1- Método de la pendiente desviación.

Para aplicar este método a cualquier tipo de estructura tenemos que hallar esas ecuaciones de relación fuerza-desplazamiento en función de cualquier tipo de desplazamiento que sufra un elemento dado, ya sea giro, alargamiento o desplazamiento relativo en los apoyos de tal manera que encontremos una relación general F=k* Δ donde k es la rigidez del elemento para cualquier desplazamiento.

Adicionalmente se ha planteado que el método parte de escribir las ecuaciones de equilibrio en los nudos en la dirección de los grados de libertad libres. Estas ecuaciones implican que las fuerzas estén aplicadas en los nudos y no en las luces. Sería casi imposible decir que todas las estructuras que analicemos tendrán sus cargas aplicadas en los nudos, entonces la forma en que se analizan estas estructuras es considerar los elementos que la componen totalmente empotrados y encontrar los momentos de extremo producido por las cargas actuantes en la luz. Una vez planteados estos momentos se sueltan los grados de libertad que son libres y se determina la modificación de estos momentos de extremo por el hecho de producirse los movimientos de estos grados de libertad. El trabajo a realizar es por superposición, donde el momento total en un extremo es la suma de los efectos de rotación y de los momentos de empotramiento debidos a las cargas.

El método pendiente desviación se basa en expresar los momentos de los extremos de los miembros de estructuras estáticamente indeterminada en función de los giros y deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los nudos pueden girar o deflactarse, los ángulos entre los elementos que convergen en el nudo se mantienen constantes.

Este método considera sólo el efecto de la flexión sobre los elementos y omite el efecto del corte y axial.

Este método es adecuado para el análisis de estructuras pequeñas, corresponde a un caso especial del método de las deformaciones o rigideces y proporciona una muy buen aproximación inicial para presentar la formulación matricial del método de la rigidez.

Este método presenta además la ventaja de proporcionar de manera inmediata un primer esbozo de la deformada.

A fin de presentar las ecuaciones que definen este método considere el siguiente elemento estructural ubicado entre los puntos A y B:

Si descomponemos los esfuerzos reales originados solo por las cargas externas impidiendo los giros y desplazamientos en los extremos y aquellos generados por estas deformaciones, se puede afirmar que los valores totales de los momentos en los extremos (MAB y MBA) deberá considerar el efecto de:

Los momentos de empotramiento (Me AB y Me BA) debidos a las cargas externas, que esPosible calcular mediante los teoremas de Mohr o son fáciles de encontrar tabulados.

2. Los momentos generados por los giros en los nudos ϕA y ϕB.

3. Los momentos originados por la rotación de la cuerda si uno o ambos extremo sufren un desplazamiento.

1.1 Desplazamiento en estructuras estáticamente indeterminadas.

Indeterminación estática.

Se define como el número de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. Se puede decir que es la diferencia entre el número de incógnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio estático.

Las estructuras estáticamente indeterminadas pueden estudiarse utilizando directamente la teoría de las deformaciones elásticas. Cualquier estructura estáticamente indeterminada puede convertirse en una estáticamente determinada y estable al suprimir las ligaduras adicionales llamadas acciones sobrantes o hiperestáticas, o simplemente hiperestáticas esto es aquellas fuerzas que exceden el mínimo necesario para que la estructura este en equilibrio estático. La estructura estáticamente determinada y estable, obtenida después de la eliminación de las ligaduras adicionales se denomina estructura primaria. Podemos considerar la estructura primaria sometida a la acción combinadas de las cargas iníciales mas las acciones hiperestáticas desconocidas. Las ecuaciones de condición para la compatibilidad geométrica de la estructura original se denominan ecuaciones de compatibilidad, se obtiene al superponer las deformaciones producidas por las cargas iníciales y las acciones hiperestáticas desconocidas, en las estructura primaria. Se pueden tener tantas ecuaciones de compatibilidad como acciones hiperestáticas de manera que la terminación de estas acciones hiperestáticas consiste en resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. Este método conocido como el método de las deformaciones compatibles es aplicable para cualquier tipo de estructura para estudiar el desplazamiento o deformación sufrido por la acción de las cargas aplicadas y asentamiento de apoyos.

Ejemplo del desplazamiento de una viga estáticamente indeterminada de 1 grado de libertad.

