Estabilidade de Pontos Fixos

Sistema Não Autônomo

1

)(cos

1

,var

)(cos

20

20

=

−−=

=

==→=

=++

z

xyzmFy

yx

obtemos

xy

ztz

zyiáveisasdoIntroduzin

tmFxxx

&

&

&

&

&

&&&

ωγω

ωωγ

Sistema autônomo

Ponto Fixo

fixopontouméyxPpontoO

yxgydtdy

yxfxdtdx

)*,(

0),(

0),(

*

**

**

===

===

&

&

Estabilidade do Ponto Fixo

instávelécontrárioCaso

yxyx

seestáveléPPonto

atratoruméP

yxyx

seestáveletóticamentaséPPonto

t

t

),(),(lim

),(),(lim

sin

**

**

≈

→

∞→

∞→

Estabilidade Estrutural

0

)0(

0

20

20

=++

≠=+

xxx

atritomosconsiderarsealteradassão

xx

idealpêndulodoequaçãodasoluçõesAs

ωγγ

ω

&&&

&&

Ponto de Sela

Ponto Fixo Repulsor

Auto Valores Imaginários

Ponto Atrator Ponto Repulsor

Mapa Logístico

{ } { }

0,5;0x)x(1x2xLogístico,MapaoPara

x x:usamos fixo ponto oencontrar Para

p(p)f:pfixoPonto

inicial ponto:x

...),(x...f),(xf),f(x,x...,...x,x,x,x:Órbita

nnn1n

n1n

k

0

0n

02

00n210

=⇒−=

==

=

+

+

Órbita / Ponto Fixo

Estabilidade de Pontos Fixos

{ }

(p)N(x)flim (p)Nxe0εPara

:repulsãodefixo Ponto

p(x)flim (p)Nxe0εPara

:atraçãodefixoPonto

εp-x:Rx(p)N

0)ε e 0(εpxdetornoemεvizinhança:(p)N

ε

kkε

kkε

ε

ε

∉⇒∈>

=⇒∈>

<∈≡>≅=

∞→

∞→

10int5,0

10)5,0(

12)0(

0)5,0(0)0(5,0;0:

)1(21

<<=

⇒<=′⇒>=′

==

−=+

xervalooéxdeatraçãodebaciaA

atraçãodepontof

repulsãodepontof

feffixosPontos

xxxLogísticoMapa nnn

Exemplo

Pontos periódicos

1(0,8236)f12904,0(0,4794)f

0,8236(0,8236)f0,4794(0,4794)f

:2períodocomestáveisperiódicasÓrbitas

.0,696969..0;x:instáveisfixosPontos

3,3a)x1(xa)x(fxLogísticoMapa

22

22

nnn1n

<′<−=′==

==−==+

Mapa Logístico

atraçãodeponto12a)a

1a(g

repulsãodeponto1a(0)ga

1a0;x1xox3,a1Para

0x1xox1,a0Para

)x(1xa)(xgxLogísticoMapa

o0

o0

nnna1n

⇒<+−=−′

⇒>=′

−→⇒<<∈∀<<

→⇒<<∈∀<<

−==+

Mapa de Hénon

Hénon (Comm. Math. 50, 69, 1976) introduziu o mapa

controle de parâmetros : b a,

x)y, bx-a()y,(x f)y,x( 2nn1n1n +==++

(Alligood et al.Chaos...)

Atratores, Repulsores e Pontos de Sela

5 - Mapas Lineares

( )

01

1nn1n

2221

1211

2221

1211

vvvAv

vvA

0) v (para seA matriz davalor -auto um é

wAb)v(A a)wbv(aAselinear éA :Definição

y

xV

aa

aa

aa

a a

y

xA

rrrr

rr

r

rrrr

r

+++ =⇒=

=≠

+=+

≡

++

=

=

n

yx

yx

y

x

λ

λλ

vetor-auto1

0 evalor-auto éb

1

0b

b

0

1

0

b 0

0 a

vetor-auto0

1 evalor-auto éa

0

1a

00

1

b 0

0 a

b 0

0 aA matriz a Para

Exemplo

⇒

=

=

⇒

=

=

=

a

Matriz Jacobiana

( ) ( ) ( )

