Estadística II 5. Contraste de Hipótesis

ADMINISTRACIÓ I DIRECCIÓ D'EMPRESES

Conceptos previos

Conceptos previos

Prueba unilateral a una cola superior

Prueba unilateral a una cola inferior

Prueba Bilateral, a dos colas

000 :: ϑϑϑϑ ≠= AHversusH

000 :: ϑϑϑϑ <= AHversusH

000 :: ϑϑϑϑ >= AHversusH

Conceptos previos

Etapas de un test de hipótesis 1. Formular la hipótesis nula y la hipótesis alternativa. 2. Fijar el nivel de significación. 3. Determinar un Estadístico de Prueba (muestra-hipótesis nula):

selección de estadístico muestral 4. Formular una Regla de Decisión. 5. Calcular el correspondiente valor del Estadístico de Prueba. 6. Aplicar la Regla de Decisión:

– Si el valor del Estadístico de Prueba cae en la Región de Rechazo, entonces Rechazamos la H0.

– Si el valor del Estadístico de Prueba cae en la Región de Aceptación, entonces NO hay evidencia para Rechazar la H0.

Tipos de Error

βα ↓⇒↑Si βα ↑⇒↓Si

Posibles resultados de un test:

Tipos de Error

H1 H0

1-β 1-α

α β

H1 H0

Tipos de Error

EJEMPLO-Población Normal con desviación igual a 8. Se plantean las siguientes hipótesis: Criterio: Rechazo H0 si la media muestral es superior a 193 Muestra de 12 observaciones que han proporcionado una media muestral de 194.

196:190:

1

0

==

µµ

HH

α β

H1 H0

190 196 193

Tipos de Error

196:190:

1

0

==

µµ

HH

β α

H1 H0

190 196 193

10,0)30,1(128190193)190/193(

cierta) es H/HRechazar ()IError( 00

≈>=

−>

−==>=

==

ZPn

XPXP

PP

σµµα

α

10,0)30,1(128196193)196/193(

falsa) es H/HRechazar No()IIError( 00

≈−<=

−<

−==<=

==

ZPn

XPXP

PP

σµµβ

β

90,010,01contraste del Potencia1

≈−==−=

ηβη

Tipos de Error

196:190:

1

0

==

µµ

HH

β H1 H0

190 196 a

192,08en fijado queda criterio nuevo El192,08258

19030,1

10,0)(258

190)190/(

cierta) es H/HRechazar ()IError( 00

⇒=⇒−

=

≈>=

−>

−==>=

==

aa

aZPan

XPaXP

PP

σµµα

α

007,0)45,2(258

19608,192)196/08,192(

falsa) es H/HRechazar No()IIError( 00

≈−<=

−<

−==<=

==

ZPn

XPXP

PP

σµµβ

β

993,0007,01contraste del Potencia1

≈−==−=

ηβη

Ejemplo. Si se cambia el tamaño de la muestra, n= 25, pero queremos que el nivel de significación siga siendo del 10%.

Contraste de hipótesis TEST DE LA MEDIA POBLACIONAL A-Población: siendo σ2 conocido

Estadístico de Prueba: Región crítica: un nivel de significación, α

);( 2σµNX ≈

α/2 α/2

μ0 a b

1-α 0

00

::

µµµµ

≠=

AHH

)1,0(0 N

n

XZ ≈−

= σµ

Dos colas (bilateral)

02/0

02/0

H la Rechazo siH la Rechazo si

α

α

ZZZZ

+>−<

En la distribución N(0,1):

00 : µµ =H

Contraste de hipótesis Cola Inferior:

α

μ0

a

1-α 0

00

::

µµµµ

<=

AHH

0

00

::

µµµµ

>=

AHH

α

μ0

b

1-α

Cola superior:

00 H la Rechazo si αZZ −<

00 H la Rechazo si αZZ +>

En la distribución N(0,1):

En la distribución N(0,1):

Contraste de hipótesis B-Población: siendo σ2 desconocido Estadístico de Prueba: Región crítica: establecemos un nivel de significación, α

);( 2σµNX ≈

01

00

::

µµµµ

≠=

HH

)1(0

−→−

= ntnS

Xt µ

α/2 α/2

t0

H0

2/αt− 2/αt+02/0

02/0

H la Rechazo siH la Rechazo si

α

α

tttt+>−<

A dos colas (bilateral)

Contraste de hipótesis

α

t0

H0

αt−

00 H la Rechazo si αtt −<

α

t0

H0

αt+

00 H la Rechazo si αtt +>

Cola superior:

Cola inferior:

Contraste de hipótesis TEST de IGUALDAD DE MEDIAS POBLACIONALES A.-Las varianzas poblacionales conocidas de Poblaciones Normales

( )

+−≈

y

2y

x

2x

x y nσ

nσ,μμNY-X

02/0

02/0

H la Rechazo siH la Rechazo si

α

α

ZZZZ

+>−<

( ) ( )1,0

nσ

nσ

Y-X

y

2y

x

2x

0 NZ ≈

+

=El est. de prueba:

≠

=

μμ:

μμ:

x y

x y0

AH

H

<−

=−

0μμ:

0μμ:

x y

x y0

AH

H

>−

=−

0μμ:

0μμ:

x y

x y0

AH

H

00 H la Rechazo si αZZ −<

00 H la Rechazo si αZZ +>

Contraste de hipótesis B.- Poblaciones Normales con varianzas poblacionales son iguales, pero no conocidas ( )

