Estructuras geométricas: de Euclides a la teoría de...

Estructuras geométricas:de Euclides a la teoría de cuerdas

Vicente Muñoz (Universidad de Málaga)

Universidad de Sevilla, 20 febrero 2019

Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 1 / 28

¿Qué es la geometría?

Del griego γεωµετρια (geo=tierra, metría=medida) es la rama de lasmatemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de lasfiguras en el plano o el espacio.

Euclides (siglo III A.C.) configuró la geometría en forma axiomática yconstructiva.

¿Qué es la geometría?

Del griego γεωµετρια (geo=tierra, metría=medida) es la rama de lasmatemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades de lasfiguras en el plano o el espacio.

Euclides (siglo III A.C.) configuró la geometría en forma axiomática yconstructiva.

Geometría euclídea

Un punto no tiene dimensiones

Dados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta

Se introducen conceptos:

Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos (conceptualmente, tratamos con el infinito!)

Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellos

Toda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta

Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamente

Dado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta

Un punto no tiene dimensionesDados dos puntos, se puede trazar una recta por ellosToda recta puede ser prolongada indefinidamenteDado un segmento, se puede dibujar otro “igual” (congruente) apartir de un punto en otra recta

Se introducen conceptos:Angulos, perpendiculares

Triángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos

(conceptualmente, tratamos con el infinito!)

Se introducen conceptos:Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonos

Paralelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos

Se introducen conceptos:Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos

Se introducen conceptos:Angulos, perpendicularesTriángulos, polígonosParalelas: rectas que no se cortan por mucho que lasprolonguemos (conceptualmente, tratamos con el infinito!)Vicente Muñoz (UMA) Estructuras geométricas US, 20 feb 2019 3 / 28

Las figuras se pueden “mover” o “copiar”. La geometría del espacio esla misma en cualquier punto que nos situemos.

ObservaciónUn espacio puede no tener esta propiedad!

Las figuras se pueden “mover” o “copiar”. La geometría del espacio esla misma en cualquier punto que nos situemos.

ObservaciónUn espacio puede no tener esta propiedad!

V Postulado de Euclides

Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo unaparalela

Es la perpendicular a la perpendicularAl prolongarlas, estas rectas mantienen la distanciaEquivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o

Trigonometría planaExistencia de homotecias (incluso gigantescas)

Es la perpendicular a la perpendicular

Al prolongarlas, estas rectas mantienen la distanciaEquivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o

Es la perpendicular a la perpendicularAl prolongarlas, estas rectas mantienen la distancia

Equivalente: suma de los ángulos de un triángulo es de 180o

Trigonometría plana

Existencia de homotecias (incluso gigantescas)

Los matemáticos estuvieron intentando desde entonces por:Demostrar el V Postulado, es decir, concluir que se deducía de losdemás

Refutar el V Postulado, es decir, partiendo del resto de axiomas yañadiendo “el V Postulado es falso”, construir una geometríacoherente

Los matemáticos estuvieron intentando desde entonces por:Demostrar el V Postulado, es decir, concluir que se deducía de losdemásRefutar el V Postulado, es decir, partiendo del resto de axiomas yañadiendo “el V Postulado es falso”, construir una geometríacoherente

Geometría esférica

Estudiada desde la antigüedad, útil para posicionar puntos en elglobo terráqueo

Las “rectas” (geodésicas) son las curvas de mínima distanciaLa suma de los ángulos de un triángulo es > 180o

Trigonometría esférica

Estudiada desde la antigüedad, útil para posicionar puntos en elglobo terráqueoLas “rectas” (geodésicas) son las curvas de mínima distancia

La suma de los ángulos de un triángulo es > 180o

Estudiada desde la antigüedad, útil para posicionar puntos en elglobo terráqueoLas “rectas” (geodésicas) son las curvas de mínima distanciaLa suma de los ángulos de un triángulo es > 180o

Cumple las condiciones para ser geometría en el sentido deEuclides

Las rectas se prolongan indefinidamente, pero vuelven al puntode partidaV Postulado es falso: no hay paralelas

Las rectas se cortan en dos puntos, pero se puede arreglar plano proyectivo (geometría elíptica)Las figuras se pueden mover

Cumple las condiciones para ser geometría en el sentido deEuclidesLas rectas se prolongan indefinidamente, pero vuelven al puntode partida