2- Diagramas de willot mohr para la determinación de desplazamiento en estructuras

Para averiguar los desplazamientos de los nudos de una estructura isostática, podemos utilizar una construcción grafica muy simple consiste en ir compatibilizando las deformaciones de las barras y las condiciones del contorno. El resultado de estas operaciones será una estructura deformada, pero esto suponiendo pequeñas deformaciones es difícil suponer con precisión estos movimientos, por lo cual es necesario obtener las deformaciones fuera de la armadura y con un factor de amplificación que facilite la medición.

Ejemplo de diagrama de willot mohr

Para trazar este diagrama se deben seguir los siguientes pasos:

a) Tomar un punto (0) como un polo.b) Trazar a partir del punto (0) los movimientos de los nudos a la escala

que estimemos oportuna para tener una fácil visualización.c) A partir de estos puntos se trazan paralelas a las barras afectadas y

sobre ellas llevamos las deformaciones sufridas por las mismasd) Considerando que para arcos de circunferencias pequeños se puede

sustituir el trazado de estos por perpendiculares. Trazamos las perpendiculares a las rectas del tercer paso por los puntos determinados por las deformaciones, y con ello obtenemos el nuevo lugar donde se encuentra el punto inicial o polo.

3- Método de cross con aplicaciones en pórticos.

En 1930, el profesor Hardy Cross expuso en su obra Analysis of continuousframes el método de aproximaciones sucesivas que lleva su nombre. El método de Cross es un procedimiento ideado para resolver el problema de las estructuras reticulares. El cálculo es relativamente sencillo, sin que aparezcan en su desarrollo integraciones complejas ni sistemas de ecuaciones complicados. Es más, una vez comprendido el mecanismo del método, las operaciones matemáticas se reducen a sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Además, no exige recordar nada de memoria. Si se dispone de unas tablas de momentos, rigideces y factores de transmisión, puede resolverse cualquier estructura. Si, como es frecuente, se trata de estructuras con piezas de sección constante en cada vano y con cargas uniformemente distribuidas, ni siquiera es necesario el empleo de tablas. El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas, que no significa que sea aproximado. Quiere

decir que el grado de precisión en el cálculo puede ser tan elevado como lo desee el calculista.El método permite seguir paso a paso el proceso de distribución de momentos en la estructura, dando un sentido físico muy claro a las operaciones matemáticas que se realizan.

¿Que es Método De Cross?.

Consideremos una estructura reticular cargada. En primer lugar se procede a retirar las cargas que actúan sobre sus piezas. A continuación bloqueamos los nudos, impidiéndoles todo giro. Se vuelve ahora a aplicar las cargas exteriores, que actúan sobre una estructura alterada, ya que tiene impedido los giros de sus nudos. En este sentido no representa a la estructura verdadera, cuyos nudos hubieran girado bajo la acción de las cargas hasta alcanzar su posición de equilibrio.En la estructura alterada es muy fácil determinar los momentos de empotramiento, pues al estar los nudos bloqueados dichos momentos son los de empotramiento perfecto.La suma de los momentos de empotramiento de las piezas concurrentes en cada nudo no será nula, por lo que el nudo no estará en equilibrio. Dicha suma es, en realidad, un momento de desequilibrio.

Se aplica al nudo un momento equilibrante, que es un momento de igual valor y de signo opuesto al momento de desequilibrio. Esto equivale a desbloquear el nudo.El momento equilibrante se repartirá entre los extremos de las distintas piezas concurrentes en el nudo en proporción a sus rigideces, puesto que al girar el nudo todas las piezas concurrentes giran el mismo ángulo.La relación de la parte de momento equilibrante que se lleva cada pieza con el momento equilibrante total es lo que se denomina coeficiente de reparto o coeficiente de distribución, y es igual al cociente de la rigidez de la pieza considerada entre la suma de las rigideces de todas las piezas que concurren en el nudo.Por tanto, se distribuye el momento equilibrante entre las distintas piezas concurrentes en el nudo y se transmite el momento al extremo opuesto.En los demás nudos de la estructura se procede análogamente, por lo que también se habrán introducido momentos equilibrantes, distribuyéndose a las extremidades de sus piezas concurrentes, las cuales transmitirán una parte a sus extremidades opuestas.De esta manera se opera cíclicamente.Si en una fase posterior de cálculo volvemos a obtener en un nudo previamente equilibrado el momento de desequilibrio, éste será cada vez menor, de igual modo que las magnitudes de las transmisiones. Los nudos van equilibrándose paulatinamente y la estructura se va acercando a su posición de equilibrio.El método de Cross es un método que permite alcanzar la precisión que se deseemediante aproximaciones sucesivas.