( )( ) repulsor um é p1pf

atrator um é p1pf

pfh p fh p f

(p), f p fixo ponto um com dimensão, uma Em

⇒>′

⇒<′

′+≅+=

sela. de ponto um ép

1, quemenor outro o e 1 quemaior for valor -auto um Se :Definição

repulsor. um é p 1, que maiores forem

)p(f D matriz da valores-auto dos módulos os Se - 2

atrator. um é p 1, que menores forem

)p(f D matriz da valores-auto dos módulos os Se - 1

:Teorema

h)p(f Dph)p(f D)p(f)hp( f

)p(fp fixo ponto um com dimensões, duas Em

r

r

rrr

r

rrr

rrrrrrrrrrrrrr

rrr

⋅+=⋅+≅+

=

)p(f D)p(f D)p(f D dimensões, duas Em

)(p f)(p f)p(f dimensão, uma Em

1002

1002

rrrrrr=

′′=′

sela de ponto1272,0;1472,10-0 1

b -1,2

0 1

0,4 1,2

0 1

b x 2-y) b x- a(y) b x- a( J

0,6)- (-0,6, fixo Ponto

atrator14,00-0 1

b -0

0 1

0,4 0

0 1

b 0

0 1

b x 2-y) b x- a(y) b x- a( J

0) (0, fixo Ponto

0,4- be0 a x) y, b x- (a y) (x, f Hénon de Mapa :Exemplo

21

x

2y

2x

x

2

y

2

x

2

⇒<−=>=⇒=

=

=

∂∂+∂+∂

=

⇒<±=⇒=

=

=

=

∂∂+∂+∂

=

==+=

λλλ

λ

λλ

λ

xx

xx

y

y

atrator140.00.30 i 26.004.04.1

008.012.0

4.04.1

008.012.0

0 1

0.4 2(0.7)-

0 1

0.4 2(-0.1)- JJJ

0.7) (-0.1, 0,1)- (0.7, : 2 período de Órbita

0,4 b 0,43 a x)y, b x- (a y) (x, fHénon de Mapa : Exemplo

2

2

<=⇒±=⇒=−−

−

−=

==

⇔==+=

λλλ

λ

Ciclos Limite

d t 8 1 - e c

e c r

estável limite ciclo periódica órbita 1 r

0) (0, : instável equilíbrio de Ponto

8

)r - 1 (r r

:Exemplo

t

t

+=θ=

→=

=θ

=•

•

instável limite ciclo instável periódica órbita 1 r

0) (0, : estável equilíbrio de Ponto

8

)r - 1 (r - r

:Exemplo

→=

=θ

=•

•

vazioconjunto :} { )(x 0, xPara

{0} )(x ,0 xPara

{a} )(x 0, xPara

a xe 0 x :equilíbrio de Pontos

0 a , ) x - a ( x x

Exemplo

00

00

00

=ω<=ω==ω>

==>=

•

0r ; a} {r ) , r(

{0} ) 0(

estável equilíbrio de ponto é mOrige

b

)r - a (r r

Exemplo

000 ≠==θω=ω

=θ

=•

•

) 0, a, ( ) , a(

0r ; a} {r ) , r(

{0} ) 0(

)0,0(

),a(

)0,a(

:equilíbrio de Pontos

) a r (sen

)r - a (r r

Exemplo

0

000

22

π=θ=θω≠∀==θω

=ω

π

−+θ=θ

=•

•

Bifurcações de Ciclos Limites

Sistemas bidimensionais

Estabilidade Estrutural

• Estabilidade da solução depende dos

parâmetros de controle.

• Mudança qualitativa na solução, com a

alteração de um parâmetro, caracteriza uma

bifurcação.

ChaosAlligood et al.

BifurcaçãoSela-Nó

ChaosAlligood et al.

Dobramento de Período

ChaosAlligood et al.

Bifurcação de Hopf

)yxa(yxy

)yx-x(ay-x

Exemplo

22

22

−−+=−+=

&

&

ChaosAlligood et al.

Ilustração da Bifurcação de Hopf

ChaosAlligood et al.

Bifurcação de Hopf Sub-Crítica1

rr2arr 53

=θ

−+=&

&

ChaosAlligood et al.

Bifurcação de Hopf Sub-Crítica nas Equações de Lorenz