V Postulado es falso: no hay paralelas

Cumple las condiciones para ser geometría en el sentido deEuclidesLas rectas se prolongan indefinidamente, pero vuelven al puntode partidaV Postulado es falso: no hay paralelas

Las rectas se cortan en dos puntos, pero se puede arreglar plano proyectivo (geometría elíptica)

Las figuras se pueden mover

La forma de los espacios

El plano euclídeo parte de la idea de la superficie terrestre como unplano (infinito)

Esto es cierto localmente (para una región) pero no globalmente

Hay un paso de lo local a lo global, en el que el ser humano esproclive a generalizar “al infinito”El V Postulado es un ejemplo de esta instancia

El plano euclídeo parte de la idea de la superficie terrestre como unplano (infinito)Esto es cierto localmente (para una región) pero no globalmente

Hay un paso de lo local a lo global, en el que el ser humano esproclive a generalizar “al infinito”

El V Postulado es un ejemplo de esta instancia

Variedades

DefiniciónUn espacio E (variedad, en matemáticas) es un conjunto (espaciotopológico) en el que todo punto p ∈ E tiene un entorno U que separece (es homeomorfo) a un trozo de plano (o Rn)

Nuestro universo es una variedad de dimensión 3

Si la Tierra resultó no ser plana, el Universo ... ¿Qué forma tendrá?

Nuestro universo es una variedad de dimensión 3

Si la Tierra resultó no ser plana, el Universo ... ¿Qué forma tendrá?

Formalización de la geometría

¿Qué se puede medir?

Ejemplo: Teoría de la relatividad

Velocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza

De hecho, en el espacio-tiempo M = E × R,lo que se puede medir es `2 − c2t2

Necesitamos:

Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk

Desplazar objetos en M ?

Ejemplo: Teoría de la relatividad

Velocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza

Necesitamos:

Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/s

Los cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza

Necesitamos:

Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)

El tiempo se ralentiza

Necesitamos:

Ejemplo: Teoría de la relatividadVelocidad de la luz es constante c = 299.892′458 km/sLos cuerpos en movimiento se contraen (contracción de Lorentz)El tiempo se ralentiza

Necesitamos:

Necesitamos:Una variedad M

Una estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk

Necesitamos:Una variedad MUna estructura geométrica: nociones que tiene sentido medirF1,F2, . . . ,Fk

Geometría riemanniana

La métrica riemanniana es la estructura geométrica por antonomasia

M variedadEn cada punto se pueden medir longitudes, ángulos

gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =

√u · u,

θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |

Longitudes de curvas: `(c) =∫ b

a |c′(t)|dt

Geodésicas: curva más corta (o curva sin aceleración)Distancias: longitud de la geodésica

M variedad

En cada punto se pueden medir longitudes, ángulos

gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =

√u · u,

θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |

a |c′(t)|dt

gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =

√u · u,

θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |

a |c′(t)|dt

gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =

√u · u,

θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |

a |c′(t)|dt

gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =

√u · u,

θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |

a |c′(t)|dt

Geodésicas: curva más corta (o curva sin aceleración)

Distancias: longitud de la geodésica

gp : TM × TM → R, gp(u, v) = u · v|u| =

√u · u,

θ = ∠(u, v), cos θ = u·v|u| |v |

a |c′(t)|dt

Holonomía

Se puede trasladar un vector “rígidamente” (paralelamente,inercialmente) a lo largo de una curva

Se llama holonomía Hol(M) al conjunto de todas las transformacionesque se obtienen por transporte paralelo a lo largo de curvas cerradas(lazos)Si algo es “medible”, debe ser preservado por la holonomía

La longitud es medible (en una variedad riemanniana), luegoHol(M,g) ⊂ O(n)

Holonomía

Se llama holonomía Hol(M) al conjunto de todas las transformacionesque se obtienen por transporte paralelo a lo largo de curvas cerradas(lazos)

Si algo es “medible”, debe ser preservado por la holonomía

Holonomía

Grupo ortogonal: O(n) =

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

|AT A = I

Ejemplo

Para la esfera, la orientación es un dato medible,Hol = SO(2) = {A|AT A = I, detA = 1}Para la banda de Möbius, la orientación no es medible, Hol = O(2)

Holonomía

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

|AT A = I

Ejemplo

Holonomía

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

|AT A = I

Ejemplo

Para la esfera, la orientación es un dato medible,Hol = SO(2) = {A|AT A = I, detA = 1}

Para la banda de Möbius, la orientación no es medible, Hol = O(2)

Holonomía

a11 · · · a1n...