Bases del método de Cross.Las bases del método de Cross son las siguientes:1. Hallar la relación entre el momento MA y el par de empotramiento MB (factor de transmisión).2. Calcular la magnitud del ángulo girado en función del momento aplicado MA (rigidez).3. Encontrar la relación entre el momento aplicado en un nudo M (figura 3b) y el momento MA (figura 3c) que actúa sobre cada una de las barras de nudo (factor de reparto o de distribución).

3.1- Desarrollo del metodo para estructuras intraslacionales. (sin desplazamiento)

Fase I

Se consideran todas las piezas empotradas en sus extremos. Se calculan los momentos en los extremos mediante Resistencia de Materiales.

Fase II

Se comienza por considerar un nudo cualquiera con capacidad de girar. Al soltar el empotramiento, todos los momentos que concurren en el nudo se suman algebraicamente y la resultante se reparte. Obtenido el equilibrio, se transmiten los momentos a los nudos adyacentes. Se repite la operación en cualquiera de ellos, por lo que el nudo, antes equilibrado, se desequilibra al devolverle el nudo siguiente una parte del momento que le hace girar.El proceso se repite una y otra vez para todos y cada uno de los nudos, equilibrando cada vez. Como los factores de reparto y de transmisión son menores que la unidad, el proceso es convergente, no siendo generalmente necesario realizar más de tres iteraciones a la estructura.El método de Cross tiene la propiedad de compensar los errores.A efectos prácticos los extremos articulados se eliminan en el cálculo de estructuras mediante el método de Cross. Lo mismo ocurre con los extremos perfectamente empotrados, pues al momento inicial en el extremo empotrado hay que sumar todos los momentos transmitidos por el nudo opuesto. El no transmite ninguno, por lo que el momento final es igual al momento inicial en el nudo más la mitad del correspondiente al extremo opuesto, pudiendo también eliminarse a efectos prácticos. Los cálculo son aún más simples si la pieza en cuestión no tiene cargas o momentos directamente aplicados a ella, pues entonces el momento final es únicamente la mitad del correspondiente al extremo opuesto.

Ejemplo de estructura sin desplazamiento analizada por metodo de cross.

3.2- Aplicación del método para estructuras con desplazamientos.

El caso más general de análisis de estructuras tiene lugar cuando están sometidas a la acción de una serie de cargas directamente aplicadas en sus barras, acompañadas o no por otras aplicadas directamente en los nudos. En

este caso es imposible conseguir el estado de equilibrio a base de permitir únicamente el giro de sus nudos.El análisis del problema consta de varias fases. Una inicial, en la que se considera que la estructura es indesplazable , pero con nudos con capacidad de giro. Como es imposible alcanzar el equilibrio de fuerzas, en una segunda fase (y posteriores, dependiendo del grado de desplazabilidad de la estructura) se permite el desplazamiento de los nudos, generalmente acompañados de una nueva necesidad de giros.

El resultado final es la suma de los resultados parciales obtenidos en las fases en las que se haya descompuesto el problema inicial. El grado de translacionalidad o grado de desplazabilidad de una estructura es el número desplazamientos posibles en la misma que resultan ser linealmente independientes entre sí. En otras palabras, es el número de reacciones exteriores que es necesario añadir para que la estructura sea intranslacional.

Ejemplos de pórticos con desplazamiento resuelto con método de cross.

este pórtico se puede descomponer en dos debido a sus cargas un pórtico transnacional con solo carga horizontal y otro intranslacional

Resolución del pórtico con carga horizontal.

4- Métodos de aproximación.

El análisis aproximado de estructuras indeterminadas se basa en general en el concepto de que es posible hacer unas suposiciones adecuadas acerca del comportamiento, que conduzca a un modelo de la estructura que pueda ser analizado utilizando solo las ecuaciones de equilibrio, esto es, una estructura determinada. Dicho modelo permite determinar los valores razonables de las fuerzas internas con un esfuerzo minimo. Con base en estos resultados es posible seleccionar tamaños preliminares de los miembros o simplemente tener

una visión de lo que debería esperarse de un análisis indeterminado más riguroso. El análisis aproximado también puede ser utilizado para obtener una comprobación burda de los resultados de un análisis por computadora de una estructura determinada.

