Estática 02 momento-2014
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TORQUE O MOMENTO
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TORQUE O MOMENTO
INTERPRETACIÓN DEL TORQUE O MOMENTO
τ
Fr
El momento de una
fuerza con respecto a un
eje da a conocer en qué
medida existe capacidad
en una fuerza o sistema
de fuerzas para causar la
rotación del cuerpo
alrededor de un eje que
pase por dicho punto.
El momento tiende a provocar un giro en el
cuerpo sobre el cual se aplica y es una
magnitud característica en elementos que
trabajan sometidos a Torsión (como los
ejes de maquinaria) o a Flexión (como las
VIGAS)
MOMENTO DE UNA FUERZA
Se denomina
momento de una
fuerza (respecto a
un punto dado) al
efecto de giro o
rotación, que
produce una
fuerza que actúa
sobre un cuerpo
cuando su línea de
acción no pasa por
su centro de
•C.G.
b
F
Momento en la formaEscalar:
FbM
MOMENTO DE UNA FUERZASabemos que la
fuerza es una
magnitud vectorial,
entonces la pregunta
es: ¿Qué tipo de
magnitud es el
momento?, Escalar ovectorial.
•C.G.
b
F
r
En el momento
importa donde actúa
la fuerza con
respecto al C.G., ese
punto lo definimoscon un radio vector.
SenFrFbM
θ
SenBAFAC
SenFrFrM
MOMENTO DE UNA FUERZA
SenFrFbM
SenBABAC
SenFrFrM
BAC
FrM
Entonces el momento es una magnitud
vectorial, y la obtenemos multiplicando el
radio vector en producto vectorial con el
vector fuerza, nunca en sentido contrario.
El momento de una fuerza aplicada en un
punto A con respecto de un punto O viene
dado por el PRODUCTO VECTORIAL del
vector de posición rOA por el vector fuerza
F; esto es:
FrMOAo
SenFrMM Oo
Módulo:
MOMENTO DE UNA FUERZA
DIRECCIÓN: Siempre perpendicular al
plano que contiene a r y F.
Sentido: Según la
regla de la mano
derecha.
Dado que las fuerzas tienen
carácter de vectores
deslizantes, el momento de
una fuerza es independiente
de su punto de aplicación
sobre su recta de acción o
directriz.
FrMOAo
COMPONENTES RECTANGULARES DEL MOMENTO
O
Ar
Fz
Fy
Fx
z
x
y
kzjyixr
kFzjFyiFxF
FrMSiOAo,
kMzjMyiMxM
FzFyFx
zyx
kji
M
kyFxxFyjxFzzFxizFyyFzM )()()(
Ejemplo
Determine el momento ejercido por el peso de
30 lbf con respecto a los puntos (a) E y (b) S
EjemploSe aplica una fuerza vertical de 100
lb al extremo de una palanca que
está unida a un eje en O. Determine:
(a) el momento de la fuerza de 100
lb con respecto al punto O,
(b) el módulo de la fuerza horizontal
que aplicada en A produce el mismo
momento produce el mismo
momento respecto a O,
(c) la menor fuerza que aplicada en
A produce el mismo momento
respecto a O,
(d) a que distancia del eje debe
aplicarse una fuerza vertical de 750
N para que produzca el mismo
Parte (a) En la forma
escalar el momento es:
inlbfM
lbfinM
bFM
O
O
O
1200
60cos100)24(
in lb 1200 OM
SOLUCIÓN
La dirección de Mo es perpendicular al plano
que contiene F y d y su sentido se determina
mediante la regla. derecha
+
+
Parte (b) La fuerza que aplicada en Aproduce el mismo momento sedetermina en la forma siguiente:
in. 8.20
in. lbf 1200
in. 8.20in. lbf 1200
in. 8.2060sinin. 24
F
F
FdM
d
O
lbf 7.57F
SOLUCIÓN
Parte (c) Debido a que M = F d. el
mínimo valor de F corresponde
al máximo valor de d. Eligiendo
la fuerza perpendicular a OA se
encuentra que d = 24 in;
entonces
in. 42
in. lb 1200
in. 42in. lb 1200
F
F
FdMO
lbf 50F
SOLUCIÓN
Parte (d). En este caso Mo =
Fd obteniendo:
in. 5cos60
in. 5lbf 402
in. lbf 1200
lbf 240in lbf 1200
OB
d
d
FdMO
in. 10OB
SOLUCIÓN
Ejemplo:La placa rectangular es soportada por dos
pernos en A y B y por un alambre CD.