. . ....

an1 · · · ann

|AT A = I

Ejemplo

Geometrías

Una geometría es una estructura geométrica en la que podemoscambiar de lugar los objetos sin deformarlos (isométricamente)

Variedad riemanniana homogénea(M,g) tal que para todos p,q ∈ M, existe ϕ : B(p)→ B(q) isometría

Por tanto, la variedad se “ve” igual en todas partes. La curvatura esconstante

En el caso de superficies:

K > 0. Geometría esférica S2

K = 0. Geometría euclídea R2

K < 0. Geometría hiperbólica H2

Geometrías

Geometría no-euclídea

En la geometría hiperbólica:Por un punto exterior a una recta hay infinitas paralelas (no secumple el V Postulado)

La suma de ángulos de un triángulo es < 180o

Trigonometría hiperbólica

En la geometría hiperbólica:Por un punto exterior a una recta hay infinitas paralelas (no secumple el V Postulado)La suma de ángulos de un triángulo es < 180o

Geometrías

G = Isom(M) ⊂ O(n) es un grupo de Lie (subgrupo de matrices)

H = {ϕ ∈ G|ϕ(p0) = p0}M ∼= G/H espacio cociente, ϕ ∈ G/H 7→ ϕ(p0) ∈ M

GeometríaVariedad M tal que para todo p ∈ M hay un homeomorfismo

B(p)∼=−→ U ⊂ G/H

Las figuras se pueden mover con los elementos de G

EjemploGeometrías de Thurston en dimensión 8S3,R3,H3,S2 × R,H2 × R,Nil,Sol, S̃L(2,R)

Geometrías

G = Isom(M) ⊂ O(n) es un grupo de Lie (subgrupo de matrices)H = {ϕ ∈ G|ϕ(p0) = p0}

M ∼= G/H espacio cociente, ϕ ∈ G/H 7→ ϕ(p0) ∈ M

B(p)∼=−→ U ⊂ G/H

Geometrías

G = Isom(M) ⊂ O(n) es un grupo de Lie (subgrupo de matrices)H = {ϕ ∈ G|ϕ(p0) = p0}M ∼= G/H espacio cociente, ϕ ∈ G/H 7→ ϕ(p0) ∈ M

B(p)∼=−→ U ⊂ G/H

Geometrías

B(p)∼=−→ U ⊂ G/H

Geometrías

B(p)∼=−→ U ⊂ G/H

Geometrías

B(p)∼=−→ U ⊂ G/H

Variedades complejas

Sea F (x , y) = 0 un polinomio con x , y ∈ C

y2 = (x − λ1)(x − λ2)(x − λ3)

Al ser x , y ∈ C hay una parte “imaginaria” que no se ve en el dibujox = a + i b ∈ C ⇐⇒ (a,b) ∈ R2. Por tanto, C tiene dos dimensiones

y2 = (x − λ1)(x − λ2)(x − λ3)

Al ser x , y ∈ C hay una parte “imaginaria” que no se ve en el dibujo

x = a + i b ∈ C ⇐⇒ (a,b) ∈ R2. Por tanto, C tiene dos dimensiones

y2 = (x − λ1)(x − λ2)(x − λ3)

Variedad compleja. Las cartas toman valores en Cd

(z1, . . . , zd) ∈ Cd ⇐⇒ (x1, y1, . . . , xd , yd) ∈ R2d

zj = xj + i yj , j = 1, . . . ,d

En un variedad compleja, tenemos I : TM → TM, I(v) = i v , conI2 = −id, llamada estructura compleja

Variedad de Kähler. Hay una métrica compatibleg(Iu, Iv) = g(u, v)El transporte paralelo preserva I

Hol(M) = U(n) =

z11 · · · z1n...

. . ....

zn1 · · · znn

|zij ∈ C,ATA = I

ω(u, v) = g(u, Iv) es antisimétrica. Es una 2-forma

Hol(M) = U(n) =

z11 · · · z1n...

. . ....

zn1 · · · znn

|zij ∈ C,ATA = I

Hol(M) = U(n) =

z11 · · · z1n...

. . ....

zn1 · · · znn

|zij ∈ C,ATA = I

Hol(M) = U(n) =

z11 · · · z1n...