Análisis aproximados de pórticos por el método del portal y voladizo.

Para los métodos aproximados de portal y voladizo se deben localizar puntos de inflexión para reducir la estructura a una forma determinada aproximada

4.1- Método del portal.

El método del portal para el análisis de marcos (o portales) de edificios empotrados en su base requieren las siguientes hipótesis:

Se coloca una articulación en el centro de cada trabe (viga o columna) ya que se supone que este es un punto de momento cero.

Se coloca una articulación en el centro de la columna y se supone que es un punto de momento cero.

En un nivel de piso dado, la fuerza cortante en las articulaciones de las columnas interiores es el doble que en las articulaciones de las columnas exteriores ya que el maro o pórtico se considera como una superposición de portales.

Esta hipótesis proporciona la reducción adecuada del marco a uno que este estáticamente determinado y estable bajo carga.

En comparación con el método de análisis estáticamente indeterminado mas exacto, el método del portal es mas adecuado para edificios de baja elevación y de estructura uniforme. La razón para esto tiene que ver con el comportamiento de la estructura bajo carga.

Ejemplo.

4.2- Método del voladizo:

El método del voladizo supone que el esfuerzo axial de una columna es proporcional a su distancia desde el centroide de todas las áreas de las columnas de un nivel de piso dado. Esta hipótesis se basa en la misma acción

que la que tiene lugar en una viga en voladizo sometida a una carga transversal. El método de voladizo por tanto es apropiado si el pórtico es alto y esbelto o bien tiene columnas con áreas de sección transversal diferente.

Se coloca una articulación en el centro de cada trabe ya que este supone un punto de momento cero.

Se coloca una articulación en el centro de cada columna ya que se supone que este es un punto de momento cero.

Es esfuerzo axial en una columna es proporcional a su distancia desde el centroide de las áreas de las secciones transversales de las columnas en un nivel de piso dado. Como esfuerzo es igual a fuerza por área, entonces en el caso especial de columnas con áreas transversales iguales, la fuerza en una columna es también proporcional a su distancia desde el centroide de las áreas de las columnas

Estas hipótesis reducen el pórtico a uno estable y estáticamente determinado

4.3- Método de bowman.

La aplicación del método de Bowman se basa en las siguientes hipótesis para su aplicación en pórticos.

Los puntos de inflexión en las vigas exteriores se encuentran a 0,55 de su luz, a partir de su extremo. En las vigas interiores el punto de inflexión se encuentra en el centro del tramo, excepto en el tramo central cuando el número de tramos es impar, o en los dos centrales si es par. En estos tramos la posición de los puntos de infexion en las vigas se determina por las condiciones de simetría y equilibrio.

Los puntos de inflexión en las columnas del primer piso se encuentran a 0,6 metros de altura, a partir de la base.

Para pórticos con dos o mas niveles, los puntos de inflexión en las columnas de los pisos último y penúltimo, y antepenúltimo, respectivamente se encuentran a 0.65, 0.60, 0.65 de la correspondiente altura, a par del extremo superior. En edificios de cinco o más niveles, los puntos de inflexión en aquellas columnas situadas en pisos no especificados se encuentran en el centro de su altura.

Los esfuerzos de corte en cada piso se distribuyen del siguiente modo.

a) Primer paso

Donde:

V: esfuerzo de corte total en el piso seleccionado.

N: numero de vanos del pórtico en el piso considerado.

Este esfuerzo de corte se distribuye en las distintas columnas de determinado piso en forma proporcional a sus rigideces. a su vez el esfuerzo de corte Vv: V-Vc se distribuye en los distintos vanos y pisos, proporcionalmente a la rigidez de cada viga que los limita en la parte superior. Luego, el esfuerzo de corte que toma cada vano distribuye en partes iguales entre las columnas que los limitan.

b) Pisos superiores.

Este esfuerzo de corte se distribuye directamente en las columnas del piso determinado. Mientras que el esfuerzo de corte Vv= V-Vo se distribuyen los distintos vanos.

Una variante de este método consiste en respetar los puntos 2 y 3; mientras que para determinar los momentos en las vigas se equilibrara en cada nudo la suma de los momentos en los extremos de las columnas con los momentos proporcionales a la rigidez angular natural de cada viga.

4.4- Método de los coeficientes de beton kalender.