)2(

yx

2

0

n1

n1·

Y-X−+≈

+

=yx nn

p

t

S

t

≠−

=−

0μμ:

0μμ:

x y

x y0

AH

H

02/0

02/0

H la Rechazo siH la Rechazo si

α

α

tttt+>−<

El estadístico de prueba:

<−

=−

0μμ:

0μμ:

x y

x y0

AH

H00 H la Rechazo si αtt −<

>−

=−

0μμ:

0μμ:

x y

x y0

AH

H00 H la Rechazo si αtt +>

Contraste de hipótesis

C.- Las varianzas poblacionales son distintas y no conocidas

( ))(

y

2y

x

2x

0

nS

nS

Y-Xvtt ≈

+

=

≠−

=−

0μμ:

0μμ:

x y1

x y0

H

H

02/0

02/0

H la Rechazo siH la Rechazo si

α

α

tttt+>−<

( ) ( )1n

nS1

nS

n

S

n

S

y

y2y

22

2

222

−+

−

=

+

x

xx

y

x

x

x

n

v

El estadístico de prueba:

<−

=−

0μμ:

0μμ:

x y1

x y0

H

H00 H la Rechazo si αtt −<

>−

=−

0μμ:

0μμ:

x y1

x y0

H

H00 H la Rechazo si αtt +>

1-α

221 αχ −

22αχ

α/2

α/2

Contraste de hipótesis

20

21

20

20

:

:

σσ

σσ

≠

=

H

H

Estadístico de prueba ( ) 2)1(2

0

220

·S1−→−= n

n χσ

χ

Contraste de hipótesis

022

0 H la Rechazo si αχχ >20

21

20

20

:

:

σσ

σσ

>

=

H

H

20

21

20

20

:

:

σσ

σσ

<

=

H

H0

21

20 H la Rechazo si αχχ −<

20

21

20

20

:

:

σσ

σσ

≠

=

H

H

02

220

02

2120

H la Rechazo si

H la Rechazo si

α

α

χχ

χχ

>

< −

Contraste de hipótesis

TEST de IGUALDAD DE VARIANZAS POBLACIONALES

Poblaciones Normales e independientes

Estadístico muestral:

Hipótesis nula:

Estadístico de prueba:

( )1;12

2

2

2

· −−≈yx nn

x

y

y

x FSS

σσ

220 : yxH σσ =

2

2

0y

x

SSF =

Contraste de hipótesis

21 α−F 2αF

α/2

α/2

H0

020

0210

H la Rechazo si

H la Rechazo si

α

α

FF

FF

>

< −

221

220

:

:

yx

yx

H

H

σσ

σσ

≠

=

221

220

:

:

yx

yx

H

H

σσ

σσ

<

=010 H la Rechazo si α−< FF

221

220

:

:

yx

yx

H

H

σσ

σσ

>

=00 H la Rechazo si αFF >

Contraste de hipótesis TEST de la PROPORCIÓN POBLACIONAL Población dicotómica. Muestra de n observaciones. Estadístico muestral

α/2 α/2

p0 a b

1-α

α−=<< 1)ˆ( bpaP

≈

nqppNp ·,ˆ

01

00

::

ppHppH

≠=

Estadístico de prueba

)1,0(·

ˆ

00

00 N

nqpppZ ≈

−=

Contraste de hipótesis

α/2 α/2

Z0

H0

2/αZ− 2/αZ+

01

00

::

ppHppH

≠=

02/0

02/0

H la Rechazo siH la Rechazo si

α

α

ZZZZ

+>−<

01

00

::

ppHppH

<=

00 H la Rechazo si αZZ −<

01

00

::

ppHppH

>=

00 H la Rechazo si αZZ +>

Contraste de hipótesis TEST de IGUALDAD DE PROPORCIONES POBLACIONALES Dos poblaciones dicotómicas e independientes. Muestras con tamaños muestrales nx y ny observaciones. Estadístico muestral

0pp: x y0 =−H

+−≈−

y

yy

x

xxyxyx n

qpnqpppNpp ,)ˆˆ(

yx

yyxx

yx nnpnpn

nnYXp

+

+=

++

=ˆ·ˆ·

p ó

)1,0(11)·1·(

)ˆˆ(0 N

nnpp

ppZ

yx

yx ≈

+−

−=

Hipótesis nula:

Estadístico de prueba:

Siendo:

Contraste de hipótesis

02/0

02/0

H la Rechazo siH la Rechazo si

α

α

ZZZZ

+>−<

α/2 α/2

Z0

H0

2/αZ− 2/αZ+

0pp:

0pp:

x y1

x y0

≠−

=−

H

H

0pp:

0pp:

x y1

x y0

<−

=−

H

H00 H la Rechazo si αZZ −<

0pp:

0pp:

x y1

x y0

>−

=−

H

H00 H la Rechazo si αZZ +>

RESULTADO del Test: P-VALOR

RESULTADO del Test: P-VALOR

Ejemplo a dos colas

RESULTADO del Test: P-VALOR

Ejemplo a una cola inferior

RESULTADO del Test: P-VALOR

Ejemplo a una cola superior

H0

H0

Rechazar la H0

No rechazar la H0

RESULTADO del Test: P-VALOR Dos ejemplos a una cola superior

Relación: Test- Intervalo de Confianza

0

00

::

ϑϑϑϑ

≠=

AHH