. . ....

zn1 · · · znn

|zij ∈ C,ATA = I

Otras estructuras geométricas

Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0

G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes

Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes

Geometría de Lorentz (relatividad)

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0

G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)

Permite medir áreas pero no longitudes

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

Geometría simpléctica(M, ω), ω : TM × TM → R antisimétrica2-forma con dω = 0G = Symp(R2n)Permite medir áreas pero no longitudes

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0

G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0

G = Conf(R2n) = R · O(n)Permite medir ángulos pero no longitudes

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

Geometría conforme(M, [g]), [g1] = [g2] ⇐⇒ g1 = f · g2, f > 0G = Conf(R2n) = R · O(n)

Permite medir ángulos pero no longitudes

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

(M,h), h = g − c2dt2

G = O(n,1)

Posibles holonomías

Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores,

ni un espacio simétrico,entonces:

Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8

Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores,

ni un espacio simétrico,entonces:

Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,

entonces:

Teorema (Berger, 1955)Sea (M,g) variedad riemanniana. Si M no es un producto devariedades de dimensiones menores, ni un espacio simétrico,entonces:

Hol0(M) = SO(n), dimensión n

Hol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8

Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. Kähler

Hol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8

Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-Yau

Hol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8

Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-Kähler

Hol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8

Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-Kähler

Hol0(M) = G2, dimensión 7Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8

Hol0(M) = SO(n), dimensión nHol0(M) = U(n), dimensión 2n. KählerHol0(M) = SU(n), dimensión 2n. Calabi-YauHol0(M) = Sp(n), dimensión 4n. Hiper-KählerHol0(M) = Sp(n) · Sp(1), dimensión 4n. Cuaterniónica-KählerHol0(M) = G2, dimensión 7

Hol0(M) = Spin(7), dimensión 8

Variedad Hiper-Kähler

CuaternionesH = {a + bi + cj + dk |a,b, c,d ∈ R} = R4

i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1ij = k , jk = i , ki = j , ji = −k , kj = −i , ik = −j

H es asociativo, no conmutativo

Sp(n) =

q11 · · · q1n...

. . ....

qn1 · · · qnn

|qij ∈ H,ATA = I

En una variedad hiper-Kähler, Hol(M) = Sp(n)cada TM tiene I, J,K, estructura cuaterniónica

Sp(n) =

q11 · · · q1n...

. . ....

qn1 · · · qnn

|qij ∈ H,ATA = I

Sp(n) =

q11 · · · q1n...

. . ....

qn1 · · · qnn

|qij ∈ H,ATA = I

Sp(n) =

q11 · · · q1n...

. . ....

qn1 · · · qnn

|qij ∈ H,ATA = I

Sp(n) =

q11 · · · q1n...

. . ....

qn1 · · · qnn

|qij ∈ H,ATA = I

Geometrías excepcionales

OctonionesO = {a+bi+cj+dk+αe+βei+γej+δek |a,b, c,d , α, β, γ, δ ∈ R} = R8

e2 = −1

O no es asociativo

No se puede duplicar más veces

Aut(O) = G2 < SO(R7)

Spin(7) < SO(R8), versión de Aut(O) que permite mover la unidad 1

Las variedades con holonomía G2,Spin(7) tienen ciertos tensoresinvariantes (3-formas, 4-formas, productos mixtos, etc)Se investigan mucho en la actualidad

e2 = −1

O no es asociativo

e2 = −1

O no es asociativo

e2 = −1

O no es asociativo

e2 = −1

O no es asociativo

Teoría de cuerdas

Teoría física que intenta unificar las 4 fuerzas de la naturaleza(gravedad, electro-magnetismo, interacción débil, interacción fuerte)

Dificultad: integrar efectos cuánticos con la gravedad

La teoría de cuerdas supone que las partículas son pequeñas cuerdasque vibran y sus estados vibracionales determinan las fuerzas

Super-cuerdas se refiere a la unificación de bosones y fermiones

Teoría de cuerdas

Teoría física que intenta unificar las 4 fuerzas de la naturaleza(gravedad, electro-magnetismo, interacción débil, interacción fuerte)Dificultad: integrar efectos cuánticos con la gravedad

Teoría de cuerdas

La teoría necesita de variedades de dimensiones grandes

En general M = E ×S, donde E es un espacio-tiempo (4-dimensional)y S es una variedad con holonomía especial (Calabi-Yau, G2,variedades complejas, variedades simplécticas, etc)

La teoría M propuesta por Witten unifica las teorías de cuerdasrequiere M de dimensión 11

Teoría de cuerdas

Estructuras geométricas

Gracias por la atención!

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