectores (Fig.15b) muestra un momento máximo de

valor Mmáx=9.q.L2/128.


24

Según se incrementa gradualmente la carga q, encontramos fluencia inicial

cuando el momento máximo se vuelve igual al momento de fluencia Mf para la

viga; la carga correspondiente se denomina carga de fluencia. Para esta viga, la

carga de fluencia es:

29128LM

q ff =

Con un incremento posterior de la carga, se formará una articulación plástica en la

sección de momento flector máximo indicada por un punto en la fig.15c. La carga

última correspondiente es:

29128LM

q pu =

donde Mp es el momento plástico de la viga. Después de haberse formado la

articulación, la viga puede considerarse formada por dos barras unidas entre sí por

la unión articulada. Una viga en estas condiciones forma un mecanismo que

puede continuar flectando bajo la carga última.

La relación de la carga última con la carga de fluencia para una viga estáticamente

determinada es Mp/Mf, que es igual al factor de forma f de la sección transversal.

Para vigas estáticamente determinadas esta relación varía con el tipo de viga y su

carga.


25

4.3.- VIGAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Tomamos como ejemplo la viga empotrada-apoyada de la fig.16 que soporta en el

centro una carga concentrada P.

Fig.16 Análisis plástico de una viga estáticamente indeterminada.


26

Para cualquier valor de la carga menor que la carga de fluencia Pf, el diagrama de

momentos flectores tiene la forma mostrada en la fig.16b. El momento flector

máximo ocurre en el extremo fijo A y es numéricamente igual a 3PL/16; por tanto

la carga de fluencia vale:

LM

P ff 3

16=

Si P se incrementa más allá del valor Pf, en la sección A ocurre una fluencia

adicional.

Entonces para una carga mayor que Pf, la fluencia se inicia también en la sección

C donde hay un vértice en el diagrama de momentos flectores. Si se continúa

incrementando la carga, se formará una articulación plástica en el extremo A de la

viga. Sin embargo, esta articulación simple no causará un fallo completo de la

viga. En lugar de ello, la viga se comportará como una viga estáticamente

determinada que soporta la fuerza P en la sección C, y por un momento Mp en el

extremo A. La estructura resistirá incrementos posteriores de la carga P hasta que

finalmente el momento flector en C alcance también el valor del momento plástico

Mp. En esta etapa, se habrán desarrollado articulaciones plásticas en A y C, por lo

que la estructura ha formado un mecanismo de fallo (fig.16c). En estas

condiciones no es posible un incremento posterior en la carga; ya que se ha

alcanzado el valor de la carga última Pu.

Calculamos la carga última a partir del equilibrio estático. Como los momentos

flectores en las articulaciones plásticas son iguales a Mp, el diagrama de

momentos flectores para la condición de fallo se conoce (fig.16d). Por tanto, la

carga Pu puede determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio.

Determinamos la reacción Rb en el apoyo B a partir de un diagrama de cuerpo

libre de toda la viga. Tomando momentos respecto a A (fig.16c), se obtiene:


27

LMP

RLRLP

M pubb

up −==+−

2 bien o 0

2

Después mediante el diagrama del cuerpo libre de la parte CB de la viga y

tomando momentos respecto a C, obtenemos:

02

=+−LR

M bp

Combinando esta ecuación con la anterior se obtiene:

LM

P pu

6= carga última para la viga.

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