Conociendo que la tensión en el alambre es 200
N. Determine el momento con respecto al punto A
de la fuerza ejercida por el alambre en C
El momento MA de lafuerza F ejercida por elalambre es obtenidoevaluando el productovectorial
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
(0,3; 0; 0,40)
(0; 0,24; 0,08)
(0; 0; 0,32)
kir
rrr
AC
ACAC
m 08.0m 3.0
FrM ACA
kji
kji
r
rFF
DC
DC
N 128N 69N 120
m 5.0
m 32.0m 0.24m 3.0N 200
N 200
12896120
08.003.0
kji
M A
SOLUCIÓN
Ejercicio:La tensión en el cable AB es 150 N. Determine la
tensión en AC y CD tal que la suma de los momentos
alrededor del origen debido a la fuerza ejercida por
los cables en el punto A es cero.
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN
Sabemos que el momento de
la fuerza F respecto al punto
O.
0ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OLM M r F
r r rr
El momento de la fuerza F conrespecto al eje OL es laproyección ortogonal de Mosobre el eje OL.
El momento MOL de F alrededor del eje OL mide latendencia de la fuerza F a impartir al cuerpo rígidorotación alrededor del eje OL
MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UNEJE QUE PASA POR UN PUNTO CUALQUIERA
El momento de una
fuerza alrededor de
un eje cualquiera es:
/
/
ˆ ˆ ˆ ˆ. . .OL B A B
A B A B
M M r F
r r r
r r rr
r r r
El resultado es
independiente del
punto B
Ejemplo
Sobre un cubo de arista a
actúa una fuerza P, como
se muestra en la figura.
Determine el momento de
P:
(a) con respecto a A,
(b) con respecto a la arista
AB.
(c) Con respecto a la
diagonal AG
SOLUCIÓN• Moment of P about A,
jiPjiaM
jiPjiPP
jiajaiar
PrM
A
AF
AFA
2
222
kjiaPM A
2
• Moment of P about AB,
kjiaPi
MiM AAB
2
2aPM AB
La magnitud del momento respecto a AB es
SOLUCIÓN
(c) La magnitud del momento respecto a AG es
1116
23
1
2
3
1
3
aP
kjiaP
kjiM
kjiaP
M
kjia
kajaia
r
r
MM
AG
A
GA
GA
AAG
6
aPM AG
EjercicioSe aplica una tensión T
de intensidad 10 kN al
cable amarrado al
extremo superior A del
mástil rígido y se fija en
tierra en B. Hallar el
momento Mz de T
respecto del eje Z que
pasa por la base O del
mástil.
EjercicioLa fuerza F tiene una
intensidad de 2 kN y está
dirigida de A hacia B.
Determine: (a) La
proyección FCD de La
fuerza F sobre la recta
CD (b) el ángulo que θ
que forma la fuerza F y
la recta CD y (c) si el
modulo del momento F
respecto a la recta CD es
de 50 N. m, halle el
módulo de la fuerza
EjercicioLa tensión el cable es 143,4 N. Determine el momentoalrededor del eje x de esta fuerza de tensión actuandoen A. Compare su resultado con el momento del pesode 15 kgf de la placa uniforme alrededor del eje x.¿Cuál es el momento de fuerza de tensión actuandoen A alrededor de la línea OB
Ejemplo Una barra doblada está rígidamente fijada a una
pared en el punto (0,0,0). Una fuerza de magnitud
F = 7 lb actúa en su extremo libre con una línea
de acción que pasa por el origen, como se
muestra en la figura: Halle : (a) el momento de la
fuerza respecto al punto P, (b) el momento
respecto a la línea l que pasa por P con una
pendiente 5/12 en el plano yz.
PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon
Si un sistema de fuerzas concurrentes esta
actuando sobre un cuerpo como se muestra
en la figura, el momento de la fuerza
resultante alrededor del punto puede ser
determinado mediante la suma de cada uno
de los momentos de las fueras individuales
respecto al mismo punto. Es decir:
PRINCIPIO DE MOMENTOS: Teorema de Varignon
CUPLA O PAR DE FUERZASLa cupla o par de fuerzas es un
sistema formado por dos fuerzas F y
–F que tiene la misma magnitud,
líneas de acción paralelas pero de
sentidos opuestos.• El momento de la cupla es,
El vector momento de la cupla es un
vector independiente del origen o es
decir es un vector libre
perpendicular al plano que contiene
la fuerzas.
DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL PAR
La cupla es un vectorlibre perpendicular alplano de la cupla y susentido se determinamediante la regla de lamano derecha
CUPLA O PAR DE FUERZAS Dos cuplas tendrán igual
momento si:
a)
b) Las dos cuplas se
encuentran ubicadas en
planos paralelos
c) La dos cuplas tienen el
mismo sentido o la misma
tendencia a causar rotación y
la misma dirección
Ejercicio de cupla Determine el momento de la cupla mostrada
en la figura y la distancia perpendicularentre las dos fuerzas
Ejercicio de cuplaUna cupla compuesta por: F1 = (-70i - 120j -
80k)lbf, y F2 = (70i +120j + 80k)lbf y actúan
en los puntos A y B del cuerpo mostrado en la
figura. Determine el momento de la cupla y la
distancia perpendicular entre las dos fuerzas
